Dipartimento di Informatica e Sistemistica

Dipartimento diInformatica e Sistemistica

Alessandro DE CARLI Anno Accademico 2006-07

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLOCALCOLO DIRETTO DELL’EVOLUZIONE

DI UN SISTEMA DINAMICO

INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE 2

INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE

• ASSEGNATI N COPPIE DI VALORI DELLA ASCISSA Ti E DELLA

CORRISPONDENTE ORDINATA Yi , L’INTERPOLAZIONE TRAMITE

SPLINE CONSENTE DI CALCOLARE L’ANDAMENTO DELLA CURVA CONTINUA, ANCHE NELLA DERIVATA PRIMA E SECONDA, CHE PASSA IN PUNTI ASSEGNATI

• L’INTERPOLAZIONE È EFFETTUATA TRAMITE UNA CUBICA I CUI COEFFICIENTI SONO CALCOLATI IN FUNZIONE DEI VALORI ASSEGNATI Ti E Yi (ASCISSE E ORDINATE)

• IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE DELLA CURVA INTERPOLANTE È FISSATO DALL’UTENTE

• I VALORI DISCRETIZZATI DELLA CURVA INTERPOLANTE, INSIEME CON I COEFFICIENTI RELATIVI AI SINGOLI TRATTI DI CURVA INTERPOLANTE, POSSONO ESSERE CALCOLATI APPLICANDO LE ISTRUZIONI DEL MATLAB

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO


L’ISTRUZIONE MATLAB PER CALCOLARE I VALORI DELLA CURVA INTERPOLANTE È

y = spline(T,Y,t)

IN CUI:

y È IL FILE RELATIVO AI VALORI DISCRETIZZATI DELLA CURVA INTERPOLANTE

T È IL FILE RELATIVO ALLE ASCISSE DEI VALORI ASSEGNATIT = [ T1 T2 • • • • TN ]

Y È IL FILE RELATIVO ALLE CORRISPONDENTI ORDINATEY = [ Y1 Y2 • • • • YN ]

t È IL FILE RELATIVO ALLA BASE DEI TEMPI CON PASSO DI DISCRETIZZAZIONE dt



INTERPOLAZIONE CON SPLINE

yi(t) = ai t3 + bi t2 + ci t + di 0 < t < ti

DERIVATA PRIMA

DERIVATA SECONDA

DERIVATA TERZAt1

t2

t3t4

t5a1b1c1d1

a2b2c2d2

a3b3c3d3

a4b4c4d4

a5b5c5d5




5

CALCOLO DELLA SPLINE INTEPOLANTELA SPLINE INTERPOLANTE È COSTITUITA DALLA COMBINAZINE LIARE DELLA SEGUENTI VARIABILI DI TIPO CANONICO:

• GRADINO• RAMPA LINEARE• RAMPA QUADRATICA• RAMPA CUBICA

I COEFFICIENTI DELLA INTERPOLAZIONE LINEARE SONO CALCOLATI IN MODO DA GARANTIRE LA CONTINUITÀ DEL VALORE ISTANTANEO, DELLA DERIVATA PRIMA E DELLA DERIVATA SECONDA. A TALE SCOPO VIENE UTILIZZATA L’ISTRUZIONE MATLAB:

K0 = spline(T,Y);KK=K0.coefs;

d1

c1

b1

a1

d2

c2

b2

a2

d3

c3

b3

a3

d4

c4

b4

a4

…………

…………

KK =

IN CUI:



6

(0)= 0

(t)= (t)•

u(t)= T (t)

u(t)

0 =

00

10 =

0 1 000 1

0 0 000 0

00

01 i =

6 ai

2 bi

di

ci

0 < t < Ti+1 - Ti

0 i =

di

ci

6 ai

2 bi =

0 1 000 1

0 0 000 0

00

01 i =

00

10

LA SPLINE INTERPOLANTE PUÒ ESSERE CACOLATA ANCHE COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTENA DINAMICO CON 4 POLI NELLE ORIGINE


AUTOMAZIONE INDUSTRIALE

7

ISTRUZIONI MATLAB PER IL CALCOLO DEI COEFFICIENTI

K0=spline(T,Y);KK=K.coefs;

-0.5786

-0.5786

0.1498

0.1242

-0.3005

0.9232

0.9232

2.6799

1.8120

-0.7919

-0.2977

0.5967

-0.4849

0.1300

-2.9953

-0.7494

0.7808

-0.4177

0.2999

0.4341

-0.3467

0.6000

-0.3000

0.7000

0.8000

-0.2000

0.5000

0.1000

0.60.0

0.5 -0.3

2.0 0.7

3.1 0.8

5.5 -0.2

6.7 0.5

0.18.9

10.0 0.0

1

2

3

4

5

6

7

8

aiKK(i:i,4:4)Ti Yii

DATI DI PROVA COEFFICIENTI MATRICE KK

biKK(i:i,3:3)

ciKK(i:i,2:2)

diKK(i:i,1:1)



8

-.4

-.2

0

.2

.4

.6

.8

2 4 6 8 10t (sec)

2 3 4 5 6 71

t1 t2

t3 t5 t7t4 t6

1 =

-3.4718

0.6000

-2.9953

5.35984 =

0.7453

0.8000

-0.4177

-0.59545 =

-1.8028

-0.2000

0.2999

1.19346 =

0.5591

0.5000

-2.9953

-0.96992 =

-3.4718

-0.3000

-0.7494

3.62393 =

0.8985

0.7000

0.7808

0.89857=

0.5591

0.1000

-0.3467

0.2601

u(t1) = 1 exp( t1) 0

u(t2) = 2 exp( t2) 0

u(t3) = 3 exp( t3) 0

u(t4) = 4 exp( t4) 0

u(t5) = 5 exp( t5) 0

u(t6) = 6 exp( t6) 0

u(t7) = 7 exp( t7) 0

CALCOLO DELL’EVOLUZIONE


9

CALCOLO CONGIUNTO DELLA EVOLUZIONE LIBERA E DELLA EVOLUZIONE FORZATA DI UN SISTEMA DINAMICO COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTEMA A STATO AUMENTATO

SISTEMA DINAMICO LINEARE E STAZIONARIO

VARIABILE DI FORZAMENTO DI TIPO ESPONENZIALE

•

y(t) = cT x(t)

x(t) = A x(t) + b u(t) x(0) = x0

u(t) = 1

u(t) = t

u(t) = t2/2

u(t) = t3/6


10

(0)= 0

(t)= (t)•

u(t)= T (t)

•

y(t) = cT x(t)

x(t) = A x(t) + b u(t)

x(0)= x0

y(t)u(t)

0 1

0 0 =

0

1=

0

10 =

0 = 1 = 10 =

1

u(t

)

1/6

u(t

)

1/2

1

u(t

) t (sec)

u(t

)

1

= = 0 =0 1 0 0 0

00 1 0 000 0 1 1

= = 0 =

0 1 0 0 000 1 0 0

0 0 0 1 100 0 0 0

00

01




11

x(0)= x0(0)= 0

(t)= (t)•

u(t)= T (t)

•

y(t) = cT x(t)

x(t) = A x(t) + b u(t)y(t)u(t)

(t) =x(t)

(t)S =

A

b T

0 =x0

0

A

B T

(t)cT

0 I0 y(t)

u(t)(t) = e S t



12

e S

t =e

A

t

e

t0

(e

A

te

t) b(t) A-1(e

A

t – I)b(t)

x(t) = (t) x0 + (t) 0

EVOLUZIONELIBERA E FORZATA

DELLE VARIABILI DI STATODEL SISTEMA DINAMICO

u(t) = e

t (t)EVOLUZIONE

DELLA VARIABILEDI FORZAMENTO

y(t) = cT x(t)EVOLUZIONE

LIBERA E FORZATADELLA VARIABILE DI USCITA

DEL SISTEMA DINAMICO

CALCOLO DELL’OSCILLAZIONE PERMANENTE


13

CALCOLO DIRETTO DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTEIPOTESI1 - È ASSEGNATO L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO

2 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO PUÒ ESSERE SUDDIVISA IN ALCUNI TRATTI CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO

3 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO

PER CALCOLARE L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE PERMANEN-TE OCCORRE CONOSCERE IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x0

RELATIVO AD UN ISTANTE DEFINITOPROCEDURA

1 - VIENE RICAVATA LA MATRICE DEL SISTEMA A STATO AUMENTATO CHE FORNISCE L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO NONCHÉ L’EVOLUZIONE LIBERA E DELL’EVOLUZIONE FORZATA DEL SISTEMA DINAMICO

2 - VIENE CALCOLATO IL VALORE NUMERICO DELLA SOLUZIONE PER OGNI INTERVALLO DI TEMPO IN CUI È STATO SUDDIVISO L’ANDAMENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO


14

3 - VENGONO CONCATENATE LE SINGOLE SOLUZIONI IN FUZIONE DELLA SOLA INCOGNITA x0

4 - VIENE RISOLTA L’EQUAZIONE LINEARE CHE FORNISCE IL VALORE DELL’INCOGNITA x0

5 - VIENE CALCOLATO IN FUNZIONE DI x0 L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE PERMENTENTE CHE COINCIDE CON LA VARIABILE DI USCITA DEL SISTEMA DINAMICO

ESEMPIO

CALCOLO DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTE DI UN SISTEMA DINA-MICO IL CUI FORZAMENTO È OTTENUTO DA UN RELÈ IN CUI LA DU-RATA DEL CICLO DI COMMUTAZIONE È PREFISSATA

ASPETTI INNOVATIVI DEL METODO

METODO DI CALCOLO DI TIPO DIRETTO IN CUI LA PRECISIONE DEL RISULTATO È INDIPENDENTE DAL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE E DALLA CONDIZIONE SCELTA PER LA VERIFICA DELLA PERIODICITÀ

L’APPROCCIO CONVENZIONALE CONSISTE NEL FISSARE IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE E LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ. VIENE APPLICATO UN METODO ITERATIVO DI RICERCA DELLA SOLUZIONE


CONDIZIONE DIPERIODICITÀ


15

t1

t2a1

a2

0a1

0 1 =0

-a2

0 2 =

(t1)

(t1)

(t2)

(t2)

x0 x(t1) x0

x(t1) = (t1) x0 + (t1) 01

x(t2) = (t2) x(t1) + (t2) 02 = x0

x0= (t2)((t1) x0 + (t1) 01 ) + (t2) 02

x0 = ((t2)(t1) – I)-1 ((t2)(t1) 01 + (t2) 02 )

PER 0 < t < t1 y(t) = cTx(t) = cT((t) x0 + (t) 01 )PER 0 < t < t2 y(t) = cTx(t) = cT((t) x(t1) + (t) 02 )

TRACCIAMENTO DELL’ANDAMENTO

CALCOLO DIRETTO DELLE CONZIONI INIZIALI



16

CALCOLO DIRETTO DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITEIPOTESI1 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO2 - È ASSEGNATO L’ANDAMENTO DELLA NON LINEARITÀ3 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO È SUDDIVISA IN ALCUNI TRATTI

CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO

PER CALCOLARE L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMI-TE OCCORRE CONOSCERE LA DURATA DEL PERIODO T* E IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x 0(T*) IN CORRISPONDENZA DELL’ISTAN-

TE INIZIALE DI UN PERIODOPROCEDURA1 - VIENE RICAVATA LA MATRICE DEL SISTEMA A STATO AUMENTA-

TO CHE FORNISCE L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZA-MENTO E L’EVOLUZIONE LIBERA E FORZATA DEL SISTEMA DINAMICO

2 - VIENE CALCOLATO IL VALORE NUMERICO DELLA SOLUZIONE PER OGNI INTERVALLO DI TEMPO IN CUI È STATO SUDDIVISO L’ANDA-MENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO

CALCOLO DEL CICLO LIMITE


17

3 - VIENE RICAVATA LE CONDIZIONE DI PERIODICITÀ

6 - VIENE CALCOLATO IL CORRISPONDENTE VALORE NUMERICO DEL VETTORE CONDIZIONI INIZIALI X(0)

4 - VIENE RICAVATA LE CONDIZIONE DI INVERSIONE DI SEGNO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO

5 - VIENE ASSEGNATO UN VALORE DI TENTATIVO ALLA DURATA T DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITE

7 - VIENE CONTROLLATO SE RISULTA VERIFICATA LA CONDIZIONE DI VARIAZIONE DEL SEGNO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO

8 - SE TALE CONDIZIONE NON RISULTA VERIFICATA VIENE MODIFICATO IL VALORE DEL PERIODO T. LA PROCEDURA RIPARTE DAL PASSO 6

9 - SE RISULTA VERIFICATA RISULTA DETERMINATO IL PERIODO T* DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITE E IL CORRISPONDENTE VALORE X*(0) DELLE CONDIZIONI INIZIALI

10 –UNA VOLTA DETERMINATI I VALORI DI T* E DI X*(0) , VIENE CALCOLATO L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE TRAMITE IL MODELLO DINAMICO PRECEDENTEMENTE RICAVATO


CONDIZIONE DIPERIODICITÀ


18

0a

0 =0a

0 = -

(T/2)

(T/2)

(T/2)

(T/2)

x0 x(t1) x0

x(T/2) = (T/2) x0(T) + (T/2) 0

x0(T) = x0(0) = - x0(T/2)

CONDIZIONE DI PERIODICITÀ

a

T/2

T/2

a

x(T) = (T/2) x(T/2) - (T/2) 0 = x0(T)

x0(0) = ( (T/2) + I )–1 (T/2) 0

CALCOLO DIRETTO DELLE CONZIONI INIZIALI

y(0) = y(T/2) = 0

CONDIZIONE DI INVERSIONE DI SEGNODELLA VARIABILE DI FORZAMENTO



19

s3 + 3 s2 + 3 s + 111

-1+-

y*(t) = 0 y(t)u(t)e(t)

-10

0

1-1

0

01

-1A =

00

1b =

10

0c

T = 0 = 1=

y(0

)

T/2

T*/2

0 T*

tempo

CICLO LIMITE

ESEMPIO



20

CALCOLO DIRETTO DEL CONTENUTO ARMONICODI UNA OSCILLAZIONE PERMANENTE

IPOTESI1 - È ASSEGNATA LA DURATA DI UN PERIODO E L’ANDAMENTO

DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO2 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO PUÒ ESSERE SUDDIVISA IN

ALCUNI TRATTI CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO3 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO

IL VALORE DELLE COMPONENTI ARMONICHE COINCIDE CON L’EVOLUZIONE FORZATA DELLE VARIABILI DI STATO DI UN SISTEMA DINAMICO IN CUI:

4 - È GIÀ STATO CALCOLATO IL VALORE CONDIZIONI INIZIALI X0 IN CORRISPONDENZA DELL’ ISTANTE INIZIALE

5 - È NOTO L’ORDINE DELL’ARMONICA DI CUI SI DEVONO CALCOLARE LE COMPONENTI ARMONICHE

1 - LA MATRICE DINAMICA È CARATTERIZZATA DA DUE POLI COMPLESSI DI VALORE COINCIDENTE CON LA PULSAZIONE DELLA ARMONICA DI CUI DEVONO ESSERE CALCOLATE LE COMPONENTI

CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO


21

2 - L’EVOLUZIONE DINAMICA PARTE DA CONDIZIONI INIZIALI NULLE3 - IL VALORE DELLE VARIABILI DI STATO ALLA FINE DI UN

PERIODO COINCIDE CON LE COMPONENTI ARMONICHE DELLA OSCILLAZIONE PERIODICA

AGGREGANDO AL MODELLO DINAMICO DEL SISTEMA IN ESAME QUELLO DEL:

1 - SISTEMA DINAMICO CHE CONSENTE IL CALCOLO DIRETTO DELLA EVOLUZIONE FORZATA

2 - SISTEMA DINAMICO CHE CONSENTE IL CALCOLO DIRETTO DELLE COMPONENTI ARMONICHE

VIENE CALCOLATA:

1 - L’OSCILLAZIONE PERMANENTE

2 - L’ANDAMENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO

3 - LE COMPONENTI ARMONICHE

COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTEMA DINAMICO A STATO AUMENTATO ESTESO AL CALCOLO DELLA EVOLUZIONE E DELLE COMPONENTI ARMONICHE CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO


22

VANTAGGI DEL METODO DIRETTO PER IL CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO:

1 - NEL CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE COINCIDE CON QUELLO DI DISCONTINUITÀ DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO;

2 - L’ANDAMENTO DELLA FORMA D’ONDA PERIODICA NON SUBISCE APPROSSIMAZIONI COLLEGATE ALLE MODALITÀ DI ELABORA-ZIONE DELL’ALGORITMO DI CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO;


3 - IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE DIPENDE SOLO DALLE DISCONTINUITÀ DELLA VARIABILE DI DORZAMENTO E NON DALL’ORDINE DELL’ARMONICA ;

4 - LE ARMONICHE DI ORDINE SUPERIONE SONO CALCOLATE CON UNA PRECISIONE CHE DIPENDE SOLO DALLA LUNGHEZZA DI PAROLA UTILIZZATA NELLE ELABORAZIONI NUMERICHE.


23

y(t) = cT x(t)

•x(t) = A x(t) + b u(t)

x0(0)= 0

(t)= (t)•

u(t)= T (t)

u(t) y(t)

(t)= (t) + y(t)•

0= 0

(1)

(2)

=

2 T

n

2 T

- n

0

0=

0

2T

Tn (1)=

0

2 T

ncos( )t y(t) dt2T n

(2)=

0

T2 T

nsin( )t y(t) dt2T

y(t) = cTx(t) = cT((t) x0 + (t) 0 )



24

(t) =(t)

(t) =

S

cT 0]

0

0 =0

0

(t) = (t) • (0) = 0

x(t)

(t)

(t)

VARIABILI DI STATO

FORZAMENTO

COMPONENTIIN FASE E

IN QUADRATURA

A0

cT

00

b0

x(t)

(t)(t)

•

••

= 0

x0

0

x0 0


P W MPULSE WIDTHMODULATION

SISTEMA DACONTROLLARE

ATTUATOREON-FF

y(t)m(t) u(t)


25

(s+1)(s+3)

2s+6s1

s2+.5s+1.5

1

METODO DIRETTO 2 ITERAZIONI: 1 CONDIZIONI INIZIALI

2 TRACCIAMENTO

METODO INDIRETTO 18 ITERAZIONI:2 AGGIORNAMENTO DELLE

CONDIZIONI INIZIALI

1 TRACCIAMENTO

tempoT


t

T


26

0 10 20 30 40 50ordine delle armoniche

PROCEDURA:1 VENGONO CALCOLATE LE CONDIZIONI INIZIALI X0 PER IL

TRACCIAMENTO DELL’ANDAMENTO PERIODICO2 VENGONO INSERITE LE CONDIZIONI INIZIALI X0 NEL VETTORE

(T) PER IL CALCOLO DELLE COMPONENTE ARMONICHE DI ORDINE N

3 VIENE RIPETUTO IL CALCOLO ENTRO LO SPETTRO DI INTERESSE4 VIENE RICOSTRUITO L’ANDAMENTO UTILIZZANDO LE ARMONICHE


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