Dispense per il corso di Filosofia della Fisica (parte II):

La struttura formale della teoriaMauro Dorato, Dipartimento di Filosofia,

Università di Roma3

NB

•Le note che seguono sono per uso strettamente didattico e non sono state ancora controllate in modo accurato. Si prega quindi di non far circolare il materiale che segue e di non usarlo per citazioni.

•Aggiornate al 11/04/23

Generalizzazione a infinite dimensioni

Sia fn(x) l’approssimazione discreta alla curva

continua f(x), che rappresenta lo spostamento di una corda fissata nei punti a e b. Gli n

valori delle fn(xi) coincidono con f(x) solo in n

punti dell’asse x e sono 0 tra i punti; l’ennupla fn(xi) corrisponde alle

componenti di un vettore ket |fn(x)>

fn (xi)xa b

)(..

)()(

2

1

nn

n

n

n

xf

xfxf

fI vettori di base in questo spazio sono

che corrispondono alla funzione a scala che vale 1 ad x = xi e 0 altrove.

Immaginiamo uno spazio con n assi, tale che per ogni xi ci sia un asse coordinato perpendicolare a ogni altro xj

0.1.00

ix

I ji

iijji xxxx ;

f(x)

La funzione fn (x) è un vettore le cui componenti lungo gli assi coordinati xi sono

fn(xi), ovvero le proiezioni nella direzione individuata da quegli assi

n

iiinn xxff

1

)(

Per ogni approssimazione gn (x) c’è un ket |gn> definito come sopra, e viceversa, e si può definire una somma di funzioni e un loro prodotto con uno scalare. Lo spazio di funzioni discrete risultante è uno spazio vettoriale lineare. Definiamo in esso un prodotto interno e una norma, assumendo f e g funzioni complesse:

n

iininnn xgxfgf

1

)()(*

n

iin

n

iininnn xfxfxfff

1

2

1

)()()(*

Se n tende all’infinito, la somma di n termini diventa una somma di infiniti termini, e diventa desiderabile che, per spazi vettoriali infinito-dimensionali, il prodotto interno e la norma siano finiti, ovvero che la successione (somma) corrispondente converga in modo opportuno a un elemento dello spazio medesimo

Se vogliamo calcolare in modo approssimato l’area compresa dalla curva che rappresenta il prodotto delle due funzioni fg, dobbiamo sommare n aree di n rettangoli, ognuno di altezza f(xi)g(xi) nei vari punti xi e di basi tutti uguali, date da (b-a)/n+1

Quando n va all’infinito, f∞ = f, la sommatoria degli n termini diventa un integrale, e la base dei rettangoli (a-b)/n+1 diventa un infinitesimo dx

fg(xi)

a

fg(x)

b

b

a

b

a

b

adef

dxxfdxxfxfff

dxxgxfgf

)()(*)(

)(*)(

2

Anche in questo caso, dobbiamo richiedere che l’ultimo integrale non sia infinito (non “diverga”), ma che sia “a quadrato sommabile”

1)(

1

)()(*

n

abn

iininnn xgxfgf

Per trovare le condizioni di normalizzazione e la condizione di ortogonalità tra due basi in spazi infinito-dimensionali, scriviamo la relazione di completezza nel caso in cui x’ vari con continuità, ovvero decomponiamo l’operatore di identità facendo “infinite somme di tanti infinitesimi dx’, passando dunque dalla somma finita di termini all’ integrale:

Ib

a ii dxxx '''

Ora moltiplichiamo scalarmente entrambi i membri dell’equazione qui sopra per qualche ket arbitrario |f >a destra, e per una base bra <x| a sinistra, e otteniamo

)(''' xffxfxdxfxxxb

a ii I

L’ultima uguaglianza si spiega con il fatto che la proiezione di f lungo l’asse |x> è proprio f(x). Analogamente, <x’|f >= f (x’). Si ponga il prodotto interno tra le due basi < x | x’> uguale a una funzione sconosciuta x, x’) che dipende solo dalle due basi:

')',( xxxx def

)(''' xfdxfxxxb

a ii Riscriviamo ora l’ultimo integrale facendo le debite sostituzioni

b

axfdxxfxx )(')'()',(

Ora l’ortogonalità tra due basi impone che <x| x’ > = x, x’) = 0 quando x è diverso da x’. Dunque il secondo integrale è non nullo solo in un intorno infinitesimo di x’ = x. L’intervallo di lunghezza finita (b-a) in cui l’integrando è non nullo si restringe quindi a un intervallo infinitesimo centrato in x e di lunghezza 2

x

xxfdxxfxx )(')'()',(

Nella regione infinitesima in questione, se f è sufficientemente liscia, f(x’) può essere approssimata dalla funzione f(x), che per un x dato è costante, e può essere portata fuori dal segno di integrale

x

x

x

xdxxxxfdxxxxf 1')',()(')',()(

Se l’integrando fosse finito, essendo l’intervallo di integrazione x+– x–2infinitesimo, anche l’integrale sarebbe infinitesimo. Allora affinché l’integrale dia 1, nella regione compresa tra x+e x- l’integrando deve avere valore infinito ed essere nullo al di fuori, a causa della condizione di ortogonalità. Poiché la funzione x, x’dipende solo dalla differenza tra x e x’, riscriviamola come x-x’). La “funzione” con le seguenti due proprietà è detta delta di Dirac

b

adxxx 1')'( bxa

0)'( xx 'xx

La condizione di normalizzazione

in spazi infiniti è quindi

(vedi il box blu due slides prima))'(' xxxx

Per ottenere una formulazione alternativa della delta di Dirac, definiamo la seguente funzione, detta trasformata di Fourier (la prima delle due equazioni qui sotto) e la sua inversa (la seconda)

Ora sostituiamo la prima equazione nella seconda:

dkkfexf

dxxfekf

ikx

ikx

)(2

1)'(

)(2

1)(

'

L’implicazione qui sopra vale perché avevamo visto che dxxfxxxf )()'()'(

dxxfdke

dxxfedkexf

xxik

ikxikx

)()2

1(

))(2

1(

2

1)'(

)'(

'

)'(2

1)'( xxdke xxik

Se D =df/dx, nello spazio vettoriale di funzioni l’applicazione dell’operatore lineare D fornisce ancora una funzione, data dalla derivata della funzione data.

Troviamo ora gli elementi della matrice che corrisponde all’operatore D nella base |x>, moltiplicando per <x| da ambo le parti dell’equazione qui sopra, e ricordandoci che

'fdx

dffD

''' dxxxI

'ffD

Mostriamo ora che vale la eguaglianza nel box rosso

dx

dxxxxDxDx

dx

dfdxfxxDxfDx

xx )'()'(''

'''I

'

inserendoI

dx

xdf

dx

dfxfDx

)(

Deriviamo anzitutto la funzione delta rispetto al suo primo argomento

)(')'()'(

')'())'((')'()'('

xfdx

ddxxfxx

dx

d

dxxfxxdx

ddxxfxx

)'(')'( xxxxdx

d

Confrontando i tre box rossi e tenendo conto che <x’|f>= f(x’)si ha

dxdxxxxDxDx xx /)'()'('' ' L’ultima uguaglianza è spiegata nella pagina seguente!

dx

dfdxfxxDxfDx '''I

Ora moltiplichiamo ambo i membri per f(x’) e poi integriamo su x’, invertendo l’ordine dell’equazione

Questa uguaglianza vale perché avevamo mostrato che

')'()'()( dxxfxxxf

Riprendendo l’espressione nel primo box della scorsa pagina

dxxdfdxxfxx /)(')'()'(' ricordando che

dxxdfdxdx

xdfxx /)('

'

)'()'(

)(')'()'( xfdxxfxx e ponendo al posto di f la sua derivata, si ha

Confrontando la prima e la terza equazione, si ha l’ultima uguaglianza della pagina precedente, che quindi va pensata come da moltiplicare per una funzione f(x) da ambo le parti e da integrare su x’

dx

dxxxx )'()'('

dxdxxxxDxDx xx /)'()'('' '

Gli elementi della matrice infinito-dimensionale corrispondente all’operatore differenziale D nella base |x> sono quindi

Come si vede, l’operatore differenziale opera su funzioni f applicando ad esse d/dx. Se Dxx’ fosse hermitiano, si dovrebbe avere

Dxx’= D† = D*x’x

Ma Dxx’= ’(x-x’), mentre D *x’x= [’(x’-x)]*= ’(x’- x)= - ’(x- x’)

Per recuperare una condizione necessaria all’“hermiticità” consideriamo allora un nuovo operatore K=-iD

dx

df

dx

dfdxxf

dx

dxxdxfxxDx

xx

'

')'()'('''

Sostituendo al posto dell’elemento Dxx’ il valore appena trovato si ha

'' )'(')'(')]*'('[* xxxx KiDxxixxixxiK

Non possiamo ancora essere sicuri che l’operatore K sia hermitiano, perché in uno spazio vettoriale a dimensione infinita, si devono verificare condizioni di convergenza supplementari, per le quali rimandiamo ai testi in bibliografia (Byron e Fuller, per es.). Studiamo invece il problema agli autovalori per K =-iD= -idf/dx

La soluzione di questa equazione èdove A è una costante da normalizzare in seguito: verifichiamo prima che la soluzione è corretta derivandola

)(

)(

)()(

'' )(

'''.

xkψkAeiikAeAedx

di

Aex

xkψxdx

di

xkdxxx'x

kxxa

kikxikxikx

ikxk

kk

xx

dxxxIxmoltip

k

kkkK

kkKkkK

ikxk Aex )(

Per ogni numero reale k si ha dunque un autovalore e l’ autofunzione data da Aeikx può essere normalizzata scegliendo A= (1/2)-1/2 cosicché l’autofunzione (autovettore) sia

ikxe

2

1k

Funzioni f scritte nella base X, e che hanno quindi componenti <x|f >= f (x), possono essere scritte nella nuova base k, con componenti

dxxfedxfxxff ikx )(

2

1)( kkk

Per tornare alla base X, si applica la trasformata inversa di Fourier

dkkfedkfxfxxf ikx )(

2

1)( kk

Si passa al bra

)'(2

1'' ' kkdxeedxkxxkkk xikikx

ikxikx ee

2

1

2

1kkVisto che si ha

Introduciamo ora un operatore X con autovettori |x> e autovalore x

xxX x ; per vedere come agisce X su funzioni f, X|f>= f ‘

scriviamo l’elemento matriciale <x|X|x’> =x <x|x’>= x x-x’) e poi calcoliamo la componente di f’=X|f > in base x

)()(')(''' xxfxfxffxfxff XX

L’effetto di X su f è di moltiplicare f per x )()( xxfxf X

Inserendo l’identità

I al posto giusto

)(')'()'(''' xxfdxxfxxxdxfxxxfxfx XXIX

Mostriamo ora che i due operatori K e X sono coniugati, ovvero, dopo aver visto che nella base X, X moltiplica per x la funzione f e K agisce su f come –id/dx, vediamo che nella base K, X agisce come id/dx mentre K agisce moltiplicando la f per k. Calcoliamo gli elementi matriciali di X nella base K. Ricordando che X|k’>=x|k’>

)'(')2

1(

2

1)'(' kkidxe

dk

didxexek'k xkkixikikx

X

Integrando la prima e la terza espressione dell’ultima formula e moltiplicando per f(k), si ottiene ciò che si voleva dimostrare, ovvero che l’azione di K nella base k è data dalla moltiplicazione per k

)'('' kkkkkkkk K

)()')'()'((')'(' kkfdkkfkkkdkkfkk K

ikxe

2

1k )'(

2

1'' ' kkdxeedxkxxkkk xikikx

Mostriamo infine che [X,K] = iI, ovvero che i due operatori coniugati non commutano

dx

xidff

xxff

)(

)(

K

X

dx

xixdff

ifdx

xixdf

dx

xxfidf

)(

)())((

XK

KX

IK]X,

IKX)-(XK K]X,

i

fiifdx

ixdf

dx

ixdfff

[

)([

Confrontando la prima e l’ultima espressione nel box si ha il risultato che si voleva dimostrare

Spazio di Hilbert

Def. Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale infinito-dimensionale di funzioni a valori complessi che sia (i) dotato di prodotto scalare, (ii) completo e (iii) separabile

Poiché in MQ le osservabili fisiche di un sistema sono operatori in uno spazio di Hilbert mentre gli stati fisici di un sistema sono vettori o funzioni in uno spazio di Hilbert, dobbiamo definire quest’ultima entità matematica

Def. Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare si dice completo se ogni successione di suoi elementi che soddisfi al criterio di Cauchy converge a un elemento dello spazio

Def. Uno spazio vettoriale V dotato di prodotto scalare si dice separabile se esiste un insieme numerabile di suoi elementi che sia ovunque denso in V

In generale, e intuitivamente, in presenza di spazi vettoriali infinito-dimensionali, ci dobbiamo assicurare che il limite S di somme parziali fatte su n elementi esista

n

nSS lim

nnn

i

n S

)2/1....(8/14/12/11)2/1(0

Una successione arbitraria di infiniti elementi ai soddisfa il criterio di Cauchy se, per ogni > 0 esiste un intero n(tale che si abbia | ar – as|< per ogni coppia di interi r > n e s > n. In altre parole, dopo un certo elemento della successione an la distanza tra due elementi qualsiasi della successione che vengano dopo an è piccola quanto si vuole (ovvero minore

di ogni numero positivo ).

Definiamo la completezza…

1ii Sa

La completezza è importante per ragioni di “chiusura”: per esempio, successioni di numeri razionali convergenti nel senso di Cauchy, potrebbero convergere a numeri non razionali e quindi a numeri fuori dallo spazio: completare lo spazio dei razionali allora significa metterci dentro gli irrazionali.

Uno spazio vettoriale V dotato di prodotto scalare si dice separabile se esiste un insieme numerabile di suoi elementi che sia denso in V

Un insieme E di elementi appartenenti a uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare V si dice ovunque denso in V se ogni elemento di V è un punto di accumulazione di elementi di E, ovvero ogni elemento v di V è tale che, per ogni > 0 esiste almeno un elemento w di E tale che |v-w| <

Ora definiamo la separabilità

In una parola, la separabilità di V implica che ogni suo elemento v è limite di una successione convergente di elementi che appartengono a un insieme numerabile

E di elementi di V

confronto mecc.classica m. quantistica

Spazio degli stati Spazio delle fasi a 6n dimensioni (per n particelle)

Spazio di Hilbert H

Stato puro Punto nello spazio delle fasi Vettore normalizzato in H

Osservabile A fA: R Operatore hermitiano

A: H H

Valori possibili di osservabili

Codominio della funzione a valori reali fA (un continuum di valori)

(i) A ha spettro discreto e ha autovettori: i valori possibili sono gli autovalori di A

(ii) A ha spettro continuo

Domanda sperimentale

“la misura di A è in ”

Sottoinsieme di fA

-1 ( Sottospazio L o proiettore di H LA

H

Risposta alla domanda sperimentale

Risposta sì/no

sì se e solo se fA( Risposta probabilistica

Pv (A, v|PA

Mecc. Classica Meccanica quantistica

Postulato di misura

La misurazione della variabile lascia sostanzialmente inalterato lo stato e risulta nel valore

x, p

Se lo stato normalizzato del sistema è |la misurazione della osservabile associata all’operatore A, i cui autovettori ortonormali sono |vi>, fornisce solo la probabilità

P (vi) = |<vi|

di ottenere l’autovalore vi di |vi> La misura fa quindi passare dallo stato |all’autostato |vi> di A

Legge di evoluzione dinamica

EQ. HAMILTON EQ. SCHROEDINGER

xdt

dpp

pdt

dxx

H

H

)()( ttdt

di H

);( PpXxX,P) (H H

In meccanica classica lo stato di un sistema costituito da un insieme n di particelle che si muovono in uno spazio 3-dimensionale ad un certo tempo t è specificato completamente dalle 3n posizioni e dalle 3n velocità a quel tempo particolare (le “osservabili” del sistema). Poiché ogni particella nello spazio tridimensionale ha tre componenti per la posizione rispetto a un sistema di riferimento e 3 componenti per la velocità (che è un vettore), si ha bisogno di 6n numeri per descrivere completamente lo stato di un sistema al tempo t (ricordiamo che le masse delle particelle in meccanica prerelativistica sono considerate costanti, e i loro momenti sono dati da mv). In una parola, si ha bisogno di uno spazio 6n dimensionale, che si chiama spazio delle fasi. Un punto dello spazio delle fasi corrisponde allo stato della particella a un tempo t, ed è specificato da 6n numeri reali, mentre una curva in che passa per è COMPLETAMENTE specificata dalla leggi del moto e dallo stato e rappresenta l’evoluzione temporale del sistema (la successione temporale dei suoi stati).

),.........,,( 6321 naaaa tempo

Spieghiamo la tavola precedente: “CENNI”n DI MECCANICA CLASSICA

Per esempio, una particella costretta a muoversi in una dimensione avrà spazio della fasi bidimensionale: la velocità ha una sola componente lunga la retta e la posizione è individuata dalla distanza del punto dall’origine. Si ha quindi che lo spazio delle fasi è il piano reale, e il punto q, pè individuato quindi da una coppia di numeri, il primo dei quali è la posizione q e il secondo il momento p=mv.

Se calcoliamo l’energia cinetica della particella in questione,

Ec = (1/2)mv2=p2/2m,

un’altra “osservabile”, si vede che essa è una funzione a valori reali del punto anche se nel caso particolare della sola coordinatap), ovvero Ec: R

pf -1(

1

In generale, si può associare a ogni quantità osservabile A di un sistema classico una funzione a valori reali fA: R e la risposta alla domanda “l’osservabile A ha valori in ”(con sottoinsieme di R), è sempre sì o no, ed è positiva se fA() In figura è rappresentato in arancione l’insieme dei punti che rende affermativa la risposta alla domanda “la posizione della particella è q=1?”Ogni stato può quindi essere definito come una funzione a due valori (0,1) sull’insieme di domande sperimentali: la risposta è positiva, ovvero (A, ) = 1, se e solo se fA()

q

Particella in 1 dimensione

I postulati della MQ (finalmente!)

1) A ogni sistema fisico è associato uno spazio di Hilbert H

2) Gli stati di un sistema individuale S sono vettori normalizzati di H che, nell’ipotesi di completezza della teoria, danno un’informazione massimale

3) Le osservabili fisiche (posizione, momento, energia..) sono operatori autoaggiuntiNB (o hermitiani) di H. In particolare, la posizione X e il momento P = (h/nella base Xsono dati da queste due matrici:

<x|X|x’> = x(x-x’)

<x|P|x’> = -i (h/(x-x’)d/dx= -i(h/’(x-x’)

4) I soli possibili esiti della misura di un’osservabile A sono gli autovalori associati allo spettro dell’operatore associato hermitiano A.

NB Un operatore A è autoaggiunto se non solo vale A= A† sul dominio in cui A è definito

(hermiticità), ma si ha in più che i loro domini coincidono

Per risolvere un problema in MQ, si deve

1)trovare gli autovettori ortonormali |vi> e gli autovalori vi associati ad A nel modo che conosciamo.

2) esprimere il vettore di stato |in termini del nuovo sistema ortonormale trovato||vi > < vi| Pvi | dove |vi> è l’elemento generico del ket della nuova base ortonormale di A, e la proiezione del vettore di stato sull’autovettore corrispondente è il coefficiente <vi| ci . Infine|vi > < vi|) è per definizione il proiettore Pvi sul sottospazio individuato da |vi>

3) La probabilità di ottenere l’autovalore vi associato a |vi> in una misura è proporzionale a |<vi| ciovvero al modulo quadrato della proiezione del vettore di stato su |vi>.

Ricordando le proprietà del prodotto scalare complesso, si ha

|<vi| c*i| ci>=< | vi> <vi| < Pv|

idemp. di P)< Pv Pv|Pv | Pv = |Pv

Esiti delle misure di osservabili

• Se l’osservabile A ha spettro discreto quantizzazione. La misura può dare come risultato solo uno degli n autovalori vi associato all’autovettore |vi> dell’operatore hermitiano A, con la probabilità data dal modulo quadro della proiezione dello stato del sistema |sull’autovettore |vi>

• Se l’insieme dei valori (lo spettro) di A è continuo, tutti i

punti dei reali sono valori possibili al massimo possiamo determinare la probabilità che il valore v dell’osservabile misurato sia in un intervallo piccolo a piacere perché un procedimento di misura infinitamente accurato è impossibile

Preparazione

• All’istante t=0 si misura un insieme completo di osservabili commutanti A,B,C

• Allora lo stato iniziale del sistemaè proprio (l’autovettore) normalizzato comune alle osservabili commutanti in questione

L’evoluzione deterministica, lineare, e unitaria dell’equazione di Schroedinger

)()( ttdt

di H

tcondizione iniziale

Determinismo: la soluzione dell’equazione differenziale

esiste ed è unica: lo stato finale tfè fissato

univocamente daLa corrispondenza è 1-1

2) linearità: l’operatore hamiltoniano H è lineare

se la soluzione (t) corrisponde a (0) e la soluzione (t) corrisponde a (0), allora per ogni a e b in C, un’arbitraria combinazione lineare delle condizioni iniziali a(0)+b(0) (1)

evolve nella combinazione lineare dei loro singoli evoluti, ovvero

a(t)+b(t).

Questa è l’unica soluzione corrispondente alle condizioni iniziali date. Detto altrimenti, l’evoluzione temporale di (1) è la combinazione lineare dell’evoluzione degli stati componenti

unitarietà:

Se U(0, t) è l’operatore lineare che fa evolvere lo stato iniziale da (0) a (t),

|(t)> = U(0, t)| (0)>

Esso risulta unitario e preserva quindi la norma del vettore di stato

Come vedremo, se H è l’osservabile energia, allora l’operatore unitario è dato dalla seguente funzione nel senso di Dirac

Hti

etU

),0(

Cenni preliminari sui problemi concettuali della misura

• Le due evoluzioni e il concetto di misura come fondamentale

• Generalizzazione al caso di un operatore con spettro degenere

• Generalizzazione al caso di un operatore con spettro continuo: la densità di probabilità

• Stati puri e miscele statistiche: prime osservazioni sulla probabilità

Alcune osservazioni concettuali:

1) L’evoluzione temporale di un sistema quantistico che non sia disturbato (“non misurato”) è deterministica, visto che è regolata dall’equazione di Schroedinger, che è deterministica.

2) Ma per conoscere qualcosa di un microsistema, troppo piccolo per essere osservato dall’occhio umano, lo dobbiamo comunque sempre misurare con un rivelatore macroscopico.

3) Nel processo di misurazione, ogniqualvolta lo stato del sistema non è un autostato dell’osservabile, interviene l’algoritmo fondamentalmente probabilistico (o indeterministico) della teoria. Ecco un primo problema della MQ. Non solo ci sono due evoluzioni, ma per una delle due (quella indeterministica) possediamo solo una ricetta di calcolo e non una descrizione fisica approfondita di che cosa accada

4) Tale ricetta (algoritmo) prescrive che per un osservabile B relativa a un operatore autoaggiunto B, per il quale B|vi>= bi|vi>, i possibili esiti di misura dell’osservabile B sono gli autovalori bi relativi agli autovettori vi. Allora, se so che lo stato del sistema prima della misura (al tempo t) è t), tale stato mi da informazioni irriducibilmente probabilistiche: la probabilità condizionata P di trovare bi misurando B se lo stato è t), è

P[B = bi|t)] = |<vi| t)>|2= |Pvi t)|2

Ma che cosa descrive lo stato, oltre a essere uno strumento predittivo?

b1

b2

b3

t)

0)

a2

a3

a1

1. Un operatore autoaggiunto A in R3 individua tre versori (autovettori) ortogonali i: se la misura dà a2 allora prepariamo il sistema in 0)

2. L’operatore di evoluzione temporale è unitario (eq. di Schrodinger), e quindi preserva la norma del vettore di stato che compie una rotazione sulla superficie della sfera unitaria (la linea blu indicata in figura)

3 Se ora vogliamo misurare un’altra osservabile B, che ha autovettori la probabilità di trovare bi è il modulo quadro della proiezione di (t) sui tre nuovi,versori

4 Solo se (t) è allineato con uno dei tre nuovi assi la misura ha esito certo (lo stato è autostato dell’osservabile B)

salto quantico, o collasso di inj

jjtrovobmisuroB

t ;)(

b1

b1

b3

P1Bt)

el caso degenere, in cui per esempio l’autovalore b1

associato all’osservabile B corrisponde ad un autospazio a 2 dimensioni (il piano

), la probabilità che

B=b1 è il modulo quadro della

proiezione di t) sul piano in questione.

P[B=b1|t)]=|P1Bt)|2=

< P1Bt)| P1

Bt)>Questo risultato si generalizza a autospazi di dimensione qualunque K

La misura fa passare dallo stato alla sua proiezione normalizzata P1

Bt)/|P1Bt)|: il cambiamento

discontinuo del vettore di stato ci porta nell’autospazio () ma come rappresentante degli infiniti vettori del piano si sceglie proprio P1

Bt)/|P1Bt)|

t)

Se lo stato iniziale | fosse noto ed effettuassimo una misura trovando un autovalore degenere b1, potremmo solo dire che la probabilità è P(B=b1| ) = |P1

B |e che lo stato finale è nella

varietà (piano) Usiamo la base ortonormale di autovettori |b1,1>, | b1,2>, |3> per rappresentare | e supponiamo che si abbia

Esercizio

Lo stato finale normalizzato che dopo la misura dàbè quindi

2/1)B(;2/1)B(

2

1

2

1

2

1

3

332211321

bPbP 1

)(2

1)(

4

1

4

1

2/12121

Se invece non conoscessimo lo stato iniziale |

nel caso di un autovalore degenere b1, potremmo solo concludere che l’autostato stato finale (dopo la misura) è

321 cba

22

21

ba

ba

Supponiamo ora che lo spettro dell’operatore autoaggiunto sia continuo

Nel caso discreto e non degenere, sviluppavamo il vettore di stato in funzione della base di n autovettoriortonormali i nel modo seguente:

ii

i

Se il numero di autovalori è infinito, rimpiazziamo la sommatoria con l’integrale

d

Al variare di con continuità, è una funzione continua

Chiamiamo questa funzionela funzione d’onda nellospazioè anche chiamata ampiezza di probabilità di trovare la particella con l’osservabile

Nel caso continuo non possiamo aspettarci che |<isia la probabilità di trovare che i, in quanto i valori possibili di sono infiniti: se al variare di i la somma dei prodotti scalari di |<i(le probabilità) deve dare 1, la probabilità che ideve essere infinitesima. La probabilità P(|<può essere allora interpretata come la densità di probabilità nel punto , ovvero, per es., se X, l’operatore di posizione, P(xdxè la probabilità di trovare la particella tra xex+dxMostriamo ora che la definizione data è appropriata, ovvero che se operiamo con un vettore di stato normalizzato, l’integrale di P(d= 1

1)(2

IdddP

Seè l’unica normalizzazione possibile, (vettori impropri) allora P() è solo la densità di probabilità relativa

Riassumendo, nel caso di spettro continuo dell’operatore B, abbiamo che la probabilità che misurando l’osservabile si trovi un valore compreso tra c e c+è

Esito in (c,c+

Lo stato viene trasformato nella proiezione normalizzata sull’autovarietà (c, c+ corrispondente all’esito ottenuto

)(

)()(

tP

tPt

Bj

Bjmisura

Esito bj

Caso discreto

Caso continuo

2)()(2,)( |)()()(||)(|)](|),([ tccttccBP BBcB PPP

)()]()([

)()]()([)(

tcPcP

tcPcPt misura

|C

c c

La probabilità per un vettore di stato t) di ottenere un risultato (autovalore) compreso tra c e c+appartenente allo spettro continuo di un osservabile B è l’area sottesa dalla funzione |c(che esprime la proiezione del vettore di stato sulla varietà i cui “assi coordinati” sono compresi tra c e

c

c

dc

tccBPc

2)(

)](|),([)(

Questa formula rappresenta geometricamente l’area sottesa dalla funzione c( nell’intervallo (c, c+

Sianole autofunzioni improprie dell’operatore

Stati puri e miscele

• La preparazione è una misura di un’osservabile, che ci porta in un’autovarietà che può essere

• (i) monodimensionale (autovettore) e allora abbiamo un’informazione massimale (preparazione “accurata”), ovvero uno stato puro, oppure

• (ii) degenere (autospazio) e allora non sappiamo esattamente in quale degli stati della varietà degenere il vettore di stato viene trasformato

• Esistono dunque probabilità che dipendono da mancanza di informazione sullo (ignoranza dello) stato iniziale del sistema e che nascono in connessione con la preparazione del sistema: chiamiamo tali probabilità epistemiche

Altre probabilità, quelle che caratterizzano la teoria in modo più proprio, non dipendono da informazioni colmabili in linea di principio: sistemi identicamente preparati (stati puri) e soggetti a misura danno esiti diversi con certe probabilità. Questi sistemi si chiamano quantisticamente omogenei e le probabilità ad essi relative si dicono non epistemiche o “ontiche”

Se la preparazione di un sistema quantistico non può essere gestita in modo accurato, dobbiamo considerare diversi stati iniziali dovel’indice corre su un certo insieme Ogni risultato di preparazione ha una certa probabilità p(Nel caso di sistemi identicamente preparati, p(è la frazione di sistemi descritti dallo stato iniziale .Questi diversi insiemi si chiamano miscele e non sono omogenei: sono somme pesate di stati puri Ogni stato viene poi fatto evolvere con l’equazione di Schroedinger e le sue misure genuinamente probabilistiche (in senso non epistemico) vengono poi pesate con le varie probabilità epistemiche.

Supponiamo che un operatore autoaggiunto abbia uno spettro continuo ed eventualmente uno discreto, e abbia quindi autofunzioni proprie ie autofunzioni improprie Affinché l’interpretazione probabilistica sia consistente si deve avere (G. p. 371)

1)()()()(222

tdccdccti

i

continuospettroiii

La prima condizione a sinistra discende dal fatto che si ha a che fare con un operatore autoaggiunto. Ricordiamo che c < e che

dtt )()(|I

Abbiamo visto che in meccanica classica lo stato di un sistema si specifica completamente dando le 3n posizioni delle n particelle (ogni particella ha tre coordinate nello spazio tridimensionale) e i 3n momenti pi=mivi (ogni vi ha tre proiezioni sugli assi). Esprimendo le posizioni e le velocità come due vettori tridimensionali, basta ovviamente dare 2n vettori, n per la posizione ed n per i momenti. Allora, l’energia totale ET del sistema delle particelle = energia cinetica + energia potenziale di ogni particella, si scriverà come una funzione a valori reali sullo spazio delle fasi 6n dimensionale

),...,,(2

),...;,..,(),( 21

2

121 ni i

inniiT rrrV

m

pppqqqE prEE

Indichiamo ora con X, Y, Z e Px Py Pz i sei operatori autoaggiunti dallo spettro continuo che corrispondono alle componenti classiche della posizione (x, y, z) e del momento px py pz di una sola particella. Questi operatori obbediscono a un algebra non-commutativa:

[X, Px]= [Y, Py] = [Z, Pz]= ih/2

[X,Y]= [X,Z] = [Y,Z] = [Px,Py] = [Px,Pz] = [Py,Pz] = 0

[X, Py] = [X, Pz] = [Y,Px] = [Y,Pz] = [Z, Px ] = [Z, Py] = 0

Momento quantità di moto =

zyx pppzyxkyi

prL

)()()( xyxzyz ypxpkzpxpjzpypi

Componente lungo z

Consideriamo che X, Y e Z sono un insieme completo di osservabili commutanti (seconda riga della pagina scorsa) e scriviamo ogni vettore dello spazio di Hilbert (x,y,z) adottando come base l’unico autovettore improprio x,y,z delle tre componenti della posizione |x,y,z|. In altre parole x,y,z è un autostato simultaneo delle osservabili commutanti X, Y e Z, con autovalori x, y, z, ciascuno passibile di assumere un valore reale qualunque

Rappresentazione degli operatori (G.2.7)

xyzzxyzyxyzx zyx ZYX ,,

Gli autostati impropri ’ si normalizzano a una di Dirac in ciascuna delle variabili (lo spazio di Hilbert delle tre componenti è il prodotto dei singoli spazi di Hilbert associati a ciascuna componente)

)~()()()( )3( rrzzyyxxzyxxyz

zi

yi

xizyx

zyx PPPZYX ,,;,,

sta per lax,y,z)su cui agisce l’operatore

La rappresentazione della componente lungo k del momento angolare L sarà xy ypxp

x

yiy

xizyxz ),,(L

L’operatore hamiltoniano del sistema che corrisponde alla formula classica di p. 138 sarà:

),,()(2

)()(2

1

2

2

2

2

2

22

))((222 2

222

zyxVzyxm

Vm

xxi

xi

H

ZY,X,PPPHxP

zyx

Poiché l’energia potenziale V è funzione degli osservabili posizione V(X,Y,Z), V agisce come una moltiplicazione per V V(X)=V(x);V(Y)=V(y); V(Z)=V(z)

),,,(),,()),,,(),,,(),,,(

(2

),,,(2

2

2

2

2

22

tzyxzyxVz

tzyx

y

tzyx

x

tzyx

mt

tzyxi

Ricordando che l’equazione di Schroedinger è )()( ttdt

di H

),,()(2 2

2

2

2

2

22

zyxVzyxm

H

si ha, nel caso in cui l’hamiltoniana è quella di p. 138

Momento della quantità di moto: si dimostra che vale (vedi G. 2.8)

[Lx Ly]=ih/2Lz; [Ly Lz]=ih/2Lx; [Lz Lx]=ih/2Ly

L’equazione agli autovalori risulta invece

L2lm= [L(L+1) h/ con L= 0,1,2, 3, n ; Lzlm= (mh/2/lm

e mostra che le due osservabili hanno spettro discreto: ovvero, non tutte le velocità di un elettrone che “orbita” attorno al nucleo (una trottolina quantistica) sono possibili, ma solo quelle per le quali il modulo del momento angolare L è (L(L+1))1/2. Fissato un autovalore l, la proiezione lungo z dell’asse della trottolina in questione non può formare un angolo arbitrario, ma deve assumere il valore mh/2, ovvero uno dei 2l+1 valori per cui m=-l, -l+1,.. 0, l-1,… l. Per esempio, per l =1, il modulo di L è e m può avere i

z

1

-1

valori –1, 0 e 1 in unità di h/2

Lo spin

(1)Lo spin è un grado di libertà (proprietà) quantistico(a) che non ha equivalente classico, malgrado sia assimilabile al momento angolare intrinseco associato a certe particelle, viste come minuscole trottole (spin). Non essendo legato a posizione e velocità, è, insieme alla carica e alla massa, una proprietà intrinseca o non relazionale delle particelle che lo possiedono.

(2) Lo spin non è associato al moto orbitale della particella, perché è possibile preparare un elettrone con quantità di moto nulla (mv=0) e dunque con momento angolare L = mvr che dovrebbe essere nullo nelle tre direzioni; sperimentalmente si trovano invece (per l’elettrone, per es.) due soli valori possibili +/-(1/2)h/2 (e per questo si pensò inizialmente allo spin come alla rotazione di una trottolina che non trasla,ma tale immagine può essere fuorviante)

(3) Essendo analogo al momento angolare, assumeremo che l’operatore di spin soddisfi a relazioni analoghe a quelle soddisfatte dall’operatore momento angolare: detti Sx Sy Sz gli operatori delle tre componenti dello spin, vale per le prime due componenti:

[Sx, Sy]=(ih/Sz e per le altre la permutazione ciclica di questa.

Ponendo Si=h/4i con i=x,y,z, si ha i=/hSi

[x, y] =hSx, Sy]= h [(ih/2)]Sz= 2i z

Se i soli valori possibili dell’operatore S sono +-½, gli autovalori di sono 1 e –1. Infatti supponiamo che Si|v>=(+1/2)h/2|v> (4/h) Siv> = (4/h)(1/2)(h/2|v> i v> =1|v>; lo spin ha autovalori 1 e -1Considerando che l’operatore di spin ha solo due autovalori, gli elementi dello spazio corrispondente saranno vettori a due componenti, mentri gli operatori di spin sono matrici 2x2

Facciamo ricorso alla base degli autovettori relativi all’operatore z Poiché l’osservabile corrisponde a un operatore hermitiano che può assumere forma diagonale e ha come elementi della diagonale i suoi autovalori, la matrice associata all’operatore in questione si può scrivere

1001

z

Gli autovettori normalizzati relativi agli autovalori 1 e –1 sono, rispettivamente, e , come si può verificare:

1011110

101110

1001

2 xxxxvz

0110110

001101

1001

1 xxxxvz

01

1v

10

2v

Il generico vettore dello spazio di spin si scrive

10

01 bab

a

Questa relazione mostra che z ha un sistema completo di autostati.

Esercizi: (1) Determinare le matrici corrispondenti a x e y tenendo conto delle relazioni di commutazione di due pagine fa (box rossi), della condizione di hermiticità e del fatto che gli autovalori associati sono –1 e +1. Il risultato è

00i

iy

(2) Determinare gli autovettori normalizzati associati ai due operatori. Risultati:

1

12

1;1

12

111 xx

01

10x

i

iiyy 1

12

1;11

12

111

Svolgimento del primo esercizio. Si sfrutta la relazione [xy]=2iz

Chiamando con 11 il primo elemento delle varie matrici, si ha

00****

00][

*,1*,,1*

2**2**2

2**2**2

****;

****

1001;*;*

12

2222

1111

faiicdfbaecedb

icdfiaecdbbfae

iebiebb

ibeebifcbecfebi

iebbeiebdabeadi

fcbefbaeecdbebda

cfebcedbbfaebead

feed

cbba

zxyyx

zxyyx

xyyx

zyx

Sommando e sottraendo membro a membro le due espressioni dopo la freccia si ottiene a = c e f = d. Infatti sommando si ha 2i(c-a)= 0 e sottraendo 2(f-d) = 0. Richiedendo che le due matrici abbiano gli stessi autovalori di z si ha a=c=d=f =0

Svolgiamo il calcolo solo per uno dei due autovettori associati a y

00

00

11

101000det

1

2

yx

yx

y

x

y

x

vivivv

vv

ii

vv

aaaiia

x

trovati i due autovalori, determino l’autovettore

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima

Normalizziamo il vettore in modo da trovare l’autovettore di y cercato

kj j

jjjkkjjjk

kjjkjjk

kjjjkjk

kjjjkk

bcbcc

vvbccvbvccvBcvcBB

2||*

**

y

Il procedimento per l’ altro è del tutto analogo

)1();1()1()1(00 ivivivivvivivv yxxyyxyx

Esercizi sulle matrici di spin:

1)Verificare che i tre operatori o matrici di Pauli i non commutano e che gli autovettori trovati per ogni singolo operatore verificano l’equazione agli autovalori.

2) Verificare che i 6 autovettori sono tutti normalizzati e che autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali a due a due per ognuna delle tre matrici di Pauli.

3) Chiamando con x+ e x- gli autovettori di xxrispettivamente,e con y+ e y- quelli associati a yy(i)trovare i proiettori che proiettano sui 4 autovettori (ii) mostrare che Px- x_ = x_ e Py+y+=y+ (iii)determinare il vettore Py+y__(iv) calcolare Px+Px+ e Py+Py+= Py+

2(perché il risultato è prevedibile?)

4) Calcolare <x+|Py+ x+>,<x-|Py+x->,<y+|Py+y+> e <y-|Py+y-> e confermare che questi prodotti scalari sono uguali a |Py+ x+|2, |Py+ x-|2 , |Py+y+|2 |Py+y-|2

5) Dato Sy Py+ usare il teorema di decomposizione spettrale per trovare Py-

6) Calcolare ½ Px+ -1/2Px- e spiegare perché il risultato è prevedibile.

Svolgimento di 3(i). Scriviamo i 4 autovettori associati agli operatori di spin

i

iyiiy 1

12

1;1

12

1

1

12

1;1

12

1xx

1)*()(2/1)*(2/12/1)(2/1

2/12/11

2/12/1

*

cbba

cbba

cbbaPx

1||1

1||*||**

||**

22

22

22

222

caccbca

caaba

Pcbba

cbcbabbcabba

cbba

cbbaP

1111

2

1

2/1*)()1(

0)121()121(

0)1()1(0)1(2/)1(2/

0)1(2/)1(2/*0)1(2/)1(2/

00

11

2

1*

2222

xP

bcbababa

ababibia

ibiaibia

icibibia

ii

cbba

In alternativa, e in modo più rapido, si sfrutta la definizione alternativa di proiettore su i, Pi=| i > <i|, applicandola a y+, y-

etc.

11

2

1

1)1()1(1

4

1)1,1(

2

111

2

111

2

111

2

122

22

ii

iiii

iiii

ii

iiPy

Valor medio di un operatore, operatore statistico o di densità

Supponiamo al solito di avere un’osservabile B, per semplicità non degenere e dallo spettro discreto, e tale che Bvk=bkvk e supponiamo anche che non sia un autostato dell’osservabile. Allora si può espandere nella base ortonormale costituita dagli autovettori vj

2||)|( jjjjjj

j cbBPvcvc Ricordando la linearità e l’antilinearità del prodotto scalare e l’ortonormalità della base vk si calcola il valor medio <B> di B

Media degli esiti di misura pesata con la loro probabilità

Sandwich di B

kj j

jjjkkjjjk

kjjkjjk

kjjjkjk

kjjjkk

bcbcc

vvbccvbvccvBcvcBB

2||*

**

Nel caso di un dado, la media degli esiti pesata con la loro probabilità (la distribuzione) è

(1/6)1+(1/6)2+ (1/6)3+(1/6)4+ (1/6)5+(1/6)6=21/6 = 3,5

Calcoliamo ora il valor medio di un proiettore associato a un’autospazio di un’osservabile con la regola del “sandwich”, e mostriamo che esso è uguale alla probabilità di ottenere il relativo autovalore in un processo di misura

22 |]| jBjBjBjBjB PPP[PP

Consideriamo ora un operatore hermitiano A su uno spazio di Hilbert H. Si dice che A è positivo se, per ogni v di H,

Esercizio: Dimostrare che dalla condizione nel box blu, omettendo l’hermiticità di A, segue che A è hermitiano e che i suoi autovalori sono positivi

0vv A

Prendiamo ora una base di v ortonormali e ridefiniamo la funzione traccia di A, Tr(A)

Si noti che scrivendo l’equazione agli autovalori, per l’ortonormalità di v si ha

i

iidef vvTr A (A)

che coincide con la definizione che avevamo dato precedentemente, ovvero con la somma di elementi diagonali in cui si può mettere la matrice di A quando A è hermitiano; come si vede, gli elementi diagonali sono gli autovalori di A. Inoltre, siccome A è hermitiano, la traccia di A è un numero reale.

i

iiii

ii

iiii

ii aavavvv A

Ovviamente la traccia di un operatore può divergere, cioè dare somma infinita. Diciamo ora che un operatore appartiene alla classe traccia se (i) A è positivo e (ii) se la sua traccia è finita, cioè

0vv AA è di classe traccia

(i)

(ii)

Prendiamo ora un proiettore P su un raggio di H (che è un sottospazio monodimensionale di H) e sia vi il vettore che giace nel raggio in questione. Allora si ha Pvi=vi e Pvj=0 se ji

1)( iijii

ii vvvvTr PP

i

ii vv A

Siccome P è di classe traccia e la sua traccia =1, allora è detto operatore statistico

Esercizi: dimostrare le seguenti tre proprietà della traccia: (i) Tr(aA) = a Tr(A) ; (ii) Tr(A+B) = Tr(A)+Tr(B) (iii) Tr(A) dipende solo da A e non dalla base prescelta

)()()(

;

BABABAB)(ABA

BA

TrTrvvvvvvvvvTr

vbvvvvavvv

iii

iii

iiii

iii

iiiiiiiiii

Svolgimento di (ii). (i) è stato svolto in classe

Svolgimento di (iii); Sia Tr’(A) la traccia di A in base v’=ci vi con v’ base ortonormale esprimibile come combinazione lineare della base ortonormale originale vi

iiortonvc

iiiiii

iiiii

iiiii

iii

ii

iiii

iii

avcvca

vcvcvcvcvvTr

avvavvTr

ii .

'')('

)(

AAAA

AA

Si ha quindi Tr(A)=Tr’(A).QED

W è detto operatore di densità o operatore statistico o matrice di densità se

(i) W è un operatore di classe traccia (e quindi W è positivo e la sua traccia è finita) e inoltre

(ii) è di traccia unitaria Tr(W)= 1.

Abbiamo visto nella pagina precedente che ogni operatore di proiezione P che proietti su un raggio è un operatore statistico o di densità (infatti si ha Tr(P) =1). Dimostrare che se [Pi] è una famiglia di proiettori che operano su raggi di H, allora per la (i) e la (ii) di questa pagina, si ha

W è un operatore di densità

Operatore di densità (statistico)

)10)(( ii

ii

iii aaaa PW

Dimostrazione.

1)()()()( )( i i

iiiiiii

(ii)ii

i aTraaTraTrTr PPPW

La condizione di positività è soddisfatta quando per ogni v in H, si ha

Infatti se l’equazione agli autovalori è Wvi=aivi, con vi base ortonormale, allora ogni v in H si esprime come combinazione lineare di vi e quindi si ha

0 iiiiii avvavv W

0vv W

La condizione di finitezza della traccia è soddisfatta perché la traccia di W è unitaria e quindi a fortiori finita:-(i) e (ii) qui sotto si rif. alle proprietà della traccia trattate negli esercizi della p.157

con fattori che moltiplicano le a per il modulo quadro c*c dei coefficienti dell’espansione di v=icivi e che dunque non influiscono sulla positività del prodotto scalare 0vv W

Si può dimostrare che è sempre possibile decomporre un operatore di densità W in una somma pesata di proiettori aiPi, anche se la decomposizione di W non è unica (vedi sez. 5.2 R. I. G. Hughes S.I. of QM). Ogni operatore di densità che non sia esso stesso un proiettore può esprimersi in un numero infinito di modi come somma pesata di proiettori su raggi (varietà monodimensionali dello spazio di Hilbert)

01

10x

00i

iy

1001

z

10

01I

Date queste quattro matrici su C2 e un operatore hermitiano A su C2 mostrare che

(i) Esistono quattro numeri reali r1, r2,r3, r4 tali che A= r1x+ r2y+r3z+ r4I

(ii) Se A è un operatore di densità, allora r4=1/2

(iii) Se A è di proiezione, allora r4=1/2, e (r1)2 +(r2)2 + (r3)2= ¼ (per l’idempotenza). Allora scrivendo 2 r1 etc. si ha che:

(iv) Se A è un operatore di proiezione, si può scrivere nella forma

A=1/2(x + y +z +I) con (1)2 +(2)2 + (3)2 =1

Svolgimento di (ii): Tr(A) = 1 per def. di matrice di densità

Tr(A)=Tr(r1x+ r2y+r3z+ r4I)= r1Tr(x)+ r2Tr(y)+r3Tr(z)+r4Tr(I)=1

0+0+0+r4 2 = 1 r4=1/2

Svolg. di (iii): 1= Tr (A)= Tr (A2)= Tr[(r1 sx+ r2 sy+r3sz+ r4I)2 = 1

01

10x

00i

iy

1001

z

10

01I

IsrrIsrrIsrrssrrssrrssrr zyxzyzxyx 4342413231212

42

z32

y22

x1 222222I)(r )sr()s(r )s(r

1=2r12 + 2r2

2 + 2r32 +2(r4) + 0 +……+ 0

1/2= (r1)2 +(r2)2 + (r3)2+1/4 (r1)2 +(r2)2 + (r3)2=1/4

Abbiamo visto che se si considera l’operatore di proiezione P sulla varietà monodimensionale individuata da l’operatore Pè di classe traccia con traccia unitaria. Se prendiamo un’osservabile B il cui operatore B sia limitato (ovvero c’è un numero reale b tale che per ogni v di H si ha |Bv| < b|v|), allora PB è di classe traccia, e la sua traccia è il valor medio di B. Infatti, possiamo trovare una base ortonormale il cui primo elemento = mentre gli altri elementi k sono ad esso ortogonali:se supponiamo che P e P k = 0 per k diverso da 1, si ha (Ghirardi, 387):

BBBPBP

BPPBPBPBP

P

2

|

)(

.

..

1 herm

iiihermit

iiiidem

iiiTr

Il valor medio di un operatore limitato B è la traccia del prodotto dell’operatore per il proiettore sulla varietà generata dallo stato

Definiamo ora lo scarto quadratico medio (detto anche secondo momento della distribuzione) come la radice quadrata della media pesata dei quadrati degli scarti dalla media. Se pi è la probabilità di ottenere l’esito ai, la quantità ci permette di dire che la maggior parte degli esiti sono concentrati nell’intervallo [<A> - <A> + Per esempio,“”se <A> = =1/2 possiamo solo dire che la frazione di pollo che ogni italiano mangia sta tra 0 = <A> - e 1 = <A> + mentre se e<A> =1/2, allora quasi tutti gli italiani mangiano mezzo pollo a testa (Ghirardi p. 388)

SCARTO QUADRATICO MEDIO

iii

iii apAAapΔA ;)( 2

Data un’osservabile B e il relativo operatore autoaggiunto B, si ha

Assumendo infatti che i ci i ; e cheB i=bi i

22 )(| B- BB

Ovvero il valor medio dell’operatore (B - <B>)2 è la media pesata con la probabilità |cj|2 del quadrato dello scarto tra l’esisto bj e il valor medio di B.

22

22

22

22

))*)*

)*)*

))(|

B- (B- (B- (

B- (B- (B

B- (BB- B

jj

jj

jkkkj

jkjjk

kjjjkjk

kjjkjk

kjjjkk

bcbccbcc

bcccc

cc

Si noti che poiché B è hermitiano, e <B> =|ci |2 bi è reale, anche l’operatore (B - <B>)2 è simmetrico, cosicché

)(()(

)()(|)((

2

2

BBBB

BBBBBB

B)

B)2

Se un sistema scelto a caso da un insieme quantisticamente non omogeneo (miscela) E in cui una percentuale di sistemi Ea è nello stato puro a con probabilità pa= Na/si ha, sommando su tutte le opzioni possibili Ea e moltiplicando per il valor medio di B relativamente allo stato a considerato…

Notiamo ora che se A è di classe traccia e B è limitato, si ha che AB e BA sono entrambi di classe traccia e Tr(AB) = Tr (BA).

Sia Pv il proiettore che proietta sul raggio contenente un vettore normalizzato v e sia Q un qualunque proiettore sullo spazio H. Sia pv(A,la probabilità che l’osservabile A sia in relativamente allo stato v Se [vi] è una base normalizzata di H che contiene v, allora Pvv=v e Pvi=0 se vi è diverso da v

Se rappresentiamo lo stato puro con Pv piuttosto che con il vettore v, e con PA il

proiettore che proietta sul sottospazio che rappresenta la domanda sperimentale “A è in ”?, allora pv(A,è la traccia del prodotto tra lo stato puro Pv e il proiettore PA

. Sia L l’insieme dei sottospazi di H. Allora per ogni L in H, con il corrispondente PL, P(L)Tr(PvPL) è una misura di probabilità e le somme pesate iaisono ancora misure di probabilità, purché valga ai >0 e iai=1.

)()(),(

),(

)((

Avv

AA

vvv

PPQPA

APPQQ

QPQPQ)P

TrTrp

pvvvv

vvTrTr

v

v

iii

Ora si consideri un operatore statistico W=iaiPi con i proiettori Pi

che proiettano su raggi di H, a ciascuno dei quali corrisponde una misura di probabilità i. Allora per ogni sottospazio L e ogni proiettore PL si ha

All’operatore W corrisponde così la misura di probabilità W= iai i

sull’insieme di sottospazi di H, a patto che per ogni ai , si abbia ai >0 e iai=1.Rappresentando con W lo stato del sistema, generalizziamo l’algoritmico probabilistico della teoria scrivendo

i

iiii

ii

ii LaTraaTrTr )()(][()( LLL PP)PPWP

)(),(

)(),(

Avv

AW

PPTrAp

WPTrAp

se W=stato puro Pv questa relazione si riduce al già visto