Descrizione del fenomeno e impostazione del problema del calcolo dell’amplificazione locale.

Tito Sanò Le analisi numeriche per la valutazione della RSL

1

Descrizione del fenomeno e impostazione del problema del calcolo dell’amplificazione locale.

Influenza dei parametri più significativi

Propagazione 1D Metodo SHAKE, definizione di moto di riferimento, effetto dei parametri. Metodo PHAKE, analisi dinamica probabilistica

Università de L’AQUILA CORSO DI MICROZONAZIONE SISMICA

Simulazioni numeriche per valutare l’ amplificazione locale


2

Rottura della crosta terrestre e generazione delle onde sismiche


3

Tipiche registrazioni per un evento registrato a grande distanza

Nelle analisi onde di un solo tipo


4

In situazioni reali il moto prima di arrivare in superficie si modifica per effetto delle discontinuità di materiale e per la geometria.


5

SOFT SOILRecent sand-clay deposits 0 - 10 m: VS = 80 ÷ 100 m/s 10 m – valley floor: VS = 200 ÷ 400 m/s

~ 35 m

CESI VILLA

I VII MCS

Minor damages

I IX MCSSevere damages

Collapses

CESI BASSA

Bedrock

VS = 1000 ÷ 2000 m/s

~ 60 m

~ 350 m

Accelerometricstation

Accelerometricstation

GV

Caso di Cesi durante il terremoto dell’Umbria-Marche Terremoto dell’Umbria-Marche, sett-ott. 1997


6

Le registrazioni della rete mobile del SSN della scossa del 7.10.97

Cesi Valle: linea rossaCesi Monte : linea blu

Registrazioni SSN 7.10.97

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

tempo (s)

acce

lerazio

ne

(g

/10)

MONTE - NS

VALLE - NSNS

Registrazioni SSN 7.10.97

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

tempo (s)

ac

ce

lera

zio

ne

(g

/10

)MONTE - EW

VALLE - EWEW


7

CESI - 7.10.97 SSN - Spettri di risposta d=0.05

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Periodo (s)

PS

A (

g/1

0)

Monte EW

Valle EW

Monte NS

Valle NS

QUADRO RIEPILOGATIVO

MONTE VALLE V/MEW 0.51 1.41 2.75

PGA NS 0.70 1.39 1.98(g/10) UP 0.29 1.11 3.82

EW 1.17 3.80 3.25PGV NS 1.87 4.82 2.58(cm/s) UP 0.68 2.25 3.32

EW 0.96 4.13 4.29IH 0.1-0.5NS 1.41 4.76 3.38(cm) UP 0.45 1.39 3.12

EW 2.80 8.99 3.21IH 0.1-2.5NS 3.27 10.25 3.14(cm) UP 1.18 3.65 3.09

EW 5.02 72.82 14.50Arias NS 8.03 81.07 10.10(cm/s) UP 2.50 27.78 11.12

Caso di Cesi durante il terremoto dell’Umbria-Marche Terremoto dell’Umbria-Marche, sett-ott. 1997

Misure dello scuotimento – gli spettri di risposta elastici

Misure dello scuotimento – gli spettri di risposta elastici

Dalle ordinate spettrali si riesce ad avere immediatamente un’idea delle caratteristiche delle strutture maggiormente sollecitate dall’evento

Da Seed & Idriss, 1982

TERREMOTO DI KOBE 17 gennaIo 1995(5:46 ora locale)

Magnitudo: Ms=7.2 (stima giapponese) Ms=6.8- 7.0 (USA)

Località epicentrale: isola di Awaji-ShimaProfondità focale: circa 12 Km Faglia responsabile: Nojima Rokko FaultLunghezza rottura faglia: circa 50 Km Tipo di rottura: intraplacca. Max PGA: 0.8g (Osaga Gas)/0.82g(Ceorka)Max PGV: 55 cm/s(KobeUniv.) Max PGD: circa 24 cm Area interessata ai danni: circa 20.000 Km2Numero di abitanti interessati: circa 20.000.000 Morti: circa 5500Feriti: più di 24.000 Senzatetto:300.000( al21/01/95) 250.000 (al 7/02/95) Abitazioni danneggiate: circa 400.000 Danni stimati: 113 miliardi di dollari


12

Terremoto di Kobe (1997)M=7.2 5000 morti


13

Mappa dei danni nella città di Kobe


14


15

Terremoto di Kobe (1997)Sezione perpendicolare alla costa


16

Su roccia in prossimità della faglia.

Accelerogrammi registrati a Kobe

Su terreno soffice a pochi km dal maree dalla prima stazione accelerometrica.

Su terreno soffice, ma più profondo, vicino al porto.


17

Isola del porto

H=0H=16H=32H=81.


18

Posizione degli accelerometri


19

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0.01 0.1 1 10

Foglio1

q=0q=16q32q81

periodo (s)

Z=81m

Z=0 m

Z=16 mZ=32 m

Spettri di risposta


20

Terremoto del Messico 19-sett.-1995 M=8.1

Città del Messico

Spettri medi nelle tre zone


23

VERO- FALSO

Si No•I danni recati dal terremoto diminuiscono sempre con la distanza epicentrale x•Un terreno soffice amplifica sempre il moto x•Il moto amplificato ha una durata maggiore x •Al diminuire dello spessore dello strato cresce il contenuto delle alte frequenze x •La presenza di un rilievo porta sempre un’ amplificazione x•Il moto su terreno soffice presenta un contenuto energetico maggiore nei periodi più lunghi x •Il moto verticale risente molto di meno della non linearità x


24

Impostazione del problema del calcolo dell’amplificazione locale


25

Impostazione del problema del calcolo dell’amplificazione locale


26

Schemi 1D

• Schema SHAKE

• Caso di un’onda di frequenza su uno strato

• Effetto della non linearità e degli altri parametri

• Metodo MASH, NERA, SUMDES, DESRA,….

• PSHAKE


27

Schema 1D (SHAKE)

X1,x

X2


28

Trasformata di Fourier

ωo = 2πf = 2π/T0 o in maniera equivalente

Essendo

e Cn un numero complesso.

Per le funzioni periodiche di periodo T0 si può scrivere:

0

00 )()cos()( tnsenBtnAtF nn

tine

nCtF o

)(

)()cos( zsenize iz

dttin

etFTnC

T

T

2/

2/

00

0

)()/1(

(b) dove

(a)

dtieftf

)(2

1)( dtetff ti

)()(


29

Descrizione del comportamento di un corpo deformabile mediante analisi

Viene descritto, per un solido ad una sola fase, mediante 1. Le equazioni di equilibrio di un elemento di volume2. La congruenza, cioè la condizione che gli elementi

di volume non si compenetrino, né si separino.3. Equazioni di elasticità4. Le condizioni al contorno.

2

2

3

3

2

2

1

1

dt

UidFi

xxxiii

i=1,2,31.

è un sistema di equazioni differenziali nello spazio e nel tempo.Se si fa il calcolo della trasformata di Fourier di tutte le variabiliesistenti nell’equazione la variabile tempo scompare e il secondo membro diventa:

e l’equazione diventa algebrica per quanto riguarda la variabile tempo.Caso 1D-> 2D

)()( 2

2

2

ii U

dt

tUd


30

Caso di un solo strato ed un’onda di frequenza


31

2

2

3

3

2

2

1

1

dt

UidFi

xxxiii

021 01

x

Tutte le grandezze dipendono solo da x1 e solo 21

Ignorando le forze di volume Fi l’equazione precedente si scrive:

2

2

1

21

dt

Ud

dx

d

dx

d E tenendo conto della relazione tra sforzi e deformazioni:

Gdx

dUG

Si ottiene l’equazione finale

i=2

2

2 ),()(

),()(

dt

txUdx

dx

txxGd

),()(

),()( 2

xUxdx

xxGd


32

Incidente riflessa

G

V

In superficie: =0 A=B

Raddoppio dello spostamento

tieV

xAU )cos(2

x

)()(

V

xti

V

xti

eBeAU

Tf

22

tiV

xi

tiV

xi

eeBeeAU


33

In un terreno omogeneo e senza smorzamento si ha•Per tutte le onde il valore massimo si ottiene in superficie indipendentemente dalla frequenza e dagli altri parametri.•Gli altri massimi si ottengono a profondità differenti a seconda di ω e Vs.•Esistono delle profondità x per le quali lo spostamento è sempre nullo (nodi dell’oscillazione). Ciò dipende da ω e Vs e avviene quando ωx/Vs=(2n-1) π/2. La prima profondità, n=1, è h=Vs/(4f). Come si vede tale profondità aumenta al crescere della rigidezza del terreno, cioè di Vs, e tende all’infinito per rigidezze molto grandi.

tieV

xAU )cos(2

•Solo per Vs tendente all’infinito lo spostamento è costante con la profondità.•Lo spostamento totale, inteso come somma delle singole onde, ha in genere il suo valore massimo in superficie.•A qualsiasi profondità h lo spostamento totale ha sempre una onda mancante, quella con frequenza f=Vs/(4h) e quindi non può essere uguale al moto in superficie.•Per onde S (P) incidenti perpendicolarmente alla superficie in un semispazio indefinito omogeneo, l’ampiezza delle onde in superficie è il doppio di quelle incidenti.


34

Nel caso dello strato singolo è notoA1=A Incognite: A2, B2, B1 Esistono tre condizioni:•Sulla superficie libera , cioè: A2=B2

All’interfaccia:• continuità del taglio • continuità dello spostamento U

Questo permette di calcolare A2=B2 e B1. Si ottiene pertanto:

)(

)()(cos

1

A

2

2

2

22

2

21

22

f

HV

senqHV

A

A

A

11

22

V

Vq

= funzione di amplificazione


35

Il valore massimo del rapporto si ha quando:

1)( 2

HV

sin

cioè 4

2)12( 2

HV

n

4

2

1

VH

T

4

21

HV

f

A2 max = A/q

2.)12(

1max2

nq

AAnel caso di smorzamento

22

11max2 V

VAA

)(

)()(cos

1

A

2

2

2

22

2

21

22

f

HV

senqHV

A

A

A


36

Funzione di Amplificazione

Caso di: V2=100, V1=1000, H=10 21

4

21

HV

f

22

11max2 V

VAA


37

VERO- FALSO Si No•In una roccia omogenea infinita esiste una profondità in cui il moto sismico è uguale a quello in superficie x• Il moto su roccia alla base di un terreno soffice è uguale a quello sulla stessa roccia in superficie x•L’ampiezza del moto orizzontale incidente sulla superficie è uguale alla metà di quello ivi registrato ? •L’amplificazione dipende dal rapporto delle Vs tra terreno rigido di base e quello soffice. x •La massima amplificazione non dipende dal periodo naturale degli strati di terreno. x •Il periodo naturale di uno strato di terreno cresce al crescere dello spessore x •Il valore massimo della funzione di amplificazione non dipende dalla frequenza ?


38

Effetto della non linearitàVariazione del modulo di taglio con la deformazione


39

Variazione dello smorzamento con la deformazione


40

Procedura di calcolo


41

SCHEMA DI CALCOLO DI SHAKE

1. TRASFORMATA DI FOURIER DELL'ACCELEROGRAMMA DI INPUT =Ac(ω)

2. CALCOLO DELLA FUNZIONE DI AMPLIFICAZIONE = f( ω)3. RISPOSTA IN SUPERFICIE E NEI VARI STRATI

R(ω)=f(ω)*Ac(ω)

3. CALCOLA DELL'ANTITRASFORMATA DI R(ω)->R(t) 4. CALCOLO DELLE DEFORMATE E DEI NUOVI PARAMETRI. 5. EVENTUALE ITERAZIONE RITORNANDO AL PUNTO 2

)(

)()(cos

1

A

2

2

2

22

2

21

22

f

HV

senqHV

A

A

A


42

Validità delle analisi lineari equivalenti


43

Considerazionitie

V

xAU )cos(2

Per 4

2 H

V

e x=H Si ha che U=0 (nel caso di smorzamento =0.)

Questo è anche vero nello strato soffice, cioè.Per le frequenze proprie dello stratodove si hanno i massimi della funzione di amplificazioneIl valore dello spostamento alla base dello strato è uguale a zero (per smorzamento nullo)

L’ampiezza e massima in superficie, cioè per x=0


44

Moto alla base spettri di risposta per uno strato singolo


45

Effetto della nonlinearità


46

Processi stocastici stazionari ed ergodici

2/

2/)()(

1lim)(

s

srrsx dttxtx

sR


47

pKamax

))2logexp(1(2ln2 nnKp e

Valore efficace (valore quadratico medio)

Valore massimo

dPSD

)(

Fattore di picco


48

PSHAKEIPOTESI: Accelerogramma è parte di un processo stocastico stazionario. Valgono

le ipotesi della dinamica aleatoria.

• INPUT: – Densità di potenza PSD() sulla roccia affiorante oppure

– Spettro di risposta, probabilità di essere superato e durata. In tal caso il programma ricava una PSD() congruente.

• OUTPUT (alla superficie del terreno soffice o in qualsiasi punto del terreno

– PSD() che è uguale alla PSD() di input moltiplicata per il quadrato della funzione di amplificazione (calcolata come SHAKE)

e

– Spettri di risposta a vari livelli di probabilità di essere superati

2)()()( fPSDPSD inpout


49

1. CALCOLO DELLO SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA

PSD(ω) A PARTIRE DALLO SPETTRO DI RISPOSTA DEL

MOTO DI INPUT

2. CALCOLO DELLA FUNZIONE DI AMPLIFICAZIONE = f( ω)

3. SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA IN SUPERFICIE E NEI

VARI STRATI PSDO(ω)=f(ω)2*PSD(ω)

4. CALCOLO DELLE DEFORMATE E DEI NUOVI PARAMETRI.

5. EVENTUALE ITERAZIONE RITORNANDO AL PUNTO 2

6. CALCOLO DEGLI SPETTRI DI OUTPUT

Procedimento di calcolo di PSHAKE


50

Schema MASH o SUMDES etc: analisi non lineari step by step Le equazioni di equilibrio sono

riscritte ad ogni incremento di tempo

•Il modello fisico utilizzato è quello a masse concentrate in cui la stratigrafia è ricondotta ad una serie di masse mi concentrate in corrispondenza della superficie di separazione di ciascuno strato di spessore hi e collegate tra loro da molle con rigidezza ki e smorzatori viscosi con coefficienti di smorza-mento viscoso ci, in modo da costituire un sistema ad n gradi di libertà.

I parametri del sistema discretizzato sono ricavati dalla densità, dal modulo di taglio e dal coefficiente di viscosità dell’elemento di volume.

•Vengono scritte le equazioni di equilibrio di ciascuno strato e risolte simultaneamente ad istanti (passi) successivi.

• L’ipotesi di non linearità dei parametri meccanici prevede il continuo aggiornamento passo dopo passo delle caratteristiche meccaniche e pertanto la procedura di calcolo opera nel dominio del tempo.

•I programmi possono lavorare con le tensioni totali oppure con i valori efficaci. In questo caso l’aggiornamento dei parametri di rigidezza e

smorzamento avviene in relazione all’accumulo di sovrappressione neutra Du.


52

Variazione della rigidezza e dello smorzamento con la deformazione

Vengono assunti per le relazioni del modulo di taglio e dello smorzamento in funzione della deformazione tangenziale legami associati; cioè viene utilizzata un’unica legge t(g) che descrive i rami di carico e scarico del ciclo di isteresi, legando lo smorzamento alla non linearità.


53

Parametri necessari per l’analisi di amplificazione locale 1-D

• Moto di input su roccia piana affiorante

• Geometria spessori degli strati

• Materiali velocità onde di taglio Vs = rigidezza Densità smorzamento per piccole deformazioni Curve di degrado = G/Go e

smorzamento in funzione delladeformazione a taglio

Descrizione del fenomeno e impostazione del problema del calcolo dell’amplificazione locale.

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