ELETTROTECNICAIngegneria Industriale

− POTENZA−

Stefano Pastore

Dipartimento di Ingegneria e Architettura

Corso di Elettrotecnica (043IN)

a.a. 2013-14

• Se, per qualsiasi valore di t, valgono le seguenti relazioni, si ha che il componente è (convenzione normale):

• Dissipativo: p(t) ≥ 0

Classificazione dei componentiin base alla potenza

• Strettamente attivo: p(t) ≤ 0

• Inerte: p(t) = 0

• Attivo: altrimenti

2

• Consideriamo un bipolo di impedenza z sottoposto alle seguente tensione e corrente e calcoliamo la potenza p(t)

Potenza istantanea di un bipolo inregime sinusoidale

A )cos()(

V )cos()(

IM

VM

tIti

tVtv

ϕωϕω

+=+=

3

[ ]

)2cos(2

)cos(2

)2cos()cos(2

)cos()cos()cos()cos(

)()()(

IVMM

IVMM

IVIVMM

IVMM

IMVM

tIV

IV

tIV

ttIVtItV

titvtp

ϕϕω

ϕϕ

ϕϕωϕϕ

ϕωϕωϕωϕω

+++

+−=

=+++−=

=++==++=

==

• In alternativa, per il calcolo della potenza istantanea si possono utilizzare i fasori

Potenza istantanea di un bipolo inregime sinusoidale (2)

I

V

jM

jM

eIItieVVtv

ϕ

ϕ

=→=→

)()(

[ ] [ ])()()( tjtj eIeVtitvtp ωω =ℜℜ== [ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

)2cos(2

)cos(2

2

1

2

14

12

1

2

1)()()(

2*

2****2

**

IVMM

IVMM

tj

tjtj

tjtjtjtj

tjtj

tIV

IV

eIVIV

eIVIVIVeIV

eIeIeVeV

eIeVtitvtp

ϕϕω

ϕϕ

ω

ωω

ωωωω

ωω

+++

+−=

=ℜ+ℜ=

=+++=

=++=

=ℜℜ==

−

−−

• Resistenza:

• Condensatore:

Potenza istantanea di un bipolo inregime sinusoidale (3)

2/2/1 πϕϕπϕ +=→−=→= IV

[ ] W)22cos(12

)(

0

VMM

MM

VI

tIV

tp

IRVIRV

ϕω

ϕϕϕ

++=

==→=→=

• Induttore:

W)2/22cos(2

1)(

2/2/

2 πϕωω

ω

πϕϕπϕω

++=

=

+=→−=→=

VM

MM

VI

tCVtp

CVI

ICj

V

W)2/22cos(2

1)(

2/2/

2 πϕωω

ωπϕϕπϕω

++=

=+=→=→=

IM

MM

IV

tLItp

LIVILjV

• Calcoliamo la potenza attiva come media della potenza istantanea su un multiplo di un semi-periodo T/2 (T = 2π/ω)

Potenza attiva di un bipolo

MM

IVMM

t

tAB

IV

IVp

ttP

B

A

ϕ

ϕϕττ

=

=−=−

= ∫

[W] cos

)cos(2

d)(1

• Resistenza: ϕ = 0; p(t) ≥ 0 � P = VM IM / 2

• Condensatore: ϕ = −π/2 � P = 0

• Induttore: ϕ = π/2 � P = 0

IVAB , kT

ktt ϕϕϕ

ϕ

−=>>=−

=

1,2

:dove

[W] cos2

Potenza attiva e apparente

• La potenza media è chiamata “attiva”. Rappresenta l’energia convertibile in lavoro. Per un bipolo con impedenza z (fase ϕ) si ha:

[W] cos2

ϕMM IVP =

7

• Dove:

• È la potenza apparente

• cosϕ: è il fattore di potenza

[VA] 2

MMapp

IVP =

• La potenza dipende dal quadrato della tensione o della corrente. Introduciamo perciò la media del quadrato di una di queste due grandezze

Valore efficace

∫=T

eff vT

V ττ

1

d)(1 2

• In regime sinusoidale ciò corrisponde a

8

∫=T

eff iT

I ττ d)(1 2

MeffMeff IIVV2

1,

2

1 ==

• La potenza attiva e quella apparente si esprimono quindi con i valori efficaci come

• Alimentando un resistore con una sorgente sinusoidale a tensione Veff, ottengo la stessa dissipazione di potenza che avrei se lo

Valore efficace (2)

effeffapp

effeff

IVP

IVP

=

= ϕcos

dissipazione di potenza che avrei se lo alimentassi con una sorgente costante sempre a valore Veff

• Se non altrimenti specificato, d’ora in poi il modulo dei fasori sarà formato con il valore efficace della funzione sinusoidale

9

{ }tjjeff

jMM

eXtxeXX

eX

XtXtx

ωϕ

ϕϕω

2)(,

2),cos()(

ℜ==

=+=

• Si definisce come

• Potenza attiva:

Potenza complessa

ϕϕ

ϕϕ

sincos

)(*

IVjIV

eIVIVP IVjc

+=

=== −

[W] cos}{ ϕIVPP =ℜ=

• Potenza reattiva

• Potenza apparente

10

[W] cos}{ ϕIVPP c =ℜ=

[VAR] sin}{ ϕIVPQ c =ℑ=

[VA] IVPP capp ==

Potenza complessa neibipoli elementari

• Resistenza

• Condensatore

0

2

2

=

====

QR

VIRIVPPc

• Induttore

0

2

=

−=−=→−==

P

VCIVQIVjjQPc ω

0

2

=

==→==

P

ILIVQIVjjQPc ω

•

•

Espressioni dellapotenza complessa

IzV

IjXIRIzIIzIVPc

=

+====222**

( )

22

2

22

2

*

2

**

/

/

XR

XVj

XR

RV

zVIz

VzVVIVPc

++

+=

=

====

•

•

12

2222 XRVj

XRV

++

+=

VyI

VjBVGVyVVyIVPc

=

−====222****

( )

22

2

22

2

2

**

/

/

BG

BIj

BG

GI

yIV

y

IIyIIVPc

+−+

+=

=

====

• Consideriamo la potenza complessa e le potenze attiva e reattiva. Il triangolo formato è simile al triangolo dell’impedenza.

Triangolo delle potenze

• Si possono applicare il teorema di Pitagora e le formule della trigonometria

13

P

Q

QPPapp

=

+=

ϕtg

222

• Si possono ricavare dalla potenza istantanea le seguenti espressioni che saranno utili nello studio dei sistemi trifase

Potenza istantanea per il trifase

[ ])22cos(1cos)( MM tIV

tp ϕωϕ +++=

14

[ ]

[ ] )22sin()22cos(1

)22sin(sin2

)22cos(1cos2

)(

VV

VMM

VMM

tQtP

tIV

tIV

tp

ϕωϕω

ϕωϕ

ϕωϕ

++++=

=++

+++=

• Facciamo il bilancio delle potenze complesse in un circuito in regime sinusoidale. Da Tellegen, risulta che

Teorema di Boucherot

0,0

0*

∑∑

∑==⇒

=== T

kckCtot

QP

PP IV

• Nel computo delle potenze, si deve prestare attenzione alla convenzione usata per i versi delle tensioni e delle correnti dei componenti

15

0,0 ∑∑ ==⇒k

kk

k QP

• Il teorema di Boucherot può essere utilizzato per caratterizzare da un punto di vista energetico un bipolo

• Nel caso di un risonante serie, considerato che la potenza reattiva di un condensatore è negativa mentre

Teorema di Boucherot (2)

un condensatore è negativa mentre quella di un induttore è positiva, il bipolo sarà resistivo-induttivo o resistivo-capacitivo a seconda del componente reattivo che ha la maggiore potenza reattiva in valore assoluto

16

=+=

Rz

LCz

PP

QQQ

• Consideriamo il seguente circuito di alimentazione di un carico zu induttivo tramite una linea di trasmissione con impedenza zl

Rifasamento totale diun carico induttivo

• Calcoliamo le perdite sulla linea

• Per minimizzare Pl si deve portare ϕu a zero

17

( )22

22

cos

2

cos

2

uu

ull

uuu

ll

V

PRP

IVP

IRP

ϕϕ=⇒

==

• Si inserisce quindi un condensatore C in parallelo per compensare la potenza reattiva Qu del carico (e per annullare la ℑ{ yu + yC})

Rifasamento totale diun carico induttivo (2)

18

ωω

πω

ω

uu

u

u

u

u

uuuC

BCCjy

Vf

Q

V

QC

QVCQQ

−=→=+ℑ

==

=+−→=+

0}{

2

00

22

2