Diciottesima Lezione

Un esempio di esame scritto

Tipologia di esercizi

Totale di 5 esercizi: 2 di base (molto semplici) 2 che richiedono esercizio 1 esercizio più impegnativo

Esercizio 1 Dato il campo vettoriale

valutare

Soluzione: Per quanto riguarda la seconda quantità essa è identicamente nulla. Per la prima

zyx zzyx uuuA

322 3

A

e quindi A

222 3zzyx

zyx

zyx uuu

A zx yuu 2

Esercizio 2 Sia dato il campo elettrico nel dominio

dei fasori. Si calcoli il campo magnetico

]/[cos mVexb

nA y

zjk z uE

]/[/

cos mAexb

nAsin

bnjex

b

nA

k

j zzjk

xzjkz zz uu

EH

Soluzione: basta usare l’equazione di Faraday nel dominio dei fasori

Esercizio 3Una sfera metallica di raggio R=4cm è ricoperta da uno strato di isolante (r=10) di

spessore d=1 cm. Se il potenziale della sfera rispetto all’infinito è 100V, si calcoli il campo elettrostatico in un punto P distante 20 cm dal centro della sfera

Il problema può essere visto come quello di due condensatori sferici in serie, le cui capacità sappiamo calcolare (vd lezione 5). Uno è composto di due armature (la sfera di metallo ed una superficie equipotenziale concentrica di raggio 4+1=5cm), e l’altro è semplicemente costituito dalla seconda armatura

Esercizio 3

Allora il primo condensatore ha capacità

d

SSC ba1 ][

101

)105(4)104(410854.810

2

222212 F

Mentre il secondo (capacità di un conduttore sferico…)

RC 42 ][10510854.84 212 F

La serie dei due restituisce

21

21

CC

CCC

pF427.5

Noti potenziale e capacità totale della sferetta, ricaviamo la carica

][10010427.5 12 QCVQ ][10427.5 10 C

Esercizio 3

Il campo è (lezione 3), essendo in aria

204 r

QE

rr ]/[951.121 mV

Esercizio 4 Si vuole progettare un adattatore in quarto d’onda a 3

GHz, che consenta di adattare un carico di 100 ad un cavo coassiale con impedenza caratteristica 25 Se l’adattatore è anch’esso in coassiale, con raggio interno 1mm, quale deve essere la lunghezza e quale il raggio esterno se il dielettrico che riempie il cavo ha permettività 3?

Un adattatore in quarto d’onda deve avere impedenza caratteristica pari alla media geometrica

caricolinea Ladattatore ZZZ 00 10025 50

Esercizio 4 L’impedenza caratteristica di un cavo coassiale è (lezione 15)

i

e

R

R

C

LZ ln

2

10

Per cui

20Z

ie eRR 7

12

104

10854.83250

310

e mm2.4

La lunghezza deve essere 1/4 della lunghezza d’onda guidata: nel caso di un cavo coassiale, essendo un’onda TEM, la velocità di propagazione è quella della luce nel dielettrico del cavo per cui

f

v

rf

c

cm8.5

quindi

cml 4.14

Esercizio 5Supporre che il coefficiente di riflessione sul carico (posizione z=0) sia dato in ampiezza e fase,

Trovare il valore (negativo) di z per cui la tensione è massima. Mostrare che la corrente è in fase con la tensione in tale punto, così che l’impedenza è reale. Calcolare poi la posizione del massimo della tensione immaginando che la linea abbia impedenza caratteristica 50 ed il carico sia 100 + j100 .

je

Il problema assegna il coefficiente di riflessione sul carico (momentaneamente procediamo in modo simbolico)

jeV

V

RL

Zo,

z=0 zz=-l

Esercizio 5

Le equazioni del telegrafista hanno soluzione per la tensione

Per cui, evidenziando l’ampiezza dell’onda progressiva, e sostituendo il valore del coefficiente di riflessione, si ha nella sezione -l

zjzj eVeVzV )(

ljlj eeVlV )(

Come sappiamo, gli esponenziali complessi sono solo seni e coseni, tali che il modulo dell’esponenziale è 1 (se è reale); come tali, aggiungere all’esponente un multiplo intero di 2 non cambia nulla. Il modulo della tensione è massimo quando i due termini esponenziali sono in fase (ovvero gli argomenti uguali a meno di multipli di 2), così che

1VVVVMAX Il che quindi avviene per la condizione

kll 2

/22

2

2

2 kkl

24

k

Esercizio 5 Per inciso, ritroviamo che anche i massimi di tensione hanno periodicità

/2, la stessa che avevamo trovato per le impedenze di ingresso Verifichiamo che tensione totale e corrente totale sono in fase, così che il

loro rapporto è una impedenza tutta reale: basta sostituire ad l il valore ora calcolato, e ripeterlo nell’espressione delle correnti:

ljeVlV 1)(

E per la corrente

Ed inserendo il valore di l

24

2

1

kj

eV

kj

eV 21

ljlj eVeVZ

lI 0

1)( ljlj ee

Z

V

0

kj

eZ

VlI 2

0

1

Vediamo che effettivamente il termine di fase è identico a quello per la tensione; notiamo però che qui il valore di corrente è MINIMO (il meno di fronte al modulo di ) Quindi, come ci aspettavamo, in tale punto le onde progressive e regressive di tensione interferiscono in modo costruttivo (segno +) mentre quelle di corrente in modo distruttivo

Esercizio 5 Tra l’altro è anche semplice verificare che a /4 (ovvero /2 in termini di

“lunghezza elettrica” [in pratica il prodotto l]) dal massimo di tensione, incontreremo un minimo di tensione (ed un max di corrente), così che l’impedenza sia di nuovo reale, ma minima

Quindi, tornando al nostro problema, l’impedenza vista in tale sezione verso il carico è massima ed è

Volendo valutare tali risultati per i dati numerici forniti dal problema, calcoliamoci prima il coefficiente di riflessione sul carico (in formato modulo e fase)

SZZ

lI

lVlZ in 001

1

0

0

ZZ

ZZ

L

L

Sostituendo tale valore di fase, vediamo che il primo punto dal carico in cui si ha un massimo di tensione è per

50100100

50100100

j

j 74.29;62.0 fase

24180

74.29

4

l

Alcune osservazioni sulle notazioni La fase di un numero complesso si trova come arco tangente del

rapporto tra parte immaginaria e reale (occhio a verificare che la calcoliate in gradi o radianti!!). Essa viene talvolta indicata come arg() di un numero complesso o con il simbolo

quindi il valore del coefficiente di riflessione in coordinate polari poteva essere indicato come

74.2962.0

Un altro esercizio sulle linee Una sezione di cavo coassiale avente un’impedenza caratteristica

di 50 , ed una velocità di fase di 200 m/s, è terminato con un corto circuito ed opera alla frequenza di 10 MHz. Si determini la lunghezza minima della linea tale che, ai terminali di ingresso, la linea abbia un’impedenza pari a quella di un condensatore di 100 pF. Si determini inoltre la distanza minima tale che la linea appaia essere una induttanza di 1 H

Abbiamo visto che l’impedenza di ingresso di un tratto di linea in corto circuito è ljZZ in tan0

E vogliamo che tale quantità sia pari all’impedenza prodotta da una capacità

C

j

CjZ in

1

126 1010010102

j 15.159j

quindi

50

15.159tan

1arcl

Un altro esercizio sulle linee Non conosciamo ancora la costante di propagazione, ma

conosciamo la velocità di fase per cui

mradv

/3142.0

A questo punto abbiamo tutto e possiamo calcolarci la lunghezza. Si noti che nell’arco tangente avremo sempre un’indecisione di , per cui converrà sempre verificare se, sottraendo al valore calcolato dell’arco , la lunghezza resta positiva: la minima lunghezza (positiva) è quella cercata

ml 97.5 La risoluzione per il caso induttivo è del tutto analoga, dovendo solo

cercare i valori dell’arco tangente tali che

83.62jLjZ in E per avere tale impedenza il tratto di linea necessario è lungo

2.86m

Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati Utilizzando l’analogia con le linee

Un’onda piana che viaggia in aria, in direzione z, con campo elettrico sinusoidale (f=3GHz), ampiezza 1V/m, incide ortogonalmente su una barra dielettrica uniforme in x ed y, con permettività dielettrica 3, e spessore d 1 cm; a tale interfaccia l’onda piana incidente ha fase nulla. Si calcoli l’ampiezza dell’onda piana trasmessa al di là della barra dielettrica (di nuovo aria)

0 d

12r1

11,HE 22 ,HE 33 ,HE

Il problema è di fatto quello di una linea equivalente con impedenza caratteristica pari all’impedenza d’onda in aria (377), che all’interfaccia z=0 ha ampiezza V+=1 Zoaria Zo Zoaria

Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati Nella schematizzazione a linee equivalenti abbiamo considerato il fatto che lo strato di aria a destra è illimitato, per cui in tale strato non

avremo onde regressive, e l’impedenza offerta all’ingresso di una linea infinita è proprio l’impedenza caratteristica. Con questi dati sappiamo calcolare l’impedenza vista all’ingresso della seconda linea ed il problema è molto simile a quello descritto nella lezione 16. Se calcoliamo tale impedenza in accordo con la formula che conosciamo (lezione 15), in cui il carico RL è Zoaria

Ed il è la costante di propagazione nella barra dielettrica. Allora sappiamo immediatamente il coefficiente di riflessione in z=0

dsinjRdZ

dsinjZdRZZ

L

Lin

220

2020 cos

cos

aria

aria

ZZ

ZZ

in

in

0

0

E quindi l’ampiezza dell’onda riflessa in aria, nella regione a sinistra

VV

Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati E conseguentemente l’ampiezza del campo elettrico totale all’interfaccia

z=0

Il campo elettrico tangenziale (ovvero la ”tensione” totale, in realtà ampiezza del campo elettrico nella nostra analogia) deve essere continuo all’interfaccia dielettrica z=0, per cui tale tensione è quella che troviamo all’ingresso della seconda linea, ed il problema è ora semplificato in quello di una linea con generatore V

Siamo quindi anche in grado trovare immediatamente l’ampiezza del campo (la tensione totale) in z=d essendo per la seconda linea

1VVVV

Rl

ZoV

z0

I

dzjzj eVeVzV 22

22)( Infatti possiamo determinare i coefficienti incogniti V2, poichè all’interfaccia

Ed inoltre

122 VVVV

Zin

V

Z

V

Z

VI

0

2

0

2

Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati In questo modo sappiamo trovare l’ampiezza dell’onda progressiva e di quella regressiva anche

nel mezzo 2 (le V2), in funzione di quantità già calcolate: risolvendo il sistema otteniamo infatti

Quindi il campo (la tensione totale) in z=d è

in

in

in

in

in

in

in

in

Z

ZZV

Z

ZZVV

Z

ZZV

Z

ZZVV

21

221

200

200

2

djdj eVeVdV 2222)(

Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati Inseriamo i valori numerici: Zoaria è semplicemente 377 mentre Z0 è

Nella formula per l’impedenza di ingresso occorre la costante di propagazione nella seconda linea (dielettrico) a 3 GHz, cioè

Quindi l’impedenza di ingresso diventa

0Z

v

Ed il coefficiente di riflessione in z=0 188.0415.0 j

12

7

10854.83

104

217

1279 10854.831041032 mrad /9.108

5.695.146 jZin

Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati I valori di V2

+ e V2- sono

]/[04.0701.02

1 02 mVj

Z

ZZVV

in

in

]/[148.0116.02

1 02 mVj

Z

ZZVV

in

in

Ed il valore del campo in z=d

]/[811.0367.0)( 2222 mVjeVeVdV djdj

Il cui modulo vale

]/[89.0)( mVdV

Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati OSSERVAZIONI In realtà l’esercizio è su mezzi privi di perdite (tutte Zo reali), in cui nessuna potenza viene dissipata,

e deve valere il semplice bilancio energetico tra potenza trasmessa e riflessa, introdotto nella lezione 16, ovvero (adeguando i simboli a quelli dell’esercizio

Nel nostro caso RL e Zoaria sono la stessa cosa (perché il mezzo 1, di incidenza, ed il 3 di trasmissione, sono aria), per cui questo equivale a dire che

Ed in effetti considerando che V+ vale 1 V/m, otteniamo immediatamente

]/[89.01)(2

mVdV

2

0

2

2

12/

2/)(

ariaZV

RdV

P

P LT

2

2

2

1)(

V

dV

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