Elena Botta Anno Accademico...

Appunti del Corso diLaboratorio di Fisica II

Elena Botta

Anno Accademico 2003–2004

Indice

I Elementi di analisi dei circuiti elettrici 5

1 Analisi dei circuiti in corrente continua 61.1 Generatori di tensione e di corrente . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Resistivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Effetti della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Resistori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.5 Circuiti aperti e cortocircuiti . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Composizione di resistori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Misure di tensione e di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Generatori reali di tensione e di corrente . . . . . . . . . . . . 211.6 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 Teoremi delle reti lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8 Circuiti a ponte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.9 Capacita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.9.1 Circuiti RC: transitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.9.2 Scarica di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.10 Induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.10.1 Composizione di induttanze . . . . . . . . . . . . . . . 441.10.2 Circuiti RL: transitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.11 Semiconduttori e diodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.11.1 Giunzioni p–n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.12 Applicazioni ed esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2 Analisi dei circuiti in corrente alternata 732.1 Grandezze alternate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.1.1 Richiami sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . 762.2 Componenti di circuito in regime sinusoidale . . . . . . . . . . 772.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2

INDICE 3

2.4 Filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.4.1 Filtro passa basso RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.4.2 Filtro passa basso RL – Facoltativo . . . . . . . . . . . 972.4.3 Filtro passa alto RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.4.4 Filtro passa alto RL – Facoltativo . . . . . . . . . . . . 101

2.5 Risposta dei filtri ad un gradino di tensione . . . . . . . . . . 1022.6 Risposta dei filtri ad un gradino rettangolare . . . . . . . . . . 108

2.6.1 Transitori ripetuti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.7 Lavoro e potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.8 Strumenti per corrente alternata . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.8.1 L’oscilloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.9 Circuiti oscillanti – Facoltativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.10 Oscillazioni smorzate in un circuito RLC in serie – Facoltativo 1202.11 Oscillazioni forzate in un circuito RLC: circuiti risonanti –

Facoltativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.12 Diodi in regime alternato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

II Elementi di Ottica 137

3 Spettro della radiazione elettromagnetica 139

4 Propagazione della radiazione luminosa 1424.1 Leggi sperimentali della propagazione

luminosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2 Deviazione di un prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.3 Principi di Fermat e di Huygens–Fresnel – Facoltativo . . . . . 154

5 Sistemi ottici 1585.1 Superfici riflettenti: specchi – Facoltativo . . . . . . . . . . . . 1585.2 Costruzione grafica delle immagini formate dagli specchi -

Facoltativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.3 Specchi piani – Facoltativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.4 Specchi convessi – Facoltativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.5 Riassunto – Facoltativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.6 Superfici rifrangenti: diottro sferico . . . . . . . . . . . . . . . 1645.7 Lenti sottili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.8 Costruzione grafica delle immagini formate dalle lenti . . . . . 1715.9 Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.10 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.11 Sistemi di lenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4 INDICE

5.12 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.13 Aberrazioni delle lenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Parte I

Elementi di analisi dei circuitielettrici

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Capitolo 1

Analisi dei circuiti in correntecontinua

Un circuito elettrico o elettronico e una rete di componenti attivi e passivi,variamente interconnessi per realizzare uno scopo utile.

Bisogna infatti notare che moltissime misure (fisiche e no) vengonooggi eseguite con l’uso di strumenti di tipo elettronico; il motivo e che oggie relativamente facile realizzare delle interfacce fra il mondo delle grandezzefisiche (ad esempio meccaniche, termodinamiche ...) e non (chimiche, bio-logiche, ...) e quello dei segnali; queste interfacce si chiamano trasduttori(un esempio e la fotoresistenza utilizzata nell’esperienza di laboratorio sul-l’Ottica per misurare l’illuminamento di una sorgente luminosa). Il segnaleelettrico prodotto dal trasduttore in risposta ad uno stimolo esterno devedi solito essere variamente manipolato (amplificato se e troppo piccolo perpoter essere utilizzato, formato per poter essere trattato da altri strumentielettronici, selezionato per distinguerlo dal fondo, ...) e questo e il compitodel circuito elettronico.

I componenti sono elementi circuitali di diverso tipo, i quali concor-rono a realizzare le funzioni desiderate del circuito considerato. Gli elementipassivi non sono in grado di produrre (piu correttamente, di trasformare,ovvero di iniettare nel circuito) energia ma solo di dissiparla; gli elementiattivi, invece sono capaci di farlo.

Senza avere la pretesa di essere esaurienti, possiamo iniziare ad oc-cuparci degli elementi di circuito piu importanti; essi verranno consideratinella loro forma ideale, ossia priva di tutte le caratteristiche accessorie checomplicano la situazione reale.

6

1.1. GENERATORI DI TENSIONE E DI CORRENTE 7

1.1 Generatori di tensione e di corrente

Nell’analisi di ogni circuito ci sono due quantita fondamentali la cui cono-scenza, nel punto o nei punti considerati del circuito, e necessaria e sufficienteper descrivere il funzionamento dello stesso: la corrente e la tensione. Di se-guito ricordiamo la definizione di queste ed altre grandezze fisiche importantinello studio dei circuiti elettrici.

• Carica elettrica Esistono due tipi di cariche elettriche: cariche posi-tive, come quella portata dai protoni, e cariche negative, come quellaportata dagli elettroni. Ogni carica nel suo totale e sempre un multiplointero di queste cariche fondamentali. E poi nota l’azione di repulsio-ne tra cariche dello stesso segno e di attrazione tra cariche di segnoopposto. In un circuito elettrico vale il principio della conservazionedella carica elettrica: il bilancio delle cariche elettriche nel circuitorimane costante, la carica non si crea e non si distrugge. Il simbolodella grandezza e Q; nel sistema SI la carica si misura in coulomb, C:la carica di un elettrone, indicata con e, vale e = −1.602 · 10−19 Ced e l’opposto della carica del protone.

In un atomo indisturbato il numero di elettroni e uguale a quello deiprotoni e pertanto l’atomo risulta elettricamente neutro. Se un elettro-ne esterno riceve energia, per esempio sotto forma di calore, esso puoliberarsi dalla forza di attrazione dei protoni, diventando un elettronelibero e trasformando l’atomo in uno ione positivo. Se, invece, un atomocattura un elettrone libero si trasforma in uno ione negativo

• Corrente elettrica La corrente in un punto del circuito e la quantitadi carica che transita per quel punto nell’unita di tempo:

I =dQ

dt

Essa e pertanto conseguenza del moto di cariche elettriche. L’unitaSI di corrente e l’ampere, A, definito come la corrente prodotta da unflusso di carica di 1 C in un intervallo di tempo di 1 s:

1 A =1 C

1 s

Alla corrente e sempre associata una direzione; per convenzione, il flussodi corrente ha sempre la direzione del movimento delle cariche positive,opposta a quella degli elettroni. Nei solidi solo gli elettroni sono liberi dimuoversi e di generare un flusso di corrente; nei gas e nei liquidi, invece,

8 CAPITOLO 1. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA

anche gli ioni possono muoversi e contribuire alla corrente. I circuitielettrici sono quasi sempre costituiti da solidi e il flusso di corrente equasi sempre prodotto dai soli elettroni. In un diagramma circuitalead ogni corrente e sempre associata una freccia che indica la direzionedi riferimento della corrente positiva; se, dopo i calcoli, il valore dellacorrente risulta negativo, cio indica che il flusso della carica positiva vanella direzione opposta a quella ipotizzata.

Una corrente che scorre sempre nella stessa direzione ed il cui valore ecostante nel tempo si dice corrente continua; una corrente il cui flussovaria in verso e valore sinusoidalmente nel tempo e detta correntealternata.

Per generatore di corrente si intende un elemento di circuito chefa scorrere attraverso se’ stesso una data corrente; il simbolo circuita-le e riportato in figura 1.1. Un generatore ideale di corrente e,invece, un caso limite concettuale e indica un generatore che eroga lasua corrente fra i morsetti, costante o variabile nel tempo, indipen-dentemente dalla tensione che si sviluppa ai suoi capi e cioeindipendentemente dal carico collegato.

Figura 1.1:

• Tensione Il concetto di tensione implica quello di lavoro (misuratoin joule, J, nel SI): la tensione tra due punti A e B nello spazio e ladifferenza di potenziale elettrico fra i due punti e rappresenta il lavorocompiuto dal campo elettrico per spostare una carica di 1 C tra i duepunti stessi. L’unita SI della tensione e il Volt, V:

1 V =1 J

1 C

Il simbolo della grandezza, V, e talvolta dotato di indici per specificarei punti tra i quali esiste la differenza di potenziale in oggetto. Se ilcampo elettrico per spostare la carica unitaria positiva dal punto Aal punto B (ovvero la carica unitaria negativa dal punto B al puntoA) compie del lavoro, il punto A sara a potenziale positivo rispetto alpunto B, VAB = VA − VB > 0, e si avra una caduta di potenziale

1.2. RESISTENZA 9

tra A ed B, mentre se per spostare la carica unitaria positiva dal puntoA al punto B e necessario compiere del lavoro contro il campo elettricoVAB = VA − VB < 0 e si avra una salita di potenziale tra A e B.Se dopo i calcoli VAB risulta positivo, allora il punto A e effettivamentead un potenziale piu alto del punto B.

Una tensione costante nel tempo viene detta tensione continua (DC);una tensione che varia sinusoidalmente nel tempo viene detta tensionealternata (AC). Un generatore di tensione e un elemento di circuitoche produce fra i suoi estremi una data differenza di potenziale; il sim-bolo circuitale del generatore di tensione continua e riportato in figura1.2. Un generatore ideale di tensione e, ancora, un caso limite con-cettuale e indica un generatore che fornisce la sua tensione ai morsetti,costante o variabile nel tempo, indipendentemente dalla correnteche deve erogare e cioe indipendentemente dal carico collegato.

− +

Figura 1.2:

• Potenza La potenza e l’energia prodotta da un generatore o assorbitada un carico nell’unita di tempo. Il suo simbolo e P; nel SI si misurain Watt, W:

1 W =1 J

1 s= 1 V · 1 A

.

1.2 Resistenza

1.2.1 Legge di Ohm

Gli elettroni liberi che scorrono entro un conduttore collidono con gli atomidi questo perdendo parte della loro energia cinetica che viene trasformatain calore. La tensione applicata dona loro nuova energia cinetica che vienedi nuovo persa in collisioni successive. Questo alternarsi di continue acce-lerazioni e decelerazioni produce come effetto un moto medio degli elettroni

10CAPITOLO 1. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA

con velocita costante, cioe una corrente costante nel tempo, se la tensioneapplicata e a sua volta costante nel tempo ovvero un moto con dipendenzatemporale che rispecchia l’andamento della tensione se questa varia.

La resistenza e la proprieta per cui i materiali si oppongono, o re-sistono, al moto degli elettroni, rendendo necessaria l’applicazione di unatensione per far scorrere la corrente. Il simbolo della grandezza e R e l’unitadi misura SI e l’ohm, Ω. Sia per i conduttori metallici che per conduttori dialtri tipi esiste una proporzionalita diretta tra la corrente che li attraversa ela tensione applicata ai loro capi:

I (A) =V (V )

R (Ω)

in cui R e la costante di proporzionalita. Questa relazione costituisce lalegge di Ohm; da essa si ricava che, piu grande e la resistenza, minore e lacorrente per una certa tensione applicata. Se una tensione di 1 V fa scorrerenel conduttore 1 A di corrente, la resistenza elettrica di questo e pari ad 1 Ω:

1 A =1 V

1 Ω

. La curva che rappresenta la dipendenza della corrente che scorre in unaresistenza in funzione della tensione applicata ai suoi capi, I=I(V), vienechiamata caratteristica I/V del conduttore. Per i conduttori ohmici, per iquali vale, cioe, la legge di Ohm, tale curva e una retta che passa per l’origine.

Spesso e utile riferirsi all’inverso della resistenza, cioe alla condut-tanza, G:

G =1

Rla cui unita di misura nel SI e il siemens, S. In termini di conduttanza lalegge di Ohm diventa:

I (A) = G (S) · V (V )

da cui si vede che maggiore e la conduttanza di un conduttore e maggiore ela corrente che lo percorre per una data tensione.

1.2.2 Resistivita

La resistenza di un conduttore ohmico di sezione uniforme, mantenuto ad unacerta temperatura, e direttamente proporzionale alla lunghezza l del suddettoe inversamente proporzionale all’area della sua sezione s, qualunque sia laforma:

R = ρl

s

1.2. RESISTENZA 11

in cui l e espresso in metri, la sezione s in metri quadri e la costante diproporzionalita ρ e la resistivita caratteristica del materiale di cui e fatto ilconduttore, misurata in Ω · m nel SI.

I materiali conduttori vengono classificati, in base al valore della lo-ro resistivita, come buoni conduttori o semplicemente conduttori se ρ ≈10−8 Ω · m, come per l’argento, il rame e l’alluminio, cattivi conduttori oisolanti se ρ ≈ 1010 Ω · m, come per il vetro, la ceralacca e il quarzo,semiconduttori per valori intermedi di ρ, come per il germanio e il silicio.Nella tabella 1.1 sono riportati i valori di resistivita per alcuni materiali.

Materiale Resistivita (Ω m a 20 C) Materiale Resistivita (Ω m a 20 C)Argento 1.64 ×10−8 Nichel-Cromo 100 ×10−8

Rame, ricotto 1.72 ×10−8 Silicio 2500Alluminio 2.83 ×10−8 Carta 1010

Ferro 12.3 ×10−8 Mica 5 ×1011

Costantana 49 ×10−8 Quarzo 1017

Tabella 1.1:

La relazione tra conduttanza G, lunghezza l ad area della sezione s e:

G = σs

l

in cui la costante di proporzionalita σ e la conduttivita del materiale, mi-surata in S m−1 nel SI.

1.2.3 Effetti della temperatura

La resistenza (ovvero la resistivita) della maggior parte dei materiali buoniconduttori cresce quasi linearmente con la temperatura, nel campo di norma-le funzionamento, come indicato nella figura 1.3 per il rame. Vi sono, invece,altri materiali, come i semiconduttori, sulla cui resistivita la temperaturaproduce l’effetto opposto. Se la porzione rettilinea della curva viene prolun-gata fino all’asse delle ascisse, lo interseca in un punto T0 in cui la resistenzaappare uguale a zero. Questa T0 e la cosiddetta temperatura estrapolata aresistenza zero. L’effettiva temperatura di resistenza zero e 0 K. Se e notaT0, insieme alla resistenza R1 ad un’altra temperatura T1, la resistenza R2 aduna temperatura T2, sempre compresa nella zona lineare della curva, potraessere calcolata come:

R2 =T2 − T0

T1 − T0

R1

In modo equivalente, la resistenza R2 e data da:

R2 = R1 [1 + α1 (T2 − T1)]


Figura 1.3:

in cui α1 e il coefficiente termico della resistenza alla temparatura T1 e nelSI si misura in C−1 o in K−1. Nella tabella 1.2 sono riportati i valori di α1

a 20C per i materiali conduttori piu comuni.

α1: coefficiente diMateriale temperatura

(C−1 a 20C)Tungsteno 0.0045

Rame 0.00393Alluminio 0.00391Argento 0.0038

Costantana 0.000008Carbone -0.0005

Tabella 1.2:

Per alcuni metalli, come Hg, Sn, Pb, infine, se la temperaturascende sotto un certo valore critico TC (4.17 K per Hg, 3.72 K per Sn, 7.26K per Pb) la resistivita cade bruscamente ad un valore circa 10−12 volte piupiccolo di quello a 0C: questo fenomeno prende il nome di supercondutti-vita.

1.2. RESISTENZA 13

1.2.4 Resistori

In pratica un resistore e un elemento di circuito dotato di resistenza, per ilquale vale una relazione lineare tra tensione istantanea e corrente istantaneadata dalla legge di Ohm (resistore lineare). Elementi di circuito dotati diresistenza non costante, come i diodi, vengono detti resistori non lineari onon ohmici. Nella figura 1.4 e riportato il simbolo circuitale del resistorelineare.

Figura 1.4:

Se nella relazione che esprime la potenza in funzione della tensionee della corrente sostituiamo la legge di Ohm, ricaviamo la potenza assorbitada un resistore lineare:

P = V I =V 2

R= I2 R

L’energia corrispondente a questa potenza viene dissipata sotto forma caloremediante un processo che prende il nome di effetto Joule. Ogni resistore hauna limitazione di potenza o wattaggio che indica la massima potenza cheesso puo assorbire senza surriscaldarsi fino a temperatura distruttiva.

Il valore della resistenza viene indicato dal produttore su ognicomponente con un codice di colori dedicato. Questo valore e il valore nomi-nale che e solo approssimativamente uguale al valore effettivo. La possibilevariazione percentuale della resistenza rispetto al valore nominale si dice tol-leranza. Il codice di colori piu usato indica il valore nominale della resistenzae la relativa tolleranza con quattro o cinque (sei) bande colorate attorno al-l’involucro della resistenza, secondo una codifica che e riportata sugli appositifogli esposti in Laboratorio o nel file codicecoloribis.pdf scaricabile a parte.

1.2.5 Circuiti aperti e cortocircuiti

Un circuito aperto equivale ad una resistenza infinita, quindi per qualsiasitensione finita applicata ai suoi capi e attraversato da corrente nulla. Neglischemi circuitali e indicato con due terminali che non sono connessi a niente.

Un cortocircuito e l’opposto del circuito aperto ed equivale a re-sistenza nulla: qualunque sia la corrente finita che lo attraversa, la tensione


ai suoi capi e zero. Negli schemi circuitali e indicato con un filo conduttoreideale, privo di resistenza.

1.2.6 Terminologia

Diagramma circuitale: rappresentazione schematica del circuito, nellaquale i componenti vengono indicati con simboli convenuti.

Termini usati per indicare strutture circuitali sono i seguenti:

• Ramo Nel senso piu restrittivo del termine, per ramo di un circuitos’intende il componente singolo, attivo (generatore) o passivo (resisto-re). Il termine si applica, in genere, per indicare una disposizione dicomponenti attraversati dalla stessa corrente, specie quando sono di unsolo tipo.

• Nodo E il punto di collegamento di due o piu rami; sul diagramma cir-cuitale si indica con un punto, che si puo consifderare come un puntodi saldatura reale nel circuito. Il nodo comprende anche i fili connessial punto, comprende cioe tutti i punti che si trovano allo stesso po-tenziale. Se un corto circuito mette in contatto due nodi, questi sonoeffettivamente equivalenti ad un solo nodo, anche se sul diagramma sivedono due punti.

• Anello Un anello e un qualunque insieme di rami che formano uncammino chiuso all’interno del circuito.

• Maglia La maglia e un anello che non comprende al suo interno alcuncammino chiuso, ovvero nessun componente.

Si consideri l’applicazione 1 al termine del capitolo come esempio.

1.3 Composizione di resistori

I componenti spesso vengono inseriti nei circuiti in varie combinazioni; nell’ana-lizzare i circuiti e utile sostituire la combinazione di componenti dello stessotipo con un singolo componente equivalente tale che, quando venga sostituitoalla combinazione di componenti, i valori di correnti e tensioni nel resto delcircuito restino invariati.

Due o piu componenti di un circuito sono collegati in seriequando vengono tutti percorsi dalla stessa corrente, cioe quando si trovanonello stesso ramo; nel caso di soli resistori si parla allora di resistori in

1.3. COMPOSIZIONE DI RESISTORI 15

serie o piu semplicemente di resistenze in serie. Un esempio e riportatoin figura 1.5. Si supponga che una tensione V sia applicata tra i punti a e

R R1 2

a b

Figura 1.5:

b della figura. Una corrente i si stabilisce nella combinazione ed in ciascunresistore; le differenze di potenziale sui resistori, per la legge di Ohm, sono:

V1 = i R1 e V2 = i R2

La somma di queste differenze di potenziale deve essere uguale alla tensioneapplicata tra i punti a e b, cioe:

V = V1 + V2

Se si sostituisse la combinazione con la sua resistenza equivalente, Req, scor-rerebbe la stessa corrente i, per cui:

V = i Req

Combinando queste equazioni si ottiene:

i Req = i R1 + i R2

e percioReq = R1 + R2

Estendendo questo risultato ad una combinazione in serie di unnumero qualsiasi di resistori, si ottiene:

Req =∑

n

Rn

cioe per trovare la resistenza equivalente di una combinazione in serie si calco-la la somma delle singole resistenze; la resistenza equivalente e percio semprepiu grande della piu grande delle resistenze della serie e percio aggiungendopiu resistori in serie si ottiene una minor corrente per una assegnata differenzadi potenziale.

Nel caso di resistori in serie e utile la regola del partitore di ten-sione, che fornisce la tensione ai capi di ogni resistore della serie in funzione


dei valori di tutte le resistenze e della tensione applicata ai capi della com-binazione. Applicando la legge di Ohm ad una serie di un numero qualsiasidi resistori con resistenza totale RT a cui venga applicata una tensione V , lacorrente circolante risulta i = V/RT ; la tensione VX ai capi della resistenzaRX della serie sara allora data da:

VX =RX

RT

V

Bisogna notare che le due tensioni V e VX rappresentano l’una una salita dipotenziale, prodotta per esempio da un generatore di tensione, e l’altra unacaduta di potenziale su una resistenza.

Due o piu componenti sono collegati in parallelo quando tragli estremi di tutti si ha la stessa differenza di potenziale, cioe quando sonocompresi tra gli stessi due nodi; nel caso di resistori si parla di resistori inparallelo o semplicemente di resistenze in parallelo. Un esempio e datoin figura 1.6. Se tra i punti a e b della figura si applica una tensione V , la

R

R

1

2

a b

Figura 1.6:

differenza di potenziale su ciascun resistore e V . In base alla legge di Ohm,le correnti che attraversano ciascun resistore sono:

i1 = V/R1 e i2 = V/R2

La corrente totale i, allora, sara suddivisa tra i due resistori, per cui

i = i1 + i2

Se sostituiamo la rete di resistori collegati in parallelo con una singola resi-stenza equivalente Req, attraverso essa scorre la stessa corrente totale i. Lacorrente e allora:

i = V/Req

1.3. COMPOSIZIONE DI RESISTORI 17

Dalle ultime tre equazioni si ricava allora:

V

Req

=V

R1

+V

R2

cioe1

Req

=1

R1

+1

R2

La resistenza equivalente di una combinazione in parallelo di un numeroqualsiasi di resistori sara allora:

1

Req

=∑

n

1

Rn

Si noti che Req e sempre piu piccola della piu piccola resistenza in parallelo;offrendo piu cammini in parallelo alla corrente si ottiene una corrente mag-giore per una assegnata differenza di potenziale. Nel caso di due resistori inparallelo la resistenza equivalente risulta:

Req =R1 R2

R1 + R2

e nel caso in cui le due resistenze siano uguali R1 = R2 = R si ha Req = R/2.Si puo osservare che nel caso di resistori in serie si sommano le

resistenze nel caso di conduttori in parallelo si sommano le conduttanze:Geq = G1 + G2. Per resistori in parallelo vale la regola del partitore dicorrente, che fornisce, per ogni resistore di conduttanza GX , la corrente chelo percorre iX in funzione della conduttanza totale GT e della corrente totalei nella combinazione di resistori:

iX =GX

GT

i

Bisogna notare che le due correnti iT e i sono rispettivamente una uscentee l’altra entrante nel primo nodo del parallelo considerato. Nel caso di duesole resistenze in parallelo si ha:

i1 =G1

G1 + G2

=R2

R1 + R2

i

i2 =G2

G1 + G2

=R1

R1 + R2

i

Si vedano le applicazioni 2, 3 e 4 al termine del capitolo.


1.4 Misure di tensione e di corrente

Dalle definizioni di combinazione in serie ed in parallelo di componenti di uncircuito elettrico risulta evidente che se si vuole misurare la corrente che flui-sce in una certa parte (ramo) del circuito sara necessario porre il misuratoredi corrente (galvanometro per correnti massime dell’ordine del µA, ampero-metro per correnti piu intense) in serie ai componenti che sono attraversatidalla corrente in oggetto; la disposizione e indicata nella figura 1.7, dove ilcircuito e costituito semplicemente da un generatore di tensione chiuso sudue resistori composti in serie.

A

R

RV

1

2−

+

Figura 1.7:

Lo strumento presenta comunque una resistenza intrinseca, dettaresistenza interna. L’inserimento dello strumento nel circuito ne modifica,proprio a causa della presenza di tale resistenza interna, la resistenza totalee quindi anche il valore della corrente totale e di quella che fluisce nel ramoconsiderato. Tale perturbazione e inevitabile; si puo solo cercare di ridurla ilpiu possibile e di valutarne l’entita.

Per effettuare una misura accurata sara necessario che la resi-stenza interna dell’amperometro sia il piu possibile piccola, onde modificareil meno possibile il valore della corrente; infatti la corrente che attraverseralo strumento di misura, ovvero la corrente misurata imis, risultera essere da-ta dal rapporto tra la tensione applicata ai capi della serie e la resistenzaequivalente, pari alla somma delle resistenze dei componenti, RT = R1 + R2,piu quella dell’amperometro, Rin:

imis =V

RT + Rin

La differenza tra imis ed il valore della corrente del circuito in assenza dell’ampe-rometro, i = V

RTe l’errore sistematico da cui risulta affetta la misura.

Se poi e necessario misurare correnti maggiori della portata dell’am-perometro e possibile estendere il campo di misura mettendo in parallelo allo

1.4. MISURE DI TENSIONE E DI CORRENTE 19

strumento una resistenza (shunt) che stia in rapporto noto con la resistenzainterna dell’amperometro, come indicato in figura 1.8.

A

R INT

R

I i

i

1

2

Figura 1.8:

La corrente che passa nell’amperometro, i1, in base alla regoladel partitore di corrente, sara:

i1 =R

R + Rin

i

e risultera pertanto molto inferiore alla corrente che entra nella combinazionein parallelo, i, se R e molto piu piccola di Rin; scegliendo opportunamenteil valore di R sara possibile limitare la corrente che attraversa lo strumentoevitandone il danneggiamento. L’operazione di inserimento della resistenzadi shunt viene fatta, in realta’, per mezzo del selettore di fondo scala dellostrumento: per ogni fondo scala viene inserita una resistenza di protezionedi valore opportuno, la quale, come detto, viene collegata in parallelo allaresistenza interna del misuratore; essa si trova, comunque, all’interno del-l’involucro dello strumento (ossia non va aggiunta nel circuito esterno) percui l’effetto complessivo visto dall’esterno e quello di fare variare la resi-stenza interna dell’apparecchiatura. Il valore vero di tale resistenza si avra,verosimilmente, facendo operare il misuratore sul fondo scala piu piccolo.

Invece, se si vuole misurare la differenza di potenziale ai capidi un componente, per esempio di un resistore R, sara necessario porre ilmisuratore di tensione (detto voltmetro) in parallelo al componente, comeindicato nella figura 1.9.

In questo caso, per modificare il meno possibile la tensione con l’intro-duzione del voltmetro sara necessario che la resistenza interna di quest’ulti-mo, Rin, sia molto grossa: infatti, poiche esso viene inserito in parallelo alla


R

R RVV

1

2 INT−

+

Figura 1.9:

resistenza R, la resistenza equivalente risultera:

Req = R1 +R2 Rin

R2 + Rin

e pertanto la differenza di potenziale misurata, V2 mis sara:

V2 mis = VR2 Rin

R2 + Rin

Req

mentre quella reale, in assenza del voltmetro e:

V2 = VR2

R1 + R2

che e tanto meglio approssimata dal valore misurato quanto piu Req e pros-sima a R2, ossia quanto piu Rin e maggiore di R2.

RA

R

i

INT

Figura 1.10:

Un amperometro puo essere usato come voltmetro mettendo unaresistenza opportunamente grande in serie allo strumento in modo da limi-tare la corrente che lo attraversa, come indicato in figura 1.10. La tensione

1.5. GENERATORI REALI DI TENSIONE E DI CORRENTE 21

misurata sara data da:

V = i · (R + Rin)

Il voltmetro cosı ottenuto avra resistenza interna pari a Rin + R e andramesso in parallelo al componente o ai componenti ai capi dei quali si vuolemisurare la tensione, come indicato nella figura.

In maniera analoga, un voltmetro puo essere usato come ampero-metro mettendolo in parallelo ad una resistenza nota, sufficientemente picco-la, e mettendo il tutto in serie al tratto di circuito di cui si vuole misurare lacorrente. In tal caso la corrente sara data dal rapporto tra la tensione lettadal voltmetro, V , e la resistenza equivalente del parallelo, che risultera essereanche la resistenza interna dello strumento.

Infine, per misurare direttamente una resistenza si deve fare ilrapporto tra la differenza di potenziale ai suoi capi e la corrente che la per-corre. Esistono vari tipi di misuratori di resistenza, ohmetri, ma i piu co-muni sono gli ohmetri amperometrici, nei quali una differenza di potenzialenota viene applicata alla resistenza considerata e viene misurata la correnterisultante.

1.5 Generatori reali di tensione e di corrente

E

r

R

A

V

i

resistenza interna

Generatore

− +

Figura 1.11:

La forza elettromotrice (f.e.m.) di un generatore e ladifferenza di potenziale (d.d.p.) che esiste tra i suoi poli a circuitoaperto, cioe quando il generatore non eroga corrente.


Consideriamo un generatore di f.e.m. E chiuso su una resistenza R(comprensiva della resistenza interna dell’amperometro inserito nel circuito),come mostrato nella figura 1.11. Sperimentalmente si verifica che l’intensitadi corrente e inferiore a E/R, ovvero che la d.d.p. ∆V ai capi della resistenzaR, che e uguale alla tensione tra i morsetti del generatore mentre questoeroga corrente, e minore della f.e.m. E. Se si varia la resistenza R cambial’intensita della corrente i: la d.d.p. ∆V varia linearmente con i e tende a Equando i tende a zero; vale cioe la relazione:

∆V = E − ir

dove r e una costante caratteristica del generatore chiamata resistenzainterna; la quantita ir viene detta caduta di tensione interna.

La d.d.p. ai morsetti di un generatore che non erogacorrente e la f.e.m. E; la d.d.p. ai morsetti di un generatore cheeroga corrente e uguale alla f.e.m. E diminuita della caduta interna.

Per la resistenza R vale la relazione: ∆V = iR e quindi:

E = i (R + r)

relazione che si puo ottenere dalla legge di Ohm pensando che la correnteincontri una resistenza r nell’attraversare il generatore e poi la resistenza Rall’esterno, con la tensione E applicata agli estremi delle due resistenze r e Rdisposte in serie. Se la resistenza r del generatore fosse nulla si avrebbe un ge-neratore ideale: la tensione ai suoi capi sarebbe ∆V = E indipendentementedalla corrente i erogata.

I

r = 1/g

R = 1/G

Figura 1.12:

1.6. LEGGI DI KIRCHHOFF 23

Analogamente, consideriamo un generatore di corrente reale, fi-gura 1.12: esso e cortocircuitato quando e chiuso su una resistenza arbitra-riamente piccola; in tali condizioni il circuito oppone la minima resistenza alpassaggio di corrente elettrica, che assume allora il suo valore massimo, I. Ingenerale, se la resistenza R non e trascurabile, la corrente erogata diminuiscelinearmente all’aumentare della d.d.p. ai suoi capi ∆V :

i = I − g ∆V

g e una costante che ha le dimensioni di una conduttanza. In altri termini, ungeneratore reale puo pensarsi come un generatore ideale di corrente in paralle-lo con una conduttanza g, caratteristica del generatore, detta conduttanzainterna: se poniamo i = G ∆V , dove G = 1/R, segue che:

I = ∆V (g + G)

e la corrente erogata dal generatore e:

i = I − g

g + GI

In particolare, quando g << G, la corrente che attraversa il generatorereale tende a I indipendentemente dal valore di G, cioe indipendentementedalla d.d.p. ai suoi capi. In tali condizioni un generatore ideale e una buonaapprossimazione di un generatore reale.

Da quanto detto si ha allora che quando un generatore reale econnesso ad una resistenza di carico, il suo comportamento puo essere indif-ferentemente rappresentato o come un generatore di f.e.m. in serie ad unaresistenza interna r o come un generatore di corrente in parallelo con unaconduttanza interna g. Si puo inoltre dimostrare che e r = 1/g.

1.6 Leggi di Kirchhoff

• Legge delle tensioni di Kirchhoff (LTK)

Si consideri un cammino chiuso (anello o maglia) all’interno di un circui-to elettrico composto da N rami contenenti resistori (Rk) e generatoridi tensione (Vk) e percorsi dalle correnti ik; si fissi un verso positivo dipercorrenza. In tale cammino chiuso, ad ogni istante, sia in senso ora-rio che in senso antiorario, la somma algebrica delle cadute di tensionee uguale alla somma algebrica delle forze elettromotrici:

N∑k=1

Vk =N∑

k=1

Rk ik


Il termine algebrica vuol dire che nelle somme sono compresi i segnipropri delle cadute di tensione e delle f.e.m. La legge delle tensioni diKirchhoff e una connseguenza diretta della legge di Ohm applicata aivari rami di una maglia.

• Legge delle correnti di Kirchhoff (LCK)

Si consideri un nodo nel quale concorrono N rami, percorsi dalle cor-renti ik, considerate positive o negative secondo che entrino o escanodal nodo; ad ogni istante la somma algebrica delle correnti nei ramifacenti capo ad uno stesso nodo e nulla:

N∑k=1

ik = 0

Il termine algebrica vuol dire che nelle somme sono compresi i segnipropri delle correnti. La legge delle correnti di Kirchhoff traduce laconservazione della carica ai nodi di una rete.

• Analisi delle maglie

Nell’analisi delle maglie si applica la LTK alle correnti di maglia; ilsenso assegnato alle correnti di maglia e preferibilmente quello orario,come indicato in figura 1.13.

V V

V

R R

R1 2

3

1 2

3I I1 2

Maglia1 Maglia 2−

+−

+

−

+

Figura 1.13:

La LTK si applica ad ogni maglia, una per volta; le cadute di tensione aicapi dei resistori, prese nella direzione delle correnti di maglia, vengonouguagliate alle f.e.m. ai capi dei generatori di tensione. Nel circuitodella figura, per esempio, le cadute ai capi dei resistori R1 e R3 della

1.7. TEOREMI DELLE RETI LINEARI 25

maglia 1 sono rispettivamente I1R1 e (I1 – I2)R3, quest’ultima perchela corrente che passa attraverso R3 in direzione di I1 e I1 – I2. La f.e.m.totale dei generatori di tensione e V1 – V3 e V3 ha segno negativo vistoche si tratta di una caduta di tensione muovendosi nel senso di I1. Nerisulta per la maglia 1:

I1R1 + (I1 − I2)R3 = V1 − V3

ovveroI1 (R1 + R3) − I2 R2 = V1 − V3

Il coefficiente di I1, R1+R3, pari alla somma delle resistenze dei resistorinella maglia 1, si chiama autoresistenza della maglia; il coefficiente diI2, –R3, e l’opposto della resistenza del resistore comune, o mutuo, allemaglie 1 e 2 ed e chiamato resistenza mutua. I termini di resistenzamutua hanno sempre segno negativo nelle equazioni delle maglie, perchele altre correnti percorrono sempre i resistori mutui in direzione oppostaa quella delle correnti di maglia principali.

E piu facile scrivere le equazioni di maglia con le autoresistenze e leresistenze mutue che con la LTK. Per la maglia 2 troveremo:

− I1 R3 + I2 (R2 + R3) = V3 − V2

In una equazione di maglia la tensione di un generatore ha segno positi-vo se il suddetto collabora al flusso della corrente di maglia principale,se la corrente cioe esce dal suo terminale positivo.

L’analisi delle maglie si applica a circuiti che contengano solo generatoridi tensione, dato che non ci sono relazioni che forniscano le tensioniai capi di generatori di corrente; se, pero nel circuito e presente ungeneratore di corrente collegato in modo tale da essere percorso da unasola corrente di maglia, tale corrente e pari a quella del generatore oal suo opposto a seconda del segno e non sara necessario applicare laLTK a tale maglia (vedi applicazione 5.1).

Il numero di equazioni di maglia e uguale al munero delle maglie menoil numero di generatori di corrente, se ce ne sono.

Esempi nelle applicazioni 5, 6, 7 e 8 al fondo del capitolo.

1.7 Teoremi delle reti lineari

Per l’analisi delle reti si devono applicare alcuni teoremi, validi per circuitilineari. Un circuito elettrico si dice lineare se e costituito da elementi lineari


e da generatori indipendenti; un elemento elettrico e lineare se ha un rap-porto eccitazione–risposta tale che, raddoppiando l’eccitazione raddoppia larisposta, come accade per i resistori. Un generatore e indipendente se pro-duce tensioni o correnti in modo indipendente dalle altre tensioni o correntipresenti nel circuito.

E di importanza fondamentale il concetto di circuito equivalente.Due circuiti A e B si dicono equivalenti rispetto a due punti a e b, quando epossibile sostituire l’uno con l’altro, nel senso che tensioni e correnti nel restodel circuito rimangono le stesse quando tra i punti a e b si trova il circuito Ao quando vi sia sostituito il circuito B.

• Teorema della sovrapposizione

Se in una rete sono presenti piu generatori ideali di tensione, la cor-rente in un ramo e la somma algebrica delle correnti dovute ai varigeneratori, considerati attivi uno alla volta.

Nel calcolo ogni generatore inattivo deve essere sostituito da un cor-to circuito; per generatori non ideali si sostituisce a quelli inattivi laresistenza interna. Si veda l’esercizio 7a al fondo del capitolo.

• Teorema di Thevenin

A B

a

b

R

VTh

a

b

B

Th

(a) (b)

−

+

Figura 1.14:

A e B sono due circuiti qualsiasi, collegati nei punti a e b. Il circuitoA e equivalente, rispetto al circuito esterno B, ad un generatore ditensione VTh con una resistenza in serie RTh. VTh e la differenza dipotenziale tra i punti a e b a circuito aperto, cioe quando sono tolte leconnessioni con B; RTh e la resistenza totale del circuito A nel quale igeneratori di tensione sono sostituiti dalle loro resistenze interne.


Se, in particolare, il circuito esterno B e costituito da una sempliceresistenza R, il teorema puo essere espresso come:

IR = Veq / (R + Req)

dove IR e la corrente che fluisce nella resistenza esterna R.

Il teorema e particolarmente utiel quando un’opportuna scelta dei puntia e b rende agevole in un circuito il calcolo della tensione e resistenzaequivalente. Si vedano gli esercizi 8a, 8b e 8c al fondo del capitolo.

Di particolare importanza e il seguente esempio di applicazione delteorema.

Esercizio Trovare l’equivalente del circuito a sinistra dei punti A e B.dove C e un circuito qualsiasi.

E R C

A

B

−

+

Per il teorema di Thevenin si ha la seguente equivalenza:

E R

A

B

A

B

V

RTh

Th−

+

−

+

con

VTh = VAB = E

RTh = 0

supponendo nulla la resistenza interna del generatore. Il circuito divie-ne semplicemente:

Questo significa che una resistenza in parallelo rispetto ad un genera-tore ideale non influisce per nulla sul resto del circuito. Per quello che


E C−

+

riguarda il circuito esterno C, R puo essere a priori trascurata. Indi-pendentemente dal suo valore, il generatore mantiene una tensione fissaVAB = E ai suoi terminali. Il valore di R influisce ovviamente sullacorrente erogata dal generatore

I = IC + IR

dove IC , la corrente che va nel circuito C, non dipende da R e IR =E/R non risente di quanto succede nel circuito C.

• Teorema del massimo trasferimento di potenza

Un carico resistivo riceve la massima potenza da un circuito linea-re in corrente continua quando la resistenza del carico e uguale allaresistenza di Thevenin del circuito cos’i come e vista dal carico stesso.

Quando la resistenza del carico e resa uguale a quella di Thevenin sidice che si fa l’adattamento delle resistenze.

E

r

R

A B

−

+

Figura 1.15:

Come semplice esempio, consideriamo un generatore con f.e.m. costan-te E e resistenza interna r, chiuso su una resistenza esterna variabile R(vedi figura 1.15), e calcoliamo il valore di R in corrispondenza al qualela potenza sviluppata in R e massima. Ai capi delle due resistenze r e


R disposte in serie si ha una tensione E e percio l’intensita della cor-rente erogata dal generatore e i = E/(r + R), mentre la d.d.p. tra gliestremi A e B di R e ∆V = iR = ER/(r + R). La potenza sviluppatanella resistenza esterna e:

P = i ∆V = i2 R =E2R

(r + R)2

Il valore di R che rende massima P si ottiene ponendo uguale a zerola derivata di P rispetto a R e risulta R = r. E facile verificare cheil valore r corrisponde proprio alla resistenza equivalente di Thevenindel generatore, cosı come vista dal carico resistivo esterno: r = RTh.La potenza massima corrispondente e Pmax = E2 / 4r e in tal caso sidice che il generatore e adattato per il massimo trasferimento dipotenza.

La potenza totale sviluppata nell’intero circuito e:

Ptot = i E =E2

(r + R)

e in corrispondenza al valore R=r si ha Ptot = E2/2r, cioe meta potenzaviene sviluppata nella resistenza esterna mentre l’altra meta e dissipatanell’interno del generatore. Se R6=r la maggior parte della potenza vie-ne dissipata sulla resistenza interna del generatore, che dovra pertantoessere munito di un opportuno sistema di raffreddamento.

• Teorema di Norton

Un circuito A contenente sorgenti di tensione e equivalente, se vistoda due terminali a e b, ad un generatore di corrente Ieq di resistenzainterna infinita (cioe ideale), con in parallelo una resistenza equivalenteReq, dove Ieq e la corrente di corto circuito (vedi figura 1.16), cioe lacorrente che passerebbe in un conduttore di resistenza nulla che collegail punto a al punto b mentre Req e la resistenza totale del circuito A tra ipunti a e b, con generatori cortocircuitati (cioe la resistenza equivalentedi Thevenin).

Il teorema si puo anche esprimere analiticamente:

Va b = Ieq Req

Di fondamentale importanza e la applicazione del teorema al caso di uncircuito costituito da un solo generatore di tensione con una resistenzain serie, vedi figura 1.17.


Aa

b

I sc

Figura 1.16:

R

E

R eqIeq

−

+

Figura 1.17:

Cortocircuitando A e B, il generatore E eroga una corrente di valoreE/R; la resistenza tra A e B con E cortocircuitato, vale R. Quindi:

Ieq = E/R Req = R

Viceversa, dato un circuito costituito da un generatore di corrente,I, e un resistore, R, composti in parallelo, applicando il teorema diThevenin rispetto ai due capi del parallelo, si ricava facilmente che ilcircuito equivalente e costituito da un generatore di tensione VTh = I ·rcon un resistore in serie RTh = R. Concludendo

in un circuito generatori di tensione e corrente sono intercam-biabili, con l’avvertenza che una resistenza in serie rispetto algeneratore di tensione (per esempio la sua resistenza interna)diventa in parallelo rispetto al generatore di corrente.

Questo teorema e utile per sostituire eventuali generatori di correntecon generatori di tensione prima di applicare l’analisi di maglia, si vedal’applicazione 6 al fondo del capitolo, seconda parte.

L’operazione equivalente al cortocircuito del generatore di tensione e lasostituzione del generatore di corrente con un circuito aperto.

1.8. CIRCUITI A PONTE 31

1.8 Circuiti a ponte

RR

R

R5

2R

43

1 R

R

R

R

R

2

3

1

5

4

(a) (b)

Figura 1.18:

Un circuito di resistori a ponte e costituito da due triangoli conun ramo in comune, come rappresentato in figura 1.18 a sinistra. Anche se il

A

B

D

C

E

R E

RR

E

E

R

E

R

E R

1

1 2

2

3 3

4

4

5

5

6

6

−

+

−

+

−

+−

+

−+

−

+

Figura 1.19:

circuito si presenta di solito in questa forma, anche quella della parte destrae abbastanza comune. Se si pensa di chiudere gli estremi del circuito con unramo contenente un generatore di tensione (ed una resistenza) si ottiene uncircuito a tre maglie, come in figura 1.19, che puo essere facilmente risoltocon il metodo della analisi di maglia, come nell’applicazione 8 al fondo del


capitolo: nella prima forma del circuito le tre maglie sono costituite dai duetriangoli e da quella contenente il generatore di tensione.

I circuiti a ponte possono essere agevolmente risolti anche ap-plicando il teorema di Thevenin. Si calcoli, ad esempio, la corrente nellaresistenza Rg del circuito mostrato in figura 1.20.

A

B

C

D

E

R R

RR

R

1 2

43

g

−+

Figura 1.20:

La d.d.p. tra B e C quando la resistenza Rg viene tolta e:

VBC = VB − VC =

(E − R1

E

R1 + R2

)−(

E − R3E

R3 + R4

)=(

R3

R3 + R4

− R1

R1 + R2

)E

La resistenza tra B e C, con Rg tolta e il circuito reso passivo e:

RBC =R1 R2

R1 + R2

− R3 R4

R3 + R4

quindi la corrente che percorre la resistenza Rg ha intensita:

ig =VBC

RBC + Rg

Un circuito ponte serve anche per la misura di precisione delleresistenze; il ponte di Wheatstone, figura 1.21, ha il ramo centrale costituitoda un sensibile indicatore di corrente, quale puo essere un galvanometro.

1.8. CIRCUITI A PONTE 33

G

KA B

D

C

R R

R 1

3

R2

ii

i i

1 2

3

r

V

−+

Figura 1.21:

Degli altri rami, tre sono resistori di precisione, uno dei qualivariabile, ad esempio R2; il quarto ramo e il resistore di cui si vuole misurarela resistenza incognita R. La misura si effettua regolando la resistenza R2

del resistore variabile finche, quando l’interruttore sul ramo centrale K vienechiuso, l’indice del galvanometro non subisce deflessione. Questa mancanzadi deflessione vuol dire che ai capi del galvanometro la tensione e zero e cheanche a interruttore aperto la tensione su R1 e uguale a quella su R3 e latensione su R e uguale a quella su R2. In queste condizioni si dice che ilponte e bilanciato e con la partizione di tensione si ha:

R1 V

R1 + R2

=R3 V

R3 + Re

R V

R3 + R=

R2 V

R1 + R2

Il rapporto delle due equazioni ci da l’equazione di bilanciamento del ponte:

R =R2 R3

R1

Per ricordare l’equazione di bilanciamento del ponte basta uguagliare i pro-dotti delle resistenze dei rami opposti: R1 R2 = R3 R. Per calcolare R sipuo anche usare una resistenza fissa e conosciuta R3 e per le resistenze R1 eR2 un unico filo metallico di sezione costante e lunghezza totale nota, il cuipunto D di collegamento col galvanometro possa essere variato lungo il filomediante un contatto mobile (figura 1.22): le resistenze R1 e R2 sono pro-porzionali alle lunghezze l1 e l2 dei due tratti di filo individuati dal contatto


A1 B1R

2R

1

GA

C

B

R R

D

3

rV

−+

Figura 1.22:

mobile. Quando il ponte e bilanciato:

R =l2 R3

l1

1.9. CAPACITA 35

1.9 Capacita

Ad ogni coppia di conduttori e associata una grandezza chiamata capacita,che e una misura della induzione elettrostatica tra i due conduttori. Ponendouna carica Q su uno dei due conduttori si induce una carica uguale e di segnoopposto sull’altro e si genera una differenza di potenziale tra i due legata allacarica Q su ciascun conduttore dalla relazione:

Q = C · V

dove la costante di proporzionalita C e la capacita della coppia di conduttori.Se Q si misura in Coulomb (C) e V in Volt (V), C si misura in Farad (F):

1F =1V

1C

L’elemento circuitale dotato di capacita si chiama condensatore e viene

Figura 1.23:

indicato con il simbolo riportato in figura 1.23: esso si compone di una coppiadi conduttori, a cui e associata la capacita, chiamati armature. La capacitadi un condensatore dipende dalla sua geometria e dalla costante dielettricadel mezzo frapposto ai conduttori; nel caso di un condensatore formato dadue conduttori piani a facce parallele la capacita e data da:

C = ε0εrS

d

dove ε0 e la costante dielettrica del vuoto e vale ε0 = 8.854 10−12 C2/Nm2

= 8.854 10−12 F/m, εr e la costante dielettrica relativa del mezzo tra ledue armature, S e la superficie di ciascuna armatura, d e la distanza tra learmature.

La relazione Q = CV non e direttamente utilizzabile nell’analisidei circuiti in quanto compare la carica Q e non la corrente I; e pero facileottenere una relazione in cui compaia esplicitamente la corrente:

I =dQ

dt= C

dV

dt


dove si e assunto che la capacita C non vari, cioe che la sua derivata ri-spetto al tempo sia nulla, approssimazione valida nelle normali condizioni difunzionamento dei circuiti elettronici.

Si puo notare che se si applica una differenza di potenziale costan-te ai capi di una capacita non si ha passaggio di corrente: V = cost → I = 0;invece, se V 6= 0 una corrente “circola” nel condensatore, mediante il mec-canismo non banale della induzione elettromagnetica, che non corrisponde altrasporto di carica come nel caso di una resistenza.

Figura 1.24:

Consideriamo ora la combinazione di capacita. I condensatorirappresentati in figura 1.24 sono disposti in parallelo: le armature superiorisono collegate tra loro metallicamente e, costituendo un conduttore unico,si trovano allo stesso potenziale; analogamente, le armature inferiori sonocollegate tra di loro. Se la tensione tra le armature e ∆V , le cariche presentisu ciascuna armatura dei condensatori sono:

Q1 = C1∆V, Q2 = C2∆V, ..... Qn = Cn∆V

dove C1, C2, ..., Cn indicano le capacita degli n condensatori componenti.La carica complessiva posseduta dalle armature positive e

Q = Q1 + Q2 + ... + Qn = (C1 + C2 + ... + Cn)∆V

mentre le armature negative hanno complessivamente una carica opposta.Pertanto la capacita equivalente, Ceq della batteria di condensatori in paral-lelo risulta:

Ceq =Q

∆V= C1 + C2 + ... + Cn

La capacita equivalente di un insieme di condensatori disposti inparallelo e la somma delle capacita di tutti i condensatori compo-nenti. I raggruppamenti in parallelo vengono usati per realizzare capacitaelevate.

I condensatori rappresentati in figura 1.25 sono collegati in se-rie. Se l’armatura esterna del primo condensatore possiede una carica Q,

1.9. CAPACITA 37

Figura 1.25:

sulle altre armature (interna–esterna, nell’ordine) si hanno successivamentecariche –Q e Q; di conseguenza le armature di ciascun condensatore hannocariche opposte. Se C1, C2, ..., Cn sono le capacita dei vari condensatori, siha:

C1 =Q

V1 − V2

, C2 =Q

V2 − V3

, ... , Cn =Q

Vn − V0

e quindiV1 − V0 = (V1 − V2) + (V2 − V3) + ... + (Vn − V0)

= Q

(1

C1

+1

C2

+ ... +1

Cn

)I condensatori in serie possono essere considerati equivalenti ad un unicocondensatore di capacita Ceq:

Ceq =Q

V1 − V0

=1

1C1

+ 1C2

+ 1Cn

ovvero1

Ceq

=1

C1

+1

C2

+1

Cn

Se piu condensatori sono disposti in serie, il reciproco della capacitaequivalente del sistema risultante e uguale alla somma dei reciprocidelle capacita di tutti i condensatori.

Se tutti i condensatori in serie sono uguali (C1 = C2 = ... = Cn

la batteria ha una capacita equivalente pari a 1/n della capacita di un soloelemento e la tensione alle armature di ogni condensatore e 1/n della tensioneapplicata.

1.9.1 Circuiti RC: transitori

Consideriamo il circuito in figura 1.26. Quando il tasto e aperto non si hapassaggio di corrente dato che si e in condizioni di circuito aperto. La chiusuradel tasto cambia bruscamente le condizioni del circuito, causando fenomeni ditipo transitorio al cui esaurimento fa seguito un regime di correnti e tensionidi tipo stazionario.


E

R

iV0

Cvc

−

+

Figura 1.26:

Consideriamo come istante iniziale, t=0, l’istante in cui vienechiuso il tasto. Prima della chiusura, cioe per t<0, i=0. Supponiamo che ilcondensatore sia carico, che esista cioe una tensione V0 tra le sue armature;puo essere, come caso particolare V0 = 0. Dopo la chiusura del tasto, ad ogniistante, per la LTK la somma della cadute di potenziale sulla resistenza R esul condensatore C deve uguagliare la tensione del generatore E:

E = IR + VC

dove VC indica la d.d.p. ai capi del condensatore; poiche per un condensatorela corrente e legata alla d.d.p. dalla relazione IC = CdVC/dt e nel casodel circuito considerato tale corrente e anche quella che fluisce attraverso laresistenza R, dato che R e C sono disposti in serie, si avra:

E = RC dVC/dt + VC

equazione differenziale del primo ordine che puo essere risolta con il metododi separazione delle variabili:

(E − VC)dt = RC dVC da cuidVC

VC − E= − dt

RC

Integrando:

log (VC − E) = − t

τ+ A

avendo posto τ=RC ed essendo A una costante di integrazione determinatadalle condizioni iniziali. Avendo definito t=0 l’istante di chiusura dell’interrut-tore ed essendo la corrente nulla prima di tale istante, dovra essere ancheVC(0) = V0. Per la relazione IC = CdVC/dt, infatti, la funzione VC(t) nonpuo subire una discontinuita passando dall’istante che immediatamente pre-cede a quello che immediatamente segue la chiusura del tasto: se la ten-sione ai capi del condensatore passasse bruscamente da zero ad un valoreVC(0) 6= 0, dVC/dt e quindi I sarebbe infinita. Possiamo esprimere con altre

1.9. CAPACITA 39

parole questo fatto dicendo che la tensione ai capi di una capacita e unafunzione continua: il limite destro e il limite sinistro per t che tende a zerocoincidono:

limt→0+I(t) = limt→0−I(t)

La capacita si oppone cioe alla variazione brusca di potenziale. Questo risul-tato e piu generale: se in un circuito qualsiasi una la d.d.p. ai capi diuna capacita C, prima della chiusura del tasto e V0, essa e mante-nuta al valore V0 anche nell’istante immediatamente successivo allachiusura del tasto.

Imponendo dunque che per t=0 sia VC(0) = V0, per la costantedi integrazione si ottiene:

A = log(V0 − E)

e percio:

VC(t) = E − (E − V0)e−t/τ

o, se V0 = 0:

VC(t) = E(1− e−t/τ )

L’andamento della tensione tra le armature del condensatore, partendo da V0,cresce esponenzialmente e tende asintoticamente al valore E, che e il limitedi VC per t tendente ad infinito; in figura 1.27 e riportato tale andamento.

Figura 1.27:

La rapidita con cui cresce la funzione VC dipende dal valore di τ :dopo un tempo t=τ , chiamato costante di tempo, la d.d.p. raggiunge ilvalore:

VC(τ) = E − (E − V0)1/e ' E − (E − V0)/3


avendo approssimato e a 3, cioe circa i 2/3 della differenza tra il valoreiniziale V0 ed il valore asintotico E; VC(τ) ' 2/3 E per V0 = 0. Dopo untempo uguale a 4 o 5 volte τ , VC ha praticamente raggiunto il valore E erimane costante; a questo punto si e esaurito il transitorio e si e raggiunto ilregime stazionario.

L’andamento della corrente e invece riportato in figura 1.28:

Figura 1.28:

IC = CdVC

dt=

E − V0

Re−t/τ

ovvero IC = E/R e−t/τ per V0 = 0, e pertanto la tensione ai capi dellaresistenza VR sara:

VR = IR = (E − V0)e−t/τ ovvero VR = Ee−t/τ

All’istante di chiusura del tasto la corrente sale bruscamente al massimovalore E/R perche il condensatore non cambia tensione e la discontinuita Edovuta all’inserimento del generatore deve essere equilibrata da una ugualetensione sulla resistenza. Il condensatore si comporta come un corto circuito:

Poi il condensatore si carica fino a raggiungere la tensione delgeneratore. A questo punto deve essere VR = 0 e quindi I=0 (circuito aperto).

1.9.2 Scarica di un condensatore

Si faccia riferimento alla figura 1.31; alla chiusura dell’interruttore:

VC + RI = 0

1.9. CAPACITA 41

I = E

R

vc

= 0E

R

−

+

Figura 1.29:

vc = 0E

R

I = 0−

+

Figura 1.30:

con I = CdVC/dt

VC + CdVC

dt= 0

dVC

VC

= −dt

τ

log VC = − t

τ+ A

dove A e una costante che deve essere determinata a partire dalla condizioneiniziale: per t=0 VC=V0 che implica logV0 = A e percio:

VC = V0e−t/τ

ed anche

I = CdVC

dt= −V0

Re−t/τ

Graficamente

(il verso della corrente e quello opposto a quello corrispondente alla caricadel condensatore).


++ ++

_ __ _V0 R

Figura 1.31:

Figura 1.32:

1.10 Induttanza

Ad ogni segmento di circuito chiuso e associata una grandezza chiamatainduttanza o coefficiente di autoinduzione, che misura la diversa effica-cia di diversi circuiti a concatenare un campo magnetico alla corrente che liattraversa (induzione elettromagnetica), come la capacita misura la induzioneelettrostatica. L’efficacia e descritta dalla relazione:

ΦB = LI

dove ΦB indica il flusso del vettore induzione magnetica B concatenato conil circuito ed i la corrente che percorre il circuito; l’induttanza L e funzionedella geometria del circuito, cosı come il flusso ΦB. Se ΦB si misura in weber(W) ed I in A, L si misura in Henry (H):

1H =1Wb

1A

Il simbolo circuitale dell’induttanza associata ad un circuito e riportato infigura 1.34.

1.10. INDUTTANZA 43

Figura 1.33:

Figura 1.34:

Anche in questo caso la relazione tra ΦB e I non e direttamentecio che serve perche non compare la differenza di potenziale ai capi dell’in-duttanza. La relazione che lega la corrente che attraversa un’induttanza conla differenza di potenziale generata ai capi dell’induttanza stessa dalla va-riazione del flusso del vettore induzione magnetica concatenato al circuito edata dalla legge di Faraday:

VL = −dΦ

dt= −L

dI

dt

Quando il flusso magnetico concatenato con un circuito chiuso variacon il tempo, si genera nel circuito una d.d.p. indotta uguale,istante per istante, alla derivata del flusso cambiata di segno. Ilsegno – che compare nella formula sta ad indicare che la f.e.m. indottagenera una corrente che, a sua volta, genera un flusso di induzione magneticaconcatenato al circuito che tende a compensare la variazione di flusso che laha prodotta.

Si deve osservare che, nei circuiti considerati in genere il valoredella induttanza non e una funzione del tempo. Dalla legge di Faraday si puoallora ricavare che se la corrente I che attraversa il circuito e costante, I =cost, la tensione ai capi dell’induttanza e nulla, VL=0, mentre, se la correnteI varia nel tempo, essa genera una d.d.p. ai capi dell’induttanza attraversoil meccanismo non banale della induzione elettromagnetica.


1.10.1 Composizione di induttanze

Cosı come avviene per le resistenze e i condensatori, anche le induttanze ven-gono spesso collegate in serie o in parallelo; in quest’ultimo caso la situazionee complicata da due fatti:

1. non e possibile realizzare induttanze “pure” cioe praticamente privedi resistenza ohmica, quindi nei calcoli si devono considerare anche leresistenze associate;

2. in generale, nel calcolo del coefficiente di autoinduzione risultante sidovra tenere conto anche della induzione magnetica mutua tra le indut-tanze: si introdurra un coefficiente di mutua induzione, M che sara piuo meno grande secondoche il campo magnetico generato da un elemen-to induttivo risulti concatenato in maggiore o minore misura all’altroelemento:

Φ1(B) = L1I1 + MI2

dove Φ1 e il flusso concatenato all’elemento (o circuito) 1, L1 e l’indut-tanza dell’elemento o circuito 1, I1 e la corrente che attraversa l’elemen-to 1 ed I2 e la corrente che attraversa l’elemento 2; in tal modo la d.d.p.indotta nell’elemento 1 risultera data dalla somma di due termini:

E1 = −L1di1dt−M

di2dt

Induttanze in serie. Siano L1 e L2 i due coefficienti di au-toinduzione e R1 e R2 le resistenze ohmiche associate: lo schema usato perrappresentare il circuito in questione e quello della figura 1.35.

R1

L2 R2L

1A BM

i

Figura 1.35:

Se il circuito e percorso da una corrente continua di intensita I,la d.d.p. tra i punti estremi A e B e:

∆V = VA − VB = (R1 + R2)I

nel caso in cui l’intensita di corrente varia nel tempo, la d.d.p. si ricavadall’equazione:

∆V + E1 + E2 = (R1 + R2)I

1.10. INDUTTANZA 45

dove E1 e E2 sono le f.e.m. indotte nelle due induttanze:

∆V = (R1 + R2)I +

(L1

dI

dt+ M

dI

dt

)+

(L2

dI

dt+ M

dI

dt

)=

(R1 + R2)I + (L1 + 2M + L2)dI

dt

quindi il circuito considerato e equivalente ad un solo elemento induttivo concoefficiente di autoinduzione L1 + 2M + L2 e resistenza ohmica complessivaR1 + R2.

Induttanze in parallelo. La situazione nel caso di due indut-tanze in parallelo, figura 1.36, e piu complicata. La d.d.p. tra i nodi A e B

i 1

i2

BM

R 1

i

A

1 L

R 2 L2

Figura 1.36:

puo scriversi sia nella forma:

∆V = R1I1 + L1dI1

dt+ M

dI2

dt

sia nella forma

∆V = R2I2 + L2dI2

dt+ M

dI1

dt

Risolvendo rispetto a dI1/dt e dI2/dt, si ricava:

(L1L2−M2)dI1

dt= L2(∆V−R1I1)−M(∆V−R2I2) = (L2−M)∆V−(L2R1I1−MR2I2)

(L1L2 −M2)dI2

dt= (L1 −M)∆V − (L1R2I2 −MR1I1)

e, sommando membro a membro, si ottiene:

(L1 − 2M + L2)∆V = (L1L2 −M2)dI

dt+ (L2 −M)R1I1 + (L1 −M)R2I2


dove si e posto I = I1 + I2. Solo nei casi molto particolari per i quali e soddi-sfatta la relazione (L1 −M)/(L2 −M) = R1/R2 l’ultimo termine al secondomembro di queste equazioni puo scriversi nella forma (L1 − 2M + L2)RIcon R indipendente da I1 e I2 (e allora le due induttanze equivalgono a unsolo elemento induttivo di resistenza R e autoinduttanza (L1L2−M2)/(L1−2M + L2)). In generale, invece, due induttanze in parallelo non possonoconsiderarsi equivalenti ad un solo elemento induttivo.

1.10.2 Circuiti RL: transitori

vR

vL

R

T

LE−

+

Figura 1.37:

Prima della chiusura del tasto I = 0; alla chiusura il generatoretende a far circolare corrente in R e in L. Ai capi dei due elementi si sviluppauna tensione rispettivamente VR = IR e VL = LdI/dt, la cui somma, istanteper istante, deve equilibrare equilibrare (legge delle tensioni di Kirchhoff) latensione E:

E = VR + VL

cioe:

E −RI − LdI

dt= 0

Risolvendo l’equazione differenziale con il metodo di separazione delle varia-bili si ottiene: (

I − E

R

)dt = −L

RdI − R

Ldt =

dI

I − ER

o considerando che:

d

(I − E

R

)= dI

1.10. INDUTTANZA 47

−R

Ldt =

d(I − E

R

)I − E

R

e, integrando:

−R

Lt = log

(I − E

R

)+ A

in cui A e una costante determinata dalle costanti iniziali. Per t=0 deve essereI(0) = 0: questa volta e funzione continua la corrente , perche VL = LdI/dt.Si trova percio:

A = −log

(−E

R

)Sostituendo:

−R

Lt = log

(I − E

R

)− log

(−E

R

)−R

Lt = log

I − ER

ER

cioe

e−RL

t = −I − E

RER

da cui:

I =E

R

(1− e−t/τ

)Graficamente l’andamento della corrente e rappresentato dalla differenza trail valore costante E/R ed un esponenziale decrescente. Partendo da zero la

Figura 1.38:

corrente cresce esponenzialmente e tende asintoticamente al valore E/R, che


e il limite di I per t tendente ad infinito. Come visto anche nel caso dellatensione ai capi di un condensatore, la rapidita con cui cresce la funzione Idipende dal valore di τ . Dopo un tempo t = τ la corrente raggiunge il valore:

I(t) = E/R(1− e−t/τ

)= E/R(1− 1/e) ' 2/3E/R

avendo approssimato e a tre, cioe i due terzi circa del valore massimo. Dopoun tempo uguale a 4 o 5 volte τ , i ha praticamente raggiunto il valore E/R erimane costante. A questo punto si e esaurito il transitorio e si e raggiunto ilregime stazionario. In figura 1.10.2 e indicato qualitativamente l’andamentocorrispondente a diversi valori di τ .

Figura 1.39:

La tensione VR ha un andamento del tutto simile.

Figura 1.40:

Infatti:

VR = RI = E(1− e−t/τ

)

1.10. INDUTTANZA 49

La tensione sulla resistenza cresce esponenzialmente da zero al valore mas-simo E (tensione del generatore) con costante di tempo τ = L/R. Ad ogniistante la somma VR + VL deve uguagliare il valore costante E; quindi:

VL = E − VR = Ee−t/τ

d’accordo con il valore calcolato da VL = LdI/dt. Alla chiusura del tasto VL

Figura 1.41:

passa bruscamente da zero a E e poi decresce esponenzialmente con costantedi tempo τ verso zero.

Raggiunte le condizioni stazionarie (dI/dt = 0), l’induttanza Lnon influisce sulle tensioni e correnti: la corrente che passa nel circuito equella che si avrebbe se L fosse sostituita da un corto circuito.

t = OO

E

R

I = E/R−

+

E

R

E

t = 0

−

+

Figura 1.42:

All’inizio del transitorio, invece, la situazione puo essere cosı rias-sunta: l’induttanza tende a mantenere costante la corrente che era nulla; acorrente nulla corrisponde caduta di tensione nulla sulla resistenza: allora latensione E deve essere bilanciata tutta da VL. E come se L fosse sostituitada un circuito aperto


1.11 Semiconduttori e diodi

Livelli quantici di un atomo. Gli elettroni sono disposti nei vari livelli, aciascuno dei quali corrisponde una determinata energia.

n = 2

n = 1E

nerg

ia

Ene

rgia banda di valenza

banda diconduzione

banda proibita

(elettroni legati)

Figura 1.43:

Livelli di un cristallo. Quando gli atomi sono disposti in modoordinato in una struttura cristallina, le forze interatomiche, responsabili dellastabilita della struttura cristallina, fanno addensare i livelli in “bande”. Glielettroni nella banda di conduzione sono liberi di muoversi sotto la spintadi un campo elettrico. Quelli della banda di valenza sono legati. Possonopassare alla banda di conduzione se viene fornita loro l’energia sufficiente asuperare la banda proibita. La larghezza della banda proibita stabilisce ilcomportamento elettrico dei vari materiali:

• conduttore: banda proibita di larghezza praticamente nulla. Confacilita elettroni passano, a temperatura ambiente, nella banda di con-duzione;

• isolante: distanza elevata tra banda di valenza e banda di conduzione(≥ 5 eV). Praticamente tutti gli elettroni rimangono nella banda divalenza.

• semiconduttore: situazione intermedia, con una certa quantita dielettroni nella banda di valenza (banda proibita ' eV). E questo ilcaso di elementi come il silicio ed il germanio.

La corrente elettrica e quindi dovuta al movimento di elettroni liberi dellabanda di conduzione, sotto l’azione di un campo elettrico applicato. Nelcaso dei semiconduttore, quando un elettrone passa dalla banda di valenza

1.11. SEMICONDUTTORI E DIODI 51

a quella di conduzione, lascia l’atomo privo di una carica negativa e quindidotato di carica positiva. E possibile che un elettrone di un atomo vicinosi sposti, per esempio sotto l’effetto di un campo elettrico esterno, e vada aprendere il posto del precedente, lasciando a sua volta una “lacuna”. Questoeffetto si presenta come movimento di una lacuna (carica positiva) dal primoatomo al secondo. Contribuiscono quindi alla corrente elettrica lacune che sispostano (conduzione per lacuna) pur rimanendo nella banda di valenza.

Impurita nei cristalli: drogaggio. Silico e germanio hanno

4 4

454

4 4

_

4

444

4

444

elettrone "libero"

Figura 1.44:

quattro elettroni di valenza. Se si inseriscono nel reticolo atomi con cinqueelettroni di valenza (drogaggio del semiconduttore), come As, P, St, l’elettro-ne in piu e relativamente libero. In questo caso l’impurita si dice “donatore”ed il cristallo drogato risultante e di tipo n. La situazione e indicata in fi-gura1.46: l’elettrone del donatore e vicinissimo alla banda di conduzione (ilsuo livello e al di sotto della banda di conduzione di circa 0.05 eV) e quindirisulta praticamente libero. Sono disponibili per la conduzione piu elettroniche lacune (le lacune sono nella banda di valenza ed il livello lasciato liberodall’elettrone del donatore non rappresenta una lacuna): prevale la correntedovuta agli elettroni.

Nel caso in cui si inseriscano impurita che possiedono solo tre elet-troni di valenza, come per B, Al, Ga, la situazione e simmetrica: l’ aggiuntadell’impurezza produce un livello accessibile nella banda proibita appena aldi sopra della banda di valenza (circa 0.05 eV al di sopra) che si comportacome una lacuna: sono percio disponibili per la conduzione piu lacuna cheelettroni (infatti il livello accessibile in piu non e associato ad un elettronenella banda di conduzione): prevale la corrente dovuta alle lacune. Impuritadi questo tipo sono dette “accettori” ed il cristallo drogato risultante e ditipo p.


banda di conduzione

banda di valenza

del donatorelivello dell’ elettrone

0.7 eV

0.05 eV

Figura 1.45:

La temperatura ha un effetto notevole sul comportamento diun cristallo di semiconduttore drogato. Possiamo distinguere 4 situazionifondamentali:

• Zero assoluto. Condizione di minima energia: tutti gli elettroni sonolegati, sia quelli di valenza, sia quelli dei donatori nei cristalli di tipon, sia quelli corrispondenti a lacune nei cristalli di tipo p. La correnteelettrica e assente.

• Tra lo zero assoluto e temperatura ambiente si liberano elettronie lacune delle impurita, superando il piccolo intervallo energetico che lisepara dalle rispettive bande di conduzione e di valenza.

• Temperatura ambiente. Tutti gli atomi delle impurita sono ionizza-ti, con formazione di coppie elettrone–lacuna. Alcuni legami di valenzasi rompono, ma prevale ancora la corrente dovuta alle impurita.

• Temperatura superiore a quella ambiente. Diventa importantela corrente dovuta alla ionizzazione degli atomi del cristallo che, al cre-scere della temperatura, finisce per prevalere su quella delle impurita.A un certo punto e come se si avesse a che fare con un cristallo puro,non drogato.

1.11.1 Giunzioni p–n

Consideriamo la giunzione di un cristallo con impurita di tipo p e di un cri-stallo con impurita di tipo n. Se le due parti fossero separate, sarebberoelettricamente neutre entrambe. Messe a contatto, gli elettroni in eccesso del


e−

++

++

++

++

++

− −

− −

− −

− −

− −

pn

Figura 1.46:

cristallo di tipo n tendono a diffondere nel cristallo di tipo p. Le lacune ten-dono a passare da p a n (in realta anche questo secondo effetto corrispondeal passaggio di elettroni da n a p, ma nella banda di valenza). Si producepercio un parziale svuotamento di cariche libere in un sottile strato a cavallodella giunzione, detto zona di svuotamento. La migrazione di elettroni caricanegativamente p (e positivamente n). Si stabilisce percio un campo elettrico,e quindi una tensione, alla giunzione. Questa tensione si chiama barriera dipotenziale della giunzione, perche si oppone alla migrazione di ulteriorielettroni. La condizione di equilibrio in tal modo raggiunta tra elettroni chediffondono da n a p sotto l’effetto di un gradiente di concentrazione ed elet-troni che derivano da p a n sotto l’effetto del campo elettrico della giunzione,puo venire alterata applicando una tensione esterna. Una tensione positiva

_ +

++

++

_ _

_ _

n p

++

++

_ _

_ _

n p

+ _

polarizzazione diretta polarizzazione inversa

Figura 1.47:

applicata a p (polarizzazione diretta della giunzione) provochera pas-saggio di corrente attraverso la giunzione: il generatore fornisce gli elettroniche da n passano a p. Una tensione inversa aumenta invece la barriera dipotenziale (polarizzazione inversa della giunzione). Nel primo caso lagiunzione offre bassissima resistenza al passaggio di corrente; nel secondocaso una resistenza molto alta. La caratteristica I − V della giunzione e ri-portata in figura 1.48. Appare evidente che la giunzione e un conduttore non


Figura 1.48:

ohmico, dato che per essa non esiste una relazione di proporzionalita direttatra la tensione applicata ai capi e la corrente che fluisce, bensı una relazionedi tipo esponenziale:

I(V ) = I0

(e

qeVηKBT − 1

)che prende il nome di equazione di Schockley, dove qe e la carica dell’elettrone,V la tensione applicata, KB e la costante di Boltzmann, KB = 1.38 · 10−23

J/K, ed η e un fattore che dipende dal materiale semiconduttore e vale 1 peril Ge, 2 per il Si. −I0 e a corrente che attraversa la giunzione quando essae polarizzata inversamente, viene detta corrente di polarizzazione inversaed e dell’ordine del µA; la corrente che attraversa la giunzione quando epolarizzata direttamente, invece, risulta dell’ordine del mA.

Il cristallo cosı disposto prende il nome di diodo e viene rappre-sentato dal simbolo di figura 1.49.

a k

I+ V −

Figura 1.49:

Tipi particolari di diodi sono i LED e le celle solari. Nei LED(Light Emitting Diodes) raggiunti valori di corrente sufficientemente grandi,per cui il numero di elettroni di conduzione nel lato p della giunzione risulta


elevato, diventa molto probabile la ricombinazione tra elettroni e lacune;l’energia rilasciata nella ricombinazione, che e dell’ordine della larghezza dellabanda proibita, viene emessa sotto forma di fotoni con lunghezze d’ondacomprese nella porzione visibile dello spettro elettromagnetico. Il materialesemiconduttore e generalmente un composto binario o ternario contenentedel Ga, come GaP o GaAsxPx−1, con impurezze di Zn, O, o N in variaconcentrazione: a seconda della concentrazione del drogante il colore la luceemessa varia dal rosso al verde.

La cella fotoelettrica, invece, e costituita da un diodo a giunzionep − n di grande area, le cui proprieta sono ottimizzate per l’assorbimentodelle luce solare e la raccolta dei fotoelettroni e delle lacune risultanti: l’e-sposizione alla luce causa, con molta efficienza, il passaggio di elettroni dallabanda di valenza a quella di conduzione. Il lato che viene esposto alla luce equello p della giunzione, gli elettroni vengono eccitati dalla luce nella bandadi conduzione e di qui tendono a migrare verso il lato n della giunzione: sicrea quindi un flusso di elettroni dal lato p al lato n e quindi una correnteelettrica dal lato n al lato p. Questa direzione della corrente corrisponde allasituazione di polarizzazione inversa, in cui tuttavia, la corrente non e picco-lissima, perche favorita dalla eccitazione dovuta alla luce: la corrente, infatti,e proporzionale all’illuminamento e non dipende dalla tensione applicata al-la cella. Nel scegliere il materiale semiconduttore migliore per realizzare lagiunzione e necessario considerare la larghezza della banda proibita. Datoche solo i fotoni con energia maggiore della larghezza della banda possonoprodurre coppie elettrone–buca, e vantaggioso usare un materiale con unabanda proibita piccola cosı che una frazione maggiore di fotoni incidenti pos-sano contribuire alla fotocorrente; d’altro canto, al crescere della larghezzadella banda proibita cresce anche la tensione fornita dal generatore, siccheuna elevata efficienza di conversione tra potenza solare ed elettrica e legataall’uso di materiali con larghezze di banda dell’ordine di 1.2–1.8 eV: sia il Siche il GaAs sono adatti sotto questo aspetto e la maggior parte delle cellesolari e fatta di Si.


1.12 Applicazioni ed esercizi

Applicazione 1

1. Trovare il numero dei nodi e dei rami nel circuito in figura.

A

B

C D E

FG

H

1 34

7

2

6 58

I punti 1 e 2 costituiscono un unico nodo; lo stesso per i punti 3 e 4, 5 e 6,compresi sempre i fili di giunzione. Il punto 7 e i due fili ai suoi lati sono unaltro nodo; lo stesso per il punto 8 e i relativi fili. Abbiamo dunque cinquenodi. Ogni componente, da A ad H, e un ramo: otto rami in tutto.

2. Nella stessa figura, quali sono i componenti in serie e quali in parallelo?

I componenti F, G, H sono in serie perche conducono la stessa corrente; A eB, collegati su entrambi i teminali, risentono della stessa tensione e sono inparallelo. Lo stesso vale per C, D, E: sono in parallelo anche loro. Il gruppoin parallelo A, B e poi in serie con quello ugualmente in parallelo di C, D,E; entrambi i gruppi infine sono in serie con F, G, H.

3. Identificare anelli e maglie nel circuito in figura. Specificare anche qualicomponenti sono in serie e quali in parallelo.

C

A

E

F

B

H

GD

Abbiamo tre anelli: uno del componenti A, E, F, D, C; uno dei componentiB, H, F, G, E; un terzo di A, B, H, G, D, C. I primi due sono anche maglie,il terzo non lo e perche i componenti E, F sono al suo interno. A, C, D sonoin serie in quanto percorsi dalla stessa corrente. Per la stessa ragione sonoin serie anche E ed F nonche B, H, G. Non ci sono componenti in parallelo.

1.12. APPLICAZIONI ED ESERCIZI 57

Applicazione 2

1. In un circuito serie una corrente esce dal terminale positivo di un generatoreda 180 V e percorre due resistori, uno dei quali ha un valore di 30 Ω men-tre l’altro e sotto una tensione di 45 V. Trovare la corrente e la resistenzaincognita.

Il resistore da 30 Ω risente di una tensione di 180 – 45 = 135 V ed e quindiattraversato da una corrente di 135/30 = 4.5 A. L’altra resistenza vale 45/4.5= 10 Ω.

2. Trovare corrente e tensioni incognite nel circuito in figura.

12 V

10 a 15 5 V

6V

VV

811

V V

8 Vb

1 2

3

45

Ω Ω

Ω

Ω Ω

I

Vab

−+

−

+

−+

La resistenza totale e uguale alla somma delle resistenze: 10+15+5+8+11= 50 Ω. La f.e.m. totale che deriva dai generatori di tensione in direzione diI vale 12–5 +8 = 15 V. La corrente I e uguale a questa tensione divisa per laresistenza totale: I = 15/50 = 0.3 A. Per la legge di Ohm V1 = 0.3×10 = 3 V;V2 = 0.3 × 15 = 4.5 V; V3 = 0.3 × 6 = 1.8 V; V4 = 0.3 × 8 = 2.4 V;V5 = 0.3× 11 = 3.3 V;

3. Trovare la tensione Vab nel circuito precedente.

Vab e la caduta di tensione tra il nodo a e il b pari a sua volta alla sommadelle cadute di tensione ai capi dei componenti inseriti tra a e b, a destrao a sinistra del nodo a. Ci conviene scegliere il cammino di destra perchee proprio questa la direzione della corrente I=0.3 A trovata nella soluzionedel quesito precedente. Abbiamo cosı

Vab = (0.3× 15) + 5 + (0.3× 6) + (0.3× 8)− 8 = 5.7V

Noteremo che la caduta IR e sempre positiva in direzione di I.


Applicazione 3

1. Un generatore da 90 V e in serie a cinque resistori aventi resistenze 4, 5, 6,7, 8 Ω. Trovare la tensione ai capi del resistore da 6 Ω.

Con la formula di partizione della tensione vediamo che in un circuito in serieil voltaggio ai capi di un resistore e uguale al prodotto della resistenza diquest’ultimo per la tensione applicata, diviso per la resistenza complessiva.Allora:

V6 =6

4 + 5 + 6 + 7 + 8× 90 = 18V

2. Trovare con il metodo della partizione della tensione il valore delle tensioniV4 e V5 nel circuito delll’applicazione precedente.

La tensione totale ai capi dei resistori e uguale alla somma delle f.e.m. pro-venienti dai generatori di tensione, prese se possibile in senso orario: 12–5+8= 15 V. La polarita di questa tensione netta sara tale da produrre un flussodi corrente in senso orario. Nella somma 5 V e negativo perche e una cadutadi tensione; le f.e.m. sono aggiunte come positive. Vista in altro modo, lapolarita del generatore da 5 V si oppone a quelle dei generatori da 12 e 8 V.La formula di partizione della tensione V4 dovra avere segno positivo, vistoche V4 e una caduta in senso orario; si oppone alla polarita della tensionenetta applicata:

V4 ×8

10 + 15 + 6 + 8 + 11× 15 =

850× 15 = 2.4V

La formula di partizione della tensione per V5 richiede un segno negativo:sia V5 che la tensione netta di generatore sono f.e.m. in senso orario:

V5 = −1150× 15 = −3.3V

3. Trovare la tensione Vab ai capi del circuito aperto in figura.

40 10

100 V 60 Vab

a

b

Ω Ω

Ω

+

_−

+

Ai capi del resistore da 10 Ω la tensione e zero: in serie a un circuito aperto,in esso il flusso di corrente e nullo. La tensione Vab allora e uguale alla cadutadi tensione, andando dall’alto verso il basso, ai capi del resistore da 60 Ω.Con la partizione della tensione:

Vab =60

60 + 40× 100 = 60V


Applicazione 4

1. Trovare la resistenza equivalente RT per la rete a scala in figura.

16 3 8

4245

9

RT

ΩΩ

ΩΩ

Ω Ω

Ω

14

Ω

Quando si vuol trovare la resistenza equivalente di una rete a scala combi-nandone le resistenze, bisogna sempr partire dll’estremita opposta rispettoai segnali di ingresso. A questo punto i resistori in serie da 4 e 8 Ω presen-tano una resistenza equivalente da 12 Ω. Questa si combina in parallelo conquella da 24 Ω: (24 × 12)/(24+12) = 8 Ω. Questa a sua volta si sommaalle resistenze in serie da 3 e da 9 Ω e si ha la somma: 8+3+9 = 20 Ω.Quest’ultima resistenza si aggiunge ai 5 Ω in parallelo: (20 × 5) /(20+5)= 4 Ω. RT corrisponde alla somma di quest’ultima resistenza con quelle inserie da 16 e da 14 Ω: RT = 4+16+14 = 34 Ω.

2. Trovare tensioni e correnti incognite nel circuito seguente.

190 A 6 S 50 A V 12 S 24 S 60 A 8 S

I I I

I

1 2 3

4

+

_

Sia nella linea superiore che in quella inferiore, i nodi, che sembrerebberoparecchi, si riducono a uno solo perche tutti i punti in giunzione sono allostesso potenziale. Abbiamo quindi due nodi ed una tensione V. La condut-tanza equivalente dei resistori collegati in parallelo e G = 6+12+24+8 S =50 S. La corrente complessiva che dai generatori entra nel nodo superioree di 190–50+60 = 200 A. Possiamo usare questi valori nella formula dellalegge di Ohm espressa in funzione della conduttanza: I = GV ricavando cosıla tensione: V=I/G=200/50=4 V. Essendo questa la tensione ai capi di ogniresistore, le relative correnti sono: I1 = 6 × 4 = 24 A, I2 = −12 × 4 = −48A, I3 = 24× 4 = 96 A e I4 = −8× 4 = −32 A. I segni negativi sono dovutiai riferimenti non associati. Naturalmente tutte le correnti escono dal nodosuperiore.

L’effetto dei generatori di corrente in parallelo e come quello di un unicogeneratore, la cui corrente e pari alla somma algebrica delle correnti deisingoli generatori.


Applicazione 5: analisi di maglia

1. Trovare le correnti di maglia nel circuito in figura.

62 V

16 V5

6 4 AI I1 2

Ω

Ω−

+

−+

Per ricavare le equazioni di maglia e sempre meglio far uso delle autoresi-stenze e delle resistenze mutue. Nella maglia 1 l’autoresistenza vale 5+6 =11 Ω; la resistenza mutua con la maglia 2 e invece di 6 Ω. La somma dellef.e.m. di generatore nella direzione di I1 s 62–16 = 46 V. Dunque l’equazionedella LTK per la maglia 1 e 11I1–6I2= 46.

Per la maglia 2 non ci serve alcuna equazione LTK, visto che l’unica correnteche percorre il generatore da 4 A e I2, col risultato che I2= –4 A. La correnteI2 e negativa perche la sua direzione di riferimento e opposta a quella delgeneratore. Incidentalmente, non si puo scrivere una equazione LTK per lamaglia 2 senza introdurre una variabile per la tensione, incognita, ai capidel generatore di corrente.

Sostituiamo I2= –4 A nell’equazione della maglia 1 e otteniamo:

11I1 − 6(−4) = 46ei1 =2211

= 2A

2. Risolvere il circuito di figura rispetto alle correnti di maglia

40 V

6 12

4

12 V

24 VI I

Ω Ω

Ω

1 2

−

+

−

+ −

+

L’autoresistenza della maglia 1 e 6+4 = 10 Ω; la resistenza mutua con lamaglia 2 e di 4 Ω; la somma delle f.e.m. di generatore nella direzione diI1 e 40–12 = 28 V. Allora l’equazione della maglia 1 e, con la legge LTK:10I1 − 4I2 = 28.


Allo stesso modo l’autoresistenza della maglia 2 e 4+12 = 16 Ω; la resistenzamutua e 4 Ω e la sommadelle f.e.m. da generatori di tensione e 24+12 = 36V. Abbiamo allora un’equazione LTK per la maglia 2: −4I1 + 16I2 = 36.

Se esaminiamo il sistema delle due equazioni di maglia notiamo la simmetriadei coefficienti (–4) rispetto alla diagonale principale, dovuta alla comuneresistenza mutua:

10I1 − 4I2 = 28−4I1 + 16I2 = 36

Un buon metodo di soluzione e qui di sommare alla seconda la prima equa-zione, moltiplicata per 4; in tal modo si elimina I2. Risultato:

40I1 − 4I1 = 112 + 36 da cui I1 =14836

= 4.11A

Sostituendo nella seconda equazione:

−4(4.11) + 16I2 = 36 e I2 =52.4416

= 3.28A


Applicazione 6: analisi di maglia

1. Trovare nel circuito in figura le correnti che fluiscono dai terminali positivi dibatteria. L’autoresistenza della maglia 1 e 2+3 = 5 Ω; la resistenza mutua

10 V

2

I I

3

12 V

6

Ω

1 2

Ω

Ω

−

+

−

+

vale 3 Ω, la tensione netta collaborante di generatore vale 10–12 = –2 V.Per la maglia 2 l’autoresistenza e 6+3 = 9 Ω, la resistenza mutua e 3 Ω, latensione netta collaborante di generatore vale 12 V. Allora le equazioni dimaglia sono le seguenti:

5I1 − 3I2 = −2−3I1 + 9I2 = 12

Moltiplicando la prima per 3 e sommandola alla seconda eliminiamo I2:

15I1 − 3I1 = −6 + 12 da cui I1 =612

= 0.5A

Sostituiamo nella seconda equazione ed abbiamo:

I2 =12 + 3(0.5)

9= 1.5A

La corrente che esce dal polo positivo della batteria da 10 V e I1 = 0.5 A.La corrente analoga della batteria da 12 V e invece: I2 − I1 = 1.5− 0.5 = 1A.


2. Trovare le correnti di maglia nel circuito in figura a.

I2

I1 I2

5 Ω

75 V

4 Ω 6 Ω

13 V

65 V

75 V

4

5I I

6

13 V

Ω Ω

1 3Ω 13 A

a)

b)

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

Per prima cosa convertiamo il generatore di corrente da 13 A e il resistoreda 5 Ω in parallelo in un generatore di tensione, come si vede nel circuitodella figura b.

L’autoresistenza della maglia 1 e 4+5 = 9 Ω, quella della maglia 2 e 6+5 =11 Ω. La resistenza mutua e 5 Ω. Le f.e.m. dei generatori sono: 75–65 = 10V per la maglia 1 e 65–13 = 52 V per la 2. Le corrispondenti equazioni dimaglia sono:

9I1 − 5I2 = 10−5I1 + 11I2 = 52

Moltiplichiamo la prima equazione per 5, la seconda per 9 e sommiamo,eliminando I1:

−25I2 + 99I2 = 50 + 468 da cui I2 =51874

= 7A

che sostituita nella prima equazione ci da:

9I1 + 5(7) = 10 ovvero I1 =10 + 35

9= 5A

Nel circuito originale la corrente di generatore e I2 − I3 = 13 A. QuindiI3 = I2 − 13 = 7− 13 = −6 A.


Applicazione 7Risolvere il circuito rispetto alle correnti di maglia.

7 Ω5 Ω

I

4

25 V

57 V

6

4 V

Ω

1

70 V

Ω

3 Ω

42 VI2 I

3

−

+

−+

−

+−

+

−

+

Le autoresistenze sono: 3+4 = 7 Ω per la maglia 1; 4+5+6 = 15 Ω perla 2; 6+7 = 13 Ω per la maglia tre. Le resistenze mutue sono: 4 Ω per le maglie 1e 2, 6 Ω per la 2 e la 3, 0 Ω per la 1 e la 3. Le tensioni di generatore collaborantisono: 42+25 = 67 V per la maglia 1; –25–57–70 = –152 per la 2; 70+4 = 74 Vper la maglia 3. Dunque le equazioni di maglia sono:

7I1 − 4I2 − 0I3 = 67−4I1 + 15I2 − 6I3 = −152−0I1 − 6I2 + 13I3 = 74

Notare la simmetria dei coefficienti di resistenza mutua rispetto alladiagonale principale. Sono le resistenze mutue comuni che danno regolarmenteluogo a questa simmetria. Si vede anche che in ogni maglia l’autoresistenza euguale o maggiore alla somma delle resistenze mutue, dato che la prima comprendele seconde.

Con la regola di Cramer:

I1 =

∣∣∣∣∣∣67 −4 0−152 15 −674 −6 13

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣7 −4 0−4 15 −6− −6 13

∣∣∣∣∣∣=

4525905

= 5A

I2 =

∣∣∣∣∣∣7 67 0−4 −152 −60 74 13

∣∣∣∣∣∣905

=−7240905

= −8A

I3 =

∣∣∣∣∣∣7 −4 67−4 15 −1520 −6 74

∣∣∣∣∣∣905

=−1810905

= 2A


Applicazione 8Trovare le correnti di maglia nel seguente ciruito.

Ι 1

8 191 V

4 100 V 6 15 V

75

23 V74 V

3

150 V

Ω

Ω Ω

Ω

Ω

ΩΙ

Ι3

2

−

+

−

+

−+

−+

− +

−

+

Le autoresistenze sono: 3+4+5 = 12 Ω per la maglia 1; 5+6+7 = 18Ω per la 2; 6+4+8 = 18 Ω per la maglia tre. Le resistenze mutue valgono: 5 Ω perle maglie 1 e 2, 6 Ω per la 2 e la 3, 4 Ω per la 1 e la 3. Le tensioni di generatorecollaboranti sono: 150–100–74 = –24 V per la maglia 1; 74+15+23 = 112 per la 2e 100–191–15 = –106 V per la maglia 3. Le equazioni di maglia sono allora:

12I1 − 5I2 − 4I3 = −24−5I1 + 18I2 − 6I3 = 112−4I1 − 6I2 + 18I3 = −− 106

Notare, come verifica, la simmetria dei coefficienti di resistenza mutua rispetto alladiagonale principale.

Con la regola di Cramer:

I1 =

∣∣∣∣∣∣−24 −5 −4112 18 −6−106 −6 18

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣12 −5 −4−5 18 −6−4 −6 18

∣∣∣∣∣∣=−49562478

= −2A

I2 =

∣∣∣∣∣∣12 −24 −4−5 122 −6−4 −106 18

∣∣∣∣∣∣2478

=99122478

= 4A

I3 =

∣∣∣∣∣∣12 −5 24−5 18 112−4 −6 −106

∣∣∣∣∣∣2478

=−123902478

= −5A


Esercizio 7a – Teorema della SovrapposizioneCalcolare la differenza di potenziale tra i punti A e B nel circuito in

figura.9 V

15 V

2

1

1

2

Ω

Ω

Ω

Ω

ΒΑ

−+

−

+

La corrente dovuta al generatore da 9 V si trova considerando ilcircuito

9 V

BA

2

2

1

I’

Ω

Ω

Ω

Ω1

R

I

−+

equivalente ai seguenti:

2 Ω

9 V

Ω

9 V

Ω3

Ι

9 V

2

2

2

A B

Ω

Ω

Ω

Ι

1

−+

−+

−+

dove I=3 A. La corrente I si suddivide nel punto A in due parti uguali. Quindi:I′R = 1.5 A da A verso B.


La corrente dovuta all’altro generatore e, in modo analogo:

1

Ω1

Ω

Ω 15 V

2

15 V

BΩ

Ω

2 Ω

1Ω

A

1

I "R

1

−

+−

+

I = 5 A e I′′R = 2.5 A da B verso A.

Infine:I = I

′R + I

′′R = 1 A da B verso A

e percioVA − VB = 2Ω · IR = −2V


Esercizio 8a – Teorema di TheveninCalcolare, nel circuito dell’esercizio 7a, il valore di VA − VB.Facciamo riferimento alla prima figura dell’esercizio 7a.Conviene far corrispondere al circuito B della figura 1.14 la resistenza tra i

punti A e B e al circuito A della figura 1.14 il resto del circuito di partenza, comeindicato nella figura seguente:

A B

C

9 V

2

1

1

15 V

Ω

Ω

Ω

+

+

+ __

_I

−+

−

+

La tensione equivalente di Thevenin, VTh, e la tensione VA−VB della figuraprecedente.

La corrente I si ricava (Kirchhoff) da:

15 + 9− 2I − I − I = 0

e risulta I=6 A. Allora VC − VA=12 V e

VTh = VA − VB = (VA − VC) + (VC − VB) = −12 + 9 = −3V

La resistenza equivalente di Thevenin, RTh, e la resistenza totale del circuitodella figura precedente, con i generatori in corto circuito: Infine si ha:

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω2

2

1

1

2

A B A B

IR = VTh/(R + RTh) = −3/3 = −1 A

VA − VB = −2 V


Esercizio 8b – Teorema di TheveninCalcolare la corrente che fluisce nell’ultima resistenza a destra del

circuito in figura.

E

A

B

2 1 1

1

Ω Ω Ω

2 Ω 2Ω 2 Ω Ω

P

Q

−

+

Conviene applicare ripetutamente il teorema di Thevenin.Il circuito a sinistra dei punti A e B e equivalente al seguente:

E

2

2

A

B

Ω

Ω

A

B

V

R

Th

Th

−

+

−

+

conVTh = VAB = I · 2 = E/(2 + 2) · 2 = E/2

RTh = (2 · 2)/(2 + 2) = 1Ω

Il circuito diventa:

E / 2

1 1

2

1

2 1

P

Q

C

D

Ω

Ω ΩΩ

ΩΩ

−

+

Il circuito a sinistra di CD e identico a quello a sinistra di AB, congeneratore di tensione dimezzato. Quindi: VTh = E RTh = 1Ω


Il circuito diventa, in sequenza:1 1

1

Ω

Ω2

Ω

ΩE / 4

P

Q

E / 8

1

1

P

Q

Ω

Ω−

+

−

+

La corrente cercata vale: (E/8) · (1/2) = E/16 A


Esercizio 8c – Teorema di TheveninCalcolare la caduta di tensione ai terminali della resistenza R4 nel

circuito

4

E10 V

1 R

3

10 10

A

BΩ

Ω

Ω Ω

Ω R1

2

R 3

R4

5R

C

D

−

+

La parte di circuito a sinistra di CD equivale a:

E

R

R

C

D

1

2

C

D

V ’

R ’

Th

Th

−

+

−

+

con:R

′Th =

R1R2

R1 + R2= 0.8Ω

V′Th = E −R2

E

R1 + R2= 8V

Applicando di nuovo il teorema di Thevenin al circuito cosı ottenuto

V ’ Th V ’ Th

B

A

R4ThV

RTh

R ’ RA

B

R R

Th 3

4 5

A

B

R + R ’3 Th

5 4R R

−

+

−

+

−

+

con

VTh = VAB = R5V

′Th

R3 + R′eq + R5

= 5.8V


RTh =R5(R3 + R

′eq)

R3 + R′eq + R5

= 2.75Ω

da cuiV4 = I4R4 = R4

VTh

R4 + RTh= 4.55V

Capitolo 2

Analisi dei circuiti in correntealternata

2.1 Grandezze alternate

Con il termine corrente o tensione alternata si indica una corrente o una tensionecon una dipendenza sinusoidale dal tempo, del tipo:

i = i(t) = Isin(ωt± φ1)

v = v(t) = V sin(ωt± φ2)

dove I e V indicano l’ampiezza delle corrispondenti grandezze alternate, ω e lapulsazione, legata alla frequenza ν della sinusoide dalla relazione: ω = 2πν, φ1

e φ2 sono le fasi iniziali ed il segno ± indica lo sfasamento dell’onda: il segno +indica, nel caso della tensione per esempio, che l’onda e in anticipo di φ1 rispetto aV sin ωt mentre il segno meno indica che l’onda e in ritardo di φ2 rispetto a V sin ωt.Graficamente, un anticipo di fase corrisponde ad una traslazione dell’onda lungol’asse dei tempi verso sinistra di una quantita pari all’angolo φ, un ritardo di fasead una traslazione verso destra, come indicato in figura 2.1 nel secondo e terzoriquadro.

La differenza ∆φ = φ1 − φ2 indica la differenza di fase tra la correntee la tensione, per esempio.

Il valor medio di una grandezza alternata e nullo:

v =1T

∫ T

0v(t)dt =

12π

∫ 2π

0V sin θ dθ = 0 θ = ωt + φ

Si definisce valore efficace di una grandezza alternata la radice quadrata del valoremedio del quadrato:

Veff =

√12π

∫ 2π

0V 2sin2θ dθ =

V√2

73

74CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.1:

2.1. GRANDEZZE ALTERNATE 75

Ieff =I√2

Una grandezza alternata, ad esempio v(t), e rappresentata, i-stanteper istante, da un punto P su un cerchio di raggio V, come indicato in figura2.1. Tale punto si muove sul cerchio con velocita angolare ω in senso antiorario;

Figura 2.2:

il valore istantaneo di v(t) e la proiezione del punto P sull’asse y. Esso puo ancheessere considerato come il secondo estremo di un vettore di modulo V, con il primoestremo fisso nell’origine, in rotazione in senso antiorario con velocita angolare ω.

Poiche in un circuito di solito interessano solo le relazioni di ampiezzae fase tra grandezze diverse (i, v) che hanno la stessa frequenza (e percio la stessapulsazione), ci si puo limitare a considerare le posizioni fisse assunte dai puntirappresentativi (o vettori rappresentatitvi) ad un tempo scelto, per esempio at=0.

Il punto (o vettore) corrispondente ad una grandezza sinusoidale v =V sin ωt puo essere rappresentato dalle sue proiezioni (o componenti) in un sistemadi riferimento ad assi ortogonali (x, y), a e b, come mostrato in figura 2.1.

Il modo piu semplice per distinguere la componente y dalla compo-nente x e quello di moltiplicare il numero b per una funzione j che faccia ruotareun vettore di modulo b di π/2 in senso antiorario; j2 provochera una rotazione diπ (verso negativo dell’asse x), cioe cambiera a in −a; j3 = jj2 ruotera di 3/2π.


Figura 2.3:

Questo indica che e possibile identificare l’operatore j con il numero immagina-rio j =

√−1 ed esprimere in forma algebrica il vettore v come somma delle sue

componenti nel piano complesso:

v = a + jb = V cos φ + j V sin φ = V ejφ

Le operazioni che coinvolgono grandezze alternate si possono in tal modo ricon-durre alla algebra dei numeri complessi.

Anche in questa rappresentazione non compare esplicitamente la velo-cita di rotazione ω; in realta, poiche la fase all’istante t vale ωt+φ, si puo tenerneconto in forma piu generale esprimendo:

v = V ej(ωt+φ) = V ejφejωt

dove il fattore moltiplicativo ejωt, che tiene conto della componente temporaledella fase, e un numero complesso di modulo 1 e viene abitualmente sottointesonei calcoli.

2.1.1 Richiami sui numeri complessi

Rappresentazione di un numero complesso z– mediante la parte reale (a) e la parte immaginaria (b):

z = a + jb

– mediante il modulo (Z) e la fase (φ):

z = Zejφ

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 77

modulo e parti reale ed immaginaria sono legati dalla relazione Z2 = a2 + b2 edalla formula di Eulero:

ejφ = cos φ + jsin φ

si ha che tg φ = b/a.Somma di due numeri complessi z1 e z2

z = z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)

quindi, se z = a + jb:a = a1 + a2 b = b1 + b2

Prodotto di due numeri complessi: x = Xejδ e y = Y ejθ

z = xy = XY ei(δ+θ)

quindi, se z = Zejφ:Z = XY φ = δ + θ

Quest’ultima relazione indica che la moltiplicazione di due numeri complessi modi-fica la fase: infatti la fase del prodotto z e diversa dalla fase di ciascuno dei fattoried e pari alla somma delle due fasi. Se uno dei fattori e reale, per esempio x,δ = 0 e la fase di z resta uguale a quella dell’altro fattore, y: quindi moltiplicareun numero complesso per un numero reale non modifica la fase.Rapporto tra due numeri complessi: x = Xejδ e y = Y ejθ

z = x/y = X/Y ej(δ−θ)

quindi, se z = Zejφ:Z = X/Y φ = δ − θ

Quest’ultima relazione indica che la divisione di due numeri complessi modifica lafase: infatti la fase del rapporto z e diversa dalla fase di ciascuno dei fattori ed epari alla differenza delle due fasi. Se il denominatore e reale (cioe θ=0), la fasedi z resta uguale a quella del numeratore (φ = δ): quindi dividere per un numeroreale non modifica la fase. Se invece il numeratore e reale (cioe δ=0), la fase di ze uguale a quella del denominatore cambiata di segno: quindi dividere un numeroreale per un numero complesso significa cambiare il segno della fase di quest’ultimo(φ = −θ).

2.2 Componenti di circuito in regime sinusoi-

dale

ResistenzaIstante per istante la corrente che percorre una resistenza R e la ten-

sione ai suoi capi sono legate dalla legge di Ohm:

v = Ri


Sev = V sin (ωt + φ)

sarai = I sin (ωt + φ)

con I = V/R.Corrente e tensione nella resistenza sono in fase (∆φ=0) come

mostrato nella figura 2.4

Figura 2.4:

CapacitaLa quantita di carica q sulle armature di un condensatore di capacita

C e proporzionale alla differenza di potenziale tra le armature stesse, VC :

q = CVC

Una variazione della tensione corrispondera ad una corrente (derivando):

iC = CdVC

dt

dove si e assunto che C non dipenda dal tempo, come avviene normalmente.Pertanto se:

vC = V sin ωt


dove si considera nulla la fase iniziale della tensione in quanto si e interessatia valutare sfasamenti rispetto ad essa (essa viene cioe considerata come fase diriferimento), sara:

iC = ωCV cos ωt = Isin(ωt +π

2)

L’ampiezza della corrente e ωC volte quella della tensione; la corrente risultain anticipo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla tensione: i ha ilmassimo, positivo o negativo, negli istanti in cui la tensione e nulla e viceversa,come indicato in figura 2.5.

Figura 2.5:

In forma complessa si avra:

iC = CdvC

dt= ω C vC ejπ/2 = j ω C vC

da cui si puo ricavare:

vC =−j

CωiC =

iCCω

e−jπ/2

E sottointeso per entrambe un fattore di fase eiωt. Introducendo la impedenzacapacitiva zC :

zC =−j

Cω=

1jωC

=1

ωCe−jπ/2

dove la grandezza:

XC =1

Cω


prende il nome di reattanza capacitiva, si puo esprimere la relazione tra tensionee corrente per un condensatore nella forma complessa:

vC = zCiC

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per la capacita.

InduttanzaUna variazione della corrente che percorre una bobina di induttanza L

provoca, tra i terminali della bobina, una forza controelettromotrice proporzionalealla variazione per unita di tempo della corrente:

EL = −Ldi

dt

dove il segno negativo esprime il fatto che EL tende ad opporsi alla causa della va-riazione di corrente. Se la causa e, ad esempio, un generatore di tensione alternatache produce ai capi dell’induttanza una d.d.p.

vL = V sin ωt

tale tensione sara legata ad ogni istante t alla corrente che percorre l’induttanzadalla relazione:

vL = Ldi

dt

Questo valore rappresenta una caduta di tensione su una induttanza L percorsadalla corrente iL. Integrando si ottiene:

iL =1L

∫ t

0vLdt =

−V

ωLcos ωt = I sin (ωt− π/2)

l’ampiezza della corrente e 1/ωL volte quella della tensione; la corrente risultain ritardo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla tensione: i ha ilmassimo, positivo o negativo, negli istanti in cui la tensione e nulla e viceversa,come indicato in figura 2.6. In forma complessa si avra:

iL =vL

zL=

vL

Lωe−jπ/2 =

−jvL

Lω

da cui si puo ricavare:vL = iLLω ejπ/2 = jLω iL

E sottointeso per entrambe un fattore di fase eiωt. Introducendo la impedenzainduttiva zL:

zL = jLω = Lωejπ/2

dove la grandezza:XL = Lω


Figura 2.6:

prende il nome di reattanza induttiva, si puo esprimere la relazione tra tensionee corrente per un induttore nella forma complessa:

vL = zLiL

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per l’induttore.

Principi di Kirchhoff generalizzatiAvendo definito tensioni, correnti ed impedenze complesse ed avendo

esteso la legge di Ohm, si possono usare le stesse leggi e teoremi dei circuiti lineariin corrente continua avendo solo cura di sostituire ai componenti le corrispondentiimpedenze complesse. In generale conviene calcolare l’impedenza equivalente

zeq = Zejφeq

del circuito applicando alle impedenze le stesse regole di composizione delle resi-stenze usate nell’analisi dei circuiti in corrente continua, per cui se il potenziale diingresso e:

vin = V ejωt

la corrente i vale, per la legge di Ohm generalizzata:

i =vin

zeq=

V

Zej(ωt−φeq) = Iej(ωt−φeq) → Ie−jφeq

Riportiamo alcuni esempi di calcolo di impedenze complesse equivalenti.


Circuito RC (figura 2.7)

a b c

I

V VR C

R C

Figura 2.7:

L’impedenza equivalente e:

zeq = R + zC = R− j

ωC

Z =

√R2 +

(1

ωC

)2

, tg φeq =XC

R=

−1ωRC

La corrente risulta:i =

vin

zeq=

V

Ze−j φeq

I =V

Z, φi = −φeq

la tensione ai capi della resistenza e:

vR = iR = vinR

zeq= V

R

Ze−j φeq

VR = IR = VR

ZφR = −φeq

la tensione ai capi della capacita e:

vC = izC = vzC

zeq= V

1ωCZ

e−j(φeq+π/2)

VC = V1

ωCZφC = −φeq − π/2

Circuito RL (figura 2.8)L’impedenza equivalente e:

zeq = R + zL = R + jωL


a b c

IR L

V VR L

Figura 2.8:

Z =√

R2 + (ωL)2, tg φeq =XL

R=

ωL

R


vin

zeq=

V

Ze−j φeq

I =V

Z, φi = −φeq


vR = iR = vinR

zL= V

R

Ze−j φeq

VR = IR = VR

ZφR = −φeq

la tensione ai capi dell’induttanza e:

vL = izL = vzL

zeq= V

ωL

Ze−j(φeq−π/2)

VL = VωL

ZφL = −φeq + π/2

Circuito RLC in serie (figura 2.9)L’impedenza equivalente e:

zeq = R + zL + zC = R + j(ωL− 1ωC

Z =

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

, tg φeq =XL + XC

R=

ωL− 1ωC

R


vin

zeq=

V

Ze−j φeq


a b c d

IR L

C

V V VR L C

Figura 2.9:

I =V

Z, φi = −φeq


vR = iR = vinR

zeq= V

R

Ze−j φeq

VR = IR = VR

ZφR = −φeq

la tensione ai capi dell’induttanza e:

vL = izL = vzL

zeq= V

ωL

Ze−j(φeq−π/2)

VL = VωL

ZφL = −φeq + π/2

la tensione ai capi della capacita e:

vC = izC = vzC

zeq= V

1ωCZ

e−j(φeq+π/2)

VC = V1

ωCZφC = −φeq − π/2

Circuito RLC in parallelo (figura 2.10)Conviene calcolare prima l’impedenza equivalente zLC del parallelo LC

e poi sommarla a R per avere l’impedenza totale equivalente zeq. L’impedenzazLC e immaginaria pura ma la sua fase, φLC , ha un segno che dipende da ω, eprecisamente φLC = −π/2 se ω2 > 1/LC mentre φLC = +π/2 se ω2 < 1/LC:

1zLC

=1zL

+1zC

= −j

(1

ωL− ωC

)= −j

1− ω2LC

ωL

zLC = jωL

1− ω2LC


IR

LC

V

V

R

LC

Figura 2.10:

ZLC =ωL

1− ω2LC, φLC = ±π/2

L’impedenza equivalente e:

zeq = R + zLC = R + jωL

1− ω2LC

Z =

√R2 +

(ωL

1− ω2LC

)2

, tg φeq =ωL

R(1− ω2LC)


vin

zeq=

V

Ze−j φeq

I =V

Z, φi = −φeq


vR = iR = vinR

zeq= V

R

Ze−j φeq

VR = IR = VR

ZφR = −φeq

la tensione ai capi del parallelo e:

vLC = izLC = vinzLC

zeq= V

ZLC

Ze−j(φeq−φLC)

la corrente nell’induttanza e:

iL =vLC

zL= V

ZLC

ZωLe−j(φeq−φLC+π/2)

IL = VZLC

ZωLφiL = −φeq + φLC − π/2


la corrente nella capacita e:

iC =vLC

zC= V

ZLCωC

Ze−j(φeq−φLC−π/2)

IC = VZLCωC

ZφiC = −φeq + φLC + π/2

2.3 Esercizi

Vediamo alcuni esercizi sul calcolo di impedenze equivalenti e sulla applicazionedei teoremi delle reti lineari nel caso di regime alternato.

• Esercizio 1

R

CR

L

A B

Figura 2.11:

Si calcoli l’impedenza equivalente del tratto di circuito rappresentato in fi-gura 2.11 , assumendo che la resistenza valga R = 500 Ω, la capacita valgaC = 5 µF , l’induttanza valga L = 1 H e che la tensione alternata applicataagli estremi A e B abbia una frequenza: a) ν = 50 Hz, b) ν = 5000 Hz, c)ν = 500000 Hz.

zeq =R(− j

ωC

)R− j

ωC

+R(jωL)R + jωL

=−jR

RωC − j+

jRωL

R + jωL

=−jR(RωL + j)

R2ω2C2 + 1+

jRωL(R− jωL)R2 + ω2L2

=(

R

R2ω2C2 + 1+

Rω2L2

R2 + ω2L2

)+ j

(R2ωL

R2 + ω2L2− R2ωC

R2ω2C2 + 1

)Scrivendo:

zeq = Re(zeq) + jIm(zeq)

2.3. ESERCIZI 87

ν (Hz) ω Re(zeq) (Ω) Im(zeq) (Ω) Z (Ω) φeq(gradi)50 102 π 449 -18 449 -2.3

5 103 104 π 500 1.6 500 0.185 105 104 π 500 0.016 500 0.0018

e ricordando che:

Zeq =√

Re2(zeq) + Im2(zeq), tg φeq =Im(zeq)Re(zeq)

si ottiene la presente tabella.

Come si puo vedere, tanto il valore del modulo dell’impedenza quanto la suafase dipendono dalla frequenza della tensione applicata.

• Esercizio 2

L

C

R

A B

Figura 2.12:

Si calcoli l’impedenza equivalente del tratto di circuito rappresentato in fi-gura 2.3 , assumendo che la resistenza valga R = 500 Ω, la capacita valgaC = 5 µF , l’induttanza valga L = 1 H e che la tensione alternata applicataagli estremi A e B abbia una frequenza ν = 50 Hz (ω = 100π).

zeq = jωL +R(−jωC

)R− l

ωC

= jωL− jR

RωC − j· RωC + j

RωC + j

= jωL− jR2ωC −R

R2ω2C2 + 1

=R

R2ω2C2 + 1+ j

(ωL− R2ωC

R2ω2C2 + 1

)= (309.2 + j71.3) Ω

Z = 317.3 Ω, φeq = atg71.3309.2

' 13


• Esercizio 3

Nel circuiti mostrati nelle figure 2.3 e 2.3 si ha R = 500 Ω, C = 5 µF eL = 1 H, il generatore ha Veff = 120V e ν = 50 Hz (ω = 100π). Si calcoliil valore efficace dell’intensita della corrente totale erogata e lo sfasamentotra quest’ultima e la tensione del generatore.

E

R

C L

Figura 2.13:

Per il circuito di figura 2.3 :

zeq = R +jωL

(1

jωC

)j(ωL− 1

ωC

)= R +

Lω

j(ω2LC − 1)· j

j

= R +jLω

1− ω2LC= (500 + j616)Ω

Z =√

5002 + 6162Ω = 793Ω, φeq = atg616500

= 50.9

Ieff =Veff

Z= 0.15A, φi = −φeq = −50.9

E

C

R L

Figura 2.14:

2.3. ESERCIZI 89

Per il circuito di figura 2.3 , invece:

zeq = − j

ωC+

R(jωL)R + jωL

= − j

ωC+

jRωL

R + jωL· R− jωL

R− jωL

=Rω2L2

R2 + ω2L2+ j

R2ω2LC −R2 − ω2L2

ωC(R2 + ω2L2)= (141.5 + j411.4) Ω

Z =√

141.52 + 411.42 = 435 Ω, φeq = atg411.4141.5

= 71

Ieff =Veff

Z= 0.28A, φi = −φeq = −71

• Esercizio 4

100 120

v v

Ω Ω

1 2

v = 10 sin t V

= 100 HzνΩ1

Figura 2.15:

Utilizzando il Principio di Sovrapposizione, calcolare modulo e fase, rispettoa v1, della differenza di potenziale tra i punti A e B ai capi della resistenzada 120 Ω nel circuito in figura 2.15, sapendo che v2 ha valore di picco 8 V,e sinusoidale, ha la stessa frequenza di v1, ma e in ritardo di 30, mentrev1 = 10 sin ωt V e ν = 100 Hz (ω = 200π).

v1 = 10 sin ωt

v2 = 8 e−j30 = 8 cos 30 − j 8 sin 30 = 6.92− j4

Calcoliamo dapprima la corrente che fluisce in R2 = 120Ω quando e attivoil generatore v1, mentre v2 e sostituito da un corto circuito (o dalla suaresistenza interna).

i1 =v1

Req=

v1

R1 + R2=

10220

A = 45mA

vAB1 = i1 ·R2 = 5.4V


e risulta in fase con v1; quando si considera attivo solamente v1 il potenzialedel punto A differisce da quello del punto B per la caduta di potenziale sullaresistenza R2.

Calcoliamo ora la corrente che fluisce in R2 quando e attivo il generatore v2,mentre v1 e sostituito da un corto circuito (o dalla sua resistenza interna).

i2 =v2

Req=

v2

R1 + R2=

6.92− j4220

A = (31− j18)mA

vAB2 = −i2 ·R2 = −(3.72− j2.16)V

e risulta in fase con v2; nuovamente, quando si considera attivo solamentev2 il potenziale del punto A differisce da quello del punto B per la cadutadi potenziale sulla resistenza R2.

La corrente totale sara data da:

i = i1 − i2 = (14 + j18) mA

e, di conseguenza, la differenza di potenziale tra i punti A e B sara:

vAB = vAB1 + vAB2 = iR2 = (1.6 + j2.16)V

VAB = 2.73V, φAB = atg2.161.6

= 52

Se in un circuito in regime alternato sono presenti piu generatori indipenden-ti che operano tutti alla stessa frequenza, il teorema della sovrapposizione edel tutto analogo a quello che si avrebbe se il circuito operasse in continua.Il teorema, pero, diventa essenziale se il circuito ha delle induttanze o dellecapacita e dei generatori che operano a frequenze differenti. Le reattanzedipendono dalla frequenza e quindi se i generatori non sono tutti alla stessafrequenza ci sara un circuito diverso per ogni frequenza, dove la differenzaconsiste nelle reattanze e nella eliminazione dei vari generatori indipenden-ti. Di questi restano ogni volta solo quelli che hanno frequenza uguale,mentre gli altri vengono soppressi. Con la frequenza comune si calcolanole reattanze induttive e capacitive per il corrispondente circuito, che vienepoi risolto per determinare le grandezze di interesse, che vengono scrittein forma sinusoidale. Il procedimento si ripete per ogni diversa frequenzadei generatori; infine, le singole risposte sinusoidali vengono sommate perottenere la risposta totale.

• Esercizio 5

Dato il circuito rappresentato in figura 2.16, calcolare modulo e fase, rispettoa v1, della corrente che passa nel condensatore, sapendo che v2 ha valore dipicco 8 V, e sinusoidale, ha la stessa frequenza di v1, ma e in ritardo di 30,mentre v1 = 10 sin ωt e ν = 100 Hz (ω = 200π).

2.3. ESERCIZI 91

100

v v

Ω 120 Ω

µ

1 2

= 100 Hzν

Ω

20 F

v = 10 sin t V

Figura 2.16:

v1 = 10 sin ωt

v2 = 8 e−j30 = 8 cos 30 − j 8 sin 30 = 6.92− j4

Applichiamo il teorema di Thevenin, considerando come circuito esterno, C’,il condensatore.

100 120

10 6,92 + j4

Ω Ω

Α

Β

Figura 2.17:

La tensione equivalente di Thevenin, come e facile vedere in figura 2.17, saradata da:

vTh =v1 − v2

R1 + R2R2 + v2 =

10− 6.92 + j4220

120 + 6.92− j4 = (8.6− j1.82)V

La resistenza equivalente di Thevenin sara:

RTh =R1R2

R1 + R2=

100 120220

= 54.5 Ω

Il circuito equivalente sara pertanto quello riportato in figura 2.18.

La corrente che attraversa il condensatore risultera data da:

i =vTh

RTh + zC

dove:zC =

−j

ωC= −j79.6Ω


20 F

8.6 − j 1.82 V

54.5 Ω

µ

i

Figura 2.18:

Percio:

i =8.6− j1.8254.5− j79.6

A =(8.6− j1.82)(54.5 + j79.6)

2970 + 6336A = (65.8 + j62.8)mA

I =√

4329 + 3943.8 = 90.0mA, tg φi =62.865.

, φi = 43.66

• Esercizio 6

v

BA

1 K Ω

10000 pF

500 Ω

10000 pF

VA

VB

v = 20 sin t

= 50 kHzνω

Figura 2.19:

Dato il circuito rappresentato in figura 2.19, trovare la tensione del punto Ariferita al punto B, sapendo che v = 20 sin ωt, ν = 50KHz.

Le due maglie sono indipendenti, in quanto sono entrambe poste in paralleloal generatore e pertanto le tensioni e le correnti in ciascuna non sono influen-zate dalla presenza dell’altra maglia, come visto anche nel caso di correnticontinue. Possiamo, pertanto, considerare separatamente le due maglie epartendo da quella di sinistra, avremo (vedi figura 2.20

vA = i1RA

2.3. ESERCIZI 93

10000 pF

1 k Ω

20 V

VA

Figura 2.20:

i1 =v

zeq=

20103 − j

ωC

=20

103 − j 3.18 102A

vA = i1RA =20

103 − j 3.18 102· 103

=20

1− j 0.318=

20(1 + j 0.318)1 + 0.1

= (18.18 + j5.45)V

Analogamente per la maglia di destra, vedi figura 2.21:

10000 pF

0.5 kV

20 V

ΩΒ

Figura 2.21:

vB = i2RB

i2 =v

zeq=

200.5 103 − j

ωC

=20

0.5 103 − j 3.18 102A

vB = i2RB =20

0.5 103 − j 3.18 102·0.5 103 =

10(0.5 + j 0.318)0.52 + 0.3182

= (14.24+j9.06)V

Infine:vAB = vA − vB = 3.94− j3.32

VAB = 4.97V, tg φAB =−3.323.94

, φAB ' −47


• Esercizio 7

Calcolare le correnti di maglia i1 e i2 nel circuito di figura 2.22.

10 e −j 40

o

VI

1

+

_

+

_

o

V12 ej 40

8 6−j 14

Ω ΩΩ

4 Ω

10 ΩjI

2

Figura 2.22:

L’analisi di maglia per circuiti in regime alternato e una estensione di quel-la per i circuiti in continua. Si convertono subito in generatori di tensioneeventuali generatori di corrente, poi si assegnano dei riferimenti orari allecorrenti di maglia e si applica la LTK ad ogni singola maglia. Alle auto-resistenze e mutue resistenze verranno ora sostituite le autoimpedenze e lemutue impedenze. Conviene, prima di scrivere le equazioni di maglia, calco-lare le impedenze immaginarie di condensatori e induttori per la frequenza(o pulsazione) del generatore, in modo da riportarsi alla situazione illustratain figura.

Considerando la prima maglia, l’autoimpedenza (o impedenza totale dellamaglia) e 8 - j14 + 4 = 12 -j14 Ω e l’impedenza mutua con la maglia 2 vale4 Ω; la somma delle f.e.m. di generatore in direzione di i1 e:

10 e−j40 + 12 ej10 = 10(cos 40 − j sin 40) + 12(cos 10 + j sin 10)

= 7.66− j 6.43 + 11.82 + j 2.08 = 19.48− j 4.34 = 19.96 e−j 12.6

l’equazione di maglia e:

(12− j 14)i1 − 4i2 = 19.48− j 4.34

Per la seconda maglia, invece, si ha:

−4i1 + (10 + j 10)i2 = −(11.82 + j 2.08)

Queste due equazioni costituiscono un sistema che permette di ricavare lecorrenti i1 e i2 applicando, per esempio, la regola di Cramer.

2.4. FILTRI 95

2.4 Filtri

2.4.1 Filtro passa basso RC

Consideriamo un circuito costituito da un generatore di tensione alternata chiusosu una combinazione in serie di una resistenza R ed una capacita C, come illustratoin figura 2.23. Calcoliamo la tensione ai capi del condensatore, in modulo e faserispetto alla tensione del generatore; quest’ultima e vi = Vi sin ωt, che in formaesponenziale e semplicemente Vi, avendo preso la fase di vi come riferimento.

R

C

v i vu

i

Figura 2.23:

L’impedenza equivalente del circuito e:

zeq = R− j

ωC=

ω τ − j

ωC

dove si e indicato con τ = RC la costante di tempo del circuito. Il modulo e lafase dell’impedenza equivalente sono:

Z =√

ω2τ2 + 1ωC

, tg φeq =−1ωτ

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =vi

zeq=

Vi

R− jωC

=ViωC

ωτ − j=

ViωC(ωτ + j)ω2τ2 + 1

il suo modulo e la sua fase sono:

I =ViωC√ω2τ2 + 1

, tg φi =1

ωτ


La tensione ai capi del condensatore risulta:

vu = i · zC =Vi

R− jωC

·(−j

ωC

)

=Vi

1 + jωτ=

Vi(1− jωτ)1 + ω2τ2

con modulo e fase:Vu =

Vi√1 + ω2τ2

, tg φu = −ωτ

Consideriamo la funzione di trasferimento G = vuvi

:

Figura 2.24:

G =vu

vi=

11 + jωτ

=1− jωτ

1 + ω2τ2

essa e una funzione complessa e il suo modulo prende il nome di guadagno delcircuito:

|G| =∣∣∣∣vu

vi

∣∣∣∣ = 1√1 + ω2τ2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ω del generatore, come ripor-tato in figura 1.24 nel caso di τ = 0.001 s, si trova che:

limω→0|G| = 1 limω→∞|G| = 0

cioe il circuito si comporta in modo da fornire in uscita una oscillazione con lastessa frequenza del generatore, ma con ampiezza che decresce all’aumentare del-la frequenza. Il circuito e cioe un filtro che lascia passare le basse frequenze,

2.4. FILTRI 97

praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprime sempre piufortemente l’ampiezza delle frequenze al di sopra di un valore di taglio, definitocome quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza in uscita e pari a 1/

√2

volte l’ampiezza in ingresso:

ωt : |G| = 1√2→ ω2 τ2 = 1 → ωt =

1τ

da cui νt = 12π τ . La fase della funzione di trasferimento e tg φG = −ωτ , come per

vu.

2.4.2 Filtro passa basso RL – Facoltativo

La situazione e simmetrica rispetto a quella del circuito RC.Consideriamo un circuito costituito da un generatore di tensione alter-

nata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed un induttanza L,come illustrato in figura 2.25. Calcoliamo la tensione ai capi della resistenza, inmodulo e fase rispetto alla tensione del generatore; quest’ultima e vi = Vi sin ωt,che in forma esponenziale e semplicemente Vi, avendo preso la fase di vi comeriferimento. L’impedenza equivalente del circuito e:

v i vu

i

R

L

Figura 2.25:

zeq = R + jωL = R(1 + jωτ)

dove si e posto τ = L/R, costante di tempo del circuito. Il modulo e la fasedell’impedenza equivalente sono:

Z =√

R2 + ω2L2 = R√

1 + ω2τ2, tg φeq = ωτ


i =vi

zeq=

Vi

R(1 + jωτ)=

Vi(1− jωτ)R(1 + ω2τ2)



I =Vi

R√

ω2τ2 + 1, tg φi = −ωτ

La tensione ai capi della resistenza risulta:

vu = i ·R =Vi

1 + jωτ=

Vi(1− jωτ)1 + ω2τ2


Vi√1 + ω2τ2

, tg φu = −ωτ

La funzione di trasferimento G = vuvi

sara:

G =vu

vi=

11 + jωτ

=1− jωτ

1 + ω2τ2

essa e una funzione complessa e il suo modulo, il guadagno del circuito, risulta:

|G| =∣∣∣∣vu

vi

∣∣∣∣ = 1√1 + ω2τ2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ω del generatore si trovanuovamente l’andamento di figura 1.24 e, in particolare, che:

limω→0|G| = 1 limω→∞|G| = 0

cioe il circuito si comporta come un filtro che lascia passare le basse frequenze,praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprime sempre piufortemente l’ampiezza delle frequenze al di sopra di un valore di taglio, definitocome quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza in uscita e pari a 1/

√2

volte l’ampiezza in ingresso:

ωt : |G| = 1√2→ ω2 τ2 = 1 → ωt =

1τ

da cui νt = 12π τ . La fase della funzione di trasferimento e tg φG = −ωτ , come per

vu.

2.4.3 Filtro passa alto RC

Consideriamo nuovamente un circuito costituito da un generatore di tensione al-ternata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed una capacitaC, come illustrato in figura 2.26. Calcoliamo ora la tensione ai capi della resisten-za, in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; quest’ultima sia ancoravi = Vi sin ωt, che in forma esponenziale e semplicemente Vi, avendo preso la fasedi vi come riferimento. L’impedenza equivalente del circuito e:

2.4. FILTRI 99

v i vu

i

R

C

Figura 2.26:

zeq = R− j

ωC=

ω τ − j

ωC

dove si e posto τ = RC, costante di tempo del circuito. Il modulo e la fasedell’impedenza equivalente sono:

Z =√

ω2τ2 + 1ωC

, tg φeq =−1ωτ


i =vi

zeq=

Vi

R− jωC

=ViωC

ωτ − j=

ViωC(ωτ + j)ω2τ2 + 1


I =ViωC√ω2τ2 + 1

, tg φi =1

ωτ

La tensione ai capi della resistenza risulta:

vu = i ·R =ViR

R− jωC

=Viωτ

ωτ − j=

Viωτ(ωτ + j)1 + ω2τ2


Viωτ√1 + ω2τ2

, tg φu =1

ωτ


:


Figura 2.27:

G =vu

vi=

ωτ

ωτ − j=

ωτ(ωτ + j)1 + ω2τ2

essa e una funzione complessa e il suo modulo (guadagno del circuito) risulta:

|G| =∣∣∣∣vu

vi

∣∣∣∣ = ωτ√1 + ω2τ2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ω del generatore, come ripor-tato in figura 1.27 nel caso di τ = 0.001 s, si trova che:

limω→∞|G| = 1 limω→0|G| = 0

cioe il circuito si comporta in modo da fornire in uscita una oscillazione con lastessa frequenza del generatore, ma con ampiezza che cresce all’aumentare dellafrequenza. Il circuito e cioe un filtro che lascia passare le alte frequenze, prati-camente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprime sempre piu forte-mente l’ampiezza delle frequenze al di sotto di un valore di taglio, definito comequel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza in uscita e pari a 1/

√2 volte

l’ampiezza in ingresso:

ωt : |G| = 1√2→ ω2 τ2 = 1 → ωt =

1τ

da cui νt = 12π τ . La fase della funzione di trasferimento e tg φG = 1

ωτ , come pervu.

2.4. FILTRI 101

2.4.4 Filtro passa alto RL – Facoltativo

Consideriamo nuovamente un circuito costituito da un generatore di tensione al-ternata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed un induttanzaL, come illustrato in figura 2.28. Calcoliamo ora la tensione ai capi dell’ indutto-re, in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; quest’ultima sia ancoravi = Vi sin ωt, che in forma esponenziale e semplicemente Vi, avendo preso la fasedi vi come riferimento. L’impedenza equivalente del circuito e:

v i vu

i

R

L

Figura 2.28:

zeq = R + jωL = R(1 + jωτ)

dove si e posto τ = L/R, costante di tempo del circuito. Il modulo e la fasedell’impedenza equivalente sono:

Z =√

R2 + ω2L2 = R√

1 + ω2τ2, tg φeq = ωτ


i =vi

zeq=

Vi

R(1 + jωτ)=

Vi(1− jωτ)R(1 + ω2τ2)


I =Vi

R√

ω2τ2 + 1, tg φi = −ωτ

La tensione ai capi dell’induttore risulta:

vu = i · zL =Vijωτ

1 + jωτ=

Viωτ(ωτ + j)1 + ω2τ2


Viωτ√1 + ω2τ2

, tg φu =1

ωτ



:

G =vu

vi=

jω

1 + jωτ=

ωτ(ωτ + j)1 + ω2τ2

essa e una funzione complessa e il suo modulo (guadagno del circuito) e:

|G| =∣∣∣∣vu

vi

∣∣∣∣ = ωτ√1 + ω2τ2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ω del generatore si trovanuovamente l’andamento di figura 1.27, e in particolare

limω→∞|G| = 1 limω→0|G| = 0

cioe il circuito si comporta in modo da fornire in uscita una oscillazione con lastessa frequenza del generatore, ma con ampiezza che cresce all’aumentare dellafrequenza. Il circuito e cioe un filtro che lascia passare le alte frequenze, prati-camente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprime sempre piu forte-mente l’ampiezza delle frequenze al di sotto di un valore di taglio, definito comequel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza in uscita e pari a 1/

√2 volte

l’ampiezza in ingresso:

ωt : |G| = 1√2→ ω2 τ2 = 1 → ωt =

1τ

da cui νt = 12π τ . La fase della funzione di trasferimento e tg φG = 1

ωτ , come pervu.

2.5 Risposta dei filtri ad un gradino di ten-

sione

Si e gia visto nello studio dei circuito in corrente continua come un circuito costi-tuito da un generatore di tensione continua chiuso su una combinazione in seriedi una resistenza ed una capacita o una resistenza ed un’induttanza e munito diun interruttore risponda alla chiusura dell’interruttore: l’operazione fa cambiarebruscamente le condizioni del circuito, causando fenomeni di tipo transitorio al cuiesaurimento fa seguito un regime di correnti e tensioni di tipo stazionario. Nel casodi un circuito RC, la situazione che si viene a creare al tempo t=0, scelto comeistante di chiusura dell’interruttore, a causa della presenza della capacita che im-pone un andamento continuo della tensione ai suoi capi, e riassunta in figura 1.29,dove la brusca variazione della tensione in ingresso dal valore 0 al valore E e dovu-ta al generatore che e in grado di fornire una forma d’onda tipo gradino positivo;questo e equivalente alla chiusura dell’interruttore. La fase transitoria che segue la

2.5. RISPOSTA DEI FILTRI AD UN GRADINO DI TENSIONE 103

Figura 2.29:


Figura 2.30:


chiusura dell’interruttore in un circuito RC privo di generatori quando all’istanteiniziale il condensatore e carico e tra le sue armature si trova una d.d.p. pari aV0 e riassunta in figura 2.30. Per quanto concerne, invece, un circuito RL in serie,il transitorio seguente una brusca variazione della tensione fornita dal generatorequando la sua f.e.m. passa da un valore 0 ad un valore E, causato della presenzadell’induttanza che impone un andamento continuo della corrente, e riassunto infigura 2.31.


Figura 2.31:


La risposta di un circuito RC ad una brusca variazione negativa ditensione, da 0 a -E, simile ad un gradino negativo, puo essere ottenuta risolvendola LTK corrispondente con f.e.m. pari a –E: questo comporta una inversione delsegno di correnti e tensioni rispetto al caso del gradino positivo, come riportato infigura 2.32. Per un gradino che passa da un valore E1 ad un valore E2 = E1 + E

Figura 2.32:

si ha per la tensione vC una traslazione dell’asse delle ordinate da E1 a E2 inmodo analogo a quanto indicato in figura 1.29 per una variazione positiva o infigura 1.32 per una variazione negativa, mentre la corrente, e quindi vR, conservalo stesso andamento delle figure citate, in quanto non risente del preesistente livellocontinuo di tensione.

La situazione e perfettamente analoga per un circuito RL. Per un gra-dino negativo, da 0 a –E, per esempio, la risposta e riportata in figura 2.33.


Figura 2.33:

2.6 Risposta dei filtri ad un gradino rettan-

golare

In un transitorio i valori iniziali di corrente e di tensione possono non essere ditipo stazionario, ma valori residui di un transitorio precedente non ancora com-pletamente esaurito. Continuano a valere, anche in questo caso, gli stessi criteridi continuita di corrente in una induttanza e di tensione in una capacita.

Un’onda rettangolare, ad esempio, definita come:

v = 0 per t < 0

v = E per 0 < t < T

v = 0 per t > 0

e da considerare come successione di due gradini, uno positivo ed uno nega-tivo.

2.6. RISPOSTA DEI FILTRI AD UN GRADINO RETTANGOLARE 109

Le condizioni iniziali del transitorio dovuto al secondo gradino sono determinatedal transitorio dovuto al primo, se non ancora esaurito.

In un filtro RC passa basso, cioe letto ai capi del condensatore consi-derato inizialmente scarico, vC(0) = 0, il primo transitorio e:

vC = E(1− e−t/τ )

All’istante T e:vC(T ) = E(1− e−T/τ )

come indicato in figura 2.34.

Figura 2.34:

Se la durata T dell’onda rettangolare e minore di 3 τ , non si sonoancora raggiunte le condizioni stazionarie e vC(T ) e il valore iniziale per il secondotransitorio:

vC = E(1− e−t/τ ) per t < T

vC = E(1− e−T/τ ) e−t′/τ per t > T

con t’ = t–T, come indicato in figura 2.35. La situazione e analoga per l’andamentodi vR nel caso di un circuito RL.

Quanto alla corrente, e alla tensione vR del circuito RC, dato che deveessere, ad ogni istante t:

E = vC + vR

si avra, fino al tempo T, l’andamento della figura 2.36, con

vR(T ) = Ee−T/τ

ei(T ) = E/Re−T/τ


Figura 2.35:

Figura 2.36:

All’istante t=T si verifica una brusca variazione –E della tensione diingresso. Poiche vC e continua, vC(T−) = vC(T+) e la variazione si ritrova tuttasu vR, come indicato in figura 2.37. Per t > T , vR tende esponenzialmente azero. La situazione e analoga per l’andamento di vL nel caso di un circuito RL.

Figura 2.37:

Come si e visto, le condizioni iniziali del secondo transitorio sono de-terminate dal primo. Se, in particolare, la durata T dell’impulso e molto maggioredella costante di tempo τ = RC, il primo transitorio risultera completamenteesaurito e le forme d’onda in uscita saranno, per il circuito RC, quelle riportate

2.6. RISPOSTA DEI FILTRI AD UN GRADINO RETTANGOLARE 111

in figura 2.38 per vC e 2.39 per vR: in particolare, si avra che la tensione ai capidel condensatore (filtro RC passa basso) fornisce un impulso che conserva pratica-mente la forma dell’impulso di ingresso, mentre la tensione ai capi della resistenza(filtro RC passa alto) fornisce un impulso che rappresenta approssimativamentela derivata dell’impulso di ingresso. Si definisce quindi circuito derivatore unfiltro passa alto con τ << T.

Figura 2.38:

Figura 2.39:

Se, al contrario, la costante di tempo e molto piu grande di T, l’an-damento della tensione vC (filtro RC passa basso) e quello riportato in figura2.40: vC cresce poco nel tempo T. In questo intervallo di tempo l’esponenziale eapprossimabile con una retta; infatti:

e−x =∞∑

n=0

(−1)n xn

n!= 1− x

1!+

x2

2!− x3

3!+ ...

se x <<1 la sommatoria puo essere approssimata ai suoi primi due termini senzacommettere un errore troppo grande. Nel nostro caso x =t/τ per t<T, percio:

vC = E(1− e−t/τ ) ' E(1− 1 +t

τ) = E

t

τ

ossia una retta di pendenza E/τ . La retta rappresenta l’integrale dell’impulso diingresso (che e una costante): si definisce circuito integratore un filtro passa


Figura 2.40:

basso con τ >> T . L’andamento della corrente ovvero della tensione ai capidella resistenza, e quello riportato in figura 2.41: l’impulso in uscita conservapraticamente la forma dell’impulso in ingresso.

Figura 2.41:

Le stesse condizioni si estendono ai filtri RL.

2.6.1 Transitori ripetuti

Si presenta in pratica frequentemente il caso di transitori ripetuti, dovuti, ad esem-pio, ad una forma d’onda periodica in ingresso. L’onda sara quadra se il tempo dipermanenza a livello alto, T1, e pari al tempo di permanenza a livello basso, T2, (edentrambi sono, percio pari a meta periodo), mentre sara rettangolare se il tempodi permanenza a livello alto e diverso dal tempo di permanenza a livello basso,come nel caso rappresentato in figura 2.42. La risposta del filtro si ottiene con unaripetuta applicazione del procedimento delineato nel paragrafo precedente. Se lacostante di tempo non e molto piu piccola di T1 e T2, si ha ad ogni gradino unacondizione iniziale che dipende dal transitorio precedente.

2.7. LAVORO E POTENZA 113

Figura 2.42:

2.7 Lavoro e potenza

Come e noto, il lavoro compiuto dal campo elettrico (per esempio quello di ungeneratore) per spostare un carica q tra due punti di un circuito tra i quali vi siauna differenza di potenziale pari a v e dato dal prodotto:

L = v · q

e la potenza (fornita dal generatore per effettuare lo spostamento) e:

P = v · i

Nel caso in cui i due punti siano i terminali di una resistenza R, per la quale vale,ad ogni istante, la legge di Ohm, v = R · i:

P = R · i2 e L = R ·∫

i2dt

Nel caso in cui i due punti siano i terminali di una induttanza L, per la quale larelazione istantanea tra corrente e tensione e: v = L · di

dt :

P = L i · di

dte L = L ·

∫idi

dtdt =

12Li2

Nel caso in cui i due punti siano i terminali di una capacita C, per la quale larelazione istantanea tra corrente e tensione e: i = C · dv

dt :

P = C v · dv

dte L = C ·

∫vdv

dtdt =

12Cv2

12Li2 e 1

2Cv2 rappresentano l’energia immagazzinata, rispettivamente, nell’indut-tanza, quando essa e attraversata dalla corrente istantanea i, e nella capacitaquando tra le sue armature e presente una d.d.p. istantanea v.

La potenza fornita dal generatore per mantenere una corrente nel cir-cuito dipende pertanto dai valori istantanei di i e v. In regime alternato ha piuinteresse valutare il valore medio del lavoro e della potenza; se

i = I sin θ θ = ωt + φ


v = V sin (θ + φ)

si avra:

P =1T

∫ T

0v · idt =

12π

∫ 2π

0IV sin θsin (θ + φ) dθ

=V I

2cos φ = Veff Ieff cos φ =

ZI2

2cos φ

Se cos φ = 0 il circuito viene detto swattato; Veff Ieff cos φ prende il nome di po-tenza attiva, Veff Ieff e, invece la potenza apparente, mentre Veff Ieff sin φe la potenza reattiva.

2.8. STRUMENTI PER CORRENTE ALTERNATA 115

2.8 Strumenti per corrente alternata

Gli strumenti, voltmetri ed amperometri, usati per misure in regime continuopossono generalmente essere attraversati da corrente in un solo verso. Per poterliutilizzare anche nel caso di regime alternato e necessario modificare il circuitoin modo da a) far passare per lo strumento la corrente solo quando ha un certosegno, (in questo caso la misura viene effettuata solo su mezza onda) oppure b)inserire lo strumento in modo che le correnti di segno opposto lo percorrano insenso inverso. I circuiti impiegati nei due casi, detti circuiti raddrizzatori,ricalcano gli schemi riportati nella figura 2.43 e sono, generalmente, implementatigia all’interno del multimetro, quando si seleziona la modalita di misura in regimealternato. Strumenti con circuiti raddrizzatori di questo tipo misurano il valormedio della corrente o tensione raddrizzata; di solito sono pero tarati in valoreefficace.

A

Asemiondanegativa

semionda positiva

t

nell’ amperometro passa solo la semionda positiva

t

percorso della semionda negativa

nell’amperometro passano le due semiondein senso inverso: la corrente nel ramo MM ha l’andamento sopra indicato

I

I

M

percorso della semionda positivaM

Figura 2.43:

2.8.1 L’oscilloscopio

L’oscilloscopio e uno strumento che permette di visualizzare delle forme d’ondasottoforma di tensioni variabili nel tempo (e al limite continue) applicate al suoingresso; esso permette cioe di vedere lo sviluppo temporale della tensione appli-cata al suo ingresso per mezzo di un sistema basato sull’utilizzo di un pennelloelettronico.

Uno schema dell’apparato e riportato in figura 2.44. Consiste di un tu-bo a vuoto contenente, nella configurazione base, il catodo (la sorgente di elettroni,emessi per emissione termoionica), due coppie di piastre deflettrici e uno schermofluorescente. Quest’ultimo e ricoperto da un fosforo, una sostanza che emette luce


Figura 2.44:

fosforescente visibile nel punto nel punto in cui e colpita da elettroni. L’intensitadella luce dipende dal numero di elettroni per unita di tempo che arrivano su unadata area dello schermo e puo essere regolata facendo variare per mezzo di unagriglia, tenuta a potenziale negativo rispetto al catodo, il numero di elettroni, ossiarallentandoli (o accelerandoli di meno) e diminuendo percio il loro rateo.

Lo scopo e quello di produrre un sottile fascio di elettroni focaliz-zabilein un punto ben definito dello schermo fosforescente. Per ottenere questa foca-lizzazione gli elettroni vengono accelerati da due anodi tenuti a potenziale moltopositivo rispetto al catodo e fatti a forma di cilindro cavo: gli elettroni che arrivanonel foro del primo cilindro con una direzione divergente sono costretti a convergeredal forte campo elettrostatico che trovano tra il primo e il secondo anodo, il quale,accelerandoli riduce lo spazio che essi possono percorrere il direzione perpendico-lare a quella del fascio nel tempo impiegato a raggiungere lo schermo. Se il fascionon e ben focalizzato, cioe se colpisce lo schermo con una sezione non puntiforme,il fuoco puo venire corretto variando il voltaggio di un anodo rispetto all’altro.

Il fascio di elettroni passa poi tra la prima coppia di piastre deflettrici,montate in un piano orizzontale. Applicando una d.d.p. a queste piastre, gli elet-troni vengono deviati verso la piastra piu positiva e quindi si ha una deviazionelungo l’asse verticale. Poi il fascio passa attraverso due piastre montate perpen-dicolarmente alle precedenti e quindi, applicando una d.d.p., si ha una deflessionenel piano orizzontale.

2.8. STRUMENTI PER CORRENTE ALTERNATA 117

Percio la posizione del fascio di elettroni (e quindi del punto luminososullo schermo) dipende, istante per istante, dalle d.d.p. applicate alle due coppiedi piastre nell’intervallo di tempo in cui gli elettroni sono transitati attraverso diesse (per il Teorema dell’impulso e della quantita di moto).

Per la maggior parte delle applicazioni, il punto luminoso viene spo-stato orizzontalmente sullo schermo a velocita costante variando linearmente latensione sulle piastre verticali (linear sweep = spazzamento lineare). Che questospostamento avvenga con velocita costante e di fondamentale importanza perchefornisce una scala uniforme dei tempi (base tempi) in funzione della quale si puodescrivere il voltaggio applicato all’altra coppia di piastre, come illustrato in figura2.45.

Figura 2.45:

Questa variazione lineare di tensione e generalmente realizzata con unsegnale a “dente di sega”. Si usa dire che il fascio di elettroni “spazza” lo schermoa velocita costante e si chiama “sweep” il segnale a dente di sega. Alla fine di unsegnale il fascio di elettroni viene portato rapidamente nella posizione iniziale, cioela d.d.p. tra le piastre verticali, che nella prima parte del segnale era fatta crescerelinearmente, viene riportata rapidamente a zero. Questo ritorno a zero richiedeovviamente un certo tempo ed e necessario interdire l’arrivo degli elettroni sulloschermo durante questo tempo per non vedere questa traccia di ritorno. Oltreal tubo a raggi catodici e al circuito che fornisce la base tempi, le componentiessenziali di un oscilloscopio sono:

• amplificatore del segnale: in genere vengono mandati all’oscilloscopio deisegnali il cui voltaggio non e sufficiente a deflettere in modo apprezzabile ilfascio di elettroni. Vengono allora usati degli amplificatori per aumentare ilvoltaggio al livello richiesto.

• sincronizzatore: e possibile vedere una forma d’onda ferma sullo schermosolo se il segnale e periodico ed e sincronizzato con la base tempi; in questomodo le figure descritte dal fascio di elettroni sullo schermo ad ogni periodo si


sovrappongono esattamente. Il sincronismo e ottenuto variando la frequenzadella base tempi.

• trigger: per fare delle misure di tempo e realizzare facilmente il sincronismosuddetto, la base tempi puo venire fatta partire a comando (“triggerata”)scegliendo il punto della forma d’onda in ingresso a cui far partire il segnalea dente di sega sulle piastre a deflessione orizzontale. Ogni volta che il se-gnale di ingresso ha un prefissato valore di tensione e segno della derivata,il fascio di elettroni si muove orizzontalmente sullo schermo. Completato ilpercorso sullo schermo, il fascio di elettroni ritorna nella posizione di parten-za ed attende il prossimo comando. Il funzionamento del trigger e illustratoschematicamente in figura 2.46.

• posizione orizzontale–verticale: aumentando o diminuendo opportunamentela d.d.p. tra le piastre deflettrici, il fascio di elettroni, e quindi la tracciasullo schermo, puo venire spostata in alto, in basso, e a destra o a sinistra.

Figura 2.46:

2.9. CIRCUITI OSCILLANTI – FACOLTATIVO 119

2.9 Circuiti oscillanti – Facoltativo

+

_C L

Figura 2.47:

Consideriamo un circuito costituito dalla composizione in serie di uncondensatore di capacita C ed un induttore di induttanza L e dotato di un inter-ruttore che permette di interrompere il circuito, come indicato in figura 2.47. Sisupponga che all’istante di chiusura dell’interruttore, scelto come tempo t=0, suciascuna delle armature del condensatore si trovi una carica Q0; la corrente saraovviamente nulla, i(0)=0, essendo il circuito aperto. Da t=0 in poi, per la LTKad ogni istante dovra essere:

VC + VL = 0

ovvero:Q

C+ L

di

dt= 0

ed anched2Q

dt2+

1LC

Q = 0

Introducendo il coefficiente ω0 = 1√LC

si ottiene l’equazione:

d2Q

dt2+ ω2

0Q = 0

Questa e una equazione differenziale lineare, del secondo ordine e a coefficienticostanti; la sua soluzione generale e una qualunque combinazione lineare di duesoluzioni particolari, quali, ad esempio, le funzioni:

ejω0t e e−jω0t

come si puo verificare sostituendole nell’equazione. La soluzione generale avra laforma:

Q(t) = K1 ejω0t + K2 e−jω0t

dove K1 e K2 sono due costanti, generalmente complesse, che dipendono dallecondizioni iniziali del problema. Nel nostro caso le condizioni iniziali sono:

Q(0) = Q0 e i(0) = 0


che si traducono in:

Q(0) = Q0 → K1 + K2 = Q0

ei(0) = 0 → jω0(K1 −K2) = 0

Risolvendo queste equazioni si ricava: K1 = K2 = Q0

2 e percio:

Q(t) =Q0

2(ejω0t + e−jω0t) = Q0 cos ω0t

Di conseguenza VC , i e VL saranno dati da:

VC =Q

C=

Q0

Ccos ω0t

i =dQ

dt= −Q0 ω0 sin ω0t

VL = Ldi

dt= −L Q0 ω2

0 cos ω0t

L’andamento di queste grandezze e riportato in figura 2.48: la carica Q oscilla trale due armature del condensatore con andamento cosinusoidale di pulsazione ω0,che prende pertanto il nome di pulsazione propria del circuito; la tensione aicapi del condensatore e in ritardo di π/2 rispetto alla corrente i mentre la tensioneai capi dell’induttore e in anticipo di π/2 rispetto alla corrente. In questo casoideale, privo di elementi dissipativi, il moto delle cariche non si arresta, cosı comeavviene nel caso di una molla compressa e lasciata libera di oscillare attorno allasua posizione di equilibrio in assenza di attrito: infatti l’equazione differenzialeche descrive l’andamento della carica e analoga all’equazione di una molla, dove si

sostituisca a ω0 = 1√LC

ω0 =√

km , con k costante elastica della molla ed m massa

della molla: e come se il condensatore si comportasse come una molla nei confrontidella carica elettrica, esercitando su di essa una forza di richiamo proporzionale alsuo valore.

2.10 Oscillazioni smorzate in un circuito RLC

in serie – Facoltativo

Nella realta, dato che ad ogni induttanza e sempre associata una resistenza che puoessere pensata come un elemento circuitale posto in serie, il circuito considerato nelparagrafo precedente non rappresenta che una pura astrazione, mentre il circuitoeffettivamente realizzabile e quello di figura 2.49, comprendente tre elementi inserie: una capacita C, un’induttanza L ed una resistenza R. Si indichi sempre conQ0 la carica inizialmente presente sulle armature del condensatore e sia ancorat=0 l’istante della chiusura dell’interruttore.

2.10. OSCILLAZIONI SMORZATE IN UN CIRCUITO RLC IN SERIE – FACOLTATIVO121

Figura 2.48:

Per t>0 la LTK si scrivera:

VC + VL + VR = 0

ovvero:Q

C+ L

di

dt+ Ri = 0

ed ancheQ

C+ L

d2Q

dt2+ R

dQ

dt= 0

ovverod2Q

dt2+ 2α

dQ

dt+ ω2

0Q = 0

avendo di nuovo introdotto la pulsazione propria del circuito ω0 = 1√LC

ed anche la

costante α = R2L . L’equazione ottenuta e del tutto simile all’equazione differenziale

che si ottiene nello studio delle oscillazioni compiute da un punto materiale soggettoad una forza di richiamo elastica (termine dovuto alla capacita) ed a una forza ditipo viscoso (termine dovuto alla resistenza).


1 2 3 4R

CL

Figura 2.49:

Una soluzione particolare dell’equazione ha la forma Q(t) = keγt, dovela costante k viene determinata a partire dalle condizioni iniziali. So-stituendo siottiene:

Q0γ2eγt + 2αQ0γeγt + ω2

0Q0eγt = 0

che si riduce facilmente aγ2 + 2αγ + ω2

0 = 0

equazione che prende il nome di equazione caratteristica associata all’equazionedifferenziale linare omogenea del secondo ordine. Risolvendo quest’ultima equa-zione si ottengono i valori di γ per i quali la funzione Q(t) = keγt e soluzionedell’equazione differenziale:

γ1,2 = −α±√

α2 − ω20

Si presentano tre casi differenti:

1. α2 − ω20 > 0, cioe R2 > 4L

C : le radici dell’equazione caratteristica, γ1 eγ2, sono reali ed entrambe negative; la soluzione generale dell’equazionedifferenziale e la somma di due esponenziali decrescenti:

Q(t) = K1e−|γ1|t + K2e

−|γ2|t

dove K1 e K2 sono determinati a partire dalle condizioni iniziali:

Q(0) = Q0 → K1 + K2 = Q0

ei(0) = 0 → K1 (−|γ1|) + K2 (−|γ2|) = 0

In questo caso si e in presenza di un forte smorzamento: R2 > 4LC , cioe

la resistenza R e sufficientemente grande per impedire ogni oscillazione dicarica.

2. α2 − ω20 < 0, cioe R2 < 4L

C : le radici dell’equazione caratteristica, γ1 e γ2,sono complesse; indicando con

−Ω2 = α2 − ω20

2.10. OSCILLAZIONI SMORZATE IN UN CIRCUITO RLC IN SERIE – FACOLTATIVO123

si avra:γ1 = −α + jΩ2 e γ2 = −α− jΩ2

da cui:Q(t) = e−αt

(K1e

jΩt + K2e−jΩt

)che, insieme alle condizioni iniziali:

Q(0) = Q0 → K1 + K2 = Q0

ei(0) = 0 → K1 −K2 = 0

fornisce come soluzione:

Q(t) = e−αt Q0

2(ejΩt + e−jΩt) = e−αtQ0 cos Ωt

Questa funzione e una sinusoide smorzata dal fattore e−αt, dove la co-stante α prende il nome di costante di smorzamento del circuito. Inquesto caso, inoltre, la carica oscilla tra le armature del condensatore conuna frequenza pari a:

Ω =√

ω20 − α2 =

√1

LC− R2

2L2

che risulta inferiore alla frequenza propria ω0 che caratterizza, come visto, leoscillazioni nel caso ideale, in assenza di resistenza. La frequenza di oscilla-zione Ω approssima il valore ideale ω0 tanto meglio quanto piu R e piccola,cioe quanto piu l’induttore e prossimo ad un elemento ideale. L’effetto del-l’inserimento della resistenza consiste pertanto sia in una riduzione dellafrequenza propria del sistema, sia in uno smorzamento dell’ampiezza del-l’oscillazione: entrambi gli effetti dipendono, infatti, dal valore di R e sonotanto piu trascurabili quanto piu R, e di conseguenza α, e piccola.

3. α2−ω20 = 0, cioe R2 = 4L

C : le radici della equazione caratteristica coincidono:

γ1 = γ2 = −α = −ω0

In tal caso la soluzione dell’equazione differenziale omogenea ha la forma:

Q(t) = e−αt (K1 + K2t)

e si dice che si e in presenza di uno smorzamento critico, dovuto allapresenza della resistenza R.

Come si puo vedere dai tre casi ora esaminati, la presenza della resisten-za produce uno smorzamento delle oscillazioni che diventa il fenomeno dominanteper R2 ≥ 4L

C .


In condizioni di smorzamento debole, cioe per R2 << 4LC , ossia α <<

ω0 e percio Ω ' 1√LC

= ω0 e si puo scrivere:

Q(t) = e−R2L

t Q0 cos Ωt

i(t) =dQ

dt= −Q0 e−

R2L

t

(R

2Lcos Ωt + Ω sin Ωt

)' −Q0 e−

R2L

t 1√LC

sin Ωt = −Q0 ω0 e−R2L

t sin Ωt

avendo approssimato Ω ad ω0. L’andamento della corrente, e riportato in figura2.50.

Figura 2.50:

Consideriamo ora l’energia immagazzinata nel sistema. L’energia elet-tromagnetica posseduta ad ogni istante e pari alla somma dell’energia immagazzi-nata nella capacita e dell’energia immagazzinata nell’induttanza:

Eem =12Li2 +

12CV 2

C =12Li2 +

12

Q2

C

dove i e VC rappresentano i valori istantanei delle corrispondenti grandezze. Lavariazione per unita di tempo dell’energia, ovvero la potenza spesa durante il motodella carica all’interno del sistema e:

dEem

dt= Li

di

dt+

Q

C

dQ

dt= Li

di

dt+

Q

Ci

Si puo dimostrare che tale variazione e pari alla potenza dissipata per effetto Joulesulla resistenza R: infatti scrivendo la LTK

Ldi

dt+

Q

C+ iR = 0

2.11. OSCILLAZIONI FORZATE IN UN CIRCUITO RLC: CIRCUITI RISONANTI – FACOLTATIVO125

e moltiplicandola per −i si ottiene:

−Lidi

dt− Q

Ci = Ri2

ovvero−dEem

dt= Ri2

che ci dice che la diminuzione per unita di tempo della energia posseduta dal si-stema e pari alla potenza spesa per far attraversare la resistenza dalla corrente i;in altri termini, si ha una graduale trasformazione di energia elettromegnetica incalore, a spese dell’energia del sistema e percio della ampiezza e frequenza dell’o-scillazione della carica. Ponendoci in condizioni di piccolo smorzamento possiamocalcolare la potenza dissipata:

Pdis = Ri2 ' R Q20 ω2

0 e−RL

t sin2Ωt

Si vede pertanto che la potenza ha un andamento oscillatorio la cui ampiezza siriduce esponenzialmente nel tempo in modo che dopo un intervallo pari a τ = L/Rin suo valore e 1/e volte quello iniziale. Si definisce fattore di qualita, Q∗ delcircuito oscillante il numero di oscillazioni complete, moltiplicato per 2π, chel’oscillatore compie nel tempo τ in cui la sua potenza si riduce di 1/e:

Q∗ = 2πντ = ωτ ' ω0L

R

Q∗ e un indicatore di quanto il circuito oscillante, ovvero un qualunque oscil-latore sia smorzato: Q∗ grande significa oscillatore poco smorzato e, nel nostrocaso, una resistenza R piccola, ovvero una induttanza tendente ad un compo-ratamento ideale; per questo motivo Q∗ viene anche detto fattore di qualitadell’induttanza.

2.11 Oscillazioni forzate in un circuito RLC:

circuiti risonanti – Facoltativo

Consideriamo ora un circuito RLC in serie nel quale venga inserito un gene-ratoredi tensione alternata, come indicato in figura 2.51.

In questo caso la LTK ci fornisce l’equazione:

E sin ωt = Ldi

dt+ Ri +

Q

C

dove ω indica la pulsazione del generatore e i tre termini a destra del segno diuguale sono le cadute di tensione sui tre elementi L, R e C in serie; ordinando itermini:

d2Q

dt2+

R

L

dQ

dt+

Q

LC=

E

Lsin ωt


E

1 2 3 4R

CL

Figura 2.51:

equazione che e del tutto simile all’equazione differenziale che si ottiene nello studiodelle oscillazioni compiute da un punto materiale soggetto ad una forza elastica(termine della capacita), ad una forza di tipo viscoso (termine della resistenza) ead un’altra forza, in generale periodica (termine del generatore) che e responsabiledelle oscillazioni forzate del punto materiale.

Determiniamo la corrente che fluisce nel circuito utilizzando la legge diOhm generalizzata. L’impedenza equivalente del circuito e data da:

zeq = R + j(ωL− 1ωC

)

Il suo modulo vale:

Z =

√R2 +

(ω2LC − 1

ωC

)2

=

√√√√√R2 +

ω2

ω20− 1

ωC

2

la sua fase vale:

tg φeq =ωL− 1

ωC

R=

ω2LC − 1ωCR

=ω2

ω20− 1

ωCR

che implica:φeq = −π

2per ω → 0

φeq =π

2per ω →∞

In particolare, per ω = ω0 = 1√LC

la fase si annulla, tg φeq = 0 e il modulodell’impedenza equivalente assume il suo valore minimo, Z = R: si e cioe incondizioni di reattanza nulla, X = 0.


La corrente i sara data da i = vzeq

e pertanto risultera:

I =E

Ze φi = −φeq

che possono anche essere scritte nella forma:

I =V

R

√1 + ω2

0L2

R2

(ωω0− ω0

ω

)2=

V

R

√1 + Q∗2

(ωω0− ω0

ω

)2

tg φi = −tg φeq = −ωL− 1

ωC

R= −

ω2

ω20− 1

ωCR= Q∗

(ω

ω0− ω0

ω

)Allora, per ω = ω0 = 1√

LCl’ampiezza della corrente risultera essere

massima, I = max, e la corrente sara in fase con la tensione applicata, tg φi = 0.Questa particolare situazione di fase prende il nome di risonanza. L’andamentodella fase φi in funzione della pulsazione del generatore, ω, e riportato in figura 2.52.In figura 2.53 e riportato l’andamento del modulo della corrente in funzione della

Figura 2.52:

pulsazione del generatore, ω. Dalla espressione del modulo della corrente segue cheil valore di I alla risonanza e maggiore del valore per ω 6= ω0 ed e tanto maggiorequanto piu Q∗ e grande: tenute costanti L e C la risonanza e tanto piu pronunciataquanto piu R e piccola (e quindi quanto piu e grande Q∗): tolti dal circuito iresistori, l’unico limite a ulteriori riduzioni della resistenza del circuito e costituitodall’inevitabile resistenza ohmica della induttanza. Dalla stessa espressione segueanche che il valore di I viene diminuito per un fattore 1/

√2 rispetto al valore della

risonanza quando:

Q∗(

ω1

ω0− ω0

ω1

)= −1


Figura 2.53:

Q∗(

ω2

ω0− ω0

ω2

)= 1

cioe, sommando e sottraendo membro a membro queste due equazioni, per i valoriω1 e ω2 tali che:

ω2 − ω1 =ω0

Q∗

L’intervallo di pulsazioni per le quali il valore di I e la potenza sviluppata nelcircuito sono apprezzabili ha ampiezza ω2 − ω1 e, dalla ultima relazione, si vedeche questa ampiezza diminuisce al crescere di Q∗, ossia il circuito si comporta comeun filtro che seleziona una banda di frequenze centrata su ω0 e con una larghezza,che rappresenta la selettivita del filtro, data da ω2 − ω1. Come si puo vedere,tanto la bonta del filtro (ossia la ampiezza della corrente) quanto la sua selettivitamigliorano al crescere di Q∗.

Consideriamo adesso una diversa disposizione di resistenza, capacita einduttanza, quale quella illustrata in figura 2.54: tale circuito prende il nome dicircuito risonante in parallelo o circuito antirisonante.

I due rami della composizione in parallelo hanno impedenze complesse:

z1 = R + jωL

z2 =1

jωC

e quindi l’impedenza totale tra i punti A e B e data dalla relazione:

1zeq

=1z1

+1z2

=1

R + jωL+ jωC

=R− jωL

R2 + ω2L2+ jωC =

R

R2 + ω2L2+ j

(ωC − ωL

R2 + ω2L2

)


1i

L R

C

BAi

i2

Figura 2.54:

Il modulo di 1/zeq e la fase di 1/zeq (ovvero della corrente i = v · 1/zeq) sono datida:

1Z

=

√(R

R2 + ω2L2

)2

+(

ωC − ωL

R2 + ω2L2

)2

tgφ =(R2 + ω2L2)ωC − ωL

R

Nel caso particolare

ω2 = ω2P =

1LC

− R2

L2= ω2

0

(1− 1

Q∗20

)dove ω0 = 1/

√LC e il coefficiente Q∗

0 = ω0L/R e il fattore di qualita della in-duttanza alla frequenza ω0, la impedenza equivalente risulta reale e pertanto lacorrente risulta in fase con la tensione del generatore: in tale circostanza si diceche il circuito e in uno stato antirisonante o risonante in parallelo e si ha:

I =RE

R2 + ω2P L2

=CRE

L

L’intensita di corrente e tanto minore quanto piu la resistenza R dell’induttanza epiccola mentre, corrispondentemente, Q∗

0 risulta grande ed e ω2P ' ω2

0: per questovalore della pulsazione il valore di Z e massimo, quindi lo stato antirisonante siverifica ad una frequenza prossima alla frequanza di risonanza del circuito con R,L e C in serie; alla risonanza si ha inoltre:

I ' RE

ω2P L2

ossia un valore assai piccolo: nel limite di una induttanza ideale (R=0) risultaI=0 e il circuito antirisonante impedisce totalmente il passaggio di corrente. Perquesto motivo il circuito viene anche detto trappola di frequenza. In figura 1.55e riportata la dipendenza di I dalla pulsazione per diversi valori di R e per C ed Lfissati.


Figura 2.55:

2.12. DIODI IN REGIME ALTERNATO 131

2.12 Diodi in regime alternato

Ricordiamo che un diodo (o giunzione pn) e un elemento circuitale con una ca-ratteristica corrente–tensione non lineare, ossia e un elemento non ohmico. Lacurva della corrente che lo attraversa in funzione della d.d.p. ai suoi capi e quellariportata in figura 1.56. Il diodo e in polarizzazione diretta quando la tensione

Figura 2.56:

applicata al lato p della giunzione e maggiore rispetto a quella applicata al laton: in tal caso il diodo conduce corrente; per i diodi utilizzati usualmente si haconduzione apprezzabile quando la d.d.p. tra i capi e ∆Vcond ≥ 0.7V . Un diodopuo cioe essere pensato come un elemento che si comporta come un circuito aperto(R →∞) quando e sottoposto ad una tensione minore di ∆Vcond e come un cortocircuito (o quasi) (R → 0) quando entra in conduzione; la d.d.p. tra i suoi capiquando si ha conduzione vale all’incirca 0.7 V costanti.

Se pensiamo di collegare un diodo ad un generatore di tensione alterna-ta, tramite una opportuna resistenza di protezione, nel circuito non circolera cor-rente nella semionda che corrisponde a polarizzazione inversa e neppure in quellaparte della semionda che corrisponde a polarizzazione diretta per la quale la d.d.p.ai capi del diodo e minore di ∆Vcond: se l’ampiezza della tensione fornita dal ge-neratore e minore di ∆Vcond il diodo non entra mai in conduzione. La caduta dipotenziale sulla resistenza e presente solo quando il diodo entra in conduzione,dato che solo allora si ha passaggio di corrente nel circuito. I circuiti e le risposterelative sono rappresentati in figura 2.57 e 2.58. Questo tipo di circuiti prende ilnome di circuiti raddrizzatori. Se poi a valle del diodo si inserisce un generatore


di tensione continua VCC si otterra una limitazione sul segnale in uscita che invecedi essere a 0.7 V sara a (0.7 + VCC) V.

Vin V

out

Vin

Vout

R

R

Figura 2.57:


Figura 2.58:


Se nel circuito di figura 2.57 in alto i collegamenti del diodo vengonoinvertiti, come indicato in figura 2.59, la risposta sara “complementare” a quelladi figura 2.58 e viene riportata in figura 2.60.

Vin V

out

R

Figura 2.59:

Figura 2.60:


Inserendo due diodi in parallelo in modo che solo uno per volta entriin conduzione, come indicato in figura 2.61, si ottiene un circuito squadratore,la cui risposta e indicata in figura 2.62. Anche in questo caso se a valle di unodei diodi si pone un generatore di tensione continua ad un livello VCC si avra unalimitazione ad un livello ± (0.7 + VCC), dove il valore di VCC puo essere fattovariare.

Vin

Vout

R

Figura 2.61:

Figura 2.62:


Infine, il circuito riportato in figura 2.63 opera come un raddrizzatorein grado di fornire un livello tanto piu costante quanto piu la costante di tempoRC risulta grande rispetto al periodo dell’onda, come mostrato in figura 2.64.

Vin

VoutR C

Figura 2.63:

Figura 2.64:

Parte II

Elementi di Ottica

137

138

Testi per la consultazione:P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci – Elementi di Fisica – OtticaL. Lovitch, S. Rosati – Fisica Generale IIHalliday, Resnick, Krane – Fisica 2Tipler – Corso di Fisica Volume 2

Capitolo 3

Spettro della radiazioneelettromagnetica

Ricordiamo brevemente le diverse teorie che furono sviluppate nel corso del secoliper interpretare la natura della luce e comprenderne il comportamento sperimen-tale.

Isaac Newton cerco di spiegare le proprieta della luce con l’ipotesi chequesta fosse costituita da particelle estremamente piccole emesse dai corpi luminosi(teoria corpuscolare della luce) e soggette alle leggi della meccanica; Huygens,invece, cerco di spiegare i fenomeni luminosi interpretandoli sotto l’ipotesi di unanatura ondulatoria della luce (teoria ondulatoria della luce); questo approcciotrovo conferma verso la fine dell’Ottocento quando Maxwell, studiando le equazionifondamentali dell’elettromagnetismo, trovo delle soluzioni aventi le proprieta dionde trasversali che si propagano con una velocita che coincide, entro gli errori, colvalore sperimentale della velocita della luce (il valore oggi accettato per la velocitadella luce e c = 299792458 m/s ed e una delle costanti fondamentali della Fisica).Nella teoria ondulatoria della luce le onde associate vengono quindi consideratedi natura elettromagnetica ed i campi elettrici e magnetici relativi devono esseresoluzioni delle equazioni di Maxwell.

La figura 3.1 rappresenta in modo schematico lo spettro elettromagne-tico oggi conosciuto. Vediamone, a grandi linee, le componenti principali.

Le onde a frequenza radio hanno frequenza da pochi Hz fino a 109

Hz e comprendono le radiazioni da linee elettriche, le onda radio AM e FM e leonde TV.

Le microonde vanno da circa 109 Hz a circa 3 × 1011 Hz, corrispon-denti a lunghezze d’onda da 1 mm a 30 cm circa, e comprendono onde usate pertelecomunicazioni (telefonini) e onde radar.

L’infrarosso e compreso nella banda di frequenze da circa 3 × 1011

Hz a 4 × 1014 Hz.La luce comprende una zona assai ristretta dello spettro elettroma-

139

140CAPITOLO 3. SPETTRO DELLA RADIAZIONE ELETTROMAGNETICA

Figura 3.1:

gnetico, con lunghezze d’onda da 780 nm a 380 nm, anche se, in realta, l’occhioumano puo spesso coprire un campo leggermente piu ampio. Nella tabella 3.1 sonoriportate le frequenze e le lunghezze d’onda associate ai vari colori.

L’ultravioletto si estende al di la del violetto da una frequenza dicirca 7.7 × 1014 Hz fino a circa 3 × 1017 Hz. La radiazione solare contieneultravioletto in frazione piuttosto notevole; essa viene, pero, assorbita in largamisura negli strati piu alti dell’atmosfera terrestre.

I raggi X, scoperti da Roentgen nel 1895, occupano la banda seguenteall’ultravioletto fino a circa 5 × 1019 Hz; al di la di questi raggi si hanno i raggigamma.

La teoria ondulatoria risulta adeguata per tutti i problemi di trasmis-sione della luce (propagazione in mezzi omogenei e comportamento all’interfac-cia tra mezzi diversi), tuttavia, come e stato stabilito dallo sviluppo della TeoriaQuantistica, l’emissione e l’assorbimento della luce avvengono attraverso “pacchet-ti d’onde” con energia ed impulso definiti, chiamati quanti di luce o fotoni. Nellamaggioranza dei casi il comportamento della radiazione elettromagnetica e quellotipico ondulatorio; viceversa, in certi fenomeni le proprieta corpuscolari dei fotoni

141

Colore lunghezza d’onda Frequenzanel vuoto (nm) (1012 Hz)

Rosso 780–622 384–482Arancione 622–597 482–503Giallo 597–577 503–520Verde 577–492 520–610Azzurro 492–455 610–659Violetto 455–380 659–769

Tabella 3.1:

risultano predominanti. Questo comportamento particolare e noto col nome didualismo onda–corpuscolo.

Capitolo 4

Propagazione della radiazioneluminosa

La teoria ondulatoria della luce permette di descrivere accuratamente la propaga-zione della luce in un mezzo isotropo, i fenomeni della riflessione e della rifrazionee percio anche la propagazione attraverso una successione di diversi mezzi mate-riali a contatto. Tuttavia, lo studio di un buon numero di situazioni di notevoleimportanza pratica puo semplificarsi notevolmente utilizzando le idee dell’Otticageometrica basate sul concetto di raggio luminoso. Da un punto di vista forma-le si puo osservare che lo studio della propagazione della luce in un mezzo isotropopuo farsi in termini delle normali ai fronti d’onda in luogo dei fronti d’onda stessi:quando la luce si propaga in un mezzo isotropo, le traiettorie ortogonali ai frontid’onda vengono chiamate raggi luminosi. Da un punto di vista pratico un raggiodi luce puo realizzarsi con buona approssimazione utilizzando fasci laser o facendoarrivare un fascio di luce su di uno schermo opaco sul quale sia stato praticato unpiccolo foro: al limite, per un foro puntiforme si potrebbe pensare di produrre unsingolo raggio luminoso. Questo, pero, non avviene mai perche quando un’ondapiana luminosa di lunghezza d’onda λ attraversa un foro di diametro d, il fascio diluce emergente presenta una dilatazione angolare φ dell’ordine di λ/d (diffrazione).Solo nel caso limite λ = 0 non si verificherebbe alcuno sparpagliamento angolare esi potrebbe parlare di raggio luminoso come di una retta luminosa.

Pertanto l’impiego del concetto di raggio luminoso, e quindi la validitadell’ Ottica geometrica, restano ben giustificati solo nei casi in cui i diaframmie gli ostacoli incontrati dalla luce hanno dimensioni lineari assai grandi rispettoalla lunghezza d’onda λ; quando tale condizione non e soddisfatta i fenomeni didiffrazione e interferenza hanno un ruolo dominante e per la loro interpretazionee necessario l’impiego dell’Ottica ondulatoria.

142

4.1. LEGGI SPERIMENTALI DELLA PROPAGAZIONELUMINOSA143

4.1 Leggi sperimentali della propagazione

luminosa

Sperimentalmente la propagazione della luce attraverso un mezzo isotropo ed ilsuo comportamento alla superficie di separazione tra mezzi isotropi differenti sonodescritti da tre leggi:

1. Legge della propagazione rettilinea

2. Leggi della riflessione

3. Leggi della rifrazione

E noto sperimentalmente fino dall’antichita che la luce si propaga se-condo traiettorie rettilinee per portarsi da un punto A ad un punto B immersinello stesso mezzo otticamente omogeneo (aria, acqua, ..) o in mezzi otticamenteomogenei diversi. Infatti e molto semplice osservare nella pra-tica il comportamen-to della radiazione luminosa in un mezzo omogeneo, per esempio considerando latraiettoria della luce emessa da una lampada ad incandescenza immersa in aria,quando essa venga intercettata da uno schermo sul quale sia praticato un foro chepermetta solamente ad una porzione del fascio luminoso di estendersi dietro di es-so. E anche semplice convincersi che la traiettoria di un raggio luminoso che vieneemesso da una sorgente in aria e che si propaga fino ad un punto in acqua attra-versando la superficie di separazione tra i due mezzi e data da una linea spezzata.Per quanto detto sopra a proposito del concetto di raggio luminoso, la propaga-zione rettilinea della luce e verificabile solamente fintanto che essa non incontrilungo il suo cammino degli ostacoli con dimensioni lineari confrontabili con la sualunghezza d’onda, allorche la natura ondulatoria diventa dominante.

Se un fascio luminoso incide sulla superficie di separazione di due mezzidiversi esso si divide in due parti di modo che una parte dell’energia luminosa siriflette indietro nel primo mezzo, dando il fenomeno della riflessione, ed una parteentra nel secondo mezzo, dando il fenomeno della rifrazione. Le leggi sperimentaliche governano i due fenomeni possono essere enunciate nel modo seguente:

• Leggi della riflessione

1. Raggio incidente, raggio riflesso e normale nel punto di incidenza allasuperficie di separazione, piana o curva che essa sia, giacciono nellostesso piano.La figura 4.1 rappresenta un raggio luminoso che incide su una super-ficie aria–vetro lucida. L’angolo θ1 tra il raggio incidente e la normalealla superficie nel punto di incidenza viene detto angolo di incidenzae il piano definito da queste due rette e detto piano di incidenza. Ilraggio riflesso giace nel piano di incidenza e forma con la normale unangolo θr detto angolo di riflessione.

144CAPITOLO 4. PROPAGAZIONE DELLA RADIAZIONE LUMINOSA

Figura 4.1:

2. L’angolo di incidenza e l’angolo di riflessione sono uguali:

θ1 = θr (4.1)

Nel caso particolare di incidenza normale il raggio riflesso torna indietrosu se’ stesso.

3. Il percorso raggio incidente–raggio riflesso e invertibile esattamente.

Va osservato che una superficie puo presentare vari gradi di levigatezza equindi riflettere la luce in modi diversi: se la superficie e levigata con cu-ra e percio presenta irregolarita che, nella maggior parte dei casi, hannodimensioni piccole rispetto alla lunghezza d’onda della luce incidente, si hariflessione regolare o speculare; se invece le irregolarita hanno dimensio-ni confrontabili con la lunghezza d’onda, anche se si suppone che le leggi dellariflessione geometrica siano verificate da ogni raggio, i raggi riflessi viaggianopoi in varie direzioni: si parla in questo caso di riflessione diffusa.

Il meccanismo della riflessione della luce si puo spiegare mediante l’assor-bimento e la riemissione della luce ad opera degli atomi del mezzo riflettente.Quando la luce che si propaga nell’aria incide su una superficie di vetro, gliatomi del vetro assorbono la luce e la riemettono alla stessa frequenza (oscil-lazioni forzate) in tutte le direzioni; le onde emesse all’indietro dagli atomidel vetro “interferiscono”, cioe si sovrappongono, costruttivamente sotto unangolo uguale all’angolo di incidenza per produrre l’onda riflessa. La frazionedi energia luminosa riflessa su una superficie di separazione dipende dall’an-golo di incidenza, dalla direzione del vettore intensita del campo elettrico Eassociato all’onda e dalla velocita relativa della luce nel primo e nel secondo


mezzo. La velocita della luce in un mezzo e caratterizzata dall’indice dirifrazione n, definito come il rapporto tra la velocita della luce nel vuoto ce la velocita nel mezzo v:

n =c

v(4.2)

• Leggi della rifrazione Quando un raggio luminoso incide sulla superficie diseparazione tra due mezzi, la variazione della direzione di propagazione delraggio luminoso che entra nel secondo mezzo e detta rifrazione. Valgono leseguenti leggi sperimentali:

1. Raggio incidente, raggio rifratto e normale alla superficie rifrangentenel punto di incidenza giacciono nello stesso piano.

2. Legge di Snellius–Descartes. Il rapporto tra il seno dell’angolo di in-cidenza θ1 (vedi figura 4.1) e il seno dell’angolo di rifrazione θ2,formato dal raggio rifratto con la normale, e dato da n2/n1, ovvero:

n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (4.3)

3. Il percorso raggio incidente–raggio rifratto e invertibile esattamente.

Dalla legge di Snellius–Descartes si vede che se l’indice di rifrazione del se-condo mezzo e maggiore dell’indice di rifrazione del primo mezzo l’angolo dirifrazione risulta minore dell’angolo di incidenza (si noti che entrambi gli an-goli sono definiti tra 0 e π/2), cioe il raggio rifratto si avvicina alla normale,come in figura 4.1; al contrario, se l’indice di rifrazione del secondo mezzoe minore dell’indice di rifrazione del primo mezzo, l’angolo di rifrazione emaggior dell’angolo di incidenza e il raggio rifratto si allontana dalla nor-male. In questo secondo caso, al crescere dell’angolo di incidenza, l’angolodi rifrazione cresce finche non si raggiunge un angolo di incidenza limite θ1L

per cui l’angolo di rifrazione vale π/2:

sin θ2 =n1

n2sin θ1 (4.4)

sin θ2 = sin π/2 =n1

n2sin θ1L → sin θ1L =

n2

n1(4.5)

Per angoli di incidenza maggiori di θ1L non esiste raggio rifratto (matemati-camente, per n2 < n1 l’equazione (4.4) non ammette soluzioni per θ1 > θ1L,dato che il seno di un angolo non puo essere maggiore di 1): questo fenomenoe detto riflessione totale. La riflessione totale si produce soltanto quandola luce passa da un mezzo piu rifrangente ad un altro meno rifrangente, comenel caso vetro–aria (n2/n1 ' 1/1.5, θ1L ' 41.8) o acqua–aria (n2/n1 '1/1.333, θ1L ' 48.6). Esempi di riflessione totale da parte di un prisma di


Figura 4.2:

vetro di una interfaccia vetro–aria sono riportati nella figure 4.2 (a) e (b) enella figura 4.3.

Viceversa, se n2 > n1, θ2 < θ1 e, al crescere dell’angolo di incidenza θ1

da 0 a π/2, l’angolo di rifrazione θ2 crescera da 0 fino ad un valore massimodato dalla relazione:

n2 sin θ2L = n1 sin π/2 → sin θ2L =n1

n2

il cui valore coincide con quello dell’angolo limite per il cammino invertito.

Nel fenomeno della rifrazione della luce l’onda trasmessa e generata dallasovrapposizione dell’onda incidente e dell’onda prodotta dall’assor-bimentoe dalla riemissione dell’energia luminosa per opera degli atomi del secondomezzo. Nel caso della luce che entra in un mezzo provenendo dall’aria c’e’un ritardo di fase tra l’onda riemessa e l’onda incidente, dovuto al mecca-nismo di assorbimento–riemissione; c’e’ anche un ritardo di fase tra l’ondarisultante e l’onda incidente, per cui in un dato intervallo di tempo l’on-da trasmessa percorre nel mezzo un cammino piu corto di quello dell’ondaincidente iniziale: cioe, la velocita dell’onda trasmessa e minore di quella del-l’onda incidente. Percio l’indice di rifrazione del secondo mezzo e maggioredi 1 (per l’aria n = c/v = 1.0003, per il ghiaccio n = c/v = 1.31).

Poiche la frequenza della luce nel secondo mezzo e uguale a quella della luceincidente, ma la sua velocita di propagazione e diversa, la lunghezza d’onda


Figura 4.3:

della luce trasmessa e (leggermente) diversa da quella della luce incidente.Se λ e la lunghezza d’onda della luce nel vuoto, la lunghezza d’onda λ′ inun mezzo di indice di rifrazione n e:

λ′ =v

ν=

c/n

ν=

λ

n(4.6)

La velocita di propagazione nel mezzo, sempre minore di quella nel vuoto, epoi una funzione della frequenza dell’onda luminosa a causa dei diversi tempidi riemissione della luce assorbita da parte degli atomi del mezzo a secondadella frequenza stessa. Ne segue che anche l’indice di rifrazione dipende dallafrequenza:

n(ν) =c

v(ν)(4.7)

In particolare n risulta decrescere lievemente al diminuire della frequenza;generalmente, pero, la variazione dell’indice di rifrazione viene indicata infunzione della lunghezza d’onda della luce nel vuoto: un esempio e riportatoin figura 4.4 per alcuni tipi di vetro e per il quarzo. La dipendenza dell’indicedi rifrazione dalla lunghezza d’onda (e percio da ν) e detta dispersione: seun fascio di luce bianca incide sotto un certo angolo sulla superficie di sepa-razione tra aria e vetro, ad esempio, l’angolo di rifrazione per le lunghezzad’onda minori, verso l’estremo violetto dello spettro visibile, e lievementeminore di quello per le lunghezza d’onda maggiori, verso l’estremo rosso del-lo spettro, come conseguenza del lieve aumento del valore di n dal rosso al


Figura 4.4:

viola. Percio il fascio di luce bianca entrando in un mezzo con un indice dirifrazione diverso da quello del mezzo in cui e stato emesso viene scompostoo disperso nei colori, ossia nelle lunghezze d’onda, da cui e composto.

Come esempio di dispersione della luce, si consideri la figura 4.5. Un raggioluminoso incide sulla faccia di una lamina a facce piane e parallele con indicedi rifrazione n2, immersa in un mezzo con indice n1: l’angolo di incidenzasia i1. Se si traccia il percorso del raggio nella lamina e il successivo raggiorifratto uscente, si verifica facilmente che quest’ultimo e parallelo al raggioiniziale, ma spostato di una distanza D. Infatti, per la legge di Snellius,l’angolo i2 formato dal raggio rifratto nella lamina con la normale e fissatodalla relazione sin i2 = (n1/n2) sin i1; il raggio rifratto incontra la secondafaccia con angolo di incidenza i2 e l’angolo di rifrazione i

′1 e dato da sin i

′1 =

(n2/n1) sin i2, cosicche risulta i1 = i′1. Se t e lo spessore della lamina,

dalla figura si ricava che:

D = PQ sin (i1 − i2) =t

cos i2sin (i1 − i2) = t (sin i1 − cos i1 tan i2)

= t sin i1

(1 −

√1 − sin2i1

(n2/n1)2 − sin2i1

)

4.2. DEVIAZIONE DI UN PRISMA 149

Figura 4.5:

Per angoli i1 piccoli e D ' t (1 − n1/n2) i1; poiche l’indice di rifrazione (n2)dipende dalla lunghezza d’onda della luce impiegata, colori diversi subirannospostamenti diversi; in particolare, dato che n2 per il viola e maggiore di n2

per il rosso, e facile vedere, sia nella formula approssimata che in quellaesatta, che la deviazione D per il viola e maggiore di quella per il rosso; ladifferenza tra gli spostamenti risulta:

Dv − Dr = t cos i1 (tan i2r − tan i2v)

Un altro esempio di dispersione della luce si ha quando un fascio di lucebianca incide sotto un certo angolo sulla superficie di un prisma di vetro;l’angolo di rifrazione per le lunghezza d’onda minori, e lievemente minore diquello per le lunghezza d’onda maggiori e la luce di lunghezza d’onda minoreviene deviata piu di quella di lunghezza d’onda maggiore: anche in questocaso il fascio di luce bianca viene scomposto o disperso nei colori, ossia nellelunghezze d’onda, da cui e composto, come mostrato in figura 4.6.

4.2 Deviazione di un prisma

Consideriamo in dettaglio la deviazione prodotta da un prisma divetro sulla direzione di propagazione di un raggio luminoso di lunghezza d’ondaλ; facciamo riferimento alla figura 4.7. Si considera una sezione principale diun prisma triangolare, data da un piano perpendicolare allo spigolo del prismastesso: l’angolo al vertice della sezione, α, viene chiamato angolo rifrangente.Un raggio di luce monocromatica incide sulla prima faccia del prisma formandoun angolo i1 con la normale nel punto di incidenza; una parte di esso viene rifrattaall’interno del prisma, formando un angolo i

′1 con la stessa normale: dato che

l’indice di rifrazione del prisma (1.5–1.7) e maggiore di quello dell’aria il raggio


Figura 4.6:

rifratto risultera avvicinarsi alla normale rispetto al raggio incidente. Il raggiorifratto raggiunge poi la seconda faccia del prisma e vi incide con un angolo i2rispetto alla normale ed esce dal prisma con un angolo i

′2 dopo aver subito una

seconda rifrazione. L’angolo D tra la direzione di incidenza sulla prima facciadel prisma e la direzione con cui il raggio rifratto emerge dalla seconda faccia delprisma prende il nome di angolo di deviazione. Si vuole ricavare una relazioneche permetta di esprimere tale angolo in funzione dell’indice di rifrazione n delprisma, del suo angolo rifrangente α e degli angoli (misurabili) di incidenza i1 e diuscita i

′2.

Osserviamo che, in base a considerazioni di geometria elementare sui triangoli (esugli angoli esterni ai triangoli) valgono le seguenti relazioni:

θ = π − (i1 − i′1)− (i

′2 − i2) (4.8)

D = π − θ = (i1 − i′1) + (i

′2 − i2) (4.9)

Siccome

β + i′1 = π/2 (4.10)

γ + i2 = π/2 (4.11)

ed anche

α + β + γ = π (4.12)

risulta

α = i′1 + i2 (4.13)


Figura 4.7:

e percio

D = i1 + i′2 − α (4.14)

che esprime l’angolo di deviazione D in funzione di angoli misurabili: α, i1 e i′2.

Questi ultimi due angoli non sono indipendenti ma risultano legati dalla secondalegge della rifrazione:

sin i′1 n = sin i1 (4.15)

da cui

sin i′1 = sin i1/ n (4.16)

e

sin i′2 = n sin i2 = n sin (α− i

′1) = n (sin α cos i

′1 − cos α sin i

′1) (4.17)

da cui, per la (2.15)

sin i′2 = sin α

√n2 − sin2i1 − cos α sin i1 (4.18)

Pertanto l’angolo di deviazione D puo essere espresso come:

D = i1 − α + arcsin (√

n2 − sin2i1 sin α− sin i1 cos α) (4.19)


dove tutti gli angoli che compaiono sono direttamente misurabili. Un raggio inci-dente riesce ad attraversare il prisma se e i2 < θL e contemporaneamente i

′1 < θL

per il cammino inverso; poiche α = i′1 + i2, le due condizioni precedenti possono

scriversi nella forma:α − θL < i

′1 < θL

In particolare da queste disuguaglianze risulta α < 2 θL, condizione (necessaria)perche il raggio venga deviato dal prisma.Viceversa, dalla misura dell’angolo di deviazione D e possibile ricavare l’indice dirifrazione del mezzo del prisma: infatti risolvendo l’ultima equazione in funzionedi n si ottiene:

n =

√(sin (D + α− i1) + sin i1 cos α)2

1sin2α

+ sin2 i1 (4.20)

che e di nuovo valutabile a partire da quantita misurabili direttamente.Una situazione particolare si ha quando l’angolo di incidenza i1 e tale da produrreuna deviazione D minima; in questo caso differenziando le (4.15) e (4.17) si ha:

cos i1 di1 = n cos i′1 di

′1 (4.21)

e

n cos i2 di2 = cos i′2 di

′2 (4.22)

Dalla (4.22):

di′2 =

n cos i2 di2

cos i′2

(4.23)

e poiche i2 = α− i′1, che implica di2 = −di

′1, dalla (2.21) si ricava:

di2 = −cos i1 di1

n cos i′1

(4.24)

che, sostituita nella (4.23) fornisce:

di′2 = −cos i2 cos i1 di1

cos i′2 cos i

′1

(4.25)

Per il differenziale dell’angolo di deviazione D = i1 + i′2 − α si ha:

dD = di1 + di′2 = di1

(1− cos i2 cos i1

cos i′2 cos i

′1

)(4.26)


la derivata:

dD

di1= 1− cos i2 cosi1

cos i′2cos i

′1

(4.27)

fornisce la variazione di D per variazione unitaria di i1. In condizioni di minimadeviazione

dD

di1= 0

cos i2 cos i1

cos i′2 cos i

′1

= 1

che risulta verificato se i′1 = i2 e i

′2 = i1, cioe se si e in condizioni di simmetria

per cui il raggio si propaga nel prisma parallelamente alla base. Allora, dato cheper l’angolo di devizione minima vale (2.14): DM = 2i1 − α e (2.13) α = 2i

′1,

considerando la prima rifrazione si puo scrivere:

n =sin i1

sin i′1

=sin(

DM+α2

)sin α/2

e percio:

n(λ) =sin i1

sinı′1(λ)=

sin(

DM (λ)+α2

)sin α/2

che permette di determinare l’indice di rifrazione del mezzo per le varie lunghezzed’onda che compongono il fascio incidente dalla misura dell’angolo di deviazioneminima. La dispersione del prisma consiste appunto nella dipendenza della devia-zione D dalla lunghezza d’onda e resta misurata, per definizione, da dD/dλ; dalle(2.16), (2.17) e (2.19) segue:

dD

dλ=

dD

dn· dn

dλ=

cos i2 tan i′1 + sin i2

cos i′2

· dn

dλ

Per la maggior parte dei mezzi trasparenti e non colorati vale una relazione tipo:

n(λ) = a +b

λ2

come illustrato in figura 4.4.


4.3 Principi di Fermat e di Huygens–Fresnel

– Facoltativo

La velocita v di un raggio di luce monocromatica in un mezzo omogeneo, isotropoe con indice di rifrazione n, e legata alla velocita della luce nel vuoto, c, dallarelazione: v = c/n. Se la luce in un tempo ∆t percorre nel mezzo materiale untratto l, in tale tempo percorrerebbe nel vuoto un tratto L dato da

L = c ∆t = cl

v= nl

La quantita nl viene chiamata cammino ottico percorso nel tempo ∆t. Se unraggio luminoso attraversa piu materiali diversi il cammino ottico totale risulta

L = n1l1 + n2l2 + ... =∑

i

ni li = tc

dove ni, li e t sono l’indice di rifrazione, il cammino percorso nel mezzo i dalla lucee il tempo totale impiegato.

Le leggi sperimentali che descrivono il comportamento della luce in unmezzo isotropo e all’interfaccia tra mezzi isotropi diversi possono essere derivate,nei casi in cui e valida la approssimazione dell’Ottica geometrica, a partire dalprincipio di Fermat:

La traiettoria seguita da un raggio luminoso per andare da un puntoA ad un punto B e quella che, secondo le leggi dell’Ottica geometrica, corrispondead un cammino ottico totale stazionario (massimo o minimo) rispetto a variazioniinfinitesime attorno alla traiettoria (ovvero ad un tempo stazionario).

Applichiamo il principio di Fermat a tre semplici situazioni.

1. Raggio luminoso attraverso un mezzo omogeneo e isotropo. Latraiettoria da un punto A a un altro B e rettilinea, quindi corrisponde adun cammino ottico minimo.

2. Riflessione di un raggio luminoso.

Nella figura 4.8 si considerino due punti A e B in uno stesso mezzo omogeneo:a causa della presenza di una superficie riflettente, oltre al raggio luminosorettilineo da A a B esiste un raggio luminoso riflesso, ACB, che congiungei due punti. Il tempo impiegato dalla luce a compiere questo percorso,composto da due tratti rettilinei che rappresentano i minimi cammini fino oa partire dal punto di incidenza C, e dato da:

t =1v

(√h2

A + x2 +√

h2B + (l − x)2

)indicando con x la ascissa del punto C rispetto al punto A, mentre il punto Be ad una ascissa l dallo stesso; sia hA l’ordinata del punto A ed hB l’ordinata

4.3. PRINCIPI DI FERMAT E DI HUYGENS–FRESNEL – FACOLTATIVO155

Figura 4.8:

del punto B. Si avra:

t =AC

v+

CB

v

La variazione del tempo di percorrenza per variazione unitaria del cammino,cioe per variazione unitaria della ascissa x del punto C e:

dt

dx=

1v

x√h2

A + x2− l − x√

h2B + (l − x)2

In base al principio di Fermat, il cammino effettivamente seguito dal raggioluminoso e quello che minimizza il tempo di percorrenza:

dt

dx= 0

cioe:1v

(x

AC− l − x

CB

)= 0

Dato che xAC = sin i e l − x

CB = sin r, la condizione precedente implica:

sin i = sin r

ovvero i = r, come richiesto dalla seconda legge della riflessione: i raggiluminosi si riflettono secondo il cammino ottico minimo.

3. Rifrazione d un raggio luminoso


Figura 4.9:

Nella figura 4.9 si considerino due punti S e M in due mezzi omogenei separatida una superficie piana: sia hS l’ordinata del punto S nel primo mezzo,con indice di rifrazione n1 e velocita di propagazione v1, e hM l’ordinatadel punto M nel secondo mezzo, con indice di rifrazione n2 e velocita dipropagazione v2; sia x l’ordinata del punto N di incidenza del fascio sullasuperficie rifrangente rispetto al punto S e l l’ordinata del punto M rispettoa S. In ciascuno dei due mezzi il minimo cammino e rettilineo fino a o apartire da N e il tempo di percorrenza e dato da:

t =SN

v1+

NM

v2

t =

√h2

S + x2

v1+

√h2

M + (l − x)2

v2

Per variazioni unitarie del cammino, cioe della ascissa x del punto N, lavariazione del tempo di percorrenza e data da:

dt

dx=

x

v1

√h2

S + x2− l − x

v2

√h2

M + (l − x)2

dt

dx=

x

v1 SN− l − x

v2 NM=

sin i

v1− sin r

v2

In base al principio di Fermat:

dt

dx= 0

4.3. PRINCIPI DI FERMAT E DI HUYGENS–FRESNEL – FACOLTATIVO157

cioesin i

v1=

sin r

v2

sin i

sin r=

v1

v2=

n2

n1

come richiesto dalla seconda legge di Snellius–Descartes: i raggi luminosi sirifrangono secondo il minimo cammino ottico.

Anche il principio di reciprocita puo essere ricavato a partire dal prin-cipio di Fermat, considerando che se per andare da un punto A ad un punto B sie trovato il cammino ottico minimo, per andare da B ad A il tempo minimo saraimpiegato sullo stesso percorso.

Un esempio di cammino ottico massimo si ha considerando una superfi-cie sferica cava riflettente al suo interno: il raggio che parte da un punto qualunquedella superficie, A, ritorna in A dopo aver percorso per due volte il diametro dellasfera; ogni altro percorso ha lunghezza minore di quello effettivo, che corrispondein questo caso a cammino ottico massimo.

Le leggi della propagazione rettilinea, riflessione e rifrazione possonoanche essere fatte derivare da un altro principio, valido non solo nella approssima-zione di Ottica geometrica, il principio di Huygens: A un generico istante, ognipunto di un fronte d’onda puo essere considerato come una sorgente puntiforme dionde sferiche secondarie: la posizione del fronte d’onda dopo un tempo ∆t coincidecon la superficie inviluppo di tutte le onde secondarie al tempo in questione.

Capitolo 5

Sistemi ottici

Si chiama sistema ottico un sistema di lenti e specchi, cioe dispositiviriflettenti e rifrangenti, quindi una successione di superfici riflettenti e rifrangentiche delimitano mezzi con indici di rifrazione differenti. Le superfici in questionesono lisce e regolari e, nei casi che verranno studiati, hanno forma sferica o piana(come limite di una superficie sferica quando il raggio di curvatura tende ad infini-to). Quando tutti i centri di curvatura delle superfici si trovano sulla stessa retta,questa viene chiamata asse ottico e il sistema e detto centrato; in tale situazionele superfici piane eventualmente presenti sono perpendicolari all’asse. L’asse otticoe’ asse di simmetria di rotazione del sistema; il punto di incontro dell’asse e unasuperficie riflettente o rifrangente viene chiamato vertice.

Come gia accennato all’inizio del capitolo precedente, l’azione di unadiscontinuita sulla propagazione della luce puo essere descritta convenientementenell’ambito dell’Ottica Geometrica utilizzando il concetto di raggio luminoso;in un mezzo omogeneo, quali sono supposti essere i mezzi separati dalle superficiriflettenti e rifrangenti considerate, i raggi luminosi sono perpendicolari al fronted’onda. Si consideri una sorgente luminosa (praticamente) puntiforme posta nelpunto A; il fascio di raggi luminosi uscenti da A e omocentrico e A viene dettopunto oggetto (o semplicemente oggetto): se, dopo aver attraversato il sistemaottico, il fascio risulta essere omocentrico, il suo centro A’ viene chiamato puntoimmagine (o semplicemente immagine) di A. Quando i raggi emergenti dalsistema passano effettivamente per il centro A’, questo e immagine reale e se sipone uno schermo in A’ su di esso si forma una immagine luminosa; se, invece, iraggi emergenti divergono ma i loro prolungamenti passano tutti per il centro A’,si ha un’immagine virtuale.

5.1 Superfici riflettenti: specchi – Facoltativo

La figura 5.1 mostra un fascio di raggi luminosi uscenti da una sorgente puntiformeP posta sull’asse di uno specchio sferico concavo: essi, dopo essersi riflessi sullo

158

5.1. SUPERFICI RIFLETTENTI: SPECCHI – FACOLTATIVO 159

Figura 5.1:

specchio, convergono nel punto immagine P’ (immagine reale), per poi divergerecome se in esso ci fosse un oggetto. Per ottenere una formula semplice che forniscala posizione dell’immagine P’ in funzione della posizione della sorgente e del raggiodi curvatura dello specchio, applichiamo le leggi della riflessione ponendoci nellaapprossimazione (gaussiana) di raggi parassiali, cioe consideriamo solamenteraggi luminosi che incidono sullo specchio sferico in punti vicini al vertice e formanocon l’asse ottico degli angoli piccoli per i quali e’ valida la approssimazione:

sin α ∼ α ∼ tg α (5.1)

(I raggi che incidono in punti lontani dall’asse, detti raggi non parassiali convergonoin punti vicini al punto immagine e fanno apparire confusa o “sfuocata” l’immagineproducendo un effetto detto aberrazione di sfericita degli specchi).

La distanza dell’immagine (s’), misurata dal vertice V dello specchio aP’, puo essere messa in relazione con la distanza dell’oggetto (s), misurata tra ilvertice V e il punto P, e il raggio di curvatura (r) dello specchio servendosi dellageometria elementare. La costruzione e illustrata nella figura 5.2, per un genericoraggio parassiale. Il punto C e il centro di curvatura dello specchio; il raggioincidente PA e il raggio riflesso AP’ formano angoli uguali con la semiretta radialeCA che e’ normale alla superficie riflettente nel punto di incidenza A. L’angolo βe un angolo esterno al triangolo PAC e percio e’ uguale a:

β = α + θ (5.2)

160 CAPITOLO 5. SISTEMI OTTICI

Figura 5.2:

Analogamente dal triangolo PAP’ si ottiene:

γ = α + 2θ (5.3)

Eliminando θ tra queste due equazioni, si ottiene:

γ = α + 2(β − α) (5.4)

2β = α + γ (5.5)

Usando le approssimazioni per i piccoli angoli, valide per raggi parassiali, α ∼ l/s,β ∼ l/r, γ ∼ l/s′, si ottiene:

1s

+1s′

=2r

(5.6)

Questa formula e detta formula degli specchi sferici. Se la distanza dell’oggettoe molto grande rispetto al raggio r, ossia se s tende ad infinito, il termine 1/s puoessere trascurato e la distanza dell’immagine e: s’ = 2/r. Questa distanza e dettadistanza focale f dello specchio e la formula degli specchi sferici si puo scrivere:

1s

+1s′

=1f

(5.7)

Il fuoco o punto focale e il punto in cui vanno a convergere i raggi pa-ralleli(= raggi provenienti da distanza infinita) che incidono sullo specchio. Viceversa,raggi uscenti da una sorgente puntiforme posta nel fuoco di uno specchio concavosi riflettono parallelamente all’asse; questa, come visto, e’ una proprieta delle ondeluminose nota come invertibilita del cammino luminoso.

5.2. COSTRUZIONE GRAFICA DELLE IMMAGINI FORMATE DAGLI SPECCHI - FACOLTATIVO161

5.2 Costruzione grafica delle immagini for-

mate dagli specchi - Facoltativo

Figura 5.3:

Un metodo utile (anche se approssimato) per localizzare l’immagineformata da uno specchio e la costruzione grafica indicata in figura 5.3, in cuil’oggetto e’ posto perpendicolarmente all’asse dello specchio. Si tracciano oppor-tuni raggi uscenti dall’estremo superiore dell’oggetto (raggi principali) e dallaloro intersezione si ricava la posizione dell’immagine; i raggi principali per unospecchio sferico sono quattro:

1. il raggio incidente parallelo all’asse che si riflette passando per il fuoco;

2. il raggio incidente passante per il fuoco che si riflette parallelamenteall’asse;

3. il raggio incidente passante per il centro di curvatura che si riflettesu se’ stesso dato che incide normalmente alla superficie;

4. il raggio incidente passante per il vertice (vedi figura 5.4) dello specchioche si riflette formando con l’asse un angolo uguale all’angolo di incidenza.

Dalle figure si vede che l’immagine e capovolta e non ha la stessa dimensionedell’oggetto. Il rapporto tra l’altezza dell’immagine (y’) e l’altezza dell’oggetto (y)e l’ingrandimento lineare trasverso Glt dell’immagine. Dalla figura 3.4 si puofacilmente ricavare che tg θ = y/s = y′/s′ da cui Glt = y′/y = s′/s.

Se l’oggetto e tra lo specchio e il fuoco, i raggi riflessi non convergono,ma sembrano provenire da un punto situato dietro lo specchio, come illustrato in


Figura 5.4:

figura 5.5: l’immagine e virtuale e diritta e, essendo s minore di r/2, dall’equazione(5.6) s′ risulta negativo.

Figura 5.5:

Le equazioni (5.6), (5.7) e la definizione di distanza focale possonoessere applicate agli specchi convessi, concavi e piani adottando la seguente con-venzione sui segni:

Le immagini reali si possono formare solo davanti allo specchio, nello

5.3. SPECCHI PIANI – FACOLTATIVO 163

s: + se l’oggetto e davanti allo specchio (oggetto reale)– se l’oggetto e dietro lo specchio (oggetto virtuale)

s′: + se l’immagine e davanti allo specchio (immagine reale)– se l’immagine e dietro lo specchio (immagine virtuale)

r, f : + se il centro di curvatura e davanti allo specchio (specchio concavo)– se il centro di curvatura e dietro allo specchio (specchio convesso)

spazio di riflessione che coincide con lo spazio di incidenza. Con questeconvenzioni per i segni l’ingrandimento trasversale e dato da:

Glt =y′

y= −s′

s(5.8)

Un ingrandimento negativo, che si ha quando sia s che s’ sono positive, indica chel’immagine e capovolta.

5.3 Specchi piani – Facoltativo

Nel caso degli specchi piani il raggio di curvatura r e infinito e pertanto anche ladistanza focale risulta infinita. L’equazione (5.7) fornisce:

s′ = −s

che indica che l’immagine e’ virtuale (dietro lo specchio) ad una distanza ugualealla distanza dell’oggetto. L’ingrandimento (equazione (5.8)) vale:

Glt = +1

che indica che l’immagine e diritta ed ha la stessa altezza dell’oggetto. Inoltre l’im-magine formata da uno specchio piano e affetta da una inversione di profonditadovuta al fatto che lo specchio trasforma un sistema di coordinate destrorso per ilquale vale la relazione tra i versori degli assi: ~i × ~j = ~k, in uno sinistrorso per ilquale ~i×~j = −~k.

5.4 Specchi convessi – Facoltativo

La figura 5.6 mostra la costruzione grafica dell’immagine di un oggetto data dauno specchio sferico convesso. Il raggio passante per il centro di curvatura C eperpendicolare allo specchio e si riflette su se’ stesso. Il raggio parallelo all’assesi riflette come se provenisse dal fuoco F posto dietro lo specchio. Si puo vedereche l’immagine si forma dietro lo specchio ed e pertanto virtuale. Risulta esserediritta e rimpicciolita.


Figura 5.6:

5.5 Riassunto – Facoltativo

Dalle formule (5.7) e (5.8) si possono trarre le seguenti conclusioni sulle immaginifornite dagli specchi sferici e piani:

specchio concavo specchio convesso specchio pianor > 0, f > 0 r < 0, f < 0 r = ∞, f = ∞

s > r/2: s′ > 0 s′ < 0, 0 < Glt < 1 s′ = −s, Glt = +1Glt < −1 se 2f > s > f−1 <Glt < 0 se s > 2f

s < r/2: s′ < 0 e | s′ | > s, Glt > +1

5.6 Superfici rifrangenti: diottro sferico

Consideriamo ora il caso di raggi emessi da una sorgente puntiforme che incidonosu una superficie sferica che separa due mezzi con indici di rifrazione diversi n1

e n2: ciascuno di questi raggi subisce una rifrazione e si propaga al di la dellasupeficie secondo una direzione diversa da quella di incidenza.

Anche in questo caso i raggi parassiali convergono tutti in un puntoposto dietro (davanti) la superficie che prende il nome immagine reale (virtuale).La formazione delle immagini per rifrazione su tale superficie puo essere derivataconsiderando la figura 5.7: in essa n2 > n1 e pertanto la luce si propaga piulentamente nel secondo mezzo. Applicando ai raggi parassiali la seconda legge diSnellius–Descartes e le approssimazioni per i piccoli angoli si puo dedurre un’equa-

5.6. SUPERFICI RIFRANGENTI: DIOTTRO SFERICO 165

Figura 5.7:

zione che fornisce la distanza dell’immagine a partire dalla distanza dell’oggetto,dal raggio di curvatura e dagli indici di rifrazione. Nella figura viene consideratoun raggio parassiale generico; gli angoli θ1 e θ2 sono legati dalla seconda legge diDescartes:

n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (5.9)

che nel caso di piccoli angoli diventa:

n1 θ1 = n2 θ2 (5.10)

Dal triangolo ACP’ si ottiene:

β = θ2 + γ =n1

n2θ1 + γ (5.11)

e dal triangolo PAC:

θ1 = α + β (5.12)

Eliminando θ1 si ottiene:

n1α + n2γ = (n2 − n1)β (5.13)

Usando le approssimazioni per i piccoli angoli, valide per raggi parassiali, α ∼ l/s,β ∼ l/r, γ ∼ l/s′, si ottiene:

n1

s+

n2

s′=

n2 − n1

r(5.14)

che e nota come formula di Gauss. Nella rifrazione, le immagini reali si formanodietro la superficie rifrangente, nello spazio di trasmissione, mentre le immagini


virtuali si formano davanti alla superficie rifrangente, nello spazio di inciden-za. Le convenzioni per i segni usate per la rifrazione sono riportate nella tabellaseguente.

s: + se l’oggetto e davanti la superficie (spazio di incidenza)– se l’oggetto e dietro la superficie (spazio di trasmissione)

s′: + se l’immagine e dietro la superficie (spazio di trasmissione)– se l’immagine e davanti la superficie (spazio di incidenza)

r, f : + se il centro di curvatura e nello spazio di trasmissione– se il centro di curvatura e nello spazio di incidenza

Confrontando queste convenzioni con quelle per la riflessione si puoosservare che s’, r, f sono positivi se l’immagine o il centro di curvatura si trovanonello spazio in cui si propagano la luce rifratta o riflessa rispettivamente.

Figura 5.8:

Per l’ingrandimento lineare trasversale, consideriamo la figura 5.8: ilraggio tracciato a partire dall’estremo superiore dell’oggetto nel mezzo 1 si rifrangenel mezzo 2 avvicinandosi alla normale dato che n2 > n1; vale sempre:

n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (5.15)

ma si vede anche che:

tg θ1 =y

s(5.16)

5.6. SUPERFICI RIFRANGENTI: DIOTTRO SFERICO 167

tg θ2 = −y′

s′(5.17)

(notiamo che y’ e negativa). Per piccoli angoli sin α ∼ tg α percio la secondalegge di Snellius diventa:

n1y

s= n2

−y′

s′(5.18)

e per l’ingrandimento lineare trasversale:

Glt =y′

y= −n1s

′

n2s(5.19)

La formula (5.14) puo essere usata per calcolare la distanza apparentedi un oggetto immerso in acqua (n1=1.33) quando l’osservatore si trova sulla ver-ticale passante per l’oggetto (n2 = 1). In questo caso la superficie rifrangente epiana ed ha percio raggio di curvatura infinito; dalla (5.14) si ha allora:

n1

s+

n2

s′= 0 (5.20)

Percio la profondita apparente risulta:

s′ = −n2

n1s

Il segno negativo indica che l’immagine e virtuale e si forma dalla stessa parte dellasuperficie rifrangente dove si trova l’oggetto. L’ingrandimento lineare e:

Glt = −n1s′

n2s= +1

La profondita apparente e uguale alla profondita reale divisa per l’indice di rifra-zione dell’acqua e l’immagine mantiene le dimensioni dell’oggetto.

Esempio:Un pesce e in una vaschetta sferica di vetro piena di acqua di indice

di rifrazione 1.33. Il raggio della vaschetta e 15 cm. Il pesce guarda attraverso lavaschetta e vede un gatto accucciato sul tavolocon il naso a 10 cm dalla vaschetta.Dove si forma l’immagine del naso del gatto e quanto vale il suo ingrandimen-to lineare trasversale? Si trascuri ogni effetto della parete sottile di vetro dellavaschetta.

La distanza dell’oggetto, misurata tra il gatto e la vaschetta, e 10 cm.Gli indici di rifrazione sono n1=1 e n2=1.33. Il raggio di curvatura e +15 cm.Quindi, per l’equazione (5.14), la distanza dell’immagine e:

1.0010 cm

+1.33s′

=1.33− 1.00

15 cm(5.21)


Risolvendo rispetto a s′, si ottiene:

s′ = −17.1 cm (5.22)

Il fatto che la distanza dell’immagine e negativa significa che l’immagine e virtualee si forma davanti alla superficie rifrangente, nello spazio in cui si trova l’oggetto.

L’ingrandimento lineare trasversale dell’immagine e:

Glt = −n1s′

n2s= − −17.1 cm

1.33 10 cm= 1.29 (5.23)

Percio il gatto appare piu lontano e un po’ piu grande

5.7 Lenti sottili

Le equazioni ottenute nel paragrafo precedente per il diottro sferico possono essereusate per determinare il percorso di un raggio parassiale attraverso varie superficirifrangenti e ottenere cosi’ la posizione e le dimensioni dell’immagine di un oggettoformato da un sistema ottico. Un sistema ottico semplice e di particolare interessee la lente sottile, cioe una successione di due diottri sferici. Per determinare laposizione dell’immagine prodotta da una lente sottile si considera separatamente larifrazione a ciascuna superficie rifrangente per ottenere un’equazione che metta inrelazione la distanza dell’immagine con quella dell’oggetto, i due raggi di curvaturae l’indice di rifrazione della lente (che si suppone normalmente immersa in aria,anche se, in generale, i mezzi a destra e a sinistra della lente avranno indici dirifrazione diversi).

Figura 5.9:

5.7. LENTI SOTTILI 169

Consideriamo la figura 5.9, in cui, come di solito, si considera un gene-rico raggio parassiale emesso da una sorgente (oggetto) puntiforme posta sull’asseottico di una lente molto sottile con indice di rifrazione n, immersa in aria, e conraggi di curvatura r1 e r2. Se l’oggetto si trova a distanza s dalla prima superficiela distanza s′1 dell’immagine P ′

1 formata dalla rifrazione a questa e data da:

1s

+n

s′1=

n− 1r1

(5.24)

e risulta negativa, cioe l’immagine e virtuale e si trova nello spazio di incidenzadel primo diottro. Questa immagine non si forma perche la luce viene rifratta dinuovo alla seconda superficie ma diventa l’oggetto per la seconda rifrazione: i raggirifratti dalla prima superficie incidono sulla seconda sotto gli stessi angoli sottocui inciderebbero se ci fosse un oggetto in questo punto immagine. Dato che lalente ha spessore trascurabile la distanza dell’oggetto e uguale in valore assolutoa s′1 ma e positiva, dato che si trova nello spazio di incidenza del secondo diottro:s2 = −s′1. Per la seconda superficie vale l’equazione:

n

−s′1+

1s′

=1− n

r2(5.25)

dalle (5.24) e (5.25) si ottiene:

1s

+1s′

= (n− 1)(

1r1− 1

r2

)(5.26)

La distanza focale di una lente sottile e per definizione la distanza acui si viene a formare l’immagine quando l’oggetto e a distanza infinita; ponendos=∞ ed indicando con f la distanza dell’immagine s’, si ottiene:

1f

= (n− 1)(

1r1− 1

r2

)(5.27)

che e detta equazione dei fabbricanti di lenti; sostituendo nella (5.26) si ha:

1s

+1s′

=1f

(5.28)

che e la formula per le lenti sottili. Anche nel caso della lente sottile tutti iraggi parassiali provenienti dal punto oggetto vengono fatti convergere nel pun-to immagine, se l’immagine e reale, o paiono divergere da esso, se l’immagine evirtuale.

Nel caso delle lenti la distanza dell’immagine s’ e positiva sel’immagine si forma nello spazio di trasmissione della lente, cioe dallaparte opposta allo spazio di incidenza della luce; il raggio, come nelcaso della rifrazione ad una singola superficie, e positivo se il centro di


curvatura si trova nello spazio di trasmissione, negativo se si trova nellospazio di incidenza.

Poiche l’indice di rifrazione n e sempre maggiore di 1, nel caso di unalente biconvessa che e una lente convergente (vedi figura 5.10 sinistra) r1 >0, r2 < 0 e la distanza focale risulta positiva e la lente e detta anche positiva.Ogni lente che e piu spessa al centro che al bordo e una lente convergente. Alcontrario, una lente biconcava (vedi figura 5.10 destra), che e piu’ sottile al centroche al bordo, e una lente divergente, r1 < 0, r2 > 0 e la distanza focale risultanegativa: la lente e detta anche negativa.

Figura 5.10:

Se si inverte la direzione orientata di propagazione della luce incidentesulla lente l’ordine delle superfici si inverte ma la distanza focale resta invariata. Seun fascio parallelo di luce incide sulla lente da sinistra esso viene fatto convergerein un punto posto ad una distanza pari ad f a destra della lente; se un fascioparallelo incide da destra esso viene fatto convergere in un punto posto ad unadistanza pari ad f a sinistra della lente. Entrambi questi punti sono fuochi dellalente.

Per l’invertibilita del cammino luminoso la luce emergente da un fuocoe incidente sulla lente emergera dalla lente sotto forma di un fascio parallelo.In particolare, se si specifica la direzione orientata di propagazione della luce, ilpunto oggetto per cui la luce emerge sotto forma di fascio parallelo e detto primofuoco F e il punto in cui un fascio parallelo incidente viene fatto convergere edetto secondo fuoco della lente. Per una lente convergente il primo fuoco e nellospazio di incidenza, il secondo nello spazio di trasmissione; l’opposto vale per unalente divergente. Se il fascio parallelo incide sulla lente sotto un piccolo angolo con

5.8. COSTRUZIONE GRAFICA DELLE IMMAGINI FORMATE DALLE LENTI171

l’asse, esso viene fatto convergere in un punto giacente nel piano focale, posto adistanza f dalla lente e perpendicolare all’asse ottico.

5.8 Costruzione grafica delle immagini for-

mate dalle lenti

Per localizzare le immagini formate dalle lenti conviene usare un metodo grafico(anche se e’ piu approssimato). Si suppone che i raggi luminosi deviino quandoincontrano il piano centrale della lente sottile: come per gli specchi la costruzioneviene data dalla intersezione dei raggi principali.

Lente convergenteI raggi principali per la lente convergente sono i seguenti:

1. il raggio incidente parallelo all’asse che emerge dalla lente passando peril secondo fuoco;

2. il raggio incidente passante per il centro che emerge dalla lente senzaessere deviato (le facce della lente sono parallele in questo punto e il raggiopertanto emerge nella stessa direzione solo lievemente spostato);

3. il raggio incidente passante per il primo fuoco che emerge dalla lenteparallelamente all’asse.

Figura 5.11:

I tre raggi convergono nel punto immagine, come illustrato in figura5.11, che mostra un caso in cui l’immagine e capovolta. Dalla figura si puo vedereche:

tg θ = y/s = −y′/s′ (5.29)

e percio l’ingrandimento lineare trasversale risulta:

Glt = y′/y = −s′/s (5.30)


come per gli specchi.Lente divergenteI raggi principali per la lente convergente sono i seguenti:

1. il raggio incidente parallelo all’asse che diverge dalla lente come seuscisse dal secondo fuoco;

2. il raggio incidente passante per il centro che emerge dalla lente senzaessere deviato;

3. il raggio incidente passante per il primo fuoco che emerge dalla lenteparallelamente all’asse.

La costruzione e illustrata in figura 5.12.

Figura 5.12:

5.9 Riassunto

Dalle formule (5.28) e (3.27), che riscriviamo qui come:

s′ = − fs

f − s(5.31)

Glt = y′/y = −s′/s =f

f − s(5.32)

si puo ricavare per le immagini formate da lenti sottili la seguente tabella riassun-tiva (si suppone che l’oggetto sia reale, cioe che sia s >0):

5.10. ESEMPI 173

lente convergente (s < f) s’<0; |s’| >s Glt > +1lente convergente (s > f) s′ > 0; |s′| > s Glt < −1 se 2f > s > f

−1 < Glt < 0 se s > 2flente divergente s′ < 0; |s′| < s 0 < Glt < 1

5.10 Esempi

1. L’occhio

Figura 5.13:

La figura 5.13 rappresenta una sezione dell’occhio: la luce entra nell’occhioattraverso un’apertura variabile, la pupilla, e viene fatta convergere dal si-stema ottico cornea–cristallino (lente convergente) sulla retina. La curvaturadel cristallino puo venire leggermente modificata dall’azione del muscolo ci-liare; quando l’occhio osserva un oggetto lontano, il muscolo ciliare e rilassatoe il sistema cornea–cristallino ha la massima lunghezza focale, pari a circa2.5 cm , cioe la distanza tra la cornea e la retina. Se l’oggetto si avvicina ilmuscolo ciliare diminuisce leggermente il raggio di curvatura del cristallino(r2) facendo pertanto diminuire la distanza focale in modo che l’immaginesi formi ancora sulla retina (e il caso della riga 2 della tabella precedente).Questo processo e detto accomodamento. Se l’oggetto e troppo vicinoall’occhio, il cristallino non riesce piu a formare un’immagine nitida sulla re-tina e ne risulta un’immagine sfuocata. Il punto piu vicino di cui il cristallino


riesce a formare un’immagine nitida sulla retina e detto punto prossimo;in condizioni di riposo l’occhio normale e accomodato all’infinito, ma essopuo senza fatica rimanere accomodato a lungo alla distanza di 25 cm, dettadistanza della visione distinta.

Figura 5.14:

Se la convergenza dell’occhio e insufficiente, le immagini degli oggetti vicinisi formano dietro la retina e l’occhio e detto ipermetrope. Una personaipermetrope e capace di vedere distintamente gli oggetti lontani, per la cuivisione e richiesta una convergenza piccola, ma ha difficolta nel vedere di-stintamente gli oggetti vicini. L’ipermetropia puo essere corretta con unalente convergente (vedi figura 5.14).

Figura 5.15:

Se, invece, la convergenza dell’occhio e eccessiva le immagini degli oggettilontani si formano davanti alla retina e l’occhio e miope (vedi figura 5.15);una persona miope vede, invece, distintamente gli oggetti vicini perche iraggi che escono con una grande divergenza possono essere fatti convergeresulla retina. La miopia si corregge con una lente divergente.

5.10. ESEMPI 175

La grandezza apparente di un oggetto e determinata dalla grandezza del-l’immagine sulla retina: questa e maggiore per un oggetto vicino che peruno lontano, come mostrato in figura 5.16; pertanto anche se l’altezza diun oggetto non varia, la sua grandezza apparente dipende dalla sua distan-za dall’occhio. Una misura conveniente della grandezza dell’immagine sullaretina e l’angolo visuale θ sotto cui l’occhi vede l’oggetto:

θ =y′

2.5 cm(5.33)

tg θ =y

s(5.34)

e percio:

y′ = (2, 5cm)θ = (2, 5cm)y

s(5.35)

cioe l’altezza dell’immagine e direttamente proporzionale all’altezza dell’og-getto e inversamente proporzionale alla distanza tra l’oggetto e l’occhio

Figura 5.16:

2. La lente di ingrandimento

Per aumentare la grandezza apparente di un oggetto si puo diminuire la suadistanza dall’occhio fino a portarlo piu vicino del punto prossimo usandouna lente convergente che crei una immagine reale dell’oggetto ad una di-stanza infinita. Tale lente convergente e detta lente di ingrandimento omicroscopio semplice. Il suo funzionamento e illustrato in figura 5.17: unoggetto di altezza y si trova nel punto prossimo dell’occhio, ad una distanzaxpp. L’altezza dell’immagine sulla retina e proporzionale all’angolo visualeθ0 sotto cui l’occhio vede l’oggetto:

θ0 =y

xpp(5.36)


Se davanti all’occhio si pone una lente convergente con distanza focale fminore di xpp (s<f nella tabella riassuntiva) e l’oggetto viene posto nel fuocodella lente, i raggi che emergono dalla lente sono paralleli all’asse e pertantol’immagine virtuale e a distanza infinita davanti alla lente; tali raggi vengonofatti convergere sulla retina dall’occhio rilassato. Se la lente e addossataall’occhio l’angolo visuale e ora:

θ =y

f(5.37)

Il rapporto θ/θ0 e detto ingrandimento visuale G0 della lente:

G0 =θ

θ0=

xpp

f(5.38)

Figura 5.17:

5.11 Sistemi di lenti

Se si ha un sistema costituito da due o piu lenti, si puo localizzare l’immagine finaleformata dal sistema trovando la distanza dell’immagine fornita dalla prima lente eusandola insieme alla distanza tra le lenti per trovare la distanza dell’oggetto dallaseconda lente: si considera ogni immagine, reale o meno, come oggetto per la lentesuccessiva.

Si considerino due lenti sottili, di distanze focali f1 e f2, addossate. Sidimostri che la distanza focale equivalente del sistema, f , e data da:

1f

=1f1

+1f2

(5.39)

Sia s la distanza dell’oggetto per la prima lente (e, percio, per il sistema di lenti)e sia s

′1 la distanza dell’immagine. Applicando la formula delle lenti sottili alla

prima lente, si ottiene:

1s

+1s′1

=1f1

(5.40)

5.12. ESEMPI 177

Poiche le due lenti sono addossate, la distanza dell’oggetto per la seconda lentee l’opposto della distanza dell’immagine formata dalla prima lente, cosicche s2 =−s

′1. Denotando con s

′la distanza dell’immagine finale, si ottiene per la seconda

lente:

1−s

′1

+1s′

=1f2

(5.41)

Sommando membro a membro queste due equazioni per eliminare s′1, si ottiene:

1s

+1s′

=1f1

+1f2

=1f

(5.42)

Si puo dunque concludere che quando due lenti sono addossate (o a breve distanzarelativa), i reciproci delle loro distanze focali si sommano. Il reciproco della di-stanza focale e edtto potere diottrico (o potenza o vergenza) di una lente(o di un sistema ottico in generale). Se la distanza focale e espressa in metri, ilpotere diottrico D e espresso in metri alla meno uno (m−1), un’unita di misurachiamata diottria (D):

P =1f

(5.43)

Il potere diottrico di una lente misura la sua capacita di far convergere un fascioparallelo di raggi luminosi in un punto a breve distanza dalla lente: minore e ladistanza focale, maggiore e il potere diottrico. Per esempio, una lente avente ladistanza focale di 25 cm = 0.25 m ha il potere diottrico di 4.0 D. Una lente aventela distanza focale di 10 cm = 0.1 m ha il potere diottrico di 10 D. Poiche la distanzafocale di una lente divergente e negativa, anche il potere diottrico e negativo. (Lavergenza prende il nome di convergenza se positiva, di divergenza se negativa.)

5.12 Esempi

1. Il microscopio

Il microscopio e usato per osservare oggetti molto piccoli posti a distanzepiccole. Nella sua forma piu semplice e costituito da due lenti convergenti(vedi figura 5.18): la lente piu vicina all’oggetto, detta obiettivo, formaun’immagine reale dell’oggetto che e ingrandita e capovolta ; la lente piuvicina all’occhio, detta oculare, e usata come lente di ingrandimento perosservare l’immagine dell’obiettivo. L’oculare e collocato in una posizionetale che l’immagine formata dall’obiettivo cada nel suo primo fuoco; cosıla luce emerge dall’oculare sotto forma di raggi paralleli, come se venissero“dall’infinito”; lo scopo dell’oculare e quello di permettere di vedere l’im-magine ingrandita fornita dall’obiettivo nonostante che questa si trovi aduna distanza dall’occhio minore del punto prossimo. Siccome l’immagine


Figura 5.18:

data da una lente di ingrandimento, quale e l’oculare, e diritta, l’immaginefinale formata dalle due lenti risulta capovolta. La distanza tra il secondofuoco dell’obiettivo e il primo fuoco dell’oculare e detta lunghezza otticadel tubo l e il suo valore e tipicamente fissato a 16 cm. L’oggetto vieneposto ad una distanza lievemente maggiore della distanza del primo fuocodell’obiettivo in modo che si formi un’immagine ingrandita nel primo fuocodell’oculare, alla distanza l+fob, dove fob e la distanza focale dell’obiettivo.Per l’ingrandimento lineare trasversale si ha:

tg β =y

fob=−y′

l(5.44)

Glt,ob =y′

y= − l

fob(5.45)

L’ingrandimento visuale dell’oculare e:

Gθ,oc =xpp

foc(5.46)

dove foc e la distanza focale dell’oculare e xpp e la distanza del punto pros-simo dell’occhio dell’osservatore. L’ingrandimento visuale del microscopiocomposto e dato da:

Gθ = Gθ,obGlt,ob = −xpp

foc

l

fob(5.47)

2. Il telescopio – Facoltativo

Il telescopio (o cannocchiale) e usato per osservare oggetti molto lontani espesso molto grandi. Il suo scopo e quello di avvicinare l’immagine dell’og-getto, cioe, di aumentare l’angolo visuale sotto cui l’occhio vede l’immagine

5.12. ESEMPI 179

Figura 5.19:

in modo che l’oggetto appaia piu grande; e costituito da due lenti convergen-ti (vedi figura 5.19): un obiettivo che forma un’immagine reale capovolta eun oculare usato come lente di ingrandimento per osservare quell’immagine.Poiche l’oggetto e molto lontano, l’immagine formata dall’obiettivo giacenel suo fuoco ad una distanza fob; siccome la distanza dell’oggetto e moltomaggiore di fob, l’immagine e molto piu piccola: lo scopo dell’obiettivo none, infatti, quello di ingrandire l’oggetto, ma di formare un’immagine tantovicina da poter essere osservata con l’oculare. Questa immagine si trova nelsecondo fuoco dell’obiettivo e nel primo fuoco dell’oculare per cui la distanzatra obiettivo ed oculare sara’ fob+foc.

L’ingrandimento visuale del cannocchiale e dato da θoc/θob. Siccome valgonole seguenti formule:

tg θob = − y′

fob(5.48)

tg θoc =y′

foc(5.49)

si ha:

Gθ =θoc

θob=

fob

foc(5.50)

da cui si vede che per avere un grande ingrandimento e necessario avereun obiettivo con una grande distanza focale ed un oculare con una piccoladistanza focale.


5.13 Aberrazioni delle lenti

Se i raggi uscenti da un oggetto puntiforme non vengono fatti convergere tuttiin un singolo punto immagine, la conseguente confusione dell’immagine e dettaaberrazione.

Figura 5.20:

Se si considerano dei raggi paralleli all’asse di una lente avente superficisferiche, i raggi che incidono su di essa in punti lontani dall’asse vengono devia-ti piu di quelli che incidono in punti vicini all’asse; pertanto, non passano per ilfuoco definito per i raggi parassiali e, di conseguenza, non tutti i raggi vengonofatti convergere in un singolo punto, come illustrato in figura 5.20: al cresceredelle distanza tra il raggio e l’asse, il raggio viene deviato troppo e la posizioneA dell’intersezione del raggio rifratto con l’asse si allontana sempre piu dal fuocoparassiale F. Per un generico raggio la distanza AF misura la aberrazione sfericalongitudinale mentre la distanza BF misura la aberrazione sferica trasver-sale. L’immagine di un punto luminoso, formata da una lente con aberrazione disfericita, appare come una macchia circolare luminosa circondata da un alone diluce. Questo macchia circolare ha il diametro minimo in un punto dove prendeil nome di cerchio di minima confusione. Questo tipo di aberrazione e similealla aberrazione di sfericita degli specchi.

Aberrazioni simili, ma piu complicate, dette coma e astigmatismo sihanno se gli oggetti sono fuori dell’asse. In particolare, si considerino, come indi-cato in figura 5.21, dei raggi tra di loro paralleli ma inclinati rispetto all’asse dellalente: i raggi rifratti non si incontrano tutti nello stesso punto, come conseguenzadella curvatura della lente, la cui superficie puo essere approssimata con un pianosolo in zona parassiale. Siano A, B e P i raggi passanti per gli estremi ed il centrodella lente: la distanza tra il raggio P e l’intersezione dei raggi rifratti A e B e il

5.13. ABERRAZIONI DELLE LENTI 181

Figura 5.21:

coma tangenziale della lente. L’immagine di un punto fuori asse, formata da unalente con coma, ricorda la forma di una cometa (da cio il nome della aberrazione).

L’aberrazione della forma dell’immagine di un oggetto esteso dovuta alfatto che l’ingrandimento dipende dalla distanza del punto oggetto dall’asse prendeil nome di distorsione.

Un’aberrazione importante, da cui sono affette le lenti ma non gli spec-chi, e l’aberrazione cromatica, che e dovuta alla variazione dell’indice di rifra-zione al variare della lunghezza d’onda: la distanza focale di una lente dipenda dalsuo indice di rifrazione e, percio, e diversa per lunghezze d’onda diverse. Poiche ne lievemente maggiore per la luce blu che per la luce rossa, la distanza focale perla luce blu sara minore di quella per la luce rossa.

Elena Botta Anno Accademico...

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