Esercitazione 4 di Matematica Applicata Laura Marcias laura_marcias@tiscali.it

18 Dicembre 2010

Esercizio 1 Calcolare il numero di condizionamento rispetto alle norme con indice 1, 2 e della matrice

=

bb

bA

10100012

essendo b un numero reale positivo. Soluzione

=

bb

bAT

10100012

A = AT La matrice A simmetrica.

Poich abbiamo una matrice simmetrica:

= AA1

=1

11 AA

( )AA =2

Numero di condizionamento:

( ) ( )AKAAAK

==1

111

( ) ( )( )AA

AKmin

max

2

=

Devo calcolare linversa della matrice A.

( )AAA

det1

+

=

( ) ( )( ) ( )2222 111det == bbbA

La matrice invertibile se il determinante diverso da zero, perci: ( ) 0det A

( ) 01 22 b

1b

( ) ( )( ) ( )

=+

110110

001

22

22

2

bbbbbb

bA

( )( ) ( )( ) ( )

=

1110

11

10

001

1

22

22

2

1

bb

b

bbb

b

A

( ) ( ) ( )[ ]1,1,1max 21

++= bbbA

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

+

+

=

11

,

11

,

11

max11

1,

11

1,

11

max 22222211

bbbbb

bbbb

bA

Per b < 1 con

11

+==

bAA

e 1

111

1

==

bAA

( ) ( )11

1

+==

bbAKAK

Per b > 1

121

==

bAA

e 1

111

1

==

bAA

( ) ( ) 11 +== bAKAK

Calcolo gli autovalori di A: ( ) 0det = IA

010

10001

det

2

=

bb

b

( )( )[ ] 011 22 = bb

( )[ ]( )[ ] 011 22 = bb ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 01112 =+ bbb

( )[ ] 012 = b 121 = b

( )[ ] 01 = b 12 = b ( )[ ] 01 =+ b

13 += b

Per b < 1

1max += b

1min = b

( )11

2

+=

bbAK

Per b > 1

12max = b 1min = b ( ) 12 += bAK

Esercizio 2 Dire per quali valori dei parametri ,

il seguente metodo alle differenze finite convergente

e per quale valore dei parametri risulta del secondo ordine. Soluzione

( ) ( ) ( )hyxhyxhyx ;,;,;, = errore locale di discretizzazione ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2,,,

2,

1;, hOyxfyxfyxfhyxfxyhy

hhyx yx +++=+=

( ) ( ) ( )( )yxhfyhxfyxfhyx ,,,;, +++=

( )iiii xh ,1 +=+ ( ) ( ) ( )( )iiiiiiii xhfhxfxfx ,,,, +++=

Il metodo converge quando ( ) 0;,lim0

=

hyxh

( )hyx ;, dipende solo dalla soluzione del problema ( )hyx ;, dipende dal metodo, devo perci svilupparlo in serie di Taylor, con punto

iniziale h = 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3''2'!2!1

, hOxfhxfhxfyxf +++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,,,, hOyxfhyxfhyxfhyhxf yyxxyx +++=++ Perci lo sviluppo in serie di Taylor di ( )hyx ;, per h 0 sar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2,,,,,;, hOyxfyxhfyxhfyxfyxfhyx yx ++++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )2,,,,2;, hOyxfyxfyxfhyxfhyx yx +++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2,,,,2;, hOyxfyxfyxfhyxfhyx yx +++=

( ) ( )( )[ ]

=

++++=+

00

1 ,,,

yxhfhxfxfh iiiiiiii

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2,,,,2,,,2

,;, hOyxfyxfyxfhyxfyxfyxfyxfhyxfhyx yxyx +

+++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2,,,,2,,,2

,;, hOyxfyxfyxfhyxfyxfyxfyxfhyxfhyx yxyx +

+++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2,,,21

,21;, hOyxfyxfyxfhyxfhyx yx ++

+=

( ) 0;,lim0

=

hyxh

quando 021 = 21

= metodo converge

Il metodo del secondo ordine quando ( )hyx ;, proporzionale a O(h2), cio quando resta solo O(h2), quindi:

=

=

021

021

=

=

121

Esercizio 3 Date le matrici

=

2020002

A

=

100010

010001

B

dire per quali valori dei parametri e risultano essere non singolari e definite positive. Soluzione

Una matrice non singolare se e solo se il suo determinante diverso da zero, inoltre definita positiva se nCx si ha x*Ax>0, cio gli autovalori sono positivi. Per quanto riguarda la matrice A:

( ) ( )42det 2 = A ( ) 042 2 2 A non singolare per { }2;2 Calcolo gli auto valori della matrice A:

0)det( = IA 020

20002

det =

( ) ( )[ ] 042 2 = ( )( )( ) 0222 =+ 21 = 22 = 23 +=

La matrice A definita positiva per 2>

Per quanto riguarda la matrice B, non singolare se: ( ) 0det B

( ) ( ) ( ) ( )224222 121111000

10

10010

011det =+=+++=+=

B

( ) 01 22 1

La matrice B non singolare per { }1;1

Calcolo gli auto valori della matrice B:

0

100010

010001

det =

( ) ( )

+

=

1000

10

10010

011det IB

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 2222 111111det ++= IB

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2224224 1112det =+= IB ( )22 1 =

=1

m1=

=121 += 143 021 > 01 > 1 01 >+ 1>

La matrice B definita positiva per 11

Esercizio 5 Considerato il sistema lineare Ax = b, con

=

212122223

A

=

220

b

dire se il metodo di Gauss-Seidel risulta convergente e, fissato il vettore iniziale [ ]Tx 000= , calcolare le iterazioni x(1) e x(2).

Soluzione Il metodo di Gauss-Seidel convergente se e solo se (BGS) < 1 Metodo iterattivo: ( ) ( ) fBxx kk +=+1 dove B = P-1N f = P-1b Il metodo di Gauss-Seidel corrisponde alla scelta: P = D L e N = U perci: BGS = (D L)-1U f = (D L)-1b

=

200020003

D

=

012002000

L

=

212022003

LD

( ) ( )( )LDLDLD

=

+

det1

( ) 12det = LD

( )

=

200120223

TLD ( )

=+

6320622004

LD

( )

=

2141122021620031

1LD

=

000100

220U

( )

==

12561061310

323201ULDBGS

Calcolo gli autovalori associati alla matrice di iterazione:

( ) 0det = IBGS

0125610

613103232

det =

0361

125

31

=

+

0361

125

31

365 2

=

++

061

432

=

+

( ) 0291212 2 =+

01 =

jj2415

83

24159

2496819

32 =

=

=

41.066

57615

649

32 ==+= 132

Calcolo delle prime due iterate:

( ) ( ) ( )kk UxbxLD += +1

( ) ( ) ( ) ( )kk UxLDbLDx 111 + +=

( ) ( ) fxBx kGSk +=+1

Per k = 0

( )

+

=

220

21

41

122

021

62

0031

000

125

610

61

310

32

320

1x

( )

=

2310

1x

Per k = 1

( )

+

=

220

21

41

122

021

62

0031

2310

125

610

61

310

32

320

2x

( )

+

+

+

=

2310

23

125

61

23

61

31

623

32

2x

( )

=

+

+

+

=

2447

1219

62

2310

85

61

41

31

22

32

2x

( )

=

2447

1219

62

2x

Secondo metodo per il calcolo delle prime due iterate: ( ) ( ) ( )kk UxbxLD += +1 ( ) ( ) ( )kkk UxLxbDx ++= ++ 11

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )ikikiik UxLxbDx ++= ++ 11

( ) ( ) ( )+=

=

++=

n

ij

kjij

i

j

kjiji

kiii xaxabxa

1

1

1

11

( ) ( ) ( )

=

+=

=

++n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

ki xaxab

ax

1

1

1

11 1 i = 1, , n

Per k = 0 ( ) ( ) ( )

=

+=

=

n

ijjij

i

jjiji

iii xaxab

ax

1

01

1

11 1 i = 1, 2, 3

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 01111

10313

02121

11

3

2

011

11

11 ===

=

=a

bxaxab

axab

ax

jjj

( ) ( ) ( )[ ] [ ] 1022211 0

3231

121222

12 =+== xaxab

ax

( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]231022

2111 1

2321

131333

2

1

133

33

1\3 =+==

=

=

xaxaba

xaba

xj

jj

Per k = 1 ( ) ( ) ( )

=

+=

=

n

ijjij

i

jjiji

iii xaxab

ax

1

11

1

22 1 i = 1, 2, 3

( ) ( ) ( ) ( )[ ]62

23220

3111 1

3131

212111

3

2

111

11

21 =

+==

=

=

xaxaba

xaba

xj

jj

( ) ( ) ( )[ ]1219

231

6222

211 1

3232

121222

22 =

+

+== xaxab

ax

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2447

12191

6222

2111 2

2322

131333

2

1

233

33

2\3 =

+

==

=

=

xaxaba

xaba

xj

jj