Elettronica dello Stato Solido Lezione 3: La radiazione di...

Elettronica dello Stato Solido

Lezione 3: La radiazione di corpo

neronero

Daniele Ielmini

DEI – Politecnico di Milano

[email protected]

Outline

• Crisi della fisica classica

– Radiazione del corpo nero

– Effetto fotoelettrico

– Diffrazione da particelle

2D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03

• Conclusioni

Limiti della fisica classica

• Oggi sappiamo che le leggi della fisica classica (e.g. equazioni di Newton, di Maxwell) non sono adatte a descrivere la fisica dell’ultrapiccolo: qui abbiamo bisogno della meccanica quantistica

• Analogia con la teoria relativistica per l’ultraveloce

• Entrambe sono teorie generalizzate che includono la meccanica classica come limite alle grosse la meccanica classica come limite alle grosse dimensioni/basse velocità

• Nuova costante universale: h (costante di Planck) simile a c (relatività)

• Ma la meccanica classica non si rivela necessariamente solo andando nell’ultrapiccolo, ci sono alcune manifestazioni macroscopiche come la radiazione di corpo nero e l’effetto fotoelettrico

D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03 3

Storia di una rivoluzione

• Attorno al 1900-1910, queste osservazioni erano rompicapi che menti come Plancked Einstein alla fine risolsero battendo la strada per la teoria quantistica

• Questa fu sviluppata negli anni 20-30 da • Questa fu sviluppata negli anni 20-30 da Schrödinger e Heisenberg


La radiazione termica

• Radiazione termica (RT) = radiazione elettromagnetica emanata da un corpo a temperatura T

• RT dipende da T: RT occupa più alte frequenze e più corte lunghezze d’onda all’aumentare di T

• Bassa temperatura: i corpi sono visibili per riflessione/diffusione

• Bassa temperatura: i corpi sono visibili per riflessione/diffusione

• Alta temperatura: i corpi emettono luce propria, e.g. filamento a incandescenza @2000 K, o ferro incandescente rosso @1000K

• La RT viene sfruttata nei pirometri per misure di T (e.g. una stella, o il corpo umano)


Il corpo nero

• Lo spettro della radiazione dipende dalla

composizione della superficie del corpo

• Caso speciale è quello di corpi che

assorbono tutta la radiazione incidente:

questi corpi appaiono neri quando la loro questi corpi appaiono neri quando la loro

temperatura è bassa

• Per i corpi neri, la RT ha carattere universale

• A causa di questo carattere universale, questi

corpi sono stati oggetto di intenso studio


Esempi di corpi neri

• Oggetti con colorazione nera/scura

• Il sole, le stelle e l’universo

• Corpi neri per esperimenti pratici: cavità con una piccola apertura: una volta che la luce vi entra, è molto difficile che riesca a uscire. In altre parole, tutta la radiazione incidente è assorbita �l’apertura ha le proprietà del corpo nerol’apertura ha le proprietà del corpo nero


Radianza spettrale di un corpo nero

• RT(ν)dν = radianza spettrale = energia emessa per unità di tempo, per unità di area

della superficie di un corpo a temperatura T,

nell’intervallo di frequenze da ν a ν+dν

6,00E-05

7,00E-05

1] x


0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

0 1E+14 2E+14

RT

(ν)

[Wm

-2H

z-1

ν [Hz]

1000 K

1500 K

2000 KLegge di

Wien:

νmax ∝ T

x

x

x

Radianza e legge di Stefan

• RT = radianza =

• Legge di Stefan (1879): RT = σT4

• Costante di Stefan-Boltzmann

( )0

∞

= ∫T TR R dν ν

• Costante di Stefan-Boltzmann

σ=5.67 x 10-8 Wm-2K-4


Radiazione elettromagnetica

• Frequenza ν [Hz]

• Lunghezza d’onda λ [m]

• Relazione: λν = c

1,5 λ


-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Posizione x [nm]

λt=0 2 fs

Teoria del corpo nero

• Cavità all’equilibrio a temperatura T delle pareti

• La radiazione uscente dall’apertura è un campione della radiazione termica nella cavità

• Possiamo definire una densità di energia di radiazione termica, data da ρT(ν) ∝ RT(ν)

• Descrizione della black-body radiation (BBR) è possibile studiando la RT nella cavitàpossibile studiando la RT nella cavità


Cavità all’equilibrio termico

• Le pareti emettono RT a seguito del moto accelerato di portatori

• RT nella cavità può essere descritta da onde stazionarie, cioè con il campo elettrico costantemente nullo sulle pareti


1,5

Numero di onde stazionarie

• Consideriamo una cavità 1D virtuale con lunghezza = a

• Ci sono solo modi discreti con lunghezza d’onda data da :� λ/2 = a

� λ = a

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

-25 25 75 125 175 225

� λ = a

� 3λ/2 = a

� …

� λ=2a/n oppure


2

1 2 3, , ...

=

=

cn

a

n

ν

Onde stazionarie 1D


http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/waves/indexer_waves.html

Numero di modi in 1D

• Valori permessi di frequenza in 1D:

• Nota: ogni punto corrisponde a due modi, associati alle due polarizzazioni trasversali

νc/2a

associati alle due polarizzazioni trasversali del campo elettrico

• Quanti modi per Hz? Due per ogni c/2a �


( )2

2=a

N d dc

ν ν ν

Onde stazionarie 2D


• Funzioni che descrivono oscillazione di membrana stazionaria:

• E(x,y,t) = E0 sinkxx sinkyy sinωt

http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/waves/indexer_waves.html

Modi stazionari 2D

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0

4

4

sin sin sin

sin

sin

−−

+ − − − − +

=

− −=

−

− − +=

−

y yx x

x y x y x y x y

x y

ik y ik yik x ik x

i k x k y i k x k y i k x k y i k x k y

E E k x k y t

e e e eE t

e e e eE t

ω

ω

ω

• Come si determina ω?D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03 17

( ) ( )

( ) ( )

0

0

4

2

2

cos cossin

cos cos 'sin

−

+ − −=

−

−=

−

��

i i

x y x yk x k y k x k yE t

k r k rE t

ω

ω

k

k’

kx

ky

-ky


• Valori di frequenza permessi in 2D: composizione

di radiazione x e y, con λx=2a/nx e λy=2a/ny

• Vettore d’onda k = kx + ky, modulo k = (kx2+ky

2)1/2

• Il vettore d’onda e la frequenza risultanti sono:


2 2

2 2

22

2

2 2 2

+= =

+= = = =

x y

x y

n nk

a

c n nc kc cn

a a

ππ

λ

νλ π


• Quanti modi tra ν e ν +dν? Sono N(ν)dν = N(n)dn, dato dal numero di nodi nella corona circolare tra n = (nx

2+ny2)1/2 e n+dn

• Area dello shell = 2πndn, la densità di modi è 2 (polarizzazioni) in ogni ‘cella unitaria’ �

ny2 nπ


nx

ny2

24

( ) =n

N n dn dnπ

2

2 2

2

,

( )

= =

=

a a

n dn dc c

aN d d

c

ν ν

ν ν π ν ν

Solo νpositivi!


• Lo stesso, ma considerando un guscio sferico tra n = (nx

2+ny2+nz

2)1/2 e n+dn

• Volume della shell = 4πn2dn, densità di modi = 2 (polarizzazioni) in ogni cella (cubo) unitario �

24 nπn


24

28

( ) =n

N n dn dnπ

Solo νpositivi!

3

2

2 2

2

,

( )

= =

=

a a

n dn dc c

aN d d

c

ν ν

ν ν π ν νnx

ny

nz

Normalizzazione sul volume

• 1D [m-1]

• 2D [m-2]

( )

2

22

2( )

=

=

N d dc

N d dc

ν ν ν

ν ν π ν ν

• 3D [m-3]


3

22( )

=

N d d

cν ν π ν ν

… e la densità di modi in 4D?

Energia media per modo• Abbiamo ricavato la densità di modi per unità di volume

tra ν e ν +dν• Per calcolare la densità di energia dobbiamo assegnare

un’energia media per modo

• Fisica classica: principio di equipartizione dell’energia. Ad esempio, in un gas ogni atomo ha, in media, un’energia cinetica pari a kT/2 per grado di libertà �

3kT/2 per un gas mono-atomico3kT/2 per un gas mono-atomico

• Il singolo modo RT ha due gradi di libertà (campo magnetico + elettrico, o equivalentemente energiacinetica + potenziale dell’oscillatore armonico) � <E> = kT

• k = costante di Boltzmann = 1.38 x 10-23 JK-1

• Fisica classica � ogni modo ha la stessa energiaindipendentemente dalla sua frequenza


Principio di equipartizione

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 0 0

2

2 2

0 0

1

2 2 21

2

2

∞ ∞− −

∞ ∞− −

< >= =∫ ∫

∫ ∫

x x

x x

mv mv

x xkT kTx x

x mv mv

kT xkTx

mv mvmv e dv e d

kT kTmv kT

mve dv e d

kT


2 2 2 2

2 2 2

2

00 0 0

0 0 0

1

2 2 2

2

∞∞ ∞ ∞

− − − −

∞ ∞ ∞

− − −

− − +

= = = =∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

d d de d e e ekT

kT kT kT

e d e d e d

η η η η

η η η

η ηη η η

η η η

Formula di Rayleigh-Jeans

• Densità di energia = densità di modi x energia media

3

22( ) ( )

= < > =

T d N E d kTd

cρ ν ν ν ν π ν ν

2,00E-05

Catastrofe ultravioletta � fisica RJ1]


0,00E+00

5,00E-06

1,00E-05

1,50E-05

0 1E+14 2E+14

Catastrofe ultravioletta � fisica

classica è incapace di spiegare

la BBR

RJ

BBR misurata

ρT

(ν)

[Jm

-3H

z-1

ν [Hz]

Dov’è l’errore? Energia media

• Il principio di equipartizione deriva dalla distribuzione di Maxwell-Boltzmann: all’equilibrio termico, la probabilità per un’entità (e.g. un atomo in un gas o un oscillatore in una cavità) di avere energia tra E ed E+dE è:tra E ed E+dE è:

• Quindi <E> è:

(equipartizione)


0

0

0

1( )

( )

∞

∞−

∞< >= = =

∫∫

∫

E

kT

EP E dE

E Ee dE kTkT

P E dE

( )1 −

=

E

kTP E dE ekT

Postulato di Planck

• Planck osservò che, se <E> non fosse

costante (e.g. kT) ma variasse con la

frequenza, la BBR potrebbe essere riprodotta

• A bassa frequenza: <E> = kT (limite classico)

• Ad alta frequenza: <E> � 0 • Ad alta frequenza: <E> � 0

• Come possiamo ottenere questo risultato?

Quantizzazione dell’energia

• Invece di assumere un continuo di E, Planck

postulò che E = n∆E, n = 1, 2, 3, …


Energia media classica

0,00E+00

5,00E+17

1,00E+18

1,50E+18

2,00E+18

2,50E+18

− E

kTEe


0

1∞

−

< >= ∫

E

kTE Ee dEkT

0,00E+00

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25kTE [eV]

Energia media quantistica: piccolo ∆E

0,00E+00

5,00E+17

1,00E+18

1,50E+18

2,00E+18

2,50E+18

−E

kTEe

E = n∆E

• L’integrale è più o meno lo stesso del caso continuo


0,00E+00

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

E [eV]

Energia media quantistica: grande ∆E

0,00E+00

5,00E+17

1,00E+18

1,50E+18

2,00E+18

2,50E+18

−E

kTEe

E = n∆E

• L’integrale è diverso, l’area è minore del caso continuo � l’energia media <E> � 0

• Per riprodurre la BBR (<E>=kT per piccola ν, <E>=0 per grande ν) dovremmo postulare ∆E = hν

� E = nhν con n = 1, 2, 3, … e h = costante di Planck


0,00E+00

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

E [eV]

Energia media quantistica – 1

• La discussione precedente è solo qualitativa per rappresentare il ragionamento di Planck, vediamo l’ipotesi con in numeri:

0

( )∞

< >=∫EP E dE

E 0 0

( )∞ ∞ −

= =< >= =∑ ∑

nh

kT

n n

EP E nh e

E

ν

ν

�


0

0

( )∞

< >=

∫E

P E dE

0 0

0 0

( )

= =∞ ∞ −

= =

< >= =

∑ ∑

n n

nh

kT

n n

E

P E eν�

( )0

0 0

0

log log

∞−

∞ ∞− −=

∞− = =

=

= = − = −∑

∑ ∑∑

nx

nnx xn

nx n n

n

nxed d

kT kTx e h edx dx

e

ν

x=hν/(KT)

Energia media quantistica – 2

( )11

1 11

log log−

−

− −< >= − = − = =

− −−

xx

hx x

kT

d d e hE h h e h

dx e dx ee

ν

νν ν ν

2,50E-02

3,00E-02


0,00E+00

5,00E-03

1,00E-02

1,50E-02

2,00E-02

2,50E-02

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

hν [eV]

<E

> [e

V]

Classical = kT

Quantum

Densità di energia

3 2

2

3

2 8

1 1

( ) ( )

= < > = =

− −T h h

kT kT

h hd N E d d d

c ce e

ν ν

ν πν νρ ν ν ν ν π ν ν ν

• La densità di energia quindi è data da:

2,00E-05

RJ


0,00E+00

5,00E-06

1,00E-05

1,50E-05

0 1E+14 2E+14

RJ

Planck

ρT

(ν)

[Jm

-3H

z-1

]

ν [Hz]

2ν−

h

kTeν

Intepretazione della densità di energia

• La densità di energia può essere letta in un modo alternativo: densità di modi x energia del modo x statistica di occupazione

• Useremo lo stesso approccio per la densità di elettroni/lacune in metalli/semiconduttori

Energia del modo


2

3

8

1

( ) =

−T h

kT

hd d

ce

ν

πν νρ ν ν ν

Densità di modi per unità di volume tra ν e ν+dν

modo

Numero medio <n> di fotoni che popolano il modo: distribuzione di Bose-Einstein

Note

• Calcolate la densità di energia spettrale per unità di lunghezza d’onda, non frequenza

• Postulato di Planck: ogni entità fisica che può essere descritta da un oscillatore armonico (radiazione EM, vibrazione termiche nel reticolo, particelle confinate nel potenziale reticolo, particelle confinate nel potenziale parabolico) può solo possedere un’energia totale E = nhν

• Come vedremo in una delle prossime lezioni, l’esatta legge di quantizzazione dell’oscillatore armonico dice E=(n+1/2)hν: cambia il nostro risultato?


Conclusioni

• La BBR causa un empasse nella comunità scientifica: le leggi classiche non possono spiegarla

• Il postulato di Planck basato sulla quantizzazione dell’energia permette quantizzazione dell’energia permette facilmente una spiegazione

• Risultato rivoluzionario che stimola la transizione ad una nuova era scientifica


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