SENSORI, SEGNALI E RUMORENotifica

Milano, 4 aprile 2011

Un gruppo di studenti di buona volontà del Politecnico di Milano ha creato e mantiene il sito webwww.polihelp.com, destinato a promuovere e facilitare tra gli studenti lo scambio di appunti e dati utili per la didattica.

Dall’Aprile 2011 il sito mette a disposizione appunti raccolti da uno studente alle lezioni dell’insegnamento “Sensori, Segnali e Rumore” da me tenuto ed io sono stato pregato di segnalare questa disponibilità agli studenti interessati.

Notifico che come docente dell’insegnamento “Sensori, Segnali e Rumore” non ho e non mi assumo alcuna responsabilità per il contenuto di questi appunti, che non hanno alcuna veste ufficiale per l’insegnamento.

Ciò premesso, ritengo che l’iniziativa di facilitare questi scambi tra studenti sia utile e segnalo il link per raggiungere gli appunti detti:

http://www.polihelp.com/materieLs/SENSORI_SEGNALI_E_RUMORE%5CSensori_segnali_rumore_2011.pdf

In fedeProf. Sergio Cova

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Prefazione

La crescita, lo sviluppo economico, la ricerca del di più inghiottono le nostre quotidianità. Individualismo, egoismo, solipsismo, tendenza all'isolamento inconsapevole, questo rischiamo di diventare finché la società (cioè noi stessi) ci porrà davanti priorità sbagliate, valori distorti, modelli antieroici di dodici interminabili fatiche senza riposo, cliché occidentali universalizzati...

Il lavoro, la produttività, un falso senso del dovere: siamo vittime inconsapevoli dei nostri stessi modelli, condannandoci ad ore ed ore di clausura, senza pensare che il senso della vita non è in noi stessi, che la felicità non necessariamente dipende dal reddito, che il sacrificio deve sempre e comunque portare ad un risultato tangibile per noi e, aggiungerei, soprattutto per chi ci è vicino. Ho visto miei amici e colleghi perdere il senso del sacrificio, diventare fabbriche di esami di cui dopo una settimana non ricordavano non solo formule e concetti, ma neanche il senso pratico. E la mia esperienza di studio nella laurea triennale mi ha condotto alla riflessione che il lavoro di squadra è l'unica soluzione possibile per:

• Evitare le clausure

• Ottimizzare i tempi

• Dare il giusto peso alle relazioni umane

Il terzo punto è il cuore della questione: siamo ingegneri per il mondo, per facilitare e ottimizzare le cose ai nostri compagni di vita su questo meraviglioso pianeta. Se non conosciamo, apprezziamo, supportiamo, amiamo gli altri uomini, abbiamo fallito in partenza la nostra missione.

Questo è il perché del mio (spero diventi il nostro) lavoro: ricopiare gli appunti presi a lezione non toglie moltissimo tempo e aiuta a fissare meglio i concetti nell'atto di rielaborarli e riesprimerli con diverse parole. Mi piacerebbe che questi appunti, totalmente non ufficiali per l'insegnamento e esenti da qualsiasi controllo da parte del prof. Cova, fossero il frutto di un lavoro comunitario, di stesura e di revisione, e spero possano accompagnarci come un fedele compagno nel percorso verso l'esame. Scrivetemi per qualsiasi consiglio, aggiunta, correzione (giuseppe.daucelli@gmail.com), e richiedetemi pure il file originale (formato .ODT) se volete apportare personalmente anche modifiche corpose.

“Happiness only real when shared”Chris McCandless

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Perché occuparsi di sensori, segnali e rumore

Nell'elettronica analogica, specie in quella di front-end, occorre della circuiteria specifica per l'acquisizione di informazioni in tempi piuttosto veloci.I sensori traducono segnali di diverso tipo (variabili fisiche) in segnali elettrici. La grandezza primaria rilevata non è mai, tuttavia, pulita e priva di fluttuazioni proprie.Ai sensori segue un'elettronica di testa che porta il segnale elettrico al resto della circuiteria di elaborazione. Qualsiasi pezzo del sistema aggiunge però il suo rumore. Ad un certo punto, però, lavorando correttamente, avremo fatto emergere il segnale in modo da rendere il rumore trascurabile. Riportiamo adesso alcuni esempi di sensori, ad esempio quelli resistivi.

Termosensori

Si utilizzano tipicamente, per realizzare termosensori, dei resistori in platino perché il platino presenta variazione lineare della resistività con la temperatura ( T ), dunque la legge con cui varia la resistenza è del tipo R= T R0 con ≃10−3 ° C−1 e T=T−T 0 e ancora

R0=R T 0 .Il segnale ottenuto iniettando una corrente costante I 0 è un segnale di tensione V= T V 0 con V=V −V 0 e V 0=I 0 R0 .

Perché il termometro funzioni, il sensore deve avere una dissipazione di potenza molto piccola,

pena un autoriscaldamento che falserebbe la misura. Ne consegue, poiché P=V 2

R che il segnale

ottenuto dovrà essere necessariamente piccolo (rispetto al rumore).

Strain gauge

Si tratta di sensori di dilatazione: la dilatazione di un resistore comporta l'aumento della sua

resistenza. La misura dello strain è del tipo = LL0

; l'unità di misura della ε (che è un numero

puro) è il microstrain (10-6). La variazione di resistenza per dilatazione è quantificabile con una relazione del tipo R=G R0 con G≃2 , coefficiente piezoresistivo. Il segnale misurabile sarà dunque V=G V0 .Continua a valere la necessità di non scaldare il sensore per le stesse ragioni presentate per i termosensori.

In definitiva, i sensori resistivi sono all'incirca dei generatori di segnale (a bassa impedenza):

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Le variazioni del segnale hanno un rate all'incirca nell'ordine dei Khz (al più), e questo ci fa restringere il campo circa la risposta in frequenza del preamplificatore in relazione al rumore che questo introdurrebbe: non occorrono amplificatori a banda larga, perché introdurrebbero una gran quantità di rumore spettrale.Per dare potenza al sensore ci sono due opportunità:

– DC bias, DC output– AC bias, AC output

Se la quantità fisica da misurare cambia lentamente (rispetto alla frequenza dell'eventuale AC bias), queste opportunità si traducono in:

– DC bias, tensione di uscita variabile lentamente– AC bias, AC output modulata in ampiezza

Sensor measurement setup

Ecco il tipico schema di misura che si adotta e il rumore presente nelle singole fasi:

Segnali e trasformata di Fourier

I segnali presentano, in teoria, variazioni di natura deterministica (descrivibile ad ogni istante da una funzione matematica, tipo x=1t ⋅e

−tT che è un impulso esponenziale). Ciascun segnale può

essere descritto nel dominio del tempo come sovrapposizione degli effetti di impulsi elementari t di ampiezza x t dt .

Nel dominio della frequenza questo stesso segnale si può invece vedere come somma di sinusoidi.

N.B.: si adopererà la trasformata di Fourier e non quella di Laplace perché Laplace risulta inutilizzabile in presenza di rumore. Tutte le funzioni di rilevanza rispetto ai nostri scopi sono trasformabili secondo Fourier.

Ecco le definizioni rispettivamente di antitrasformata e trasformata di Fourier:

x t =∫−∞

∞

X f e j2 f t df

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Sensor Preamp(frontend) Filtering MeasureSignal

NoiseSignificant

noise of sensor

Significant noise of preamp

Negligible noise of filtering circuit

Significant noise of

meter circuit

X ( f )=∫−∞

+∞

x(t)e− j 2π f t dt

Ci sono particolari segnali (sinusoidi pure o in generale segnali periodici) che presentano componenti spettrali definite (non infinitesime), a delta di Dirac. In particolare, poi, se il segnale x(t) è reale, X(f) presenta delle proprietà importanti:

Simmetria Hermitiana: X −f =X* f che implica dunque ∣X −f ∣=∣X f ∣ e arg [X −f ]=−arg [X f ] .

Ancora, si ha che:

x 0=∫−∞

∞

X f df

X 0=∫−∞

∞

x t dt

Si vede inoltre che la larghezza di banda e l'estensione temporale hanno prodotto costante (banda larga → segnale veloce nel tempo, ecc...).

In presenza di sistemi lineari e tempo – costanti (a parametri fissi nel tempo), è possibile la funzione di trasferimento del sistema con stretta relazione con la risposta all'impulso del sistema stesso:

y t =x ∗h=∫−∞

∞

x ht−d

Ciò significa che il segnale in uscita dal sistema è la convoluzione del segnale in ingresso con la funzione di δ-response del sistema. Questo vale perché il segnale x(t) è un segnale tempo – continuo e dunque esprimibile come sovrapposizione di tante piccole delta di ampiezza opportuna. Graficamente è possibile avere un'idea di com'è fatto y(t) con il seguente metodo:

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h(α)x(α) y(t)

Segnali di energia

Si definisce energia di un segnale x(t) la quantità:

E= limT∞∫−T

T

x2d=∫−∞

∞

x2d

Si può dimostrare anche che E=∫−∞

∞

x2d=∫−∞

∞

∣X f 2∣df

Un segnale si definisce “di energia” se la sua energia è limitata.

Funzioni di autocorrelazione e cross – correlazione (per segnali di tipo energia)

K xx = limT∞∫−T

T

x x d=∫−∞

∞

x x d

Si tratta di una misura di quanto un segnale continui, durante il suo svolgimento temporale, a “somigliare a sé stesso”.

N.B.: K xx0=E , e inoltre la funzione di autocorrelazione è sempre simmetrica

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Va da sé che questo tipo di misura può essere esteso al caso in cui si voglia capire quanto invece due segnali si assomiglino. In tal caso si definisce la funzione di cross – correlazione:

K xy = limT∞∫−T

T

x y d =∫−∞

∞

x y d

Un'espressione alternativa della funzione di mutua correlazione da cui si possono trarre interessanti risultati è la seguente: K xy=x −∗ y . Questo ci fa capire che la trasformata delle funzioni di mutua e autocorrelazione è il prodotto delle trasformate (nel caso dell'autocorrelazione è il modulo quadro di X(f)).

Spettro di energia

Si definisce spettro di energia di x(t) la quantità S x=∣X f ∣2 .

La sua definizione alternativa si basa sulla funzione di autocorrelazione e sul fatto che la sua trasformata è il modulo quadro della trasformata del segnale di partenza:

S x=F[K xx ]=F [ x −∗x ]=X −f X f =X *f X f =∣X f ∣2

Proprietà delle funzioni di correlazione

Autocorrelazione:– Kxx è sempre simmetrica: K xx =Kxx − ;– Kxx ha il massimo positivo e sempre in τ = 0: K xx 0∣K xx ∣ con Kxx(0) > 0;

Cross – correlazione (x(y) e y(t) sono due diversi segnali di energia):– Kxy non è simmetrica, ma Kxy(τ) = Kyx(-τ);– Il massimo di Kxy non è necessariamente positivo né nello zero;

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– In ogni caso il massimo assoluto è limitato da.

– Media aritmetica: ∣K xy ∣12[K xx 0K yy 0] ;

– Media geometrica: ∣K xy ∣K xx 0K yy 0 ;

Autocorrelazione di somme di segnali:

Se si ha un segnale del tipo z(t) = x(t) + y(t), la sua autocorrelazione è calcolabile in funzione delle autocorrelazioni di x(t) e y(t) e delle loro cross – correlazioni:

K zz =∫−∞

∞

z z d=∫−∞

∞

[x y ][ x y ]d =

= K xx K xy K yx K yy

Con questo risultato risulta comodo calcolare lo spettro di energia di z(t) come somma dei due spettri (reali) di x(t) e y(t) e dei due cross – spettri (complessi e coniugati):

S zf =F [K zz ]=∣Z f ∣2=∣X f ∣2X*f Y f X f Y *f ∣Y f ∣2

In definitiva: S zf =Sx f Sxy f S yx f S y f .

Segnali di potenza

Si definisce potenza di un segnale la quantità:

P= limT ∞∫−T

Tx22T

d

Un segnale si definisce segnale “di potenza” se la sua potenza è limitata.

N.B.: Per questo integrale non è consentito utilizzare il teorema di Parseval

Consideriamo il segnale xT(α) o x troncato tale che:

xT(α) = x(α) per |α| < TxT(α) = 0 per |α| > T

In questa maniera sarà possibile applicare il teorema di Parseval e esprimere la potenza del segnale x(t) in funzione della sua trasformata X(f).

P= limT ∞∫−∞

∞xT

2 2T

d= limT∞∫−∞

∞∣XT f

2∣2T

df=∫−∞

∞

limT∞

∣XT f 2∣

2Tdf

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Spettro di potenza

Analogamente al caso dei segnali di energia, per i segnali di potenza si definisce lo spettro di potenza nel seguente modo:

S x f =limT∞

∣XT f ∣2

2T

Si può dunque ridefinire la potenza in funzione dello spettro di potenza:

P=∫−∞

∞

Sx f df

Autocorrelazione di tipo potenza

K xx = limT∞∫−T

Tx x

2Td= lim

T∞∫−∞

∞xT xT

2Td

N.B.: per T finito ∫−T

T

x x d≠∫−∞

∞

xT xT d . Tuttavia per T che tende

all'infinito questa uguaglianza risulta valida.

Passando al dominio di Fourier e tenendo conto dell'ultima considerazione, ridefiniamo lo spettro di potenza in funzione dell'autocorrelazione:

S x f =F [K xx ]

In analogia al caso dei segnali di energia, per cui l'energia era calcolabile come la funzione di autocorrelazione calcolata in τ = 0, per i segnali di potenza sarà la potenza ad essere pari a Kxx(0).

P=K xx 0=∫−∞

∞

Sx f df

Cross – correlazione di tipo potenza

K xy =limT∞∫−T

Tx y

2Td

E anche in questo caso è possibile considerare i segnali troncati.

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Proprietà delle funzioni di correlazione per segnali di potenza

• Kxx è simmetrica rispetto all'origine;• Kxx ha massimo in τ = 0;• Kxy non è simmetrica ma Kxy(τ) = Kyx(-τ)

Segnali tronchi

Qualsiasi segnale reale non è mai esteso all'infinito: sarà dunque un segnale tronco. Il risultato assomiglia ad una finestratura rettangolare nel dominio del tempo:

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In termini spettrali, la moltiplicazione tra segnali nel dominio del tempo si traduce in una convoluzione tra le loro trasformate di Fourier:

La convoluzione delle forme presentate in figura è evidentemente il sinc che rappresenta R(f) centrato negli impulsi che rappresentano X(f). Ne deduciamo che per ottenere un segnale (troncato) quanto più fedele al segnale idealmente illimitato nel tempo, le code dei due sinc non devono interferire in modo significativo.Questo effetto si ottiene considerando una finestratura temporale sufficientemente grande (idealmente T→∞).

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Rumore

Il rumore è un segnale non deterministico e indesiderato, che pertanto non porta alcuna informazione e dev'essere in qualche modo filtrato.In figura vengono mostrate tre forme generate esattamente dallo stesso meccanismo, ma che, a parità di istante, presentano valori diversi. Esempi di rumore possono essere:

• Moto casuale di cariche in una resistenza a causa della temperatura: la corrente media che attraversa la resistenza è nulla poiché mediamente tante sono le cariche che si spostano in un verso quanto quelle che si spostano nell'altro;

• Rumore shot in una giunzione: dovuto al forte campo elettrico a cui è sottoposta la giunzione, determina una corrente mediamente non nulla;

Se si considera il valore istantaneo in tutti i sistemi rumorosi (v. figura precedente), abbiamo un insieme di valori tra loro differenti, ma il meccanismo di generazione è sempre il medesimo. Per capire cosa succede occorre considerare una singola forma d'onda isolatamente:

Misureremo dunque N valori (su N forme d'onda) tutti all'istante t1 in unità Δx. I valori misurati si addenseranno come mostrato in figura:

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La curva in blu si ottiene quando, da un insieme finito di prove su intervalli Δx finiti si passa a:

• xdx ;• N∞ ;

Infatti definiamo la frequenza statistica come N k

N= f k . Se xdx ,

N k dN k=nxkdx , e pertanto f kdf k=dN k

N=

nxk N

dx .

E infine, se N∞ , df k=nxk

Ndx=p xdx , dove p(x) è la densità di probabilità.

Ci sono anche casi in cui la densità di probabilità è più o meno fluttuante in certi intervalli di tempo (varia rispetto, ad esempio, a quella a riposo). Un esempio è il caso dello shot noise nelle giunzioni, in cui una maggiore corrente di segnale implica più rumore. Questi sono casi di rumore non stazionario.N.B.: non è vero che la densità di probabilità è funzione di due variabili (x,t). Piuttosto, si dovrebbe parlare di pt1

x ;

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t1 t2τ

Se campioniamo a tempi molto vicini ( d ), i valori trovati dovranno necessariamente essere piuttosto simili tra loro. Ma allontanandosi, la parentela tra i valori trovati si allenta, finché questi non diventano indipendenti. Questo significa che la descrizione probabilistica d'insieme non è del tutto esauriente.

Consideriamo, poi, l'offset: gli offset sono statistici e possono avere la medesima distribuzione del rumore, ma in due istanti diversi questi presentano sempre lo stesso valore, cosa che non si verifica per il rumore. Non è dunque vero che, fornendo la p(x) per qualunque tempo, questa descrive il processo, neanche nel caso stazionario. Occorrerà definire, accanto alla densità di probabilità marginale sopra definita, quella congiunta.

Medie temporali e d'insieme

Come messo in evidenza dalla figura, è possibile calcolare due tipi di medie:

• Media temporale: < x >=limT ∞∫−T

Tx t 2T

dt ;

• Media d'insieme: x=∫−∞

∞

x p x dx ;

La media che, per quanto riguarda il rumore, ha più significato, è quella d'insieme.

N.B.: quando si vuole caratterizzare un amplificatore in laboratorio, si è costretti ad eseguire delle osservazioni nel tempo. In molti casi il rumore è un processo ergodico, e pertanto l'approssimazione x = <x> è ben posta.

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<x> media temporale

x media d'insieme

Piccolo quadro riassuntivo della descrizione probabilistica del rumore

• Probabilità marginale (marginal probability): pm(x) = pm(x,t1) per ogni istante t1;◦ Caso stazionario: pm = pm(x);

• Probabilità congiunta (joint probability): pj(x1,x2) = pj(x1,x2;t1,t2) = pj(x1,x2;t1,t1+τ) per ogni t1 e per ogni t2 = t1 + τ;◦ Caso stazionario: pj = pj(x1,x2;τ) (cade la dipendenza da t1);

Momenti della distribuzione

La determinazione delle distribuzioni di probabilità può risultare spesso molto difficoltosa. In fondo, però, ai fini della caratterizzazione del rumore di un circuito, è sufficiente capire quanto dispersi siano i valori assunti dal rumore stesso. Lo strumento matematico che aiuta in questo senso è quello dei momenti della distribuzione.

Data la distribuzione p(x), il momento di ordine n di p(x) è così definito:

mn=∫−∞

∞

xn p x dx

Elenchiamo i momenti più rilevanti e il significato che assumono ai fini della caratterizzazione statistica del rumore:

• Momento di ordine 0 (normalizzazione): è la normalizzazione della distribuzione,

semplicemente ricorda che, come è naturale che sia, ∫−∞

∞

p x dx=1 ;

• Momento di ordine 1 (valore medio): tipicamente per il rumore questo momento ha valore nullo (si noti che nel caso del rumore shot il momento di ordine 1 valuta le fluttuazioni medie intorno al valor medio del rumore stesso;

• Momento di ordine 2 (valore quadratico medio): a questo momento danno contributo identico gli scarti positivi e quelli negativi, dunque fornisce un'idea generale di come siano sparpagliati i dati;

Sarebbe possibile andare ancora avanti (ad esempio il momento di ordine 3, a cui danno contributi di segno opposto gli scarti positivi e negativi indica la “direzione” verso la quale la distribuzione è “skewed”, come fosse un parametro di simmetria/asimmetria), ma ai nostri fini è sufficiente arrivare fino al momento di ordine 2, e non occorre andare oltre.

E' possibile, per estensione, definire i momenti delle probabilità congiunte:

m jk=∫−∞

∞

x1j x2

k p x1, x2dx1 dx2

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Questa grandezza fornisce una misura di com'è fatta la distribuzione delle due variabili e dà un'idea di quanto queste siano tra loro collegate. Il momento di primo ordine di probabilità congiunta per x1

e x2 è ad esempio:

m11= x1 x2=∫−∞

∞

x1 x2 px1, x2dx1 dx2

Due variabili statistiche sono indipendenti se la probabilità che si verifichi un certo evento sulla prima non dipende dalla probabilità che si verifichi un evento sull'altra. Vale dunque la “regola del prodotto” delle probabilità:

px1, x2 p x1 px2

E se si verifica anche x1 x2 x1 x2 , le due variabili sono incorrelate.

Esempio: consideriamo le variabili statistiche x e y. Viste separatamente, abbiamo le seguenti grandezze:

• x x2 , pari a x2 se x è a media nulla;

• y y2 , pari a y2 se y è a media nulla;

Ora consideriamo la variabile somma x + y:

• x y x y2= x22xy y2=x22 xy y2= x22 xy y

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Ne deduciamo che la varianza della somma di due variabili è pari alla somma delle varianze se la media del prodotto è nulla ( 2 xy=0 ). In tal caso avremo due variabili incorrelate. L'incorrelazione è di grande aiuto nello sviluppo dei calcoli sul rumore.

N.B.: indipendenza → incorrelazione perché, se due variabili sono indipendenti, si ha che

xy=∫ xy p x , ydxdy=∫ xy p x p y dxdy=0 .

La descrizione al livello di momento di 2° ordine è più facile da usare: se si è in grado di determinarlo per ogni istante e per ogni coppia di istanti, si ha una funzione meno dettagliata delle distribuzioni, ma più compatta, e funzione di τ. Per τ = 0 fornisce il valore quadratico medio, mentre scostandosi dallo 0 ci si aspetta che la funzione diminuisca (poiché diminuisce la “parentela” tra i valori della variabile all'aumentare della distanza di tempo che intercorre tra un campione e l'altro). Caratteristica del rumore studiato è la velocità con cui la funzione diminuisce.Se si considerano dunque due campioni a distanza temporale τ, la varianza della loro somma è la somma delle varianze a patto che τ sia abbastanza grande.

In definitiva, ai fini dello studio del rumore, è importante semplicemente che si abbia l'autocorrelazione del rumore: R xx t1, t 1= x t 1x t 1 . Questa può essere calcolata in casi:

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• Stazionari: R xxt1, t 1=R xx ;• Non stazionari: R xx t1, t 1 ;

In entrambi i casi a τ = 0 corrisponde il valore quadratico medio di x: R xx t1, t 1= x2 per [=0] .

Naturalmente, ai nostri fini, sarebbe utile poter applicare queste considerazioni all'analisi nel dominio della frequenza, ma prima cerchiamo di chiarire un concetto fondamentale, quello di “rumore bianco”.

Rumore bianco

La sua proprietà caratteristica è che due campioni, comunque prelevati, sono completamente incorrelati. La sua autocorrelazione è una funzione δ di Dirac, e pertanto la sua densità spettrale risulta uniforme:

• Stazionario: Rxx(τ) = S δ(τ), con S costante;• Non stazionario: Rxx(τ) = S(τ) δ(τ), con S variabile con τ;

Descrizione del rumore nel dominio di Fourier

Ricordiamo che, se dovessimo accomunare il rumore ad una famiglia di segnali, di certo sceglieremmo quelli di potenza, poiché il rumore, come segnale idealmente illimitato nel tempo, ha energia tendente a divergere. Ha senso dunque calcolarne la potenza, applicando il teorema di Parseval per passare dal dominio del tempo a quello di Fourier.

P=limT ∞

12T∫

−∞

∞

xT2 t dt=lim

T ∞

12T∫

−∞

∞

∣XT f 2∣df=∫

−∞

∞

limT∞

12T∣XT f 2∣df=∫

−∞

∞

S f df

La quantità nell'ultimo integrale è S(f), ma occorre ridefinire tale funzione nel caso del rumore, che non presenta forme d'onda univoche ma statistiche. La cosa più ovvia da fare è calcolare la media d'insieme della potenza:

P=limT ∞

12T∫

−∞

∞

xT2 t dt=lim

T ∞

12T∫

−∞

∞

xT2 t dt= lim

T ∞∫−∞

∞∣XT f

2∣2T

df

Ciò implica che:

S x f =F [K xx]=F [

limT ∞∫−∞

∞

xT xT d

2T]=F [ lim

T∞

K xx ,T 2T

]=limT∞

F [K xx , T ]2T

=

= limT∞

∣XT f 2∣

2T

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Capiamo che la media temporale dell'autocorrelazione è in realtà la media d'insieme di Kxx(τ):

K xx =<R xxt ,t>

E dunque, in definitiva,

S x f =F [K xx ]=F [<R xxt ,t>]

In più, in condizioni stazionarie, Rxx non dipende da t, e pertanto potremo trascurare anche l'operazione di media temporale:

S x f =F [R xx ]

Shot current noise (rumore shot)

E' noto che la densità spettrale del rumore shot è 2qI, dove I è la corrente “di segnale” che scorre nel diodo e q è la carica dell'elettrone (pulse charge). Cerchiamo di risalire a questa espressione.

Sia h(t) la forma dell'impulso normalizzata (ad area unitaria, tale cioè che ∫−∞

∞

ht dt=1 ).

L'impulso di corrente shot sarà dunque così fatto:

Il rumore shot è una squenza casuale di impulsi elementari tra loro indipendenti. La probabilità che un impulso parta tra l'istante t e l'istante t+dt è data da p dt.

N.B.: la probabilità p è costante perché indipendente dalla presenza di altri impulsi.

Il parametro p corrisponde anche al tasso medio di impulsi nell'unità di tempo. Ciò significa che la corrente media di rumore shot è esattamente pq. Verifichiamolo:

Un impulso che parte in un qualsiasi istante α porta, all'istante t, una corrente q h(α). La probabilità

che un impulso parta in α è p dα. Dunque i t =I=∫0

∞

q h p d =pq∫0

∞

hd =pq , come

volevasi dimostrare.

Cerchiamo dunque il valore quadratico medio della corrente. Per fare ciò dovremmo contemplare la possibilità che infiniti impulsi si verifichino congiuntamente in tanti istanti diversi, e valutare un gran numero di prodotti incrociati dovuti al quadrato. Tuttavia ci limiteremo al caso di una coppia di impulsi che potrebbero verificarsi negli istanti α e β (senza sbagliare in modo

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e(t) = q h(t)

considerevole perché in fondo la probabilità congiunta di tre o più impulsi risulta trascurabile rispetto a quella di due di essi):

i2t =[q hq h ]2=q2h2 q2 h2 q h q h q h q h

Adesso, fatte queste considerazioni, calcoliamo la media d'insieme di i2(t).

i2t =∫0

∞

q2h2 p d ∫0

∞

∫0

∞

q h pd q h pd =

pq2∫0

∞

h2d pq∫0

∞

h pd ⋅pq∫0

∞

h pd =pq2∫0

∞

h2d pq2 =

pq2∫0

∞

h2d i t 2=pq2∫0

∞

h2d I 2

Il rumore è la differenza tra la corrente totale e quella “di segnale”, che è in sostanza il valore medio di quella totale:

nit =it −i t

Dunque calcoliamo il valore quadratico medio di questa quantità:

ni2=i2t −i t 2=i2t−I 2=pq2∫

0

∞

h2d =qI∫0

∞

h2d =qI∫−∞

∞

h2d

Possiamo dunque applicare il teorema di Parseval ottenendo:

ni2=qI∫

−∞

∞

∣H f 2f ∣df

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La probabilità che questi termini siano non nulli è la probabilità che un impulso parta in α (β), e cioè pdα (pdβ).

La probabilità che questi termini siano non nulli è la probabilità che partano due impulsi (indipendenti) in α e in β, e cioè pdα • pdβ.

Tutte le possibilità di impulso singolo

Tutte le possibilità di impulso di coppia

pq = IVale perché h(α) = 0 per α<0

Pertanto S i f =qI∣H f 2∣ e ni2=∫

−∞

∞

Si f df . Il 2 nella formula nota è dovuto al fatto che

calcolare questo integrale è come calcolare il doppio dell'integrale della sola parte positiva di Si(f) (data la sua simmetria). Dunque, per capirci, considerando un'analisi su tempi molto più grandi della larghezza di Rxx(τ), per cui si può porre R xx ≃ :

• Si(f) = 2qI (spettro unilatero);• Si(f) = qI (spettro bilatero);

La supposizione di trovarsi in presenza di rumore bianco vale a patto che si scelga di lavorare su tempi (di segnale) molto più lunghi del tempo di attraversamento della giunzione (che è approssimativamente il tempo nel quale gli impulsi di corrente shot si estinguono).

N.B.: un rumore qualunque può essere considerato generato da un meccanismo di questo tipo.

Rumore Johnson – Nyquist (thermal noise) e sistemi poissoniani a media nulla

Processi di rumore di questo tipo si verificano a causa della temperatura di conduttori utilizzati nella regione ohmica (come resistori). La differenza sostanziale rispetto al caso del rumore shot consiste nel fatto che gli impulsi di corrente possono essere registrati in entrambe le direzioni. Questo accade poiché le correnti di agitazione termica sono dovute agli urti tra portatori.Per valutare i t si dovranno prendere in considerazione tanto i contributi degli impulsi “positivi” (ad esempio, cariche che si avvicinano ad un elettrodo) quanto quelli degli impulsi “negativi” (cariche che se ne allontanano:

i t =P+∫0

∞

q h p d −P-∫0

∞

q h pd =0

N.B.: la concentrazione di portatori in un conduttore è di diversi ordini di grandezza più alta della concentrazione di portatori in un semiconduttore (siamo, qui, nell'ordine di 1022 carriers/cm3). Mediamente tra un urto e il successivo intercorrono circa 10-14 secondi). La durata media dello shot di corrente termica è dunque molto inferiore di quella dello shot in giunzione.

N.B.: in assenza di tensione applicata (e quindi di corrente di “segnale” nel resistore), il rumore termico è comunque presente, perché (in regime ohmico!) indipendente dalla corrente di segnale. Il campo elettrico eventualmente applicato, perché si continui a lavorare in regime ohmico, deve infatti perturbare non di molto questi equilibri.

E' possibile valutare il rumore Johnson – Nyquist in termini di corrente e di tensione. Dovremo considerare che il rumore aumenta in generale all'aumentare della temperatura. Inoltre, il rumore in corrente aumenterà all'aumentare della conduttività del dispositivo, mentre quello in tensione aumenterà con la resistenza del dispositivo stesso:

20

• Current noise: pq2 = 2KTG;◦ Rii(τ) = pq2khh(τ) = 2KTG khh(τ);◦ Si(f) = 2KTG |H(f)|2 (dove si può porre khh(τ) ≈ δ(τ), Si = costante = 2KTG), densità

bilatera;• Voltage noise: pq2 = 2KTR;

◦ Rvv(τ) = pq2khh(τ) = 2KTR khh(τ);◦ Sv(f) = 2KTR |H(f)|2 (dove si può porre khh(τ) ≈ δ(τ), Sv = costante = 2KTR), densità

bilatera;

N.B.: le approssimazioni di spettro costante valgono se si lavora su bandwidths inferiori a circa 100 Thz, condizione verificata nella stragrande maggioranza dei casi pratici di sensoristica. In tal caso è valida l'approssimazione di rumore bianco.

Filtraggio

Il filtraggio aiuta a migliorare il rapporto tra la parte utile del segnale elettrico (quella che porta l'informazione) e quella rumorosa.

• Filtraggio lineare → vale il principio di sovrapposizione degli effetti;

Il filtraggio lineare è in sostanza una somma pesata dei valori dell'ingresso x(t) considerato in diversi istanti di tempo, con pesi α indipendenti da x(t), ma che possono essere dipendenti dal tempo di misura.

Filtraggio tempo – discreto

E' il tipo di filtraggio che avviene nei DSP:

y (tm)=w 1 x (α1)+w2 x(α2)+w3 x (α3)+...+ xn(αn)=∑k=0

n

wk x(αk )=∑k=0

n

wk αk

21

FILTERINGMETER

Acquisition of yvalue at time tm

Signalx(t)

Filtered y(t)

22

α1 α2 α3 α4 αn

...

α

α1 α2 α3 α4 αn

...

α

INGRESSO [x(α)]

WEIGHTS [w(α)]

α1 α2 α3 α4 αn

...

α

OUTPUT [y(tm)]

tm

Filtraggio tempo – continuo

Nel filtraggio tempo – continuo, w diventa una funzione continua del tempo. Viene detta funzione peso o funzione memoria. Ci chiediamo se sia possibile rilevare sperimentalmente tale funzione. Un modo, efficace anche “concettualmente” è stimolare il sistema con un impulso. Diamo un'occhiata a cosa accadrebbe mandando ad esempio due impulsi (si noti che, pur disegnati sullo stesso grafico, gli impulsi si intendono riferiti a due sistemi diversi, o comunque intesi in modo che non ci sia sovrapposizione nelle uscite):

Abbiamo riportato il caso di un semplice RC passabasso: è molto evidente in questo caso il concetto di “memoria”, poiché, a parità di istante di misura della funzione peso, il peso di un evento più lontano nel tempo (impulso 1) è più basso di quello di un evento più “recente” (impulso 2).E' anche evidente che la funzione peso ha la stessa forma della risposta alla delta, ma è ribaltata e centrata nell'istante tm. Dunque:

y (tm)=∫−∞

+∞

wm(α) x (α)d α

23

α

α

INGRESSO [δ]

OUTPUT [y(tm)]

1 2

Ma y (tm)=x (α)∗h(α)=∫−∞

+∞

x (α)h(tm−α)d α , quando ha senso parlare di risposta alla delta e

funzione di trasferimento, in caso cioè di filtri lineari a parametri costanti. In tal caso

w (α)=h(t m−α)

Se il filtro risulta invece a parametri non costanti, non è vero che diventa non lineare. Infatti le variazioni dei parametri non sono imposte dal segnale in ingresso (solo in questo caso si avrebbe un filtro non lineare).

In ogni caso è utile anche in questo frangente introdurre un metodo che ci consenta di passare al dominio di Fourier. In particolare dovremo introdurre un'estensione del teorema di Parseval:

∫−∞

+∞

a( t)b(t)dt=∫−∞

+∞

A( f )B*( f )df =∫−∞

+∞

A( f )B (− f )df

Nel nostro caso dunque si avrà y (tm)=∫−∞

+∞

wm(α) x (α)d α=∫−∞

+∞

X (− f )W m( f ) .

Consideriamo un caso semplice di filtro a parametri variabili: un RC commutato. I parametri commutati sono un caso particolarmente comodo di parametri variabili poiché possono assumere un numero discreto di valori, ed è facile valutare ciò che accade in corrispondenza di ognuno di essi.

Bisogna capire cosa accade alla funzione peso quando l'interruttore è aperto e quando questo è chiuso. Per farlo inviamo in ingresso un impulso e valutiamo la funzione peso.

24

N.B.: la funzione peso esiste sempre, anche per sistemi a parametri variabili (in effetti, matematicamente, è la funzione di Green dell'equazione lineare che descrive il filtro).

Quando, dunque, lo switch è chiuso, il comportamento del filtro è regolare, e la funzione peso è calcolabile nel modo visto in precedenza. Quando invece lo switch è aperto, il circuito va in stato di hold, e pertanto il valore della tensione letta ai capi del condensatore sarà costante fintantoché lo switch resta aperto. Ciò significa che i valori dell'ingresso letti in queste circostanze avranno peso nullo. Quando lo switch si richiude, il condensatore riprende a scaricarsi, e pertanto l'uscita continuerà a calare esponenzialmente riprendendo esattamente dal valore che aveva assunto prima dell'apertura.

Ed ecco dunque la forma della funzione peso, che è nulla, come già detto, dove l'interruttore è aperto.

25

N.B.: se l'impulso arriva quando l'interruttore è aperto, la risposta sarà nulla ovunque e dunque lo sarà anche la funzione peso.Notare anche che se la costante di tempo dell'RC è abbastanza grande (molto più grande del tempo di chiusura dell'interruttore), il dispositivo si comporta da gated integrator, poiché restituisce in uscita esattamente il valore dell'area dell'ingresso (poiché non ha abbastanza tempo per decadere).

Rumore a valle di un filtro

In figura x(α) è il rumore, w(α) è la funzione peso del nostro filtro e y(t) il segnale di uscita dal filtro in presenza del solo rumore, di cui vogliamo ricavare quante più informazioni possibile. Come sempre in presenza di rumore, adotteremo una trattazione statistica, ritenendo nota Rxx(α,α+γ) e cercando dunque di ricavare Ryy(t,t+τ). La quantità che, in sostanza, conosciamo, è

x (α) x (α+γ) . A valle del filtro si avrà:

y (t) y (t+τ)=∫−∞

+∞

x (α)wt (α)d α

⏟y(t)

∫−∞

+∞

x(β)wt+τ (β)d β

⏟y (t+τ)

=∫−∞

+∞

∫−∞

+∞

x (α) x (β)w t(α)w t+τ(β)d α d β=

=∫−∞

−∞

∫−∞

+∞

x (α) x (β)w t(α)w t+τ(β)d α d β=∫−∞

−∞

∫−∞

+∞

Rxx(α ,β)w t(α)w t+τ(β)d α d β

E' sufficiente tornare alla variabile γ per ottenere finalmente l'autocorrelazione di y(t):

R yy( t ,t+γ)=∫−∞

+∞

∫−∞

+∞

R xx(α ,α+γ)wt (α)wt+τ (α+γ)d αd γ

Dunque il valore quadratico medio del rumore è:

y2(t)=∫−∞

+∞

∫−∞

+∞

Rxx(α ,α+γ)wt (α)wt (α+γ)dα d γ

26

w(α)x(α) y(t)

Ponendo β = α + γ osserviamo che questa quantità è esattamente Rxx(α,β)

Sono quantità deterministiche, non ha senso mediarle!

Se il rumore è stazionario, cade la dipendenza di Rxx dall'istante α:

y2(t)=∫−∞

+∞

∫−∞

+∞

Rxx(γ)w t(α)w t(α+γ)d αd γ=∫−∞

+∞

R xx(γ)d γ[∫−∞

+∞

wt(α)w(α+γ)⏟k ww(γ)

d α]=

=∫−∞

+∞

Rxx (γ)k ww( γ)d γ

Quest'ultimo risultato ci consente l'estensione al dominio di Fourier grazie al teorema di Parseval:

y2=∫−∞

+∞

S x( f )∣W ( f )∣2 df

N.B.: tutte le funzioni nel dominio della frequenza in gioco sono pari.

Se il rumore è stazionario, è intuitivo comprendere che un filtro a parametri costanti produrrà in uscita del rumore stazionario. Un filtro a parametri non costanti, invece, produrrà rumore non stazionario anche se quello in ingresso è stazionario.

In caso di rumore stazionario, Rxx sarà funzione di una sola variabile, che chiamiamo γ:

R yy( t1, t 1+τ)=∫−∞

+∞

∫−∞

+∞

Rxx(γ)w1(α)w2(α , γ)d αd γ=∫−∞

+∞

R xx(γ)d γ∫−∞

+∞

w1(α)w2(α+γ)d α

k 12w(γ)=∫−∞

+∞

w1(α)w2(α+γ)d α

Pertanto potremo scrivere che l'autocorrelazione del rumore in uscita è l'integrale del prodotto di Rxx

per la cross – correlazione delle funzioni peso: R yy( t1, t 1+τ)=∫−∞

+∞

R xx(γ)k 12w(γ)d γ .

Passiamo adesso al dominio della frequenza e calcoliamo il valore quadratico medio del rumore in uscita, per qualsiasi filtro lineare (a parametri costanti o non, indifferentemente):

27

Le funzioni w1 e w2 si possono classificare come “di tipo energia”, pertanto l'ultimo integrale è una cross – correlazione di tipo energia

y2(t 1)=∫−∞

+∞

R xx(γ)k 11w(γ)d γ , e per il teorema di Parseval: y2(t 1)=∫−∞

+∞

S x ( f )∣W 1( f )∣2 df ,

ricordando che la trasformata della funzione di autocorrelazione è il modulo quadro della trasformata della funzione stessa.

E' di particolare rilevanza considerare il caso di filtro lineare a parametri costanti in presenza di rumore non stazionario in ingresso:

R yy( t1, t 2)=∫−∞

+∞

∫−∞

+∞

Rxx(α ,β)w1(α)w2(β)d α d β=∫−∞

+∞

∫−∞

+∞

R xx(α ,β)h (t 1−α)h(t 2−β)d α d β

Se il rumore è stazionario, l'espressione si semplifica ulteriormente:

R yy( t1, t 2)=R yy(t 1+τ)=Rxx(α ,β)∗h (β)∗h(α)

Poniamo γ=β−α , ottenendo dunque { d β=d γd α=−d γ . Dunque:

R yy(τ )=R xx(γ)∗h(γ)∗h(−γ)=Rxx(γ)∗k hh(γ)

y2=∫−∞

+∞

R xx(γ)k hh(γ)d γ→∫−∞

+∞

S x( f )∣H ( f )∣2 d γ

Dunque la densità spettrale di rumore in uscita dal filtro è S y ( f )=S x( f )∣H ( f )∣2

Ripetiamo le stesse considerazioni in presenza di rumore bianco. La funzione di autocorrelazione del rumore bianco è una delta di Dirac di area:

• Costante nel tempo ( Sbδ(γ) ) se il rumore è stazionario;

• Variabile nel tempo ( Sb(α)δ(γ) ) se il rumore è non stazionario;

Usiamo l'espressione generale (non stazionaria) per calcolare l'autocorrelazione a valle del filtro:

R yy( t1, t1+τ)=∫−∞

+∞

∫−∞

+∞

S b(α)δ(γ)w1(α)w2(α+γ)d αd γ=∫−∞

+∞

S b(α)w1(α)w2(α)d α

Perché l'integrale del prodotto di una delta per un'altra funzione è pari alla funzione stessa calcolata dove guizza la delta. Allo stesso modo:

28

y2(t 1)=∫−∞

+∞

Sb(α)w12(α)d α

Se il rumore bianco è anche stazionario, Sb è costante, e pertanto può esser portata fuori dagli integrali. Ne risulta che:

R yy( t1, t1+τ)=Sb∫−∞

+∞

w1(α)w2(α)d α=S b k12w(0)

y2(t 1)=S b k11w(0)[= Ryy(t 1, t1)]=Sb∫−∞

+∞

w12(α)d α=S b∫

−∞

+∞

∣W 1( f )∣2 df

Nel caso particolare del filtro a parametri costanti, w (t)=h(t ) , e dunque k 11w diventa l'autocorrelazione della risposta alla δ, nel dominio del tempo, e ∣W 1( f )∣2=∣H ( f )∣2 nel dominio della frequenza.

29

Teorema di Parseval

Caratteristiche fondamentali dei filtri lineari a parametri costanti

• Un filtro lineare a parametri costanti è completamente caratterizzato dalla sua risposta alla δ nel dominio del tempo e dalla sua funzione di trasferimento nel dominio della frequenza;

• La funzione peso per l'acquisizione al tempo tm è semplicemente wm(α) = h(tm – α);

• ∣W m( f )∣2=∣H ( f )∣2 ;

• I filtri lineari a parametri costanti posti in cascata sono permutabili;

• I filtri lineari a parametri costanti sono reversibili: se un filtro lavora su un certo segnale producendone un altro in uscita, esiste un filtro (detto restauratore) che restituisce il segnale d'ingresso. Questo nasce dal fatto che nessuna componente in frequenza viene totalmente azzerata;

N.B.: nella pratica la permutabilità è in realtà impossibile data la limitazione delle regioni di linearità (si provi ad invertire un preamplificatore per piccolo segnale con un robusto amplificatore di potenza!).

N.B.: la reversibilità è affetta dal problema che componenti in frequenza abbattute di centinaia di dB se amplificate “all'indietro” riportano con sé tonnellate di rumore!

N.B.: i filtri a parametri variabili non sono certo reversibili. Considerando ad esempio uno switch, non c'è modo di ricostruire il segnale in ingresso che c'era a switch aperto.

Dato che il rumore bianco è più facile da studiare, è sempre conveniente (e si può sempre fare) trovare un filtro lineare a parametri costanti che sbianchi il nostro rumore.

30

Filtri passa – basso

Come sempre, il nostro obiettivo è recuperare la parte di informazione che ci interessa scremandola dal rumore. Quello che dobbiamo fare è sfruttare al meglio le differenze tra il segnale e il rumore. Il modello di filtraggio scelto dipende dal nostro obiettivo; infatti del segnale potrebbe interessarci:

• Solo l'ampiezza: saremo liberi di scartare più componenti ad alta frequenza e quindi più rumore, o, equivalentemente nel tempo, di fare una media su più campioni;

• Ampiezza e forma: avremo bisogno di un filtraggio meno stringente per evitare di scartare informazioni rilevanti;

Un filtro passa – basso è caratterizzato, in frequenza, da una funzione peso che enfatizza le basse frequenze abbattendo le alte. Risulta particolarmente utile qualora il segnale sia concentrato a bassa frequenza e il rumore sia a larga banda. Una pesatura stretta in frequenza (low pass) corrisponde ad una pesatura larga nel tempo. Tale filtraggio corrisponde pertanto ad un'operazione di media temporale su intervalli di tempo più o meno larghi. Ecco dunque la situazione che ci si presenta:

31

f

s(t)

S(f) +

n(t)

Sn(f)

t t

f

F F

Filtro passa – basso RC a parametri costanti

δ – response: h (t)= 1T F

1(t)e− t

T F Rise time: T R=2,2T F≃1

3f p

Funzione di trasferimento: H ( f )= 11+ j 2π f T F

, ∣H ( f )∣2= 11+( j 2π f T F )

2

32

x(t)

y(t)

1Tf

TR

1

0,5

0 fp = 1/2πTf , -3dB pole f

δ – response Step response

Funzione peso: wm(α)=h( tm−α) nel dominio del tempo. Pertanto, dato che un ritardo corrisponde, nel dominio di Fourier, ad un semplice sfasamento, si ha ∣W m( f )∣=∣H ( f )∣ .

Il taglio in frequenza può essere considerato circa al livello della frequenza del polo fp (dove il segnale è attenuato di 3 dB)

Autocorrelazione della funzione peso: k ww (τ)=1

2 T Fe−∣ τT F∣

Per quanto visto in precedenza possiamo già valutare alcune caratteristiche dell'uscita in presenza di rumore bianco. Ricordiamo possiamo supporre di essere in presenza di rumore bianco qualora l'autocorrelazione del rumore sia molto più stretta della funzione peso ( T n≪T F , e in tal caso

R xx(τ)=S bδ( τ) ). Il valore quadratico medio dell'uscita sarà:

y2=∫−∞

+∞

Rxx(τ)k ww (τ)d τ=S b k ww(0)=S b

2TF

Nel dominio della frequenza, non ha senso ragionare su un rumore a spettro illimitato. Introdurremo il concetto di banda equivalente di rumore. E' un concetto valido solo quando la banda del rumore è molto più larga della banda della funzione peso del filtro ( f n≫ f p ) e ci aiuta ad evitare il calcolo dell'integrale quando si vuole valutare ad esempio y2 , semplificandolo in una moltiplicazione. Vediamo come si ragiona.Abbiamo detto di voler calcolare y2 con una moltiplicazione, e dunque è ragionevole porre:

33

tm

kww

τ

y2=Sb 2f n , dove fn è la banda equivalente di rumore. Questa quantità dovrà essere uguale al

nostro vecchio integrale: y2=Sb∫−∞

+∞

∣W m( f )∣2 df =Sb k ww(0) . Si avrà pertanto, per qualsiasi filtro

passa – basso e in condizioni di rumore a larga banda, f n=kww(0)

2.

Nel nostro caso specifico si avrà f n=1

4 T f=π

2f p .

N.B.: la banda equivalente di rumore non è la frequenza di taglio del polo! E' all'incirca il 50% in più di fp.

N.B.: per come abbiamo ottenuto la fn nel caso del filtro RC, possiamo fare una considerazione

interessante: f n=1

4T f→2f n⋅2T f=1 . Questo significa che riducendo la costante di tempo del

circuito si deve considerare una banda equivalente di rumore più ampia.

34

Linea di ritardo(e.g. cavo coassiale)

In figura è rappresentata la versione attiva del filtro RC. Il suo guadagno DC è regolato dalla resistenza di feedback Rf e da Ri. La parte di circuito racchiusa nel rettangolo tratteggiato consente la realizzazione a parametri costanti (senza switch!) di funzioni peso all'incirca rettangolari quando la costante di tempo è sufficientemente lunga rispetto al tempo Tp considerato. Questo filtro è detto RC a media mobile.

Ecco come, all'incirca, avviene la sottrazione tra le funzioni peso nell'RC a media mobile:

Per poter eseguire correttamente il confronto tra la versione attiva a media mobile e quella passiva dell'integratore RC occorre imporre una condizione che uguagli il rapporto segnale – rumore tra i due. Va imposto in particolare che T p=2T F , poiché l'integratore attivo esegue una media

sull'intervallo Tp e y2=(1

T p)

2

T p=1

T p. Si deve dunque avere

1T p

= 12TF

.

In definitiva, a parità di SNR, l'integratore attivo media su due costanti di tempo. Se il segnale è lento nel tempo rispetto al rumore, questa operazione abbatte il rumore esaltando il segnale stesso.

35

_

=

w1

w2

wTOT

Tp

Ampiezza al quadrato di w

Integrata su tutto Tp

N.B.: per valutare quanto rumore passa attraverso il filtro, è importante saper valutare l'area del grafico di ∣H ( f )∣2 . In questo i grafici logaritmici non ci sono affatto d'aiuto!

Osserviamo il comportamento in frequenza dei due circuiti:

RC integrator: ∣W f ( f )∣=∣H f ( f )∣= 1√1+(2π f T F )

2

Mobile mean filter: ∣W a ( f )∣=∣H a ( f )∣=∣sin(π f T p)π f T p

∣ (il suo primo zero è a f = 1T p

)

E' interessante notare che, a differenza di Wf(f), la Wa(f) ha degli zeri, ma le due funzioni hanno inviluppi praticamente identici.

36

Filtri RC a parametri commutati

La costante di tempo del circuito determina la forma della sua funzione peso e dunque il suo comportamento da gated integrator, semplice RC commutato o sample/hold. Quello che importa è quanto la costante RC è grande rispetto al tempo TG di chiusura dello switch.In generale il circuito funziona in tre fasi:

1. C è scarico e l'interruttore è aperto;2. L'interruttore si chiude, il segnale viene acquisito caricando C;3. L'interruttore si riapre e si va in fase di hold: C resta carico;

N.B.: sebbene abbiano funzioni peso simili, i filtri gated integrator e mobile mean sono distinti. Basti pensare che il primo è a parametri variabili (commutati) e il secondo è a parametri costanti.

N.B.: il sample/hold ideale ha costante di tempo tendente a zero (funzione peso tendente alla δ). Non è possibile tuttavia realizzare una costante di tempo piccola “a piacere”: siamo limitati dalla R che, ad esempio nelle tecnologie a MOS, è nell'ordine dei kΩ e dalla C, che difficilmente supera i pF. La tecnologia ci limita a τ di qualche decina di ns.

Nel caso del gated integrator, poiché la costante di tempo è molto lunga, la risposta al gradino durante la chiusura dello switch potrà essere approssimata con la sua tangente, di pendenza

T G

T F. Alla fine del tempo TG avremo dunque un segnale di uscita Vo circa pari a V i

T G

T F. Ma

37

TG TGTG

Gated integratorTF >> TG

Switched RCTF ≈ TG

Sample/holdTF << TG

T G≪T F , dunque V o≪V i .Occorrerà dunque amplificare il segnale, tenendo d'occhio il rumore introdotto dall'amplificatore che useremo.

Poniamo G=T G

T F: è il guadagno del nostro filtro. Il valore quadratico medio del rumore è

yn2=S b

T G

T F2 =S b

G 2

T G (è facile calcolarlo, dato che k ww (0)=∫

−∞

+∞

w2(t)dt dove w(t) è una

funzione all'incirca continua di ampiezza 1

T F e durata TG).

√ yn2=Sb

1 /2 GT G

1/2

Notiamo che l'aumento di TG migliora l'SNR. Infatti, mentre il segnale cresce con TG, il rumore decresce con TG

1/2. Tempi di apertura più rapidi rendono il sistema più veloce, ma peggiorano l'SNR.

Cascata di filtri RC

Due filtri RC posti in cascata non possono essere collegati così:

Perché in tal modo i due filtri “interagirebbero”, dando luogo ad un filtro diverso dalla cascata dei due filtri RC. Occorrerà un buffer, che eviterà l'effetto di carico:

38

N.B.: la risposta all'impulso del nostro sistema è del tipo tT F

1T F

e−tT F .

Calcoliamo la banda equivalente di rumore per la cascata dei due filtri RC (supponendoli identici):

yn2=S b∫

−∞

+∞

w2(α)d α=S b∫−∞

+∞

∣W ( f )∣2 df . Per un filtro a parametri costanti possiamo sostituire

w(t) con h(t) e W(f) con H(f), ottenendo:

yn2=S b∫

−∞

+∞

( tT F

)2 1T F

2 e−2 t

T F dt=Sb∫−∞

+∞1

[1+(2π f T F )2]2

df

N.B.: la funzione di trasferimento del filtro complessivo è il quadrato della funzione di trasferimento del singolo filtro.

Il primo integrale è decisamente più semplice da calcolare (si calcola per parti), e il risultato è:

yn2=S b

18TF

39

INPUT DOPO IL PRIMO STADIO

OUTPUT

Possiamo dedurre che la banda equivalente di rumore è dimezzata, mentre il valore efficace del

rumore si è ridotto di un fattore 1√2

.

Rumore intrinseco di un circuito sample/hold

Il circuito di sample/hold ha una resistenza, che è intrinsecamente sorgente di rumore. Questo rumore si traduce sostanzialmente in un rumore di lettura il cui valore quadratico medio è:

yR2=2KTR⋅ 1

2RC=KT

C

Il valore quadratico medio del rumore introdotto dalla resistenza non dipende dalla resistenza stessa, ma solo dalla capacità. Osserviamo infatti che, se ad esempio alziamo il valore di R, alziamo proporzionalmente la densità spettrale del rumore, ma ne restringiamo la banda equivalente. Le due variazioni si compensano e lasciano dunque invariato y R

2 .

Questa constatazione è peraltro coerente con le leggi della termodinamica: per il teorema di

equipartizione, l'energia media dell'elettrone nella resistenza è 12

KT per ogni grado di libertà del

sistema. Nel nostro caso avremo un unico grado di libertà (la costante RC). L'energia del nostro circuito è peraltro immagazzinata nel solo condensatore. Quantifichiamola:

EC=12

C yR2=1

2KT . Pertanto yR

2= KTC .

Risulta evidente che l'entità del rumore si abbassa all'aumentare di C. Eppure le cose peggiorano all'aumentare della C se le grandezze che interessano sono altre:

• Ragionando in termini di carica (rumorosa): Q=C 2 y R2 ;

• Ragionando in termini di numero di elettroni: N q2=√ KT

qCq ≃400√C (in pF ) ;

Rumore intrinseco di un gated integrator

Anche in questo circuito abbiamo una resistenza che intrinsecamente produce del rumore. Questo rumore di lettura avrà valore quadratico medio:

xn2=S b

1T G

= 2KTRT G

= KTC

⋅2RCT G

= KTC

⋅2G dove G=

T G

T F≪1 . In questo caso il rumore in fase

di lettura include un enorme fattore di peggioramento, dato dal guadagno.

Confronto tra rumori di lettura di gated integrator e sample/hold

Nel gated integrator si ha xeq2 =

Sb

T G=2KTR

T G=2KTR

T G⋅C

C=2 KT

CT F

T G≫ KT

C poiché T F≫T G .

40

E KT /C è il rumore di lettura del sample/hold. Confermiamo dunque che i tempi di apertura brevi ci fanno pagare in termini di rumore di lettura. Il vantaggio del gated integrator dà vantaggi in termini di SNR poiché il segnale cresce linearmente col tempo di integrazione, mentre il rumore cresce con la radice di TG (perché il rumore quadratico cresce linearmente con TG).

Integratore tempo – discreto

Realizzare un integratore tempo – discreto equivale semplicemente a prelevare un certo numero di campioni del segnale prodotto da un gated integrator tempo – continuo nel tempo di chiusura TG.

In particolare, se il tempo di campionamento è TS, saremo in grado di prelevare N = TG / TS

campioni in una singola apertura di gate.

Il segnale che avremo in uscita sarà dunque S y=N⋅P S x dove N è il numero dei campioni prelevati e P il peso del singolo campione. Significa, in sostanza, che il guadagno in DC dell'integratore tempo – discreto è N⋅P . Vediamo se è possibile trovare analogie col caso continuo nel computo del rumore: il “campione di rumore” che sporca l'uscita sarà esprimibile come somma dei “campioni di rumore” che sporcano i singoli campioni sommati (la somma è un'operazione lineare):

n y=∑k=1

N

P⋅nxk. Passando ai valori quadratici medi, si ha n y

2=P2( nx12 +nx2

2 +...+nx1 nx2+...) . Al

solito, tutti i prodotti incrociati saranno nulli se è possibile considerare il rumore come bianco. In definitiva, se il rumore è stazionario (e quindi tutti i contributi in parentesi sono tra loro identici):

ny2=N P2 nx

2 . Come nel caso tempo – continuo, il rumore quadratico cresce proporzionalmente al tempo di integrazione (essendo N proporzionale a TG). In termini di SNR:

( SN )y

=S y

√ n y2=

N P S x

√N P2 nx2=√N ( S

N )x

Regolando opportunamente il peso P, è possibile ottenere un guadagno DC unitario, in modo che

S x=S y . E' sufficiente che sia P= 1N . In ogni caso, pur alterando P, si agisce in modo lineare

sul segnale e in modo ancora lineare sul quadrato del rumore.

41

wdiscrete(α)

TG

TS

Filtro RC tempo – discreto

Trattiamo adesso il mediatore esponenziale tempo – discreto. Differisce dall'integratore poiché la variazione del peso dei singoli campioni in ogni finestra di integrazione è rilevante (decade esponenzialmente, ma non molto rapidamente).

In particolare il peso di ogni campione k sarà esprimibile come w k=P⋅r k con

1−r≪1 e cioè r molto vicino ad 1.

Il segnale in uscita sarà dunque S y=S x⋅P⋅∑k=0

∞

r k=S x⋅P⋅ 11−r

. Dunque il guadagno in DC del

nostro circuito sarà P

1−r . Anche in questo caso si può ottenere un guadagno unitario prendendo

P=1−r . Sul rumore si può ripetere il ragionamento fatto in precedenza. Stavolta però potremo portare fuori dalla sommatoria il peso ma dovremo considerare il fattore r. Nel calcolo del valore quadratico medio tale fattore diventerà ovviamente r2.

n y2=P2( nx0

2 +r2 nx12 +... r2k nxk

2 ) , considerando in partenza nulli i prodotti incrociati (rumore

bianco). Se, inoltre, il rumore è stazionario: n y2=nx

2 P2(1+r2+... r 2k+...)= nx2 P2 1

1−r2 . Possiamo

adesso calcolare il rapporto segnale/rumore:

( SN )y

=S y

√ n y2=

P S x

(1−r ) √ 1−r 2

P2 nx2=( S

N )x √ 1+r1−r≃( S

N )x√ 21−r

Impossibilità di migliorare il SNR oltre quello dei circuiti tempo – continui

Abbiamo osservato che l'integratore tempo – continuo migliora il rapporto segnale – rumore di un fattore √N , dove N= f S T G . Sembrerebbe che aumentando a piacimento la frequenza di campionamento si potrebbe migliorare all'infinito il SNR. Si può notare, tuttavia, che il SNR massimo ottenibile è esattamente quello dell'integratore tempo – continuo. In effetti è intuitivo pensare che a frequenze di campionamento molto alte si esce dal range di incorrelazione del

rumore. Infatti f S T G=N=T G

2Tn, essendo Tn la larghezza di autocorrelazione del rumore. Dunque

f S=1

2Tn. Oltre questa frequenza di campionamento si perde la proprietà di incorrelazione

del rumore.

Per avere più chiara la situazione cerchiamo di capire in che modo il nostro sistema faccia passare il rumore.

42

wdiscrete(α)

TS

Circa uguale a 2 perché r molto vicino ad 1

43

|W(f)|sampler

|S(f)|gate

*-fS

fS 2fS-2fS... ...

fS 2fS-fS-2fS

|W(f)|tot

Il rumore, in realtà, non ha banda infinita, ma è limitato a una certa banda fn. Finché fs < fn, la

∣W ( f )∣tot contiene più repliche del gated integrator (in particolare ne conterrà 2f n

f S=

2f nT G

N ), e

fa dunque passare più rumore del gated integrator stesso. Al limite (per fs che si avvicina a fn) potremo ottenere esattamente il comportamento del gated integrator tempo – continuo, ma mai un comportamento migliore.

Boxcar integrator

L'integratore boxcar differisce dai circuiti visti in precedenza perché non prevede reset tra un'acquisizione e la successiva. Il boxcar calcola dunque una media esponenziale mantenendo il decadimento di fattore r tra acquisizioni successive.

La funzione peso sarà dunque fatta come indicato in figura:

N.B.: se T G≪T F , il boxcar si comporta da integratore a peso (circa) costante.

N.B.: la media eseguita dal filtro boxcar dipende da quanti campioni vengono prelevati e non dal tempo in cui questi vengono prelevati (caratteristica resa evidente dal fatto che la funzione peso, in fase di apertura dello switch, viene praticamente “congelata”).

Un circuito “simile” a quello appena visto ma da non confondere col boxcar integrator è il seguente:

44

r1

Gate

w(α)

TCTG

In questo circuito il buffer separa l'input dalla parte effettivamente integratrice (l'RC). Ciò significa che, in presenza di buffer e a switch aperto, la capacità si scarica sul buffer stesso (che presenta impedenza di uscita molto bassa). Tra una rilevazione e l'altra, dunque, la funzione peso non manterrà lo stesso valore: le aperture di switch sono fasi di perdita, nel senso che l'area complessiva della curva esponenziale

resta unitaria (caso passivo), ma la somma delle aree delle zone con peso non nullo è inferiore all'unità!

Il circuito mostrato a sinistra non è un boxcar. Si noti infatti che il nodo 1 è a potenziale quasi fermo (terra virtuale) e dunque, a switch aperto, determina un comportamento analogo al circuito visto sopra (con la decadenza della funzione peso che continua a switch aperto). Inserendo uno switch sincrono come in figura, si riottiene un comportamento da boxcar.

45

α

w(α)

1

Filtraggio ottimo

Consideriamo casi in cui ci tocca misurare esclusivamente l'ampiezza di segnali (impulsivi) di

forma normalizzata ( f (t ) tale che ∫−∞

+∞

f (t)dt=1) e tempo di arrivo noti. Ci chiediamo

quale filtro ottimizzi il SNR. Consideriamo inizialmente rumore bianco stazionario in ingresso:

Il segnale in uscita avrà espressione:

u (tm)=∫−∞

+∞

f (α)wm(α)dα=A k fw (0)→u2( tm)=A2 k fw2 (0)

Mentre il rumore quadratico medio:

nu2(t m)=Sb∫

−∞

+∞

wm2 (α)d α=Sb k ww(0)→ nu

2 (t m)=Sb k ww(0)

Di conseguenza il quadrato dell'SNR sarà il rapporto tra le due quantità appena calcolate:

SNR2= A2

Sb

k fw2 (0)

kww (0)

N.B.: se la funzione peso w(α) ha un guadagno non unitario G, kfw introduce un contributo G (che al quadrato fa G2, mentre kww introduce un G2. Ai fini del SNR, dunque, possiamo ignorare la presenza dell'eventuale guadagno.

Possiamo ad esempio ragionare tenendo costante il rumore rispetto alle variazioni sulla forma di w, e cioè considerando costante Sb kww(0). Il nostro obiettivo sarà dunque massimizzare kfw(0). Si tratta di una mutua correlazione, dunque, in generale, non ha il massimo nell'origine, ma altrove, per quanto limitato in modulo dalle medie dei massimi di w(α) e f(α):

k fw2 (0)≤k ff (0)k ww (0) e vale l'uguaglianza qualora w (α)∝ f (α) . Dunque il peso ottimale

(in condizioni di rumore bianco e stazionario) si ottiene se f(α) e w(α) hanno la stessa forma.

46

Wm = ?IN OUT

A f(t)

Sb δ(τ)

u(tm)

n2u(tm)

( SN )max

2

= A2

S b

k ff2 (0)

k ff (0)= A2

Sb∫−∞

+∞

f 2(α)d α=

A2∫−∞

+∞

f 2(α)d α

S b 2 f n⏟nb

2

2 T n⏟larghezza autocorrelazione

=∫−∞

+∞A2 f 2(α)

nb2

d α2Tn

Per il teorema di Parseval (passaggio utile se non interessano le informazioni di fase su f(α)), si può passare al dominio di Fourier:

( SN )max

2

= A2

Sb∫−∞

+∞

∣F ( f )∣2 df

Passiamo al caso di rumore bianco non stazionario: il rumore in uscita avrà autocorrelazione

Rn=S b(α)δ(τ) e valore quadratico medio nu2(t n)=∫

−∞

+∞

S b(α)w2(α)d α . Ma è possibile porre

Sb(α)w2(α)=[√ Sb(α)w (α)]2=[w ' (α) ]2 , mentre il segnale in uscita resta u2(tm)=A2 k fw2 (0) .

In funzione di w'(α), dunque, il rumore in uscita avrà valore quadratico medio

nu2(tm)=∫

−∞

+∞

[w ' (α)]2 d α=k w ' w ' (0) .

Ponendo anche f ' (α)= f (α)√Sb(α)

ci si può ricondurre ad una situazione analoga a quella del caso

stazionario:

u2(tm)=[A∫−∞

+∞f (α)

√S b(α)⏟f ' (α)

√S b(α)w (α)⏟w ' (α)

d α]2

=A2 k f ' w' (0) .

Questo ci fa capire che stavolta la funzione peso deve adattarsi sia al segnale sia al rumore:

w ' (α)= f (α)√Sb(α)

→w (α)=f (α)Sb(α)

. Con questo accorgimento otteniamo che il massimo SNR è:

( SN )max

2

=A2∫−∞

+∞f 2(α)Sb(α)

d α , ma S b(α)2Tn

=nu2→Sb(α)=2Tn nu

2 , dunque

( SN )max

2

=∫−∞

+∞A2 f 2(α)

nu2(α)

d α2Tn

.

47

Energia totale del segnale nel tempo 2Tn

Esempio: rumore shot

Il rumore shot si può considerare bianco oltre i Ghz (gli impulsi shot hanno durata nell'ordine dei microsecondi e larghezza di autocorrelazione nell'ordine dei nanosecondi).

Determina, su un segnale variabile molto lentamente rispetto al rumore (circa costante), una situazione del tipo:

I (α)=I B+I S (α)≃I B se I B≫ I S

In termini di densità spettrale di rumore, dunque, si ha Sb(α)=q I B+q I S (α)≃q I B , sempre se I B≫ I S .

Il filtro ottimo per segnali di questo tipo è, in generale, wB (α)=f (α)

S b(α)=

I S (α)I B+ I S (α)

Si nota che se l'ampiezza degli impulsi shot è trascurabile rispetto al segnale, ci si può ricondurre al caso stazionario.

N.B.: per la proprietà di reversibilità dei filtri lineari, se ci si trova in presenza di rumore non bianco è sempre possibile trovare un filtro a parametri costanti detto “di sbiancamento”. Se occorre questo passaggio, il filtro ottimo è costituito dalla cascata del filtro di sbiancamento e del filtro ottimo suggerito dalla natura del segnale e messo in relazione al rumore in uscita dal filtro sbiancante:

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I(α)

IB

IS(α)

FS(filtro sbiancante)

FA(filtro adattato)

A f(α)

Rm(τ)

A g(α)

Rbb(τ) = Sb δ(τ)

Rumore non bianco

Rumore bianco

Filtro ottimo

Appunti dalle esercitazioni (incompleti)

Utilizzo pratico di operazioni e funzioni di uso comune

• La convoluzione: y (t)= x (t)∗h(t )=∫−∞

+∞

x (τ)h( t−τ)d τ→ E' utile per valutare l'uscita

di un sistema lineare a parametri costanti noti l'ingresso e la risposta alla δ;

Vediamo un importante utilizzo dell'operazione di convoluzione:

E' noto che R yx(τ )=R xx(τ)∗h(−τ) . Questa relazione si può sfruttare per calcolare la h(τ) se sono noti i segnali in ingresso ed uscita (in particolare se x(t) è rumore bianco in uscita avremo esattamente h(-τ)!). E' una considerazione particolarmente utile in situazioni di calibrazione.

• L'autocorrelazione: k xx(τ)=∫−∞

+∞

x ( t) x( t+τ)dt→ Dà una valutazione della periodicità di

un segnale, poiché dice quanto il segnale assomiglia a se stesso spostato nel tempo;◦ N.B.: se l'autocorrelazione è una δ, noto il segnale in un istante non possiamo dire

assolutamente nulla sul segnale stesso altrove;

Restando sull'autocorrelazione, è importante chiedersi perché sia utile che il rumore possa essere considerato bianco (totalmente incorrelato: R xx(τ)=δ(τ) ). Le ragioni sono varie:

• Dominio del tempo: in situazione di segnale sporcato da rumore, se individuiamo coerenza nel segnale risultante, siamo certi che questa non sia dovuta al rumore;

• Dominio della frequenza: a parità di potenza di rumore, un rumore che distribuisce la potenza su “tutto lo spettro” è preferibile rispetto ad un “rumore passabasso”, poiché

filtrando sul solo spettro del segnale è possibile scartare gran parte della potenza di rumore preservando praticamente tutta quella del segnale;

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Sx(f)

f

h(t)x(t) y(t)

• Statistica del rumore: nel calcolo del valore quadratico medio non ci sono contributi “rettangolari” dovuti alla correlazione tra istanti diversi. La media di campioni presi in istanti diversi fornisce dunque il segnale originale: questo conferma che un filtraggio passabasso in caso di rumore bianco migliora di molto l'SNR (Signal to Noise Ratio);

N.B.: il rumore bianco, nella realtà, non esiste, e cioè esiste solo rumore la cui autocorrelazione è solo approssimativamente una δ.

Ma allora, se non esiste un'autocorrelazione a δ, come modelliamo l'approssimazione della δ?Di sicuro non possiamo usare il rettangolo (δ come limite per la durata del rettangolo tendente a 0 ad area costante). Vediamo perché:

La trasformata di un rettangolo è una funzione seno cardinale, che ha anche valori negativi. Nel nostro caso, però, i valori negativi non avrebbero senso fisico:

F [Rxx (τ )]=S x( f )

Dove Sx(f) è una densità spettrale di potenza, decisamente una quantità non negativa su tutte le frequenze.

Per questa ragione ha più senso considerare un'approssimazione a triangolo, dato che la sua trasformata è un sinc2, non negativo su tutto lo spettro.

Un'autocorrelazione triangolare anziché a δ pone un'importante limitazione: il triangolo è una funzione di larghezza finita, dunque non è vero che due campioni di rumore sono sempre incorrelati comunque vengano considerati. Questo indica che per ottenere un valore medio attendibile dovremo sovracampionare, e cioè considerare più campioni di segnale.La larghezza dell'autocorrelazione è indice della frequenza di campionamento oltre la quale la stima del segnale originale non migliora più.

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Sx(f)

f

Sx(f)

τ

Rxx(τ)

f

F

• Funzione peso: è indice di quanto l'uscita “si ricorda” dell'ingresso. Ad esempio una funzione peso continua e costante tipo rettangolo ci dice che l'uscita presa nell'istante finale del rettangolo sarà la somma dei valori dell'ingresso misurati nella durata del rettangolo (gated integrator).

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