Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3 · Dinamica di riempimento di un serbatoio...

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3 ______________________________________________________________________________________________________________

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I sistemi a flusso comprimibile A differenza dei sistemi idraulici che utilizzano un fluido incomprimibile, nei sistemi pneumatici il fluido di lavoro è comprimibile. Dal punto di vista del comportamento dinamico di un sistema, occorre osservare che per un componente pneumatico la comprimibilità del fluido determina una risposta più lenta e più oscillatoria di quella ottenibile con l’analogo sistema idraulico. Inoltre lo studio del flusso di un aeriforme è più complesso di quello di un liquido perché la densità non è costante e la velocità del flusso può raggiungere il regime sonico. Il moto dei gas e dei vapori nei condotti presenta le stesse caratteristiche fondamentali di quello dei liquidi comprimibili benché la minor densità e la maggiore comprimibilità introducano differenze quantitative rilevanti. Le leggi generali di conservazione della massa, della quantità di moto e dell’energia valgono ovviamente anche per gli aeriformi. L’equazione 3.12) che definiva la comprimibilità isoterma dei liquidi era basata sulla seguente relazione:

βρρopp

oe−

= 3.103)

e non teneva conto della dipendenza dalla temperatura. Per gli aeriformi invece tale dipendenza è presente e può essere espressa tramite l’equazione di stato che lega pressione e densità alla temperatura. Se è definita la trasformazione termodinamica subita dal fluido (isoterma, adiabatica o politropica), l’equazione di stato può ridursi ad una relazione fra le sole grandezze p e ρ che definisce l'equazione della politropica:

nKp ρ= 3.104)

L’esponente n dipende dalla trasformazione e dal tipo di aeriforme e, come noto, per un gas biatomico vale 1 nel caso di una trasformazione isoterma ed 1.4 nel caso di una adiabatica. Dalla 3.104) si deduce che:

npdpd

=ρρ 3.105)

Se si confronta la 3.105) con la 3.12) si può ritenere che tutte le considerazioni effettuate sui fluidi incomprimibili possono applicarsi anche ai fluidi comprimibili purché si sostituisca β con np. Ciò significa quantitativamente un aumento della comprimibilità dell’ordine di 102-104 a seconda della pressione di lavoro dell’aeriforme. Poiché la densità dell’aeriforme è circa 800 volte più piccola di quella dell’acqua, la velocità di propagazione delle onde acustiche nell’aeriforme è:

ρρnppc =

∂∂

= 3.106)

e vale circa 340 m/s a pressione atmosferica e per una trasformazione adiabatica. Se nella equazione del moto si trascurano i contributi della forza gravitazionale e del termine cinetico l’equazione assume la stessa forma di quello per fluido incomprimibile 3.78) e 3.81) purché la velocità dell’aeriforme sia v


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3.8 Resistenza pneumatica Le relazioni utilizzate per le resistenze idrauliche non possono essere applicate identicamente anche per quelle pneumatiche per le quali occorre tener conto della comprimibilità del fluido e delle caratteristiche del flusso. Il modello matematico che descrive il comportamento dei componenti pneumatici si basa sulla teoria dei flussi gassosi attraverso uno strozzamento.

Figura 3.33 Flusso comprimibile attraverso uno strozzamento

L'andamento della portata massica attraverso lo strozzamento è riportato in fig.3.33 e dipende come noto dal rapporto di pressione presente fra monte e valle dello strozzamento e presenta una caratteristica simile a quella degli ugelli. In base alla trattazione teorica che regola tali flussi è noto che quando il rapporto fra la pressione a monte e quella a valle ha raggiunto il valore critico, nella sezione minima il flusso è in regime sonico. Le condizioni sono raggiunte quando (punto c di fig.3.33), il valore del rapporto fra le pressioni è pari a:

1k

k

1

c

1k2

pp −

+= per k=1.4 si trova che pc ≈ 0.528 p1.

La caratteristica principale di un elemento pneumatico consiste nell'esprimere la portata massica in funzione del rapporto di pressione pb / p1.

)p/p,R,k(fT

pAC.

m 1b1

1d= 3.107)

con ( ) 1c

1

bk

1k

1

bk2

1

b1b p

pppper

pp1

pp

1kRk2)p/p,R,k(f >

−

−

=

−

3.108)

mentre 1

c

1

b1k1k

1b pp

ppper

1k2

Rk)p/p,R,k(f ≤

+=

−+

3.109)

m

pb A

C

B

D E

sonico subsonico

p1 pc


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Per un flusso subsonico la relazione algebrica che caratterizza il comportamento di un componente resistivo (valvola) è pertanto non lineare. La linearizzazione delle relazione intorno al punto di funzionamento permette di definire una resistenza pneumatica Rv tale che:

b1.

v ppmR −= 3.110)

3.9 Capacità fluidodinamica di un serbatoio in pressione Si consideri il serbatoio rigido di fig.3.34 e si applichino le equazioni di conservazione al volume di controllo VC. L'equazione che permette di descrivere il comportamento del serbatoio è quella di conservazione della massa e se si tiene conto della comprimibilità del fluido e dell’indeformabilità del serbatoio si ottiene:

( )dtdVV

dtdmm

.

2

.

1ρ

ρ ==− 3.111)

m2

TpρV

m1

V.C.

Figura 3.34 Capacità fluidodinamica

Se il gas subisce una trasformazione politropica pvn=cost, allora tenendo conto che:

dtdnp

dtdp ρ

ρ= 3.112)

si ha: dtdpC

dtdp

nRTV

dtdp

npVmm

.

2

.

1 ===−ρ 3.1113

dove con C=V/(nRT) si è indicata la capacità fluidodinamica del serbatoio che esprime la variazione di massa che occorre realizzare all’interno del serbatoio per causare una variazione unitaria della pressione del fluido. 3.10 Alcuni esempi di impianti pneumatici Dinamica di riempimento di un serbatoio Un sistema molto semplice che schematizza la fase di riempimento di un serbatoio rigido è riportato in fig.3.35, dove si combina la natura resistiva delle valvola con la caratteristica capacitiva del serbatoio. La fase di riempimento di un serbatoio è un fenomeno palesemente non stazionario che può essere studiato ricorrendo all’analisi non lineare nel dominio del tempo oppure a quella linearizzata con la determinazione della funzione di trasferimento. L’analisi lineare può essere descritta tenendo conto della relazione caratteristica del serbatoio 3.113) e di quella linearizzata della valvola 3.110). Mediante l’analogia elettrica tale sistema


61

può essere assimilato al circuito elettrico composto da una resistenza e da un capacitore come riportato in fig.3.35.

mm

Rv

V xvp

T

R

p1 C

+

-

p1

Figura 3.35 Riempimento di un serbatoio rigido

dtdpCRpp

mRppdtdpCm

v1

v1

=−⇒

=−

=

3.114)

Con questa analisi linearizzata si mette in evidenza la quantità RvC = τ che rappresenta la costante di tempo del sistema del primo ordine. Tale costante come noto fornisce un’indicazione del tempo di riempimento del serbatoio. Gli andamenti della pressione e della portata massica al trascorrere del tempo sono quelli tipici dei sistemi del primo ordine e sono riportati in fig.3.37a. Il modello lineare, di cui è rappresentato il diagramma di flusso in fig.3.36, è stato comunque studiato nel domino del tempo creando il modello matematico rappresentato dalle equazioni 3.111) con Simulink in ambiente Matlab. Poiché si è ipotizzata una legge di valvola lineare con una costante Rv avente un valore medio costante su tutto il campo di lavoro della valvola, è evidente che mentre la pressione all’interno del serbatoio cresce esponenzialmente, la portata introdotta tende invece a diminuire con la stessa legge (fig.3.37a). Per una valutazione più rigorosa del transitorio di riempimento del serbatoio occorre far riferimento alle relazioni non lineari della valvola 3.107-3.109). L’analisi del comportamento del sistema può essere affrontato esclusivamente nel dominio del tempo sfruttando le potenzialità messe a disposizione dal software Simulink. In fig.3.37b sono rappresentati gli andamenti della pressione nel serbatoio e della portata massica introdotta al trascorrere del tempo.

Riempimento di un serbatoio

xvxv

ttime

Xv

T1

p1

p

m

Valvola

T1T1 m p

SerbatoioScope

p1P1

Double Click to

Plot Data

Double Click to

Load Data

Clock

Figura 3.36 Diagramma di flusso del modello di riempimento di un serbatoio creato in Simulink


62

Come si può notare il comportamento reale del sistema mette in evidenza un andamento differente sia della pressione che ora cresce quasi linearmente durante tutta la fase di riempimento e soprattutto della portata massica che pur diminuendo nel tempo non raggiunge il valore finale nullo in modo asintotico. Inoltre dai risultati ottenuti con il modello non lineare si nota che nei primi 10 s circa della fase di riempimento del serbatoio, la portata che fluisce è quella massima in quanto il rapporto delle pressioni è inferiore al valore critico; pertanto il riempimento avviene con una velocità del flusso attraverso la valvola pari a quella del suono. I risultati ottenuti con il modello linearizzato si riferiscono ad un valore medio della costante della valvola valutata come pendenza media della sua curva caratteristica su tutto il campo operativo. Ciò comporta un valore massimo della portata attraverso la valvola molto più elevato di quello effettivamente realizzabile nelle condizioni di flusso critico ed un tempo di riempimento del serbatoio più elevato di quello effettivo.

0 20 400.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t [s]

p/p1

p1= 5 bar

0 20 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

m/m

_max

t [s]

m_max= 32.45 g/s

0 10 20 30

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

t [s]

p/p1

p1= 5 bar

0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

m/m

_max

t [s]

m_max= 8.401 g/s

a) modello lineare b) modello non lineare

Figura 3.37 Pressione e portata d’aria durante la fase di riempimento del serbatoio per il modello lineare e quello non lineare

Dinamica di un impianto di compressione Un impianto di compressione come quello schematizzato in fig. 3.38 può, durante il suo funzionamento, portarsi ad operare in condizioni instabili di “pompaggio”. Il pompaggio è una perturbazione periodica e macroscopica che coinvolge sia la macchina operatrice che l’intero circuito in quanto, alternativamente, si realizza una condizione di flusso e di riflusso di massa che interessa tutto il sistema di compressione. La possibilità che un sistema fluidodinamico possa trovarsi ad operare in condizioni di instabilità non deve sorprendere se si pensa che anche le strutture meccaniche possono presentare delle instabilità (carico di punta, velocità critiche flessionali o torsionali comprese tutte quelle situazioni che portano in risonanza una struttura). Anche per il sistema fluidodinamico l’instabilità è un fenomeno indesiderato perché può portare al danneggiamento e addirittura alla rottura della macchina e del sistema. Per analizzare il fenomeno del pompaggio si consideri un compressore inserito in un circuito costituito da una tubazione la cui dimensione longitudinale risulta notevolmente maggiore di quella trasversale, da un ricevitore caratterizzato da un volume considerevole e da una valvola di regolazione (fig. 3.38).


63

CM

1

23

Ricevitore4

valvola

5tubazione

Figura 3.38 Schema del circuito di compressione

Per analizzare il comportamento non stazionario della macchina non è più sufficiente far riferimento alle sole caratteristiche statiche ma occorre svolgere un’analisi dinamica del sistema che risulti il più possibile fedele al comportamento reale. Si potrebbe allora pensare di scrivere le equazioni non stazionarie del moto e risolvere un sistema di equazioni differenziali per risalire al comportamento dinamico di ciascun componente del sistema. E’ tuttavia necessario innanzitutto comprendere fisicamente il fenomeno cercando di descriverlo in maniera qualitativa. Si può ipotizzare che il comportamento dinamico della valvola sia caratterizzato da ridotti tempi di intervento da poter essere rappresentata ancora dalla sua caratteristica statica in quanto essa risponderà abbastanza prontamente alle variazioni di pressione che si presenteranno ai suoi estremi.

caduta di pressioneattraverso la valvola

Q

p∆

Q

p∆

Figura 3.39 Caratteristiche statiche della valvola e del compressore

Anche il comportamento dinamico del compressore che presenta trascurabili ritardi quando deve adeguarsi alle nuove condizioni di pressione che possono presentarsi alla mandata, può essere rappresentato dalla sua curva caratteristica statica. Il ricevitore che è invece costituito da un grande serbatoio, ha un comportamento dinamico che risente fortemente della comprimibilità del fluido presente al suo interno. Pertanto, durante le fasi transitorie di funzionamento del sistema, il serbatoio sarà sottoposto a fasi di riempimento o di svuotamento legate alla differenza fra la portata in ingresso e quella in uscita. Il ricevitore si comporterà in sostanza come un accumulatore di massa e di energia, e può quindi essere assimilato, secondo l’analogia elettrica, ad un capacitore in quanto presenta la stessa peculiarità di subire azioni di carica e scarica. Anche il comportamento della tubazione che collega il compressore con il serbatoio terrà conto dell’inerzia di tutta la colonna fluida e il suo comportamento può essere assimilato a quello di una induttanza fluidodinamica.


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Pertanto, per una corretta analisi dinamica del sistema occorre tener presente anche dell'influenza della capacità e dell’induttanza fluidodinamica nel contesto del particolare circuito esaminato. Per rappresentare la caratteristica esterna del circuito in condizioni stazionarie, è possibile riferirsi alla pressione vigente nel serbatoio in quanto essa è identica a quella presente a monte della valvola e all’ingresso del serbatoio che a meno delle perdite di carico è pari a quella vigente alla mandata del compressore. La portata elaborata dal compressore si mantiene invece costante attraverso la tubazione se si trascurano gli effetti di accumulo di massa al suo interno, e coincide pertanto con quella in ingresso al serbatoio. Si consideri lo spostamento del punto di funzionamento del compressore da P a D in seguito ad una manovra di chiusura della valvola la cui curva caratteristica passa da Oa ad Oa’ (fig. 3.40). Se la valvola viene chiusa ulteriormente in modo che la sua caratteristica sia rappresentata dalla curva Oa”, il compressore è costretto ad adeguare la sua condizione di funzionamento alle nuove richieste del circuito. Se tale adeguamento avvenisse secondo stati stazionari sarebbe possibile raggiungere una nuova condizione di equilibrio statico rappresentato dal punto J. Benché la caratteristica esterna del circuito sia in questo caso rappresentata dalla curva caratteristica statica della valvola Oa”, l’inerzia considerevole del volume di fluido contenuto all’interno del serbatoio, mantiene, almeno inizialmente, invariata la pressione al suo interno al valore del punto D. Per tale livello di pressione presente a valle del compressore e a monte della valvola si registra una portata elaborata dal compressore (punto D) superiore a quella scaricata attraverso la valvola (punto K), determinando in tal modo un momentaneo accumulo di fluido nel serbatoio. La pressione all’interno del serbatoio tenderebbe di conseguenza a salire e a superare il limite massimo raggiungibile dal sistema in condizioni stabili e rappresentato dal punto di massimo sulla caratteristica del compressore (punto D). L’unico processo fisico compatibile con questa situazione è pertanto quello che prevede un efflusso con portata negativa (dal ricevitore verso il compressore) che si ottiene passando istantaneamente sul ramo instabile della curva caratteristica del compressore (punto F).

-5 0 5 10-5

0

5

10

15

portata [kg/s]

pressione [bar]

D

HG

F

20

J

K

Pa

a'a''

O

Figura 3.40 Ciclo di pompaggio


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Bisogna notare che il processo che ha determinato il passaggio dal punto D al punto F è legato ai valori assunti dalla capacità e dall’induttanza fluidodinamica del circuito. Se il circuito è prevalentemente di tipo capacitivo (per esempio un circuito con un ricevitore di volume V elevato), allora si registra un cambiamento rapido delle condizioni di funzionamento verso il punto F situato sul ramo della caratteristica instabile del compressore, al quale compete una portata negativa e la medesima pressione massima del punto D. Il punto F non rappresenta però un punto di funzionamento stabile in quanto la portata in uscita dal serbatoio, al massimo valore di pressione, è considerevolmente più elevata di quella elaborata dal compressore e questo determina una successiva riduzione della pressione all’interno del ricevitore con conseguente spostamento del punto di funzionamento lungo il ramo di curva FG. Si potrebbe pensare che raggiunto il punto G il compressore possa continuare ad operare percorrendo i punti di funzionamento del ramo GD della sua curva caratteristica. In realtà tali condizioni di funzionamento non sono fisicamente possibili perché il compressore non può incrementare la pressione nel circuito in quanto per il minimo valore di pressione (punto G) presente nel serbatoio, la portata elaborata è comunque inferiore a quella scaricata dalla valvola. Pertanto l’unica condizione di funzionamento possibile è quella che prevede un istantaneo spostamento del punto di funzionamento da G in H. Al punto H il compressore è in grado di inviare una portata superiore a quella scaricata dalla valvola e la pressione all’interno del serbatoio può pertanto riprendere a salire fino a raggiungere nuovamente le condizioni del punto D da dove il processo può ripetersi identicamente e ciclicamente. Il processo ciclico descritto prende il nome di pompaggio e la curva del circuito è denominata ciclo di pompaggio. Essa individua gli stati fisici assunti in condizioni dinamiche dal circuito durante il suo funzionamento in condizioni di instabilità. Da notare che la caratteristica esterna del circuito in condizioni dinamiche coincide con quella interna del compressore lungo i tratti FG e HD mentre è fisicamente impossibile ottenere condizioni di funzionamento sul ramo GD.

-0.5 0 0.5 1

0.5

1

1.5

Modello di Greitzer B=5 G=0.36111 tau=0.01815

PHI

PS

I

0 2 4 6 8-0.5

0

0.5

1

M-s

tar

non-dimensional flow rate

0 2 4 6 80.5

1

1.5

non-dimensional time

Dp-

star

non-dimensional delivery pressure

Figura 3.41 Rappresentazione di un ciclo di pompaggio profondo

Il ciclo di pompaggio descritto in precedenza è tipico dei sistemi di compressione aventi caratteristica prevalentemente capacitiva e viene definito pompaggio profondo (fig. 3.41). Se invece il circuito è caratterizzato da inerzie e ritardi legati principalmente alla parte induttiva del circuito, allora il ciclo di pompaggio assume una forma diversa. In particolare il passaggio da D ad F che precedentemente veniva considerato istantaneo avviene ora, in seguito all’inerzia del fluido contenuto nella tubazione, con un certo ritardo e ciò consente una parziale riduzione della pressione all’interno del serbatoio. Pertanto si può


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osservare che il raggiungimento del ramo instabile della curva caratteristica del compressore avviene meno bruscamente rispetto al caso di circuito prevalentemente capacitivo, inoltre la pressione al punto F risulta inferiore di quella del punto D e tale diminuzione è legata sia all’entità del volume del ricevitore, sia all’impedenza della linea che alla legge di chiusura della valvola. Pertanto un circuito di compressione dotato di un piccolo ricevitore seguirà un ciclo di pompaggio classico (fig. 3.42).

-0.5 0 0.5 1

0.5

1

1.5

Modello di Greitzer B=0.7 G=0.36111 tau=1.297

PHI

PSI

0 2 4 6 80.2

0.4

0.6

M-s

tar

non-dimensional flow rate

0 2 4 6 80.5

1

1.5

non-dimensional time

Dp-

star

non-dimensional delivery pressure

Figura 3.42 Rappresentazione di un ciclo di pompaggio classico

La frequenza del fenomeno risulta indipendente dalla velocità di rotazione della macchina mentre è fortemente influenzata dal volume o capacità del circuito ricevitore. Una relazione di tipo semiempirico esprime la frequenza f del fenomeno come:

V

Kf = 3.115)

con V = volume del fluido interessato al fenomeno. Il fenomeno può presentarsi più facilmente nei compressori assiali dove può portare a rottura i componenti delle palettature perché si instaura una sollecitazione alternata di fatica non prevista in fase di progettazione. Per evitare questo pericolo sono stati individuati dei sistemi antipompaggio capaci di soddisfare le richieste di portata ridotta dell’utenza e contemporaneamente mantenere elevata la portata elaborata dal compressore per tenere lontano il punto di funzionamento dalla zona di instabilità. Un sistema molto semplice adottato in campo aeronautico è costituito dall’introduzione di una valvola di by-pass. Tale sistema permette al compressore di elaborare una portata comunque elevata anche quando l’utilizzatore richiede una portata inferiore a quella minima di funzionamento stabile della macchina, scaricando la portata in eccesso verso l’esterno (fig. 3.43). Tale soluzione pur risultando molto semplice è inaccettabile dal punto di vista energetico perché viene persa tutta l’energia spesa per comprimere il fluido che viene scaricato all’esterno. Per recuperare parte dell’energia si potrebbe pensare di utilizzare l’aria scaricata dal by-pass per azionare una turbina ad aria collegata direttamente con il compressore (fig. 3.44). Tale soluzione pur risultando tecnicamente valida comporta complicazioni impiantistiche e costi più elevati.


67

CM

1

234

valvola

5

utilizzatore

by-pass

Figura 3.43 Regolazione per by-pass

CM

1

2

3utilizzatore

4

5

valvolaby-pass

6

T

Figura 3.44 Regolazione per by-pass con recupero energetico

Analisi del pompaggio con la teoria delle piccole perturbazioni Gli elementi essenziali presenti in un sistema di compressione sono: a) il compressore; b) l’accumulo di massa nel serbatoio; c) l’inerzia del flusso nella tubazione; d) la valvola In ogni sistema reale l’accumulo e l’inerzia del flusso risultano distribuite attraverso il sistema. Tuttavia gli aspetti principali che caratterizzano il fenomeno del pompaggio possono essere ottenuti da un modello a parametri concentrati.

m2 m3A

plenum

11

2

3

l

compressore valvola

p3, T3, ρ3

Figura 3.45 Schema del circuito di compressione

Lo schema del circuito rappresentato in fig.3.45 è costituito da quattro componenti: il compressore, una tubazione, il serbatoio di accumulo e la valvola. La curva caratteristica del compressore sia quella riportata in fig.3.46 con l’incremento di pressione (p2-po1) funzione della portata massica attraverso il compressore m2.

)m(fpp 21t2 =− 3.116)


68

p - p

C

mm

punto operativostazionario

2

2 t1

Figura 3.46 Curva caratteristica del compressore

Il gas che lascia il compressore fluisce attraverso un condotto di lunghezza l e sezione di area costante A e scarica in un serbatoio di volume V dal quale fluisce una portata controllata da una valvola. In condizioni di funzionamento stazionario e trascurando le perdite di carico nei condotti si ha m m m2 3= = e p p p2 3= = . In presenza di piccole fluttuazioni attorno al valore stazionario, il valore istantaneo può essere espresso:

+=

+=

+=

+=

33

22

33

22

ppp

ppp

mmm

mmm

δ

δ

δ

δ

3.117)

Se si trascurano le variazioni della densità lungo la condotta l’equazione di conservazione della quantità di moto in condizioni non stazionarie diviene:

dtdmLpp 232 =− 3.118)

Sostituendo i valori istantanei espressi dalla 3.117) la precedente relazione diventa:

( ) ( ) ( )dt

mmdLpppp 232δ

δδ+

=+−+

ossia dtmdLpp 232δ

δδ =− 3.119)

L’equazione di conservazione della massa applicata al serbatoio invece richiede che

dt

dpCmm 332 =− 3.120)

dove C = V/(kRT3), rappresenta la capacità fluidodinamica del ricevitore.


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( ) ( ) ( )dt

ppdTRk

Vmmmm 33

32δ

δδ+

=+−+

dt

pdCmm 332δ

δδ =− 3.121)

Possiamo ora linearizzare l’equazione della caratteristica del compressore nell’intorno di un punto di lavoro stazionario del sistema. Riprendendo l’equazione 3.116) si ha:

22

012 mdmdCCCpp δ+==− 3.122)

( ) 22

012 mdmdCCppp δδ +=−+

ma poiché in condizioni stazionarie vale Cpp 1o =− si ottiene in definitiva che

2'

2 mCp δδ = 3.123)

con 2

'

dmdCC = .

La caduta di pressione attraverso la valvola è funzione della portata massica che l’attraversa come indicato in fig.3.47

)m(Fpp 3013 =− 3.124)

t13

2


m m

F

p - p

Figura 3.47 Curva caratteristica della valvola

Se anche in questo caso si utilizzano le piccole perturbazioni per rappresentare gli scostamenti dalle condizioni stazionarie si ottiene:

33

013 mdmdFFFpp δ+==− 3.125)

( ) 33

013 mdmdFFppp δδ +=−+


70

e in definitiva 3'

3 mFp δδ = 3.126)

con 3

'

dmdFF = .

Le equazioni linearizzate per lo studio del pompaggio con l’analisi delle piccole perturbazioni si possono cosi riassumere:

3'

3

2'

2

332

232

mFp

mCpdtpdCmm

dtmdLpp

δδ

δδ

δδδ

δδδ

=

=

=−

=−

3.127

Il sistema delle quattro equazioni nelle quattro incognite δm2, δm3, δp2, δp3 si risolve per eliminazioni successive, rispetto ad una delle incognite, ottenendo un’equazione differenziale del secondo ordine avente la seguente forma:

( ) 03

2

2

3

=−+

−+ zCF

dtdz

TRkVFC

Al

dtzd

TRkAVFl ''''' 3.128)

La variabile z rappresenta una qualsiasi incognita del sistema. L’equazione differenziale precedente ha la struttura della forma generale:

0zdtdz

dtzd2

2

=++ γβα

Si può innanzitutto osservare che il coefficiente α è sempre positivo perché per qualsiasi tipo di valvola reale F’ è sempre positivo. D’altra parte, ricordando la forma canonica dell’equazione del secondo ordine in termini di smorzamento e frequenza naturale

01dtdz2

dtzd1

n2

2

2n

=++ωξ

ω 3.129)

è immediato determinare le loro espressioni in funzione dei parametri caratteristici del sistema

( )

CL'F/'C1

CFLCF

'

''

n−

=−

=ω 'C'FC'F'CL

CL'F/'C1

−−−

=ξ 3.130)

La risposta transitoria del sistema è di tipo esponenziale con andamenti differenti in relazione al segno e al valore che assumono i due parametri. Dalle espressioni precedenti si può osservare che, poiché L e C sono delle quantità sempre positive, essendo legate alle caratteristiche geometriche del sistema, occorre che sia verificata la condizione F’>C’ affinché i parametri caratteristici del sistema assumano dei valori reali. Tale condizione definisce il limite di stabilità statico del sistema.


71

Le condizioni di funzionamento stazionarie del sistema, come noto, sono definite dall’intersezione della curva caratteristica esterna F con quella del compressore C (fig.3.48). Se la sezione di passaggio della valvola viene gradatamente ridotta, il punto di funzionamento stazionario si sposta lungo la curva caratteristica del compressore verso una progressiva riduzione della portata massica. Per tutti i punti di funzionamento mostrati in fig.3.48, la condizione F’>C’ è sempre verificata e il sistema è sempre stabile dal punto di vista statico.


m

F, C punto ingresso in stallo

chiusuravalvola

C

F

Figura 3.48 Condizioni di funzionamento staticamente stabili per il sistema

Si ricorda inoltre che poiché C’ definisce la pendenza della curva caratteristica del compressore, in tutta la zona in cui essa risulta negativa, il funzionamento del sistema è staticamente stabile. Anche quando il punto di intersezione delle due caratteristiche avviene in una zona in cui la curva caratteristica del compressore assume una pendenza positiva è possibile che si verifichi ancora la condizione di stabilità statica del sistema. Quando la pendenza della caratteristica del compressore C’ risulta superiore a quella della caratteristica esterna F’ della valvola (C’>F’), il sistema risulta staticamente instabile (costante elastica negativa in quanto γC’) è una condizione necessaria ma non sufficiente perché il sistema risulti stabile anche dal punto di vista dinamico. Infatti dall’espressione dello smorzamento (eq. 3.130), anche se il radicando è positivo, affinché si ottenga un valore positivo per lo smorzamento dell’intero sistema, occorre che sia verificata la condizione (L-C’F’C)>0. Questo comporta che se il rapporto L/C < F’C’ il sistema è dinamicamente instabile ovvero il sistema è caratterizzato da un valore dello smorzamento negativo a cui corrisponde una risposta oscillante di ampiezza esponenzialmente crescente che è caratteristico del funzionamento in pompaggio del sistema. In tal caso si afferma che il sistema risulta dinamicamente instabile e si comporta come un sistema massa – molla - smorzatore con coefficiente di smorzamento negativo.

Lo smorzamento del sistema si annulla quando 0TRkVFC

Al

3

''

=− ossia per

VFATRklC '

' 3= 3.131)

con l’inizio delle oscillazioni del pompaggio. Per qualsiasi sistema reale questa condizione si verifica poco dopo il punto di massimo della curva. Infatti la relazione 3.131) indica un valore positivo della pendenza della curva caratteristica per l’inizio dell’instabilità dinamica del sistema che può essere abbastanza vicino al massimo della curva ma decisamente prima che intervenga la condizione di instabilità statica del sistema. Il punto di massimo della curva


72

caratteristica, secondo il criterio di Dhunam, coincide con l’insorgenza dello stallo che quindi avviene prima che possa iniziare il pompaggio. Nei compressori assiali multistadio il criterio citato non è sempre soddisfatto perché può accadere che il pompaggio si verifichi prima dell’insorgenza dello stallo oppure che entrambi i fenomeni si manifestino simultaneamente. Misure ad alta frequenza effettuate durante il pompaggio nei compressori con elevato rapporto di compressione hanno mostrato che lo stallo rotante può indurre rapidamente il pompaggio perché l’abbassamento della curva caratteristica del compressore provocata dallo stallo rotante può essere sufficiente per innescare il pompaggio. Nelle macchine con basso rapporto di compressione la linea di stallo è rappresentativa solo dello stallo rotante del compressore e può essere necessario arrivare ad uno stallo profondo della macchina perché possa indursi il pompaggio o addirittura la macchina può non raggiungere mai la condizione per il pompaggio. La frequenza delle oscillazioni in condizioni di risonanza del sistema avviene alla frequenza naturale del sistema espressa dalla relazione 3.130). In prossimità dell’inizio del pompaggio poiché C’≈0 la frequenza delle oscillazioni può essere approssimata con la relazione seguente:

CL1

n =ω 3.132)

3

2

ciclo limite

m

p

C

F

B

A

D

m

A dinamicamente instabileB staticamente instabileD stabile

F, C

Figura 3.49 Condizioni di funzionamento stabile e instabile

In condizioni di instabilità dinamica le piccole oscillazioni iniziali possono crescere fino a raggiungere ampiezze di oscillazione elevate che portano ad un ciclo limite (ciclo di pompaggio rappresentato in fig.3.49) anche se per certi valori del rapporto L/C il sistema può raggiungere dopo le oscillazioni una nuova condizione di funzionamento stabile. In fig.3.49 è riportata una configurazione particolare in cui la curva caratteristica del compressore e quella della valvola si intersecano in più punti. Il punto A è quello in cui inizia il pompaggio (punto di instabilità dinamica). Il punto B risulta invece staticamente instabile in quanto F’


73

3.11 Metodi di regolazione dei compressori dinamici La regolazione dei compressori dinamici ha l'obiettivo di soddisfare le esigenze dell’utenza attraverso appropriate operazioni che consentano da un lato di variare certe grandezze e dall’altro di mantenerne costanti altre. Le grandezze che possono essere controllate in un compressore dinamico sono la pressione all'aspirazione o alla mandata, il rapporto di compressione e la portata massica. Le azioni preposte per tali regolazioni possono avvenire sia agendo sulle valvole di controllo, oppure sul calettamento della palettatura in ingresso del compressore (IGV) o sulla velocità di rotazione del compressore. Si consideri ad esempio un compressore dinamico azionato da un motore primo di cui siano note le mappe di prestazione espresse come rapporto di compressione β al variare della portata ridotta per diversi valori del numero di giri ridotto (figura 3.50). Si supponga che le generiche richieste dell’utenza siano identificate sul medesimo piano caratteristico dall'intersezione fra la curva caratteristica del compressore e quella esterna del circuito indicata dalla curva R1 in figura 3.50. Se la resistenza del circuito diminuisce determinando il cambiamento della curva caratteristica da R1 a R2, il punto di funzionamento del sistema si sposta da P1 a P2 determinando la variazione sia della pressione alla mandata sia della portata massica. Se si vuole mantenere costante la pressione alla mandata si può intervenire sulla velocità di rotazione del compressore andando così ad operare nel punto P*. Se la resistenza del circuito dovesse diminuire ulteriormente fino ad assumere l'andamento della curva R3, il compressore tenderebbe a portarsi nelle condizioni del punto P3. Se si volesse ancora una volta mantenere inalterata la pressione alla mandata, il punto operativo dovrebbe trovarsi in P3' richiedendo un assorbimento di potenza troppo elevato da poter essere garantita dal motore primo che aziona il compressore. In tal caso il sistema di controllo, limitando la potenza assorbita dal compressore, permetterebbe al massimo il raggiungimento delle condizioni operative individuate dal punto P3" con una pressione alla mandata che è solo prossima a quella desiderata ma che tuttavia è la massima ammissibile per quelle condizioni operative. Il sistema di controllo deve inoltre tener conto della presenza di altri vincoli per le condizioni di funzionamento imposti dalla massima e dalla minima velocità di rotazione del compressore, dalla curva limite di stabilità e dal limite di choking per le alte portate (figura 3.51).

0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0 1 . 1 1 . 2

1 . 0

1 . 2

1 . 4

1 . 6

1 . 8

2 . 0

2 . 2

2 . 4

2 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

0 . 9 5

1 . 0

1 . 0 5

1 . 1

β β ref

m m ref

curva di stallo - pompaggio

P1

P2

P*

R1 R2 R3

P3

P3' Pmax

P3"

Figura 3.50 Curva caratteristica di un compressore dinamico


74

0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0 1 . 1 1 . 2

1 . 0

1 . 2

1 . 4

1 . 6

1 . 8

2 . 0

2 . 2

2 . 4

2 . 6

process limit

Nmax

β β ref

m m ref

surge limit

Pmax

Nmin choke limit

operating region

control margin

Figura 3.51 Campo di funzionamento stabile del compressore

Se il compressore è azionato da un motore elettrico asincrono trifase la variazione della velocità angolare può essere ottenuta mediante un inverter che è un dispositivo elettronico che agisce sulla frequenza elettrica del campo magnetico rotante. Si modifica pertanto la frequenza della tensione di alimentazione del motore elettrico ottenendo di conseguenza la regolazione della velocità di rotazione della macchina. La variazione della velocità di rotazione del compressore può essere ottenuta altrettanto facilmente se esso viene azionato da una macchina motrice come un motore alternativo a combustione interna (M.C.I.) o da una turbina a gas (T.G.) o a vapore (T.V.). Esistono tuttavia dei sistemi di regolazione più semplici che prevedono la regolazione della portata operando uno strozzamento del flusso alla mandata oppure all’aspirazione del compressore. Strozzamento alla mandata

C

1

2 3

Regolatore

PT M

AB

B'

caduta di pressioneattraverso la valvolap

ptt21

pp

tt31

m Tp

tt

⋅1

1

Figura 3.52 Strozzamento del flusso alla mandata del compressore

Il punto di funzionamento del compressore che soddisfa inizialmente le richieste dell’utenza è individuato dal punto A (fig. 3.52). Se le richieste dell’utenza prevedono una riduzione della portata, mantenendo invariata la pressione alla mandata e la velocità di rotazione della macchina, (punto B in fig. 3.52), il compressore opererà con un rapporto di compressione superiore rispetto alla condizione precedente e corrispondente al punto B’ di fig. 3.52.


75

2 2.5 3 3.5 40

500

1000

1500

2000

s [kJ/(kg K)]

T [K]

1

2A pt1

pt2

2'

2B2B'

Figura 3.53 Condizioni termodinamiche del flusso prima e dopo lo strozzamento alla mandata

La nuova condizione di funzionamento del compressore si può evidenziare anche sul piano entalpico dove la pressione alla mandata (punto 2B’) risulta superiore a quella della condizione iniziale (punto 2A). A valle del compressore la valvola di laminazione, attraverso una trasformazione isoentalpica, riporta il fluido nelle condizioni iniziali di pressione richieste dall’utenza e pari a p2 (punto 2B in fig. 3.53), pertanto l’incremento di pressione realizzato dal compressore viene dissipato attraverso la valvola. Laminazione all’aspirazione

C

1'

2

Regolatore

PT M

1

AB

B'

pptt21

m Tp

tt

⋅1

1

1

0C C'

ββ '

Figura 3.54 Strozzamento del flusso all’aspirazione del compressore

Anche in questo caso si considera che il punto di lavoro iniziale di funzionamento del sistema sia rappresentato dal punto A (fig, 3.54) e l’utente richieda la riduzione della portata senza che si producano delle variazioni di pressione (punto B in fig. 3.54). Se la riduzione di portata richiesta dall'utenza si realizza mediante una laminazione all’aspirazione (trasformazione isoentalpica), si verifica un abbassamento della pressione all’ingresso del compressore (fig.3.55). In queste nuove condizioni di funzionamento, a causa della laminazione, la pressione a monte della valvola è pari a pT1, mentre quella a monte del compressore è inferiore e pari a pT1’. Poiché il punto B rappresenta la nuova condizione di flusso dell’utenza e la pressione alla mandata pT2 non può variare in seguito alla laminazione all’aspirazione, è evidente dall’esame della trasformazione di compressione sul piano entalpico (fig. 3.55) che il compressore opera


76

con un rapporto di compressione superiore rispetto alla condizione iniziale di funzionamento perché

1t

2t

'1t

2t

pp

pp

> essendo pT1’ < pT1

2 2.5 3 3.5 40

500

1000

1500

2000

s [kJ/(kg K)]

T [K]

1 1'

pt1

pt2

2B

2A

pt1'

Figura 3.55 Trasformazioni termodinamiche del flusso con la laminazione all’aspirazione

Con la laminazione all’aspirazione del compressore, la pressione totale all'aspirazione pT1' è inferiore a quella ambiente (pT1’


77

1t

'1t

'1t

2t

1t

2t

pp

pp

pp

= 3.133) '1t

1t

1t

'1t

'1t

'1t

1t

1t

TT

pp

pTm

pTm

= 3.134)

E’ evidente che le condizioni attuali di funzionamento del compressore ('1t

'1t

'1t

2t

pTm

,pp ),

rappresentative del punto A di figura 3.56, moltiplicate per il rapporto di pressione presente attraverso la valvola pT1’/pT1, consente di ottenere le condizioni di funzionamento dell’intero sistema valvola più compressore. Al variare del grado di laminazione della valvola, il punto di funzionamento dell’intero sistema si sposta pertanto lungo la retta che passa per l’origine e per il punto A (figura 3.56). Le due relazioni definiscono in pratica la similitudine tra i 2 triangoli rettangoli OAC e OBD rappresentati in figura 3.56 e corrispondenti ad un fissato grado di laminazione della valvola che porta l’intero sistema ad operare nel punto B.

'1t'1t

1t1t

'1t2t

1t2t

p/Tmp/Tm

p/pp/p

OCOD

CADB

=⇔=

Se l’operazione viene ripetuta per diversi punti della curva caratteristica del compressore A1, A2, A3 … ecc., con il medesimo procedimento si ricaveranno i corrispondenti punti di funzionamento del sistema complessivo B1, B2, B3 … ecc. per quell’assegnato grado di laminazione della valvola. Al variare del grado di laminazione della valvola si otterranno pertanto diverse curve caratteristiche dell’intero sistema valvola più compressore. Queste costituiscono in altri termini le curve caratteristiche del compressore ridotte alle condizioni a monte della valvola che dipendono pertanto dal grado di laminazione che essa realizza. Se ora si individua il livello di pressione richiesto dall’utenza, al variare della portata si potrà determinare il grado di regolazione da realizzare per soddisfare le nuove richieste di portata. Se ad esempio sul piano del compressore il punto B* individua la nuova condizione operativa dell’utenza e quindi dell’intero sistema, il punto A*, associato a B*, individuerà la condizione reale di funzionamento del compressore riferite all'aspirazione (sezione 1’). La curva passante per B* permette inoltre di individuare il grado di laminazione da adottare per soddisfare tale richiesta da parte dell’utenza.

AB

B'

pptt21

m Tp

tt

⋅1

1

1

0

B''

utenza

m'minminm''

Figura 3.57 Confronto fra i due sistemi di laminazione

In figura 3.57 viene riportato il confronto fra i due metodi di regolazione da cui si può osservare che, a parità di portata elaborata ed inviata all’utenza, il metodo per laminazione


78

all’aspirazione risulta più conveniente di quello per strozzamento alla mandata in quanto esso comporta un rapporto di compressione inferiore ed un minore assorbimento di potenza. Il punto B” inoltre essendo più vicino alle condizioni nominali opererà con un rendimento superiore di quello che compete al punto B’. In prossimità delle condizioni limiti di stabilità inoltre si osserva la possibilità di estendere la regolazione a portate più basse di quelle realizzabili con la regolazione alla mandata del compressore. By-pass e ricircolo all’aspirazione Un altro modo per ottenere la regolazione del compressore dinamico è quello di inserire una valvola di by-pass sulla linea di mandata del circuito come già rappresentato in fig. 3.43. Questa consente di variare la portata alla mandata mantenendo costante la pressione. Poiché l’aria in eccesso viene scaricata verso l’atmosfera tale metodo non costituisce una tecnica energeticamente efficiente ma ha il vantaggio di tener le condizioni di funzionamento della macchina lontane dalla zona di instabilità. Questa soluzione rappresenta infatti il metodo di controllo anti-pompaggio molto utilizzato in campo aeronautico. In alternativa allo scarico in atmosfera si può prevedere di introdurre l'aria spillata nuovamente all'ingresso della macchina, realizzano così il metodo del ricircolo all'aspirazione. Calettamento IGV Un altro sistema di regolazione si basa sulla variazione dell’angolo di calettamento delle pale statoriche IGV del compressore. Esso produce un duplice effetto perché introducendo una prerotazione del fluido in ingresso al rotore, riduce il lavoro specifico assorbito (lavoro di Eulero) e diminuisce la portata massica elaborata per effetto della riduzione della densità del fluido. Quest'ultimo risultato è del tutto simile a quanto ottenuto con la regolazione per laminazione all’aspirazione anche se in questo caso la diminuzione di pressione all’ingresso del rotore si ottiene attraverso l'aumento dell’energia cinetica del fluido. Inoltre le curve caratteristiche del compressore ad n=cost. si modificano con il grado di chiusura dello statore ottenendo un considerevole ampliamento del campo di funzionamento del compressore verso la zona delle portate più basse.

pptt21

m Tp

tt

⋅1

1

1

aperturastatore

Figura 3.58 Curve caratteristiche del compressore al variare

dell’angolo di calettamento delle pale statoriche

I sistemi a flusso comprimibile3.8 Resistenza pneumatica3.9 Capacità fluidodinamica di un serbatoio in pressioneDinamica di riempimento di un serbatoioDinamica di un impianto di compressione3.11 Metodi di regolazione dei compressori dinamici

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3 · Dinamica di riempimento di un serbatoio...

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