Domande Statistica Marco Semeraro

Distribuzioni continue

Definizione variabile casuale continua:

E’ definita variabile casuale continua una variabile che può assumere qualsiasi valore all’interno di un intervallo, come per

esempio la temperatura di un forno, la velocità di un’auto, la lunghezza di una sbarra, la statura di una persona, il peso di un

oggetto ecc..

Differenze tra funzione di ripartizione e funzione di densità:

La funzione di ripartizione fa riferimento a tutte le probabilità minori o uguali al valore della variabile casuale continua

mentre la funzione di densità___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

Dalla funzione di ripartizione possiamo derivare per ottenere la funzione di densità e di conseguenza se vogliamo la

funzione di ripartizione occorrerà integrare la funzione di densità.

Definizione teorema limite centrale

Il teorema del limite centrale afferma che se ho una distribuzione binomiale e un numero di variabili aleatorie (n) maggiore

di 30 allora posso approssimare questa distribuzione ad una normale.

Campionamento

Cosa si intende per campionamento, vantaggi, ecc..

Il campionamento è un sottoinsieme della popolazione statistica. Esso viene ritenuto utile in quanto presenta diversi

vantaggi, per esempio:

Riduzione di costi, se la popolazione è troppo vasta e quindi sarebbe troppo costono anallizzarli tutti;

Rapidità, se ci sono poche unità statistica da analizzare l’operazione risulta veloce;

Limiti nella disponibilità, a volte non è possibile reperire tutte le unità statistiche.

Distringuere differenze tra popolazione e campione

POPOLAZIONE-Parametri (in quanto sono statici perché fanno riferimento a tutta la popolazione):

Dimensione N

Media µ

Varianza σ2

Scarto q. medio σ

CAMPIONE-Variabili (in quanto fanno riferimento ad un’estrazione della popolazione che quindi possono variare):

Dimensione n

Media

Varianza camp. S2

Scarto q. medio S

Come si effettua il campionamento casuale semplice:

Il campionamento casuale semplice consiste nell’estrazione di un campione casuale, in modo tale che tutte unità statistiche

e i possibili raggruppamenti di tali unità abbiano uguali probabilità di essere estratti.

Per poter quindi effettuare un campionamento casuale semplice occorre prima individuare un elenco di tutte le unità e

successivamente estrarre in modo casuale il campione.

Inoltre nell’individuare tutte le entità si possono avere delle difficoltà come per esempio se voglio le persone di una città e

utilizzo gli elenchi delle anagrafiche può capitare che essi non siano aggiornati e quindi sbaglierei.

Come si effettua il campionamento stratificato:

Il campionamento stratificato prevedere che una popolazione di N unità venga suddisiva in sottopopolazioni differenti tra

loro che costituiscono una parte della popolazione. Queste sottopopolazioni vengono definite strati in cui all’interno di ogni

strato viene estratto un campione casuale. (esempio categorie Sanremo)

Come si effettua il campionamento a grappoli:

Il campionamento a grappoli è stato studiato per evitare una raccolta di dati molto laboriosa che può portare via molto

tempo come accade per il campionamento stratificato e casuale semplice.

Questo campionamento consiste nell’individuare interi aggregati di unità chiamati grappoli e procedere successivamente

all’analisi di sole unità incluse nei grappoli.Ad esempio se devo effettuare un campionamento a grappoli in una città,

suddivido essa in tante zone (grappoli) aventi possibilmente un ugual numero di abitanti e si scelgono alcuni grappoli per

formare il campione, andando poi a analizzare le unità che appartengono ai grappoli.

Il campionamento a grappoli puo essere:

- a un solo stadio, se vengono analizzate tutte le unità del grappolo.

-a più stadi, se avviene un subcampionamento all’interno del grappolo.

Stima di parametri

In cosa consiste l’inferenza statistica:

L’inferenza statistica si occupa di estrapolare da un’intera popolazione, le informazioni relative ad un campione, poiché

non è sempre possibile avere le informazioni da tutte le entità.

Il termina stima si riferisce ad una valutazione approssimativa causata dalla mancanza di informazioni.

Le stime dei parametri possono essere:

- puntuali

-intervallari

Si dicono puntuali quando sono definite da un unico numero, mentre si definisicono Intervallari quando sono espresse da

due numeri che ne indicano l’intervallo in cui cade un parametro della popolazione.

Cos’è uno stimatore:

Uno stimatore(T) è una funzione dei dati del campione utilizzata per ottenere la stima di un paramtetro della popolazione

che deve essere stimato(ϑ=Theta).

Esercizio stima:

E(T)=

=

=

=

Quando uno stimatore è corretto:

Uno stimatore viene definito corretto se il suo valore medio E(T) è uguale al parametro stimato. E(T) = ϑ.

Tra piu stimatori qual è quello più efficente:

Lo stimatore più efficiente è quello avente varianza minore.

Quando uno stimatore è consistente:

Uno stimatore si dice consistente quando al crescere delle dimensioni del campione esso converge verso il paramtetro della

popolazione da stimare.

) = ϑ

) = 0

In cosa consiste il metodo dei momenti:

Il metodo dei momenti consiste nell’eguagliare i momenti della popolazione con il corrispondente momento del campione.

Il momento di ordine k di un campione di n elementi è:

Se il parametro da stimare è un momento della distribuzione, ad esempio che coincide con il valore k=1, la sua stima sarà

corrispondente al momento del campione.

Se invece il parametro da stimare non è un momento della distribuzione, lo si potrà sempre stimare eguagliando la media

del campione con il valore medio della popolazione e determinandone poi la stima.

In cosa consiste il metodo della massima verosimiglianza:

Il metodo della massima verosimiglianza consiste nel determinare il valore dello stimatore che rende massima la funzione

di verosimiglianza L(xi, ϑ). La funzione di verosimiglianza è una funzione dei dati del campione (x1,x2,…,xn) e del

parametro incognito ϑ.

In un campione casuale la probabilità che si verifichi l’insieme di valori x1,x2,…,xn risulta:

P(X1=x1,X2=x2,…..,Xn=xn) = f(x1)*f(x2)*….*f(xn)

L(x1, ϑ)= f(x1, ϑ)*f(x2, ϑ)*….*f(xn,ϑ)

Dimensione minima campione:

dove ε indica lo scostamento massimo

Ipotesi statistiche

In cosa consistono i test di ipotesi:

I test d’ipotesi servono a verificare se i risultati campionari avvalorano o meno le ipotesi dette prima di effettuare tali test.

Nei test d’ipotesi si confrontano due ipotesi possibili:

-Ho chiamata ipotesi nulla.

-H1 chiamata ipotesi alternativa.

I test effettuati andranno ad individuare quale delle due ipotesi è quella corretta

Quale differenza c’è tra errore di prima e seconda specie:

Si compie un errore di Prima specie quando Ho è vera ma sulla base delle osservazioni viene rifiutata, mentre si compie un

errore di Seconda specie quando Ho non è vera ma sulla base delle osservazioni, viene accettata.

Controllo Qualità

Cosa si intende per qualità di prodotto:

La qualità di un prodotto è cio che assicura al prodotto un numero molto basso di pezzi difettosi

La qualità del prodotto è cio che assicura al produttore di ridurre gli scarti e fabbricare maggiori prodotti al minimo prezzo

e permette al consumatore di usufruire di unità finali con caratteristiche e prestazioni costanti e affidabili.

Per poter assicurare una buona affidabilità dei prodotti essi devono avere determinate caratteristiche quali:

- qualità di concetto, ossia le caratteristiche del prodotto previste nel progetto.

- grado di conformità, si definiscono unità conformi le unità prodotte che presentano tutte le stesse caratteristiche previste

dal progetto.

- disponibilità, ossia la continuità e il grado con cui il prodotto/servizio possono svolgere le funzioni per cui sono richiesti

- assistenza in fase di utilizzazione, ossia il servizio di supporto fornito dai produttori per assicurare una facile riparazione

del prodotto.

Cosa si intende per garanzia di qualità, e le altre caratteristiche:

La garanzia di qualità è un processo che permette di assicurare un determinato prodotto in quanto esso deve garantire che le

prestazioni e le caratteristiche di funzionamento siano idonee agli obiettivi di utilizzo previsti e che i prodotti abbiano alti

livelli di sicurezza e affidabilità. Questa garanzia è di fondamentale importanza quando i pezzi prodotti non possono avere

difetti come per esempio i pezzi di un aereo, se presentassero difetti causerebbero una catastrofe e così via..

Un sistema di garanzia della qualità può essere sintetizzato in pochi passaggi fondamentali:

- Pianificazione della qualità

- Produzione della qualità

- Verifica della qualità

Distinguere controllo di prodotto e controllo di processo:

Quali relazioni ci sono tra valore del prodotto e costo qualità (grafico):

Dal diagramma si può notare che nella zona in cui la qualità di concetto è bassa(sinistra) ad un grande incremento della

qualità corrisponde un piccolo incremento di costi e un grande incremento del valore del prodotto.In questi casi quindi

conviene spostarsi verso i livelli qualitativi più alti.

Aumentando la qualità di concetto, oltre una certa soglia, le tendenze si invertono e quindi i costi aumentano a dismisura

ma il valore aumenta di poco, e cio è giustificato dal fatto che per cercare una qualità altissima occorre far uso di materiali

costosi e techine raffinate, quindi questa situazione non è richiesta dal tipico aquirente.

Cosa sono le carte di controllo:

Le carte di controllo sono uno strumento statistico idoneo a verificare se un processo rispetta gli standard prefissati, oppure

a definire le caratteristiche fondamentali del processo.

Cos’è la tolleranza naturale:

La tendenza naturale la si può definire come un limite entro il quale deve rimanere un valore di un prodotto per

potersi definire Conforme.

Ci sono delle variazioni per cause occasionali che non possono essere eliminate dal processo come errori umani,

variazioni climatiche,vibrazioni macchine ecc. ma possono essere “predette” su basi statistiche e comunque non

comportano il malfunzionamento delle unità prodotte. In tal caso il processo si dice IN CONTROLLO. Al contrario se

ci sono delle variazioni per cause significative ossia che possono essere eliminate dal processo come per esempio

materiali difettosi, strumenti starati,lavorazione errata ecc. il processo si dice FUORI CONTROLLO.

Differenze tra carte di controllo per variabili e per attributi:

Le carte di controllo per variabili si utilizzano quando si hanno a disposizione dati misurabili secondo una scala

continua, mentre le carte di controllo per attributi si utilizzano nel caso in cui si voglia solo determinare se vi

sono o meno difetti di funzionamento o prestazioni rispetto alla qualità richiesta.

Nelle carte di controllo per attributi si distinguono:

- la carta p per la frazione di elementi difettosi

- la carta q per il numero di difetti in un elemento.

In cosa consiste il controllo di accettazione:

Il controllo di accettazione consiste nel verificare la rispondenza alle specifiche dei materiali acquistati, sia grezzi che

semilavorati, che confluiscono nel processo produttivo dell’azienda.

Questo controllo avviene per campionamento e permette di risparmiare una notevole quantità di tempo rispetto ai controlli

effettuati su tutta la merce.

Definizione affidabilità dei componenti:

si definisce affidabilità dei componenti la capacità di rispettare le specifiche di funzionamento nel tempo.

Ricerca operativa

Quali utilità ha la ricerca operativa:

La ricerca operativa mette a disposizione gli strumenti matematici ma anche di tutte le altre scienze, per risolvere qualsiasi

tipo di problematica affinchè si raggiunga (ad esempio per un'azienda) il massimo guadagno o la minima spesa.

Essa semplifica il problema trasformandolo in un modello (matematico-simbolico) che è la rappresentazione simbolica

della realtà, affinchè si possa risolvere attraverso la scienza matematica.

Fasi della ricerca operativa:

1. Individuazione del problema e raccolta delle informazioni necessarie

2. Costruzione del modello tematico

3. Risoluzione del modello tematico e individuazione della soluzione ottimale

4. Analisi dei risultati ottenuti