Definizioni in Matematicanel curricolo verticale

Stefania Cotoneschi

Scuola -Città Pestalozziaprile 2008

Classificazione…nelle indicazioni, in Relazioni, misure, dati e previsioni

– Classificare numeri, figure, oggetti in base a una o più proprietà, utilizzando rappresentazioni opportune, a seconda dei contesti e dei fini. Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche.(terza primaria)

Descrivere e classificare figure geometriche, identificando elementi significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri.(quinta primaria)

L’alunno è in grado di descrivere e classificare utensili e macchine cogliendone le diversità in relazione al funzionamento e al tipo di energia e di controllo che richiedono per il funzionamento. (Traguardi secondaria)

OSSERVARE, DESCRIVERE, CLASSIFICARE….

Competenze trasversali o matematiche?

Definizione…nelle indicazioni (Traguardi secondaria I grado)

Ha consolidato le conoscenze teoriche acquisite e sa argomentare (ad esempio sa utilizzare i concetti di proprietà caratterizzante e di definizione), grazie ad attività laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli costruiti con i compagni

Conoscere definizioni e proprietà significative delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).

Quando si sente la necessità di definire ? Perché?

L’argomento “definizione” di solito non trova uno spazio adeguato nella scuola

Eppure spesso nasce conflitto tra il linguaggio matematico e linguaggio naturale.

I processi mentali degli alunni sono di solito molto vicini allamentalità euclidea: continuano a lungo a classificare per partizione….

OSSERVARE, DESCRIVERE, CLASSIFICARE…. DEFINIRE

Classificazione per partizione e classificazione per inclusione:

Il quadrato è un rombo?Il quadrato è un rettangolo?

…Le definizioni date da Euclide sono definizioni per partizione, in tal senso la visione euclidea della geometria crea una discontinuità fra le figure geometriche. Oggi prevale, invece, l’orientamento secondo cui è opportuno mettere a confronto tali figure per coglierne analogie e differenze, pertanto si dà la preferenza a definizioni che portano ad una classificazione per inclusioneIl diverso tipo di classificazione porta a definizioni diverse.È quindi opportuno che il docente non tratti con superficialità quello che è uno dei nodi dell’insegnamento apprendimento della matematica, ma che dedichi parte del suo tempo alla realizzazione di un percorso che si snoda in tempi lunghi dalle prime osservazioni geometriche dei bambini nel loro ambiente di vita, che portano alle descrizioni fatte nella lingua spontanea, fino alla condivisione di definizioni che si innestano in un apparato ipotetico deduttivo nella scuola secondaria di secondo grado e oltre.

Dal piano m@t.abel

Cosa dicono i bambini del quadrato… in primaIl quadrato ha le linee della stessa misura, lunghezza.

… in terzaÈ una forma con gli stessi lati uguali. È una forma con gli spigoli. Può avere 8 spigoli. Può avere 4 spigoli. Ci sono quadrati piani. Ci sono quadrati in fuori. (disegno)È una forma con 4 spigoli e 4 lati. Ed è anche una forma chiusa e non intrecciata. Ha tutti e quattro i lati uguali.Il quadrato è una una forma con 4 angoli ugualie quattro lati uguali.Il quadrato si può paragonare a una finestra, a una scatola, e tante altre cose.È una forma formata da delle righe e ha 4 lati ugualiIl quadrato ha i lati uguali di tipo 3 quadretti per 3 quadretti

…in quintaÈ un poligono con quattro angoli retti e quattro lati uguali.È una forma geometrica racchiusa da 4 segmenti non 3D, ha gli angoli retti e due diagonali che si incrociano (disegno)È una figura geometrica che ha 4 lati e 4 angoli uguali, può essere di varie grandezze, fa parte della classe dei quadrilateri.

… e del rettangolo… in prima Il rettangolo è tipo un quadrato ma è lungo, è una forma lunga, è come un quadrato perché ha degli spigoli e sono sempre lo stesso numero 4…non si chiamano spigoli ma angoli.Il rettangolo è diverso dal quadrato è più stretto. È una forma un po’ piatta, più bassa. Il rettangolo occupa più quadretti, guarda alla lavagna… il rettangolo sembra più fine. Le nostre strisce sono rettangoli. Il rettangolo è come un quadrato spiaccicato, infatti se lo alzi diventa un quadrato… in terzaÈ un foglio di carta bianco. È un libro. È un quaderno. Può avere 8 lati. Può avere 4 lati. Il rettangolo è simile al quadrato. È una forma con due lati uguali e altri due diversi da quelli ma uguali tra loro. (disegno)È una forma con 4 spigoli e 4 lati è chiusa e non è curva né aperta. Ha 4 lati, 2 corti e gli altri due più lunghi.Il rettangolo è una forma tipo il quadrato solo che ha 4 angoli uguali e 4 lati due della stessa lunghezza e due di un’altra lunghezza. Il rettangolo si può paragonare a un astuccio, a un cartello e a tante altre cose.È una forma formata da due righe uguali e altre due righe uguali.Il rettangolo ha i lati diversi di tipo 4 quadretti per 3 quadretti.…in quintaÈ un poligono, i suoi lati sono uguali a due a due ed ha 4 angoli retti.È una parte di piano racchiusa da 4 segmenti, i due lati opposti sono uguali ed ha due diagonaliÈ una forma geometrica, ha le diagonali uguali e 4 angoli retti

Nel percorso sulle trasformazioni geometriche abbiamo sviluppatoun’attività con l’intenzione di usare le simmetrie per definire quadrilateri.

Si tratta di una attività del piano m@t.abel , l’abbiamo inserita nel lavoro di seconda media ed è stata seguita da una tirocinante SSIS, Monia Bianchi.La classe aveva lavorato in altri momenti sulle simmetrie: in quinta, con attività classiche di piegature e individuazioni di simmetrie assiali, in prima media con l’uso degli specchi e l’individuazione degli assi in lettere dell’alfabeto e loro classificazione.

Con questa attività c’è sta un ulteriore sviluppo per la comprensione della simmetria centrale. Con l’uso di strumenti dinamici si è data la possibilità di considerare una molteplicità di figure con lo scopo di poterle osservare e classificare in base a simmetrie.

DEFINIRE QUADRILATERI CON LE SIMMETRIE

PRIMA FASE

– conversazione di ricognizione. Lavoro sulle lettere dell’alfabeto, con simbolizzazione degli insiemi Insieme Unione, Insieme Intersezione (introdotti i simboli ∩, U, Ø)Introdotte traslazioni con vettore che ne determina direzione e dimensione, rotazioni, centro di rotazione e ampiezza.

SECONDA FASECentro di simmetria:Costruzione e osservazione di figure ruotantiModellino in carta lucida e cartoncino fermati con bottone automatico. Le figure assegnate sono: triangolo scaleno, triangolo isoscele, triangolo equilatero, rettangolo, rombo, parallelogramma, trapezio, trapezio isoscele, pentagono, esagono.

la consegna di ruotare il poligono superiore (senza muovere quello inferiore) fino a compiere un giro completo, tenendo conto di quante volte si è avuta la coincidenza tra i due poligoni.

Non si danno indicazioni su dove sia il centro di simmetria: possono utilizzare una puntina per fare delle prove e, solo quando lo avranno trovato, si fissano insieme il foglio di carta e quello trasparente con un bottone.

Poligono Simme-tria

centrale

Rotazione che porta alla

sovrapposizione

cerchio x qualunque

triangolo isoscele- -

triangolo equilatero

-120°

Rettangolo x 180°

Rombo x 180°

Parallelogramma x 180°

Trapezio- -

trapezio isoscele- -

Pentagono- -

esagono x 60°-120°-180°

Per rendere più evidente quando il poligono superiore ha compiuto un giro completo, può essere utile segnare con un puntino lo stesso vertice di entrambi i poligoni che vengono sovrapposti.Quando i due puntini coincidono nuovamente, il giro è completo.

Osservazione della tabella

congettura di M. “ Il numero di sovramissioni trovato per ogni figura dice quanti assi di simmetria almeno ci sonoAbbiamo provato a verificare ma abbiamo trovato un controesempio: il parallelogramma ha 2 casi in cui si soprammette ma non ha assi di simmetria.

Cosa avviene se il centro di simmetria è esterno alla figura? Come si fa a disegnare la figura ruotata?

- Si nota così che i poligoni regolari sono quelli che sotto rotazione, in un giro completo, coincidono con se stessi un numero di volte pari al numero dei lati. - si osserva che il centro di rotazione combacia con l’ incontro fra le diagonali o altri punti particolari.- si arriva a dire che le figure che ammettono centro di simmetria sono quelle che vengono trasformate in sé da una rotazione di 180°

A ciascuno viene inizialmente dato il materiale e deve seguire le INDICAZIONI:- Misurate e ritagliate sul foglio di carta quadrettata un rettangolo 14X20- Mettete il foglio davanti a voi in modo che il lato maggiore faccia da altezza- Utilizzate il foglio a quadretti come un piano cartesiano: considerate il vertice in basso a sinistra come origine.- segnate i punti G(1;3) ed H(13;3) ed uniteli con un segmento- segnate i punti L(1;11) ed M(13;11) ed uniteli con un segmento- segnate i punti A(4;17) ed B(4;5) ed uniteli con un segmento- segnate i punti E(7;17) ed F(7;5) ed uniteli con un segmento- segnate i punti C(10;17) ed D(10;5) ed uniteli con un segmento-Chiamiamo “P” il punto di incontro tra il segmento LM ed il segmento AB; “O” il punto di incontro tra LM ed EF e “Q” il punto di incontro tra LM e CD.

Fase 3 - Costruzione del modello materiale occorrente:- due cartoni rettangolari (14 cm x 20 cm);- un foglio di carta quadrettata (1 cm); - sei puntine da disegno e sei perline;- filo elastico di due colori diversi;- colla, forbici, scotch biadesivo, scotch, spillatrice, righello, lapis

- A questo punto si consegna a ciascuno un cartoncino bianco-grigio 14x20 chiedendo di incollarci sopra il foglio di carta quadrettata. –

-Si mostra un esempio-tagliare il cartoncino con la carta quadrettata in 3 parti di cm 14x9, 14x8 e 14x3;- ritagliare con le forbici delle incisioni che seguano le linee tracciate nel disegno in modo che formino una guida di circa 2-3 mm;-Si consegna un secondo cartoncino 14x20. -Dobbiamo ricomporre la figura ed attaccarla sul secondo cartoncino utilizzando lo scotch biadesivo;

- Si inseriscono le puntine da disegno con la punta rivolta verso l’alto, sistemandone due lungo la retta GH, due lungo la retta EF, una lungo la retta AB e una lungo la retta CD.

Su ciascuna puntina si fissa un perlinaE si inseriscono 2 elastici di colore diverso

Fase 4 - Studio dei quadrilateri attraverso l’uso del modello primo momento di esplorazione per capire che figure vengono fuori muovendo le perline con gli elastici; Domande guida:È possibile che 3 vertici siano sull’asse di simmetria? Ovvero se un vertice non è sull’asse di simmetria dove sarà il suo simmetrico? È possibile generalizzare? i vertici che possono appartenere all’asse di simmetria saranno solo in numero pari?

Concludiamo insieme che abbiamo tre possibilità:

- tutti i vertici esterni rispetto all’asse di simmetria- 1 asse passante per 2 vertici + 2 vertici esterni- vertici passanti a coppie per 2 assi di simmetria٠

•Scopri la forma di un quadrilatero avente un asse di simmetria e alcuni vertici su tale asse- Si osserva che i vertici rimanenti devono essere equidistanti dall’asse ed avere ordinata uguale; chiamiamo aquilone questa figura.-Cosa posso dire delle aree di questi aquiloni? Sono equivalenti!!-Come si fa a dimostrarlo?

Facendo scorrere entrambi i vertici che non appartengono ad E-F troviamo altre figure? Se sì, quanti assi di simmetria hanno?-Il rombo (2) ed il quadrato (2)

• Scopri la forma di un quadrilatero avente un asse di simmetria e i vertici esterni a tale

asse

-Si scoprono il rettangolo ed il trapezio isoscele. Quanti assi di simmetria hanno ciascuno?

•scopri la forma di un quadrilatero avente un centro di simmetria

- Si trovano il parallelogramma, il rettangolo, il rombo e poi il quadrato.

- Ci sono figure senza alcun asse tra quelle permesse da questi movimenti? (il parallelogramma)Quali sono gli assi di simmetria? Quanti parallelogrammi puoi costruire?- Ci sono figure con più di un asse tra quelle permesse da questi movimenti? (il rombo ed il rettangolo)Quali sono gli assi di simmetria? Quanti rombi puoi costruire? Quanti rettangoli?- Ci sono figure con un solo asse tra quelle permesse da questi movimenti? Qual è l’asse di simmetria? Quanti aquiloni puoi costruire? Come mai si possono costruire infiniti aquiloni?

Num assi Assi Movimenti di P e Q

parallelogramma / / Grandezza uguale e dir. opposta

rettangolo 2 Senza lettere

rombo 2 EF, LM Posizione di partenza

aquilone 1 EF P e Q con lo stesso vettore

Come possiamo definire un aquilone rispetto al suo asse di simmetria?- un aquilone è un quadrilatero con un solo asse di

simmetria che passa per due vertici

Dal modello concreto a Cabrì

Si proietta lo stesso modello costruito virtualmente , ci chiediamo quali possano essere i limiti ed i vantaggi nei due casi

In laboratorio poi ognuno costruisce il suo modello Cabrì ed esplora:È più facile muovere ma non si possono usare “due mani” contemporaneamente ….È necessario fare attenzione alle misure negli spostamenti , invece le mani si muovono insieme e quasi non ci si accorge!

1 - Posiziona i vertici del quadrilatero in PQGH (posizione di partenza).Che figura ottieni? ..............................................................................................................Indica, se ci sono, i suoi assi di simmetria:

2 - Tieni G ed H fermi. Muovi Q di un quadretto (un centimetro) verso M e P di un quadretto (un centimetro) verso L. Osserva la figura ottenuta:ha assi di simmetria? ...........................................................................................................Quanti?(indica i nomi) .......................................................................................................Che poligono è? ....................................................................................................Confronta con la situazione precedente: l’asse di simmetria è cambiato?............................................Secondo te ècasuale?......................................................................................

Sapresti generalizzare quando succede quello che hai osservato?

3 - Torna alla posizione di partenza.Adesso muovi Q di due quadretti (due centimetri) verso M e P di un quadretto (un centimetro) verso L. Osserva la figura ottenuta:ha assi di simmetria? ...........................................................................................................Quanti?(indica i nomi) .......................................................................................................Che poligono è?...................................................................................................................Confronta con la situazione precedente: l’asse di simmetria ècambiato?...........................................................................................Secondo te ècasuale?..........................................................................................................Sapresti generalizzare quando succede quello che hai osservato?

4 - Torna alla posizione di partenza.Adesso muovi Q fino ad M e P fino ad L. Osserva la figura ottenuta:ha assi di simmetria? ......................................................................................................Quanti?(indica i nomi) ......................................................................................................Che poligono è? ..........................................................................Confronta con la situazione precedente: l’asse di simmetria è cambiato?...................................................Secondo te è casuale?..................................................................

Sapresti generalizzare quando succede quello che hai osservato?

5-Ora usa anche l’asse GHProva a muovere Q verso D e P verso B in modo da ottenere almeno due trapezi isoscele. Che movimenti hai fatto?Prova a dare una definizione di trapezio isoscele rispetto alla sua simmetria…………………………………………………………………………………………………………………..

Conclusioni

Necessità di riflettere su quello che si fa con le mani e con la testa….Abbiamo definito diversi quadrilateri secondo il criterio delle simmetriePossiamo fare uno schema finale di classificazione dei quadrilateri, saràdiverso dallo schema del libro già visto?Quali criteri erano stati usati per quella classificazione?

DELLO STESSO OGGETTO SI POSSONO DARE DEFINIZIONI DIVERSE

Quadrati

RombiRettangoli

Parallelogrammi1 centro

Aquiloni

Trapezi isosceli

1 asse per vertici

2 assi per vertici

2 assi per punti medi

4 assi 1 asse per punti medi