ERREsoft 1

Elementi di crittografia

Pierluigi Ridolfi

Università di Roma La Sapienza

1 marzo 2000

ERREsoft 2

Piano della lezione

• Inquadramento.• Storia.• Crittografia tradizionale:

codifica simmetrica a una chiave.

• Tecniche moderne: codifica asimmetrica a due chiavi.

• Riservatezza, autenticità, integrità.

• Sicurezza informatica.

ERREsoft 3

Inquadramento della crittografia

• “Scrittura nascosta”.• Fa parte della classe di sistemi

per trasmettere messaggi “riservati”: Sistemi per codici

es.: 15 = comprare, 16 = vendere

Sistemi per frasi es.: “I lunghi singhiozzi dei violini

d’autunno” sbarco in Normandia Scritture “simpatiche”

ERREsoft 4

La scìtala spartana (1)

Plutarco nella Vite parallele scrive che gli efori (i magistrati di Sparta) inviarono a Lisandro una scìtala con l'ordine di tornare in patria. E spiega: "La scitala consiste in questo. Gli efori, all'atto di spedire all'estero un generale, prendono due pezzi di legno rotondi e perfettamente uguali, sia in lunghezza sia in larghezza, di dimensioni cioè corrispondenti. Di questi pezzi di legno, che si chiamano scitale, uno lo conservano loro, l'altro lo consegnano al partente. In seguito, allorché vogliono comunicare qualche cosa di grande importanza e che nessuno altro deve sapere, tagliano un rotolo di papiro lungo e stretto come una cinghia e l'avvolgono attorno alla scitala in loro possesso, coprendone tutt'intorno la superficie del legno col papiro, senza lasciare il minimo interstizio.

ERREsoft 5

La scìtala spartana (2)

Compiuta questa operazione, scrivono sul papiro così come si trova disteso sulla scitala ciò che vogliono, e una volta scritto, tolgono il papiro e glielo mandano senza il bastone. Il generale, quando lo riceve, non può leggere le lettere di seguito, poiché non hanno alcun legame tra loro e rimangono sconnesse, finché anch'egli non prende la sua scitala e vi avvolge in giro la striscia di papiro. Così la spirale torna a disporsi nel medesimo ordine in cui fu scritta, e le lettere si allineano via via, di modo che l'occhio può seguire la lettura attorno al bastone e ritrovare il senso compiuto del messaggio. La striscia di papiro è chiamata scitala al pari del legno".

ERREsoft 6

Schema della scìtala

Un messaggio scritto longitudinalmente diventa illeggibile sulla cinghia svolta

HHHHH

ERREsoft 7

Il metodo di Cesare

Svetonio nella Vita del Divo Giulio:

"… se vi era qualche questione riservata egli usava scrivere in cifra, e questa cifra consisteva in una disposizione apparentemente caotica delle lettere, sicché era impossibile ricostruire la parola originale. Chi voglia scoprirne il senso e decifrarla sappia che bisogna sostituire a ogni lettera la terza che segue nell'alfabeto; vale a dire dove è scritto A bisogna leggere D e così di

seguito."

ERREsoft 8

Concetti fondamentali

• Mittente e destinatari

• Alfabeto

• Messaggio

• Metodi di codifica e decodifica

ERREsoft 9

Alfabeto

Varietà di caratteriEsempio:

– le 10 cifre da 0 a 9– le 26 lettere minuscole– le 26 lettere maiuscole– le 6 vocali minuscole

accentate: à è é ì ò ù– i 17 caratteri speciali

. , : ; ’ ” ! ? ( ) + - = < > * /– lo spazio

ERREsoft 10

Messaggio

• Sequenza di caratteri

• Lunghezza qualunque

• In genere è un testo, composto da più righe

• Ogni riga viene spezzata in messaggi elementari m, ognuno di lunghezza fissa

ERREsoft 11

Metodi “storici” di crittografia

• Metodo della traslazione Giulio Cesare

• Metodo della corrispondenza diretta

Mercanti fiorentini Rapporti riservati nell’età moderna

• Metodo della corrispondenza indiretta

Rapporti riservati nell’età contemporanea

ERREsoft 12

Metodo della traslazione

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ..

A B C D E F G H I L M N ..

CADE ECFG

chiave = 2

ERREsoft 13

Corrispondenza diretta

A B C D E F G H I L M

C I R U G Z V S T B N

CADE RCUG

ERREsoft 14

Corrispondenza indiretta

A B C D E F G H I L Mindice A C I R U G Z V S T B N B S T U V B C N I R Z G C R Z G S C T U B N I V D ………………………………………. R T B N I V R Z G S C U Z ………………………………………

Chiave = ABRACADABRAMessaggio = BACCACodifica = I S NRR

ERREsoft 15

Sistemi binari di crittografia

• Somma

• Trasformazione indiretta

• Moltiplicazione

• Potenza

ERREsoft 16

Somma

• Il messaggio elementare m sia di 64 bit.

• Si sceglie come “chiave” una costante k 64 bit.

• Al valore numerico del messaggio si somma la chiave.

m’ = m + k• Il metodo concettualmente è

simile a quello di traslazione.

ERREsoft 17

Trasformazione indiretta (1)

Chiave 1 0 0 1 0 0 1 ...

Matrice 0 1 indice

0 0 1 1 1 0

Messaggio 1 0 1 0 0 0 ...

Codifica 0 0 1 1 0 1 ...

ERREsoft 18

Trasformazione indiretta (2)

Chiave 1 0 0 1 0 0 1 ...

Matrice 0 1 indice

0 0 1 1 1 0

Messaggio 1 0 1 0 0 0 ...

Codifica 0 0 1 1 0 1 ...

ERREsoft 19

DES: Data Encryption Standard

• Sistema di codifica basato su una chiave di 56 bit e una complessa sequenza di trasformazioni indirette.

• Approvato dal National Bureau of Standard nel ‘77.

• Triplo DES: variante basata su una triplice applicazione del DES.

ERREsoft 20

Prodotto

• Si sceglie come “chiave” una costante di 8 bit.

• Il valore numerico di ogni campo (di 64 bit) viene moltiplicato per la costante.

• La lunghezza del campo risultante sarà di 72 bit.

ERREsoft 21

Potenza

• Si sceglie come “chiave” una costante di 8 bit.

• Il valore numerico di ogni campo (di 64 bit) viene elevato alla potenza espressa dalla costante.

• La lunghezza del campo risultante sarà di 512 bit.

ERREsoft 22

Sistemi di codifica simmetrici

• I sistemi sono sempre reversibili.

• La chiave per la codifica è la stessa utilizzata per la decodifica.

• In genere la chiave è diversa per ogni coppia di persone: pertanto n persone danno luogo a n•(n-1):2 chiavi diverse.

• Difficoltà di gestione.

ERREsoft 23

Sistemi di codifica asimmetrici

• La chiave per la codifica è diversa da quella utilizzata per la decodifica.

• Ogni persona ha una coppia di chiavi: – una, indicata da h, viene resa

nota (chiave pubblica); – l’altra, indicata da j, viene

tenuta segreta (chiave privata).

• Semplicità di gestione.

ERREsoft 24

Processo “ideale”

• Codifica Il mittente, utilizzando un certo

algoritmo T, codifica m con la chiave pubblica h del destinatario ottenendo m’ che spedisce.

m’ = T (h,m)

• Decodifica

Il destinatario riceve m’ e lo decodifica con lo stesso algoritmo T ma con la propria chiave privata j, riottenendo m.

m = T (j, m’)

ERREsoft 25

Osservazioni

• T, h e j devono essere scelti in modo tale che l’algoritmo funzioni.

• h e j potrebbero essere assegnati una volta per tutte da un Ente centrale, in esclusiva per ogni persona che ne fa richiesta.

• Deve essere praticamente impossibile ricavare j da h.

ERREsoft 26

Sistema RSA

• Rivest, Shamir, Adleman.

• MIT, 1977.

• Algoritmo basato sul Teorema di Fermat-Eulero.

ERREsoft 27

Teorema di Fermat

Se a e n sono due numeri primi, con a < n, il resto della divisione tra la potenza an e l’esponente n è sempre uguale alla base a.

Esempi a = 2 n = 5 an = 32 32 : 5 = 6 con resto 2 a = 3 n = 7 an = 2187 2187 : 7 = 312 con resto 3

ERREsoft 28

Teorema di Eulero

E’ una rielaborazione del Teorema di Fermat nel caso che n non sia un numero primo ma il prodotto di più numeri primi.

ERREsoft 29

Principio di funzionamento del Sistema RSA (1)

• n sia il prodotto dei due numeri primi p e q

• a ogni persona viene assegnata come chiave pubblica h un numero a caso

• la corrispondente chiave privata j viene calcolata in modo che

(h·j) : (p-1)·(q-1)

abbia per resto 1

ERREsoft 30

Principio di funzionamento del Sistema RSA (2)

Se: m’ = resto della divisione di mh per n m’’ = resto della divisione di m’j per n Si dimostra che:

m’’ = m

Conseguenze: m’ = messaggio cifrato m’’ = messaggio decifrato

ERREsoft 31

Esempio

• h = 11, p = 3, q = 5

• n = 15 (p-1)(q-1) = 8 j = 3• verifica: (h • j):8 resto = 1

--------------------m = 2

h 11m’ m = 2 = 2048

: 15 resto = 8 = m’

j 3m’’ m’ = 8 = 512

: 15 resto = 2 = m

ERREsoft 32

Principio di invulnerabilità• E’ noto n, che si sa essere il

prodotto dei due primi p e q, ma non sono noti né p né q, né è possibile ricavarli da n (si tratta di scomporre in fattori un numero grandissimo, operando per tentativi ).

• Non è pertanto possibile calcolare (p-1)•(q-1).

• Dunque, noto h, non è possibile calcolare j.

ERREsoft 33

Il principio delle due chiavi

j è la chiave privata, nota solo all’interessato.

h è la chiave pubblica, che tutti possono conoscere.

Non è praticamente possibile nota j ricavare h e viceversa.

ERREsoft 34

I tre pilastri della crittografia

• Riservatezza:

certezza che il testo può essere letto solo dal destinatario.

• Autenticità:

certezza del mittente.

• Integrità:

certezza del messaggio.

ERREsoft 35

Riservatezza

• A è il mittente.

• B è il destinatario.

• A codifica m con la chiave pubblica di B m’.

• B decodifica m’ con la propria chiave privata m.

ERREsoft 36

Garanzia della riservatezza

A

B

m hB

m'

jB m

ERREsoft 37

Autenticità

• A è il mittente.

• B è il destinatario.

• A codifica m con la propria chiave privata.

• B decodifica m’ con la chiave pubblica di A m.

ERREsoft 38

Garanzia dell’autenticità

A

B

m jA

m'

hA m

ERREsoft 39

Riservatezza e autenticità

• A è il mittente.• B è il destinatario.• A codifica m prima con la propria

chiave privata, poi con la chiave pubblica di B m’.

• B decodifica m’ prima con la chiave pubblica di A, poi con la propria chiave privata m.

Sistema della doppia codifica

ERREsoft 40

Schema del processo di riservatezza e autenticità

A

B

m hB , jA

m'

jB , hA m

ERREsoft 41

Integrità

• Il processo di autenticità non garantisce l’integrità del messaggio trasmesso.

• Concetto di “impronta” (“hash”): campo di lunghezza fissa ricavato dal messaggio secondo una precisa formula (“funzione di hashing”).

• E’ praticamente impossibile dall’impronta risalire al messaggio che l’ha generata.

ERREsoft 42

Concetto di impronta

Messaggio m

Impronta r

Algoritmodi hashing

ERREsoft 43

Processo di garanzia dell’integrità • Il mittente prepara il messaggio

e ne calcola l’impronta.• Messaggio e impronta vengono

codificati separatamente ma viaggiano insieme.

• Il destinatario decodifica messaggio e impronta; ricava dal messaggio una nuova impronta; confronta le due impronte.

• Se le due impronte coincidono il messaggio non è stato alterato.

ERREsoft 44

Garanzia dell’integrità

A

B

m, r jA

hA

m, r’

m, r r

ERREsoft 45

Sicurezza informatica

• Basata sull’algoritmo di generazione delle chiavi.

• Lunghezza di n = p · q = 1024 bit.• Di conseguenza p e q sono numeri

con circa 150 cifre. • Noto n, p e q si possono ottenere

solo per tentativi, e ciò risulta impossibile in tempi utili.

• Se non si conoscono p e q, non si può ricostruire j (chiave privata ): il sistema pertanto è invulnerabile.

• Naturalmente il proprietario deve tenere j ben custodita.