Equazioni differenziali ordinarie quasiiineari con condizioni lineari.

di ROBERTO CObTTI (8, Firenze).

A Enrico Borapiani in occasione del suo Giubileo scientifico.

Santo. - Si danno teoremi di esisteuza per il problema ai l imi t i (]~) (C) in ipotesi di conti. nu i t~ oppure di CARATH~ODORY.

(E)

(c)

dove:

1. Premesse .

Studieremo il seguente problema (1)

x - - A(t)x + g(t, x)

d F x = x

A(t) 6 una matrice n X n definita per t e h - [a, b],

x - x(t) ~ un n-vet tore , definito in h, ed x - - d x / d t ,

g(t, u) 6 un n-ve t to re definito in 5 X E~ (E, spazio euclideo a n dimensioni),

F - - F ( t ) ~ una matrice n X n a variazione l imitata in A,

f d F x ~ di S~IELTZES, u n integrale

A

z ~ un n-ve t tore di E , .

I dati del problema sono, h, A(t), g(t, u), F(t), ×; F inoognita ~ ~(t).

(~) I1 problema ~ trattato nel campo reale. I1 prodo~,to fra matrici ~ inteso righe per colonne. Per ogni matrice M - ~ ( m i k } scriveremo I MI invece di E Im¢~ [.

An~ali d~ Matematic~ 7

5O R. C o ~ I : Equaz~oni d$]fe, re~ziali ordil~¢tric qttasilineari, ecc.

Supponiamo dapprima A(t) continua in 5, git, u) continua in A X E,, ; in seguito supporremo A e g soggette a condizioni di CARA~ODO]~¥.

In entrambi i casi indieheremo con Y(t) una delle matrici fondamental i dell ' equazione

(~o) y = A(t)y

e porremo

D - - fCdFY(¢ A

L' intero

m = carat ter is t ica di D

dipende unicamente da F e da A e non dalla particolare Y considerata; infatt i ogni al tra matrice fondamentale di (Eo) 6 rappresentata da YC, essendo C una matriee n X n eostante non degenere.

Per maggior chiarezza dist ingueremo i due casi m = n, m < n. In tutto il seguito indicheremo con ~ lo spazio di BA~ACH degli n-vet-

tori ~c(t) continui in h con la norma

II a~ II = m a x I w(t) [ A

indicheremo con ~ l ' ins ieme delle m e 68 ehe soddisfano (C).

2. T r a s f o r m a z i o n e del p r o b l e m a nel caso m = n.

Supponendo m - - n , come faremo in questo n. e nei nn. 3~ l ' inversa D - t della D e si pub pertanto definire la trasformazione

4, esiste

(1) ~x(t) -- Y(t)D-~× -- Y(t)D -~ f dF f :Y (~)Y-*(s)g(s, x,(s))ds -}: A a

t

+ f Y(t)Y-*(s)g(s, ct

la quale muta ~ in s6. Anzi avendosi

f d F ~ v = z, A

la '~ muta ~ in ~ , .

R. Co~TI: Equ, azioni di]ferenziali ordinwrie quasilineari, ece. 51

Inol t re si ha

(~) d ~ ( t ) / d t - - A(t}~;x(t) + g(t, xtt)), ~ e g3.

Pertanto ogni punto ~ e ~ 3 fisso rispetto a ~,

una soluzione del problema (E), (C) nel case m - - n .

3. Esistenza di soluzioni ( m - - n ; A, g continue, g l imitata).

a) Se introduciamo la matr ice di GR:EE~

I ; - - y(t}D -1 dFY(~)Y-~(s t + Y(t)Y-l(s) , $

- - Y(t)D -~ a F Y('O Y-X(s),

la 'g pub rappresentars i nella forma

(4)

a ~ s < t ~ b ,

t" ~;x(t) -'- Y lOD-~x + I G(t, 8)g(8~ ~(8))d8.

A

DalFesis tenza di una costnnte F > 0 tale ehe

t G(t, s} l ~ P , t, s ~ 5 (5)

e dalla continuit~ di A e di g segue che ~ ~ una trasformazione completa- mente continua, ciob eompatta e continua.

Preeisamente , per la eontinuit~ di g per ogni 2 1 / ) 0 si ha

I g(t, ~(t))It < ~ , II x II < M

quindi dalla (4)

[I ~ 1! ~ sup I Y(t) I I D-~z I + (b - - a)F t] g(s, x(s)) II < ~ , !1 ~ II <-/~ A

perei6 dalla (2) o dalla continuith di A

ft d"gx/dt 11 --< sup I A(t) I 11 ~ x II + tl g(t, x(O) II < ~ , It x I1 ~ / I / A

e infine il teorema di A~ZEr& assieura che ~ ~ compatta.

52 R. CON~:~: Eq~azioni differenziali ordinarie quasilineari, ece.

Inoltre, ancora dalla (4) si ha

t ~ r I[ ~gx' - - ~;~" II ~ (b - - a ) r I] g(s, x'(s)) - - g(s, x"(s)) II, o~, e

e dalla eontinuit/~ uniforme di g in ogni compatto di h X E , segue che ~; continua.

b) L 'es i s tenza di punti fissi r ispetto alla ~ segue era immediatamente dall 'applicazione del principio di BROUWER in ~ IG. D. B~RK~OF~, 0. D. KEL- LO(~(~, R. CACCmPPOL~, J. SCKAUDERt se si suppone che g sia l imitata in A X Ea , vale a dire ehe esista una costante ? > 0 tale che

(6) I g(t~ u) I <-- "~, t e ~, u e E .

poich~ in tal caso dalla (4) segue

II ~;~ 11 ~ s u p I y( t ) I I D - z × I -}- (b - - a ) £ % ~, e A

il che signifiea che ~ muta ~ in una sfera di ~ .

c) I1 metodo ora usato, consistente nel l 'appl ieazione del pr inciple di B~OUWER in ~ , non consente di (< costruire >> le soluzioni.

A tale fine pub essere utile indicare un altro procedimen |o basato sul- l 'osservazione seguente (2): l ' es is tenza di punti fissi r ispetto alla ¢g equivale al l 'es is tenza di suecessioni t~ca(t)} in ~ tall the

(7) { a~ a } ~ limitata,

(8) l im I[ ~ x a - - a~ [] -" 0. /c

ovvio ehe se • - " ¢~v allora x a--- ~ soddisfa (7) e (8); inversamente se esiste I wal soddisfacente {71 e (8) intanto da (7) e dalla compattezza di ¢g segue che { ~ I ammette punti limite. S e x ~ uno di questi possiamo con- s iderate una sot tosuccessione { xh } tale che lim [] ¢gx h - x [] -- 0, e quindi

h per la (8) tale che lira I] ~ a _ w [D = 0. Dalla continuit~ d i g segue allora

h l i m l ] C g ~ h - - ~ w [ ] - - O e infine [ l x - - ~ ; x ' [ I - - O , ossia ~ = ~ x .

h Gib premesso, per provare l 'esistenza di punti fissi r ispetto alia ~ basterk

costruire una successione 10~t in ~ che abbia le propriet~ (7) e (8).

(2) Ta le o s se rvaz ione v a l e anche in condiz ion i pi i l g e n e r a l i r e l a t i v a m e n t e a l la t rasfor- maz ione ed allo spazio in cui essa opera. Si v e d a R. CONTI~ Un'osservaz ione suZle t ras for . m a z i o n i cont inu~ d i ~no spaz io metrico e q, lcune a p p l i c a z i o n i c i t e M a t e m a t i c h e ~, Gatania~ 15 (1960) 92.97.

R. CoN~I: Equazioni differe~eziali ordi'nc~'@ quasilineari, ecc. 53

La suecessione delle i terate

a°(t) "-- Y(/)D-~z, xa+~(t) -~ ~x~ ~, (k = O, 1, ...)

soddisfa la (7), ma non la (8), the qui diventa

l im I1 ~ + ~ - - x~ II = 0 h:

meno the, oltre la t61, non si facciano altre ipotesi sulla g. Una successione the soddisfa (7) e (8 t senza bisogno di altre condizioni

oltre la ~6) si pub costruire come segue. Fissato l ' in tero k dividiam0 A in k part i eguali e per ogni n-vet tore

c ~ E,~ definiamo

(9) i Y(t)c, t~

t e [a, a + (b - - a ) /k )

c))ds, t e [a "k (b - - a)/k, b]

avendo posto tk = t - - (b - - a)/k. Dalla (1) si ha

tlo) , r

t

+ f Y(t)Y-~(s)g(s, x~(s, c))ds, ~k

dove ~ - - 0 se t e [ a , a -{- (b - - a)/k), ~ : tk s e t ~ [a -{- (b - - a)/k, b]. Pertanto, posto

.M-- sup L Y(t)Y-~(s)J t , s~ A

si ha

(~1) t

Affineh~ ~ ( t , c) t soddisfi la (7) e la (8) dobbiamo seegliere o e E . in modo opportunoo

54 R. CoN~I: Equazioni differenziali ordinarie quasilineari, etc.

La trasformazione

,r

a

di E , in si), definita per mezzo di (9), ~ continua e muta Ea nella sfera

I Skc [ _ ~ I D - ~ z t q--(b--a) I D-~ I I V I M~/--

dove V ~ la matr ice che ha per elemento V~ la variazione in h dell 'ele. mento F,~ di F.

Dall 'applicazione del principio di BROUWER, in E., questa volta, segue che per ogni intero k la $~ ammette almeno un punto fisso, appar tenente alla sfera (12) il cui raggio p non dipende da k.

Se per ogni k scegliamo uno dei punti fissi e lo indichiamo con c ~ avremo dalla (9)

[I x~( t, cz) [] ~ sup I Y(t) I P "}- (b - - a)My. (k = 1, 2, ...) A

ossia la (7). Avremo inoltre

T

h a

e di qui, da (10) e da (11) segue lim I[ ~x~( t, c k ) - x~( t, °h)H -" O, ossia la (8). k

d) Dunque tanto col metodo di b) quanto con quello di c) resta pro- vato che :

Nel caso m - - n, se A(t) ~ continua in A e se g(t, u) ~ continua e l imi ta ta in ~ X E,,~ il problema (E) (C) ammette soluzioni.

4. Esistenza di soluzioni ( m - - n ; A, g in ipotesi di Carathgodory).

Supponiamo ora che A, g soddisfino ipotesi di CA~ATtI~IODOR¥~ vale a dire :

i) A(t} sia misurab i le -L in A ed esista una funzione ~(t), sommabi le -L in 5, tale ehe

(13) I A(t) ] ~ ~(t), t e 5 ;

ii) g(t, u) sia cont inua in u e misurab i l e -L in t;

iii) esista una funzione y(t) sommabi le -L in ~ t~le che

(14) ] g(t, u) I ~ 7(t), t 6 5, u ~ E , .

R. Cortez: Eqnazioni differenziali ordi,nar~e quasillneari, eeo. 55

In tal caso le soluzioui del problem:~ (E~ (C) saranno funzioni assoluta. monte cont iuue in A, soddisfaceat i la (E) soltanto quasi ovunque in 5, vale a dire soluzioni nel senso di CARA~ODORY.

Possiamo ancora definire, s e m - - n , la trasformazione ~ mediante la (1), ovvero, tramite la Git, s) di GREE~, mediante la (4), ed avremo ancora the muta ~ in ~ , mentre la (2) varr~ soltanto quasi ovunque in A. Percib no1 caso m - - n ogni punto x ~ J fisso rispetto alla ~ b, nolle nuove ipotesi, una soluzione di CARA~I-I~ODORY del problema (E) (C).

Vogliamo ora provare che "~ b ancora una trasformazione completamente continua.

Pe r questo osserviamo che 1' n -ve t tore Gtt, s)g(s, u) definito per t, s e h u ~ E , , ha le seguenti proprieth :

a) esso b continuo in u, misurab i l e -L in t e d in s ;

b) poich~ la (5) sussiste si ha dalla (114)

A

c) ancora per la (14) si ha, con t + h e 4 :

f l G(t + h, s)g(s, u ) - G(t, s)g(s, u) I ds h

f I a(t + h, s) - - a(t, s) r ~(s)ds _<_ A

t t + h b

a t t + h

se h > 0, o w e r o

t+h t b

-< f... ÷ f.,. ÷ f... a t + h t

se h < 0. Avondo presente la (3) si conclude faci lmentc the

lim I I G(t + h, s)g(s, u) -- G(t, s)g(s, u) I d s - - O, t, t + h~ h, u e E . jh! . -~ o J

A

56 R. CoN~I: Equazioni di:ferenziali ordi~cerie quasilineari: eee.

e in virtfi di un teorema di L. A. LADYZENSKII (a) segue che ~ ~ completa- mente continua.

Indi, avendosi dalle (4), (5), (14)

l l ~ ; ~ l l ~ s u p l Y(t) l I D - ~ l + r ~ ' r ( s ) d s , x e ~ 3

A

segue ancora the ~ muta 93 in una sfera di $3 e l 'applicazione del pr incipio di BROUWER in ~ permet te di a[fermare l ' es is tenza di punt i fissi r ispetto alla ~. Si conclude t h e :

2Vel caso m - - n , se A{t), g{t, u} soddisfano le ipotesi di Caratheodory i), ii}, iii), il problema {E) (C) ammetle soluzioni di Caralhdodory.

5. I1 e a s o m < n.

a) L ' i n t e ro n - m indica il numero delle soluzioni l inearmente indi- penden t i del problema l ineare omogeneo

(Eo) y : A(t)y

f dFy = (Co) 0. ¢ /

A

(3) ~/..A.. ~ADYZENSKII~ Condizioni per la completa continuit~ dell' operatore integrale di ~. S. Urysohn ~zello spazio detle funzioni continue, (, Dokl . Akad . : N a u k ~ S . S . S . R ~>, 97 (1954:), 1105-1108; Cfr. a n c h e M. A. I~RASNOSEL'SKII, Metodi topologici ~ella teoria deUe equazio~i integrali non lineari (G. I . T. T. L.~ Mosca, 1956).

L ' e n u n c i a t o de[ t eo r em a ~ il s e g u e n t e : ,, S in A u n in s i eme chiuso e l imi ta to di un E k eucl ideo e la funz ione K(t, s, u) de f in i t a

in t, s ~ A, u ~ E l sodclisfi le s eguen t i condiz ioni : a) K(t , s, u) sin con t inua in u pe r ogn i t ~ 5 e pe r quas i tu t t i gl i s G h e sin misu-

r ab i l e - - L i n s pe r t e ~ , u ~ E i ; b) p e r ogn i ~ > 0 sin

sup ]K(t , s, u ) [ d s ~ c % t e a ul<_~

l im ; s u p [ K ( t q - h , s, u ) - - K ( t , s, u) [ds----O, t, t - t - h ~ 5 .

A.1lora l ' ope ra to re (di U t tYso r~ )

f K(t, s, ~(s))ds 5

opera nel lo spazio ~ ( n - ~ - l ) ed ~ c o m p l e t a m e n t e con t inuo >>. L a d imos t r az ione d, ques to t e o r e m a si t r a s p o r t a senza diff icol th a] caso n ~ 1.

R. Co~'±'i: Equazioni differenziali ordina,rie q uasilineari~ ecc,. 57

Per tanto F ipotesi, f inora mantenuta, che s i a m - - n equivale a supporre che tale problema ammetta soltanto la soluzione nulla.

b) Per contrapposto quando m - - - 0 tutte le soluzioni di (Eo) verificano anche (Co). F~ssata allora uaa qua lunque soluzione y di (Eo), la trasformazione

t

-- y(t) -4- I- Y(t)Y-~(s)g(s' ac(s))ds ~;' z(t) O~

muta ancora ~ in s~ ed ~ completamente cont inua (tanto se A, g sono con- t inue quanto nelle ipotesi di CARATttI~ODORY}. Ammess~ la ipotesi (6)o la (16) si pub afferrnare l 'es is tenza di punti fissi anehe rispetto alla ~'.

0ecor re per5 tener presente the, pu t avendosi ancora {ovunque o quasi ovunque in A}

d~'x( t ) /d t -- A(t)"g'x(t) Jr" g(t, x(t))

sar~

se e soltanto se

f dF~'oc = z, A

t

h a

e quindi occorre che sia verif icata questa condizione se si vuole che ~ ' muti g3 in $3~ e quindi che i punti fissi rispetto alla '~' siano soluzioni del pro- b lema (E) (Cb

c) Sia infine 1 ~ m < n. Possiamo allora scegliero Yit) ira le matrici fondamental i di (El in modo the n - - m soluzioni l inearmente indipendenti di (Eo) (Co} cost i tuiscano le ult ime n - m colonne di Y(tp. Le indicheremo con y"+~, ..., y", cosicch~, posto

Y " ( t ) - - i y ~ I ... [ Y"),

avremo

e quindi

Y " - " ( 0 = (Y~÷~ [ ... l Y')

yl t ) = (y,~(t) I Y-- , - ( t ) )

A A

Annati d~ Matematiea a

58 R. C o , I : Equaz~oni clifferenziah: ordlnarie quasil~neari, ece.

P e r eomodit/~ di s e r i t t u r a s u p p o r r e m o che un m i n o r e di D di o rd ine m non d e g e n e r e sia quel lo p r ine ipa le , ehe i n d i e h e r e m o con D.

P e r t a n t o se con gli e l emen t i V,.~ del la F eos t ru i amo le due ma t r i e i

a v r e m o

e se p o n i a m o

av remo a n c h e

Cio p remesso , sia

F,. . ... F~,. / F,~ - - . . . . . . . . . , F , _ , ~ - -

\F , . , 1 ... Fro, . / F , , 1 . . .F , , , , , /

b - fdF. ,Y '~( t ) A

= fdF._ , , ,Y"( t ) A

o) D - -

X ! --.- / i r t i

1' m - v e t t o r e eos t i tu i to dal le p r ime m e o m p o n e n t i di z, sia

~(t) = Y " - " ( t ) d '

un a so luz ione di (Eo) o t t enu t a c o m b i n a n d o l i n e a r m e n t e le y"+~, ..., y" m e d i a n t e il ve t t o re cos tan te c" ad n - - m c o mp o n e n t i (eosicchb fdF~it) = O)

A e eons ide r i amo la t r a s f o r m a z i o n e

~;"~(t) = ~(t) + y - ( t ) b - l ~ ' - y,.(t)b -~

t

ehe muta ~ in s&

• aF,~ ; r(~)Y-l(s)g(s, ~(s))as + oJ

+ f r(t)r-~(s)g(s, xts))ds a

R. Co~T~: Equazioni differenziali ordinarie quasilineari, etc. 59

Per provare la completa coniinuith della ~" si pub in t rodurre la matrice di GREEN generalizzata (~)

i ; - - ym(t)/~-~ dF~Y(~)Y-~(sI + Ylt)Y-~(s~, a ~ s < t .< b,

S

- - g ~ ( 0 / 5 -~ d F , , Y (~)Y-~ls) , a ~ t ~ s ~ b,

S

e r ipetere infine i ragionamenti fatti al n. 3, a) nel easo di A, g continue o al n. 4 nel easo di CARA~HNODO~Y.

Dopo di eib se si mantengono sulla g le ipotesi di limitatezza (61 o (16), r i spe t t iwmen te nei due easi, possiamo aneora fare intervenire il prineipio di BROUWE~ in ~ ed affermare l 'es is tenza di punti fissi rispetto alla ~".

Sen onch6, pur avendosi ancora

d~"x(t)/dt -- A(t)~"x(t) + g(t, x(t)), x, e

(ovunque o soltanto quasi ovunque in A), non si pub affermare senz'altro the ~" muta ~ in ~ . Si ha infatti con facili calcoli :

f dF"g"~ =

~B-~z ' - -~D-~ dF~ Y(x)Y-~(s)g(s, x(s))ds+ dF,_~ Y(z)Y-~(s)g(s,x(sI)ds \ A a A a

cosicch~, indicando

('°÷'/ -- \~. !

il vettore costituito dalle ult ime n - m componenti di x, per poter concludere che ~" muta ~3 in g3~ occorre ehe si abbia

,-g

h a

h a

(4) Cfr . A. S~IO(~OaSHEWSKY, L e s f o n c t i o n s de ~reeJ~ des s y s t ~ m e s d i f f d ren t i e l s l i n d a i r e s

d a n s u u d o m a i n e 4 u n e seu le d i m e n s i o n , ~, l~Iatem, S b o r n i k ~>~ 7 (49) (19~:0}~ 179.196.

60 R. Co~'I: Equazio~i differenziali ordina.rie quasi[ine(tri, ecc.

d) R iunendo quanto si b visto in b) e c) possiamo af fermare che :

Nel caso m < n se Aft), g(t, u) sono continue e la g ~ t imitata [se A, g soddisfano te ipotesi i), ii), iii)] e se inoltre vale ta (K') net caso m---O, ta (K"} net caso 1 <. m < n, allora it problema (E), (C) ammette soluzioni [so[u. zioni di Carathdodory].

6. Enuneiato riassuntivo dei risultati ottenuti.

a) I r isul tat i trovati possono anche in terpre tars i nel modo seguente. I1 problema l ineare

(E~) y = A(t)y + g(t, ~(tt) ,

(c~) ~ d Fy = ¢ J

5

ammet te una sola soluzione s e m - - - n qua lnnque sin ~ e ~ ed ammet t e solu- ~ioni quando m - - 0 s e e nolo se vale la (K') con x - - ~ , e quando 1<_ m < n s e e solo se vale la (K") con ~c ~ ~. Se le condizioni di compat ibi i th {K') o (K") non sono soddisfat te per qualche ~ e ~ si pub dire che il problema (E~) (0 v) presenta il easo della risonanza.

Percib i r i sul ta t i trovati si possono r iassumere nel seguente

TEOREY~A.- Se A, g sono continue e g ~ limitata [se A, g soddisfano te ipotesi i}, ii}, iii)] e se it problen~a {E~), (C~) non lyresenta it caso della riso. nanza qualunque sin ~ e ~ allora it problema (Eb (C) ammette sotuzioni [sotu. zioni di Carathdodor~.

7. At tenuazione delle ipotesi sulla g.

a) Se A, g sono cont inue l ' ipotesi , for temente restri t t iva, t he g sin l imiia tu in A X En , cio~ la (6 b pub essere notevolmente a t t enua ta nel caso m ~ n supponendo pifi in generale che

l:I~) esista una eoppia di humeri a > O, 7(~¢) > O, tall the

(15) I g(t, u) I ~ ~(~), t E a, I u ] ~ :¢,

(16) sup t Y(t)] ] n - ~ x t + l b - - a ) F T ( ~ ) ~ ' ~ h

dove F b la costante t he compare netla (5). Infa t t i l' n -ve t to re defini to da

, g t , - ~ - i u , l u l >~ , g(t, u) --

continuo in A X En ed

l~lt, u) I <-7(~), teA~ ueEn.

R. Co~'2I: E q t m z i o n i differe,J~ziali ordinar ie quasi l inear i , ecc. 61

P e r quanto si 6 visto nel n. 3 la t r a s fo rmaz ione

¥(t)D-~ + f G(t. @(s, x(s))ds ~,x(t) A

ammet t e pun t i fissi e per essi si ha, da l la (16)

II o~ II = II ~ x II "< sup t y( t ) I I e - ~ x I + (b - - a)Py(~)<_ a

e poieh6 c-(Tx--~=Gx se [la~ [1 <_.% cib vuol dire t he tal i pun t i sono fissi anche r i spet to al la ~ .

Ipo tes i ana loghe a l la H~) si possono in t rodurre , genera l izzando la (6), anche nei casi m -- 0, 1 <~ m < n, ma le omet te remo per brevith.

b) Come nel easo di A, g con t inue si pub a t t e n u a t e l ' ipo tes i (6) ne l la H~), cosi 6 possibi le nel caso di CArtA~rn~ODOrt¥ sost i tu i re l ' i po tes i {16) con la seguent% meno re s t r i t t i va :

I-I2) e s i s ta u n a copp ia :¢ > O, "l(t, ~) f u n z i o n e s o m m a b i l e - L i n 5 ta l i che

l g(t, u) l ~ ,;(t, :,), t e a, l u I <--:,, {17)

0s) snp~ I Y(t) I I Z)-~ I + r f,;(s, ~,)ds <-- ~.

A

In fa t t i def inendo g(t, u) m i s u r a b i l e - L in t, ed 6

come in a) si ha che esso 6 cont inuo in u,

[ ~(t, u) I < v(t, ~), t e a, u e E.

e per tan to la t r a s fo rmaz ione ~ def in i t a in a) 6 comple t amen te con t inua ed ammet t e pun t i fissi. Ma per essi si ha, da l la (18)

II x l1 = I1 ~ x II -'< sup I ]7(0 I I D-~x [ + r fy(s, o~)ds <-- O~ A d

A

cosiech6 tal i pun t i sono fissi anche r ispet to a l la cO-. h.nehe quando m - - 0 , 1--~ m < n, si pub sos t i tu i re la (16) con u n a

ipotesi del tipo H2).

In tal modo si vengono ad es tendere a lcuni r i su l t a t i con tenu t i in recent i lavori (~).

(5) I. BARBALAT-A. ]-]:£LANAY, Solutions pdriodiques des syst~mes d'dquations diffdren. tielles non lindctires, ~ Revue math. pures et appl. (R. P.R),~, 3 (1958), 395.411; L. 2¢. ESClV- KOV, Su un pr9blema funzionale per le equazioni differenziali ordinarie, [ , ( U s p i e h i ~ a t . ~auk ~, XIII, 3 (81), (1958}, 191-1~6; R. CONT b Equazioni diffevenziali ordinarie con coudi. zioni lineco'i generali, ~ &ccad. :Naz. Lineei, Rend. Cl. Sc. fis. mat. nat. ~ (8} 2ti (1959)~ 636.640.