Esempio: distribuzione di frequenze

Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell’a.a. 2001/2002 per Num. Corsi Frequentati

36,3283

952

283

)27()86()325()804()1033()432()151(

M

283n 7K

Num. Corsi

Freq.n i

1 15

2 43

3 103

4 80

5 32

6 8

7 2

Totale 283

x i n i

1*15=15

2*43=86

3*103=309

4*80=320

5*32=160

6*8=48

7*2=14

952�= �� � = + + + + + + =

� = σ�=7 �� �= = ,Pagina 90

Pagina 91

Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell’a.a. 2001/2002 per Voto di Maturità

40n 24K

Voto

Maturitàn i

60 1

62 2

66 1

67 3

68 2

70 2

71 2

72 1

73 2

74 1

75 2

76 1

79 1

80 1

81 1

82 1

83 1

86 1

87 1

90 2

92 3

93 2

94 1

100 5

Totale 40

x i n i

60

124

66

201

136

140

142

72

146

74

150

76

79

80

81

82

83

86

87

180

276

186

94

500

3201

� = σ�= �� �= = ,�= �� � =

Esempio: distribuzione di frequenze

Pagina 92

Proprietà della media aritmetica E’ espressa nella stessa unità di misura dei dati perché è il risultato

di una operazione matematica; può non essere una modalità numerica della variabile realmente osservata nel collettivo in esame

E’ sempre compresa tra la modalità minima e la modalità massima del carattere

La somma delle differenze tra le modalità del carattere per ciascuna unità statistica e la media aritmetica è uguale a 0

�= �� −� = u.s. Voto Maturità (x i -M)

1 98 17,2

2 100 19,2

3 70 -10,8

4 72 -8,8

5 70 -10,8

6 100 19,2

7 85 4,2

8 65 -15,8

9 60 -20,8

19 88 7,2

0,0

M=80,8σ�= �� −� =(98-80,8)+(100-80,8)+(70- , +…+ -80,8)=

=17,2+19,2-10,8-8,8-10,8+19,2+4,2-15,8-20,8+7,2=0

Pagina 93

Proprietà associativa della media aritmetica

Voto

Maturitàn i

67 2

68 3

72 2

75 2

76 1

80 1

83 1

87 1

90 1

100 2

Totale 16

x i n i

134

204

144

150

76

80

83

87

90

200

1248

Voto

Maturitàn i

60 1

62 2

66 1

67 1

68 1

70 2

71 2

73 2

74 1

75 1

79 1

81 1

82 1

86 2

90 3

92 3

93 2

94 2

100 3

Totale 32

x i n i

60

124

66

67

68

140

142

146

74

75

79

81

82

172

270

276

186

188

300

2596

Maschi Femmine

� � = σ�=9 �� �� = = ,12� ���ℎ� = σ�= �� ����ℎ� = = ,

� ���ℎ� +� � = , + , = , � � � = σ�=9 �� �= = ,08���� = � ���ℎ� ���ℎ�+� � � = + =80,08

Pagina 94

…segue proprietà associativa della media aritmetica

La media di un collettivo è la media aritmetica delle medie dei sottogruppi in cui si può ripartire il collettivo stesso ponderata per le numerosità dei sottogruppi

Gruppo 1 2 3 h L

Medie M1 M2 M3 Mh ML

Numerosità n1 n2 n3 nh nL

n

nM

M

L

h

hh 1

L

h

hnn1

con

Pagina 95

Distribuzione di una variabile divisa in classi

Voto Laurea ni

[87-98] 18

(98-102] 27

(102-105] 25

(105-109] 35

(109-111] 25

Totale 130

Distribuzione di laureati di SDC nell’a.a. 2003/2004 per Voto di Laurea

Car. X n i

(x 0, x 1] n 1

(x 1, x 2] n 2

… …(x i -1, x i ] n i

… …(x K -1, x K ] n K

Totale n

Pagina 96

Distribuzione di una variabile divisa in classi : classe Modale

Se il carattere è una variabile divisa in classi

Classe modale: classe di modalità a cui corrisponde la max densità media di frequenza

Densità media di frequenza di per la classe di modalità (xi-1, xi): è il rapporto tra la frequenza assoluta e l’ampiezza della classe calcolata come

di = estremo sup - estremo inf = xi - xi-1

Pagina 97

Esempio: classe modaleVoto Laurea n

i

[87-98] 18

(98-102] 27

(102-105] 25

(105-109] 35

(109-111] 25

Totale 130

ai

11

4

3

4

2

di

1,64

6,75

8,33

8,75

12,50

Distribuzione di laureati di SDC nell’a.a. 2003/2004 per Voto di Laurea

Qual è la classe modale?

La classe modale è “(109-111]”

VotoLaurea ni

[87-98] 18

(98-102] 27

(102-105] 25

(105-109] 35

(109-111] 25

Totale 130

Pagina 98

Distribuzione semplice di frequenze assolute del carattere X raggruppato in classi

Valori

centrali

c 1

c 2

…c i

…c K

� = + +⋯+ � � +⋯+ � �= σ�=� � �

� = ��− + ��Variabile divisa in classi: media aritmetica

Car. X n i

(x 0, x 1] n 1

(x 1, x 2] n 2

… …(x i -1, x i ] n i

… …(x K -1, x K ] n K

Totale n

Pagina 99

Esempio

Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell’a.a. 2001/2002 per Voto di Maturità

283n 5K

Voto

Maturitàn i

[60-70] 72

(70-80] 78

(80-90] 65

(90-95] 18

(95-100] 50

Totale 283

c i

65,0

75,0

85,0

92,5

97,5

c i n i

4680

5850

5525

1665

4875

22595

652

70601

c1i� = ��− + ��

� = σ�= �� �= = ,�= � � = + + + + =

Pagina 100

Rappresentazione grafica della distribuzione di una variabile quantitativa : istogrammi

Ogni barra corrisponde ad una classe di valori della variabile

Nell’esempio, le basi delle barre hanno uguale ampiezza come le classi di valori e l’altezza è proporzionale alla frequenza di ogni classe di valori

Per classi di ampiezza diversa la base di ciascuna barra dovrebbe essere proporzionale all’ampiezza della classe

La somma delle aree di tutti i rettangoli è uguale alla frequenza totale del carattere

Anche l’asse delle ascisse è graduato

101

IstogrammaDistribuzione di frequenza di caratteri quantitativi, in particolare variabili continue raggruppate in classi

Consiste nel riportare tanti rettangoli contigui quante sono le classi

Il rettangolo associato ad una generica classe ha

base uguale (o proporzionale) all’ampiezza della classe corrispondente

area totale uguale o proporzionale alla frequenza (assoluta o relativa o percentuale) corrispondente

102

Costruzione di un istogrammaLe classi di modalità possono avere ampiezza differente

Si consideri la generica i-esima classe (xi-1 , xi): il rettangolo che rappresenta tale classe ha

Base = ampiezza della classe

o o

Altezza = densità media di frequenza

Area = frequenza (ni o fi o pi)

� = ��� � = ��� � = ���� = �� − ��−

103

Esempio

La classe “60 e oltre” èstata chiusa a 80

Classe di età n j f j p j a j d j

30-39

[30 , 40)6 0.30 30 10 0.60

40 - 49

[40 , 49]3 0.15 15 9 0.33

50 - 59

(49 , 59]7 0.35 35 10 0.70

60 ed oltre

(59, 80]4 0.20 20 21 0.19

Totale 20 1.00 100

Pagina 104

Punti deboli della media aritmetica

Robustezza: sensibilità ai valori estremi

Rappresentatività nei confronti di distribuzioni asimmetriche

La media aritmetica è un valore rappresentativo nei confronti di distribuzioni simmetriche che sono speculari rispetto ad un asse verticale

OK

105

Esempio

Classi n i f i N i c i c i n i

(0,100] 143,0 0,281 143,0 50 7150

(100, 200] 120,0 0,236 263,0 150 18000

(200,300] 57,0 0,112 320,0 250 14250

(300,400] 48,0 0,094 368,0 350 16800

(400,500] 22,0 0,043 390,0 450 9900

(500, 600] 12,4 0,024 402,4 550 6820

(600, 700] 12,4 0,024 414,8 650 8060

(700, 800] 12,4 0,024 427,2 750 9300

(800, 900] 12,4 0,024 439,6 850 10540

(900, 1000] 12,4 0,024 452,0 950 11780

(1000, 1100] 11,4 0,022 463,4 1050 11970

(1100, 1200] 11,4 0,022 474,8 1150 13110

(1200, 1300] 11,4 0,022 486,2 1250 14250

(1300, 1400] 11,4 0,022 497,6 1350 15390

(1400, 1500] 11,4 0,022 509,0 1450 16530

509,0 1,000 183850� = σ�= �� �= = ,

Distribuzione dei titolari di una carta di fedeltà per classi di spesa (euro)

Me= 193,33

106

Istogramma di frequenze relative: classi di uguale ampiezza (100 euro)

2,361M

33,193Me

Pagina 107

La media aritmetica non è rappresentativa di distribuzioni asimmetriche

Pagina 108

Variabilità o DispersioneDefinizione

Attitudine di un fenomeno ad assumere diverse modalità

Pagina 109

Le medie non bastano … Esempio: caratteri quantitativi

Condominio Au.s.

Numero televisori

u1 8

u2 8

u3 8

u4 8

u5 8

Me=M=8

Condominio Bu.s.

Numero televisori

u1 3

u2 5

u3 8

u4 10

u5 14

Me=M=8

Le due distribuzioni hanno medie uguali ma la tendenza delle unità statistiche ad assumere valori diversi dalla media aritmetica è diversa nei due collettivi

La variabilità La variabilità o la mutabilità di una distribuzione esprime la

tendenza dei caratteri o dei fenomeni ad assumere differenti valori o determinazioni

Requisiti di un indice di variabilità:

assume valore minimo se tutte le unità presentano uguale modalità del carattere

positivo se c’è variabilità o dispersione aumenta all’aumentare della diversità tra modalità

Attenzione

ogni indice di variabilità esprime un concetto diverso pertanto non è corretto confrontare la variabilità

ottenuta con indici diversi

Pagina 110

La variabilità

Pagina 111

Indici di variabilità e dispersioneIndici di variabilità

La variabilità si misura considerando tutte le differenze tra le modalità della distribuzione presentate dalle u.s. prese due a due Differenze Medie

Indici di dispersione

La dispersione si misura con gli scarti tra le modalità presentate dalle u.s. e un indice di dimensione della distribuzione (M o Me)

Varianza

Scostamento (scarto) quadratico medio

Pagina 112

U.S. Temperatura

Minima

A 9

B -2

C 4

D -3

E -2

F 0

G 6

H 4

I -4

J 9

(xi - M)

6,9

-4,1

1,9

-5,1

-4,1

-2,1

3,9

1,9

-6,1

6,9

(xi - M)2

47,61

16,81

3,61

26,01

16,81

4,41

15,21

3,61

37,21

47,61

218,90

10n

679,489,21 Varianza

Esempio: calcolo della varianza

� = σ�= ��= = ,����� �� = � = σ�= ��−� =

, = ,Devianza

Pagina 113

Esempio: calcolo della varianza per distribuzioni di frequenza

Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell’a.a. 2001/2002 per Num. Corsi Frequentati

283n 7K

Num.

Corsi

Freq.

n i

1 15

2 43

3 103

4 80

5 32

6 8

7 2

Totale 283

x i n i

15

86

309

320

160

48

14

952

(x i -M )2

5,57

1,85

0,13

0,41

2,69

6,97

13,25

(x i -M )2n i

83,55

79,55

13,39

32,80

86,08

55,76

26,50

377,63

15,133,12

� = σ�=7 �� �= = ,� = σ�=7 ��−� �

=, =1,33

Devianza

Pagina 114

Scarto quadratico medio e varianzaDistribuzione unitaria

Scostamento quadratico medio (deviazione standard)

Varianza (non ha la stessa unità di misura del carattere)

Devianza

n

MxMxMx n

22

2

2

1

n

MxMxMx n

22

2

2

12

22

2

2

1 MxMxMxDevianza n

n

nMxnMxnMx KKii22

12

1

n

nMxnMxnMx KKii

22

1

2

12

KKii nMxnMxnMxDevianza22

1

2

1

Distribuzione semplice di frequenze

Scostamento quadratico medio (deviazione standard)

Varianza (non ha la stessa unità di misura del carattere)

Devianza