Esame PhD novembre 2007 2-corr1 -...

Rappresentazioni semiotiche:Rappresentazioni semiotiche:apprendimento, apprendimento, concettualizzazione concettualizzazione e e

sensosenso

George SantiGeorge Santi

Palermo, 21 novembre 2007Palermo, 21 novembre 2007

UniversitUniversitàà degli studi di Palermodegli studi di PalermoDottorato di Ricerca in Didattica della MatematicaDottorato di Ricerca in Didattica della Matematica

Direttore della tesi: Prof. Bruno DDirettore della tesi: Prof. Bruno D’’AmoreAmore

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Schema della presentazioneSchema della presentazione

• Rappresentazione semiotiche/natura e significato degli oggetti

matematici

• La teoria di Duval

• La teoria di Radford

• Problema di ricerca

• Domande

• Sperimentazione

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Significato degli oggetti matematiciSignificato degli oggetti matematici

Chevallard (1991) nell’ambito delle teorie pragmatiche del significato,

gli oggetti matematici sono:

«un emergente da un sistema di prassi dove sono manipolati oggetti

materiali che si scompongono in differenti registri semiotici: registro

orale, delle parole o delle espressioni pronunciate; registro gestuale;

dominio delle iscrizioni , ovvero ciò che si scrive o si disegna (grafici,

formule, calcoli…) vale a dire registro della scrittura».

«Non si può far altro che esaminare i diversi “usi”: l’insieme degli “usi”

determina infatti il significato degli oggetti» (D’Amore, Godino).

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VergnaudVergnaud

Un contributo nella chiarificazione della relazione tra gli oggetti matematici

e il loro significato è fornito da Vergnaud (1990).

Vergnaud propone la seguente definizione di concetto.

Un concetto C è la terna (S,I,S):

•S è l’insieme delle situazioni che danno senso al concetti (il referente)

•I è gli insiemi degli invarianti sui quali si basa l’operatività degli schemi

(il significato)

•S è l’insieme delle forme linguistiche e non linguistiche che permettono la

rappresentazione simbolica del concetto, le sue procedure, le situazioni

e le procedure di trattazione (il significante).

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InaccessibilitInaccessibilitàà degli oggetti matematicidegli oggetti matematici

In matematica un concetto ha rinvii a “non-oggetti”; dunque la

concettualizzazione non può basarsi su significati che poggiano su una

realtà concreta; in matematica non sono possibili rinvii ostensivi:

Da un lato ogni concetto matematico è costretto a servirsi di

rappresentazioni, dato che non vi sono “oggetti” da esibire; la

concettualizzazione è costretta a passare attraverso registri

rappresentativi

Dall’altro la gestione delle rappresentazioni è problematica per la

mancanza di oggetti concreti con cui mettere in relazione le

rappresentazioni stesse, sia in termini di produzione sia intermini di

trasformazioni

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Duval Duval -- 11

In Duval è prioritaria la coppia (segno, oggetto) rispetto ad altre

posizioni che privilegiano il concetto e i relativi processi cognitivi che sono

a monte e si servono di rappresentazioni.

«La speciale situazione epistemologica della matematica, in confronto

agli altri campi di conoscenza, conduce a conferire alle rappresentazioni

semiotiche un ruolo fondamentale. In primo luogo esse sono il solo modo

di accesso agli oggetti matematici»

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Duval Duval -- 22

Il segno, non è un simbolo convenzionale che connota o codifica

direttamente e isolatamente un oggetto, ma un simbolo elementare

unitario in un sistema di segni che Duval chiama registro di

rappresentazione semiotica che ha le seguenti caratteristiche:

•regole organizzatrici

•elementi che assumono senso in relazione ad ad altri elementi e alla loro

manipolazione secondo le regole organizzatrici

I registri di rappresentazione sono costitutivi del pensiero e della

conoscenza.

«Non c’è noetica senza semiotica» (Duval, 1993)

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Duval Duval -- 33

L’impossibilità di accedere direttamente ad un oggetto matematico, se non

attraverso sue rappresentazioni conduce al noto paradosso di Duval:

«(…) Come dei soggetti in fase di apprendimento potrebbero non

confondere gli oggetti matematici con le loro rappresentazioni

semiotiche se essi non possono che avere relazione con le sole

rappresentazioni semiotiche? L’impossibilità di un accesso diretto agli

oggetti matematici, al di fuori di ogni rappresentazione semiotica, rende la

confusione quasi inevitabile.

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Duval Duval -- 44

Semiotica: rappresentazione realizzata per mezzo di un sistema di segni

Noetica: acquisizione concettuale di un oggetto

Duval individua tre funzioni semiotiche fondamentali che caratterizzano l’acquisizione concettuale:

1) Scelta dei tratti distintivi/rappresentazione2) Trattamento3) Conversione

Utilizzando il simbolismo introdotto da D’Amore (2001) indichiamo con:

rm=registro semiotico m-esimo (m = 1, 2, 3, …)

Rmi(A)=rappresentazione semiotica i-esima di un concetto A nel registro

semiotico rm (m = 1, 2, 3, …; i = 1, 2, 3, …)

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Duval Duval -- 55

Concetto Ada rappresentare

Rappresentazione di A Rmi(A)

in un dato registro semiotico rm

Scelta dei tratti distintivirappresentazione

11

Duval Duval -- 66

nuova rappresentazione (i‡j) Rmi(A)

nello stesso registro semiotico rm

Rappresentazione di A Rmi(A)

in un dato registro semiotico rm

Trattamento

Conversione

nuova rappresentazione (h ‡ i, h ‡ j) Rnh(A)

in un altro registro semiotico rn (n ‡ m)(m, n, i, j, h = 1, 2, 3, …)

12

Duval Duval -- 77

Duval accorda alla conversione un posto centrale, decisiva nella

concettualizazione in quanto:

«(…) il coordinamento di registri è la condizione per la padronanza

della comprensione in quanto essa è la condizione per una

differenziazione reale tra i concetti matematici e la loro

rappresentazione. Costituisce una soglia il cui superamento cambia

radicalmente l’attitudine di fronte ad un tipo di attività o ad un dominio

(…) Ora, questo coordinamento non ha niente di spontaneo» (Duval,

1995).

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Radford Radford -- 11

Radford (2005) considera l’apprendimento un processo di

oggettivazione che trasforma oggetti culturali in oggetti della nostra

coscienza. Tale processo di oggettivazione è possibile solo ricorrendo a

forme di mediazione culturalmente costruite che Radford chiama mezzi

semiotici di oggettivazione (Radford, 2000).

Si tratta di gesti, artefatti, registri semiotici, in generale i segni che

si utilizzano per rendere visibile un’intenzione e per condurre a

termine un’azione

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L’apprendimento concettuale si produce, dunque, nel luogo d’incontro tra

la soggettività dell’allievo, i mezzi di oggettivazione socialmente

costruiti e un sistema socio-culturale di significazioni (Radford,

2000, 2005)

L’acquisizione concettuale è, quindi, «un modo di agire e di pensare che è

dialetticamente intessuto con un nuovo uso e produzione di segni i cui

significati sono acquisiti dagli studenti come risultato di un immersione

sociale in attività matematiche» (Radford, 2000).

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SensoSenso

Lingua, scritturagrafici, strumentiLingua, scritturagrafici, strumenti

OggettoOggetto IndividuoIndividuo

Modi culturali di significazione

Tecnologia dell’attività semiotica

Sistema di pratiche condivise

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In questo senso Radford (2003) parla di sistemi semiotici culturali,

vale a dire sistemi che rendono disponibili diverse risorse per la

costruzione del senso matematico attraverso specifiche pratiche sociali

significative che non sono limitate all’ambito scolastico, ma si inseriscono

nel contesto dell’intera società inserita nel flusso del suo sviluppo

storico.

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Come Duval, anche Radford (2005) sottolinea l’importanza della coordinazione tra sistemi di rappresentazione

Anche in questa accezione ampliata data ai sistemi di segni l’acquisizione della conoscenza è forgiata da una interazione dialettica di diversi sistemi semiotici, ciascuno con la sua gamma di possibilità e limitazioni, anche i registri semiotici avanzati tipici della matematica, attivati dagli studenti e dagli insegnanti nelle loro pratiche sociali culturalmente mediate

Nodo semiotico: coordinazione anche sociale di mezzi semiotici che si concretizza nella oggettivazione di conoscenza

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Tale interazione dialettica che permette all’allievo di maneggiare sistemi

rappresentativi più complessi ed acquisire una corretta concettualizzazione

dell’oggetto matematico richiede una rottura con i gesti ostensivi e con

i termini linguistici basati sul contesto d’uso che sostengono le

generalizzazioni di tipo presimbolico (Radford, 2003)

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Radford distingue diversi passaggi che portano alla genralizazione in

matematica:

•Generalizzazione fattuale legata a schemi operatori

•Generalizzazione contestale in cui si generalizzano gli schemi ma con

rappresentazione il cui modo di designare è legato all’esperienza spazio-

temporale: es. “prossimo”, “alto”, “prima”, “dopo” ecc.

•Generalizzazione simbolica che comporta una forte rottura cognitiva

con i riferimenti concreti della designazione: perdita dell’origo e

contrazione semiotica

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Problema di ricerca Problema di ricerca -- 11

Le ricerche più recenti hanno mostrato che non solo la conversione, ma

anche il trattamento pone problemi di concettualizzazione e di gestione

delle rappresentazioni semiotiche.

Il passaggio da una rappresentazione di un oggetto matematico ad un’altra

attraverso trasformazioni di trattamento, talvolta può cambiarne il

senso.

Si è visto inoltre che tale perdita di senso avviene anche quando le

trasformazioni di conversione sono eseguite correttamente e, secondo

Duval, questo indicherebbe che l’oggetto è stato concettualizzato

correttamente

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In (D’Amore, 2006) e (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2007) si analizza il

seguente problema proposto a una classe 5^ della scuola primaria in

situazione a-didattica, per introdurre i primi elementi di probabilità.

Esempio :

Calcolare la probabilità del seguente evento: uscita di un numero pari nel

lancio di un dado

La risposta è espressa dalla frazione 3/6 perché «le uscite possibili nel

lancio sono 6 (al denominatore) mentre le uscite che rendono vero l’evento

sono 3 (al numeratore)»

Vengono accettate come risposte anche 1/2 e il 50%.

Dal punto di vista semiotico tutto sembra funzionare: trattamenti e

conversioni.

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Si propone agli allievi la frazione 4/8 e si chiede se, essendo equivalente a 3/6 , anche questa frazione rappresenta l’evento esplorato poc’anzi

La risposta unanime e convinta è negativa.

Lo stesso insegnante, che prima aveva condotto con sicurezza la regìa della situazione, afferma:

«non può rappresentare quell’evento perché le facce di un dado sono 6 e non 8, esistono non solo dadi a 6 facce, ma anche dadi a 8 facce; in quel caso, sì, la frazione rappresenta l’uscita di un numero pari nel lancio di un dado»

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Il progetto di dottorato si sviluppa su due percorsi che sono strettamente connessi.

Da un lato occorre comprendere la causa dei cambi di senso legati alle trasformazioni di conversione di rappresentanti di uno stesso oggetto. La ricerca a riguardo è nella fase iniziale e comporta la comprensione di diverse componenti legate all’apprendimento di cui quella semiotica sembra essere decisiva.

Dall’altro l’analisi semiotica del problema permette di confrontare i quadri teorici proposti da Duval e da Radford per individuare convergenze, divergenze e complementarietà

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Radford (2004) propone il seguente schema:

Oggetto

Presentazione 1 Presentazione 2 Presentazione 3

sensosenso

Sintesi di presentazionein relazione ai concetti di ragione

Oggetto conosciutocomprensionecomprensione

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Questo schema evidenzia il punto d’incontro tra la posizione di Radford e

quella di Duval. L’elemento chiave nella costruzione di conoscenza, in

entrambe le prospettive, è la sintesi di presentazione, anche se

l’accento è posto su aspetti differenti.

La questione più generale che dovremo affrontare nel progetto riguarda il

passaggio da senso a comprensione; come e sotto quali condizioni

avviene?

Questa problema generale deve essere scomposto in elementi più semplici

per formulare domande dettagliate e per formulare ipotesi da sottoporre a

verifica sperimentale

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Problema di ricerca Problema di ricerca -- Duval Duval -- 11

Duval offre una analisi approfondita degli aspetti strutturali e formalilegati all’uso della semiotica nella concettualizzazione della matematica, riconoscendo specifiche funzioni cognitive legate all’uso dei registri. La sua teoria fornisce strumenti interpretativi insostituibili. La distinzione tra le funzioni semiotiche ha permesso di individuare questo nuovo tema di ricerca.

L’attribuzione di significato agli oggetti matematici necessariamente richiede l’impiego di registri semiotici. Non è possibile tuttavia limitare il senso degli oggetti matematici alle rappresentazioni semiotiche e alle loro trasformazioni.

Il significato degli oggetti non risiede esclusivamente nella relazione tra i segni all’interno del sistema a cui appartengono.

Sicuramente non c’è noetica senza semiotica, ma “se c’è semiotica non necessariamente c’è noetica”. La concettualizzazione chiama in causa aspetti che non sono strettamente semiotici.

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La complessità della conversione nasconde questi aspetti che possono emergere nella funzione di trattamento

La conversione non garantisce il superamento del paradosso di Duval.

Occorre anche un’analisi semiotica più approfondita del trattamento che è fortemente legato a regole precise di trasformazione. Qual è il ruolo di queste regole nella costruzione del significato?

La scelta dei tratti distintivi è una funzione semiotica che richiede un’analisi più approfondita. Di fatto, se l’oggetto matematico èinaccessibile, cosa dobbiamo intendere per sua caratteristica e come la si

individua?

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Ecco come si esprimono D’Amore e Radford sulla delicata relazione tra linguaggio e noetica.

«Dunque, anche se reputo che ci sia differenza tra oggetti della matematica e oggetti linguistici che li esprimono, tuttavia bisogna ammettere che tale adesione avviene sulle modalità di scambio linguistico dato che sono esse, soprattutto, quelle che determinano le “pratiche” di cui tanto si parla. Dunque, anche se non è il linguaggio a creare gli oggetti, gli oggetti vengono creati insieme al linguaggio

all’interno del quale vengono espressi. […]Credo nel paradosso di Duval e credo che l’unica via di accesso alla noetica sia la semiotica, almeno in matematica. […] Il linguaggio è mediatore tra pratiche e pensiero, ma anche tra chi opera tali pratiche e chi chiede di comunicare ad altri il proprio pensiero» (D’Amore in D’Amore, Radford, Bagni, 2005).

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« Preferisco dire che il linguaggio è mediatore delle attività umane. In

qualità di mediatore, sostiene, per un importante aspetto, la nostra storia

culturale, come fanno gli artefatti, i monumenti, i dipinti e così via. Ma il

linguaggio non ha un potere creativo, semplicemente in quanto il

linguaggio non pensa. Chi pensa sono gli individui che usano il

linguaggio. Pensando, ovvero riflettendo sul proprio mondo, gli

individui usano il linguaggio, gli artefatti etc. e facendo ciò producono i

propri oggetti di conoscenza » (Radford in D’Amore, Radford, Bagni,

2005).

30

Problema di ricerca Problema di ricerca -- Radford Radford -- 11

Radford non riconosce nel segno una funzione puramente cognitiva, ma gli

attribuisce anche una valenza sociale e culturale.

Se nell’apprendimento giocano un ruolo chiave non solo l’aspetto

cognitivo, ma anche gli aspetti socioculturali, il significato di una

rappresentazione è legato alla storia socio-culturale incarnata nel segno

e al suo uso in pratiche condivise che ha reso quel significato oggetto

di coscienza dell’allievo.

A diverse rappresentazioni di uno stesso oggetto sono associate

diversi sistemi di pratiche che possono dare origine a diverse

attribuzioni di senso

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«Da un punto di vista per così dire “esterno”, ci si può ricondurre a

vedere le diverse scritture algebriche come equisignificanti in quanto

ottenibili per trattamento semiotico, ma dall’interno questa visione è

quasi impossibile, legata com’è alla cultura costruita dall’individuo nel

tempo. Detto in altre parole, gli studenti (non solo novizi) risultano

imbrigliati in fonti di significato che non possono semplicemente essere

governati dalla sintassi del linguaggio algebrico. Ogni passaggio dà luogo

a forme o simboli ai quali è riconosciuto uno specifico significato a

causa dei processi culturali ATTRAVERSO i quali esso è stato

introdotto» (D’Amore, Fandiño Pinilla)

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Seguendo (D’Amore, 2005), (D’Amore Font, Godino, da pubblicare)

e (D’Amore, Radford, Bagni, 2006) per individuare, nella prospettiva di

Radford, le situazioni i problemi e gli usi che conferiscono significato alle

diverse rappresentazioni occorre interpretare la classe come

microsocietà nella quale vivono e si sviluppano gli oggetti matematici e i

mezzi di oggettivazione, entrambi culturalmente costruiti, con i loro modi di

significazione.

33


«Crediamo che la classe sia davvero una società specifica di individui la

cui unità sociale sia dovuta alla effettuazione di “pratiche” definite e

condivise. Ma queste pratiche si possono dividere in due grandi

categorie:

•quelle stabilite a priori per tale società (l’apprendere, lo stare insieme,

il condividere attività,...);

•quelle che nascono a causa del fine che tali attività si prefiggono di

raggiungere (la competitività le azioni relative al contratto didattico,

quelle tese a far supporre a chi deve valutare abilità di fatto non

possedute, ...).

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[…] Una classe normale tende ad essere un gruppo secondario perché

non è detto che tutti gli individui che ne fanno parte condividano

esattamente gli stessi scopi ed abbiano le stesse prospettive; tra gli

studenti della stessa classe, alcuni privilegiano le attività, le pratiche

funzionali; mentre altri sono più propensi a quelle che abbiamo chiamato

metapratiche» (D’Amore,2005)

35


E’ come se, il problema della conversione individuato da Duval, si spostasse dai registri di rappresentazione ai sistemi di pratiche e ai contesti che danno senso alle singole rappresentazioni dell’oggetto matematico.

La concettualizzazione in matematica è intesa come processo di generalizzazione.

Il cambio di senso potrebbe essere legato all’incapacità dell’allievo di superare la sua esperienza spazio-temporale e dotare gli oggetti matematici del loro senso generale che travalica la storia individuale e assume un carattare culturalmente riconosciuto (perdita dell’origo)

Occorre indagare la natura della rottura che porta dalla generalizzazione fattuale e contestuale e quella di tipo simbolico. I protocolli di Radford mostrano che la difficoltà alla generalizzazione è legata a cambi di senso di rappresentazioni differenti

36


Il passaggio da an=n+(n-1) da an=2n-1 è difficoltoso anche se si tratta di un banale trattamento.La seconda uguaglianza comporta una rottura con l’esperienza spaziale e temporale che ha portato alla prima.

Perdita dell’origo e contrazione semiotica

Fig.1 Fig.2 Fig. 3 Fig. 4

37


Occorre anche una analisi dei mezzi semiotici di oggettivazione che dal

punto di vista del significato, inteso in senso pragmatico, non sono

equivalenti anche se devono essere tutti coordinati (nodo semiotico)

Il problema è stato individuato da Radford che dice:

«The severe limitations of a direct translation of actions into symbols

require the students to undergo a dynamic process of imagining,

interpreting and reinterpreting. The students have to pass through a

dialectical process between (concrete or imagined) actions, signs and

meanings. However, little is still known about this process. Further

research needs to be conducted at the theoretical and experimental level»

(Radford, 2006).

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Problema di ricerca Problema di ricerca

Allo stato attuale del progetto siamo giunti alla conclusione che i due quadri teorici sono complementari ed offrono strumenti di analisi molto efficaci per penetrare il problema che stiamo studiando.

L’interpretazione di Radford sembra quella più adatta al nostro problema, ma una analisi più approfondita, alla Duval, della funzioni semiotichenon può essere trascurata

Questa analisi generale del problema deve tradursi ora in domande di ricerca dettagliate per orientare la fase di sperimentazione

Ne proponiamo alcune che non devono, allo stato attuale, considerarsi definitive

39

Domande Domande -- 11

L’analisi del problema di ricerca ha individuato tre sotto problemi che ho

caratterizzato con domande più specifiche:

1) Secondo quali meccanismi avviene la scelta dei tratti distintivi per la

produzione e la manipolazione delle rappresentazioni di un oggetto

matematico? Come si integrano gli aspetti puramente semiotici e quelli

legati alle pratiche sociali e comunicative? Qual è il legame tra il cambio di

senso dovuto al trattamento e la scelta dei tratti distintivi dell’oggetto

matematico?

2) Che relazione c’è tra le regole di trasformazione (in senso sintattico)

secondo cui si esegue il trattamento e le pratiche d’aula socialmente

condivise? Le regole di trasformazione hanno un senso per l’alunno o sono

eseguite ad esempio per contratto didattico, e quello che ha significato è

solo la rappresentazione di partenza e quella di arrivo?

40

Domande Domande -- 22

3) Come interagiscono nella costruzione del significato la storia

personale dell’alunno, le situazioni in cui l’alunno ha utilizzato l’oggetto

matematico, e il significato storico ed epistemologico dell’oggetto? In

che modo il significato di una rappresentazione è riconducibile al

sistema di segni a cui appartiene e/o alle pratiche compartite da

alunni e insegnante? In che modo il sistema di pratiche caratterizza i

mezzi semiotici di oggettivazione e viceversa? Che relazione c’è tra

pratiche e metapratiche nella costruzione del significato?

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Sperimentazione Sperimentazione -- Analisi a prioriAnalisi a priori

Per la formulazione delle domande di ricerca sarà fondamentale l’analisi a

priori che dovrà tenere conto :

1) Degli aspetti storici ed epistemologici dell’argomento matematico

oggetto della ricerca

2) Del percorso individuale, per quanto è possibile conoscerlo, degli

alunni coinvolti nella sperimentazione.

3) Del contesto d’aula in cui si svolge la sperimentazione. Occorre

analizzare l’aula come microsocietà per individuare pratiche e

metapratiche (D’Amore, 2005) che giocano un ruolo importante

nell’attribuzione di significato.

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Sperimentazione Sperimentazione -- MetodologiaMetodologia

L’analisi a priori consentirà anche di scegliere la metodologia più adeguata tra le seguenti:

La metodologia prevede la somministrazione ai partecipanti alla ricerca di questionari, TEPs (D’Amore, Maier, 2002), problemi, e soprattutto, il ricorso ad interviste

Le interviste avranno la funzione di fornire direttamente materiale da analizzare e saranno utilizzate per approfondire il comportamento dei soggetti precedentemente coinvolti in altre prove sperimentali

Si utilizzerà anche lo strumento delle intervista prima e dopo un intervento didattico su soggetti che partecipano alla sperimentazione per compiere un’analisi dei cambi di convinzione.

L’interpretazione dei dati prevede l’impiego di analisi qualitativa e quantitativa implicativa e fattoriale.

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Sperimentazione Sperimentazione -- ArgomentoArgomento

E’ necessario individuare argomenti nei quali è determinante e

significativo utilizzare le rappresentazioni simboliche per le quali si

operano molte trasformazioni di trattamento

L’algebra e la geometria analitica (per la scuola secondaria) e

l’analisi (per l’università) sembrano essere gli argomenti matematici più

indicati per lo studio dei cambi di senso dovuti alle trasformazioni di

trattamento.

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Sperimentazione Sperimentazione -- AmbitoAmbito

L’ambito più adatto per cominciare la sperimentazione sembra essere la

scuola secondaria e l’università.

Negli ordini scolastici inferiori, da un lato è forse più difficile trovare

argomenti adeguati, dall’altro i concetti non sono sufficientemente

interiorizzati e potrebbero verificarsi cambi di senso non ascrivibili

direttamente a trattamenti

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