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HOEPLI TECNOLOGIE MECCANICHE E APPLICAZIONI Per gli Istituti Professionali settore Industria e Artigianato LUIGI CALIGARIS STEFANO FAVA CARLO TOMASELLO ANTONIO PIVETTA 2

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HOEPLI

Tecnologie meccaniche

e applicazioni

Per gli Istituti Professionali

settore Industria

e Artigianato

lUigi caligaRiS

STeFano FaVa

caRlo TomaSello

anTonio piVeTTa

2

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editore Ulrico Hoepli milano

lUigi caligaris stefano fava carlo tomasello

Tecnologie Meccaniche e Applicazioni

Per gli Istituti Professionali settore Industria e Artigianato

Volume 2

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Indice

Presentazione .................................................................................................................... VI

modulo H le maccHine semplici e la resistenza

dei materiali 1

Verifica dei Prerequisiti, 2

unità H1 Le macchine semplici .............................................................. 3

H1.1 Caratteristiche generali, 3

H1.2 La leva, 3   Leva di primo genere,  3  • Leva di  secondo genere,  4  •  Leva di

terzo genere, 5

H1.3 Le carrucole e i paranchi, 5  Carrucola mssa, 5 • Carrucola mobile, 5

H1.4 Il verricello e l’argano, 6  Il verricello, 6 • L’argano, 6

H1.5 Il piano inclinato e le sue applicazioni, 7  Il piano inclinato, 7 • Il cuneo, 7 • La vite, 7

esercitazione guidata H1.1, 9

Verifica degli obiettiVi di unità, 10

unità H2 Sollecitazioni semplici ....................................................... 11

H2.1 Sollecitazione e deformazione, 11  Demnizioni, 11

H2.2 Sollecitazioni semplici, 12  Trazione, 12 • Legge di Hooke, 12 • Compressione, 13 • Taglio, 13

• Flessione, 14 • Torsione, 15

esercitazione guidata H2.1, 17

Verifica degli obiettiVi di unità, 18

unità H3 Sollecitazioni composte e criteri di resistenza

dei materiali ......................................................................................................................... 19

H3.1 Sollecitazioni composte, 19  Flessione e taglio, 19 • Flessione e torsione, 21 • Presso-nessione, 22

H3.2 Instabilità elastica, 22  Metodo ω, 22

H3.3 Criteri di resistenza dei materiali, 23 Sollecitazioni statiche, dinamiche e a fatica, 23 • Tensioni ammis-

sibili, 24 • Calcolo di verimca, 25 • Calcolo di progetto, 25

H3.4 Esempi di calcolo, 25

esercitazioni guidate H3.1 – H3.2, 29

Verifica degli obiettiVi di unità, 31

Verifica degli obiettiVi di modulo, 32

modulo i componenti meccanici 33

Verifica dei Prerequisiti, 34

unità I1 Alberi, perni e bronzine ...................................................... 35I1.1 Alberi, assi e perni, 35   Generalità,  35  •  Alberi  e  assi  orizzontali,  36  •  Alberi  e  assi 

verticali, 38

I1.2 Norme di proporzionamento, 39  Pressione specimca, 42 • Riscaldamento, 43

I1.3 Sopporti per alberi, 43  Generalità, 43 • Tipi di sopporti, 43

I1.4 Bronzine, 45  Generalità, 45 • Materiali, 45

esercitazione guidata i1.1, 46

Verifica degli obiettiVi di unità, 47

unità I2 Cuscinetti volventi, guarnizioni e tenute ....... 48I2.1 Cuscinetti volventi, 48   Generalità, 48 • Tipi di cuscinetti, 49 • Norme di applicazione e di 

montaggio, 53

I2.2 Criteri di scelta dei cuscinetti, 57

I2.3 Proporzionamento dei cuscinetti con le formule della durata, 58

   Capacità di carico, 58 • Durata L10 e L10h, 59 • Calcolo dei cu-

scinetti sollecitati dinamicamente, 59 • Esempio di calcolo di un 

cuscinetto, 60 • Calcolo dei cuscinetti sollecitati staticamente, 61

I2.4 Lubrificazione dei cuscinetti volventi, 61   Lubrimcazione a grasso, 62 • Lubrimcazione con olio, 62 • Metodi 

di lubrimcazione, 62

I2.5 Cuscinetti volventi lineari, 63   Generalità, 63 • Tipi di cuscinetti volventi  lineari,  alberi e  sop-

porti, 64 • Manicotti a sfere, 64 • Manicotti a sfere aperti a 60°, 

64 • Cuscinetti per movimenti assiali e rotativi, 64 • Cuscinetti 

per movimenti  assiali,  rotativi  e oscillatori,  64  • Cuscinetti  con 

sopporto integrale, 64 • Slitte per movimenti assiali lineari, 65

I2.6 Guarnizioni e tenute, 66   Generalità, 66 • Tipi di guarnizioni, 66 • Esempi di guarnizioni e 

tenute, 68

esercitazioni guidate i2.1 – i2.2, 70

Verifica degli obiettiVi di unità, 72

Verifica degli obiettiVi di modulo, 73

modulo l trasmissioni del moto 75

Verifica dei Prerequisiti, 76

unità L1 Organi flessibili: cinghie, funi e catene ........... 77L1.1 Cinghie piatte, 77

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IV

   Generalità, 77 • Vantaggi e svantaggi, 78 • Materiali, caratteristi-

che, sollecitazioni e impieghi, 78 • Pulegge per cinghie piatte, 79

L1.2 Cinghie trapezoidali, 80   Generalità, 80 • Pulegge per cinghie trapezoidali, 81 • Calcolo di

una trasmissione con cinghie trapezoidali, 82

L1.3 Cinghie dentate o sincrone, 86 Generalità, 86

L1.4 Cinghie scanalate o Poly-V, 87  Dimensionamento delle cinghie scanalate Poly-V, 88

L1.5 Funi metalliche, 89 Generalità, 89 • Avvolgimento dei mli e dei trefoli, 90 • Materiali e 

dimensionamento delle funi, 90 • Pulegge per funi, 91

L1.6 Catene, 91   Tipi  di  catene,  92  • Ruote  dentate  per  catene,  93  • Esempio di 

ruota dentata per catena, 93

esercitazioni guidate l1.1 – l1.2, 94

Verifica degli obiettiVi di unità, 96

unità L2 Ruote dentate .............................................................................. 97

L2.1 Ruote di frizione, 97  Generalità, 97

L2.2 Ruote dentate cilindriche, 99 Demnizioni, 99 • Rappresentazione convenzionale, 102 • Propor-

zionamento  degli  ingranaggi  cilindrici,  104  • Minimo  numero 

dei denti – Dentature ribassate – Dentature corrette, 105 • Con-

trollo della dentatura – Forme costruttive – Rendimento, 107

L2.3 Ruote dentate cilindriche a denti elicoidali, 110

L2.4 Ruote dentate coniche, 113

L2.5 Vite a evolvente, 115  Forme costruttive dell’ingranaggio a vite, 117

L2.6 Ruotismi, 119  Generalità, 119

L2.7 Riduttori, 121   Generalità, 121 • Classimcazione dei riduttori, 122 • Materiali dei 

riduttori, 122 • Lubrimcazione, 123

esercitazione guidata l2.1, 124

Verifica degli obiettiVi di unità, 125

Verifica degli obiettiVi di modulo, 126

modulo m lavorazioni meccanicHe 127

Verifica dei Prerequisiti, 128

unità M1 Fresatrici e alesatrici ........................................................ 129

M1.1 Fresatrici, 129   Generalità  e  classimcazione,  129  •  Fresatrice  orizzontale,  130 

• Fresatrice universale, 131 • Fresatrice verticale, 132 • Fresa-

trice da attrezzisti, 132 • Attrezzature per fresatrici, 132 • Di-

visori,  134  • Operazioni  speciali di  fresatura eseguibili  con  il 

divisore, 136

M1.2 Utensili per la fresatura, parametri di taglio e potenza assorbita, 138

   Utensili per la fresatura, 138 • Parametri di taglio, 140 • Metodi e 

potenza di fresatura, 141 • Tempi di lavorazione, 143

M1.3 Generalità sulle alesatrici, 144

M1.4 Utensili per le alesatrici, 145

esercitazioni guidate m1.1 – m1.2, 146

Verifica degli obiettiVi di unità, 148

unità M2 Affilatrici e rettificatrici ................................................ 149

M2.1 Affilatura e affilatrici, 149   Aċlatrici manuali,  149  •  Aċlatrici  universali,  150  •  Aċlatrici 

speciali, 150 • Aċlatrici elettrochimiche, 150

M2.2 Rettificatura e rettificatrici, 150   Rettimcatrici in tondo per esterni, 152 • Rettimcatrici in tondo per 

interni,  152  •  Rettimcatrici  universali,  153  •  Rettimcatrici  senza 

centri, 154 • Rettimcatrici per supermci piane, 154 • Rettimcatrici 

speciali, 156

M2.3 Mole, 156

Abrasivi, 157 • Dimensione dei grani, 157 • Leganti o agglome-ranti, 158 • Durezza, 158 • Struttura, 158 • Specimca dei compo-nenti,  158  •  Ravvivatura  della  mola,  158  •  Designazione  della 

mola UNI ISO 525, 159

M2.4 Parametri tecnologici, 160  Tempo macchina, 160 • Potenza di taglio, 162

M2.5 Dispositivi e norme di sicurezza, 162  Aċlatrice (molatrice), 162 • Rettimcatrice, 162

esercitazione guidata m2.1, 164

Verifica degli obiettiVi di unità, 165

Verifica degli obiettiVi di modulo, 166

modulo n pneumatica e oleodinamica 167

Verifica dei Prerequisiti, 168

unità N1 Circuiti pneumatici, elettropneumatici

e pLC ........................................................................................................................................... 169  Introduzione, 169

N1.1 Studio delle tecniche per l’eliminazione dei segnali bloccanti, 169

  Annullamento meccanico, 170 • Collegamenti in cascata, 170

N1.2 Elementi di Elettropneumatica, 177  Realizzazione del circuito elettropneumatico, 178

N1.3 Operatori logici nella tecnologia elettrica, 179

N1.4 Esempi di circuiti elettropneumatici, 181

N1.5 Il sequenziatore, 183

N1.6 PLC, 186  Generalità, 186 • Struttura, 187 • Funzionamento, 189

N1.7 Elementi di programmazione dei PLC, 189   Le variabili e le unità di organizzazione di programma, 190 • Il 

ladder diagram  (diagramma  a  contatti),  190  •  Il  Grafcet,  191 • Linguaggi strutturati, 195

esercitazioni guidate n1.1 – n1.3, 198

Verifica degli obiettiVi di unità, 201

unità N2 Oleodinamica ........................................................................... 202

N2.1 Elementi di Oleodinamica, 202  Produzione di energia nei sistemi oleodinamici, 205

N2.2 Organi di regolazione e comando del moto, 208

N2.3 Attuatori oleodinamici, 210

N2.4 Applicazioni dell’Oleodinamica, 211

esercitazioni guidate n2.1 – n2.2, 212

Verifica degli obiettiVi di unità, 214

Verifica degli obiettiVi di modulo, 216

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V

modulo o termodinamica 217

Verifica dei Prerequisiti, 218

unità O1 principi di Energetica ....................................................... 219O1.1 Calore e temperatura, 219   Riscaldamento  dei  corpi,  219  • Misura  della  temperatura,  219 

• Capacità termica, 220

O1.2 Trasmissione del calore, 221  Flusso termico, 222

O1.3 Combustibili e comburenti, 223   Generalità sulla combustione, 223 • Potere calorimco dei combu-

stibili, 224 • Fabbisogno di aria, 224 • Tipi di combustibili, 225

esercitazione guidata o1.1, 228

Verifica degli obiettiVi di unità, 229

unità O2 Applicazioni della Termodinamica ................... 230O2.1 Termodinamica dei gas, 230   Sistemi  termodinamici,  230  •  Le  coordinate  termodinamiche, 

230 • Gas ideale e gas reale, 230

O2.2 Trasformazioni fondamentali dei gas ideali, 231   Trasformazione a volume costante, 231 • Trasformazione a pres-

sione costante, 231 • Trasformazione a temperatura costante, 233 

• Trasformazione  adiabatica,  233  • Trasformazione  politropica, 

234 • Equazione di stato dei gas perfetti, 234 • Lavoro compiuto 

da un gas, 234 • Leggi di Gay-Lussac, 234

O2.3 Principi della Termodinamica, 234   Primo principio della Termodinamica, 234 • Secondo principio 

della Termodinamica, 235

O2.4 Cicli termodinamici, 235   Ciclo di Carnot, 235 • Principali cicli termici utilizzati nei motori 

a combustione interna, 236 • Ciclo Otto - Beau de Rochas, 236 

• Ciclo Diesel teorico, 237 • Ciclo Sabathè teorico, 238

O2.5 Il vapore, 238  Vapore acqueo, 238

esercitazione guidata o2.1, 243

Verifica degli obiettiVi di unità, 244

Verifica degli obiettiVi di modulo, 245

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Presentazione

L’opera costituisce un corso completo della materia Tecnologie Meccaniche e Applicazioni per il secondo biennio e per il quinto anno dei nuovi Istituti Professionali settore Manutenzione e Assistenza tecnica.

Il corso si propone di fornire agli allievi degli Istituti Professionali un percorso mnalizzato a far conseguire allo 

studente, al termine dei cinque anni di studio, risultati di apprendimento che gli consentano di utilizzare, attraverso 

la conoscenza e l’applicazione della normativa sulla sicurezza, gli strumenti e le tecnologie specimche del settore e 

di sapersi orientare nella normativa di riferimento; di riconoscere e applicare i principi dell’organizzazione, della 

gestione e del controllo dei diversi processi produttivi assicurando i livelli di qualità richiesti.

L’opera si compone di tre volumi che sviluppano le Tecnologie meccaniche e le loro applicazioni.

Ciascun volume è suddiviso in moduli indipendenti, articolati in unità didattiche, che rendono possibile l’adozione di percorsi diĊerenziati e adattabili alle necessità delle singole classi e delle specimche realtà.

Ogni modulo si apre con le indicazioni dei prerequisiti, degli obiettivi didattici e delle unità che lo compongono; 

seguono la verimca dei prerequisiti, le unità didattiche e le verimche di unità e di modulo.

Le unità didattiche si aprono con la dichiarazione degli obiettivi, seguiti dai contenuti, e si chiudono con la verimca 

di unità.

I contenuti hanno carattere di essenzialità: presentano la sintesi necessaria a risolvere le esercitazioni proposte, 

sono aggiornati con le più moderne tecnologie e tecniche italiane ed europee e prestano particolare attenzione 

all’evoluzione tecnologica.

La parte preponderante delle unità didattiche è dedicata ai contenuti, organizzati in modo da coniugare il rigore 

logico tecnico con un linguaggio essenziale e diretto. Gli esempi e le esercitazioni proposte mirano a rendere chiari 

e lineari anche gli argomenti più impegnativi.

Il Volume 2, strutturato in sei moduli, tratta le macchine semplici, la resistenza dei materiali, le sollecitazioni semplici, i componenti meccanici, le trasmissioni del moto, le ruote di frizione e dentate, le lavorazioni meccaniche, le tecniche di programmazione della pneumatica in logica cablata e programmata, i PLC e l’Oleodinamica.Il modulo H aĊronta lo studio delle macchine e la resistenza dei materiali: nella prima unità didattica si studiano 

le macchine semplici, quali leve, carrucole, verricello e piano inclinato; la seconda unità aĊronta le sollecitazioni 

semplici; la terza unità analizza le sollecitazioni composte e i criteri di resistenza dei materiali.

Nel modulo I si esaminano i componenti meccanici: nella prima unità didattica si studiano gli alberi, i sopporti 

e le bronzine, con le relative indicazioni per il dimensionamento; nella seconda unità si aĊrontano i diversi tipi di 

cuscinetti volventi, la lubrimcazione e le tenute.

Il modulo L presenta gli organi di trasmissione del moto: la prima unità didattica tratta gli organi nessibili, quali 

cinghie, funi e catene; la seconda unità aĊronta lo studio dei diversi tipi di ruote dentate, le modalità della loro 

rappresentazione gramca e termina con i ruotismi e i riduttori.

Il modulo M aĊronta lo studio delle macchine utensili e fornisce indicazioni utili sui parametri tecnologici:  la 

prima unità didattica è mnalizzata allo studio delle fresatrici, delle attrezzature e dei loro utensili; la seconda unità 

presenta le alesatrici, le aċlatrici e le rettimcatrici.

Il modulo N introduce allo studio dell’automazione, soprattutto per quanto concerne le tecniche di eliminazione 

dei segnali bloccanti, quali  l’annullamento meccanico,  la cascata e  il sequenziatore. Nella prima unità didattica 

viene introdotta anche l’Elettropneumatica con il PLC e le relative tecniche di programmazione; nella seconda 

unità  si  forniscono  elementi  di Oleodinamica  e  si  presentano  i  principi  di  base,  i  campi  di  applicazione  e  la 

componentistica.Nel modulo O  si  aĊronta  il  tema  dell’Energetica:  la  prima  unità  didattica  fornisce  informazioni  di  base  e 

analizza i combustibili e la combustione, mentre la seconda unità studia le leggi dei gas, le trasformazioni, i cicli 

termodinamici e il vapore acqueo.

Luigi Caligaris  Stefano Fava  Carlo Tomasello

VI

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PrerequisitiConoscenze

Le principali unità di misura

Le relazioni di proporzionalità fra grandezze

Le equazioni d’equilibrio della Statica

Abilità

Assegnare le principali unità di misura

Utilizzare le relazioni di proporzionalità fra grandezze

Scegliere i materiali in base alle caratteristiche meccaniche

ObiettiviConoscenze

Le principali macchine semplici

Le sollecitazioni semplici e composte

Abilità

Valutare e definire i sistemi di carico e il vantaggio nelle macchine semplici

Individuare gli effetti di forze e momenti sugli organi meccanici e riconoscere

le cause che contribuiscono all’usura, alla fatica e alla rottura degli stessi

Competenze di riferimento

Individuare i componenti che costituiscono il sistema e i vari materiali impiegati

Analizzare il valore, i limiti e i rischi delle varie soluzioni tecniche con particolare attenzione

alla sicurezza nei luoghi di vita e di lavoro

modulo Hle macchine semplici e la resistenza dei materiali

H1 Le macchine semplici

H2 Sollecitazioni semplici

H3 Sollecitazioni composte e criteri di resistenza dei materiali

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modulo Hverificadeiprerequisiti

1. Indicare le unità di misura e i relativi simboli utilizzati

nel SI per le seguenti grandezze:

1. accelerazione [...................]; simbolo: ................................................

2. momento [...................]; simbolo: ................................................

3. potenza [...................]; simbolo: ................................................

2. Dare la definizione di forza (max 20 parole).

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

3. Le forze non sono grandezze vettoriali.

Vero Falso

4. Gli elementi caratteristici di una grandezza vettoriale

sono:

1. ..........................................................................................................................................................

2. ..........................................................................................................................................................

3. ..........................................................................................................................................................

4. ..........................................................................................................................................................

5. La composizione di due forze complanari, e fra loro

ortogonali, si può effettuare con il teorema di:

1. Newton

2. Pitagora

3. Norton

4. Archimede

6. Una forza non può essere scomposta in due direzioni

note se queste ultime sono ortogonali fra loro.

Vero Falso

7. Dare la definizione di coppia di forze (max 20 parole).

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

8. Calcolare le reazioni vincolari di una trave, appog-

giata alle estremità, su cui agisce una forza F = 1000 N

posta nella mezzeria.

RA = .......................................................................................................................................................

RB = .......................................................................................................................................................

9. Indicare tre fra le principali proprietà meccaniche

dei materiali.

1. ..........................................................................................................................................................

2. ..........................................................................................................................................................

3. ..........................................................................................................................................................

10. La velocità media è:

1. il rapporto fra il tempo e lo spazio percorso

2. il prodotto dello spazio per il tempo

3. il rapporto fra lo spazio e il tempo

4. Il prodotto dell’accelerazione per la velocità

11. L’accelerazione è una grandezza che rimane sempre

costante.

Vero Falso

12. Lo spazio percorso nel moto rettilineo uniforme vale:

1. s = ma

2. s = at

3. s = vt

4. s = a/t

13. Qual è la velocità angolare di un punto che si muo-

ve su una circonferenza e percorre 10 rad in 5 s?

w = .........................................................................................................................................................

14. Un corpo con massa m = 10 kg è posto a 3 m di

altezza dal suolo. Calcolare la sua energia potenziale ri-

spetto al piano di un tavolo alto 1 m.

Ep = ........................................................................................................................................................

15. La potenza è:

1. il prodotto della forza per lo spazio percorso

2. il rapporto fra la forza e il tempo di azione

3. il prodotto della forza per la velocità di spostamento

4. il rapporto fra la forza e lo spazio percorso

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3

le macchine semplici

H1.1 caratteristiche generaliUn dispositivo in grado di moltiplicare la forza umana prende il nome di macchina semplice.

Si defi nisce forza resistente FR la forza da vincere o equilibrare, forza motrice FM quella fornita alla macchina.

Il rapporto k fra la forza resistente FR e quella motrice FM è defi nito vantaggio:

k =FR

FM

[H1.1]

Di conseguenza le macchine possono essere:

vantaggiose, se FR > FM con k > 1;svantaggiose, se FR < FM con k < 1;indiff erenti, se FR = FM con k = 1.

Appartengono alle macchine semplici:

le leve;le carrucole, i paranchi, gli argani e i verricelli;i piani inclinati e le relative applicazioni (cunei e viti).

Lo studio delle macchine semplici si eff ettua, in prima approssimazione, senza tenere conto dell’attrito e applicando le equazioni cardinali della statica [vol. 1, unità E1].

H1.2 La levaIn relazione alla posizione delle forze rispetto all’appoggio, le leve pos-sono essere di:primo genere;secondo genere;terzo genere.

Leva di primo genere

Questa leva è anche detta interfulcrale per la posizione dell’appoggio (fulcro) posto fra le due forze [fi g. H1.1].

OBIETTIVI

Conoscenze

Le tipologie di leva

La carrucola e le sue

applicazioni

Il cuneo e la vite

Abilità

Valutare le condizioni

di carico delle leve

e il relativo vantaggio

Calcolare i carichi

applicati alle carrucole,

ai paranchi e ai verricelli

Valutare le forze

trasmesse dalle viti

CONTENUTI

H1.1 Caratteristiche generali

H1.2 La leva

H1.3 Le carrucole e i paranchi

H1.4 Il verricello e l’argano

H1.5 Il piano inclinato

e le sue applicazioni

UNITÀ

H1

bR bM

O

FR

FMH1.1 Schema della leva di primo genere.

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4 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali

Indicando con bR il braccio della forza FR rispetto al fulcro O e con bM il braccio della forza FM sempre ri-spetto a O, si ha la condizione di equilibrio:

FRbR= F

MbM [H1.2]

da cui si può ricavare, tenendo conto della [H1.1]:

FR

FM

=

bM

bR

= k

Dalla [H1.2] si può dedurre che:

se bM > bR, k > 1 e la leva è vantaggiosa;se bM < bR, k < 1 e la leva è svantaggiosa;se bM = bR, k = 1 e la leva è indifferente.

Poiché l’utilizzo di questo tipo di leva prevede sicura-mente un vantaggio, è opportuno che il rapporto bM/bR

sia il più grande possibile.Sono leve di primo genere il palanchino [fig. H1.2], le forbici, le pinze ecc.

bR bM

O

FR

FM

H1.2 Palanchino e relativo schema di carico.

esempio 

Calcolare la forza necessaria a equilibrare il carico FR = 1000 N [fig. H1.3] e il vantaggio k.

FR = 1000 N

FM

0,2 m 1,25 m

H1.3 Schema di carico di una leva di primo genere.

Dalla [H1.2] si ottiene:

1000 0,2= FM

1,25

da cui si ricava:

FM=1000×0,2

1,25=160N

k=bM

bR

=1,25

0,2= 6,25

Leva di secondo genere

Si ha una leva di secondo genere quando il fulcro è posto a un’estremità e la forza motrice FM è applicata all’estremità opposta [fig. H1.4].

bR

bM

O

FR

FM

H1.4 Schema della leva di secondo genere.

Dalle relazioni [H1.2] e [H1.1] si ricava:

FRbR

FMbM= 0;

FR

FM

=

bM

bR

= k

Osservando la figura H1.4, si nota che FM ≤ FR per cui questo tipo di leva è sempre vantaggiosa o, al massi-mo, indifferente, ma non sarà mai svantaggiosa; è op-portuno che bM sia il più grande possibile rispetto a bR. Sono leve di secondo genere la carriola [fig. H1.5], lo schiaccianoci ecc.

bR

bM

O

FR

FM

H1.5 Carriola e relativo schema di carico.

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Le macchine semplici unità H1 5

esempio 

Calcolare la forza resistente FR che può essere equi-librata con una forza motrice FM = 150 N [fig. H1.6].

O

FR

FM = 150 N

0,25 m

1 m

H1.6 Schema di carico e valori delle forze in gioco.

Dalla [H1.2] si ricava:

150×1= FR×0,25

da cui si ottiene:

FR=

150

0,25= 600N

Dalla [H1.1] si calcola il valore di k:

k =FM

FR

=

1

0,25= 4

Leva di terzo genere

Nelle leve di terzo genere [fig. H1.7] la forza motrice è posta fra il fulcro e la forza resistente. In questo caso, poiché bM < bR, la leva è sempre svantaggiosa e k < 1.

bR

bM

O

FR

FM

H1.7 Schema di carico della leva di terzo genere.

Tale rapporto può essere espresso anche nel seguente modo:

FRbR

FMbM= 0; F

R=FMbM

bR

; k =bM

bR

<1

Nella figura H1.8 è rappresentata una leva di terzo ge-nere; si sfrutta la grande forza fornita da un pistone idraulico per sollevare il carico.

H1.8 Braccio di autogru con pistone idraulico.

H1.3 Le carrucole e i paranchi

carrucola fissa

La figura H1.9 rappresenta una carrucola fissa con lo schema del sistema di carico. Dall’equazione di equili-brio dei momenti rispetto al punto O, si ha:

FRR = F

MR

da cui si evince che FR = FM; la carrucola è quindi una macchina indifferente, la sua utilità consiste nel solle-vare carichi ad altezze dipendenti solo dal punto in cui è appesa la carrucola.

RR RO

FR FM

FMFR

H1.9 Carrucola fissa e relativo schema di carico.

carrucola mobile

Nella carrucola mobile, un’estremità della fune è fis-sata a un sostegno fisso e all’altra estremità è applicata la forza motrice.

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6 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali

In genere la carrucola mobile è abbinata a una fissa [fig. H1.10].

O

R

FR

FM

FM

FR

FM

R

2R

O

H1.10

Carrucola mobile e relativo schema di carico.

Dall’equazione dei momenti rispet-to al punto O, si ottiene:

− = = =2 0;1

2; 2F R F R F F k

R M M R

La carrucola mobile è una mac-china vantaggiosa.

paranco semplice e multiplo

La figura H1.11a mostra l’abbina-mento costruttivo di una carru-cola mobile con una fissa, detto paranco semplice.

La figura H1.11b riporta lo sche-ma costruttivo di un paranco multiplo, detto anche taglia, otte-nuto abbinando tre carrucole fis-se e tre mobili.

H1.11 Schema costruttivo di paranco: a) semplice; b) multiplo.

Il paranco multiplo, con n carru-cole mobili, si può ottenere abbi-nando n paranchi semplici; poiché il vantaggio del paranco semplice è k = 2, il vantaggio del paranco multiplo sarà:

k = 2n

Il numero di carrucole in una ta-glia può arrivare fino a 12, con un vantaggio k = 24.

H1.4 il verricello e l’argano

il verricello

Il verricello è costituito da un cilindro orizzontale di raggio R

su cui si avvolge una fune con una estremità fissata al cilindro e l’altra al carico FR da sollevare. Il cilindro può essere azionato ma-nualmente agendo su una mano-vella lunga bM [fig. H1.12].

H1.12 Schema costruttivo di verricello semplice.

Dall’equazione di equilibrio dei momenti si ottiene:

− = =

=

F R F b FF b

R

kb

R

R M M R

M M

M

0; ;

Da ciò si deduce che maggiore è la lunghezza della manovella ri-spetto al raggio del cilindro, più grande sarà il vantaggio che si consegue.

L’argano

L’argano differisce dal verricello per l’asse di rotazione verticale e perché è provvisto di due o quat-tro barre di manovra [fig. H1.13].

H1.13 Schema costruttivo di argano.

FM

FR

(a) (b

FR

FM

(a) (b)(a) (b)

FM

bM

R

R

FR

R

bM

F1M

FR

F1MF1M

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Le macchine semplici unità H1 7

Se si indica con z il numero di forze F1M applicate alle barre di manovra alla distanza bM, per l’equilibrio dei momenti si avrà:

zF1MbM= F

RR; F

R=

zF1MbM

R; k =

FR

zF1M

esempio 

Un argano ha le seguenti caratteristiche:

numero di barre di manovra;lunghezza utile delle barre bM = 1 m;raggio dell’argano R = 0,40 m.

Nell’ipotesi che la manovra sia compiuta da z = 3 uo-mini che trasmettono ognuno una forza F1M = 300 N, calcolare la forza resistente equilibrata e il vantaggio conseguito:

FR=

3 300 1

0,4= 2250N

k=FR

FM

=

2250

3 300= 2,5

H1.5 il piano inclinato e le sue applicazioni

il piano inclinato

Il piano inclinato si rappresenta con un triangolo rettangolo in cui l’ipotenusa corrisponde al piano inclinato, il cateto b alla base e il cateto h all’altezza [fig. H1.14a].

Nel caso in cui la forza motrice FM sia parallela al pia-no inclinato [fig. H1.14b], vale la seguente relazione:

FM= F

Rsenα; k =

1

senα

Nel caso in cui la forza motrice FM sia parallela alla base b [fig. H1.14c], vale la seguente relazione:

FM= F

Rtan ; k =

1

tan

Il rapporto fra l’altezza e la base del piano inclinato prende anche il nome di pendenza i:

i =h

b= tan

il cuneo

Il cuneo è un solido a forma di prisma triangolare su cui la forza motrice agisce perpendicolarmente alla testa [fig. H1.15].

α

α

FR

FM

FR

H1.15 Cuneo e relativo schema di carico.

Si può scrivere che:

FM= 2F

Rsenα

2; k =

1

2senα

2

Da ciò si deduce che più è piccolo l’angolo a più gran-de sarà il vantaggio.

La vite

Gli elementi filettati possono essere utilizzati come organi di collegamento, oppure come componenti per la trasmissione di moto e forza (per esempio, la vite di chiusura di una morsa). In ambedue i casi non è

FR

FM

h

b

FR1

FR2α

α

(a) (b)

FM

FR

FR1

FR2

α

(c)

H1.14 Piano inclinato: a) schema; b) forza motrice FM parallela al piano inclinato; c) forza motrice FM parallela alla base.

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8 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali

possibile trascurare l’attrito che agisce fra i filetti della vite e del dado e quello dovuto allo strisciamento fra dado e rosetta [fig. H1.16].

d

Dm

Mt

F

F

H1.16 Vite di collegamento che esercita sulle due piastre una forza F.

Nel caso della vite di collegamento, se si vuole valuta-re con certezza la forza F trasmessa, occorre utilizzare una chiave dinamometrica che permette di controlla-re il momento torcente Mt trasmesso al dado di chiu-sura. Si può scrivere:

Mt=M

t1+M

t 2

in cui Mt1 serve per trasmettere la forza F, mentre Mt2 serve per vincere l’attrito fra dado e rosetta:

Mt1 = Fd2

2tan +( ); Mt2 = F

Dm

2f2

Nella formula precedente:

F = forza assiale esercitata dalla vite;j = angolo di attrito fra i filetti;d2 = diametro medio di filettatura;a = angolo dell’elica;f2 = coefficiente di attrito fra dado e rosetta.

L’angolo dell’elica e quello di attrito si possono calco-lare con la seguente relazione:

α = arctanp

πd

2

; ϕ = arctanf1

cosϑ

2

in cui:

p = passo della filettatura;J = angolo del profilo (filettature ISO J = 60°);f1 = coefficiente di attrito fra i filetti della vite e del

dado.

Nel caso di vite di manovra, se manca il termine do-vuto all’attrito fra dado e rosetta, la relazione diventa:

Mt= F

d2

2tan +( )

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9Le macchine semplici unità H1

esercitazione guidata H1.1

apparecchio di sollevamento

La fi gura rappresenta una macchina composta da due macchine semplici: un paranco e un verricello, preposta a

sollevare la massa Q = 360 kg.

R

400

FM = 150 N

Q = 360 kg

Dopo aver analizzato attentamente il disegno e nell’ipotesi che al paranco sia applicata una forza motrice FM = 150 N,

calcolare:

1. il raggio R del paranco;

2. il vantaggio k1 del verricello;

3. il vantaggio k2 del paranco;

4. il vantaggio ktot dell’intero dispositivo.

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unità H1 verifi ca degli obiettivi10

1 Defi nire una macchina semplice (max 20 parole).

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

2 Indicando con FR la forza resistente e con FM quella

motrice, Il vantaggio k vale:

1. k = FM − FR

2. k = FM / FR3. k = FR − FM4. k = FR / FM

3 Una macchina è vantaggiosa quando:

1. k < 1

2. k = 1

3. k > 1

4. k = 0

4 La carriola è una leva di primo genere.

Vero Falso

5 Dalla fi gura allegata dedurre il valore di FR.

FR = ?

FA = 100 N

400 800

O

FR = ....................................................................

6 Nelle leve di terzo genere la .........................................................

motrice è posta fra il .................................................................... e la forza

..........................................................................................................................................................

7 La carrucola fi ssa è una macchina indiff erente.

Vero Falso

8 Un dispositivo composto da una carrucola mobile

abbinata a una fi ssa ha un vantaggio:

1. k = 1/2

2. k = 1

3. k = 2

4. k = 0

9 Un paranco è composto da 4 carrucole fi sse e

4 mobili. Determinare il vantaggio k.

k = ....................................................................

10 Nella fi gura allegata è schematizzato un verri-

cello con indicate le dimensioni del tamburo e la lun-

ghezza della manovella. Nell’ipotesi che FM = 100 N,

calcolare il valore di FR e il vantaggio k.

40

60

FM = 100 N

FR = ?

FR = ....................................................................

k = ....................................................................

11 La vite può essere utilizzata come dispositivo per

la trasmissione del moto.

Vero Falso

12 Nel caso della vite di collegamento, se si vuole

valutare con certezza la ..................................................................................,

occorre utilizzare una chiave ......................................................................

che permette di controllare il ..................................................................

torcente trasmesso al ........................................................... di chiusura.

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11

SOLLECITAZIONI SEMPLICI

H2.1 Sollecitazione e deformazione

Defi nizioni

La resistenza dei materiali è quella parte della Meccanica che studia il comportamento dei materiali, in relazione agli sforzi a cui vengono sottoposti.In questo studio i corpi si considerano elastici e isotropi:

elastici, poiché in qualunque fase di carico esiste una corrispondenza biunivoca tra tensioni interne e deformazioni;

isotropi, poiché presentano proprietà uguali in tutte le direzioni.

Quando si applica una forza a un particolare meccanico, questo si de-forma; il materiale si oppone a tale deformazione con delle forze interne defi nite tensioni. Quando la tensione è riferita all’area di 1 mm2 è detta tensione interna unitaria.Le tensioni interne unitarie possono essere:

perpendicolari, normali alla superfi cie, e sono indicate con la lettera σ [fi g. H2.1a];

tangenziali, parallele alla superfi cie, e sono indicate con la lettera τ [fi g. H2.1b].

H2.1 Schema di tensioni interne: a) perpendicolari alla superfi cie; b) tangenziali.

Le deformazioni possono essere:

parallele a un asse, e sono indicate con la lettera ε; angolari rispetto a due assi, sono dette scorrimenti e indicate con la

lettera γ.

Conoscenze

La legge di Hooke

Il legame sollecitazione-

deformazione

Le sollecitazioni semplici

Abilità

Identifi care

le caratteristiche

meccaniche dei materiali

Individuare con

un modello matematico

il legame sollecitazione-

deformazione

Individuare

le sollecitazioni semplici

in un corpo e applicare

l’equazione di stabilità

CONTeNUTI

H2.1 Sollecitazione

e deformazione

H2.2 Sollecitazioni semplici

UNITÀ

H2

Sezione 1 1

1

1

F

F

σ

σ

σ

τ

τ

τ

Sezione 1 1

1

1

T

T

(a) (b)(b)(a)

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12 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali

Se un filo metallico è tirato si allunga [fig. H2.2].

Per allungamento totale s’intende la differenza fra la lunghezza iniziale l0 e la lunghezza finale l1 dovuta agli sforzi applicati al corpo:

l = l1

l0 [H2.1]

l 0

l 1

Δl

F

(a) (b)

H2.2 Filo sottoposto a trazione: a) scarico; b) caricato con allungamento.

L’allungamento unitario, cioè riferito alla lunghezza unitaria, equivale alla deformazione ε e si calcola con la seguente relazione:

=

l1

l0

l0

=

l

l0

[H2.2]

H2.2 Sollecitazioni semplici

Trazione

Le fibre di materiale sono allungate dalla forza F che sollecita assialmente il corpo [fig. H2.2b]. Indicando con S la superficie retta [mm2] e con F la forza [N], la tensione unitaria si calcola con la seguen-te relazione:

=

F

S

N

mm2

[H2.3]

L’unità di misura N/mm2 nel SI è detta anche MPa (megapascal).

Legge di Hooke

Nel campo elastico, cioè quando tolto il carico spari-scono le deformazioni, si può ritenere che esista di-pendenza lineare tra sforzi e deformazioni; la relazio-ne che esprime tale concetto è la seguente:

= E [H2.4]

Il parametro E che lega le tensioni e le deformazioni si definisce modulo di elasticità normale (o modu-lo di Young).

L’allungamento prodotto dall’applicazione della forza F vale, secondo le relazioni [H2.2] e [H2.3]:

l =Fl

SEmm[ ] [H2.5]

È opportuno, a questo punto, rivedere alcuni concetti.Sottoponendo una provetta a trazione, fino a giungere a rottura, si determina il grafico carichi Ð allungamenti riportato nella figura H2.3.

Rm Ru

ReHReLRp

Carichi unitari N

mm2

Allungamenti

∆ll0

A

B

C

D

EF

Ela

stic

ità

Ela

sto

-pla

stic

ità

Pla

stic

ità

lu – l0l0

H2.3 Grafico carichi-allungamenti.

Fase elastica, tratto AB

In questo tratto il diagramma è rettilineo, cioè esiste proporzionalità fra carichi e allungamenti e le defor-mazioni sono reversibili; il carico del punto finale B è detto carico di proporzionalità Rp.Se il carico totale letto sulla macchina di prova è Fp e la sezione iniziale della provetta è S0, si avrà:

Rp =

Fp

S0

N

mm2 [H2. 6]

Fase elasto-plastica, tratto BCD

Oltre alle deformazioni elastiche cominciano a veri-ficarsi le prime deformazioni plastiche irreversibili, possono essere seguite da cedimenti limitati ma im-provvisi detti snervamento. Si misurano due carichi: il primo nel punto C, o carico di snervamento supe-riore ReH; il secondo nel punto D, o carico di snerva-mento inferiore ReL.

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Sollecitazioni semplici unità H2 13

Se i carichi totali letti sulla macchina di prova sono rispettivamente FeL e FeH, si avrà:

ReL=

FeL

S0

N

mm2; R

eH=

FeH

S0

N

mm2

[H2.7]

Fase plastica DEF

In questa fase le deformazioni sono piuttosto elevate e irreversibili, dal punto E alla rottura si verifica la stri-zione della provetta (riduzione di diametro). Il dato più importante che si ricava è il carico mas-simo Rm cui resiste la provetta. Questo carico è det-to anche resistenza a trazione (o carico di rottura a trazione) ed è una delle caratteristiche più importanti del materiale.Se il carico totale letto sulla macchina di prova è Fm e la sezione iniziale della provetta è S0, si avrà:

Rm=

Fm

S0

N

mm2

[H2.8]

Deformazioni

Indicando con lu la lunghezza finale (misurata ricom-ponendo la provetta) e con l0 la lunghezza iniziale, si può definire l’allungamento percentuale A% con la relazione:

A%=lu

l0

l0

100 [H2.9]

esempio 

Determinare il modulo di elasticità normale E dell’ac-ciaio di una provetta di 12 mm di diametro e lunga inizialmente 100 mm che, sottoposta a un carico di trazione di 5400 N, si è allungata di 0,023 mm.

Dalle relazioni [H2.3], [H2.4] e [H2.5] si ottiene:

=

F

SE=

l

l

quindi si avrà:

E =Fl

S l=

5400×100

122

4×3,14×0,023

= 207600N

mm2

Compressione

Le fibre del materiale vengono accorciate dalla forza F che sollecita il corpo. Anche per la compressione [fig. H2.4] è valida la relazione:

=

F

S

N

mm2

[H2.10]

F

H2.4 Schema della prova di compressione.

Taglio

Si ha sollecitazione di taglio quando la risultante delle forze agisce perpendicolarmente al corpo solle-citato e parallelamente a una sua sezione trasversale.

Essendo la forza parallela alla sezione sollecitata, si è in presenza di tensioni tangenziali τ mentre la tensio-ne normale σ è nulla.Indicando con T la forza tagliante e con S la sezione resistente, la relazione del taglio è:

=

T

S

N

mm2

[H2.11]

Questa relazione esprime la situazione che si manife-sta, per esempio, nelle chiodature dove nella sezione AB esiste solo la sollecitazione di taglio [fig. H2.5].

H2.5 Esempio di taglio puro nella chiodatura.

T

T

A B

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14 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali

Flessione

Un solido si dice sollecitato a flessione quando le forze esterne provocano una rotazione delle sezioni trasversali del solido [fig. H2.6c], che sono parallele nella trave scarica [fig. H2.6a].

N N

C C

T T

S1 S2 S3 S4

(a)

A-A

σt

σc

(b)

A

A

F

S1 S2 S3S4

N NC C

TT

(c)

H2.6 Effetti della flessione su una trave a sezione rettangolare: a) trave scarica; b) distribuzione delle tensioni; c) trave inflessa.

Le fibre che stanno sopra la zona neutra, asse N-N

[fig. H2.6c], nella trave caricata sono state accorciate;

la lunghezza C-C è minore della lunghezza delle fibre

che stanno sull’asse N-N, quindi sono state compresse.

Le fibre che sono sotto l’asse neutro sono state allun-

gate; la lunghezza T-T è maggiore della lunghezza

delle fibre che stanno sull’asse N-N, quindi sono state

tirate. Le fibre che stanno sull’asse neutro non hanno

subito deformazioni.

La flessione provoca nella trave, contemporaneamen-

te, sollecitazioni di compressione σc e di trazione σt,

queste sono tanto più grandi quanto più sono lontane

dall’asse neutro N-N [fig. H2.6b]

Nelle sezioni simmetriche rispetto all’asse neutro, le

tensioni si valutano con l'equazione di stabilità della

flessione:

= ±M f

Wf

[H2.12]

Il doppio segno davanti alla relazione indica che, con-

venzionalmente, si considerano positive le tensioni di

trazione e negative quelle di compressione, per cui:

t = +

M f

Wf

; c =

M f

Wf

dove Mf indica il momento flettente prodotto dalle

forze applicate alla trave, Wf indica il modulo di resi-

stenza a flessione [mm3]. Il modulo Wf dipende dalla

forma della sezione e dalla posizione dell’asse rispetto

cui si calcola. Nella tabella H2.1 sono riportate le rela-

zioni per determinare Wf per le sezioni più comuni,

calcolato rispetto all’asse neutro x-x.

Tabella H2.1 – Modulo di resistenza a flessione Wf per le sezioni più comuni

Rettangolare Quadrata Rombo Circolare Circolare forata

b

h

x x

lxx

l

x x

D

x x

d

D

x x

Wfx=

bh2

6W

fx=

l3

6W

fx= 2

l3

12W

fx=

D3

32W

fx=

D4

d4( )

32d

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Sollecitazioni semplici unità H2 15

esempio 

Calcolare la tensione unitaria massima nella mezzaria della trave (punto M) rappresentata nella figura H2.7. La trave ha sezione rettangolare con base b = 20 mm e altezza h = 50 mm.

F = 500 N

A B

RA

1000 mm

= =

M

RB

H2.7 Trave sottoposta a flessione.

Con l’equazione di equilibri dei momenti rispetto al punto B, si ottiene:

RA

1000 F 500= 0; RA=

500 500

1000= 250N

Il momento flettente nel punto M è:

M f max = RA ×500= 250×500=125000Nmm

Da notare che in Meccanica si utilizza il millimetro e il momento flettente è espresso in Nmm. Poiché la se-zione è rettangolare, il modulo di resistenza alla fles-sione vale:

Wf =bh2

6=

20 502

6= 833,3mm

3

La tensione massima si calcola come segue:

σ = ±M f max

Wf

=125000

833,3=15

N

mm2

σt= +15

N

mm2; σ

c= −15

N

mm2

Torsione

La sollecitazione di torsione si manifesta quando ogni sezione del corpo è costretta a ruotare attorno al proprio asse con un moto rigido [fig. H2.8a].

A

A'

g

A1

Mt

S2

S1

O2

(a)

g

A

A'

τmax

τmax

B

B'

O2

(b)

H2.8 Trave a sezione circolare sottoposta a torsione: a) trave deformata; b) distribuzione delle tensioni.

Le sollecitazioni normali σ sono nulle. Sono presenti le sollecitazioni tangenziali τ che aumentano a mano a mano che il punto considerato si allontana dall’as-se neutro, che nella torsione è l’asse longitudinale del corpo [fig. H2.8b].Infatti, quando la sezione S2 ruota dell’angolo γ rispet-to a S1, intorno al punto O2, si può notare che l’arco A-A', più lontano da O2, è maggiore dell’arco B-B' che sottende lo stesso angolo di rotazione; ne consegue che maggiore è la deformazione più grande è la tensione.

La tensione di torsione è espressa con l'equazione di

stabilità della torsione:

max=

Mt

Wt[H2.13]

dove Mt indica il momento torcente prodotto dalle forze applicate al corpo, mentre Wt indica il modulo

di resistenza a torsione [mm3]. Il modulo Wt dipen-de dalla forma della sezione.

È possibile determinare il valore esatto di τmax solo per i solidi a sezione circolare o anulare. Nella tabella H2.2 sono riportate le relazioni per de-terminare Wt per le sezioni più comuni, calcolato ri-spetto al punto centrale O.

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16 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali

Tabella H2.2 – Modulo di resistenza a torsione Wt per le sezioni più comuni

Triangolare equilatera Quadrata Esagonale Circolare Circolare cava

l

l

2l

D D

d

Wt=

l3

20W

t= 0,208l

3W

t=1,511l

3W

t=

D3

16W

fx=

D4

d4( )

16d

La legge di Hooke, nel caso delle deformazioni ango-lari, è espressa dalla seguente relazione:

=G [H2.14]

dove G è il modulo di elasticità tangenziale ed è pari ai 2/5 di E e γ è l’angolo di rotazione espresso in radianti. Per la sezione circolare piena (quella più utilizzata per gli alberi soggetti a torsione), l’angolo di torsione in funzione della lunghezza è espresso dalla relazione:

= 32M

tl

GD4

rad[ ] [H2.15]

esempio 

Un albero a sezione circolare piena con diametro D = 30 mm e lunghezza ltot = 200 mm, è sottoposto a torsione da un momento torcente Mt = 120 000 Nmm.Nell’ipotesi che il modulo di elasticità normale valga

E = 208 000 MPa, calcolare la tensione massima e l’an-golo di torsione fra due sezioni distanti l = 100 mm.

Il modulo di resistenza a torsione [tab. H2.2] vale:

Wt=

D3

16=

303

16= 5301mm

3

La tensione tangenziale vale:

τmax=M

t

Wt

=120000

5301= 22,6

N

mm2

L’angolo di torsione, con G =2

5E = 83200

N

mm2

vale:

γ = 32M

tl

πGD4= 32

120000×100

π ×83200×304= 0,000057 rad =

= 0,033°

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Sollecitazioni semplici unità H2 17

esercitazione guidata H2.1

Calcolo delle masse e delle sollecitazioni

Nella fi gura è rappresentato un solido di acciaio che serve da basamento sul quale appoggia una lastra di marmo.

Sul piano del marmo è posto un cilindro di piombo.

ø1500

800

80

0

75

0

1800

20

09

00

12

00

25

Piombo

Marmo

Acciaio

Masse specifiche:

Piombo = 11350 kg/m3

Marmo = 2720 kg/m3

Acciaio = 7850 kg/m3

Dopo aver analizzato attentamente il disegno si calcoli la tensione massima nel basamento di acciaio, tenendo conto

del peso di tutti e tre gli elementi.

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verifi ca degli obiettivi18

unità H2

1 Defi nire i corpi isotropi (max 10 parole).

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

2 Nella relazione ∆l = l1

− l0, che cosa indicano le tre

variabili?

1. ∆l = ..................................................................................................................................

2. l1

= ..................................................................................................................................

3. l0

= ..................................................................................................................................

3 Nella legge di Hooke il parametro E che lega le

tensioni e le ....................................................................................... si defi nisce

.................................................................................. e la sua unità di misura è

..........................................................................................................................................................

4 Il tratto di diagramma carichi-allungamenti che indi-

ca la fase elastica può essere sia rettilineo sia curvilineo.

Vero Falso

5 Quale signifi cato hanno i seguenti carichi unitari

dedotti dal diagramma carichi-allungamenti?

1. Rm = .................................................................................................................................

2. ReL

= ................................................................................................................................

3. Rp

= ................................................................................................................................

6 Defi nire l’allungamento percentuale.

(max 20 parole).

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

7 Si ha ................................................................................................... di taglio

quando la risultante delle ................................................................................

agisce perpendicolarmente al corpo sollecitato e

...................................................................................................... a una sua sezione

..........................................................................................................................................................

8 La fi gura acclusa riporta un chiodo ribadito che

collega due lamiere. Sapendo che la sezione retta del

chiodo è S = 10 mm2 e che la sollecitazione di taglio

vale τ = 50 N/mm2, calcolare la forza di taglio T.

T

T

S = 10 mm2

T = ....................................................................

9 In una trave a sezione rettangolare e sottoposta a

fl essione semplice, tutte le fi bre hanno lo stesso valore

di tensione.

Vero Falso

10 Il modulo di resistenza a fl essione Wf dipende

dalla forma della ....................................................................................... e dalla

posizione dell’....................................................................................... rispetto

cui si calcola.

11 La fl essione provoca nella trave, contempora-

neamente, sollecitazioni di compressione σc e di tra-

zione σt.

Vero Falso

12 Nella torsione le sollecitazioni ................................................

σ sono nulle. Sono presenti le sollecitazioni ...............................

τ che aumentano a mano a mano che il punto consi-

derato si ....................................................................... dall’asse neutro.

13 Il modulo di elasticità tangenziale G è uguale ai

2/5 di E.

Vero Falso

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19

SOLLECITAZIONI COMPOSTE E CRITERI DI RESISTENZA DEI MATERIALI

H3.1 Sollecitazioni composteNella realtà ad agire su un particolare meccanico non è quasi mai una sola sollecitazione semplice, ma almeno due in contemporanea. Le sollecitazioni composte più frequenti sono:

fl essione e taglio, soprattutto nelle travi infl esse;fl essione e torsione, presenti negli alberi di trasmissione;presso-fl essione, caratteristiche nelle colonne.

Flessione e taglio

Se i carichi esterni F provocano contemporaneamente fl essione e taglio, in ogni sezione saranno presenti sia tensioni normali σ, dovute al mo-mento fl ettente Mf, sia tensioni tangenziali τ dovute alla forza di taglio T.Si consideri la trave infl essa rappresentata nella fi gura H3.1a.S’immagini, adesso, di tagliare la trave in una sezione generica Sx. Te-nendo conto che ogni sezione trasmette a quella adiacente una forza e un momento fl ettente, si devono sostituire alla parte mancante le azioni che questa trasmetteva alla parte sinistra al taglio [fi g. H3.1b] per con-servare l’equilibrio.

Conoscenze

Flessione-taglio

Flessione-torsione

Presso-fl essione

Il carico di punta

Abilità

Indicare le sollecitazioni

composte

Verifi care la resistenza

dei corpi in sicurezza

Valutare la resistenza

delle strutture snelle

CONTeNUTI

H3.1 Sollecitazioni composte

H3.2 Instabilità elastica

H3.3 Criteri di resistenza

dei materiali

H3.4 Esempi di calcolo

UNITÀ

H3

RA = 87 NRB = 93 N

F1 = 100 N

F2 = 80 N

30

80

120

x

SxA BX

(a)

RA = 87 N

F1 = 100 N

x

Mxd

ATxs

X

z

RB = 93 N

F2 = 80 N

30

B

Txd

Mxs X

(b)

(c)

H3.1 Trave infl essa: a) carichi applicati; b) parte sinistra del taglio; c) parte destra del taglio.

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20 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali

Considerando l’equilibrio rispetto al punto X, si può scrivere, applicando le equazioni cardinali:

F = 0; MX= 0

Dalla figura H3.1b si ottiene:

Tx= R

AF1; M

x= R

Ax F

1z [H3.1]

In pratica occorre sapere in quale sezione è massimo il taglio e in quale il momento flettente. Si consideri anco-ra la figura H3.1a e si calcolino i momenti nelle sezioni in cui sono applicate le forze con le relazioni espresse dalla [H3.1], tenendo conto solo della parte sinistra, ai vari punti.

In tali condizioni si avrà:

MA = MB = 0

pertanto:

MC= R

A× 40= 3480Nmm

MD= R

A×90− F

1×50= 2830Nmm

Per determinare il taglio nei vari punti si sommano le forze che stanno a sinistra.Nel punto A esiste solo RA, quindi il taglio passa da 0 a TA = 87 N, nel tratto AC il taglio rimane costante. Nel punto C il taglio vale TC = RA - F1 = -13 N e rimane costante nel tratto CD. Nel punto D si somma F2 e il taglio vale TD = -13 - F2 = -93 N che rimane costante nel tratto DB. Nel punto B si somma la reazione RB e il taglio passa da 87 N a TB = 0.Svolti questi calcoli è possibile tracciare i diagrammi della figura H3.2.

87 N

100 N

80 N 97 N

3480 Nmm2830 Nmm

0

87

100

− 13

87

80

− 93

0

A C D B

40 80 30

0 0

H3.2 Diagrammi del momento torcente e del taglio su una trave inflessa.

Osservando il diagramma del momento flettente si no-ta che, convenzionalmente, i valori positivi sono ripor-tati sotto la linea dello zero. Il valore massimo Mmax è nel punto D. In corrispondenza di questa sezione, nel diagramma di taglio, T vale 0. A sinistra della sezione, T è pari a RA mentre a destra T assume un valore infe-riore, quindi per questa sezione si pone T = RA.Con questi valori letti sul diagramma, si possono cal-colare le tensioni di flessione e di taglio nelle varie se-zioni. Nel caso di flesso-taglio, la tensione tangenziale non è costante su tutta la sezione, ma presenta un va-lore massimo sull’asse neutro ed è nullo dove è massi-ma la tensione normale [fig. H3.3], per questo motivo s’introduce un fattore correttivo a [tab. H3.1].

τm

τmax

x x

σmax

H3.3 Diagrammi della tensione σ, della tensione media di taglio τm

e tensione effettiva con il valore massimo τ

max.

Il calcolo delle tensioni si esegue con le seguenti relazioni:

max=

M f

Wf

[H3.2]

[H3.3]max=

T

Sa

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Sollecitazioni composte e criteri di resistenza dei materiali unità H3 21

È prassi comune sostituire le due tensioni con una sola, detta tensione ideale σid, che produce sul mate-riale gli stessi effetti ed è più facilmente confrontabile con le caratteristiche di resistenza del materiale stesso:

σid= σ

max

2+3τ

max

2 [H3.4]

Flessione e torsione

Questo tipo di sollecitazione è caratteristica degli al-beri rotanti che trasmettono un momento torcente attraverso ruote dentate o pulegge.Nel modulo E del primo volume di quest’opera sono presentate le seguenti relazioni:

N =Mt; =

2 n

60[H3.5]

dove N è la potenza espressa in watt, n è il numero di giri/minuto e Mt indica il momento torcente espresso in Nm.Nella figura H3.4a è rappresentato schematicamente un motore elettrico che trasmette il moto a un utiliz-zatore attraverso una puleggia. L’albero può essere rappresentato, convenzionalmen-te, come una trave incastrata all’estremo A e caricata all’altro estremo da una forza F dovuta al tiro della cinghia [fig. H3.4b].

Calcolato il momento flettente massimo nel punto A e il momento torcente con la [H3.5], si possono ricavare le tensioni σmax di flessione e τmax di torsione:

max =Mt

Wt

; max =

M f

Wf

Anche in questo caso è opportuno calcolare la ten-sione ideale che produce gli stessi effetti delle due tensioni:

id=

max

2+3

max

2

In fase di progetto non si conoscono le dimensio-ni per cui risulta impossibile calcolare le tensioni. In questo caso si sostituiscono il momento flettente e il momento torcente con un ipotetico momento flet-

tente ideale che produce nel materiale gli stessi effetti dei due momenti che agiscono in contemporanea. Il valore si calcola con la relazione:

M fid = M f2+3

4Mt

2 [H3.6]

Nel caso di un albero a sezione circolare piena, in cui Wf = pd3/32, il diametro d vale:

d =32M fid

am

3 [H3.7]

Tabella H3.1 – Fattore correttivo a per il calcolo della tensione massima di taglio

Quadrata Rombo Rettangolare Circolare Anulare

a=

3

2a=1,6 a=

3

2a=

4

3a= 2

F

F

l

A

(a) (b)

H3.4 Rappresentazione dell’albero di un motore elettrico: a) schematica; b) convenzionale.(b)(a)

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22 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali

Presso-flessione

Se un solido è compresso, ma la forza F a cui è sot-toposto non si trova sul suo asse, la sollecitazione è allora di presso-flessione [fig. H3.5a].

e

σf

σf - σc

σc

σf

σf + σc

(a) (b)

Fa

H3.5 Solido sottoposto a presso-flessione: a) schema di carico; b) diagrammi delle tensioni.

Se si indica con e il disassamento della forza rispetto all’asse neutro, il momento flettente vale:

M f = Fe

Indicando con S la sezione retta del solido, le tensioni di flessione e compressione valgono rispettivamente:

f =

M f

Wf

; c =F

S

Nella figura H3.5b sono stati tracciati i diagrammi delle tensioni di compressione, di flessione e il dia-gramma ottenuto dalla somma vettoriale dei primi due, rappresentante la tensione totale.

H3.2 Instabilità elastica

Si immagini un filo di acciaio con diametro d = 5 mm e lungo l = 500 mm, pendente dal soffitto, che regge un peso pari a 100 N. Poiché il peso non è molto elevato, il filo è in grado di reggerlo senza problemi e si verificherà la condizione di equilibrio indicata nella figura H3.6a.

50

0

P

P

(a) (b)

¿5

Se lo stesso filo fosse piantato nel pavimento e lo stesso peso lo sollecitasse a compressione, probabil-mente si avrebbero problemi di stabilità del carico [fig. H3.6b].

Quando un solido è sollecitato a compressione e il rapporto tra la sua altezza e la dimensione minima della sezione è maggiore di 10, esiste la possibilità che il solido elastico diventi instabile ed infletta lateral-mente: si parla allora di carico di punta.La situazione di equilibrio instabile si può valutare sia in fase di progetto sia in fase di verifica con vari criteri; il più comodo è il metodo ω.

Metodo ω

Questo metodo consiste nell’adoperare l’equazione della compressione, moltiplicando il carico P per un coefficiente ω che dipende dalla snellezza del corpo (λ). L’espressione diventa:

c=

P

S[H3.8]

dove P rappresenta il carico [N], S è la sezione resi-stente [mm2] e ω indica il coefficiente funzione della snellezza λ che si calcola con la seguente relazione:

λ =l0

ρmin

[H3.9]

La lunghezza libera d’inflessione l0 di un’asta lunga l si valuta in base ai seguenti vincoli:

asta incastrata a un estremo e libera all’altro [fig.

H3.7a], l0 = 2l;asta incernierata ai due estremi [fig. H3.7b], l0 = l;asta incastrata a un estremo e incernierata all’altro

[fig. H3.7c], l0 = 0,7l;asta incastrata ai due estremi [fig. H3.7d], l0 = 0,5l.

(a) (b) (c) (d)

l

l 0

l 0

l 0

l 0

H3.7 Lunghezza libera d’inflessione di un’asta caricata di punta.

H3.6 Solidi snelli:a) trave stabile sottoposta a trazione; b) trave instabile sottoposta a compressione.

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Sollecitazioni composte e criteri di resistenza dei materiali unità H3 23

Nella tabella H3.2 sono indicate le espressioni del rag-gio d’inerzia minimo ρmin, per alcune sezioni comu-nemente utilizzate.

Tabella H3.2 – Espressioni del raggio d’inezia ρmin

per le sezioni più comuni

Rettangolare Circolare Circolare cava

b

h

D D

d

ρmin=

b

12ρ

min=D

4min=

D2+d

2

4

Nella tabella H3.3 si possono leggere, a titolo di esempio, i valori di ω per acciai da costruzione S235, relativi a profilati semplici cavi, quadri, rettangolari o tondi.

H3.3 Criteri di resistenza dei materiali

Sollecitazioni statiche, dinamiche e a fatica

Per valutare la capacità di un materiale di resistere al-le forze applicate è necessario conoscere come queste ultime sono applicate.Quando il carico viene applicato in un tempo lun-go, le sollecitazioni sono considerate statiche [fig.

H3.8a]; se il tempo di sollecitazione è molto limitato la sollecitazione è dinamica [fig. H3.8b].

Tabella H3.3 – Valori di ω per acciaio da costruzione S235 (σam = 150 N/mm2)

l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l

0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0

10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 10

20 1,00 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,02 1,02 1,02 1,03 20

30 1,03 1,03 1,03 1,04 1,04 1,04 1,05 1,05 1,05 1,06 30

40 1,06 1,06 1,07 1,07 1,07 1,08 1,08 1,09 1,09 1,10 40

50 1,10 1,11 1,11 1,12 1,12 1,13 1,13 1,14 1,14 1,15 50

60 1,16 1,16 1,17 1,17 1,18 1,18 1,19 1,20 1,20 1,21 60

70 1,22 1,23 1,24 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,29 70

80 1,31 1,32 1,33 1,34 1,36 1,37 1,38 1,40 1,41 1,42 80

90 1,44 1,45 1,47 1,48 1,50 1,52 1,53 1,55 1,57 1,59 90

100 1,61 1,63 1,65 1,67 1,69 1,71 1,73 1,75 1,77 1,79 100

110 1,82 1,84 1,86 1,89 1,91 1,94 1,96 1,99 2,01 2,04 110

120 2,06 2,09 2,12 2,14 2,17 2,20 2,22 2,25 2,28 2,31 120

130 2,34 2,37 2,40 2,43 2,46 2,49 2,52 2,55 2,58 2,61 130

140 2,65 2,68 2,71 2,74 2,78 2,81 2,84 2,88 2,91 2,95 140

150 2,98 3,02 3,05 3,08 3,12 3,16 3,19 3,23 3,27 3,30 150

160 3,34 3,38 3,41 3,45 3,49 3,53 3,56 3,60 3,64 3,68 160

170 3,72 3,76 3,80 3,84 3,88 3,92 3,96 4,01 4,05 4,09 170

180 4,14 4,18 4,22 4,27 4,31 4,35 4,40 4,44 4,49 4,53 180

190 4,58 4,62 4,67 4,72 4,77 4,81 4,85 4,90 4,94 4,99 190

200 5,03 5,08 5,13 5,18 5,22 5,27 5,32 5,37 5,42 5,47 200

210 5,52 5,57 5,62 5,67 5,72 5,77 5,82 5,87 5,92 5,98 210

220 6,03 6,08 6,14 6,19 6,24 6,30 6,36 6,41 6,46 6,52 220

230 6,57 6,63 6,69 6,74 6,79 6,84 6,90 6,96 7,02 7,08 230

240 7,14 7,19 7,25 7,31 7,38 7,44 7,50 7,55 7,61 7,67 240

250 7,73 250

Page 32: ecnologiemeccaniche eapplicazioni 2 · • Trasformazione adiabatica, 233 • Trasformazione politropica, 234 • Equazione di stato dei gas perfetti, 234 • Lavoro compiuto da un

24 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali

Se poi il carico varia in intensità e verso (da positivo a negativo e viceversa) si è in presenza di sollecitazione a fatica, che è anche la più pericolosa [fig. H3.8c].

H3.8 Tempo e modo di applicazione dei carichi: a) statici; b) dinamici; c) a fatica.

Se si vogliono determinare le dimensioni di un og-getto sottoposto a un carico si parla di calcolo di progetto; se sono noti le dimensioni e i carichi appli-cati e si vuole sapere se l’oggetto potrebbe rompersi o deformarsi, si parla di calcolo di verifica.

Tensioni ammissibili

Ogni materiale d’interesse industriale possiede ca-ratteristiche meccaniche deducibili dal diagramma carichi-allungamenti [fig. H2.3] e fornite dai manuali tecnici; le più importanti sono:

carico di snervamento ReL (scritto anche Rs);

carico di resistenza a trazione Rm;allungamento percentuale A%.

Affinché un particolare resista senza pericoli alle sol-lecitazioni esterne, deve essere sottoposto a tensioni inferiori al carico di resistenza a trazione tali da non superare il carico di proporzionalità. Si deve, quindi, determinare una tensione ammissibile per il mate-riale in esame che, in funzione del tipo di carico, per-metta al materiale stesso di lavorare in tutta sicurezza.

La tensione ammissibile si ricava con le relazioni:

σam =Rm

gR

; σam =ReL

g S

[H3.10]

La tensione tangenziale ammissibile si assume in fun-zione della tensione normale σam:

am= 0,577

am [H3.11]

in cui gR e gS indicano i gradi di sicurezza assunti in base ai materiali e al tipo di carico. La tabella H3.4 ri-porta i valori dei gradi di sicurezza in relazione al tipo di carico preso come riferimento.

Per calcolare il grado di sicurezza relativo ai carichi statici si può prendere come riferimento sia il carico Rm sia il carico ReL. Se i carichi sono dinamici o a fa-tica è opportuno prendere come riferimento il solo carico ReL.

Carichi dinamici

Poiché i carichi dinamici sono più pericolosi di quelli statici, si devono utilizzare valori del grado di sicurez-za gSd più elevati, se con gS si indica il valore letto nel-la tabella H3.4:

g Sd =1,5 g S [H3.12]

> 2 minuti

Tempo [min]

Ca

rich

i

Tempo [s]

~1/10 di secondoC

ari

chi

(a) (b)

(1/1000 ÷ 1) secondi

Tempo [s]

Ca

rich

i

(c)

Tabella H3.4 – Gradi di sicurezza gR = Rm/σam e gS = ReL/σam per carichi statici

Materiale Stato gr gs

AcciaioLaminati, fucinati 2,3 ÷ 3 1,5 ÷ 2

Getti 3,2 ÷ 4,2 1,8 ÷ 2,5

Ghisa Getti 7 ÷ 9 –

Altri materiali metalliciLaminati, fucinati, estrusi 3 ÷ 4 2 ÷ 2,6

Getti 4 ÷ 5,2 2 ÷ 2,8

Legname Travi e tavole 8 ÷ 10 –