Decisione razionale: anteprima

Decisioni razionaliAnteprima

Hykel Hosni

Scuola Normale Superiorehttp://homepage.sns.it/hosni/decisione-razionale

15/10/2010

H Hosni (SNS Pisa) Anteprima 15/10/2010 1 / 36

Decisione individuale

No, no... allora non vengo. Che dici vengo? Mi si nota di piu sevengo e me ne sto in disparte o se non vengo per niente?

Decisione strategica

If we immediately launch an all-out missile attack on their bases, westand an excellent chance of catching them with their pants down

Scelta sociale

Quali sono, se esistono!, le condizioni sotto cui la volonta collettivapuo essere rappresentata democraticamente?

Perche studiare queste cose?

Centrale infilosofia politica

filosofia morale / etica

epistemologia

logica

epistemologia dellescienze sociali

psicologia

antropologia

Porta al Nobel!Kenneth Arrow (1972)

Robert Aumann (2005)

Gary Becker (1992)

John Harsanyi (1994)

Daniel Kanheman (2002)

John Nash (1994)

Thomas Schelling (2005)

Amartya Sen (1998)

Herbert Simon (1978)

Perche studiare queste cose?

Centrale infilosofia politica

filosofia morale / etica

epistemologia

logica

epistemologia dellescienze sociali

psicologia

antropologia

Porta al Nobel!Kenneth Arrow (1972)

Robert Aumann (2005)

Gary Becker (1992)

John Harsanyi (1994)

Daniel Kanheman (2002)

John Nash (1994)

Thomas Schelling (2005)

Amartya Sen (1998)

Herbert Simon (1978)

Decisioni razionali

1 Decisioni individuali

2 Scelte strategiche

3 Scelte sociali

4 Anticipazioni

Di che si tratta?

Le decisioni individuali riguardano agenti, cioe entita singolari ocollettive di cui ha senso pensare che siano:

orientate al raggiungimento di uno scopo

dotate di preferenze personali

capaci di ragionare sulle conseguenze delle proprie azioni

Obiettivi1 definire rigorosamente il concetto di problema di decisione

2 definire sotto quali condizioni un problema di decisione vienerisolto in modo razionale

Di che si tratta?

Le decisioni individuali riguardano agenti, cioe entita singolari ocollettive di cui ha senso pensare che siano:

orientate al raggiungimento di uno scopo

dotate di preferenze personali

capaci di ragionare sulle conseguenze delle proprie azioni

Obiettivi1 definire rigorosamente il concetto di problema di decisione

2 definire sotto quali condizioni un problema di decisione vienerisolto in modo razionale

Biglietto o Multa?

Penelope sta correndo verso la stazione per prendere il treno quandosi accorge di aver dimenticato il portafogli. Corre a casa perprenderlo, ma cosı facendo rischia di non avere il tempo per fare ilbiglietto e prendere il treno. Supponiamo che il costo del biglietto siadi 5 Euro e che la multa sia di 50, allora Penelope affronta questoproblema di decisione:

controllo no controllobiglietto

+0 E -0 E

no biglietto

-(50 +5) E +5 E

Cosa deve fare Penelope per comportarsi razionalmente?

Biglietto o Multa?

controllo no controllobiglietto

+0 E -0 E

no biglietto

-(50 +5) E +5 E

Biglietto o Multa?

controllo no controllobiglietto +0 E

no biglietto

-(50 +5) E +5 E

Biglietto o Multa?

controllo no controllobiglietto +0 E

no biglietto -(50 +5) E

Biglietto o Multa?

controllo no controllobiglietto +0 E -0 E

no biglietto -(50 +5) E

Biglietto o Multa?

no biglietto -(50 +5) E +5 E

Biglietto o Multa?

no biglietto -(50 +5) E +5 E

Dipende!

Ovviamente Penelope non sa in anticipo se ci sara un controllo delbiglietto.

ProbabilitaQuesta incertezza puo essere quantificata attraverso la probabilita.

Supponiamo che il controllo sia completamente casuale, e che quindiavvenga con probabilita 1/2. Il problema diventa:

P(c)=.5 P(¬c)=.5 previsione

b +0 E -0 E

.5 ∗ 0 + .5 ∗ 0 = 0E

¬ b -(50 +5) E +5 E

−(.5 ∗ 55) + (.5 ∗ 5) = −25E

Non facendo il biglietto Penelope incorre in una previsione di perditadi 25 Euro!

Dipende!

b +0 E -0 E

.5 ∗ 0 + .5 ∗ 0 = 0E

¬ b -(50 +5) E +5 E

−(.5 ∗ 55) + (.5 ∗ 5) = −25E

Dipende!

b +0 E -0 E

.5 ∗ 0 + .5 ∗ 0 = 0E

¬ b -(50 +5) E +5 E

−(.5 ∗ 55) + (.5 ∗ 5) = −25E

Dipende!

P(c)=.5 P(¬c)=.5 previsioneb +0 E -0 E

.5 ∗ 0 + .5 ∗ 0 = 0E

¬ b -(50 +5) E +5 E

−(.5 ∗ 55) + (.5 ∗ 5) = −25E

Dipende!

P(c)=.5 P(¬c)=.5 previsioneb +0 E -0 E .5 ∗ 0 + .5 ∗ 0 = 0E¬ b -(50 +5) E +5 E

−(.5 ∗ 55) + (.5 ∗ 5) = −25E

Dipende!

P(c)=.5 P(¬c)=.5 previsioneb +0 E -0 E .5 ∗ 0 + .5 ∗ 0 = 0E¬ b -(50 +5) E +5 E −(.5 ∗ 55) + (.5 ∗ 5) = −25E

Dipende!

P(c)=.5 P(¬c)=.5 previsioneb +0 E -0 E .5 ∗ 0 + .5 ∗ 0 = 0E¬ b -(50 +5) E +5 E −(.5 ∗ 55) + (.5 ∗ 5) = −25E

Quanto valgono quei 25 Euro?

Possiamo descrivere in modo molto piu informativo il problema diPenelope attraverso

gli esiti che determina:c ¬c

b e1 e2¬ b e3 e4

e le preferenze di Penelopesugli esiti, per esempio

e4 %P e1 %P e2 %P e3

Funzioni di utilitaDefiniamo l’utilita di un esito assegnandogli un numero reale(positivo o negativo). Per esempio, l’assegnamento

u(e4) = 20; u(e1) = 10; u(e2) = −10; u(e3) = −100;

rappresenta le preferenze di Penelope

b e1 e2¬ b e3 e4

e4 %P e1 %P e2 %P e3

u(e4) = 20; u(e1) = 10; u(e2) = −10; u(e3) = −100;

b e1 e2¬ b e3 e4

e4 %P e1 %P e2 %P e3

u(e4) = 20; u(e1) = 10; u(e2) = −10; u(e3) = −100;

b e1 e2¬ b e3 e4

e4 %P e1 %P e2 %P e3

u(e4) = 20; u(e1) = 10; u(e2) = −10; u(e3) = −100;

Massimizzazione dell’utilita prevista

Idea fondamentaleL’utilita prevista di un esito e, scritto UP(e), si calcola moltiplicandol’utilita di e per la sua probabilita, sommando tutti i casi possibili

P(c)=.5 P(no-c)=.5

biglietto 10 -10

10*.5+(-10*.5)=0

no biglietto -100 20

-100*.5+ 20*.5= -40

Scelta razionalePenelope sceglie in modo razionale se e solo se sceglie l’azione(comprare o no il biglietto) che produce l’esito con la massima utilitaprevista

P(c)=.5 P(no-c)=.5

biglietto 10 -10

10*.5+(-10*.5)=0

-100*.5+ 20*.5= -40

P(c)=.5 P(no-c)=.5 UPbiglietto 10 -10 10*.5+(-10*.5)=0

-100*.5+ 20*.5= -40

no biglietto -100 20 -100*.5+ 20*.5= -40

Consistenza delle preferenze

La definizione di razionalita come massimizzazione dell’utilita(prevista) dipende dal fatto che le preferenze si possano rappresentaremediante funzioni di utilita

Non si puo sempre fare!Questo e possibile solo se le preferenze soddisfano opportuni requisitidi consistenza, tra cui il piu importante e la transitivita

Consistenza delle preferenze

La definizione di razionalita come massimizzazione dell’utilita(prevista) dipende dal fatto che le preferenze si possano rappresentaremediante funzioni di utilita

Non si puo sempre fare!Questo e possibile solo se le preferenze soddisfano opportuni requisitidi consistenza, tra cui il piu importante e la transitivita

Il costo delle preferenze intransitive

+ 1 Euro = + 1 Euro = + 1 Euro =

+ 1 Euro =

+ 1 Euro = + 1 Euro =

+ 1 Euro =

+ 1 Euro = + 1 Euro = + 1 Euro =

Risultato fondamentale

Una serie di idee e risultati profondissimi dovuti, tra gli altri a gigantidella matematica quali Daniel Bernoulli, John von Neumann eLeonard Savage ci porta a caratterizzare l’idea di decisione individualerazionale come:

Massimizzazione dell’utilita previstaUn individuo le cui preferenze e le cui convinzioni soddisfinoopportuni requisiti di consistenza, sceglie tra azioni il cui esito eincerto esattamente come se massimizzasse una funzione di utilitapersonale.

In altre parole, essere razionali ed essere massimizzatori diuna certa funzione sono esattamente la stessa cosa.

Questo permette di affrontare quantitativamente il problema delladecisione razionale individuale.

Massimizzazione dell’utilita previstaUn individuo le cui preferenze e le cui convinzioni soddisfinoopportuni requisiti di consistenza, sceglie tra azioni il cui esito eincerto esattamente come se massimizzasse una funzione di utilitapersonale.

In altre parole, essere razionali ed essere massimizzatori diuna certa funzione sono esattamente la stessa cosa.

Massimizzazione dell’utilita previstaUn individuo le cui preferenze e le cui convinzioni soddisfinoopportuni requisiti di consistenza, sceglie tra azioni il cui esito eincerto esattamente come se massimizzasse una funzione di utilitapersonale. In altre parole, essere razionali ed essere massimizzatori diuna certa funzione sono esattamente la stessa cosa.

Decisioni razionali

3 Scelte sociali

4 Anticipazioni

Di che si tratta?

Un problema di decisione si dice strategico quando

1 coinvolge piu di un individuo

2 cio che si qualifica come decisione individualmente razionaledipende dalle decisioni prese dagli altri individui

Obiettivi1 definire rigorosamente varie forme di gioco

2 per ogni forma di gioco definire un appropriato concettorisolutivo inteso come esito razionale dell’interazione

Di che si tratta?

Un problema di decisione si dice strategico quando

1 coinvolge piu di un individuo

2 cio che si qualifica come decisione individualmente razionaledipende dalle decisioni prese dagli altri individui

Obiettivi1 definire rigorosamente varie forme di gioco

2 per ogni forma di gioco definire un appropriato concettorisolutivo inteso come esito razionale dell’interazione

Strangers on a train (1951)

Due sconosciuti, Bruno (uno psicopatico) e Guy (un tennistafascinoso) si incontrano casualmente sul treno. Bruno sa dalle rivistedi gossip che Guy non riesce a ottenere il divorzio per potersirisposare e gli propone un delitto incrociato perfetto (nessun moventesara mai evidente): Bruno uccidera la moglie di Guy e Guy uccidera ilpadre di Bruno.

Strangers on a train (1951)

Due sconosciuti, Bruno (uno psicopatico) e Guy (un tennistafascinoso) si incontrano casualmente sul treno. Bruno sa dalle rivistedi gossip che Guy non riesce a ottenere il divorzio per potersirisposare e gli propone un delitto incrociato perfetto (nessun moventesara mai evidente): Bruno uccidera la moglie di Guy e Guy uccidera ilpadre di Bruno.

Mettiamolo in forma strategica

Giocatori: {Bruno, Guy}Azioni: {uccidere, denunciare}Preferenze:

I (d , u) �B (u, u) �B , (d , d) �B (u, d)I (u, d) �G (u, u) �G , (d , d) �G (d , u).

Poiche le preferenze sono consistenti, possono essere rappresentatemediante opportune funzioni di utilita numerica, dando luogo, peresempio, alla seguente matrice

Guyu d

u 3, 3 0, 4d 4, 0 1, 1

Mettiamolo in forma strategica

Giocatori: {Bruno, Guy}Azioni: {uccidere, denunciare}Preferenze:

I (d , u) �B (u, u) �B , (d , d) �B (u, d)I (u, d) �G (u, u) �G , (d , d) �G (d , u).

Poiche le preferenze sono consistenti, possono essere rappresentatemediante opportune funzioni di utilita numerica, dando luogo, peresempio, alla seguente matrice

Guyu d

u 3, 3 0, 4d 4, 0 1, 1

Concetto risolutivo

Per definire un concetto risolutivo per il nostro gioco dobbiamo farealcune assunzioni fondamentali

Guy e Bruno sono entrambi razionali (nel senso della decisioneindividuale)

la razionalita di entrambi e conoscenza condivisa

la matrice del gioco e conoscenza condivisa tra i giocatori

Equilibrio di NashBruno gioca la sua parte di un equilibrio di Nash se sceglie unastrategia che massimizza la sua funzione di utilita, sapendo che Guyfara altrettanto.

Concetto risolutivo

Uccidereo denunciare?

Date le loro preferenze,

(d , u) �B (u, u) �B , (d , d) �B (u, d)

(u, d) �G (u, u) �G , (d , d) �G (d , u).

Bruno e Guy ragionano come segue:

1 se Guy sceglie u allora miconviene d

2 se Guy sceglie d allora miconviene d

1 se Bruno sceglie u allorami conviene d

2 se Bruno sceglie d allorami conviene d

Migliore rispostaLa coppia (d , d) costituisce un equilibrio di Nash: nessuno deigiocatori puo aspettarsi alcun vantaggio dalla deviazione unilaterale.

(d , u) �B (u, u) �B , (d , d) �B (u, d)

(u, d) �G (u, u) �G , (d , d) �G (d , u).

1 se Guy sceglie u allora miconviene d

1 se Bruno sceglie u allorami conviene d

(d , u) �B (u, u) �B , (d , d) �B (u, d)

(u, d) �G (u, u) �G , (d , d) �G (d , u).

Bruno1 se Guy sceglie u allora mi

conviene d

Guy1 se Bruno sceglie u allora

mi conviene d

(d , u) �B (u, u) �B , (d , d) �B (u, d)

(u, d) �G (u, u) �G , (d , d) �G (d , u).

conviene d

mi conviene d

(d , u) �B (u, u) �B , (d , d) �B (u, d)

(u, d) �G (u, u) �G , (d , d) �G (d , u).

conviene d

mi conviene d

Esercizio

guardare il film

secondo voi l’interazione strategica tra Bruno e Guy ha un esitorazionale?

Cred’io ch’ei credette ch’io credesse

L’essenza del ragionamento strategico razionale consiste nel prendereil punto di vista degli altri e in particolare

Aspetto epistemicoragionare su quello che sanno gli altri

ragionare su come ragionano gli altri

ragionare sul fatto che gli altri ragionano su come ragioniamo noi

Decisioni razionali

3 Scelte sociali

4 Anticipazioni

Di che si tratta?

I problemi di scelta sociale possono essere declinati in molti modidistinti. Quello piu generale fa riferimento al concetto di aggregazione

Aggregazione razionaleDato un insieme di profili di preferenze individuali, qual e il modo piuopportuno di aggregarli nel profilo che rappresenta la preferenzacollettiva?

Un aspetto peculiare della teoria della scelta sociale e il suo procedereper teoremi di impossibilita di cui vedremo almeno due esempifondamentali

Di che si tratta?

Volonta generale

La volonta generale soltanto puo dirigere le forze delloStato secondo il fine per cui questo e stato istituito, cioe ilbene comune; infatti, se l’opposizione degli interessiparticolari ha reso necessaria l’istituzione della societa,questa a sua volta e stata resa possibile dalla concordanzadi quei medesimi interessi. Proprio cio che vi e di comune inquesti diversi interessi forma il vincolo sociale, e se non vifosse qualche punto sul quale tutti gli interessi siaccordassero, nessuna societa potrebbe esistere. Orbene eunicamente sulla base di questo interesse comuneche la societa deve essere governata.

(J.-J. Rousseau, Il contratto sociale, II, 1)

Ma che vuol dire aggregare?

Consideriamo il celebre concorso di Male Model of the Year

Dereck Zoolander

Hansel

2 candidati3 giurati (Tommy, Gabbana e Dolce)le preferenze individuali dei giurati possono essere combinate in23 = 8 profili individuali distintiCome scegliere il vincitore?

Dereck Zoolander

Hansel

Dereck Zoolander

Hansel

2 candidati3 giurati (Tommy, Gabbana e Dolce)

le preferenze individuali dei giurati possono essere combinate in23 = 8 profili individuali distintiCome scegliere il vincitore?

Dereck Zoolander

Hansel

2 candidati3 giurati (Tommy, Gabbana e Dolce)le preferenze individuali dei giurati possono essere combinate in23 = 8 profili individuali distinti

Come scegliere il vincitore?

Dereck Zoolander

Hansel

Tommy Gabbana Dolce

Regola

maggioranza

maggioranzainversa

vince sempreHansel

vince chi vuoleGabbana

oppure unaqualsiasi delle altre252 possibili!

Tommy Gabbana Dolce MMoY

Regolamaggioranza

maggioranzainversa

vince sempreHansel

Regolamaggioranza

maggioranzainversa

vince sempreHansel

Regolamaggioranza

maggioranzainversa

vince sempreHansel

Regolamaggioranza

maggioranzainversa

vince sempreHansel

Regolamaggioranza

maggioranzainversa

vince sempreHansel

Meccanismi di aggregazione

Un meccanismo o procedura elettorale

1 raccoglie le preferenze degli individui

2 le aggrega producendo quello che viene interpretato come lavolonta collettiva

FattoIn se il diritto di voto (per quanto universale) non garantisce chel’esito delle urne rispecchi la volonta collettiva proprio perche esisteun numero astronomico di regole di aggregazione! (kkn

, per kcandidati e n elettori)

Meccanismi di aggregazione

Un meccanismo o procedura elettorale

1 raccoglie le preferenze degli individui

2 le aggrega producendo quello che viene interpretato come lavolonta collettiva

FattoIn se il diritto di voto (per quanto universale) non garantisce chel’esito delle urne rispecchi la volonta collettiva proprio perche esisteun numero astronomico di regole di aggregazione! (kkn

, per kcandidati e n elettori)

Elezioni USA 2000

George W. Bush e stato dichiarato legalmente il vincitore, manessuno sa chi ha vinto davvero1

non si puo avere la certezza che tutti i voti vengano contati

l’annuncio della vittoria di un candidato a urne aperte influenzail voto degli elettori

Ma anche risolvendo gli aspetti pratici, la teoria matematica dellevotazioni ci dice che le procedure elettorali possono portare adubitare della legittimita della maggioranza dei risultati elettorali incui figurano piu di due candidati!

1Donald Saari, Chaotic Elections! A mathematician looks at voting, AmericanMathematical Society, 2001

Elezioni USA 2000

George W. Bush e stato dichiarato legalmente il vincitore, manessuno sa chi ha vinto davvero1

non si puo avere la certezza che tutti i voti vengano contati

l’annuncio della vittoria di un candidato a urne aperte influenzail voto degli elettori

Ma anche risolvendo gli aspetti pratici, la teoria matematica dellevotazioni ci dice che le procedure elettorali possono portare adubitare della legittimita della maggioranza dei risultati elettorali incui figurano piu di due candidati!

1Donald Saari, Chaotic Elections! A mathematician looks at voting, AmericanMathematical Society, 2001

Profili collettivi inconsistenti

Supponiamo che gli individui {1, 2, 3} avessero i seguenti profili dipreferenza sui candidati {b, g , n} (Bush, Gore e Nader) nelle elezioniUSA del 2000.

Il seguente scenario e possibile:

b ≺1 g ≺1 n (1)

g ≺2 n ≺2 b (2)

n ≺3 b ≺3 g (3)

Paradosso di CondorcetL’aggregazione a maggioranza semplice e incoerente:

b ≺ g , g ≺ n e n ≺ b

Supponiamo che gli individui {1, 2, 3} avessero i seguenti profili dipreferenza sui candidati {b, g , n} (Bush, Gore e Nader) nelle elezioniUSA del 2000.Il seguente scenario e possibile:

b ≺1 g ≺1 n (1)

g ≺2 n ≺2 b (2)

n ≺3 b ≺3 g (3)

b ≺ g , g ≺ n e n ≺ b

Supponiamo che gli individui {1, 2, 3} avessero i seguenti profili dipreferenza sui candidati {b, g , n} (Bush, Gore e Nader) nelle elezioniUSA del 2000.Il seguente scenario e possibile:

b ≺1 g ≺1 n (1)

g ≺2 n ≺2 b (2)

n ≺3 b ≺3 g (3)

b ≺ g , g ≺ n e n ≺ b

La maggioranza semplice

Teorema di May (1952)

Date esattamente due alternative sociali e un numero dispari divotanti, l’unico meccanismo di aggregazione razionale delle preferenzeindividuali e il voto a maggioranza semplice

se riusciamo a formulare la scelta in modo binario, lamaggioranza semplice funziona

i sistemi elettorali piu diffusi non sono a maggoranza semplice.Perche?

Teorema di Impossibilita

Teorema di Arrow (1951)

Dato un numero finito di individui ealmeno tre alternative sociali (distinte),l’unica funzione di aggregazione razionaledelle preferenze individuali e quelladittatoriale

Un risultato strettamente correlato e:

Gibbard-Satterthwaite(1974)

Per un numero finito di individui ealmeno tre alternative sociali, se unmeccanismo di aggregazione e a prova divoto strategico allora e dittatoriale

K. Arrow (NYC 1921 - )Premio Nobel perl’Economia 1972

Teorema di Impossibilita

Teorema di Arrow (1951)

Dato un numero finito di individui ealmeno tre alternative sociali (distinte),l’unica funzione di aggregazione razionaledelle preferenze individuali e quelladittatoriale

Un risultato strettamente correlato e:

Gibbard-Satterthwaite(1974)

Per un numero finito di individui ealmeno tre alternative sociali, se unmeccanismo di aggregazione e a prova divoto strategico allora e dittatoriale

K. Arrow (NYC 1921 - )Premio Nobel perl’Economia 1972

Decisioni razionali

3 Scelte sociali

4 Anticipazioni

Le componenti essenziali

In tutti i casi vedremo come la scelta razionale dipenda in modoessenziale da die componenti che possiamo chiamare

Epistemologica che tipo di informazioni ha un agente (o ungruppo di agenti); certezza; incertezza (qualitativa equantitativa)

Logica come ragiona un agente (o un gruppi di agenti);consistenza delle preferenze; consistenza delleconvinzioni; ragionamento sul ragionamento altrui

Alcune domande centrali

In cosa possono o devono consistere gli obiettivi dellacollettivita?

Qual e il rapporto tra gli obiettivi individuali e quelli dellacollettivita?

Come si risolvono i conflitti tra l’interesse privato e il benecollettivo?

Interesse personale e bene collettivo

La teoria delle decisioni andrebbe applicata soprattutto allaricerca di un optimum per la collettivita, e solo poi, in viasubordinata, all’analoga ricerca a livello settoriale oregionale o addirittura aziendale o familiare o individuale. Sidovrebbe pensare, avanti a tutto, alla preservazione dellavita della biosfera, e quindi all’uomo col compito della suaregolazione, se sapra raccogliere il messaggio di rarichiaroveggenti come Peccei, Huxley, Salk [. . .] Soltanto inquesta prospettiva puo esserci speranza per il futuro.

(B. de Finetti, Decisione, in Enciclopedia Einaudi, 1977)

Decisione razionale: anteprima

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