· PDF fileLEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi1 Appunti ed esercizi...

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  • LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI

    MATEMATICA

    Prof. Francesco Marchi1

    Appunti ed esercizi su:

    derivate, grafici e studio di funzione

    6 dicembre 2010

    1Per altri materiali didattici o per informazioni:

    Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/Indirizzo email: [email protected]

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  • Indice

    1 Derivate 3

    1.1 Esercizi di carattere teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.1.1 Vero o falso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2 Relazione tra aspetti grafici ed analitici . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2.1 Date alcune condizioni, individuare il grafico . . . . . . . 5

    1.2.2 Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile . . 8

    1.2.3 Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, sec-onda etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2.4 Dato il grafico, individuare/scegliere unespressione ana-litica plausibile per f

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.2.5 Dato il grafico, determinare il segno della funzione, delladerivata prima e seconda in un punto . . . . . . . . . . . 13

    1.2.6 Dato il grafico, determinare il segno di derivata prima eseconda in un intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.2.7 Dato il grafico della funzione, determinare il grafico delladerivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    Elenco delle tabelle

    1.1 Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto intervallo elandamento della funzione in tale intervallo. . . . . . . . . . . . . 4

    1.2 Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto x0 e latipologia di punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.3 Relazione tra grafico di una funzione e caratteristiche della suaderivata (simili considerazioni possono essere applicate se la fun-zione, anziche crescere, cala). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.4 Relazione tra punti di interesse particolare per funzione, derivataprima, derivata seconda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1

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  • 2 ELENCO DELLE TABELLE

    1.5 Tabella relativa allesercizio 1 della sezione 1.2.5 (vedi grafico1.7(a).) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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  • Capitolo 1

    Derivate

    Richiami di teoria

    Segno delle derivate e grafico della funzione

    Segno delle derivate in un intervallo

    La relazione tra il segno delle derivate e landamento di una funzione in unintervallo, e sintetizzata nella figura 1.1 e nella tabella 1.1.

    Segno delle derivate in un punto e punti notevoli

    La relazione tra il segno delle derivate e la tipologia di punto, e sintetizzata nellafigura 1.2 e nella tabella 1.2.

    Relazioni tra aspetti analitici e grafici: approfondimenti

    E possibile analizzare in maggior dettaglio le relazioni che sussistono tra fun-zione, derivata prima e seconda e grafico della funzione.La relazione tra funzione e derivata e sintetizzata nella tabella 1.3.La relazione tra i punti di particolare interesse per la funzione e le sue derivate(prima e seconda) e sintetizzata in tabella 1.4.

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  • 4 CAPITOLO 1. DERIVATE

    Tabella 1.1: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto intervallo e landamentodella funzione in tale intervallo.

    sgn f(x) sgn f

    (x) monotona concavita grafico

    +

    + crescente verso lalto 1.1(a)

    0 crescente nulla (retta) 1.1(b)

    crescente verso il basso 1.1(c)

    0 0 costante nulla (retta) 1.1(d)

    -

    + decrescente verso lalto 1.1(e)

    0 decrescente nulla (retta) 1.1(f)

    decrescente verso il basso 1.1(g)

    1.1 Esercizi di carattere teorico

    1.1.1 Vero o falso

    Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.Nel caso in cui unaffermazione sia falsa, provarlo con un controesempio.

    1. Se in un punto x = x0 una funzione e continua, allora sara derivabile inquel punto.

    2. Se in un punto x = x0 una funzione non e derivabile, allora non saracontinua in quel punto.

    3. Per una certa funzione, risulta che f(x1) > f

    (x2). Allora in x = x1 la

    funzione varra piu che in x = x2.

    4. Il fatto che la derivata prima di una funzione sia positiva in un certo puntonon implica che la funzione sia positiva in quel punto.

    5. Il grafico della derivata f

    di una certa funzione f e una retta orizzon-tale nellintervallo [3, 7]. Allora la funzione f e una retta obliqua in taleintervallo.

    6. Il grafico della derivata f

    di una certa funzione f e una retta obliquanellintervallo [3, 7]. Allora la funzione f e una retta orizzontale in taleintervallo.

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  • 1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 5

    (a) f> 0; f

    > 0 (b) f

    > 0; f

    = 0 (c) f

    > 0; f

    < 0

    (d) f

    = 0; f

    = 0

    (e) f< 0; f

    > 0 (f) f

    < 0; f

    = 0 (g) f

    < 0; f

    < 0

    Figura 1.1: Comportamento di una funzione in un dato punto.

    1.2 Relazione tra aspetti grafici ed analitici

    1.2.1 Date alcune condizioni, individuare il grafico

    Nota: I seguenti esercizi vanno svolti procedendo per esclusione, ovvero comesegue:

    Si considera il primo grafico e si controllano, relativamente ad esso, le variecondizioni

    Condizione 1:

    Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo Vale: si passa alla condizione successiva

    Condizione 2:

    Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo Vale: si passa alla condizione successiva

    . . . per le altre condizioni

    Se il primo grafico soddisfa tutte le condizioni, e quello corretto; altrimentisi passa al grafico 2 e si ripete la procedura illustrata sopra.

    . . .

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  • 6 CAPITOLO 1. DERIVATE

    Tabella 1.2: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto x0 e la tipologia di punto.

    sgn f(x0) sgn f

    (x0) tipo punto grafico

    +

    + / 1.2(a)

    0 flesso a tangente obliqua ascendente 1.2(b)

    / 1.2(c)

    0

    + minimo 1.2(d)

    0 flesso a tangente orizz. 1.2(e)

    massimo 1.2(f)

    -

    + / 1.2(g)

    0 flesso a tangente obliqua discendente 1.2(h)

    / 1.2(i)

    Si continuano a scorrere i grafici fino ad individuare quello corretto

    La procedura appena proposta e di tipo algoritmico; con un po di esperienza,e possibile applicarla in modo piu flessibile.

    Esercizio 1

    Di una data funzione si sa che:

    f < 0 in (3,+);

    f = 0 in x = 3;

    f non e derivabile in x = 3.

    Stabilire quale, fra i grafici in figura 1.3, rappresenta tale funzione.

    Esercizio 2

    Di una data funzione si sa che:

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  • 1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 7

    Tabella 1.3: Relazione tra grafico di una funzione e caratteristiche della sua derivata (similiconsiderazioni possono essere applicate se la funzione, anziche crescere, cala).

    Funzione f Derivata f

    e costante vale zero

    cresce poco ha valori piccoli

    cresce molto ha valori grandi

    cresce sempre meno e positiva, ma calante

    cresce di piu e positiva e crescente

    e una retta obliqua e una retta orizzontale

    cresce verso asintoto orizzontale tende a zero

    cresce verso asintoto obliquo tende ad asintoto orizzontale

    cresce verticalmente ha asintoto verticale

    Tabella 1.4: Relazione tra punti di interesse particolare per funzione, derivata prima,derivata seconda.

    Funzione f Derivata f

    Derivata seconda f

    asintoto verticale asintoto verticale asintoto verticale

    estremante (min o max) vale zero non zero

    flesso obliquo non zero vale zero

    cuspide discontinua continua

    punto angoloso discontinua discontinua

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  • 8 CAPITOLO 1. DERIVATE

    (a) f> 0; f

    > 0 (b) f

    > 0; f

    = 0 (c) f

    > 0; f

    < 0

    (d) f

    = 0; f> 0 (e) f

    = 0; f

    = 0 (f) f

    = 0; f

    < 0

    (g) f< 0; f

    > 0 (h) f

    < 0; f

    = 0 (i) f

    < 0; f

    < 0

    Figura 1.2: Comportamento di una funzione in un dato punto.

    f > 0 in (, 1) e f < 0 in (1, 2);

    f e discontinua in x = 4;

    f (x) = 1 in (4,+).

    Stabilire quale, fra i grafici in figura 1.4, rappresenta tale funzione.

    1.2.2 Date alcune condizioni, inventare un grafico plausi-bile

    Esercizio 1

    Rappresentare graficamente funzioni che soddisfino le condizioni seguenti:

    f sia positiva in x = 4 e abbia in tale punto la derivata prima positiva ela derivata seconda negativa;

    f sia negativa in (,4) e positiva in (4,+) ed inoltre valga f(5) 0 in (B,+);

    3. f(A) < f

    (C);

    4. x = B e un punto di non derivabilita;

    5. x = B e un punto di cuspide;

    6. Il grafico di f

    sara discontinuo in x = B.

    Esercizio 3

    Facendo riferimento al grafico rappresentato in 1.5(c), stabilire se le seguentiaffermazioni sono vere o false:

    1. Il grafico di f(x) sara una retta orizzontale in (A,B);

    2. f(x) = 0 in (A,