Dispensa CDMA

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Capitolo 3 Sistemi Spread Spectrum 3.1 Introduzione Affrontando il problema della caratterizzazione del canale radiomobile abbiamo visto che se la banda del segnale diventa maggiore della banda di coerenza, il canale diventa selettivo in frequenza. In generale questa situazione deve essere evitata per non dover ricorrere ad equalizzatori di canale che possono aumentare notevolmente la complessit` a realizzativa dei ricevitori (nonch´ e il loro consumo di potenza). Ci sono casi, tuttavia, in cui la selettivit` a in frequenza pu` o addirittura essere sfruttata dal ricevitore a proprio vantaggio: questo ` e il caso dei sistemi Spread Spectrum (SS), in cui il segnale trasmesso viene volutamente allargato in banda rispetto alla minima banda che sarebbe necessaria per trasmettere l’informazione. Vediamo che cosa significa allargamento di banda. La probabilit` a di errore per bit (parametro che caratterizza la qualit` a della comunicazione in un sistema digitale) pu` o essere espressa in generale come: P e E b N 0 (3-1) ovvero come una funzione del rapporto fra energia per bit, E b , e densit` a spettrale di potenza media del rumore N 0 . Nei sistemi usuali, la banda W ` e legata al tempo di bit T b secondo la relazione W 1/T b . In questo caso, aumentare la banda di un fattore G> 1 equivale a diminuire T b di un fattore corrispondente. Poich´ e E b = P rx T b , questo significa che per avere le stesse prestazioni in termini di P e , ad un aumento di banda di un fattore G deve corrispondere un aumento di potenza trasmessa (ovvero ricevuta) sempre di un fattore G. L’idea che sta alla base dei sistemi SS ` e quella di produrre un aumento di banda di un fattore G senza diminuire il tempo di bit (ovvero rendere indipendente il bit rate dalla banda). In questo caso le prestazioni non dipendono pi` u dalla banda (si veda (3-1)). Nei sistemi SS quindi, si aumenta la banda del segnale trasmesso senza che questo incida minimamente sulle prestazioni del ricevitore. Ovviamente l’aumento della banda comporta lo svantaggio di una maggiore occupazione di risorse per ogni segnale trasmesso. Tuttavia, come vedremo in seguito, l’allargamento della banda consente anche di ottenere molti vantaggi soprattutto su canali radiomobili. Uno dei vantaggi dell’allargamento di banda, che ` e poi la ragione per la quale tali sistemi sono stati introdotti in ambito militare, ` e la loro robustezza di fronte alle interferenze (intenzionali o meno) prodotte da altri trasmettitori. Supponiamo infatti che insieme al segnale sia presente al ricevitore un disturbo caratterizzato da una potenza J . Supponiamo anche che il disturbo sia modellabile come rumore bianco caratterizzato da una densit` a spettrale di potenza media J 0 = J/B, essendo B la banda del segnale ricevuto. Assumendo l’interferenza come l’effetto predominante sulla qualit` a della ricezione, si ha: P e PT b J 0 PT b B J . (3-2) Se la banda B viene allargata di G volte, dove G viene detto fattore di spreading, allora nel sistema SS occorre un disturbo caratterizzato da una potenza G volte superiore per produrre lo stesso effetto. In altri termini, poich´ e la potenza del segnale si disperde su una banda molto elevata, il disturbatore deve utilizzare

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  • Capitolo 3

    Sistemi Spread Spectrum

    3.1 Introduzione

    Affrontando il problema della caratterizzazione del canale radiomobile abbiamo visto che se la banda delsegnale diventa maggiore della banda di coerenza, il canale diventa selettivo in frequenza. In generale questasituazione deve essere evitata per non dover ricorrere ad equalizzatori di canale che possono aumentarenotevolmente la complessita` realizzativa dei ricevitori (nonche il loro consumo di potenza). Ci sono casi,tuttavia, in cui la selettivita` in frequenza puo` addirittura essere sfruttata dal ricevitore a proprio vantaggio:questo e` il caso dei sistemi Spread Spectrum (SS), in cui il segnale trasmesso viene volutamente allargatoin banda rispetto alla minima banda che sarebbe necessaria per trasmettere linformazione.

    Vediamo che cosa significa allargamento di banda. La probabilita` di errore per bit (parametro checaratterizza la qualita` della comunicazione in un sistema digitale) puo` essere espressa in generale come:

    Pe =

    (EbN0

    )(3-1)

    ovvero come una funzione del rapporto fra energia per bit, Eb, e densita` spettrale di potenza media delrumore N0. Nei sistemi usuali, la banda W e` legata al tempo di bit Tb secondo la relazione W 1/Tb. Inquesto caso, aumentare la banda di un fattore G > 1 equivale a diminuire Tb di un fattore corrispondente.Poiche Eb = PrxTb, questo significa che per avere le stesse prestazioni in termini di Pe, ad un aumento dibanda di un fattore G deve corrispondere un aumento di potenza trasmessa (ovvero ricevuta) sempre di unfattore G.

    Lidea che sta alla base dei sistemi SS e` quella di produrre un aumento di banda di un fattore G senzadiminuire il tempo di bit (ovvero rendere indipendente il bit rate dalla banda). In questo caso le prestazioninon dipendono piu` dalla banda (si veda (3-1)). Nei sistemi SS quindi, si aumenta la banda del segnaletrasmesso senza che questo incida minimamente sulle prestazioni del ricevitore. Ovviamente laumento dellabanda comporta lo svantaggio di una maggiore occupazione di risorse per ogni segnale trasmesso. Tuttavia,come vedremo in seguito, lallargamento della banda consente anche di ottenere molti vantaggi soprattuttosu canali radiomobili.

    Uno dei vantaggi dellallargamento di banda, che e` poi la ragione per la quale tali sistemi sono statiintrodotti in ambito militare, e` la loro robustezza di fronte alle interferenze (intenzionali o meno) prodotteda altri trasmettitori. Supponiamo infatti che insieme al segnale sia presente al ricevitore un disturbocaratterizzato da una potenza J . Supponiamo anche che il disturbo sia modellabile come rumore biancocaratterizzato da una densita` spettrale di potenza media J0 = J/B, essendo B la banda del segnale ricevuto.Assumendo linterferenza come leffetto predominante sulla qualita` della ricezione, si ha:

    Pe =

    (PTbJ0

    )=

    (PTbB

    J

    ). (3-2)

    Se la banda B viene allargata di G volte, dove G viene detto fattore di spreading, allora nel sistema SSoccorre un disturbo caratterizzato da una potenza G volte superiore per produrre lo stesso effetto. In altritermini, poiche la potenza del segnale si disperde su una banda molto elevata, il disturbatore deve utilizzare

  • Capitolo 3. Sistemi Spread Spectrum

    un segnale a banda molto larga e a potenza molto elevata (molto maggiore della potenza del segnale utile)per produrre un effetto consistente.

    3.2 Sistemi Frequency Hopping

    Nei sistemi Frequency Hopping (FH) lallargamento di banda viene ottenuto tramite lutilizzo in tempidiversi di diverse portanti in trasmissione per uno stesso segnale trasmesso. Si consideri come esempio unsegnale FSK binario:

    x(t) =

    2EbTb

    cos (2pif0t + pifait) iTb t < (i + 1)Tb (3-3)

    dove ai = 1 e` la sequenza di simboli informativi, f0 e` la frequenza della portante, Tb e` il tempo di bit,f = 1

    Tbe` lo shift in frequenza dei segnali trasmessi in corrispondenza di ai = 1 e di ai = 1 rispetto

    alla frequenza f0. La larghezza di banda del segnale (3-3) e` pari circa a B = 2/Tb. Laumento della bandamantenendo invariato Tb (che e` lobiettivo delle tecniche SS) puo` essere ottenuto variando saltuariamentela frequenza centrale f0. Immaginiamo ad esempio di avere a disposizione un set di frequenze centrali{f0,1, f0,2, . . . , f0,N} da poter utilizzare per trasmettere il segnale (3-3) (si veda Fig. 3.1). Nel sistema SS il

    Figura 3.1

    trasmettitore sceglie (in qualche modo) una frequenza allinterno del set a disposizione e trasmette su quellafrequenza per un certo periodo denominato TH . Finito tale periodo, viene scelta unaltra frequenza (sempreappartenente al set a disposizione) dove continuare la trasmissione. Ovviamente la banda occupata diventain questo caso dellordine di N 2/Tb.

    Nei sistemi FH si definisce sequenza di hopping la sequenza gn = {i1, i2, . . . , iN} tale per cui le fre-quenza utilizzate in sequenza sono f0,i1 , f0,i2 , . . . , f0,iN . Ad esempio se gn = {1, 4, 2, 5, 3}, vuol dire che iltrasmettitore trasmette utilizzando come frequenze centrali la sequenza (periodica) f0,1, f0,4, f0,2, f0,5, f0,3.Il ricevitore deve essere ovviamente a conoscenza della sequenza di hopping e del tempo di hopping TH perpoter effettuare correttamente la demodulazione del segnale. In Fig. 3.2 si riporta uno schema a blocchi delsistema di trasmissione.

    I sistemi FH si dividono in sistemi Fast-FH e Slow-FH. Nel primo caso (Fast), il tempo TH e` comparabilecon il tempo di bit Tb, ovvero si ha, grossomodo, un salto in frequenza ogni tempo di bit. Nel secondo caso(Slow) TH e` molto maggiore di Tb.

    I sistemi Fast-FH presentano alcuni inconvenienti legati alla loro implementazione. Il sintetizzatore difrequenza (Fig. 3.2) deve essere in questo caso stabile e veloce. Inoltre, dato che e` molto difficile mantenerela coerenza di fase durante i salti, il ricevitore e` preferibilmente di tipo incoerente (con prestazioni inferioririspetto al ricevitore ottimo coerente). Tali problemi ovviamente non sono presenti nei sistemi Slow-FH.

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  • Capitolo 3. Sistemi Spread Spectrum

    Figura 3.2

    Nel complesso, i sistemi FH presentano due grossi vantaggi rispetto ai sistemi tradizionali. Il primoriguarda la robustezza rispetto alle interferenze (su questo concetto ci ritorneremo in seguito). Il secondoriguarda la capacita` di combattere adeguatamente il multipath fading. Abbiamo infatti visto che la bandadi coerenza di un canale radiomobile, definita W , assume un valore limitato (tipicamente da 100 a 300 kHz).Se le frequenze f0,i utilizzate dal sistema FH sono fra loro sufficientemente spaziate, si ha che i segnali inviatiin tempi diversi (a distanza temporale TH) sono soggetti a fading indipendenti. Percio` si riescono a ridurrele lunghezze dei burst di errori a valori comunque non superiori a TH .

    A titolo di esempio si consideri il sistema GSM che prevede di utilizzare una tecnica Slow-FH conTH = 0.57 ms. Il bit rate vale in questo caso Rb = 270 kbit/s. Se non utlizzassimo FH si avrebbe cheper basse velocita`, ad esempio v = 3 m/s, il tempo di coerenza t assumerebbe valori molto elevati. Inparticolare t = 0.11 s, ovvero LB = 30000 bit. Grazie al FH, la lunghezza LB viene comunque limitataal valore massimo LB = 154 bit, che puo` essere compatibile con lutilizzo di un interleaving rispettoso deivincoli sui tempi di ritardo del segnale vocale.

    3.3 Direct Sequence

    Unaltra tecnica che permette la trasmissione SS e` la tecnica Direct Sequence (DS). In questo caso si operalallargamento di banda utilizzando direttamente delle forme donda in banda base caratterizzate da unabanda B >> 12Tb , ovvero molto maggiore della minima banda possibile

    1. Per semplicita` consideriamo ilcaso in cui il segnale trasmesso sia antipodale, ovvero il trasmettitore associa una forma donda s(t) al bit1 e la forma donda s(t) al bit 0. In particolare facciamo riferimento al caso classico in cui linviluppocomplesso s(t) sia una forma donda rettangolare:

    s(t) = rect

    (t 0.5Tb

    Tb

    ). (3-4)

    La rappresentazione passa basso del segnale digitale corrispondente puo` essere espressa come:

    x0(t) =

    n=

    ans(t nTb) (3-5)

    dove an = 1 rappresentano i bit informativi. Per ottenere lallargamento in banda si utilizza unaltraforma donda definita come:

    c(t) =G1i=0

    cip(t iTc) (3-6)

    1Secondo il teorema di Nyquist 12Tb

    e` la minima banda che si puo` utilizzare per trasmettere un segnale con rate Rb = 1/Tb.

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  • Capitolo 3. Sistemi Spread Spectrum

    dove ci = 1, detti chip, rappresentano la sequenza di spreading, G e` un intero maggiore o uguale ad unoche rappresenta il fattore di allargamento di banda, Tc = Tb/G e` il tempo di chip, p(t) = rect

    (t0.5Tc

    Tc

    )e` la

    forma donda rettangolare associata ai chip. Il segnale effettivamente trasmesso sul canale viene costruitomoltiplicando il segnale a banda stretta (3-5) per la ripetizione periodica della sequenza di spreading definitacP (t), ovvero:

    x(t) = x0(t) cP (t) = x0(t)

    n=

    c(t nTb). (3-7)

    In Fig. 3.3 si riporta un esempio di costruzione del segnale DS per un fattore di spreading G = 8; il segnaletrasmesso viene ottenuto moltiplicando direttamente il segnale a banda stretta per il segnale di spreading.La demodulazione del segnale (3-7) puo` essere facilmente realizzata moltiplicando il segnale ricevuto per

    Figura 3.3

    lo stesso segnale di spreading usato in trasmissione (si veda Fig. 3.4). Si noti che, come nel caso FH, ilricevitore deve essere a conoscenza della sequenza ci per poter effettuare correttamente la demodulazione.

    Figura 3.4

    Condizione necessaria affinche il segnale DS sia effettivamente un segnale SS e` che la banda del segnale

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  • Capitolo 3. Sistemi Spread Spectrum

    trasmesso B sia tale che B >> 12Tb . Vediamo ora sotto quali condizioni cio` e` verificato. Lobiettivo e` quellodi valutare la trasformata di Fourier di x(t), denominata X(f).

    Per semplicita` consideriamo lintervallo 0 t < Tb relativo alla trasmissione del bit a0. Il segnaletrasmesso in tale intervallo e` dato da

    x(t) = a0 c(t). (3-8)La banda del segnale trasmesso dipende quindi dalla banda del segnale di spreading c(t). Per semplicita`consideriamo in luogo di c(t) la sua versione campionata con passo Tc, ovvero ci = c(iTc). In questo caso latrasformata di Fourier C(f) puo` essere espressa come:

    C(f) =G1i=0

    ciej2piifTc . (3-9)

    I termini ci possono essere modellati come variabili aleatorie che assumono con probabilita` 0.5 il valore +1o -1. In questo caso ci diventa un processo discreto la cui banda massima sara` raggiunta nel caso in cuipossa essere assimilato a rumore bianco, ovvero

    E [cici+l] = (l) (3-10)

    Se e` verificata la (3-10), la densita` spettrale di ci risulta uniforme fra 12Tc e 12Tc , ovvero la banda del segnaletrasmesso x(t) e` pari a Bmax =

    12Tc

    . Si noti che nel caso in cui ci non sia modellabile come rumore bianco,ovvero nel caso in cui i chips siano fra loro correlati, la banda di x(t) risultera` minore di Bmax. Se le sequenzedi spreading sono scelte in maniera opportuna si ha quindi un effettivo allargamento di banda di un fattoreG che rappresenta percio` il fattore di spreading.

    Ovviamente le sequenza di spreading ci non sono sequenze aleatorie ma sequenze deterministiche (fralaltro devono essere perfettamente conosciute al ricevitore per effettuare la demodulazione). Tuttavia, perottenere leffettivo massimo fattore di spreading G e` sufficiente che la correlazione temporale sia assimilabilead una delta, ovvero:

    1

    G

    G1i=0

    cici+l = (l). (3-11)

    Nei sistemi DS vengono quindi costruite, attraverso opportune tecniche di codifica, sequenze di spreadingcaratterizzate dalla precedente proprieta` al fine di ottenere il massimo allargamento di banda possibile (perun G fissato).

    Vediamo ora quale` leffettivo vantaggio dellutilizzo delle tecniche DS in ambiente radiomobile (a parteil buon funzionamento in condizioni di interferenza di cui parleremo in seguito).

    Si consideri ancora il segnale trasmesso nellintervallo [0, Tb] espresso nella (3-8). A causa del canaleradiomobile (1-51) si ha un segnale ricevuto corrispondente:

    y(t) = a0

    N1n=0

    nc(t nTc) = a0N1n=0

    n

    G1i=0

    cip[t (i + n)Tc]. (3-12)

    Si noti che nella (3-12) si e` considerato il campionamento del processo (t) con passo di campionamentoTc. Questo e` lecito purche Tc W , dove B e W sono rispettivamente la banda del segnale

    trasmesso e la banda di coerenza del canale. In altri termini, lespressione (3-12) puo` ritenersi valida se ilcanale e` frequency selective2.

    Facciamo ora riferimento, per semplicita` di trattazione, al segnale ricevuto campionato y(k) = y(kTc)3.

    Direttamente dalla (3-12) si ha:

    y(k) = a0

    N1n=0

    nckn. (3-13)

    2Si assumera` che, a causa dellallargamento di banda, il canale sia frequency selective.3Si stanno considerando segnali che hanno banda pari a 1

    2Tc, per cui e` lecito ricorrere alla rappresentazione equivalente

    campionata con passo di campionamento Tc.

    26

  • Capitolo 3. Sistemi Spread Spectrum

    A questo punto assumiamo che il ricevitore effettui la correlazione del segnale ricevuto con una versioneritardata di un fattore lTc della sequenza di spreading, ovvero:

    Rl =1

    G

    G1k=0

    y(k)ckl = a0

    N1n=0

    n1

    G

    G1k=0

    cklckn. (3-14)

    Nel caso in cui sia verificata la (3-11), si ha:

    Rl = a0l. (3-15)

    Come si vede dalla precedente equazione, il ricevitore e` in grado di isolare i diversi cammini ricevuti eli-minando del tutto linterferenza che ciascuno di essi provoca sugli altri. Questo risultato e` ottenuto se e`verificata la (3-11), ovvero se le sequenze di spreading hanno banda massima. Il primo risultato ottenutoe` che, nonostante il canale sia fortemente selettivo in frequenza (a causa dellallargamento di banda), ilsegnale ricevuto non e` distorto dal canale (Rl e` semplicemente il prodotto del bit trasmesso per un terminemoltiplicativo dovuto al fading).

    Supponiamo ora che il ricevitore sia costituito da diversi rami in parallelo in cui ciascuno di essi effettuala correlazione (3-14) per ogni ritardo l = 0, . . . , N 1 (Si veda Fig. 3.5). Tale ricevitore e` denominatoricevitore Rake. In questo caso si ottengono in uscita N termini Rl, l = 0, . . . , N 1 ciascuno dei qualitrasporta la stessa informazione a0 affetta pero` da un diverso termine di fading moltiplicativo l. Nel casoin cui le variabili aleatorie l siano indipendenti (modello uncorrelated scattering), cio` equivale ad avere uncanale a diversita` con fattore di diversita` pari a N . Realizzando opportune tecniche di ricombinazione delleN repliche ricevute (ad esempio maximal ratio combining o selection combining) si riesce percio` a trarrevantaggio dalla presenza di cammini multipli.

    Figura 3.5

    27

  • Capitolo 4

    Linterferenza nei sistemi radiomobili

    4.1 Introduzione

    I sistemi radiomobili si caratterizzano per la presenza di molti trasmettitori che inviano in contemporaneasegnali verso altrettanti ricevitori. Il mezzo di trasmissione e` per sua natura broadcast; questo vuol dire chela trasmissione di ogni terminale/stazione arriva fisicamente anche ai ricevitori che in quel momento sonoadibiti alla ricezione di segnali provenienti da altri terminali/stazioni. Il segnale voluto viene detto segnaleutile mentre quello non voluto viene detto interferenza (si veda Fig. 4.1). Limpatto che linterfenza genera

    Figura 4.1

    sulla qualita` del segnale ricevuto puo` essere devastante. Esso dipende dalle condizioni di propagazione edalle tecniche di trasmissione/ricezione utilizzate. Ovviamente, ci si aspetta che allaumentare della potenzadel segnale interferente complessivo, leffetto dellinterferenza sulla qualita` della comunicazione sia maggiore.

    I sistemi radiomobili, per funzionare correttamente, devono percio` utilizzare delle tecniche di accessomultiplo (MA, Multiple Access) che permettano di limitare, se non eliminare del tutto, linterferenza. Ingenerale, al ricevitore arrivano un certo numero M di segnali contemporaneamente. Il ricevitore deve esserein grado, in presenza di rumore additivo bianco e Gaussiano, di distinguere ed estrarre il segnale utile. Letecniche MA si occupano del problema di regolamentare laccesso al mezzo fisico da parte di molti utenti inmodo da permettere al ricevitore di svolgere correttamente il proprio lavoro. Un modello per caratterizzare latrasmissione multipla in un sistema radiomobile non selettivo in frequenza e` riportato in maniera schematicain Fig. 4.2. Matematicamente, il problema del ricevitore e` quello di estrarre il segnale utile, ad esempiox0(t) quando il segnale ricevuto e` espresso come:

    y0(t) = H0x0(t) +M1i=1

    Hixi(t) + n(t) = H0x0(t) + i(t) + n(t) (4-1)

    dove xi(t) e` lisimo segnale trasmesso, n(t) e` il rumore bianco e Gaussiano, Hi e` il guadagno complessivo delcanale sul segnale isimo (comprensivo di path-loss, shadowing e fading) e i(t) e` linterferenza complessiva.

  • Capitolo 4. Linterferenza nei sistemi radiomobili

    Figura 4.2

    Leffetto dellinterfenza dipendera` ovviamente in primo luogo dalla potenza complessiva del segnale i(t)e quindi dal valore dei guadagni Gi = |Hi|2. Tali termini sono determinati da condizioni di propagazionecasuali (shadowing e fading) e deterministiche (path-loss). Se un utente interferente si trova molto lontanodal ricevitore si ha ovviamente Gi >E[i(t)2]; (ii) sistema interference limited, quando E[n(t)2]

  • Capitolo 4. Linterferenza nei sistemi radiomobili

    Figura 4.3

    a(0)0 del bit effettivamente trasmesso a

    (0)0 dal calcolo della correlazione:

    a(0)0 = segn

    Real

    Tb0

    yi(t)H0 u

    0(t)dt

    Tb0|H0u0(t)|2dt

    = segn [Real()] (4-4)

    dove viene definita variabile di decisione, segn(x) rappresenta la funzione segno che vale +1 per x > 0 e-1 altrimenti e Real(x) rappresenta loperatore parte reale.

    Chiamiamo ora con i,j il coefficiente di correlazione fra le forme donda ui(t) e uj(t) utilizzate rispetti-vamente al trasmettitore i e j. Si ha:

    i,j =

    Tb0

    ui(t)uj (t)dt. (4-5)

    Utilizzando la (4-5) e la (4-3), la variabile di decisione puo` essere utilmente espressa come:

    = a(0)0

    G00,0 +

    1G00,0

    M1i=1

    a(i)0 Hi H0i,0 + N. (4-6)

    dove N e` una variabile aleatoria Gaussiana complessa a valor medio nullo e varianza 2N = 2N0 (N0 e` ladensita` spettrale di potenza media del rumore termico al ricevitore) e G0 = |H0|2 e` il guadagno di potenzadovuto al canale del trasmettitore 0.

    Si noti dalla (4-6) che nel caso in cui linterferenza sia prodotta da un numero molto elevato di interferentiindipendenti fra loro e di contributo simile, il termine interferente nella variabile di decisione puo` essere

    30

  • Capitolo 4. Linterferenza nei sistemi radiomobili

    approssimativamente considerato Gaussiano e quindi equivalente a rumore. In questo caso la regola didecisione ottima e` proprio quella che si basa sul ricevitore a correlazione.

    Vediamo ora un esempio pratico per valutare in che modo linterferenza influisce sulla probabilita` dierrore per bit Pe. Si consideri M = 2 e si assuma che i segnali trasmessi nellintervallo 0 t < Tb dai duetrasmettitori siano:

    x0(t) = a(0)0 cos (2pif0t) 0 t < Tb

    (4-7)

    x1(t) = a(1)0 cos (2pif0t) 0 t < Tb

    ovvero si consideri una modulazione PSK2. La rappresentazione equivalente passa basso dei segnali trasmessie`:

    x0(t) = a(0)0 rect

    (t 0.5Tb

    Tb

    )= a

    (0)0 u0(t)

    (4-8)

    x1(t) = a(1)0 rect

    (t 0.5Tb

    Tb

    )= a

    (1)0 u1(t).

    In accordo con la (4-3), il segnale ricevuto puo` essere espresso in questo caso:

    yi(t) = a(0)0 H0u0(t) + a

    (1)0 H1u1(t) + n(t). (4-9)

    Rappresentando ora i termini complessi H0 e H1 nella forma polare, ovvero H0 = |H0|ej1 =

    G0ej1 e

    H1 = |H1|ej2 =

    G1ej2 , e` immediato ricavare la variabile di decisione dalle (4-5),(4-6):

    = a(0)0

    G0Tb + a

    (1)0

    G1Tbe

    j(21) + N = a(0)0

    2Eb,0 + a

    (1)0

    2Eb,1e

    j + N (4-10)

    dove Eb,0 =G0Tb

    2 e Eb,1 =G1Tb

    2 rappresentano rispettivamente lenergia per bit del segnale 0 e 13. In

    accordo con la (4-4), e` possibile ora ricavare la stima del simbolo informativo come:

    a(0)0 = segn

    (a

    (0)0

    2Eb,0 + a

    (1)0

    2Eb,0cos() + N

    )

    (4-11)

    dove N = Real(N) e` una variabile aleatoria Gaussiana a valor medio nullo e varianza N04.

    Valutiamo ora le probabilita` di errore Pe condizionate:

    Pe|a(0)0 = 1, a(1)0 = 1 = Prob.{N <

    2Eb,0

    2Eb,1cos()

    }

    Pe|a(0)0 = 1, a(1)0 = 1 = Prob.{N <

    2Eb,0 +

    2Eb,1cos()

    }(4-12)

    Pe|a(0)0 = 1, a(1)0 = 1 = Prob.{N >

    2Eb,0

    2Eb,1cos()

    }

    Pe|a(0)0 = 1, a(1)0 = 1 = Prob.{N >

    2Eb,0 +

    2Eb,1cos()

    }

    Assumendo ora che Prob{a

    (0)0 = 1

    }= 0.5 e Prob

    {a

    (1)0 = 1

    }= 0.5, e considerando che N e` una variabile

    aleatoria Gaussiana a valor medio nullo e varianza N0, e` facile ricavare:

    Pe =1

    4

    [1 erf

    (Eb,0 +

    Eb,1cos()

    N0

    )]+

    1

    4

    [1 erf

    (Eb,0

    Eb,1cos()

    N0

    )]. (4-13)

    2La modulazione PSK e` un tipo di modulazione antipodale.3Lenergia per bit del segnale equivalente passa basso e` doppia rispetto a quella effettiva.4La varianza della parte reale del rumore complesso e` pari alla meta` della varianza totale.

    31

  • Capitolo 4. Linterferenza nei sistemi radiomobili

    Se ora chiamiamo con = E0E1cos()2

    il rapporto segnale utile interferenza, si ottiene:

    Pe =1

    4

    {1 erf

    [Eb,0N0

    (1 +

    1

    )]}+

    1

    4

    {1 erf

    [Eb,0N0

    (1 1

    )]}. (4-14)

    In Fig. 4.4 si risportano le curve della Pe ricavata in (4-14) per diversi valori di espresso in dB. Si noti

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201018

    1016

    1014

    1012

    1010

    108

    106

    104

    102

    100

    Eb/N0 dB

    Pe

    = 0 dB = 1 dB

    = 5 dB

    = 10 dB

    = 15 dB

    = dB

    Figura 4.4

    che, come del resto era lecito attendersi, al diminuire del rapporto segnale interferenza le prestazioni delricevitore peggiorano e tendono a diventare sempre meno dipendenti dal rapporto

    Eb,0N0

    . In altri termini, ilsistema tende a diventare interference limited. Le prestazioni migliori daltra parte si hanno quando tendeallinfinito, ovvero nel caso di rumore additivo bianco e Gaussiano.

    Nellesempio considerato valori elevati di si possono ottenere solo quando lenergia per bit del segnaleinterferente E1 e` piccola rispetto a quella del segnale utile

    5. Questo risultato puo` essere ottenuto progettandoil sistema in maniera tale che gli interferenti si trovino a distanze molto superiori rispetto al segnale utile.

    Unalternativa e` quella di costruire delle forme donda in banda base (da associare a segnali trasmessida diversi trasmettitori) tali che le correlazioni i,j definite in (4-5) siano nulle. Questo puo` essere otte-nuto attraverso lutilizzo di tecniche di accesso multiplo che assegnino ai vari utenti forme donda fra loroortogonali.

    Come si e` visto nellesempio numerico precedente, la valutazione delle prestazioni in presenza di interfe-renza e` un problema assai complesso. Tuttavia, allaumentare del numero degli interferenti il loro contributototale tende a diventare una variabile aleatoria Gaussiana, per cui la variabile di decisione espressa in (4-6)puo` essere ricondotta al classico esempio di canale AWGN. In particolare, assumendo che i vari contributiinterferenti siano fra loro indipendenti, e` facile ricavare il rapporto segnale rumore 6 a valle del correlatore inricezione, ovvero il rapporto fra il quadrato del contributo informativo contenuto nella variabile di decisione e la varianza del termine di rumore. Tale termine viene generalemente indicato con b = Eb/I0, ovvero

    5In realta` dipende anche dallo sfasamento relativo che tuttavia, data la natura non controllabile del canale, dovra` essereconsiderata una variabile aleatoria.

    6Per rumore si intende qui la somma del rumore e dellinterferenza.

    32

  • Capitolo 4. Linterferenza nei sistemi radiomobili

    energia per bit su densita` spettrale di potenza dellinterferenza. Considerando nella (4-6) come segnale utileil generico segnale i simo, b puo` essere calcolato nella sua forma generale come:

    b =G0i,i

    M1j=0j 6=i

    Gjj,j|i,j |2

    i,ij,j+ 2N0

    . (4-15)

    Se nella (4-15) sostituiamo P(i)rx Tb = 0.5Gii,i e indichiamo con %i,j =

    |i,j |2

    i,ij,jil coefficiente di correlazione fra

    le forme donda in banda base 7, si ha:

    b =P

    (i)rx

    M1j=0j 6=i

    P(j)rx %i,j + N0Rb

    . (4-16)

    4.2 Tecniche di accesso multiplo FDMA e TDMA

    Come detto precedentemente, una tecnica di MA efficace deve assegnare le forme donda ui(t), con i =0, . . . , M 1, in modo che:

    i,j =

    Tb0

    ui(t)uj (t)dt = 0 se i 6= j. (4-17)

    Un primo modo per ottenere questo obiettivo e` quello di far trasmettere i vari utenti in istanti diversi. Inaltri termini, poiche la correlazione in (4-17) viene zero quando una delle due funzioni integrande e` zero, persoddisfare la condizione in (4-17) sara` sufficiente far trasmettere un solo utente per volta in ogni intervallotemporale di lunghezza almeno pari a Tb. Questo approccio viene detto Time Division Multiple Access(TDMA). Nelle tecniche TDMA ogni utente ha a disposizione un certo tempo, detto slot temporale, in cuitrasmette solo lui. Finito il tempo di slot, il sistema disabilita lutente in questione per abilitarne un altro.Durante un periodo di tempo fisso, detto frame, ogni utente nel sistema viene abilitato a trasmettere unasola volta; il tempo di frame Tf e` quindi pari a Tf = MTs, dove Ts e` il tempo di slot mentre M e` il numerodi utenti che si contendono laccesso al canale.

    Se Tb e` il tempo di bit, in un contesto TDMA il bit rate effettivo e` Rb,eff =1

    MTb= Rb

    M. Ogni utente,

    quando e` abilitato a trasmettere, puo` utilizzare tutta la banda a disposizione B = 1Tb = Rb. Si ottiene percio`Rb,eff =

    BM

    .Un altro modo per ottenere lortogonalita` fra i segnali trasmessi e` quello di trasmettere su frequenze

    diverse. Poiche le forme donda ui(t) sono limitate fra 0 e Tb, la correlazione (4-17) puo` essere riscritta come

    i,j =

    +

    ui(t)uj (t)dt =

    +

    Ui(f)Uj (f)df (4-18)

    dove Ui(f) e Uj(f) rappresentano rispettivamente la trasformata di Fourier di ui(t) e di uj(t)8.

    Quindi, lortogonalita` puo` essere ottenuta semplicemente facendo trasmettere i vari utenti su bande difrequenza disgiunte. In questo caso si parla di accesso multiplo a divisione di frequenza (FDMA, FrequencyDivision Multiple Access). Se B e` la banda totale a disposizione, ogni utente potra` utilizzare al limite unabanda effettiva Beff =

    BM

    . Assumendo Beff = 1/Tb,eff , si ha anche in questo caso un bit rate effettivoRb,eff =

    BM

    . Percio`, da questo punto di vista FDMA e TDMA forniscono le stesse prestazioni.Vediamo piu` in dettaglio quali sono vantaggi e svantaggi delle due soluzioni di MA descritte.

    7Tale termine e` un numero compreso fra 0 e 1.8Il risultato in (4-18) e` stato ottenuto applicando il teorema di Parceval.

    33

  • Capitolo 4. Linterferenza nei sistemi radiomobili

    Per quanto riguarda il TDMA occorre dire che tale tecnica deve poter consentire una trasmissione inter-mittente dellinformazione, risultando percio` adatta solo per trasmissioni di tipo digitale. Inoltre, la tecnicaTDMA richiede specifiche molto stringenti di sincronizzazione per poter funzionare correttamente. Infatti,in primo luogo e` necessario che il ricevitore sia in grado di capire quando inizia un nuovo slot, ovvero e`necessaria una sincronizzazione di slot. Questo viene fatto attraverso linvio di sequenze di tracking cherubano capacita` trasmissiva diminuendo lefficienza della comunicazione. In secondo luogo, e` necessaria unasincronizzazione perfetta fra i vari terminali mobili affinche` le varie trasmissioni in uplink non si sovrap-pongano rendendo inefficace la suddivisione temporale in slot. Tale problema non esiste ovviamente nellatrasmissione downlink (da stazione base a mobile) in quanto, trattandosi di una trasmissione da uno a molti,sara` in questo caso compito dellunico trasmettitore dedicare i diversi slot a diverse trasmissioni.

    La sincronizzazione dei vari terminali mobili viene spesso effettuata attraverso linvio di un segnale faroda parte della stazione base. Il segnale faro contiene delle sequenze note che delimitano linizio dei varislot temporali. Tale sincronizzazione, benche molto semplice da realizzare, non consente pero` di allineareperfettamente le trasmissioni dei vari utenti a causa dei diversi tempi di propagazione del segnale fra mobilee stazione radio-base. Il concetto e` illustrato in Fig. 4.5. Supponiamo ad esempio che un terminale mobile si

    Figura 4.5

    trovi in prossimita` della stazione base (tempo di propagazione del segnale praticamente nullo) mentre laltrosi trovi ad una certa distanza (tempo di propagazione del segnale pari a T ). In questo caso il terminalelontano si rende conto dellinizio dello slot T secondi dopo, ed inizia la trasmissione con un ritardo di Tsecondi rispetto al sincronismo perfetto. Il segnale del terminale lontano verra` percio` ricevuto dopo 2Tsecondi rispetto al sincronismo perfetto. Chiaramente, la trasmissione del segnale lontano, al quale adesempio viene assegnato lo slot 1, andrebbe ad interferire per un tempo pari a 2T con un eventuale utentevicino alla stazione base al quale fosse assegnato lo slot adiacente (ovvero lo slot 2). Per evitare cio`, occorrestabilire uno spazio di guardia, ovvero occorre che lultima parte dello slot, per un numero di bit totali paria 2RbT , non sia utilizzata per la trasmissione. Lintroduzione di spazi di guardia comporta ovviamente laperdita` di capacita` informativa da parte del sistema.

    Per fare un esempio, nel sistema GSM si prevede di dover operare con celle di dimensione massima fino

    34

  • Capitolo 4. Linterferenza nei sistemi radiomobili

    a 35 km. Per tale valore di distanza massima si ha T = 115s. Considerando che il tempo di slot vale 0.577ms, si ricava immediatamente che la percentuale di tempo occupata dallo spazio di guardia rispetto al tempodi slot e` pari al 39 %. Poiche questo valore e` molto elevato e` stata elaborata una strategia denominata timingadvance che permette di ridurre lo spazio di guardia a valori accettabili. Nelle procedure di segnalazioneche seguono la richiesta di canale, la stazione base informa il mobile del ritardo di sincronismo 2T (che laBS puo` misurare). Nelle successive trasmissioni il mobile e` in grado di correggere il sincronismo anticipandolinizio di trasmissione del valore segnalato dalla BS (detto timing advance). Ovviamente la procedura nonpuo` essere perfetta, ed un certo errore residuo rimarra`. Lo spazio di guardia residuo nel caso GSM e` paricirca al 5 % del tempo di slot.

    Oltre al non perfetto sincronismo, unaltra possibile fonte di non ortogonalita` perfetta fra i segnalitrasmessi dai veri utenti e` data dal multipath, ovvero dalla dispersione temporale del segnale. Questoeffetto pero` normalmente e` limitato a valori dellordine del tempo di bit o di poco superiori, percio` puo`essere trascurato.

    Unultima caratteristica dei sistemi TDMA e` data dal fatto che questi prevedono un bit rate sul canalemolto maggiore del bit rate effettivo (M volte superiore). Percio`, per mantenere le prestazioni ad un livelloaccettabile, e` necessario trasmettere con una potenza M volte superiore rispetto ad un sistema che prevedeuna trasmissione continua (ad esempio FDMA).

    Passando al sistema FDMA, occorre innanzitutto dire che questa tecnica risulta particolarmente adattaper le trasmissioni analogiche che non possono prevedere trasmissioni discontinue. Il problema maggiore deisistemi FDMA consiste nel fatto che il ricevitore si trova a dover ricevere segnali a banda molto stretta,almeno rispetto alla frequenza centrale di trasmissione. Il rapporto fra banda di un filtro passa banda efrequenza centrale del filtro stesso viene detto banda relativa ed e` un parametro molto critico per la proget-tazione di filtri accurati (selettivi). I sistemi FDMA del resto devono prevedere dei ricevitori caratterizzatida filtri molto selettivi per eliminare del tutto le interferenze delle bande adiacenti. Si tenga infatti presenteil fatto che le potenze ricevute dai vari terminali mobili alla stazione radiobase possono essere molto diversefra loro. Un utente vicino per esempio sara` ricevuto con una potenza estremamente superiore rispetto ad unutente lontano (effetto near-far). Se i filtri in ricezione non riescono ad eliminare completamente le bandeadiacenti, si hanno interferenze molto pesanti che tendono ad oscurare completamente gli utenti lontani.Per evitare di dover utilizzare filtri di complessita` realizzativa troppo spinta (banda relativa piccola), si e`costretti ad utilizzare degli spazi di guardia in frequenza abbastanza pesanti dal punto di vista dellefficienzadel sistema.

    Un vantaggio dei sistemi FDMA e` quello di non necessitare di alcun tipo di sincronizzazione fra i terminalimobili. Inoltre, poiche tali sistemi prevedono la trasmissione di segnali a banda stretta, risulta praticamentesempre verificata la condizione di canale non selettivo in frequenza. Infine, come detto precedetemente, isistemi FDMA consentono la trasmissione con potenze di picco molto inferiori rispetto ai sistemi TDMA.

    4.3 Utilizzo delle tecniche SS per laccesso multiplo al canale

    I sistemi SS analizzati precedentemente consentono, come visto, di ottenere buone prestazioni su canaliaffetti da multipath fading. Inoltre, come vedremo in questo paragrafo, consentono anche di realizzare delletecniche di accesso multiplo al canale cosiddette CDMA (Code Division Multiple Access).

    Iniziamo con il considerare le tecniche FH. Supponiamo che ogni utente abbia a disposizione un certonumero N di frequenze e che il numero di slot temporali di lunghezza TH sia pari a L

    9. La sequenza di

    spreading associata al generico utente i simo sara` percio` data dalla sequenza g(i)n ={i(i)1 , i

    (i)2 , . . . , i

    (i)L

    }.

    Ovviamente, se N M , dove M e` al solito il numero di utenti nel sistema, esistono molte possibili combina-zioni di sequenze di spreading da assegnare ai vari utenti in maniera che ciascuno ne utilizzi una diversa in

    9Fino ad ora si e` assunto che il numero di slot temporali debba essere uguale al numero di frequenze a disposizione, ovveroal fattore di spreading. Questo implica imporre il vincolo che in ogni ciclo vengano utilizzate tutte le frequenze a disposizione,vincolo che in generale puo` essere rimosso.

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  • Capitolo 4. Linterferenza nei sistemi radiomobili

    ogni slot temporale di lunghezza TH . Scegliendo una qualsiasi di queste combinazioni, si ottiene un accessomultiplo al canale di tipo FDMA con la differenza che ogni tempo TH gli utenti cambiano frequenza. Lasituazione viene illustrata in Fig. 4.6 nel caso in cui M = N . In questo modo e` possibile far trasmettere

    Figura 4.6

    contemporaneamente N utenti con la stessa efficacia delle tecniche di tipo FDMA o TDMA dal punto divista del bit rate effettivo, mantenendo al tempo stesso i vantaggi tipici dei sistemi SS. Come si puo` facil-

    mente intuire il numero di possibili sequenze g(i)n , con i = 0, . . . , N 1 e n = 0, . . . , L 1 che permettono

    unortogonalita` fra i differenti utenti e` molto elevato. Se ad esempio consideriamo L = 1, si ha che tuttele combinazioni di N frequenze a disposizione possono essere assegnate ai vari utenti, ovvero si hanno adisposizione N ! possibili sequenze di spreading. Se L > 1 tale numero cresce fino a (N !)L. Il problema none` di poco conto poiche i vari utenti devono in qualche modo essere informati della sequenza di spreadingche possono utilizzare per non creare/ricevere interferenza. Tale informazione puo` essere inviata dalla reteche deve utilizzare a questo scopo un numero di bit pari a Nb = Llog2(N !). Se consideriamo ad esempioN = 50 e L = 10 si ha Nb = 2100, ovvero occorrono piu` di 2 Kbit per informare gli utenti delle sequenze dispreading che possono utilizzare.

    Quando il numero di frequenze a disposizione diventa molto elevato, un modo alternativo per crearelaccesso multiplo potrebbe essere quello di far generare a ciascun utente in maniera casuale la sequenzadi spreading (ovviamente ciascun utente deve informare il corrispondente ricevitore della scelta fatta). In

    altri termini si puo` assumere che le sequenze di spreading g(i)n siano sequenze pseudo random generate per

    esempio a partire da un seme che e` conosciuto solo dal trasmettitore e dal corrispondente ricevitore chequindi e` in grado di ricostruire la stessa sequenza. Ogni utente deve utilizzare un seme diverso in modo

    che due sequenze g(k)n e g

    (l)n , con k 6= l, siano indipendenti fra loro. Operando in questo modo e` impossibile

    richiedere che le forme donda utilizzate dai differenti utenti siano fra loro ortogonali (vi sara` una certaprobabilita` che in ogni slot 2 o piu` utenti trasmettano sulla stessa frequenza). Facendo una valutazionestatistica si avra` che in un generico slot la probabilita` di essere nello stato good Pg, ovvero la probabilita`che un solo utente trasmetta su quella frequenza (rendendo cos` possibile la comunicazione), sara` pari allaprobabilita` che tutti gli altri ne scelgano unaltra. Poiche la probabilita` di scegliere un altra frequenza e`

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