ESEMPIO DI PROGETTAZIONE DI UN EDIFICIO … OrdingPZ3.pdf · •Progettazione di un edificio in...

Ordinanza del Presidente del Consiglio Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri ndei Ministri n°° 3274 del 20 marzo 2003 3274 del 20 marzo 2003 ““Primi elementi in materia di criteri generali per la classificazPrimi elementi in materia di criteri generali per la classificazione sismica del ione sismica del territorio nazionale e di normative tecniche per le costruzioni territorio nazionale e di normative tecniche per le costruzioni in zona sismicain zona sismica””

Giuseppe SANTARSIERODottore di Ricerca in Ingegneria Strutturale, DiSGG - Università della Basilicata.

ESEMPIO DI PROGETTAZIONE DI UN ESEMPIO DI PROGETTAZIONE DI UN EDIFICIO INTELAIATO IN C.A. IN EDIFICIO INTELAIATO IN C.A. IN

CLASSE DI DUTTILITACLASSE DI DUTTILITA’’ ““BB””Tratto dalla Collana di Manuali per la Progettazione secondo le Tratto dalla Collana di Manuali per la Progettazione secondo le Norme Norme

tecniche per le costruzioni in zona sismica di cui alltecniche per le costruzioni in zona sismica di cui all’’Ordinanza 3274/03Ordinanza 3274/03

Volume 2 Volume 2 ““Edifici con struttura in cemento armato in zona sismicaEdifici con struttura in cemento armato in zona sismica””

•Progettazione di un edificio in c.a. a 4 piani

•Zona sismica 1Conoscenza del Comune in cui è ubicato l’edificio da progettare per risalire alla categoria di appartenenza (Ord. N.3274/03 “Criteri per l’individuazione delle zone sismiche – individuazione, formazione e aggiornamento degli elenchi nelle medesime zone)

•Suolo di classe C

•Classe di duttilità BASSA (CD “B”)

Indicativo ISTAT

Denominazione Regione Categoria decreti 1984

Categoria Proposta

1998

Zona ai sensi dell’ordinanza

3274 …………. …………. …………. …………. …………. …………. 17076062 PIGNOLA BASILICATA II I I 17076063 POTENZA BASILICATA II I I 17076064 RAPOLLA BASILICATA I I I

Suolo caratterizzato da velocità media di propagazione entro 30m di profonditàdelle onde di taglio VS30 compresi tra 180 e 360 m/s (depositi di sabbie e ghiaie mediamente addensate o argille di media consistenza, ovvero resistenza penetrometrica 15<NSPT<50, o con coesione drenata 70<CU<250 kPA

NORME DI RIFERIMENTO

D.M. 9 gennaio 1996: “Norme per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche”

Nel D.M 16 gennaio 96: Norme tecniche relative ai “Criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”

Ordinanza del P.C.M N3274/2003: “Primi elementi in materia di criteri generali per la classificazione sismica del territorio nazionale e normative tecniche per le costruzioni in zona sismica”.

PROGETTO ARCHITETTONICO

• Criteri di Regolarità – Par.4.3.1

• Distribuzione pilastri ~ 50% con asse forte in direzione X~ 50% con asse forte in direzione YIn modo da centrifugare al massimo le rigidezze perimetrali ed avere rigidezze globali confrontabili nelle due direzioni in pianta

X

Y

PROGETTO ARCHITETTONICO

• È possibile in questo caso (Bassa Duttilità) disporre travi a spessore che sono penalizzanti dal punto di vista sia della duttilità, sia della possibilità di punzonamento

• A parità di momenti flettenti agenti le travi a spessore risultano quasi sempre fortemente armate e questo ne limita la capacità duttile (rotazione plastiche minori)

Carpenteria I e II impalcato

VISTA 3D

DEL TELAIO

•Struttura simmetrica in pianta rispetto ad Y

•Asimmetrica rispetto ad X

• 4 piani

• Vano scala

• 24 pilastri

• 4 telai dir. X

• 6 telai dir. Y

Caratteristiche dei materiali (Punto 5.2)

MATERIALI e RESISTENZE DI CALCOLO

•Calcestruzzo Rck=25 N/mm2

•Acciaio in barre FeB44kResistenza di calcolo CLS

Modulo elastico CLS

Resistenza di calcolo ACCIAIO

Resistenze di calcolo (D.M. 9 gennaio 1996)

AZIONE SISMICA - SPETTRO ELASTICO

Accelerazione orizzontale massima Terreno di fondazione

550510 .ξ)/(η ≥+=ConCon

Tale valore di ag costituisce l’accelerazione su suolo rigido che, nella zona considerata, ha periodo di ritorno 475 anni oppure probabilitàdel 10% di essere superata in 50 anni.

ξ=5%

AZIONE SISMICA - SPETTRO ELASTICO

Spettro di risposta elastico

TTBB TTCC TTDD

AZIONE SISMICA - SPETTRO DI PROGETTO (SLU)

Punto 5.3.1 – Tipologie strutturali• strutture a telaio,• strutture a pareti,• strutture miste telaio-pareti,• strutture a nucleo,

q = qo KD KR

qo= 4.5 αu /α1

αu /α1=1.3telaio a più piani e più campate

Punto 5.3.2 CD “B”

=> KD=0.7

Punto 4.3.1 Struttura non regolare in elevazione => KR=0.8

q = 4.5 x 1.3 x 0.7 x0.8=3.28

Nel caso CD”A” si aveva q=5.85

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

0 1 2 3 4 5 6

T(sec)

Sa(g

)Spettro elastico SLU

Spettro di progetto CD-B q=3.28

Spettro di progetto CD-A q=5.85

CONFRONTO TRA LO SPETTRO ELASTICO E LO SPETTRO DI PROGETTO (SLU)

•Zona sismica 1


•Classe di duttilità

•Non regolaritàin elevazione

•q=3.28

DIFFERENZE PRATICHE TRA LA PROGETTAZIONE IN CD”A” ED IN CD”B”

CD”A”

Azioni sismiche più basse poiché il coefficiente di struttura “q” è piùelevato

CD”B”

Azioni sismiche più elevate poiché il coefficiente di struttura “q” è piùbasso

In CD”A” solo l’armatura longitudinale nelle travi beneficia della riduzione di azioni: il taglio delle travi, i momenti ed i tagli dei pilastri vengono maggiorati per soddisfare la gerarchia delle resistenze

In CD”B” sebbene le azioni sismiche siano maggiori i costi di costruzioni risultano

certamente inferiori con notevoli risparmi di acciaio non dovendo soddisfare la gerarchia

delle resistenze

1. Flessione travi analisi globale

2. Taglio travi gerarchia flessione travi

3. Flessione pilastri gerarchia flessione travi

4. Taglio pilastri gerarchia flessione pilastri


Duttilità di sezione a parità di momento ultimo(circa 160 KNm)

h = 22cm

b=115cm

Af=8φ22

A’f=4φ16

b=40cm

h = 60cm

Af=4φ16

A’f=2φ12

Trave 40x60Duttilità di sezione µ=4= χu1// χy1

Trave 115x22Duttilità di sezione µ = 1.66 =χu2// χy2

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12 14

χ (x1000)

M(k

Nm

)

Trave 40x60Trave 115x22

χy1 χu1χy2 χu2

Assenza delle travi a spessore nelle strutture in CD”A”

LA PROGETTAZIONE IN CD”A” E’CONCETTUALMENTE MIGLIORE POICHÈPERMETTE UN COMPORTAMENTO MAGGIORMENTE DISSIPATIVO IN CONDIZIONI SISMICHE MA NON SERVE AD OTTIMIZZARE I COSTI DI COSTRUZIONE


AZIONE SISMICA - SPETTRO DI PROGETTO (SLD)

Lo Spettro di progetto agli SLD si ottiene dallo spettro elastico abbattuto secondo un coefficiente 2.5

Riferimento ad eventi sismici con probabilità di occorrenza piùelevata rispetto all’azione di progetto: 50% in 50 anni.

Periodo di ritorno Tr = 475 anni ==> Tr =95 anni

Sostituire

con co

nfronto

Sostituire

con co

nfronto

con sp

ettro elastic

o

con sp

ettro elastic

o

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4T(sec)

Sa(

g)

Spettro elastico / 2.5 (SLD)

Spettro elastico (SLU)Lo spettro allo SLD è lo stesso che si aveva nel caso CD “A”poiché il coefficiente q non entra in gioco

AZIONE SISMICA - SPETTRO DI PROGETTO (SLD)

Lo Spettro di progetto agli SLD si ottiene dallo spettro elastico abbattuto secondo un coefficiente 2.5

Riferimento ad eventi sismici con probabilità di occorrenza più elevata rispetto all’azione di progetto: 50% in 50 anni.

Periodo di ritorno Tr = 475 anni ==> Tr =72 anni

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

ElasticoSLDSLU

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ =

=

⋅+ ∑++=ni

iikikqkpkgd QQPGF

201 ψγγγ

Gk il valore caratteristico delle azioni permanenti;Pk il valore caratteristico delle azioni di precompressione;Q1k il valore caratteristico dell'azione variabile di base di ogni combinazione;Qki valori caratteristici delle azioni variabili tra loro indipendenti;ψ0i coefficiente di combinazione allo stato limite ultimo da determinarsi sulla base di

considerazioni statistiche.

COMBINAZIONI DI CARIRCO

kqkgd QGF ⋅+= γγ 5.14.1 ; == qg γγSolo carichi verticali

Combinazioni sismiche kkId QGEF j ⋅Ψ++= γ

EIγ Azione sismica di progetto; γI fattore di importanza della struttura (=1 per strutture ordinarie)

Circ. 4.7.96 n. 156 – Istruzioni per l’applicazione delle “Norme relative ai criteri generali per la verifica e Sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi” di cui al D.M. 16.01.96

Per SLU: ΨJ= Ψ2 = 0.30 (abitazioni e uffici); Ψ2 = 0.80 (scale)Per SLD: ΨJ= Ψ2 = 0.70 (abitazioni e uffici); Ψ2 = 1.00 (scale)

PREDIMENSIONAMENTO

• Sulla base di una valutazione di massima delle sollecitazioni si assegnano le dimensioni agli elementi strutturali. Si procede allo stesso modo per i pilastri e le travi emergenti

• Rispetto alle tradizionali modalità di predimensionamento dei telai in cemento armato, i pilastri devono essere sovradimensionati e le travi non devono risultare eccessivamente rigide:

rispetto della verifica a deformabilità per lo SLD

• Si effettua per ciascun pilastro una rastremazione della sezionetrasversale di 10 cm per piano

• Anche per le travi si consiglia di effettuare la rastremazione lì dove viene effettuata per i pilastri per tener conto delle minori sollecitazioni sismiche nei livelli superiori.

PREDIMENSIONAMENTO

• considerando una tensione di lavoro di circa 2.0-2.5 N/mm2 ==> 40 x 75per il primo livello

• Pilastri vano scale 40x40 (Diminuire l’effetto controvento delle scale)

• Rastremazione di 10 cm tra il II ed il III piano (40x65)

PILASTRI

TRAVI EMERGENTI

• 40 x 60 per il I livello

•Rastremazione 10 cm II,III, e al IV livello 40x50

40 x 5040 x 5040 x 5040 x 60Travi40 x 6540 x 6540 x 7540 x 75Pilastriliv. 4liv. 3liv. 2liv. 1

TRAVI A SPESSORE

115x22 per I e II livello105x22 per III e IV livello

Rispetto dei limiti geometrici riportati al punto 5.5.2.1La larghezza della trave non deve eccedere quella del pilastro aumentata da ciascun lato di metà dell’altezza del pilastro (Btrave≤Bcolonna+Hcolonna)

Hpil

Btrave

Hpil/2Hpil/2

La larghezza massima delle travi espressa dall’Ordinanza 3274 considera equivalenti le situazioni 1) e 2)

Hpil

Btrave

Hpil/2Hpil/21) 2)

Secondo l’EC8 la larghezza massima della trave è:Btrave≤ min {Bcolonna + Htrave; 2Bcolonna}

1) min {75 + 22; 160} = 97 cm

2) min {40 + 22; 80} = 62 cm

Si tende a garantire maggiormente l’effetto benefico dello sforzo normale nei pilastri sull’aderenza delle barre di armatura della trave ed a migliorare il trasferimento degli sforzi

INOLTRE:L'armatura superiore per il momento negativo alle estremità delle travi deve essere contenuta per almeno il 75% entro la larghezza dell'anima e comunque entro una fascia di soletta pari rispettivamente alla larghezza del pilastro, od alla larghezza del pilastro aumentata di 2 volte lo spessore della soletta da ciascun lato del pilastro, a seconda che nel nodo manchi o sia presente una trave ortogonale.

Btrave=75+40/2+40/2=40+75/2+75/2=115cm I e II livello

Btrave=65+40/2+40/2=40+65/2+65/2=105cm III e IV livello

ANALISI DEI CARICHI - Solai di calpestio (idem come per CD”A”)L’altezza del solaio viene valutata nel rispetto del D.M. 9 gennaio 1996H solaio > 1/25 Lmax Lmax=5.2m Hsolaio=20.8 cm ~22cm con soletta in cls di almeno 4 cm

Analisi dei carichi

Orditura

Carichi accidentali

Q=2.0 kN/m2

D.M. 16 gennaio ‘96

Balconi

Carichi accidentali Q=4.0 kN/m2

Scale

Tompagnature

Carichi accidentali Q=4.0 kN/m2Carichi accidentali Q=4.0 kN/m2

ANALISI DEI CARICHI

TRAVI EMERGENTIFascia piena

solaio

Aliquota solaio

PILASTRI

TRAVI A SPESSORE

CALCOLO DEI PESI SISMICI (SLU)

Par. 3.3

ϕ⋅Ψ=Ψ iEi 2

kik QGI

Ei ⋅Ψ+ ∑

Peso sismico SOLAI

Tabella 3.4 - Coefficienti i0ψ , i2ψ per varie destinazioni d'uso

Destinazione d'uso i0ψ i2ψ

Abitazioni, Uffici 0,70 0,30 Uffici aperti al pubblico, Scuole, Negozi, Autorimesse 0,70 0,60 Tetti e coperture con neve 0,70 0,20 Magazzini, Archivi, Scale 1,00 0,80 Vento 0,00 0,00

Tabella 3.5 - Coefficienti ϕ per edifici

Carichi ai piani ϕ Carichi indipendenti Copertura 1,0 Altri piani 0,5 Archivi 1,0 Carichi correlati ad alcuni piani Copertura 1,0 Piani con carichi correlati 0,8 Altri piani 0,5

Peso sismico BALCONI

Peso sismico SCALE

Peso sismico TOMPAGNI

interpianoH travi


Perimetro occupato dai pilastriPeso sismico TRAVI

Peso sismico TRAVI a GINOCCHIO

Peso sismico PILASTRI


PESI SISMICI D’IMPALCATO (SLU)

IMPALCATO 1

IMPALCATO 2

PESI SISMICI D’IMPALCATO (SLU)IMPALCATO 3

IMPALCATO 4

I pesi sismici sono pressoché identici al caso CD”A”

MASSE DI PIANO (SLU)

Giratore d’inerzia ρ calcolato supponendo la massa ad ogni piano spalmata uniformemente sulla superficie

Masse traslazionali M e rotazionali Ip di ogni impalcato

Baricentri: il calcolo viene effettuato rispetto a due assi (X’ ed Y’) con origine nel centro geometrico degli impalcati

•Per la simmetria rispetto ad Y si ha X’G=0

•Per il calcolo di Y’G è necessario calcolare i momenti statici delle masse (o dei pesi) rispetto all’asse X’

Sarà

CALCOLO BARICENTRI

∑∑

=i

X

G W

SY

''

Valori delle eccentricità del baricentro rispetto all’asse Y’

VERIFICA REGOLARITA’ IN PIANTA

La struttura si presenta sicuramente regolare in pianta in quanto sono rispettate lecondizioni enunciate al punto 4.3.1 – Regolarità.

Anche la distribuzione dei tamponamenti si presenta regolare, ai sensi di quanto riportato al punto 5.6.2 – Irregolarità provocate dai tamponature.

Conseguentemente, il modello della struttura in esame, può essere sia spaziale, che costituito da elementi resistenti piani, nelle due direzioni ortogonali (punto 4.4 – Modellazione della struttura ).

VERIFICA REGOLARITA’ IN ELEVAZIONE

L’edificio è stato considerato irregolare elevazione, e di questo se ne è tenuto conto incrementando le azioni sismiche utilizzando un coefficiente di struttura ridotto con KR=0.8 anziché pari ad 1

In pratica si tende a maggiorare la resistenza dell’edificio in modo che vi siano minori probabilità, durante l’azione sismica, che la struttura debba far ricorso alle risorse di duttilità che sono limitate, tra l’altro, dalla non regolarità in elevazione, condizione che può favorire lo sviluppo di meccanismi di piano(travi forti e colonne deboli) in quei piani in cui il rapporto tra resistenza effettiva e resistenza richiesta è cospicuamente più basso che in altri piani

ATTRIBUZIONE DEI CARICHI ALLE TRAVIAttribuzione dei carichi caratteristici (Fissi Gk e accidentali Qk) senza considerare i coefficienti di combinazione ( ed esclusi i pesi propri degli elementi)

Questa operazione deve essere effettuata per ognuno dei quattro impalcati di cui è costituito l’edificio

Sulle travi perimetrali non insistono carichi accidentali (presenza delle tamponature)

ATTRIBUZIONE DEI CARICHI ALLE TRAVI

Scale

MODELLAZIONE DELLA STRUTTURAPunto 4.4 – Modellazione della struttura

•Si adotta un modello di calcolo lineare

•Ipotesi di impalcato infinitamente rigido 3 gradi di libertà per ogni piano (2 traslazioni ed 1 rotazione)

•Eccentricità accidentale delle masse di piano spostando il baricentro di una distanza pari al 5% della dimensione dell’edificio in direzione ortogonale a quella considerata per il sisma

Si ottengono quattro diverse posizioni del centro di massa G

A’ e A’’

B’ e B’’

ANALISI DINAMICA MODALE (SLU)

“Dovranno essere considerati tutti i modi con massa partecipante superiore al 5%,oppure un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%”.

In questo caso sono stati considerati tutti i modi di vibrare (12 = 4 piani x 3gdl), pertanto risulta soddisfatto il requisito enunciato

Punto 4.5.3 – Analisi dinamica modale

1° modo di vibrare: Trasl. lungo X (T=0.548s)

Centro di massa posizionato in A’

2° modo di vibrare: Trasl. lungo Y (T=0.509s)

Non perfetta traslazione per effetto della asimmetria rispetto ad Y e dello spostamento del baricentro (da G ad A’’)

(CD”A” T1=0.511) M%X =84,1%; M%Y =0% M%X =0.0%; M%Y =86.2%

ANALISI DINAMICA MODALE (SLU)3° modo di vibrare: Torsione (T=0.433s) 4° modo di vibrare: Trasl. X (T=0.173s)

M%X =0%; M%Y =0.0% M%X =12.0%; M%Y =0.0%

5° modo di vibrare: Trasl. Y (T=0.165s)M%X =0.0%; M%Y =10.8%

6° modo di vibrare: Torsione (T=0.143s)M%X =0.0%; M%Y =0.0%

ANALISI DINAMICA MODALE (SLU)Proiezione sul piano XZ dei primi tre modi

1° modo di vibrare: Trasl. X (T=0.548s)M%X =84.1%; M%Y =0.0%



ANALISI DINAMICA MODALE (SLU)Punto 4.5.3 – Analisi dinamica modale

1° modo di vibrare: Trasl. lungo X (T=0.552s)Centro di massa posizionato in B’

2° modo di vibrare: Trasl. lungo Y (T=0.522s)M%X =79.2%; M%Y =2.7% M%X =4.2%; M%Y =73,6%

3° modo di vibrare: Torsione X (T=0.409s) 4° modo di vibrare: Trasl. lungo X (T=0.176s)M%X =0.9%; M%Y =9.9% M%X =9,7%; M%Y =1.2%


5° modo di vibrare: Trasl. Y (T=0.169s)M%X =1.9%; M%Y =8.5%

6° modo di vibrare: Torsione (T=0.138s)M%X =0,3%; M%Y =1.1%

Centro di massa posizionato in B’

ANALISI DINAMICA MODALE (SLU)Proiezione sul piano YZ dei primi tre modi

2° modo di vibrare: Trasl. Lungo Y (T=0.522s)M%X =4.2%; M%Y =73.6%

5° modo di vibrare: Trasl. Lungo X (T=0.169s)M%X =1.9%; M%Y =8.5%

8° modo di vibrare: Trasl. Lungo Y (T=0.089s)

M%X =1.0%; M%Y =1.6%

Centro di massa posizionato in B’(primi tre modi con massa

preponderante in dir Y)

ANALISI DINAMICA MODALE

sHT 513.013075.0075.0 43

43

1 =⋅=⋅=

Calcolo semplificato del periodo fondamentale di vibrazione dell’edificio

In pratica si ha perfetto accordo tra la formula approssimata e il risultato dell’analisi dinamica modale

T1X=0.548 s; T1Y=0.522 s

CONSIDERAZIONI SULLA RIGIDEZZAPunto 4.4 – Modellazione della struttura

Nel caso si fosse considerata fessurazione del cls “…la rigidezza flessionale e a taglio di elementi in cemento armato può essere assunta pari alla metà della rigidezza dei corrispondenti elementi non fessurati.”

KMT ⋅= π2

Se Kf = 0.5 K in cui Kf è la rigidezza in presenza di fessurazione ==>

TTf ⋅⋅= 2

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.450

0.500

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

T(sec)

(m/s

2 )

T=>TfCiò avrebbe comportato una

diminuzione di azioni sismiche ed un incremento di deformabilità

condizionante la verifica di deformabilità allo SLD

RIGIDEZZA ELEMENTI FESSURATICi sono metodi più accurati che consentono di tenere in conto gli effetti della fessurazione degli elementi strutturali sia dovuta alle azioni sismiche che ai carichi verticali.

Paulay e Priestley (1992), propongono di fare riferimento a momenti di inerzia equivalenti delle sezioni fessurate Jr, per mezzo di coefficienti di riduzione dei momenti di inerzia delle stesse sezioni integre Ji. Per le travi tali coefficienti dipendono dal tipo di sezione, per le colonne dal valore dello sforzo normale adimensionale

Progettare tenendo conto della fessurazione significa cautelarsi maggiormente rispetto allo SLD, rendendo più impegnativa la verifica degli spostamenti. Ciò comporta un possibile aumento delle sezioni dei pilastri, che a sua volta induce un incremento del costo iniziale, recuperabile per mezzo della minore danneggiabilità per eventi sismici frequenti ma poco intensi

CONSIDERAZIONI SULLA RIGIDEZZA

Maggiore è lo sforzo normale minore è la parzializzazzione della sezione

La fessur. Di travi a T o a L è più condizionante che per le travi rettangolari

COMBINAZIONE DEI MODIPunto 4.5.3 Analisi dinamica modale

E = (ΣEi2)1/2 SRSS (Square Route of the Sum of the

Squares) se il periodo di ogni modo differisce di almeno il 10% da tutti gli altri.

E = (ΣiΣj ρij Ei Ej)1/2 CQC (Complete Quadratic Combination)se il periodo di ogni modo differisce meno del 10% da tutti gli altri.

ρij= coefficiente di correlazione tra il modo i ed il modo jρij= f(ωi/ωj; ξ), con ξ smorzamento viscoso equivalente posto = 0.05

Nel caso specifico si è utilizzata la regola CQC poiché i periodi di vibrazione dei diversi modi differiscono di meno del 10%

E = effetto che si vuole considerare (es. momento flettente in una sezione della struttura);

Ei valore dell’effetto dovuto al modo i ;

Ej valore dell’effetto dovuto al modo j

Punto 4.6 – Combinazione delle componenti dell’azione sismica

COMBINAZIONI DI CARICO

È necessario considerare azioni sismiche agenti simultaneamente nelle due direzioni ortogonali (X e Y)Gli effetti delle azioni sismiche nelle due direzioni si possono combinare “…sommando ai massimi ottenuti per l’azione applicata in una direzione, il 30% dei massimi ottenuti per l’azione applicata nell’altra direzione”Le azioni sismiche lungo X ed Y possono essere accoppiate in 4 diversi modi scegliendo di volta in volta due punti di applicazione1) A’’ - B’ 2) A’’ - B’’3) A’ - B’ 4) A’ - B’’Per ogni coppia di punti di applicazione si hanno 8 combinazioni derivanti dal fatto di dover considerare sismi positivi e negativi una volta per intero ed una volta al 30%

Considerando A’ e B’ si ha: 1(Ex+0.3Ey); 2(Ex-0.3Ey); 3(-Ex+0.3Ey); 4(-Ex-0.3Ey)5(0.3Ex+Ey); 6(0.3Ex-Ey); 7(-0.3Ex+Ey); 8(-0.3Ex-Ey)

In generale gli effetti dell’azione sismica è l’inviluppo di 4x8=32 combinazioni

A ciascuna combinazione vanno sommate le sollecitazioni dovute ai soli carichi verticali

TRAVATE E PILASTRATA DI PROGETTOSebbene sia necessario l’inviluppo di 32 combinazioni delle azioni sismiche per le travate e la pilastrata da progettare può dirsi a priori che le massime sollecitazioni si abbiano per effetto delle 8 combinazioni appena menzionate (baricentro in A’ e B’)

E1(Ex+0.3Ey) E2(Ex-0.3Ey) E3(-Ex+0.3Ey)E4(-Ex-0.3Ey)E5(0.3Ex+Ey) E6(0.3Ex-Ey) E7(-0.3Ex+Ey) E8(-0.3Ex-Ey)

kkiIdi QGEF ⋅Ψ++= 2γPunto 3.3 – Combinazione

dell’azione sismica con le altre azioni

Per lo SLU vale la seguente combinazione:

Trave a spessore (1011-1015) del primo livello (115x22)

COMBINAZIONE DELL’AZIONE SISMICA

CON LE ALTRE AZIONI (SLU)


kkiIdi QGEF ⋅Ψ++= 2γ

Punto 3.3 – Combinazione dell’azione sismica con le altre

azioniγI·Ei l’azione sismica per lo stato limite in esame, con γI=fattore di importanza;

Gk il valore caratteristico delle azioni permanenti;

Qk il valore caratteristico delle azioni accidentali;

Ψ2=0,30 per la destinazione d’uso di abitazioni e uffici;

Ψ2=0,80 per la destinazione d’uso di magazzini, archivi e scale;

γI =1,0 per edifici ordinari ( punto 4.7 – Fattori di importanza).

Ogni combinazione sismica va combinata a sua volta con le altre azioni (in questo caso i carichi verticali)

E1(Ex+0.3Ey)

E2(Ex-0.3Ey)

E3(-Ex+0.3Ey)

E4(-Ex-0.3Ey)

E5(0.3Ex+Ey)

E6(0.3Ex-Ey)

E7(-0.3Ex+Ey)

E8(-0.3Ex-Ey)

VERIFICA A FLESSIONE (SLU) TRAVATA 1001-1002-1003-1004-1005

Nel caso specifico Il valore del momento di calcolo in campata è sempre condizionato dalla combinazione dei soli carichi verticali

kkd QGF ⋅+= 5.14.1In base a questi valori dei momenti flettenti si dimensioneranno le armature longitudinali nelle travi

Combinazioni piùgravose

Punto 5.5.2.2 – Armature longitudinali

DIMENSIONAMENTO ARMATURE LONGITUDINALITRAVATA 1001-1002-1003-1004-1005

ykyk ff7',4.1

<< ρρ Percentuali di armatura tesa ρ e compressa ρ’ (fyk in N/mmq)

La travata ha dimensioni costanti 115x22, usando un acciaio FeB44k ==>

2minmin 23.8)2201150(430

4.1)(4.1 cmxhbf

AAyk

is =⋅=⋅==

Per rispettare alla lettera le indicazioni del punto 5.5.2.1, almeno il 75% dell’armatura longitudinale della trave a spessore deve essere all’interno della dimensione del pilastro, per usufruire dell’effetto benefico sull’aderenza della compressione, come richiamato nell’Eurocodice 8.

Oltre queste prescrizioni, l’armatura flessionale deve, naturalmente soddisfare le condizioni di resistenza ovvero i momenti ultimi calcolati in base alle armature effettivamente disposte devono essere maggiori o uguali dei momenti sollecitanti in ogni sezione. In ogni sezione vi sono inoltre momenti sia positivi che negativi e sarà necessario per questo determinare momenti ultimi sia positivi che negativi.

b

hAs

Ai

INVILUPPO SOLLECITAZIONI FLETTENTITRAVATA 1001-1002-1003-1004-1005

• Si osservi che l’armatura al bordo inferiore, oltre che dai minimi, risulta essere condizionata dalla disposizione di normativa secondo la quale in ciascuna estremità collegata con i pilastri, per un tratto pari a due volte l’altezza utile della sezione trasversale, la percentuale d’armatura compressa non deve essere minore della metà di quella tesa nella stessa sezione (punto 5.5.2.2 – Armature longitudinali).

• Si osservi che la forma del diagramma inviluppo dei momenti sollecitanti è condizionata, in alcuni tratti centrali di ciascuna campata, anche dall’andamento del diagramma flettente ottenuto dall’azione dei soli carichi verticali (1,4Gk + 1,5Qk).

DIMENSIONAMENTO ARMATURE LONGITUDINALITRAVATA 1011-1012-1013-1014-1015

DIMENSIONAMENTO ARMATURE TRASVERSALITRAVATA 1011-1012-1013-1014-1015

Questo passo va eseguito, in pratica, in base ai tagli che scaturiscono dalla analisi globale della struttura (in cd “A” si considerano i momenti resistenti)

Per le strutture a bassa duttilità non si garantisce la gerarchia tra i meccanismi di rottura a taglio e plasticizzazione per flessione.

Mu+A Mu+B

A B

Valori massimi e minimi del taglio di calcolo nelle travi a spessore

considerate. Si pone Vsdu=161kN

DIMENSIONAMENTO ARMATURE TRASVERSALITRAVATA 1011-1012-1013-1014-1015

La verifica a taglio deve essere eseguita come per le situazioni non sismiche ovvero sommando i contributi di resistenza del calcestruzzo Vcd e delle staffe Vwd.

Nota:per le strutture in CD”A” Vcd andava trascurato per evitare qualsiasi fenomeno di fragilità.

)cos(9.0 αα +⋅⋅= sens

dfAV ywdswwd

SDUwdcd VVV ≥+ cdV Contributo del calcestruzzo

wdV Contributo delle staffe

dbfV wctdcd ⋅⋅⋅= 6.0 fctd= restistenza a trazione di calcolo del calcestruzzo

bw = larghezza della sezione della trave

d = altezza utile della sezione della trave

D.M. 9-1-96

VERIFICA AL TAGLIO - DETTEGLI ARMATURE TRASVERSALI:

Il passo s delle staffe è condizionato dal punto Punto 5.5.2.3 – Armature trasversaliAlle estremità delle travi devono essere previste staffe di contenimento, per una lunghezza pari

a una volta l’altezza utile (18 cm) (per CD”A” 2 volte l’altezza utile) della sezione ad un passo non maggiore della più piccola delle seguenti grandezze:

1. - un quarto dell’altezza utile della sezione trasversale (18/4 = 5cm )

2. - 15 cm

3. - sei volte il diametro minimo delle barre longitudinali considerate ai fini delleverifiche (solo per CD”A”)

Pertanto si disporranno staffe a 4 braccia φ8mm con passo 50 mm.

Il taglio resistente che ne consegue è

kNVwd 24250

1809.015.1

4303.504 =⋅

⋅⋅⋅=Zone di estremità

Verifica soddisfatta

TRAVATA 1011-1012-1013-1014-1015

kNdbfV wctdcd 12418115016.06.0 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

kNVVV SDUwdcd 161124242 =>+=+

Nelle zone intermedie il passo non deve superare 0.8 volte l’altezza utile della sezione=0.8*18=14cm

Φ8/14 - 4 braccia

VERIFICA AL TAGLIO - DETTAGLI ARMATURE TRASVERSALI:TRAVATA 1011-1012-1013-1014-1015

kNVwd 87140

1809.015.1

430504 =⋅

⋅⋅⋅=

kNdbfV wctdcd 12418115016.06.0 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

kNVkNVV SDUwdcd 16121112487 =>=+=+

PILASTRATA: 1082 – 2082 – 3082 – 4082

Sebbene sussistano 32 possibili combinazioni sismiche, 8 sono le piùgravose e cioè quelle con Ex agente in A’ ed Ey agente B’

Considerata la simultaneità delle azioni sismiche lungo le due direzioni ortogonali X e Y, i pilastri dovranno essere verificati a pressoflessione deviata

Tali momenti Mx ed My sono ottenuti dalla combinazione modale CQC e questo restituisce valori privi di segno. Tale problema può essere agevolmente risolto assegnando alle sollecitazioni ottenute il segno che esse presentano nel primo modo di vibrare.

E1 (Ex+0.3Ey) E2 (Ex-0.3Ey) E3 (-Ex+0.3Ey) E4 (-Ex-0.3Ey)E5 (0.3Ex+Ey) E6 (0.3Ex-Ey) E7 (-0.3Ex+Ey) E8 (-0.3Ex-Ey)

My =>E1 (Ex+0.3Ey) E4 (-Ex-0.3Ey)

Mx =>E5 (0.3Ex+Ey) E8 (-0.3Ex-Ey)

PILASTRATA 1082 – 2082 – 3082 – 4082: Momenti flettenti I momenti flettenti di calcolo, da utilizzare per il dimensionamento dei pilastri, sono quelli ottenuti dall’analisi globale della struttura, tenuto conto delle combinazioni delle componenti dell’azione sismica (punto 4.6) e delle combinazioni delle azioni sismiche con le altre azioni (punto 3.3). non è necessaria alcuna amplificazione dei momenti non devendo soddisfare la gerarchia delle resistenze (CD”A”)

Sollecitazioni di verificaPILASTRATA 1082 – 2082 – 3082 – 4082

Terne Mx,My, N rispetto alle quali effettuare le verifiche a pressoflessione deviata alla Stato Limite Ultimo nelle sezioni di base e di testa di ogni colonna

Dominio Mx, My per N=-951kN relativo alla sezione di base del pilastro del piano terra

La verifica è soddisfatta

Si osservi che l’Eurocodice 8 consente, in maniera approssimata, di effettuare la verifica a flessione semplice riducendo la resistenza del 30%; in tal caso la sollecitazione My = -647 kNm andrebbe confrontata con il 70% della resistenza a flessione semplice e che risulta pari a -487 kNm. Dunque in questo caso la verifica semplificata non sarebbe soddisfatta. 0,7MRDx

0,7MRDy

N=526kN

%4%1 <<CA

APunto 5.5.2.2 – Armature longitudinali

2min 3001.07540 cmA =⋅⋅=

2min 2601.06540 cmA =⋅⋅=

Pilastri 1° e 2° livello 40x75

Pilastri 3° e 4° livello 40x65

Percentuale di armatura

DETTAGLI COSTRUTTIVIPILASTRATA 1082 – 2082 – 3082 –4082

D.M. 9 gennaio 1996 L’interasse tra le barre deve essere < di 25 cm

Si osservi che nel caso in esame dal progetto a presso-flessione deviata dei pilastri si evince che, tranne che per il primo livello, lungo tutta l’altezza della pilastrata l’armatura occorrente è sempre dettata dal rispetto dei minimi di normativa e non dalle sollecitazioni agenti.

VERIFICA A TAGLIO PILASTRATA 1082 – 2082 – 3082 –4082

Punto 5.4.2.1 Pilastri-Sollecitazioni di calcolo

Le sollecitazioni taglianti di calcolo sono quelle che si ottengono dall’analisi della struttura tenendo conto delle combinazioni delle azioni sismiche con le altre azioni (punto 3.3), e della combinazione delle azioni sismiche nelle diverse direzioni

Non si garantisce cioè la gerarchia tra la plasticizzazione per flessione e la rottura a taglio

Non si escludono quindi fenomeni fragili

V

V

lplpMMV Rp

sRp

i

RDSDU+

= γ

2.1=RDγ

Per le strutture in CD”A”,

Per le strutture in CD”B”

)cos(9.0 αα +⋅⋅= sens

dfAV ywdswwd

VVV wdcd ≥+cdV Contributo del calcestruzzo

wdV Contributo delle staffe

dbfV wctdcd ⋅⋅⋅= 6.0fctd= restistenza a trazione di calcolo del

calcestruzzo

bw = larghezza della sezione del pilastro

d = altezza utile della sezione del pilastro

Alle due estremità del pilastro si devono disporre staffe di contenimento e legature per una lunghezza pari al lato maggiore della sezione trasversale (75 cm) e ad un passo non maggiore della più piccola delle seguenti grandezze (punto 5.5.3.3 – Pilastri-Armature trasversali):

•¼ del lato minore della sezione trasversale del pilastro (40/4= 10 cm)

•15 cm•6 volte il diametro minimo delle barre longitudinali (solo per CD”A”)

Il passo delle staffe sarà pari quindi a s = 10cm

Dettagli costruttivi

VERIFICA A TAGLIO PILASTRATA 1082 – 2082 – 3082 –4082

D.M. 9/1/96 – situazioni non sismiche

VERIFICA A TAGLIO - Direzione XPILASTRATA 1068 – 2068 – 3068 – 4068

Le disposizioni del D.M. 9 gennaio 1996 prevedono una staffatura ad interasse non maggiore di 15 volte il diametro minimo delle barre longitudinali (15 x (φ14)=21 cm)

kNsensdfAV ywdswwd 239

1007109.0

15.1430502)cos(9.0

=⋅

⋅⋅⋅=+⋅⋅= αα

kNVSDU 194=

Verifica a taglio pilastro primo livello (zone di estremità)

kNdbfV wctdcd 17040071016.06.0 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=Taglio resistente CLS

Taglio resistente Acciaio


St φ8/20

Verifica a taglio pilastro primo livello (zone intermedie) staffe φ8/20

kNsens

dfAV ywdswwd 120200

7109.015.1

430502)cos(9.0=

⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅= αα

kNdbfV wctdcd 17040071016.06.0 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=


St φ8/10

St φ8/10

La verifica è soddisfatta anche in dir Y lungo la quale agisce un taglio massimo di 91kN

VERIFICA DEL NODONODO TRAVE-PILASTRO: Verifica di resistenza

Si definisce nodo la zona del pilastro che si incrocia con le travi ad esso concorrenti. Quando nelle quattro facce del nodo si innesta in tutte una trave si parla di nodo interamente confinato (punto 5.4.3.1 – Nodi trave pilastro-Definizioni). Per i nodi confinati la verifica di resistenza si assume automaticamente soddisfatta (punto 5.4.3.2 – Nodi trave pilastro-Verifiche di resistenza).

Non risulta per tanto necessario infittire le staffe lungo l’altezza del nodo. Verranno disposte staffe con lo stesso passo usato alle estremità dei pilastri (φ8/10)

VERIFICA DIAFRAMMI ORIZZONTALI

2.13.8 DIAFRAMMI ORIZZONTALI: Verifica di resistenza

La verifica di resistenza degli impalcati nel proprio piano verràpresentata nel caso in cui gli elementi resistenti alle azioni orizzontali sono pareti in cemento armato. Bisogna sottolineare che il soddisfacimento della verifica in tale caso implica il soddisfacimento della stessa anche per l’edificio ora calcolato: infatti, la presenza di poche pareti implica un’elevata concentrazione di sollecitazioni taglianti in poche sezioni dell’impalcato, sollecitazioni che, invece, sono meglio distribuite in sistemi caratterizzati da più telai.

VERIFICA STATO LIMITE DI DANNO

1. Azione sismica: spettro elastico diviso 2.5

2. Coefficienti combinazioni di carico

3. Pesi sismici

kikId QGEF i ⋅Ψ∑++= 0γ0.3) SLU ( uffici) (abitaz., 7.0 20 =Ψ=Ψ i

con

Cosa cambia rispetto allo SLU

)8.0 (SLU scale) ,(magazzini 0.1 20 =Ψ=Ψ i

ϕ⋅Ψ=Ψ iEi 0kik QGI

Ei ⋅Ψ+ ∑

Avendo riscontrato per la struttura in CD”A” differenze dell’ordine del 4%, Tra i pesi sismici allo SLU quelli allo SLD si opta per l’utilizzo degli stessi pesi sismici calcolati per lo SLU

CALCOLO E VERIFICA DEGLI SPOSTAMENTI (SLD)

Per l’azione sismica di progetto, dovrà essere verificato, che gli spostamenti strutturali, non producano danni (alle parti non strutturali) tali da rendere temporaneamente inagibile l’edificio. Questa condizione si potrà ritenere soddisfatta quando gli spostamenti interpiano (dr) ottenuti dall’analisi siano inferiori ai limiti indicati ( punto 4.11.2 – Stato limite di danno).

Nel caso specifico è di “ edifici con tamponamenti collegati rigidamente alla struttura e che interferiscono con la deformabilità della stessa”, deve risultare: in cui h è l’altezza dell’interpiano

005.0≤hdr

Per la determinazione dei massimi spostamenti interpianosi utilizzano le stesse regole usate per lo SLU, ovvero:

1. La combinazione degli effetti modali viene eseguita tramite CQC

2. Gli effetti delle azioni sismiche nelle direzioni X e Y vengono combinati sommando ai massimi in una direzione il 30% dei massimi nella direzione ortogonale

3. Per simulare la presenza di una eccentricità aggiuntiva, il centro di massa viene spostato in direzione ortogonale all’azione sismica di ±5% della dimensione corrispondente, individuando così 4 distinte posizioni del centro di massa

4. Gli spostamenti dovuti all’azione sismica verranno combinati con quelli derivanti dai carichi verticali secondo le combinazioni di cui al punto 3.3:

edificiodell' piani ...1impalcato nodi ...1

,max 1,

max

nimk

hdd

hd

i

ikikr

==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

= −

SPOSTAMENTI MASSIMINel caso in esame, essendo valida l’ipotesi di impalcato infinitamente rigido, i massimi spostamenti si verificheranno in corrispondenza dei telai esterni dell’edificio; conseguentemente, per la verifica allo SLD, si valuteranno i massimi spostamenti di interpiano in corrispondenza di 2 spigoli opposti della struttura (P1 e P2) nelle 2 direzioni ortogonali.In questo modo qualunque sia il verso della rotazione dell’impalcato, uno dei due nodi P1 e P2 vedrà massimizzato lo spostamento

SPOSTAMENTI MASSIMI

00414.0=MAX

r

hd 00412.0=

MAX

r

hd

00452.0=MAX

r

hd

00454.0=MAX

r

hd

Il rapporto tra spostamenti massimi ed altezza di interpiano nonsupera mai lo 0.5%, valore limite imposto dalla normativa

ESEMPIO DI PROGETTAZIONE DI UN ESEMPIO DI PROGETTAZIONE DI UN EDIFICIO IN STRUTTURA MISTA EDIFICIO IN STRUTTURA MISTA

TELAIO TELAIO –– PARETI IN C.A. PARETI IN C.A. Tratto dalla Collana di Manuali per la Progettazione secondo le Tratto dalla Collana di Manuali per la Progettazione secondo le Norme Norme

tecniche per le costruzioni in zona sismica di cui alltecniche per le costruzioni in zona sismica di cui all’’Ordinanza 3274/03Ordinanza 3274/03

Volume 2 Volume 2 ““Edifici con struttura in cemento armato in zona sismicaEdifici con struttura in cemento armato in zona sismica””

L’EDIFICIOL’edificio oggetto dell’esempio ha geometria simile agli esempi precedenti ma con delle

variazioni riguardanti gli elementi strutturali1. 16 pilastri tutti di dimensioni 30x30 le azioni orizzontali sono quasi interamente a

carico delle pareti2. 6 pareti in c.a. 3. 2 pareti lungo Y di lunghezza L=4,60 m , spessore 30 cm4. 4 pareti lungo X di lunghezza L=3,40 m , spessore 30 cm5. Si definiscono pareti quegli elementi portanti verticali per i quali il rapporto tra minima

e massima dimensione risulta < 0.3

AZIONE SISMICA - SPETTRO DI PROGETTO (SLU)

Punto 5.3.1 – Tipologie strutturali• strutture a telaio,• strutture a pareti,• strutture miste telaio-pareti,• strutture a nucleo,

q = qo KD KR

qo= 4.0 αu /α1

αu /α1=1.2edifici a pareti accoppiate o miste telaio-pareti

Punto 5.3.2 CD “A”

=> KD=1.0

Punto 4.3.1 Struttura non regolare in elevazione => KR=0.8

q = 4.0 x 1.2 x 1.0 x0.8=3.84

Nel caso CD”A” si aveva q=5.85

CONFRONTO TRA LO SPETTRO ELASTICO E LO SPETTRO DI PROGETTO (SLU)

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

0 1 2 3 4 5 6

T(sec)

Sa(g

)Spettro elastico SLU

Spettro di progetto CD-B q=3.28

Spettro di progetto CD-A q=5.85Spettro di progetto CD-A pareti-telaio q=3.84

•Zona sismica 1


•Classe di duttilitàalta

•Non regolaritàin elevazione

•q=3.84 (pareti-telaio)

MASSE DI PIANO (SLU)

Giratore d’inerzia ρ calcolato supponendo la massa ad ogni piano spalmata uniformemente sulla superficie

Masse traslazionali M e rotazionali Ip di ogni impalcato

Baricentri: il calcolo viene effettuato rispetto a due assi (X’ ed Y’) con origine nel centro geometrico degli impalcati

•Per la simmetria rispetto ad Y si ha X’G=0

•Per il calcolo di Y’G è necessario calcolare i momenti statici delle masse (o dei pesi) rispetto all’asse X’

Sarà

CALCOLO BARICENTRI

∑∑

=i

X

G W

SY

''

Valori delle eccentricità del baricentro rispetto all’asse Y’

VERIFICA REGOLARITA’ IN PIANTA

La struttura si presenta sicuramente regolare in pianta in quanto sono rispettate lecondizioni enunciate al punto 4.3.1 – Regolarità.

Anche la distribuzione dei tamponamenti si presenta regolare, ai sensi di quanto riportato al punto 5.6.2 – Irregolarità provocate dai tamponature.

Conseguentemente, il modello della struttura in esame, può essere sia spaziale, che costituito da elementi resistenti piani, nelle due direzioni ortogonali (punto 4.4 – Modellazione della struttura ).

La REGOLARITÀ IN ELEVAZIONE non viene verificata poiché si èscelto, nella definizione delle azioni sismiche, di considerare la struttura non regolare in elevazione

ATTRIBUZIONE DEI CARICHI ALLE TRAVIAttribuzione dei carichi caratteristici (Fissi Gk e accidentali Qk) senza considerare i coefficienti di combinazione (ed esclusi i pesi propri degli elementi), così come per i precedenti esempi di struttura a telaio

Questa operazione deve essere effettuata per ognuno dei quattro impalcati di cui è costituito l’edificio

Sulle travi perimetrali non insistono carichi accidentali (presenza delle tamponature)

MODELLAZIONE DELLA STRUTTURAPunto 4.4 – Modellazione della struttura

•Si adotta un modello di calcolo lineare

•Ipotesi di impalcato infinitamente rigido ==> 3 gradi di libertà per ogni piano (2 traslazioni ed 1 rotazione), salvo verificare la validità di tale ipotesi

•Eccentricità accidentale delle masse di piano spostando il baricentro di una distanza pari al 5% della dimensione dell’edificio in direzione ortogonale a quella considerata per il sisma

Si ottengono quattro diverse posizioni del centro di massa G

A’ e A’’

B’ e B’’

MODELLAZIONE DELLA STRUTTURA: PARETI

1. Si osservi che il modello delle pareti è stato realizzato utilizzando elementi di tipo “shell”(cioè piani) a quattro nodi.

2. Si è tenuto conto sia del comportamento tipo “lastra”, per azioni nel piano, che di quello tipo “piastra”, cioè ortogonale al piano dell’elemento.

3. Si è utilizzata la formulazione di Mindlin/Reissner (che tiene conto degli effetti della deformazione tagliante trasversale – piastra non sottile).


“Dovranno essere considerati tutti i modi con massa partecipante superiore al 5%, oppure un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%”.In questo caso sono stati considerati tutti i modi di vibrare (12 = 4 piani x 3gdl), pertanto risulta soddisfatto il requisito enunciato

Punto 4.5.3 – Analisi dinamica modale

1° modo di vibrare: Trasl. lungo X (T=0.313s)

Centro di massa posizionato in A’’

2° modo di vibrare: Trasl. lungo Y (T=0.283s)(Intelaiata CD”B” T1=0.548)M%X =0%; M%Y =76.4%

M%X =76.7%; M%Y =0%

Y

X

Negli esempi di strutture intelaiate il primo modo di vibrare era rappresentato da una traslazione in direzione X lungo la quale la struttura era quindi più deformabile.La presenza di 4 pareti disposte lungo X e 2 lungo Y fa si che la struttura sia più deformabile in questa direzione. In ogni caso la struttura è molto più rigida: T1 è passato da 0.548s a 0.313s

3° modo di vibrare: Torsione (T=0.200s)M%X =0.3%; M%Y =0%

Y

X

4° modo di vibrare: Torsione (T=0.073s)M%X =0%; M%Y =19.8%




ANALISI DINAMICA MODALE

sHT 342.01305.005.0 43

43

1 =⋅=⋅=

Calcolo semplificato del periodo fondamentale di vibrazione dell’edificio

In pratica si ha buon accordo tra la formula approssimata e il risultato dell’analisi dinamica modale

T1Y=0.313 s; T1X=0.283 s

COMBINAZIONE DEI MODIPunto 4.5.3 Analisi dinamica modale

E = (ΣEi2)1/2 SRSS (Square Route of the Sum of the

Squares) se il periodo di ogni modo differisce di almeno il 10% da tutti gli altri.

E = (ΣiΣj ρij Ei Ej)1/2 CQC (Complete Quadratic Combination)se il periodo di ogni modo differisce meno del 10% da tutti gli altri.

ρij= coefficiente di correlazione tra il modo i ed il modo jρij= f(ωi/ωj; ξ), con ξ smorzamento viscoso equivalente posto = 0.05

Nel caso specifico si è utilizzata la regola CQC poiché i periodi di vibrazione dei diversi modi differiscono di meno del 10%

E = effetto che si vuole considerare (es. momento flettente in una sezione della struttura);

Ei valore dell’effetto dovuto al modo i ;

Ej valore dell’effetto dovuto al modo j

Punto 4.6 – Combinazione delle componenti dell’azione sismica

COMBINAZIONI DI CARICO

È necessario considerare azioni sismiche agenti simultaneamente nelle due direzioni ortogonali (X e Y)Gli effetti delle azioni sismiche nelle due direzioni si possono combinare “…sommando ai massimi ottenuti per l’azione applicata in una direzione, il 30% dei massimi ottenuti per l’azione applicata nell’altra direzione”Le azioni sismiche lungo X ed Y possono essere accoppiate in 4 diversi modi scegliendo di volta in volta due punti di applicazione1) A’’ - B’ 2) A’’ - B’’3) A’ - B’ 4) A’ - B’’Per ogni coppia di punti di applicazione si hanno 8 combinazioni derivanti dal fatto di dover considerare sismi positivi e negativi una volta per intero ed una volta al 30%

Considerando A’ e B’ si ha: 1(Ex+0.3Ey); 2(Ex-0.3Ey); 3(-Ex+0.3Ey); 4(-Ex-0.3Ey)5(0.3Ex+Ey); 6(0.3Ex-Ey); 7(-0.3Ex+Ey); 8(-0.3Ex-Ey)

In generale gli effetti dell’azione sismica è l’inviluppo di 4x8=32 combinazioni

A ciascuna combinazione vanno sommate le sollecitazioni dovute ai soli carichi verticali

ELEMENTI DA PROGETTARESebbene sia necessario l’inviluppo di 32 combinazioni delle azioni sismiche per le travate e la pilastrata da progettare può dirsi a priori che le massime sollecitazioni si abbiano per effetto delle 8 combinazioni appena menzionate (baricentro in A’’ e B’’)


kkiIdi QGEF ⋅Ψ++= 2γPunto 3.3 – Combinazione

dell’azione sismica con le altre azioni

Per lo SLU vale la seguente combinazione:

1. Parete N.1 disposta lungo X

2. Ed una delle travi di collegamento tra le pareti 3 e 4

Trave di collegamento

PARETE 1 : VERIFICA A PRESSOFLESSIONE

Sforzo assiale normalizzato prodotto dai carichi di gravità

• NEd è lo sforzo normale nella parete relativo all’analisi con combinazione di carico sismica,

• Ac è l’area della sezione trasversale,

• fcd è la resistenza di calcolo del calcestruzzo.

Quindi bisogna verificare che in ogni sezione il momento resistente, associato al piùsfavorevole valore dello sforzo normale e calcolato come per le situazioni non sismiche, deve risultare superiore o uguale al momento flettente di calcolo (punto 5.4.5.2 – Verifiche di resistenza-flessione).

Gk+0.3Qk

PARETE 1 : VERIFICA A PRESSOFLESSIONEmomento flettente di calcolo

Il diagramma dei momenti di calcolo si ottiene linearizzando il diagramma dei momenti flettenti ottenuto dall’analisi congiungendone i punti estremi e, quindi, traslando verticalmente tale diagramma linearizzato per una distanza pari ad hcr(altezza della zona inelastica di base).

L’altezza hcr è data dal più grande dei seguenti valori:

- altezza (l=3.4 m) della sezione di base della parete

- 1/6 dell’altezza (H=13/6=2.16m) dell’edificio

- l’altezza del piano terra (4m).

(punto 5.4.5.1 –Sollecitazioni di calcolo-flessione).

hcr = l’altezza del piano terra (4m)

PARETE 1 : VERIFICA A PRESSOFLESSIONE

8 combinazioni (baricentro in A’’ e B’’)

Coppia M, N che condiziona la progettazione dell’armatura longitudinale32φ18+12φ12=95cm2

Momenti flettenti, resistenti ed armature

(KNm)

ARMATURE LONGITUDINALI

%4%25.0 << ρEssendo il rapporto altezza parete/lunghezza parete<4

•Le armature presenti sulle due facce devono essere collegate con legature in ragione di almeno nove ogni metro quadrato.•Il passo tra le barre deve essere non maggiore di 30 cm.•Il diametro delle barre deve essere non maggiore di un decimo dello spessore della parete.

Nel caso in esame, con una sezione 30 x 340, si ricava per l’armatura longitudinale alla base ρ = 0,93%, per quella a 9 metri ρ = 0,76%: tali armature, quindi, verificano i limiti.

Vale anche per l’armatura orizzontale

PARETE 1 : VERIFICA A TAGLIO

Sd

RdRd M

M⋅= γα 2.1=Rdγ

RdM

SdM

Momento resistente nella sezione di base

Momento che scaturisce dall’analisi

Per le strutture in CD “A”, al fine di escludere la formazione di meccanismi inelastici dovuti al taglio, il diagramma degli sforzi di taglio di calcolo si ottiene moltiplicando quello ottenuto dall’analisi per il fattore α dato da:

In pratica il diagramma del taglio va moltiplicato per il fattore α

45.1564868132.1 ==⋅=

Sd

RdRd M

Mγα


VERIFICA DELL’ANIMA A COMPRESSIONE

V<VRd2

zbffV cdck

Rd ⋅⋅⋅−⋅= 02 )2007.0(4.0

fck espresso in Mpa e non superiore a 40 Mpa

b0 è lo spessore dell’anima della parete (in mm)

z è il braccio delle forze interne, valutabile come: 0,8 l (in mm)

kNVRd 21411000/34008.030011)20083.0257.0(4.02 =⋅⋅⋅⋅⋅−⋅=

kNV 1303max =Essendo la verifica risulta soddisfatta

VERIFICA DEL MECCANISMO RESISTENTE A TRAZIONE

wdcdRd VVVV +=< 3

0=cdV

dbfV wctdcd ⋅⋅⋅= 6.0

All’interno della zona criticaSforzo normale di trazione

zV Rdcd ⋅+= 0)b0.4(1.2 ρτ Sforzo normale di compressione

Fuori dalla zona critica)cos(9.0 αα +⋅⋅= sen

sdfAV ywdswwd

VERIFICA DEL MECCANISMORESISTENTE A TRAZIONEAll’interno della zona critica staffe φ10/15

kNzV Rdcd 39234008.0300)93.04,02,1(28

25)b0.4(1.2

32

0 =⋅⋅⋅⋅+=⋅+= ρτ

kNsens

dfAV ywdswwd 1195150

33709.015.1

430792)cos(9.0=

⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅= αα

kNkNVVV wdcdRd 130315873 >=+= Verifica soddisfatta

Fuori dalla zona critica staffe φ10/30

kNsens

dfAV ywdswwd 597300

33709.015.1

430792)cos(9.0=

⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅= αα

kNdbfV wctdcd 607337030016.06.0 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

kNVVV wdcdRd 109712043 >=+= Verifica soddisfatta

L’area dell’armatura trasversale così trovata costituisce lo 0,2% di bh, essendo nel caso in esame b lo spessore della parete ed h l’altezza totale della stessa, valore che risulta essere inferiore al minimo imposto dalla normativa (pari allo 0,25%)

Tra I e II impalcato φ10/20; Tra II e III impalcato φ10/25;

φ10/20

φ10/25

φ10/30

φ10/15


PARETE 1 : VERIFICA A TAGLIOVERIFICA A SCORRIMENTO LUNGO PIANI ORIZZONTALIDeve essere verificata la condizione:

V<VRd,s=Vdd+Vfd

nella quale Vdd e Vfd rappresentano rispettivamente il contributo dell’effetto “spinotto” delle armature verticali e il contributo della resistenza per attritoe sono dati dalle espressioni:

Vdd =0.25 fyd ΣAsi

Vfd =0.25 fcd ξ l. bo

essendo ΣAsi la somma delle aree delle barre verticali intersecanti il piano e ξl l’altezza della parte compressa della sezione (punto 5.4.5.2 – Verifiche di resistenza -Taglio).

Sezione a 4 m(Tmax e Nmin)

Vdd = 0.25 · 374 · 9500 /1000=888kN

Vfd = 0.25 ·11 ·0.2 ·3370 ·300/1000=556kN

Pertanto Vrd,s= 1444>1303kN=Vmax.

Verifica è soddisfatta.

Sezione cambio diametro ferri long. (9 m)

Vdd = 0.25 · 374 · 7788/1000=728kN

Vfd = 0.25 ·11 ·0.19 ·3370 ·300/1000=528kN

Pertanto Vrd,s= 1256kN > 854kN =Vmax.

Verifica è soddisfatta.

Un'armatura trasversale orizzontale più fitta va disposta alla base della parete per un'altezza pari alla lunghezza in pianta (l) della parete stessa, in vicinanza dei due bordi per una lunghezza pari a 0,20 l su ciascun lato.In tali zone l'armatura trasversale deve essere costituita da tondini di diametro non inferiore a 8 mm, disposti in modo da fermare tutte le barre verticali con un passo non superiore a 10 volte il diametro della barra o a 25 cm.

PARETE 1 : DETTAGLI ARMATURA TRASVERSALE

I

0,20 l0,20 l

RADDOPPIO DELLE STAFFE GIA PRESENTI

TRAVE DI COLLEGAMENTO TRA LE PARETI 3 E 4

Il momento resistente calcolato come per le situazioni non sismiche deve essere maggiore del momento che scaturisce dal calcolo con le combinazioni di carico come al punto 3.3 e combinando le azioni sismiche nelle diverse direzioni come al punto 4.6

Le 8 combinazioni considerando i centri di massa in A’ e B’’

Momenti flettenti considerando la sola azione sismica

Punto 5.5.2.2 – Armature longitudinali

DIMENSIONAMENTO ARMATURE LONGITUDINALITRAVATA pareti 3 -4

ykyk ff7',4.1

<< ρρ Percentuali di armatura tesa ρ e compressa ρ’ (fyk in N/mmq)

La trave ha dimensioni costanti 30x65, usando un acciaio FeB44k

2minmin 35.6)650300(430

4.1)(4.1 cmxhbf

AAyk

is =⋅=⋅==

b

hAs

Ai

Come è stato fatto in precedenza, a vantaggio di sicurezza e per semplicità, nel calcolo del momento resistente della trave non è stata considerata l’armatura di parete.

DIMENSIONAMENTO ARMATURE LONGITUDINALITRAVATA pareti 3 -4

Si osservi che la forma del diagramma inviluppo dei momenti di calcolo ècondizionata,nella zona centrale della campata, anche dall’andamento del diagramma del momento dovuto all’azione dei soli carichi verticali (1,4Gk +1,5Qk).

TRAVE DI COLLEGAMENTO TRA LE PARETI 3 E 4TAGLIO

Per le strutture in CD “A”, al fine di escludere la formazione di meccanismi di rottura fragili dovuti al taglio, gli sforzi di taglio di calcolo si ottengono sommando il contributo dovuto ai carichi gravitazionali agenti sulla trave allo sforzo di taglio prodotto dai momenti resistenti delle sezioni di estremità, amplificati per il fattore γRd = 1,20.

I momenti resistenti di estremitàsono da calcolare sulla base delle armature a flessione effettivamente disposte e considerando due valori dello sforzo di taglio, massimo e minimo, assumendo rispettivamente la presenza e l’assenza dei carichi variabili e momenti di estremità con i due possibili segni

Mu+A Mu+B

A B

TRAVE DI COLLEGAMENTO TRA LE PARETI 3 E 4: TAGLIOschema 1 schema 2

schema 3 schema 4

Nei calcoli è stata considerata anche la combinazione dei soli carichi verticali, (1.4 Gk+1.5 Qk) non riportata in tabella perché meno gravosa

TRAVE DI COLLEGAMENTO TRA LE PARETI 3 E 4: VERFICA A TAGLIO

kNVkNsens

dfAV SDUywdswwd 25625880

6109.015.1

430502)cos(9.0=>=

⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅= αα

- ¼ dell’altezza utile della sezione trasversale della trave (61/4=15 cm)

- 15 cm

- 6 volte il diametro minimo delle armature longitudinali(6φ14=8.4cm)

Staffeφ8/8Si osservi che staffe φ 8 poste ad interasse di 8 cm sono necessarie anche nella restante parte della trave; infatti, l’inclinazione del diagramma del taglio è così bassa, a causa della piccola influenza che ha il carico distribuito (piccola luce), che a 122 cm dall’appoggio risulta Vsdu=233kN

sduwwRDR VkNdbRckdbV >=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= 55961030028

251028

10103

23

2

1 τÈ inoltre rispetta la condizione

Passo massimo delle staffe per una lunghezza pari a 2 volte l’altezza utile della sezione della trave

Nota: È stato possibile effettuare la verifica a taglio in maniera standard poiché il rapporto l/h tra luce ed altezza della trave è >3, la trave può considerarsi snella. Se cosi non fosse sarebbe stato necessario disporre armature ad X in grado di assorbire tutto il taglio

VERIFICA DI RESISTENZA DEI DIAFRAMMI ORIZZONTALIPer tutte le strutture deve essere verificato che i solai, intesi come diaframmi orizzontali, siano in grado di trasmettere nel loro piano ai diversi elementi da essi collegati le forze derivanti dall’analisi d’assieme dell’edificio, aumentate del 30% (punto 5.4.4.1 –Verifiche di resistenza).

Nel caso in esame, essendo gli impalcati uguali ad ogni piano ed avendo la forza sollecitante massima in sommità, si verifica l’impalcato dell’ultimo piano che risulta il piùsollecitato.

Si considera il sisma in dir Y che sollecita l’impalcato nel lato lungo

Le pareti assorbono circa il 95% del carico totale

La forza sollecitante totale dovuta all’azione sismica in direzione Y è di 955kN, che incrementata del 30%(punto 4.11.1.6), diventa 1240kNovvero circa 50kN/m

DIAFRAMMA ORIZZONTALE - VERIFICA A FLESSIONE

La sezione maggiormente sollecitata è quella di mezzeria (MS = ql2/8 = 3900 kNm).

Tale sezione è ridotta dalla presenza della scala (che ne riduce la lunghezza a 8,7 m) La sezione è spessa 4 cm ed è armata con una rete elettrosaldata φ 8/33’’.

Considerando la presenza di sole 3 travi 55 x 30vale a dire non portando in conto la presenza della trave esterna dal lato della cassa scale ed ipotizzando un’armatura aggiuntiva di parete pari a 2 φ18 e 2 φ16, il momento resistente risulta: MR = 5450kNm,

per cui la verifica èampiamente soddisfatta.

Sezione resistente di mezzeria

DIAFRAMMA ORIZZONTALE - VERIFICA A TAGLIO

La sezione maggiormente sollecitata è quella di attacco del solaio con la parete

La sezione che reagisce a taglio è costituita dalla parte di impalcato adiacente alla parete (soletta spessa 4 cm e lunga 4,6 m e due travi 55x30), e dal resto dell’impalcato (chiamato a coprire la deficienza di resistenza della zona adiacente alla parete).

Il valore del taglio sollecitante è pari al taglio massimo nelle pareti incrementato del 30% (punto 5.4.4.1 – Verifiche di resistenza): Ts=ql/2=50*25/2=624kN

Taglio soletta adiacente parete staffe a un braccio (φ8/33’’) (rete elettrosaldata)

Taglio travi adiacenti parete staffe a 2 braccia (φ8/25’’)

Ts=624kN>

DIAFRAMMA ORIZZONTALE- VERIFICA A TAGLIO

Ts-TR=624-482=142kN deve essere assorbita dalla rimanente parte di soletta e dalle due travi di bordo

Il taglio resistente di questi ulteriori elementi è pari in totale

T’R=702 kN>142kN

TRAZIONE NELLE TRAVI

La metà di tale sforzo (142/2 = 71kN) sarà di trazione per ognuna delle travi allineate con la parete e, pertanto, dovrà essere assorbito da apposite armature disposte in quelle travi che sono parallele alle pareti e ad esse collegate. Essendo fyd= 374N/mmq, c’è bisogno di un’armatura di 1,9 cmq, copribile con 2 φ16, che vanno aggiunte come armature di parete nelle travi di facciata.

CALCOLO E VERIFICA DEGLI SPOSTAMENTI (SLD)

Per l’azione sismica di progetto, dovrà essere verificato, che gli spostamenti strutturali, non producano danni (alle parti non strutturali) tali da rendere temporaneamente inagibile l’edificio. Questa condizione si potrà ritenere soddisfatta quando gli spostamenti interpiano (dr) ottenuti dall’analisi siano inferiori ai limiti indicati ( punto 4.11.2 – Stato limite di danno).

Nel caso specifico è di “ edifici con tamponamenti collegati rigidamente alla struttura e che interferiscono con la deformabilità della stessa”, deve risultare: in cui h è l’altezza dell’interpiano

005.0≤hdr

Per la determinazione dei massimi spostamenti interpianosi utilizzano le stesse regole usate per lo SLU, ovvero:

1. La combinazione degli effetti modali viene eseguita tramite CQC

2. Gli effetti delle azioni sismiche nelle direzioni X e Y vengono combinati sommando ai massimi in una direzione il 30% dei massimi nella direzione ortogonale

3. Per simulare la presenza di una eccentricità aggiuntiva, il centro di massa viene spostato in direzione ortogonale all’azione sismica di ±5% della dimensione corrispondente, individuando così 4 distinte posizioni del centro di massa

4. Gli spostamenti dovuti all’azione sismica verranno combinati con quelli derivanti dai carichi verticali secondo le combinazioni di cui al punto 3.3:

edificiodell' piani ...1impalcato nodi ...1

,max 1,

max

nimk

hdd

hd

i

ikikr

==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

= −

SPOSTAMENTI MASSIMINel caso in esame, essendo valida l’ipotesi di impalcato infinitamente rigido, i massimi spostamenti si verificheranno in corrispondenza dei telai esterni dell’edificio; conseguentemente, per la verifica allo SLD, si valuteranno i massimi spostamenti di interpiano in corrispondenza di 2 spigoli opposti della struttura (P1 e P2) nelle 2 direzioni ortogonali.In questo modo qualunque sia il verso della rotazione dell’impalcato, uno dei due nodi P1 e P2 vedrà massimizzato lo spostamento

I pesi sismici non sono stati ricalcolatisono gli stessi dello SLU

SPOSTAMENTI MASSIMI

)00414.0( 0016.0=MAX

r

hd

)00412.0( 0016.0=MAX

r

hd

)00452.0( 0015.0=MAX

r

hd

)00454.0( 0016.0=MAX

r

hd

Il rapporto tra spostamenti massimi ed altezza di interpiano non supera mai lo 0.5%, valore limite imposto dalla normativa (tra parentesi i valori relativi all’esempio di edificio intelaia a bassa duttilità)

Nota: i massimi spostamenti si registrano sempre per azione sismica al 100% lungo Y (vi sono meno pareti)

VERIFICA SODDISFATTA

ESEMPIO DI APPLICAZIONE DELLA ANALISI DINAMICA MODALE

EDIFICIO BIPIANO ASSIMILABILE AD UN SISTEMA A 2-GdL

1. Modello strutturale, matrici di massa e di rigidezza

m, EJt = ∞

m, EJt = ∞EJpEJp

EJpEJp

h

h

v1

v2

gv&&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

m00m

M

3p

hEJ12

k⋅

=

F,v

h = 4 m

m = 10 ton

K = 9000 kN/m

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

4k2k2k2k

K{ }21 vv=Tu

{ }11=Tr

Matrice delle masse

Vettore di trascinamento

Matrice delle rigidezze

Vettore dei GdL

1a. Determinazione matrice delle rigidezze

3p

hEJ12

k⋅

=

F,v


K22=4K

K12=-2K= K21

KK

kK

V1=0

v2=1

KK

kK

V1=1

v2=0 K21=-2K= K12

K11=2K

Determinazione diretta della matrice di rigidezza:il termine generico Kij è pari alla forza che nasce nel GdL j per effetto dell’imposizione di uno spostamento unitario nel GdL i, inoltre si ha Kij=Kji (la matrice delle rigidezze è simmetrica)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4k2k2k2k

kkkk

2221

1211K

Matrice delle rigidezze

1b. Equazione del moto in forma matriciale

gvMrKUUM &&&& −=+ oscillazioni libere 0=+ KUUM &&

Soluzione sinusoidale )sin( tU ωφ=

0)( 2 =− φω MK

La 4) AMMETTE SOLUZIONE NON NULLA 02 =− MK ω


φIn cui è la matrice delle forme modali

1) 2)

3)

Derivando due volte la 3) rispetto al tempo e sostituendola nella 2) si ottiene la 4) 4)

sec09.07.682T2 == π

sec24.01.262T1 == π

{ }0.619 1=T1φ

{ }1 0.619−=T2φ

Esempio:Analisi di un sistema a 2-GdL con spettro di risposta2. Calcolo autovalori e autovettori (frequenze proprie e forme modali)

0k4λmk6λmλm4k2k

2kλm2k 222 =⋅+⋅⋅⋅−⋅=−−

−−=⋅− MK λ

)mk(236.5 ),mk(763.0)mk()53( 21 ⋅=⋅=⇒⋅±= λλλ

rad/sec 1.26mk87.01 ⇒=⋅=ω

rad/sec 7.68mk29.22 ⇒=⋅=ω

0vk2v)k763.0k2( 21 Φ⇒=⋅−⋅−

0vk2v)k236.5k2( 21 ⇒=⋅−⋅−


3. Normalizzazione autovettori

{ } 383.1619.01

1001

619.01 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅⋅ 1

T1 φMφ

{ } 383.11619.0

1001

1619.0 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=⋅⋅ 2

T2 φMφ

1° modo

2° modo


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⋅=

526.085.0

619.01

383.11

619.011

1T1

1NφMφ

φ

Coefficienti di normalizzazione

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⋅⋅=

85.0526.0

1619.0

383.11

1619.01

22

2φMφ

φTN

Esempio:Analisi di un sistema a 2-GdL con spettro di risposta4. Coefficienti di partecipazione modale

{ } 376.111

1001

526.085.01 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅⋅= rMφT

1Nπ

{ } 323.011

1001

85.0526.02 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=⋅⋅= rMφT

2Nπ

tot22

21 M2 ⇔=+ππ


Esempio:Analisi di un sistema a 2-GdL con spettro di risposta5. Risposta massima modale

2A11 m/sec

12.689.9

Sπ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⋅⋅= 1Nmax1 φu&&

2A11 m/sec 58.8S sec24.0T =⇒=

2A22 m/sec 52.6S sec09.0T =⇒=

2A22 m/sec

79.11.1

Sπ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⋅⋅= 2Nmax2 φu&&

0123456789

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Periodo (sec)

Sa (m

/sec

2)

Spettro elastico NI(zona 1_suolo A)

PGA = 0.35g

ξ = 5%


Esempio:Analisi di un sistema a 2-GdL con spettro di risposta

6. Forze statiche equivalenti

kN 2.619.98

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⋅= max1

max1 uMf && kN

9.1711

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⋅= max2

max2 uMf &&

1° modo 2° modo

98.9

61.2 17.9

11


2max2b

2max1b

maxb )V()V(V +=

kN 3.160

2max2b

2max1b

maxb )M()M(M +=

kNm 036.11

Esempio:Analisi di un sistema a 2-GdL con spettro di risposta

7. Effetti (sollecitazioni, reazioni, ecc.) massimi

{ } kN 1.601 2.619.98

11V maxb1 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⋅= max1

T fr

{ } kN 9.6 9.17

1111V max

2b =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⋅=⋅= max2

T fr

=

SRSS

{ } kNm 1036 2.619.98

48M maxb1 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⋅= max1

T fH

{ } kNm 4.16 9.17

1148M max

2b −=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⋅=⋅= max2

T fH

=

SRSS


ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEL METODO DELL’ANALISI STATICA NON LINEARE (PUSHOVER)

Questo tipo di analisi può essere applicato per gli scopi e nei casi seguenti:

1. valutare i rapporti di sovraresistenza α1/αu di cui ai punti 5.3.2, 6.3.3 e 7.3.3;

2. verificare l’effettiva distribuzione della domanda inelastica negli edifici progettati con il fattore di riduzione q ;

3. come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione sostitutivo dei metodi di analisi lineari;

4. come metodo per la valutazione della capacità di edifici esistenti.

PREVEDE LA CONOSCENZA DELLE ARAMTURE LONGITUDINALI E QUINDI DELLE RESISTENZE FLESSIONALI

ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEL METODO PUSHOVER

Si disponga di una struttura già progetta in CD”A”utilizzando ad esempio il metodo dell’analisi dinamica lineare

Sono noti tutti i dettagli costruttivi

Ci si pone in questo caso come obiettivo controllare che la struttura sia verificata anche secondo il metodo dell’analisi statica non lineare

3

3

3

5

m=20.6 t

m=20.6 t

m=20.6 t

Passi da seguire:

1. Analisi modale e valutazione prima forma modale (normalizzata ad 1 in sommità) Φ

2. Applicazione di due sistemi di forze: uno proporzionale alle masse, ed uno proporzionale alle masse moltiplicate per la deformata del primo modo

3. Determinazione del legame tra taglio totale alla base e spostamento in sommità

4. Determinazione del comportamento di un sistema bilineare equivalente ad un grado di libertà

5. Determinazione risposta del sistema bilineare equivalente secondo lo spettro di normativa

6. Conversione di tale risposta nella risposta strutturale

7. Verifica di resistenza e duttilità facendo crescere le forze sino al raggiungimento di uno spostamento pari al 150% della risposta effettiva come in (6)

PASSO PRELIMINARE

Determinazioni dei legami momento-rotazione di travi e pilastri in base alle armature effettivamente disposte ed agli sforzi normali agenti (solo per i pilastri)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12 14

χ (x1000)

M(k

Nm

)

Trave 40x60Trave 115x22

rotazione

È necessario definire la lunghezza delle zone di plasticizzazione Lp in base una delle formulazioni disponibili in letteratura

Lp=0.08L+0.022φl x fyk

L lunghezza elementoφ diametro barre longitudinali

αΜ αΜΦ

PASSI 1 e 2 Analisi modale e valutazione prima forma modale (normalizzata ad 1 in sommità) Φ

determinazione delle masse di piano: supponiamo Mi=20,6 ton

Analisi modale forma normalizzata del primo modo di vibrare

Φ1= (Φ11 Φ21 Φ31)=(0.456, 0.812, 1)

1

F’= (F1 F2 F3)=(0.456x 20.6t, 0.812x 20.6t, 1x 20.6t)

Applicazione di due sistemi di forze: uno proporzionale alle masse, ed uno proporzionale alle masse per la deformata del primo modo

F= (F1 F2 F3)=(20.6t, 20.6t, 20.6t)

PASSI 3 e 4

Determinazione del legame tra taglio totale alla base e spostamento in sommitàe delle caratteristiche del sistema bilineare equivalenteTramite l’analisi statica non lineare della struttura sotto i sistemi di forze descritti di determina il legame tra taglio totale alla base e spostamento in sommità incrementando solo i carichi orizzontali

kNFF buy 194* =Γ= mk

Fd yy 0634.0*

** ==

K* =3064 Kn/m deriva dall’equivalenza delle aree

215.12 =ΦΣΦΣ

=Γii

ii

mm

KNFbu 230=

du=0.1m

PASSO 5 e 6 Determinazione risposta del sistema bilineare equivalente secondo lo spettro di normativa

skmT 767.02 *

** == π

Periodo di vibrazione del sistema bilineareequivalente

tmm ii 72.45* =ΦΣ=

Suolo “C” e zona sismica 2 Se(T*)=4.99m/s2

dmax= Se(T*)(T*2/2π)=0.074 m

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅Γ⋅Φ=

09.0073.0041.0

1deffdummdver =>== 1.0135.0)09.0%(150

Spostamenti effettivi della struttura

Spostamento di verifica della resistenza e duttilità

Lo spostamento di verifica e maggiore di quello ultimo determinato con analisi pushover in corrispondenza del quale la struttura si era trasformata in un maccamismo(collasso) la progettazione eseguita non ha superato la verifica tramite analisi statica non lineare

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