Data Envelopment Analisys

a cura di Giuliano Resce

Data Envelopment Analisys (DEA)

• Metodo non parametrico;• non ha bisogno di conoscere i prezzi dei fattori (quindi

monopolio, imprese pubbliche, organizzazioni pubbliche e non a fini di lucro);

• misura l’efficienza “relativa”;• l’efficienza è stimata in termini di produttività media,

rapporto tra quantità di bene prodotto e quantità di risorse utilizzate:

OUTPUT/INPUT

Esempio un input, un output

Negozio A B C D E F G H

INPUTDipendenti 200 300 300 400 500 500 600 800

OUTPUTIncasso

100,00

400,00

200,00

300,00

450,00

200,00

300,00

500,00

OUTPUT/INPUTIncasso/Dipendenti

0,500 1,333

0,667

0,750

0,900

0,400

0,500

0,625

In questo caso B è l’azienda (da ora DMU*) più efficiente, che nel linguaggio DEA si chiama peer, essa rappresenta il punto di riferimento per misurare l’efficienza relativa degli altri negozi.

*Decision Making Unit : è l’entità indipendente in grado di convertire l’input in output (può anche essere una parte dell’azienda).

Confronto grafico tra i negozi• La semiretta che unisce la peer con l’origine è la frontiera di efficienza, tutte le eventuali DMUs che stanno su questa linea sono efficienti quanto B (la migliore).•La frontiera di efficienza è il riferimento per misurare l’efficienza relativa di tutte le DMU.

Input Oriented azienda A•Il negozio A se fosse efficiente quanto B (peer) produrrebbe lo stesso incasso (100) con un numero di dipendenti pari a WZ, la distanza ZA è Input in eccesso (input slack)[personale in esubero].•Con l’approccio Input Oriented l’efficienza relativa di A è data dal rapporto WZ/WA(75/200 =0,37).•Il punteggio Input Oriented è sempre un numero compreso tra 0 e 1, il punteggio pieno (1) lo ottiene solo la peer, più basso è il risultato meno efficiente è l’azienda.

Output Oriented azienda A

•Il negozio A se fosse efficiente quanto B (peer) con lo stesso numero di dipendenti produrrebbe un incasso pari a NP, la distanza AN è Output mancante (output slack).•Con l’approccio Output Oriented l’efficienza relativa di A è data dal rapporto NP/AP(266,67/100=2,67).•Il punteggio Output Oriented è sempre un numero superiore o uguale a 1, il punteggio pieno (1) lo ottiene solo la peer, più alto è il risultato meno efficiente è l’azienda.•Il punteggio Output Oriented è il reciproco dell’Input Oriented (in questo caso 1/2,67=0,37).

Esempio due inputs, un outputNegozio A B C D E F G H IINPUT1Dipendenti 4 7 8 4 2 5 6 5,50 6INPUT2Area espositiva 3 3 1 2 4 2 4 2,50 2,50OUTPUTIncasso 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Per comodità, abbiamo diviso tutti gli inputs per l’output in modo da avere output identico per tutti i negozi e poterli rappresentare su due dimensioni

Confronto grafico tra i negozi•La frontiera di efficienza passa per le tre aziende efficienti (E,D,C) e continua nelle due direzioni parallela agli assi cartesiani.

Efficienza relativa di A, l’Input VirtualeA può essere efficiente quanto le peers in diversi modi:• tiene costante il rapporto SUPERFICIE/INCASSO e riduce di AD il rapporto DIPENDENTI/INCASSO;• tiene costante il rapporto DIPENDENTI/INCASSO e riduce di RA il rapporto SUPERFICIE/INCASSO; • riduce in maniera proporzionale entrambi gli inputs, e tiene costante l’Input Mix (la combinazione dei fattori produttivi); per fare ciò deve ridurre l’Input Virtuale, che nel grafico è il segmento AN, quello che unisce l’azienda analizzata con l’origine. PA è Input Virtuale in eccesso, l’efficienza relativa di A è data dal rapporto NP/NA. Questo approccio è Input Oriented → 0≤ NP/NA ≤1

Esempio due outputs, un inputNegozio A B C D E F GINPUTDipendenti 1 1 1 1 1 1 1OUTPUT1Clienti 1 2 3 4 4 5 6OUTPUT2Incasso 5 7 4 3 6 5 2

Abbiamo diviso tutti gli outputs per l’input in modo da avere input identico per tutti i negozi e poterli rappresentare su due dimensioni

Confronto grafico tra i negozi• La frontiera di efficienza passa per le quattro aziende efficienti (B,E,F,G) e continua nelle due direzioni parallela agli assi cartesiani.• Dalla frontiera disegnata in questo modo nasce il nome “Data Envelopment Analysis”, tutte le aziende analizzate sono “avvolte” dalla frontiera.

Efficienza relativa di A, l’Output VirtualeA può essere efficiente quanto le peers in diversi modi:• tiene costante il rapporto INCASSO/DIPENDENTI e aumenta di AF il rapporto CLIENTI/DIPENDENTI;• tiene costante il rapporto CLIENTI/DIPENDENTI e aumenta di AN il rapporto INCASSO/DIPENDENTI;• aumenta in maniera proporzionale entrambi gli outputs (Output Virtuale) e tiene costante l’Output Mix, nel grafico l’Output Vituale è il segmento OP, che unisce l’origine con la proiezione dell’azienda analizzata sulla frontiera di efficienza. In questo caso AP è Output Virtuale mancante, l’efficienza relativa di A è il rapporto OP/OA. Questo approccio è Output Oriented → 1≤ OP/OA

Output e input molteplici

• L’efficienza delle aziende che producono più di un output utilizzando più di un input si misura in base al rapporto:

Output e input virtuale

• Nell’azienda m che produce j outputs utilizzando i inputs:

dove e sono rispettivamente il j-esimo output e l’i-esimo input dell’azienda m e e sono i loro relativi pesi (prezzi).

I pesi

In un insieme di n aziende il valore dei pesi si calcola massimizzando il rapporto:

sotto i vincoli:

sostituendo alle x il valore degli inputs e alle y il valore degli outputs si ottiene l’efficienza relativa di m (l’azienda analizzata) rispetto alle n DMUs del gruppo.

Programma lineare CCR*

Linearizzando il programma sviluppato nella slide precedente si ottiene questo programma lineare che è la base da cui prendono vita tutte le versioni della DEA.

* La DEA in questa versione prende il nome dagli autori Charnes, Cooper e Rhodes (1978)

Caso 2 inputs, 2 outputs

Ospedale INPUT 1Medici (M)

INPUT 2Infermieri (I)

OUTPUT 1Ricoveri (R)

OUTPUT 2Dimissioni (D)

A 33 235 220 88

B 67 206 31 45

C 30 244 190 100

D 50 268 250 100

E 53 110 260 400

F 15 284 250 398

Programma CCR ospedale A

Max vAR220+vAD88s.v.uAM33+uAI235=1vAR220+vAD88 ≤ uAM33+uAI235vAR31+vAD45 ≤ uAM67+uAI206vAR190+vAD100 ≤ uAM30+uAI244vAR250+vAD100 ≤ uAM50+uAI268vAR260+vAD400 ≤ uAM53+uAI110vAR250+vAD398 ≤ uAM15+uAI284vAR ≥ 0, vAD ≥ 0, uAM ≥ 0, uAI ≥ 0

vAR= peso Ricoveri ospedale A, vAD = peso Dimissioni ospedale A

uAM= peso Medici ospedale A, uAI= peso Infermieri ospedale A

Programma CCR ospedale BLa soluzione del programma lineare della slide precedente è l’efficienza relativa dell’ospedale A, cambiando la funzione obiettivo, il primo vincolo e i pesi, si ottengono i punteggi di tutti gli altri.Efficienza di B:

Max vBR31+vBD45s.v.uBM67+ uBI206=1vBR220+vBD88 ≤uBM33+uBI235vBR31+vBD45 ≤uBM67+ uBI206vBR190+vBD100 ≤uBM30+uBI244vBR250+vBD100 ≤uBM50+uBI268vBR260+vBD400 ≤uBM53+uBI110vBR250+vBD398 ≤uBM15+uBI284vBR ≥ 0, vBD ≥ 0, uBM ≥ 0, uBI ≥ 0

Risultati CCR 2 input e 2 output

OSPEDALE Punteggio

uMMMedici

uIIInfermieri

vRR Ricoveri

vDD Dimissioni

A (0.79+0)/(0,41+0,59) = 0,79 0,41 0,59 0,79 0,00

B (0,08+0)/(0,62+0,38) = 0,08 0,62 0,38 0,08 0,00

C (0,69+0)/(0,38+0,62) = 0,69 0,38 0,62 0,69 0,00

D (0,69+0)/(0,48+0,52) = 0,69 0,48 0,52 0,69 0,00

E (1,00+0)/(0,70+0,30) = 1,00 0,70 0,30 1,00 0,00

F (1,00+0)/(1,00+0) = 1,00 1,00 0,00 1,00 0,00

Punteggio = vRR+vDD/uMM+uII

Rendimenti di scala• L’azienda presa in considerazione nel grafico utilizza quantità di input X1 per produrre quantità di output Y1, se incrementasse il proprio input fino a X2, produrrebbe un output Y2, con incremento più che proporzionale rispetto all’incremento dell’input; questo accade poiché la funzione di produzione del settore in cui opera l’azienda, nel tratto (X1,X2), ha rendimenti di scala crescenti;• se la stessa azienda, partendo da X2 incrementasse ulteriormente l’input fino a X3, otterrebbe output Y3, con incremento meno che proporzionale rispetto a quello dell’input, ciò implica che la stessa funzione di produzione ha, nel tratto (X2,X3), ha rendimenti di scala decrescenti.

Input

Rendim

enti co

stanti

Rendimenti variabili

DEA BCC*Dal grafico emerge che la Frontiera di Efficienza CCR costruita nel primo esempio assume rendimenti di scala costanti.La Frontiera di Efficienza per assumere rendimenti variabili deve includere i negozi A,E e H, poiché l’inefficienza di queste DMUs dipende esclusivamente dalla loro dimensione.L’inefficienza di A, E e H si chiama Inefficienza di Scala, essa si differenzia dall’Inefficienza Tecnica che caratterizza le DMUs G, D, F e C. Per stimare l’efficienza assumendo rendimenti di scala variabili si utilizza la DEA in versione BCC che, nell’esempio, calcola il nuovo punteggio sulla base della frontiera blu. Il punteggio BCC nella versione Input Oriented è sempre superiore o uguale a quello CCR.

* Banker, Charnes and Cooper (1984)

Programma lineare BCC

Aggiungendo la variabile libera al programma lineare CCR si ottiene la versione BCC, il cui risultato è l’indice di efficienza tecnica pura.

Programma BCC ospedale A

Max vAR220+vAD88-u0 s.v.uAM33+uAI235=1vAR220+vAD88-u0 ≤ UAM33+uAI235vAR31+vAD45-u0 ≤ uAM67+uAI206vAR190+vAD100-u0 ≤ uAM30+uAI244vAR250+vAD100-u0 ≤ uAM50+uAI268vAR260+vAD400-u0 ≤ uAM53+uAI110vAR250+vAD398-u0 ≤ uAM15+uAI284vAR ≥ 0, vAD ≥ 0, uAM ≥ 0, uAI ≥ 0, u0 libera

u0 è una variabile libera che può assumere segno positivo o negativo

Risultati BCC 2 input e 2 output

OSPEDALE Punteggio uMMMedici

uIIInfermieri

U0Variabilelibera

vRR Ricoveri

vDD Dimissioni

A 0,91 0,39 0,61 0,91 0,00 0,00

B 0,69 0,60 0,40 0,69 0,00 0,00

C 0,92 0,36 0,64 0,92 0,00 0,00

D 0,71 0,46 0,54 0,71 0,00 0,00

E 1,00 0,70 0,30 0,00 1,00 0,00

F 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00

Punteggio = vRR+vDD+U0/uMM+uII

Efficienza di scalaSe per la stessa azienda si stima sia il punteggio CCR sia il punteggio BCC si può scomporre l’inefficienza in Inefficienza di Scala e Inefficienza Tecnica Pura.Seguendo l’approccio Output Oriented nell’azienda G: l’inefficienza complessiva si misura con l’output slack, che è: GV; questo slack può essere scomposto in slack di Scala: UV e slack di inefficienza tecnica pura: UG.L’indice (ouput oriented) di efficienza tecnica pura è dato dal rapporto: UR/GR, l’indice (output oriented) di efficienza complessiva è dato dal rapporto: VR/GR.

L’indice (Output Oriented) di efficienza di scala è:

VR/UR = = (VR/GR)/(UR/GR) =

= CCR/BCC

Efficienza di ScalaOspedale Punteggio CCR Punteggio BCC CCR/BCC (Scala)

A 0,79 0,91 0,87 B 0,08 0,69 0,12 C 0,69 0,92 0,75 D 0,69 0,71 0,98 E 1,00 1,00 1,00 F 1,00 1,00 1,00

CCR duale

Dove è l’efficienza dell’azienda m, è il j-esimo output della DMU n, è l’i-esimo input dell’azienda n, è il peso relativo da assegnare all’azienda n, in questo caso il programma stima i pesi delle DMUs (non più degli inputs - outputs).

Ogni programma lineare ha il suo duale che è un altro programma lineare la cui soluzionecorrisponde al programma originale, scrivendo il duale del “programma base CCR” siottiene:

CCR duale ospedale A

Min θs. v.220λA+31λB+190λC+250λD+260λE+250λF≥22088λA+45λB+100λC+100λD+400λE+398λF≥8833λA+67λB+30λC+50λD+53λE+15λF≤θ33235λA+206λB+244λC+268λD+110λE+284λF≤θ235λA≥0, λB≥0, λC≥0, λD≥0, λE≥0, λF≥0

λA = peso Ospedale A, λB = peso Ospedale B, λC = peso Ospedale C,

λD = peso Ospedale D, λE = peso Ospedale E, λF = peso Ospedale F.

Risultati CCR dualeOspedale θ λA λB λC λD λE λF

A 0,79 0,00 0,00 0,00 0,00 0,35 0,52 B 0,08 0,00 0,00 0,00 0,00 0,10 0,02 C 0,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25 0,50 D 0,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,53 0,45 E 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00

F 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00

Il valore assunto da θ è il punteggio, nella soluzione del programma gli unici λ ad assumere valore sono quelli della peer (questa caratteristica permette di conoscere, per ogniDMU qual è la peer, ovvero l’azienda di riferimento sulla quale è stato stimato lo slack e il punteggio). I valori, in questo caso, indicano che, per tutti gli Ospedali inefficienti, le peers sono sia E che F.

BCC duale

L’unica differenza tra il CCR duale e il BCC duale è il vincolo che impone allasommatoria dei Lambda l’uguaglianza a 1.

BCC duale ospedale AMin θs. v.220λA+31λB+190λC+250λD+260λE+250λF≥22088λA+45λB+100λC+100λD+400λE+398λF≥8833λA+67λB+30λC+50λD+53λE+15λF≤θ33235λA+206λB+244λC+268λD+110λE+284λF≤θ235λA+λB+λC+λD+λE+λF=1λA≥0, λB≥0, λC≥0, λD≥0, λE≥0, λF≥0

λA = peso Ospedale A, λB = peso Ospedale B, λC = peso Ospedale C,

λD = peso Ospedale D, λE = peso Ospedale E, λF = peso Ospedale F.

Risultati BCC dualeOspedale θ λA λB λC λD λE λF

A 0,91 0,00 0,00 0,00 0,00 0,40 0,60 B 0,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,82 0,18 C 0,92 0,00 0,00 0,00 0,00 0,34 0,66 D 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,54 0,46 E 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00

F 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00

λA+λB+λC+λD+λE+λF=1

Il significato di λ nell’ esempio 2 outputs 1 input

Θ λA λB λC λD λE λF λG λH λI

A 0,86 0 0 0 0,71 0,29 0 0 0 0B 0,63 0 0 0,11 0,89 0 0 0 0 0C 1,00 0 0 1,00 0 0 0 0 0 0D 1,00 0 0 0 1,00 0 0 0 0 0E 1,00 0 0 0 0 1,00 0 0 0 0F 0,92 0 0 1,00 0,85 0 0 0 0 0G 0,60 0 0 0 0,80 0,20 0 0 0 0H 0,77 0 0 0,06 0,94 0 0 0 0 0I 0,75 0 0 0,13 0,88 0 0 0 0 0

Il significato di λ

Le versione duale CCR ospedale A è Input Oriented (individua la DMU che a parità di Outputs utilizza meno Inputs), per come è scritto, il programma cerca il valore minimo che può assumere θ (il moltiplicatore degli inputs della DMU analizzata), tale che il prodotto [θ*(input)] sia maggiore o uguale della somma di tutti i [λ*(input)] di tutte le aziende. Se tutti i λ assumessero valore 0 il valore minimo di θ sarebbe 0, dove λ assume un valore quell’input diventa un punto di riferimento (la soglia minima) per il valore assunto da θ (EFFICIENZA RELATIVA), di conseguenza l’azienda che utilizza quella quantità di input non può che essere una peer.

CCR duale ospedale AMin θs. v.220λA+31λB+190λC+250λD+260λE+250λF≥22088λA+45λB+100λC+100λD+400λE+398λF≥8833λA+67λB+30λC+50λD+53λE+15λF≤θ33235λA+206λB+244λC+268λD+110λE+284λF≤θ235λA≥0, λB≥0, λC≥0, λD≥0, λE≥0, λF≥0