• ) 1 ' * E q u a z i o n i d i f f e r enz i a l i in f o r m a Im 1 , l c l t a

in uno spaz io di B a n a c h .

M~emoria di GIusnPr ' n ~ULVIRENTI ( C a i a n i a )

S u n t o . - Viene studiato il problema di CAUCn'z per una equazione differenziole in /or~r~a in~plicila F(t, x, x ) - ~ O in uno spazio di ]~ANACtI. Si dimostra, sotto certe ipotesi valendosi di metodi funzional i , un teorema di esistenza e, sotto altre, col metodo delle approssimazioni successive, un teorema di esistenza ed unicit~.

S u m m a r y . - The CA UC~Y'S problem for an impl ic i t dif feveutial equation F(t~ x, x)----O iq~. a BANACH space is studied. Under some hypothesis, usi~g funct io~al methvds, a theorem of existence and~ under others~ using the ",,ethod of the successive a .pproximati ,ns , a theorem of existence and uniq~,eness are demonstrated.

1. :Nel]o studio delle eq~mzioni e dei sistemi di equazioni differenziali in forma implicita, sia ordinarie che a det ivate parziali, sono stati dedicati numerosi lavori alla valutazione del campo di esistenza delle soluzioni senza la prevent iva riduzione a forma normale nel caso in cui le funzioni che vi intervengono sono funzioni reali di variabil i reati (ad es. [i], [2], [3], [4], [5], [9], [10]) (I). In particolare, re la t ivamente al problema di CAtChY per una equazione differenziMe orflinaria in forma implicita, del primo ordine, di ordine n e per i sistemi d i n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma implicita S. ABIAN ed A.B. BROW~ t[1], I2], [3]) hanno stabilito teoremi di esistenza ed unicit/~. R. CoN~I [5] ha~ poi, dimostrato per l' equazione differenziale del primo ordine

(E) Fit, x, x)-~ 0

con la condizione iniziale

(C) x(to) = x°

un teorema di esistenza delle soluzioni in ipotesi pifi generali rispetto ai

(i) I n u m e r i in pareI~tesi q u a d r a si r i f e r i scono a t la b i b l i o g ra f i a che t rovas i in fondo al l avoro .

Annali di Matematica 23

1_78 G. P[TIA'IRE~=TI: Eq~tctZiO~ti diffcro~zi<di iu formtt i ,~pN,it(t , ccc.

teoremi precedenti. Successivamente, prendendo lo spunto da questo lavoro, ho stabilito, in due recenti lavori t[9], [10]), due teoremi di esistenza delle soluzioni, uno per 1' equazione di ordine n ed uno per i sistemi del primo ordine, alleggerendo le ipotesi dei teoremi stabiliti da S. A]3IA~ ed A.B. Btmw~¢.

~e l presente lavoro mi oeeupo della risoluzione deI problema [E} (Oj nelle ipotesi ehe x, x, F non" siano necessariamente funzioni reali di varia- bill reali ma, pifl in generale, funzioni a valori in uno spazio di BANAOg reale o complesso (st.

In tal caso per il problema

= f(t, ~c)

Z(to) = z °

6 noto un teorema di sola esistenza delle soluzioni {[6]. pug. 226} the gene- ralizza il teorema di PEANO ed un teorema di esistenza ed unicith ottenato con ipotesi e metodi classic] (lipschitziani|h della [(t, x) rispetto alla x, metodo delle approssimazioni successive) ([7], pug. 67).

In questo lavoro stabilisco, per il problema (E) (C), due teoremi, al n. 2 uno di soIa esistenza ed al n. 3 uno di esistenza ed unicit~, ottenendo una generalizzazione dei due teoremi test~ ricordati che raggiunge il duplice intento di valutare a priori il campo di esistenza delle soluzioni e di non fare intervenire alcun teorema atto a permettere 1' esplicitazione.

2. Sia B uno spazio di BA~AOIt, X, U punti qualsiasi di esso, x°, • u ° due partieolari fra questi, I una variabile reale, to un valore di essa. Indicato con E1 lo spazio euclideo ad una dimensione, posto

g = E X B × B ,

denotiamo con S l ' ins!eme di B definito dalle limitazioni

S : I t - - t o ] ~ a, IIx--x°ll < b, Ilu--u°ll-<c_< +~x~,

essendo a, b, c costanti reali.

(e) Per la terminologia e le definizioni occorrenti cfr.E. ]=[ILLE-R.S. :PHILLIPS, [7].

G. P[;LVIrtEN~rI: Eqttc'ZiO~i diffcrcnzi(tli i~t form. implicit., ccc. 179

c~) Sia F(t, x, u) una funzione a valori in B, definita in S, ivi unifor- memente ont inua (3) e tale da aversi

(1) F(lo, a~ °, u °) - - 0 .

~) Esistano due costanti, una, ~t, reale o complessa e verif icante la relazione

(2) ~ 4 = O,

un 'a l t ra , L, reale e verif ieante la relazione

(3) 0 ___, L < 1,

per le quali si abbia

(4) II u t ~F(t, ~, u) - u0 II -< c -< + ~ , (t, x, u) e S

ed inoltre

(~) EI . ' - . " + ~[~(t, ~, .') - ~(~, ~, -")1 II < c I t - ' - u,, II (t, ~, ~',~ S

- ' (t , x , e S

7) A1 variare di (t, x, u) in S l ' ins ieme dei punti u-t-txF(t, x, u) di B sia compatto e sia M una costante positiva per la quale si abbia

(6) 11 u + ~F(t, ~, u ) I I -< lWr, if, x, u ) ~ s .

Sussiste, allora, il seguente TEORE)IA DI ESISTENZA. Se 1~(t, x, u) g ui~a funzione a valori in B, definita

i~ S e soggetta alle ipotesi oc), ~t), ,(), esiste per

(7) ~ m i n ( a , b ) ,

(~) I n questo lavoro iu tenderemo la continuith~ der ivab i l i th ed irt gene ra le la tepologia in senso forte (della norma}.

]~ appena il easo di r icordare t he negl i spazi di BANACH ta continuitt~ di una funzione def ini ta su un ins ieme chiuso e l imitato C non impliea, in generale~ la con¢inuiti~ un i fo rme (la impliea neI c.~so in eui C g un ins ieme eompatto); c[r in proposito C. ~{IRANDA~ [81 pag. 3J~.

180 G. PULVIRENTI" Equazioni differenziali in forma i mplicita, etc.

almeno una soluzione det problema

(E)

(c)

Dimos t raz ione .

F(t, ~, ~ ) = o

x(to) = zo C).

Consider iamo l ' equaz ione in tegrodi f fe renz ia le

(E') t

t,)

(love F in tegra le 6 un in tegra le di RrE~fAN~¢ per le fun~ioni a valori in uno spazio di BANACg. E' chiaro che la r isoluzione del p rob lema (E) (C) si 6 eonsegu i ta non appena r isol ta la (E') con un q u a l u n q u e val6re f issato per ~=~=0 perch6, in tal caso i! p rob lema (E) (C) e l ' equaz ione (E') sono equ iva len t i ([7], pag. 67). Allora, supposto di f i ssare la cos tante ~t in man i e r a che sia sogget ta aIle ipotesi ~) e 7), ponendo :

gq, x, u ) = u + ~ F(t, x, ~), (t, x, u) ~ S,

si definisce in S una nuova funzione a valori in B, uniformemente continua. in S, che trasforma questo insieme in un insieme compatto di B e tale da aversi per ta (t)

(s) g(to, ~o, u o ) = uo,

per la (4)

(9) [I g(t, x, u) - - 40 II -< c, (t, x, u) ~ S ,

per Ia (5)

(lo)

e per la (6)

(11)

1] g(t, x, u') - - g(t, x, u") ]1 <-- L l] u' - - u" H ,

[I g(t, x, u) [I - - ~ ,

(t, vc, u') e S (t, x, u") ~ S

(t, x, u ) e S .

(4) Per soluzione del problema (E) (C) intendiamo ogni fanzione x{t), a valori in-.B, definita in,an intorno J di t0, ivi eontinna assieme alia derivata prima, verificante la (E) per t~J ed inoltre la (C)

G. PULVIRENTI: Equc~zio~d differenziali in forma implicita, ecc. 1S1

Per le ipotesi fatte l ' equazione (E') si pub serivere

(E") t

~(0 = ~o + f g(~, ~(~), x(~))d~. to

Per la risoluzione della (E') si possono utilizzare i metodi del l 'anat is i funzionale e, in particolare, it teorema di SeI{AVDER (~).

Sia Y, lo spazio delle funzioni x(l), a valori in B, continue in I = { t ; I t - - t o [ <--'~t assieme alle loro derivate prime x(t); tale spazio con la posizione

I x l - - sup I I x ( O I l + sup IIx(t) ll t e l t e l

r isul ta lineare, normale e completo. Denotiamo con H l ' ins ieme dei pont i di Y, per i quali si ha :

(12) ,,(to) = ,~o,

(13) I1 x(tl) - x(t~) II <--' M I t~ - - t~ 1, t~, t ~ e I ,

0 4 ) II ~(t) - - uo II ~ c , t e I (°).

Dalle (t2) e (13) segue

II x( t ) - - xo li ~ b, t e 1 .

Indicato con ~ un numero non negative e posto

,.,,(~) = sup t l , to. e l mc~ H

II g(tl , x(tl), ~(tl)) - -g ( t~ , x (Q , x ( Q ) I I ,

(~) Cfr. J. SCHAUDER, [11]; per le nozioni sugli spazi funzional i occorrenti por l ' appl i - cazione dl esso cfr. C. MIRANDA~ [8].

(~ L ' i n s i e m e H 6~ ovviamente , non vuoto facendone parle acl es. il punto, d i v X°+u°(t--to).

182 G. PULVlRE~I: Equ(tzio~ti dif.ferc'~tzi(di i~ ]orma, implicit(t,, ccc.

segue d a l l ' u n i f o r m e eont inui t f i del la fuaz ione g(t, x, u) e dat la (13) che

l im o)(<s) - - 0.

Det to K l ' i n s i e m e dei punt i di H per i qua l i si h a :

(15) tl x(td - - x ( Q II < ~o( I t~ - t~ I ) (~) 1 - - L

si d imos t ra f ac i lmen te ehe K ~ un ins ieme chiuso e convesso. Infa t t i se un punto di a ceumulaz ione di pun t i di K, per ogni

un pun to x di K per il qua le si h~t:

IX--ml<*

e, di conseguenza ,

X > 0, si pub t rovare

II x ( t ) - x( t) tl < ~, t ~ z ,

II x ( t ) - ~(t) tl < ~, t e z ;

r i su l ta , al lora, ve r i f i ca ta pe r X(t) la (12) e, essendo in I

It x ( t d - x ( t 2 ) It ~ II x ( t d - x ( t l ) I1 + It x(t~) - - ~(t2) It + I1 x(t.~) - - x ( t ~ ) il <

< 2 ~ + M I t l - - t ~ l ,

11 2 ( t ) - z,o II ~ II 2 ( 0 - x(t) IJ + I1 x ( 0 - - uo I1 < ~ + c,

II 2 ( t d - -~%) 11 ~ It 2 ( t d - - ~(t~) li + tt ~(t~) - - ~(t~) if + II ~(t~) - 2(t~) li <

< 2 ~ +~o( I t~ - - t~ t) 1 - - L

per l ' a rb i t r a r i e t~ d i e seguono anche le (13), (14) e (15); 6 d imos t ra to qu ind i t h e K ~ chiuso.

(7) II punto x~+~°(t--to) fa parte anche dell'insieme K, ehe pertauto non ~ vuoto.

G. Pui~vIanN~I: Equazloni diffcrc~,ziali i~ forma implicita, ccc. 183

Se, poi, xl ed xz sono due punti di K anche i punti

a x l + (1 - - a)x~, 0 < ~ < 1 ,

appartengono a K in quanto, come 6 immediato ~xl(l) + (1 --a:)x2(t) soddis[ano, per 0 < ~ < 1, alle e (15); quindi K 6 convesso.

Consideriamo, ora, la trasformazione funzionale:

verificare, le funzioni relazioni (12), (13), (1.4)

(T) y - - T@)

definita associando ad ogni punto x e K il punto y costituito dalla funzione data datla relazione

t

v(t) = ~o + / g ( : , x(~), x(~))a:, t~

t e l .

Tale tvas[ormazione fa corrispondere ad ogni punto osEK un altro punto y pure esso contenuto in K. Infatt i si ha :

yCto) = zo

per la (11)

II y(t~) - - y(t~) II ~ M I ~ - - t~ I , t~ , t~ ~ I,

per la, (9)

il ~)(t) - ~,o li -~ e, t E I

e, per le (10) e (3)

II y(t~) - y(t~) tl ~ II g(t~, x(t,), x(t~)) - - g(t~, x(t~), x(t~)) [1 +

+ II g(t~, ~(t~), ~ ( t , ) ) - g(t~, ~(t~), ~(t~))il

<_ co ( [ t~ - - t~ I ) + L [] x(t~) - - ~(t~) II <-

] ~ + L to( I I) to(] t~--t~ l ) <~¢o( I /~-- /2 - - 1 - - L - - 1 - - L

184 G. PULVIRENg'I: Equazio~l,i dif]erc~wi(~li lit forma implicita~ etc.

Proviamo, infine, che la trasformazione (T) gode delle seguenti pro- priet~ :

1 °) E continua in K. 2 °) Trasforma 1' insieme K in un insieme compatto.

Dimostriamo prima la 1°). h_ tal fine consideriamo una qualsiasi succes- sione {x,,} di punti di K convergente ad un limite x, cio6 due sucecssioni di funzioni {~c,.(t) t, /x,,(l) t convergenti un i formemente in I verso due funzioni, x(l), x(t). Ponendo:

t

y,,(t) f to

t c I

e, convergendo la successione {g(t, xn(/), ~n(t))} uni formemente in 1 alla funzione g(t, x(t), x(l)), per il teorema sul passaggio al limite sotto il segno di integrale ([7], pag. 65) si ha :

t

lira y~(t) = t~

la convergenza essendo uniforme per(.h4 le funzioni y(t) sono equicont inue in I (8). Avendo, anche, implic i tamente osservato che la suceessione fy,,(t)} ~ {g(t, xn(t), x,,(t))} converge uni formemente a y(t) resta assicu- rata la 1o).

Dimostriamo, ora, la 2°). A tale scopo sia allora {y,~} una successione di punti (di E) appartenent:i al trasformato, mediante la (T), di K. La corrispondente successione {y,(t)} 6 costituita, quindi, di funzioni equicon- t inue in 1 le quali assumono, per costruzione, valori appartenent i ad un insieme compatto di B Ne segue (") che dalla successione {y,(t)} se ne pub estrarre una l ynk(t)} uni formemente convergente in I e lo stesso pub dirsi, allora, della succcssione }~j,k(t)}. Si ha, quindi, che la successione (di punti di E) {y%} 6 convergente in E e percib 6 provata anche la 20).

Viene cosi dimostrata, per il teorema di SCI~AUD]~R, t 'es is tenza di

(s) Cib sl "cede ragionando come nel caso delle funzioni reali. (9) Con ragionamento analogo a quello che si fa per provare il teorema di A SCOLI

nel caso the le funzioni considerate siano reali.

G. PULVIRENTI: Equazioni differenziali in forma im~plivlta~ ccc. 185

almeno un elemento uaito ~c* per la t rasformazione (T), cio~ di una soluzione della (E') e qtfindi di una soluzione del problema (E) (C).

3. Consideriamo, adesso, le ipotesi seguent i : a') S i a F(t, x, u) una funzione a valori in B

ivi continua. ~') Esistano tre costanti ~t, A, L, la pr ima reale

seconda e la terza reali, verif icanfi le relazioni:

definita in S ed

o complessa, la

1 - - L (16) 0 < : L <( 1, A > 0 , 0~1~1< A a '

per le quali si abbia:

(4) I1 u + ~F (t, x, u) - uo II <-~<- + ~ , (t, x, u) ~ S

ed inoltre

(5)

nonch~

07) II ~(t, ~'~ u) - .z:% ,~", u) II ~ A II x ' - - x" I I ,

y') Esista, infine, una costante M ~ 0

II u ' - u " + ~[~(t, x, u') - F(t, x, u")] II ~- L II u ' - u" II,

tale che :

(t, x, u ' ) ~ S (t, x, u " ) e 8

(t, x', u) e S (t, x", u) e S"

(6) II u + ~F(t, x, u) 11 ~ M, (t, x, u) ~ 8.

Sussiste, allora, il seguente

TEOREMA DI ESISTENZA ED UNICITA=. Se F(t, ~c, u) d una funzione a valori in B, definita in S, soggetta alle ipotesi £), ~'), y'), esiste per l t - - t ° 1 ~ 8, con

una ed una sola soluzione del problema

(E) F(t, x,, ~ ) = 0

(c) ~(to) = ~o.

Annali dt Matematica 24

186 G. t)ULVIRENTI: Equaz lon i d i f fere~zial i i J~ f o r w a impl ic i t% ece.

D imos t raz ione . Per quanto osservato al n. 2, usando Io stesso simbolismo, bastu ora risolvere' l ' equazione (E") tenendo presente che per le ipotesi ~'), ~'), ,,"), la funzione g(t, x, u) verifica le relazioni seguenti: per la. (4)

(9)

e, per l~

(11)

Si ha :

IIg(t, ~, u ) - u ° l l ~ c ,

(G),

(6 x, u ) e S

II g(t, x, u) I1 ~ M, (t, x, u) e S .

[l g(t, x', u') - - g(t, ~", u") II ~ [ ~ I [1 F(t, x', u') - - F(t, w", u') H -1-

e d infine,

(18)

la funzione g(t, x, u) verifica, per le (17) e~(5), la rela.zione:

+ II u' + ~F(t, ~", u') - - u " - ~F(t, x", u") H,

posto

I ~ I A = D > O ,

(t, x', u') e S (t, ~", u")e ~9

' S u,,) . , (19) !1 g(t, x, , u') - - g(t, x ' , II - D ll - [I -I- L II - - l] , (t, x", S'

Per risolvere Ia (E") definiamo per t e l due suecessioni di fianzioni continue, a valori in B, nel modo seguente :

(20)

t

x~(t) = zo + f g(% ~o, uo)cz~ to

ul(O = g(t, xo, uo)

(21)

t

x, (t) - - ~c ° + fig(z, oe,._l(:), u , . _ l(z))dz , )

to

u,.(t) = g ( t , x , _ l ( t ) , u , . _ l ( 0 )

, r : > 2,

per cui r isulta in I:

(2:~) x, (to) = ~o II ~, (t) - ~° II - < - ~ --: b, [I u, (0 - ~° [I <--- o, (r = l , 2, . . .).

G. PULVIREN~_'I: Equazioni differcnziali in forma implicita~ ccc. 187

Si ha, intanto, per r ~ 2 , l e I

u,.+~(t) - - u,.(t) - - g(t, ~,.(t), u,.(t)) - - g(t, x , ._ ~(t), u ._ , ( t ) )

da cui, per la (19),

(23) I1 u , . + ~(t) - u,.(t) II ~ D II x, (t) - - x ~ _ ~(t) II + L II u,.(O - - u , . _ ~ (t) Ii ;

essendo :

t

(9,~) x , (0 - x , , _ ~(0 = ([u, .(~) - u~_~(~)]a~, to

dalla (23) si ha in 1

(25) I1 u , . + ~(t) - - u,.(t) il ~ D~ s~p II u,,(~) - - u , ._ ~(~) II +

+ L ~ p I1 u,.(~) - u , -_l(~) I1

t e l ,

e, tenendo conto che il secondo membro ~ una funzione non-decrescen te di t e posto D S + L - - ) , , sic(th6

0 < ) ~ < 1 , (26)

dalla (25)

(27)

si ha :

~ u p il u , . + l ( - : ) - u, .(~) II ~ x s u p v~l to , t] v~[to, t]

e ponendo Applicando

si ha in i

e, a f o r t i o r i ,

(28)

r - - 1 volte la (27)

It u , ( ~ ) - - u, ._ 1(~) II, t e 1.

s ~ p II uJ-~) - u~(-~) II = hT

~up 11 u , . + ~(~) - u,.(,-,:) II ~ N x " -~ - • ~[to, t]

il u , . + 1(0 - u,.(t) il <- N x " - 1

188 G. PULVIRENTI: Equazioni dif ferenzioli in forma hnplieita, eec.

nonchG per la (24),

(29)

Pertanto le serie

II x,.+ dr) - - x,.(t) II -< ~N), ~ -~

u~(t) + (u.~(O - u~(t)) + (u~(t) - udO) + ...

~ ( t ) + ( x40 - x , ( t ) ) + ( ~ ( 0 - xdt)) + ...,

le cui somme parziali sono, rispettivament%

ul(O, udO, u~(,), ...

xl(0, ~d0, x 4 0 , . . . ,

sono maggiorate, nel l 'ordine, dalle serie numer iche

sup ii udt) tl + N { l + X + ~ q- ... } t ~ I

sup II xdO [l + ~Nt i + ~ + x ~ + . . . } t ~ l

convergenti per la (26). Quindi le successioni {x~(l)b {u~(/)} mente convergenti in

Posto I verso due funzioni continue.

lira xr(t)--- x(t) ,

e, r isultando dalle (20) e (21) in I

si ha ivi

e, per h~ (,,2),

u~(t) = ~,(t),

lim u¢(t) -.= lira x , (t) = x(t)

sono uniforme-

t ~ l

(30) x(to) - - x r', II x ( t ) - - xo II ~ b, II d ( t ) - - uo II ~ e.

G. PULVI~RENTI: ~quazioni differe~ziali ht forma iOn,p~iCit t7 r, eCC. 189

Nella relazione

t

to

6 leeito alloL'a il passaggio at l imite sot.to il segno di integrale poiehG r isul tando per la (19)

II a(t, x(t), ~ ( t ) ) - -g ( t , x~_~(t), u,._dt))tl <

<-- D 11 x(t) - x,--dO il + L 11 "x(t) - - u~_dt) !1, rex,

l ' i n tegrando converge uni formemente . Passando, quindi , al l imite per r - * c ~ nella (31) si ha che x(t) 6 una soluzione dell ' equa~ione ( E " ) e quindi del p roblema (E) (C).

Essa G altresi, unica. Infat t i sia y(t) un ' at tra soluzione de1 problema (E) (C) (veri[icante la (30)). Dalla (E") si ha in I

~ ( t ) - y(O = g(t, x(0, ~ ( t ) ) - a(t, y(t), y(t)),

dalla (19)

(3.9) II ~(t) - ~)(t) II ~ D II xff) - - Y(O lJ + L il x(t) - - ~)(0 II

ed essendo

dalla (32)

t

x(0 - y(t) = ][x(~) - y(~)]d~, t0

I1 o~(t) - - y ( t ) II ~ D~ sup II x(~) - - b(~) II + 5 s .V II ~(~) -- /~(~) II "~ ~ [to, t] • ~ i to , tl

e, poich6 il secondo membro dell ' u l t ima re lazione 6 funzione non decrescente di t~ si ha :

~ p fl k(~) - y(~) I1 -< z ~ p II ~(~) - d ( , ) tl e [to, t] ~:~ 'Lto, "t]

190 G. I)UL'VIR'ENTI: Eq~azioni differenziali in forma implicita~ ccc.

da cui, essendo 'b0 < ), < 1,

ed, in definitiva, essendo

~i h~ (1 °)

~(t). - - .~(0 = o, l + z

• ( t o ) - V(to) = o,

cio~ la sohz ione 6 unica.

4. 0SSERVnZlOI'~I.

Osservazione 1. Se si ha :

x(t) - v(0 = o, t ~ I,

F(t, x. u ) = u - f(t, ~)

dove u ~ u n punto di B, f(t, x) una funzione uniformemente continua

nel l ' ins ieme di El X B dato dalle limitazioni :

R: ] t - - t o ] ~ a , l l x - ~Oll ~b

the trasforma questo insieme iu un insieme compatto di B; posto:

uo = f(to, zo), c = + ~ , M = sup II f(t, x) II, L ---- 0 , ~ = - - 1 , R

il teorema del n, 2 si riduce ad un teorema di C. CORD~EA~U [6]. Se /(t, x) ~ una funzione, a valori in B, definita e continua nell' in-

sieme R, soddisfacente ivi alle relazioni:

I1 f(t,' x,) tl ~ m,

11 f(t, ~') - f(t, ~'~) I1 <- h It x ' - - x " II,

(t0) ~ noto in-fatti (err. [7]~ ~pag. 59} c h e s e la de r iva t a (~lebole e quindi , a maggio r ragione, la de r iva ta ) forte di x(t) d au l la in u a in te rva l lo a l lora x(t) 6 i v i : cos t an te .

G. I:)ULVIRENTI: Equazion~ d i f f e renz i (d i in f o r m a impl ic i t% ecc. 191

p o s t o

u ° - - f ( l o , x°), c---- +~x~, M - - m , L = O , A - - h , ~ - - - - 1 (~),

il t e o r e m a de l n. 3 si r i d u c e al t e o r e m a c l a s s ( c o ([7], pag . 67).

Osservaz ione 2. E s s e n d o u n o spaz io e u c l i d e o u n p a r t i e o l a r e s p a z i o di BANAOIt e, se c < - - ~ c~, d a l l a c o n t i n u i t ~ d e l l a f u n z i o n e F(t , x , u) s e g u e n d o l a c o n t i n u i t h u n i f o r m e p e r la f u n z i o n e u - ~ ~F(t , x, u) e l a c o m p a t t e z z a de l l ' i n s i e m e de( v a l o r ( di e s sa , d a l t e o r e m a de l n. 2 r i s u l t a , in ta l easo , il e o r e m a di e s i s t e n z a di R. C o ~ I [5].

N e l t e o r e m a del n. 3~ a n a l o g a m e n t e , 6 e o m p r e s o lo s t u d i o de l p r o b l e m a t r a t t a t o d a S. A m A ~ ed A. B. B n o w N in [2].

B I B L I O G R A F I A

[1] S. ABIAN-A.B.BRo~vN, On the solution of the differential equation f(x, y, y(1), ..., yO~))~---0 Boll. Un. Mat. I tal . , (3) 13 (1958), 383-398.

[2] . . . . . , A note on the solution of the differential equation of the type f(x, y, y') --~ O. Amer. Math. Monthly, 66 (1959), 192-199.

[3] - - -- , On the solution of simultaneous first order implicit dif/erential equations, J~cIath. Annalen, 137 (1959), 9-16.

[4] - - --, On the solution of an implicit fiq'st order partial differential equation, Rend. Ci~'eolo Mat. di Palermo~ (2} Tomo 8 (1959}, 271-296.

[5] R. CONTI, Sulla ~'isoluzione dell'equazione F(t~ x, d x / d t ) ~ O, Annati di Mat. pura ed applicata, (4) 48 (1959), 97.102.

[6] C. CORI)U~EA~U, Equazioni differenziali negli s~azi di BA~AC~, teoremi di esistenza e di prolungabilit4, Rend. Acead. ~az. Lintel, (8) 23 (1957), 226-fi30.

[7] E. I~ILnE-R.S.PHILmeS, Functional analysis and semi-groups (revised ed.) Amer. Math. Soe. Colloquium Publ. 31 {t957t.

[S] C. ~IRANDA, Problem( di esistenza in anal(s( funzionale, Quaderni matem. Seuola :Norm. Sup. dl Pisa, n. 3 ([949).

[ 9 ] G. PULVIRENTI, Sutla risoluzione dell' equ.azione F(t~ dx d~% x, 3/ ..... dtn } ~ 0, Le Matema- fiche, 13~ fasc. 2 (1958}, 126437.

[10] - - ~ , Sulla risoluzione de( sistemi di equazioni differenziali in forma implicita, Le )~atematiche, 14~ fase. 1 (1959), 31-39.

[ l t ] J~. SC~AUDER, Der Fixpunktsatz in Funktionalrdumen~ Studia Math., "2 (1930}, 171.180.

(tt) Affinchd l 'u l t ima posizione sia possibile deve essere Aa ~ 1. Una eventuale diminuzione di a d perb una restrizione inessenziale.