LEZIONI DI CONTROLLO E SICUREZZA DEI PROCESSI IN AMBITO FARMACEUTICO PROF.SSA ING. MAURIZIA SEGGIANI maurizia.seggiani@unipi.it tel: 050 2217881

Dinamica dei fluidi

I fluidi sono sostanze capaci di scorrere o fluire. Quindi sia i liquidi che i gas, avendo la capacità di fluire sono considerati fluidi. Nei liquidi si conserva il volume ma non la forma. Nei gas non si conserva nè la forma nè il volume. La massa volumica (o densità) di un liquido o un gas è un fattore che ne determina il comportamento come fluido. La densità di una sostanza, r, è data dal rapporto tra la massa e il volume della sostanza stessa. Essa è espressa nel SI in kg/m3.

La densità è una proprietà intensiva, il cui valore cioè non è proporzionale alla massa della sostanza.

La densità dei solidi e dei liquidi è essenzialmente indipendente dalla pressione e varia debolmente con la temperatura.

Per lo stato aeriforme la densità mostra una forte dipendenza sia dalla pressione che dalla temperatura.

DENSITÀ

Portata massiva e volumetrica

La viscosità dinamica μ è una proprietà che quantifica la resistenza dei fluidi allo scorrimento, quindi la coesione interna del fluido.

Dipende dal tipo di fluido, dalla temperatura e pressione:

La viscosità dipende dalla forma e grandezza delle molecole e dall’entità delle interazioni tra di esse;

Nei liquidi la viscosità decresce all'aumentare della temperatura, nei gas invece cresce, considerando il volume invariato;

Nei gas la viscosità è molto minore che nei liquidi;

La viscosità dei gas aumenta con la pressione, mentre quella dei liquidi ne è quasi indipendente.

Si definisce inoltre la fluidità la grandezza reciproca della viscosità.

VISCOSITÀ

VISCOSITÀ (definizione)

Dal punto di vista quantitativo il significato della viscosità può essere spiegato considerando questo esperimento: si ponga un fluido fra due lastre parallele ciascuna di area A (m2) distanti h (m); la piastra superiore viene sottoposta ad una forza tangenziale F (N) ottenuta mediante un peso. La lastra superiore si muoverà verso destra con una certa velocità v (m/s) rispetto alla lastra inferiore mantenuta ferma. Lo sforzo di taglio T esercitato sulla lastra cioè la forza per unità di superficie della lastra, F/A (N/m2), risulta proporzionale alla velocità v di questa ed inversamente proporzionale alla distanza h tra le due lastre:

Il coefficiente di proporzionalità è la viscosità dinamica μ. Così, si ha:

L’equazione (2) può essere generalizzata a due strati adiacenti di fluido separati da una distanza dy, entrambi in movimento nella direzione x. Se la differenza di velocità tra i due strati è dv, l’equazione (2) diventa:

VISCOSITÀ (definizione)

L’equazione (3) viene talvolta detta legge di Newton della viscosità. Il termine dv/dy è detto velocità di deformazione tangenziale, o anche gradiente di velocità.

In base alla sua definizione matematica, la viscosità è dimensionalmente espressa da uno sforzo di taglio T, espresso nel SI in N/m2 e la velocità di deformazione tangenziale in s-1, l’unità di misura della viscosità nel SI diventa:

Nel sistema cgs l’unità di misura è invece g/cm s ed è chiamata Poise (P) da Jean Louis Marie Poiseuille.

Dunque:

La viscosità dell’acqua a temperatura ambiente é di circa 0,01 P, ovvero 1 centipoise, che si scrive 1 cP.

Il rapporto tra viscosità dinamica di un fluido e la sua densità è detto viscosità cinematica e si indica con n:

nel SI

nel sistema cgs è cm2/s e viene detta stokes, St.

VISCOSITÀ (unità di misura)

VISCOSITÀ

In generale, quanto maggiore é lo sforzo di taglio applicato, tanto maggiore è la velocità di scorrimento della lastra.

La reologia studia il legame esistente tra lo sforzo di taglio applicato e il gradiente di velocità prodotto.

REOLOGIA

La reologia è la scienza che studia gli equilibri raggiunti nella materia deformata per effetto di sollecitazioni

Vi sono diversi materiali coinvolti in studi reologici: farmaceutici, alimentari, materie plastiche, gomme, ceramiche etc…. Tutti questi materiali non sono completamente omogenei, ma mostrano un comportamento irregolare che, se non completamente analizzato, può portare, durante il processo di lavorazione, a comportamenti inaspettati.

REOLOGIA

Fluidi newtoniani Quando il legame tra lo sforzo di taglio ed il gradiente di velocità é una costante, il fluido viene detto newtoniano. I gas, l’acqua, soluzioni acquose diluite sono fluidi newtoniani. Questo comportamento può essere espresso attraverso la relazione: dove T é lo sforzo di taglio, dv/dy é il gradiente di velocità e μ é la viscosità dinamica. I fluidi per i quali non esiste una proporzionalità costante tra sforzo di taglio e gradiente di velocità vengono definiti non newtoniani. In questo caso la viscosità è costante e dipende solo da pressione e temperatura.

Per mezzo della reologia è possibile differenziare il comportamento dei fluidi in diverse categorie.

REOLOGIA

Fluidi pseudoplastici Quelli nei quali la viscosità diminuisce all’aumentare del gradiente di velocità; analiticamente ciò può essere espresso dalla relazione:

Fluidi non newtoniani Tipici fluidi non newtoniani sono, ad esempio, le vernici, le colle, le gelatine, molti prodotti alimentari, il sangue, ecc. I fluidi non newtoniani possono essere suddivisi in diverse categorie.

dove K é definita viscosità apparente, ed n<1; é il comportamento tipico di tutti quei fluidi che contengono in sospensione molecole di peso molecolare elevato; incrementando lo sforzo di taglio, le molecole tendono ad allinearsi nella direzione di scorrimento offrendo sempre meno resistenza. La viscosità di un sistema pseudoplastico diminuisce via via che aumenta la velocità di taglio.

REOLOGIA

Fluidi dilatanti Sono detti fluidi dilatanti, ad esempio gli amidi ed i grassi e sospensioni concentrate (oltre il 50% in peso) di particelle solide sufficientemente piccole e non flocculate, quelli per i quali vale la relazione:

con n>1.

Fluidi di Bingham Sono fluidi che si comportano come i fluidi newtoniani (μ=cost), solo dopo che é stato raggiunto un certo valore dello sforzo di taglio applicato; sono un particolare caso di fluidi plastici. Esempi di fluidi plastici sono le soluzioni molto concentrate e i colloidi, per i quali é necessario uno sforzo di taglio tale da rompere la struttura reticolata che essi presentano.

Quando il sistema viene agitato con sforzi di taglio crescenti, diventa più viscoso in quanto il moto delle particelle determina un aumento di volume del sistema responsabile dell'aumento di viscosità.

La dinamica dei fluidi studia il moto dei fluidi, ossia delle correnti fluide. Esistono diversi tipi di correnti fluide:

stazionaria o non stazionaria

comprimibile o incomprimibile

viscosa o non viscosa

In una corrente stazionaria la velocità media delle particelle di fluido o la portata in una sezione del condotto restano invariate nel tempo.

La maggior parte dei liquidi è incomprimibile, cioè la densità non varia con la pressione. Per contro i gas sono altamente comprimibili.

Un fluido è viscoso quando non fluisce facilmente (es. il miele). Invece un fluido con viscosità nulla fluisce senza impedimenti o attriti.

LA DINAMICA DEI FLUIDI

Profilo di velocità per fluido non viscoso

Profilo di velocità per fluido viscoso

Studiare la dinamica dei fluidi serve per misurare la velocità o la portata di un fluido che scorre in un condotto o ancora, per calcolare quale pressione dovrà avere un fluido per fare in modo che arrivi alle utenze finali con un dato valore di portata.

Questi problemi si risolvono applicando al fluido in questione bilanci di massa e di energia.

LA DINAMICA DEI FLUIDI

Bilancio di massa (Equazione di continuità) Chiunque abbia usato il pollice per regolare l’acqua uscente all’estremo di una manichetta avrà probabilmente osservato che la velocità dell’acqua aumenta notevolmente quando il pollice riduce l’area della sezione trasversale dell’apertura della manichetta. Questo tipo di comportamento dei fluidi è descritto quantitativamente da una relazione nota come equazione di continuità.

L’equazione esprime il concetto che la massa di fluido che entra da un estremo di un tubo deve uscire dall'altro estremo se nel tratto considerato non si verificano entrate o uscite di fluido. Per esempio, se un fluido entra in un tubo con una portata in massa di 5 kg/s, esso deve uscire con la stessa portata, sempre che, fra il punto di entrata e il punto di uscita, non ci siano sorgenti né pozzi che aggiungano o sottraggano fluido. La figura sopra rappresenta una massa elementare di fluido in moto lungo un condotto. Poiché nessuna quantità di fluido può attraversare le pareti laterali del tubo, le portate in massa nei punti 1 e 2 devono essere uguali. La portata in massa si ricava dalla seguente formula:

Q m = r ∙A∙v L’unità di misura della portata in massa nel Sistema Internazionale è il kilogrammo al secondo (kg/s).

EQUAZIONE DI CONTINUITÀ

Equazione di continuità r1 ∙A1∙v1 = r2 ∙A2∙v2 nel caso di fluidi incomprimibili (r = cost) A1∙v1 = A2∙v2 (portata volumetrica m3/s)

TEOREMA DI BERNOULLI PER FLUIDI IDEALI

Prima di esaminare il teorema di Bernoulli facciamo due osservazioni riguardo al modulo della velocità, alla pressione e alla quota di un fluido ideale in moto (corrente irrotazionale, fluido non-viscoso e incomprimibile). Prima osservazione: quando un fluido che fluisce in un tubo orizzontale incontra una regione in cui la sezione trasversale ha un’area ridotta, la pressione del fluido diminuisce come indica la figura sopra. Quando si muove verso valle, dalla regione 1 alla regione 2 nella figura, il fluido aumenta la propria velocità (accelera), come è richiesto dalla principio di conservazione della massa espresso dall'equazione di continuità. Per la seconda legge di Newton, il fluido che accelera deve essere soggetto a una forza che può esistere soltanto se la pressione nella regione 1 è maggiore della pressione nella regione 2. Perciò, in un tubo orizzontale, la pressione diminuisce quando la velocità del fluido aumenta (minore area della sezione trasversale) e, viceversa, la pressione aumenta quando la velocità del fluido diminuisce (maggiore area della sezione trasversale).

Fluido incomprimibile e privo di attrito (non viscoso) Fluido ideale

TEOREMA DI BERNOULLI PER FLUIDI IDEALI

Seconda osservazione: se il fluido subisce un aumento della quota, come nella figura, la pressione in basso risulterà maggiore della pressione alla sommità. Questa affermazione si basa sulla legge di Stevino (statica dei fluidi). Ciò detto, affrontiamo lo studio del teorema di Bernoulli costatando che esso altro non è che il principio di conservazione dell’energia meccanica, applicato ad un fluido in movimento.

Se m è la massa di un fluido in moto, ad m si possono associare tre tipi di energia: Energia di posizione o geodetica: è dovuta al fatto che, poiché il fluido è immerso nel campo gravitazionale di accelerazione (g), ha un energia potenziale proporzionale alla quota (h) cui essa si trova rispetto ad un piano di riferimento arbitrario, tale energia è espressa da:

Ep = m∙g∙h g = 9,81 m/s2

Energia cinetica: è dovuta al fatto il fluido è in movimento con velocità v:

Energia di pressione o piezometrica: rappresenta l’energia che

viene fornita al fluido quando viene introdotto nella corrente in pressione o che viene ceduta dal fluido quando ne viene estratto:

Ec = ½ ∙m∙v2

TEOREMA DI BERNOULLI PER FLUIDI IDEALI

Epr = P∙m/r

Nel caso di moto stazionario, la massa di fluido m mantiene costante lungo tutto il condotto la somma delle tre energie per cui si può scrivere:

Dividendo tutti i termini per il prodotto m ∙g si ha:

Equazione di Bernoulli oppure moltiplicando per r/m si ha:

Ep + Ec + Epr = m ∙ g ∙ h + ½ m ∙ v2 + P∙m/r = cost

P/(r ∙g) + h + v2/(2g) = cost [m]

P+ r∙g h + r∙v2/2 = cost [Pa]

TEOREMA DI BERNOULLI PER FLUIDI IDEALI

h : altezza geometrica p/rg : altezza piezometrica v2/2g : altezza cinetica

P+ r∙g h + r∙v2/2 = carico idraulico in Pa

P/(r ∙g) + h + v2/(2g) = carico idraulico in m

ESERCIZI SULL’EQUAZIONE DI BERNOULLI

ESERCIZI SU EQUAZIONE DI BERNOULLI

2. Due punti di un tubo orizzontale che trasporta acqua ad una portata di 5 m3/h hanno diverse sezioni con raggio R1 = 5 cm e R2 = 1.5 cm, in condizioni stazionarie, si valutino le velocità u1 e u2.

Soluzione: essendo Qv = u•S da cui allo stazionario Q1 = Q2 cioè

u1•S1 = u2•S2

u1 = Qv/S1 Qv = 5 m3/3600s = 1.39 10-3 m3/s

S1 = p (0.05)2 = 0.00785 m2

S2 = p (0.015)2 = 0.000706 m2

Da cui:

u1 = 1.39 10-3/0.00785 = 0.178 m/s

u2 =0.178 ∙0.00785/0.000706 = 1.98 m/s

ESERCIZI SULL’EQUAZIONE DI BERNOULLI

ESERCIZI SULL’EQUAZIONE BERNOULLI

Eq. di continuità

sostituendo v2 nell’eq. di Bernoulli si ha:

Un tubo di Pitot è infatti fornito di due prese di pressione, una all'estremità anteriore disposta tangenzialmente alla corrente (presa totale) e una sul corpo del tubo disposta perpendicolarmente al flusso (presa statica). Come da definizione, la differenza tra queste due pressioni (la pressione dinamica, ottenibile con l'utilizzo di un manometro differenziale opportunamente collegato alle due prese) risulta proporzionale al quadrato del modulo della velocità, quindi:

MOTO DI LIQUIDI REALI

Liquido reale in movimento presenza di attrito (viscosità) liquido viscoso

TEOREMA DI BERNOULLI PER LIQUIDI REALI

Forze di attrito si oppongono al moto si ha una dissipazione di energia lungo il condotto L’EQUAZIONE DI BERNOULLI DEVE ESSERE CORRETTA in quanto, per effetto dell’attrito, l’energia meccanica non si conserva:

(EMECCANICA)1=(EMECCANICA)2 + attrito L’equazione di Bernoulli per i liquidi reali diventa:

dove è detta perdita di carico e rappresenta la differenza dell’energia meccanica posseduta dal fluido nella sezione 1 e quella che possiede nella sezione 2

CALCOLO DELLE PERDITE DI CARICO

dove:

o f è il coefficiente di attrito, funzione del regime di moto (laminare o turbolento (vortici)) e della rugosità delle pareti (-)

l è la lunghezza della tubazione o lunghezza equivalente* (m)

um è la velocità media del liquido (m/s)

d è il diametro della tubazione (m)

g è l’accelerazione di gravità (m/s2)

* Se lungo la tubazione sono presenti valvole, gomiti, curve, contatori, etc. ad essi si assegna una lunghezza

fittizia (detta equivalente) cioè si considera ognuna di queste resistenze localizzate come comportante una perdita di carico uguale a quella dovuta ad un tratto di tubazione di lunghezza leq. La lunghezza quindi da inserire nella formula sopra è data dalla somma dei tratti rettilinei lr più le lunghezze equivalenti (l1, l2, …) dovute alle varie resistenze locali:

La formula più usata per il calcolo delle perdite di carico è:

Le perdite di carico lungo una condotta dipendono da: • grandezze fisiche (densità e viscosità del fluido)

• grandezze cinematiche (moto, velocità) • grandezze geometriche (diametro del tubo, la sua forma, rugosità della parete).

REGIMI DEL FLUSSO, ALL’INTERNO

Regime Laminare il moto del fluido avviene con

scorrimento di strati infinitesimi

gli uni sugli altri, senza alcun

tipo di rimescolamento

Regime Turbolento i fenomeni inerziali, dovuti

alla velocità, come i vortici,

vincono sui fenomeni viscosi,

che tendono a mantenere tutto

parallelo e svolgono un'azione

di mescolamento dei filetti fluidi tra loro

Laminare,

profilo parabolico

REGIMI DEL FLUSSO – PROFILI DI VELOCITÀ

Turbolento

NUMERO DI REYNOLDS

Reynolds number: Re = d v r / m = d v / n dove:

SI cgs

d = lunghezza caratteristica (diametro) m cm

v = velocità media del fluido (portata / sezione) m / s cm/s

r = densità del fluido kg / m3 g / cm3

m = viscosità dinamica del fluido kg / m s poise

n = viscosità cinematica del fluido = m / r m2 / s cm2 / s

Interpretazione: rapporto fra forze inerziali e forze viscose

MOODY’S DIAGRAM (e /d , RUGOSITÀ SUPERFICIALE/DIAMETRO)

RUGOSITÀ e

La rugosità e (o scabrosità o scabrezza o scabrezza assoluta) è una proprietà della superficie di un corpo costituita da micro-imperfezioni geometriche presenti sulla superficie oppure risultanti da lavorazioni meccaniche; tali imperfezioni si presentano in forma di solchi o scalfitture, di forma, profondità e direzione variabile.

La misura della rugosità e, espressa in micron, mm, è il valore medio

aritmetico degli scostamenti (presi in valore assoluto) del profilo reale

della superficie rispetto alla linea media.

Si può suddividere il diagramma in quattro zone:

La prima zona è caratterizzata dal regime laminare e si estende fino a Re ≈ 2300. La curva è quasi rettilinea, con pendenza negativa.

La seconda zona è la zona critica: qui il diagramma non viene disegnato perché non se ne conosce l’andamento.

La zona successiva, che ha inizio per Re ≈ 4000 - 4100, è caratterizzata dal regime turbolento. Si può dividerla in zona di transizione e zona con moto completamente turbolento.

La curva decresce:

Se il tubo è liscio la curva decresce indefinitamente;

Se invece il tubo presenta una certa rugosità la curva diviene orizzontale in corrispondenza di un certo numero di Reynolds. Il valore di tale numero di Reynolds diminuisce con l’aumentare della scabrosità del tubo.

MOODY’S DIAGRAM

NUMERO DI REYNOLDS

funzione beneficio note

Costo

Minore costo di investimento (tubo + fittings + saldature + guarnizioni + verniciatura + coibentazione)

Es. da 3’’ a 2’’ il costo piping scende del 33%

Meno spazio occupato, meno peso sul rack

HSE* Minore hold-up di sostanze pericolose

Minor rischio dovuto alle perdite

Produzione Minor tempo per riempire / svuotare Shorter cycle time

Maggior velocità, meno rischio di intasamento

Qualità Più facile da pulire (per soffiaggio)

Minore batch mixing

Manutenzione Minor rischio di corrosione

Più facile da smontare / rimontare

* HSE: Health, Safety & Environment

ELOGIO DELLE TUBAZIONI DEL MINIMO DIAMETRO Fissata la portata necessaria, ad esempio per soddisfare la necessità di produzione, è necessario valutare le perdite di carico e il diametro della tubazione in modo da trovare la soluzione economicamente più conveniente. Nella Tabella si riportano i benefici derivanti dalla scelta di diametri piccoli tenendo presente che a tali benefici di contro aumenteranno le perdite di carico (costi energetici maggiori per il trasporto dei fluidi (pompe o compressori))

Valori delle velocità medie consigliate

Argomenti prossima lezione:

- Macchine per il trasporto dei liquidi e dei gas

- Apparecchiature per il vuoto