LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI

MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi1

Appunti ed esercizi su:

derivate, grafici e studio di funzione

6 dicembre 2010

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Indice

1 Derivate 3

1.1 Esercizi di carattere teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Vero o falso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Relazione tra aspetti grafici ed analitici . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Date alcune condizioni, individuare il grafico . . . . . . . 5

1.2.2 Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile . . 8

1.2.3 Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, sec-onda etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Dato il grafico, individuare/scegliere unespressione ana-litica plausibile per f

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5 Dato il grafico, determinare il segno della funzione, delladerivata prima e seconda in un punto . . . . . . . . . . . 13

1.2.6 Dato il grafico, determinare il segno di derivata prima eseconda in un intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.7 Dato il grafico della funzione, determinare il grafico delladerivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Elenco delle tabelle

1.1 Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto intervallo elandamento della funzione in tale intervallo. . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto x0 e latipologia di punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Relazione tra grafico di una funzione e caratteristiche della suaderivata (simili considerazioni possono essere applicate se la fun-zione, anziche crescere, cala). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Relazione tra punti di interesse particolare per funzione, derivataprima, derivata seconda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

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2 ELENCO DELLE TABELLE

1.5 Tabella relativa allesercizio 1 della sezione 1.2.5 (vedi grafico1.7(a).) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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Capitolo 1

Derivate

Richiami di teoria

Segno delle derivate e grafico della funzione

Segno delle derivate in un intervallo

La relazione tra il segno delle derivate e landamento di una funzione in unintervallo, e sintetizzata nella figura 1.1 e nella tabella 1.1.

Segno delle derivate in un punto e punti notevoli

La relazione tra il segno delle derivate e la tipologia di punto, e sintetizzata nellafigura 1.2 e nella tabella 1.2.

Relazioni tra aspetti analitici e grafici: approfondimenti

E possibile analizzare in maggior dettaglio le relazioni che sussistono tra fun-zione, derivata prima e seconda e grafico della funzione.La relazione tra funzione e derivata e sintetizzata nella tabella 1.3.La relazione tra i punti di particolare interesse per la funzione e le sue derivate(prima e seconda) e sintetizzata in tabella 1.4.

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4 CAPITOLO 1. DERIVATE

Tabella 1.1: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto intervallo e landamentodella funzione in tale intervallo.

sgn f(x) sgn f

(x) monotona concavita grafico

+

+ crescente verso lalto 1.1(a)

0 crescente nulla (retta) 1.1(b)

crescente verso il basso 1.1(c)

0 0 costante nulla (retta) 1.1(d)

-

+ decrescente verso lalto 1.1(e)

0 decrescente nulla (retta) 1.1(f)

decrescente verso il basso 1.1(g)

1.1 Esercizi di carattere teorico

1.1.1 Vero o falso

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.Nel caso in cui unaffermazione sia falsa, provarlo con un controesempio.

1. Se in un punto x = x0 una funzione e continua, allora sara derivabile inquel punto.

2. Se in un punto x = x0 una funzione non e derivabile, allora non saracontinua in quel punto.

3. Per una certa funzione, risulta che f(x1) > f

(x2). Allora in x = x1 la

funzione varra piu che in x = x2.

4. Il fatto che la derivata prima di una funzione sia positiva in un certo puntonon implica che la funzione sia positiva in quel punto.

5. Il grafico della derivata f

di una certa funzione f e una retta orizzon-tale nellintervallo [3, 7]. Allora la funzione f e una retta obliqua in taleintervallo.

6. Il grafico della derivata f

di una certa funzione f e una retta obliquanellintervallo [3, 7]. Allora la funzione f e una retta orizzontale in taleintervallo.

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1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 5

(a) f> 0; f

> 0 (b) f

> 0; f

= 0 (c) f

> 0; f

< 0

(d) f

= 0; f

= 0

(e) f< 0; f

> 0 (f) f

< 0; f

= 0 (g) f

< 0; f

< 0

Figura 1.1: Comportamento di una funzione in un dato punto.

1.2 Relazione tra aspetti grafici ed analitici

1.2.1 Date alcune condizioni, individuare il grafico

Nota: I seguenti esercizi vanno svolti procedendo per esclusione, ovvero comesegue:

Si considera il primo grafico e si controllano, relativamente ad esso, le variecondizioni

Condizione 1:

Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo Vale: si passa alla condizione successiva

Condizione 2:

Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo Vale: si passa alla condizione successiva

. . . per le altre condizioni

Se il primo grafico soddisfa tutte le condizioni, e quello corretto; altrimentisi passa al grafico 2 e si ripete la procedura illustrata sopra.

. . .

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6 CAPITOLO 1. DERIVATE

Tabella 1.2: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto x0 e la tipologia di punto.

sgn f(x0) sgn f

(x0) tipo punto grafico

+

+ / 1.2(a)

0 flesso a tangente obliqua ascendente 1.2(b)

/ 1.2(c)

0

+ minimo 1.2(d)

0 flesso a tangente orizz. 1.2(e)

massimo 1.2(f)

-

+ / 1.2(g)

0 flesso a tangente obliqua discendente 1.2(h)

/ 1.2(i)

Si continuano a scorrere i grafici fino ad individuare quello corretto

La procedura appena proposta e di tipo algoritmico; con un po di esperienza,e possibile applicarla in modo piu flessibile.

Esercizio 1

Di una data funzione si sa che:

f < 0 in (3,+);

f = 0 in x = 3;

f non e derivabile in x = 3.

Stabilire quale, fra i grafici in figura 1.3, rappresenta tale funzione.

Esercizio 2

Di una data funzione si sa che:

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1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 7

Tabella 1.3: Relazione tra grafico di una funzione e caratteristiche della sua derivata (similiconsiderazioni possono essere applicate se la funzione, anziche crescere, cala).

Funzione f Derivata f

e costante vale zero

cresce poco ha valori piccoli

cresce molto ha valori grandi

cresce sempre meno e positiva, ma calante

cresce di piu e positiva e crescente

e una retta obliqua e una retta orizzontale

cresce verso asintoto orizzontale tende a zero

cresce verso asintoto obliquo tende ad asintoto orizzontale

cresce verticalmente ha asintoto verticale

Tabella 1.4: Relazione tra punti di interesse particolare per funzione, derivata prima,derivata seconda.

Funzione f Derivata f

Derivata seconda f

asintoto verticale asintoto verticale asintoto verticale

estremante (min o max) vale zero non zero

flesso obliquo non zero vale zero

cuspide discontinua continua

punto angoloso discontinua discontinua

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8 CAPITOLO 1. DERIVATE

(a) f> 0; f

> 0 (b) f

> 0; f

= 0 (c) f

> 0; f

< 0

(d) f

= 0; f> 0 (e) f

= 0; f

= 0 (f) f

= 0; f

< 0

(g) f< 0; f

> 0 (h) f

< 0; f

= 0 (i) f

< 0; f

< 0

Figura 1.2: Comportamento di una funzione in un dato punto.

f > 0 in (, 1) e f < 0 in (1, 2);

f e discontinua in x = 4;

f (x) = 1 in (4,+).

Stabilire quale, fra i grafici in figura 1.4, rappresenta tale funzione.

1.2.2 Date alcune condizioni, inventare un grafico plausi-bile

Esercizio 1

Rappresentare graficamente funzioni che soddisfino le condizioni seguenti:

f sia positiva in x = 4 e abbia in tale punto la derivata prima positiva ela derivata seconda negativa;

f sia negativa in (,4) e positiva in (4,+) ed inoltre valga f(5) 0 in (B,+);

3. f(A) < f

(C);

4. x = B e un punto di non derivabilita;

5. x = B e un punto di cuspide;

6. Il grafico di f

sara discontinuo in x = B.

Esercizio 3

Facendo riferimento al grafico rappresentato in 1.5(c), stabilire se le seguentiaffermazioni sono vere o false:

1. Il grafico di f(x) sara una retta orizzontale in (A,B);

2. f(x) = 0 in (A,