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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI
MATEMATICA
Prof. Francesco Marchi1
Appunti ed esercizi su:
derivate, grafici e studio di funzione
6 dicembre 2010
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Indice
1 Derivate 3
1.1 Esercizi di carattere teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Vero o falso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Relazione tra aspetti grafici ed analitici . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Date alcune condizioni, individuare il grafico . . . . . . . 5
1.2.2 Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile . . 8
1.2.3 Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, sec-onda etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Dato il grafico, individuare/scegliere un’espressione ana-litica plausibile per f
′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Dato il grafico, determinare il segno della funzione, delladerivata prima e seconda in un punto . . . . . . . . . . . 13
1.2.6 Dato il grafico, determinare il segno di derivata prima eseconda in un intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.7 Dato il grafico della funzione, determinare il grafico delladerivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Elenco delle tabelle
1.1 Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto intervallo el’andamento della funzione in tale intervallo. . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto x0 e latipologia di punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Relazione tra grafico di una funzione e caratteristiche della suaderivata (simili considerazioni possono essere applicate se la fun-zione, anziche crescere, cala). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Relazione tra punti di interesse particolare per funzione, derivataprima, derivata seconda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
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2 ELENCO DELLE TABELLE
1.5 Tabella relativa all’esercizio 1 della sezione 1.2.5 (vedi grafico1.7(a).) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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Capitolo 1
Derivate
Richiami di teoria
Segno delle derivate e grafico della funzione
Segno delle derivate in un intervallo
La relazione tra il segno delle derivate e l’andamento di una funzione in unintervallo, e sintetizzata nella figura 1.1 e nella tabella 1.1.
Segno delle derivate in un punto e punti notevoli
La relazione tra il segno delle derivate e la tipologia di punto, e sintetizzata nellafigura 1.2 e nella tabella 1.2.
Relazioni tra aspetti analitici e grafici: approfondimenti
E’ possibile analizzare in maggior dettaglio le relazioni che sussistono tra fun-zione, derivata prima e seconda e grafico della funzione.La relazione tra funzione e derivata e sintetizzata nella tabella 1.3.La relazione tra i punti di particolare interesse per la funzione e le sue derivate(prima e seconda) e sintetizzata in tabella 1.4.
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4 CAPITOLO 1. DERIVATE
Tabella 1.1: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto intervallo e l’andamentodella funzione in tale intervallo.
sgn f′(x) sgn f
′′(x) monotonıa concavita grafico
+
+ crescente verso l’alto 1.1(a)
0 crescente nulla (retta) 1.1(b)
− crescente verso il basso 1.1(c)
0 0 costante nulla (retta) 1.1(d)
-
+ decrescente verso l’alto 1.1(e)
0 decrescente nulla (retta) 1.1(f)
− decrescente verso il basso 1.1(g)
1.1 Esercizi di carattere teorico
1.1.1 Vero o falso
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.Nel caso in cui un’affermazione sia falsa, provarlo con un controesempio.
1. Se in un punto x = x0 una funzione e continua, allora sara derivabile inquel punto.
2. Se in un punto x = x0 una funzione non e derivabile, allora non saracontinua in quel punto.
3. Per una certa funzione, risulta che f′(x1) > f
′(x2). Allora in x = x1 la
funzione varra piu che in x = x2.
4. Il fatto che la derivata prima di una funzione sia positiva in un certo puntonon implica che la funzione sia positiva in quel punto.
5. Il grafico della derivata f′
di una certa funzione f e una retta orizzon-tale nell’intervallo [3, 7]. Allora la funzione f e una retta obliqua in taleintervallo.
6. Il grafico della derivata f′
di una certa funzione f e una retta obliquanell’intervallo [3, 7]. Allora la funzione f e una retta orizzontale in taleintervallo.
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1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 5
(a) f′> 0; f
′′> 0 (b) f
′> 0; f
′′= 0 (c) f
′> 0; f
′′< 0
(d) f′
= 0; f′′
= 0
(e) f′< 0; f
′′> 0 (f) f
′< 0; f
′′= 0 (g) f
′< 0; f
′′< 0
Figura 1.1: Comportamento di una funzione in un dato punto.
1.2 Relazione tra aspetti grafici ed analitici
1.2.1 Date alcune condizioni, individuare il grafico
Nota: I seguenti esercizi vanno svolti procedendo “per esclusione”, ovvero comesegue:
• Si considera il primo grafico e si controllano, relativamente ad esso, le variecondizioni
– Condizione 1:
∗ Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo
∗ Vale: si passa alla condizione successiva
– Condizione 2:
∗ Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo
∗ Vale: si passa alla condizione successiva
– . . . per le altre condizioni
• Se il primo grafico soddisfa tutte le condizioni, e quello corretto; altrimentisi passa al grafico 2 e si ripete la procedura illustrata sopra.
• . . .
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6 CAPITOLO 1. DERIVATE
Tabella 1.2: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto x0 e la tipologia di punto.
sgn f′(x0) sgn f
′′(x0) tipo punto grafico
+
+ / 1.2(a)
0 flesso a tangente obliqua ascendente 1.2(b)
− / 1.2(c)
0
+ minimo 1.2(d)
0 flesso a tangente orizz. 1.2(e)
− massimo 1.2(f)
-
+ / 1.2(g)
0 flesso a tangente obliqua discendente 1.2(h)
− / 1.2(i)
• Si continuano a scorrere i grafici fino ad individuare quello corretto
La procedura appena proposta e “di tipo algoritmico”; con un po’ di esperienza,e possibile applicarla in modo piu flessibile.
Esercizio 1
Di una data funzione si sa che:
• f′< 0 in (3,+∞);
• f′′
= 0 in x = −3;
• f non e derivabile in x = 3.
Stabilire quale, fra i grafici in figura 1.3, rappresenta tale funzione.
Esercizio 2
Di una data funzione si sa che:
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1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 7
Tabella 1.3: Relazione tra grafico di una funzione e caratteristiche della sua derivata (similiconsiderazioni possono essere applicate se la funzione, anziche crescere, cala).
Funzione f Derivata f′
e costante vale zero
cresce poco ha valori piccoli
cresce molto ha valori grandi
cresce sempre meno e positiva, ma calante
cresce di piu e positiva e crescente
e una retta obliqua e una retta orizzontale
cresce verso asintoto orizzontale tende a zero
cresce verso asintoto obliquo tende ad asintoto orizzontale
cresce verticalmente ha asintoto verticale
Tabella 1.4: Relazione tra punti di interesse particolare per funzione, derivata prima,derivata seconda.
Funzione f Derivata f′
Derivata seconda f′′
asintoto verticale asintoto verticale asintoto verticale
estremante (min o max) vale zero non zero
flesso obliquo non zero vale zero
cuspide discontinua continua
punto angoloso discontinua discontinua
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8 CAPITOLO 1. DERIVATE
(a) f′> 0; f
′′> 0 (b) f
′> 0; f
′′= 0 (c) f
′> 0; f
′′< 0
(d) f′
= 0; f′′> 0 (e) f
′= 0; f
′′= 0 (f) f
′= 0; f
′′< 0
(g) f′< 0; f
′′> 0 (h) f
′< 0; f
′′= 0 (i) f
′< 0; f
′′< 0
Figura 1.2: Comportamento di una funzione in un dato punto.
• f′′> 0 in (−∞, 1) e f
′′< 0 in (1, 2);
• f′
e discontinua in x = 4;
• f′(x) = 1 in (4,+∞).
Stabilire quale, fra i grafici in figura 1.4, rappresenta tale funzione.
1.2.2 Date alcune condizioni, inventare un grafico plausi-bile
Esercizio 1
Rappresentare graficamente funzioni che soddisfino le condizioni seguenti:
• f sia positiva in x = 4 e abbia in tale punto la derivata prima positiva ela derivata seconda negativa;
• f′
sia negativa in (−∞,−4) e positiva in (−4,+∞) ed inoltre valga f(5) <f(−6)
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1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 9
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 1.3: Grafici relativi all’esercizio 1.2.1.
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10 CAPITOLO 1. DERIVATE
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 1.4: Grafici relativi all’esercizio 1.2.1.
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1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 11
1.2.3 Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima,seconda etc
Esercizio 1
Facendo riferimento al grafico rappresentato in 1.5(a), stabilire se le seguentiaffermazioni sono vere o false:
1. Nel punto x = A la funzione ha derivata prima positiva.
2. Nel punto x = A la derivata prima e crescente.
3. Nell’intervallo [B,C] la funzione ha derivata seconda positiva.
Esercizio 2
Facendo riferimento al grafico rappresentato in 1.5(b), stabilire se le seguentiaffermazioni sono vere o false:
1. f′(0) < 0;
2. f′′(x) > 0 in (B,+∞);
3. f′(A) < f
′(C);
4. x = B e un punto di non derivabilita;
5. x = B e un punto di cuspide;
6. Il grafico di f′
sara discontinuo in x = B.
Esercizio 3
Facendo riferimento al grafico rappresentato in 1.5(c), stabilire se le seguentiaffermazioni sono vere o false:
1. Il grafico di f′(x) sara una retta orizzontale in (A,B);
2. f′(x) = 0 in (A,B);
3. f′(x) = 0 in (B,+∞);
4. f′′(x) < 0 in (0, A);
5. x = 0 e un punto angoloso.
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12 CAPITOLO 1. DERIVATE
(a) Grafico relativo all’esercizio 1 della sezione 1.2.3.
(b) Grafico relativo all’esercizio 2 della sezione 1.2.3.
(c) Grafico relativo all’esercizio 3 della sezione 1.2.3.
Figura 1.5: Grafici relativi agli esercizi della sezione 1.2.
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1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 13
1.2.4 Dato il grafico, individuare/scegliere un’espressioneanalitica plausibile per f
′
Esercizio 1
Una data funzione ha il grafico rappresentato in figura 1.6. Stabilire quale frale seguenti e un’espressione plausibile per la derivata di tale funzione:
f′(x) = x2(3 lnx + 1) (1.1)
f′(x) = 5− lnx (1.2)
f′(x) = 2 + x− 3x2 (1.3)
Figura 1.6: Grafico relativo all’esercizio 1 della sezione 1.2.4.
1.2.5 Dato il grafico, determinare il segno della funzione,della derivata prima e seconda in un punto
Esercizio 1
Si consideri il grafico di funzione riportato in figura 1.7(a). Completare la tabella1.5 relativa a tale funzione.
1.2.6 Dato il grafico, determinare il segno di derivata pri-ma e seconda in un intervallo
Esercizio 1
Si considerino le figure riportate nel grafico 1.9. Segnare su di essi dei puntiritenuti significativi, indicandoli con x1, x2 e cosı via, e determinare:
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14 CAPITOLO 1. DERIVATE
(a) Grafico relativo all’esercizio 1 della sezione 1.2.5.
(b) Grafico della funzione f(x) (in verde) e della sua derivata prima (inarancione).
(c) Grafico della funzione f(x) (in verde) e della sua derivata seconda (inarancione).
Figura 1.7: Grafici relativi all’esempio svolto 1.2.7.
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1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 15
Tabella 1.5: Tabella relativa all’esercizio 1 della sezione 1.2.5 (vedi grafico 1.7(a).)
sgn f sgn f′
sgn f′′
tipo punto
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
• il segno della derivata prima;
• il segno della derivata seconda;
• le coordinate dei massimi e dei minimi;
• le coordinate dei punti di flesso;
• i punti di non derivabilita.
1.2.7 Dato il grafico della funzione, determinare il graficodella derivata
Esempio svolto
Consideriamo la funzione rappresentata in figura 1.8(a).Nelle figure successive sono rappresentate la funzione insieme con la sua derivataprima 1.8(b) e la funzione insieme con la sua derivata seconda 1.8(c). Vediamoadesso come e possibile costruire tali grafici con ragionamenti di tipo qualitativo.
• Grafico della derivata prima
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16 CAPITOLO 1. DERIVATE
– in (−∞, 0) f decresce in modo (quasi) costante (e all’incirca unaretta); percio f
′ha un valore costante, negativo, pari al coefficiente
angolare di tale retta;
– in x = 0 la funzione comincia a crescere, per cui passeremo brus-camente da una situazione di derivata negativa ad una di derivatapositiva; in altre parole, al punto angoloso x = 0 corrisponde unadiscontinuita nel grafico della derivata prima;
– in (0, 1) la funzione cresce sempre meno, per cui la derivata e positiva(perche la funzione cresce), ma sempre piu piccola (perche crescesempre meno);
– in x = 0 la funzione ha un massimo relativo e la derivata vale zero;
– in [0, 2] la funzione decresce (per cui la derivata sara negativa) semprepiu rapidamente (per cui f
′assumera valori sempre piu negativi);
– in x = 2 sia f che f′
hanno un asintoto verticale;
– in [2, 3] la funzione decresce (⇒ f′< 0) sempre meno (per cui la
derivata assume valori sempre meno negativi);
– in x = 3, f ha un minimo e la derivata vale zero;
– in [3,+∞) la funzione cresce, per cui la derivata e positiva; in parti-colare f tende ad un asintoto obliquo, per cui la sua derivata tenderaad un asintoto orizzontale.
• Grafico della derivata seconda
– in (−∞, 2), f volge la concavita verso il basso, per cui la derivataseconda e negativa in tale intervallo; inoltre, visto che la derivataprima e all’incirca costante fino a x = −1 circa, la derivata seconda(che e la sua derivata) varra circa zero;
– in x = 2, f′′(x) ha un asintoto verticale, cosı come f e f
′;
– in [2,+∞), f volge la concavita verso l’alto, per cui f′′
> 0; inparticolare tende a zero, con considerazioni simili a quelle fatte inprecedenza.
Esercizio 1
Stesso esercizio dell’esempio svolto, in relazione ai grafici riportati in figura 1.9.
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1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 17
(a) Grafico della funzione f(x) = 1x−2
+ |x|.
(b) Grafico della funzione f(x) (in verde) e della sua derivata prima (inarancione).
(c) Grafico della funzione f(x) (in verde) e della sua derivata seconda (inarancione).
Figura 1.8: Grafici relativi all’esempio svolto 1.2.7.
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18 CAPITOLO 1. DERIVATE
(a)
(b)
(c)
Figura 1.9: Grafici relativi agli esercizi 1.2.6 e 1.2.7.
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