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M. Boscolo, Corso INFN macchine acceleratrici, Giugno 2007 Dinamica Trasversa per Macchine Circolari Manuela Boscolo INFN - LNF

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M. Boscolo, Corso INFN macchine acceleratrici, Giugno 2007

Dinamica Trasversa perMacchine Circolari

Manuela BoscoloINFN - LNF

M. Boscolo, Corso INFN macchine acceleratrici, Giugno 2007

Gli acceleratori circolari

E.O.Lawrence (1930) ebbe la brillante idea di curvare le particelle su una traiettoria circolare, facendole ripassare molte volte nello stessa cavità a radiofrequenza.Negli acceleratori circolari il campo magnetico B è diretto verticalmente; se una particella relativistica di momento p viaggia nel campo magnetico perpendicolare la variazione di momento è

dp/dt=e v x B

il raggio di curvatura della traiettoria dipende dalla carica e dall’energia della particella

Bvqdt

pd rrr

×=

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Equazione fondamentaleper descrivere il movimento di una particella in un

acceleratoreIl moto di una particella carica è modificato dai campi elettromagnetici

Er

= campo elettrico= campo magneticoB

r( )BvEqdtpd rrrr

×+=

caricaqvelocitàv

massammmomentovmp

o

==

====

r

rr

γctscv

≈≈≈ 1β

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BREVE RICHIAMO DI FORMULE RELATIVISTICHE

21

1

β−=γ1

cv

≤=β

E = γEo = γmoc2Eo = moc

2

cEp β

=

Particelle ultrarelativistiche 1→β

0mE >>Nell’accelerazione

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• Per piccoli valori di β (v<<c) valgono le regole della meccanicaclassica (E=mv2/2), mentre quando β è dell’ordine di 1 sono validequelle relativistiche (E=γmoc2)

• In particolare, quando v si avvicina a c ogni forma diacccelerazione (fornitura di energia alla particella) si traduce in un aumento di massa relativistica, con un piccolissimo aumentodella velocità

• La condizione β=0.99 si ottiene per un energia di un elettrone di3.6 MeV, mentre ciò vale per un protone da 6651.2 MeV

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Particelle cariche

200 cmE =

Massa=Energia a riposodi una particella

e-, e+ p, p

Eo (MeV) 0.511 938.27

m (kg) 9.11 10-31 1.67 10-27

• Il MeV è l’unità comunemente usata per la misura dell’energia delleparticelle accelerate. 1 eV è l’energia acquistata da un elettrone cheattraversa una differenza di potenziale di 1 V.

• Analogamente il MeV viene usato per indicare la massa a riposo delleparticella

• Un elettrone, la cui massa in unità convenzionali è di 9.109x10-31 Kg viene quindi ad avere una massa a riposo di 0.511 MeV/c2

• Per un protone di 1.673x10-27 Kg, la massa a riposo è di 938.27 MeV/c2

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Accelerazione = aumento di energia

Velocità delle particelle normalizzata alla velocità della lucein funzione dell’energia

La variazione di velocità è trascurabile

al di sopra di una certa energia

β = v/c

energia cinetica

e- relativistici a E> 1MeVp relativistici a E> 1000 MeV

Ec=E-E0

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Campi elettrici

EFrrrr

qdt

)vm(ddtpd

===( )BvEqdtpd rrrr

×+=

Accelerazione: aumento di velocità

+ aumento di energia

con le cavità a radiofrequenza

(come nei linacs)

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Sistema di riferimento

x

y

s

x – orizzontaley – verticales – longitudinale sulla traiettoria di riferimento

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( )BvEqdtpd rrrr

×+= Campi magnetici

ρ= θ

θ

2y

mvBqv

y

B

v

Fr

La particella si muove sull’orbita circolare di raggio ρquando la forza di Lorentz bilancia quella centrifuga

qBp

qBvmo =

γ=ρ

)c/GeV(p3.3)m()T(B =ρ Rigidità magnetica

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In ogni acceleratore esiste una traiettoria di riferimento

sulla quale viaggia la particella nominale(energia nominale, momenti trasversali nulli)

In un acceleratore circolare tale traiettoria èun’ orbita chiusa

formata da archi di cerchio e tratti drittiy

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Siccome le particelle fanno traiettorie deviate rispetto a quest’orbita

servono anche forze focheggianti che le mantengano vicine ad essa

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Magneti in un acceleratore circolare

DIPOLI: determinano la traiettoria di riferimentoQUADRUPOLI:mantengono le oscillazioni di tutte le particelle intorno alla traiettoria di riferimentoSESTUPOLI:correggono l’effetto cromatico dei quadrupoli

fascio

Campoelettrico

QUADRUPOLO

Particelle con diversa energia vengono

focalizzate in modo diverso: aberrazione

cromatica

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DIPOLICurvano la traiettoria

Campo magnetico verticale:

0

0

=

=

=

s

oy

x

B

BBB

componenti nel nostrosistema di riferimento ρ(m) = 3.3356 p(Gev /c)

B(T )

La particella che soddisfa questa relazione sulla traiettoria diriferimento è detta particella sincrona.

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QUADRUPOLIfocheggiano le traiettorie fuori asse

forze sulle particellecampo magnetico

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QUADRUPOLO

Fx

Fy

x

y

xy=const

Il campo di un quadrupolo ha la funzione di focheggiare(o defocheggiare) le particelle, e si comporta quindi comeuna lente “ottica”. Il suo campo ideale è lineare

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componenti del campo magnetico nel nostro sistema di riferimento:

Fx

Fy

0=

⋅−=

⋅−=

s

x

y

BygB

xgB

[ ]

[ ]ρB

gmk

magneticocampodelgradientectemTg

=

==

−2

/

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( )BvEqFrrrr

×+=Forza di Lorentz:

0=

⋅−=

⋅−=

s

x

y

BygB

xgB

qvgyqvBF

xqvgqvBF

xy

yx

−=−=

== la forza di focheggiamentoè lineare in x e y

Similmente a quanto accade nelle lenti ottiche una particella ètanto più focheggiata quanto maggiore è la sua distanza dall’asse.

kkykds

yd

kkxkds

xd

yy

xx

−==+

+==+

;0

;0

2

2

2

2

Un quadrupolofocheggia in x

e defocheggia in y

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DOPPIETTO

una coppia di quadrupolicon gradiente di segno opposto e

con lo stesso valore assolutoè focheggiante in ambedue i piani.

F D

D F

orizzontale

verticale

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Sequenza FODO

Il quadrupolo che focheggia nel piano orizzontale, defocheggia in quello verticale e viceversa

Una sequenza alternata di lenti focheggianti e defocheggianti ha uneffetto totale focheggiante se le distanze tra le lenti non sono troppo lunghe

La sequenza FODO focheggia nei due piani

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Oscillazioni di betatrone

Una particella con energia nominale e consegue la traiettoria nominalee passa al centro dei quadrupoli dove il campo magnetico è nullo

Se la sua posizione cambia per qualche motivo,passa fuori asse nei quadrupolie oscilla intorno alla traiettoria nominale:Oscillazione di betatrone

0'' ==== yyxx

x

Traiettoria nominale

Q Q

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Q

nzacirconferelunghezzaLLsksk xx

=

+= )()(D

Equazione di Hill:Oscillatore pseudoarmonicocostante elastica periodica2''

sx

∂∂

=

ρρρ Bsgsk

sBsgsk

yskyxskx

yx

yx

)()()(

1)()(

0)(''0)(''

2 −=+=

=+=+

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Poichè non esistono termini di attrito nell’equazione di Hill,l’energia delle oscillazioni di betatrone si conserva

durante il moto delle particelle. Come vedrete nelle lezioni sul moto longitudinale,

ciò non è vero per particelle ultrarelativistiche, per i qualiil termine di attrito è costituito

dall’emissione di luce di sincrotrone,associata a perdita di energia

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Radiazione di sincrotrone

Una particella carica che viaggia in una traiettoria curva emette fotoni, la cui energia dipende dalla massa e

dall’energia della particella e dal raggio di curvatura della traiettoria

In un anello di accumulazione l’energia persa viene compensata

dalle Cavità a radiofrequenza

Una particella carica che viaggia in una traiettoria curva perde energia.

U =4π3

romc2( )3

E 4

ρ

Energia persa per giro

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( )

( ) ( )[ ]δφαδφβ

δφβ

+++−=

+=

)(cos)()(sin)(

)('

)(cos)()(

ssss

Asy

ssAsySoluzione:

A, δ : costanti di integrazioneFunzioni di Twiss

β : ampiezza di betatrone

)()(1)(

)(21)(

)(

2

sss

sss

s

βαγ

βα

β

+=

∂∂

−=

φ : avanzamento di fase di betatrone

∫=)(

)(s

dssβ

φ

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La traiettoria trasversa descritta da ogni particella all’interno del pacchetto è una pseudo-sinusoide.

βa

βa

L’ inviluppo all’interno del quale sono confinate tutte le particelle

del pacchetto è proporzionalefunzione β

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Numero di betatroneIl tune è il numero di oscillazioni di betatrone in un giro

∫∫ ==βπ

φπ

dsdssQ yxyx 21)(

21

,,Avanzamento di fase per giro

Siccome le oscillazioni vengono guidate dai quadrupoli, il tune dell’anello viene determinato dai campi quadrupolari: Più forti sono i quadrupoli, più rapide sono le oscillazioni, maggiori sono i tunes

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Risonanze

ci sono quindi zone ‘proibite’nel diagramma dei tunes:

interi,,, pmnpmQnQ yx =+

La frequenza di betatrone non è un numero intero: se così fosse, qualunque

perturbazione ci fosse in un punto dell’anello sarebbe vista semprecon la stessa fase, e il suo effetto cumulativo potrebbe essere

distruttivo per la particella

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Le funzioni di Twiss (dette spesso funzioni ottiche) sono periodiche,e cioè il loro valore dipende solo dalla posizione longitudinale s.

Invece la posizione di una particella x(s) ed il suo angolo x’(s) rispetto alla traiettoria nominale

non si ripetono dopo un giro di macchina.

Se la struttura magnetica dell’acceleratore è costituita dauna sequenza di celle identiche,

le funzioni ottiche hanno la periodicità delle celle.

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βy

βx

Dx

Esempio di lattice di un anello

Funzioni ottiche di DAFNE

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Spazio delle fasi delle particelle

Le particelle di un fascio in un acceleratore non hanno tutte la stessa

energia, posizione, divergenzaDirezione di propagazione del fascio s

energia, posizione e divergenza hanno distribuzioni gaussiane

Il pacchetto di particelle è una gaussiana a 6 dimensioni nello spazio (x, x’,y, y’,s, E)

distribuzione

coordinatay

xs

Ogni piano del tipo (x,x’) oppure (y,y’) viene detto SPAZIO DELLE FASI

L’area occupata dalle particelle in ogni spazio delle fasi è detta EMITTANZA

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L’area dell’ellisse che contiene tutte le particelle del fascio è

EMITTANZA ε

ε==β+α+γ ellisse'dellareay'yy2y 22

α, β, γ, variano lungo s; l’area dell’ellisse è invece costante

I parametri di Twiss definiscono la forma e l’inclinazione dell’ellisse nello spazio delle fasi.

εβ

εγ

Momento trasversale

Dimensione trasversale

Se ci mettiamo in un punto della macchina di posizione longitudinale s ed osserviamo posizione ed angolo di una particella nei giri successivi,

vedremo che i rispettivi Xi ed X’i corrispondono sempre a punti sull’ellisse.

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L’emittanza si conserva qualunque sia la forza magnetica che agisce sulla particella:Teorema di Liouville

“la densità delle particelle nello spazio delle fasi è costante se le particelle si muovono in un campo magnetico esterno o in qualunque

campo in cui le forze siano conservative”

Le unità di misura dell’emittanza sonom rad

(dimensione * divergenza)

spazio delle fasi in diversi punti dell’acceleratore

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Fascio di DAFNE sul monitor di luce di sincrotroneDistribuzione trasversa

m10m5

y

x≈β≈β

3xy

6x

105

/m107.0

⋅≈κ

κ=εε⋅≈ε

mm2.0

mm2

yyy

xxx

≈βε=σ

≈βε=σ

coupling

σx

σy

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Piano orizzontale : particelle con energia diversa da quella nominale

ρ(m) = 3.3356 p(Gev /c)B(T )

Una particella con energia diversa da quella nominale,

al passaggio in un dipolo segue una traiettoria diversa da quella

nominale

Le particelle ultrarelativistiche con energia(E0+∆E) percorrono una traiettoria piu’ lunga

ρ

c.o. (E) c.o. (E - ∆E)

c.o. (E + ∆E)

D(s)+∆E/Eo

x EExskx ∆

=+ρ1)(''

L’equazione del moto è non omogeneanel piano orizzontale:dx=D(s) dp/p

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la soluzione è la somma della soluzione all’equazione omogenea, xβ(s)e di un termine proporzionale alla deviazione di energia

oEE)s(D)s(x)s(x ∆

+= βD(s) è la funzione di dispersione, periodica viene determinata dai dipoli e dai quadrupoli

Se xco(s) è l’orbita chiusa di riferimento, per ogni energia Ek esiste un’orbita chiusa, intorno alla quale oscillano di betatrone le particelle con energia Ek

o

okcok E

EE)s(D)s(x)s(x −+=

Ek>E0

E<E0

oEE)s(D ∆

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Dimensione del fascio

Quanto misura il pacchetto di elettroni o positroni all’interno della camera da vuoto?

La dimensione del fascio è

22 ⎟

⎞⎜⎝

⎛+εβ=σEE)s(D)s()s( ∆

negli anelli di e+ e- tipicamentenel piano orizzontaleè dell’ordine di mm

mentre nel piano verticaleè circa 100 volte minore

DAFNE

radm104.0

104EE

6x

3

⋅≈ε

⋅≈∆

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Wigglers e ondulatorisi usano per aumentare l’emissione di radiazione

negli anelli di luce di sincrotrone e in DAFNE

serie di dipoli a campi alternatiin cui le particelle compiono un’oscillazioneed emettono luce la cui lunghezza d’onda

dipende dal campo del wiggler

Emittanza proporzionale ad una funzione delladispersione, un wiggler in zona dispersivaaumenta/controlla l’emittanza

0

xx U

)D(f∝ε

Emittanza inversamente proporzionale all’irraggiamento, wiggler in zona a D=0 abbassa l’emittanza

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Momentum Compaction

ooc E

EL

L ∆∆=α

l’allungamento relativo della traiettoriain funzione dell’energia di una particella

E’ una costante della macchina

ds)s()s(D

L1 x

oc ∫ ρ

=αE’ anche l’integrale della funzione didispersione divisa per il raggiodi curvatura nei magneti curvanti (dipoli)

Gli elettroni sono praticamente sempre relativistici, quindila velocità è quasi indipendente dall’energia:αc rappresenta anche la variazione relativa del tempo impiegatodalla particella a compiere un giro di macchina rispetto alladifferenza relativa di energia rispetto alla particella sincrona.

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Questo non vale per i protoni, nel qual caso dobbiamo tenereconto anche della dipendenza della velocità dall’energia.

In questo caso abbiamo:

o2co E

E1T

T ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

γ−α=

All’energia in cui γ2 = 1/αc il il tempo in cui la particellacompie un giro di macchina non dipende dalla suaenergia e, come vedrete nelle lezioni sul moto longitudinale,quest’ultimo è instabile. Questa energia è detta energia di transizione.

EE

TT1

c

2tr

∆=

∆→

α=γ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

<∆<∆

>∆>∆

→α

>γ0E0

TT

0E0TT

1

c

Sopra l’energia di transizioneparticelle di energia maggiore di quella

sincrona impiegano più tempo per compiereun giro, meno tempo al disotto.

DOMINA L’ALLUNGAMENTO

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

<∆>∆

>∆<∆

→α

<γ0E0

TT

0E0TT

1

cVA PIU’ VELOCE

Sotto l’energia di transizioneparticelle di energia maggiore di quella sincronaimpiegano meno tempo per compiere un giro, più

tempo al disotto.

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CromatismoL’effetto focheggiante o defocheggiante di un quadrupolo

dipende dall’energia della particella

E = E = EEoo

E > E > EEoo

f(E) f(E+∆E)In un quadrupolo focheggiante

una particella più energetica è piu rigida, è deviata meno

Il tune della particella con energia nominale è diverso dal tune di una particella con energia diversa

σσEEo

y,xy,x EE

QC

∆= = cromatismo= cromatismo

Il cromatismo naturale di un anello è dominato dal contributo dei quadrupoli focheggianti, quindi è negativo. Gli acceleratori circolari lavorano con cromatismi ≥ 0

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Sestupoli Il cromatismo non corretto (C<0)crea instabilità al di sopra di una certa corrente

(effetto testa-coda: scoperto ad ADONE)Per correggerlo (C ≥0) si usano i sestupoli

)(

222 yxSB

SxyB

y

x

−=

=

Il sestupolo si comporta come un quadrupolo con un gradiente proporzionale allo spostamento trasversale

I sestupoli introducono i campi non lineari

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Apertura dinamica:zona stabile all’interno dell’anello

La presenza di campi non lineari implica che il moto della particella

non è più un’ellisse nello spazio delle fasi(non basta l’equazione di Hill).

Il moto diventa più disordinato e può portare aInstabilità.

L’attraversamento delle risonanze può portare a perdita della particella

Solo campi lineariDipoli e quadrupoli Sestupoli ottupoli

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Se la non linearità è sufficientemente debole,la particella descrive una traiettoria complicata

nello spazio delle fasi, ma la sua ampiezzarimane confinata in una regione limitata.

Se invece la nonlinearità è forte, l’ampiezza della sua oscillazione aumenta finchè

urta la parete della camera da vuoto e viene persa.L’evoluzione temporale del moto non può

essere prevista analiticamente,ma solo simulata con metodi detti di tracking,

che tengono conto dei termini non lineari del campo magnetico.

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Errore localizzato di Dipolo

By =B0 + δBy

Un errore δBy nel campo magnetico di un dipolo rispetto al suovalore nominale By

produce una variazione di impulso localizzata

yBqv)s(F δ=dalla forza di Lorentz

)s(Fx)s(K''x =+l’eq. di moto diventa

L’orbita chiusa che ne deriva è data da

)s(cos)s(B

)Bl(Qsin2

1)s(x kk

xk φββ

ρδ

π=

Una perturbazione dipolare sposta l’orbita chiusa

Se Qx fosse intero l’orbita sarebbe infinita -> instabile

Orbita chiusa dovuta ad una perturbazione in un correttore dipolare è sinusoidale

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Errore localizzato di quadrupolo

Kx + ∆Kx

un piccolo errore di gradiente in un quadrupolo porta il suo parametro difocheggiamento a

Una perturbazione quadrupolare sposta il tune di ∆Qx,y:

se ∆Kx > 0 l’effetto è quello di aumentare un po’ la focalizzazione,

quindi aumenta un po’ il numero delle oscillazioni di betratrone

LK41Q y,x ∆βπ

=∆

relazione utile ad es. per misurare la β in un quadrupolo:

spostando di ∆I ( cioè ∆K) misurando ∆Q si ricava β

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L’idea di Touschek:collisioni materia

antimateriaFrascati

La geniale idea di Bruno Touschek fu quella di utilizzare come particelle collidenti particelle ed antiparticelle che nella loro annichilazione avrebbero rilasciato tutta la loro energia per creare nuove particelle

Anello diAccumulazione

E2ECM ∝

E2ECM ∝

Rivelatore

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Luminositàè proporzionale alla densità dei fasci (numero particelle/area)

e alla frequenza di collisione

collisionyx

f4

NNLσσπ

= −+(cm -2 sec -1 )

Numero di particelle per fascio−+ N,Nyx, σσ

revolutionbunchescollision fnf

Dimensioni trasverse dei fasci

⋅=

L/cfrevolution =

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Interazione di Beam-Beamx

y

e-se+

La particella di un fascio risente dei campielettromagnetici del fascio opposto ad ogni incrocio

In prima approssimazione la particella subisce una deflessione analoga ad una forza lineare di tipo quadrupolare,

se attraversa il pacchetto gaussiano opposto vicina al centro

(piccole oscillazioni di betatrone)

xKpp

'y

xKpp'x

y0

y

x0

x

−=∆

=∆

−=∆

=∆ ( )

( )yxy

ey

yxx

ex

Nr2K

Nr2K

σ+σγσ=

σ+σγσ=

impulso focheggiante nei due piani trasversi

quindi ogni particella che attraversa il fascio opposto nel punto di interazione (IP) viene perturbata, il suo tune viene leggermente aumentato, tipicamente 05.0Qy ≤∆ incoherent beam-beam linear tune shift

I tunes vengono scelti in modo che in collisioneil tune totale (Qy+∆Qy) non finisca su una risonanza

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Beam-Beam Linear Tune shift

Tanto più densi i fasci tanto più alta la luminosità,ma tanto più forte la perturbazione delle particelle

all’attraversamento del fascio opposto

tanto maggiore ξy tanto piu’ alta la luminosita’, ma esiste un limiteoltre il quale c’e’ il beam-beam blow-up cioe’ la perturbazione dibeam-beam e’ talmente forte da degradare il fascio

La luminosità è massima quando l’effetto di beam-beam è ottimizzato

2y

yx ,1,L ξ

βε∝

( )

( ) κβ

β

ε∝

σ+σπγσ

β=ξ

ε∝

σ+σπγσ

β=ξ

∗∗∗

∗∗∗

1N2

rN

N2

rN

x

y

xyxy

yey

xyxx

xex

π

β=ξ

πβ

4K

4K

yxy

xxx

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Conclusioni- Bibliografia

• M. Sands, The Physics of Electron Storage Rings: An Introduction,http://ccdb4fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?197708303 , SLAC-121 (1970)

• CERN Accelerator School: Basic course on accelerator optics

http://doc.cern.ch/cgi-bin/tiff2pdf?/archive/cernrep/1994/94-01/p17.tif

• H. Wiedemann, Particle Accelerator Physics, Springer-Verlag