Esercitazioni di costruzioni idrauliche

Esercitazione n.1 Moto uniforme delle correnti a pelo libero in alvei a sezione composta

�Esercizio 1.................................................................................. pag.4 �Esercizio 2.................................................................................. pag.10 Esercitazione n.2 Elaborazione statistica di valori estremi........................................ pag.22 Esercitazione n.3 Determinazione delle curve separatrici di possibilità

pluviometrica.................................................................................. pag.34

Esercitazione n.4 Dimensionamento di una rete di drenaggio urbano per lo

smaltimento delle acque meteoriche.............................................. pag.42

Esercitazione n.5 Dimensionamento di condotte a pressione in moto permanente.... �Esercizio 1- Dimensionamento di una condotta di adduzione

tra due serbatoi..............................................................................

pag.50

� Esercizio 2- Dimensionamento di una rete di condotte con

schema ad albero........................................................................... pag.54

1

2

Esercitazione n.1

Moto uniforme delle correnti a pelo libero in alvei a sezione composta

Esercizio 1 – Moto uniforme delle correnti a pelo libero: dimensionamento di un canale in

terra di forma trapezia

Si dimensioni un canale di bonifica in terra di forma trapezia per il trasporto di una portata Q, ipotizzando una velocità massima vmax. Si assuma un coefficiente di scabrezza di Strickler pari a Ks e una pendenza delle sponde di 1/m. Dimensionato il canale, si determini la profondità di moto uniforme corrispondente a una portata pari a Qa. Dati: Q = 7,0 m3/s vmax = 0,4 m/s Ks = 40 m1/3/s 1/m = 0,5 Qa = 5,0 m3/s

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1a PARTE

Cenni teorici

La portata Q defluente attraverso una sezione A si può esprimere come prodotto dell’area e della velocità media corrispondenti a tale sezione: Q = A ∙ v Se si adotta per la portata la formula di Gauckler-Strickler e si indica con p il perimetro bagnato, si avrà:

Q = K� ∙ A� ⁄p� ⁄ ∙ √i Dove le quantità note sono la portata Q ed il coefficiente KS (fissati), mentre le quantità incognite sono A, p, i. Nel procedere con il dimensionamento dell’opera sarà necessario che la portata di progetto defluisca nel canale lasciando però un franco di sicurezza valutabile come: 0,3 + 0,25 ∙ y Inoltre bisogna imporre che la velocità sia minore di quella massima ammissibile: v < v��� Risulta inoltre opportuno che la velocità sia superiore a dei valori minimi, onde evitare fenomeni di sedimentazione e di crescita della vegetazione. Il dimensionamento del canale risulta un problema indeterminato anche quando siano fissate la scabrezza e la pendenza del fondo: infatti, sia l’area sia il perimetro bagnato sono dipendenti dal tirante y. Tuttavia, noto l’intervallo delle velocità ammissibili, è possibile determinare quello concernente le aree:

A��� = QV��� eA��� = QV���

Infine, giacché è preferibile ricorrere a sezioni di minima resistenza (ovvero a parità di area si riduce il perimetro bagnato) e quindi evitare canali molto larghi e poco profondi e viceversa canali stretti e molto profondi, nel nostro caso di sezione trapezia, possiamo utilizzare la seguente formula per ottenere sull’ordine di grandezza del tirante: y = 0,5 ∙ √A Determinato questo valore è possibile dare una prima stima anche della larghezza B della base, seguendo la tabella sottostante, valida per i canali in terra:

y [m] 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 B [m] 1,0-1,2 1,5-2,5 4,0-5,5 7,0-9,0 11,0-14,0 16,0-22,0

4

Svolgimento dei calcoli

Si determina il valore minimo dell’area e da questa si ricava il valore approssimativo del tirante da cui poi si stima la larghezza del canale tramite la tabella di cui alla pagina precedente:

A��� = QV��� = 7,00,4 = 17,50m�

y = 0,5 ∙ #A��� = 0,5 ∙ #17,50 = 2,09m

B = 7m Trovate tali grandezze si può ora calcolare il valore effettivo del tirante, infatti, dall’espressione: A��� = y��� ∙ &B + m ∙ y���' = 17,50m� Si ricava (avendo m = 2):

y��� = −B + #B� + 4 ∙ m ∙ A���2 = 3,37m

Ora è possibile calcolare il perimetro bagnato p e il valore del raggio idraulico R: p = b + 2 ∙ y��� ∙ #1 + m� = 22,09m

R = A���p = 0,79m

Ora è possibile determinare la pendenza del fondo del canale, che tendenzialmente segue l’andamento planimetrico del terreno:

i+ = , QK- ∙ A��� ∙ R�3 .�= 0,00228‰

Infine all’altezza del pelo libero dell’acqua nel canale va aggiunto un franco di sicurezza, come già visto: y = &0,3 + 0,25 ∙ y���' + y��� = 4,52m

5

2a PARTE

Cenni teorici

Partendo anche in questo caso dalla formula della portata che adotta il coefficiente di Gauckler-Strickler, noti i valori della pendenza, del coefficiente di scabrezza e della portata, si ricava per via iterativa il valore y della profondità di moto uniforme. Di seguito sono riportati i passaggi algebrici intermedi che conducono alla formula da iterare:

Q = K� ∙ A12&y'p32&y' ∙ #i+

A12&y' = QK- ∙ #i+ ∙ p32&y'

y���12 ∙ &B + m ∙ y'12 = QK- ∙ #i+ ∙ &B + 2 ∙ y��� ∙ #1 + m�'32

y = 4 QK- ∙ #i+ ∙ &B + 2 ∙ y ∙ √1 + m�'32&B + m ∙ y'12 521

A questo punto nel membro di destra la y sarà sostituita con un valore di y0 di primo tentativo, ricavato, ad esempio, dalla formula valida per sezioni rettangolari infinitamente larghe: se il valore di y che se ne ricava si discosta da y0 più di un margine d’errore prefissato sarà necessario ripetere il calcolo (sostituendo y0 con il valore di y ottenuto) fin quando la condizione non sarà soddisfatta.

y6 = 7 QK- ∙ B ∙ #i+821

y = 4 QK- ∙ #i+ ∙ &B + 2 ∙ y6 ∙ √1 + m�'32&B + m ∙ y6'12 521

Se |: − :6| < ; allora ho individuato y, se |: − :6| > ; allora pongo y=y0 e ripeto il procedimento.

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Svolgimento dei calcoli

Fisso lo scarto massimo ammissibile ε: ε = 10>m Posso ora procedere con l’iterazione, che segue le formule riportate nei cenni teorici, ed i cui risultati sono riportati nella seguente tabella:

y0 y |y0-y| |y0-y|<e?

0,6779 0,6558 0,0221 no

0,6558 0,6567 0,0009 si

Dove il primo y0 è stato calcolato con l’ipotesi di alveo rettangolare infinitamente largo. Quindi il valore del tirante y sarà : y = 0,6567m

7

8

Esercizio 2 – Moto uniforme delle correnti a pelo libero: dimensionamento di un canale in

terra di forma trapezia

Dati: Ks = 37 m1/3/s 1/m = 0,667 if = 0,50 %

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Cenni teorici

Anche in questo caso si considera la portata espressa attraverso la formula di Gauckler-Strickler:

Q = K� ∙ A12&y'p32&y' ∙ #i+ Da cui è immediato riconoscere la stretta dipendenza di Q dal tirante y qualora le caratteristiche geometriche della sezione ed il valore KS della scabrezza siano noti. L’espressione in questione è approssimabile tramite una formula monomia, detta scala delle portate di moto uniforme, del tipo: @ = A ∙ :B La possibilità di legare l’altezza del tirante in maniera univoca al valore di portata è molto utile poiché la misura diretta delle portate risulta alquanto laboriosa, essendo necessari degli operatori sul posto e le operazioni devono essere ripetute più volte (in corrispondenza a diversi livelli di portata e dunque di altezza di tirante del fiume) al fine di poter costruire la relazione in maniera sufficientemente precisa. Tuttavia, nel caso di sezioni composite, la formula di Gauckler-Strickler conduce ad un assurdo in corrispondenza del brusco allargamento della sezione. Infatti, ad un aumento infinitesimo di altezza corrisponde una riduzione di portata (dovuta al brusco aumento del perimetro bagnato); in termini più rigorosi il fenomeno è spiegabile in maniera semplice facendo riferimento ad una sezione rettangolare (che rappresenta l’alveo di magra) e ad una golena, anch’essa rappresentata con un rettangolo (vedasi la figura seguente):

Q = K- ∙ A12p32 ∙ #i+

dQ = k- ∙ #i+ ∙ 453 ∙ A12

p32 ∙ dA − 23 ∙ A12

p12 ∙ dp5

dA = &B + G' ∙ dy

10

dp = G + 2y limGH→6 dQ

J@ = −23 ∙ KL ∙ #MN ∙ O12

P32 ∙ Q < 0

Per ovviare a quest’assurdo si può suddividere la sezione in tre sottosezioni, per le quali saranno calcolati in maniera separata i valori di aree e perimetri bagnati (con l’accortezza che i lati delle sottosezioni acqua-acqua non fanno parte del perimetro bagnato): di conseguenza i valori delle portate verranno anch’essi stimati nelle singole sezioni per essere sommati in un secondo momento. Operando in questa direzione si elimina la discontinuità che si aveva con il metodo precedente e dunque anche in corrispondenza del brusco aumento di sezione (e di perimetro bagnato) si avrà un aumento di portata. Sezioni compatte Si riporta la tabella riassuntiva dei dati concernenti la sezione compatta. Sono evidenziate con il colore giallo le due righe corrispondenti alle altezze di tirante di 2,1 m e 3,1 m, ovvero le altezze cui corrispondono diminuzioni di portata anziché aumenti. I valori dell’area A, così come quelli del perimetro bagnato p e del raggio idraulico R, sono stati calcolati con le consuete formule dividendo la sezione in 3 parti (da 0,0 m a 2,0 m, da 2,1 m a 3,0 m e da 3,1 m a 6,0 m); la portata è stata calcolata utilizzando la formula di Gauckler-Strickler e la velocità come rapporto tra portata e area: per 0≤ y ≤2 A&y' = y ∙ Rb���,ST +m ∙ yU p&y' = b + 2y ∙ #1 + m� per 2,1≤ y ≤3 A&y' = A&HV�' + &y − y6' ∙ Wb���,ST +m ∙ &y − y6'X p&y' = p&HV�' + bY,G� + 2&y − y6' ∙ #1 + m�

per 3,1≤ y ≤6 A&y' = A&HV' + &y − y6' ∙ Wb���,ST +m ∙ &y − y6'X p&y' = p&HV' + bY,�� + 2&y − y6' ∙ #1 + m�

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y [m] A [m2] p [m] R [m] v [m/s] Q [m3/s]

0,0 0,00 13,00 0,00 - 0,00

0,1 1,31 13,24 0,10 0,56 0,73

0,2 2,63 13,48 0,19 0,88 2,31

0,3 3,96 13,72 0,29 1,14 4,52

0,4 5,31 13,96 0,38 1,37 7,29

0,5 6,67 14,20 0,47 1,58 10,54

0,6 8,04 14,44 0,56 1,77 14,24

0,7 9,43 14,68 0,64 1,95 18,35

0,8 10,83 14,92 0,73 2,11 22,87

0,9 12,24 15,16 0,81 2,27 27,76

1,0 13,67 15,40 0,89 2,42 33,01

1,1 15,11 15,64 0,97 2,56 38,61

1,2 16,56 15,88 1,04 2,69 44,55

1,3 18,03 16,12 1,12 2,82 50,80

1,4 19,51 16,37 1,19 2,94 57,37

1,5 21,00 16,61 1,26 3,06 64,25

1,6 22,51 16,85 1,34 3,17 71,43

1,7 24,03 17,09 1,41 3,28 78,90

1,8 25,56 17,33 1,48 3,39 86,66

1,9 27,11 17,57 1,54 3,49 94,70

2,0 28,67 17,81 1,61 3,59 103,02

2,1 32,74 43,05 0,76 2,18 71,38

2,2 36,83 43,29 0,85 2,35 86,52

2,3 40,93 43,53 0,94 2,51 102,78

2,4 45,04 43,77 1,03 2,67 120,12

2,5 49,17 44,01 1,12 2,82 138,51

2,6 53,31 44,25 1,20 2,96 157,91

2,7 57,46 44,49 1,29 3,10 178,30

2,8 61,63 44,73 1,38 3,24 199,64

2,9 65,81 44,97 1,46 3,37 221,92

3,0 70,00 45,21 1,55 3,50 245,12

3,1 76,51 68,45 1,12 2,82 215,58

3,2 83,03 68,69 1,21 2,97 246,48

3,3 89,56 68,93 1,30 3,12 279,00

3,4 96,11 69,17 1,39 3,26 313,08

3,5 102,67 69,41 1,48 3,40 348,70

3,6 109,24 69,65 1,57 3,53 385,80

3,7 115,83 69,89 1,66 3,66 424,37

3,8 122,43 70,13 1,75 3,79 464,37

3,9 129,04 70,37 1,83 3,92 505,77

4,0 135,67 70,61 1,92 4,04 548,55

4,1 142,31 70,85 2,01 4,16 592,68

4,2 148,96 71,09 2,10 4,28 638,13

4,3 155,63 71,33 2,18 4,40 684,90

4,4 162,31 71,58 2,27 4,52 732,95

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y [m] A [m2] p [m] R [m] v [m/s] Q [m3/s]

4,5 169,00 71,82 2,35 4,63 782,26

4,6 175,71 72,06 2,44 4,74 832,83

4,7 182,43 72,30 2,52 4,85 884,62

4,8 189,16 72,54 2,61 4,96 937,63

4,9 195,91 72,78 2,69 5,06 991,83

5,0 202,67 73,02 2,78 5,17 1047,22

5,1 209,44 73,26 2,86 5,27 1103,78

5,2 216,23 73,50 2,94 5,37 1161,50

5,3 223,03 73,74 3,02 5,47 1220,35

5,4 229,84 73,98 3,11 5,57 1280,34

5,5 236,67 74,22 3,19 5,67 1341,44

5,6 243,51 74,46 3,27 5,76 1403,64

5,7 250,36 74,70 3,35 5,86 1466,95

5,8 257,23 74,94 3,43 5,95 1531,33

5,9 264,11 75,18 3,51 6,05 1596,79

6,0 271,00 75,42 3,59 6,14 1663,31

Per determinare i coefficienti della scala delle portate si è riscritta la formula Q = s yd in forma

logaritmica: ln&Q' = ln&σ' + δ ∙ ln&y' Utilizzando il metodo dei minimi quadrati e sfruttando una relazione lineare del tipo ] = O^ + _ dove chiaramente Y = ln(y) e X = ln(Q). Vengono calcolati i parametri A e B e di conseguenza s e d con le relazioni: σ = e` e δ = A

y X = ln (Q) Y = ln (y) Q

0,00 - - 0,00

0,10 -0,31 -2,30 0,73

0,20 0,84 -1,61 2,31

0,30 1,51 -1,20 4,52

0,40 1,99 -0,92 7,29

0,50 2,35 -0,69 10,54

0,60 2,66 -0,51 14,24

0,70 2,91 -0,36 18,35

0,80 3,13 -0,22 22,87

0,90 3,32 -0,11 27,76

1,00 3,50 0,00 33,01

1,10 3,65 0,10 38,61

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y X = ln (Q) Y = ln (y) Q

1,20 3,80 0,18 44,55

1,30 3,93 0,26 50,80

1,40 4,05 0,34 57,37

1,50 4,16 0,41 64,25

1,60 4,27 0,47 71,43

1,70 4,37 0,53 78,90

1,80 4,46 0,59 86,66

1,90 4,55 0,64 94,70

2,00 4,63 0,69 103,02

2,10 4,27 0,74 71,38

2,20 4,46 0,79 86,52

2,30 4,63 0,83 102,78

2,40 4,79 0,88 120,12

2,50 4,93 0,92 138,51

2,60 5,06 0,96 157,91

2,70 5,18 0,99 178,30

2,80 5,30 1,03 199,64

2,90 5,40 1,06 221,92

3,00 5,50 1,10 245,12

3,10 5,37 1,13 215,58

3,20 5,51 1,16 246,48

3,30 5,63 1,19 279,00

3,40 5,75 1,22 313,08

3,50 5,85 1,25 348,70

3,60 5,96 1,28 385,80

3,70 6,05 1,31 424,37

3,80 6,14 1,34 464,37

3,90 6,23 1,36 505,77

4,00 6,31 1,39 548,55

4,10 6,38 1,41 592,68

4,20 6,46 1,44 638,13

4,30 6,53 1,46 684,90

4,40 6,60 1,48 732,95

4,50 6,66 1,50 782,26

4,60 6,72 1,53 832,83

4,70 6,79 1,55 884,62

4,80 6,84 1,57 937,63

4,90 6,90 1,59 991,83

5,00 6,95 1,61 1047,22

5,10 7,01 1,63 1103,78

5,20 7,06 1,65 1161,50

5,30 7,11 1,67 1220,35

5,40 7,15 1,69 1280,34

5,50 7,20 1,70 1341,44

5,60 7,25 1,72 1403,645

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y X = ln (Q) Y = ln (y) Q

5,70 7,29 1,74 1466,946

5,80 7,33 1,76 1531,331

5,90 7,38 1,77 1596,789

6,00 7,42 1,79 1663,31

Allora:

A = SbcS�,c� = 1,945

B = Xe − SbcS�,c� ∙ Ye = 3,549

σ = e` = 34,780 δ = A = 1,945 Q = 34,780 ∙ yg,hi� I dati ricavati sono riportati in due grafici: uno in scala lineare (Grafico 1) ed uno in scala bi logaritmica (Grafico 2), che riportano in ascissa il valore del tirante ed in ordinata il valore della portata: = portata ricavata con la formula di G.-S., = linea di tendenza

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

po

rta

ta Q

tirante y

Grafico 1

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Sezione composita Come nel caso precedente viene riportata la tabella con i dati calcolati con le formule descritte, evidenziando però il contributo dovuto alle singole sottosezioni (essendo: 1-golena sinistra, 2-alveo di magra, 3-golena destra):

y A1 A2 A3 P1 P2 P3 Q1 Q2 Q3 Q

0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 13,00 0,00 0 0,00 0 0,00 0,1 0,00 1,31 0,00 0,00 13,24 0,00 0 0,73 0 0,73 0,2 0,00 2,63 0,00 0,00 13,48 0,00 0 2,31 0 2,31 0,3 0,00 3,96 0,00 0,00 13,72 0,00 0 4,52 0 4,52 0,4 0,00 5,31 0,00 0,00 13,96 0,00 0 7,29 0 7,29 0,5 0,00 6,67 0,00 0,00 14,20 0,00 0 10,54 0 10,54 0,6 0,00 8,04 0,00 0,00 14,44 0,00 0 14,24 0 14,24 0,7 0,00 9,43 0,00 0,00 14,68 0,00 0 18,35 0 18,35 0,8 0,00 10,83 0,00 0,00 14,92 0,00 0 22,87 0 22,87 0,9 0,00 12,24 0,00 0,00 15,16 0,00 0 27,76 0 27,76 1,0 0,00 13,67 0,00 0,00 15,40 0,00 0 33,01 0 33,01 1,1 0,00 15,11 0,00 0,00 15,64 0,00 0 38,61 0 38,61 1,2 0,00 16,56 0,00 0,00 15,88 0,00 0 44,55 0 44,55 1,3 0,00 18,03 0,00 0,00 16,12 0,00 0 50,80 0 50,80 1,4 0,00 19,51 0,00 0,00 16,37 0,00 0 57,37 0 57,37 1,5 0,00 21,00 0,00 0,00 16,61 0,00 0 64,25 0 64,25 1,6 0,00 22,51 0,00 0,00 16,85 0,00 0 71,43 0 71,43 1,7 0,00 24,03 0,00 0,00 17,09 0,00 0 78,90 0 78,90 1,8 0,00 25,56 0,00 0,00 17,33 0,00 0 86,66 0 86,66 1,9 0,00 27,11 0,00 0,00 17,57 0,00 0 94,70 0 94,70 2,0 0,00 28,67 0,00 0,00 17,81 0,00 0 103,02 0 103,02 2,1 0,00 30,25 2,50 0,00 17,93 25,12 0 69,97 1,41 71,38 2,2 0,00 31,87 5,01 0,00 18,05 25,24 0 82,05 4,47 86,52

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

Grafico 2

16

y A1 A2 A3 P1 P2 P3 Q1 Q2 Q3 Q

2,3 0,00 33,52 7,53 0,00 18,17 25,36 0 94,01 8,77 102,78 2,4 0,00 35,20 10,05 0,00 18,29 25,48 0 105,97 14,15 120,12 2,5 0,00 36,92 12,58 0,00 18,41 25,60 0 118,00 20,50 138,51 2,6 0,00 38,67 15,12 0,00 18,53 25,72 0 130,15 27,76 157,91 2,7 0,00 40,45 17,66 0,00 18,65 25,84 0 142,44 35,86 178,30 2,8 0,00 42,27 20,21 0,00 18,77 25,96 0 154,89 44,76 199,64 2,9 0,00 44,12 22,77 0,00 18,89 26,08 0 167,51 54,42 221,92 3,0 0,00 46,00 25,33 0,00 19,01 26,20 0 180,31 64,81 245,12 3,1 2,30 47,64 27,90 23,12 19,01 26,32 1,30 138,38 75,90 215,58 3,2 4,61 49,32 30,48 23,24 19,01 26,44 4,11 154,70 87,67 246,48 3,3 6,93 51,02 33,06 23,36 19,01 26,56 8,06 170,84 100,10 279,00 3,4 9,25 52,74 35,65 23,48 19,01 26,68 13,01 186,91 113,16 313,08 3,5 11,58 54,50 38,25 23,60 19,01 26,80 18,86 202,99 126,85 348,70 3,6 13,92 56,28 40,85 23,72 19,01 26,92 25,53 219,14 141,14 385,80 3,7 16,26 58,08 43,46 23,84 19,01 27,04 32,97 235,38 156,02 424,37 3,8 18,61 59,92 46,08 23,96 19,01 27,16 41,15 251,74 171,48 464,37 3,9 20,97 61,78 48,70 24,08 19,01 27,28 50,03 268,24 187,51 505,77 4,0 23,33 63,66 51,33 24,20 19,01 27,40 59,58 284,89 204,09 548,55 4,1 25,70 65,58 53,97 24,32 19,01 27,52 69,77 301,70 221,21 592,68 4,2 28,08 67,52 56,61 24,44 19,01 27,64 80,59 318,69 238,86 638,13 4,3 30,46 69,48 59,26 24,56 19,01 27,76 92,00 335,85 257,04 684,90 4,4 32,85 71,48 61,92 24,68 19,01 27,88 104,01 353,20 275,74 732,95 4,5 35,25 73,50 64,58 24,80 19,01 28,00 116,58 370,74 294,94 782,26 4,6 37,65 75,54 67,25 24,92 19,01 28,12 129,71 388,48 314,64 832,83 4,7 40,06 77,62 69,93 25,04 19,01 28,24 143,37 406,41 334,84 884,62 4,8 42,48 79,72 72,61 25,16 19,01 28,37 157,57 424,54 355,51 937,63 4,9 44,90 81,84 75,30 25,28 19,01 28,49 172,29 442,87 376,67 991,83 5,0 47,33 84,00 78,00 25,40 19,01 28,61 187,51 461,41 398,30 1047,22 5,1 49,77 86,18 80,70 25,52 19,01 28,73 203,24 480,15 420,40 1103,78 5,2 52,21 88,38 83,41 25,64 19,01 28,85 219,45 499,10 442,95 1161,50 5,3 54,66 90,62 86,13 25,76 19,01 28,97 236,14 518,25 465,96 1220,35 5,4 57,12 92,88 88,85 25,88 19,01 29,09 253,30 537,61 489,42 1280,34 5,5 59,58 95,16 91,58 26,00 19,01 29,21 270,93 557,18 513,33 1341,44 5,6 62,05 97,48 94,32 26,12 19,01 29,33 289,02 576,95 537,67 1403,645 5,7 64,53 99,82 97,06 26,24 19,01 29,45 307,56 596,94 562,45 1466,946 5,8 67,01 102,18 99,81 26,37 19,01 29,57 326,54 617,13 587,66 1531,331 5,9 69,50 104,58 102,57 26,49 19,01 29,69 345,96 637,53 613,30 1596,789 6,0 72,00 107,00 105,33 26,61 19,01 29,81 365,81 658,13 639,36 1663,31

Nella figura sottostante sono rappresentate le varie aree considerate

17

y X = ln (Q) Y = ln (y) Q = ssss ydddd

0,1 -0,93 -2,30 0,39

0,2 0,42 -1,61 1,52

0,3 1,21 -1,20 3,34

0,4 1,77 -0,92 5,85

0,5 2,20 -0,69 9,03

0,6 2,56 -0,51 12,88

0,7 2,86 -0,36 17,38

0,8 3,12 -0,22 22,53

0,9 3,34 -0,11 28,34

1,0 3,55 0,00 34,78

1,1 3,73 0,10 41,86

1,2 3,90 0,18 49,58

1,3 4,06 0,26 57,94

1,4 4,20 0,34 66,92

1,5 4,34 0,41 76,53

1,6 4,46 0,47 86,76

1,7 4,58 0,53 97,62

1,8 4,69 0,59 109,10

1,9 4,80 0,64 121,20

2,0 4,90 0,69 133,91

2,1 4,99 0,74 147,25

2,2 5,08 0,79 161,19

2,3 5,17 0,83 175,75

2,4 5,25 0,88 190,91

2,5 5,33 0,92 206,69

2,6 5,41 0,96 223,07

2,7 5,48 0,99 240,06

2,8 5,55 1,03 257,66

2,9 5,62 1,06 275,86

3,0 5,69 1,10 294,66

3,1 5,75 1,13 314,07

3,2 5,81 1,16 334,07

3,3 5,87 1,19 354,68

3,4 5,93 1,22 375,88

3,5 5,99 1,25 397,68

3,6 6,04 1,28 420,08

3,7 6,09 1,31 443,07

3,8 6,15 1,34 466,66

3,9 6,20 1,36 490,85

4,0 6,25 1,39 515,62

4,1 6,29 1,41 540,99

4,2 6,34 1,44 566,95

4,3 6,39 1,46 593,50

4,4 6,43 1,48 620,64

18

y X = ln (Q) Y = ln (y) Q = ssss ydddd

4,5 6,47 1,50 648,37

4,6 6,52 1,53 676,69

4,7 6,56 1,55 705,59

4,8 6,60 1,57 735,09

4,9 6,64 1,59 765,17

5,0 6,68 1,61 795,83

5,1 6,72 1,63 827,08

5,2 6,76 1,65 858,92

5,3 6,79 1,67 891,34

5,4 6,83 1,69 924,34

5,5 6,86 1,70 957,92

5,6 6,90 1,72 992,09

5,7 6,93 1,74 1026,84

5,8 6,97 1,76 1062,17

5,9 7,00 1,77 1098,07

6,0 7,03 1,79 1134,56

Analogamente a prima si calcolano nuovamente i coefficienti A, B, ssss e dddd:

A = SbcS�,c� = 1,945

B = Xe − SbcS�,c� ∙ Ye = 3,549

σ = e` = 34,780 δ = A = 1,945 Q = 34,780 ∙ yg,hi� Si osservano che differiscono dai precedenti solo nella 6^ cifra decimale.

19

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

Po

rta

te Q

Tirante y

Grafico 1

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

-3,00 -2,50 -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00

Grafico 2

20

Esercitazione n.2

Elaborazione statistica di valori estremi

Sia dato un campione relativo ad una serie di portate massime annuali al colmo. Si richiede:

1. L’analisi statistica preliminare del campione:

a. Valutare i parametri di tendenza centrale e di dispersione; b. Tracciare l’istogramma della frequenza assoluta di classe e della densità di

frequenza;

2. L’adattamento della distribuzione di Gumbel al campione:

a. Effettuare una verifica preliminare riportando sulla carta probabilistica i dati del campione;

b. Stimare i parametri della distribuzione; c. Eseguire la verifica della bontà dell’adattamento tramite il test del χ2;

3. Il confronto tra i dati del campione e la distribuzione probabilistica:

a. Tracciare la retta regolarizzatrice sulla carta probabilistica; b. Valutare, per ogni valore del campione, il corrispondente tempo di ritorno ed il

tempo di ritorno empirico; c. Tracciare i grafici di densità di probabilità e di probabilità cumulata di non

superamento; d. Valutare le portate corrispondenti ai tempi di ritorno 5, 10, 20, 50, 100 e 500 anni.

Tabella 1: Portate massime annuali registrate per il Boite alla stazione di Vodo di Cadore (BL) Anno Q (m3/s) Anno Q (m3/s) Anno Q (m3/s) Anno Q (m3/s) 1930 33.8 1936 43.6 1942 74.5 1948 27.4 1931 37.0 1937 64.5 1943 46.1 1949 25.0

1932 28.9 1938 54.5 1944 39.9 1950 41.6 1933 45.4 1939 49.9 1945 67.5 1951 64.6 1934 55.0 1940 42.5 1946 57.5 1952 37.2 1935 81.6 1941 52.8 1947 42.9

21

Cenni teorici e svolgimento dei calcoli

Prima di tutto si definiscono alcuni concetti di base inerenti la statistica: Probabilità: rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. Variabile aleatoria: variabile i cui valori dipendono dal caso. Popolazione: insieme di tutti i valori che la variabile aleatoria può assumere. Campione: estrazione di un set di dati della popolazione. Nel caso preso in esame la variabile aleatoria sarà la portata Q. Analisi statistica preliminare del campione Inizialmente vengono richiesti una serie di parametri statistici, ovvero una serie di valori che sintetizzano le caratteristiche principali del campione di portate al colmo:

• Media aritmetica (m(Q)): è il valore medio dei dati campionari ed è dato dalla formula:

m&Q' = 1njQ���Vg

Essendo n il numero totale dei dati campionari;

• Mediana (Q0,5): è il valore che ha il 50% di probabilità di accadere;

• Portata massima e minima (Qmax e Qmin);

• Range: Range = Q��� − Q���

• Scarto quadratico medio (sq): è il valore definito dalla relazione:

sn = o∑ &Q� −m&Q''��Vg n − 1

• Varianza (qr�): è lo scarto quadratico medio elevato al quadrato:

sn� = ∑ &Q� −m&Q''��Vg n − 1

• Coefficiente di variazione (CVq): CVn = snm&Q'

22

• Momento centrale del terzo ordine (M3,q):

M,n = u &Q� −m&Q''��Vg n − 1

• Momento centrale del quarto ordine (M4,q):

Mi,n = ∑ &Q� −m&Q''i��Vg n − 1

• Coefficiente di asimmetria (Gq): se negativo nel grafico delle probabilità il colmo della curva tende verso destra, in caso contrario verso sinistra:

Gn = M,nsn

• Coefficiente di Kurtosis (Kq)

Kn = Mi,nsni

Media aritmetica e mediana sono definiti parametri di tendenza centrale; scarto quadratico medio, varianza e coefficiente di variazione sono detti parametri di dispersione; i coefficienti di asimmetria e di Kurtosis sono definiti invece parametri di simmetria.

m(Q) 48,42 m3/s

Q0,5 45,4 m3/s

Qmax 81,6 m3/s

Qmin 25 m3/s

Range 56,6 m3/s

Sq 14,94

CVq 0,31

M2,q=Sn� 223,33

M3,q 1539,334

M4,q 121944,2

Gq 0,461213 >0

Kq 2,444854 <3

Per suddividere il campione in Nk classi viene utilizzata la seguente relazione di Snedekor: Nk=1+1,33.ln (n) con n numero di dati del campione, che nel nostro caso risulta essere 23. Attraverso l’applicazione di tale formula si trova quindi un valore Nk=5,17, di conseguenza, arrotondando per eccesso, considero 6 classi. La loro ampiezza ∆Q viene calcolata facendo la

23

differenza tra due valori prossimi a Qmax e Qmin e dividendo il tutto per il numero delle classi. Nel caso considerato, essendo Qmax=81,6 m3/s e Qmin=25,0 m3/s si è calcolato ∆Q nel seguente modo:

∆@ = 88 − 226 = 11

La tabella a pagina seguente riporta le distribuzioni di frequenza e altri dati di interesse probabilistico:

Classe Ei Es faj frj Frj gj

1 22 33 3 0,130 0,130 0,0119

2 33 44 8 0,348 0,478 0,0316

3 44 55 6 0,261 0,739 0,0237

4 55 66 3 0,130 0,870 0,0119

5 66 77 2 0,087 0,957 0,0079

6 77 88 1 0,043 1,000 0,0040

Dove:

• Ei ed Es sono gli estremi inferiore e superiore di portata delle varie classi considerate;

• faj è la frequenza assoluta di classe, cioè il numero di osservazioni che cadono all’interno di ciascuna classe;

• frj è la frequenza relativa di classe, data dalla relazione:

fTx = f�xn

• Frj è la frequenza cumulata di classe, data dalla relazione:

FTx =jfTxx�Vg

• gj è la densità di frequenza, data dalla relazione:

gx = fTx∆Q

Vengono riportati di seguito gli istogrammi relativi alla frequenza assoluta di classe ed alla densità di frequenza:

24

Adattamento della distribuzione di Gumbel al campione, confronto tra i dati del campione e la distribuzione probabilistica La distribuzione di Gumbel è una delle varie distribuzioni asintotiche utilizzate nella statistica degli estremi. Dopo averla adattata al campione si verificherà la bontà dell’adattamento. Questa assume la forma: P&x' = e>|}~ P(x) è la funzione di probabilità, y = α&x − ε' viene denominata variabile caratteristica, con α ed ε che rappresentano i parametri della distribuzione. Nel nostro caso la variabile aleatoria x sarà sostituita dalla portata Q. α ed ε possono essere stimate in diversi modi, in tale analisi si prenderà in considerazione il metodo dei momenti che permette di trovare i valori seguenti: α = 0,085818 ε =41,70

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6

Fre

qu

enza

ass

olu

ta d

i cl

ass

e f a

j

Classi

0,0000

0,0050

0,0100

0,0150

0,0200

0,0250

0,0300

0,0350

1 2 3 4 5 6

Den

sità

di

freq

uen

za g

j

Classi

25

usando le seguenti relazioni: α = πsn ∙ √6

ε = m&Q' − 0,4501sn

Un parametro di grande importanza, in base al quale vengono studiate le portate di progetto, è il tempo di ritorno Tr. Esso è definito come quell’intervallo di tempo in cui, mediamente un evento viene raggiunto o superato statisticamente almeno una volta. Per valutarlo si presuppone di avere una serie sufficientemente estesa di valori. La tabella a pagina seguente espone sia i tempi di ritorno per ogni valore del campione sia gli altri valori importanti per il tracciamento della retta regolarizzatrice.

26

i Qi F (Q≤Qi) yi P(Qi) Tr(Qi) p(Qi) y Q(y) Tr,emp (Qi)

1 25,0 0,042 -1,433 0,015 1,015 0,005 -1,156 28,222 1,043

2 27,4 0,083 -1,227 0,033 1,034 0,010 -0,910 31,089 1,091

3 28,9 0,125 -1,098 0,050 1,052 0,013 -0,732 33,164 1,143

4 33,8 0,167 -0,678 0,140 1,162 0,024 -0,583 34,900 1,200

5 37,0 0,208 -0,403 0,224 1,289 0,029 -0,450 36,449 1,263

6 37,2 0,250 -0,386 0,230 1,298 0,029 -0,327 37,889 1,333

7 39,9 0,292 -0,154 0,311 1,452 0,031 -0,209 39,263 1,412

8 41,6 0,333 -0,008 0,365 1,574 0,032 -0,094 40,599 1,500

9 42,5 0,375 0,069 0,393 1,648 0,031 0,019 41,921 1,600

10 42,9 0,417 0,103 0,406 1,683 0,031 0,133 43,245 1,714

11 43,6 0,458 0,163 0,428 1,748 0,031 0,248 44,588 1,846

12 45,4 0,500 0,318 0,483 1,934 0,030 0,367 45,966 2,000

13 46,1 0,542 0,378 0,504 2,016 0,030 0,489 47,396 2,182

14 49,9 0,583 0,704 0,610 2,563 0,026 0,618 48,897 2,400

15 52,8 0,625 0,953 0,680 3,126 0,023 0,755 50,493 2,667

16 54,5 0,667 1,099 0,717 3,529 0,020 0,903 52,214 3,000

17 55,0 0,708 1,142 0,727 3,659 0,020 1,065 54,101 3,429

18 57,5 0,750 1,356 0,773 4,403 0,017 1,246 56,213 4,000

19 64,5 0,792 1,957 0,868 7,590 0,011 1,454 58,639 4,800

20 64,6 0,833 1,966 0,869 7,651 0,010 1,702 61,528 6,000

21 67,5 0,875 2,215 0,897 9,666 0,008 2,013 65,157 8,000

22 74,5 0,917 2,815 0,942 17,202 0,005 2,442 70,147 12,000

23 81,6 0,958 3,425 0,968 31,212 0,003 3,157 78,481 24,000

In seguito vengono descritti vari valori presenti all’interno della tabella di cui sopra, e l’espressione con cui essi sono stati calcolati

• F (Q≤Qi) è la probabilità di non superamento relativa al valore i-esimo di Q calcolata con la formula di Weibull:

F&Q ≤ Q�' = in + 1

• yi è il valore della variabile caratteristica relativa alla portata i-esima y� = α ∙ &Q� − ε'

27

• P(Qi) è la funzione di probabilità dato dalla distribuzione di Gumbel P&Q�' = e>|}~�

• Tr(Qi) è l’espressione del tempo di ritorno relativo alla portata i-esima

��&@�' = 11 − �&@�'

• p(Qi) è la densità di probabilità

p&Q�' = dP&Q�'dQ�

• y è il valore della variabile caratteristica appena calcolata : = −ln&−ln&@�''

• Q(y) è la portata calcolata in funzione della variabile caratteristica appena calcolata Q&y' = ε + yα

• Tr,emp(Qi) è il tempo di ritorno empirico relativo alla portata i-esima

��,���&@�' = 11 − F&Q ≤ Q�' Il grafico seguente rappresenta la retta regolarizzatrice:

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

-2,000 -1,000 0,000 1,000 2,000 3,000 4,000

Qi,

Q(y

)

y

Qi

Q(y)

28

I rombi azzurri corrispondono ai valori delle portate, mentre i quadratini rossi rappresentano le coppie di valori con le portate Q in ordinata. Nel seguente grafico si rappresenta la sovrapposizione tra la curva di densità di probabilità p(Q) e la densità di frequenza gj:

Il grafico sottostante è relativo agli andamenti della curva di probabilità P(Q) e della curva di probabilità cumulata:

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0

gj,

p(Q

)

Q

gj

P(Q)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0

P(Q

), F

(Q)

Q

P(Q)

F(Q)

29

La seguente tabella mostra i valori delle portate calcolate in funzione dei tempi di ritorno di 5, 10, 20, 50, 100 e 500 anni:

Tr P(Q) y Q

5 0,800 1,500 59,173

10 0,900 2,250 67,918

20 0,950 2,970 76,306

50 0,980 3,902 87,163

100 0,990 4,600 95,299

500 0,998 6,214 114,099

Per i calcoli dei valori sono stati usate le formule inverse delle relazioni precedentemente impiegate:

P&Q' = 1 − 1TT y = −ln&−ln&P&Q'' Q = ε + yα

Si deve andare a valutare infine la bontà dell’adattamento con il test del χ2 (o test di Pearson), che consiste nell’impiegare la grandezza Χ2 come indice della bontà dell’adattamento di una distribuzione scelta, definita come:

X� =j&N� − N ∙ p�'�N ∙ p���Vg

• k sono le classi che si scelgono pari alla parte intera di N/5, ovvero:

k = int �N5�

• Ni è il numero degli elementi (ovvero le portate Q) che ricadono nella classe;

• N è il numero di elementi del campione (nel nostro caso 23);

• pi indica la probabilità che una osservazione ricada nell’i-esimo intervallo:

p� = 1k

• Le yi si calcolano con la distribuzione di Gumbel: y� = −ln&−ln&Q�''

• Le Qi si calcolano con la seguente relazione:

30

Q� = ε + y�α

Con tali valori risulta: Χ2 = 0,1304 Il passo successivo consiste nel fissare un livello di significatività nel test e nel calcolare il numero dei gradi di libertà f = k − s − 1, nel nostro caso � = 4 − 2 − 1 = 1, essendo s il numero dei parametri della distribuzione (ovvero α ed ε) e P = 1 − α = 0,91. Questi due valori sono necessari per la ricerca sulla tabella della distribuzione del χ2, del cosiddetto ]�� (dove il pedice “c” indica che si tratta del valore critico) da confrontare con il valore di Χ2: in particolare, affinché la distribuzione scelta per l’adattamento possa accettata, deve risultare: Χ

2 ≤ χ2

Poiché nel caso in questione risulta χ2 = 3,84, la disuguaglianza è verificata, quindi la distribuzione di Gumbel può essere accettata di conseguenza.

31

32

Esercitazione n.3

Determinazione delle curve segnalatrici di possibilità pluviometrica

Sia dato un campione relativo ad una serie di osservazioni delle massime precipitazioni annuali della durata di 15, 30, 45 minuti (scrosci) e di 1, 3, 6, 12, 24 ore. Si richiede:

1. L’elaborazione statistica dei dati pluviometrici: a. Adattamento della distribuzione doppio-esponenziale di Gumbel ai vari campioni,

impiegando il metodo di Gumbel per la stima dei parametri; b. Determinazione degli eventi x (Tr) corrispondenti ai tempi di ritorno di 5, 10, 20, 50,

100 anni;

2. L’adattamento della distribuzione di Gumbel al campione: a. Approssimazione (per ogni tempo di ritorno sopra considerato e impiegando il

metodo dei minimi quadrati) degli eventi x (Tr) ottenuti al precedente punto, al fine di ricavare i coefficienti a (Tr) e a n (Tr) delle curve di possibilità pluviometrica. Tale operazione è da effettuarsi separatamente per gli scrosci e per le piogge di durata oraria, ricercando successivamente il punto di intersezione tra le coppie di curve di pari tempo di ritorno;

b. Rappresentazione grafica (sia in scala logaritmica che lineare) delle equazioni così ottenute.

Tabella 1: media ridotta, (Y) e deviazione standard ridotta, (Sy) per la distribuzione di Gumbel, assumendo la formula di plotting position di Weibull.

33

Cenni teorici

La relazione che solitamente viene adottata per legare altezza di precipitazione h, durata � e tempo di ritorno Tr assume la seguente espressione, che prende il nome di curva segnalatrice di possibilità pluviometrica: ℎ&�, ��' = �&��' ∙ ��

15 min. 30 min. 45 min. 1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore

37,0 25,4 44,6 64,4 64,3 62,0 124,5 162,2 29,9 57,6 63,1 50,6 67,3 87,3 139,0 100,3 25,6 22,5 49,1 39,9 61,5 107,0 72,7 157,4 28,7 27,2 25,3 52,5 76,9 98,9 109,7 151,2 21,0 32,0 37,4 50,8 65,1 140,5 120,4 107,5 30,2 34,0 62,4 57,6 53,7 69,9 90,7 150,8 25,8 34,3 46,8 46,1 31,3 59,9 90,5 83,1 28,4 40,4 43,5 31,9 65,3 170,3 91,1 136,3 18,2 35,6 36,0 43,0 67,4 66,0 126,7 153,3 36,1 27,9 44,6 43,4 76,5 65,3 74,4 160,6 27,0 27,4 70,9 24,0 102,6 71,0 101,7 237,8 14,5 28,2 42,0 47,2 44,2 105,0 128,2 96,2 27,2 17,4 73,7 51,1 56,7 76,1 101,4 208,3 33,7 30,5 53,1 47,0 65,4 100,4 124,2 145,4 28,5 33,5 50,4 30,8 91,0 53,4 77,3 173,4 34,6 64,6 34,2 102,3 48,4 54,3 104,6 100,9 34,1 37,7 30,2 24,4 41,0 66,6 145,0 125,2 18,9 40,9 37,8 46,3 79,3 89,4 76,1 126,2 13,1 21,6 41,3 33,2 52,0 37,1 56,3 141,3 38,6 25,6 59,1 42,3 90,8 27,3 86,5 215,8 26,7 16,5 70,7 19,2 70,7 80,3 86,4 162,8 24,2 42,3 37,2 65,8 45,2 51,4 117,6 207,2 21,6 25,9 24,1 81,3 76,4 133,6 90,3 139,6 16,0 25,4 28,0 41,8 51,8 98,5 107,9 108,4 25,5 31,4 54,6 60,6 65,9 60,6 158,1 16,7 33,9 39,5 43,4 48,8 152,4 144,6 19,3 39,9 63,5 68,3 82,7 101,3 86,8

29,4 56,8 59,6 68,8 86,7 122,9 36,0 32,7 45,7 172,6 69,5 107,3 41,5 35,5 61,0 78,3 99,9 131,2 31,8 87,8 39,0 87,5 83,7 98,9

17,4 58,4 57,8 138,2 93,7 222,7

39,6 58,2 55,7 109,8 125,5 138,3

31,5 40,9 51,8 64,1 80,2 174,8 29,2 71,8 61,8 86,0 151,7 131,4 23,6 99,1 44,0 78,7 76,2 113,3 43,4 16,6 37,3 45,7 103,2 162,8 17,1 58,2 50,0 101,6 119,8 181,1

34

15 min. 30 min. 45 min. 1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore

30,6 40,6 40,9 72,4 66,2 159,1 47,1 34,0 75,5 91,0 89,3 53,7 48,1 44,1 128,4 131,3 43,5 64,9 44,0 91,4 147,2 70,6 28,6 73,3 114,8 77,3 35,2 47,3 65,0 86,3 122,8 26,0 47,8 138,8 90,1 169,7 45,2 90,9 131,7 87,0 163,0 20,0 37,7 50,7 67,9 191,0 23,5 56,1 47,7 79,2 154,0 25,4 51,6 78,4 86,6 87,1 33,5 58,8 76,4 109,3 185,7 59,3 35,1 53,8 107,6 104,9 28,5 147,2 83,1 89,3 143,1 30,2 119,4 75,5 142,2 116,1 59,5 67,1 138,9 116,5 142,5 61,5 102,8 66,7 68,3 115,6 29,2 84,2 65,9 92,0 185,1

Procedendo con il metodo di Gumbel per l’elaborazione di dati, vengono riportati i valori medi e della varianza relativi ad ognuna delle durate di precipitazione. Il valore medio di h sarà:

h� = 1n ∙jh���Vg

La varianza del campione sarà:

S� = o∑ &h� − h'���V6n − 1

15 min. 30 min. 45 min. 1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore

media 26,0 32,1 46,1 47,2 61,5 81,8 99,3 143,0

varianza 7,008 10,011 14,444 18,821 22,285 32,227 23,523 37,224

L’espressione di h in funzione del tempo di ritorno Tr e della durata della precipitazione t è la

seguente:

h&τ∗, TT' = h� + S�SH ∙ &y − y�' dove Sy e Ye si ricavano dalla tabella prima riportata, mentre y si calcola con la distribuzione doppio esponenziale di Gumbel (vedi sotto). I risultati vengono riportati nella tabella sottostante:

P&h' = 1 − 1TT : = −�� W−��R�&ℎ'UX

35

Tr P(h) y h (15, Tr) h (30, Tr) h (45, Tr) h (1, Tr) h (3, Tr) h (6, Tr) h (12, Tr) h (24, Tr)

5 0,8 1,500 32,04 40,37 58,69 62,33 79,41 107,74 118,24 172,98

10 0,9 2,250 36,73 46,88 68,46 74,30 93,58 128,24 133,19 196,65

20 0,95 2,970 41,23 53,13 77,83 85,78 107,18 147,89 147,54 219,35

50 0,98 3,902 47,05 61,21 89,95 100,64 124,77 173,34 166,11 248,74

100 0,99 4,600 51,42 67,27 99,04 111,78 137,96 192,41 180,03 270,77

I valori di Sy e Yeusati sono: �e 0,5332 0,543 0,5296 0,5508 0,5508 0,5508 0,5508 0,5508

Sy 1,1215 1,1538 1,1098 1,1801 1,1801 1,1801 1,1801 1,1801

Determinazione delle curve di possibilità pluviometrica

Un volta determinati i diversi valori di h, è possibile fissare il tempo di ritorno Tr e per ogni valore assunto far variare t ottenendo così le diverse h(Tr). Dalla relazione per la determinazione della curva di possibilità pluviometrica si ricava poi la relazione logaritmica: log h = log a + n ∙ log τ generalizzabile in X = B + AY, da applicare ad ogni h(Tr). Si ricavano così i seguenti valori:

Tr = 5 scrosci piogge orarie

tttt [ore] 0,25 0,50 0,75 1 3 6 12 24 log (tttt) -0,602 -0,301 -0,125 0,000 0,477 0,778 1,079 1,380

log (h) 1,506 1,606 1,769 1,795 1,900 2,032 2,073 2,238

Tr = 10 scrosci piogge orarie

tttt [ore] 0,25 0,50 0,75 1 3 6 12 24 log (tttt) -0,602 -0,301 -0,125 0,000 0,477 0,778 1,079 1,380

log (h) 1,565 1,671 1,835 1,871 1,971 2,108 2,124 2,294

Tr = 20 scrosci piogge orarie

tttt [ore] 0,25 0,50 0,75 1 3 6 12 24 log (tttt) -0,602 -0,301 -0,125 0,000 0,477 0,778 1,079 1,380

log (h) 1,615 1,725 1,891 1,933 2,030 2,170 2,169 2,341

Tr = 50 scrosci piogge orarie

tttt [ore] 0,25 0,50 0,75 1 3 6 12 24 log (tttt) -0,602 -0,301 -0,125 0,000 0,477 0,778 1,079 1,380

log (h) 1,673 1,787 1,954 2,003 2,096 2,239 2,220 2,396

36

Tr = 100 scrosci piogge orarie

tttt [ore] 0,25 0,50 0,75 1 3 6 12 24 log (tttt) -0,602 -0,301 -0,125 0,000 0,477 0,778 1,079 1,380

log (h) 1,711 1,828 1,996 2,048 2,140 2,284 2,255 2,433

È possibile dunque ricavare il seguente grafico:

Applicando poi i valori ricavati è possibile ottenere le quantità B = log a , e A = n. I valori di A e B andranno valutati nei due casi di scrosci e piogge orarie. Si avrà: A = -�,~-�,~3 eB = x� − -�,~-�,~3 essendo:

S�,H� = 1n ∙j&y� − y�'eS�,H��Vg = 1n ∙j&x� − x�'�

�Vg ∙ &y� − y�'

Con x�ey� valori medi di log h e log t rispettivamente, a = 10B e n = A

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-1,500 -1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500 2,000

log

h

log tttt

Scrosci (s) e piogge (p)

100p

50p

20p

10p

5p

100s

50s

20s

10s

5s

scrosci

Tr a n

5 64,200 0,527

10 75,293 0,544

20 85,942 0,555

50 99,734 0,567

100 110,073 0,574

piogge

Tr a n

5 59,691 0,312

10 71,627 0,294

20 83,105 0,281

50 97,988 0,269

100 109,155 0,261

37

Si possono così ricavare i due grafici distinti per scrosci e piogge (essendo h = 10 ¡Y�¢�∙ ¡Y S):

La curva di possibilità pluviometrica è data dall’unione dei due grafici appena riportati. Essa viene rappresentata in scala logaritmica e si vede come la pendenza della curva, a parità di Tr, sia maggiore per gli scrosci. Per una corretta rappresentazione è però necessario individuare il punto (per ogni Tr) in cui le curve per scrosci e piogge orarie si intersecano, ovvero il punto in cui si ha il passaggio da un grafico all'altro (cioè il passaggio da a1, n1 parametri degli scrosci a a2, n2 delle piogge orarie). Tale punto corrisponde al valore τ0 che soddisfa l'uguaglianza �g ∙ �g�£ = �� ∙ ���3

0,000

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

80,000

90,000

100,000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

h [

mm

]

tttt [ore]

Scrosci

Tr=5

Tr=10

Tr=20

Tr=50

Tr=100

0,000

50,000

100,000

150,000

200,000

250,000

300,000

0 5 10 15 20 25 30

h [

mm

]

tttt [ore]

Piogge orarie

Tr=5

Tr=10

Tr=20

Tr=50

Tr=100

38

ed è dunque facilmente esplicitabile come:

τ6 = ��g���g�£>�3

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

-1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50

log

h [

mm

]

logtttt [ore]

Curve di possibilità pluviometrica

Tr=5

Tr=10

Tr=20

Tr=50

Tr=100

39

40

Esercitazione n.4

Dimensionamento di una rete di drenaggio urbano per lo smaltimento delle

acque meteoriche

Sia assegnato un quartiere per il quale si deve procedere al dimensionamento dei collettori di raccolta delle acque meteoriche. Le principali caratteristiche dei sottobacini e dei tratti da dimensionare sono riportate nelle Tabelle 1, 2 e 3. Utilizzando il metodo della corrivazione ed assumendo un grado massimo di riempimento delle condotte del 75%, si determinino le dimensioni dei diametri dei collettori fognari.

Tabella 1: caratteristiche dei bacini scolanti Tabella 3: caratteristiche dei tratti nella rete

Tabella 2: caratteristiche dei nodi della rete Tabella 4: scala delle portate allo scarico

Bacino Area [ha] Pendenza [m/m] Ψ

S1a 0,427 0,0356 0,35

S1b 0,540 0,0356 0,35

S1c 0,389 0,0356 0,35

S1d 0,269 0,0356 0,35

S2 3,391 0,0151 0,19

S3a' 0,560 0,0159 0,41

S3a'' 0,560 0,0159 0,41

S3b' 0,168 0,0159 0,41

S3b'' 0,084 0,0159 0,41

S3b''' 0,084 0,0159 0,41

S4 0,538 0,0159 0,41

Tratto Bacini afferenti Lunghezza [m]

1 - A ― 12,75

2 - 1 S1a 74,31

3 - 2 S1b 46,01

4 - 3 S1c 53,04

5 - 4 S1d 46,75

B - 5 ― 23,00

6 - B S3b''' 28,47

7 - 6 S3a'', S3b'' 33,97

8 - 7 S3a', S3b' 41,79

9 - 8 S4 149,91

10 - B ― 28,43

11 - 10 S2 100,01

Nodo x [m] y [m] z [m s.l.m.]

A 116,190 2989,30 98,046

1 128,930 2988,73 98,399

2 189,490 2945,66 100,457

3 204,490 2902,16 99,860

4 225,130 2853,07 99,776

5 251,010 2814,14 99,946

B 265,540 2796,31 100,201

6 283,520 2774,24 100,516

7 301,930 2745,69 100,615

8 319,590 2707,81 100,340

9 461,060 2757,41 100,800

10 293,820 2793,40 100,635

11 269,890 2893,35 100,765

y [m] A [m2] P [m] V [m/s] Q [m3/s]

0,2 0,38 6,43 0,50 0,19

0,4 1,91 9,03 1,18 2,25

0,6 3,88 10,44 1,71 6,64

0,8 5,95 10,95 2,20 13,10

1,0 8,05 11,46 2,62 21,08

1,2 10,21 11,96 2,98 30,39

1,4 12,41 12,47 3,30 40,94

1,6 14,66 12,98 3,59 52,61

1,8 16,95 13,48 3,86 65,36

2,0 19,29 13,99 4,10 79,11

2,2 21,68 14,49 4,33 93,90

2,4 24,11 14,97 4,55 109,63

2,6 26,58 15,46 4,75 126,27

41

Cenni teorici e svolgimento dei calcoli

Innanzitutto si sono determinate le aree dei bacini scolanti relative ai singoli rami considerati:

Tratto Bacini complessivi Area totale [ha]

9 - 8 S4 0,538

8 -7 S4+S3a'+S3b' 1,266

7 - 6 S4+S3a'+S3b'+S3a''+S3b'' 1,910

6 - B S4+S3a'+S3b'+S3a''+S3b''+S3b'''=S4+S3 1,994

11 - 10 S2 3,391

10 - B S2 3,391 B - 5 S2+S3+S4 5,385

5 - 4 S2+S3+S4+S1d 5,654

4 - 3 S2+S3+S4+S1d+S1c 6,043

3 - 2 S2+S3+S4+S1d+S1c+S1b 6,583

2 - 1 S2+S3+S4+S1d+S1c+S1b+S1a=S1+S2+S3+S4 7,010

1 - A S2+S3+S4+S1d+S1c+S1b+S1a=S1+S2+S3+S4 7,010

Per assegnare la pendenza dei collettori si considerino le pendenze medi dei tre tratti principali:

Tratto i

9 - B 0,0024

11 - B 0,0044

B - 1 0,0084

Esse sono state calcolate come:

i = i���¤. − i¦��.LS¡S,ST�SS¡

Per le pendenze dei collettori di tutti i rami sono stati assunti due valori di pendenza: a monte di B if=0,004 e a valle di B if=0,007.

Ramo if

9 - 8 0,004 8 -7 0,004 7 - 6 0,004 6 - B 0,004

11 - 10 0,004 10 - B 0,004

B - 5 0,007 5 - 4 0,007 4 - 3 0,007 3 - 2 0,007 2 - 1 0,007 1 - A 0,007

42

Per il calcolo del tempo di corrivazione si assume la seguente relazione:

t¨ = t� + tT1,5

Dove si è indicato con ta il tempo di accesso in rete, che verrà calcolato solo per i nodi 9 e 11, ovvero i più distanti dalla sezione di chiusura A. Per la sua valutazione si può fare riferimento alla seguente relazione:

t� = ©3600�>gi ∙ 120 ∙ S6,i>6,ª� ∙ &a ∙ ψ'6,�� ¬i�¢

nella quale ta è espresso in secondi, S è la superficie del bacino [ha], i è la pendenza media [m/m], a e n sono i coefficienti della curva di possibilità pluviometrica (a in mm/oran) e ψ è il coefficiente di afflusso. Per valutare a e n si è fatto riferimento alle seguenti curve relative ad un tempo di ritorno di 5 anni:

h&θ, TT = 5' = ® 48,0 ∙ θ6,¯i → scrosci48,2 ∙ θ6,�h → pioggeorarie² Per il nodo 11, conoscendo ψ, la pendenza relativa al bacino in cui si trova e considerando la curva di possibilità pluviometrica relativa agli scrosci si è trovato ta=5,54 minuti; però la relazione utilizzata per il calcolo è relativa a bacini urbanizzati, mentre il bacino S2 è agricolo, essendo quindi il valore troppo basso si assume ta=10 minuti. Per il nodo 9 risulta invece ta=2,25 minuti, che è un valore accettabile. Per il dimensionamento dei collettori la scelta del diametro D viene fatta ipotizzando un riempimento massimo delle condotte del 75% (quindi tale che il rapporto tra il tirante massimo e il diametro sia inferiore di 0,75). Attraverso semplici calcoli si troverà che il rapporto tra la portata Qc (definita in seguito) e la portata a massimo riempimento Qr dovrà essere minore o uguale a 0,912: il diametro verrà scelto procedendo per tentativi facendo variare in maniera discreta (ovvero considerando solo i diametri commerciali) fino a che la verifica Q¨QT ≤ 0,912

non sarà soddisfatta. Si analizzano ora le relazioni utilizzate per il dimensionamento dei vari tratti; i vari calcoli effettuati saranno in seguito riportati in apposite tabelle.

• Si indica con D il diametro del collettore. Il valore del diametro del primo tratto viene fissato arbitrariamente e, come già sopra detto, esso verrà aumentato finché non sono soddisfatte le condizioni di verifica.

43

• Vr è la velocità del fluido in condizioni di massimo riempimento, calcolata nell’ipotesi di moto uniforme attraverso la relazione

VT = k� ∙ �D4�� ∙ #i+

dove ks è il coefficiente di Gauckler-Strickler (fissato pari a 35 m1/3/s).

• tr, espresso in minuti, è il tempo di residenza in rete, pari al tempo di residenza a monte più il tempo di residenza nel tratto considerato, valutabile come:

tT = j L�VT,��

Dove Li e Vr,i sono, rispettivamente, la lunghezza del collettore i-esimo e la velocità dell’acqua in condizioni di massimo riempimento; la sommatoria va estesa a tutti i rami che costituiscono il percorso più lungo (in termini di durata) della rete a monte.

• tc è il tempo di corrivazione calcolato con la relazione precedentemente introdotta (misurato in minuti).

• ic è l’intensità critica di pioggia, calcolata mediante la relazione:

i¨ = a ∙ � t¨60��>g

• uc è il coefficiente udometrico critico, determinato come: u¨ = 2,78 ∙ ψe ∙ i¨

• Infine Qc è la portata critica. Indicando con S la superficie scolante essa risulta essere pari a: Q¨ = u¨ ∙ S Si osservi infine che procedendo da monte a valle i diametri non possono diminuire: quindi si sceglieranno come diametro per il calcolo di un tratto, il diametro impiegato nel tratto immediatamente a monte (accertando se tale valore soddisfa la verifica, altrimenti esso dovrà essere aumentato).

44

Tratto 9-8 Tratto 8-7

Tratto 6-7

D [m] 0,9

Vr [m/s] 0,82

Qr [l/s] 520,95

tr [min] 8,92

tc [min] 8,19

ic [mm/h] 163,64

uc [l/s/ha] 186,52

Qc [l/s] 236,13

Qc/Qr 0,45

Tratto 6-B

D [m] 0,9

Vr [m/s] 0,82

Qr [l/s] 520,95

tr [min] 10,79

tc [min] 9,44

ic [mm/h] 149,95

uc [l/s/ha] 170,92

Qc [l/s] 216,38

Qc/Qr 0,42

D [m] 0,3 0,4 0,5 0,6

Vr [m/s] 0,39 0,48 0,55 0,62

Qr [l/s] 27,83 59,93 108,66 176,69

tr [min] 6,35 5,24 4,51 4,00

tc [min] 6,48 5,74 5,26 4,92

ic [mm/h] 189,06 203,69 215,01 224,17

uc [l/s/ha] 215,49 232,17 245,07 255,51

Qc [l/s] 115,94 124,90 131,85 137,47

Qc/Qr 4,17 2,08 1,21 0,78

D [m] 0,6 0,7 0,8

Vr [m/s] 0,62 0,69 0,76

Qr [l/s] 176,69 266,53 380,53

tr [min] 6,55 6,42 6,31

tc [min] 6,62 6,53 6,46

ic [mm/h] 186,62 188,15 189,50

uc [l/s/ha] 212,71 214,46 216,00

Qc [l/s] 269,28 271,50 273,45

Qc/Qr 1,52 1,02 0,72

45

Tratto 11-10

D [m] 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Vr [m/s] 0,39 0,48 0,55 0,62 0,69

Qr [l/s] 27,83 59,93 108,66 176,69 266,53

tr [min] 4,23 3,50 3,01 2,67 2,41

tc [min] 12,82 12,33 12,01 11,78 11,60

ic

[mm/h] 124,18 127,22 129,31 130,86 132,06

uc

[l/s/ha] 65,59 67,20 68,30 69,12 69,75

Qc [l/s] 222,43 227,86 231,61 234,38 236,54

Qc/Qr 7,99 3,80 2,13 1,33 0,89

Tratto 10-B

D [m] 0,7

Vr [m/s] 0,69

Qr [l/s] 266,53

tr [min] 3,09

tc [min] 12,06

ic [mm/h] 128,96

uc [l/s/ha] 68,12

Qc [l/s] 230,99

Qc/Qr 0,87

Ora si deve analizzare il tratto a valle B-A. Per il tempo di accesso in rete per il punto B, devo considerare il maggiore fra i due tratti 9-B e 11-B: lo si assume quindi pari a 10 minuti. Per quel che riguarda invece i coefficienti di afflusso medio, si andranno a calcolare facendo una media

ponderata sulle superfici dei bacini interessati da ogni tratto , ovvero: ψe = ∑ µe ¶¶ ∙·¶∑ ·¶¶ . Si procede

quindi con il dimensionamento della rete come prima, ricalcolando i coefficienti di afflusso, per ogni tratto rimanente della rete, con la formula di cui sopra.

46

Tratto B-5

D [m] 0,7 0,8 0,9

Vr [m/s] 0,92 1,00 1,08

Qr [l/s] 352,58 503,39 689,15

tr [min] 3,51 3,47 3,44

tc [min] 12,34 12,32 12,30

ic [mm/h] 127,16 127,31 127,43

uc [l/s/ha] 95,96 96,08 96,17

Qc [l/s] 516,75 517,37 517,87

Qc/Qr 1,47 1,03 0,75

Tratto 5-4 Tratto 4-3 Tratto 3-2

Tratto 2-1

D [m] 0,9

Vr [m/s] 1,08

Qr [l/s] 689,15

tr [min] 8,20

tc [min] 15,47

ic [mm/h] 110,63

uc [l/s/ha] 89,09

Qc [l/s] 624,50

Qc/Qr 0,906

D [m] 0,9

Vr [m/s] 1,08

Qr [l/s] 689,15

tr [min] 4,09

tc [min] 12,73

ic [mm/h] 124,76

uc [l/s/ha] 95,45

Qc [l/s] 539,65

Qc/Qr 0,78

D [m] 0,9

Vr [m/s] 1,08

Qr [l/s] 689,15

tr [min] 5,04

tc [min] 13,36

ic [mm/h] 121,10

uc [l/s/ha] 94,27

Qc [l/s] 569,67

Qc/Qr 0,83

D [m] 0,9

Vr [m/s] 1,08

Qr [l/s] 689,15

tr [min] 6,33

tc [min] 14,22

ic [mm/h] 116,51

uc [l/s/ha] 92,55

Qc [l/s] 609,27

Qc/Qr 0,88

47

Tratto 1-A

D [m] 0,9

Vr [m/s] 1,08

Qr [l/s] 689,15

tr [min] 10,17

tc [min] 16,78

ic [mm/h] 105,22

uc [l/s/ha] 84,73

Qc [l/s] 593,95

Qc/Qr 0,86

Bisogna ora verificare la posizione dello scarico con riferimento ad un tempo di ritorno di 5 anni, conoscendo i seguenti dati relativi alla sezione di chiusura:

• altezza media del bacino: z� = 166,56m

• quota della sezione di chiusura: z¨ = 98,00ms. l. m. • lunghezza dell’asta principale: L = 15,92km

• superficie sottesa: ¹ = 36,50Kº�

• coefficiente di Gauckler-Strickler: K = 35mg ⁄ s⁄

Per valutare il tempo di corrivazione e la portata massima si utilizzano le seguenti espressioni: t¨ = i∙√-¢g,�∙»6,¯∙#¤�>¤¼ = 7,253 ≅ 7�15¾ (formula del Giandotti)

@� = 0,278 ∙ ¿ ∙ À ∙ ℎ&Á� , ��' ∙ Á� ∙ ¹ = 121,9º q⁄

Dove L (coefficiente di riduzione delle precipitazioni) viene assunto uguale a 0,3, M (rapporto tra la portata di colmo e quella media) viene assunto uguale a 10 ed infine N (ovvero il rapporto tra la durata dell’evento di piena ed il tempo di corrivazione) viene assunto uguale a 4. Facendo riferimento alla curva di possibilità pluviometrica relativa alle piogge orarie risulta un

tempo di corrivazione pari a 7�15¾ ed una portata massima pari a 121,9 m3/s. Dalla relativa scala delle portate allo scarico risulta un tirante y pari a 2,5 m che non pone problemi in merito all’altezza della sezione di uscita del collettore rispetto alla quota del bacino.

48

Esercitazione n.5

Dimensionamento di condotte a pressione in moto permanente

Esercizio 1- Dimensionamento di una condotta di adduzione tra due serbatoi

Con riferimento allo schema della figura 1 si proceda al dimensionamento della condotta a pressione che collega i due serbatoi per il trasferimento di una portata costante e pari a Q = 0,30 m3/s. Il profilo planoaltimetrico della condotta sia già stato individuato; in particolare, siano noti i valori delle seguenti grandezze: Y = 50 m, Yp = 30 m, L = 11000 m, Lp = 9500 m. Si ipotizzi di adottare per la realizzazione della condotta tubi in ghisa sferoidale caratterizzati dalle seguenti scabrezze: ε = 0,2 mm (tubi nuovi) e ε = 0,3 mm (tubi usati).

49

Cenni teorici

La risoluzione del problema del dimensionamento della condotta può essere risolto tramite l’applicazione dell’equazione del moto: Y = H¨ + H� = J ∙ L +jP̈

Essendo Y la differenza di carico tra le due sezioni estreme della condotta e ΣPc la somma delle perdite concentrate. Nello svolgimento dei calcoli sarà possibile operare sotto l’ipotesi di lunghe condotte (ovvero quando la lunghezza L delle condotte è superiore di 3 ordini di grandezza rispetto al valore del diametro D, cioè quando L/D>103) e quindi si possono trascurare le perdite concentrate e le altezze cinetiche. Tuttavia si dovranno considerare le perdite concentrate dovute a valvole di dissipazione eventualmente inserite. Per la determinazione del diametro si userà la seguente formula:

J = YL = λ ∙ V�2 ∙ g ∙ D = λ ∙ Q�2 ∙ g ∙ D ∙ A = β ∙ Q�D�

Essendo λ la funzione di resistenza di Darcy-Weisbach, definita come:

λ = λ WRe, εDX = Ç−2 ∙ log � 5,8Re6,h + ε3,71 ∙ D�È>�

Quindi il diametro risulterà pari a:

D = 78 ∙ λ ∙ Q�π� ∙ g ∙ J 8g� = 7βQ�J 8

g�

La soluzione verrà ricavata per via iterativa con l’utilizzo congiunto delle due formule. Tuttavia il valore trovato per il diametro sarà solo teorico: nella realtà verrà scelto un diametro diverso, ovvero il diametro commerciale appena più grande. Questa necessità porterà ad aggiungere delle valvole al fine di dissipare l’energia in eccesso. Altri accorgimenti che sarà necessario adottare, saranno:

• Pressioni di esercizio: la pressione nella condotta dovrà essere compresa tra 5 m e 85 m, per garantire la fornitura anche alle utenze più svantaggiate e per evitare ai tubi eccessive sollecitazioni;

• Velocità in condotta: la velocità dell’acqua dovrà essere compresa tra 0,5 m/s e 2 m/s, per evitare, da una parte, che ci siano sollecitazioni eccessive per i giunti, dall’altra, che l’acqua ristagni (con tutte le problematiche igienico-sanitarie che ne deriverebbero);

le due condizioni suddette dovranno essere verificate sia con tubi nuovi, sia con tubi usati (poiché questi ultimi presentano un valore maggiore di scabrezza, e dunque sono maggiori anche le perdite che si avranno lungo la condotta).

50

Svolgimento dei calcoli Si impone il valore di 5 m come carico piezometrico minimo per la condotta (all’altezza del punto P) e si determina il valore ammissibile per la cadente tra A e P:

J·É = YÉ − 5LÉ = 0.002632

Viene ora riportata la tabella con i dati riassuntivi dell’iterazione che porta al valore tecnico di DAP:

Iter D0 (m) Re λ D1 (m)

0 0.155 2459415 0.02332 0.581

1 0.581 656671 0.01767 0.549

2 0.549 694184 0.01781 0.550

3 0.550 693034 0.01781 0.550

Da cui risulta DAP = 0.550 m. Il valore di diametro commerciale sarà DAP,c = 0.600 m. A questo valore si riferiscono altre grandezze utili al dimensionamento:

A 0.283 m2

V 1.061 m3/s

εv / DAP,c 0.0005 -

JAP,c 0.0017 -

Si osserva immediatamente che la velocità è compresa entro i valori stabiliti. La perdita di carico fino al nodo P è:

Ê̂Ë,� = ÌÊË,�ÍË = 0.0017 ∙ 9500 = 15.92ºℎË = Ë̂ − Ê̂Ë,� = 30 − 15.92 = 14.08º

Il carico rimanente disponibile tra P e B è: ^ − Ê̂Ë,� = 50 − 15.92 = 34.08º

cui corrisponde una cadente pari a:

ÌËÎ = ^ − Ê̂Ë,�Í − ÍË = 34.0811000 − 9500 = 0.02272

Di seguito viene riportata la tabella riassuntiva delle iterazioni effettuate per calcolare DPB:

51

Iter D0 (m) Re λ D1 (m)

0 0.155 2459415 0.02332 0.378

1 0.378 1009039 0.01902 0.363

2 0.363 1051020 0.01917 0.363

3 0.363 1049329 0.01917 0.363

Il valore di diametro commerciale da utilizzare sarà di DAP,c = 0,500 m in quanto per DAP,c = 0.400 m il valore della velocità risulta troppo elevato (2.387 m/s). Tutti i calcoli finora svolti hanno utilizzavano il coefficiente di scabrezza per tubi usati. Nella tabella seguente per ognuno dei due tratti di condotta vengono riportati i valori di diversi parametri valutati con entrambi i coefficienti di scabrezza.

nuovo usato

AP PB AP PB

D (m) 0.600 0.500 0.600 0.500

λ 0.0163 0.0168 0.0175 0.0181

ε / D 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006

Re 635349 762419 635349 762419

J 0.0016 0.0040 0.0017 0.0043

J * L (m) 14.83 5.98 15.92 6.46

Infine vengono calcolati i valori dell'energia che deve venire dissipata nei due casi dalla valvola: ��,ÏÐÑ��ÐÒÓ� = ^ − Ê̂Ë,� − Ë̂Î,� = 50 − 14.83 − 5.98 = 29.18º��,ÏÐÑ�ÐÔÕÏ� = ^ − Ê̂Ë,� − Ë̂Î,� = 50 − 15.92 − 6.46 = 27.62º

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Esercizio 2- Dimensionamento di una rete di condotte con schema ad albero

Con riferimento allo schema della figura, si proceda al dimensionamento delle condotte conoscendo le portate da convogliare ed il profilo plano-altimetrico della rete:

L1 = 11000 m Q1 = 0.7 m3/s ZA = 110 m

L2 = 1500 m Q2 = 0.4 m3/s ZB = 90 m

L3 = 4000 m Q3 = 0.3 m3/s ZC = 80 m

La quota di ZA si riferisce al livello dell’acqua nel serbatoio A, mentre le quote ZB e ZC all’asse della condotta in corrispondenza del gomito prima dello sbocco nei rispettivi serbatoi. Si ipotizzi di scegliere l’acciaio bitumato per tutte le condotte, e di adottare le formule di Contessini per la determinazione delle perdite di carico. Si assuma infine, per il calcolo della condizione di minima passività al nodo, il valore β = 1.5.

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Cenni teorici

In una rete con T rami (3 nel nostro caso) e N (1) nodi, note le portate da convogliare nei diversi rami, le incognite del problema sono i T diametri e gli N carichi ai nodi; tuttavia le equazioni idrauliche disponibili sono solamente le T equazioni del moto. Di conseguenza sono necessarie altre equazioni che si possono ricavare da considerazioni economiche sulla rete. Nel nostro caso avremo una sola equazione di minimo costo, avente formula:

∑� Ö��¢Ñ@�Õ = ∑× Ö×�¢Ñ@×Õ

I coefficienti α e m dipendono dalla formula di resistenza adottata; utilizzando la formula di Contessini si ha: – α = 2 per tubi in acciaio bitumato, sia nuovi che usati; – m = 5.26 per tubi nuovi; m = 5.44 per tubi usati; – k = 0.0012 per tubi nuovi; k = 0.0020 per tubi usati.

ØÙÙÚÙÙÛÜÊ − ÜÎ = K @gÕÖg� Íg + K @�ÕÖ�� Í�ÜÊ − ÜÝ = K @gÕÖg� Íg + K @ÕÖ� ÍÖg�¢Ñ@gÕ = Ö��¢Ñ@�Õ + Ö�¢Ñ@Õ

² Per risolvere il sistema è necessario effettuare una linearizzazione e poi procedere per via iterativa. Viene utilizzato il metodo di Newton-Raphson; siano F, G, H tre funzioni dipendenti dai tre diametri (per semplicità verrà posto x = D1, y = D2, z = D3). Þ(ß, :, à) = 0Q(ß, :, à) = 0á(ß, :, à) = 0

Chiamando xo, yo e zo i valori stimati dei diametri incogniti si ottiene: Þ(ß6,:6,à6) ≠ 0Q(ß6,:6,à6) ≠ 0á(ß6,:6,à6) ≠ 0

è dunque necessario apportare delle correzioni ∆x, ∆y, ∆z, anch'esse incognite: Þ(ß6 + ãß, :6 + ã:, à6 + ãà) = 0Q(ß6 + ãß, :6 + ã:, à6 + ãà) = 0á(ß6 + ãß, :6 + ã:, à6 + ãà) = 0

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Tramite sviluppo in serie di Taylor il problema viene così linearizzato:

ØÙÙÚÙÙÛ Þ(ß6,:6,à6) + ∂Þ∂ß Jß + ∂Þ∂: J: + ∂Þ∂à Jà = 0Q(ß6,:6,à6) + ∂Q∂ß Jß + ∂Q∂: J: + ∂Q∂à Jà = 0á(ß6,:6,à6) + ∂á∂ß Jß + ∂á∂: J: + ∂á∂à Jà = 0

² e, adottando le seguenti convenzioni simboliche

O =åæææçèéèê èéèë èéèìèíèê èíèë èíèìèîèê èîèë èîèìïð

ððñ, ß = òJßJ:Jàó, ô = ©−Þ(ß6,:6,à6)−Q(ß6,:6,à6)−á(ß6,:6,à6)¬

si ottiene Oß = ô sistema a 3 equazioni e 3 incognite scritto in forma matriciale. La soluzione sarà data da: ß = O>gô(con A-1 matrice inversa di A) e si ottengono delle soluzioni del tipo: x1 = x0 + ∆x, y1 = y0 + ∆y, z1 = z0 + ∆z. Queste soluzioni sono valide se risulta soddisfatto il seguente criterio (chiaramente da adottarsi anche per y e z): ß� − ß�>gß� = ∆ßß� ≤ 1,0%

Nel caso in cui la condizione non venga rispettata si procederà per via iterativa. Adottando il metodo al nostro problema, si ottiene: Þ(ß, :, à) = 10.78x>�.ii + 0.48y>�.ii − 20 = 0Q(ß, :, à) = 10.78x>�.ii + 0.72z>�.ii − 30 = 0á(ß, :, à) = 2.04xõ.hi − 6.25yõ.hi − 11.11zõ.hi = 0(1)

da cui è immediato ricavare la matrice A:

O = ©−58.64ß>õ.ii −2.61:>õ.ii 0−58.64ß>õ.ii 0 −3.92à>õ.ii14.16ß�.hi −43.38:�.hi −77.10à�.hi¬

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e la matrice b0:

ô = ò−62.77−77.010.099 ó ottenuta inserendo nella (1) i valori x0 = 0.7 m, y0 = 0.6 m, z0 = .0.5 m. Allo stesso modo viene calcolata la matrice A0

O6 = ò−583.2 −70.1 0.0−583.2 0.0 −340.11.7 −2.1 −1.3 ó La prima iterazione del processo si conclude calcolando x con la formula vista in precedenza. Non essendo soddisfatta la condizione posta per la precisione si procede con le iterazioni. Il processo iterativo viene poi ripetuto fino ad ottenere i valori x = 0.914 m, y = 0.743 m, z = 0.593 m. Verranno scelti i valori immediatamente superiori tra i diametri commerciali, si adotterà cioè (tornando alla notazione originaria e dove il pedice c indica il diametro commerciale) D1,c = 1.0 m, D2,c = 0.8 m, D3,c = 0.6 m cui corrispondono le velocità V1 = 0.89 m/s, V2 = 0.80 m/s, V3 = 1.06 m/s (tutte comprese nell'intervallo di velocità ammissibili). I calcoli sono stati effettuati considerando un tubo usato; ripetendo il medesimo procedimento per tubi nuovi si ottengono i dati riassunti di seguito:

D1 = 0.9 m V1 = 1.10 m/s ∆H1 = 6.47 m

D2 = 0.7 m V2 = 1.04 m/s ∆H2 = 0.93 m

D3 = 0.6 m V3 = 1.06 m/s ∆H3 = 6.34 m

dove le ∆Hi (i = 1, 2, 3) sono le perdite di carico relative a ogni tubo. Si osserva inoltre che le velocità sono ancora ammissibili. Al fine di eliminare i carichi dovranno essere inserite due valvole dissipatrici (V1 e V2): ��,g = ÜÊ − ÜÎ − ∆ág − ∆á� = 12.60º��,� = ÜÊ − ÜÝ − ∆ág − ∆á = 17.19º