Lezione sulla dissipazione dell'energia, fenomeno fondamentale nelle vibrazioni forzate.Le cause principali sono: 1) ISTERESI MATERIALI; 2) L'ATTRITO DEI VINCOLI. ESEMPIO: Sottoponendo un provino a sforzi ciclici si ha:

Una barretta di acciaio ha lo quindi ha un grafico simmetrico.

FIG.1

FIG.2 Ora dobbiamo rappresentare queste dissipazioni di energia con delle forze, noi abbiamo rappresentato le forze elastiche, cioè quando una struttura si trova spostata dalla posiziequilibrio tende a tornarci per effetto di una forza di richiamo che abbiamo supposto elastica lineare: �� � �� (forza elastica di richiamo che si oppone al moto)

Lezione sulla dissipazione dell'energia, fenomeno fondamentale nelle vibrazioni forzate.

Sottoponendo un provino a sforzi ciclici si ha: Una barretta di acciaio ha lo stesso comportamento sia a trazione che a compressione, quindi ha un grafico simmetrico.

LEGENDA: ɳu = spostamento ultimo, dopo il quale avviene il collasso, nel nostro caso la rottura del provino;F* = valore di F, tale che si resti nel tratto linear Fin quando le due aree (positiva e negativa) si compensano si ha un trattamento elastico lineare, deformazioni che crescono al crescere della forza e assenza di deformazioni permanenti. Ma se si spinge il valore della forza oltre, succede che nell'intorno si può abbandonare il percorso lineare.

L'area che rimane scoperta rappresenta l'energia dissipata durante un ciclo.

Se si aumenta la forza massima, l'area dispersa aumenta e l'energia dispersa è maggiore. Rimanendo al di sotto del limite dell'elasticitànon ci dovrebbe essere dispersioneaccade che dopo una serie di diversi cicli non si percorre più lo stesso tratto della curva ma si esce un po’ fuori (FIG.2), questo fenomeno è denominato ISTERESI dei materiali, è presente quando si verificano numerosi cicli di deformazione. Un altro fenomeno di dispersione, anche se meno importante dei due gà citati è la RESISTENZA DEL MEZZO (Ad esempio l'aria anche se questa comporta una resistenza minima, è molto pidei liquidi, come in fondazioni immerse in acqua).

Ora dobbiamo rappresentare queste dissipazioni di energia con delle forze, noi abbiamo rappresentato le forze elastiche, cioè quando una struttura si trova spostata dalla posiziequilibrio tende a tornarci per effetto di una forza di richiamo che abbiamo supposto elastica

(forza elastica di richiamo che si oppone al moto)

Lezione sulla dissipazione dell'energia, fenomeno fondamentale nelle vibrazioni forzate.

stesso comportamento sia a trazione che a compressione,

= spostamento ultimo, dopo il quale avviene il collasso, nel nostro caso la rottura del provino;

= valore di F, tale che si resti nel tratto lineare.

Fin quando le due aree (positiva e negativa) si compensano si ha un trattamento elastico lineare, deformazioni che crescono al crescere della forza e assenza di deformazioni permanenti. Ma se si spinge il valore della forza oltre, succede che

orno si può abbandonare il percorso lineare. L'area che rimane scoperta rappresenta l'energia

Se si aumenta la forza massima, l'area dispersa aumenta e l'energia dispersa è maggiore.

del limite dell'elasticità lineare non ci dovrebbe essere dispersione (FIG.1); tuttavia accade che dopo una serie di diversi cicli non si percorre più lo stesso tratto della curva ma si esce un

), questo fenomeno è denominato materiali, è presente quando si

verificano numerosi cicli di deformazione.

di dispersione, anche se meno importante dei due gà citati è la RESISTENZA DEL MEZZO (Ad esempio l'aria anche se questa comporta una resistenza minima, è molto più rilevante nel caso dei liquidi, come in fondazioni immerse in acqua).

Ora dobbiamo rappresentare queste dissipazioni di energia con delle forze, noi abbiamo rappresentato le forze elastiche, cioè quando una struttura si trova spostata dalla posizione di equilibrio tende a tornarci per effetto di una forza di richiamo che abbiamo supposto elastica

(forza elastica di richiamo che si oppone al moto)

Le forze smorzanti sono indicate con: �� � �� Le forze elastiche le consideriamo proporzionali allo spostamento mentre le forze smorzanti le consideriamo proporzionali alla velocità (anche se le forcomplessa e ritenerle proporzionali alla velocità è una approssimazione, però le sperimentazioni hanno dimostrato che i risultati non sono molto distanti dalla realtà e quindi le forze smorzanti le si considerano proporzionali alla velocità ESEMPIO: Lo schema è questo si rappresenta un portale che oscilla e lo rappresentiamo come un sistema ad un grado di libertà di massa M.

dove : �� = Forza d'inerzia

Ora dobbiamo scrivere l'equazione del moto imponendo l'equilibrio:

Per l'equilibrio dinamico abbiamo:

�� ��� ��

A questa andrà associata l'equazione ai limiti:

Le forze smorzanti sono indicate con:

dove: ɳ = Velocità c = coefficiente di proporzionalità tra la forza smorzante e la velocità

le consideriamo proporzionali allo spostamento mentre le forze smorzanti le amo proporzionali alla velocità (anche se le forze smorzanti hanno una natura più

complessa e ritenerle proporzionali alla velocità è una approssimazione, però le sperimentazioni hanno dimostrato che i risultati non sono molto distanti dalla realtà e quindi le forze smorzanti le si

nali alla velocità ɳ).

Lo schema è questo si rappresenta un portale che oscilla e lo rappresentiamo come un sistema ad un

La Massa è legata al vincolo con una molla elastica di rigidezza K e accanto ad essa c'è uno che rappresenta la perdita di energia.

Ora dobbiamo scrivere l'equazione del moto imponendo l'equilibrio:

Per l'equilibrio dinamico abbiamo:

�� ���� � 0 ⇒ �� ��� �� Equazione del moto che tiene conto della dissipazione di energia

A questa andrà associata l'equazione ai limiti:

���0� � �����0� � ��� �

c = coefficiente di proporzionalità tra la forza smorzante

le consideriamo proporzionali allo spostamento mentre le forze smorzanti le ze smorzanti hanno una natura più

complessa e ritenerle proporzionali alla velocità è una approssimazione, però le sperimentazioni hanno dimostrato che i risultati non sono molto distanti dalla realtà e quindi le forze smorzanti le si

Lo schema è questo si rappresenta un portale che oscilla e lo rappresentiamo come un sistema ad un

La Massa è legata al vincolo con una molla elastica di rigidezza K e accanto

smorzatore viscoso C che rappresenta la perdita di energia.

� ���� Equazione del moto che tiene conto della dissipazione di energia

Integrando le equazioni e imponendo le condizioni iniziali si riesce a trovare la soluzione completa del problema:

���0� = �� = 0���0� = ��� = 0 � (noi studieremo tendenzialmente la prima ipotesi)

VARIAZIONI LIBERE CON SMORZAMENTO

(noi studieremo per questioni di tempo solo i casi con lo smorzamento, i casi privi di smorzamento

si otterranno annullando ��� ) ���� = 0

+�� + ��� + �� = 0

dividendo entrambi i membri per M si ottiene:

+�� + � �� + � � = 0

con: �� = �� (���������������� ��!�"#�$��$%������ e

&� = 2(

+�� + 2(�� + ��� = 0

L'equazione differenziale ha la seguente equazione caratteristica:

+)� + 2() + �� = 0

)*/� = −( ± -(� −��

Si possono avere tre casi:

I CASO: . < � [Radicando Negativo]

Si pone: �� = -�� − (� )*/� = −( ± #�0 [Radicando Negativo, i= numeri complessi]

Gli integrali particolari sono:

1�* = �234 = �564�789�� = �2:4 = �564�789 �

Questi sono i due integrali particolari della equazione differenziale e possiamo scriverle introducendo le funzioni circolari:

�* = �564���!�0� + #!�$�0�� �� = �564���!�0� − #!�$�0��

Si può fare scomparire l'unità immaginaria i ponendo come integrale particolare la combinazione di �* e ��:

�* + ��2 = �564��!�0� �* + ��2# = �564!�$�0�

Possiamo scrivere l'integrale generale:

���� = �564�;*!�$�0� + ;���!�0�� L'integrale generale contiene due costanti indeterminate C1 e C2 da determinare con le condizioni iniziali:

���0� = �����0� = ��� � → <;* = =� >?6=>89;� = �� � Quindi sostituendo, l'integrale generale diviene:

���� = �564 @��� + (���0 !�$�0� + ����!�0�A

Rappresentazione grafica:

La legge del moto è il prodotto di due fattori:

• della funzione esponenziale (che decresce rapidamente con il tempo) • e della combinazione di due funzioni circolari che si ripetono.

Il fattore esponenziale ad ogni ripetizione fa decrescere la curva.

Questo moto è detto: Moto Armonico Smorzato, c'è un'oscillazione di oscillazioni vanno via via decrescendo con il tempo per effetto dello smorzamento.

Questa funzione non è periodica ma possiamo comunque parlare di periodotempo che intercorre tra un massimo e l'altro dello stesso segno

II CASO: . B � [Radicando

Si pone: C = -�� − (� )*/� � ( , C

Gli integrali particolari sono:

Caso particolare:

D=>E�=� >F�G Moto armonico smorzato

Questo moto è detto: Moto Armonico Smorzato, c'è un'oscillazione di ɳ ma le ampiezze di queste decrescendo con il tempo per effetto dello smorzamento.

Questa funzione non è periodica ma possiamo comunque parlare di periodo Td

tempo che intercorre tra un massimo e l'altro dello stesso segno.

H0 � �I89

Caso : D=>E�=� >E�G

[Radicando Positivo]

�

1�* � �234 � �564�J4�� � �2:4 � �564�J4 �

Caso particolare:

Moto armonico smorzato

ma le ampiezze di queste decrescendo con il tempo per effetto dello smorzamento.

d come intervallo di

�

[Funzioni Iperboliche]

Dove:

KLM?KNLM� = ��!OC� → coseno iperbolico

KLM5KNLM� = !�$OC� → seno iperbolico

Possiamo scrivere la legge del moto

����rispetto a quella precedente ho in comune il fattore esponenziale ma a differdove il secondo fattore era la combinazione di due funzioni circolarifattore è combinazione di funzioni iperboliche (differente); le funzioni iperboliche all'aumentare di

Le due costanti indeterminate C1

���0� ����0� �Quindi sostituendo, l'integrale generale diviene:

���� � �Rappresentazione grafica:

�* ��2 � �564 �J4 �5J42

�* ��2 � �564 �J4 �5J42

coseno iperbolico

seno iperbolico

la legge del moto:

� � �564�;*!�$OC� ;���!OC�� rispetto a quella precedente ho in comune il fattore esponenziale ma a differenza del PRIMO CASO dove il secondo fattore era la combinazione di due funzioni circolari, in questo caso il secondo fattore è combinazione di funzioni iperboliche (che hanno un comportamento totalmente differente); le funzioni iperboliche all'aumentare di C�crescono molto e non sono periodiche.

e C2 sono da determinare con le condizioni iniziali:

� � � ��� � � ��� � → 1;* � =� >?6=>J;� � ��

� Quindi sostituendo, l'integrale generale diviene:

�564 @��� (��C !�$OC� ����!OC�A

Questo moto si chiama: MOTO APERIODICO SMORZATO

enza del PRIMO CASO , in questo caso il secondo

che hanno un comportamento totalmente crescono molto e non sono periodiche.

da determinare con le condizioni iniziali:

�

A

Questo moto si chiama: MOTO APERIODICO

III CASO: . = P

)* = )� = −( =−�

Gli integrali particolari sono:

� �* = �5�� = ��5� = �584�;* + ;��� dove:

Quindi:

��Rappresentazione grafica:

Questo caso è molto importante perché è il caso limite tra il moto armonico smorzato ed il moto aperiodico smorzato.

Detto:

"C" = valore di C quando β>ω o β ω

"CCR" = [CCRITICO] valore di C quando

In conclusione quando β<ω si hanno le oscillazioni, mentre con

Definizione: Si definisce ν [Fattore di smorzamento] di una struttura il rapporto tra il suo coefficiente di smorzamento ed il valore critico

584584 �

;*=��; ;� = �� +���

��� = �584Q�� + ��� +�����R

Questo moto si chiama: MOTO APERIODICO SMORZATO

è molto importante perché è il caso limite tra il moto armonico smorzato ed il moto

β ω o β<ω

] valore di C quando β=ω

β ω si hanno le oscillazioni, mentre con β≥ω non si hanno oscillazioni.

[Fattore di smorzamento] di una struttura il rapporto tra il suo coefficiente di smorzamento ed il valore critico.

S = ;;TU

Questo moto si chiama: MOTO APERIODICO

è molto importante perché è il caso limite tra il moto armonico smorzato ed il moto

non si hanno oscillazioni.

[Fattore di smorzamento] di una struttura il rapporto tra il suo

Le strutture reali hanno un coefficiente di smorzamento C abbastanza piccolo, rispetto a quello critico CCR e il valore del fattore di smorzamento è solitamente inferiore ad 1.

S = ;;TU S < 1 dove: ; = 2( e ;TU = 2�

S = TTWX = �6�

�8� = 68 Un valore comune di ν è: S = 0.05 = 5%

Riassumendo:

; = 2(

;TU = 2� essendo � = \�� ;TU = 2\�

�� = 2√�

S = TTWX = 6

8 3��!#: <( < � → S < 1( B � → S B 1( = � → S = 1� Si può valutare, di una certa struttura,il suo coefficiente di smorzamento critico, noti k coefficiente di rigidezza della molla e M la massa. Noi prenderemo solo il caso di moto armonico smorzato (PRIMO CASO) con ν<1 poiché β<ω. Il periodo del moto armonico smorzato Td è poco differente dal periodo del moto armonico non smorzato poiché: H = �I

8 H0 = �I89

�� = -�� − (� = -�� − S��� = �-1 − S�

dove √1 − S� è un valore molto piccolo, per esempio assumendo ν=0.1=10% si avrà: �� = �√1 − 0.01 = �√0.99 = 0.995� quindi �� = � ⇒ H� = H

Noi nello studio del periodo di una struttura soggetta a vibrazioni libere, ad un grado di libertà, possiamo trascurare lo smorzamento; che invece dovremo considerare nelle vibrazioni forzate.

Studio:

Il rapporto tra un massimo ed il successivo è costante, quindi i massimi si succedono come i termini di una progressione geometrica, una successione di numeri il cui rapporto è costante.Se indichiamo con t1 l'istante in cui si raggiunge il primo massimo della funzione e tmassimo, con t2=t1+Td Considerando:

���� = �avremo: =bcd�43?e0�=bcd�43� = KN�M3fg9�h

KNhM3 = �56e0

La differenza dei logaritmi di due massimi consecutivi è costante, quindi i seguono una progressione aritmetica.

ln ���*� − ln

ma: (H� = ( �I89 ponendo

quindi: (H� = 2kS Grazie a questa formula è possibile misurare sperimentalmente qual è il fattore di smuna struttura. Il fattore di smorzamento si può misurare facendo oscillare la struttura di vibrazioni libere, misurando i massimi e calcolando i logaritmi.

ln ���*� ln ���* [ (H� si calcola sperimentalmente e dopo troviamo

Il rapporto tra un massimo ed il successivo è costante, quindi i massimi si succedono come i termini geometrica, una successione di numeri il cui rapporto è costante.l'istante in cui si raggiunge il primo massimo della funzione e t

�564 @��� (���0 !�$�0� ����!�0�A

6e0 � ��!��$�� RAGIONE DELLA PROGRESSIONE

GEOMETRICA secondo cui si succedono i massimi

La differenza dei logaritmi di due massimi consecutivi è costante, quindi i logaritmi dei massimi seguono una progressione aritmetica.

���* H�� � ln ���*����* H�� � ln �6e0 � (H�

ponendo �0 ≅ �, (H� � ( �I8 ma S � 6

8,

possibile misurare sperimentalmente qual è il fattore di sm

Il fattore di smorzamento si può misurare facendo oscillare la struttura di vibrazioni libere, misurando i massimi e calcolando i logaritmi.

� * H�� �2kS ⇒ (H� � 2kS ⇒ S �sperimentalmente e dopo troviamo ν dalla formula inversa]

Il rapporto tra un massimo ed il successivo è costante, quindi i massimi si succedono come i termini geometrica, una successione di numeri il cui rapporto è costante. l'istante in cui si raggiunge il primo massimo della funzione e t2 il secondo

A

RAGIONE DELLA PROGRESSIONE

secondo cui si succedono i

logaritmi dei massimi

(H�

possibile misurare sperimentalmente qual è il fattore di smorzamento di

Il fattore di smorzamento si può misurare facendo oscillare la struttura di vibrazioni libere,

� (H�2k