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Dinamica dei Sistemi Aerospaziali

(DSA)

Revisione 23 ottobre 2014

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Indice

1 Dinamica del corpo rigido 1-11.1 Sistemi fisici e modelli matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-11.2 I sistemi meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2

1.2.1 Gradi di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-21.2.2 Gradi di vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-31.2.3 Variabili fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3

1.3 Equazioni di moto: equilibri dinamici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-41.3.1 Dinamica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-51.3.2 Dinamica di un corpo rigido con spessore trascurabile e punto fisso . . . . . . . . . 1-8

2 Scrittura delle equazioni di moto mediante approcci energetici 2-12.1 Il Principio dei Lavori Virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-12.2 Il teorema dellEnergia Cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-32.3 Le equazioni di Lagrange (di IIo tipo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-52.4 Le equazioni di Lagrange (di Io tipo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-72.5 Metodo di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-10

3 Cinematica e dinamica dei sistemi di corpi rigidi 3-13.1 I sistemi di corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1

3.2 Dipendenza dellequilibrio dalla configurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-23.2.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-23.2.2 Forze dipendenti dalla configurazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-5

3.3 Esempio: il manovellismo ordinario centrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-103.3.1 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-113.3.2 Forza dipendente dalla posizione: pressione nella camera . . . . . . . . . . . . . . . 3-133.3.3 Forze dinerzia: masse equivalenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-143.3.4 Diagramma di corpo libero ed equilibrio dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-153.3.5 Equazione del moto mediante Teorema dellEnergia Cinetica . . . . . . . . . . . . 3 -17

4 Dinamica mediante le equazioni di Lagrange 4-14.1 Equazione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1

4.1.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-2

4.1.2 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-34.1.3 Funzione di dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-34.1.4 Sollecitazioni attive rimanenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-4

4.2 Scrittura dellequazione di moto del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-44.3 Linearizzazione dellequazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-6

4.3.1 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero . . . . . . . . . . . . . 4-74.3.2 Procedure per la linearizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-94.3.3 Linearizzazione diretta dellequazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-94.3.4 Quadraticizzazione della funzione di Lagrange e sua linearizzazione . . . . . . . . . 4 - 1 14.3.5 Utilizzo dellequazione di moto linearizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-12

4.4 Esempi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-13

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5 Sistemi vibranti ad un grado di liberta Parte I 5-1

5.1 Meccanica delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-1

5.2 Moto libero non smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-3

5.3 Vibrazioni libere smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-5

5.4 Moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-9

5.5 Moto forzato per spostamento del vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-115.6 Moto forzato smorzato con eccitazione armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 -14

6 Cenni sulla stabilita 6-1

6.1 Che cosa si intende per stabilita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1

6.2 Definizione di stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2

6.3 Stabilita ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2

6.3.1 Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 6-3

6.3.2 Stabilita della soluzione del problema linearizzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-3

6.3.3 Validita dello studio del problema linearizzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-4

6.4 Stabilita statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-6

6.5 Regime assoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-8

6.6 Stabilita statica ed energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-96.7 Stabilita da un punto di vista energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-12

6.7.1 Applicazione alla stabilita di un sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 -12

6.7.2 Esempio di studio della stabilita di un sistema nonlineare . . . . . . . . . . . . . . 6-13

6.7.3 Interpretazione in termini di stabilita statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-13

6.8 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-14

7 Azioni mutue tra elementi di macchine Parte I 7-1

7.1 Attrito di strisciamento nei solidi a contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-1

7.2 Usura nel contatto tra solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-5

7.2.1 Esempio: distribuzione di pressione su un perno rotante . . . . . . . . . . . . . . . 7-6

7.2.2 Esempio: innesto a frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-7

7.3 Resistenza al rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-12

7.3.1 Misura del coefficiente di resistenza al rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-14

8 Dinamica della macchina a un grado di liberta 8-1

8.1 Considerazioni generali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-1

8.1.1 Espressione della potenza motrice e della potenza resistente . . . . . . . . . . . . . 8-2

8.1.2 Energia cinetica: momento dinerzia ridotto di motore e utilizzatore . . . . . . . . 8-4

8.1.3 La trasmissione: espressione della potenza perduta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-4

8.1.4 Esempio illustrativo: piani inclinati con attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-8

8.1.5 Condizioni di funzionamento della macchina ad un grado di liberta . . . . . . . . . 8 - 1 0

8.2 La macchina a regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-11

8.2.1 Equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-118.2.2 Condizioni di funzionamento in regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-12

8.2.3 Esempio applicativo: moto di un impianto di sollevamento carichi . . . . . . . . . 8 -12

8.2.4 Esempio applicativo: autoveicolo in salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-15

8.3 Macchina in regime periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-20

8.3.1 Equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-20

8.3.2 Funzionamento in regime periodico: irregolarita periodica . . . . . . . . . . . . . . 8-20

8.3.3 Esempio applicativo: motore alternativo a combustione interna . . . . . . . . . . . 8 -23

8.3.4 Esempio applicativo: pompa a stantuffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 -23

8.3.5 Esempio applicativo: motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . 8 -24

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9 Azionamento elettromeccanico in corrente continua 9-19.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-19.2 Motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-1

9.2.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-19.2.2 Architettura generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-39.2.3 Forza elettromotrice indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-39.2.4 Coppia motrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-49.2.5 Contatti striscianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-49.2.6 Potenza elettromeccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-69.2.7 Modello elettrodinamico del motore in c.c.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-69.2.8 Funzionamento e rendimento del motore elettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . 9-8

9.3 Lazionamento in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-99.3.1 Controllo in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-109.3.2 Controllo in corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-159.3.3 Azionamento in c.c. di un compressore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -179.3.4 Lanalisi di stabilita del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-19

9.4 Equazioni di Lagrange per sistemi elettromeccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-229.4.1 Approccio in corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -22

9.4.2 Approccio in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -25

10 Azioni mutue tra elementi di macchine Parte II 10-110.1 Azioni aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-110.2 Teoria elementare della lubrificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-3

10.2.1 Descrizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-310.2.2 Fluidodinamica del lubrificante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-410.2.3 Lubrificazione idrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-610.2.4 Lubrificazione idrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-8

11 Modellazione elementi a fluido 11-111.1 Esempi di applicazione dei concetti richiamati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-10

11.1.1 Colpo dariete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1-10

11.1.2 Flusso stazionario da una piccola apertura (orifizio) . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1111.1.3 Molla-smorzatore a fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1411.1.4 Attuatore idraulico lineare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-16

12 Sistemi vibranti ad un grado di liberta Parte II 12-112.1 Identificazione dello smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2-1

12.1.1 Smorzamento viscoso: moto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-112.1.2 Smorzamento viscoso: moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-212.1.3 Smorzamento isteretico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-4

12.2 Isolamento delle vibrazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2-412.3 Strumenti di misura delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-712.4 Risposta a forzante impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2-11

12.4.1 Impulso di quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-11

12.4.2 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1112.4.3 Generalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-16

13 Sistemi vibranti a piu gradi di liberta 13-113.1 Sistemi a piu gradi di liberta non smorzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3-1

13.1.1 Moto libero: modi propri di vibrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-213.1.2 Ortogonalita dei modi propri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-5

13.2 Approccio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-713.2.1 Risposta a forzanti armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-913.2.2 Considerazioni sullutilizzo dellapproccio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 - 1 113.2.3 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero . . . . . . . . . . . . . 13-12

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13.3 Applicazione: assorbitore dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3-13

13.4 Vibrazioni forzate smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-15

13.4.1 Smorzamento proporzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-16

13.4.2 Smorzamento isteretico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-17

13.4.3 Smorzamento viscoso generico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3-18

13.5 Dal continuo al discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-19

14 Rappresentazione agli stati di sistemi vibranti e modelli approssimati 14-1

14.1 Rappresentazione agli stati nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-2

14.1.1 Integrale generale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-2

14.1.2 Integrale particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-3

14.2 Rappresentazione agli stati nel dominio di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-4

14.3 Realizzazione agli stati di una funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-4

14.3.1 Invarianza di una rappresentazione agli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-5

14.3.2 Raggiungibilita ed osservabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4-5

14.3.3 Verifica intuitiva del criterio di osservabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-6

14.4 Rappresentazione agli stati di problemi meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4-6

14.4.1 Oscillatore armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4-714.4.2 Forma canonica di controllabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-7

14.4.3 Forma canonica di osservabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-10

14.5 Risposta a forzanti specifiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4-11

14.5.1 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-11

14.5.2 Risposta a scalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-11

14.6 Approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-12

14.6.1 Approssimazione statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-12

14.6.2 Approssimazione quasi-stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4-13

14.6.3 Residualizzazione degli stati veloci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-17

14.6.4 Accelerazione dei modi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-22

15 Sistemi immersi in campi di forza 15-115.1 Sistemi ad un grado di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1

15.1.1 Freno a disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1

15.1.2 Campo di forze aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-2

15.2 Sistemi vibranti a 2 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-6

15.2.1 Campo di forze puramente posizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-8

15.2.2 Instabilita aeroelastica della sezione tipica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5-11

A Cenni di dinamica del corpo rigido nello spazio A-1

A.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1

A.2 Dinamica del corpo rigido nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A -2

A.2.1 Richiami di calcolo vettoriale in notazione matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . A-2

A.2.2 Cinematica del punto materiale nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-3A.2.3 Descrizione delle rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-5

A.2.4 Forze e coppie dinerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6

A.2.5 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-9

A.2.6 Applicazione al caso piano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-11

A.3 Fenomeni giroscopici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-11

A.3.1 Coppia dinerzia in un sistema di riferimento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . A-12

A.3.2 Misura della velocita di rotazione: il giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-16

A.4 Esercizio: pala rigida di elicottero nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A -19

A.5 Esercizio: trottola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-24

iv

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B Esempi di azionamenti idraulici B-1B.1 Valvola a doppio getto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-1

B.1.1 Nomenclatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-2B.1.2 Equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-3B.1.3 Incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-4B.1.4 Bilancio di portata della camera 1 del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-4B.1.5 Bilancio di portata della camera 2 del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-4B.1.6 Bilancio di portata della camera 1 della valvola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-4B.1.7 Bilancio di portata della camera 2 della valvola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-5B.1.8 Equazione di moto del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-5B.1.9 Equazione di moto del flap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-5B.1.10 Equazione del motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-6B.1.11 Linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-6B.1.12 Comportamento del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-7

B.2 Attuatore collegato ad un sistema dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-7

C Procedure per limpostazione e la soluzione dei problemi C-1C.1 Comprensione e scrittura del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1

C.1.1 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1C.1.2 Scrittura delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-2C.1.3 Scrittura delle relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-3C.1.4 Mettiamo tutto insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-3

C.2 Soluzione del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-3

D Note sulluso dellequazione di chiusura D-1D.1 Dipendenza esplicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D-1D.2 Dipendenza implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D-2D.3 Cinematica nella scrittura delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D-2D.4 Esempio: manovellismo ordinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D-3

E Breviario ad (ab)uso degli studenti E-1E.1 Primo Principio della Dinamica dei Sistemi Aerospaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-1E.2 Teorema dellininfluenza delle forze dinerzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E -1

E.2.1 Corollario della viralita del moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-2E.2.2 Lemma della singolarita della distribuzione delle masse. . . . . . . . . . . . . . . . E -2E.2.3 Corollario dellincompatibilita tra regime e forze dinerzia . . . . . . . . . . . . . . E -2E.2.4 Sullopportunita di considerare due volte le forze dinerzia . . . . . . . . . . . . . . E-2

E.3 Teorema del triangolo isoscele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-3E.3.1 Corollario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-3

E.4 Lemma della crasi tra definizioni diverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-3E.5 Teorema del calcolo delle frequenze caratteristiche di sistemi meccanici descritti da equazioni

disaccoppiate (o dellaammuina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-3E.6 Sulla vera definizione di energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-4E.7 Teorema delladerenza media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-4

E.8 La funzione segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-4E.9 Trasformata di Laplace di sistemi a piu gradi di liberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-4E.10 Omicidi matriciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-4E.11 Esercizio: trova lerrore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-5

F Soluzione esercizi F-1

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Elenco delle figure

1.1 Modello fisico di un sistema di guida per razzi (da Cannon,[1]).. . . . . . . . . . . . . . . 1-21.2 Un sistema meccanico a due gradi di liberta (da Cannon,[1]). . . . . . . . . . . . . . . . . 1-41.3 Cinematica di un corpo rigido con un punto fisso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-61.4 Componenti della forza dinerzia agente sul puntoPdi un corpo rigido con un punto fisso. 1-91.5 Forze agenti sul corpo rigido (ovvero, diagramma di corpo libero). . . . . . . . . . . . . . 1-91.6 Sistema equipollente delle forze dinerzia (a sinistra) e loro reale distribuzione (a destra)

in unasta incernierata ad un estremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-11

2.1 Corpo rigido di piccolo spessore soggetto a moto puramente rotatorio. . . . . . . . . . . . 2-22.2 Joseph-Louis Lagrange, nato Giuseppe Lodovico Lagrangia o ancora Giuseppe Luigi La-

grangia o Lagrange (Torino, 25 gennaio 1736 Parigi, 10 aprile 1813). . . . . . . . . . . 2-6

3.1 Motore alternativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-33.2 Carrello di atterraggio (carrello principale di un F18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-43.3 Curva caratteristica di una molla.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-63.4 Galleggiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-93.5 Andamento sperimentale (o) e approssimato delle forze di attrito secco, viscoso e con legge

quadratica in funzione della velocita relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 -103.6 Il manovellismo ordinario centrato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-113.7 Lequazione di chiusura per lanalisi cinematica; il puntoB indica lo schema di montaggio

corrispondente alla radice negativa nellequazione (3.28), che corrisponde ad un cambio diosservatore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 -113.8 La sequenza del ciclo termodinamico di un motore a 4 tempi a partire (a sinistra) dalla

fase di aspirazione, seguita da compressione, espansione e scarico. . . . . . . . . . . . . . . 3-133.9 Ciclo ideale termodinamico per unita di volume daria aspirata. . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 1 43.10 Approssimazione della biella a masse concentrate.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-153.11 Albero a gomiti per motore daviazione a doppia stella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-153.12 Le forze agenti sul sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-16

4.1 Sistema non vincolato soggetto a un sistema di forze a risultante non nullo. . . . . . . . . 4-8

5.1 Velivolo in atterraggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-25.2 Pendolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2

5.3 Sistema vibrante a un grado di liberta, senza attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-35.4 Oscillazione armonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-45.5 Oscillatore smorzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-55.6 Oscillazione smorzata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-75.7 Risposta supercritica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-85.8 Risposta critica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-85.9 Caratteristiche della soluzione al variare del fattore di smorzamento . . . . . . . . . . . . 5-95.10 Confronto tra le risposte al variare del coefficiente di smorzamento. . . . . . . . . . . . . . 5-95.11 Risposta in frequenza di un sistema vibrante forzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-115.12 Sistema vibrante per spostamento del vincolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-125.13 Sistema vibrante per squilibrio dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-13

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5.14 Sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-155.15 Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente (N.B.: nel disegno/0

e indicato con /n,lo smorzamentor e indicato con c, mentre la fase e rappresentatacon segno opposto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-16

5.16 Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente. . . . . . . . . . . . . . 5-17

6.1 Stabilita del pendolo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-56.2 Stabilita in presenza di attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-56.3 Transizione da stabilita ad instabilita al variare di parametri del sistema. . . . . . . . . . 6-86.4 Sistema meccanico ad un grado di liberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-106.5 Sistema meccanico ad un grado di liberta in un sistema rotante.. . . . . . . . . . . . . . . 6-11

7.1 Rappresentazione pittorica della superficie di contatto tra due corpi. . . . . . . . . . . . . 7-27.2 Attrito statico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-37.3 Coefficiente di attrito dinamicofin funzione del modulo della velocita relativa. . . . . . . 7-47.4 Perno rotante.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-57.5 Innesto a frizione.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-77.6 Velocita dellutilizzatore durante la manovra di innesto della frizione. . . . . . . . . . . . . 7-9

7.7 Innesto a frizione dettaglio del disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-107.8 Innesto a frizione dettaglio della campana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 -107.9 Velocita del motore durante la manovra di innesto della frizione. . . . . . . . . . . . . . . 7-117.10 Velocita di motore ed utilizzatore durante e al termine della manovra di innesto della

frizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-127.11 Schema di contatto ruota-strada per ruota deformbile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-137.12 Schema di contatto ruota-strada: diagramma di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-137.13 Coefficiente di resistenza al rotolamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 -147.14 Schema di funzionamento della ruota strada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-157.15 Misura sperimentale della resistenza al rotolamento di un veicolo stradale. . . . . . . . . . 7 - 1 6

8.1 Schema della macchina a un grado di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-28.2 Flussi di potenza attraverso la trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-5

8.3 Macchina costituita da due corpi in moto relativo lungo un piano inclinato con attrito. . . 8-88.4 Schema della macchina ad un grado di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-108.5 Impianto di sollevamento carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-138.6 Caratteristica del motore asincrono trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 -148.7 Condizione di funzionamento in salita ed in discesa del lato utilizzatore dellimpianto di

sollevamento carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 -148.8 Veicolo in salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-16

9.1 Principio di funzionamento del motore in corrente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-29.2 Disegno schematico del rotore di un motore in corrente continua. . . . . . . . . . . . . . . 9-29.3 Distribuzione sul giro di coppia e forza elettromotrice indotta da una spira in un motore

elettrico in c.c. al crescere del numero delle spire N; il valore fornito dalla singola spira

tende rapidamente al valor medio 2/, pari a circa 0.63662. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-59.4 Il modello del motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-79.5 Il modello essenziale del motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-79.6 Curve di funzionamento di un motore elettrico in corrente continua per diverse tensioni di

alimentazioneea (rette oblique); la curva Cr rappresenta la coppia resistente generata daun generico utilizzatore, cambiata di segno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-8

9.7 Un carico inerziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-99.8 Schema a blocchi del sistema in anello aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-109.9 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento in anello aperto del motore elettrico

in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-119.10 Schema a blocchi del sistema in anello chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-12

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9.11 Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motoreelettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -13

9.12 Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motoreelettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -13

9.13 Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motoreelettrico in c.c. controllato in corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-16

9.14 Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motoreelettrico in c.c. controllato in corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-16

9.15 Il motore di azionamento di un compressore e le relative curve caratteristiche . . . . . . . 9-179.16 Condizione di moto a regime per il sistema motore a c.c.-compressore . . . . . . . . . . . 9-189.17 Induttore e condensatore (LC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-239.18 Resistore, induttore e condensatore (RLC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-249.19 Motore elettrico in corrente continua, approccio in tensione. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-26

10.1 Sezioni di riferimento in campo automobilistico per la valutazione del coefficiente diresistenza del veicolo: proiezione frontale (a) e massima sezione trasversale (b). . . . . . . 10-2

10.2 Schematizzazione del moto laminare di un fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-310.3 Schematizzazione del moto laminare di un fluido tra due superfici in moto relativo. . . . . 10-5

10.4 Andamento della pressione nel meato per effetto della geometria. . . . . . . . . . . . . . . 10-710.5 Perno lubrificato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1010.6 Lubrificazione idrodinamica: dipendenza dellattrito mediato dalla velocita relativa. . . . . 10-10

11.1 Variazione di pressione massima in una condotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1111.2 Orifizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1211.3 Molla-smorzatore a fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1411.4 Attuatore idraulico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-16

12.1 Identificazione dello smorzamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-212.2 Validita dellapprossimazione dello smorzamento identificato mediante la relazione (12.6). 12-212.3 Macchine che trasmettono vibrazioni al terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-512.4 Sistema soggetto a vibrazione del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-5

12.5 Modulo e fase della risposta di un sistema vibrante smorzato (N.B.: nel disegno/0 eindicato con /n, lo smorzamento r e indicato con c, mentre la fase e rappresentatacon segno opposto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-6

12.6 Strumento di misura delle vibrazioni assolute di un corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-812.7 Risposta dello strumento di misura delle vibrazioni.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-912.8 Accelerometro piezoelettrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2-1012.9 Approssimazione di un impulso come sequenza di due scalini. . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1212.10Approssimazioni di un impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1212.11Funzione impulso: (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1212.12Funzione scalino: step(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1312.13Funzione scalino approssimata come (1 + tanh(t))/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1312.14Impulso approssimato come derivata di (1 + tanh(t))/2. Il grafico sopra riporta la

funzione, il grafico sotto ne riporta la normalizzazione a valore massimo unitario, per

consentirne il confronto visivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1412.15Funzione discontinua con salto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-15

13.1 Sistema dinamico a 2 gradi di liberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3-113.2 Forme modali e risposta del sistema dinamico a 2 gradi di liberta. . . . . . . . . . . . . . 13-413.3 Risposta modale del sistema dinamico a 2 gradi di liberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1113.4 Assorbitore dinamico di vibrazioni usato su cavi dellalta tensione. . . . . . . . . . . . . . 13-1313.5 Modello dellassorbitore dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1413.6 Risposta della massa 1 dellassorbitore dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1513.7 Sistema vibrante a 2 gradi di liberta smorzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3-1613.8 Torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-20

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13.9 Modello ad un grado di liberta per la torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . 13-2113.10Modello a due gradi di liberta per la torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . . 13-22

14.1 Esempio di applicazione dellaccelerazione dei modi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4-2414.2 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e

lo spostam ento della m assa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14- 26

14.3 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 elo spostam ento della m assa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14- 27

14.4 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 elazione interna nella molla 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-28

15.1 Freno a disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-115.2 Composizione delle velocita di vento V e corpo x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-315.3 Decomposizione della forza aerodinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-315.4 Auto da corsa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-415.5 Sistema a 2 gdl immerso in un campo di forze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-715.6 Autovalori di un sistema conservativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1015.7 Autovalori di un sistema non conservativo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5-1115.8 Sezione tipica: profilo alare immerso in un fluido, soggetto a in moto piano. . . . . . . . . 15- 12

15.9 Composizione delle velocita del vento V e del corpo x a dare langolo di incidenzacinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-13

15.10CurveCL-, CD- e CM- del profilo NACA 0009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5-1515.11Coalescenza, al crescere della velocita V, di due frequenze proprie; per semplicita sono

mostrate solo le radici con parte immaginaria positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-17

A.1 Il giroscopio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1A.2 Sequenza di rotazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6A.3 Un Control Moment Gyro (CMG) della ECP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A -15A.4 Effetto della coppia giroscopica sulla forcella anteriore di una motocicletta. . . . . . . . . A -15A.5 Corpo rigido in moto rotatorio rispetto a due assi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-17A.6 Modello semplificato di pala di elicottero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-19A.7 Sistemi di riferimento definiti ed utilizzati sullelicottero (immagine dellelicottero tratta

da http://www.midisegni.it/disegni/vari/elicottero.gif). . . . . . . . . . . . . . . A-20A.8 Descrizione dellorientazione della trottola.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A -24A.9 Traiettoria del baricentro della trottola per condizioni iniziali di precessioneretrocedente

positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A -28

B.1 Valvola a doppio getto (da Merritt,[2]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-2

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Elenco delle tabelle

3.1 Rigidezze equivalenti di travi variamente vincolate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-8

8.1 Riassunto delle condizioni di moto diretto e retrogrado della trasmissione . . . . . . . . . 8-7

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Introduzione

Queste dispense costituiscono una parte essenziale del materiale didattico a supporto del corso di Dinam-ica dei Sistemi Aerospaziali, relativo al corso di laurea in Ingegneria Aerospaziale, Facolta di IngegneriaIndustriale del Politecnico di Milano.

Il contenuto e il risultato del lavoro di alcuni docenti, in particolare dei Proff. Andrea Curami eFerruccio Resta, del Dipartimento di Meccanica, e del Prof. Paolo Mantegazza e dellIng. PierangeloMasarati, del Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale.

Lispirazione e tratta da testi classici della Meccanica Razionale, della Meccanica Applicata e della

Dinamica dei Sistemi, a cui sono state aggiunte elaborazioni personali, frutto dellesperienza didatticae di ricerca sia degli autori che dei colleghi dei rispettivi Dipartimenti. E ormai impossibile identificarecon precisione lautore di specifiche parti di questo materiale; per questo motivo, non sono riportateattribuzioni a specifiche persone. Un sentito ringraziamento va ai colleghi che hanno in qualche modocontribuito alla sua stesura.

Le dispense sono per definizione materiale in continua evoluzione. Anche per questo motivo possonocontenere materiale incompleto o errori nelle formule, nella sintassi, o parti di difficile comprensione. Gliautori sono grati al lettore attento che volesse segnalare eventuali errori o suggerire possibili migliorie,da indirizzare preferibilmente per posta elettronica a pierangelo.masarati@polimi.it.

Notazione

Nella stesura di queste note si e cercato da una parte di usare una notazione il piu possibile uniforme, edallaltra di mutuare i simboli e i formalismi dalla letteratura piu consolidata.

In genere, i vettori sono indicati sovrapponendo una freccia al simbolo, ad esempioa per indicare unvettore di nome a.

Le operazioni tra vettori seguono la notazione tradizionale italo-tedesca, in continuita con il testo diMeccanica Razionale del Prof. Bruno Finzi. Dati due vettoria eb, rappresentabili in base cartesianacome

a= axi + ayj+ azk

b= bxi + byj+ bzk

in funzione delle loro componenti ax,ay, az ebx,by ebz, e dei versori degli assi, i,j ek, il loroprodotto

scalareviene indicato con a

b, ovvero

a b= axbx+ ayby+ azbz. (1)

Il loro prodotto vettore, invece, viene indicato con a b, ovvero

a b=

i j kax ay azbx by bz

= (aybz azby)i + (azbx axbz)j+ (axby aybx) k. (2)Questa notazione differisce da quella anglosassone, che caratterizza la letteratura piu recente. La

notazione anglosassone indica il prodotto scalare cona b, e il prodotto vettore cona b. Si noti come

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questultimo crei confusione con il simbolo del prodotto scalare utilizzato nella notazione di tradizioneitalo-tedesca. Per questo motivo si richiede al lettore di prestare particolare attenzione nella lettura delleoperazioni vettoriali.

Il significato dei simboli dovrebbe comunque essere chiaro dal contesto, in quanto loperazione diprodotto scalare da come risultato uno scalare, mentre loperazione di prodotto vettorie da come risultatoun vettore.

In origine, per i problemi a piu gradi di liberta si era utilizzato un formalismo basato sulle parentesiper distinguere scalari, vettori e matrici: gli scalari erano indicati con semplici caratteri in corsivo (adesempiog); i vettori erano indicati con caratteri in corsivo inseriti tra parentesi graffe (ad esempio{x});le matrici erano indicate con caratteri in corsivo inseriti tra parentesi quadre (ad esempio [ M]). Taleformalismo e mantenuto in alcuni capitoli e paragrafi; in generale, le parentesi sono tuttora usate perraggruppare entita costituite da sotto-blocchi.

In seguito a critiche ed osservazioni costruttive ricevute da esimi colleghi, si e deciso di passare ad unanotazione piu leggera, con i vettori in grassetto corsivo (ad esempio x), in genere minuscolo, e le matriciin grassetto tondo (ad esempio M), in genere maiuscolo. Anche in questo caso, il tipo e le dimensionidelle varie entita dovrebbe essere chiaro dal contesto, quando non esplicitamente indicato.

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Capitolo 1

Dinamica del corpo rigido

Generato il 23 ottobre 2014

All models are wrong, but someare useful.

George Box

1.1 Sistemi fisici e modelli matematici

Per condurre lo studio del comportamento di un qualsiasi sistema fisico, per una corretta progettazione edimensionamento, sono possibili due vie: una puramente sperimentale, che consiste nella misura direttadelle proprieta fisiche che si desidera conoscere, eventualmente applicando correzioni e reiterando gli es-perimenti fino allottenimento del risultato voluto, e laltra teorica, basata sulla soluzione, con opportunialgoritmi, di modelli matematici del sistema. Questi ultimi sono basati sulla descrizione e caratter-izzazione del sistema fisico con un appropriato modello fisico e possono assumere gradi di complessita

diversi in funzione delle ipotesi semplificative adottate. Comunque, nel caso si voglia studiare la dinamicadi un sistema fisico, i modelli sono sempre costituiti da sistemi di equazioni differenziali rappresentantiil cambiamento nel tempo delle proprieta fisiche che caratterizzano il sistema stesso.

Per analisi dinamica di un sistema fisico sintende linsieme di operazioni che dallidentificazionedel sistema stesso portano alla creazione del suo modello matematico e alla successiva soluzione diquestultimo. Con il termine di sintesi dinamicasi intende, invece, la successiva indagine che puo esserecondotta variando i valori di alcune proprieta del modello fisico affinche alcuni parametri del sistemaassumano valori prefissati.

In funzione del fenomeno principale che governa il sistema fisico riconosceremo sistemi meccanici,sistemi termici, sistemi idraulici, sistemi elettrici, sistemi elettronici ecc., e in generale si potr a vedereche i sistemi reali sono composti da piu sottosistemi di natura diversa tra loro interconnessi a formare ununico insieme multidisciplinare, come e il caso del sistema di controllo di rotta per missili schematizzatonella figura1.1.

Nel caso in oggetto, il cambiamento di rotta del missile viene ottenuto variando la direzione dispinta del motore a razzo attraverso un attuatore idraulico che e azionato da una servovalvola, a suavolta azionata da un motore elettrico di coppia pilotato da un controllore, sempre piu spesso di tipodigitale, utilizzando cioe un microprocessore. Il controllore, per far seguire al missile la traiettoria voluta,necessita di informazioni sulla sua posizione, velocita ed accelerazione, attraverso le misure di opportuniaccelerometri, giroscopi, GPS, ecc. e, sulla base di queste misure, interviene sulla direzione di spinta.

Il corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali ha principalmente per oggetto lo studio della dinamicadei sistemi meccanici e delle macchine in particolare, ove per macchina sintende quel particolare sistemaatto sia a trasformare energie di forme diverse in energia meccanica e viceversa, ove possibile, sia autilizzare i vari tipi di energia per realizzare particolari funzioni richieste per il funzionamento degliaeromobili che costituiscono loggetto principale del corso di studi in Ingegneria Aerospaziale.

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Figura 1.1: Modello fisico di un sistema di guida per razzi (da Cannon, [1]).

I modelli matematici ai quali perverremo si traducono, come detto, in una serie di equazioni differen-ziali, dette anche equazioni di moto, che legano le azioni agenti sul sistema reale al suo movimento.

E opportuno ricordare la massima all models are wrong, but some are useful [3]. Letteralmenterappresenta un gradevole aforisma, ma ci dice anche altro. Ci dice che modelli universali, corretti in ognicircostanza, difficilmente possono essere formulati. La scelta del modello da utilizzare per lo studio e lasoluzione di un problema specifico e frutto della ricerca di un compromesso vantaggioso tra gli obbiettiviche ci si prefigge e il costo che si e disposti a pagare per raggiungerli. La vera domanda, quindi diventa:quanto sbagliato (ovvero semplificato) puo essere un modello, mantenendo pero la sua utilita (ovverola capacita di fornire risultati accettabili)?

1.2 I sistemi meccanici

Nel corso di Meccanica Razionale si sono studiati i metodi per condurre lanalisi cinematica e dinamicadi un punto materiale e di un corpo rigido, spesso elementi di base di sistemi meccanici pi u complessi.Qualsiasi sistema meccanico reale puo essere infatti schematizzato come un sistema fisico ideale formatodallinsieme di punti materiali e di corpi rigidi, tra loro connessi da opportuni vincoli, al fine di realizzarelo scopo per il quale si e progettata la macchina.

1.2.1 Gradi di liberta

Lanalisi dinamica dei sistemi reali necessita della conoscenza del numero di gradi di liberta da loroposseduti, ovvero le possibilita di moto libero e non condizionato dai vincoli. Al fine di definire lo statodi un sistema (posizione e velocita) e infatti necessario identificare il numero di parametri, pari ai gradidi liberta, in grado di variare indipendentemente: tali parametri sono variabili indipendenti.

Il corso di Meccanica Razionale ha messo in luce come, al fine di individuare la posizione nello spaziodi un punto materiale, siano necessarie tre coordinate; se se ne confina la giacitura in un piano, talicoordinate si riducono a due. Conseguentemente, le variabili indipendenti per lanalisi dinamica di unpunto materiale nello spazio saranno tre; due nel caso di moto piano.

Per il corpo rigido libero, ovvero un corpo dotato di dimensioni non trascurabili, al fine di identificarnela configurazione nello spazio sono necessarie sei coordinate libere che, spesso, vengono ricondotte allaposizione di un punto appartenente al corpo e a tre parametri1 che forniscono lorientamento del corponello spazio.

1La definizione di unorientazione nello spazio richiede tre parametri che possono essere rappresentati da nove cosenidirettori, vincolati da sei equazioni che ne impongono lortonormalita, oppure da tre angoli valutati secondo una bendeterminata sequenza, o da altre forme di parametrizzazione in ogni caso riconducibili a tre gradi di liberta.

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Analogamente, passando al piano, saranno sufficienti tre coordinate libere, ovvero tre gradi di liberta,per caratterizzare la configurazione del corpo: due per la posizione e una per lorientamento.

1.2.2 Gradi di vincolo

Come detto, i sistemi meccanici sono in generale costituiti da un insieme di pi u corpi rigidi opportuna-

mente vincolati tra loro. Tali vincoli impediscono alcune tra le possibilita di spostamento e rotazione deisingoli componenti del sistema, ovvero creano dei legami tra lo stato dei vari componenti e le variabiliindipendenti scelte.

Ad esempio, gia la condizione di rigidita di un corpo rigido deve essere vista come un vincolo. Inrealta, infatti, ogni corpo e deformabile sotto lazione delle forze che agiscono su di esso. Ipotizzare taledeformabilita trascurabile implica imporre che la distanza tra due punti arbitrari solidali al corpo stessonon vari mai, e che langolo formato da due rette solidali al corpo rimanga costante durante il movimento.Tale vincolo si traduce nel fatto che per identificare la posizione di tutti i punti appartenenti al corporigido stesso e sufficiente identificare sei parametri indipendenti (tre nel caso di moto piano) e che pertutti i punti del corpo e possibile scrivere dei legami tra i loro spostamenti e le variabili indipendenti.

Un sistema composto dan corpi liberi (meccanismo) possiede 6ngradi di liberta nello spazio; 3nnel piano. Lintroduzione di vincoli tra i corpi o verso il mondo esterno (telaio) riduce il numero deigradi di liberta del sistema. Tale riduzione di gradi di liberta implica lesistenza di legami tra le varieposizioni caratteristiche del sistema e le variabili indipendenti.

E necessario quindi, come primo passo di ogni analisi, il computo del numero dei gradi di liberta (ogradi di mobilita) del sistema.

A titolo di esempio, nel caso di meccanismi piani con sole coppie inferiori (ad esempio cerniere, pattinie carrelli), in cui i collegamenti siano solo di tipo binario (ossia ogni vincolo collega solo due elementi),si definisce la regola di Grubler per il calcolo del grado di mobilit a del sistema. Dettoc1 il numero divincoli che sopprimono un solo grado di libert a (es. carrello), e c2 il numero di vincoli che sopprimonodue gradi di liberta, (es. cerniera o pattino), il numero di gradi di libertangdl e

ngdl = 3 n c1 2 c2 (1.1)essendon il numero di corpi rigidi componenti il meccanismo.

1.2.3 Variabili fisicheLanalisi dinamica di un sistema, una volta noto il numero di gradi di liberta ngdl di cui esso gode,richiede la scrittura e la soluzione delle equazioni di moto e quindi, nel caso di un sistema meccanico,lidentificazione delle forze agenti su di esso.

Poiche alcune delle forze agenti possono essere funzione di grandezze cinematiche, e opportunodefinire, oltre alle variabili indipendenti del sistema, anche altre variabili, dette variabili fisiche, chepermettano di definire posizione, velocita o accelerazione di questi punti dapplicazione in modo da ren-dere agevole la scrittura delle equazioni di moto. Tali variabili sono, per quanto detto, funzione dellevariabili indipendenti attraverso legami geometrici.

Con riferimento al sistema di figura1.2, ad esempio, il meccanismo piano e composto dai due corpirigidi m1 e m2 che possono solo traslare sui due rispettivi piani dappoggio. Il sistema libero godrebbedi sei gradi di liberta (3

2); i piani dappoggio si comportano come due pattini sopprimendo due gradi

di liberta per ogni corpo rigido, ovvero, dalla (1.1):

ngdl = 3 2 2 2 = 2 (1.2)Quindi, per definire in ogni istante la configurazione del sistema, e sufficiente scegliere come variabili

indipendenti due coordinate (ad esempiox1 e x2), e stabilirne lorigine ed il verso positivo nel quale sonomisurate.

Qualsiasi altra variabile fisica, ad esempio la posizione relativa del corpom2 rispetto alla slitta m1,risulta dipendente dalle variabili indipendenti scelte. Infatti, dallanalisi della geometria del sistema, siricava che:

= x2 x1 (1.3)

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Figura 1.2: Un sistema meccanico a due gradi di libert a (da Cannon, [1]).

ovvero esiste un legame tra variabile fisicae le variabili indipendentix1ex2adottate; tuttavia, potrebberisultare conveniente definire la grandezza se, ad esempio, fosse necessario inserire una molla tra i corpim1 em2.

Sempre in riferimento alla figura1.2, lazione esercitata dalla mollak5 dipende dalla sua elongazionerispetto alla posizione di molla scarica, per cui puo risultare conveniente lutilizzo di unaltra variabile

fisica per definire la deformazione della molla rispetto alla condizione di molla scarica.

1.3 Equazioni di moto: equilibri dinamici

Come noto, lequilibrio di un sistema meccanico in condizioni di quiete puo essere studiato mediante leequazioni cardinali della statica.

Ad esempio, nel caso di un corpo rigido libero nel piano xy, dotato quindi di tre gradi di liberta,soggetto ad un generico sistema di forze esterne, il sistema di equazioni di equilibrio equivale a treequazioni scalari indipendenti (due componenti per il risultante R di tali forze, ed una sola componente

per lequazione del loro momento Mrispetto a un polo O qualsivoglia), in numero eguale al numero deigradi di liberta del corpo, ovvero:

R= 0 (1.4a)

MO = 0 (1.4b)

che, proiettate sul piano cartesiano xy , danno luogo al sistema di equazioni pure:

Rx= 0 (1.5a)

Ry = 0 (1.5b)

MOz = 0. (1.5c)

Loperazione di proiezione si ottiene moltiplicando il vettore delle equazioni per il versore della direzionerispetto alla quale si vuole scrivere lequazione, ovvero

Rx= i R (1.6a)

Ry =j

R (1.6b)

MOz = k MO. (1.6c)Nel caso di un sistema composto da piu corpi tra loro connessi, le equazioni cardinali della statica

applicate allintero sistema costituiscono condizione solo necessaria. In tal caso occorre:

separare i corpi che costituiscono il sistema e scriverle per ognuno di essi, includendo quindi anchele reazioni vincolari scambiate tra i corpi stessi, oppure

considerare, oltre alle equazioni cardinali applicate al sistema completo, ulteriori equazioni di equi-librio riguardanti le mobilita relative tra i corpi che costituiscono il sistema meccanico nel suocomplesso.

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La dinamica di un sistema meccanico e definita attraverso relazioni che intercorrono tra moto delsistema (in termini di accelerazioni subite dai diversi punti del sistema) e forze agenti. Sono possibili dueapprocci allo studio della dinamica:

uno basato sulle equazioni di equilibrio di DAlembert, che possono essere considerate il corrispon-dente dinamico delle equazioni cardinali della statica,

uno basato su principi energetici, come il Principio dei Lavori Virtuali (dora in poi PLV), ilteorema di Lagrange, quello dellenergia cinetica, o altri ancora2.

Vale infine la pena di osservare che nel legame tra le forze agenti su un sistema e le corrispondentiaccelerazioni gioca un ruolo fondamentale la definizione delle caratteristiche meccaniche del sistemastesso: pertanto utilizzeremo nello studio della dinamica tutte le nozioni relative alla geometria dellemasse che sono state oggetto del corso di Meccanica Razionale.

Nel caso di un punto materiale di massa m vincolato, dalla legge di Newton (seconda legge della

Dinamica, [4]) si ricava che laccelerazione subita dal punto e legata al risultante F di tutte le forzeattive e reattive agenti sul corpo attraverso la relazione:

ma= F = R+ (1.7)

dove e la reazione vincolareche traduce lazione del vincolo, mentre R e il risultante delle sole forzeattive.

Definendo come forza dinerzia la quantita:

Fi= ma (1.8)

pari al prodotto della massa del punto per la sua accelerazione e agente in verso opposto a questultima,lequazione di moto (1.7) puo essere riscritta sotto forma di una equazione di equilibrio equivalente:

F+ Fi= 0 R+ + Fi = 0 (1.9)

ossia il problema dinamico puo essere sempre ricondotto a un problema statico equivalente, a condizione

di aggiungere al risultante delle forze attive e reattive anche la forza di inerzia.Questa affermazione, rappresentata matematicamente dalla Equazione (1.9), costituisce lenunciato

del principio di DAlembert nel caso del punto materiale.Lapplicazione di tale principio puo essere estesa al caso del corpo rigido, o del sistema di corpi rigidi.

1.3.1 Dinamica del corpo rigido

Consideriamo il caso di un corpo rigido di dimensioni non trascurabili, cioe un sistema continuo di puntimateriali ai quali e imposto il vincolo della rigidita. In questo caso, il principio di DAlembert, chenella (1.9) e stato applicato ad un generico punto materiale, puo essere scritto per ciascun punto delcorpo. Il corpo e quindi sottoposto a forze di inerzia distribuite. La forza dinerzia infinitesima agentesul generico puntoP di volume infinitesimo dVe massa infinitesima dm= dV e:

d Fi= dm a (1.10)

Definita questa distribuzione di forze, potremo quindi dire che il moto del corpo deve soddisfare leequazioni che ne definiscono lequilibrio dinamico sotto lazione delle forze (attive e reattive) agenti sudi esso, oltre a quelle di inerzia. Nel caso del corpo rigido e possibile ridurre lintero sistema di forzedinerzia distribuite ad un risultante Fi piu una coppia dinerzia CGi che possono essere espressi infunzione dellaccelerazione del baricentroG e dellaccelerazione angolare del corpo stesso, come illustratonel seguito.

2Si elencano, per completezza e senza presentarli: il principio di Hamilton, il principio di Gauss (o di minimo vincolo),il principio di Jourdain, le equazioni di Gibbs-Appell, le equazioni di Maggi-Kane, e cos via.

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000000111111

O

P

x

y

,

xO

xP

Figura 1.3: Cinematica di un corpo rigido con un punto fisso.

Le equazioni vettoriali che descrivono il moto del corpo rigido possono essere scritte a partire dalleequazioni cardinali della statica (1.4), includendo il termine aggiuntivo dovuto alle forze di inerzia, ovvero:

F+ Fi = 0 (1.11a)

MO+ COi = 0 (1.11b)

dove F e il risultante delle forze attive e reattive, e MO e il loro momento rispetto ad un polo O. Ilproblema dinamico e quindi ricondotto, ancora una volta, a un problema statico equivalente, a condizionedi essere in grado di calcolare il risultante Fi delle forze di inerzia d Fi agenti sul corpo e il loro momentorisultante rispetto al poloO considerato. Questo calcolo risulta in genere molto complesso per un corpodeformabile, ma per i corpi rigidi, oggetto principale di questo corso, vale la regola generale illustrata nelseguito.

La forza dinerzia e data dallintegrale esteso al volume V del corpo della forza dinerzia elementare (1.10)

Fi=

V

d Fi

= V

a dV (1.12)

dove la massa infinitesima e data dal prodotto della densita del materiale per il suo volume infinitesimo

dm= dV (1.13)

mentre la coppia dinerzia rispetto al generico punto O e data dallintegrale esteso al volumeVdel corpodel momento della forza dinerzia elementare (1.10) rispetto al punto O

COi =

V

(P O) d Fi

= V

(P O) a dV (1.14)

Nellipotesi che il polo O sia solidale con il corpo, la distanza (P O) tra il generico punto P edil polo rimane costante in modulo. A seguito del movimento rigido del corpo, ne puo variare soltanto

1-6

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lorientazione. Facendo riferimento alla terna intrinseca3, posizione, velocita ed accelerazione del puntoP sono

xP =xO+ (P O) (1.19a)xP = xO+ (P O) (1.19b)xP =xO+ ( (P O)) + (P O) (1.19c)

Lequazione (1.12), che esprime la forza dinerzia complessiva del corpo, nel caso piano diventa

Fi= V

xO dVV

( (P O)) dVV

(P O) dV

=V

dV m

xO+ 2

V

(P O) dV sO

k V

(P O) dV sO

(1.20)

La posizione del punto P puo essere espressa in relazione alla posizione di un altro punto, G, anchessosolidale con il corpo (il baricentro),

(P O) = (P G) + (G O) (1.21)

Di conseguenza, lespressione del momento staticosO rispetto al puntoO diventa

sO =

V

(P O) dV

=

V

(P G) dV sG0

+

V

(G O) dV

= (G O)V

dV

m(1.22)

in quanto per definizione il momento statico rispetto al baricentro,sG, e nullo; la (1.12) diventa quindi

Fi= mxO+ 2sO k sO (1.23)3Si ricordi che un vettore e definito dal suo modulo e dalla sua direzione. La derivata di un vettore di modulo costante

non e nulla se la sua direzione cambia. Si consideri, ad esempio, un vettore (PO) di modulo P O costante cherappresenta la distanza tra il generico punto Ped un polo O allistante di tempo t , entrambi solidali con un corpo rigidoche si muove nel piano di moto rotatorio attorno al polo O . Nellistante t il punto P si sposti in P; la velocita del puntoP allistante t si definisce

vP = limtt

(P P)

t t (1.15)

e, p er costruzione, e p erpendicolare a (P O). Puo quindi essere scritta come

vP =k (P O)P O

vP (1.16)

ovevP e uno scalare che ne rappresenta lampiezza. Si definisca

vP = P O (1.17)

lampiezza della velocita vP, costituita dal prodotto tra il modulo della distanza del punto P dal polo O e uno scalare ;la(1.16) diventa

vP =

k (PO) (1.18)

ove, ink = , si riconosce la velocita angolare del segmento (P O). Se ne deduce che la derivata di un vettore costantein modulo corrisponde alla velocita con cui cambia la sua orientazione.

1-7

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Lequazione1.14che esprime la coppia dinerzia complessiva del corpo diventa 4

COi = V

(P O) xO dVV

(P O) ( ( (P O))) dV

V (P O) (P O) dV=

V

(P O) dV sO

xO+V

2 (P O) (P O) 0

solo nel caso piano!

dV

V

(P O) (P O) dV JO

= sO xO

V

(P G) (P G) dV

JG

+ 2 (G O) V (P G) dV 0

+ (G O) (G O)V

dV m

=

sO xO

JG m (G O) (G O) (1.24)

Dalle (1.23) e (1.24) e evidente come la scelta del baricentro come punto rispetto al quale riferire lacoppia sia particolarmente vantaggioso, in quanto, per G O= 0, si ottiene

Fi= m

xG (1.25a)CGi= JG (1.25b)

Le formule (1.25) in questa forma valgono solo nel caso piano. Nello spazio, lespressione dellacoppia dinerzia e piu complessa.

Quanto illustrato a proposito della forza e coppia dinerzia si applica anche a problemi nello spazio;in tale caso, tuttavia, la velocita e laccelerazione angolare possono avere direzione arbitraria, per cuila scrittura delle caratteristiche inerziali del corpo rigido comporta che non necessariamente si verifichilannullamento di alcuni termini, come invece avviene nel caso piano.

1.3.2 Dinamica di un corpo rigido con spessore trascurabile e punto fisso

Esercizio 1.1 Si calcolino la coppia motrice M e le reazioni vincolari nel punto di vincolo O di uncorpo rigido di spessore trascurabile incernierato inO per velocita angolare e accelerazione angolareimposte.

4Si noti come, nel caso piano, ( (P O)) = 2 (P O) in quanto e p er definizione perpendicolare a (PO).Per questo motivo (P O) ( ( (P O))) 0 nella (1.24). Nel caso spaziale (si veda il CapitoloA) cio non e piunecessariamente vero, in quanto in generale (P O) = 0, ovvero non e necessariamente perp endicolare a (P O).

1-8

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000000111111

O

P

x

y ,

dm2

OP

dm

OP

Figura 1.4: Componenti della forza dinerzia agente sul puntoPdi un corpo rigido con un punto fisso.

O

G

x

y

, ,

m2OG

mOG

Ci

M

mg

nt

Figura 1.5: Forze agenti sul corpo rigido (ovvero, diagrammadi corpo libero).

Soluzione. Lanalisi cinematica insegna che tutti i punti del corpo rigido descrivono una traiettoriacircolare intorno al punto fisso O ; quindi il moto del baricentro G e descritto dalle relazioni

xG= (G O) (1.26a)xG= k (G O) (1.26b)xG=

2 (G

O)

an

+ k

(G

O)

at

(1.26c)

dove sono state messe in evidenza le componenti normale e tangenziale dellaccelerazione, rispettivamentean eat.

Sostituendo ai vincoli le corrispondenti reazioni vincolari, e possibile quindi scrivere le equazioniscalari di equilibrio dinamico del corpo rigido:

(m (G O) + t)sin +

m2 (G O) n

cos = 0 (1.27a)

(m (G O) + t)cos +

m2 (G O) n

sin mg= 0 (1.27b)M m (G O)2 JG mg (G O)cos = 0 (1.27c)

1-9

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corrispondenti alle equazioni della statica (1.5) quando vengano considerate anche le forze e coppie din-erzia. Dal momento che la scelta delle coordinate cartesiane xy e del tutto arbitraria, si puo considerare,nel piano xy, una qualunque coppia di direzioni ortogonali5 purche convenienti; nel caso in esame, leequazioni (1.27) diventano particolarmente semplici se si considerano le direzioni normale e tangenziale

m (G

O) + t+ mg cos = 0 (1.28a)

m2 (G O) n mg sin = 0 (1.28b)M m (G O)2 JG mg (G O)cos = 0 (1.28c)

In ogni caso, sia le (1.27) che le (1.28), equivalenti alle prime, conducono a un problema univocamente

determinato di tre equazioni nelle tre incognite t, n, M. E evidente come le (1.28) siano molto piufacili da risolvere delle (1.27), essendo le incognite disaccoppiate.

A prescindere da quale insieme di equazioni si considera, e comunque possibile, note la velocitaangolare e laccelerazione angolare del corpo, determinare la coppia motrice M necessaria. Si notiche in ogni caso una equazione (nellesempio lultima) e pura, ovvero non contiene le reazioni vincolari,e corrisponde allequazione del moto associata alla coordinata libera del problema. Le altre due possonoessere risolte a posteriori una volta determinato il movimento a partire dallequazione del moto.

Esercizio 1.2 A partire dalla soluzione dellesercizio 1.1 si calcolino le azioni interne nel corpo, nel-lipotesi che sia costituito da unasta di densita uniforme, sezione uniformeA e lunghezzal .

Soluzione. A partire dalla coppia motrice calcolata nellesercizio precedente, per dimensionarelorgano meccanico schematizzato come corpo rigido occorre valutare le azioni interne. Tuttavia none possibile utilizzare il sistema equipollente delle forze dinerzia, costituito dalle (1.23) e (1.24); occorreutilizzare la reale distribuzione delle azioni dinerzia.

La valutazione degli sforzi agenti allinterno di un corpo di geometria arbitraria e un problema com-plesso. La scienza delle costruzioni ci fornisce i metodi per lo studio della meccanica del continuo, maci insegna anche che raramente si conoscono soluzioni analitiche per geometrie non banali. Per questomotivo, a fini puramente didattici, si consideri lesempio di figura1.6, in cui il generico corpo rigido diforma arbitraria viene approssimato con unasta omogenea, di densita costante , sezione costante A elunghezzal. Per semplicita, lasta e vincolata a ruotare nel piano verticale attorno alla cernieraO .

Per valutare il momento M necessario a imporre lorientazione, la velocita e laccelerazione angolarevolute (problema inverso) o, al contrario, per determinare laccelerazione angolare dovuta al momentoimposto M, note lorientazione e la velocita angolare (problema diretto) e sufficiente, come illustratonellesercizio precedente, scrivere lequilibrio dei momenti rispetto al polo O:

M m

l

2

2 JG mgl

2cos = 0 = M=m l

2

3+ mg

l

2cos , (1.29)

ove si e sfruttato JG = ml2/12.

Le altre due equazioni permettono invece il calcolo della reazione nelle sue due componenti tangentee normale alla traiettoria circolare del baricentro:

t+ Alg cos + A

l2

2 = 0 = t = mg cos ml

2 (1.30a)

n Alg sin + A2l2

2= 0 = n= mg sin + m2

l

2 (1.30b)

Volendo calcolare le azioni interne normali N, di taglio Te flettenti Mf in una generica sezione distantea dalla cerniera, dobbiamo tener conto della distribuzione triangolare6 delle azioni dinerzia scomposte

5In realta e sufficiente che le direzioni rispetto alle quali vengono scritte le equazioni di equilibrio alla traslazione sianodistinte, e quindi non parallele, p er ottenere due equazioni linearmente indipendenti.

6Se le componenti normale e tangenziale dellaccelerazione del generico punto a distanza dal centro di rotazione sonorispettivamente xn = 2 e xt = , le conseguenti componenti della distribuzione di forza dinerzia sono dFin = dm

2

e dFit = dm, e hanno quindi andamento lineare in .

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Ci

G

O x

y , ,

A2 OGA

OG

M

Ag

nt

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

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1 1 1

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1 1 1

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1 1 1

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1 1 1

1 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

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1 1 1

1 1 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

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0 0 0 0 0 0

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0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

0 0 0

0 0 0

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0 0 0

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0 0 0

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1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

O x

y , , A2OG A OG

M

Ag

nt

MfN

Ta

Figura 1.6: Sistema equipollente delle forze dinerzia (a sinistra) e loro realedistribuzione (a destra) in unasta incernierata ad un estremo.

nelle due componenti normale e tangenziale, ovvero:

N(a) n a

0

Ag sin d+

a0

A2d= 0 (1.31a)

T(a) t a

0

Ag cos d a

0

Ad= 0 (1.31b)

Mf(a) + M+ ta +

a

0

Ag cos (a ) d+ a

0

A(a ) d= 0 (1.31c)

A partire dalle ipotesi di densita e area della sezione A costanti, svolgendo gli integrali si ottiene

N(a) n Aag sin + A2 a2

2 = 0 (1.32a)

T(a) t Aag cos A a2

2 = 0 (1.32b)

Mf(a) + M+ ta + Aa2

2g cos + A

a3

6 = 0 (1.32c)

Esercizio 1.3 Si consideri di nuovo lesercizio1.2ma ora, anziche considerare la parte di problema dallacerniera alla generica sezione, si consideri invece la parte dalla sezione allestremo libero. Ovviamentedevono risultarne le medesime azioni interne. Lo si verifichi, e si discuta lopportunita di scegliere luna

o laltra parte per il calcolo delle azioni interne.

Esercizio 1.4 A partire dalla soluzione degli esercizi 1.1 e 1.2 si calcolino langolo e la posizioneradialea per i quali sono rispettivamente massimi e minimi lo sforzo assiale e lo sforzo di taglio, sceltauna geometria a piacere per la sezioneA dellasta.

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Capitolo 2

Scrittura delle equazioni di motomediante approcci energetici

Generato il 23 ottobre 2014

All the good music has alreadybeen written by people with wigsand stuff.

Frank Zappa

In questo capitolo viene illustrata la scrittura delle equazioni del moto di sistemi piani medianteprincipi energetici, metodo alternativo alla scrittura diretta delle equazioni di equilibrio dinamico di ognicorpo componente.

Con la dicituraprincipi energeticisi intendono quegli approcci basati sulla scrittura di un funzionalela cui minimizzazione porta alla scrittura di un sistema di equazioni di bilancio. Tra questi metodi ricadeil Principio dei Lavori Virtuali.

2.1 Il Principio dei Lavori Virtuali

Lapproccio visto nel capitolo precedente studia lequilibrio dinamico di un sistema meccanico basandosisulla scrittura diretta delle equazioni di equilibrio di forze e momenti. In particolare si e visto che,grazie al principio di DAlembert, e possibile ricondurre il problema dinamico ad un problema staticoequivalente, introducendo il sistema di forze e coppie di inerzia.

In alternativa, e possibile usare il Principio dei Lavori Virtuali(o PLV), che si enuncia come segue:

condizione necessaria e sufficiente per lequilibrio dinamico, in un si