Universit degli Studi di Firenze Corso di Laurea in Ingegneria CivileProf. Ing. Pietro Antonio Scarpino

DISPENSE DEL CORSO DI

ELEMENTI DI INGEGNERIA ELETTRICAAnno Accademico 2004/2005

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PROGRAMMA DEL CORSO DI ELEMENTI DI INGEGNERIA ELETTRICA1. Elementi di Elettrotecnica Generale. Grandezze Elettriche: carica elettrica corrente, tensione energia e potenza elettrica. Concetto di resistenza e conduttanza elettrica Prima e seconda legge di Ohm Primo e secondo Principio di Kirchhoff- Serie e parallelo di pi resistenze elettriche Partitore di tensione e di corrente Il Campo Elettrico e sue conformazioni. Condensatori elettrici. Il Campo Magnetico e linduzione magnetoelettrica. Cenni sulle grandezze elettriche in regime sinusoidale Concetto di Impedenza e Ammettenza Legge di Ohm per i circuiti in corrente alternata Cenni sui Sistemi elettrici trifasi Cenni di macchine elettriche. 2. Impianti Elettrici Utilizzatori in Bassa Tensione. Definizione di contatto elettrico - Contatto diretto e indiretto - Effetti della Corrente elettrica sul corpo umano - Morfologia cellulare - Elettrocuzione - Fibrillazione cardiaca - Tetanizzazione muscolare - Limiti di pericolosit della corrente elettrica (curva di sicurezza tensione-tempo e tempo-corrente). 3. Sistemi Elettrici di Distribuzione. Sistema TT - Sistemi TN - Sistema IT - Impianto di messa a terra. Protezione dai contatti diretti Isolamento, Involucri, Barriere, Grado di protezione, Parti a portata di mano, Protezione parziale mediante ostacoli e/o barriere. Protezione dai contatti indiretti mediante interruzione automatica: L'interruttore differenziale - principi di funzionamento; Cenni sui Circuiti SELV - PELV - FELV; 4. Impianti elettrici nei Cantieri Edili. Tipi di alimentazione e protezione contro i contatti indiretti dellimpianto elettrico di cantiere Scelta e installazione dei componenti dellimpianto (Posa delle condutture Grado di protezione dei componenti Quadri elettrici per cantieri Prese a spina Avvolgicavi e cavi prolungatori) Illuminazione del cantiere Protezione contro i fulmini. Normativa e Legislazione vigente in materia. 5. Esecuzione di Impianti elettrici nelle civili abitazioni. Fornitura dellenergia elettrica Linee montanti Linee derivate Sistemi di canalizzazioni porta cavi in nuovi impianti e in impianti esistenti Quadro Elettrico Utenze Condominiali Impianto di messa a terra condominiale - Quadro Elettrico da Appartamento Apparecchi utilizzati negli impianti elettrici civili: punto luce interrotto/deviato/invertito punto luce a pulsante punto presa energia Impianti elettrici nei locali da bagno Esempio di impianto elettrico in un appartamento di medie dimensioni. Considerazioni sullAccessibilit degli Impianti. Normativa e Legislazione Vigente in materia di impianti elettrici.

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ELEMENTI DI ELETTROTECNICA GENERALEAncor prima di passare in rassegna le grandezze fisiche e le leggi che caratterizzano i sistemi elettrici, cerchiamo di capire il significato di circuito elettrico facendo riferimento ad un caso semplice. Consideriamo una "torcia elettrica", essa contiene un circuito elettrico che comprende alcuni dei fondamentali dispositivi che costituiscono i sistemi elettrici. Pi precisamente troviamo: a. un generatore elettrico, nella fattispecie una pila chimica; b. un utilizzatore (detto anche carico), nella fattispecie una lampada ad incandescenza; c. un dispositivo di comando, nella fattispecie un interruttore; d. dei fili di materiale metallico conduttore (rame) per il collegamento elettrico dei dispositivi. Il sistema elettrico appena descritto si pu riassumere con un circuito equivalente che ne rappresenta il modello:

Con Vo indicato il generatore (pi precisamente la sua forza elettromotrice), con K indicato l'interruttore e con Lp indicata la lampada ad incandescenza. I conduttori di collegamento sono rappresentati mediante delle linee continue e senza alcuna indicazione letterale, questo perch nella trattazione semplice che stiamo facendo li supponiamo ideali (ovvero capaci di condurre la corrente elettrica senza che questa incontri alcuna resistenza al suo avanzamento). Quando l'interruttore aperto (come in figura) il circuito interrotto e si dice che il sistema a riposo. Quando l'interruttore chiuso si dice che il sistema attivo ed questa la condizione che ci interessa discutere. Il generatore separa al suo interno la carica elettrica positiva da quella negativa, concentrando la prima sul suo polo positivo e la seconda sul suo polo negativo. Siccome le cariche di uguale segno tendono naturalmente a respingersi, il generatore obbligato a compiere un lavoro e quindi necessita di energia (nel nostro caso energia chimica, che col trascorrere del tempo tender ovviamente ad esaurirsi), a lavoro compiuto (cio a cariche separate) tale energia si sar tramutata in energia potenziale elettrica posseduta dalle cariche accumulate ai poli. Le cariche accumulate sui poli tenderanno a ricombinarsi attraverso il circuito esterno al generatore visto che l'interruttore chiuso, quindi considerando che il conduttore metallico permette il solo passaggio degli elettroni (cariche negative), avremo un flusso ordinato di cariche negative (elettroni) che circoleranno in senso antiorario nel circuito costituendo3

cos la corrente elettrica. E' tuttavia bene introdurre fin da ora una importante convenzione adottata nei sistemi elettrici: la corrente elettrica definita come un flusso ordinato di carica elettrica positiva, quindi, anche se in realt a spostarsi sono gli elettroni (carica negativa), si ragioner sempre e soltanto sulla carica positiva. Allo scopo basta applicare un piccolo artificio che consiste nel considerare, invece del flusso di elettroni, un flusso uguale ma opposto di carica elettrica positiva. Adottando tale convenzione diremo che la carica accumulata sul polo positivo del generatore circola in senso orario nel circuito per ricombinarsi con la carica negativa che si trova sul polo opposto e cos facendo sostiene la corrente elettrica I. La carica elettrica attraverser l'utilizzatore Lp e nell'attraversamento perder l'energia elettrica potenziale che si trasformer in altra forma, nel nostro caso in calore che porter all'incandescenza il filamento della lampadina determinando quindi l'emissione di radiazione luminosa. Una volta che la carica positiva avr raggiunto, grazie al circuito esterno, il polo negativo del generatore, il generatore stesso provveder a ricondurla al polo positivo fornendole nuova energia potenziale elettrica e consumando nel compiere tale lavoro una parte dell'energia chimica posseduta. Quanto descritto continuer nel tempo fin tanto che non verr riaperto l'interruttore oppure fin tanto che non si sar esaurita l'energia chimica posseduta dal generatore (pila chimica). Vi una stretta relazione tra la quantit di carica elettrica che si muove nel circuito, la forza elettromotrice del generatore ed il lavoro compiuto (sia quello speso nel generatore che quello utile eseguito nell'utilizzatore), pi precisamente la forza elettromotrice del generatore rappresenta il lavoro che pu compiere un coulomb di carica elettrica separata sui suoi poli. Quanto finora esposto ha inteso descrivere sommariamente l'organizzazione e lo scopo di un semplice circuito elettrico, quanto seguir permetter di analizzare anche quantitativamente il comportamento di circuiti comunque complessi. Con rete elettrica si intende un qualsiasi circuito, comunque complesso, formato da generatori (nei quali l'energia di qualsiasi forma viene trasformata in elettrica) ed utilizzatori (nei quali l'energia elettrica viene trasformata in altra forma). Nei circuiti elettrici si distinguono i nodi e le maglie. Per nodo si intende ogni punto in cui concorrono almeno tre lati o rami indipendenti, mentre una maglia un circuito chiuso che si ottiene partendo da un nodo della rete e ritornando allo stesso dopo aver percorso i rami della maglia una sola volta in un senso arbitrario prefissato. Una rete elettrica si dice lineare se costituita soltanto da componenti lineari. Sono tali quei componenti i cui parametri caratteristici non dipendono dai valori di tensione e corrente che li interessano. Una rete elettrica si dice invariante se i suoi componenti hanno parametri caratteristici costanti nel tempo. Una rete elettrica si dice funzionante a regime (o in condizioni stazionarie) se si trova nel tempo sufficientemente lontana rispetto all'istante nel quale si sia applicata ad essa l'ultima sollecitazione, ovvero se si esaurito qualsiasi fenomeno transitorio.

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Noi studieremo reti elettriche comprendenti i seguenti cinque componenti bipolari:

regolati dalle seguenti note leggi: generatore ideale di tensione: v(t) = vo(t) [V] generatore ideale di corrente: i(t) = io(t) [A] resistore ideale: v(t) = R i(t) [V] , R [] la resistenza elettrica condensatore ideale:

induttore ideale:

dove con dv , di , dt si intendono variazioni infinitesime ( od almeno talmente piccole da poterle ritenere infinitesimali) della tensione, della corrente e del tempo, mentre con v(t) , i(t) si intendono i valori istantanei della tensione e della corrente. I parametri dei componenti passivi sono rispettivamente R (resistenza), C (capacit), L (induttanzanza) invarianti nel tempo.

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I parametri dei componenti attivi (generatori) sono la forza elettromotrice vo(t) per il generatore ideale di tensione, la corrente impressa io(t) per il generatore ideale di corrente. Nelle reti che noi considereremo, la forza elettromotrice e la corrente impressa potranno essere soltanto o costanti nel tempo (reti in corrente continua) o variabili sinusoidalmente nel tempo (reti in corrente alternata). Lo studio delle reti elettriche che noi condurremo, oltre a rispondere ai requisiti sopra esposti, presuppone che le reti medesime siano del tipo a parametri concentrati, ovvero si dovranno considerare i valori di resistenza, capacit ed induttanza concentrati in punti particolari della rete ed interconnessi mediante conduttori ideali. Lo studio delle reti importantissimo sia in ambito elettronico che elettrotecnico, per quest'ultimo tipo di applicazioni, in particolare, esso permette l'analisi dei modelli dei sistemi di distribuzione dell'energia elettrica e dei modelli delle macchine elettriche. Principali grandezze elettriche Carica elettrica : la quantit di elettricit positiva o negativa di un corpo, essa sempre un multiplo intero della carica elementare (quanto elementare pari alla carica di un elettrone). L'unit di misura della quantit di carica elettrica il coulomb. In particolar modo possiamo definire il Coulomb come, a prescindere dal segno, la carica posseduta da 6,2421018 elettroni. Nello studio delle reti che noi faremo, trascureremo la natura corpuscolare della carica elettrica ed immagineremo che tale grandezza fisica vari con continuit. Intensit di corrente : il rapporto tra la quantit di carica elettrica che attraversa la sezione di un conduttore ed il tempo impiegato per tale attraversamento. Se il tempo impiegato ha valore finito si parla di intensit media: [A] se il tempo impiegato ha valore infinitesimo si parla di intensit istantanea: [A] Si dice che l'intensit di corrente vale 1 [A] se nel tempo di 1 [s] la sezione del conduttore attraversata da 1 [C] di carica elettrica. Per convenzione, si assume quale verso di riferimento della corrente quello relativo al movimento di carica positiva, anche se nella maggior parte dei conduttori le cariche libere il cui flusso costituisce corrente sono elettroni (cariche negative). Corrente impressa : l'intensit di corrente che un generatore ideale di corrente imprime nel ramo ove esso si trova inserito. Differenza di potenziale (tensione elettrica) : si intende sempre valutata tra due punti, ad esempio A e B , si indica con VAB [V] ed espressa dal rapporto tra il lavoro W [J] necessario per trasferire la carica positiva Q [C] dal punto A al punto B e la carica stessa: [V] Si considera positiva se, nel passare da A a B, la carica positiva compie lavoro cedendo all'esterno parte della propria energia potenziale elettrica che si trasformer in altra forma, si considera negativa se dall'esterno che si deve compiere lavoro aumentando cos l'energia potenziale elettrica della carica. L'unit di misura della differenza di potenziale il volt. Si dice che tra due punti vi la d.d.p. di 1 [V] se lo spostamento di 1 [C] di carica tra essi comporta un lavoro di 1 [Joule].6

Potenziale : si intende sempre valutato in un punto, ad esempio A , si indica con VA [V], e rappresenta la d.d.p. tra il punto considerato ed un punto di riferimento ( chiamato punto di massa ) al quale si assegna il valore nullo di potenziale. Il potenziale legato alla differenza di potenziale dalla seguente relazione VAB = VA - VB [V]. Caduta di tensione : la d.d.p. valutata ai capi di un utilizzatore o di un generico dispositivo passivo. Rappresenta il lavoro compiuto da un coulomb di carica elettrica che attraversi l'utilizzatore. Forza elettromotrice : la d.d.p. che un generatore ideale di tensione impone tra i due punti attraverso i quali esso inserito nella rete. Rappresenta l'energia potenziale elettrica posseduta da un coulomb di carica elettrica separata e raccolta sui poli del generatore. Potenza elettrica : , in un certo istante t e con riferimento ad un bipolo di morsetti A e B , il prodotto tra i valori istantanei della corrente i(t) entrante nel morsetto A del bipolo e della tensione vAB(t) presente tra i capi A e B del bipolo:

Infatti al passaggio da A a B della quantit di carica dq [C] corrisponde un lavoro pari a:

Se tale passaggio avviene nel tempo dt [s] la potenza associata al lavoro vale:

Se il risultato del prodotto positivo si ha che nel bipolo avviene una trasformazione da energia elettrica in altra forma, se il risultato negativo avviene la trasformazione inversa.

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Leggi e principi fondamentali Legge di Ohm per i conduttori filiformi

La resistenza elettrica R [] di un conduttore metallico filiforme dipende dalla natura del conduttore e dalle sue dimensioni secondo la relazione: R = ( l) / S con in [mm2/m] , l in [m] , S in [mm2] , si ricorda che la resistivit elettrica dipende dalla temperatura. La caduta di tensione ai capi di un utilizzatore dipende dalla resistenza dell'utilizzatore ed direttamente proporzionale alla corrente che lo attraversa ( legge di Ohm ): VAB = R I [V] , VBA = - VAB = -R I [V] la corrente percorrendo l'utilizzatore determina la riduzione dell'energia potenziale posseduta dalla carica elettrica il cui flusso costituisce la corrente stessa, tale energia potenziale elettrica si trasforma in calore (o lavoro meccanico, o lavoro chimico secondo il tipo di utilizzatore) e viene cos ceduta all'esterno del sistema "rete elettrica". Da tale fatto dipende la relazione tra il verso della corrente ed il verso della caduta di tensione ai capi dell'utilizzatore, i due versi sono ovviamente opposti. Variazione della resistivit elettrica con la temperatura Se t [mm2/m] e t [C-1] sono la resistivit elettrica ed il coefficiente di temperatura di un determinato conduttore alla temperatura t [C] , la resistivit elettrica alla temperatura T varr: T = t (1 + t (T-t)) [mm2/m]

Legge di Ohm generalizzata applicata ad un circuito chiuso Dato un circuito elettrico, tutto serie, composto di un'unica maglia e quindi interessato da un'unica corrente, la somma algebrica delle f.e.m. dei generatori presenti uguale alla somma aritmetica delle c.d.t. nei vari utilizzatori :

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dove le f.e.m. vanno prese positive se concordi col verso della corrente. Vediamo un esempio riferito ad un circuito in corrente continua :

+V01 -V02 -V03 +V04 = R1I + R2I + R3I + R4I = I( R1+ R2+ R3+ R4 )

Legge di Ohm generalizzata applicata ad un tronco di circuito La d.d.p. ai capi di un tronco di circuito, anche costituito da pi rami, pari alla somma algebrica delle f.e.m. dei generatori e delle c.d.t. negli utilizzatori presenti lungo il tronco :

Le une e le altre devono essere prese positive se contribuiscono a rendere positiva l'estremit del tronco ( A ) assunta a potenziale maggiore. Per quanto riguarda la c.d.t. negli utilizzatori, bene ricordare che essa presenta la polarit positiva nel morsetto ove entra la corrente, negativa ove la corrente esce. Vediamo un esempio riferito ad un circuito in corrente continua :

Se decidiamo di determinare VAB , significa che supponiamo VA > VB e quindi scriveremo: VAB = -V01 + V02 + V03 + R1I1 - R2I2 + R3I3 [V]

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Primo principio di Kirchhoff La somma delle correnti entranti in un nodo uguale alla somma delle correnti uscenti dal nodo:

Il principio valido pure per un nodo esteso, dove con nodo esteso si intende una porzione di rete elettrica delimitata da una sezione chiusa della rete medesima. Vediamo un esempio riferito ad un circuito in corrente continua :

I1 + I4 = I2 + I3 + I5 Secondo principio di Kirchhoff La somma algebrica di tutte le d.d.p. (f.e.m. e c.d.t.) che si incontrano percorrendo una qualsiasi maglia chiusa di una rete elettrica pari a zero. Tale fatto risulta ovvio, infatti il punto di partenza coincide col punto di arrivo e, quindi, non vi pu essere variazione di potenziale elettrico :

(V ) = ( RI )0

Per applicare tale legge conviene scegliere innanzitutto un verso positivo ( + ) di percorrenza della maglia e confrontare le varie d.d.p. con tale verso al fine di stabilire se i singoli contributi sono da considerarsi positivi o negativi ( bene tenere conto del fatto che le c.d.t. sulle resistenze hanno verso opposto alle correnti che le producono). Vediamo un esempio riferito ad un circuito in corrente continua :

+ V01 + R1I1 - V02 + R2I2 - V03 - R3I3 + V04 - R4I4 = 0

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Riduzione di resistenze in serie o parallelo Pi resistenze si dicono in serie quando sono percorse dalla stessa corrente, in tal caso la resistenza equivalente vale: RS = R1 + R2 + R3 + ... [] Pi resistenze si dicono in parallelo quando ai loro capi presentano la stessa tensione, in tal caso la resistenza equivalente vale:

Trasformazione triangolo - stella e viceversa Con riferimento ad un circuito in corrente continua :

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Trasformazione di generatori reali

I modelli di generatore elettrico si dicono reali se tengono conto delle dissipazioni di potenza e delle cadute di tensione che si hanno internamente ai generatori stessi, in tal caso il circuito equivalente presenta il parametro resistenza interna Ro. Con riferimento ai generatori reali di tensione e corrente continua si ha:

Osservazione : se in una rete elettrica presente un generatore ideale di tensione, allora nota la d.d.p. tra i due punti ai quali applicato il generatore e tale d.d.p. pari alla f.e.m. del generatore ideale di tensione. Se in una rete elettrica presente un generatore ideale di corrente, allora nota la corrente nel ramo in serie al quale inserito il generatore e tale corrente pari alla corrente impressa del generatore ideale di corrente. Legge di Joule Quando una resistenza elettrica attraversata da una corrente accade che parte dell'energia elettrica potenziale posseduta dalla carica elettrica (il cui flusso costituisce la corrente stessa) si trasforma in calore (infatti il potenziale elettrico diminuisce mano a mano che la corrente attraversa la resistenza). La quantit di calore sviluppato si calcola moltiplicando la potenza elettrica per il tempo. Con riferimento ad un circuito in corrente continua (ma la cosa analoga in corrente alternata) si ha:

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Additivit delle potenze elettriche In una rete elettrica qualsiasi (purch non interconnessa con altre reti), la somma delle potenze generate dai generatori elettrici (calcolate come prodotto della f.e.m. per la corrente erogata) sempre uguale alla somma delle potenze dissipate per effetto Joule nelle resistenze elettriche presenti nella rete. Risoluzione mediante i principi di Kirchhoff In una rete elettrica, indicando con n il numero dei nodi, con m il numero delle maglie indipendenti e con r il numero dei rami, si ha sempre (r = n - 1 + m) . La risoluzione mediante i principi di Kirchhoff consiste nello scrivere un sistema di r equazioni in r incognite (le correnti nei rami). Le prime (n -1) equazioni consistono nel primo principio di Kirchhoff applicato ad (n -1) nodi, le rimanenti (r - n + 1) equazioni consistono nel secondo principio di Kirchhoff applicato a (r - n + 1) maglie indipendenti. Pi maglie si dicono indipendenti se nessuna di loro una combinazione lineare delle altre, ad esempio tutte le maglie topologicamente contigue e che non si comprendono l'una nell'altra sono sicuramente indipendenti. Con riferimento alla rete in corrente continua riportata nella figura sottostante, si individuano quattro nodi, otto maglie delle quali tre sono indipendenti e sei rami. Quindi, dopo aver prefissato un arbitrario verso per la corrente in ciascuno dei sei rami e per l'orientamento di ciascuna maglia indipendente, scriveremo un sistema lineare di sei equazioni in sei incognite. Delle sei equazioni, tre saranno relative ai rami e tre alle maglie. Risolvendo il sistema si determineranno le intensit delle sei correnti. Se l'intensit positiva si potr dire che il verso prefissato quello effettivo, diversamente il verso effettivo sar opposto a quello prefissato.

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Risoluzione mediante il metodo di Maxwell Si assumono come incognite le correnti di circolazione delle maglie indipendenti che sono correnti fittizie e non rappresentano quelle che percorrono ciascun ramo della rete. Quindi, detto m il numero delle maglie indipendenti, si ha m = r - (n-1) e di conseguenza il numero delle incognite minore di quello del metodo precedente. Il sistema risolvente si comporr di tante equazioni, corrispondenti al secondo principio di Kirchhoff, quante sono le maglie indipendenti. Con questo metodo il primo principio di Kirchhoff risulta senz'altro verificato in quanto la corrente in ogni nodo si intende una volta entrante ed una volta uscente. La corrente in ogni ramo comune a due maglie contigue risulta la somma algebrica delle due correnti fittizie relative alle due maglie.

Applichiamo il metodo alla rete gi risolta con Kirchhoff, assumendo quali correnti fittizie di maglia Im1 (maglia superiore di sinistra), Im2 (maglia superiore di destra), Im3 (maglia inferiore). I versi delle correnti di maglia sono stati scelti arbitrariamente. Si dovr comporre un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite (le correnti fittizie di maglia) essendo tre il numero delle maglie indipendenti:

Risolvendo il sistema si determinano le tre correnti di maglia Im1 , Im2 , Im3. Per le correnti nei sei rami della rete bisogna, per prima cosa, prefissarne i versi. Supponendo che i versi siano quelli riportati nello schema elettrico, le correnti varranno: I1 = -Im1 [A], I2 = -Im2 [A], I3 = +Im1-Im2 [A] I4 = -Im3 [A], I5 = +Im1-Im3 [A], I6 = +Im2-Im3 [A] Teorema del generatore equivalente di Thevenin Risulta particolarmente adatto per determinare la corrente Ir che circola in un qualsiasi ramo (o la tensione Vr ai capi di esso) di una rete elettrica lineare comunque complessa. Considerata allora una rete elettrica lineare nella quale siano accessibili due morsetti P e Q qualsiasi, il teorema afferma che,14

per quanto riguarda il calcolo della corrente (o della tensione) relativa al ramo ad essi collegato, il resto della rete equivale ad un generatore reale di tensione avente f.e.m. Veq e resistenza interna Req :

Il generatore reale di tensione Veq , Req chiamato generatore equivalente di Thevenin e la rete semplificata chiamata rete equivalente di Thevenin. La f.e.m. Veq del generatore equivalente il valore della tensione a vuoto (cio dopo aver distaccato il ramo interessato) esistente tra i morsetti P e Q. La resistenza Req quella della rete di partenza, resa passiva e priva del ramo interessato, vista dai morsetti P e Q. Per rendere passiva la rete di partenza bisogna annullarne i generatori, ovvero aprire i generatori ideali di corrente e cortocircuitare quelli di tensione.

E' importante osservare che la polarit positiva del generatore equivalente di Thevenin deve essere rivolta verso lo stesso morsetto del ramo interessato rispetto al quale si assunta positiva la d.d.p. Veq quando questa stata calcolata. Teorema del generatore equivalente di Norton E' il duale di quello di Thevenin, solo che il generatore reale equivalente, anzich di tensione, di corrente. Esso viene chiamato generatore equivalente di Norton.

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La sua resistenza interna Req si determina cos come gi visto per il generatore di Thevenin. La sua corrente impressa Ieq quella corrente che, nella rete lineare di partenza, circolerebbe nel cortocircuito che unisce i punti P e Q . E' importante osservare che il verso della corrente impressa Ieq legato al verso col quale si trovata la corrente nel cortocircuito che unisce i punti P e Q . Pi precisamente la corrente impressa Ieq deve puntare verso P se la corrente nel cortocircuito stata determinata col verso che va da P a Q .

Principio di sovrapposizione degli effetti La corrente in un ramo qualsiasi (o la d.d.p. ai capi dello stesso) appartenente ad una rete elettrica lineare comunque complessa nella quale agiscono simultaneamente pi generatori di tensione e/o di corrente, si ottiene facendo la somma algebrica delle correnti (o delle d.d.p.) relative al ramo considerato e dovute a ciascun generatore supposto agente da solo, con i rimanenti annullati (cortocircuitati se di tensione, aperti se di corrente).

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ESERCIZIO N. 1

Fig ES.1

Nel circuito di figura R1=R1=R3=100 ; E1=50 V, E3=100 V; I1=2 A; I3=1 A Determinare la tensione tra B e massa ed il valore di E. SOLUZIONE

Applicando la legge di Ohm generalizzata si ha UBM=-UCB-UDC-UAD+UAF+UFM= - E1- R1*I1 R1*I1 + R3*I3 + E3=-50-2*100-2*100+1*100+100= - 250 V Inoltre E=UAM=R3*I3+E3=100*1+100=200 V

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ESERCIZIO N. 2

Fig .ES.2

Con riferimento alla figura, si propone l'esercizio. E1=150 V; E2=50 V; E3=60 V I1=2 A; I2=4A R1=50 ; R3=10 ; Calcolare le tensioni UAB, UAM, UBM Risposta (110 V; 50 V; -60V)

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Introduzione, legge di CoulombQuanto esposto in questi appunti ha lo scopo di riassumere quelle conoscenze della elettrostatica gi note dal corso di fisica e di proporre quelle integrazioni che pi direttamente fanno riferimento alle applicazioni elettrotecniche. Nelle espressioni, le grandezze vettoriali sono indicate mediante sottolineatura. Con elettrostatica si intende la teoria che studia l'effetto di forza dovuto a cariche elettriche immobili. Si chiama carica elettrica la quantit di elettricit positiva o negativa di un corpo, essa sempre un multiplo intero della carica elementare (quanto elementare) e = 1,60210-19 [C] (la pi piccola quantit di carica elettrica esistente la carica dell'elettrone, pari a -e ). Una delle propriet pi importanti delle cariche elettriche descritta dalla legge di Coulomb : la forza elettrica F di attrazione (cariche di segno opposto) o di repulsione (cariche di uguale segno) fra due cariche puntiformi Q1 e Q2 immerse in un mezzo isolante proporzionale al prodotto delle cariche ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza :

La direzione della forza la retta passante per le due cariche. La grandezza 0 chiamata costante dielettrica assoluta del mezzo isolante e, per il vuoto, essa vale :

Per un mezzo diverso dal vuoto si soliti esprimerla come prodotto tra la costante dielettrica del vuoto e la costante dielettrica relativa del mezzo = o r

Campo elettricoE' cos chiamata ogni regione dello spazio ove si esercitano forze elettriche su cariche elettriche. Il campo elettrico determinato in ogni punto dalla grandezza vettoriale E , quindi definito in ogni punto da una intensit, una direzione ed un verso. L'intensit, la direzione ed il verso sono pari a quelli della forza elettrica che agisce su un'unit di carica positiva posta in quel punto. Se ne ha una rappresentazione visibile mediante le linee di forza e le superfici equipotenziali. Le linee di forza sono linee orientate secondo il verso di E le cui tangenti coincidono in ogni punto del campo con la direzione del vettore E . Con potenziale di un punto del campo elettrico si intende il valore di energia potenziale che l'unit di carica positiva possiede in quel punto. Si sceglie a piacere un punto come punto zero dell'energia potenziale. I punti di eguale potenziale sono posti su superfici equipotenziali, tali superfici sono perpendicolari alle linee di forza. Una carica elettrica positiva pu essere mossa su di una superficie equipotenziale senza perdita ne guadagno di energia, mentre per essere mossa da una superficie a minor potenziale verso una a maggior potenziale richiede un lavoro che, infine, si ritrova sotto forma di maggior energia potenziale posseduta dalla carica. Qualunque carica positiva collocata in un punto del campo elettrico tende a muoversi nel verso della linea di forza passante per quel punto, cos facendo vede diminuire il proprio potenziale.

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Si definisce differenza di potenziale tra due punti M, N del campo elettrico la differenza tra il potenziale nel primo punto ed il potenziale nel secondo punto : VMN = VM - VN . Nota Bene.: quello di campo un concetto fondamentale per la descrizione di stati ed effetti nello spazio, risalente a Faraday. I campi di forza (campi vettoriali), quali quelli di forza elettrica, di forza magnetica, di forza gravitazionale, sono definiti dalla intensit, dalla direzione e dal verso di una forza per ogni punto dello spazio. I campi scalari indicano invece la distribuzione nello spazio di valori numerici, ad esempio di temperatura o densit. Se in un punto dello spazio caratterizzato da una intensit di campo elettrico pari ad E vi una carica pari a Q, si avr agente sulla carica una forza elettrica pari a F = EQ , da cui si ricava che l'unit di misura del campo elettrico il [N / C] . La direzione di questa forza la stessa del campo, il verso quello del campo se la carica positiva, altrimenti ad esso opposto. Il potenziale elettrico, essendo un'energia per unit di carica, si misura in [J/C]. Cos pure per la differenza di potenziale. Se in un punto di un campo elettrico ove il potenziale vale V presente una carica Q , tale carica posseder una energia potenziale elettrica pari a W = QV [Joule]. Il [J/C] chiamato volt [V].

Consideriamo ora un campo elettrico stazionario (cio non variabile nel tempo) ed uniforme (cio non variabile al variare del punto considerato). Prendiamo due punti M, N sulla stessa linea di forza, distanti tra di loro d , ed immaginiamo una carica positiva Q che passi dal punto M al punto N . Tale carica20

perder energia potenziale e compir un lavoro se VM > VN perch sar la forza elettrica a determinarne lo spostamento, viceversa acquister energia potenziale e su di essa bisogner compiere un lavoro se VM < VN perch si dovr vincere la forza elettrica con una forza esterna. In ogni caso, per il principio di conservazione dell'energia, dovr essere il lavoro uguale alla variazione di energia potenziale : Fd = QVM - QVN = QVMN EQd = QVMN

La situazione appena descritta quella che si verifica nel dielettrico (isolante) posto tra le armature piane e parallele di un condensatore. Nel caso di campi elettrici non uniformi, quanto detto rimane ancora valido solo che si dovranno considerare punti M ed N a distanza tra di loro talmente piccola da potersi ritenere in tale tratto uniforme il campo. Per i campi elettrici si pu inoltre dire che il lavoro connesso al movimento di una carica tra due punti M ed N (situati anche su diverse linee di forza) non dipende dal percorso seguito dalla carica per passare da M ad N , ma dipende solo dalla posizione dei punti M ed N ( i campi che godono di tale propriet sono detti campi conservativi e tale anche il campo gravitazionale).

Condensatore elettricoE' cos chiamato il dispositivo atto a realizzare un adeguato valore concentrato di capacit elettrica. Per capacit elettrica si intende l'attitudine di un circuito ad accumulare carica elettrica. La capacit elettrica definita dalla legge C = Q / V e si misura in [Farad]. Un condensatore si realizza generalmente mediante due piastre di materiale conduttore con interposto un mezzo dielettrico (isolante). Applicando una differenza di potenziale tra le armature si crea un campo elettrico nel dielettrico e, grazie al lavoro del generatore, un accumulo di carica sulle stesse (carica positiva sull'una e negativa sull'altra), tanto pi grande quanto pi grande la capacit del condensatore. Una volta che il condensatore si caricato, per i circuiti in corrente continua si ha che nel ramo ove inserito il condensatore non pu pi passare la corrente elettrica. Se si hanno diversi condensatori in parallelo, ovvero sottoposti alla stessa differenza di potenziale, la capacit totale pari alla somma aritmetica delle singole capacit:

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Se si hanno diversi condensatori in serie, ovvero tutti aventi la stessa quantit di carica elettrica, la capacit totale pari all'inverso della somma aritmetica degli inversi delle singole capacit:

Comportamento elettrostatico dei corpi conduttoriNei corpi conduttori elettrizzati (cio che abbiano acquisito carica elettrica, ad esempio sotto forma di elettroni se si tratta di metalli) si verifica quanto segue: a) in condizione di equilibrio le cariche elettriche libere sono distribuite unicamente sulla superficie esterna del corpo conduttore perch, data la mobilit delle cariche elettriche libere, le interazioni coulombiane che si esercitano tra di esse, essendo le cariche libere tutte dello stesso segno, portano tutte le cariche a raggiungere la superficie limite del corpo conduttore. b) le cariche elettriche libere in equilibrio sulla superficie del conduttore devono assumere una distribuzione tale che il potenziale di ciascun punto P1, P2 , P3 , ecc. rispetto ad un riferimento O sia sempre lo stesso, ovvero VP1 = VP2 = VP3 = ecc. Si dice cos che la superficie equipotenziale. Se fosse diversamente avremmo tra due punti, ad esempio P1 e P2 , una differenza di potenziale che provocherebbe uno spostamento degli elettroni liberi verso il punto a potenziale maggiore, contraddicendo cos la condizione di equilibrio statico.

c) le cariche elettriche libere in equilibrio sulla superficie dei conduttori producono un campo elettrico E sempre perpendicolare alla superficie stessa del conduttore, se cos non fosse si avrebbe, oltre alla22

componente normale En , una componente tangenziale Et a causa della quale una carica elettrica libera superficiale Q si muoverebbe essendo sotto l'azione di una forza elettrica Ft = EtQ la qual cosa contraddice la condizione di equilibrio statico.

d) il campo elettrico all'interno di un corpo conduttore in equilibrio statico sempre nullo in quanto, se fosse diverso da zero, gli elettroni liberi sarebbero in movimento la qual cosa contraddice la condizione di equilibrio statico. Ne risulta in particolare che l'equilibrio elettrico di un conduttore elettrizzato non viene alterato se si immagina di scavare internamente il conduttore stesso fino a ridurlo ad un involucro, anche sottilissimo, costituito da una pellicola metallica corrispondente alla superficie esterna. Nei fenomeni elettrostatici, quindi, il comportamento di un conduttore massiccio non differisce da quello di un conduttore internamente cavo avente eguale forma e dimensioni. Nell'interno di questi conduttori cavi (praticamente sono degli involucri metallici) il campo elettrico rimane sempre nullo , qualunque sia la carica elettrica distribuita sulla superficie esterna, e cio qualunque sia l'intensit del campo elettrico nello spazio esterno al conduttore cavo. Si intende che, se nell'interno dell'involucro sono racchiusi dei conduttori isolati dalle pareti del l'involucro ed elettrizzati, questi vi producono un campo elettrico il quale rimane del tutto indipendente da tutte le eventuali cariche elettriche situate all'esterno. Si pu dire che un involucro metallico completamente chiuso costituisce uno schermo elettrostatico che protegge l'intera regione interna dalle azioni di tutti i campi elettrici esterni (schermo di Faraday).

Induzione elettrostatica e spostamento elettricoConsideriamo la figura, in cui un corpo conduttore immerso in un campo elettrico uniforme.

Per induzione elettrostatica si intende l'azione di un campo elettrico esterno su un conduttore isolato. Le cariche elettriche alla superficie vengono separate dalle forze di Coulomb. Poich il bilancio di carica del conduttore non alterato dall'induzione, il conduttore resta nel complesso elettricamente neutro.23

Con spostamento dielettrico (eccitazione dielettrica) si intende il vettore D = E , esso corrisponde alla carica prodotta nell'unit di superficie per induzione elettrostatica e si misura in [C / m2] .

Flusso del vettore spostamento elettrico, teorema di Gauss

Si consideri una superficie di area S immersa in un campo elettrico uniforme (cio costante in tutti i punti e perci con le linee di forza rettilinee e parallele), per il quale il vettore spostamento elettrico sia D . Si definisce flusso del vettore spostamento elettrico attraverso la superficie S la grandezza scalare : S(D) = DScos() [C] Il flusso viene considerato positivo se il campo elettrico orientato concordemente col versore N (vettore adimensionale unitario ortogonale alla superficie) diversamente esso considerato negativo. Il teorema di Gauss afferma che il flusso totale del vettore spostamento attraverso una superficie chiusa qualsiasi SC(D) uguale alla somma algebrica delle cariche elettriche QSC racchiuse all'interno della superficie considerata :

Il flusso, per quanto precedentemente detto, sar uscente dalla superficie chiusa se la carica racchiusa positiva, altrimenti sar entrante nella superficie.

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Applicazioni del teorema di Gaussa) Campo elettrico originato da una carica puntiforme.

Consideriamo una carica puntiforme positiva Q ed un punto P distante d dalla carica. Consideriamo la superficie chiusa sferica S avente la carica al suo centro. Si pu affermare che il vettore spostamento elettrico D sempre ortogonale alla superficie e costante per qualunque punto sulla superficie (quindi = 0 e cos() = 1 ). Il flusso del vettore spostamento elettrico attraverso la superficie varr quindi : S(D) = DScos() = D4d2 [C] Applicando il teorema di Gauss sar D4d2 = Q. Ricordando che in ogni punto del campo elettrico D = E , sostituendo si avr :

che quanto cercato. b) Capacit di un condensatore con armature piane e parallele. Consideriamo l'armatura carica positivamente Q ed applichiamo il teorema di Gauss alla superficie chiusa SC che racchiude tale armatura. Siccome il campo elettrico praticamente nullo esternamente allo spazio racchiuso tra le armature, costante e normale alla superficie internamente alle armature, possiamo limitarci a considerare la sola parte della superficie chiusa SC coincidente con la superficie interna S dell'armatura stessa e scrivere : SC(D) = S(D) = DS = ES = Q [C] Ricordando che il campo elettrico uniforme tra le armature distanti d del condensatore legato alla tensione V applicata tra le armature stesse dalla relazione E = V / d , sostituendo nella espressione precedente e risolvendo rispetto alla Q si ottiene infine :

dove, per omogeneit dimensionale deve essere :

la capacit del condensatore

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Energia nel campo elettricoConsideriamo la seguente figura

e supponiamo il condensatore inizialmente scarico. A partire dall'istante nel quale si chiude l'interruttore M si ha che il generatore inizia a spostare la carica elettrica, convenzionalmente quella positiva, dall'armatura di destra verso quella di sinistra ovvero si originer una corrente elettrica. Cos facendo il generatore compie un lavoro, e per una quantit di carica pari a dq si avr un lavoro pari a dW = dqv rappresentato dall'area tratteggiata. A carica del condensatore esaurita, la tensione ai suoi capi varr V = E , la carica accumulata varr Q = CV ed il lavoro complessivamente compiuto dal generatore sar pari all'area del triangolo (0 Q N) ovvero :

Per il principio di conservazione dell'energia, non essendovi alcuna dissipazione, tutto il lavoro compiuto dal generatore per caricare il condensatore verr a ritrovarsi sotto forma di energia elettrostatica nel dielettrico compreso tra le armature del condensatore che, in effetti, sar polarizzato. Distaccando, una volta caricato, il condensatore dal generatore accade che l'energia elettrostatica rimane immagazzinata nel dielettrico. Infatti, se si collega il condensatore caricato ad una resistenza esterna si avr una circolazione di corrente di verso contrario a quello di carica che produrr una dissipazione per effetto Joule nella resistenza esterna e tale corrente persister, seppure con intensit decrescente, fino a quando il condensatore non sar del tutto scaricato. Supponendo il dielettrico omogeneo ( ovvero = costante ) ed il campo elettrico uniforme, cosa accettabile nel caso del condensatore, possiamo facilmente esprimere l'energia elettrostatica specifica:

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CAMPO MAGNETICO

IntroduzioneQuanto esposto in questi appunti ha lo scopo di riassumere quelle conoscenze sul magnetismo gi note dal corso di fisica e di proporre quelle integrazioni che pi direttamente fanno riferimento alle applicazioni elettrotecniche. Nelle espressioni, le grandezze vettoriali sono indicate mediante sottolineatura. Originariamente col termine magnetismo si intendeva la propriet di certi corpi, detti magneti, di attirare il ferro e di attirare, o respingere, altri magneti. Oggi si intende la teoria dei fenomeni magnetici, cio la teoria del campo magnetico e del comportamento della materia in esso. E' bene precisare che non esiste un magnetismo separato da correnti elettriche o campi elettrici. Nella natura (ma possono anche essere prodotti artificialmente) esistono dei materiali, detti magneti permanenti, che riescono a sviluppare delle forze, anche a distanza, sul ferro attirandolo verso se stessi o che interagiscono tra di loro con forze di attrazione o repulsione secondo come vengono avvicinati. In definitiva nello spazio circostante tali materiali esiste un campo di forze, detto appunto campo magnetico. La teoria dei campi permette lo studio dei fenomeni legati al magnetismo ed avvicina tale studio a quanto gi considerato a proposito della elettrostatica.

Campo magneticoE' cos chiamato il campo di forza prodotto da un magnete, oppure da una corrente elettrica, oppure da un campo elettrico variabile nel tempo. Con campo magnetico si intende anche la grandezza fisica, simbolo H [A / m] , che indica la forza che agisce nel campo su un polo magnetico di intensit unitaria.

Cominciamo col prendere in considerazione il campo magnetico generato da un magnete avente forma di barretta. Si possono individuare due poli, pi precisamente il polo Nord dal quale escono le linee di forza del campo magnetico ed il polo Sud nel quale entrano le linee di forza del campo magnetico. Si osserva che, a differenza dei campi elettrici, nel caso dei campi magnetici le linee di forza sono chiuse. I due poli sono cos chiamati perch, se il magnete lasciato libero di orientarsi nello spazio, rivolge sempre l'estremit individuata come polo Nord verso il Nord geografico e l'altra verso il Sud geografico. Ci accade perch la Terra per sua natura un gigantesco magnete, avente il polo Sud magnetico quasi in corrispondenza del polo Nord geografico, che agisce nello spazio circostante attraverso un suo campo magnetico e due magneti tendono ad attrarsi se sono affacciati coi poli opposti. Una ulteriore propriet dei magneti quella che, se sminuzzati, tendono a formare ulteriori magneti di dimensioni pi piccole, questo perch i poli magnetici Nord e Sud non possono essere divisi in alcun modo.27

Ancora si deve dire che i materiali ferrosi, se avvicinati ad un magnete in modo tale da entrare nel suo campo magnetico, subiscono il fenomeno della magnetizzazione, ovvero anche essi diventano magnetici e presentano dal lato col quale sono accostati una polarit magnetica opposta a quella del magnete permanente. Questo il motivo per il quale il ferro viene attratto dai magneti. Se poi i materiali ferrosi sono allontanati dal campo magnetico del magnete permanente accade che essi perdono quasi tutto il magnetismo precedentemente acquisito. Prendiamo ora in considerazione il campo magnetico prodotto dalle correnti elettriche.

In un conduttore rettilineo percorso da una corrente di intensit I, il campo magnetico nello spazio circostante avr le linee di forza come in figura e la sua intensit in un punto distante d dalla corrente varr H = I / (2d) [A /m] ( legge di Biot-Savart ).

Consideriamo come ulteriore esempio un solenoide (avvolgimento avente forma di bobina), di lunghezza l molto maggiore del diametro, composto di N spire e percorso dalla corrente di intensit I . Per tale sistema si pu dire che il campo all'interno praticamente uniforme e di intensit H = NI / l [A / m] .

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Infine consideriamo un solenoide toroidale la cui principale caratteristica quella di contenere tutto il campo al proprio interno. Se N il numero di spire, r la lunghezza del raggio medio ed I l'intensit della corrente, sar H = NI / (2r) [A / m] . In ogni caso, qualsiasi sia il circuito, tra il verso della corrente nel circuito ed il verso del campo magnetico generato dalla corrente, esiste sempre la stessa relazione che si riscontra tra il verso di rotazione di una vite ed il verso di avanzamento della vite stessa. Induzione magnetica, permeabilit magnatica Gli effetti dovuti alla presenza di campo magnetico dipendono, oltre che dal valore del campo, anche dalla natura del mezzo entro il quale il campo si sviluppa. Rispetto al loro comportamento nei confronti dei campi magnetici, le sostanze si possono classificare in: riconducibile alla precessione di Larmor degli elettroni nel campo magnetico, comune a tutte le sostanze). Il diamagnetismo indipendente dallo stato fisico del mezzo, tali sostanze si magnetizzano solo in presenza di un campo magnetico esterno assumendo una polarit opposta a quella del campo esterno. Per tale motivo, in un campo magnetico non omogeneo, agisce su di un corpo diamagnetico una forza che cerca di spingerlo fuori dal campo magnetico, mentre in un campo magnetico omogeneo la presenza di un corpo diamagnetico produce la deformazione delle linee di campo rappresentata in figura. Sono sostanze diamagnetiche i gas nobili, l'azoto, l'idrogeno, la grafite, l'oro, la salgemma e l'acqua.

diamagnetiche pure: sono cos chiamate perch presentano solo diamagnetismo (propriet

paramagnetiche : sono cos chiamate quelle sostanze che, a causa della presenza di livelli elettronici non chiusi, tendono a costituire molecole magneticamente dipolari (assimilabili a magnetini elementari). Per tali sostanze la magnetizzazione provocata da un campo magnetico esterno in linea e concorde con questo e le sostanze paramagnetiche vengono attirate da un campo esterno non omogeneo verso le zone con maggiore intensit di campo. In un campo magnetico omogeneo la presenza di un corpo paramagnetico produce la deformazione delle linee di campo rappresentata in figura. Il paramagnetismo diminuisce coll'aumentare della temperatura e gi alla temperatura ambiente i magnetini elementari si trovano in disordine statistico a causa del movimento termico. Sono sostanze paramagnetiche l'alluminio, il magnesio, il manganese, il cromo, il sodio, il potassio, l'ossigeno e l'aria.

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ferromagnetiche : sono cos chiamate quelle sostanze che, a causa del loro particolare stato cristallino, presentano delle aree con magnetizzazione costante (domini di Weiss) nelle quali i magnetini elementari sono orientati parallelamente tra di loro. Godono delle stesse propriet dei materiali paramagnetici con l'aggiunta di poter essere, gi alla temperatura ambiente, loro stesse sorgenti di campo magnetico qualora siano state precedentemente immerse in un campo magnetico. Le sostanze ferromagnetiche perdono le loro propriet e diventano paramagnetiche se sottoposte ad una temperatura uguale o maggiore alla temperatura di Curie ( 768 [C] per il ferro). Sono sostanze ferromagnetiche il ferro, il nickel, il cobalto e speciali leghe.

Nelle sostanze ferromagnetiche la tendenza a "catturare" le linee di campo magnetico, propria anche delle sostanze paramagnetiche, particolarmente accentuata (vedi figura). Tale fatto viene utilizzato al fine di creare degli schermi magnetici che rendono lo spazio al loro interno praticamente insensibile ai campi magnetici esterni. Sono varie le applicazioni degli schermi magnetici, ad esempio in alcuni strumenti la schermatura serve ad evitare che il campo magnetico terrestre od i campi magnetici spuri prodotti nel laboratorio possano alterare i valori misurati. Si chiama induzione magnetica (o densit di flusso magnetico) il vettore associato al campo magnetico la cui grandezza rappresenta una misura dell'intensit dell'azione di un campo magnetico; in essa viene compreso l'influsso del materiale attraversato dal campo e del relativo stato di magnetizzazione. Cos che l'induzione magnetica, a parit di campo magnetico inducente, ad esempio maggiore nel ferro piuttosto che nell'aria: B = H [Wb / m2] , nel vuoto si ha o = 1,25710-6 [H / m] Per i mezzi diversi dal vuoto, la permeabilit magnetica assoluta si esprime relativamente a quella del vuoto =ro dove r un numero puro chiamato permeabilit relativa. Per le sostanze diamagnetiche30

si ha che r di pochissimo inferiore ad uno, per le sostanze paramagnetiche r di pochissimo superiore ad uno, per le sostanze ferromagnetiche r di molto pi grande di uno (pu arrivare anche a 100.000).

Flusso concatenato con un circuito

Considerando un campo magnetico omogeneo di induzione costante B ed una superficie piana di area S orientata rispetto al campo in modo tale che la normale N alla superficie formi un angolo con la direzione del campo, si chiama flusso del vettore induzione magnetica attraverso la superficie di area S la grandezza scalare : = BScos() [Wb] chiamata pi semplicemente flusso magnetico. Se poi la superficie S quella delimitata dal perimetro di un circuito elettrico, si parla di flusso concatenato col circuito elettrico c. Siccome, come si vedr pi avanti, nelle applicazioni elettrotecniche si cerca di rendere massimo il flusso concatenato coi circuiti elettrici, si d a questi la forma di avvolgimenti. Si osserva che una linea qualsiasi del campo magnetico concatenata con un circuito elettrico se attraversa un numero dispari di volte la superficie chiusa delimitata dal perimetro del circuito stesso.

Induttanza elettrica di un circuitoE', pi correttamente, chiamata coefficiente di autoinduzione. Rappresenta l'attitudine di un circuito elettrico a concatenarsi col flusso di campo magnetico ac originato dalla corrente elettrica I che percorre il circuito stesso : L = ac / I [H] Tale parametro dipende dalla forma e dalle dimensioni geometriche del circuito elettrico oltre che dalla permeabilit magnetica del mezzo entro il quale si sviluppa il campo magnetico prodotto dalla corrente che percorre il circuito stesso. Tende ad essere grande per i circuiti con forma ad avvolgimento ed avvolti su nuclei ferromagnetici. Ad esempio, per un solenoide rettilineo di lunghezza l superiore di almeno 10 volte del diametro, di sezione S e composto da N spire, l'induttanza vale : L = SN2 / l [H]

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I dispositivi che realizzano valori concentrati elevati di induttanza sono chiamati induttori. Possono essere collegati in serie od in parallelo, se collegati in serie l'induttanza complessiva pari alla somma delle singole induttanze, se collegati in parallelo l'inverso dell'induttanza complessiva pari alla somma degli inversi delle singole induttanze.

Nei circuiti elettrici, il parametro induttanza elettrica viene indicato col simbolo sopra disegnato.

Coefficiente di mutuo accoppiamento tra due circuitiDati due circuiti, il loro coefficiente di mutuo accoppiamento esprime l'attitudine del sistema formato dai due circuiti a far si che il flusso di campo magnetico prodotto dalla corrente che circola nel primo si concateni col secondo e viceversa . Chiamando con c21 il flusso che, originato dalla corrente I2 che circola nel secondo circuito, si concatena col primo circuito e con c12 il flusso che, originato dalla corrente I1 che circola nel primo circuito, si concatena col secondo circuito, si pu scrivere : M = c21 / I2 = c12 / I1 [H] Si osserva che il coefficiente di mutua induzione pu essere sia positivo che negativo, perch il segno dipende dalla relazione esistente tra i flussi generati dai due circuiti in quanto se questi sono concordi M positivo, se questi sono discordi M negativo. Inoltre M non cambia di valore se i due circuiti si scambiano di posto. Il coefficiente di mutua induzione tra due circuiti legato al valore delle rispettive induttanze dalla relazione :

dove k il coefficiente di accoppiamento espresso da un numero positivo compreso tra zero ed uno. Se k = 0 non vi alcun mutuo accoppiamento, se k = 1 vi un accoppiamento perfetto.

Nei circuiti elettrici il simbolo col quale si indica il mutuo accoppiamento quello riportato nella figura sopra disegnata. I puntini neri posti ad una estremit di ciascuno degli avvolgimenti indicano i morsetti corrispondenti del componente, nel senso che il valore di M risulta positivo se la corrente in entrambi gli avvolgimenti entra nel morsetto contraddistinto dal puntino, negativo in caso contrario.

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Legge generale dell'induzione elettromagneticaE' alla base del principio di funzionamento di gran parte delle macchine e applicazioni elettriche (generatori, motori, trasduttori, ecc.) e prende anche il nome di legge di Faraday-Neuman-Lenz. Essa dice che ogniqualvolta varia nel tempo il flusso concatenato con un circuito elettrico, nel circuito elettrico scaturisce una forza elettromotrice indotta di intensit proporzionale alla velocit di variazione del flusso concatenato. Con riferimento ad un intervallo finito di tempo t , il valore medio della f.e.m.i. vale :

Il verso della f.e.m.i. tale da opporsi alla variazione di flusso concatenato che l'ha generata, ovvero se nel circuito, grazie alla ei , pu circolare una corrente essa avr verso tale da dar luogo ad un campo magnetico concorde con quello concatenato che sta variando se questi sta diminuendo, opposto se questi sta aumentando. Se il flusso concatenato che varia quello dovuto alla induttanza stessa del circuito elettrico, si parla di forza elettromotrice autoindotta :

dove la prima espressione da riferirsi ad una variazione di corrente mentre la seconda da riferirsi ad una variazione della forma o della posizione del circuito.

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Grandezze alternate sinusoidaliSono grandezze (nel caso di circuiti elettrici tensioni e correnti) che variano nel tempo secondo la legge: y(t) = YMsen(t + ) rappresentabile anche graficamente:

Si tratta di grandezze periodiche in quanto riassumono sempre lo stesso valore ad istanti di tempo tra di loro intervallati di KT [s] con K = 1 , 2 , ... ove T [s] detto periodo. Si tratta di grandezze alternate in quanto, considerato un intervallo qualsiasi di tempo di ampiezza pari al periodo T , l'area sottesa dalla parte positiva della funzione uguale all'area sottesa dalla parte negativa della funzione. Per tale motivo si dice che il valore medio in un periodo nullo. I valori caratterizzanti di una grandezza che varia sinusoidalmente nel tempo sono: a) Il valore massimo YM ; b) Il periodo T [s] ; c) La frequenza f = 1 / T [Hz] che rappresenta il numero di sinusoidi al secondo; d) La pulsazione:

e) L'argomento iniziale O [rad]; f) Il valore iniziale YO; g) Il valore medio in un semiperiodo:

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che rappresenta l'altezza del parallelogramma di base T / 2 affinch l'area del parallelogramma stesso sia uguale all'area sottesa da un'intera semionda positiva; h) Il valore efficace:

che, matematicamente, ha il significato di radice quadrata del valore medio in un periodo dei quadrati dei valori istantanei (pi avanti esamineremo il suo significato fisico); i) Il fattore di forma:

Grandezze alternate sinusoidali e vettori ruotanti E' possibile creare una corrispondenza biunivoca tra i vettori ruotanti e le grandezze sinusoidali. Questo significa che le grandezze sinusoidali possono essere raffigurate come vettori ruotanti:

, di modulo pari al valore massimo YM della grandezza La figura rappresenta il vettore ruotante sinusoidale, nella posizione che esso assume nell'istante t = 0 [s]. Ad esso corrisponde il valore istantaneo Yo della grandezza sinusoidale che , anche, il valore della proiezione del vettore sull'asse dei valori istantanei. Siccome il vettore ruota in senso antiorario (scelta convenzionale) ad una velocit [rad/s] pari alla pulsazione della grandezza sinusoidale, al generico istante t [s] esso si trover ad aver descritto, rispetto all'asse polare, l'angolo (t + O) e quindi la proiezione del vettore sull'asse dei valori istantanei varr YMsen(t + O) , ovvero y(t). Convenzionalmente, gli angoli si intendono positivi se misurati in senso antiorario.

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La figura sopra mostra la rappresentazione mediante il vettore ruotante di una grandezza sinusoidale che ha un argomento iniziale negativo ( pari a - O ). L'espressione analitica, sul piano di Gauss, del generico vettore ruotante :

Dove ejt il termine che determina la rotazione. Le grandezze sinusoidali (tensioni e correnti) nei circuiti che noi studiamo sono tutte isofrequenziali, questo significa che tutti i vettori ruotanti che le rappresentano ruotano alla medesima velocit angolare [rad/s]. Per tale motivo i vettori ruotanti conservano nel tempo una posizione reciproca costante, quindi sufficiente rappresentarli nella posizione che essi occupano all'istante t = 0 [s]. A questo punto, per rappresentare una grandezza sinusoidale sufficiente un vettore statico e, per il suo trattamento analitico, l'equivalente numero complesso. Nella figura seguente sono rappresentate due grandezze sinusoidali yA(t) ed yB(t) :

yA(t) = YMAsen(t + OA) , yB(t) = YMBsen(t + OB) ed che sono riportati su di un unico piano di Gauss essendo mediante i corrispondenti vettori le due grandezze sinusoidali isofrequenziali (stessa pulsazione ). Nella rappresentazione omessa l'informazione riguardante il fatto che i vettori sono ruotanti e gli stessi sono riportati nella posizione36

assunta all'istante t = 0 [s]. Il piano di Gauss il luogo ove rappresentare in forma grafica i numeri complessi, pi precisamente l'ascissa diventa l'asse dei valori reali Re mentre l'ordinata diventa l'asse dei valori immaginari Im. Gli angoli OA ed OB sono gli argomenti iniziali delle grandezze sinusoidali, servono per orientare i vettori rappresentativi delle grandezze sinusoidali sul piano di Gauss e vengono riportati a partire dal semiasse reale positivo seguendo la nota convenzione secondo la quale gli angoli si intendono positivi se misurati in senso antiorario (convenzione che discende direttamente da quella, gi dichiarata, per la quale il verso di rotazione dei vettori ruotanti antiorario). L'angolo AB rappresenta lo sfasamento tra la grandezza sinusoidale yA(t) e la yB(t). Analiticamente si ha: AB = OA - OB , BA = OB - OA , AB = - BA Forme rappresentative per i numeri complessi, operazioni Vediamo ora in quali forme si pu rappresentare un numero complesso che, analiticamente, raffigura un vettore giacente sul piano di Gauss. Inoltre prenderemo in considerazione alcune delle operazioni che si possono eseguire sui numeri complessi. Quanto segue si limita a quelle poche informazioni direttamente utili nell'analisi dei circuiti elettrici in corrente alternata sinusoidale, una trattazione pi completa e rigorosa dei numeri complessi viene fatta nel corso di matematica.

a) Forma algebrica : ove a la parte reale, jb la parte immaginaria. I valori di a , b sono numeri reali (quindi possono essere sia positivi che negativi). Tale forma utile nel caso si debba eseguire la somma di due numeri complessi:

ove Y il modulo ed l'argomento. Il modulo un numero reale sempre b) Forma polare : positivo, mentre l'argomento l'angolo misurato tra il semiasse reale positivo ed il vettore e, quindi, positivo se misurato in senso antiorario, negativo se misurato in senso orario. Tale forma utile nel caso si debba eseguire il prodotto od il quoziente tra due numeri complessi:

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Per convertire dalla forma algebrica (detta anche rettangolare) alla forma polare:

Per convertire dalla forma polare alla forma algebrica:

c) forma trigonometrica : d) forma esponenziale :

con ovvio significato. che deriva dalla formula di Eulero per la quale si ha:

Tale forma particolarmente utile nel caso in cui il numero complesso debba rappresentare un vettore ruotante (come accade per le grandezze sinusoidali quando non si voglia omettere l'informazione riguardante la pulsazione); infatti se la velocit angolare si ha:

Significato fisico del valore efficace Nella figura riportata sopra sono rappresentate le funzioni i(t) ed [i(t)]2 . La prima esprime una corrente sinusoidale i(t) = IMsen(t) [A] mentre la seconda esprime i quadrati della prima.

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La funzione [i(t)]2 di tipo periodico, sempre positiva, di frequenza doppia rispetto ad i(t) , ma non una funzione sinusoidale. Tale funzione ha un valore massimo pari a IM2 ed un valore medio che, per evidenti motivi di simmetria, vale IM2/2. La definizione matematica data al valore efficace di una grandezza sinusoidale porta ad affermare che il valore efficace della i(t) vale:

come gi si sapeva. Per capire il significato fisico del valore efficace di una corrente, immaginiamo che la corrente sinusoidale i(t) percorra una resistenza di valore R []. Nell'intervallo di tempo infinitamente piccolo dt [s] (vedi figura) si pu ritenere che la corrente abbia un valore costante pari ad i [A] e che l'energia dissipata per effetto Joule nella resistenza valga [J]. La quantit dA = i2 dt [A2s] 2 corrisponde all'area del rettangolo di base dt e di altezza i . Se ora si immagina di considerare il numero infinito di intervalli dt [s] presenti nell'intervallo finito T [s] pari al periodo, evidente che la somma degli infiniti termini dA verr a coprire un'area coincidente con l'area A sottesa dalla funzione [i(t)]2 nell'intervallo di tempo pari a T [s], area che legata al valore medio della [i(t)]2 dalla relazione:

L'energia dissipata nel tempo pari a T [s] si pu quindi scrivere:

Osservando che:

si avr W = RI2T [J] ovvero il valore efficace I [A] della corrente sinusoidale responsabile, attraverso il suo quadrato, dell'energia dissipata nel tempo T [s] attraverso la resistenza R []. Esattamente la stessa espressione si sarebbe ottenuta qualora si fosse dovuto calcolare la potenza dissipata nel tempo T [s] attraverso la resistenza R [] da una corrente continua di intensit I [A]. Si pu dire che il valore efficace di una corrente sinusoidale rappresenta quella intensit di corrente continua che, in pari tempo, produce i medesimi effetti termici. Esattamente la stessa cosa si pu dire per il valore efficace della tensione e sia le correnti che le tensioni sinusoidali vengono sempre comunicate mediante il loro valore efficace.

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Circuito puramente resistivo in regime sinusoidale, potenza attiva E' cos chiamato un circuito totalmente privo di effetti d'autoinduzione dovuta a campi magnetici variabili e di accumulo di carica dovuta a campi elettrici.

Sollecitando la resistenza R [] con una corrente sinusoidale i(t) [A] si avr (legge di Ohm) per ogni istante t ai capi della resistenza una caduta di tensione pari a v(t) = Ri(t) [V] pure essa sinusoidale, di eguale pulsazione, di eguale argomento iniziale e di valore massimo VM = RIM [V]. Per quanto riguarda i valori efficaci si avr la relazione V = RI [V]. Siccome gli argomenti iniziali della tensione e della corrente sono gli stessi, si suole dire che esse sono tra di loro in fase.

Facendo riferimento ad una corrente sinusoidale qualsiasi, per l'espressione ai valori istantanei si avranno le seguenti relazioni: i(t) = IMsen(t + O) , v(t) = VMsen(t + O) [A] Per l'espressione simbolica si avr:

Per quanto riguarda la potenza, applicando la legge di Joule in ogni istante t si pu calcolare come varia la potenza istantanea p(t) facendo il prodotto dei valori istantanei i(t) e v(t).

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Dal grafico che cos si ottiene si osserva che la potenza p(t) una grandezza periodica (non sinusoidale) pulsante, sempre maggiore di zero,di frequenza doppia di quella della corrente. Sempre dal grafico si pu osservare che il valore medio P [W] della p(t) la met del suo valore massimo PM , ovvero:

L'area sottesa dalla forma d'onda di p(t) rappresenta in un determinato intervallo di tempo l'energia ( [W][s] = [J] ) e tale energia sempre positiva, questo significa che nella resistenza avviene una trasformazione di energia sempre nel senso energia elettrica calore. Per tali motivi P prende il nome di potenza attiva (cio ad essa corrisponde una effettiva trasformazione di energia). Ricordando la legge di Ohm, la potenza attiva si pu anche calcolare con le relazioni:

Circuito puramente induttivo in regime sinusoidale E' tale un circuito totalmente privo di resistenza ohmica e di accumulo di carica dovuto a campi elettrici. L'unico parametro elettrico che caratterizza un circuito puramente induttivo perci la sua induttanza. L'induttanza (chiamata pure coefficiente di autoinduzione) definita dal rapporto tra il flusso di campo magnetico (originato dalla corrente che percorre il circuito) che si concatena col circuito e la corrente che percorre il circuito stesso:

Il valore di induttanza di un circuito dipende dalla geometria del circuito e dalla permeabilit magnetica del mezzo che circonda il circuito: se queste sono costanti, l'induttanza costante. Per tale motivo, l'induttanza di un circuito avvolto su di un nucleo ferromagnetico non costante ma varia al variare della corrente nel circuito in quanto al variare della corrente varia il campo magnetico e, con esso, la permeabilit (noi, comunque, considereremo costante l'induttanza). Invece, l'induttanza di un circuito in aria rigorosamente costante essendo costante la permeabilit magnetica dell'aria.

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Si supponga di avere un circuito puramente induttivo, di induttanza costante L [H], percorso da una corrente sinusoidale i(t) = IMsen(t) [A]. A causa dellinduttanza L, si autoconcatener col circuito un flusso:

C(t) = Li(t) = LIM sen(t) = ACM sen(t) [Wb] con ACM = LIM [Wb]. Ovviamente tale AC(t) , essendo proporzionale in ogni istante alla corrente, varier esso pure nel tempo con legge sinusoidale. Per via della legge generale dell'induzione elettromagnetica, la variazione nel tempo del flusso autoconcatenato produrr una forza elettromotrice autoindotta di valore:

che gode delle seguenti propriet: a) eai(t) proporzionale alla rapidit con cui varia il flusso concatenato nel tempo; b) eai(t) ha in ciascun istante un verso tale da opporsi alla causa che la genera, perci sar contraria alla corrente quando questa aumenta facendo aumentare AC(t) , mentre avr lo stesso verso della corrente quando questa diminuisce facendo diminuire AC(t). Dal secondo punto si determina immediatamente il segno della f.e.m.a.i., dal primo punto si determina la sua intensit che nulla quando la pendenza della i(t) , e quindi di AC(t) , nulla (vedi gli istanti T/4 , 3T/4 ), mentre massima quando la pendenza della i(t) , e quindi di AC(t) , massima (vedi gli istanti 0 , T/2 ,T ). Il risultato che si ottiene una f.e.m.a.i. sinusoidale ed in ritardo di un quarto di periodo (ovvero /2 ) rispetto sia al flusso che alla corrente:42

Inoltre, qualitativamente, si pu pure affermare che il valore massimo di f.e.m.a.i. sar tanto pi grande quanto pi grande il valore massimo del flusso e quanto pi rapida la variazione di AC(t) nel tempo (cio quanto pi grande la sua pulsazione ): Abbiamo fino ad ora dedotto quanto vale la f.e.m.a.i. dovuta ad una corrente sinusoidale circolante in un circuito puramente induttivo, supponiamo ora che la corrente i(t) venga impressa nel circuito puramente induttivo da un generatore sinusoidale.

Applicando la legge di Ohm generalizzata all'intero circuito (generatore pi resistenza) e facendo riferimento ai valori istantanei si deduce che dovr essere in ogni istante nulla la somma algebrica della tensione vL(t) ai capi dell'induttanza e della forza elettromotrice indotta eai(t) : cio la tensione vL(t) in ogni istante uguale ed opposta alla f.e.m.a.i. eai(t). Ci significa (vedi anche il grafico): dove ovviamente VLM = EaiM. Confrontando con i(t), si dir che la tensione vL(t) ai capi dell'induttanza in anticipo di /2 ed il suo valore massimo vale.

Passando dall'espressione delle grandezze sinusoidali nella forma di valori istantanei alla forma simbolica (vettori ruotanti e relativi numeri complessi) quanto ottenuto pu essere cos riassunto:

con AC = LI [Wb] (AC ed I valori efficaci ).

con Eai = VL = LI [V].

43

La quantit:

chiamata reattanza induttiva ed ha le dimensioni di una resistenza. La quantit

chiamata reattanza induttiva immaginaria ed un operatore vettoriale in quanto se applicato al numero complesso rappresentante la corrente fornisce il numero complesso rappresentante la tensione ai capi dell'induttanza:

La figura riportata sopra mostra le varie grandezze sinusoidali prese fino ad ora in considerazione rappresentate sul piano di Gauss. Circuito puramente capacitivo in regime sinusoidale E' cos chiamato un circuito totalmente privo di resistenza ohmica e di effetti d'autoinduzione dovuti a variazioni di campi elettromagnetici. L'unico parametro elettrico che caratterizza un circuito puramente capacitivo la sua capacit elettrica. La capacit del circuito rappresenta l'attitudine del circuito ad accumulare carica elettrica quando nel dielettrico circostante sia presente un campo elettrico. Se V la d.d.p., Q la carica accumulata, C la capacit elettrica, si ha:

Al fine di dedurre il comportamento della capacit in regime sinusoidale, importante ricordare il fenomeno della carica e della scarica del condensatore facendo particolare attenzione al verso della corrente i(t) e della tensione vC(t) ai capi del condensatore:

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N.B.: l'istante t = 0 [s] coincide, sia per la carica che per la scarica all'istante di chiusura dell'interruttore nel relativo circuito. Le varie funzioni vC(t) ed i(t) sia nella carica che nella scarica sono di tipo esponenziale, con costante di tempo pari a RC [s] e quindi con un tempo d'esaurimento pari a circa 5RC [s]. Nel caso di circuito in corrente continua, in ogni caso, una volta esauritosi il transitorio la corrente nel circuito identicamente nulla in quanto il condensatore costituisce a regime un'interruzione del ramo ove si trova inserito. Supponiamo ora di avere un condensatore di capacit C, inizialmente scarico, collegato ai morsetti di un generatore di tensione sinusoidale v(t). Vediamo di ricavare qualitativamente l'andamento della corrente. Le considerazioni che seguono sono conseguenti al fatto che: a) durante gli intervalli di carica la corrente deve avere lo stesso verso (segno) della tensione, mentre durante gli intervalli di scarica la corrente opposta alla tensione; b) la corrente ha modulo massimo quando inizia la carica, nullo quando la tensione di carica raggiunge il massimo.

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Nel primo quarto di periodo (1), avendosi un intervallo di carica la tensione aumenta positivamente da zero al valore massimo VCM , il condensatore deve corrispondentemente assorbire una corrente di carica positiva, la quale parte dal suo valore massimo IM e va poi gradatamente diminuendo fino a ridursi a zero nell'istante in cui il condensatore raggiunge il suo stato di massima carica. Nel secondo quarto di periodo (2), trattandosi di un intervallo di scarica la tensione alle armature diminuisce da VCM a zero, il condensatore dovr corrispondentemente scaricarsi mediante una corrente analoga alla precedente ma di verso (segno) opposto e perci negativa. Nel terzo quarto di periodo (3), trattandosi di un intervallo di carica di segno opposto a quello della fase (1), la tensione alle armature aumenter da zero a -VCM ed il condensatore sar interessato da una corrente di carica che varier da -IM a zero. Nell'ultimo quarto di periodo (4), trattandosi di un intervallo di scarica la tensione alle armature diminuir in valore assoluto da |-VCM| a zero e la corrente dovr variare analogamente a quanto avvenuto nell'intervallo (3) ma con verso (segno) opposto. E' importante osservare che la tensione ai capi del condensatore obbligata ad essere uguale a quella sinusoidale del generatore, cio deve essere v(t) = vC(t) e che la corrente, sia durante gli intervalli di carica che di scarica, non potr variare con legge esponenziale essendo sia la carica che la scarica non libere ma vincolate dalla tensione sinusoidale presente ai capi del condensatore. Quindi anche la corrente i(t) sar sinusoidale. Si riconosce in tal modo che mentre la tensione alle armature del condensatore varia secondo la funzione sinusoidale vC(t) , la corrente attraverso il condensatore varia secondo una funzione i(t) pure sinusoidale, ma sfasata di un quarto di periodo in anticipo rispetto alla tensione. In forma analitica: vC(t) = VCMsen(t) [V] , i(t) = IMsen(t + /2) [A] Si pu poi dimostrare che IM = CVCM [A] ed analoga relazione vale per i valori efficaci. Intuitivamente si pu infatti osservare che tanto pi grandi sono C e VCM , tanto pi grande sar la quantit di carica accumulata sulle armature del condensatore. Inoltre la variazione nel tempo della quantit di carica accumulata rappresenta l'intensit della corrente e, perci, se elevato sar pi grande la corrente essendo pi grande la variazione di carica nel tempo. Passando dall'espressione delle grandezze sinusoidali nella forma di valori istantanei alla forma simbolica (vettori ruotanti e relativi numeri complessi) quanto ottenuto pu essere cos riassunto:

con VC [V] ed I [A] valori efficaci.

La quantit:46

chiamata reattanza capacitiva ed ha le dimensioni di una resistenza. La quantit

chiamata reattanza capacitiva immaginaria ed un operatore vettoriale in quanto se applicato al numero complesso rappresentante la corrente fornisce il numero complesso rappresentante la tensione ai capi del condensatore:

La figura riportata sopra mostra le varie grandezze sinusoidali prese fino ad ora in considerazione rappresentate sul piano di Gauss. Complementi matematici Nelle dimostrazioni delle relazioni tra tensione e corrente in regime sinusoidale per le induttanze e le capacit abbiamo fatto ampiamente ricorso all'intuito. Dimostrazioni analiticamente rigorose si possono fare solo conoscendo l'operazione di derivazione rispetto al tempo di una funzione, argomento che si affronter in matematica nel corso del quarto anno. A titolo di complemento anticipiamo quanto sar comprensibile solo il prossimo anno: Induttanza

capacit

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Impedenza elettrica, triangolo delle potenze Si tratta di un operatore vettoriale (quindi una grandezza complessa, non una grandezza variabile sinusoidalmente nel tempo) cos definito:

L'impedenza riassume la resistenza e la reattanza complessive di un ramo infatti se la pulsazione della tensione alternata sinusoidale applicata al ramo, si ha:

Il modulo dell'impedenza vale ovviamente:

mentre il suo argomento vale:

e tale argomento coincide con lo sfasamento tra la tensione che percorre l'impedenza. Le potenze che riguardano l'impedenza sono: potenza attiva :

applicata all'impedenza e la corrente

P = VIcos(V,I) = RI2 [W] potenza reattiva, da considerarsi induttiva se positiva, da considerarsi capacitiva se negativa : Q = VIsen(V,I) = (XL - XC)I2 [VAR]

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modulo potenza apparente, che riassume le prime due :

potenza apparente complessa (

il coniugato di

):

Le tre potenze di cui sopra si possono riassumere nel seguente triangolo delle potenze:

per il quale valgono le seguenti relazioni:

Ammettenza elettrica E' un operatore vettoriale definito come l'inverso dell'impedenza:

La parte reale dell'ammettenza chiamata conduttanza, la parte immaginaria chiamata suscettanza. L'ammettenza, la conduttanza e la suscettanza si misurano in siemens, [-1] = [S]. Si dimostra facilmente che il modulo dell'ammettenza pari all'inverso del modulo dell'impedenza, mentre l'argomento dell'ammettenza l'opposto dell'argomento dell'impedenza. L'operatore vettoriale ammettenza pu essere usato per la risoluzione delle reti elettriche. La legge di Ohm diventa:

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La serie di pi ammettenze si calcola con l'espressione:

mentre il parallelo di pi ammettenze si calcola con l'espressione:

Vediamo ora la trasformazione serie-parallelo dei parametri di una impedenza:

Perch i due circuiti siano equivalenti, quando vengono sottoposti alla stessa tensione devono assorbire la stessa corrente. Quindi sar:

da cui:

Si osserva che i parametri parallelo dell'impedenza altro non sono che l'inverso della conduttanza e della suscettanza dell'ammettenza equivalente all'impedenza data.

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SISTEMI ELETTRICI TRIFASI IntroduzioneIl sistema trifase una rete alimentata da tre generatori di tensione alternata isofrequenziali. Ad essa si deve, quasi integralmente, la produzione, la trasmissione e la distribuzione dellenergia elettrica. Le ragioni stanno nella semplicit costruttiva ed efficienza di generatori e motori, ed anche nel risparmio di rame che si ottiene con una linea trifase rispetto ad una monofase di ugual potenza.

Generatori trifasi simmetriciUn sistema trifase simmetrico quando i tre generatori hanno la stessa frequenza, il medesimo valore efficace e fasi che differiscono di 120 elettrici. Fissati arbitrariamente ingresso ed uscita di un generatore, l'ingresso e l'uscita dei due rimanenti sono determinati dalle condizioni fissate per la simmetria. Siano per noi 1,2, 3 le uscite, 1', 2', 3' gli ingressi. Per un sistema simmetrico la somma vettoriale delle tensioni nulla come si pu verificare sia graficamente che analiticamente (vedi fig ST.3) E11'+E22'+E33'=0 ST. 1

Collegamento a stella dei generatoriI tre generatori possono essere collegati a stella, unendo tra loro, ad esempio, gli ingressi.

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fig. ST. 1Alle uscite sono collegati tre fili, indicati con R, S, T (fig. ST.1), che costituiscono la linea trifase. Derivando un ulteriore filo dal punto comune, si ha una linea trifase a quattro fili. Il nuovo filo, indicato con N, chiamato neutro. Nella figura il neutro tracciato con il colore blu chiaro, per ricordare la prescrizione delle Norme CEI 64.8 che impone l'isolante di tale colore.

Collegamento a triangolo dei generatoriI tre generatori, possono essere collegati a triangolo, unendo gli ingressi di un generatore con l'uscita del generatore la cui fase ritarda di 120 . Dai punti di collegamento (1-3', 2-1', 3-2') sono derivati i tre fili che costituiscono la linea trifase. Il collegamento a triangolo chiude una maglia, ma se, come ipotizzato, le tensioni sono simmetriche, la loro somma vettoriale nulla: nella maglia (il triangolo, essendo tre i suoi rami) non circola alcuna corrente.

fig. ST. 2

Osservazioni Si chiamano grandezze di fase le tensioni ai capi dei generatori e le correnti circolanti in essi; grandezze di linea sono le correnti nei fili di linea e le tensioni tra di essi, dette anche concatenate. Un sistema trifase sempre definito dalla tensione concatenata. Nelle figure ST.1 ed ST.2 le correnti di fase sono indicate con Ifi, le correnti di linea con Ili, le tensioni di fase con Eii', le tensioni di linea con Uij: i pedicii, i, j assumono i valori 1,2,3. Nel collegamento a stella con quattro fili sono disponibili due terne di tensioni: quelle concatenate e quelle di fase, nel collegamento a triangolo disponibile la sola terna di tensioni concatenate. Esiste comunque un punto comune a cui possono essere riferiti i potenziali dei tre fili di linea: il centro stella ideale del sistema (indicato con T nella figura)

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Diagrammi vettorialiLa figura ST.3 rappresenta il diagramma vettoriale delle tensioni di fase ( o stellate) e di linea (o concatenate) con generatori collegati a stella e con il filo neutro. Sono anche indicati i numeri complessi in forma polare dei vettori rappresentativi delle tensioni. Il valore efficace della tensione dei generatori indicato con E. Il piano di Gauss ( o dei numeri complessi) scelto (arbitrariamente) in modo che l'asse immaginario Im coincida in direzione e verso con la tensione E11'. NB:nelle formule delle figura con i diagrammi, sono usati gli operatori complessi =ej120 ed 2=ej240, (che non sono altro che i numeri complessi 1/120, 1/240). Essi, moltiplicati per un vettore lo fanno ruotare, rispettivamente, di 120 e 240 in senso antiorario. Le tensioni concatenate si ricavano con il secondo principio di Kirchhoff.

fig. 8. 3Esse sono la differenza vettoriale di due tensioni di fase. Per il sistema simmetrico, il loro valore efficace si ottiene moltiplicando la tensione di fase E per la radice quadrata di tre.

ST. 2

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Le tensioni concatenate costituiscono una terna simmetrica ruotata di 30 in anticipo rispetto alle tensioni stellate. Le correnti di linea coincidono con le correnti di fase:ILi=Ifi

Il diagramma vettoriale di fig. ST.4 tracciato per i generatori collegati atriangolo.

fig. ST. 4 Le tensioni concatenate coincidono con le tensioni di fase, quindi si ha

Uij=Eii'

ST. 3.

Le correnti di linea sono la differenza vettoriale di due correnti di fase. Se il carico che le determina equilibrato, cio se le tre impedenze che lo costituiscono sono identiche, il valore della corrente di linea si ottiene moltiplicando per la radice quadrata di tre il valore della corrente di fase. Considerando il centro stella ideale del sistema, indicato con la lettera T, il diagramma lo stesso di quello che si ottiene con tre generatori a stella la cui tensione quella dei generatori effettivi diviso la radice quadrata di tre e le cui fasi sono anticipate di 30. La terna a stella pu sostituire la terna dei generatori a triangolo. E' ci che si fa quando si ricorre al circuito monofase equivalente.

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Stella di impedenzeTre impedenze a stella costituiscono un carico trifase che pu essere alimentato da una linea trifase a tre o a quattro fili. Se le tre impedenze sono uguali il carico si dice equilibrato. Considereremo carichi equilibrati alimentati da sistemi simmetrici.

fig. ST. 5Nel collegamento a stella le correnti di linea sono uguali alle correnti di fase, Ili=Ifi ST. 4

mentre le tensioni di fase, cio le tensioni ai capi delle impedenze, (indicate con Uzi), coincidono con le tensioni stellate o, ci che lo stesso, le tensioni dei fili di fase rispetto al neutro (indicate con EiN):UZi=EiNed sempre U=3*E (U=1,73.E) dove U il valore efficace della tensione di linea ed E quello della tensione di fase.

fig. ST. 655

Le correnti di linea (e di fase) formano una terna di vettori uguali tra loro e sfasati di 120, ruotata rispetto alla terna delle tensioni di fase dell'angolo pari all'argomento delle impedenze. La loro somma vettoriale, che corrisponde alla corrente nel neutro, nulla. Togliendo il filo neutro nulla cambia. Sia con tre che con quattro fili, per il calcolo delle correnti di linea, si opera come in un circuito monofase di impedenza Z alimentato dalla tensione stellata.

Triangolo di impedenzeTre impedenze collegate a triangolo costituiscono un carico trifase che pu essere alimentato da una linea trifase a tre fili. Le tensioni di linea siano, per ipotesi simmetriche. I fili di linea sono collegati ai punti comuni a due impedenze consecutive. In questo collegamento le tensioni di fase coincidono con le tensioni concatenate, Uzi=Uij (j=i+1) ST. 5

mentre le correnti di linea sono la differenza vettoriale di due correnti di fase. Ili=Ifi-Ifj (j=i-1) ST.6

fig. ST. 7

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fig. ST. 8 Se si trasforma il triangolo nella stella equivalente, il calcolo per delle correnti di linea quello del collegamento a stella: ci si pu perci sempre riferire allo schema di fig. ST.9

fig. ST. 9detto Monofase equivalente :il generatore ha il valore della tensione stellata, mentre l'impedenza quella di un ramo della stella equivalente. Infatti, sempre con riferimento al diagramma vettoriale, si pu calcolare IL1 con la formula vista in precedenza. Le altre due si ottengono sfasandole rispetto a questa di +120 e - 120.

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ELEMENTI DI SICUREZZA ELETTRICAEFFETTI DELLA CORRENTEELETTRICA SUL CORPO UMANO 1. IL CONTATTO ELETTRICO Il contatto elettrico fra l'uomo e le parti attive di un impianto o apparecchiatura elettrica, pu essere di tipo diretto o di tipo indiretto. Definiamo contatto diretto, il contatto con parti metalliche normalmente in tensione. Tale contatto generalmente risulta non intenzionale ma non da escludere, a volte, la volontariet da parte di persone non professionalmente addestrate o competenti in materia. Definiamo contatto indiretto, il contatto con parti normalmente non in tensione ma che possono, in caso di guasto o cedimento dell'isolamento, trovarsi in tensione; il tipico caso dell'involucro metallico di un elettrodomestico o dell'impugnatura di un untensile elettrico portatile, ecc. Per il contatto indiretto non ha alcun senso parlare di volontariet da parte di un mal capitato.

Fig. 1 Comunque sia il tipo di contatto elettrico, il corpo umano, o animale in genere, subisce il fenomeno dello shock elettrico, pi semplicemente detto elettrocuzione o folgorazione, cio risulta essere sottoposto al passaggio della corrente elettrica che da luogo a fenomeni elettrofisiologici variabili le cui conseguenze possono essere a volte anche letali fino alla morte. In Italia muoiono per infortuni elettrici centinaia di persone l'anno e il caso pi ricorrente proprio il contatto diretto, rappresentante ben due terzi del totale, particolarmente su prese a spina e condutture.

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2. MORFOLOGIA CELLULARE. Ogni attivit biologica presenta modifiche pi o meno rilevanti di potenziale elettrico. La singola cellula, del diametro di alcune centinaia di micron (un milionesimo di metro), mantiene una differenza di potenziale fra la parte interna e la parte esterna della menbrana che la racchiude (fig. 2).

Fig. 2 In Fig. 2 la membrana cella cellula organica, spessa alcuni micron, posta in equivalenza con un circuito elettrico, formato da un condensatore (C), una batteria di polarizzazione (E) e da una resistenza (R ). La membrana funge da filtro, provvedendo all'assunzione dall'esterno degli elementi nutritivi necessari alla cellula ed alla escrezione degli elementi di rifiuto; tale scambio determina la formazione di opposti stati di polarizzazione, separati dal dielettrico "membrana". Stimoli di origine chimica, meccanica, termica e soprattutto elettrica, possono turbare lo stato di riposo in cui si trova la cellula, inducendola allo stato di azione che si manifesta con una mutata distribuzione di cariche elettriche all'interno ed all'esterno della membrana. In particolare, durante lo stato di eccitamento, la parte interna della cellula viene ad assumere un potenziale positivo rispetto alla parte esterna, per ritornare poi allo stato negativo una volta cessato lo stimolo. Le attivit biologiche di vita, sono governate quindi da fenomeni di natura elettrica comandati dal cervello attraverso le fibre nervose che si estendono in tutto il corpo con la funzione di conduttori, soggetti ad impulsi di una certa intensit. Tali impulsi sono ben definiti e rilevabili dai misuratori comunemente utilizzati in medicina quali gli elettroencefalogrammi elettrocardiogrammi ed altri ancora che documentano graficamente gli andamenti dei relativi organi vitali allo scopo di verificarne la loro funzionalit.

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Gli effetti del passaggio della corrente nel corpo umano sono basati su osservazioni cliniche di defunti per elettrocuzione nonch con esperimenti su persone vive "consenzienti" ad essere sottoposte al transito di brevi e leggere scosse elettriche. Principalmente per le prove sono state fatte su animali quali, pecore, maiali, pony, montoni, ecc. estrapolando poi i risultati all'uomo. La sintesi degli studi e ricerche dell'ampio lavoro internazionale, durato anni e svolto in America Europa - Australia contenuta nella pubblicazione CEI (Comitato Elettrotecnico Italiano), numero 1355 P dell'aprile 1990, basata sui rapporti IEC (International Electrical Committee) n. 479-1 e n. 479-2 della Commissione Elettrotecnica Internazionale. Tale fascicolo ha valore di GUIDA utilizzabile per la definizione dei requisiti di sicurezza elettrica in generale e pu