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Paolo BaronciniRoberto ManfrediIlaria Fragni

Lineamenti.Math

Lineamenti.MATH BLU Volume 5

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p. Baroncini r. manfredi i. Fragni

Lineamenti.M

ATH BLU

Volume

5

isBn 978-88-538-0433-4

ghisetti e corvi

Questo volume, sprovvisto del tal-loncino a lato, da considerarsicopia di saggio-campione gra-tuito, fuori commercio (vendita ealtri atti di disposizione vietati: art.17, c. 2, L. 633/1941). Fuori campoapplicazione i.V.a. (D.p.r. 26/10/72,n. 633, art. 2, 3 co, lett. d.)

BLU5.MathLineamenti

BLU5 EDIZIONE RIFORMA

5P. B

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Lineamenti.MATH BLUCOMPOSIZIONE DEL CORSO

Volume 3 ISBN 978-88-538-0431-0Volume 4 ISBN 978-88-538-0432-7Volume 5 ISBN 978-88-538-0433-4

Per il docenteStrumenti per il docente ISBN 978-88-538-1874-4Database di esercizi su pen drive USB ISBN 978-88-538-0434-1

Il corso rigore teorico e semplificazione espositiva esercizi rinnovati nella quantit e nelle tipologie esercizi di riepilogo per la preparazione allesame di Stato esercizi di matematica e fisica, matematica e situazioni reali schede Matematica e modelli - verso le competenze, dedicate allapplicazione di modelli mate-matici per la risoluzione dei problemi

On line su www.scuola.com ZONAMatematica: sito per lerogazione e la valutazione automatica di verifiche (personalizzabilida parte del docente) e di esercizi interattivi di recupero e potenziamento

nelle risorse web dellopera:- Laboratorio di matematica con guide ai software ed esercitazioni svolte e proposte (utilizzabilisu computer e sulla LIM)

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Linea MAth_BLU_vol5 21/12/11 09:32 Pagina 1

Paolo BaronciniRoberto ManfrediIlaria Fragni

BLU.MathLineamenti

5

Linea MAth_BLU_fr_vol5 14/12/11 14:18 Pagina 1

Propriet letteraria riservata 2012 De Agostini Scuola SpA Novara1 edizione: gennaio 2012Printed in Italy

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Redattore responsabile: Stefano Parravicini

Tecnico responsabile: Daniele Pagliari

Redazione: Sergio Miotto, Antonella Robbia,

Federica Pizzetti, Marco Ferrara

Progetto grafico: Daniele Pagliari

Copertina: Daniele Pagliari

Impaginazione e disegni: La Pulce

Art Director: Nadia Maestri

Si ringraziano il prof. Carlo Bertoni che ha curato le schede Matematica e modelli - Versole competenze, il dott. Anteo DAngi che ha curato le rubriche English for Math, la prof.ssaOlga Mannella per gli esecizi di matematica e fisica.Si ringrazia A.G.E. s.r.l. Bologna per il contributo alla realizzazione degli esercizi.

Stampa: La Tipografica di Varese S.p.A. Varese

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Lineamenti.MATH BLU 5 - Ghisetti e Corvi 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

{lavori}GHISETTI/ISBN0433/indice.3d - 6/2/2012 - La Pulce

III

analisi

Capitolo 1 Topologia della retta reale. Funzioni

Intorni di un punto ................................................................................................... 31 Insiemi numerici e insiemi di punti ....................................................................... 32 Intorno completo di un punto .............................................................................. 43 Intorno sinistro o destro di un punto ................................................................... 5

Intorni dellinfinito ................................................................................................... 64 Il simbolo 1 ............................................................................................................. 65 Intorni di infinito .................................................................................................... 6

Insiemi numerici limitati ......................................................................................... 86 Insiemi numerici limitati superiormente e inferiormente .................................. 87 Massimo e minimo di un insieme numerico ........................................................ 98 Estremo inferiore ed estremo superiore .............................................................. 10

Punti isolati. Punti daccumulazione .................................................................... 129 Punti isolati .............................................................................................................. 1210 Punti daccumulazione ........................................................................................... 12

Funzioni reali di variabile reale ............................................................................. 1311 Richiami .................................................................................................................... 1312 Classificazione delle funzioni ................................................................................. 1513 Dominio di una funzione reale di variabile reale ............................................... 1514 Funzioni limitate ..................................................................................................... 1615 Massimi e minimi assoluti ...................................................................................... 1816 Massimi e minimi relativi ....................................................................................... 19

n Matematica e modelli - Verso le competenze ................................................ 25

Esercizi .......................................................................................................................... 27

Capitolo 2 Limiti delle funzioni

Il concetto di limite ................................................................................................... 691 Introduzione ............................................................................................................ 69

Limite finito di f x per x che tende a un valore finito ................................. 712 Definizione .............................................................................................................. 713 Limite sinistro e limite destro ................................................................................ 774 Limite per difetto e limite per eccesso ................................................................. 79

Limite finito di f x per x che tende allinfinito .............................................. 815 Limite finito di fx per x che tende a 1 ......................................................... 816 Limite finito di fx per x che tende a 1 ......................................................... 837 Limite finito di fx per x che tende a 1 ............................................................ 858 Limite per difetto e limite per eccesso ................................................................. 87

Limite infinito di fx per x che tende a un valore finito ............................. 899 Limite 1 per x che tende a un valore finito ................................................... 8910 Limite 1 per x che tende a un valore finito .................................................... 9111 Limite infinito per x che tende a un valore finito .............................................. 9212 Limite sinistro e limite destro ................................................................................ 94

Limite infinito di fx per x che tende allinfinito ........................................... 9513 Limite 1 di una funzione per x che tende a 1 ............................................ 9514 Altri casi di limite infinito per x che tende allinfinito ....................................... 98

Approfondimenti ....................................................................................................... 99



IV

15 Definizione topologica di limite ............................................................................ 9916 Estensione del concetto di limite .......................................................................... 10017 Limiti delle successioni ............................................................................................ 101

Teoremi generali sui limiti ...................................................................................... 10318 Conseguenze della definizione di limite .............................................................. 10319 Teorema di unicita` del limite ................................................................................ 10520 Teorema della permanenza del segno ................................................................. 10521 Teoremi del confronto ........................................................................................... 10822 Limiti delle funzioni monoto`ne ............................................................................. 111


Matematica nella storia ............................................................................................ 114Esercizi .......................................................................................................................... 117

Capitolo 3 Funzioni continue e calcolo dei limiti

Funzioni continue ...................................................................................................... 1451 Definizione .............................................................................................................. 1452 Continuita` delle funzioni elementari ................................................................... 147

Teoremi sul calcolo dei limiti ................................................................................. 1483 Limite della somma algebrica di due funzioni .................................................... 1484 Somma di funzioni continue ................................................................................. 1515 Limite del prodotto di una funzione per una costante ..................................... 1526 Limite del prodotto di due funzioni ..................................................................... 1527 Prodotto di funzioni continue ............................................................................... 1558 Limite del quoziente di due funzioni ................................................................... 1569 Quoziente di funzioni continue ............................................................................ 15910 Limite della radice di una funzione ...................................................................... 16011 Radice e valore assoluto di una funzione continua ............................................ 161

Limiti delle funzioni razionali ................................................................................ 16212 Limiti delle funzioni razionali intere .................................................................... 16213 Limiti delle funzioni razionali fratte per x ! c ................................................... 16314 Limiti delle funzioni razionali fratte per x !1 ................................................. 164Funzioni inverse e funzioni composte ................................................................. 16615 Continuita` delle funzioni inverse .......................................................................... 16616 Limiti delle funzioni composte .............................................................................. 16617 Cambiamento di variabile ...................................................................................... 16818 Composizione di funzioni continue ...................................................................... 16819 Potenze delle funzioni continue ........................................................................... 16920 Forme indeterminate esponenziali ....................................................................... 169

Limiti notevoli ............................................................................................................ 17021 Funzioni esponenziali e logaritmiche ................................................................... 17022 Funzioni goniometriche ......................................................................................... 171

Infinitesimi e infiniti ................................................................................................ 17423 Infinitesimi e loro confronto ................................................................................. 17424 Ordine di un infinitesimo ....................................................................................... 17525 Scrittura fuori del segno di limite ......................................................................... 17526 Parte principale di un infinitesimo ....................................................................... 17627 Infiniti e loro confronto ......................................................................................... 17828 Ordine e parte principale di un infinito ............................................................... 179



V

Limiti delle successioni ............................................................................................ 18029 Calcolo dei limiti delle successioni ........................................................................ 180


Esercizi .......................................................................................................................... 183

Capitolo 4 Teoremi sulle funzioni continue

Singolarita` di una funzione e grafico approssimato ...................................... 2311 Punti singolari ......................................................................................................... 2312 Classificazione delle singolarita` ............................................................................. 2313 Grafico approssimato di una funzione ................................................................. 233

Teoremi sulle funzioni continue ............................................................................ 2364 Teorema di Weierstrass .......................................................................................... 2365 Teorema di Bolzano ................................................................................................ 237



Capitolo 5 Derivata di una funzione

Definizioni e nozioni fondamentali ..................................................................... 2691 Introduzione ............................................................................................................ 269

n Matematica e fisica - Verso le competenze .................................................... 2692 Rapporto incrementale ........................................................................................... 2703 Significato geometrico del rapporto incrementale ............................................. 2704 Definizione di derivata ........................................................................................... 2715 La funzione derivata ............................................................................................... 272

n Matematica e fisica - Verso le competenze .................................................... 2736 Significato geometrico della derivata ................................................................... 274

n Matematica e fisica - Verso le competenze .................................................... 2757 Punti notevoli del grafico di una funzione .......................................................... 2758 Continuita` delle funzioni derivabili ...................................................................... 277

Derivate fondamentali ............................................................................................. 2799 Derivata di una funzione costante ....................................................................... 27910 Derivata della funzione identica ........................................................................... 27911 Derivata di x n .......................................................................................................... 27912 Derivata di

xp

......................................................................................................... 28013 Derivata di

x3p

......................................................................................................... 28114 Derivate delle funzioni esponenziali .................................................................... 28115 Derivate delle funzioni logaritmiche .................................................................... 28216 Derivate di sen x e cos x ......................................................................................... 282

Lalgebra delle derivate ........................................................................................... 28317 Derivata della somma di due funzioni ................................................................. 28318 Derivata del prodotto di due funzioni ................................................................. 28419 Derivata del prodotto di tre o piu` funzioni ........................................................ 28620 Derivata della funzione reciproca ......................................................................... 28621 Derivata del quoziente di due funzioni ............................................................... 287

n Matematica e fisica - Verso le competenze .................................................... 288

Derivate delle funzioni composte ......................................................................... 28822 Premessa .................................................................................................................. 288



VI

23 Derivate delle funzioni composte ......................................................................... 28924 Derivata di fxgx ................................................................................................ 291Derivate delle funzioni inverse ............................................................................. 29325 Derivabilita` della funzione inversa ....................................................................... 29326 Derivata della funzione inversa ............................................................................ 29327 Derivate delle inverse delle funzioni goniometriche .......................................... 294

Derivate di ordine superiore .................................................................................. 29628 Derivata seconda e derivate successive ................................................................ 296


Differenziale ................................................................................................................ 29729 Differenziale di una funzione derivabile ............................................................. 297



Esercizi .......................................................................................................................... 304

Capitolo 6 Teoremi sulle funzioni derivabili

Teoremi di Fermat e di Rolle .................................................................................. 3411 Teorema di Fermat ................................................................................................. 341

n Matematica e fisica - Verso le competenze .................................................... 3432 Teorema di Rolle ..................................................................................................... 343


Teorema di Lagrange e sue conseguenze ........................................................... 3463 Teorema di Lagrange ............................................................................................. 346

n Matematica e fisica - Verso le competenze .................................................... 3484 Funzioni costanti ..................................................................................................... 3495 Funzioni crescenti o decrescenti in un intervallo ................................................ 3506 Funzioni crescenti o decrescenti in un punto ...................................................... 352

Teoremi di Cauchy e di De lHopital ..................................................................... 3537 Teorema di Cauchy ................................................................................................. 3538 Teorema di De lHopital ......................................................................................... 3549 Regola di De lHopital ............................................................................................ 35510 Criterio di derivabilita` ............................................................................................ 35711 Applicazioni al confronto di infiniti ...................................................................... 359

Esercizi .......................................................................................................................... 361

Capitolo 7 Massimi, minimi e flessi

Ricerca dei massimi e dei minimi ......................................................................... 3891 Condizione sufficiente per lesistenza di un estremo ......................................... 3892 Ricerca degli estremi relativi e assoluti ................................................................ 3913 Problemi di ottimizzazione .................................................................................... 394


Concavita` di una curva e punti di flesso ............................................................ 3994 Concavita` di una curva ........................................................................................... 3995 Concavita` e derivata seconda ................................................................................ 400

n Matematica e fisica - Verso le competenze .................................................... 4026 Punti stazionari delle funzioni concave o convesse ............................................ 4027 Punti di flesso .......................................................................................................... 403



VII

8 Ricerca dei punti di flesso ...................................................................................... 406

Il metodo delle derivate successive ..................................................................... 4079 Metodo della derivata seconda per la determinazione degli estremi relativi . 40710 Metodo della derivate successive per la determinazione dei punti stazionari 408

n Matematica e fisica - Verso le competenze .................................................... 40911 Metodo delle derivate successive per la determinazione dei punti di flesso .. 410

Applicazioni alla risoluzione approssimata di equazioni .............................. 41212 Unicita` della soluzione ........................................................................................... 41213 Il metodo delle secanti ........................................................................................... 41414 Il metodo delle tangenti ........................................................................................ 417


Esercizi .......................................................................................................................... 422

Capitolo 8 Rappresentazione grafica delle funzioni

Asintoti obliqui .......................................................................................................... 4631 Definizione .............................................................................................................. 4632 Ricerca degli asintoti obliqui ................................................................................. 4643 Asintoti obliqui delle funzioni razionali fratte .................................................... 466

Studio del grafico di una funzione ....................................................................... 4674 Schema generale per lo studio di una funzione ................................................. 4675 Grafici delle funzioni razionali intere ................................................................... 4696 Grafici delle funzioni razionali fratte ................................................................... 4717 Grafici delle funzioni irrazionali ............................................................................ 4748 I grafici delle funzioni e le coniche ...................................................................... 4779 Grafici delle funzioni esponenziali ....................................................................... 47810 Grafici delle funzioni logaritmiche ....................................................................... 48011 Grafici delle funzioni goniometriche .................................................................... 48212 Grafici di altri tipi di funzioni ................................................................................ 485

Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata e viceversa ......... 48813 Premessa .................................................................................................................. 48814 Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata .................................... 48815 Dal grafico di una funzione a quello di una sua primitiva ................................ 490

Grafici di particolari funzioni composte ............................................................. 491

16 Dal grafico di fx al grafico di 1fx ..................................................................... 491

17 Dal grafico di fx al grafico di efx .................................................................... 49318 Dal grafico di fx al grafico di ln fx 494Applicazioni alle equazioni ..................................................................................... 49619 Molteplicita` di una soluzione ................................................................................ 49620 Discussione delle equazioni parametriche ........................................................... 498


Esercizi .......................................................................................................................... 502

Capitolo 9 Integrali indefiniti

Definizioni ................................................................................................................... 5491 La derivata come operatore .................................................................................. 5492 Lintegrale indefinito .............................................................................................. 550



VIII

3 Linearita` dellintegrale indefinito ......................................................................... 552

Metodi di integrazione ............................................................................................ 5534 Integrazioni immediate .......................................................................................... 5535 Integrazione delle funzioni razionali intere ........................................................ 5576 Integrazione per sostituzione ................................................................................ 5577 Integrazione per parti ............................................................................................ 5608 Integrazione delle funzioni razionali fratte ........................................................ 562


Esercizi .......................................................................................................................... 570

Capitolo 10 Integrali definiti

Introduzione allintegrale definito ....................................................................... 595

Integrale definito di una funzione continua ..................................................... 5991 Funzioni continue positive ..................................................................................... 5992 Funzioni continue negative ................................................................................... 6003 Funzioni continue di segno qualsiasi .................................................................... 6014 Somme integrali (somme di Cauchy-Riemann) .................................................... 603

Proprieta` degli integrali definiti e teorema della media .............................. 6045 Proprieta` fondamentali .......................................................................................... 6046 Lintegrale definito come operatore lineare ....................................................... 6057 Teorema della media .............................................................................................. 606

Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale ............................... 6088 La funzione integrale ............................................................................................. 6089 Teorema fondamentale del calcolo integrale ...................................................... 60910 Relazione tra funzione integrale e integrale indefinito .................................... 60911 Formula fondamentale del calcolo integrale ....................................................... 61012 Integrali delle funzioni pari e dispari ................................................................... 61113 Calcolo degli integrali definiti con il metodo di sostituzione ........................... 612

Calcolo di aree e di volumi ..................................................................................... 61314 Area della parte di piano delimitata dal grafico di due o piu` funzioni .......... 61315 Volume di un solido di rotazione ......................................................................... 61816 Esempi particolari di calcolo di volumi ................................................................. 620

Applicazioni alla fisica ............................................................................................. 62217 Baricentro di una figura piana omogenea .......................................................... 62218 Lavoro di una forza ................................................................................................ 62319 Intensita` efficace di una corrente alternata ........................................................ 62420 Energia di un condensatore ................................................................................... 62421 Energia di un campo magnetico ........................................................................... 625



Capitolo 11 Equazioni differenziali

Nozioni fondamentali ............................................................................................... 6571 Introduzione ............................................................................................................ 6572 Integrale di unequazione differenziale ............................................................... 659

Equazioni differenziali del primo ordine ............................................................ 6623 Equazioni differenziali del tipo y 0 fx ............................................................ 662



IX

4 Equazioni differenziali a variabili separabili ........................................................ 6635 Equazioni differenziali lineari del primo ordine ................................................. 665

Equazioni differenziali del secondo ordine ....................................................... 6676 Equazioni differenziali del secondo ordine lineari omogenee a coefficienti

costanti ..................................................................................................................... 6687 Equazioni differenziali del secondo ordine lineari non omogenee a

coefficienti costanti ................................................................................................ 669

Applicazioni delle equazioni del primo ordine ................................................. 6758 Legge del decadimento radioattivo ...................................................................... 6759 Caduta libera in un mezzo resistente ................................................................... 67610 Circuito con induttanza e resistenza (f.e.m. costante) ....................................... 67711 Circuito con induttanza e resistenza (f.e.m. alternata) ...................................... 678

Applicazioni delle equazioni del secondo ordine ............................................ 67912 Moto armonico semplice ........................................................................................ 67913 Pendolo semplice .................................................................................................... 68014 Circuito con induttanza, resistenza, capacita` ...................................................... 68115 Circuito con induttanza e capacita` ....................................................................... 684


Esercizi .......................................................................................................................... 686

.............................................................................................. 697

geometria analitica nello spazioCapitolo 12 Geometria analitica nello spazio cartesiano

Coordinate cartesiane nello spazio ...................................................................... 7091 Assi cartesiani: coordinate di un punto ................................................................ 7092 Distanza tra due punti. Punto medio di un segmento ....................................... 7103 Luoghi geometrici ................................................................................................... 711

Equazione del piano ................................................................................................. 7124 Equazione generale del piano ............................................................................... 7125 Piani in posizioni particolari .................................................................................. 7136 Equazione del piano in forma esplicita ................................................................ 7147 Equazione di un piano passante per un punto dato e di coefficienti angolari

assegnati .................................................................................................................. 7158 Distanza di un punto da un piano ........................................................................ 7159 Piani paralleli ........................................................................................................... 71610 Piani perpendicolari ................................................................................................ 718

Equazioni della retta ................................................................................................ 71911 Introduzione ............................................................................................................ 71912 Equazioni parametriche di una retta passante per un punto dato e avente una

data direzione ......................................................................................................... 71913 Equazioni canoniche della retta ............................................................................ 72014 Equazioni della retta passante per due punti dati ............................................. 720

Equazioni di alcune superfici notevoli ................................................................ 72215 Introduzione ............................................................................................................ 72216 Superfici cilindriche ................................................................................................. 72217 Superficie sferica ..................................................................................................... 72318 Superficie conica ..................................................................................................... 724



X

19 Altri esempi di quadriche notevoli ....................................................................... 725


Esercizi .......................................................................................................................... 728

dati e previsioni

Capitolo 13 Variabili casuali discrete

Distribuzione di una variabile casuale ................................................................ 7411 Definizioni ............................................................................................................... 7412 Somma e prodotto di una variabile casuale e di una costante ......................... 744

Valor medio, varianza e scarto quadratico medio ........................................... 7453 Valor medio ............................................................................................................. 7454 Proprieta` del valor medio ...................................................................................... 7475 Variabilita` di una variabile casuale ....................................................................... 7486 Varianza ................................................................................................................... 7497 Proprieta` della varianza ......................................................................................... 750

Funzione di ripartizione ........................................................................................... 7518 Definizione di funzione di ripartizione ................................................................ 7519 Proprieta` della funzione di ripartizione ............................................................... 752

Teorema di Cebysev .................................................................................................. 75410 La disuguaglianza di Cebysev ................................................................................ 754

Cenni di teoria dei giochi ........................................................................................ 75511 Speranza matematica ............................................................................................. 75512 Giochi equi ............................................................................................................... 756


Esercizi .......................................................................................................................... 759

Capitolo 14 Distribuzioni tipiche delle variabili casuali discrete

Distribuzione binomiale .......................................................................................... 7711 Introduzione ............................................................................................................ 7712 Il problema delle prove ripetute ........................................................................... 7733 Variabile casuale a distribuzione binomiale ........................................................ 7734 Media e varianza di una variabile casuale a distribuzione binomiale .............. 774

La legge dei grandi numeri .................................................................................... 7755 Eventi ripetibili ed elevato numero di prove ....................................................... 775


Distribuzione di Poisson .......................................................................................... 7776 Eventi rari ................................................................................................................ 7777 Media e varianza della distribuzione di Poisson ................................................. 779

Distribuzione geometrica ........................................................................................ 7808 Definizione e caratteristiche della distribuzione geometrica ............................ 7809 Funzione di ripartizione della distribuzione geometrica ................................... 782

Esercizi .......................................................................................................................... 783

Capitolo 15 Variabili casuali continue

Variabili casuali continue e funzione di ripartizione ...................................... 795



XI

1 Introduzione ............................................................................................................ 795

n Matematica e fisica - Verso le competenze .................................................... 7952 Funzione di ripartizione ......................................................................................... 7963 Altre proprieta` della funzione di ripartizione ..................................................... 797

La funzione di densita` di probabilita` .................................................................. 7994 La densita` di probabilita` ........................................................................................ 7995 Densita` puntuale. Funzione di densita` di probabilita` ........................................ 8006 Proprieta` della funzione di densita` ...................................................................... 802

Valor medio ................................................................................................................. 8047 Espressione del valor medio .................................................................................. 804

Varianza e scarto quadratico medio .................................................................... 8058 Espressioni e proprieta` della varianza .................................................................. 805

Somma e prodotto di una variabile casuale continua e di una costante . 8069 Definizioni, funzioni di ripartizione e di densita` ................................................ 806

Teorema di Cebysev .................................................................................................. 81010 Espressioni del teorema di Cebysev per variabili casuali continue .................... 810


Esercizi .......................................................................................................................... 813

Capitolo 16 Distribuzioni tipiche delle variabili casuali continue1 Introduzione ............................................................................................................ 825

Distribuzione uniforme ............................................................................................ 8252 Definizione e caratteristiche .................................................................................. 825

Distribuzione gaussiana .......................................................................................... 8273 Introduzione e definizione .................................................................................... 8274 Distribuzione gaussiana standardizzata ............................................................... 8285 Distribuzione gaussiana: caso generale ................................................................ 8296 I parametri m e s .................................................................................................... 8307 Utilizzo delle tavole della funzione di ripartizione: variabile standardizzata . 8318 Intervalli tipici di scostamento ............................................................................... 8329 Distribuzione binomiale e distribuzione gaussiana ............................................ 83310 Applicazioni della distribuzione gaussiana .......................................................... 83511 Funzione di ripartizione gaussiana standardizzata ............................................. 837

Esercizi .......................................................................................................................... 838

Laboratorio di matematica ........................................................................................ 845.............................................................................................. 847


C:/lavori/GHISETTI/ISBN0433/c01.3d - 3/2/2012 - La Pulce

n Capitolo 1

Topologia della retta reale. Funzioni

n Capitolo 1

Topologia della retta reale. Funzioni

n Capitolo 2

Limiti delle funzioni

n Capitolo 2

Limiti delle funzioni

n Capitolo 3

Funzioni continue e calcolo dei limiti

n Capitolo 3

Funzioni continue e calcolo dei limiti

n Capitolo 4

Teoremi sulle funzioni continue

n Capitolo 4

Teoremi sulle funzioni continue

n Capitolo 5

Derivata di una funzione

n Capitolo 5

Derivata di una funzione

n Capitolo 6

Teoremi sulle funzioni derivabili

n Capitolo 6

Teoremi sulle funzioni derivabili

n Capitolo 7

Massimi, minimi e flessi

n Capitolo 7

Massimi, minimi e flessi

n Capitolo 8

Rappresentazione grafica delle funzioni

n Capitolo 8

Rappresentazione grafica delle funzioni

n Capitolo 9

Integrali indefiniti

n Capitolo 9

Integrali indefiniti

n Capitolo 10

Integrali definiti

n Capitolo 10

Integrali definiti

n Capitolo 11

Equazioni differenziali

n Capitolo 11

Equazioni differenziali

n English for mathn English for math


{lavori}GHISETTI/ISBN0433/c01u01.3d - 6/2/2012 - La Pulce

3

Capitolo 1

n Intorni di un punto

n Intorni dellinfinito

n Insiemi numerici limitati

n Punti isolati. Punti daccumulazione

n Funzioni reali di variabile reale

n Intorni di un punto

1 Insiemi numerici e insiemi di punti

Un insieme numerico e` un insieme i cui elemen-

ti sono numeri reali. E` noto che linsieme R dei

numeri reali puo` essere posto in corrispondenza

biunivoca con linsieme dei punti di una retta

orientata r su cui sia stata fissata unorigine e

ununita` di misura delle lunghezze; per questo

motivo una tale retta viene anche detta retta

reale.

TOPOLOGIA

Il termine topologia e` composto dai sostantivi

greci topos (luogo) e logos (parola, discorso,

ragionamento). La topologia si occupa dello

studio delle proprieta` delle figure che sono in-

varianti rispetto a trasformazioni continue.

In questo capitolo esporremo solo alcuni ele-

mentari concetti di topologia riferiti alla retta

reale.Grazie a questa corrispondenza e` lecito con-

fondere i punti della retta r con i numeri reali

a essi corrispondenti e viceversa, e quindi e` pos-

sibile parlare indifferentemente di insiemi numerici o di insiemi di punti di r, identificando cos` un

insieme numerico con la sua immagine geometrica su r.

Tra gli insiemi numerici sono particolarmente importanti gli intervalli, che abbiamo gia` studiato negli

anni precedenti. Gli intervalli limitati sono rappresentati da segmenti della retta reale, mentre gli in-

tervalli illimitati sono rappresentati da semirette.

ESEMPI

1 Lintervallo 2 ; 5 e` rappresentato da un segmento:

Come al solito, il tondino vuoto sta a indicare che lestremo 2 non appartiene allintervallo, mentre iltondino pieno indica che lestremo 5 appartiene allintervallo.



4

2 Lintervallo 2 ; 1 e` rappresentato da una semiretta privata dellorigine:

3 Linsieme A

1 ; 12

; 13

; 14

; ::: ; 1n

; :::

, formato dai reciproci dei numeri naturali diversi da 0,

non e` un intervallo. Esso e` rappresentato da infiniti punti che si addensano in prossimita` dellorigine:

Osserva che lo zero non appartiene allinsieme A.

2 Intorno completo di un punto

DEFINIZIONE INTORNO COMPLETO

Si chiama intorno completo, o semplicemente intorno, di un punto (o di un numero) x0 un

qualsiasi intervallo aperto contenente x0.

La rappresentazione geometrica di un intorno completo di x0 e` un qualsiasi segmento, privato degli

estremi, che contenga (come punto interno) il punto di ascissa x0.

In generale, quindi, detti 1 e 2 due generici numeri positivi, un intorno di x0 sara` un intervallo apertodel tipo x0 1 ; x0 2. Indicando lintorno con Ix0, si avra` quindi (FIGURA 1):

Ix0 x0 1 ; x0 2 fx 2 Rjx0 1 < x < x0 2; 1; 2 > 0g

FIGURA 1

Come e` evidente, lampiezza dellintorno misura

1 2; infatti si hajx0 2 x0 1j j1 2j 1 2

Essa rappresenta la distanza tra i due punti che

sono gli estremi dellintorno.

SAI GIA` CHE...

La distanza tra due punti x1 e x2 su una retta

e` data da jx2 x1j.

ESEMPI

1 Lintervallo I 1 ; 4 puo` essere pensato, per esempio, come intorno di x0 3. In tal caso sara`1 4 e 2 1 e quindi si puo` anche scrivere I 3 4 ; 3 1.

2 Lintervallo

1 1100

; 1 3100

e` un intorno del punto (di ascissa) 1 la cui ampiezza misura

1 2 1100 3

100 0;04.

analisiTEORIA



5

1.TOPOLOGIA

DELLARETTAREALE.FUNZIO

NI

analisi

Nel caso in cui risulti 1 2, lintorno Ix0 e` simmetrico rispetto a x0: allora si parla anche di intornocircolare di x0 con raggio 1 2 (FIGURA 2):

Icx0 x0 ; x0 intorno circolare di x0

FIGURA 2

3 Lintervallo I 1 ; 4, considerato nellesempio&1 , e` un intorno circolare di x0 1;5 con raggio 2;5:

I 1;5 2;5 ; 1;5 2;5

4 Lintervallo

2 110

; 2 110

e` eviden-

temente un intorno circolare di 2 con

raggio 110

.

INTERSEZIONI

Lintersezione di due o piu` intorni completi

di x0 e` ancora un intorno completo di x0. In

particolare lintersezione di due o piu` intor-

ni circolari di x0 e` un intorno circolare di x0.

3 Intorno sinistro o destro di un punto

DEFINIZIONE INTORNO SINISTRO

Si dice intorno sinistro del punto (numero) x0 un qualsiasi intervallo aperto avente x0 come

estremo destro.

La rappresentazione geometrica (FIGURA 3) e` un segmento, privato degli estremi, il cui estremo destro

e` il punto di ascissa x0. In simboli, indicando con Isx0 un intorno sinistro di x0, si haIsx0 x0 ; x0 fx 2 Rjx0 < x < x0; > 0g

essendo la misura dellampiezza dellintorno.In modo analogo si ha la seguente definizione.

DEFINIZIONE INTORNO DESTRO

Si dice intorno destro del punto (numero) x0 un qualsiasi intervallo aperto avente x0 come

estremo sinistro.

FIGURA 3 FIGURA 4

In simboli, un intorno destro di x0 la cui ampiezza misura e`

Idx0 x0 ; x0 fx 2 Rjx0 < x < x0 ; > 0gLa rappresentazione geometrica e` in FIGURA 4.



6

ESEMPI

1 Lintervallo

1 110

; 1

e` un intorno sinistro di x0 1 con ampiezza di misura 110 .

2 Lintervallo 2 ; 1;99 e` un intorno destro di x0 2; la sua ampiezza misura 1;99 2 0;01

3 Lintervallo 1 ; 2 puo` essere considerato sia un intorno destro di 1 sia un intorno sinistro di 2, conampiezza unitaria.

Nel seguito, quando parleremo di intorno di un punto senza specificare destro o sinistro, inten-

deremo riferirci a un intorno completo.

PER COMPRENDERE MEGLIO

Gli intorni di un punto sono utili soprattutto

quando si vuole descrivere una proprieta` loca-

le di una funzione. Per esempio, come vedre-

mo nel seguito, si dice che una funzione f xha un massimo relativo o massimo locale in

x0 se esiste un intorno del punto x0 in cui la

funzione assume solo valori minori o uguali di

f x0 (FIGURA 5).

FIGURA 5

n Intorni dellinfinito

4 Il simbolo 1Nellanalisi infinitesimale si fa ampio uso del simbolo1 (infinito). Si puo` dire che questo simbolo de-nota un infinito in potenza: scritture come x! 1 (si legge x tende a piu` infinito) esprimonoche la variabile x assume valori via via piu` grandi, in modo da divenire maggiore di qualsiasi prefissato

numero reale; tuttavia la variabile x non ha mai un valore infinito: il simbolo 1 non indica un nu-mero reale.

5 Intorni di infinito

DEFINIZIONE INTORNO DI MENO INFINITO

Si definisce intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo illimitato del tipo 1 ; a.

In simboliI1 1 ; a fx 2 Rjx < ag

DEFINIZIONE INTORNO DI PIU` INFINITO

Si dice intorno di piu` infinito un qualsiasi intervallo illimitato del tipo b ; 1.

In simboliI1 b ; 1 fx 2 Rjx > bg

analisiTEORIA



7

1.TOPOLOGIA


NI

analisi

DEFINIZIONE INTORNO DI INFINITO

Si chiama intorno di infinito lunione tra un intorno di meno infinito e un intorno di piu` infinito.

In simboliI1 I1 [ I1 fx 2 Rjx < a _ x > b; a < bg

Nella FIGURA 6 e` data la rappresentazione geometrica degli intorni ora definiti.

FIGURA 6

ESEMPIO

Linsieme S delle soluzioni della disequazione x 2 3x 4 > 0 e` un intorno di infinito. Infattix 2 3x 4 > 0 ! x < 1 _ x > 4 ! S 1 ; 1 [ 4 ; 1 I1

Per analogia con il concetto di intorno circolare di un punto, si puo` parlare di intorno circolare di in-

finito quando lintorno stesso e` simmetrico rispetto allorigine dellasse reale.

In simboli

Ic1 1 ; k [ k ; 1 fx 2 Rjx < k _ x > k; k > 0g

PER COMPRENDERE MEGLIO

Per comprendere intuitivamente le definizioni degli intorni dellinfinito guarda la FIGURA 7, dove abbiamo

rappresentato la retta reale r e una circonferenza a essa tangente nellorigine O. Chiamiamo linsieme

costituito da tutti i punti della circonferenza con lesclusione del punto Z, diametralmente opposto a O.

Possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di e i punti di r facendo corrispondere, a un

qualsiasi punto P 2 , il punto P 0 2 r in cui la retta ZP interseca r.

FIGURA 7

Immagina ora che il punto P si muova sulla circonferenza, in senso antiorario, avvicinandosi sempre piu` a

Z; il punto P 0 si sposta su r verso destra, allontanandosi sempre piu` dallorigine. Nel contempo la retta ZPdiminuisce la sua inclinazione, avvicinandosi sempre piu` alla posizione occupata dalla retta t tangente alla

circonferenza in Z. Quando il punto P si trova nella posizione di Z, la retta ZP coincide con la retta t, pa-

rallela a r, e quindi non puo` intersecare r.

Analogamente, se il punto P si muove in senso orario, il punto P 0 si sposta verso sinistra, e quanto piu` P siavvicina a Z tanto piu` P 0 si allontana dallorigine verso sinistra.Possiamo associare il punto Z al simbolo1. Agli intorni di Z sulla circonferenza faremo cos` corrisponderedegli intorni di 1 sulla retta.



8

Consideriamo ora su larco ZA: esso e` costituito da punti di che, nellorientamento antiorario fissato,

seguono Z; possiamo percio` considerare larco AZ, privato degli estremi, come un intorno destro di Z. I

punti corrispondenti su r sono i punti che precedono A0: essi costituiscono un intorno destro di 1, cioe`un intorno di 1.Analogamente i punti dellarco BZ, nellorientamento antiorario, precedono Z e percio` costituiscono un

intorno sinistro di Z. I punti corrispondenti su r sono i punti che seguono B 0 (corrispondente di B su r):essi costituiscono un intorno sinistro di 1, cioe` un intorno di 1.Infine larco AB, che su si puo` considerare un intorno completo di Z, ha come immagine su r lunione dei

due intorni di 1 e di 1 che abbiamo prima considerato; tale unione e` percio` un intorno di 1.

n Insiemi numerici limitati

6 Insiemi numerici limitati superiormente e inferiormente

DEFINIZIONE INSIEME INFERIORMENTE LIMITATO

Un insieme numerico si dice inferiormente limitato se esiste un numero reale minore o uguale

di tutti gli elementi dellinsieme.

Se un insieme A e` inferiormente limitato si dice che ogni numero h, minore o uguale di tutti gli ele-

menti di A, e` un minorante di A; ogni numero minore di h e` anchesso un minorante di A. Un insieme

numerico inferiormente limitato ha quindi infiniti minoranti.

Se un insieme numerico A non e` limitato inferiormente, si dice che e` inferiormente illimitato.

DEFINIZIONE INSIEME SUPERIORMENTE LIMITATO

Un insieme numerico si dice superiormente limitato se esiste un numero reale maggiore o

uguale di tutti gli elementi dellinsieme.

Se un insieme A e` superiormente limitato si dice

che ogni numero k, maggiore o uguale di tutti

gli elementi di A, e` un maggiorante di A; ogni

numero maggiore di k e` anchesso un maggio-

rante di A. Un insieme numerico superiormente

limitato ha quindi infiniti maggioranti.

Se un insieme numerico A non e` limitato supe-

riormente, si dice che e` superiormente illi-

mitato.

ILLIMITATO E INFINITO

Nel linguaggio comune i due termini illimitato

e infinito sono spesso usati come sinonimi.

In matematica non e` cos`: linsieme C delle-

sempio&3 di questo paragrafo e` limitato e in-finito (ossia ha un numero infinito di elemen-

ti). E` pero` vero che un insieme numerico con

un numero finito di elementi e` necessaria-

mente limitato.

DEFINIZIONE INSIEME LIMITATO

Un insieme numerico si dice limitato se e` sia inferiormente limitato sia superiormente limitato.

ESEMPI

1 Lintervallo A 1 ; 5 e` superiormente limitato, perche tutti i numeri di A sono minori o uguali a 5;il numero 5 e` un maggiorante di A. Osserva che anche il numero 6 e` un maggiorante di A. Inoltre A e`

inferiormente illimitato.

analisiTEORIA



9

1.TOPOLOGIA


NI

analisi

2 Lintervallo B 2 ; 1 e` inferiormente limitato e superiormente illimitato. Qualunque numerominore o uguale a 2 e` un minorante di B.

3 Linsieme C

1 ; 12

; 13

; 14

; ::: ; 1n

; :::

, formato dai reciproci dei numeri naturali positivi diversi

da 0, e` limitato: infatti i suoi elementi sono tutti maggiori di zero e minori o uguali a 1.

7 Massimo e minimo di un insieme numerico

DEFINIZIONE MINIMO DI UN INSIEME NUMERICO

Si dice minimo di un insieme numerico un elemento dellinsieme minore di tutti gli altri.

DEFINIZIONE MASSIMO DI UN INSIEME NUMERICO

Si dice massimo di un insieme numerico un elemento dellinsieme maggiore di tutti gli altri.

Se un insieme numerico ha un numero finito di elementi, esso ha sia un minimo sia un massimo(esempio&1 ).

Un insieme numerico inferiormente limitato puo` sia avere minimo sia non averlo; un insieme nume-rico superiormente limitato puo` sia avere massimo sia non averlo (esempio&2 ).

Un insieme numerico inferiormente illimitato non ha minimo, e un insieme numerico superiormen-te illimitato non ha massimo.

Il minimo e il massimo di un insieme A, se esistono, si indicano rispettivamente con

minA e MaxA

ESEMPI

1 Consideriamo linsieme A f0 ; 1 ; 2 ; 3g. Come` evidente, il suo massimo e` 3 e il suo minimo e` 0.

2 Lintervallo B 2 ; 5 ha minimo 2, perche 2 e` un elemento di B ed e` minore di tutti gli altrielementi di B.

Invece B non ha massimo, perche tutti gli elementi di B sono minori di 5, ma 5 non appartiene a B. Il

massimo di B non puo` neppure essere, per esempio, il numero 4,9 perche, pur essendo 4;9 2 B, tuttigli infiniti elementi compresi tra 4,9 e 5 appartengono a B e sono maggiori di 4,9. Con analogo ragio-

namento si capisce che neppure 4,99; 4,999; 4,9999... possono essere il massimo di B.

Ci si puo` rendere conto che B non ha massimo anche con un semplice ragionamento per assurdo co-

me il seguente.

Supponiamo che esista un numero b 2 B maggiore di tutti gli altri elementi di B (ipotesi assurda). Es-sendo b 2 2 ; 5, risulta b < 5. Consideriamo allora il numero b 0 b 5

2che, sulla retta reale, e`

rappresentato dal punto medio del seg-

mento i cui estremi corrispondono rispetti-

vamente a b e 5 (FIGURA 8).

Si ha b < b 0 < 5, e quindi b 0 appartiene a Bed e` maggiore di b, contro lipotesi che b

fosse il massimo di B.FIGURA 8

3 Linsieme C

1 ; 12

; 13

; 14

; ::: ; 1n

; :::

dei reciproci dei numeri naturali diversi da zero non ha

minimo e il suo massimo e` 1.



10

8 Estremo inferiore ed estremo superiore

Consideriamo ancora una volta linsieme C

1 ; 12

; 13

; 14

; ::: ; 1n

; :::

dei reciproci dei numeri

naturali diversi da zero. Come abbiamo gia` osservato, esso e` inferiormente limitato e lo zero ne e` un

minorante. Si puo` anche notare che qualunque

numero maggiore di zero non e` un minorante

di C. Per verificarlo e` sufficiente considerare

un generico numero " > 0 e ricercare un ele-mento di C minore di ":

1n

< " ! n > 1"

Cio` significa che se consideriamo un qualunque

numero positivo ", per quanto piccolo sia, pren-

dendo un numero naturale n > 1"

otteniamo il

numero 1n2 C minore di ". Pertanto " non e`

un minorante di C.

Dunque zero e` un minorante di C, mentre qua-

lunque numero maggiore di zero non e` un mino-

rante di C.

PER ESEMPIO

Consideriamo un numero positivo molto pic-

colo, per esempio 0,001. Per trovare un nu-

mero di C minore di 0,001 basta risolvere la

disequazione

1n

< 0;001 11000

! n > 1000

Prendendo quindi un numero n > 1000, per

esempio n 2000, troviamo il numero1n 1

2000 0;0005 che appartiene a C

ed e` minore di 0,001. Pertanto 0,001 non

e` un minorante dellinsieme. Questo ragiona-

mento si puo` ripetere prendendo, al posto di

0,001, un qualsiasi numero positivo ", per

quanto piccolo sia.

Possiamo concludere che 0 e` il massimo dei minoranti di C, cioe` come si usa dire, e` lestremo infe-

riore di C.

DEFINIZIONE ESTREMO INFERIORE DI UN INSIEME NUMERICO

Si dice estremo inferiore di un insieme numerico il massimo dei suoi minoranti.

Per poter affermare che un numero e` lestremo inferiore di un insieme numerico A occorre verificareche (FIGURA 9):

e` un minorante di A, cioe` se x 2 A allora x;

qualunque numero maggiore di non e` unminorante di A, cioe` se " > 0, esiste almenoun x 2 A tale che x < ".

FIGURA 9

Per indicare che un numero e` lestremo inferiore di un insieme si scrive

Inf An Un insieme inferiormente illimitato non ha estremo inferiore.

Infatti esso non ha minoranti e quindi non esiste il massimo dei suoi minoranti. In questo caso si usa

anche dire che il suo estremo inferiore e` 1 e si scrive Inf A 1.Lestremo inferiore di un insieme A puo` essere un elemento di A o essere un numero non appartenen-

te ad A (esempio&1 ).

n Se lestremo inferiore di un insieme e` un suo elemento, esso ne e` anche lelemento mini-

mo; viceversa, se un insieme numerico ha un elemento minimo, questo ne e` anche lestre-mo inferiore.

La definizione di estremo superiore di un insieme numerico e` del tutto analoga alla definizione di

estremo inferiore appena formulata.

analisiTEORIA



11

1.TOPOLOGIA


NI

analisi

DEFINIZIONE ESTREMO SUPERIORE DI UN INSIEME NUMERICO

Si dice estremo superiore di un insieme numerico il minimo dei suoi maggioranti.

Per poter affermare che un numero L e` lestremo superiore di un insieme numerico A occorre veri-

ficare che:

L e` un maggiorante di A, cioe` se x 2 A allora L x; qualunque numero minore di L non e` un maggiorante di A, cioe` se e` " > 0, esiste almeno un x 2 A

tale che x > L ".Per indicare che un numero L e` lestremo superiore di un insieme si scrive

L SupAn Un insieme superiormente illimitato non ha estremo superiore.

In questo caso si usa anche dire che il suo estremo superiore e` 1 e si scrive SupA 1.Lestremo superiore di un insieme A puo` essere un elemento di A o essere un numero non apparte-

nente ad A.

n Se lestremo superiore di un insieme e` un suo elemento, esso ne e` anche lelemento mas-

simo; viceversa, se un insieme numerico ha un elemento massimo, questo ne e` anche le-

stremo superiore.

Si potrebbe dimostrare il seguente importante teorema.

TEOREMA

Se un insieme numerico non vuoto e` inferiormente limitato, il suo estremo inferiore esiste ed e`

unico.

Se un insieme numerico non vuoto e` superiormente limitato, il suo estremo superiore esiste ed

e` unico.

ESEMPI

1 Consideriamo lintervallo illimitato aperto A 1 ; 4.Il numero 4, che non appartiene ad A, e` lestremo superiore di A: SupA 4. Infatti: 4 e` un maggiorante di A (ogni elemento di A e` minore di 4); indicando con " un arbitrario numero positivo, il numero 4 " non e` un maggiorante di A perche

tra 4 " e 4 vi sono infiniti elementi di A (tra questi, per esempio, la semisomma tra 4 " e 4, cherappresenta il punto medio del segmento che, sulla retta reale, ha per estremi i punti di ascissa4 " e 4; si veda la FIGURA 10).

Poiche 4 62 A, linsieme A non ammette elemento massimo.

FIGURA 10

2 Consideriamo linsieme B

32

; 43

; 54

; 65

; ::: ; n 2n 1 ; :::

formato da tutti i numeri esprimibili

nella forma n 2n 1 , con n 2 N

. Vogliamo dimostrare che il suo estremo inferiore e` 1.



12

Il numero 1 e` minorante di B. Infatti e` n 2n 1 > 1 perche il numeratore n 2 e` positivo e maggiore

del denominatore positivo n 1. Verifichiamo che qualunque numero maggiore di 1 non e` un minorante di B. A tale scopo conside-

riamo il numero 1 ", con " > 0, che e` maggiore di 1 e cerchiamo, se esistono, degli elementi di Bminori di 1 " risolvendo la disequazione

n 2n 1 < 1 " ! n >

1 ""

Cio` significa che se n > 1 ""

, il numero n 2n 1 , appartenente a B, e` minore di 1 ", e quindi

1 " non e` un minorante di B.Possiamo concludere che e` Inf B 1.

nPunti isolati. Punti daccumulazione

9 Punti isolati

DEFINIZIONE PUNTO ISOLATO

Si dice che un elemento c di un insieme numerico A e` isolato se esiste un intorno di c che non

contiene altri punti dellinsieme A.

Un insieme numerico i cui elementi sono tutti punti isolati si dice discreto.

Si puo` dimostrare che:

n ogni insieme numerico avente un numero finito di elementi e` discreto.

ESEMPIO

Linsieme N dei numeri naturali e linsieme Z dei numeri interi relativi sono insiemi discreti, perche ciascu-

no dei loro punti e` un punto isolato. Infatti, nel caso di Z, come puoi vedere dalla FIGURA 11, per ogni ele-

mento esiste un intorno che non contiene altri elementi di Z.

FIGURA 11

10 Punti daccumulazione

DEFINIZIONE PUNTO DACCUMULAZIONE

Si dice che un numero c e` un punto daccumulazione per linsieme numerico A se ogni intorno

di c contiene almeno un punto dellinsieme A distinto da c.

Un punto di accumulazione per un insieme puo` appartenere allinsieme o non appartenervi. Se tutti gli

elementi di un insieme numerico A sono punti di accumulazione per A si dice che A e` un insieme denso.

Si puo` dimostrare che se c e` un punto daccumulazione per linsieme numerico A, ogni intorno di c

contiene infiniti elementi di A.

analisiTEORIA



13

1.TOPOLOGIA


NI

analisi

Ne consegue che:

un insieme numerico avente un punto daccumulazione contiene infiniti elementi; un insieme nu-merico contenente un numero finito di elementi non puo` pertanto avere punti daccumulazione;

ogni insieme numerico denso contiene un numero infinito di elementi.

ESEMPI

1 Consideriamo linsieme R0 dei numeri reali maggiori o uguali a zero. Lo zero e` un puntodaccumulazione per tale insieme: infatti ogni intorno di 0 e` un intervallo del tipo a ; b, con a < 0e b > 0. In tale intorno sono contenuti, in particolare, i numeri dellintervallo 0 ; b che e` unsottoinsieme di R0 . Percio` ogni intorno di 0 contiene infiniti elementi di R

0 e quindi 0 ne e` un punto di

accumulazione. Osserva che in questo caso il punto di accumulazione appartiene allinsieme.

2 Consideriamo linsieme A

1 ; 12

; 13

; 14

; ::: ; 1n

; :::

dei reciproci dei numeri naturali diversi

da 0. Lo zero e` un punto daccumulazione per A. Infatti, consideriamo un generico intorno di 0,

I0 r ; s, con r < 0 e s > 0. Possiamo trovare un elemento di A contenuto in tale intornorisolvendo la disequazione:

1n

< s ! n > 1s

Cio` significa che, prendendo un qualsiasi numero naturale n > 1s

, otteniamo un numero 1n2 A tale

che r < 0 < 1n

< s e quindi tale che 1n2 I0. Pertanto qualsiasi intorno di 0 contiene un elemento di

A e quindi 0 e` un punto daccumulazione per A. Osserva che in questo caso il punto di accumulazione

non appartiene allinsieme.

3 Consideriamo linsieme Q dei numeri razionali. Si puo` dimostrare che Q e` un insieme denso.

Si potrebbe anche dimostrare che ogni numero irrazionale e` un punto daccumulazione per Q, e quin-

di tutti i numeri reali sono punti daccumulazione per Q.

n Funzioni reali di variabile reale

11 Richiami

Alcuni dei concetti riguardanti gli insiemi numerici si possono estendere alle funzioni. Prima di pro-

cedere richiamiamo pero` alcuni importanti concetti gia` incontrati negli anni precedenti, riferendoci,

in particolare, alle funzioni numeriche.

n Dati due insiemi numerici non vuoti A e B, una funzione f da A a B e` una relazione che associa a

ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

Per indicare che f e` una funzione da A a B si scrive f : A! B. Linsieme A e` detto dominio dellafunzione. Se x 2 A il numero y 2 B a esso corrispondente e` detto immagine di x in f e si indicacon f x, mentre x e` detto controimmagine. Per indicare che y e` limmagine di x in f si scriveanche y f x. In tale espressione x e` la variabile indipendente e y e` la variabile dipendente.Il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A e` detto codominio di f .

Se A e B sono sottoinsiemi dellinsieme R dei numeri reali si dice che f e` una funzione reale divariabile reale: se tale funzione e` definita da unespressione matematica f x si parla anche difunzione matematica.

n Una funzione f si dice pari se, per ogni x del suo dominio, si ha f x f x; se invece e`f x f x la funzione si dice dispari.Il grafico di una funzione pari e` simmetrico rispetto allasse y (FIGURA 12), il grafico di una funzione

dispari e` simmetrico rispetto allorigine (FIGURA 13).



14

FIGURA 12 FIGURA 13

n Una funzione f si dice iniettiva se le imma-

gini di due qualsiasi elementi distinti sono di-

stinte, cioe` se

x1 6 x2 ! f x1 6 f x2o in forma equivalente

f x1 f x2 ! x1 x2

OSSERVAZIONE

Le definizioni di funzione iniettiva, suriettiva,

biunivoca, inversa, composta valgono per

qualsiasi funzione, anche non numerica.

n Una funzione f : A! B si dice suriettiva se ogni elemento di B e` immagine di almeno un elementodi A.

n Una funzione f : A! B si dice biunivoca se e` sia suriettiva sia iniettiva; in questo caso ogni elemen-to di B e` immagine di uno e un solo elemento di A.

n Se la funzione f : A! B e` biunivoca esiste la funzione inversa f 1: B! A cos` definita:f 1y x ! y f x

Scambiando tra loro le variabili x e y si ottie-

ne lespressione della funzione inversa nella

forma y f 1x, il cui grafico e` il simmetri-co del grafico di f x rispetto alla bisettricedel 1o-3o quadrante (FIGURA 14).

n Date due funzioni f e g, la funzione compo-sta hx f gx, che si indica h f g, e`la funzione il cui dominio e` costituito dagli

elementi del dominio di g la cui immagine ap-

partiene al dominio di f .

n Se T e` un numero reale positivo, una funzio-

ne f si dice periodica di periodo T se, per

qualsiasi numero intero relativo k, si ha

f x f x kT.FIGURA 14

n Una funzione f si dice crescente o anche strettamente crescente nellintervallo I se, comunque siscelgano due punti x1, x2 di I, si ha:

x1 < x2 ! f x1 < f x2si dice invece che f e` decrescente o anche strettamente decrescente in I se

x1 < x2 ! f x1 > f x2Si dice che f e` debolmente crescente o debolmente decrescente se, rispettivamente, e`

x1 < x2 ! f x1 f x2 ovvero x1 < x2 ! f x1 f x2n Si dice che una funzione e` monoto`na in un intervallo I se in tale intervallo e` crescente o decrescente.

analisiTEORIA



15

1.TOPOLOGIA


NI

analisi

12 Classificazione delle funzioni

Le funzioni reali di variabile reale definite da unespressione matematica si possono classificare come

sintetizzate nel seguente schema.

classificazione esempi

funzioni algebriche

il valore di y si puo` ottenere

a partire dal valore di x

mediante un numero finito

di operazioni algebriche

funzioni razionali

nellespressione di f xcompaiono solo operazioni

aritmetiche

funzioni razionali intere

nellespressione di f xcompaiono solo operazioni

di addizione, sottrazione e

moltiplicazione

lespressione di f x e` unpolinomio

y 23x 4 5x 2 x

2 3

5

y x 12

funzioni razionali fratte

nellespressione di f xcompare anche la divisione

lespressione di f x e` unfrazione algebrica

y 3x 2 12x 3

funzioni irrazionali

nellespressione di f x la variabile x compare anche sottoil segno di radice

y 2x

x 13p

funzioni trascendenti

il valore di y non si puo` ottenere mediante le sole operazioni algebriche

y exy x cos2x

13 Dominio di una funzione reale di variabile reale

Il dominio di una funzione reale di variabile reale, definita mediante unespressione matematicaf x, se non esplicitamente indicato, e` il sottoinsieme di R costituito da tutti i valori di x per i qualiha senso lespressione f x. Si parla anche di dominio naturale o campo di esistenza della fun-zione y f x.Per determinare il dominio di una funzione reale di variabile reale occorre quindi tenere conto delle

seguenti considerazioni.

Le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre possibili; ne consegue che ildominio di una funzione razionale intera e` linsieme R dei numeri reali.

La divisione si puo` eseguire solo se il divisore e` diverso da zero; quindi il dominio di una funzionerazionale fratta e` linsieme R dei numeri reali per i quali non si annulla il denominatore.

Un radicale di indice dispari e` definito purche esista il radicando. Un radicale di indice pari e` definito purche il radicando esista e sia maggiore o uguale a zero. Il logaritmo ha significato se largomento e` positivo e la base e` un numero positivo e diverso da 1. La funzione esponenziale con base (costante) positiva esiste purche esista lesponente (variabile). La potenza con base variabile ed esponente costante irrazionale positivo e` definita solo per i valori

della base maggiori o uguali a zero.

La potenza con base ed esponente variabili si considera solo per valori positivi della base. Le funzioni goniometriche y senx e y cos x sono definite per qualsiasi x 2 R; la funzione

y tanx esiste se x 6 2 k; la funzione y cot x esiste se x 6 k.

Le funzioni goniometriche inverse y arc senx e y arc cos x sono definite per 1 x 1; lafunzione y arc tanx e` definita per qualsiasi x 2 R.



16

ESEMPI

1 La funzione

y xx 2 3x 4

e` algebrica razionale fratta; essa esiste purche sia:

x 2 3x 4 6 0 ! x 6 4 ^ x 6 1Se ne deduce che il dominio e`:

D R f4 ; 1g 1 ; 4 [ 4 ; 1 [ 1 ; 1

2 Determinare il dominio della funzione di equazione y

1 1x

x

.

Trattandosi di una potenza con base ed esponente variabili, occorre che la base sia positiva:

1 1x

> 0; inoltre deve essere x 6 0 per lesistenza della frazione 1x

:

1 1x

> 0

x 6 0

8

0 ! D 1 ; 1 [ 0 ; 1

3 Determinare il dominio della funzione y arc sen xx 1 .

Per lesistenza della funzione arcoseno e della funzione che ne e` largomento, deve risultare:

1 xx 1 1

x 1 6 0

8

>

>

>

>

:

! x 12

Pertanto si ha D 12

; 1h

.

14 Funzioni limitate

Sia f x una funzione reale di variabile reale e sia D il suo dominio. Il suo codominio C f D, cioe`linsieme dei valori assunti da f x al variare di x in D, e` un insieme numerico. Si dice che una funzione e` inferiormente limitata se il suo codominio e` inferiormente limitato. Si dice che una funzione e` superiormente limitata se il suo codominio e` superiormente limitato. Si dice che una funzione e` limitata se il suo codominio e` limitato.Se il codominio di una funzione e` inferiormente limitato, esso ha un estremo inferiore; in tal caso

si definisce estremo inferiore di una funzione lestremo inferiore del suo codominio.Analogamente se il codominio di una funzione e` superiormente limitato,

si definisce estremo superiore di una funzione lestremo superiore del suo codominio.Se invece il codominio e` inferiormente illimitato, si dice che la funzione e` inferiormente illimitata;

analogamente si parla di funzioni superiormente illimitate e di funzioni illimitate.

LIMITAZIONI

Talvolta, anziche considerare il dominio di una funzione, ci si limita a considerarne un sottoinsieme A. E` il

caso che si presenta per esempio quando la funzione f descrive una situazione reale in cui non tutti i valori

della variabile indipendente x hanno significato. I concetti che abbiamo definito si possono percio` restrin-

gere a tale sottoinsieme, che spesso e` un intervallo.

Si parla allora di funzione inferiormente (o superiormente) limitata nellinsieme A, di estremo inferiore (o

superiore) nellinsieme A e cos` via, come nellesempio&2 .

analisiTEORIA



17

1.TOPOLOGIA


NI

analisi

ESEMPI

1 Consideriamo la funzione razionale intera f x x 2 2x 3 il cui grafico e` la parabola di equazioney x 2 2x 3 rappresentata in FIGURA 15. Il dominio di f e` D R.Per determinare se un dato numero reale, per esempio 3, appartiene al suo codominio, possiamo

porre f x 3 e risolvere rispetto a x lequazione che cos`si ottiene:

3 x 2 2x 3 ! x 2 2x 0 !! x 0 _ x 2

Dunque 3 appartiene al codominio di f , perche e` limmagine

dei due elementi 0 e 2 del dominio.

Invece il numero 5 non appartiene al codominio di f perche

lequazione 5 x 2 2x 3 risulta impossibile in R.Il codominio di f e` costituito da tutti i valori di y per cui le-

quazione y f x ha almeno una soluzione x 2 D; per deter-minarlo risolviamo dunque lequazione y f x rispetto allin-cognita x, trattando y come un parametro, allo scopo di sta-

bilire per quali valori di y esistono soluzioni:

y x 2 2x 3 ! x 2 2x y 3 0 !!

4 4 y

Lequazione ha soluzioni reali se

0 ! y 4Pertanto il codominio di f e` lintervallo 1 ; 4.La funzione f e` quindi inferiormente illimitata e superiormente limitata. Il suo estremo superiore e` 4.

GRAFICAMENTE

In generale il codominio di f e` rappresentato graficamente dalla proiezione del grafico di f sul-

lasse y (FIGURA 15).

Tale proiezione, in questo caso particolare, e` costituita dalla semiretta formata dai punti del-

lasse y che si trovano al di sotto del punto P0 ; 4, proiezione del vertice V della parabola.

2 Consideriamo la funzione razionale fratta gx 2x 7x 3 , il cui grafico e` liperbole equilatera di

equazione

y 2x 7x 3

avente per asintoti le rette di equazioni x 3 e y 2 (FIGURA 16).Il suo dominio e`

R f3g 1 ; 3 [ 3 ; 1Come si puo` osservare esaminando il grafico, g e` illimitata sia

inferiormente sia superiormente.

Nellintervallo 1 ; 3 g e` invece illimitata inferiormente elimitata superiormente; in questo intervallo il suo estremo su-

periore e` 2.Nellintervallo 3 ; 1 g e` limitata inferiormente e illimitatasuperiormente e in questo intervallo il suo estremo inferiore

e` 2.Il codominio di g e` 1 ; 2 [ 2 ; 1 R f2g, co-me puoi verificare graficamente o algebricamente.

Lineamenti.MATH BLU 5 - Ghisetti e Cor

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