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DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ DISCRETE

1. Distribuzione binomiale o di Bernoulli Alcuni esperimenti consistono nell’eseguire ripetutamente una data operazione, ad esempio, lanciare ripetutamente una moneta o un dado oppure scegliere ripetutamente una pallina da un’urna; in questi casi, chiameremo “prova” ogni lancio o scelta. In ogni prova, ad ogni evento, come la testa per la moneta, il 4 per il dado o la pallina rossa nella scelta dell’urna, sarà associata una probabilità. In qualche caso la probabilità non varierà da una prova all’altra (come nel caso del lancio di una moneta o di un dado). Prove di quest’ultimo tipo saranno dette “indipendenti” o anche “prove bernoulliane” dopo che Giacomo Bernoulli le studiò alla fine del XVII secolo. Sia p la probabilità con la quale un evento si verifica in una prova bernoulliana (la chiameremo probabilità di “successo”). Allora q = 1 − p sarà la probabilità che l’evento non si verifichi (la chiameremo probabilità dell’ “insuccesso”). La probabilità che l’evento si verifichi esattamente x volte in n prove (cioè x successi e n − x insuccessi) è data dalla funzione di probabilità

( ) ( ) ( )xn xxnx qp

! x-n !x

!n qp

x

nxXPxf −− =

=== (1)

in cui la variabile casuale X denota il numero dei successi che si verificano in n prove e x = 0,1,.. ,n. La funzione di probabilità discreta (1) è chiamata “ distribuzione binomiale” o “distribuzione bernoulliana”. Una variabile casuale la cui distribuzione è la (1) è detta variabile casuale “bernoulliana” o “distribuita binomialmente”. Esempio La probabilità di ottenere esattamente 2 teste in 6 lanci di una moneta non truccata è

( )64

15

2

1

2

1

! 4 ! 2

! 6

2

1

2

12

62XP

42262

=

=

==−

1.1 Alcune proprietà della distribuzione binomiale Alcune importanti proprietà della distribuzione binomiale sono raggruppate nella seguente tabella.

Media µ = np

Varianza σ2 = npq

Deviazione standard σ = npq

Esempio

In 100 lanci il numero medio di teste è µ = np = ( ) 502

1100 =

mentre la deviazione standard è

σ = ( ) 52

1

2

1100npq =

= .

2

Relazione di ricorrenza per la distribuzione binomiale

x)P(Xq

p

1x

xn1)xP(X =⋅⋅

+−=+=

Questa relazione è particolarmente utile se si devono calcolare molti valori della probabilità con la distribuzione binomiale per gli stessi valori di n e p. Usando la relazione di ricorrenza, dopo aver calcolato P(X = 0), le probabilità P(X = 1), P(X = 2), … possono essere facilmente ottenute senza dover fare lunghi calcoli coinvolgenti i coefficienti binomiali. Esempio Si effettuano 6 lanci di una moneta; studiare la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria binomiale X = numero di teste T uscite nei 6 lanci.

Il successo è dato dall’uscita T e la probabilità di successo è 2

1p = .

Calcoliamo con la formula della distribuzione binomiale la probabilità di ottenere 0 volte l’uscita T

( ) 0,0156252

1

2

10

60XP

60

=

==

Applicando la formula di ricorrenza si calcolano gli altri valori della probabilità.

0,093750 0)P(X0,5

0,5

1

61)P(X ==⋅⋅==

0,234375 1)P(X2

52)P(X ==⋅==

0,3125002)P(X3

43)P(X ==⋅==

0,2343753)P(X4

34)P(X ==⋅==

0,0937504)P(X5

25)P(X ==⋅==

0,0156255)P(X6

16)P(X ==⋅==

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1.2 Rappresentazione grafica della distribuzione binomiale La distribuzione binomiale viene rappresentata graficamente per mezzo di un istogramma o di un diagramma a barre. La forma della distribuzione dipende dal valore della probabilità di successo p.

Nel caso 2

1p = , è anche

2

1p 1 =− : ciò significa che il successo e l’insuccesso sono ugualmente

probabili; da questo segue che la probabilità di avere ad esempio 2 successi (e quindi 2 n − insuccessi) è uguale alla probabilità di avere 2 n − successi (e quindi 2 insuccessi). L’istogramma della distribuzione è quindi simmetrico (figura 1).

Se invece: 2

1p < oppure

2

1p > , l’istogramma è asimmetrico; nel primo caso l’asimmetria è

positiva, la distribuzione è obliqua a destra (figura 2), nel secondo caso l’asimmetria è negativa, la distribuzione è obliqua a sinistra (figura 3).

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Esempio Se si effettuano 6 lanci di una moneta e si indica con la variabile aleatoria binomiale X il numero di teste T uscite nei 6 lanci (esempio a pagina 2)

x P(X = x) 0 0,015625 1 0,093750 2 0,234375 3 0,312500 4 0,234375 5 0,093750 6 0,015625

Il grafico della distribuzione di probabilità è rappresentato dal seguente istogramma

Si noti la simmetria, dovuta al fatto che 2

1p = . Data la simmetria, non è necessario ripetere il

calcolo degli ultimi tre valori delle probabilità P(X = 4), P(X = 5), P(X = 6), che sono rispettivamente uguali a quelli gia calcolati P(X = 2), P(X = 1), P(X = 0). 2. La distribuzione di Poisson Vi sono fenomeni in cui determinati eventi, con riferimento a un certo intervallo di tempo o di spazio, accadono raramente: il numero di eventi che si verificano in quell’intervallo varia da 0 a n, e n non è determinabile a priori. Ad esempio, il numero di automobili che transitano in una strada poco frequentata in un intervallo di tempo di 5 minuti scelto a caso, può essere considerato un evento raro; analogamente sono eventi rari il numero di infortuni sul lavoro che accadono in una azienda in una settimana o il numero di errori di stampa presenti in una pagina di un libro. Nello studio degli eventi rari, come quelli degli esempi citati, è fondamentale il riferimento a uno specifico intervallo di tempo o di spazio. Per lo studio di eventi rari del tipo di quelli descritti si utilizza la “distribuzione di probabilità di Poisson”, così chiamata in onore del matematico francese S.D. Poisson, che la scoprì agli inizi del XIX secolo); questa distribuzione è molto usata come modello di probabilità in biologia e medicina.

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Sia X la variabile casuale discreta che indica il numero di volte in cui si verifica un evento raro in un dato intervallo di tempo o di spazio, ossia il numero di successi; la variabile X può assumere i valori x = 0,1,2,…. . La probabilità che la variabile casuale X assuma il valore x è data dalla “distribuzione di probabilità di Poisson”

x!

eλx)P(X f(x)

λx −

=== x = 0, 1, 2,… (2)

dove il parametro λ > 0 indica il numero medio di realizzazioni dell’evento nell’intervallo assegnato. Una variabile casuale che ammette questa distribuzione è detta “distribuita poissonianamente”. 2.1 Alcune proprietà della distribuzione di Poisson Alcune importanti proprietà della distribuzione binomiale sono raggruppate nella seguente tabella.

Media µ = λ

Varianza σ2 = λ

Deviazione standard σ = λ 2.2 Relazione tra le distribuzioni binomiale e di Poisson Quando, nella distribuzione binomiale, n è grande mentre la probabilità p che un evento si verifichi è vicina a zero così che q = 1 − p è vicino ad 1, l’evento è detto “evento raro” e la distribuzione binomiale (1) può essere approssimata con la distribuzione di Poisson (2) avente media λ = np. Una “regola pratica” accettabile è di usare questa approssimazione se n ≥ 50 e p ≤ 0,1. La regola comunque non è rigida: si può dire che più è piccola la probabilità p e più è grande n, migliore è l’approssimazione. Esempio Se la probabilità che un individuo sia allergico ad un dato siero è 0,001, determinare le probabilità che su 2000 individui siano allergici a) esattamente 3; b) più di 2. Sia X il numero degli individui allergici. X è distribuita bernoullianamente, ma poiché si suppone che un caso di allergia sia un evento raro, possiamo supporre che X sia distribuita poissonianamente cioè

x!

eλx)P(X

λx −

== in cui λ = np = (2000)(0,001) = 2

a) 0,1803!

e23)P(X

23

===−

b) [ ] 0,3235e12!

e2

1!

e2

0!

e212)P(X1)P(X0)P(X12)P(X 2

222120

=−=

++−==+=+=−=> −

−−−

La valutazione esatta della probabilità mediante la distribuzione binomiale sarebbe stata molto più laboriosa.

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2.3 Rappresentazione grafica della distribuzione di Poisson Anche la distribuzione di Poisson viene rappresentata graficamente con un istogramma o con un diagramma a barre. Al crescere di λ il grafico presenta un aspetto maggiormente simmetrico, come si può osservare dai grafici della figura 4 riportati nella pagina seguente, dove sono rappresentate alcune distribuzioni di Poisson per valori crescenti di λ; si noti che i diagrammi sono troncati dopo un opportuno valore di x, perché, anche se la variabile X può assumere valori maggiori, le corrispondenti probabilità sono molto basse.

Relazione di ricorrenza per la distribuzione di Poisson

In alcuni casi è richiesto di calcolare più valori della distribuzione di Poisson per lo stesso valor medio µ = λ. Può essere utile la seguente relazione di ricorrenza, simile a quella valida per la distribuzione binomiale

x)P(X1x

λ1)xP(X =⋅

+=+=

Con questa relazione, partendo da λe0)P(X −== , si possono calcolare successivamente le probabilità P(X = 1), P(X = 2),…. Esempio La variabile aleatoria X ha la distribuzione di probabilità di Poisson con valor medio λ = 3,5. Calcolare P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4), P(X = 5),…. Usando la relazione di ricorrenza si ha

0302,0e0)P(X 5,3 === −

0,10570,0302 3,5 0)P(X5,31)P(X =⋅==⋅==

1850,00,1057 2

5,3 1)P(X

2

5,32)P(X =⋅==⋅==

2158,01850,0 3

5,3 2)P(X

3

5,33)P(X =⋅==⋅==

1888,02158,0 4

5,3 3)P(X

4

5,34)P(X =⋅==⋅==

1322,01888,0 5

5,3 4)P(X

5

5,35)P(X =⋅==⋅==

…….

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Figura 4 Esempio La probabilità che un oggetto prodotto da una macchina sia difettoso è p = 0,15; calcolare le probabilità che in un campione di 10 oggetti scelti a caso, ci siano 0, 1, 2, ….., 10 oggetti difettosi usando la distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson, e confrontare su un grafico i risultati ottenuti. Usando le relazioni di ricorrenza per le due distribuzioni otteniamo i valori riportati nella seguente tabella

BINOMIALE

(n = 10; p = 0,15) POISSON

(λ = np = 1,5) x P(X = x) P(X = x) 0 0,1969 0,2231 1 0,3474 0,3347 2 0,2759 0,2510 3 0,1298 0,1255 4 0,0401 0,0471 5 0,0085 0,0141 6 0,0012 0,0035 7 0,0001 0,0008 8 0,0000 0,0001 9 0,0000 0,0000 10 0,0000 0,0000