Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
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7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
1/93
Universit
di
Pisa
Corso
d.i
Laurea
in
Fisica
E.
Fabri
Appunti
di
Fisica
Generale
I
terza
parte
Anno
Accademico
1991-9
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
2/93
Ltoscillatore armonico
e
piccole oscillazioni
soiuzioni
qualitativo
generale
e
condizioni
dei numeri
complessi
fisico"
dei
numeri
iniziali
:
complessi
.1
.2
.3
.4
.c
.6
.1
,2
.2
.3
.4
.b
.1
.2
.3
.4
.1
.2
.3
.1
.2
.3
.b
.6
.6
'l
l
c)
I3-1
L)energia
costante
del nr.oto
cinetica
e
potenziale
della
costante
arbitraria
dell'energia
e
reversibilit
chiuse
attributo
dei sistemi
fisici
la
molecola
di azoto
potenziale
frequenza di vibrazione
della
molecola
quantistici
Il
pendolo
semplice
delle
piccole
oscillazioni
di fase
Ltoscillatore armonico smorzato
nei sistemi
dissipativi
dell'integrale
generale
risultato
critico e
oltre
complesse
finale
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
3/93
24a.
Simrnetrie
e invarianze
Simmetria
e invarianza
Invarianze dell'oscillatore
armonico
L'inversione del
tempo
.
L'invarianza
per
traslazioni
spaziali
25. Oscillazioni
forzate
e risonanza
L'equazione differenziale
Il
principio
di sovrapposizione
Il
regime stazionario
Bilancio dell'energia
Esempi
di
risona,nze
25a. Oscillazioni
forzate
e spazio
delle
fasi
L'integrale
generale
Le sezioni di Poincar
Studio
delle traiettorie
.
26. Ltoscillatore
armonico
bidimensionale
isotropo
Equazioni del moto,
integrale
generale,
traiettoria
Le costanti del
moto
,
Forza ed energia
potenziale
.
27. Ltoscillatore armonico
bdimensionale
anisotropo
L'approssimazione
delle
piccole oscillazioni
Equazione
del
moto
e integrale
generale
Il
caso
irrazionale
Le costanti del moto
.
.1
.2
.2
.3
1
2
3
o
6
$,r
P
n
U
I1
D
P
3
S
:
D
S
S
3
n
iv
h
U
L
IV
R
1
2
28. Ltoscillatore
armonico
Ltoscillatore
isotropo
Moto
piano
Un
argomento
di
simmetria
L'oscillatore
anisotropo
in tre dimensioni
.1
.2
.4
.1
,2
.3
.3
.1
.1
.2
.2
29, Riepilogo
su energia
e momento angolare
Ltenergia
I1 mornento
angolare
13-2
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
4/93
30. Integrazione
numerica
Posizione del problenra
Il
metodo di Eulero
Un
esempio
Il
metodo delle
differenze
centrali
Di
nuovo
1o
stesso esempio
Problemi
di
stabilit
30a. Oscillatori
armonici accoppiati
I1 sistema
fisico
tr'fasse uguali,
molle uguali
Integrale
generale e
soluzioni
particolari
Una soluzione
particolarmente
interessante
Le costanti
del moto
.
Masse uguali,
molle diverse
Riassumendo e
seneralzzando
3Ob.
fl
comportamento
caotico
Stabilita
di
un
sistema
di
equazioni
differenziali
Instabilit e
tempo
di
Liapunov
"Zoologia"
dei
sistemi
caotici
Due esempi
a
confronto
Studio dell'esempio
1
Studio
dell'esempio
2
.1
.1
.2
.3
.4
.4
.1
.1
.3
.4
.D
.6
.7
.1
.1
.2
.4
.5
.c
13-3
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
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2L. Ltoscillatore
armonico
Com'
noto, si
chiama
oscillatore armonico
un sistema meccanico
(in
uno
o
pir
gradi
di liberta)
costituito
da
un
punto
materiale
soggetto a
una
forza
di
richiarno
proporzionale
(e
opposta)
allo spostamento
dalla
posizione
di equilibrio.
In
un
grado
di
libert,
I'equazione
del
moto
stata
gia
scritta, sotto forma
di
sistema
del
primo
ordine, nel
Cap. 20:
essendo
fr
la
costante della fotza:
F
- -kr.
Prima
di
discutere
il sistema (21-1), vogliamo
esaminare,
almeno in
parte,
le ragioni
per
cui
l'oscillatore armonico
ha
una cos
grande e diffusa
importanza
in
tante
parti
della fisica.
Equilibrio
e
piccole oscillazioni
Supponiamo
di
aver a che
fare con
un
sistema
meccanico,
anche complesso,
che
abbia una posizione di
equilibrio
stabile:
ci vuol
dire
che
in
quella posizione
le
forze
agenti
su
ciascuno
dei
punti
del
sistema
hanno
risultante nulla
(si
fanno
equilibrio),
e
inoltre
che
uno spostamento (una
deformazione)
del
sistema
dalla
posizione
di equilibrio,
almeno
se
non
troppo
grande, produce
fome
che
tendono
a riportare
il
sistema
nella
posizione
di
partenza
(f.orze di richiamo).
Supponiamo inoltre che il
sistema
non
sia dissipatiuo:
ossia che non ci
siano
attriti,
resistenze delmezzo,
ecc.; in
altre
parole,
che le fotze
presenti
dipendano
solo
dagli
spostamenti, ma non
dalle velocit. Ci non sar
mai esattamente
vero,
ma in
molti casi sar
un'approssimazione sufficientemente
buona della realt.
L'ambito
delle situazioni
in cui tutto ci accade
assai
esteso:
-
i corpi
solidi
elastici
(in
particolare
molle e
simili)
-
un
liquido
in
un
recipiente
non
completarnente
pieno,
sotto l'azione
della
gravit
-
pendoli, bilance,
e
in
generale
sistemi
di
uno
o pir
corpi
rigidi,
vincolati
a
ruotare attorno
a
un
asse
non
verticale.
per
effetto
del loro
peso
-
gas
racchiusi
in
recipienti
con
qualche parete
mobile.
Se
anche
il
sistema
ha
piu
di un
grado
di libert,
si
potranno
spesso
ana-
Iizzare
separatamente
i
diversi
moti
possibili (quanto
meno,
questo
vero
nel-
I'approssimazione
lineare: v.
dopo); percio
il caso di un solo
grado
di liberi
un utile
punto
di
partenza per
lo
studio
di sistemi
pir complicati.
\'edremo
in
seguito, e
lo
si vedr.
piu
a fondo in
corsi successivi, che
i
sistemi
diversi
da un
semplice
punto
materiale non
presentano
propriet
sostanzialmente diverse da
questo,
e
ci spiega
perch
sia
irnportante
conoscere
bene
il
comportamento
del
sistema
piu
semplice.
,)
u:
-(t-I
(r'
-
k
l*),
(21-1)
21-1
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
6/93
Ci
siamo
dunque
ridotti
a un
semplice
punto
materiale,
che
possiamo
sup-
pore
mobile lungo una
retta, e soggetto
a una legge
di
forza
.F(t)
della
quale
sappiamo
soltanto
che si annulla
in
un
certa
posizione (che
possiamo
sempre
prendere
come origine delle
t),
e
che
ha
segno
contrario
a
a, almeno in un
certo
intervallo
intorno
a
quel
punto (fig. 21-1). Baster
allora fare
I'ipotesi
che
la
.F'(o) sia
derivabile, per poter
scrivere
F(t):-kt*o(n)''
dove
Una
forza
che
soddisfi esattamente
la legge
F(t)
:
-kx
si
chiarna
elastica
siamo
quindi
arrivati
a
concludere
che
per spostamenti ab-
bastanza
piccoli da una
posizione
di
equilibrio
stabile, ogni
legge
di
forza
pu
essere approssimata con una
forza
elastica,,
e
quindi
il
corrispondente sistema
meccanico
approssimato
da
un oscillatore
armonico.
Una
seconda
ragione
per cui I'oscillatore
armonico
tanto
importante, sta
nella semplicit
della sua
equazione
del moto:
pir
esattamente, nel
fatto che
si
tratta di
un'equazione
lineare.
Vedremo
nel
seguito
le
conseguenze di
questa
propriet
matematica;
per
ora osserviamo
soltanto
che
proprio
la
linearit a
consentire
quell'analisi separata
dei
diversi moti
possibili
per
un
sistema con
pi
gradi
di
libert,
di cui
dicevamo
all'inizio.
Quando
I'approssimazione
lineare
non sia lecita,
il
problema diventa
isrmediatamente
pir
complicato
(a
parte
casi
fortunati).
Determinazione
delle
soluzioni
Nella discussione
del sistema
(21-1)
conviene
usare,
in
luogo
di
,,
la
gran-
dezza
u
definita
da u
:
ule
(si
noti
che u ha
la dimensione
di
una
lunghezza).
Allora
le
(21-1)
si
scrivono
(2r-2)
Nel
piano
delle
fasi
(o, u)
introduciamo
I'ordinaria
metrica
euclidea; allora
il
campo
w
ha modulo
ur,,
ortogonale
alla direzione
OP
ed diretto in
senso
or*io
(fi,g.21-D.
quindi
chiaro
che
le
traiettorie:
-
sono cerchi
con centro
in
O
-- sono
percorse
con
velocit angolare
t..'.
In formule:
r
:
Acos(cut
-
p)
u:
-Asin(ar
-
p)
(21-3)
-
uu
'tt,
:
-wc.
2L-2
-
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e le
costanti
.4.,
g
sono
determinate
dalle
:ro
:
.4
cos(c.rs
-
g)
uo
:
-A
sin(orto
-
p)
g
:
uto
f
arg(cs,
uo).
La costante
A
si
chi^"'a
ampiezza del
motol
da essa
si
ottiene
un'altra
costante
importante:
E
-
lmrzA2
:
i*r2(r2
+
u2)
-
lka2
*
|mu2
che
ha
un
significato
fisico ben
noto:
si
tratta
infatti
dell'energia.
L'esistenza
di
questa costante del
moto
non
una
particolarit
dell'oscillatore
armonico,
corne
vedremo pi
avanti.
Il
significato
fisico
di
p
il seguente:
rappresenta
la
fase
dell'oscillaaione.
All'istante f
:
gf
u
s
ha
a:
A,
i
:0,
ossiail
puntosi
trovafermo
allamassima
elongazion
e positiva.
Dunque
moti con
la
stessa
ampiezza (con
la stessa
energia)
e fasi
diverse
differiscono
tra
loro
solo per
un
ritardo
costante,
dato
da
A,gfu,
dove
Ap
la
difierenza
delle
fasi
(che
si chiarna
di
solito sfasamento).
Esame
qualitativo
Vogliamo
ora
mostrare
che alcune propriet
dell'oscillatore
armonico
si
pos-
sono
ricavare
dalla
semplice osservazione
della
fig.
21-3,
che
mostra le
traiettorie
di fase.
Tutte
le traiettorie
sono
chiuse
(sono
cicti): questo
basta
ad
assicurarci
che il
moto
sempre
periodico.
Se
infatti
il
moto
inizia
nel
punto
P6
all'i-
stante
/g, sso
torner
in P9
a un
istante
successivo /o
*
7;
dato che
si
tratta
di
un
sistema
autonomo,
il
moto
seguente
riprodurr
in
tutti
i
particolari
quello
nell'intervallo
[0,o
+T],
e
lo stesso
accadr
nei successivi
passaggl.
possiamo
quindi
affermare
che
il
grafico
della
funzione r()
consister
di
tanti
archi
tutti
uguali,
corrispondenti
a
interva.lli
temporali
di lungh
ezza
T.
Questo
?
si chiarna,
com'
noto, periodo
del moto.
Si
potrebbe
ritenere
che questo
non sia
un
gran
risultato,
visto
che
gi
contenuto
nelle (21-3)
(le
funzioni
circolari
sono
periodiche);
ma
il
punto
im-
portante
ci
si pu arrivare
senza
bisogno
di
risolvere
il
sisterna
(21-2).
Basta
sapere
che
esiste
una
costante
del
moto,
e
che
le sue
curve
di livello
sono
chiuse.
Infatti
le traiettorie
debbono
coincidere
con
queste
curve di
livello, quindi
sono
chiuse, quindi
il
moto
periodico...
Ne
segue
che
possiamo
applicare
lo
stesso
argomento
anche
per
una
forza
non
elastica
(per Ia quale potreurmo
non
essere
capaci
di
risolvere
le equazioni
del
moto)
purch
resti
vero
che c'
una
costante
del moto
con curve
di
livello
chiuse.
Nel
caso dell'oscillatore
armonico
abbiamo qualcosa
di
pir:
il
periodo
sempre
lo stesso,
qualunque
sia
l'aanpiezza
(isocronismo).
Questa
propriet
non
(2t-4)
2L-3
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
8/93
varrebbe
per
un'altra
legge
di
forza, ed
una
caratteristica
fondamentale
del-
I'oscillatore
armonico.
Come
possiamo
spiegarla?
Si vede
subito
che
una delle
conseguenze
della
linearit
delle
equazioni (2I-_2):
se
si
moltiplicano
o
e
u
per
una
stessa
costante,
le
equazioni
restano
inalterate;
ne
segue
che
se
abbiamo
trovato
una
certa
soluzione
(con
una certa
ampiezza
e un
certo
periodo)
ne
abbiamo
subito
infinite
altre,
con
ampi
ezza
qualsiasi
ma
sempre con
lo
stesso
periodo.
Inoltre
il periodo
non pu
dipendere
dalla
fase (sistema
autonomo)
e
quindi
vero
che
il
periodo
lo
stesso per
tutti
i
moti
possibili.
Un altro
risultato
di carattere
qualitativo
il
seguente:
il
campo
w
ha
un
solo
punto
f,sso
(un punto
dove
w
-
0). Se
si parte
da
quel
punto,
si
ottiene
una traiettoria
che
consiste
solo
di
quel
punto,
ossia
un
equilibrio.
Il punto
fisso
unico,
perch
I'energia
ha
un
solo minimol
vedremo
poi
che
in
altri
sistemi
le
cose
possono
andare diversamente.
Integrale
generale
e condizioni
iniziati
Dovrebbe
essere
evidente
che
le
(21-3)
ci
danno
I'integrale generale
del-
I'oscillatore
armonico:
infatti
contengono
due costanti
arbitrarie,
che possiamo
scegliere.
come
mostrano
le (2I-a),
in
modo
da soddisfare
tutte
le
possibili
con-
dizioni
iniziali.
E
utile rivedere
le stesse
cose
dal
punto
di
vista
dell'equazione
difierenziale
di partenza
(quella
di
secondo
ordine):
:
-a2n.
Ne
abbiamo
trovato
I'integrale
generale
nella forma
che
si
pu
anche
scrivere:
oppue
dove
abbiamo
posto
s:Acos(u,rt-g)
t:Acoscu(t-lr)
t
:
acosc,,r
*
sincr,'l
(21-5)
(21-6)
I
=
Qtr,
a
:
Acos
(p,
b
:
Asin
9a.
In
qualunque
forma, ci
sono due costanti
arbitrarie,
che vanno
determinate
con
le
conilizioni
iniziali;
r;r'afin
qui
abbiamo
solo
una verifica,
in
un caso particolare,
rlel
teorema
enunciato
nel Cap.20.
Le
due
forme
(2I-5)
e (2L-6)
sono per
interessanti
per
i seguenti
mo-
tivi:
nella
(21-5)
accanto
all'ampiezza.
che gia
conosciarno.
compare
la
co-
stant'
li.
che
misura
in
termini
di
tempo
la
fase dei
nroto.
Diventa
cos
evid.ente
2L-4
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
9/93
I'inuarianza
per traslazioni
temporali:
se
iD
-
h(l)
una
r -
h(t
- r),
Vr.
Dalla
forma
(21-6) appare
un
risultato
nuovo:
tutte
le
come
combinazione
lineare
dei
dlue
integrali
particolari
soluzione,
lo
anche
soluzioni
si
ottengono
f
:
cos
krtr
g
:
sin
co.
Dunque:
Ie soluzioni
dell'equazione
d,ifferenziale
i
*a2
a
:
0
formano
'uno
spazio
ueltoriale
d,i
d.irnensione
2.
Questa
una caratteristica
generale
delle
equazioni
differenzi
ali lineari
omog
enee.
Uso
dei
numeri
complessi
Esiste
un
altro
metodo
per risolvere
il
sistema
(21-2):
introduciamo
la
va-
riabile
compless
a
z
:
x*u
e
somrniamo
le
due
equazioni,
dopo
aver
moltiplicato
la seconda
per i.
Otteniamo
2
:
-iaz,
(2L-7)
che
un'equazione
differenziale
di
primo
ordine
per
I'unica
funzione
incognita
(a
valori
complessi)
z(t).
Con
questo
espediente
siamo
d.unque
passati
da un
sistema
di
due
equazioni
a un'equ
azione
sola;
il
che
pu
sembrare
banale,
dato
che
in
realt
la
(2L-7)
equivall
ancora
a due
equazioni:
una
per la
parte
reale
e
una
per
la
parte
irnmaginaria
di
z.
Cos
d,oveva essere,
perch
altrimenti la
nuova
equazione
non
potrebe
essere
equivalente
al sistema
originario;
ma
resta
un
grande
vantaggio,
perch
risolvere
f"
1Zf-Z;
molto
pir
immediato.
Infatti,
ricorda.ndo
le
propriet
della
funzione
esponenzial",
,i
,r"iifi.r
subito
che
tutte
le
soluzioni
della
(21-7)
hanno
la
forma
z
:
zo
"-iat.
(21-8)
Questo
I'integrale
generale
della
(21-7),
perch
contiene
una
costante
ar-
bitraria
(complesrut
ror
or.
sola
basta,
dato
che
I'equazione
del
primo ordine'
Anzi
si
ved.e
che
z(0)
:
z0
e
perci
sappiamo
come
trovare
I'integrale
particolare
che
soddisfa
una
data
condizione
iniziale
al
tempo
I
-
0'
Osservazione;
Inluogo
di z
- t*iu
avrerlmopotuto
porre
z::t-iu:
la
d.ifierenza
sarebbe
stata
che nella
(21-8),
e
in
tutte
le
formule
che
seguiranno,
avrerrlmo
dovuto
scambiare
i
con
-i.
Come
abbiamo
visto nel
Cap.
20a,
questo
succed.e
perch la coniugazione
complessa
un automorfismo,
per cui scambiare
i
con
-i
non
cambiala
struttura
matematica.
Di conseguenza
la
doppia
possibilit
non
ha
nessun
significato
fisico,
ma
crea
il
problema
di
dover
fare
una
scelta
convenzionale
-
e
come
tale arbitraria
-
che
per
va rispettata
con coerenza.
Purtroppo
I'uso
non
uniforme:
la
scelta
qui adottata
quella
corrente
in
fisica,
nello
studio
delle
onde
come
nella
meccanica
quantistica;
viceversa
la
teoria
dei
circuiti
elettrici
in
corrente
alternata
adotta
tradizionalmente
la
convenzione
opposta.
Perci
attenzione
2t-5
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
10/93
Il
piano
complesso
di
z
coincide col
piano
delle
fasi;
percio
la
(21-8)
mostra
subito
quello
che
gi
sapevamo,
ossia
che
il
punto
t
:
(x,u)
si
muove di moto
circolare uniforme
attorno
all'origine, con
velocit angolare
u.' in
senso
orario.
Se
poniamo
z0
:
Aeip
(rappresentazione
polare)
la
(21-8)
diventa
z
:
A
"i
(e-wt)
,
e
da
questa
si
ottengono
da capo Le
(2L-4), prendendone le
parti
reale
e imma-
ginaria.
Dunque
la
costante
arbitraria
complessa
z9 riassume tanto l'informazione
sull'ampiezzadel
moto
(che
lzsl)
quanto
quella
sulla
fase (che argzs).
66Signiffcato
fisicott
dei numeri
complessi
L'rrso
che abbiamo fatto
dei
numeri
complessi
porta
con s
di
solito
una
domanda:
possibile
attribuire
a
questi
enti matematici un
significato
fisico?
Non
di
rado si
d una risposta
perentoriamente
negativa, nella
forma:
"solo
i
numeri
reali hanno significato
fisico,
perch
il risultato
di una
misura
pu
essere
solo un
numero
reale."
Vogliamo
ora discutere
brevemente
questo
punto.
Si
deve
anzitutto
osservare che
se soltanto
i
possibili
risultati
di misure
avessero
significato
fisico, allora
neppure
i
numeri
reali
potrebbero
averne,
perch
in
realt
il risultato
di una misura
non
sar,
mai un
generico
numero reale:
che
si
tratti di
una
lettura
fatta a
occhio
su
di
una scala
analogica, o
di
uno
strumento
digitale,
o meglio
ancora di un'acquisizione
automatica
di dati,
avremo sempre
a che
fare
con un
numero
finito
di cifre, ossia
con numeri razionali
(addirittura
con
un
sottoinsieme di
questi).
Dunque
I'impiego dei reali
in
fisica
non ha motivazioni
sperimentali,
ma
si fonda nella
struttura
della
teoria.
Non
a
caso
nei Discorsi
Galileo
spende
un notevole sforzo
a
giustificare I'idea
che
grandezze fisiche come
il
tempo
o la
velocit
debbano
essere
descritte da numeri
reali:
si tratta di
un
assioma che sta
a
base
della fisica galileiana e
poi
newtoniana,
e
senza
del
quaie
non si
potrebbe
sviluppare la teoria
nella forma
matematica
che conosciamo.
Tornando
al
caso
concreto,
come
dobbiarno
allora
considerare
I'impiego
che
abbiamo fatto dei
numeri
complessi
per
studiare I'oscillatore
armonico?
A
prima
vista
non si tratta
di un
fatto molto importante:
dopo
tutto
avevamo gi risolto
il
problema
ser.za
tirarli
in
ballo Per
vedrerno tra
non
molto che in
situazioni
pir
complieate
I'aiuto fornito
dai numeri complessi
moito
apprezzabile
e non
banale.
".
Si
possono
dunque
tentare
varie
risposte:
a)
I
numeri
complessi
sono
un
puro
artificio,
un
tttrucco
matematico.tt
per
ridurre
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
11/93
)
Esiste una
ragione
"seria"
p"r
usare i numeri
complessi,
legata
alle
propriet
rnatematiche dell'osciliatore
armonico.
Lo
stesso
vale
anche
per
i
circuiti
elettrici, e
in
molte altre
parti
della
fisica.
I\on
possiamo per
ora
giustificare
la verit di
questa asserzione,
ma ci
torneremo
sopra" Le
propriet
cui abbiamo
alluso sono:
linearit
e
invarianzapet
traslazioni
temporali.
c)
Grandezze
cornplesse
possono
avere un
vero e
proprio significato
fisico.
Questo
non
vero
nel
nostro
caso, ma
diventa
vero in
altri:
I'esempio
pi
tipico
la
meccanica
quantistica.
Anche
se
il tema
troppo
fuori
del nostro
campo,
non
male
farlo
presente.
Si
sente
dire talvolta che
anche
in meccanica
quantistica
"ha
significato fisico solo
il
modulo
della funzione
d'onda,
perch
soltanto
i
numeri
reali
. .
.
"
In realt
anche
le fasi delle
funzioni
d'onda hanno
significato:
differenze
;li fase
producono
effetti
perfettamente osservabili.
Concludendo, e tutto
considerato,
sembra
corretto
affermare
che nessun
ente
rnaternatico
lt,a
significato
fisico
di
per
s: ne
acquista
una
volta che venga
irsato
in una ben detertninata teoria fisica
(la
meccanica
newtoniana,
oppure
la meccanica
quantistica,
o altre). Il fisico
ha
il
diritto
di
usare sullo
stesso
piano
tutti
gli
enti
e le strutture
matematiche
che risultino
utili e
valide
per
la
descrizione
della
realt-
2r-7
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
12/93
22.
Ltenergia
Abbiamo
visto
nel
cap.
prec.
che
un
oscillatore
armonico
possiede una
co-
stante
del moto della
forma:
n:kr2+*u'
e abbiamo ricordato
che
si
tratta dell'energia,
e
che la stessa costante
del
moto
esiste anche
per
altri sistemi.
Vogliamo
ora approfondire
il
discorso.
Esistenza della
costante
del
moto
Dimostriamo
che
per
un sistema con
un
solo
grado
di
libert
I'energia esiste
(nel
senso
che esiste una
costante
del
moto
che
s'interpreta
come energia)
tutte Ie
uohe
ch.e la
legge di
forza
non
dipende
dalla
aelocit,
ma soltanto
dalla
posizione:
F
-
F(c).
In
queste
ipotesi
il
sistema
(20-4)
si
scrive
(22-2)
dove
f :
Flm,
come
sappiamo.
Se
moltiplichiarno la
seconda
delle
(22-2)
per
u
otteniamo
u:
f(r),
-
f(a).
(22-3)
A
primo
membro c' la
derivata
rispetto
al
tempo
di
|u2;
vogliamo
mostrare
che
anche
il
secondo
membro
una derivata
rispetto
a
f.
Si
arriva
a
questo
osservando che
la
.F'
sar
la derivata
(rispetto
a
r)
di
qualche altra funzione
(che
si chia.'.'a
rna
primitiaa
di F): se chiamiamo
tale
primitiva
-7,
abbiamo
,l
dV
dx
n.
dtv("(t))
-
; ;
-
-F
:
-Tn
f(r)i,
e
perci
dalla
(22-3)
si ricava
l:u
:
f(x).
(22-7)
(22-4)
Dunque
,l
"(+mu'2*v)
-0.
n
:
mu2
+V@)
una
costante
del
moto.
che
generafizzala
(22-I).
Infatti nel
caso
dell'oscillatore
armonico
una primitiva
di
F
- -kr
data da
-V - -f,kr'}.
22-L
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
13/93
Energia
cinetica
e
potenziale
Il
primo
termine
a secondo
rnembro
della
(22-4)
prende
il
nome
di energia
cinetica,
perch
ha
a che fare
con
la
velocit.
(nLurlorq
:
"movimento")
e
viene
indicato
solitamente
con
?;
il secondo
si chiama
energia
potenziale,
per
ragioni
che
vedremo
subito.
La
(22-4)
ci dice
che .E
:
T
*
I/
una
costante
del
moto,
ossia che
per
qualunque
possibile moto
del sistema
mantiene
1o
stesso
valore a ogni istante.
(S'intende
che
tale
valore
costante
durante
il
moto,
rna
pu
benissimo
cambiare
a
second,a
delle
condizioni
iniziali:
ad es"
per
I'oscillatore
armonico
sappiamo
che
E
proporzionale al
quadrato
dell'amprezza
dell'oscillazione.)
N 7
n
V
sono
separatamente
costanti, mentre
lo
la somma:
ci
vuol dire
che
di
quanto
aumenta I'energia
cinetica, di
tanto
deve
diminuire
I'energia
potenziale, e
vice-
versa.
Possiamo
dunque
dire
che
una stessa
grandezza
(l'energia)
puo
assumere
due
forme, e
passare
dall'una
all'altra
(onseruandosi
in
totale. Ecco
il
motivo
del
termine
"potenziale":
V
pu
"trasformarsi"
in
"movimento,,"
ossia
movi-
mento
"in
potenza."
Sebbene
ormai
questa
concezione
aristotelica
sia del
tutto
estranea
aI nostro
modo
di
pensare, vediamo
che
sopravvive
nel linguaggio.
assai
utile
avere
sempre
presente
il
gioco
di scambio
tra
V
e T
durante
il
moto.
A titolo
di
esempio,
illustrirtnolo
per
l'oscillatore
armonico.
Dalle
(21-3)
si
ottiene
subito
v
-
+le
A2
cos'}
{ut
-
e)
f
:
,b42
sin2(
rt
-
v\
e
i corrispondenti
grafici in funzione
di
1 sono
tracciati
in fig.
22-1.
Un'altra
utile
applicazione
della conservazione
dell'energia
si
ottiene
tra-
sformandola (22-4)
in
una
disuguaglianza.:
poich
certamente
? )
0,
sar
necessariamente
V(x\ E
(22-5)
ne
segue
che
il
moto
pu
svolgersi
soltanto
in
quelle regioni
dell'asse
r
in cui
l'energia
potenziale non
supera l'energia
totale
{frg,.
22-2).
Ruolo
della
costante
arbitraria
Abbiamo
sempre
scritto che
-V
b
u.rt,a
pnmitiva
di
.t',
e non
/a
primitiva.
perch
dalla
definizione
si capisce
che
questa
non
pu essere
nnica:
se aggiun-
giamo a
V
una
costante
qualsiasi,
la
sua
'lerivata
non
cambia.
Ne
segue
che
I'energia
potenziale V
definita
&
rneno d,i
uns,
castante
arbi,traria,
e Io
stesso
accad,e
di
conseguenza
per
l'energia
tato,le
Fl
Questa
costante
arbitraria
pu
essere
faciirnente
motivo
di equivoco,
specie
se
la
si
confonde
con I'arbitrarieta
del
valore d;
.E
in
diperrclenza
delle
condizioni
iniziali"
\'ediamo
dunque
come
si
cleve
tagi().trare
22-2
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
14/93
Data una
legge
di
forza,
questa
determina
V a
rneno d.i
una costante:
ci
vuol
dire
che
sta a
noi
scegliere
il
valore
della
costante,
ad
es.
assegnand,o con-
aenzionalmente
il valore
di
I/
in
un
punto
(cio
per
una certa r).
Esempio
t:
Nel
caso
dell'oscillatore armonico
potremo
decidere che
V(0)
-
Q;
questa
una
scelta
naturale, perch
r
:
0
la
posizione
di
equilibrio,
in
cui
V
assume il
valore
minimo;
ma non
affatto
obbligata.
IJna
volta
fatta
questa
scelta,,
non c'
pir
nessuna
arbitrariet,
ne
in V
n n
E: saranno
possibili
moti
con
diversi (infiniti) valori
di .O
(naturalmente
2
0), u
ciascuno
dei
quali
corrisponder
una
diversa
ampiezza.
Esempio
2:
Se
Ia forza
non dipende da r
(come
per
il
campo
gravitazionale
in
prossimit
della
superficie terrestre)
abbiamo
V
:
mg
f
c, avendo orientato
I'asse
r
verso
I'alto.
Possiamo
fare
anche
qui
I/(0)
:
0, e
risulter c
-
0;
ma
non
I'unica scelta possibile,
e
in
qualche
caso
potrebbe
convenire
scegliere
diversamente.
Esempio 3: Per il
campo gravitazionale prodotto
da una
massa
a
simmetria
sferica
(oppure
per
il campo
elettrico
di una carica)
si
trova cheV xLf
r,, se
r
la
dista.nza
dal centro
di
simmetria, e
se
si decide di
avere
V
---+
0
per
r
--)
oo:
per
quanto
questa
sia quasi
sempre
la
sceita
pir
comoda, non
obbligatoria.
Per
quando
diciamo
che
I'energia
dei
livelli dell'atomo
d'idrogeno
data
dalla
formula
di Bohr
F
Tl
-
mue4
(unit
CGS)
(22-6)
2f'r2n2
sottintendiamo proprio
quella
scelta:
se decidessimo
di cambiarla,
dovrernmo
modificare
anche la
(22-6).
Possiamo esprimere
in un altro modo
il fatto che
durante
il
moto E
-
T
*V
resta
costante:
se
usiamo gli
indici
1
e
2
per
designare
i
valori
a due
istanti diversi,
avremo
"r
+
Vt
-
Tz
*
Vz
:+
T2
-
Tt
-
Vt
-
Vz,,
che
possiamo
scrivere
cos:
A?:
-LV.
In
parole:
la variazione
dell'energia
cinetica
sempre
uguale e
opposta
a
quella
dell'energia potenziale.
Il fatto importante
che
in
questa espressione
la costante
arbitraria insita
inV
si
cancella,
perch
la
stessa nei due
istanti.
Si
vede
clunque
che
tale
costante
non
ha influenza sul
calcolo di
?,
quindi
della
velocit,
ecc.
Conservazione
delltenergia
e
reversibilit
Un sistema
nel
quale
esista la
costante
del
moto clell'energia
si chiama con-
.ceraatiuo.
Possiamo
dunque
asserire
che
ogni sistema con
un
solo
grado
di
libert,,
in
cu'i le
forze
non
dipendano
dalla
uelocit",
conseruatiuo.
22*3
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
15/93
E
importante
avvertire
che
questo
risultato
non
s'i
estende
a
pi, gradi,
di li-
bert,:
in tal caso
la
condizione
perch
il
sistema sia conservativo
piir
restrittiva,
e
la
vedremo
nel
seguito.
Chiediamoci
ora com'
fatto
il
campo
di
velocit
w
per
un
sistema conser-
vativo
(sottinteso:
a un solo grado
di libert).
Ragionando
sulle (22-2),,
si
vede
che
in
due
punti
del
piano
delle
fasi
che
abbiano
la
stessa
e
u opposte,
si
avr
la stessa
, mentre
sar contraria;
dunque
il campo ha I'aspetto della
fig.22-3.
Ne
segue che
a ogni
arco di traiettoria
nel
semipiano
superiore
ne corrisponde
uno simmetrico
nel semipiano
inferiore
(che non far
parte
necessariamente
della
stessa
traiettoria)
e
i
due archi sono
percorsi
in
senso opposto
(frg.
22-q.
Ailo
stesso
risultato
si
poteva
arrivare
anche dalla
(22-4),
che
per
una
data
e
fornisce
due
valori
opposti
di u:
(22-7)
A
quali
moti
corrispondono
i
due archi
di traiettorie simmetrici che abbiamo
trovato?
Se
indichiarno per
brevit, con
A
e con
B
i
due
moti,
abbiamo
che
in
ogni
punto
o
il moto B
passa
con
velocit opposta
al moto
A:
dunque se
A
impiega
un certo tempo
Af
per
andare
da una
certa o1 a una certa 12, invece
B
nello
stesso tempo
Af
andr da
x2 d
rr.
Se
facessimo
una registrazione video
del
moto
A,
e
poi
la
guardassimo
all'indietro,
avrerruno
proprio
il
moto
B.
Conclusione: se
per
un sistema
conservativo
possibile
un certo moto,
anche
possibile
quello
che si ottiene
inaertendo
il
senso
del tempo.
Un
tale
sistema di dice reaersibile. Abbiarno
dunque
dimostrato
il
Teorema:
I
sistemi conseruatiui
sono reaersibili.
Per
comprendere come
questo risultato sia
tutt'altro
che
banale,
basta os-
servare che esistono sistemi non reaersibili
(an:zi,
nel
mondo
reale sono
la regola )
Esempio:
Se registriamo
il
moto
di un
pendolo reale,
avremo
un'oscillazione che
si
smorza: piir
o meno
velocemente, ma
senza
via di scampo. La registrazione
vista
all'indietro apparir
inverosimile,
perch
mostrer
un
pendolo
inizialmente
fermo
che
pian piano
si mette
in
oscillazione da
solo, con ampiezza senpre cre-
scente. L'esperienza c'insegna
che
questo
un moto
impossibile,
il che
vuol
dire
che
il
pendolo
reale irreaersibile.
Traiettorie
chiuse
LIna
situazione particolarmente
importante
si
presenta quando
esiste
un
solo
punto
r
in
cui
V'(r)
:
0,
e
questo punto
di minimo
per
I'energia
potenziale,
mentre
'IT"
v(')
-
+oo'
In
tal
caso tutte Ie traietlorie di
fase
sono
chiuse
(e
percio
tutti
i
moti
sono
periodici)"
22-4
rz(')).
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
16/93
Osserviamo
in
primo
irrogo
che
il canrpo
w
ha urr
scilo punto
fisso:
infatti
r
="
0 richiede
che
il
punto
fisso
abbia
u
:
0,
mentre
:
0 impone
l(r) -
0,
cio
V'(r)
:
0.
Le
coordinate
del punto
fisso sono
dunque (t,0).
Su
ogni
altra
traiettoria,
w
non
si
annuila
mai.
Mostriamo
poi
che
le traiettorie
sono
tutte
limitate,
ossia
che per
ogni
traiet-
toria
esiste
un
rettangolo
che
la
contiene
interamente.
Per quanto
riguarda
la
r
la
cosa
discende
dalla
disuguaghranza
(22-5):
infatti
per
ogni
E
> V*i,,
esistono
due
soli
punti,
rrro
11
a
sinistra
di e,
e uno
z
destra,
nei
quali
V
:
E;
e
soltanto
nell'intervallo
[rt,*r]la
(22-5)
soddisfatta.
Quanto
a
u,
basta
usare
la (22-7),
che implica
T,
_
l'l
0).
Ecco
ora
il
problema:
se
le
cose stanno
cos,
com'
possibile
che da due
atomi separati
si formi una
molecola?
Due atomi
potranno
s avvicinarsi, ma
poi
dovranno separarsi
di nuovo, con
la
stessa
velocit. con
cui si sono
avvicinati
La risposta
che abbiamo
trascurato
effetti dissipativi,
ossia
interazioni
che
fanno diminuire
I'energia
del sistema.
La
pir
ovvia I'emissione
di radiazione
elettromagnetica:
durante
l'urto
si
puo
avere
irraggiamento,
per
cui
I'energia
meccanica
non
si
conserr.ra
(urto
anelastico). Se I'energia
perduta
maggiore
di
.8,
il
sistema
rimane
con energia
negativa,
e
non
pu pir
separarsi: gli
atomi
sono
costretti a
oscillare
intorno alla
posizione di equilibrio
(fig.
23-5). Nel
corso
di
queste
oscillazioni
si
avr un'ulteriore
emissione
di
radiazione,
e
per questa
via
la molecola
si
porter
alla
minima energia
possibile,
che
vale
-.81.
Effetti
quantistici
Anche
se
in
tutto
il
nostro
ragionamento
non
abbiarno
tenuto conto di
effetti
quantistici,
essi
esistono
e sono anche
essenziali
per
la
validita
del
modello
che
abbiamo
fatto,
per quanto
ci
possa
sembrare
paradossale.
Un
atomo
di azoto in
quiete
ha
un
insieme
di
possibili
valori
della sua energia
(i
cosiddetti
"livelli
energetici"):
dal
pir
basso
al
successivo
ia
differenza
di
oltre 2eY,
ossia
pir
di
3.10-leJ.
Ne
segue
che
se non
disponibile
un'energia
maggiore
di
questa,
non
possibile cambiare
I'energia
dell'atomo,
che
perci
si comporta
proprio
come
t'atomo,"
ossia
come se
non
avesse
gradi
di
libert
interni.
E
questo
che
giustifica
il
nostro
modello,
in cui
abbiamo
trattato
gli
atomi come
punti
materiali.
Invece
le
distanze
fra
i livelli
di energia dovuti
alle
vibrazioni
della
molecola
valgono
hu
ru
0.5
.
10-le J,
cio
sono nettamente
pi
piccole (anche
se non
molto): ne segue
che
ci
sono
situazioni in
cui
vengono
eccitate le
vibrazioni,
senza
disturbare
gli atomi
come
tali.
lYofa:
In
realt
le
cose
sono
piir
complicate di
cos;
ma
qui
vogliamo soltanto
dare un'idea
di
quello
che succede,
anche al
prezzo
di
qualche
imprecisione.
Il fatto
che
V(r) non
sia
esattamente
una funzione
quadratica
di
r
-
z6
ha
una conseguenza:
non
si tratta di un oscillatore
armonico,
quindi
le oscillazioni
non sono isocrone.
Dovr
esserci una dipendenza
della
frequenza
dall'ampiezza.
23-4
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
21/93
Dal
punto
di
vista
sperinrentale.
le
oscillazioni
deila
rrtolecola
si vedono attra-
verso
I'emissione
e
assorbimento
di
radiazione
elettromagnetica
(infrarossa,
corne
risulta dalla
frequenza).
Se
si
trattasse
di un
vero
oscillatore armonico,
si do-
vrebbe
vedere
una
sola
frequenza, mentre
in
realt
se
ne trovano
parecchie vicine
tra
loro.
In
termini
quantistici,
I'isocronismo
dell'oscillatore
armonico si
traduce
nell'equidistanza dei
livelli
(fig.
23-6);
I'anarmonicit
significa
che
i
livelli
non
sono
pir
equidistanti,
e
di
conseguenza
i
salti di
energia
in emissione
e in
as-
sorbimento non sono
tutti
uguali
(fig.
23-7). La
relazione
d.i
Bohr L,E
-
hu
implica
allora
che si dovranno
vedere diverse frequenze
vicine,
anzich
una
sola.
Un
ultimo
effetto
quantistico
il
seguente:
I'energia minima
di oscillazione
non
zero
(un
oscillatore
quantistico non sta
mai
fermo ) ma
vale
h".
Ne
segue
che
I'energia
di
legame
non
lV(*o)|,
*r lV(*o)l- |hu:
perci
lV(ro)l
un
po'maggiore
di .Er.
Coi nostri
dati avremmo 1.23
invece
di
1.18: una
diffete\za
deL
4%.
23-5
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
22/93
23a.
Il
pendolo
Molte delle
idee
che
abbiamo
introdotte nei
capitoli dal 20 al 22
trovano
applicazione
nello
studio
del
pendolo,
che un sistema meccanico di grande
in-
teresse
sia teorico,
sia
sperimentale.
La
sua
prima schemalizzazione
il
"pendolo
semplice."
Il
pendolo
semplice
Si
tratta
di
un
punto
materiale
vincolato
a
muoversi
(senza
attrito)
lungo
una
circonferenza
verticale
(fig.
23a-1).
Le
forze agenti
su 77? sono:
il
peso
F
:
*
e la reazione
i
del
vincolo,
di grandezza
incognita,
ma d.irezione
cer-
tamente
radiale.
Si
noti
che
il
vincolo
supposto
bilatero,
per cui
il
verso
di
i
pu
essere qualsiasi"
Abbiamo
dunque
*i
:
m
+
i,
le
cui
componenti
tangenziale
e normale
sono:
ml
-
-mg
sin
19
-ntlz
:
n'Lg
cos
+
T,
(23a-1)
avendo
indicato
con
T,la
componente
radiale
di i
(che
in figura
2u.,6:
chiameremo
questo
il
caso aperiod,ico
2)
I
-
2ao: abbiamo
gia
detto
che
questo
prende il norne
di
caso
critico
3)
^y
12as:
questo
il
caso
oscillante.
Nel
caso aperiodico
le
due
radici sono
reali,
positive e distinte;
di
conse-
guenza
anche z sar,
reale.
Se
indichiarno
le
radici
con ,\1 e
2,
avremo in
corrispondenza
due
soluzioni
per
z:
Zt
:
:l0 a-1u'rof
ro
^fta
+1_
2ao
es'
7rx
-n
--l-;-
zQO 0
ro
zz
:
zZ0
"-
)'zQst
24-7
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
33/93
Poich
deve essere
z\: t
*
rz
22:r*zu
elimirrando u si trova
l'integrale
generale
,
-
---1-
(rrro
"-),zutot
-
zznr-ru;o)
^1-^2
(24-10)
dove zr0,
220
sono due
costanti arbitrane
reali.
La
ragione
del
nome
"aperiodico"
che in
questo
caso non ci sono oscil-
lazioni:
infatti entrambi
i
termini della
(21-10)
decadono nel tempo con legge
esponenziale.
Il
caso
critico
stato
gi
brevemente
trattato, e non
occorre aggiungere
altro.
Nel caso oscillante
che conviene riscrivere
z
:
z0
e-1t/2
"Ti'''tt.
Il
doppio segno ricorda
che
esistono
due
radici.
e corrisponde alle due
scelte
possibili
(i
oppure
-i)
che avevamo
per
l'osciilatore
armonico
puro.
Le due
radici sono tra loro
coniugate,
e come
si vede dall'equazione,
il
loro
prodotto
vale
1: ne segue
ll
-
1.
Dato che la soluzione
complessa, lo stesso
vero per
la
condizione ini-
ziale
zs,
che
dunque
contiene
suffi.cienti
informazion
per
fornire anche l'inte-
grale
generale
del
sistema
di
partenza" Per
coerenza
con quello
che abbiamo
fatto allora, terremo
anche
qui
il
segno meno:
i,,t".",sante
osservare
.n"
"",:n
::::;.":
z Ia
(21-'1)
rapp'"'":::
"t:l
spirale logaritmica,
che
si avvolge
in
senso orario attorno all'origine
(fiS. 21-4).
Solo
in
questo
caso, e non negli
altri,
si
pu
parlare di autosimilitudine: infatti
z(t
*
T)
:
z(t)
e-t/zr
perch
il
termine
"-iat
ha
periodo 2r
f
a
-
T.
Dunque dopo
il
tempo
?
posizione
e
velocit si riproducono
con una riduzione
in
scala,
ecc.
Come
si
ricava
c
dalla
(24-17)?
Sarebbe
sbagliato
prendere
semplicemente
la
parte
reale,
perch
non
immaginario
puro.
Se
scriviamo
le due relazioni
z
:
c*,\ u
* ,
\*
z
-r+^u
invece
I'integrale
z:
z\e
generale
dalla
(24-9)
-
4r.,,6
t
24-8
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
34/93
ed eliuniamo
u. troviamo
(24-r2)
Si noti
che
in realt
nella
(24-12)
entrano
tutt'e
due le
soluzioni,
esattamente
come
nella (24-70),
attraverso z
e z*.
Possiamo semplificare
la
(21-
12)
se
scriviamo in modo diverso la relazione
fra
z, r e u,.
Invece
di z
-
r
-f
),u
poniamo
.a0
(r
\
';
\
*"/
(questa
non
che
la
vecchia
z
moltiplicata
per ic....'6
l"o):
allora
si
verifica,
gio-
cando
un
po'
con
i
numeri
complessi,
che
in
luogo della (24-12)
vale
x
:
frz
(24-13)
(qui
ft
sta
per
"parte
reale")
e
che
perci
le
(2a-6)
si ottengono
prendendo
zg
-
AsiP.
E
chiaro che anche
con
la nuova definizion
e
tli z resta
valida
l'equazione
diffe-
renziale
(24-9),
e
perci
la sua
soluzione
(21-11).
Osserviamo
che
dalla
(24-LI)
si ricava immediatarnente
lrrl'
:
lzol'
"-",
che
fa
pensare
all'andamento
nel
tempo dell'energia, dato dalla
(24-8).
La
cosa
non
casuale: infatti
,.2 /d , ,.2
l,l,
-
zz*
:
#
(;
*")
(^.
u,)
:3k,
+u2
+
,"r.
Gi
sappiamo che
12
*
u2
proporzionale
all'energia;
il
terzo
termine
poco
importante per
due
ragioni:
-
sempre
piccolo
se
7
(
o.ro
-
un termine oscillante,
il
cui valor
medio di
secondo
ordine
inlf
".s.
Possiamo
dunque
dire che
in
sostanza
lzl2
misura I'energia dell'oscillatore
(a
parte
un fattore costante).
Riflessione
finale
Abbiamo visto
che
in
questo
problerna
nrolto utile
usare
numeri complessi,
grazie
ai
quali
abbiamo
ridotto
il
sistenra
di
equazioni
differenziali
a una
sola
eqrrazione
di
primo
ordine;
abbiamo anche'visto
che si finisce sempre
per
cadere
in
urra
soluzione
di tipo
esponenziale.
naturali:
chiedersi
il
perch
di
qrresti
fatti.
24-,9
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
35/93
Si
potrebbe
credere che la riduzione di
due equazioni a una sola,
ma
con
incognita
complessa,
dipenda
dal fatto
che
un
numero
complesso
equivale
a due
reali,
ma non
cos;
lo
stesso
risultato
vale
per
sistemi
di
equazioni
differenziali
di
qualsiasi
ordine
e
in
qualunque
numero,
purch
lineari:
la,
linearit,
il
fattore
decisiao.
Osserviamo
che
nel piano delle
fasi
(r,
u)
il
campo
w
delle
velocit
dipende
iinearmente
dal
vettore
posizione
r: possiamo vedere questa
dipendenza
lineare
come
una
matrice:
(+\:(
o
,.)f"l
\u/ \-,,r0
-1
/ \u/
o in
forma
pi
astratta:
w
-
[Jr.
Il calcolo che
abbiamo
fatto
stato
semplicemente la ricerca degli autouettori
di
t/.
Sia
infatti
11
un autovettore:
abbiamo chiamato
-.\o.rs
il
corrispondente
autovalore, avendo
cos
ir :
[/rr
-
-.c.',sr1,
(24-11)
e
da
qui
segue tutto
il
resto.
C'
solo
un
problema:
non
affatto detto che
una
matrice reale
abbia sempre
autovettori
e
autovalori: I'equazione che
deterrrrina
gli
autovalori pu
avere radici complesse. Ecco dove
entrano in modo determinante
i
numeri complessi: ci assicurano
la
possibilit
di
trovare
gli
autovalori (almeno
uno).
Se
due o
pir
radici
coincidono
-
caso
critico
-
nascono
altri
problemi,
come
abbiamo
visto: problemi che si
risolvono,
ma
non
possiamo qui
entrare in
dettagli.
Lo scalare
z:
x
*
\u
una componente
del vettore r:
(r,u)
del
piano
delle
fasi nella
base
formata dagli autovettori
di
t/.
Sfortunatamente
il
prezzo
per questa
semplificazione che bisogna
lavorare
in
uno
spazio vettoriale
sul
corpo
complesso,
altrimenti
gli
autovettori
in
generale
non esistono.
Dalla
(24-II)
gia
si
vecle
che
la
soluzione
sar.
un'esponenziale,
ma anche
per
questo
c'
un motivo
pir
profondo.
La
(24-11)
un'equazione
di primo
ordine,
per
cui
lo spazio
vettoriale delle
sue soluzioni unidimensionale: trovato un
in-
tegrale
particolare,
tutti
gli
altri
sono
multipli
di
quello,
con un
fattore costante.
D'altra
parte
il
sistema
autonomo, il
che
vuol
dire che
se
r(f
)
una
soluzione,
anche
r(t
-
r)
lo ,
per
ogni
r:
dunque
r(
-
r)
si
ottiene
da
r(f
)
moltiplicandolo
per
una
costante.
Ora
la
sola
funzione
che
goda
di
questa propriet
proprio
I'esponenziale
Riassumendo: I'intervento
dei
numeri
complessi
motivato dalla
necessit
di trovare autovettori deila matrice
U
che compare
a secondo
membro
di
un
sistema
differenziaJe lineare;
la comparsa dell'esponenziale
deriva
dalla
sua
pro-
priet
caratteristica, di
moltiplicarsi
per
un fattore
costante
per
effetto di una
traslazione.
Dobbiamo
perci
aspettarci
la
stessa
sitrrazione tutte
le
volte
che
incontreremo un
sistema
autonomo lineare, anche al
di
fuori della
meccanica.
24-70
n
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
36/93
24a.
Simmetrie
e
invarianze
Abbiarno
gi
avuto
occasione
nei
cap.
precedenti
di
mettere
in
evidenza
alcune
propriet di
simmetria
dei sistemi
in
esame.
Vogliamo
dedicare
questo
capitolo
a
una
discussione
dell'argomento
da un
punto
di
vista
un
po'
pir
gene-
ra-le.
Simmetria e
invarranza
b"t
"
cominciare
precisando
i termini
che
adotteremo;
infatti
in
questo
argomento,
che
pure
riveste
grandissima
import,anza
nella
fisica
moderna,
non
c' sempre
accordo sull'esatto
significato
delle
parole che
si usano.
Chiarnererno
trasformazione
di
simmetria
(o
brevemenle
sirnrnetria)
una
qualsiasi trasformazione
alla
quale
verranno
assoggettate
le grandezze
fisiche
del
sistema.
Esempi
di simmetrie
che
abbiamo
gi
incontrato
sono le
traslazioni
tem-
porali,
le rotazioni,
Ie
riflessioni
(destra-sinistra),
il
passaggio
da
un
riferimento
inerziale
a un
altro,
ecc.
Diremo
invece inaarianzo un
particolare comportamento
del
sistema
per
effetto di una
trasformazione
di simmetria:
abbiamo
visto ad
es.
che
un sistema
autonomo
invariante
per
traslazioni
temporali,
che
molti
sistemi
sono
invarianti
per
riflessioni,
che
il
principio
di relativit
esprime
f
invarianza
per la
trasforma-
zione
fra
riferimenti
inerziali..
.
Dobbiamo
ora
precisare
questi
concetti.
Riprendiamo
in
considerazione
il
primo
esempio:
le
traslazioni temporali.
Possiamo
esprimerlo
cos:
eseguo
un esperimento
oBBi,
e
lo
ripeto
domani;
in
questo
caso
l'unico cambiamento
sta nella
grandezza
tempo.
Mi
chiedo:
i
risultati
dei due esperimenti saranno
gli stessi? In
termini formali,
cio equivale
a sostituire
neile
equazioni
del
fenomeno
la variabile
con
t
-
r
(simmetria)
e
vedere se
le
equazioni
restano
inalterate
(inuarianza).
Nei
casi
che
abbiamo
visto
finora
questo
accade
sempre,
ma
attenzone;
ci non
significa
che
siano
invarianti
le
soluzioni, cio
che sia
u (f
)
-
x(t
-
t)
Ci
aspettiamo
solo che
se e() una
soluzione,
lo
sia anche
r(t
-
r),
ossia
che
I'ins'ieme
d,elle
soluzioni
sia inuariante.
Se
I'esperimento
la
caduta
di
un
sasso,
"(t)
+
r(t
-
r),
perch
il
sasso
cade,
e
la
sua
r
cambia
nel tempo; ma
se
,
-
lgt2
una
soluzione, lo
anche
* :
trgU
-
r)2:
iI
sasso
cadr
allo
stesso
modo domani.
Questo
appare cos
ovvio
che non
si
vede
come
potrebbe essere
diverso;
eppure, a stretto
rigore, se ad
es.
tengo
conto
della
ftorza
di
marea
prodotta dalla
Luna, I'accelerazione
di
gravit
cambia
nel tempo
e I'invananza
non c'
pir
L
n esempio
pir
banale: se
sto
facendo
oscillare un
pendolo, e la
sua
lunghezza
dipende dalla
temperatura, non
potr
aspettarmi
invarianza
se
la
temperatura
cambia nel tempo,
ecc.
Abbiarno
visto
che
rrei diagrammi di fase I'invarianza
per
traslazioni
tem-
porali
si esprime nel
fatto
che non
occorre introdurre il
tempo
come
coordinata,
24a-'1
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
37/93
e
che
le
curve
integrali sono
parametrzzate a
rneno
di una costante
additi,aa
arbitraria.
f
nvarianze
delltoscillatore armonrco
L'oscillatore
armonico
(ideale
o smorzato)
possiede
I'invariaza
per
trasla-
zioni temporali,
ma
non
la
sola.
Il
modo
piu
semplice
per
scoprirne
altre
di
esaminare
il
campo delle
velocit nel
piano delle
fasi. Dalla
fig.
24-t, e
dalle
corrispondenti
equazionl
(24-L),
si
vede che
una rotazione di 180" attorno
all'o-
rigine,
che
equivale a cambiare
segno
tanto
a
r
quanto
ad
u, lascia inalterato il
campo
di velocit,
ossia le citate equazioni.
In
poche
parole,
la simmetria
tt+-f)
U
t-+
-U
un'invarranza
dell'oscillatore armonico
(anche
smorzato).
Cio
significa
che se z(f)
un moto
possibile,
lo
anche
-r(t)
(ovviamente
con
altre
condizioni
iniziali).
Ma
cambiare
r
in
-r
significa
invertire
I'orienta-
mento
dell'asse
r:
l'invari
anza che
abbiamo trovata
si esprime
perci
brevemente
dicendo
che
per
I'oscillatore armonico
d,estra
e
sinistra
sono
equiualenti,.
Ora ci
possiamo
chiedere:
anche restando
nei
sistemi con
un solr grado
di
libert,
sar solo
I'oscillatore
armonico ad
avere
questa
invarianza?
Si vede
facilmente
che
la
risposta
no:
tutto
quello
che
occorre
che lafoma
che
agisce
sia
una
funzione
di,spari,
della
posizione e
della
velocit.
Per
chiarezza)
ripetiamo
in altra forma
la
conclusione
cui
siamo arrivati:
tutte
le volte
che il
punto
materiale
soggetto
a
una forza
dispari,
(nel
senso
detto sopra)
accade
questo:
se
a
partire
da certe condizioni
iniziali r0,
u0 risulta
un
certo moto
*(t),
siamo
certi
che
partendo
dalle
condizioni
iniziali
opposte
-lc1t -u0,
avremo il
moto descritto
da
-r(),
che rimane a ogni
istante
simme-
trico
del
primo.
Possiamo dunque
dire
anche
che
I'invarianza consiste
nel fatto
che una
data simmetria s'i
conserua
nel ternpo.
E
per
questo
motivo
che
nel
gergo
dei
fisici
di
oggi
si
parla
spesso
di simmetrie
conseruate.
In
particolare,
se
le
condizioni iniziali
sono esse
stesse simmetrich"e
(ossia
invarianti
rispetto
alla trasformazione
di
simmetria
considerata)
la simmetria
si
deve mantenere.
Nel caso dell'oscillatore
armonico
questa
osservazione
d,
un
risultato
interessante,
perch
c' una sola
condizione iniziale
sirnmetrica:
quella
in
cui il
punto
si
trova nell'origine
con velocit.
nulla.
Ne ricaviamo
che
l
deve
restare,
cio che
si
tratta di
una
posizione
di
equilibrio. La
cosa
appare
ovvia,
ma
utile
scoprire
che
ci
si
pu arrivare
con
sole
considerazioni
di
simmetria,
e
soprattuttc'
vedere
qual
il
modo
esatto di condurre
il
ragionarnento.
Ltinversione del tempo
Esiste
un'importante invarianza che
posseclrrta
dall'oscillatore
armonico
ideale.
ma non
rla
quello
srrrorzato:
I'invarianza
per
inuersi,ane
del
tempo.
Si
24a-2
$f
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
38/93
tratta
di una
propriet
cire abbianro
gi
discussa
al Cap.
2).,
rna
che
ora inqua-
clreremo
nel
discorso
generale
delle invarianze.
La trasformazione
di simmetria in
questione
t
v-+
-t,
t
t)
y
t+
-?l,,
(24a-I)
Se
dimentichiamo
per
un
momento
la
trasformazione
di
f, nei
piano
delle
fasi
stiamo
portando
ciascun punto nel suo
simmetrico
rispetto
all'asse
fr)
tLe- si vede
dalla fig.
2l-2
che
il campo
w non
resta
invariato:
la
velocit,
nel
punto
(*,
-u)
non la
simmetrica
di
quella nel
punto (r,u).
Ricordiamo
per
che abbiamo
invertito
anche
f : ci
ha
per effetto di cambiare
segno
a entrambe le componenti
di
w,
e il
risultato
finale
quello
desiderato: sotto
Ia simmetria
(24a-\)
iI
campo
delle
aelocit,
inaariante. La
stessa cosa
si
vede anche
direttamente
guardando
le equazioni
(21-2).
L'interpretazione
fisica
di
questa
invarianza
quella
che
nel
Cap"
22
ab-
biamo
chiamata
"reversibifit":
naturale
quindi
che
valga
per
I'oscillatore
ar-
monico ideale,
che un
sistema
conservativo,
e non
per
quello
smorzato.
Se
infatti
appiichiamo
l'inversione
del tempo
all'oscillatore
smorzato,
troviamo
che
le traiettorie originarie,
che sono
spirali che
si
chiudono,
si trasformano
in
spi-
rali
che si aprono:
passiamo
dunque da
oscillazioni
la cui
ampiezza
decresce
nel
tempo,
a oscillazioni
di
ampiezza
crescente.
Si
noti
che
il
punto
essenziale non
che
che negli
oscillatori reali
I'arnpezza sia sempre
decrescente, ma
solo
che
la
simmetria
in
questione
ci
porta
da
un certo
sistema
(l'oscillatore
smorzato)
a
uno
diverso:
dunque non s'i tratta
d,i
un'inuarianza.
Esercizio
1:
Quali
delle
invarianze fin
qui
discusse
valgono
per
ii
pendolo (anche
al di
l
delle
piccole
oscillazioni)?
Esercizio
2:
possibile
trovare
simmetrie
che
sono invarianze
dell'oscillatore
armonico,
ma non del
pendolo?
(La
risposta
pu
essere intuita
per via geome-
trica,
ma la
sua
discussione completa richiede la meccanica
analitica, che
esce
dal
nostro
programma).
Ltinvarianza per
traslazioni spaziali
Esistono ovviamente
altre
simmetrie
che
non
sono
invarianze
per
l'oscillatore
armonico,
ma
lo
sono
per
altri
sistemi:
r'ediamo
un esempio.
Consideriamo la traslazione spaziale
(sempre
limitandoci
a
una
sola dimen*
sione):
re+r*a.
chiaro
che
questa
non un'invariantza
per
I'osciilatore
armonico:
infatti il
campo
delle
velocit,
ha un
punto
fisso,
che
non
resta
lo
stesso se
si
esegue
la
traslazione.
Pir
in
generale
ci
accade
tutte
le
voite
che esiste una forza, con una sola
eccezione:
se
questa
non
dipende
dalla
po-sizione
del
punto
materiale.
Tutti
gli
24a-3
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
39/93
esempi visti
al
C.p.
20, escluso
I'oscillatore
armonico,
rientrano in
questa
classe,
come
mostrano
le
figure 20-4,20-6,20-8,
20-10,
dalle
quali
si vede
che
il
campo
delle
velocit
resta
invariato
per
una traslazione
della r.
Le figure
20-5,20-7,,
20-9r
20-11 mostrano la stessa
cosa
per
le
traiettorie di fase.
Per
maggior chiarezza,
ripeliamo
in
parole
il
significato
dell'invarianza
per
traslazioni spaziali,
considerando ad
es.
il
caso
della caduta
dei
gravi.
Possiamo
usare
il
solito principio
del taccuino:
se
due
fisici
eseguono
un
esperimento
di
caduta dei gravi, in due laboratori
posti a
diversa
aJtezza,
i
loro
appunti
sono
indistinguibili.
Si
capisce
anche
che abbiamo
dovuto trascurare
la
variazione
della orza
di
gravit
con
la
quota:
a
stretto
rigore i due
esperimenti daranno
risultati leggermente diversi,
il che
vuol dire
che
I'invarianza
solo
approssi-
mata.
fff
24a-4
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
40/93
25.
Oscillazioni forzate e risonanza
Abbiamo
visto
nel
Cap.
2I
che
I'oscillatore armonico
costituisce una buona
approssimazione
per
le
piccole oscillazioni
dei
pir
svariati
sistemi; nel
Cap. 24
abbiamo
invece
osservato
che nei
sistemi fisici reali
sono
quasi
sempre
presenti
tone non conservative.
che
provocano
lo
smorzamento
delle oscillazioni. Tuttavia
anche
molto
frequente, sia
nella
realt
naturale, sia
nelle
applicazioni
tecniche
e scientifiche,
una situazione diversa:
un
sistema oscillante, che
di
per
s
sarebbe
smorzato, viene
mantenuto
in
movimento
grazie
a
forze esterne,
che
forzano
I'oscillazione.
Esempi:
-
il
pendolo o
il
bilanciere di
un
orologio meccanico
(se non
ci dimentichiamo
di
caricarlo)
-
la
colonna
d'aria
in
un flauto
--
i
circuiti
di
sintonia
di un radioricevitore
-
il
campo
elettromagnetico
nella
cavit di un
N{ASER,
rifornito
di
energia
dagli
atomi eccitati
che I'attraversano...
Ltequazione
differenziale
Possiamo
schematizzae
la
situazione
come segue:
un
oscillatore
armonico
smorzato
assoggettato
a
una
forza
esterna
,
-
*f
cosrlf
(con
u.r1
in
generale
diversa
sia da
c.r.rs,
sia
da
t,,'). Se
inizialmente l'oscillatore
fermo,
si metter in
moto,
oscillando
con
arnpiezza crescente
(la
forza
esterna
fa lavoro positivo,
os-
sia
qualche
sistema esterno cede
energia
all'oscillatore)
finch I'energia
dissipata
dalla
resistenza
di
attrito
(che
fa
lavoro negativo) compensa
quella
guadagnata.
Si
arriva
cos
a
un
regime stazionario,
ossia
a
un'oscillazione
cli
ampiezza co-
stante
alla
frequeLZa
ay" \tedremo ora come
si ritrova
rigorosamente quanto
abbiamo asserito
in
forma intuitiva;
ma
dobbianr.o
prima formulare esattamente
il
problema
matematico.
Per cambiare.
partiremo questa
volta
dall'equazione
del
moto
scritta per
la
coordinata ,
come
equazione
differenziale
di
secondo
ordine:
i*ti*ufir
-
f
cosufi.
(25-1)
Questa
equazione,
che
naturalmente
valida
per
qualsiasi
possibile
moto
del
no-
stro
oscillatore
forzato,
ancora
lineare
ma.
non
pi
omogeneal causa la
presenza
del
termine
forzante
a
secondo
mernbro. Sempre a causa
dello
stesso
termine.,
il
sistema non
pi
autonon'Lo.
Che
cosa
possiamo
dire
in
generale
delle soluzioni della
(25-1X
Siano
r(t),
hz(t) due integrali
particolari:
non
pir
vero
che
ah1
*
bhz
ancora
soluzione
per
o
e
b
qualsiasi,
ma solo
se a
*
b: 1
(verificare )
Molto
pir
inte-
ressante
pero
un
altro
fatto:
ht
-
2
non
soddisfa
la
(25-1),
bens
l'equazione
ornogenea associata;
(25*2)
25-"1
il+^lrfu,'frr:0,
-
7/25/2019 Elio Fabri-Appunti Di Fisica Generale I. 3 (1992)
41/93
ossia
queUa
dell'oscillatore smorzato libero" Di
pir,
vale anche
il
viceversa:
se h6()
una soluzione della
(25-2),
allora
ho
*
h1 soluzione della (25-1).
Abbiamo
dunque dimostrato il
Teorema:
L'integrale
generale
della
(25-1)
si
ottiene sommando
un'integrale
par-
ticolare all'integrale generale
dell'equazione
ornogenea associata (25-2).
Osservazione:
Dal
ragionamento
fatto
si
capisce
che
il
teorema
vale
per
qualsiasi
sistema
di
equazioni
differenziali lineari non
omogenee, e
anche
se
il
termine
forzante
non ha andamento sinusoidale.
Attenzione:
Non
bisogna
commettere
I'errore di
credere
che
per
trovare
la
solu-
zione
che
soddisfa
determinate
condizioni iniziali
si debba
prima
scegliere
I'inte-
grale particolare
dell'equazione
omogenea
che soddisfa
quelle
condizioni iniziali,
e a
questo
sornma.re I'inregrale
particolare
dell'equazione non
omogenea.
Al con-
trario,,
prima
si
deve
scrivere I'integrale
generale dell'equazione non
omogenea,
e
poi
imporre a
questo
le
condizioni
iniziali.
Esempio
(banale):
Se
le condizioni
inizia
