criteri di scelta tra investimenti

1. Operazione finanziaria:(semplice o complessa)

(investimento, finanziamento, mista)

2. Generalità sui criteri di scelta:(completezza)(indice di preferenza)

3. Criteri di scelta:Tempo di recuperoREATIR

Operazioni finanziarie t0 t1 ... tn

C0 C1 ... Cn

una operazione finanziaria P può essere descritto da una coppia di vettori

P = (C, t)ove C è il vettore dei capitali e t il vettore delle scadenze

ipotesi

• n > 1,il progetto contiene almeno due capitali;

s Cs 0, si trascurano i capitali nulli e le rispettive scadenze senza modificare l’operazione;

• Ch Cs < 0 per almeno una coppia di tempi h e s, il vettore C dei capitali non contiene solo costi o solo ricavi.

Operazione finanziaria• operazione semplice:

un costo seguito da un ricavo è un’operazione d’investimento. un ricavo iniziale seguito da un costo finale, si configura come un’operazione di finanziamento.

• Quando, in generale, i capitali e le scadenze che caratterizzano il progetto sono più di due (operazione complessa), non è altrettanto immediata la sua classificazione nella categoria dei finanziamenti o degli investimenti.

classificazione

• investimento (finanziamento) in senso stretto: se i costi (ricavi) precedono temporalmente i ricavi (costi)

• investimento (finanziamento) in senso generale:

un’ operazione per la quale la scadenza media zc < zr (zc > zr ) per ogni tasso i 0;

• investimento (finanziamento) in senso lato: un’operazione per cui la scadenza media aritmetica dei costi (ricavi) precede l’epoca del primo ricavo (costo);

classificazione

• saldo contabile tra costi e ricavi in t.

th

hCtS )(

Investimento (finanziamento) puro se S(t) cambia segno una sola volta, dal negativo (positivo) al positivo (negativo).

altrimenti progetto misto.

Esempio

• Acquisto oggi un’obbligazione pagandola Euro 9,80 e fra un anno riscuoto Euro 0,90 di interessi, altri Euro 0,90 dopo un anno, altri Euro 0,90 dopo un anno. Unitamente agli ultimi Euro 0,90 mi viene rimborsata l’obbligazione a Euro 10,20.

0 1 2 3| 9,80 0,90 0,90 0,90 + 10,20

I saldi contabili alle scadenze t = 0, 1, 2, 3 sono:S(0) = – 9,80S(1) = – 9,80 + 0,90 = – 8,90S(2) = – 8,90 + 0,90 = – 8,00S(3) = – 8,00 + 0,90 + 10,20 = + 3,10.

Operazioni finanziarie• Devono essere:

• Complete devono avere la medesima struttura rispetto al capitale e all’arco temporale.

• ammissibili cioè compatibili con la situazione economico finanziaria del risparmiatore.

• indipendenti quando l’eventuale attuazione di ciascuna di esse non ha alcuna influenza né sull’attuabilità, né sugli elementi che descrivono ciascuno delle altre.

• alternative quando l’accettazione dell’una esclude l’accettazione dell’altra.

Confronto tra progetti: esborso diverso

–800 500 800 Euro ||| A 0 1 2 t

–1.400 500 700 Euro ||| B 0 1 2 t

Esborso diverso:

In assenza di vincoli finanziari la scelta del progetto A comporterebbe un risparmio di Euro 600 che dovremo decidere come impiegare.

In presenza di vincoli finanziari B non sarebbe realizzabile (oppure prendere a prestito la differenza)

Investimenti integrativi

• A rappresenta l’investimento fruttifero integrativo dell’eccedenza (600).

• B rappresenta il finanziamento oneroso per la parte di capitale non disponibile (600).

–600 600(1 + i)2 Euro||| A'0 1 2 t

+ 600 –600(1+i)2 Euro||| B’0 1 2 t

Confronto tra progetti:durata diversa

• si trascura l’effetto di investimenti alternativi che, durante il secondo anno, si offrono all’investitore che decide di effettuare il progetto Q.

–1.500 500 900 Euro||| P0 1 2 t

–1500 1.200 Euro|| Q0 1 t

Indice di preferenza• La scelta tra progetti P consiste nel definire un criterio di scelta che

associ ad ogni P un numero I(P) , detto indice di preferenza, o indice di utilità.

• Se I(A) > I(B), vorrà dire che il progetto A è preferito al progetto B e scriveremo A B, mentre I(B) > I(A) indica che il progetto B è preferito al progetto A, ossia B A.

• Infine I(A) = I(B) vuol dire che i due progetti sono equivalenti (A B).

1. l’equivalenza () tra due o più progetti è relazione riflessiva, simmetrica e transitiva, ossia comunque scelti i progetti A, B e C: A A; A B B A; A B, B C A C

Indice di preferenza

2. la relazione di preferenza () tra due o più progetti deve godere della proprietàtransitiva: A B, B C A C

3. C : A B (A + C) (B + C)

4. C : A B (A + C) (B + C)

5. A B, > 0 ( A) ( B)

6. A B, > 0 ( A) ( B)

IL CRITERIO DEL PAY-BACK

• tempo di recupero del capitale, rappresenta il tempo necessario affinché si possa recuperare integralmente il capitale impiegato.

• è la scadenza più vicina tra quelle per le quali il totale dei ricavi consente di recuperare i costi sostenuti, cioè eguagliarli o superarli;

• Ovvero la prima scadenza alla quale si realizza una inversione di segno nei saldi Sk del progetto

tp = k

mintk C0 Sk 0, k = 0, 1,

2, ..., n

• tra più alternative di investimento si preferisce quella con tempo di recupero minore

• tra più alternative di finanziamento si preferisce quella con tempo di recupero maggiore.

• due alternative con il medesimo tempo di recupero sono ritenute indifferenti (ma non necessariamente identiche).

ntofinanziameunèse

toinvestimenun è se)(

Pt

PtPI

p

p

IL CRITERIO DEL PAY-BACK

• Non è indicatore reddituale, ma temporale: esprime il grado di liquidità di un progetto.

• Limiti:

- non tiene conto della distribuzione temporale dei costi e dei ricavi entro tp,

- trascura i ricavi e/o i costi successivi a tp.

• Pregi:

- semplicità

IL CRITERIO DEL PAY-BACK :pregi e difetti

Esempio

il progetto A è preferito a B.

1.200

500

400

500

100

100

1.200

200

200

200

400

800

543210

CA =  , CB =  , tA = tB = 

PROGETTO A:S0 = C0 = – 1.200 S1 = – 1.200 + 500 = – 7

00S2 = – 700 + 400 = – 300 S3 = – 300 + 500 = 200 S4 = 200 + 100 = 300 S5 = 300 + 100 = 400

PROGETTO B:S0 = – 1.200 S1 = – 1.200 + 200 = – 100

0 S2 = – 1000 + 200 = – 800 S3 = – 800 + 200 = – 600 S4 = – 600 + 400 = - 200 S5 = -200 + 800 = 600

Il criterio del risultato economico attualizzato (R.E.A.)

• Fissato un tasso di valutazione i, si dice Risultato Economico Attualizzato (R. E.A.) di un’operazione finanziaria il valore attuale dei suoi flussi di cassa.

0

( ) ( ) (1 )n

kk

k

I p V i C i

tra più alternative d’investimento si preferisce quella che presenta un R.E.A. maggiore, così come tra più alternative di finanziamento si preferisce quella con R.E.A. maggiore;

se due alternative hanno il medesimo R.E.A. esse sono ritenute indifferenti (ma non necessariamente identiche).

• Il R.E.A è un operatore lineare:

R.E.A.(A + B) = R.E.A.(A) + R.E.A.(B),

R.E.A.(A) =  R.E.A.(A)con numero reale qualunque.

Il criterio del risultato economico attualizzato (R.E.A.)

esempio

Calcoliamo il R.E.A. dei due progetti con legge esponenziale al tasso periodale del 7%:

• VA(0,07) = – 1.000 + 300(1 + 0,07)– 1 + 500(1 + 0,07)– 2 ++ 300(1 + 0,07)– 3 + 400(1 + 0,07) – 4 = 267,141

• VB(0,07) = – 1.000 + 200(1 + 0,07)– 1 + 300(1 + 0,07)– 2 ++ 300(1 + 0,07)– 3 +  500(1 + 0,07)– 4 = 75,2845

• L’operazione A è preferita all’operazione B in quanto dotata di un R.E.A. maggiore.

400

300

500

300

000.1

4

3

2

1

0

CA =  tA= tB  = 

500

300

300

200

000.1

CB = 

.

Pregi e difetti• Il R.E.A. fornisce un criterio soggettivo, in quanto

dipendente dalla scelta del tasso i

• utilizzando tassi diversi si giunge a risultati diversi.

• per un investimento il tasso di valutazione è quello al quale si possono effettuare i reimpieghi

• per un finanziamento, il tasso i è quello che regola la provvista di fondi assorbiti dal progetto

• grande variabilità tra i diversi operatori.

Proprietà funzione REA

• se il tasso di valutazione è nullo, il R.E.A. di un progetto è la somma delle poste;

0

( ) (1 ) .n

kk

k

V i C i

0

(0)n

kk

V C

0 lim ( )i

V i C

• se il tasso di valutazione tende a +  il R.E.A. di un progetto tende al valore della prima posta.

• asintoto orizzontale di equazione y = C0.

Confronto tra progetti non completi

• utilizzando il R.E.A. ha senso anche il confronto tra investimenti non completi, purché le operazioni integrative siano fatte allo stesso tasso con il quale si opera la valutazione.

• Infatti, si debbano confrontare, in base al criterio del R.E.A., i progetti P e P, dopo averli integrati rispettivamente con le operazioni Q e Q condotte allo stesso tasso scelto per le valutazioni. R.E.A.(Q) = R.E.A.(Q) = 0in virtù della proprietà di linearità del R.E.A., si ha:R.E.A.(P+Q) = R.E.A.(P) + R.E.A.(Q) = R.E.A.(P)R.E.A.(P+Q) = R.E.A.(P) + R.E.A.(Q) = R.E.A.(P).

Il criterio del tasso interno di rendimento (T.I.R)

• Data un’operazione finanziaria si dice Tasso Interno di Rendimento (T.I.R.) dell’operazione stessa quel tasso di valutazione i in corrispondenza del quale il valore attuale dei suoi flussi di cassa si annulla.

• Indicando con Ck gli importi delle poste non tutti uguali a 0, con tk le relative scadenze (k = 0, 1, ..., n), la funzione che esprime il R.E.A. dell’operazione sarà

n

kkk tgCiV

0)()(

•Il T.I.R. di un’operazione è quel tasso, se esiste, che rende equa l’operazione, ossia quel tasso per il quale V(i) = 0.

T.I.R.

• investimento si preferisce quella che presenta un T.I.R. maggiore,

• finanziamento si preferisce quella con T.I.R. minore(T.I.C. (tasso interno di costo));

• T.I.R. uguale: alternative indifferenti (ma non necessariamente identiche).

ntofinanziameunèse

toinvestimenun è se)(

*

*

Pi

PiPI

Proprietà T.I.R.

• T.I.R (– A) = T.I.R(A)• T.I.R(A) = T.I.R(A) 0.

•Qualora si operi nel regime dell’interesse composto, il R.E.A. dell’operazione al tasso i è:

n

k

kk iCiV

0)1()(

Limitiamoci ora al caso prima posta negativa, successive positive:

n

k

kk iCCiV

10 )1()(

Grafico funzione di REA

i

REA

Ck-C0

-C0

i*

Esistenza e unicità del T.I.R.

• La determinazione del tasso interno di rendimento di un’operazione finanziaria è legato alla soluzione dell’equazione V(i) = 0.

• Esistenza e unicità non garantite: la risoluzione di tale equazione infatti può condurre all’individuazione di: nessuna radice una radice più radici.

• Di queste non tutte possiedono un significato finanziario, pertanto sarà compito dell’utilizzatore verificare l’accettabilità dei risultati, in particolare la loro compatibilità con le reali situazioni di mercato.

Esempio

• V (i*) = – 1.500 + 100 (1 +i )–1 + 2000 (1 + i )– 2 = 0

1.500 100 2000 Euro|||0 1 2 t

220 15 0t t *1

1

it

1

2

0,84

0,89

t

t

*

10,89

(1 )i

%150* i

*

10,84

(1 )i

* 19%i

Non accettabile

accettabile

Esempio 2

• è minore di zero per ogni tasso di valutazione i. Quindi non esiste alcun i tale che VA(i) = 0.

40

80

100

2

1

0

CA =  , tA=

21

40

1

80100 VA(i)

ii

Esempio 3

• Si verifica che VB(i) = 0 per i= 8,78% e i= 26,75%, entrambi finanziariamente accettabili.

Flussi di

Anni cassa

0 -145

1 100

2 100

3 100

4 100

5 -275

Teorema di Levi

• Data un’operazione finanziaria che dà luogo ad uscite Us alle scadenze ts (s = 1, 2, ..., m), numerate in ordine crescente, e alle entrate Ek alle scadenze k (k = 1, 2, ..., n), numerate in ordine crescente, e tale che la somma delle entrate supera quella delle uscite,

condizione sufficiente (ma non necessaria) di esistenza ed unicità del T.I.R. è che la scadenza media aritmetica delle uscite preceda la scadenza della prima entrata.

m

ss

n

kk UE

11

esempio

• 0,8< 1: la condizione posta dal Teorema di Levi è soddisfatta T.I.R.=38,24%.

1.500 1.000 1.000 3.000 600 Euro|||||0 1 2 3 4 t

21

2211* =) (U tUU

UtUt

.8,0)000.1()500.1(

1.000)(2+)500.1(0

Condiz. suff ma non necessaria!

• 1,14 > 1: la condizione posta dal Teorema di Levi non è soddisfatta ma T.I.R.=19,20%.

21

2211* =) (U tUU

UtUt

.14,1)000.2()500.1(

2.000)(2+)500.1(0

0 1 2 3

-1500 1000 -2000 3000

Teorema di Norstrom

• Condizione sufficiente:

Indicando con S(t) il saldo in t di un’operazione finanziaria, se S(0) < 0 e se S cambia segno una sola volta, allora esiste un solo tasso  i > 0 per il quale V(i) = 0.

esempio

• Poiché i saldi di cassa S(t) presentano un’unica inversione di segno, il Teorema di Norstrom garantisce che esiste un unico T.I.R. positivo.

S(0) = - 1.500,S(1) = - 500,S(2) = - 2.500,S(3) = + 500,S(4) = + 1.100

0 -1500

1 1000

2 -2000

3 3000

4 600

Condizione sufficiente

• In particolare, una condizione sufficiente che garantisce l’unicità del T.I.R. è che l’ultima scadenza delle uscite preceda la prima scadenza delle entrate.

esempio

• Acquisto alla pari titolo a cedola fissa, tasso cedolare i:

• TIR = tasso cedolare i.

• E se fosse stato acquistato sopra o sotto la pari?

-C iC iC iC+CiC

0 1 2 3 n

esercizi

• ACD: cap. 10 es.10.1, 10.2, 10.3,

10.6 punto a), 10.7 punto a), 10.8, 10.9, 10.11 punto a).

• BC: cap. 4 es. 1, 3 punto i), 4, 5, 6, 8, 9, 10.