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Dispense del corso PED, parte I, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita. 1 Dispense del corso di Preparazione di Esperienze Didattiche AA. 2008/09 di Maria Grazia Ianniello Indice Parte I Introduzione.............................................................................................p. 3 Cap. 1 Generalità §1.1. Il corso.............................................................................................p. 6 Questionario d’ingresso............................................................................p. 7 §1.2. Materiali di riferimento: manuali, cataloghi, rete............................p. 8 §1.3. L’uso del computer nella didattica della Fisica...............................p. 10 Cap. 2 Cenno all’analisi degli errori §2.1. Il problema delle ‘incertezze’ nelle misure sperimentali.................p. 11 §2.2. Confronto tra due misure..................................................................p. 12 §2.3. Ripetizione delle misure....................................................................p. 13 §2.4. Cifre significative.............................................................................p. 16 §2.5. Errori relativi e percentuali...............................................................p. 17 §2.6. Propagazione degli errori..................................................................p. 18 §2.7. Errori indipendenti e somma in quadratura.......................................p. 20 §2.8. Propagazione degli errori per una funzione di una variabile.............p. 20 §2.9. Distribuzione normale o di Gauss......................................................p. 21 §2.10. Caratteristiche degli strumenti.........................................................p. 26 Cap. 3 Grafici §3.1. Rappresentazione dei dati sperimentali mediante grafici...................p. 27 §3.2. Linearizzazione di grafici...................................................................p. 28 §3.3. Uso delle carte logaritmiche...............................................................p. 31 §3.4. Leggi di potenza e carte bilogaritmiche..............................................p. 32 §3.5. Principio dei minimi quadrati.............................................................p. 33 §3.6. Il metodo dei minimi quadrati e l’uso di Excel (a cura di Francesco Zambolin)...................................................................p. 37 Esercitazioni................................................................................................p. 47 Cap. 4 La fisica del senso comune...............................................................p. 54 Test di Fisica e senso comune......................................................................p. 56 Risposte al questionario...............................................................................p. 66 II parte Indice Cap. 5 Moto e forze §5.1. Concetti chiave. Qualche considerazione didattica...p. 2 §5.2. Analisi sperimentale del moto: gli strumenti.............p. 3 §5.3. Apparecchiature di base.............................................p. 7 §5.4. Analisi del moto con computer on line......................p. 8 §5.5. Esperimenti sul moto..................................................p. 12 Esercitazioni.........................................................................p. 15 Cap. 6 Pressione, temperatura e calore §6.1. Pressione nei fluidi......................................................p. 23

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Dispense del corso di Preparazione di Esperienze Didattiche

AA. 2008/09 di Maria Grazia Ianniello

Indice

Parte I Introduzione.............................................................................................p. 3 Cap. 1 Generalità §1.1. Il corso.............................................................................................p. 6 Questionario d’ingresso............................................................................p. 7 §1.2. Materiali di riferimento: manuali, cataloghi, rete............................p. 8 §1.3. L’uso del computer nella didattica della Fisica...............................p. 10 Cap. 2 Cenno all’analisi degli errori §2.1. Il problema delle ‘incertezze’ nelle misure sperimentali.................p. 11 §2.2. Confronto tra due misure..................................................................p. 12 §2.3. Ripetizione delle misure....................................................................p. 13 §2.4. Cifre significative.............................................................................p. 16 §2.5. Errori relativi e percentuali...............................................................p. 17 §2.6. Propagazione degli errori..................................................................p. 18 §2.7. Errori indipendenti e somma in quadratura.......................................p. 20 §2.8. Propagazione degli errori per una funzione di una variabile.............p. 20 §2.9. Distribuzione normale o di Gauss......................................................p. 21 §2.10. Caratteristiche degli strumenti.........................................................p. 26 Cap. 3 Grafici §3.1. Rappresentazione dei dati sperimentali mediante grafici...................p. 27 §3.2. Linearizzazione di grafici...................................................................p. 28 §3.3. Uso delle carte logaritmiche...............................................................p. 31 §3.4. Leggi di potenza e carte bilogaritmiche..............................................p. 32 §3.5. Principio dei minimi quadrati.............................................................p. 33 §3.6. Il metodo dei minimi quadrati e l’uso di Excel (a cura di Francesco Zambolin)...................................................................p. 37 Esercitazioni................................................................................................p. 47 Cap. 4 La fisica del senso comune...............................................................p. 54 Test di Fisica e senso comune......................................................................p. 56 Risposte al questionario...............................................................................p. 66

II parte

Indice Cap. 5 Moto e forze §5.1. Concetti chiave. Qualche considerazione didattica...p. 2 §5.2. Analisi sperimentale del moto: gli strumenti.............p. 3 §5.3. Apparecchiature di base.............................................p. 7 §5.4. Analisi del moto con computer on line......................p. 8 §5.5. Esperimenti sul moto..................................................p. 12 Esercitazioni.........................................................................p. 15 Cap. 6 Pressione, temperatura e calore §6.1. Pressione nei fluidi......................................................p. 23

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§6.2. Il banco da vuoto.........................................................p. 26 §6.3. Dinamica dei fluidi......................................................p. 28 Esercitazioni.........................................................................p. 32 §6.4. Temperatura e calore...................................................p. 33 §6.5. Misure di temperatura.................................................p. 34 §6.6. Misure di quantità di calore.........................................p. 36 Esercitazioni..........................................................................p. 37

III parte Cap. 7 Ottica geometrica §7.1. Riflessione..............................................................p. 2 § 7.2. Rifrazione..............................................................p. 5 § 7.3. Il banco ottico........................................................p. 8 § 7.4. Lenti.......................................................................p. 10 §7.5. Prismi......................................................................p. 11 Cap. 8 Onde § 8.1. Generalità sulle onde..............................................p. 18 §8.2. Onde nei solidi: impulsi in una molla......................p. 21 §8.3. Corda vibrante e onde stazionarie............................p. 23 §8.4. Ondoscopio (o ripple tank o vaschetta a onde)........p. 27 §8.5. Onde acustiche: il suono...........................................p. 32 Cap. 9 Ottica ondulatoria §9.1. Interferenza................................................................p. 35 §9.2. Altri modi per realizzare interferenza........................p. 40 §9.3. Diffrazione.................................................................p. 43 §9.4. Polarizzazione.............................................................p. 49 Cap. 10 Luce e colori §10.1.I colori.......................................................................p. 61 Esercitazioni........................................................................p. 68

IV Parte Cap. 11 Elettricità e Magnetismo §11.1. Elettrostatica: fenomenologia di base.......................................................p.1 § 11.2. Uso del tester.................................................................................................p.12 §11.3. Semplici circuiti in cc .....................................................................p.14 §11.4. Magnetismo ed elettromagnetismo.................................................p. 21 §11.5. Induzione elettromagnetica e legge di Faraday Neumann Lenz......p. 29 §11.6. Carica e scarica di un condensatore.................................................p. 37

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PREPARAZIONE DI ESPERIENZE DIDATTICHE Introduzione Queste dispense sono rivolte ai futuri insegnanti di fisica nella scuola secondaria superiore che vogliano, come è auspicabile, affrontare l’attività sperimentale. Senza alcuna pretesa di esaustività presentano “i ferri e i trucchi del mestiere” che ci aiutino, per es. in un modulo o in una unità didattica, a decidere quale esperimento scegliere, come realizzarlo, dove reperire i materiali, a valutare i costi e i tempi di esecuzione, e soprattutto i nodi concettuali da affrontare. Partiremo dall’analisi dei principali progetti di insegnamento della fisica con attività di laboratorio per la scuola superiore (come l’IPS o il PSSC, pubblicati molti anni fa ma sempre attuali); in merito va sottolineato che, a parte gli esempi citati, non esiste l’analogo del manuale di riferimento e i repertori di esperimenti ben strutturati sono rari. Passeremo poi a illustrare strumenti, attrezzature di base, materiali poveri e non, immaginando sia una situazione ottimale, con la presenza di un laboratorio ben organizzato, sia una situazione, ancora diffusa nelle scuole, con apparecchiature e strutture ridotte o assenti. Va detto da subito che non basta conoscere il know how ma è necessaria anche la best practice: ogni esperimento va provato fino a trovare la disposizione sperimentale ottimale per mostrare un dato fenomeno o affrontare un progetto di misura per verificare una legge o ‘scoprirne’ una per via induttiva o per determinare il valore di una costante da confrontare con il suo valore atteso (esperimenti di verifica, ma non sempre riescono!). E’ inoltre opportuno saper programmare esperimenti dimostrativi (l’ “arte” di dimostrare) e di gruppo (socializzare e comunicare), in funzione dell’argomento trattato o più semplicemente dei materiali e dei tempi a disposizione. E, ancora, è bene far riflettere gli allievi sulla tipologia degli esperimenti: esperimenti pensati (se... allora), ‘cruciali’ (ma esistono?), storici (il contesto, le teorie, le tecnologie), simulati (se in scala, spaziale e temporale, troppo grande, troppo piccola, se pericolosi, costosi), on line (se troppo brevi, se troppo lunghi). Gli argomenti del corso riguardano cinque aree tematiche: 1. Moto e forze. 2. Pressione, temperatura e calore. 3. Onde, luce e colori. 4. Cariche, forze e campi elettrici. 5. Campi magnetici e induzione. Vi sono inoltre dei temi trasversali nel corso (da considerarsi come mezzi e non come fini), che riguardano nell’ordine: a. elementi di teoria degli errori; verranno applicati da subito nei primi esperimenti da affrontare in laboratorio o a casa e successivamente in qualunque attività che preveda misure. Il tema viene affrontato, soprattutto nella parte iniziale, prevalentemente in modo manuale, sia nella fase di raccolta delle misure sia nella fase di elaborazione dati (per es. mediante grafici) per almeno due motivi: 1. Per far capire, passo per passo, i procedimenti di misura è preferibile anteporre all’uso del computer per le misure on line e dei programmi di trattamento dati, l’analisi dei dati condotta ‘a mano’; ciò al fine di evitare che gli studenti automatizzino le procedure sperimentali senza capirne il senso. 2. Scegliamo di metterci nelle condizioni più sfavorevoli di un’aula sprovvista di computer. Nel seguito verranno dati comunque informazioni ed esempi di trattamento dati al computer. b. La problematica legata alla fisica del senso comune, essenziale per individuare le rappresentazioni mentali che gli studenti hanno della realtà circostante e che spesso li porta ad avere idee non corrette dei principali concetti fisici. E’ opportuno conoscere i risultati di questa linea di ricerca didattica e saperli usare almeno come strumenti diagnostici per correggere il tiro quando si insegnano taluni concetti fondamentali.

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c. uso del laboratorio e uso della storia, due caposaldi del corso. Si ricorda che il caposcuola dell’uso del laboratorio nell’insegnamento della fisica è stato il progetto PSSC (v. oltre) mentre a favore della storia si è pronunciato l’HPP (o PPC, o metodo HOSC, History of Science Cases for High Schools). Secondo la filosofia del PSSC l’attività sperimentale, condotta dagli studenti, è centrale mentre nel PPC l’accento si pone anche sulla storia come tessuto unificante per presentare sia la scienza, illustrata attraverso “casi esemplari” (i case histories), sia l’attività di laboratorio, in modo da far conoscere agli studenti esempi significativi di “science in the making”. I due approcci hanno subito (negli USA) evoluzioni simili: enfasi spinta fino agli anni Settanta, critiche serrate negli anni Ottanta, revival e nuova attenzione dagli anni Novanta; in più condividono buona parte degli obiettivi didattici. Si tratta di due filosofie didattiche diverse ma complementari, tuttora in discussione, su cui riflettere. Va tenuto presente che le critiche di chi vuole sminuire l’uso del laboratorio puntano il dito sull’aspetto solo prescrittivo delle attività sperimentali e parlano, con riferimento alle guide di laboratorio, di scienza come libro di ricette, di abilità manuali (hands-on) preferite alle abilità intellettuali (brains-on); mentre chi vuole svalutare il metodo storico parlerà di storia per aneddoti, di storia come semplice contorno accattivante per far digerire meglio le durezze della disciplina. Ma entrambi gli approcci, se affrontati correttamente, sono irrinunciabili nella pratica didattica e spetta all’insegnante scegliere l’uno o l’altro, o anche una combinazione dei due, per esempio nella ricostruzione di esperimenti storici di cui vedremo qualche esempio nel seguito. L’insegnante sperimentatore è una specie in via di estinzione: l’attività sperimentale è infatti faticosa, a volte dispersiva se non frustrante. Vale tuttavia la pena affrontarla. L’alternativa di ridurre l’insegnamento della fisica a una esposizione assiomatica e per formule è comunque una scelta penalizzante, che mostra della disciplina un aspetto estremamente parziale e dunque va evitata. Il corso è rivolto in particolare agli studenti di matematica (la sintetica esposizione della teoria degli errori è rivolta esclusivamente a loro) ma presenta interesse anche per gli studenti di fisica quando si discutono questioni metodologiche generali o si affrontano le 5 aree tematiche di fisica di base. Il questionario di ingresso che riportiamo di seguito tende a stabilire se e quanta attività sperimentale gli allievi del corso abbiano affrontato nel loro curriculum di studi e pone già il problema di come iniziare a organizzare la propria attività di laboratorio a scuola. Riportiamo a titolo di esempio in allegato i risultati del questionario somministrato qualche anno fa a un campione di laureati in matematica e in fisica che frequentavano la SSIS. I risultati si commentano da soli e sono omogenei ai risultati rilevati negli anni successivi (il 76% dei matematici non ha mai svolto attività di laboratorio a scuola e l’80% ha continuato a non svolgerla neppure all’università). La frequenza a questo corso, se con certezza non avrà proprietà taumaturgiche rispetto all’apprendimento di capacità sperimentali, è comunque già un indizio di una inversione di tendenza. Lo stile delle dispense è un po’ discontinuo e risponde a esigenze diverse manifestatesi in tempi diversi. I temi vengono presentati per punti oppure, come nel caso dell’ottica e dell’elettromagnetismo, organizzati in percorsi in una lezione simulata. Le illustrazioni sono state fatte per la maggior parte da me (molle e gaussiane lasciano ancora a desiderare) mentre qualche figura pertinente è stata scaricata da rete. Ringrazio Fulvio Medici per i suggerimenti e chiarimenti utili nell’impiego di Adobe Illustrator. La stesura del § 3.6 è stata curata da Francesco Zambolin. Le dispense non sostituiscono i manuali di fisica a livello universitario ai quali si rimandano gli studenti per un approfondimento della teoria ogni volta che se ne presenti la necessità.

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CAP. 1 GENERALITÀ §1.1. Il corso Finalità. Il corso, di 6 CFU, è finalizzato a (ri)collegare le basi concettuali della fisica alle sue basi sperimentali e a chiarire i nessi ipotesi-teoria-esperimento, nonché le strategie didattiche attraverso cui presentare un dato esperimento in un modulo didattico. Esiti dell’apprendimento: saper riprodurre in laboratorio la fenomenologia relativa a vari settori della fisica, saperla descrivere, prevedere, modificare. Saper riprodurre le condizioni di ‘logica della scoperta’. Saper definire, stimare e/o misurare in un esperimento grandezze fisiche/ costanti universali; saper confrontare valori misurati e attesi, verificare leggi note.

Obiettivi preprofessionalizzanti. Fornire un repertorio base di esperimenti di fisica che consenta di sviluppare la capacità di:

a. condurre esperienze dimostrative, servendosi delle tecnologie esistenti, dalla lavagna luminosa al computer on line;

b. organizzare e/o valorizzare un laboratorio di fisica di supporto all’insegnamento;

c. realizzare esperimenti con materiali a basso costo; d. acquisire padronanza con le apparecchiature commerciali; e. progettare esperienze innovative o almeno saper modificare le esperienze

guidate diffuse in commercio per altri obiettivi e in condizioni diverse; f. contestualizzare un esperimento in un modulo didattico; g. valutare il ruolo dell’esperimento rispetto alla teoria ma anche saperlo

confrontare con spiegazioni del passato; h. attraverso gli esperimenti riscoprire una dimensione di gioco.

Metodologia didattica e valutazione. Il corso si articola in lezioni di approfondimento (cosiddette frontali) e in attività di laboratorio (conduzione di esperimenti particolarmente significativi in vari settori della fisica di base realizzati sia con materiali a basso costo sia con apparecchiature commerciali, anche con misure on line, o simulati al computer). Di ciascun argomento viene richiesta agli studenti una relazione o una estensione degli argomenti da affrontare a casa e su cui preparare brevi seminari. Come prova d’esame viene richiesta l’elaborazione di una tesina relativa a uno o più esperimenti da inserire in un modulo didattico in cui siano chiari il livello scolare, i prerequisiti, tempi e modi di esecuzione, gli obiettivi didattici e le modalità di valutazione. Materiale didattico: dispense, letteratura di riferimento, in particolare le guide di laboratorio. Apparecchiature di laboratorio, in particolare kit commercializzati e materiali a basso costo. Siti internet dedicati. Prodotti multimediali reperibili in commercio.

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QUESTIONARIO DI INGRESSO

1. Quando eri studente di scuola hai svolto attività di Laboratorio ❏ mai ❏ qualche volta ❏ in modo sistematico

2. Nel tuo corso di laurea hai affrontato attività sperimentali

❏ mai ❏ qualche volta ❏ in un corso (specificare quale) ………………………………………………………… ❏ in più corsi (indicare quali) ………………………………………………………………………………………………………………………..

3. Nell’insegnamento della Fisica ritieni l’attività sperimentale

❏ necessaria ❏ consigliabile ❏ da evitare, soprattutto se la scuola non dispone di attrezzature

4. Che spazio daresti alla trattazione dei dati sperimentali (“teoria degli errori”)?

❏ nullo ❏ moderato ❏ elevato 5. Che tipo di abilità pensi che l’attività sperimentale sviluppi negli allievi? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. Se ti trovassi in una scuola totalmente priva di laboratorio che faresti?

❏ eviterei accuratamente di proporre esperimenti agli allievi ❏ proporrei esperimenti a basso costo ❏ Altro

7. Se tu dovessi allestire ex novo un Laboratorio di Fisica quali attrezzature riterresti necessarie? (elencane una decina in ordine di priorità) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 8. Quali esperimenti ritieni irrinunciabili in un corso di Fisica? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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§1.2. Materiali di riferimento: manuali, cataloghi, rete Tra i manuali per l’insegnamento della Fisica nella secondaria con supporto di Laboratorio, ci limitiamo a riportare i primi project pionieristici e qualche esempio di testo più recente: IPS, Introductory Physical Science Group Project USA, inizio 1963, prima edizione italiana nel 1971, filiazione del PSSC; corso di ‘scienze integrate’ (prevalentemente fisica e chimica) per il biennio delle superiori. Edito da Zanichelli in due volumi: IPS 1, Introduzione alla scienza fisica, Corso sperimentale di chimica e fisica per il biennio: proprietà caratteristiche e trasformazioni della materia, da cambiamenti di stato a teoria cinetica (modellizzazione). IPS 2, Scienza fisica 2: carica elettrica, atomi e cariche, calore, energia potenziale e cinetica, conservazione dell’energia. Kit sperimentali distribuiti da La Nuova Didattica s.r.l., Milano. PSSC, Physical Science Study Committee Project USA, il comitato si costituisce nel 1957, classi pilota, collaudo e revisione del corso con inizio nel 1960; fortemente innovativo, propone per la prima volta un laboratorio dove a lavorare sono gli allievi. Prima edizione italiana nel 1963 con varie riedizioni, pubblicate da Zanichelli. Il progetto si compone di un libro di testo, una guida di laboratorio per lo studente, una guida per l’insegnante (non in commercio), kit sperimentali, film didattici, test di profitto, monografie scientifiche. Kit sperimentali distribuiti da La Nuova Didattica s.r.l., Milano. PPC, The Project Physics Course Project USA, noto anche come Harvard Project Physics, inizia la sperimentazione intorno al 1964; stessa filosofia del PSSC ma a forte componente umanistica per attirare studenti non motivati verso la scienza (impostazione storica). Il progetto si compone di un libro di testo, una guida di laboratorio per gli studenti, una guida per gli insegnanti, una antologia di letture, materiali audiovisivi. Edito in Italia da Zanichelli, si compone di 6 unità didattiche: Il moto, Moto nei cieli, Il trionfo della meccanica, La luce e l’elettromagnetismo, I modelli dell’atomo, Il nucleo. U. Amaldi, Fisica per temi, Per il biennio e il triennio, edito da Zanichelli, 1995. Consiste in un libro di testo, una guida di laboratorio, una guida per gli insegnanti, tuttora in evoluzione con un’apertura marcata verso l’uso del computer on line e il software didattico (CD interattivi). Tra i manuali per la secondaria che dedicano un certo spazio alle attività di laboratorio, citiamo Bergamaschini, Marazzini, Mazzoni, L’indagine del mondo fisico, Signorelli, 2007; il piano del manuale è suddiviso in “temi” e “moduli”. Particolarmente utile è: P. Cerreta (a cura di), Gli esperimenti dell’Exploratorium, P. Doherty, D. Rathje, Zanichelli, 1996. Riporta molte delle attività sviluppate presso l’Exploratorium di San Francisco, il celebre museo fondato da F. Oppenheimer nel 1969, interamente basato su exhibit interattivi che richiedono la partecipazione diretta del pubblico. Il libro non solo è una miniera di idee su esperimenti a basso costo ma alla fine della edizione italiana viene offerta una panoramica di tipologie di negozi e di ditte specializzate dove acquistare i materiali necessari per la conduzione degli esperimenti.

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Altri testi di riferimento verranno citati nelle sezioni dedicate ad argomenti specifici. I cataloghi Imparare a consultare i cataloghi delle ditte fornitrici di apparecchiature didattiche e a confrontarli prima di fare una spesa. Danno un quadro più o meno completo di quello che si può acquistare, della tipologia degli esperimenti da poter fare, dei costi degli apparecchi, delle loro specifiche tecniche. Molte ditte (Leybold, Pasco, Vernier, ecc.) sono ormai in rete e si possono cercare con i motori di ricerca. In queste dispense viene fatto spesso riferimento alle apparecchiature Leybold senza alcuna preclusione nei confronti delle altre ditte. La scelta è di comodo e riflette la presenza di questo tipo di materiali, in generale costosi ma particolarmente solidi e funzionali, nel nostro laboratorio. Si tenga inoltre presente che la Leybold rappresenta in Europa la ditta con la più antica tradizione nel settore della didattica della fisica. I libretti di istruzione: preparatevi con pazienza a leggerne in quantità. Sono importanti per una corretta e sicura utilizzazione dei materiali. La rete Un bel prodotto multimediale sulla fisica moderna è: http://hyperphysics.phy-astr.gsu-edu.html e inoltre: www.colorado.edu/physics/2000/index.pl www.pa.msu.edu/educ/lectdemo/contents.html (lecture demonstrations in vari settori della fisica ed elenco di filmati, classificati per argomento, durata, provenienza). In italiano sono disponibili esperimenti, basati su applet interattive, al sito: www.mi.infn.it/%7Ephys2000/ Ottimo è il “Physics Academic software”, realizzato in collaborazione con l’AIP (American Institute of Physics dell’American Physical Society) e l’American Association of Physics Teacher. Affidabili sono ovviamente i siti della NASA, di McGraw Hill, della Encyclopedia Britannica, di Caltech. Diffidare invece di siti non controllati (un esempio è Wikipedia che se pure rappresenta un modello di collaborazione libera e globale, per la fisica non sempre è esente da errori). Tenere presenti i siti sui Musei della scienza: www.galileo.imss.firenze.it/isiti.html Il sito del Dipartimento di Fisica della Sapienza è: www.phys.uniroma1.it/DOCS/MUSEO Utili da consultare sono i siti USA sulle “physics demonstrations”: convergono tutti nel monumentale progetto PIRA = Physics Instructional Resource Association, a cui collaborano le principali università americane (Utah, Texas of Austin, Washington, Colorado, ecc.). Pira ha elaborato uno schema di classificazione di tutti gli esperimenti di fisica, vecchi e nuovi, costruendo una vera e propria tassonomia strutturata in modo da assegnare a ciascuno esperimento un numero di codice. Per es. il numero 1 indica l’area: meccanica; una lettera, l’argomento: D, moto in due dimensioni; un altro numero, il concetto: 60, moto del proiettile; un sottonumero la dimostrazione: .10, obice e tunnel, con il codice finale 1D60.10. Raccoglie esperimenti molto frammentati, spesso tradizionali. Ha compilato inoltre una sorta di classifica degli esperimenti in Pira 200 (gli irrinunciabili), Pira 500, Pira 1000, e così via. Suggerimenti su esperimenti a basso costo, in parte riportati in P. Cerreta, (a cura di), Gli esperimenti dell’Exploratorium, cit. si possono trovare al sito: www.exploratorium.edu/snacks/. In italiano, sui misteri della percezione: www.exploratorium.edu/exhibits/italiano/index.html. A proposito di musei ‘interattivi’ di fisica, un esempio italiano interessante può essere: M. Michelini (a cura di), Dal materiale povero al computer on line, Mostra Giochi Esperimenti Idee, Università di Udine, con il sito: www.fisica.uniud.it/GEI/GEIweb.

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Per reperire materiali di didattica scientifica, Città del Sole, al sito www.cittadelsole.it per gli indirizzi dei negozi a Roma. §1.3. L’uso del computer nella didattica della Fisica Sull’uso del computer nella didattica della Fisica molto è stato detto e scritto. Ci limitiamo a riassumere tre funzioni principali del computer (oltre a quelle ovvie di collettore di informazioni attraverso i motori di ricerca in internet, di strumento di scrittura con la possibilità di realizzare ipermedia, di supporto per far ‘girare’ CD e scaricare prodotti dedicati all’insegnamento della fisica): 1. trattamento dati, costruzione di tabelle e grafici: dal programma Microsoft Excel a programmi più sofisticati come Origin, Math type, Lab view, ecc. Va affrontato con gli studenti solo dopo una prima fase di addestramento in cui conti e grafici vengono fatti a mano per far ritrovare successivamente agli studenti gli andamenti e le linee di tendenza attesi dei dati sperimentali elaborati e presentati dal computer. 2. Simulazione di fenomeni fisici o, più in generale, di esperimenti nella funzione di “Laboratorio virtuale”. Per “laboratorio virtuale” si intendono software, programmi di simulazione e di modeling, applet che consentano di eseguire un esperimento su dati simulati o di costruire un modello con la possibilità di variare i parametri1. Può essere utile in assenza di un laboratorio reale, comunque nel caso di esperimenti complessi (troppo costosi, pericolosi, irrealizzabili in laboratorio, troppo lunghi o troppo brevi). Un vantaggio può essere quello di studiare nell’esperimento i casi limite, semplicemente variando i parametri o le condizioni al contorno. Si segnalano in particolare le simulazioni con applet java al sito: www.falstad.com/metaphysics.html dove si possono trovare animazioni a parametri variabili di corde vibranti, onde d’acqua con l’ondoscopio, oscillatori accoppiati, fenomeni acustici, elettrostatica, magnetismo, elettrodinamica, meccanica quantistica. 3. Computer on line: opportune interfacce (o “centraline”) tra il computer e i sensori (o “sonde”), che effettuano le misure di varie grandezze fisiche (posizione, tempo, temperatura, pressione, intensità di corrente, tensione, ecc.), inviano in tempo reale i dati rilevati al computer (dotato di software opportuno). Il computer ordina i dati, li elabora, ne consente l’analisi grafica e statistica anche in tempo differito per analisi successive, con la possibilità di stampare tabelle e grafici per tutta la classe. Analizzeremo l’impiego del computer on line nel capitolo Moto e Forze, in particolare nell’analisi del moto.

1 Cfr. per esempio, Laboratorio virtuale di fisica della materia, Giunti Multimedia, 1997, Milano, a cura dell’Istituto Nazionale di Fisica della Materia. Elektronen, unsichtbar, unhörbar und doch allgegenwärtig, Multimedia Hochschulservice Berlin GmbH in collab. con il Deutsches Museum, 2003.

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CAP. 2 CENNO ALL’ANALISI DEGLI ERRORI

§2.1. Il problema delle ‘incertezze’ nelle misure sperimentali Riportiamo di seguito alcuni elementi di teoria degli errori, rimandando gli studenti per gli approfondimenti alla consultazione dei testi di riferimento2. Qualsiasi misura è inevitabilmente affetta da errori: si parla anche di incertezza nella misura, di errore come incertezza. Che fare: - individuare le fonti di errore; - cercare di ridurre gli errori a monte (per es. si può migliorare la precisione della misura scegliendo lo strumento più adatto alla misura che si sta facendo, oppure cercare di migliorare il procedimento sperimentale); - fare una stima ragionevole dell’entità degli errori (tenere presente che non esistono regole generali per stimare l’incertezza in una misura); - se possibile, ripetere le misure; - scrivere il risultato della misura xmis come

= misura ± errore xmis = xbest ± δx.

Misura, come stima migliore (xbest) del singolo dato sperimentale o del nostro set di dati sperimentali se abbiamo ripetuto la misura; se si suppone che alla grandezza da misurare corrisponda un ‘valore vero’ compreso in qualche punto dell’intervallo, xbest si avvicina a esso tanto più quanto l’intervallo è stretto. Errore, come incertezza o errore assoluto (o ‘attendibilità’ o ‘precisione’ della misura o, impropriamente, ‘errore di sensibilità’). La scrittura equivale a dire che il risultato della misura xmis è compreso dentro un intervallo probabile, definito da

xbest - δx|-----|xbest + δx, la cui larghezza può dipendere, per es., dalla sensibilità dello strumento usato; la scrittura δx indica che l’errore di norma è ‘piccolo’ rispetto a xbest. Un esempio elementare: misura di una lunghezza, per es. il diametro d di una matita. Abbiamo a disposizione un metro a nastro al cm, una riga al mm, un calibro a 1/50 mm. Se usiamo il metro a nastro o la riga, c’è un problema di definizione della grandezza da misurare, che ci porta a una stima inevitabilmente grossolana del diametro della matita; l’uso del nastro al cm rispetto alla riga al mm comporta inoltre una stima peggiore. Si può intanto affermare che più lo strumento è ‘sensibile’ più la misura è ‘precisa’, cioè l’errore è piccolo (nell’es. della matita, preferire la riga al mm o, meglio, il calibro). Nel caso di lettura di scale analogiche, come regoletta empirica di riferimento conveniamo di attribuire al valore misurato un errore massimo di lettura pari a ± 1/2 unità minima di scala (cosiddetta regola della mezza divisione). Questa convenzione va adottata con buon senso3: se le divisioni sulla scala sono, per es., ben distanziate, interpolare e apprezzare anche il decimo di divisione. Se la grandezza da misurare è mal definita, conviene sovrastimare l’errore.

2 J. T. Taylor, Introduzione all’analisi degli errori, Zanichelli, Bologna, 1989; H. D. Young, Elaborazione statistica dei dati sperimentali, Veschi Editore, Roma. Un altro testo utile è G. D’Agostini, Le basi del metodo sperimentale, Dipartimento di Fisica La Sapienza, Roma, 2001. 3 Chi fosse interessato a una discussione critica di questo e altri temi, affrontati nel corso solo per cenni, può consultare per es. G. D’Agostini, Errori e incertezze di misura. Rassegna critica e proposte per l’insegnamento, 1998, in rete nel sito del Dipartimento di Fisica, dagostini-perf. pdf

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Un esempio: è noto che una lente convergente reale (per es. di f= + 5 cm), non focalizza l’immagine in un punto ma in un intervallo di qualche mm. Se dobbiamo misurare la lunghezza focale f della lente su un banco ottico con scala al mm, non è sensato attribuire alla misura l’errore massimo di lettura ± 0,5 mm. Per non sottostimare l’errore conviene scrivere, per es., fmis = 5,0 ± 0,1 cm. Nell’es. del diametro della matita possiamo ragionevolmente scrivere: dmis= 6,0 ± 0,5 mm (il diametro della matita può essere compreso tra 6,5 e 5,5 mm) con la consapevolezza che la stima è affetta anche da problemi di allineamento riga-matita ed eventualmente da errori di parallasse se, facendo la misura, non eseguiamo la lettura perpendicolarmente alla scala e ci spostiamo a destra o a sinistra. Questi inconvenienti si eliminano se, nell’esempio in esame, usiamo il calibro. In questo caso, poiché per il calibro fa fede la sensibilità dichiarata (1/50=0,02 mm), la regola della mezza divisione non vale più e possiamo per es. scrivere dmis =6,00 ± 0,02 mm (il valore della grandezza da misurare è compreso tra 5,98 e 6,02 mm). L’intervallo probabile entro cui si trova la misura si è ristretto. Il ricorso al calibro rappresenta solo un esempio. Non è detto che necessariamente dobbiamo o possiamo ridurre l’incertezza nella misura semplicemente ricorrendo a strumenti ‘migliori’; quando facciamo una misura, teniamo presente l’obiettivo della misura: qual è la precisione richiesta? Che strumento usare? Vanno considerati anche gli ordini di grandezza di xmis e del suo errore: se per es. la misura si riferisce a distanze geografiche dell’ordine dei km, o delle decine di km, è ininfluente specificare i metri e tanto meno i suoi sottomultipli; viceversa, se misuriamo lunghezze d’onda nel visibile in nm vanno eventualmente specificate anche le frazioni di nm. Possiamo ritenere di migliorare a priori la precisione delle misure scegliendo la strumentazione più opportuna. La precisione tuttavia, non va perseguita a ogni costo e implica tempo e mezzi non sempre disponibili. In un laboratorio didattico ci accontentiamo di stimare con buon senso le incertezze e di imparare a contenerle. Se ci viene fornita una misura che deriva da una lettura di una scala graduata, per es. xbest = 1,25 cm senza l’errore, possiamo ragionevolmente supporre che l’errore δx sia per es. 0,05 o 0,01; 0,005 o 0,001 implicano una precisione nella misura superiore a quella effettiva, mentre 0,5 o 0,1 sono incongrue perché il valore misurato (1,25 cm) è certificato con due cifre decimali. Questa osservazione ci porta al problema delle “cifre significative” che affronteremo nel seguito. Se la scala dello strumento è digitale, per es. un display dove eventualmente l’ultima cifra (detta digit) fluttua, la regola della mezza divisione non ha senso: dare come errore la sensibilità dello strumento, che corrisponde nel display alla cifra più a destra che non fluttua. Esempio: pesiamo una massa con una bilancia elettronica a 0,1 g; registriamo la misura come m= 50,2 ± 0,1 g. §2.2. Confronto tra due misure ➳Supponiamo di avere due misure della velocità del suono a T e p standard (vteor= 331 m/s) fatte separatamente da due sperimentatori A e B: vA = 329 ± 5 m/s; vB = 345 ± 2 m/s. Chi ha ragione? L’intervallo di errore per A è: 324-334: vteor è interno all’intervallo; l’intervallo di errore per B è: 343-347: vteor è fuori dell’intervallo. A ha fatto la misura corretta; la discrepanza tra vbest e vteor (329-331) è minore dell’errore (5). ➳Uno sperimentatore fa due misure di resistenza R e trova: R1 = 40 ± 5 Ω; R2 = 42 ± 8 Ω. Le due misure sono consistenti tra loro? La discrepanza tra le due misure è R2 – R1= 2 Ω < errore; le due misure sono consistenti ed entrambe accettabili.

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E se R1=35 ± 2 Ω, e R2 = 45 ± 1 Ω? R2 – R1= 45 – 35 = 10 Ω > errore; le due misure non sono consistenti e sono da rigettare. ➳Uno sperimentatore misura la quantità di moto iniziale e finale di un sistema e vuole verificare sperimentalemente la conservazione della qdm, cioè che qi= qf: qi = 1,49 ± 0,04 kg m/s, qf = 1,56 ± 0,06 kg m/s; qi ha intervallo d’errore 1,45 - 1,53; qf ha intervallo d’errore 1,50 - 1,62. Poiché i due intervalli si sovrappongono, le due misure sono consistenti con l’ipotesi teorica qi = qf. Nel limite degli errori sperimentali la qdm del sistema si conserva. §2.3. Ripetizione delle misure Quando è possibile è opportuno ripetere le misure per ottenere una stima di xbest più realistica; se i dati sono ‘molti’ è possibile trattarli statisticamente4. Si parla in questo caso di dati affetti da errori statistici e si sottintende che gli errori in questione siano errori casuali, contrapposti ai cosiddetti errori sistematici. I primi variano con uguale probabilità in più o in meno rispetto al valore ‘vero’ e sono gli unici trattabili statisticamente (si dice anche che si distribuiscono o si ‘sparpagliano’ intorno a x vero seguendo regole statistiche che ci permettono di ridurli); i secondi si spostano in blocco rispetto al valore vero e sono sempre maggiori o minori di questo. Gli errori sistematici derivano per es. da strumenti tarati male o fuori calibro che falsano sistematicamente le misure: per es. sono di questo tipo le misure di tempo eseguite con un orologio che ‘va avanti’, le misure di temperatura fatte con un termometro a liquido la cui scala si è per qualche motivo dilatata. Una volta individuati eventuali errori sistematici, cambiare strumento. Una misura può essere affetta sia da errori casuali sia da errori sistematici: un es. è l’errore di parallasse nella lettura di una scala graduata dove lo sperimentatore può sia leggere un valore sulla scala casualmente da destra o da sinistra, sia sistematicamente da una parte sola. Nel seguito consideriamo solo gli errori casuali, ipotizzando di avere eliminato gli errori sistematici (per i quali esistono ‘regole di contenimento’ che non trattiamo). Se ripetiamo la misura di una grandezza xi n volte (i=1,2,..,n) dobbiamo decidere qual è la stima migliore di x (xbest ). A priori possiamo pensare: a) di fare un istogramma e di assumere per xbest il valore più frequente (la moda); b) di ordinare i dati per valori crescenti e prendere la mediana (valore di mezzo se n è dispari, la media dei due valori centrali se n è pari);

c) di calcolare la media aritmetica

x =xini

∑ ;

d) altro (nel caso di x tutte positive, per es. la media geometrica

G = x1x2...xnn , la

media armonica

h =1n

1xii

∑#

$ %

&

' (

−1

, la media quadratica

q = x 2 =xi2

ni∑ , ecc.).

Tra a) e d) non c’è nessun modo ‘sbagliato’ ma si può dimostrare (cfr. § 2.9 e §3.5) che la stima migliore è data da c), cioè dalla media aritmetica. Scriviamo pertanto

xmis =

x ± δx. Si intende che la media va fatta solo sulle misure ripetute della stessa grandezza.

4 Usiamo il termine “statistico” in modo pragmatico: per la statistica descrittiva o inferenziale si vedano i testi di pertinenza; per una prima discussione, cfr. D’Agostini, cit. in nota 2, cap. 5, Descrizione quantitativa dei dati sperimentali; cfr. anche dello stesso autore Probabilità e incertezze di misura, 2001, in rete nel sito del Dipartimento di Fisica, dagostini—prob.-1. pdf (le dispense, di livello avanzato, sono per i fisici).

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Il problema si sposta a valutare l’attendibilità di

x , cioè il suo errore assoluto δx. Osserviamo che δx ci dice quanto sono disperse (‘sparpagliate’) le misure rispetto al valore centrale dell’intervallo. Se abbiamo per es. due set di dati con lo stesso valor medio, è sensato affermare che è migliore il set di misure meno disperse, con una larghezza di distribuzione più stretta. Possiamo prendere come stima grossolana dell’incertezza, la semidispersione massima s, o scarto o deviazione fra il valore massimo e il valore minimo di x diviso due:

s =xmax − xmin

2.

Può essere però che ci sia un dato, o più dati, che scarta molto dagli altri; conviene allora considerare l’insieme di tutti gli scarti di dalla media delle singole misure

di = xi − x e farne una opportuna media (di si chiama anche deviazione o residuo di xi da �x). Ma poiché abbiamo tanti di positivi quanti negativi

d =dini

∑ =xi − x( )ni

∑ =xini

∑ −xni

∑ = x − n xn

= 0 .

Conviene eliminare il segno in di: 1. facendo la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti

α =dini

∑ =xi − xni

∑ o scarto medio;

2. oppure facendo la media dei quadrati degli scarti, o varianza:

σ x2 =

di( )2

ni∑ =

xi − x( )2

ni∑ .

Per avere le giuste dimensioni della misura (δx deve avere le stesse dimensioni di xbest) dobbiamo fare la radice quadrata della varianza, ottenendo in questo modo la deviazione standard di x o scarto standard o scarto quadratico medio:

σx =1n

di( )2i∑ (I).

Per motivi teorici si preferisce scrivere la (I) come:

σ x =1n −1

di( )2i∑ (II).

Nel caso estremo di una sola misura, n=1, la (I) darebbe il risultato assurdo di incertezza nulla, σx=0, mentre la (II) porta a concludere correttamente che σx=0/0, cioè con una sola misura l’incertezza è indeterminata. La (II) porta inoltre a una stima di δx un po’ più grande e dunque va preferita se si segue il criterio ‘di prudenza’; comunque per ‘poche’ misure le relazioni (I) e (II) danno in pratica lo stesso risultato (per es., per n=5,

n = 2,2, n −1 = 2) sicché nella stima dell’errore la differenza tra (I) e (II) è ininfluente. Possiamo dunque scrivere:

xmis = x ±σ x . Osserviamo che la deviazione standard dà l’incertezza media delle singole misure x1, …,xn. Se le misure sono affette solo da errori casuali (obbediscono cioè alla distribuzione di Gauss, v. oltre), se ripetiamo la misura di x ottenendo altre serie di misure, circa il 70% delle misure “cade entro una distanza σx” da entrambi i lati di

x , cioè siamo sicuri con una probabilità intorno al 70% che la misura dia un risultato interno all’intervallo probabile

x − σx | - - - - - | x + σ x .

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Se vogliamo l’incertezza della media, sempre nel caso di n misure della stessa grandezza x, si calcola la deviazione standard della media o errore standard della

media:σx =σ x

n (la deviazione standard della media di una serie di n misure è uguale

alla deviazione standard delle singole misure divisa per il loro numero) e si può scrivere:

xmis = x ±σ x . Se ci sono solo errori casuali, per n→∞,

σ x → 0: aumentando il numero delle misure, il contributo dovuto agli errori casuali si riduce. NOTA: - semidispersione s o errore massimo di lettura? Se s ≤ errore massimo di lettura, per essere prudenti preferire l’errore di lettura, più grande. - scorciatoia nel calcolo della varianza:

ricordiamo che la varianza è definita da

σ x2 =

1n

xi − x( )∑2. Poiché

xi − x( )∑2

= xi2 − 2xxi + x 2( )∑ = xi

2∑ − 2x xi∑ + nx2

= xi2∑ − 2nx

2+ nx

2

= xi2∑ − nx

2,

σ x2 =

xi2∑

n− x

2= x 2 − x

2,

la varianza è uguale alla media dei quadrati di x meno il quadrato della media di x. Se si

assume

σ x2 =

1n −1

xi − x( )∑2→

nn −1

x 2 − x2( ).

Medie pesate Supponiamo che siano state fatte due misure tra loro consistenti in modo indipendente da due sperimentatori A e B: x = xA ± σA, x = xB ± σB, dove xA e xB sono per es. due valori medi e le σ sono le deviazioni standard della media. E’ possibile combinare le due misure, e più in generale N misure, per ottenere una stima migliore xbest facendo la

media pesata

xbest =

wixii∑

wii∑

,

dove i pesi wi sono l’inverso dei quadrati delle incertezze corrispondenti

wi =1σ i2 , con

incertezza nel risultato pari a

σ xbest=

1wi

i∑

.

➳Se abbiamo ripetuto 5 volte la misura di una grandezza x, ottenendo i risultati: 5, 7, 9, 7, 8, in unità arbitrarie, calcolare media

x , deviazione standard σx e deviazione standard della media σx . ➳ Si è fatto un esperimento per misurare la costante elastica K di un molla; a tal fine, per ogni massa applicata m si è misurato il perioro T di oscillazione (v. tabella). Calcolare K (si ricorda

che T = 2π mK

).

misura m (kg) T (s) T2 (S2) K (N/m) 1 0,513 1,24

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2 0,581 1,33 3 0,634 1,36 4 0,691 1,44 5 0,752 1,50 6 0,834 1,59 7 0,901 1,65 8 0,950 1,69 Ha senso mediare le m o le T? Ha senso mediare K? Se δm = 0,001 kg e δT = 0,01 s qual’è la misura di K con il suo errore su una singola misura (per es. per la seconda coppia di dati in tabella)? (➳Esercizi 1, 2, 3) §2.4. Cifre significative Da quanto abbiamo detto finora dovrebbe risultare chiaro che: le cifre dopo la virgola, inclusi gli zeri, contano nel senso che ci danno una indicazione della precisione della misura. Dovrebbe essere altrettanto evidente che se misuriamo, per es., una lunghezza con un metro al mm (misura diretta: un solo passo sperimentale), diciamo lo spigolo di un tavolino, può avere senso scrivere l= 52,3 cm, mentre non lo ha scrivere, per es., 52,305 cm (questo risultato è cento volte più preciso del primo), oppure 52 cm (questo risultato è dieci volte meno preciso del primo). Possiamo tuttavia dire che l è minore di 52,35 e maggiore di 52,25. Le cose si fanno più complicate se la misura è indiretta; un es. può essere misurare l’area del tavolino: qui intervengono due passi sperimentali, la misura dei due lati del tavolino e quindi il calcolo del loro prodotto che può dare luogo a un numero di cifre decimali più elevato del necessario. Se il tavolino è circolare e usiamo una calcolatrice, pigiando sul tasto π per calcolarne l’area, il numero di cifre decimali può aumentare ancora, indicando artificiosamente una precisione nella misura che non corrisponde al caso reale. Una misura va registrata con un numero di cifre decimali che corrisponde alla precisione con cui stiamo effettuando la misura, precisione che dipende in generale dallo strumento impiegato (si parla di cifre significative, CS); di norma, scrivere una misura con un numero arbitrariamente grande di CS significa attribuire alla misura incertezza nulla. La stessa osservazione vale per l’errore. Impariamo intanto a riconoscere le CS, osservando che: - le cifre dopo la virgola, compresi gli zeri che seguono le CS vere e proprie, contano; - gli zeri prima e dopo la virgola non contano perché possono dipendere dalle unità di misura (per rendere indipendente il numero di CS, scrivere la misura come mantissa per potenza in base 10). Supponiamo di avere misure in unità arbitrarie: 8,0 la precisione è al decimo della udm, abbiamo 2 CS; 8,00 la precisione è al centesimo della udm, abbiamo 3 CS. Se abbiamo 0,008= 8 10-3, abbiamo 1 CS; 0,08 = 810-2, abbiamo 1 CS. Se si ha, per es., 8000, senza informazioni addizionali, potremmo avere sia 1 CS sia 4 CS. Qualche altro esempio: 152,0 ha 4 CS; 0,152, ha 3 CS; 3,400 ha 4 CS. Se abbiamo numeri molto grandi o molto piccoli rispetto a 1, è opportuno scriverli con una sola cifra prima della virgola e usare le potenze di 10: 0,000321 = 3,21 10-4 con 3 CS; 2437,621 = 2,437621 103 con 7 CS (eventualmente da ridurre). Se abbiamo potenze in base 10, cercare di scriverle con lo stesso esponente: (1,61 10-19 ± 5 10-21) C → (1,61 ± 0,05) 10-19 C. Se dobbiamo cambiare unità di misura, per es. da m a cm, sbagliamo a scrivere 23 m =2300 cm perché 2300 esprime una precisione cento volte maggiore rispetto a 23 m. Scriviamo invece 2,3 103 cm.

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E’ bene scrivere l’errore con non più di 2 CS e aggiustare di conseguenza la misura corrispondente con un numero di cifre tale che l’ultima CS abbia la stessa posizione decimale della CS dell’errore. Nella pratica usuale di un laboratorio di scuola ci troveremo nella maggior parte dei casi a scrivere l’errore con 1 CS. Es.: se sappiamo che l’errore è δx = ± 0,1 e la misura è xbest= 10/3= 3,3333… , troncare le cifre eccedenti arrotondando per eccesso o per difetto, come x = 3,3 ± 0,1. Se vmis = (6051,78 ± 30) m/s → (6050 ± 30); 92,81 ± 0,3 →92,8 ± 0,3; 92,81± 3→ 93 ± 3; 92,81 ± 30 → 90 ± 30. Viceversa, se è data la misura, va aggiustato l’errore arrotondandolo opportunamente: es. gmis= (9,82 ± 0,02385) m/s2→ (9,82 ± 0,02) m/s2. Se la prima CS nell’errore è 1, prendere anche la cifra seguente per evitare di sottostimare troppo l’errore: se per es. gmis= (9,82 ± 0,01385) m/s2, conviene scrivere gmis= (9,82 ± 0,013) m/s2. Se abbiamo una misura e la confrontiamo con il suo ‘valore vero’ (o valore atteso), per es. per l’accelerazione di gravità: 9,6 ± 0,3 m/s2 vs 9,8 m/s2, che conclusione possiamo trarre? Se l’intervallo compreso tra i limiti di errore contiene il valore atteso (9,3 |--| 9,9) la misura è corretta (si dice che “è corretta entro il limite degli errori sperimentali”). Qualche regoletta pratica: - se nel calcolo di una misura figurano prodotti o quozienti, il risultato è determinato dal fattore che ha meno CS; - se figurano somme o differenze, la cifra meno significativa nella somma deve corrispondere al maggiore degli ordini di grandezza delle cifre meno significative degli addendi; ci si mette cioè nelle condizioni di massima prudenza e pesa di più l’addendo che ha incertezza maggiore; per es., nei due addendi 34,334 + 1,1 = 35,434, chi è la cifra meno significativa tra 4 e 1? 4 (corrisponde a 10-3 mentre 1 corrisponde a 10-1 e ha pertanto ordine di grandezza più grande). Il risultato è 35,4. - Se figurano logaritmi, il log ha tante cifre decimali significative quante sono le CS dell’argomento, e così via. - E’ buona norma quando si fanno calcoli, tenere una CS in più di quella richiesta nel risultato finale e procedere ad aggiustare il numero di CS alla fine. (➳Esercizi 4, 5, 6) §2.5. Errori relativi e percentuali Quando scriviamo una misura come xmis = xbest ± δx, l’errore assoluto δx dice poco; può essere più utile valutare quanto pesa δx sulla stima migliore effettuata, calcolando

l’errore relativo (o frazionario) δxxbest

; se si moltiplica per 100 si ha l’errore

percentuale. L’errore relativo è in generale un numero piccolo ed è sempre adimensionato. Se ho due misure con lo stesso errore assoluto δx dove pesa di più l’errore? V= (2 ±1) V, l’errore relativo è 1/2= 0,5 con una incertezza del 50 %; V’= (20 ±1) V, l’errore relativo è 1/20= 0,05 con una incertezza del 5 %; ovviamente l’errore pesa di più sulla prima misura di tensione. Più l’errore percentuale è piccolo più la misura è accurata. In generale, se si ha una misura con una CS l’errore percentuale è intorno al 10 % (indice di misura grossolana); se si ha una misura con 2 CS, l’errore percentuale è intorno all’ 1 % e così via. §2.6. Propagazione degli errori

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Abbiamo già detto che una misura può essere diretta, quando consiste di un unico passo sperimentale (per es. se si misura una lunghezza per confronto diretto con un regolo), e indiretta quando per la misura è necessario fare più passi sperimentali (la misura deriva cioè da calcoli di somme, differenze, prodotti, quozienti, ecc.). Ogni passo sperimentale comporta una misura con il suo errore, errore che si propaga nel risultato finale. Vediamo in breve come si propaga l’errore nel caso di somme o differenze, rimandando al Taylor per la dimostrazione di questo o di altri casi. Supponiamo di avere la misura

q = x+y (1) con xmis = xbest ± δx e ymis = ybest ± δy. Il nostro obiettivo è scrivere:

qmis = qbest ± δq. - Poiché nella (1) compare una somma è ragionevole scrivere per la stima migliore di q qbest = xbest + ybest . - Per l’errore δq: poiché dobbiamo trovare un intervallo probabile con estremi il valore probabile massimo di qmis, che corrisponde a massimizzare l’errore che possiamo scrivere come +(δx +δy), e il valore probabile minimo di qmis, che corrisponde a minimizzare l’errore che possiamo scrivere -(δx +δy), è ragionevole sommare gli errori assoluti. - Nella differenza q = x-y valgono analoghe considerazioni. Nelle somme o differenze di grandezze misurate, l’errore di q è pari alla somma degli errori assoluti associati a ciascuna grandezza

δq ≈ δx+δy (2). Scriviamo circa perché la (2) dà una stima grossolana dell’errore su q per eccesso, rappresenta cioè un limite superiore nella stima dell’errore. Nel seguito vedremo come migliorare tale stima. Nel caso di prodotti q = xy (o quozienti q=x/y), per due misure x e y con errori relativi rispettivamente δx/|xbest|e δy/|ybest| ‘piccoli’ (il prodotto misto degli errori relativi è trascurabile rispetto agli errori relativi), l’errore relativo su q è la somma degli errori relativi su x e y:

δqq≈δxx+δyy

(3).

Per la dimostrazione della (3) si veda il Taylor. Omettiamo il pedice ‘best’ per alleggerire la scrittura. Se nel prodotto o quoziente figurano più di due variabili (x,.., z, u,…,w), l’errore relativo su q è pari alla somma degli errori relativi su x,.., z, u,…,w, come nella (3). Prodotto di una grandeza misurata x per un numero esatto B: q=Bx; la regola è una diretta conseguenza della (3); se la grandezza misurata x ha un errore δx, l’errore in q è B volte quello in x: δq =|B|δx. Un’altra conseguenzsa della regola del prodotto riguarda il calcolo di una potenza di una grandezza misurata x: q=xn; se x ha errore δx l’errore relativo in q è n volte quello in x:

δq|q |

= n δx| x |

.

Riassumiamo di seguito, la propagazione degli errori per i casi più frequenti (somme e differenze, prodotti e quozienti e loro casi particolari); vengono considerate 2 variabili ma le stesse regole valgono anche per più variabili).

Tabella 1 q qbest δq op. δq/|qbest | Somma e differenza = x ± y xbest ± ybest ± (δx +δy) Sommare gli

errori assoluti

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Prodotto e quoziente = xy =x/y

xbest ybest xbest/ ybest

±δxxbest

+δyybest

#

$ %

&

' (

Sommare gli errori relativi

Grandezza misurata x numero esatto

= Bx B xbest ± |B|δx

potenze = xn xbestn

± nδxx

Esempi (dal Taylor) ➳ Se mescoliamo i liquidi di due recipienti di massa a vuoto m1 e m2, e M1 e M2 sono le masse dei rispettivi recipienti pieni di liquido, calcolare la massa totale M di liquido sapendo che: m1 = 72 ± 1 g, M1= 540 ± 10 g, m2= 97 ± 1 g, M2= 940 ± 20 g. La massa totale di liquido è: M = M1- m1+ M2- m2 = 540 – 72 + 940 – 97= 1311 g. L’errore su M è δM= δm1 + δm2 + δM1 + δM2 = 1 +1 +10 + 20= 32 g, M = 1311 ± 32 g che arrotondato dà M=1310 ± 30 g (gli errori su δm sono in pratica trascurabili rispetto agli errori su M). ➳Misuriamo una quantità di moto q = mv sapendo che m = 0,53 ± 0,01 kg, e v = 9,1 ± 0,3 m/s; qbest = 0,53·9,1= 4,82 kg m/s,

δqqbest

=δmm

+δvv

=0,010,53

+0,39,1

= 0,02 + 0,03 = 2% + 3% = 5% ,

qbest = 4,82 (1 ± 5%) kg m/s oppure, riportando l’errore relativo in errore assoluto, δq/|qbest| = 0,05→ δq = 0,05·4,82 = 0,24 → q = (4,82 ± 0,24) kg m/s; troncando l’errore a 1 CS, q = (4,8 ± 0,2) kg m/s. ➳Se lo spessore D di 100 fogli di carta è D = 3,3 ± 0,1 cm, trovare lo spessore d di un foglio: d = D/100 = 0,033 cm, δd = δD/100 = 0,1/100 = 0,001 cm, d = 0,033 ± 0,001 cm.

➳Misurare g a partire da

h =12gt 2 → g =

2ht 2

, sapendo che t= 1,6 ± 0,1 s, h = 14,1 ± 0,1 m:

gbest = (2 ·14,1)/1,6 = 11,0 m/s2,

δggbest

=δhh

+ 2δtt

=0,114,1

+ 2 0,11,6

= 0,7% + 2 6,3% =13,3% (si osservi che l’errore relativo su

t è maggiore di quello su h: per migliorare la misura di g è necessario migliorare la misura dei tempi); δg = 11,0·13,3% = 11,0 (13,3)/100 = 1,4 m/s2 , g = 11,0 ± 1,4 m/s2 . §2.7. Errori indipendenti e somma in quadratura Se vogliamo dare una stima più realistica dell’errore e gli errori su x e y sono indipendenti (tra δx e δy non c’è correlazione: supponiamo che siano associati a grandezze fisiche diverse, misurate con strumenti e procedimenti diversi) e casuali (gli errori sono entrambi governati dalla distribuzione di Gauss), al posto della (2) conviene fare la somma in quadratura degli errori assoluti:

δq = δx( )2 + δy( )2 (4) con δq ≤δx + δy, l’errore assoluto su q non è mai più grande della somma degli errori assoluti.

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19

Giustificazione ricorrendo alla relazione pitagorica: se rappresentiamo δx e δy con i cateti di un triangolo rettangolo si vede che l’ipotenusa

δx( )2 + δy( )2 < δx + δy. Se la stima degli errori è molto grossolana tra (2) e (4) non c’è molta differenza e in genere si ottiene in pratica lo stesso risultato numerico. Se la (4) porta a un risultato numerico sensibilmente inferiore a quello trovato con (2), preferire la (4). Generalizzando a n misure q = x+…+z – (u+…+w), si ha l’analogo della (4). Nel caso di prodotti e quozienti, per errori indipendenti e casuali si ha:

q =x ⋅ ...⋅ zu ⋅ ...⋅ w

, δqqbest

=δxx

$

% &

'

( ) 2

+ ....+ δzz

$

% &

'

( ) 2

+δuu

$

% &

'

( ) 2

+ ..+ δww

$

% &

'

( ) 2

.

L’errore relativo su q non è mai più grande della somma degli errori assoluti

δq|q |

≤δx| x |

+ ...+ δz| z |

+ ...+ δw|w |

.

§2.8. Propagazione degli errori per una funzione di una variabile Facciamo vedere che quando abbiamo una funzione qualunque q=q(x), l’errore massimo δq che si propaga non è altro che il differenziale totale della funzione

δq =dqdxδx (5);

δq è dunque la derivata di q rispetto a x in modulo, per l’errore assoluto su x. Diamo una giustificazione grafica della (5); rappresentiamo sull’asse delle x la stima migliore di x, xbest, che incrementiamo a destra e a sinistra (intervallo di errore); a xbest corrisponde qbest sull’asse verticale con il relativo intervallo d’errore (con estremi, il valore probabile massimo di q, qM, e il valore probabile minimo, qm; si osservi che l’incremento della variabile dipendente è δq = q(xbest+ δx) –q(xbest)).

x x + δxx - δx

q

q

q

q

q=q(x)

x

δx

δqbest

best best best

M

m

P

δq

Poiché si suppone che l’errore δx sia piccolo rispetto alla stima di xbest la parte di curva interessata può essere approssimata a una retta tangente alla curva in P di pendenza dq/dx. Possiamo pertanto assumere

δqδx

≈dqdx

→δq =dqdxδx .

Per una curva qualunque, monotona crescente o decrescente, e quindi per una pendenza qualunque positiva o negativa della retta tangente, è valida più in generale la (5). Nei calcoli possiamo indifferentemente usare le regolette della propagazione dell’errore date in tabella 1 o la (5). Es.: q = xn, dalla (5) δq =|nxn-1|δx; se dividiamo membro a membro per |q|:

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δqq=nxn−1

xn= n

δxx

, e ritroviamo la regoletta in questione.

Per una funzione arbitraria di più variabili q=q(x,…,z) ci si comporta allo stesso modo, sostituendo alle derivate le derivate parziali:

δq ≈∂q∂xδx +

∂q∂yδy + ... (6)

La (6) rappresenta il caso più generale per la propagazione degli errori da cui si ritrovano le regole già viste per somma e differenza, prodotti e quozienti. Se gli errori sono indipendenti e casuali, sostituiamo la somma normale con la somma in quadratura:

δq =∂q∂xδx

#

$ %

&

' ( 2

+∂q∂yδy

#

$ % %

&

' ( (

2

+ ... (7)

§2.9. Distribuzione normale o di Gauss o legge normale degli errori Se ripetiamo n volte la misura della stessa grandezza xi, abbiamo già anticipato che

assumiamo per la stima migliore xbest la media:

x =xini

∑ (8);

come errore δx la deviazione standard: σx =1n

xi − x( )2i

n

∑ (9);

o la deviazione standard della media:

σ x =σ x

n (10).

Mostriamo nel seguito come le relazioni indicate abbiano validità del tutto generale rimandando al Taylor per le dimostrazioni. Poiché l’analisi degli errori di misura è basata sulla teoria della probabilità conviene richiamare il significato di distribuzione di probabilità per poi passare alle funzioni di probabilità. Di queste ci occuperemo solo della funzione di Gauss o “legge normale degli errori”. Partiamo da un esempio, il lancio di due dadi; vogliamo analizzare la distribuzione di probabilità dei diversi risultati che si ottengono sommando a ogni lancio i numeri che escono sui due dadi. Se indichiamo la somma dei due numeri con n (n è un intero compreso tra 2 e 12) e la probabilità di ottenere n con f(n) l’intera distribuzione è: n f(n) 2 1/36 3 1/18 4 1/12 5 1/9 6 5/36 7 1/6 8 5/36 9 1/9 10 1/12 11 1/18 12 1/36

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Si deve avere Σnf(n)=1 (condizione di normalizzazione), la distribuzione si può rappresentare con un istogramma. La distribuzione è simmetrica intorno a n=7, di valor medio

n =1Z

nZf (n) = nf (n)n∑

n∑ per Z lanci, con Z molto grande (il valor medio di n è

indipendente da Z per una ‘distribuzione teorica’ e non per una distribuzione reale dei risultati di un piccolo campione). Il valor medio di n2 è

n2 = n2n∑ f (n)

e il valor medio di (n-�n)2 è

σ 2 = n − n( )n∑

2f (n).

Tutto ciò è valido per una distribuzione teorica infinita; nel caso di un numero ridotto di prove i valori medi si avvicinano ai valori medi teorici. Sorge così il problema di sapere di quanto le medie del campione si discostano dalle medie della distribuzione teorica o, più in generale, quale sia il disaccordo tra la distribuzione reale e quella teorica (→ test del χ2). Torniamo al caso di uno ‘spazio dei campioni’ (insieme dei possibili esiti di una prova) costituito da misure ripetute. Supponiamo di aver ripetuto N volte (per es., N=10) la misura della stessa grandezza x, per es. la lunghezza focale di una lente in cm. Sistemati in ordine crescente i 10 valori ottenuti supponiamo di avere registrato: 23, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 28. Poiché alcune misure ricorrono più volte conviene scrivere i diversi valori xk ottenuti associati al numero di volte nk che sono occorsi: xk nk 23 1 24 3 25 2 26 3 27 0 28 1 La tabella rappresenta la distribuzione delle 10 misure. Come nel caso dei dadi si può

definire il valor medio

x =

xii∑N

=

xknkk∑N

; Σknk=N; se esprimiamo la frazione delle N

misure che hanno dato risultato xk come Fk=nk/N (frequenza), si ha

x = xkFkk∑ , Fk

k∑ =1 (condizione di normalizzazione). Analogamente la distribuzione

delle misure può essere rappresentata con un istogramma Fk vs xk (istogramma a barre; nell’es. in esame, per 23 F1=1/10=0,1; per 24, F2=0,3; F3=0,3; F4=0,2; ecc.); se, come in genere avviene, le xi non sono intere conviene raggrupparle in intervalli (uguali o diversi, istogrammi a intervalli). Se l’intervallo k-mo ha larghezza Δk e altezza fk, l’area fk Δk = frazione di misure nell’intervallo k-mo. Man mano che il numero N delle misure aumenta l’istogramma tende sempre più a una forma definita; per N→∞ la distribuzione delle misure tende a una “distribuzione limite” f(x) (curva continua). Si passa così dal caso discreto al caso continuo: Σ→∫, la condizione di normalizzazione e i valori medi vengono espressi da un integrale.

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Per una generica funzione di distribuzione f(x), definita in un intervallo xm≤ x ≤xMax, la moda X corrisponde a f(x) massima, la mediana xmed è tale da dividere in due parti uguali l’area sottesa dalla curva,

la media è

x = xf x( )xm

xMax

∫ dx ,

la varianza è

σ 2 = x − x( )xm

xMax

∫2

f (x)dx , con σ deviazione standard della distribuzione o

scarto quadratico medio. Un esempio noto di funzione di distribuzione in fisica è dato dalla legge delle velocità

molecolari di Maxwell

f (v) = 4π m2πkT#

$ %

&

' ( 3 / 2

v 2e−mv2 / 2kT :

Nella curva, la moda corrisponde alla velocità più probabile (massimo della curva per df(v)/dv=0); la velocità media è

v = vf (v)dv∫ , la velocità quadratica media

è

= v 2 f (v)dv∫ . Tra le funzioni di distribuzione, quella binomiale è fondamentale dal punto di vista teorico; da essa si possono dedurre sia la distribuzione di Poisson, importante in fisica nucleare, sia la distribuzione di Gauss. Noi ci limitiamo a trattare la distribuzione di Gauss, la più importante quando si voglia descrivere la distribuzione degli errori casuali in molti tipi di misure. Possiamo anche assumere in modo assiomatico la validità della funzione di distribuzione di Gauss, o funzione di “distribuzione normale”, come un risultato sperimentale assodato. Se gli errori associati a ciascuna misura sono piccoli e casuali, per n→∞ (∑→∫) l’istogramma tende a una distribuzione limite (o normale o di Gauss), dalla tipica forma a campana (distribuzione delle misure, nel caso di soli errori casuali). La forma analitica della legge di Gauss è:

f (x) = Ae−(x−X )2 h 2 , con A, h (=1/2σ2) e X costanti; x è il valore di una qualsiasi misura

(con x variabile continua). A è il valore massimo della funzione che si ha in corrispondenza di X, h dà una indicazione della larghezza della curva. Data la simmetria della curva, moda, mediana e media coincidono.

XX-σ X+σ

f(x)

x

Si noti che f(x) NON rappresenta la probabilità di osservare il valore x della quantità misurata (la probabilità di osservare esattamente un qualsiasi valore x è zero); nel caso di una funzione di distribuzione ha senso solo parlare di probabilità che x assuma un valore compreso in un intervallo infinitesimo dx, cioè la frazione di misure che cadono tra x e x+dx, pari all’area f(x)dx che corrisponde alla probabilità che una misura dia un risultato compreso tra x e x+dx, e lo stesso vale per un intervallo finito a-b.

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x+δx

f(x)

x

xa b

In tutto l’intervallo

f (x)dx =1−∞

+∞

∫ (condizione di normalizzazione): se integriamo su tutta

la curva si ha la probabilità totale (caso ideale) che una misura dia un risultato compreso in un punto qualunque tra –∞ e +∞, probabilità che è pari a 1. In modo complementare possiamo dire che la probabilità di trovare un valore al di fuori di –∞ e +∞ è praticamente nulla. Per normalizzare la funzione di Gauss si impone la condizione di normalizzazione; il risultato finale è

fX,σ x( ) =1

σ 2πe− x−X( )2 / 2σ 2

(

A =1

σ 2π;

σ 2 =12h2

); la distribuzione di x è centrata in X (‘valore vero’ di x) con

parametro di larghezza σ. Il parametro di larghezza σ è l’ascissa del punto di flesso della curva (x= σ): più σ è grande più la curva è larga, indice di una misura poco precisa. Se σ è piccolo la curva è stretta e piccata, indice di una misura molto precisa. L’area sotto la curva è comunque sempre 1.

X

f(x)

x

larghezza σx_

larghezza σx

Si può dimostrare che

X =

x , valor medio o ‘valore vero’ con

x = xf (x)dx−∞

+∞

∫ ,

e che σ è la deviazione standard di σx con

σ 2 = x − X( )−∞

+∞

∫2

f (x)dx .

Ciò è vero per n→∞; per n grande ma finito,

x si avvicina al ‘valore vero’ X e σx si avvicina al parametro di larghezza σ. - Se la curva è centrata in X=0, f (x) ∝ e− x

2 / 2σ 2 : la funzione è pari (f(x)=f(-x)) e la curva

è simmetrica; per x→±∞, y→0; per x=0, y =1

σ 2π.

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- La distribuzione di Gauss consente di trovare la probabilità P che una misura cada in un intervallo di semiampiezza σ intorno alla media X (σ viene detto anche limite di confidenza):

P =1

σ 2πX −σ

X +σ

∫ e−(x−X )2 / 2σ 2

.

Questo integrale, calcolabile mediante approssimazioni numeriche, viene di norma tabulato per vari valori di σ. In particolare: la probabilità per una misura di cadere in un intervallo intorno alla media di semiampiezza σ, cioè entro una deviazione standard σ (Pentroσ ), tra X- σ |---| X+ σ, è di circa il 68%; entro 2σ (Pentro2σ ) il limite di confidenza che una misura dia un risultato entro X- 2σ |---| X+ 2σ è di circa il 95%; entro 3σ la probabilità P è intorno al 99%. - Se vale la (10), la larghezza della curva costruita con i valori medi di x anziché con i suoi valori individuali, è più stretta di un fattore 1/(n)1/2.

Nel caso di misure affette da errori casuali che si distribuiscano normalmente, si ritrovano tutti i risultati dati per via ‘induttiva’, per es. le regole di propagazione dell’errore massimo; in particolare si ritrova la formula generale per la propagazione degli errori (7), in cui agli errori assoluti δx, δy, … si sostituiscano le deviazioni standard σx, σy,… - se q=x+A, e x è distribuito normalmente intorno a X e ha parametro di larghezza σx, q è distribuito normalmente intorno a X+A e ha lo stesso parametro di larghezza. - Se q=Bx, e x è distribuito normalmente intorno a X e ha parametro di larghezza σx, q è distribuito normalmente intorno a Bx e ha parametro di larghezza Bσx. - Se q=x+y, e x e y sono distribuiti normalmente rispettivamente intorno a X e Y con parametri di larghezza rispettivamente σx e σy, q è distribuito normalmente intorno a X+Y, con parametro di larghezza σ x

2 + σy2 . E così via.

Diamo di seguito, in tabella 2, un quadro riassuntivo delle formule per la propagazione degli errori (per 2 variabili, estendibili a n variabili).

Tabella 2

Caso generale

δq ≈∂q∂xδx +

∂q∂yδy Stima migliorata per

errori indip. e casuali δq =∂q∂xδx

#

$ %

&

' ( 2

+∂q∂yδy

#

$ % %

&

' ( (

2

Se gli errori sono statistici σq =

∂q∂x#

$ %

&

' ( 2

σ x2 +

∂q∂y

#

$ % %

&

' ( (

2

σ y2

Casi particolari Somma e differenza

δq ≈ δx +δy Stima migliorata δq = δx( )2 + δy( )2

Se gli errori sono statistici σq = σ x( )2 + σ y( )2

Prodotti e quozienti δqq≈δxx+δyy

Stima migliorata

δqq

=δxx

"

# $

%

& ' 2

+δyy

"

# $ $

%

& ' '

2

Se gli errori sono statistici

v. formula II riga, IV colonna

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Nota: nel caso in cui in un insieme di dati ci siano delle misure che presentano scarti molto grandi esistono dei metodi, che non tratteremo, per eliminarle (criterio di Chauvenet). Per definire l’accordo tra una distribuzione di misure ‘reale’ (distribuzione campione) e la distribuzione teorica viene utilizzato il “test del χ2” (v. § 3.5, per la definizione generale di χ2 e il test relativo, v. i manuali). §2.10. Caratteristiche degli strumenti Una possibile fonte d’errore può dipendere, come abbiamo già accennato, dallo strumento impiegato per rilevare la misura. Supponiamo di eseguire una misura di temperatura T con un termometro a liquido: come è noto, un termometro di questo tipo presenta un bulbo (riempito per es. di mercurio) in comunicazione con un capillare; all’equilibrio termico tra il sistema di cui si vuole misurare la temperatura T e lo strumento, dalla posizione del menisco del liquido si rileva la misura di T su una scala di lettura. Il liquido nel bulbo è la parte sensibile alla grandezza da misurare, il capillare funziona da trasduttore e da amplificatore della dilatazione del liquido termometrico, la scala di lettura visualizza il risultato (menisco). Uno strumento presenta in generale gli stessi elementi costitutivi: un elemento rivelatore, sensibile alla grandezza da misurare; un elemento trasduttore, che trasforma l’informazione ottenuta dal rivelatore nella grandezza di interesse; un dispositivo di lettura e/o visualizzazione, numerica o grafica, del risultato di misura. Per eseguire la misura si ‘sollecita’ lo strumento che ‘risponde’ (sollecitazione S-risposta R) con una informazione sul valore misurato. Si intende che lo strumento sia stato tarato sulla base di valori di riferimento in unità di misura opportune (nel caso del termometro, i valori di riferimento possono essere dati, come è noto, dai cosiddetti punti fissi in una miscela bifasica, per es. acqua e ghiaccio e acqua e vapore, con udm il °C e sue frazioni). Vediamo alcune caratteristiche comuni degli strumenti: - intervallo di funzionamento o fondo scala: è dato dal valore massimo (o portata) e minimo (o soglia) della grandezza da misurare. Si intende che dato uno strumento, questo venga fatto funzionare correttamente solo entro il suo intervallo di funzionamento. - Prontezza: corrisponde al tempo che lo strumento impiega per rispondere a una variazione della sollecitazione; più questo tempo caratteristico è breve più lo strumento è ‘pronto’. - Sensibilità: si può definire come il rapporto tra la variazione della risposta e la variazione della sollecitazione: dR/dS (in genere la sensibilità è funzione di S come nel caso di dipendenza non lineare di R da S, per es. negli Ω-metri). - Precisione: uno strumento è preciso se a parità di sollecitazione S dà la stessa risposta R. Se nello strumento, per varie cause (attriti, isteresi, fluttuazioni di livelli elettrici della grandezza da misurare, ecc.) la risposta R varia per una stessa S, è opportuno ripetere la misura per determinare il suo valor medio e la larghezza di distribuzione delle risposte; uno strumento è tanto più preciso quanto più la larghezza di distribuzione è stretta. La precisione di uno strumento dipende dalle sue caratteristiche costruttive e in genere non è modificabile (mentre la sensibilità può essere variata, per es. allungando l’indice di uno strumento). - Giustezza (o accuracy): uno strumento è ‘giusto’ se è stato tarato correttamente, e quindi non dà errori sistematici nelle risposte.

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Precisione e sensibilità sono due concetti distinti e in generale ‘opposti’: più uno strumento è sensibile meno è preciso. Un buono strumento deve essere costruito in modo tale da avere sensibilità e precisione confrontabili. Nota: il procedimento di misura può essere diretto se si confronta lo strumento con la grandezza da misurare (per esempio, misura di lunghezza con il metro) e le grandezze misurate si dicono fondamentali (nel SI, massa, tempo, lunghezza, intensità di corrente, temperatura, intensità luminosa, quantità di materia o mol); o indiretto se si misura una grandezza tramite relazioni che collegano grandezze fondamentali (esempi di grandezze derivate sono superfici, velocità densità, ecc.). Ricordare: per il secondo si scrive s non sec, per il grammo g non gr, per il chilo k non K, per le tensioni volt non volts.

Cap. 3 Grafici §3.1. Rappresentazione dei dati sperimentali mediante grafici Se abbiamo un insieme di misure di una grandezza fisica xi:

x1, x2,…,xn è conveniente costruire una tabella con tali dati e lavorare su quei dati. E’ opportuno completare le informazioni tabulate con un grafico quando vogliamo: - avere una visione di insieme dei dati sperimentali; - verificare la linearità (y = Ax + B) o la proporzionalità (y∝x) tra due grandezze misurate; - dedurre dal grafico determinate grandezze (intercetta, coefficiente angolare o pendenza della retta). In primo luogo osserviamo che i grafici di misure di grandezze fisiche sono diversi dai grafici di funzioni analitiche: nel primo caso abbiamo un numero limitato di punti sperimentali mentre nel secondo abbiamo in teoria infiniti punti geometrici; i punti sperimentali sono inoltre sempre affetti da incertezze, diversamente dai punti geometrici di una funzione analitica.

y y

x x

Possiamo, come prima stima grossolana, rappresentare su un grafico l’incertezza di una misura mediante una barra di errore, sia per x (± δx ) sia per y (± δy).

Un punto sperimentale viene così rappresentato all’interno di una regione di errore. Se la barra non è apprezzabile sul grafico, si può provare a cambiare scala altrimenti rinunciare a tracciare la barra per δx o δy o entrambi e affidarsi ad altri criteri. Se la relazione attesa è lineare, far passare per le regioni di errore la retta migliore (v. oltre). La barra di errore può essere costante o variabile a seconda di come valutiamo l’errore.

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y

x

Sugli assi coordinati vanno fissate e specificate le udm; se è il caso usare le potenze di 10. Se si hanno più serie di dati usare simboli diversi per i punti sperimentali. Per la scelta della scala, stimare il range di valori per x e per y (valori massimi e minimi) e scegliere l’udm cercando di occupare più spazio possibile sul foglio di carta millimetrata; non è necessario usare la stessa udm per ux e uy sugli assi e se nel grafico bisogna osservare un particolare intorno a un certo valore, espandere la scala scegliendo l’origine prossima a quel valore. Graficare l’ipotetica legge fisica: a) y = 0,1x + 0,2, con -1≤x≤4 (range di valori); b) y = 0,1 x2-0,3 x +5. E’ opportuno scegliere la stessa udm sugli assi? §3.2. Linearizzazione di grafici La retta è la curva meglio leggibile: quando è possibile riportare la relazione in studio nella forma linearizzata. Osserviamo che molti fenomeni in fisica sono descritti da leggi di potenza del tipo:

y = Cxm .

Se per es. stiamo trattando un corpo in caduta libera, governato dalla leggeh = 12gt 2 e

dobbiamo verificare la validità della legge, se riportiamo sugli assi x=t e y=h è difficile verificare se si ha una parabola. E’ meglio riportare su grafico h vs t2 e dedurre per es. dalla pendenza della retta il valore di g. Quanto vale in questo caso la pendenza della retta?

Se dobbiamo verificare la legge dell’isocronismo del pendoloT = 2π lg

anziché

riportare T vs l è meglio fare riferimento a T2 vs l oppure a T vs l1/2 (quanto vale la pendenza della retta nel primo caso? E nel secondo?). Se abbiamo una relazione lineare o linearizzata, vediamo come costruire la retta migliore. Al riguardo, esistono vari metodi, tutti semiempirici e criticabili, e ormai sostituiti da fit con i minimi quadrati eseguiti al computer da software dedicati (v. oltre). Per una prima trattazione grossolana e ‘manuale’ (con carta millimetrata e riga), ci si può comunque ragionevolmente comportare come segue. Dato un set di dati sperimentali con le loro incertezze, supponiamo per semplicità che sia apprezzabile solo l’errore su y, δy, e che la relazione che lega i dati sia di proporzionalità: - tracciare la retta migliore (con un righello trasparente, cercare di prendere il maggior numero possibile di punti inclusa eventualmente l’origine se è considerabile come punto sperimentale). Il coefficiente della retta sia λ*.

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- tracciare le rette di massima e minima pendenza (di coefficienti angolari λM e λm), come in fig. 1, in modo da abbracciare il maggior numero possibile di barre d’errore.

y

x

Fig. 1

Ci sono diverse scuole di pensiero su come tracciare le rette di massima e minima pendenza: la scelta di passare o meno per l’origine dipende dai dettagli delle misure. Il coefficiente angolare della retta migliore va misurato direttamente sul grafico. Si ricorda che l’equazione parametrica di una retta che passa per due punti P1(x1,y1), P2(x2,y2) è:

y − y1y2 − y1

=x − x1x2 − x1

, y =y2 − y1x2 − x1

x + y1 −y2 − y1x2 − x1

x1 = λx + C .

Scegliere P1 e P2 in modo che siano distanti e ben leggibili (possibilmente all’incrocio delle linee della carta millimetrata), scegliere di preferenza punti sulla retta che non coincidano con i punti sperimentali.

y

x

P (x ,y )

P (x ,y )

111

2 2 2

Valutare la pendenza sul grafico come λ* = Δy/Δx (ricordarsi delle udm sugli assi). Nel caso trattato possiamo stimare l’errore massimo da attribuire a λ* come (λM -λm)/2 e avere.

λmis = λ * ±λM − λm2

.

Se la relazione che lega i dati è lineare, si procede come sopra: tracciata la retta migliore y=λ*x + y* e le rette di massima e minima pendenza, l’intercetta y* va misurata direttamente sul grafico. Se, come può succedere, nel grafico le barre di errore non sono apprezzabili assumiamo come errore, l’ ‘errore di lettura’ sulla carta millimetrata, per es. ± 0,5 mm nelle udm di riferimento del grafico. Un caso importante di linearizzazione è dato dalle funzioni esponenziali (caso particolare di legge di potenza in cui Δy ∝ yΔx), molto frequenti in fisica, della forma

y= AeBx (1)

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con A e B costanti. Un esempio di questo tipo è dato dalla legge di assorbimento (o di estinzione) della luce (o di una radiazione elettromagnetica) che attraversa uno strato di spessore x: I= I0e-

µx, dove µ di

dimensioni [x-1] è il coefficiente di assorbimento. Un altro esempio è dato dalla quantità di carica che fluisce in un condensatore cortocircuitato Q= Q0e-

λt = Q0e-t/RC, dove Q0 è la carica

iniziale sulle armature del condensatore di capacità C, R è la resistenza del circuito, λ ha le dimensioni dell’inverso di un tempo [t-1] ed è pari a 1/RC, con RC costante di tempo del circuito. La legge di decadimento radioattivo ha la stessa forma: N=N0e-

λt= N0e-t/

τ , con N0, numero di nuclei radioattivi a t=0, τ vita media del campione e λ costante di decadimento. Per linearizzare la (1) conviene fare il logaritmo naturale di entrambi i membri

lny = lnA + Bx (2) → y = C + mx e riportare su grafico lny vs x (oppure usare la carta semilogaritmica, v. oltre). A partire da un set di dati sperimentali conviene linearizzare non solo quando si voglia costruire un grafico ma anche se si vuole trattare con un metodo analitico le informazioni in studio mediante, per es., il metodo dei minimi quadrati (v. oltre). In tal caso, poiché il nostro obiettivo è quello di trovare la retta migliore che interpola una serie di punti sperimentali, occorre avere espressioni lineari del tipo yi = C + mxi e il metodo analitico consente di fare le stime migliori di C e di m. (➳ Esercizi 7, esperimenti 8, 9, 10) §3.3. Uso delle carte logaritmiche Nel caso di funzioni esponenziali (1) per linearizzare abbiamo già visto che si calcolano i logaritmi naturali come in (2). Nelle carte logaritmiche gli assi sono tuttavia basati sulle proprietà dei logaritmi in base 10. Si scrive allora la (1) come:

logy = logA + Bxloge (3) → logy = logA + 0,43 Bx. Osserviamo che comunque ciò che è lineare nel logaritmo naturale è anche lineare nel logaritmo decimale (lnx = ln10 logx). Ricordiamo che si impiegano scale logaritmiche quando le grandezze trattate si estendono su intervalli molto grandi. Un esempio viene dato dalle dimensioni lineari degli oggetti in natura, dalla scala subatomica alle galassie. Se abbiamo un intervallo di variabilità che va da 10-15 a 1026 m è evidente che non possiamo usare una scala lineare. Conviene allora riportare su un asse le potenze in base 10, per es. da -15 a 26 e usare i log10x; così, per es., log1010-3 = -3 indica i mm; log101 =0 con 100=1 indica il m.

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

atomi λ visibile

batteri

1 m

Terra

orbita Terra

stella più vicina Ogni divisione della scala (o decade) indica l’incremento di un fattore 10 nelle dimensioni lineari. Esistono in commercio carte semilogaritmiche (o log) e carte bilogaritmiche (o loglog). Nelle carte semilogaritmiche un asse è lineare (o normale) mentre l’altro è logaritmico, cioè costituito da tante decadi. Gli assi logaritmici partono in genere da 1 e vanno a 10 con decadi che si ripetono.

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1

10

10

10

Qualche osservazione: - sulla scala logaritmica non esiste lo zero (ricordare che logax è definito per x>0 e base a>0 e a≠1; limx→0x =-∞); - le decadi sono costanti e quindi equivalenti: la distanza per es. tra 10-1 e 100, tra 100 e 101, tra 101 e 102, è la stessa. Se per es. log1010=1 corrisponde a 1 unità u sull’asse, log10100=2 è pari a 2 u (cioè tra 102 e 10, 2u- u =1 u); similmente, tra log10100=2 e log101000=3, pari a 3 u c’è sempre una unità di scala (tra 103 e 102, 3 u -2 u = 1 u), ecc. - Data l’equivalenza delle decadi, scegliere quella da cui partire in funzione del range di variabilità dei dati. - Il punto di mezzo di una decade non è 5 ma circa 3 (log103 ≈ 0,48 mentre log105 ≈ 0,70); per intervalli ‘piccoli’ la scala è quasi lineare. -Per misurare la pendenza della retta Δ(logy)/Δx: per la scala lineare non ci sono problemi; per la scala logaritmica, scegliere per es. un segmento verticale lungo come una decade (log1010=1). - L’uso del computer consente di ottenere andamenti esponenziali in modo rapido. Anche in questo caso si consiglia di far costruire agli studenti i grafici a mano e di affidarsi a programmi tipo Excel solo in un secondo momento. Un esempio: decadimento radioattivo (dal Taylor) Dai dati in tabella calcolare: la costante di decadimento λ, la vita media τ del campione, il tempo di dimezzamento t1/2, il valore di N per t=τ.

t(s) N 0 9800±100 10 6140 ±79 20 3840 ±63 30 2455 ±50 40 1540 ±39 50 1015 ±32 60 635 ±25 70 385 ±16 80 245 ±16 90 170 ±13 100 100 ±10 Ricordiamo che la legge di decadimento radioattivo è:

N=N0e-λt= N0e-t/

τ (1), la costante di decadimento è λ= 1/τ [t-1], la vita media è τ [t], N0 è il numero di nuclei radioattivi a t=0 (per t→∞ , N → 0); per t=τ, N=N0/e ≈ N0/2,7; per N/ N0 =

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1/2→12= e

− t1/2τ → ln 1

2=−t1/ 2τ

→ t1/ 2 = ln2 ⋅ τ = 0,69 τ ; t1/2 è l’emivita o tempo di

dimezzamento del campione (tempo dopo il quale N si è ridotto di metà di N0). Conviene linearizzare la (1) come

logN = logN0 - 0,43 λt (2) e riportare su grafico. Se usiamo carta millimetrata semplice dobbiamo calcolare i logN. Conviene usare la carta semilogaritmica e riportare direttamente N sull’asse logaritmico scelto verticale. La prima cosa da fare è scegliere le decadi: nel nostro esempio N va da 100 a circa 10000, scegliamo pertanto le due decadi comprese tra 102 e 104. Costruita la retta valutiamone la pendenza come (logy2-log y1)/x2-x1, cioè – Δ(logN)/Δt =-1/50 = -0,02→ λ·0,43 = 0,02; λ = 0,02/0,43= 0,046 s-1, τ = 1/λ= 1/0,046 =21,74 s. Per t1/2 = ln2 · τ= 0,69 · 21,74= 15,00 s; per t=τ, si può leggere direttamente sul grafico il valore di N oppure calcolare N=N0/e = 9800/e ≈ 0,37 · 9800 ≈ 3630. Entro τ il campione si riduce di circa il 37% di N0. Se ci limitiamo a usare i dati in tabella rinunciando al grafico, per es. per t=10, N=6140, dalla (1) 6140=9800 e-t/

τ , ln6140 = ln 9800 –t/τ ; 8,72 = 9,19 -10/τ → τ= 10/0,47 = 21,27 s, ecc. §3.4. Leggi di potenza e carte bilogaritmiche Abbiamo accennato alle leggi di potenza

y = Cxm (1). Se è noto il valore dell’esponente m si può linearizzare la (1); se m=1 si ha già una retta per l’origine; se m=2 si ha una parabola per l’origine che possiamo linearizzare riportando su grafico per es. y vs x2, e così via. Se invece m è incognito possiamo fare i log10 da entrambi i lati della (1) per ottenere

logy = logC + mlogx (2); la (2) è così ricondotta a una retta del tipo y = C + mx, di coefficiente angolare l’esponente incognito m che andiamo a ricavare dal grafico. Per individuare la pendenza m della retta, conviene usare la carta bilogaritmica. Come è fatta la carta bilogaritmica: - entrambi gli assi sono logaritmici e presentano decadi; valgono le stesse osservazioni fatte per la carta semilogaritmica (in partic. si riportano i valori di x e y sugli assi senza calcolare i logaritmi in base 10). - A seconda del range di variabilità dei dati per x e y, scegliere il numero giusto di decadi 10-1, 100, 101, ecc. sui due assi; - la pendenza della retta Δ(logy)/Δ(logx), si trova misurando con un righello i segmenti in verticale e in orizzontale in unità arbitrarie e dividendo. Prendiamo da A. Filipponi, Introduzione alla Fisica, Zanichelli, Bologna, 2005, un interessante esempio di legge di potenza, nello studio sperimentale della dipendenza tra massa M e lunghezza caratteristica l di famiglie rappresentative di oggetti simili ma di diversa grandezza (v. attività 11 e 12). Tratteremo prima il caso 1 D (una serie di pezzi di spago di diversa lunghezza), quindi il caso 2 D (una serie di quadrati di carta ritagliati dallo stesso foglio), e infine il caso 3 D (una serie di sfere di stesso materiale e diverso diametro). Le tre famiglie di oggetti sono governate dalla relazione

M∝ρld che lega la massa alla loro lunghezza caratteristica; d rappresenta l’esponente della legge di potenza, pari rispettivamente a 1, 2, 3. Ci serviremo nel seguito della stessa relazione per trovare il valore di d per una famiglia di oggetti particolari, una serie di palle di carta ottenute accartocciando un foglio, palle di cui a priori non sappiamo con certezza se d debba essere associato alle dimensioni 2 del foglio di carta di provenienza o alle dimensioni 3 dello sferoide che otteniamo appallottolando il foglio. §3.5. Principio dei minimi quadrati

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Supponiamo di avere eseguito una serie di misure xi di una grandezza e di volere individuare la misura x più attendibile (le xi non sono misure ripetute della stessa grandezza). Il principio dei minimi quadrati afferma che il valore x più attendibile è quello che rende minima la somma dei quadrati degli scarti di tra le singole misure xi e tale valore:

(x − xii

N

∑ )2 = di2

i

N

∑ (1)

L’espressione (1) non è altro che N volte la varianza delle xi calcolata in funzione del valore più attendibile x sicché il principio dei minimi quadrati si può enunciare anche dicendo che il valore più attendibile di una grandezza è quello che rende minima la varianza (e quindi la deviazione standard) delle misure rispetto a esso. Facendo la derivata d/dx =0 della (1) segue che il valore più attendibile x non è altro che il valor medio delle misure, come avevamo anticipato nel § 2.3. Nota: minimizzare la (1) implica massimizzare la probabilità P (questa condizione si basa sul “principio di massima verosimiglianza”: la stima migliore di una grandezza è quella per cui P è massima, cioè i valori misurati x1,x2,…,xN sono i più probabili) di osservare l’intero gruppo di misure (P=P1P2…PN). Se le misure si distribuiscono normalmente, nell’espressione di P compare l’esponente exp[-Σi (x- xi)2/2σ2]. P è massimo quando l’esponente (che contiene la (1)) è minimo. Considerazioni analoghe valgono anche nel caso in cui le xi provengano da diverse distribuzioni: in tal caso la media aritmetica delle xi è sostituita da una media pesata in

cui ogni peso wi è dato da

wi =1σ i2 .

Fit con i minimi quadrati Supponiamo di voler determinare una grandezza y in funzione di un’altra x; per es., nel caso di caduta libera, si vuole verificare che la velocità del grave (v1,v2,…,vN siano i valori misurati) è una funzione lineare di t (t1, t2,…,tN siano i tempi misurati): v=v0+gt, o, più in generale:

y=q+mx, con q e m costanti. Se eseguiamo le N misure di x, x1,x2,…,xN , e dei corrispondenti valori di y, y1,y2,…,yN, su un grafico y vs x avremo una serie di punti sperimentali, ciascuno con la sua incertezza, e se la relazione attesa è lineare i punti si distribuiscono approssimativamente su una retta, un po’ sopra e un po’ sotto la retta. Si pone il problema di trovare la retta y= q +mx che meglio si adatta alla serie di punti sperimentali (x1,y1),…,( xN,yN). Si tratta in pratica di trovare con un metodo analitico la retta migliore che interpola una serie di punti (“regressione lineare” o “curva dei minimi quadrati per una retta” o fit lineare) cioè di trovare il valore delle costanti q e m e di definire l’incertezza di q e m. Per semplicità supponiamo che: solo le yi abbiano incertezza (σy>>σx; nell’esempio di cinematica dato sopra, ciò significa che le xi, cioè i tempi, sono misurati con precisione elevata mentre le yi, cioè le velocità, sono affette da errori apprezzabili), che tali incertezze siano tutte uguali, che le misure di yi si distribuiscano normalmente con lo stesso parametro di larghezza σy. Nota: se i punti sperimentali fossero privi di errore, la relazione che li lega:

yi= q +mxi sarebbe un’uguaglianza; a causa degli errori sperimentali, al contrario, i due membri dell’uguaglianza differiscono per una quantità di, scarto (o deviazione o residuo) i-mo che corrisponde alla coppia di osservazioni (xi, yi): di= q +mxi-yi (2). I valori più attendibili di q ed m saranno quelli che secondo il principio dei minimi quadrati (1), rendono minima la quantità Σdi

2= (q +mxi-yi)2. La situazione è mostrata nel grafico seguente:

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33

x

y

q

m

(x , y )y

x

d

i

ii

i i

Ogni punto corrisponde a una coppia di osservazioni (xi, yi) e ogni punto presenta uno scarto di che corrisponde alla distanza verticale tra il punto (xi, yi) e la retta di parametri q ed m. Il metodo dei minimi quadrati consente di individuare q ed m della retta migliore che interpola i punti sperimentali rendendo minima la somma dei quadrati Σdi

2

delle distanze verticali tra i punti e la retta. La probabilità Pq,m di osservare un insieme completo di misure (Pq,m = Pq,m,1,….,

Pq,m,N) contiene l’esponenziale

e− (yi −q−mxi )

2 / 2σ y2

i

N

∑= e−χ

2 / 2 ,

dove si è posto

χ 2 =

(yi − q −mxi)2

i

N

∑σ y2 .

La stima migliore delle costanti q e m implica di massimizzare Pq,m (principio di massima verosimiglianza) e quindi di minimizzare la somma dei quadrati χ2. Imponendo ∂χ2/∂q=0, ∂χ2/∂m=0 e facendo i calcoli si trova:

q =( xi

2)( yi) − ( xi)( xiyi)∑∑∑∑Δ

,

m =N( xiyi) − ( xi)( yi)∑∑∑

Δ,

con Δ = N( xi2) − ( xi∑∑ )2

Si può dimostrare che l’incertezza delle misure di y è data da:

σ y2 =

1N − 2

(yii

N

∑ − q −mxi)2 ; a denominatore il fattore N, numero delle coppie di punti

sperimentali, è stato corretto con il fattore N-2. Se ci fosse N, nel caso di due sole coppie di punti (N=2), si avrebbe l’assurdo di σy=0, incertezza nulla (per due punti ci passa esattamente una retta sicché i termini della sommatoria danno 0; in altre parole, con solo 2 coppie di punti non possiamo stabilire l’affidabilità delle misure). La sostituzione con il fattore N-2 comporta al contrario, sempre nel caso di N=2, il risultato corretto σy=0/0, incertezza indeterminata. Considerazioni analoghe sono state fatte nel §2.3. Comunque per N ‘piccolo’, la differenza tra il fattore N e il fattore N-2 è trascurabile.

L’incertezza in A e in B è data rispettivamente da:

σ q2 =σ y

2 xi2∑

Δ,

σm2 =

Nσ y2

Δ

.

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Il metodo dei minimi quadrati può essere esteso all’adattamento ad altre curve (polinomiali, esponenziali, ecc.). Nel caso di incertezze σy diverse si impiega il metodo dei minimi quadrati pesato con gli inversi dei parametri di larghezza wi=1/σi

2 . Una importante applicazione del metodo dei minimi quadrati consente di vedere se le variabili x e y sono correlate (non sappiamo cioè a priori che relazioni colleghi le coppie di misure). Senza entrare nel merito della questione, nel caso più semplice di correlazione lineare tra x e y si definisce il coefficiente di correlazione lineare

R =σ xy

σ xσ y

con σ xy =1N

xi − x( )i

N

∑ yi − y( ) , σxy è detto covarianza; se σxy=0 le misure

non sono correlate linearmente (nel grafico che segue, i punti sono per es. distribuiti casualmente e hanno covarianza nulla):

y

x

Il coefficiente R è un indicatore di quanto i punti (xi, yi) si adattano alla retta interpolante; R=1 significa correlazione perfetta mentre R=0 indica assenza di correlazione tra i punti; se la correlazione non è perfetta R assume un valore tra 0 e 1. Calcoli e grafici possono essere eseguiti con l’aiuto del computer con programmi dedicati che consentono anche di avere una indicazione di R. Di seguito viene riproposto l’argomento con un formalismo leggermente diverso e mostrato il procedimento per l’analisi dei dati con l’applicazione del metodo dei minimi quadrati mediante Excel.

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ESERCITAZIONI

1. Se ho le 10 misure seguenti, riferite per esempio a una lunghezza espressa in cm,

250 252 255 249 248 246 249 248 251 252

calcolare:

a) la moda; b) la mediana; c) la media; d) la semidispersione massima; e) lo scarto medio; f)

lo scarto standard. Che succede se si elimina* dai dati 255? Nota*: ci sono criteri precisi per rigettare i dati. Qui possiamo solo dire a buon senso, che la misura che scarta di più dal valor medio può essere eventualmente eliminata. L’esperienza suggerisce quando in un dato esperimento taluni valori (per es. quelli iniziali o finali), affetti da errori ‘troppo’ grandi, possono essere eliminati.

2. Nei due set di misure seguenti

a) 122 124 128 130; b) 121 125 127 131 calcolare la media, lo scarto medio, lo scarto standard. 3. (da G. D’agostini, cit., cap. 2) Determinare le dimensioni di un foglio A4 in cm (con due cifre decimali), con il righello fotocopiato. Le dimensioni siano: a, lato ‘lungo’; b, lato corto; c, diagonale. Riportare i dati in tabella; provare a ripetere la misura, per es. 10 volte. Qual è la misura più rappresentativa per a, b e c? E qual è la stima migliore per l’errore su a, b e c? Perché a ogni misura si ottengono numeri diversi? Che cosa si può concludere sul set di dati ottenuti per a, b e c? Che cosa si può concludere sul set di dati ottenuti da più sperimentatori? L’incertezza sui valori aumenta o diminuisce? All’aumentare del numero di misure si migliora o peggiora la stima? Misura i-ma

a (cm) b (cm) c (cm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Note: questo esperimento è molto utile e ovviamente a basso costo. I righelli vanno fotocopiati da un righello ‘reale’ di 10 cm impostando i rapporti di ingrandimento della fotocopiatrice un po’ più piccoli e un po’ più grandi del rapporto 1:1. Si ottengono così 3 classi di righelli: 1. righelli ‘fedeli’; 2. righelli rimpiccioliti (che danno misure sistematicamente maggiori di quelle reali); 3. righelli ingranditi (misure minori di quelle reali), da distribuire a caso agli studenti, glissando sulla diversità dei righelli. Questo consente, alla luce dei risultati trovati da più studenti, di individuare risultati affetti da errori sistematici (oltre che da errori casuali). Se vanno misurate le dimensioni del foglio in cm con due cifre decimali si è costretti a interpolare tra le tacche. Misurare i lati del foglio con un righello di (circa) 10 cm comporta vari errori. La misura della diagonale è probabilmente quella più affetta da errori.

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4. Quante CS hanno le seguenti misure (da G. D’Agostini, cit.) a) 3,14; b) 1234,0; c) 123; d) 0,777; e) 0,0003; f) 6,022 1023; g) 3,200; h) 20000; i) 20001; j)

0,0020; k) 0,2000000; l) 13400; m) 0,7 10-12;n) 300,001; o) 0,0030 10-100.

Eseguire i seguenti calcoli tra misure:

a) 3,14 + 6,77 + 21,1=

b) 6 – 0,1178 =

c) 3,14 + 0,01246 =

d) π + 0,01246 =

e) C = 2 π R con R= 7,895

f) 45,9 ⋅ 0,0023 =

g) (34,334 + 1,1) 0,02435 =

h) V=(4/3) π R3 con R=4,45

i) 2,68 + 1,23 ⋅10-2 + 9,88 ⋅10-8 =

j) 75,78 + 3,91 ⋅103 +1,122 ⋅104 =

k) 23456,239 + 1,334 ⋅106+ 5,5 ⋅105 =

l) 2,3001 ⋅ 106 ⋅ 0,052 ⋅105=

p) ln 2,7=

q) ln 27=

5. Riscrivere i seguenti risultati con un numero appropriato di cifre significative (considerare

l’errore con una cifra significativa):

a) altezza misurata in m: 5,03 ± 0,04329 m

b) tempo misurato in s: 19,5432 ± 1 s

c) carica misurata in C: -3,21⋅10-19 ± 2,67⋅10-20 C

d) lunghezza d’onda misurata in m: 0, 000000563± 0,00000007 m

e) quantità di moto misurata: 3,267⋅103±42 g cm/s 6. (dal Taylor)

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In un esperimento di verifica della conservazione del momento angolare, si ottengono i

risultati di tabella (L e L’ sono i momenti angolari iniziale e finale di un sistema rotante, in

kg m2/s). Aggiungere una colonna per mostrare la differenza L-L’ e il suo errore.

3,0± 0,3 2,7±0,6

14,3± 1 16,5± 1

25± 2 24± 2

32± 2 31± 2

37± 2 41± 2 7. (dal Taylor) Una pietra è lanciata verso l’alto con velocità v, e raggiunge un’altezza h in base alla legge v2

= 2gh. I risultati relativi a 7 lanci sono mostrati in tabella.

a) fare il grafico di v2 in funzione di h, includendo le barre di errore verticali e orizzontali.

Verificare la proporzionalità tra v2 e h.

b) Ricavare la pendenza della retta con il metodo delle rette di massima e minima pendenza e

discutere il risultato.

h in m (±0,05) v2 in m2/s2 0,4 7±3 0,8 17±3 1,4 25±3 2,0 38±4 2,6 45±5 3,4 62± 5 3,8 72±6 E’ lecito includere lo zero tra i dati in esame? Che tipo di errore è stato attribuito a h? E a v2? 8. Determinazione sperimentale di π Misurare le circonferenze C e i diametri D di una serie di cilindri diversi. Costruire la tabella C vs. D con i relativi errori di misura e calcolare il rapporto C/D (che errore attribuirgli?). Riportare su grafico D vs. C e valutare la pendenza della retta. Confrontare πteor (=3,14 con due cifre decimali) con πsper. Note: quali sono le fonti di errore? Come fare per ridurre l’errore? Che fare con gli errori di misura? Se si è ripetuta la misura n volte, per es. per C, è lecito fare la media dei valori di C? Ed è lecito fare la media tra i valori di C e di D?

L iniziale L’ finale L-L’

7,4± 0,5 8,0±1

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9. Verifica della legge del pendolo semplice per piccole oscillazioni

T = 2π lg

"

# $ $

%

& ' ' ; determinazione di g

Costruire un pendolo semplice. Misurare il periodo T di oscillazione per piccole oscillazioni. A parità di massa del pendolo, ripetere la misura per diversi valori della lunghezza l del pendolo (facendola variare, per es., di 10 cm per volta). Dai dati della tabella, calcolare g e confrontarlo con g teorico. Riportare i dati su un grafico. Che succede se si riporta T vs. l ? E T2 vs. l?

Dedurre dal grafico il valore di g e confrontarlo con il valore teorico. Note: quali sono le fonti di errore? Come si può allungare la durata del periodo T? Che si intende per piccole oscillazioni? Se si riporta T2 vs. l quanto vale l’errore su T2? Nel caso di T vs. l quanto vale l’errore su l ? Come possiamo ridurre a monte gli errori su T? Che errore attribuire a g misurato? Si consiglia di non ripetere le misure per non appesantire troppo l’esperimento. 10. Verifica della legge di Hooke; dipendenza dalla massa del periodo di

oscillazione (T = 2π mK

); determinazione di g

Sospendere alla molla i dischetti di massa m e misurare ogni volta l’allungamento l della molla, e il periodo di oscillazione T. Dai dati della tabella, calcolare il coefficiente di elasticità della molla K e il valore di g. Costruire il grafico m vs l e verificare la linearità tra masse applicate e deformazioni. Costruire il grafico T vs. m . Dedurre dal grafico la costante elastica della molla K. Nota K, dedurre dal grafico m vs l, il valore di g. Note: quali sono le fonti di errore? Se i dischetti di massa m variano un po’ uno dall’altro, come ridurre l’errore? Come possiamo ridurre a monte gli errori su T? Si osservi che la molla e il supporto hanno una massa M ≈ 63 g: conviene considerare M inglobata nelle mi, anche se questa procedura comporta un errore sistematico; in pratica stiamo considerando la M concentrata al suo estremo mentre in realtà è concentrata nel cdm del sistema molla+supporto. Poiché questa condizione affetta le misure, in particolare di T, va inclusa nelle fonti di errore. Si consiglia di non ripetere le misure per non appesantire troppo l’esperimento.

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11. Relazione tra massa M e lunghezza caratteristica l di famiglie di oggetti simili tra loro ma di diversa grandezza Caso unidimensionale Esempio: pezzi di spago di diversa lunghezza l, ritagliati dallo stesso gomitolo di spago. Si può ipotizzare che M∝l (ipotesi ragionevole) o, più esattamente, che

M=ρll [1] con ρl densità lineare (kgm-1). Misurare la lunghezza e la massa di un certo numero di pezzi di spago (v. tab. 1 che riportiamo con un esempio di misure); verificare la validità della [1], riportando i dati con le loro incertezze massime su carta lineare, e accertarsi che venga una retta. Determinare la densità lineare ρl dalla pendenza della retta.

tab. 1 l (cm) ±0,5 M(g) ±0,01

3,0 0,05 8,0 0,14 15,0 0,27 25,0 0,45 40,0 0,72

Caso bidimensionale Esempio: sequenza di quadrati di carta, ricavati dallo stesso foglio con lunghezza caratteristica il lato del quadrato. Si ipotizza che M∝l2 o, più esattamente, che

M=ρsl2 [2] con ρs densità superficiale (kgm-2). Verificare la [2], riportando i dati di tab. 2 su carta semplice (linearizzando, cioè riportando l2 vs. M).

tab. 2 l(cm)±0,1 M(g) ±0,01 2,0 0,03 3,0 0,07 5,0 0,20 7,0 0,38 9,0 0,64 10,0 0,80 14,0 1,57 17,0 2,31 19,0 2,89 Caso tridimensionale Esempio: sequenza di sfere di stesso materiale, per es. acciaio, con lunghezza caratteristica il loro diametro D. Si ipotizza che M∝D3 o, più esattamente, che

M=(π/6)ρvD3 [3] con ρv densità di volume (kgm-3), V=(4/3) π R3=(π/6)D3. Verificare la [3], riportando i dati di tab. 3 su carta semplice (linearizzando, cioè riportando D3 vs. M).

tab. 3

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D(mm) ±0,01 M(g) ±0,001 4,76 0,411 6,35 1,045 7,14 1,485 9,52 3,520 13,49 10,011 22,22 44,839 Le leggi [1], [2] e [3] sono rappresentabili dall’unica relazione

M∝ρld [4], dove ρ è una densità di massa rispettiv. lineare, superficiale e di volume e d è una potenza intera (1, 2, 3). Riportare i dati delle tab. 1, 2, 3 su carta bilogaritmica e verificare che la pendenza delle rette sia rispettiv. 1, 2 e 3 entro il limite degli errori sperimentali. Per l = 1 cm, ricavare sull’asse verticale delle M in grammi, il valore delle densità delle tre famiglie di oggetti. 12. Esperimento con le palle di carta Partendo da un foglio di carta A4 (ha la caratteristica di avere le lunghezze dei lati in rapporto

2 , cioè il lato lungo =

2 lato corto) dividere il foglio in due, la metà in due, la metà della metà in 2, ecc. In questo modo si genera una sequenza di fogli rettangolari simili con aree in successione geometrica di ragione 2 (aree in rapporto 1/2n, con n uguale al numero di tagli effettuati). Si ha M ∝ area A dei fogli=

2 lato corto al quadrato, cioè una relazione simile alla [4]. Appallottolare i rettangoli e misurarne il diametro. Per le masse, poiché M∝ A è inutile fare misure. Ciascuna pallina ha massa doppia di quella che la segue in successione (considerare l’incertezza delle masse, in unità di massa, trascurabile rispetto all’incertezza su D).

Tenendo presente la [4], quanto sarà d? Sarà 2 come per le dimensioni del foglio di carta, o 3 come per gli oggetti tridimensionali? Riportare i dati su carta bilogaritmica e valutare la pendenza della retta. Note: che cosa sono gli oggetti frattali? Com’è la loro dimensione? C’è qualche attinenza tra la famiglia di palle di carta, i risultati trovati e i frattali? Attenzione che le palle di carta sono tridimensionali ma non hanno la stessa densità ρV; sono oggetti con dimensione spaziale d non intera, tra 2 e 3 (d si chiama dimensione frattale e dai dati dovrebbe risultare d=2,4 ± 0,2); hanno proprietà di autosomiglianza, con presenza di vuoti a tutte le scale di lunghezza (come il broccolo romano, le coste della Bretagna, ecc.). Cfr. sul tema: M. A. F. Gomes, Fractal geometry in crumpled paper balls, Am. J. Phys., 55 (1987) 649-650; V. Mandelbrot, Gli oggetti frattali: forma, caso e dimensione, Einaudi, Torino, 1987.

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Cap. 4 LA FISICA DEL SENSO COMUNE Diamo di seguito qualche cenno alla problematica legata alla fisica del senso comune. Questa linea di ricerca didattica, iniziata negli anni Settanta e proseguita nel tempo, ha dato importanti risultati che vanno tenuti presenti nell’insegnamento. Ricerche condotte in vari paesi hanno stabilito che gli studenti, anche all’ingresso dei corsi di base a livello universitario, possiedono già una concezione personale del mondo fisico che spesso è incompatibile con la conoscenza stabilizzata. Indipendentemente dal loro curriculum scolastico e dalla loro tipologia, gli studenti commettono errori tipici difficilmente eliminabili. Si è fatta l’ipotesi che tali errori derivino da schemi esplicativi, rappresentazioni mentali (RM), barriere critiche, intuizioni, pregiudizi che il soggetto assume, in modo più o meno esplicito e consapevole, alla base della sua spiegazione della realtà. La rete di RM o di concezioni di senso comune costituisce la fisica spontanea o intuitiva, o “teoria di senso comune”, funzionale alla vita di ogni giorno. Le principali origini degli errori di senso comune5 possono essere: 1. concetti di senso comune ‘fisiologici’, corrispondenti a quella classe di spiegazioni della realtà fisica basate sui modi di percezione, sui sensi (per es., forze a contatto, sensazioni caldo-freddo); 2. concetti di senso comune indotti: si tratta di concetti che sottendono, in una data spiegazione, nozioni provenienti dalla scuola, dai media, ecc. generalizzate in modo indebito o distorto (es., vuoto come assenza di gravità, definizioni usate con status di legge forte e universale, come v= s/t); 3. metaconcetti (metaleggi, metacriteri): implicano giudizi, principi, criteri non verificabili di ordine etico, estetico, ecc. che si rifanno al ‘gusto’ individuale (v. nel seguito il test 4: nello scegliere per es. la posizione di equilibrio di due mattoni sospesi mediante un filo a una carrucola si sceglie quella in cui i due mattoni sono allo stesso livello perché la configurazione del sistema viene giudicata ‘migliore’, ‘più regolare’); 4. iperconcetti: sono concetti dal significato fluido, non sempre quantificati e formalizzati usati con accezioni diverse, spesso intercambiabili (gravità, energia, forza). Si è inoltre verificato che gli errori tipici, legati soprattutto a concezioni di senso comune, sono persistenti e l’insegnamento tradizionale della fisica è in grado di modificare assai poco la situazione. Le concezioni di senso comune sarebbero un pedaggio inevitabile da pagare nell’insegnamento della fisica “perché il senso comune è una codificazione dell’esperienza che dà significato al nostro linguaggio naturale. Non sarebbe possibile parlare di fisica senza di esso”6. Queste costatazioni hanno dato luogo a programmi di ricerca tesi a classificare lo spettro dei pregiudizi di senso comune attraverso test diagnostici, di controllo e di verifica, da somministrare all’inizio e alla fine dei corsi introduttivi di fisica7. I risultati ottenuti, non proprio lusinghieri, hanno spostato l’attenzione verso la scuola secondaria per prevenire in fisica gli errori tipici, indotti dal senso comune, attraverso strategie didattiche

5 M. G. Ianniello, Conoscenza all’ingresso e all’uscita dei corsi universitari di base, in Ricerche di Didattica della Fisica, Roma,1988, 323-366. 6 I. A. Hallon, D. Hestenes, Common sense concepts about motion, Amer. J. Phys., 53 (1985), 1056-1065; qui p. 1056. 7 Una ricerca in tal senso è stata condotta in seno al Laboratorio di Didattica delle Scienze dell’Università Sapienza di Roma nella seconda metà degli anni Ottanta; la ricerca è stata coordinata da M. Vicentini e a essa hanno collaborato G.Battimelli, F. Dupré, M. G. Ianniello, R. Stilli. Cfr. sul tema, M. Mayer (a cura di), Conoscenza scientifica e conoscenza di senso comune, CEDE, Frascati, 1990.

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opportune, basate su strumenti diagnostici ben calibrati da somministrare più volte agli studenti lungo il loro percorso scolastico, discutendo insieme le risposte date. I nodi concettuali che rivelano la presenza di RM sbagliate riguardano in particolare: a) forza di spinta, b) inerzia, c) pressione e gravità, d) energia, e) sistemi di riferimento, f) argomenti vari (interpretazione di grafici, conoscenza delle proprietà termiche, equilibrio, propagazione della luce, correnti e circuiti). Nel seguito vengono riportati alcuni test formulati proprio per individuare RM di fisica mutuate dal senso comune. Provate a rispondere individuando per ogni test quale o quali idee sbagliate tra a) ed f) tendono a diagnosticare.

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Test di Fisica e senso comune 1. Una palla elastica lanciata verso terra rimbalza più volte; ogni volta rimbalza sempre meno in alto finché si ferma. Quale tra le tre affermazioni che seguono spiega meglio quel che è successo? A. La forza della spinta via via si esaurisce B. In natura tutto tende a fermarsi C. La pressione dell’aria spinge la palla verso il basso D. La resistenza dell’aria e l’attrito con il terreno rallentano il moto E. La forza di gravità è più forte quanto più si è vicini al terreno F. Altro (in questa domanda puoi scegliere una o più risposte) Spiegazione: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. Quale delle figure che seguono pensi che rappresenti meglio la forza che agisce sul sasso quando raggiunge il punto più alto H?

H H H H H

nessuna forza

A B C D E Spiegazione: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Due sfere di ugual volume ma di peso diverso sono lanciate verso l’alto con la stessa velocità. Trascurando la resistenza dell’aria, pensi che A. le due sfere raggiungeranno la stessa altezza B. Salirà più in alto la sfera più leggera C. Salirà più in alto la sfera più pesante D. I dati forniti sono insufficienti per rispondere Spiegazione: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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4. Due mattoni identici sono collegati tra loro con uno spago sottile. Lo spago viene appoggiato delicatamente su una carrucola ben lubrificata nella posizione che vedete in figura.

Una volta lasciati liberi di muoversi i mattoni:

A B C A. resteranno fermi nella posizione in cui sono stati lasciati B. Si muoveranno fino a raggiungere la stessa altezza C. Si muoveranno finché il più basso arriva al suolo o il più alto tocca la carrucola D. Si muoveranno e continueranno a oscillare intorno alla posizione (B) in cui si trovano alla stessa altezza Spiegazione: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. Una pietra è lanciata verso l’alto. Quale dei grafici che seguono rappresenta l’andamento dell’accelerazione nel tempo mentre è in aria? (trascurare la resistenza dell’aria)

A B C

D E

a

t

a

t

a

t

a

t

a

t

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Spiegazione: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. Un giocoliere sta giocando con 6 palle identiche. All’istante t le sei palle sono in aria, tutte alla stessa altezza, sulle traiettorie indicate in figura mediante linee tratteggiate. Sulla figura sono rappresentati anche i vettori velocità, all’istante t, di ciascuna delle sei palle.

v 2v

v v v

V=1

3

4 5 6

Trascurando la resistenza dell’aria, le forze che agiscono sulle palle all’istante t sono: A. Tutte uguali B. Tutte diverse C. Alcune uguali, altre diverse (specificare) D. I dati forniti sono insufficienti per rispondere Spegazione: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… L’energia potenziale delle sei palle all’istante t, è: A. Uguale per tutte B. Diversa per tutte C. Uguale per alcune, diverse per altre (specificare) D. I dati forniti sono insufficienti per rispondere Spiegazione: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. Un satellite artificiale può ruotare abbastanza a lungo intorno alla Terra se è posto su un’orbita di raggio sufficientemente grande. Questo perché: A. per evitare l’attrazione terrestre deve trovarsi nel vuoto assoluto. B. Per poter ruotare su un’orbita chiusa deve uscire dal campo gravitazionale

della Terra. C. Più alta è la quota minore è la forza frenante dell’atmosfera. D. L’accelerazione di gravità è tanto minore quanto maggiore è l’altezza. E. Altro.....................................................................................................................

.

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Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 8. Un corridore si allena trasportando durante la corsa dei pesi di piombo. Mentre corre ne lascia cadere uno. Il peso raggiunge il terreno:

A. sulla verticale del punto in cui è stato lasciato cadere. B. Nel punto in cui si troverà il corridore che continua a correre con la stessa

velocità. C. Indietro rispetto al punto in cui è stato lasciato cadere. D. In un punto compreso tra A e B. Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 9. Un ragazzo si lascia trasportare da un nastro semovente (un tapis roulant) e gioca lanciando una palla da tennis sopra la sua testa a un’altezza di circa 3 m. La palla ricadrà: A. indietro rispetto al ragazzo. B. Nelle sue mani. C. Davanti rispetto al ragazzo. D. I dati forniti non sono sufficienti a rispondere. Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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10. Sei su una giostra che ruota rapidamente (in figura è vista dall’alto) e devi colpire un bersaglio posto in P. Da quale punto lanceresti una palla e in quale direzione per essere sicuro di colpire il bersaglio? (disegna sulla figura la direzione iniziale e la traiettoria della palla)

P

Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 11. In uno spiazzo molto largo e perfettamente piano un fucile spara un colpo in direzione orizzontale. Nell’istante in cui il proiettile esce dalla canna del fucile una pesante sfera viene lasciata cadere dalla stessa altezza dalla quale viene sparato il proiettile. La sfera raggiungerà il terreno: A. prima del proiettile. B. Nello stesso istante del proiettile. C. Dopo il proiettile. D. I dati forniti non sono sufficienti per rispondere. Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 12. Nel II secolo a. C. Aristarco di Samo propose l’idea che fosse la Terra a girare intorno a se stessa e intorno al Sole e non il Sole intorno alla Terra. Le sue idee non furono prese in considerazione soprattutto perché non seppe rispondere alla seguente obiezione: “Se la Terra si muove perché gli uccelli, le nuvole, tutto quel che è sospeso nell’aria non rimane indietro?” Come risponderesti tu, ora, a questa obiezione? ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 13. Suppponete di avere una tavoletta di legno e una di metallo delle stesse dimensioni (25 cm x15 cm x 4 mm) e di deporre al centro due cubetti di ghiaccio identici estratti dal frigorifero contemporaneamente. I due cubetti si scioglieranno: � insieme; � prima quello sul legno; � prima quello sul metallo.

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Date una stima, se è il caso, di quanto tempo prima si scioglie un cubetto rispetto all’altro. � molto prima; � poco prima. Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 14. Per misurare una differenza di pressione tra due recipienti si può usare un tubo a U. Volendo avere una scala di misura lineare, quale o quali dei tubi rappresentati in figura è meglio usare?

8 Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 15. Qual è il meccanismo che permette di bere una bibita con la cannuccia? A. perché un liquido può essere aspirato. B. Perché si fa il vuoto nella cannuccia e la forza del vuoto attira il liquido. C. Perché si crea una differenza di pressione con l’esterno e l’aria esterna spinge

su il liquido. D. Perché la cannuccia è sottile e il liquido sale per capillarità. E. Altro.....................................................................................................................

. Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 16. Un palloncino viene gonfiato e fissato sul fondo di una piscina profonda 4 m.

Cosa succede al palloncino quando la piscina viene riempita d’acqua?

A B C D

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A. il volume rimane lo stesso; la forma cambia e il palloncino si schiaccia come una frittella.

B. Il volume rimane lo stesso; la forma cambia e il palloncino si allunga. C. La forma rimane circa la stessa; il volume cambia e il palloncino diventa più

piccolo. D. La forma rimane circa la stessa; il volume cambia e il palloncino diventa più

grande. E. Cambiano sia la forma che il volume.

Come?...................................................... F. Non cambia niente. Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 17. La figura che segue rappresenta la Terra, la cui forma come sai è quasi sferica. L’omino disegnato rappresenta te che hai in mano un sasso. Ai tuoi piedi è stato scavato un foro, perpendicolarmente alla superficie della Terra, che arriva fino dall’altra parte.

Tu lasci cadere il sasso nel foro. Quale, tra le figure che seguono, rappresenta meglio secondo te il percorso del sasso? Si trascuri ogni effetto dovuto alla rotazione della Terra.

A B C

D E

Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Supponi adesso che il foro non sia perpendicolare alla superficie della Terra ma come mostrato in figura. Tu appoggi una palla all’inizio del foro che si suppone abbia le pareti lisce e la lasci andare. Disegna sulla figura il percorso della palla.

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Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 18. La figura che segue indica schematicamente la pianta di una stanza con tre finestre (1, 2, 3). La stanza è perfettamente buia e può essere illuminata da un lampione esterno posto nella posizione indicata.

Se sei dentro la stanza e ti metti vicino a ognuna delle finestre, attraverso quale (o quali) puoi vedere il lampione? A. Da tutte e tre le finestre B. Solo dalla finestra 1 C. Dalla finestra 1 e parte della finestra 2 D. Altro Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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19. L1 e L2 sono due lampadine identiche, F è un ferro da stiro giocattolo che può funzionare con la pila e scalda come un ferro vero.

+ -

PILA

FL L1 2

La lampadina L1 brillerà: A. Più della L2 B. Meno della L2 C. Come la L2 Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 20. Nel circuito rappresentato in figura si taglia il filo che connette la pila alla lampadina. Cosa succede alla corrente e alla tensione misurata rispettivamente dall’amperometro A e dal voltmetro V?

LAV

+ -

PILA

A. La tensione resta costante mentre la corrente si annulla B. Sia la tensione che la corrente si annullano C. La corrente resta la stessa mentre la tensione si annulla D. Sia la tensione che la corrente restano le stesse Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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21. Le lampadine rappresentate in figura sono identiche. Cosa puoi dire rispetto alla loro luminosità?

12

3

+ -

PILA

A. Brillano tutte uguali B. La 1 brilla più delle altre due C. La 2 e la 3 brillano più della 1 D. Brillano tutte diverse E. Altro Spiegazione........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Risposte al questionario del 23/5/2000 Curriculum MAT & FIS

Curriculum FIS

1. Da studente di scuola hai svolto attività di Laboratorio

mai 76%

61 %

qualche volta 20 %

37 %

in modo sistematico 4%

2 %

2. Nel tuo corso di laurea hai affrontato attività sperimentali

mai 80 %

28 %

in un corso (PED) 20%

18 %

In più corsi 0 %

54 %

3. Nell’insegnamento della Fisica ritieni l’attività

sperimentale

Necessaria60%

85 %

Consigliabile 40 %

15 %

da evitare 0 %

0 %

4. Che spazio daresti alla trattazione dei dati

sperimentali (‘teoria degli errori’)? nullo 0 %

0 %

moderato 92% 66 % elevato 8 % 34 %

5. Che tipo di abilità pensi che l’attività sperimentale sviluppi negli allievi? MAT & FIS (florilegio di risposte) Abitua all’agire tecnologico. Al di là delle abilità, aumenta l’interesse verso la materia. Facilita la comprensione di concetti fisici che altrimenti rimarrebbero astratti e quasi ‘privi di significato’. Curiosità, passione, maggiore interesse verso ciò che si studia sul testo. Sulle abilità non saprei dire perché credo che siano anche “soggettive”, ma penso sia utile a sviluppare una maggiore consapevolezza di quanto si studia e quindi dei fenomeni che generalmente viviamo senza capirne le motivazioni.

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Intuizione, manualità, confidenza con strumenti e unità di misura. “Saper vedere”, abilità manuali, capacità intuitive, saper fare stime, ordini di grandezza. Interesse e divertimento. FIS Praticità nell’utilizzare strumenti. Imparare ad osservare ragionando, estrapolare e/o verificare leggi da dati sperimentali. Concretizzazione di concetti astratti, capacità induttive: dall’esperimento alla teoria. Spirito critico e spirito di ricerca. Il saper cogliere il nesso esistente tra teoria e osservazione. Capacità negli allievi di rendersi conto dei fenomeni che osservano quotidianamente. Osservazione, collegamento autonomo tra realtà e studio della fisica, capacità di ragionamento basato su osservazioni personali. Riesce a far capire meglio cose che si conoscono teoricamente e a far ragionare e quindi porsi domande su cose che ancora non si conoscono. Capacità di osservare in modo fisico i fenomeni naturali. Curiosità, ingegno tecnico scientifico. Si fissano meglio i concetti e i risultati teorici spiegati a lezione, intuitività, dialogo e capacità di analisi, sintesi ed elaborazione. 6. Se ti trovassi in una scuola totalmente priva di laboratorio che faresti? eviterei esp. 4%

0 %

proporrei esp. a basso costo 92 %

95 %

Altro 4% 5 % Video/Realtà circostante

7. Se tu dovessi allestire ex novo un Laboratorio di Fisica

quali attrezzature ritieni necessarie? (elencane una decina in ordine di priorità)

non lo so 32 % 10 % alimentatori/generatori 2 vs. 8; banco ottico 2 vs. 6; bilancia/masse 4 vs. 17; bussola 1 vs. 0; calamite/magneti 3 vs. 6; calorimetro 5; carrello a cuscino d’aria 1 vs. 1; circuiti /componenti elettrici 3 vs. 15; cronometro 4 vs. 29; dinamometro 9 vs. 14; elettroforo 1 vs. 3; elettroscopio 7 vs. 17; laser 2 vs. 2; lenti 0 vs. 10; manometro/barometro 0 vs. 11; molle 1 vs. 6; ondoscopio 1 vs. 1; oscilloscopio 3 vs. 10; PC 0 vs. 10; pendolo 5 vs. 15; piano inclinato/carrelli 7 vs. 19; pompa da vuoto 0 vs. 1; prisma 1 vs. 19; termometro 7 vs. 31; tester 4 vs. 18; tubo di Newton 1 vs. 0 8. Se ci sono esperimenti che ritieni irrinunciabili in un corso di Fisica, elencane qualcuno: non so che dire 80%

15 %

MAT & FIS Biot Savart, campo magnetico di un filo percorso da corrente 1; calorimetria/termologia/calori specifici 2; circuiti elettrici 3; elettromagnetismo 1; elettroscopio 1; elettrostatica 1; interferenza di onde 1; legge di Hooke 1; misure di pressione 1; moto rettilineo 1; ottica 1; meccanica 1; misure e teoria degli errori 1;

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Dispense del corso PED, parte I, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.

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pendolo 3; piano inclinato 1; reticolo 1; riflessione, rifrazione 1; spinta Archimede 1. FIS Acustica 1; bilancia di Ampère 3; Biot Savart 4; Boyle, legge di 1; calorimetria/termologia/calori specifici 19; campo magnetico 1; cinematica 7; circuiti elettrici 7; circuiti RLC 2; composizione di forze 4; diffrazione 6; elettronica di base 1; Faraday Neumann Lenz/induzione magnetica 3; Fotografie con diverse sorgenti di luce 1; g, determinazione di (con pendolo) 8; induzione elettrostatica 7; interferenza 1; Joule/equivalente meccanico 3; legge di gravità (Cavendish?) 4; legge di Hooke 3; legge di Ohm 5; leggi di Maxwell 1; misure 4; misure di pressione 3; Oersted, esperienza di 1; ottica 4; passaggi di stato 1; pendolo 10; piano inclinato 13; principi dinamica, verifica 4; riflessione, rifrazione 2; scomposizione della luce bianca con il prisma 11; spettro righe 1; spinta Archimede 1; tubo di Newton 3; verifica conservazione energia meccanica 1; verifica conservazione qdm/urti 1.