Giuseppe Giudice

Appunti di

Costruzionedi Macchine

2014

RingraziamentiQuesti appunti sono stati riprodotti per molti anni a cura e spese del Dipartimento di Proget-

tazione e Gestione Industriale (fondi didattici prof. Giudice); poi, scomparsi i fondi medesimi, glistudenti hanno dovuto arrangiarsi.

Per questo si ringrazia il Libero Mercato.

Ringrazio il sig. Paolo Mazza per l’assistenza alla stampa di parecchie edizioni.

Ringrazio il Dipartimento di Progettazione Aeronautiche, e in particolare il carissimo prof.Renato Tognaccini, per la stampa di molte edizioni precedenti.

Ringrazio gli allievi degli anni scorsi per gli utilissimi suggerimenti.

Dove trovarmiUfficio: 081-7682471 (dall’interno del Politecnico solo 82471)Telefonino: (meglio lasciare il numero alla tradizione orale, comunque lo uso solo per chiamare,

quindi di solito risponde la segreteria...; in compenso richiamo io appena posso.)Posta elettronica: giudice@unina.it

Figura 1: L’autore sulla spiaggia di Montecito, California, il 18 III 1990.

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PresentazioneQuesti appunto nascono dalla mia esperenza didattica nei corsi di Costruzione di Macchine per iCorsi di Laurea di Ingegneria Chimica e, piu di recente, di Ingegneria dei Materiali e di Ingegnerianavale.

Sono stati concepiti solo a servizio e non come sostitutivi della lezione; di fatto, l’esposizionein aula degli argomenti e sempre molto piu ampia di quanto qui riportato (per non parlare deimiei intermezzi culturali); cio nasce sia dalla mancanza di tempo per la redazione di dispense piucomplete, sia dalla difficolta di procurarsi materiale iconografico, tabelle e dati tecnici, sia dallanecessita di contenere i costi di stampa, e quindi di non produrre troppe pagine.

Le parti scritte in carattere piccolo sono complementari e vengono di solito tralasciate; losvolgimento del corso suggerira delle integrazioni, e magari di trattare piu sinteticamente alcuneparti.

Il capitolo sull’analisi dinamica, e sulle sue applicazione (analisi sismica di serbatoi alti) eancora allo stato di abbozzo.

Conto di apportare altre modifiche nel prossimo futuro, sia ampliando alcuni argomenti, siatrattandone altri piu sinteticamente, man mano che se ne presentera l’esigenza. In particolare stopreparando del materiale sulla termodinamica della deformazione e sull’applicazione della mec-canica dei continui alle problematiche della Costruzione di Macchine. Anche la parte calcolativa-progettuale merita di essere ampliata, compatibilmente con il ridotto numero di ore di quelle chee pur sempre un corso ‘complementare’.

Forse gia da quest’anno presentero in maniera piu organica l’instabilita dell’equilibrio elastico.

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Indice

1 Prove sui materiali 1-11.1 Prova di trazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1

1.1.1 Diagramma σ-ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-21.2 La tensione ammissibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-31.3 Altre prove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-4

1.3.1 Prova di flessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-51.3.2 Prova di resilienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-51.3.3 Prova di durezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-5

1.4 Macchine di prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-7

2 Deformazione 2-12.1 Teoria della deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-12.2 Misura della deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-2

2.2.1 Estensimetri elettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-22.2.2 Fotoelasticita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-3

3 Richiami di Resistenza dei Materiali 3-13.1 Analisi della tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-13.2 Legame tensione-deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-33.3 Termodinamica della deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-63.4 Criteri di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-73.5 Formule di verifica e di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-83.6 Solido del De Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-83.7 Deformazioni laterali di travi inflesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11

4 Metodo degli elementi finiti 4-14.1 Il problema generale dell’equilibrio elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-14.2 Spostamento e sua approssimazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-14.3 Lineamenti generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-24.4 Proprieta e significato fisico della matrice K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-44.5 Complementi e complicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-44.6 Analisi dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-8

5 Effetto d’intaglio 5-15.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-15.2 Analogia idrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-25.3 Soluzione del Neuber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-35.4 Foro circolare in lastra di larghezza finita, in trazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-45.5 Piastra di larghezza finita con intagli laterali semicircolari, in trazione . . . . . . . 5-55.6 Piastra di larghezza finita con intagli laterali generici, in trazione . . . . . . . . . . 5-65.7 Aste a sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8

6 Instabilita dell’equilibrio elastico 6-16.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1

6.1.1 Definizione di instabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-16.1.2 Un semplice esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-16.1.3 Postulato fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-3

6.2 Metodi per lo studio della stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-36.2.1 Metodo statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-3

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6.2.2 Metodo energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-106.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-13

6.3.1 Travi snelle caricate di punta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-136.3.2 Travi tozze caricate di punta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-146.3.3 Metodo omega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-156.3.4 Altre applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-18

7 Plasticita 7-17.1 Fenomenologia della plasticita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-17.2 Cause della plasticita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-27.3 Teorie matematiche della plasticita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-47.4 Tensioni residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-5

8 Scorrimento viscoso 8-18.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-18.2 Prove di creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-18.3 Meccanismi del creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-48.4 Estrapolazione dei dati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-58.5 Parametro di Larson-Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-68.6 Calcolo di strutture soggette a scorrimento viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-68.7 Altri parametri per l’estrapolazione dei dati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . 8-10

8.7.1 Tempo compensato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-108.7.2 Parametri di Dorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-108.7.3 Parametro di Manson-Haferd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-11

9 Meccanica della frattura 9-19.1 Trattazione energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-29.2 Prove di tenacita alla frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-7

9.2.1 Tipi e proporzioni dei provini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-79.2.2 Appoggi e afferraggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-79.2.3 Dimensioni dei provini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-79.2.4 Formazione a fatica della cricca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-89.2.5 Strumentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-109.2.6 Interpretazione della prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-109.2.7 Calcolo di KIc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-10

9.3 Materiali per basse temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-12

10 La rilevazione delle cricche 10-110.1 Liquidi penetranti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-110.2 Raggi X e gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-210.3 Ultrasuoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-210.4 Metodi elettromagnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-2

11 Fatica dei materiali 11-111.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1

11.1.1 Prove di fatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-111.1.2 Aspetto della rottura per fatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-211.1.3 Studio del comportamento a fatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-211.1.4 Metodo Staircase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-611.1.5 Fattori che influenzano la fatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-811.1.6 Trattamenti di rullatura e di pallinatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-11

11.2 Resistenza a limite di fatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-11

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11.2.1 Determinazione del coefficiente di sicurezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1111.2.2 Osservazioni critiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-14

11.3 Resistenza a fatica (vita finita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1611.3.1 Determinazione dl numero di cicli a rottura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1611.3.2 Esercizio: albero in flessione rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1811.3.3 Fatica cumulativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-18

11.4 Propagazione delle cricche di fatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-19

12 Recipienti a parete sottile 12-112.1 L’elemento di membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-112.2 Geometria dei recipienti di rivoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-212.3 Equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-2

12.3.1 Prima equazione di equilibrio (equilibrio locale) . . . . . . . . . . . . . . . . 12-212.3.2 Seconda equazione di equilibrio (equilibrio globale) . . . . . . . . . . . . . . 12-5

12.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-612.4.1 Recipienti per gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-612.4.2 Sfera di raggio R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-612.4.3 Cilindro di raggio R con fondi di pezzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-612.4.4 Recipente torico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-712.4.5 Serbatoio conico per liquidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-7

13 Recipienti a parete spessa 13-113.1 Equazioni di Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1

13.1.1 Equazione di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-113.1.2 Equazioni di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-113.1.3 Equazioni di Navier (legame tensione-deformazione) . . . . . . . . . . . . . 13-213.1.4 Equazione differenziale della tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-2

13.2 Formule di progetto e di verifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-413.3 Appendice al capitolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-7

14 Recipienti per altissime pressioni 14-114.1 Recipienti cerchiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-114.2 Recipienti nastrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-214.3 Recipienti autocerchiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-3

15 La costruzione dei recipienti 15-115.1 Spessori minimi delle pareti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-115.2 Recipienti sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-115.3 Cilindri soggetti a pressione interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-215.4 Cilindri soggetti a pressione esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-415.5 Cilindri verticali snelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-5

15.5.1 Pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-615.5.2 Carichi statici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-615.5.3 Spinta del vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-715.5.4 Carico sismico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-8

15.6 Cilindri orizzontali snelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-815.7 Fondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-11

15.7.1 Fondi sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1115.7.2 Fondi ellittici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1115.7.3 Fondi torosferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1315.7.4 Costruzioni grafiche per fondi torosferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-13

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15.7.5 Aspetti normativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1515.8 Serbatoi di stoccaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-17

15.8.1 Serbatoi per liquidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1715.8.2 Serbatoi per gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-18

15.9 Strutture di sostegno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1815.9.1 Fondazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1815.9.2 Sostegni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-19

15.10Tecnologie per la costruzione dei recipienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-21

16 Collegamenti filettati, flange e guarnizioni 16-116.1 Chiusura dei coperchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-116.2 Formule per le rigidezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-616.3 Collegamento a flangia per attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-716.4 Momento di serraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-716.5 Verifica della vite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-916.6 Distanze tra i bulloni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1116.7 Tabelle dell’unificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1216.8 Guarnizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-16

16.8.1 Guarnizioni tra superfici fisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1616.8.2 Guarnizioni tra superfici mobili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-16

16.9 Flange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-19

17 Trasmissioni 17-117.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-117.2 Ruote di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-4

18 Ruote dentate 18-118.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-118.2 Classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-318.3 Profili dei denti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-3

18.3.1 Profilo cicloidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-418.3.2 Profilo ad evolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-7

18.4 La forma della dentatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-818.4.1 Ruote a denti diritti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-818.4.2 Ruote a denti elicoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-9

18.5 Angolo di spinta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-1518.6 La costruzione delle ruote dentate ad evolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-1518.7 Verifica delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-16

18.7.1 Simboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-1718.7.2 Condizione di resistenza al pitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-1718.7.3 Condizione di resistenza alla fatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-2018.7.4 Progetto a flessione del dente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-22

19 Cuscinetti a strisciamento 19-119.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19-119.2 Lubrificanti e viscosita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19-319.3 Teoria della lubrificazione perfetta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19-519.4 Progettazione speditiva dei cuscinetti a strisciamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 19-1119.5 Verifica e progettazione dei cuscinetti a strisciamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 19-1119.6 Un esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19-1719.7 Materiali per cuscinetti a strisciamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19-19

vi

A Bibliografia A-1A.1 Manuali ed enciclopedie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1A.2 Opere generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1A.3 Articoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-2A.4 Opere su comportamento meccanico e scelta dei materiali . . . . . . . . . . . . . . A-2A.5 Periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-3A.6 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-3

A.6.1 Norme per progetto ed il calcolo di componenti a strutture . . . . . . . . . A-3A.6.2 Principali norme circa le prove sui materiali metallici . . . . . . . . . . . . . A-4A.6.3 Principali norme circa le prove sui materiali non metallici . . . . . . . . . . A-4A.6.4 Raccolte di norme tecniche europee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-5A.6.5 Manuali UNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6A.6.6 ISO Standards Handbooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6A.6.7 Altre pubblicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6

B Alfabeto greco B-1

vii

1. Prove sui materiali

1.1 Prova di trazione

La piu comune prova sui materiali e quella di trazione. Un provino, di forma e diminsioni unificate(ma talvolta si deroga alle dimensioni, ferma restando la forma) viene ammorsato tra le ganascedella macchina di prova e sottoposta ad un carico crescente.

Per i prodotti in lastre, fogli o lamine il provino viene ritagliato dal grezzo e ha percio sezionerettangolare; per gli altri prodotti (getti, trafilati, fucinati) il provino e a sezione circolare (vedifig. 1.1).

Figura 1.1: Provini per prove di trazione: a) sezione circolare; b) sezione rettangolare

Le parti estreme espanse servono per l’ammorsamento alla macchina di prova; la parte centrale equella su cui vengono effettuate le misure vere e proprie; le due parti devono essere opportunamenteraccordate per evitare effetti d’intaglio.

Le caratteristiche geometriche fondamentali del provino sono l’area S0 della sezione ristrettae la lunghezza L0 del tratto di misura. Tra esse intercorrono precise condizioni geometriche: sihanno cosı provette lunghe, corte, proporzionali lunghe e proporzionali corte.

Durante la prova vengono rilevati istante per istante la forza P agente sul provino e la lunghezzaL del tratto di riferimeno, dai quali si risale alle seguenti grandezze convenzionali:

• tensione σ:σ =

P

S0

• deformazione ε:ε =

L− L0

L0

1-1

Come si vede le grandezze convenzionali cosı definite possono confondersi con quelle analoghedefinite dalla Scienza delle Costruzioni solo se i carichi e gli allungamenti sono sufficientementepiccoli, tali da garantire che il provino deformato non sia geometricamente troppo discosto da quelloindeformato; pero le definizioni convenzionali sopra ricordate fanno fede ai fini dell’accettazionedel materiale anche in caso di grandi deformazioni.

1.1.1 Diagramma σ-ε

Nel seguito si fara riferimento al diagramma σ-ε1 per il piu caratteristico dei materiali, ossia perl’acciaio a basso tenore di carbonio.

Figura 1.2: Tipico diagramma σ-ε per un acciaio a basso tenore di carbonio

Questo diagramma (fig. 1.2) riporta in ascisse la deformazione2 e in ordinate la tensione. Ildiagramma presenta

• un primo tratto rettilineo, durante il quale il provino ha comportamento elastico, vale a direche se scaricato ritorna esattamente alla forma e dimensione iniziali;

• un tratto curvo (la concavita verso il basso) in cui il comportamento e ancora elastico; siparla di elasticita non lineare, ma questo tratto e difficilmente rilevabile e non ha importanzaai fini dell’accettazione del materiale;

• lo snervamento, ossia una rapida riduzione del carico, che, giunto alla tensione di sner-vamento superiore bruscamente cade alla tensione di snervamento inferiore, e successi-vamente rimane quasi stazionario attorno a questo valore, mentre la deformazione crescenotevolmente;

• l’incrudimento ossia una forte risalita del carico, ma con pendenza minore di quella del trattoelastico,

1Gli ingegneri indicano un diagramma con la successione ordinata-ascissa, come in questo caso, mentre i fisicifanno il contrario.

2convenzionale, ma d’ora in poi ometteremo questo aggettivo per tutto questo capitolo, salvo il caso di possibileconfusione

1-2

• la zona delle grandi deformazioni, ossia quella in cui il carico raggiunge un massimo e poidecresce fino alla rottura finale.

In corrispondenza della zona delle grandi deformazioni il provino presenta il fenomeno dellastrizione, ossia si restringe vistosamente in una zona limitata del tratto di misura; e evidente cheda questo momento in poi la sezione effettiva non ha niente a che fare con la sezione nominale ecio spiega come mai il carico diminuisca proprio mentre il materiale raggiunge la massima tensionevera (cioe riferita all’area istantanea).

Dal diagramma σ-ε si ricavano i seguenti valori caratteristici della tensione:

• tensione al limite di proporzionalita σEp

• tensione al limite di elasticita σE

• tensione di snervamento superiore o inferiore (la tensione di snervamento simpliciter3 σs equella inferiore)

• tensione di rottura σR, che e quella in corrispondenza del massimo del diagramma.

• tensione ultima σu, che e quella in corrispondenza dell’effettiva rottura del provino4

La tensione al limite di elasticita viene di solito stabilita in maniera convenzionale come quellache lascia, dopo lo scarico, una deformazione residua di 0.002%.

Nel caso in cui lo snervamento non sia chiaramente visibile si definisce una tensione di sner-vamento convenzionale, come quella che lascia, dopo lo scarico, una deformazione residua dello0.2%.

Nella figura 1.3 sono riportati i diagrammi tensione-deformazione per un certo numero di acciai.

1.2 La tensione ammissibile

Molto spesso, specie nelle norme tecniche, le capacita di resistenza di un materiale sono espres-se dalla tensione ammissibile, ossia una tensione tale da garantire la resistenza degli organi dimacchine (e anche da garantire il progettista contro eventuali conseguenze legali).

Il calcolo della tensione ammissibile non e di pertinenza del progettista, ma degli enti di nor-mazione (in base al principio oggi in Italia obsoleto che il ‘controllore’ deve essere diverso dal‘controllato’), e tiene conto sia delle caratteristiche di resistenza del materiale (tensione di rotturae/o di snervamento) sia della variabilita delle stesse sia delle approssimazioni introdotte dai metodiusuali di calcolo.

Dal punto di vista concettuale essa viene ottenuta dividendo una delle caratteristiche di re-sistenza per un coefficiente di sicurezza (variabile a seconda dei casi da 2 a 5 o anche di piu).Cio che importa in questa sede e sottolineare quale caratteristica di resistenza venga scelta comeriferimento.

Una lunga tradizione sceglieva il carico di snervamento, in base al consolidato principio chemai e poi mai il materiale dovesse uscire dall’ambito elastico. A tale scapo ci si dovette inventareun ‘carico di snervamento’ (cosiddetto convenzionale: vedi sopra) anche per materiali che nonpresentassero lo snervamento come fenomeno constatabile. La tendenza attuale e invece di usareil carico di rottura (che ovviamente e una caratteristica fisica di tutti i materiali), magari al costodi ritoccare un po’ verso l’alto i coefficienti di sicurezza.

3o tout court.4Questa denominazione mi sembra francamente da evitarsi, visto che si puo facilmente confondere con l’an-

glosassone ultimate tension, anch’essa indicata con σu e che corrisponde invece alla nostra tensione di rotturaσR.

1-3

Figura 1.3: Diagrammi σ-ε per acciai.

In mancanza di ogni altra indicazione, dividere il carico di rottura per 3 (che corrisponde circaa dividere il carico di snervamento piu o meno convenzionale per 2.5 o per 2) dovrebbe essere unanorma di larga massima.

In caso di tensione variabile nel tempo il coefficiente dovrebbe essere aumentato e, al limite,raddoppiato; ma tali casi vanno meglio trattati con riferimento alle specifiche prove di fatica (ossiacon carichi variabili).

1.3 Altre prove

Si dara qui un cenno sommario di alcune prove per la caratterizzazione meccanica dei materiali.Le prove di creep, di tenacita alla frattura e di fatica verranno trattate piu tardi, nei rispettivicapitoli.

Prova di compressione

Si distingue la prova tecnologica di schiacciamento, che serve solo per determinare la modalitadi rottura, da quella di compressione che serve a determinare quantitativamente le caratteristichemeccaniche di un materiale.

In quest’ultimo caso le provette devono avere forma cilindrica, con diametro d0 ≥ 20 mm, edaltezza L0 = 3d0. Tuttavia questa prova e usata raramente per materiali metallici e piu spesso permateriali non metallici da costruzione, per i quali la forma dei provini e fissata da apposite norme.

e ben noto il caso dei provini cubici (‘cubetti’) di calcestruzzo.

1-4

1.3.1 Prova di flessione

Il provino e una barretta parallelepipeda o cilindrica appoggiata alle esteremita e caricata inmezzeria perpendicolarmente al suo asse (flessione a tre punti) o in due punti simmetrici rispettoagli appoggi (flessione su quattro punti); in quest’ultimo caso la sezione centrale del provino esoggetto ad un momento flettente uniforme.

1.3.2 Prova di resilienza

Permette di stabilire la resistenza all’urto degli acciai. La piu usata e la prova Charpy. Consiste nelrompere a flessione per urto, con una massa imperniata a pendolo, un provino di forma intagliataappoggiato orizzontalmente su due sostegni.

La parte del pendolo che urta il provino e sagomato a forma di coltello e urta il provino dallaparte non intagliata in modo da indurre tensioni di trazione, quindi piu pericolose, sulla parteintagliata.

Il pendolo viene portato ad una certa altezza e poi lasciato andare; nel suo punto piu bassotrancia il provino e poi prosegue la sua corsa risalendo fino ad una certa altezza. La perdita dienergia potenziale corrisponde all’energia assorbita dal provino. Questa fornisce la resilienza delmateriale, misurata in J. Non e possibile comparare la resilienza misurata su provini di dimensionidiverse. Vedi UNI EN 10045.

Vedi fig. 1.4

Figura 1.4: Provini per prove di resilienza

1.3.3 Prova di durezza

Consiste le comprimere la superficie del pezzo in esame con una punta di materiale piu duro,in modo da determinarne una locale plasticizzazione. La misura consiste nel determinare l’areadell’impronta (nelle prove Brinell e Vickers) o la profondita di penetrazione dell’indentatore (prova

1-5

Rockwell).Per gli elastomeri si usa la prova Shore, per materiali duri e fragili, come il vetro, si usala prova Knoops (talvolta usata anche per metalli), con penetratore di diamante.

Nell’ambito di ciascuna classe di prove esistono parecchie varieta, e se ne usa l’una o l’altraa seconda della durezza presunta del materiale e anche della grandezza e soprattutto dello spes-sore del pezzo da misurare. Infatti in questi casi non si usano provini, ma si effettua la provadirettamente sul pezzo finito, a meno che questo non sia eccessivamente ingombrante.

Per le prove di durezza non si usano le macchine universali, ma macchine dedicate, dettedurometri.

Prova Brinell5 Il penetratore e una sfera di acciaio extraduro di diametro D normalizzato. Dopola prova si misura il diametro d dell’impronta, e se ne calcola la superficie, considerandola unacalotta sferica di diametro D. La durezza Brinell (HBS) si ottiene dividendo il carico applicatoespresso in kgf per l’area trovata espressa in millimetri quadrati. La ragione del permanere diqueste unita superate sta nel fatto di non voler cambiare i valori della durezza ben noti per i varimateriali. La formula unificata, con la forza F espressa in newton e i diametri in millimetri, e:

HBS =2× 0.102F

πD(D −√D2 − d2

Per un incredibile miracolo la stessa formula e usata anche in America, che questa volta ci harisparmiato le libbre e i pollici; quindi i valori di HBS da testi americani non hanno bisogno diconversione.

La durezza Brinell si indica con HBW quando si usa una sfera di metallo duro, invece che diacciaio. e ancora usata peraltro la vecchia indicazione HB.

Il simbolo HBS o HBW e preceduto dal valore della durezza e seguito da un’indicazione nume-rica che riporta il diametro della sfera e il valore della forza applicata. Ovviamente questi valorisono unificati e cio da luogo ad una trentina di varieta di questa prova.

Il valore del carico deve essere scelto in modo che

0.24D ≤ d ≤ 0.6D

Inoltre il rapporto 0.102F/D2 deve essere scelto in funzione del materiale secondo la tabella 1.1.Lo spessore del pezzo in prova deve essere maggiore di 8 volte la profondita dell’impronta.

quando lo spessore del pezzo lo permette e opportuno usare la sfera di diamtreo 10 mm.

Prova Vickers6 Il penetratore e di diamante, a forma di piramide retta a base quadrata,con angolo al vertice di 136 tra facce opposte. La durezza si ottiene misurando la diagonaled dell’impronta e applicando la formula

HV = 0.102× 0.1891F

d2

in cui la forza F e in newton e la diagonale d in millimetri.Nella designazione, il simbolo HV e preceduto dal valore della durezza e seguito dall’indicazione

numerica del carico di prova.Anche qui il carico di prova viene scelto in funzione della durezza e dello spessore del pezzo.

5dal nome del suo inventore, Johann August Brinell (Bringetofta, Svezia merid., 1849-Stoccolma 1925), ingegnere,metallurgo e metallografo

6dal nome dell’industriale inglese Edward Vickers (1814-1894)

1-6

Tabella 1.1: Durezza Brinell: Rapporto 0.102F/D2 in funzione del materiale di prova

Prova Rockwell

La prova consiste nel far penetrare nel pezzo un indentatore conico o sferico misurando la pro-fondita di penetrazione in due tempi: in una prima fase si usa un carico F0, successivamente siaggiunge un carico addizionale F1. Quello che conta e la differenza tra le profondita di penetra-zione sotto il carico totale F0 + F1 e sotto il carico iniziale F0, misurata in micrometri. Questa asua volta viene sottratta da un numero fisso (100 o 130 a seconda dei metodi).

Come penetratore si usa una sfera di acciaio o un cono di diamante.Le scale Rockwell piu usate sono la Rockwell B (simbolo: HRB) e la Rockwell C (simbolo:

HRC). Per i particolari si rimanda alla normativa.

Correlazioni tra le scale di durezza

Tra le varie scale di durezza esiste una correlazione empirica; inoltre la durezza e correlata anchecon il carico di rottura del materiale. Vedi la tab. 1.2 e la fig. 1.5.

1.4 Macchine di prova

Le prove di trazione, di compressione, di flessione e talvolta quelle di fatica vengono effettuateper mezzo delle macchine di prova universali, suddivise in due categorie principali, quelle adazionamento meccanico e quelle ad azionamento idraulico (oleodinamico).

Entrambi i tipi sono composti da due montanti, una traversa superiore e una traversa inferiore(figg. 1.6 e 1.7). Nelle macchine di prova meccaniche la ganascia inferiore e fissa e quella superioreviene fatta salire o scendere grazie ad un dispositivo vite-chiocciola (la rotazione della vite, azionatada un motore elettrico passo-passo, induce una traslazione della chiocciola e quindi della traversa).

Nelle macchine ad azionamento oleodinamico la traversa superiore e fissa, e ad essa e solida-le la ganascia superiore, mentre la ganascia inferiore e solidale all’asta del pistone del cilindrooleodinamico, il cui mantello e collegato alla traversa inferiore.

Entrambe le macchine possono effettuare sia prove a deformazione imposta che prove a caricoimposto.

Sulle macchine ad azionamento oleodinamico (le piu diffuse) le prove a carico imposto vengonoeffettuate controllando semplicemente la pressione nel cilindro, mentre quelle a spostamento o

1-7

Tabella 1.2: Correlazione tra varie scale di durezza e il carico di rottura degli acciai.

deformazione imposta richiedono un controllo a retroazione, che faccia variare la pressione nelcilindro con una legge dipendente dalla forma d’onda che si vuole realizzare e dalla risposta delsistema macchina + provino.

Nelle macchine ad azionamento meccanico le prove a spostamento o deformazione imposta siottengono semplicemente facendo ruotare la vite con una certa legge temporale, mentre quelle acarico imposto richiedono un controllo a retroazione, in quanto la rotazione della vite deve tenerconto anche della risposta del sistema.

Oggi, con un po’ di elettronica di controllo, entrambi i tipi di azionamento riescono altrettantobene in entrambi i tipi di prova.

La misura del carico avviene con le cosiddette celle di carico che sono in effetti l’evoluzioneconcettuale dei vecchi dinamometri a molla. Un elemento deformabile (ma sufficientemente rigido),di solito a forma di anello, viene deformato dalla forza da misurare. La deformazione, a sua volta,viene misurata con dispositivi estensimetrici.

La misura dell’allungamento avviene misurando la rotazione della vite nelle macchine ad azio-

1-8

Figura 1.5: Durezze rappresentative di alcune classi di materiali, in varie scale di durezza. La scalasegnata sull’estrema destra come ‘Brinell’, e in realta una contaminazione delle scale Brinell (pervalori fino a circa 300), Vickers (per valori fino a 1500) e Knoops (per valori superiori)

namento meccanico, o la traslazione dell’asta del pistone in quelle ad azionamento oleodinamico,o anche misurando direttamente la deformazione del provino a mezzo dei cosiddetti estensometri.

Nei primi due casi, quando cioe si misura lo spostamento relativo di due parti della macchina,occorre tenere conto della deformabilita di tutta la catena di trasmissione della forza, che com-prende non solo il provino, ma tutta una serie di elementi deformabili, ossia il telaio della macchinae soprattutto la cella di carico, la cui deformabilita, pur piu piccola di quella del provino, non eaffatto trascurabile.

L’estensometro e un dispositivo dotato di due terminali tenuti solidali al provino dall’attritoe che quindi si spostano l’uno rispetto all’altro man mano che il provino si deforma. Le figg. 1.9e 1.10 mostrano un estensometro per prove ad alta temperatura; in questo caso i terminali sonodue barrette ceramiche.

1-9

Figura 1.6: Telaio di macchina di prova a due montanti (INSTRON Ltd.)

Figura 1.7: Telaio di macchina di prova a quattro montanti (INSTRON Ltd.)

1-10

Figura 1.8: Schema di principio di una macchina di prova ad azionamento oleodinamico e controlloelettronico (INSTRON Ltd.)

1-11

Figura 1.9: Estensometro per prove ad alta temperatura: vista assonometrica (INSTRON Ltd.)

Figura 1.10: Estensometro per prove ad alta temperatura: vista laterale (INSTRON Ltd.)

1-12

2. Deformazione

2.1 Teoria della deformazione

SpostamentoDato un punto P che dopo la deformazione si sposta in P’, si definisce spostamento il vettore

P’-P. Se in ogni punto del corpo si applica il vettore spostamento si definisce una funzione vettorialespostamento s equivalente a tre funzioni scalari del punto u, v, w. Se queste si sviluppano in seriedi Taylor nelle vicinanze di un punto O, assunto come origine, per l’ipotesi di piccolezza deglispostamenti ci si limita al termine lineare e si ottiene

uvw

=

uO

vO

wO

+

∂u

∂x∂u∂y

∂u∂z

∂v

∂x∂v∂y

∂v∂z

∂w

∂x∂w∂y

∂w∂z

xyz

La matrice e la somma di una parte antisimmetrica (che rappresenta una rotazione rigida) ein una parte simmetrica (deformazione pura).

Lo spostamento dovuto alla deformazione pura, le cui componenti sono indicate con apice, e:

u′

v′

w′

=

∂u

∂x12 (∂u

∂y + ∂v∂x ) 1

2 (∂u∂z + ∂w

∂x )12 ( ∂v

∂x + ∂u∂y ) ∂v

∂y12 (∂v

∂z + ∂w∂y )

12 (∂w

∂x + ∂u∂z ) 1

2 (∂w∂y + ∂v

∂z ) ∂w∂z

xyz

La matrice ε delle componenti speciali di deformazione appare come un operatore che trasformai vettori posizione nei corrispondenti vettori spostamento.

Se si definisce εi l’allungamento nella direzione i e γij la variazione dell’angolo tra le direzionii e j, inizialmente ortogonali, si dimostra che e:

εx =∂u

∂x

εy =∂v

∂y

εz =∂w

∂z

γxy =∂u

∂y+

∂v

∂x

γxz =∂u

∂z+

∂w

∂x

γyz =∂v

∂z+

∂w

∂y

Quindi la matrice ε si scrive

ε =

εx12γxy

12γxz

12γyx εy

12γyz

12γzx

12γzy εz

.

2-1

Si noti che, per i 6= j, risulta εij = (1/2)γij .

Direzioni principaliUn punto P nell’intorno di O individua una direzione principale OP se dopo la deformazione

pura si porta in P* tale da essere allineato con O e P.Cio significa che il vettore spostamento e parallelo al vettore posizione e quindi le direzioni

principali sono gli autovettori dell’operatore ε.

2.2 Misura della deformazione

2.2.1 Estensimetri elettrici

I piu usati estensimetri elettrici sono quelli a resistenza nei quali la misura della deformazione ericondotta alla misura di una variazione di resistenza. Sono costituiti da una griglia di materialeresistivo, generalmente una lega di nichel, fissata ad una base di materiale plastico che a sua voltaviene incollata al pezzo con resina epossidica o cianoacrilato. Lo spessore complessivo di griglia,base e collante non supera i 50 µm. La deformazione del pezzo induce una deformazione dellagriglia, che a sua volta fa variare la resistenza elettrica letta tra i due terminali. La variazione diresistenza e dovuta in parte alla variazione di sezione e di lunghezza dei tratti della griglia in partealla variazione di resistivita del materiale di cui essa e fatta.

Infatti la resistenza di un conduttore di sezione A e lunghezza l e

R = ρl

A

in cui ρ e la resistivita del materiale. La derivata logaritmica di questa espresione da:

∆R

R=

∆ρ

ρ+

∆l

l− ∆A

A.

Dalla teoria dell’elasticita∆l

l= ε

∆A

A= 2ν.

Il fenomeno della piezoresistivita e la dipendenza della ∆ρ/ρ dalla deformazione; questa per piccolivalori di ε si assume lineare

∆ρ

ρ= k′ε

con k′ ≈ 0.5 per molti materiali. Quindi

∆R

R= ε(k′ + 1 + 2ν) ≈ 2.1ε

e in generale∆R

R= kε

dove la deformazione ε e misurata parallelamente ai tratti della griglia. Il valore di k e di circa2–2.1 per i tipi piu diffusi di estensimetri. Il valore nominale di R e di 120 Ω e l’isolamento rispettoal substrato deve superare i 1000 MΩ. La misura di ∆R viene fatto con un ponte di Wheatstone;con opportuna disposizione e possibile ottenere la compensazione per le variazioni di temperatura.

L’applicazione (incollaggio) degli estensimetri e preceduta da accuratissima pulizia della super-ficie e deve essere fatta da un operatore esperto; inoltre l’estensimetro non puo essere riutilizzatoperche non e possibile staccarlo senza rovinarlo. La precisione ottenibile e dell’ordine di pocheunita per milione (pochi microepsilon (µε) come si dice in gergo).

2-2

2.2.2 Fotoelasticita

La luce, e in generale la radiazione elettromagnetica, e costituita da onde trasversali: i campielettrico e magnetico sono diretti in senso perpendicolare alla direzione di propagazione. La velocitadi propagazione e per i materiali monorifrangenti, data da c/n, essendo c la velocita della lucenel vuoto e n l’indice di rifrazione. Nei materiali birifrangenti la velocita dell’onda varia asecondadell’orientazione dei campi elettrico e magnetico dell’onda rispetto a certi assi del materiale.

Alcuni materiali presentano il fenomeno della birifrangenza artificiale meccanica: essi, se inve-stiti da un fascio di luce polarizzata, trasmettono con velocita diverse le due componenti parallelealle due direzioni principali di deformazione. In altri termini per essi gli assi di birifrangenza coinci-dono con quelli principali di deformazione (fenomeno della fotoelasticita), e quindi non sono fissatia priori ma dipendono dallo stato di sforzo.

In un materiale fotoelastico soggetto a deformazione, gli indici di rifrazione n1 e n2 nelledirezioni principali sono correlati con le deformazioni principali dalla seguente legge

n1 − n2 = K(ε1 − ε2)

in cui K e una costante adimensionale detta costante fotoelastica (strain-optical coefficient) delmateriale (tab 2.1).

Misure relative a questo fenomeno ottico permettono quindi di risalire allo stato di deformazionenel materiale. Sono possibili due applicazioni: o si costruisce un modello dell’organo sotto sforzo esi risale dalle deformazioni del modello a quelle della struttura1 o si incolla sull’organo in studiouno strato di materiale fotoelastico, che si deformera come gli strati superficiali di quello. Nelseguito parlero esclusivamente della tecnica del modello, che fornisce risultati quantitativamentepiu accurati. Inoltre ci si riferira a modelli piani, ritagliati in una lastra di spessore costante s, inquanto di piu facile realizzazione e studio.

Si disponga una lamina di materiale fotoelastico tra due polarizzatori incrociati, cioe con gliassi ottici a 90, detti polarizzatore e analizzatore; se essa e scarica non modifica la polarizzazionedella luce, che non viene trasmessa; se invece viene caricata fa ruotare in generale l’angolo dipolarizzazione, per cui la luce viene trasmessa.

Sia α l’angolo tra la direzione di polarizzazione della luce e uno degli assi principali di tensione,diciamo l’asse x. La vibrazione della luce puo essere rappresentata dallo ‘spostamento’2

s = a cosωt

nella direzione OA, dove ω e 2π volte la frequenza, dipendente dal colore della luce (qui suppostamonocromatica)3.

Le proiezioni di questa vibrazione sugli assi principali, all’ingresso della luce nel modellofotoelastico, sono

xim = a cosα cos ωt

yim = a sinα cos ωt.

L’effetto della lamina fotoelastica e di introdurre un certo ritardo temporale nella trasmissionedella luce, visto che la velocita di propagazione e piu piccola che nell’aria, ma questo ritardodipende dalla direzione della vibrazione; infatti il raggio che vibra nella direzione x incontrera un

1famosi furono i modelli fotoelastici di cattedrali gotiche, realizzati negli anni sessanta del XX secolo2Cio che ‘vibra’ nel piano di polarizzazione OA e il vettore induzione magnetica B. Cio che ‘vibra’ nel piano di

vibrazione, normale al piano di polarizzazione, e il campo elettrico E.3Si riportano le relazioni tra la pulsazione ω, la frequenza ν, la lunghezza d’onda λ e la velocita c:

ω = 2πν; ν = c/λ.

2-3

Figura 2.1: Fotoelasticita

indice di rifrazione n1 e quindi si propaghera con velocita c/n1, mentre il raggio che vibra nelladirezione y incontrera un indice di rifrazione n2 e quindi si propaghera con velocita c/n2.

Il tempo impiegato dalla luce per attraversare lo spessore s del provino, vibrando nella direzionex, e

t1 =sn1

c.

Se invece vibra nella direzione y impieghera un tempo

t2 =sn2

c.

All’uscita del modello si avraxum = a cos α cosω(t− t1)

yum = a sin α cosω(t− t2).

Si e cioe introdotto un ritardo di fase ∆ = ω(t2 − t1), per cui si puo scrivere, con opportunaposizione, per la luce che arriva all’analizzatore,

xum = a cosα cos ψ

yum = a sinα cos(ψ −∆).

Il piano di polarizzazione dell’analizzatore, che e a 90 con quello del polarizzatore, e rappresentatoin figura dal piano OM ; le componenti lungo esso sono

xum sin α =12a sin 2α cos ψ

−yum cos α = −12a sin 2α cos(ψ −∆).

La vibrazione che attraversa l’analizzatore e quindi

12a sin 2α[cos ψ − cos(ψ −∆)] = −a sin 2α sin

∆2

sin(

ψ − ∆2

)

2-4

la cui ampiezza e

a sin 2α sin∆2

;

essa e diversa da zero a meno che sin 2α = 0 o sin(∆/2) = 0. Si hanno cosı due famiglie di fascescure, rispettivamente le isocline e le isocromatiche.

Le prime sono il luogo dei punti in cui le direzioni principali di deformazione sono contenutenei piani di simmetria del polarizzatore e dell’analizzatore; le seconde sono il luogo dei punti incui e

∆ = 2Nπ

essendo N un intero relativo, detto ordine di frangia. Risalendo alla definizione del ritardo di fase∆ si ha:

∆ = ω(t2 − t1) =2πs

λ(n2 − n1) =

2πsK

λ(ε2 − ε1)

e quindi

ε2 − ε1 =Nλ

sK

in cui λ e la lunghezza d’onda della luce, N e l’ordine di frangia, s e lo spessore del modello e Ke la costante fotoelastica (strain-optical coefficient) del materiale (tab. 2.1).

Tabella 2.1: Costante fotoelastica K per vari materialiMateriale KVetro 0.14Resina epossidica 0.07÷ 0.13Resina espossidica plasticizzata 0.02÷ 0.03Poliestere allilico 0.06Policarbonato 0.15Poliuretano 0.003

Per i materiali isotropi le direzioni principali delle deformazioni e delle tensioni coincidono eper i materiali elastici tra tensioni e deformazioni c’e proporzionalita; percio per materiali isotropielastici le isocromatiche sono anche il luogo dei punti in cui e costante la differenza tra le tensioniprincipali. Di fatto il valore di una frangia F e espresso in termini di tensione, cioe e la quantitadi cui varia la differenza tra tensioni principali quando si passa da una frangia alla successiva.

σ2 − σ1 =NF

s

essendo F = Eλ/K, per cui in F rientrano non solo le caratteristiche del materiale ma anchela lunghezza d’onda della luce. e chiaro che ci interessa che F sia il minimo possibile per poterrilevare le minime differenza di tensione.

Come si vede nella fig. 2.2 ruotando gli assi principali del polariscopio le isocline ruotano,mentre le isostatiche rimangono fisse.

Le isocromatiche possono essere osservare da sole facendo ruotare rapidamente polarizzatoree analizzatore purche si mantengano sempre incrociati: le isocline ruotano anch’esse per cui sirendono invisibili. Lo stesso risultato e conseguito con mezzi puramente ottici impiegando duepolarizzatori circolari, che fanno ruotare rapidamente il piano di polarizzazione della luce.

Le direzioni principali di deformazione (e di tensione) possono essere individuate ruotando indiverse posizioni polarizzatore e analizzatore, sempre con gli assi rigorosamente incrociati, deter-minando cosı i luoghi dei punti in cui le deformazioni principali sono inclinati dello stessio angolo

2-5

Figura 2.2: Frange isocromatiche e isocline in un disco caricato agli estremi osservato al polariscopioin luce monocromatica.

rispetto agli assi di riferimento. E’ possibile quindi, con un numero sufficiente di rilievi, tracciarel’andamento delle isostatiche.

La numerazione dell’ordine delle isocromatiche e facile osservando che, in luce monocromatica,essa segue l’ordine di apparizione delle frange all’aumentare del carico, mentre, in luce bianca,l’ordine zero e nero, mentre gli altri sono colorati in maniera caratteristica.

Una volta nota la differenza delle deformazioni o delle tensioni principali bastera determinarnela somma per poter calcolare, per addizione e sottrazione, separatamente ciascun valore di esse.

Per questa determinazione sono possibili vari metodi sia sperimentali che teorici. Uno dei piuantichi, ma anche dei meno precisi, e quello dovuto a Mesnager, che consiste nel misurare in varipunti del modello la variazione dello spessore conseguente all’applicazione dei carichi; essa e infattilegata, per il fenomeno della contrazione laterale, alla somma delle tensioni principali. Le linee diuguale variazione di spessore sono dette isopachiche e si possono determinare direttamente conmetodi interferometrici.

Altri metodi suggeriscono l’integrazione grafica delle equazioni di Lame-Maxwell o l’impiegodi analogie reoelettriche.

Si noti che lungo il contorno, dove di solito sono i punti piu sollecitati, una delle tensioniprincipali e nulla, per cui la differenza coincide in modulo con il valore dell’unica tensione principalediversa da zero.

2-6

3. Richiami di Resistenza dei Materiali

3.1 Analisi della tensione

Si ammette come postulato che se un corpo e sezionato lungo una qualsiasi superficie, esso rimanein equilibrio applicando alla superficie di taglio delle opportune forze dF distribuite. In ogni puntola tensione t e data da

t = limdA→0

dFdA

dove dA e un elementino di superficie nell’intorno di P e dF e la forza su di esso agente. Le com-ponenti di t rispetto alla terna ortogonale n,m, l dove n e la normale a dA sono dette componentispeciali di tensione e si indicano con

tn = σn

tl = τnl

tm = τnm

In particolare e utile considerare le componenti speciali quando le direzioni di n,m, l coincidono(non necessariamente in quest’ordine) con quelle degli assi x, y, z

Equazioni di Cauchy1

Rispondono alla domanda: Qual e la tensione su un piano di giacitura nx, ny, nz (questi sono icoseni direttori della normale alla giacitura, ovvero le componenti cartesiane del versore normalealla giacitura) se sono note le componenti speciali di tensione?

Si scrivono in forma matriciale:

tnx

tny

tnz

=

σx τxy τyz

τyx σy τyz

τxy τzy σz

nx

ny

nz

ovverotn = σn

e in notazione di Einsteintni = σijnj .

La matrice delle componenti speciali di tensione appare come un operatore σ che trasforma vettorigiaciture in vettori tensione.

Equazioni ai limiti

Basta scrivere le equazioni di Cauchy con riferimento alla pressione esterna. In questo casoαx, αy, αz sono i coseni direttori della normale alla superficie esterna.

Proprieta di simmetria delle tensioni tangenziali

τij = τji

Equazioni indefinite dell’equilibrio

1Augustine-Louis Cauchy (Parigi 1789 - Sceaux, Seine, 1857), matematico.

3-1

∂σx

∂x+

∂τxy

∂y+

∂τxz

∂z+ X = 0

eccetera, che si possono anche scrivere come

div σ + F = 0

Direzioni principali di tensione.

Principale e quella direzione tale che sulla giacitura ad essa normale non siano presenti tensionitangenziali, ma al massimo tensioni normali.

Cio significa che il vettore tensione e parallelo al vettore giacitura, e quindi le direzioni principalisono gli autovettori dell’operatore σ . Le tensioni principali sono i relativi autovalori.

Stati piani di tensione

1) uno stato di tensione e piano quando al variare della giacitura il vettore tensione giacesempre in un piano (piano delle tensioni)

2) uno stato di tensione e piano quando esiste una giacitura sulla quale non vi e tensione nenormale ne tangenziale. Questo piano coincide col piano delle tensioni sopra definito.

Le due definizioni qui date sono equivalenti.I due casi piu importanti di stato piano di tensione sono:

• lastra o membrana di piccolo spessore, in cui il piano delle tensioni coincide punto per puntocol piano tangente.

• solido di de Saint Venant2 in cui il piano scarico e parallelo all’asse del solido e alla direzionepunto per punto della τ sulla sezione normale.

Cerchi di Mohr3

Se sul piano σ, τ si rappresentano, con le convenzioni seguenti, le tensioni agenti su tutte legiaciture di un certo fascio i punti rappresentativi giacciono su archi di circonferenza.

Particolare importanza hanno i cerchi di Mohr per fasci di giaciture aventi per sostegno unadirezione principale di tensione (cerchi principali di Mohr).

Convenzioni: 1) Le σ di trazione sono positive, quelle di compressione negative. 2) Le τ cheinducono una rotazione oraria del cubetto sono positive.

Ricerca delle tensioni principali su un cerchio principale di Mohr: posto che z sia una direzioneprincipale e che siano note σx, σy e τxy,

σ1 =σx + σy

2+

√(σx − σy

2)2 + τ2

xy

σ2 =σx + σy

2−

√(σx − σy

2)2 + τ2

xy

2Adhemar-Jean-Claude Barre de Saint Venant (Villiers-en-Brie 1797 - Saint Ouen, Loir-et-Cher 1886), ingegneree matematico.

3Christian Otto Mohr (Wesselburen, Holstein 1835 - Dresda 1918), ingegnere, costruttore di ponti.

3-2

3.2 Legame tensione-deformazione

Ci si limita al campo elastico per materiali omogenei e isotropi.Nel caso piu semplice di solido prismatico di materiale omogeneo e isotropo soggetto a sforzo

assiale si constata che si ha allungamento lungo l’asse e contrazione nelle dimensioni perpendicolariall’asse. Inoltre l’allungamento e l’accorciamento sono proporzionali alla tensione e le costantidi proporzionalita sono caratteristiche del materiale. Questa relazione di proporzionalita vennescoperta per la prima volta da Hooke4 (1676) nelle sue ricerche sulle molle da orologio.

In formula, se z e la direzione della forza, si ha

εz =1E

σz

εx = εy = − ν

Eσz.

E e detto modulo di elasticita longitudinale o semplicemente modulo di elasticita o anche modulodi Young; ν e detto modulo di Poisson o coefficiente di contrazione laterale.

Equazioni di Navier5

Se agiscono contemporaneamente tensioni lungo i tre assi, per il principio di sovrapposizionedegli effetti si ha:

εx =1E

(σx − ν(σy + σz))

εy =1E

(σy − ν(σx + σz))

εz =1E

(σx − ν(σx + σy))

γxy =1G

τxy

γxz =1G

τxz

γyz =1G

τyz

in cuiG =

E

2(1 + ν)

e detta modulo elastico trasversale o prima costante di Lame6 (in questo caso spesso indicata conµ).

Equazioni inverse di Navier

Le ultime tre si invertono in modo ovvio.Le prime tre, invece, sommate danno

E(εx + εy + εz) = (1− 2ν)(σx + σy + σz). (1)

4Robert Hooke (Freshwater, Isola di Wight 1635 - Londra 1703), fisico, matematico e naturalista.5Louis-Marie-Henry Navier (Digione 1785 - Parigi 1836), ingegnere.6Gabriel Lame (Tours 1795 - Parigi 1870), fisico matematico

3-3

La prima eq. di Navier si riscrive, aggiungendo e sottraendo νσx,

Eεx = (1− ν)σx − ν(σx + σy + σz) = (1 + ν)σx − νE

1− 2ν(εx + εy + εz)

da cui

σx =E

1 + ν

(εx +

ν

1− 2ν(εx + εy + εz)

)

che si scriveσx = 2G

(εx +

ν

1− 2νe)

essendoG =

E

2(1 + ν)

e = εx + εy + εz

La forma piu comune in cui vengono scritte le equazioni inverse di Navier e la seguente:

σx = 2µεx + λe

σy = 2µεy + λe

σz = 2µεz + λe

τxy = µγxy

τxz = µγxz

τyz = µγyz

in cui µ, prima costante di Lame, non e altro che il modulo elastico trasversale G e λ, secondacostante di Lame, e data da

λ =νE

(1 + ν)(1− 2ν).

Equazioni di Navier in notazione di Einstein

e opportuno a questo punto porre le equazioni di Navier in una forma piu sintetica, utilizzandola notazione di Einstein per i tensori, che sara utilizzata anche nelle sezioni successive, dedicate aideviatori degli sforzi e delle deformazioni e alla termodinamica della deformazione.

1) gli indici x,y,z sono sostituiti da 1,2,3 rispettivamente2) viene posto σx = σ11; σy = σ22; σz = σ33

3) viene posto εx = ε11; εy = ε22; εz = ε33; (1/2)γxy = ε12 eccetera.In questo modo il tensore degli sforzi viene indicato con σij e il tensore delle deformazioni con

εij .4) la somma ε11 + ε22 + ε33, gia indicata con e viene indicata con εii sottintendendo il simbolo

di sommatoria. In generale, ogni volta che un indice e ripetuto si sottintende che viene eseguita lasommatoria facendo variare quell’indice da 1 a 3.

5) Si introduce il tensore unitario

δij =

1 0 00 1 00 0 1

3-4

detto delta di Kronecker7 Con queste notazioni le equazioni inverse di Navier si scrivono

σij = 2µεij + λδijεkk

(notare l’uso di un indice muto diverso da i e da j).

Deviatore degli sforzi e delle deformazioni

La relazione tra sforzi e deformazioni per materiali elastici omogenei e isotropi (legge di Hooke oequazioni di Navier) puo essere posta in forma assai espressiva (e assai piu mnemonica) suddividendo itensori degli sforzi e delle deformazione in parte sferica e parte deviatorica. La parte sferica e un tensoreisotropo, mentre la parte deviatorica e un tensore a traccia nulla (il che non significa che sono nulli itermini della diagonale principale ma solo che e nulla la loro somma).

Si definisce ora un deviatore degli sforzi

σ′ij = σij − δijσkk

3

e analogamente un deviatore delle deformazioni

ε′ij = εij − δijεkk

3.

Le parti sferiche sono date rispettivamente da σ′′ij = δijσkk/3 e da ε′′ij = δijεkk/3.Sostituendo le eq. inv. di Navier nella definizione del deviatore degli sforzi

σ′ij = 2µεij + λδijεkk − δijσkk

3

e sostituendo l’espressione del deviatore delle deformazioni

σ′ij = 2µε′ij +2µ

3δijεkk + λδijεkk − δijσkk

3

ovvero

σ′ij = 2µε′ij + δij(2µ

3εkk + λεkk − σkk

3).

Quando i 6= j si ha δij = 0 e quindiσ′ij = 2µε′ij .

Quando invece i = j si ha, sommando le tre equazioni e ricordando che σ′ii = 0 e ε′ii = 0,

σkk = εkk(2µ + 3λ). (1′)

Di solito si pone2µ + 3λ = 3K

dove K e il modulo di elasticita di volume o modulo di compressione uniforme; µ e anche detto modulo discorrimento. Come si vede la (1’) e identica alla (1) di pag. 3-3.

Scritta in questo modo la legge di Hooke, si puo dire che un corpo reagisce alla deformazione in duemodi: se la deformazione implica una variazione di volume, il corpo reagisce aumentando o diminuendola sua pressione (parte sferica del tensore degli sforzi); se invece la deformazione implica una variazionedi forma il corpo reagisce con la corrispondente componente del deviatore degli sforzi. Cosı la variazionedi volume non coinvolge la variazione di forma e le singole componenti del tensore degli sforzi sonodisaccoppiate tra loro.

Tale conclusione e pero vera solo per i corpi isotropi.Si dimostra facilmente che il lavoro compiuto da una tensione idrostatica per effetto del deviatore delle

deformazioni e nullo e che tale e anche il lavoro compiuto da una tensione deviatorica per effetto di unadeformazione sferica. Infatti

σ′ijε′′ij = σ′ijδijεkk/3 = σ′iiεkk/3 = 0

7Leopold Kronecker (Liegnitz 1823 - Berlino 1894), matematico. famoso presso il popolino per il detto “Dio creoi numeri interi, tutto il resto e opera dell’uomo”

3-5

in quanto σ′ii = 0 Cosı anche l’energia elastica si suddivide tra un’aliquota relativa alla variazione divolume e un’aliquota relativa alla variazione di forma .

φv =1

2σiiεii

φf =1

2σ′ikε′ik.

Si noti infine che il coefficiente K = E/(3(1−2ν)) e il reciproco del coefficiente di comprimibilita isoterma

che vale 6.4× 10−12 m2/N per il ferro e 4.6× 10−10 m2/N per l’acqua.

Propagazione delle onde

Si ricorda che nei solidi sono possibili due tipi di onde elastiche:

• onde rotazionali o di distorsione, caratteristiche dei solidi, che si propagano con velocita

vS =

õ

ρ

• onde irrotazionali o di dilatazione, presenti anche nei fluidi, che si propagano con velocita

vP =

√K + (4/3)µ

ρ=

√λ + 2µ

ρ.

3.3 Termodinamica della deformazione

L’aumento dell’energia interna di un sistema e dato dalla differenza tra il calore ricevuto dal sistema e illavoro compiuto dal sistema8. Nel nostro caso il sistema e un cubetto prelevato dal corpo in tensione. Suuna coppia di facce opposte agiscono dall’esterno le forze σijdA, quindi il sistema reagisce sull’ambientecon le forze −σijdA. Queste compiono lavoro per effetto dello spostamento dεijdL dove dL e la dimensionedel cubetto normale alla faccia di area dA. Il lavoro totale e dato dalla somma dei lavori compiuti dalleforze agenti su tutte le coppie di facce, che si puo esprimere con −σijdεijdLdA = −σijdεijdV dove V e ilvolume del cubetto. Il lavoro per unita di volume e quindi

dR = −σijdεij

Nella meccanica dei solidi e usuale riferire le grandezze termodinamiche all’unita di volume invece cheall’unita di massa, per cui la variazione di energia interna si scrive

dU = TdS + σijdεij

in cui le maiuscole indicano appunto grandezze riferite all’unita di volume.Introducendo l’energia libera di Helmholtz F = U − TS si ha

dF = −SdT + σijdεij ,

per cui si puo scrivere

σij =(

∂U

∂εij

)S

=(

∂F

∂εij

)T

L’espressione dell’energia libera in funzione del tensore di deformazione si trova facilmente per piccolivalori della deformazione, perche basta allora uno sviluppo in serie limitata ai termini di grado piu basso.Ci si limita qui al caso dei corpi isotropi.

Dato un corpo ad una certa temperatura, si considera non deformato lo stesso corpo in assenza diforze esterne per la stessa temperatura, per escludere dal conto quelle deformazioni (dilatazioni termiche)che non sono dovute a tensioni. Ora, per εij = 0 si ha per definizione σij = 0, quindi nella espressione di Fnon compaiono termini lineari in εij = 0. Quindi nella espressione di F compaiono solo termini quadratici.

8Piu precisamente il lavoro compiuto dalle forze che il sistema esercita sull’ambiente

3-6

Dato che l’energia libera F e uno scalare, ogni termine dello sviluppo sara uno scalare. Conun tensore simmetrico uij si possono costruire due scalari indipendenti di secondo grado; sipossono assumere come tali u2

ii, il quadrato della somma delle componenti diagonali, e u2ik, la

somma dei quadrati delle componenti.

Landau - Lifsits, Vol VII pag. 20

Nel nostro caso, ricordando l’espressione della legge dell’elasticita in funzione delle parti sferiche edeviatoriche dei tensori, non puo essere che

F = F0 +λ

2ε2ll + µε2ij

in cui compaiono le costanti di Lame. Scrivendo il differenziale totale si ha

dF = dF0 + λεlldεll + 2µεijdεij =

=(λεllδij + 2µεij

)dεij

da cui, poiche dF0 dipende anche dalla temperatura,

(∂F

∂εij

)T

= λεllδij + 2µεij .

In questo modo si sono riottenute le equazioni di Navier.

3.4 Criteri di resistenza

Sono in uso vari criteri di resistenza, ciascuno basato su una ipotesi di rottura:1) Criterio della massima tensione (o di Rankine9-Navier):La rottura e causata dal superamento della massima tensione normale σ a trazione o a com-

pressione2) Criterio della massima deformazione o di Grashof10:La rottura e causata dal superamento della massima deformazione ε a dilatazione o a compres-

sione.3) Criterio della massima tensione tangenziale (o di Guest11 o di de Saint Venant o di Tresca12):La rottura e causata dal superamento della massima tensione tangenziale τ

4) Criterio di Hencky-von Mises:La rottura e causata dal superamento della massima tensione tangenziale ottaedrale (Ros-

Eichinger13) o dello sforzo tangenziale composto (von Mises14) o della massima energia associataa variazione di forma (Huber15-Hencky16). Le tre ipotesi sono equivalenti.

5) Criterio di Coulomb17 e criterio della curva intrinseca:La rottura e causata dal superamento dell’attrito interno tra piani adiacenti.

9William John Macquorn Rankine (Edimburgo 1820 - Glasgow 1872), ingegnere e fisico10Franz Grashof (Dusseldorf 1826 - Karlsruhe 1893), ingegnere.11J. J. Guest, fine XIX - inizio XX sec.12Henri-edouard Tresca (Dunkerque 1814 - Parigi 1885), ingegnere.13di loro so solo che lavorarono al Politecnico di Zurigo nella prime meta del XX secolo.14Richard von Mises (Leopoli 1883 - Boston 1953), matematico e filosofo. Vedi biografia in appendice.15M. T. Huber, ingegnere polacco, prima meta del XX secolo.16H. Hencky, prima meta del XX secolo.17Charles-Augustin de Coulomb (Angouleme 1736 - Parigi 1806), fisico.

3-7

3.5 Formule di verifica e di progetto

Una formula e di verifica se fornisce un valore di tensione in funzione dei carichi e della geometria;e di progetto se fornisce un valore dimensionale, in funzione dei carichi, delle caratteristiche delmateriale e di altri valori dimensionali che si suppongono dati a priori o che comunque costituisconovincoli al progetto.

In quanto segue si usera una definizione piu larga, intendendo come formula di verifica quellache fornisce direttamente il coefficiente di sicurezza (prima colonna) e come formula di progettoquella che pone un vincolo alle tensioni principali in funzione della σamm (seconda colonna).

Nel seguito, σ1, σ2 e σ3 sono le tre tensioni principali in ordine decrescente, σR e la tensione dirottura e s e il grado di sicurezza, σamm e la tensione ammissibile

1) Criterio della massima tensione

s =σR

σ1; σ1 ≤ σamm

2) Criterio della massima deformazione

s =σR

σ1 − ν(σ2 + σ3); σ1 − ν(σ2 + σ3) ≤ σamm

3) Criterio della massima tensione tangenziale

s =σR

σ1 − σ3; σ1 − σ3 ≤ σamm

4) Criterio di Hencky- von Mises

s =σR√

σ21 + σ2

2 + σ23 − σ1σ1 − σ2σ3 − σ1σ3

;√

σ21 + σ2

2 + σ23 − σ1σ1 − σ2σ3 − σ1σ3 ≤ σamm

5) Criterio di Coulomb e criterio della curva intrinseca:Il grado di sicurezza si ottiene per via grafica come il rapporto di omotetia che rende il massimo

cerchio di Mohr tangente alla curva intrinseca.

3.6 Solido del De Saint Venant

Problema di de Saint Venant Determinare lo stato di equilibrio di un solido cilindrico oprismatico sollecitato solo sulle due basi. Tale solido e detto solido di de Saint Venant. De SaintVenant risolse questo problema con l’ausilio del seguente

Postulato di de Saint Venant In un solido di de Saint Venant le tensioni e le deformazioninon variano, se non in una zona adiacente alle due basi, se si sostituisce la sollecitazione agentesu di esse con un’altra avente la stessa risultante e lo stesso momento risultante.

Piu tardi i risultati vennero estesi a solidi caricati anche sulla superficie laterale, o con assenon rettilineo, o con sezione variabile con gradualita.

Riassumo qui alcune formule che si suppongono note dalla Scienza delle Costruzioni.Sforzo normale

σ =N

A

Flessione retta

σ =Mx

Ixy σmax =

Mx

Wfx

3-8

Ix e il momento quadratico di area, popolarmente detto momento d’inerzia, della sezionerispetto all’asse baricentrico x ed e definito

Ix =∫

A

y2 dA

Il modulo di resistenza a flessione Wfx e definito Wfx = Ix/ymax.Raggio di curvatura di una trave inflessa:

R =y

ε=

EIx

M

Linea elastica:y′′ =

M

EIx

Proprieta delle sezioni piu comuni:Cerchio (rispetto ad un diametro):

Ix = Iy =πD4

64Wfx = Wfy =

πD3

32

Corona circolare (rispetto ad un diametro):

Ix = Iy =π(D4

e −D4i )

64Wfx = Wfy =

π(D4e −D4

i )32De

Corona circolare sottile di spessore s (rispetto ad un diametro):

Ix = Iy =πD3

8s Wfx = Wfy =

πD2

4s

Rettangolo (rispetto ad un asse baricentrico x parallelo al lato b e perpendicolare al lato h):

Ix =b h3

12Wfx =

b h2

6

Flessione deviata e flessione composta

Per i materiali con comportamento simmetrico a trazione e a compressione (ossia per tutti imetalli eccetto la ghisa) si applica il principio di sovrapposizione degli effetti

σ =N

A+

Mx

Ixy +

My

Iyx

Taglio

τ =T S

b I

dove S e il momento statico di una delle parti della sezionecasi particolari:sezione rettangolare

τmax =32

T

b h

sezione circolare

3-9

Tabella 3.1: Coefficienti per il calcolo della torsione in travi rettangolari

b/c 1.00 1.50 1.75 2.00 2.50 3 4 6 8 10 ∞α 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333β 0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333

τmax =43

T

A

Torsione1) sezione circolare o a corona circolare

τmax =Mt

Ip

De

2

θ =Mt l

G Ip

Ip e il momento polare di area, popolarmente detto momento d’inerzia polare che vale

Ip =π (D4

e −D4i )

32

2) sezione rettangolareLa massima tensione tangenziale si ha nel punto medio dei lati piu lunghi della sezione e vale

τmax =Mt

α b c2

dove b e il lato piu lungo e c e il lato piu corto della sezione e α e data dalla tabella I.L’angolo totale di torsione in radianti e

θ =MtL

β b c3 G

dove L e la lunghezza del tratto soggetto al momento Mt e β e data dalla tabella 3.1.

Casi compostiSi applica il principio di sovrapposizione degli effetti.Le σ da sf. normale e da mom. flett. si sommano algebricamente, mentre le τ da taglio e torsione

si sommano vettorialmente, visto che in generale hanno direzioni diverse. Dette σ e τ le quantitacosı ottenute e visto che il solido di de Saint Venant e in stato piano di tensione, si ha:

σ1 =σ

2+

√(σ

2)2 + τ2

σ2 =σ

2−

√(σ

2)2 + τ2

3-10

3.7 Deformazioni laterali di travi inflesse

Si ottengono tramite doppia integrazione del diagramma del momento flettente; infatti l’equazioneche connette il momento flettente alla curvatura e:

y′′ =M

EI.

L’integrazione puo avvenire per via analitica o numerica o per via grafica (col metodo del poligonofunicolare); quest’ultima e ovviamente meno precisa, ma da un’idea rapida dell’andamento delladeformata e percio puo essere adottata o come primo tentativo, per una conoscenza preliminaredella linea elastica o per la successiva applicazione del metodo di Mohr.

Quest’ultimo, detto anche metodo dell’area dei momenti, parte dalla constatazione che l’angolotra le tangenti alla linea elastica nei punti A e B e dato dall’integrale

dφ =∫ B

A

M

EIdx.

Si dimostra che la distanza δ (misurata normalmente alla trave) tra la deformata in un punto P ela tangente alla deformata in un altro punto T e data dal momento statico dell’area del diagrammadei momenti tra il punto di tangenza T e il punto in studio P

δ =∫ P

T

M

EIxdx.

Figura 3.1: Deformazione laterale di travi inflesse

3-11

4. Metodo degli elementi finiti

4.1 Il problema generale dell’equilibrio elastico

Il problema dell’equilibrio elastico si propone di trovare le soluzioni di un complesso sistema diequazioni differenziali e algebriche:

• 3 equazioni indefinite dell’equilibrio

• 6 equazioni di congruenza (di cui solo tre differenzialmente indipendenti)

• 6 equazioni di Navier (esprimenti la legge di Hooke)

assieme con le relative condizioni ai limiti (equazioni di Cauchy) e di vincolo. Si tratta di 12equazioni nelle dodici incognite costituite dalle componenti speciali di tensione e di deformazione.

La difficolta del problema sta soprattutto nella forma del dominio elastico, cioe del corpo incui si cerca di risolvere il problema; e infatti soluzioni analitiche sono note solo per domini moltosemplici (semispazio, disco, eccetera).

Qualche semplificazione del problema e possibile, ma la tendenza attuale e di risolverlo at-traverso l’applicazione del principio dei lavori virtuali, calcolando pero lo spostamento in modoapprossimato. Tale approccio da luogo al metodo degli elemeti finiti.

4.2 Spostamento e sua approssimazione

Lo spostamento di un punto P del corpo elastico e dato dalla funzione vettoriale ~s di componentiu, v, w, che viene rappresentato con un vettore algebrico (vettore colonna)

s =

u(x, y, z)v(x, y, z)w(x, y, z)

essendo u, v, w funzioni delle coordinate x, y, z del punto P.Tutto il metodo degli elementi finiti riposa su opportuni postulati utilizzati per approssimare

la funzione s.Il primo postulato e che lo spostamento sia funzione di x, y, z ma anche dagli spostamenti di

un certo numero di punti scelti detti nodi. Quindi

u = u(x, y, z, u1, v1, w1, u2, v2, w2, · · · , un, vn, wn)

e lo stesso vale per v e w.Si postula inoltre che la dipendenza dai parametri u1, v1, w1, u2, v2, w2, · · · , un, vn, wn sia linea-

re, e che quindi si possa mettere nella forma

s = Nq

in cui q e il vettore colonna le cui componenti sono u1, v1, w1, u2, v2, w2, · · · , un, vn, wn.Come ultimo postulato si ammette che la dipendenza lineare di u, v, w dalle componenti di

q sia effettiva (cioe abbia coefficiente diverso da zero) solo per i nodi “sufficientemente” vicini alpunto P; tali sono i nodi che appartengono allo stesso sottodominio (elemento) cui appartiene ilpunto P.

4-1

4.3 Lineamenti generali

Il metodo degli elementi finiti puo essere quindi cosı schematizzato:

1. Si suddivide la struttura in elementi di forma opportuna, collegati tra loro in punti dettinodi; gli elementi possono avere la stessa dimensionalita della struttura o anche una dimen-sionalita inferiore, per esempio si possono usare elementi monodimensionali per costruire unastruttura tridimensionale; pero questo caso sara visto piu oltre, per cui per il momento siconsidereranno solo strutture tridimensionali composti da elementi anch’essi tridimensionali.

2. Si adotta un opportuno modello di spostamento, cioe si ipotizza che lo spostamento s(P )in ogni punto P di un elemento sia funzione lineare dei soli spostamenti dei nodi apparte-nenti all’elemento e che quindi non dipenda ne dagli spostamenti di nodi non appartenentiall’elemento ne dagli spostamenti di altri punti. Lo spostamento s(P ) comunque dipendeanche dalle coordinate dei nodi dell’elemento, e questa dipendenza puo essere non lineare. Lospostamento, come si e detto, e una funzione vettoriale s(x, y, z) (equivalente a tre funzioniscalari u, v, w). Nel caso tridimensionale si pone

s(x, y, z) =

u(x, y, z)v(x, y, z)w(x, y, z)

= N(x, y, z)q

in cui la matrice N e una matrice di funzioni di forma1 e q e il vettore degli spostamentinodali, ossia

q =

u1

v1

w1...

un

vn

wn

Il numero n e il numero di nodi dell’intera struttura; il vettore q ha una dimensione moltogrande (n puo facilmente superare 2000 per cui la dimensione di q supera 6000) e quasi tuttigli elementi della matrice N2 (cioe quelli che sono in colonne relative a nodi ’estranei’) sononulli. Impostando cosı il problema non si ha alcuna difficolta ne concettuale ne di spazio dimemoria, perche ovviamente vengono immagazzinati in memoria solo gli elementi diversi dazero, con i loro indici. Spesso, tuttavia, il vettore q e le matrici N e B vengono riferite ai soligradi di liberta dell’elemento: si tratta di una proiezione su un sottospazio, analogo al casoin cui una figura piana viene studiata in due dimensioni invece che in tre. Cio semplifica lascrittura su carta delle equazioni ed in parte anche la programmazione ma presenta per ilprincipiante qualche complicazione, per esempio quando si scrive l’equazione (3).

Per il calcolo delle funzioni di forma si veda appresso.

3. Si scrivono per ciascun elemento le espressioni delle deformazioni e delle tensioni in funzione1Nelle funzioni di forma entrano le coordinate del punto e quelle dei nodi; questa dipendenza puo essere non

lineare. Di solito la lorma di tali funzioni e polinomiale, con le coordinate del punto a fungere da indeterminate ele coordinate dei nodi a formare i coefficienti.

2e della matrice B che sara introdotta piu sotto

4-2

degli spostamenti. Posto

ε =

εx

εy

εz

γyz

γxz

γxy

si ha:

ε =

∂∂x 0 00 ∂

∂y 00 0 ∂

∂z

0 ∂∂z

∂∂y

∂∂z 0 ∂

∂x∂∂y

∂∂x 0

uvw

= ∆s

in cui e implicitamente definita la matrice ∆ per cui

ε = ∆Nq = Bq (1)

Le componenti di B = ∆N sono le derivate parziali delle funzioni di forma. Per la legge diHooke

σ = Dε

in cui D contiene le costanti elastiche del materiale3, quindi

σ = DBq. (2)

Le espressioni (1) e (2), anche se formalmente sono scritte per tutto il dominio della strutturain studio (anzi addirittura per tutto lo spazio) sono valide solo nell’ambito dell’elementoconsiderato perche solo lı le funzioni di forma danno un’approssimazione sufficiente.

4. Si scrive l’espressione dell’energia W di deformazione elastica, che e uguale al lavoro delleforze esterne nodali f

W =12

∑e

∫

Ve

εT σdV =12qT f

(dove la sommatoria e estesa a tutti gli elementi e l’integrale e fatto all’interno di ciascunelemento, per l’avvertenza data alla fine del numero precedente) da cui

∑e

∫

Ve

qT BT DBqdV = qT f

5. Al primo membro i vettori qT e q si possono portare fuori sia del segno di integrale che delsegno di sommatoria, per cui

qT

(∑e

∫

Ve

BT DBdV

)q = qT f

3La matrice D, nel caso di un problema elastico tridimensionale riguardante un materiale omogeneo e isotropovale:

D =E

(1 + ν)(1− 2ν)

1− ν ν ν 0 0 0ν 1− ν ν 0 0 0ν ν 1− ν 0 0 00 0 0 1−2ν

20 0

0 0 0 0 1−2ν2

0

0 0 0 0 0 1−2ν2

Essa esprime in forma matriciale le equazioni inverse di Navier.

4-3

che, con la posizione,

K =∑

e

∫

Ve

BT DBdV, (3)

e con ovvia semplificazione restituisce l’equazione fondamentale del metodo degli elementifiniti

Kq = f (4)

in cui il vettore q degli spostamenti nodali e incognito e il vettore f delle forze nodali e noto.La matrice K che compare nella (2) e detta matrice di rigidezza ed ha una notevolissimainterpretazione: se tutti i gradi di liberta vengono bloccati tranne quello i-esimo e a quest’u-nico si impone uno spostamento unitario, la reazione del vincolo j-esimo e proprio Kij (aparte il segno).

6. Si impongono gli opportuni vincoli cancellando quelle righe e quelle colonne della matriceK e quegli elementi dei vettori f e q che corrispondono a gradi di liberta soppressi.

7. Si risolve la (2) con i consueti metodi dell’algebra lineare.

4.4 Proprieta e significato fisico della matrice K.

La matrice K e simmetrica, data la simmetria della matrice D. Infatti la sua trasposta si scrive

KT =∑

e

∫

Ve

BT DT BdV,

e tale espressione, per la (3) e per la simmetria di D e evidentemente uguale a K.Per quanto riguarda il suo significato fisico, si ricordi che

12qT Kq

e il lavoro delle forze interne, quindi si puo interpretare Kq come la forza interna che postmolti-plicata per qT restituisce il lavoro, salvo il fattore 1/2 dovuto al teorema di Clapeyron.

Ora, un elemento del vettore Kq e dato da

Ki1q1 + Ki2q2 + · · ·+ Ki, 3nq3n

Tale elemento produce lavoro per effetto dello spostamento qi, quindi si interpreta come la forzainterna “corrispondente” al grado di liberta i-esimo; ed in definitiva Kij e la forza interna cheagisce sul grado di liberta i-esimo per effetto dello spostamento unitario qj = 1 essendo statifissati a zero tutti gli altri spostementi degli altri gradi di liberta.

O ancora, Kij e il lavoro mutuo che si ha per uno spostemento unitario del grado di libertai-esimo e del grado di liberta j-esimo.

4.5 Complementi e complicazioni

1. L’espressione

K(e) =∫

Ve

BT DBdV, (5)

dove l’integrale e esteso al solo volume dell’elemento e, e detta matrice di rigidezza dell’elementoe. In questo modo la (3) si scrive

K =∑

e

K(e) (3′)

4-4

e questa espressione e quella comunemente usata, sempre per ragioni di occupazione di memoria.La matrice K(e) viene di solito scritta eliminando tutte le righe e le colonne che si riferisco-

no a gradi di liberta estranei all’elemento considerato. Le matrici cosı scritte non possono esseredirettamente sommate tra loro (ovviamente al momento di fare la somma le righe e le colonneprovvisoriamente cancellate devono essere in qualche modo ripristinate: esistono dei semplici algo-ritmi che si incaricano della bisogna) ma sono di dimensioni maneggevoli e oltretutto dipendentinon dalla intera struttura ma solo dal tipo di elemento al quale si riferiscono: se ne vedranno degliesempi piu sotto.

2. L’ordine in cui sono elencati i gradi di liberta nel vettore q determina la scrittura di tuttele matrici e puo in generale essere qualsiasi, purche fissato una volta per tutte in ogni singoloproblema. Per ragioni di spazio di memoria si preferisce procedere cosı:

a) si numerano i nodi in modo che la massima differenza (in valore assoluto) tra i nodi di unostesso elemento sia quanto piu piccola possibile.

b) si ordinano i gradi di liberta prendendo nell’ordine lo spostamento u del primo nodo, lospostamento v del primo nodo, lo spostamento w del primo nodo, lo spostamento u del secondonodo e cosı via fino allo spostamento w dell’ultimo nodo.

In questo modo si ottiene una matrice di rigidezza a banda, ossia tale da avere diversi da zerosolo gli elementi della diagonale principale e di poche diagonali ad essa adiacenti.

3. Calcolo completo di una matrice di rigidezza: l’elemento tetraedrico a quattro nodi. Per ilcaso di un tetraedro con quattro nodi (il piu semplice elemento tridimensionale) la matrice N,riferita agli spostamenti dei soli nodi dell’elemento, si scrive:

N =

Ni 0 0 Nj 0 0 Nk 0 0 Nl 0 00 Ni 0 0 Nj 0 0 Nk 0 0 Nl 00 0 Ni 0 0 Nj 0 0 Nk 0 0 Nl

dove le Ni, Nj ecc. sono funzioni interpolanti lineari; in particolare la Ni vale 0 sulla faccia jkl evale 1 nel nodo i ed e proporzionale alla distanza del punto considerato dalla faccia jkl. Le funzionidi forma (vedi Rao pag. 123) sono le seguenti:

Ni =1

6V (e)(ai + bix + ciy + diz)

Nj =1

6V (e)(aj + bjx + cjy + djz)

e le analoghe per Nk ed Nl; nelle precedenti espressioni vale:

ai =

∣∣∣∣∣∣

xj yj zj

xk yk zk

xl yl zl

∣∣∣∣∣∣

bi =

∣∣∣∣∣∣

1 yj zj

1 yk zk

1 yl zl

∣∣∣∣∣∣

ci =

∣∣∣∣∣∣

xj 1 zj

xk 1 zk

xl 1 zl

∣∣∣∣∣∣

di =

∣∣∣∣∣∣

xj yj 1xk yk 1xl yl 1

∣∣∣∣∣∣

4-5

e le altre costanti si ottengono dalle precedenti permutando circolarmente i pedici i, j, k, l. I valorixi, yi, zi sono poi le coordinate del primo vertice del tetraedro e cosı via. Essendo B = ∆N si ha

B11 =∂

∂xNi =

bi

6Ve

eccetera, per cui

B =1

6Ve

bi 0 0 bj 0 0 bk 0 0 bl 0 00 ci 0 0 cj 0 0 ck 0 0 cl 00 0 di 0 0 dj 0 0 dk 0 0 dl

ci bi 0 cj bj 0 ck bk 0 cl bl 00 di ci 0 dj cj 0 dk ck 0 dl cl

di 0 bi dj 0 bj dk 0 bk dl 0 bl

Poiche B e D sono indipendenti dalla posizione x, y, z, si ha

K(e) = VeBT DB

in cui Ve e il volume dell’elemento.6. Per elementi tridimensionali non lineari e per elementi bi- e momodimensionali facenti parte

di una struttura tridimensionale conviene scrivere le matrici N e B in coordinate locali, in mododa semplificare i calcoli, riconducendosi poi a coordinate globali.

7. L’elemento isoparametrico triangolare a sei nodi di secondo grado in stato piano di tensioneo di deformazione. Gli elementi isoparametrici sono caratterizzati da maggiore flessibilita perchepossono avere lati curvi. Le funzioni di forma vengono scritte in funzione di coordinate interne, chein questo caso sono L1, L2, L3 (vedi figura) con L1 + L2 + L3 = 1. I nodi posti sui lati permettonodi ottenere contorni curvi. Risulta (

u(x, y)v(x, y)

)= Nq

con

q =

u1

v1

u2

v2

.

.u6

v6

ed

N =(

N1 0 N2 0 ..... N6 00 N1 0 N2 ..... 0 n6

)

essendoNi = Li(2Li − 1) i = 1, 2, 3

N4 = 4L1L2

N5 = 4L2L3

N6 = 4L3L1.

Eliminando L3 si ha:N3 = 1− 3(L1 + L2) + 2(L1 + L2)2

e gli altri Ni rimangono invariati

4-6

Per permettere l’esistenza di lati curvi si pone (condizione di isoparametricita)(

xy

)= Nx

essendo

x =

x1

y1

x2

y2

.

.x6

y6

ed N e definito come sopra. Sappiamo che e

ε =

εxx

εyy

εxy

= Bq

conB = ∆N

in cui in questo caso

∆ =

∂∂x 00 ∂

∂y∂∂y

∂∂x

Risulta quindi

B =

∂N1∂x

∂N2∂x .... ∂N6

∂x 0 0 .... 00 0 .... 0 ∂N1

∂y∂N2∂y .... ∂N6

∂y∂N1∂y

∂N2∂y .... ∂N6

∂y∂N1∂x

∂N2∂x .... ∂N6

∂x

in cui le funzioni di forma Ni sono espresse in funzione delle coordinate naturali L1 ed L2.Per valutare K e il vettore delle forze esterne sono necessarie due trasformazioni. Innanzitutto

la matrice K deve essere espressa in termini di derivate delle funzioni di forma rispetto alle variabilinaturali e non rispetto alle x ed y. Successivamente gli integrali di superficie e di volume devonoessere espressi in termini delle coordinate naturali con un opportuno cambio degli estremi diintegrazione.

Per la prima trasformazione si fa uso della matrice jacobiana

J =( ∂x

∂L1

∂y∂L1

∂x∂L2

∂y∂L2

)

che vale (vedi Rao p. 235)

J =( ∑6

i=1∂Ni

∂L1xi

∑6i=1

∂Ni

∂L1yi∑6

i=1∂Ni

∂L1xi

∑6i=1

∂Ni

∂L2yi

)

cosicche ( ∂Ni

∂x∂Ni

∂y

)= J−1

( ∂Ni

∂L1∂Ni

∂L1

).

Per la seconda trasformazione vedi Rao pag. 236.

4-7

4.6 Analisi dinamica

Per scrivere l’equazione fondamentale del metodo degli elementi finiti nel caso dinamico (ossia con forzeesterne variabili nel tempo), applicheremo il principio di d’Alembert, che impone di sommare alle forzeagenti le forze d’inerzia. Calcoliamo preliminarmente la forza d’inerzia di un elementino di densita ρ evolume dV . Se s(t) e lo spostamento di tale elementino, la forza d’inerzia e

dI = −ρsdV

Se per lo spostamento si adotta la stessa espressione usata nel caso statico

s(t) = N(x, y, z)q(t)

risultadI = −ρNqdV.

Integrando su tutta la struttura (quindi su tutto il volume V ), si ha

I = −∫

V

ρNdV q = −Mq

con opportuno significato della matrice M. tale termine va aggiunto al secondo membro dell’equazionegenerale (4) degli Elementi Finiti, che quindi risulta:

Mq + Kq = f(t) (6)

Alla stessa equazione si arriva sfruttando le equazioni di Lagrange, con opportune ipotesi sulla naturadelle forze agenti. Nella (6) viene talvolta fatto comparire un termine riguardante lo smorzamento, maesso non e eccessivamente importante per le applicazioni e verra quindi trascurato. Va detto infine che lamatrice M cosı ottenuta prende il nome di matrice compatibile delle masse, e risulta una matrice a banda,con larghezza di banda molto piccola, mentre in altri casi si utilizza una matrice concentrata delle masse,che risulta addirittura diagonale.

Una volta trovata l’equazione generale (6) per la dinamica dei sistemi schematizzati col metodo deglielementi finiti, occorre passare alla risoluzione. La grande varieta del vettore delle forze esterne, in cuievidentemente tutti gli elementi sono funzioni del tempo, impone pero dei trattamenti standardizzati emolto schematici. Tra essi prevale per importanza quello dell’analisi modale.

Questo consiste innanzitutto nel trascurare lo smorzamento, e quindi nel cercare la soluzione dell’e-quazione omogenea associata alla (6)

Mq + Kq = 0 (6′)

in modo che siaq = x sin ωt

Derivando e sostituendo nella (6’) si ha

[−Mω2 + K] sin ωt = 0

e quindi−Mω2 + K = 0

che va sotto il nome di problema generalizzato degli autovettori, che si risolve con tecniche standard.4 Questoproblema fornisce tanti autovalori ω2 e tanti autovettori x quanti sono i gradi di liberta del sistema, ma,e questo e il bello, se ne prendono in considerazioni solo pochissimi, cioe i primi tre, o, per dire, i primi

4Nota psicologica: Spesso ho trovato difficolta a seguire dei passaggi matematici se non avevo un’idea precisadell’algoritmo che fornisse una soluzione effettiva (numerica) del problema proposto. Ancora meglio se l’algoritmo eeffettivamente disponibile su una macchina da calcolo fisicamente esistente e non troppo dispendiosa. Per esempio,calcolare un seno o un coseno era discretamente difficile trent’anni fa, ed e diventato incredibilmente facile conle ‘macchinette’ tascabili. Allo stesso modo, non tratterei in questo corso il metodo degli elementi finiti se nonavessi a disposizione piu codici (alcuni dei quali ‘aperti’) per l’effettiva risoluzione del problema. Programmi per lamanipolazione di matrici e quindi anche per il problema degli autovettori si trovano in tutti i pacchetti standard,tra cui il NAG, Numerical Recipes, Matlab e credo anche Mathematica.

4-8

venti, e gli altri non si calcolano neppure5. Gli autovalori piu alti infatti hanno una importanza via viapiu piccola in quanto eccitano solo una parte via via piu piccola della struttura, stante il moltiplicarsi dipunti nodali, in numero pari all’ordine dell’autovettore, in cui la materia e ferma.

Riassumendo: gli autovettori sono le ampiezze delle soluzioni non banali della (6’) e si possono otteneresolo se la soluzione e sinusoidale nel tempo e con pulsazione apposita (il corrispondente autovalore). Perottenere correttamente la soluzione del problema degli autovalori occorre eliminare i gradi di liberta dicorpo rigido, che introdurrebbero degli autovalori spuri ω2 = 0. Inoltre, gli autovalori sono determinati ameno di una costante arbitraria, cosa che permette di normalizzarli in modo opportuno.

Gli autovettori possono essere utilizzati per disaccoppiare le equazioni del moto attraverso un oppor-tuno cambiamento di variabili (le q sono coordinate lagrangiane e quindi possono essere cambiate ognivolta che fa comodo, purche la corrispondenza tra vecchie e nuove coordinate sia biunivoca).

In questo caso si poneq = Xp (7)

in cui la matrice X e formata giustapponendo tutti e soli gli autovettori (che sono ovviamente dei vettoricolonna) che sono stati presi in considerazione. Si tratta evidentemente di una matrice ‘alta’ e ‘stretta’,visto che ha tante righe quanto il numero di gradi di liberta del sistema originario, e solo pochissimecolonne (tre e il minimo di legge per l’analisi sismica). Le coordinate p si chiamano coordinate principali.

Sostituendo la (7) nella (6) e manipolando (parecchio) il risultato ottenuto si ha:

p + Lp = Uf (8)

in cui L e la matrice diagonale degli autovettori ω2i ; il fatto che questa matrice sia diagonale assicura che

il sistema (8), che ha ormai ‘poche’ (tre e il minimo) equazioni in altrettante incognite, e disaccoppiato(ossia, in ogni equazione compare una sola incognita).

Per quanto riguarda il secondo membro della (8), tutto naturalmente dipende dalla forma delle funzionefi(t). Se si deve effettuare un’analisi sismica, esse hanno tre caratteristiche: sono di durata limitata, sonomolto ricche di armoniche e sono inoltre proporzionali alla massa, in quanto forze d’inerzia.

Si suole quindi scrivere il secondo membro come

−gug(t)

in cui, a conti fatti

gi =

∑n

k=1mkp

(i)k

∑n

k=1mk

(p(i)k

)2

essendo p(i)k gli elementi dell’autovettore i-esimo e mk delle opportune masse associate a ciascun grado di

liberta e che possono essere identificate con gli elementi della diagonale principale della metrice concentratadelle masse o ricavate facilmente dagli elementi non nulli della matrice compatibile delle masse.

Rimangono da trovare gli effetti dell’eccitazione dei vari modi di vibrare sulle coordinate qi.A tale scopo si immagina di eseguire l’integrazione di ciascuna delle equazioni disaccoppiate, trovando unvalore massimo per ciascuna delle pi e delle sue derivate:

(pi)max = gi (Sa)i

(pi)max = gi (Sv)i

(pi)max = gi (Sd)i

essendo (Sd)i, (Sv)i e (Sa)i delle opportune funzioni della eccitazione. In pratica la normativa fornisce(Sa)i in funzione della pulsazione ωi del modo i-esimo, mentre le altre due si ottengono dividendo la primarispettivamente per ωi e ω2

i .Per quanto riguarda il comportamento del vettore q per effetto del modo di vibrare i-esimo, di esso

importa soprattutto il massimo valore che assume ognuna delle sue componenti e le rispettive derivate. Siha quindi (

q(i)k

)max

= x(i) (pi)max = x(i)gi (Sa)i

5I citati programmi standard forniscono delle routine che calcolano solo i primi autovalori, con incredibilerisparmio di tempo macchina

4-9

(q(i)k

)max

= x(i) (pi)max = x(i)gi (Sv)i

(q(i)k

)max

= x(i) (pi)max = x(i)gi (Sd)i

In un buon codice ad elementi finiti, tuttavia, non e ancora questa la fine del gioco, occorre infatticalcolare le caratteristiche di sollecitazione (per esempio i momenti) e addirittura le tensioni e deformazioniin ogni punto.

A tale scopo occorrerebbe combinare i modi eccitati nella peggior maniera possibile. per brevita iltrattamento standard di questi dati avviene pero in maniera diversa, ipotizzando che i modi eccitino lastruttura in maniera statisticamente indipendente (p.e. che durante il massimo indotto da un modo suuna delle caratteristiche delal sollecitazione tutti gli altri modi siano ‘abbastanza’ lontani dal massimo).Questa ipotesi conduce immediatamente alla formula

σ(P ) =

√√√√n∑

i=1

(σ(i)(P ))2

in cui si e preso come esempio di calcolo il valore di una σ (non importa specificare quale) in un punto

P (ma lo stesso vale per le deformazioni, per i momenti eccetera). I valori σ(i)(P ) sono quelli che la

componente in studio della tensione assume in quel punto P per effetto del modo i-esimo.

4-10

5. Effetto d’intaglio

“Intaglio: nelle costruzioni meccaniche, soluzione di continuita,feritoia di piccole dimensioni o anche brusca variazione di sezionedi un pezzo meccanico” (La Piccola Treccani, 1995).

5.1 Introduzione

La distribuzione delle tensioni in prossimita di un intaglio e notevolmente diversa da quella teoricadel de Saint Venant. In particolare, nella zona di gola dell’intaglio si hanno punte di tensionenotevolmente elevate. Il massimo valore di tale tensione, σmax, e particolarmente importante nellostudio della resistenza a fatica.

In questo capitolo l’effetto d’intaglio sara studiato con riferimento ad un materiale idealmenteelastico, ossia con comportamento sempre lineare (addirittura non passibile di rottura, quindiassoggettabile a carichi grandi quanto si voglia).

Si definisce coefficiente teorico di intaglio Kt il rapporto

Kt =σmax

σn

dove σn e una opportuna tensione di riferimento. Per il caso di sforzo normale in pezzi prismaticisi pone quasi sempre

σn =N

Amin

dove Amin e quella al netto dell’intaglio, ossia la sezione piu ristretta.I valori di Kt, per moltissimi casi di impiego pratico, si rilevano dalla letteratura, in particolare

da Peterson (1973).Essi sono stati ottenuti raramente per via analitica, alcune volte per via numerica (elementi

finiti) e il piu delle volte per via sperimentale (estensimetrica o fotoelastica).Tra le soluzioni analitiche vi sono:

1. Quella del Kirsch del foro circolare in una piastra di larghezza infinita in sforzo normale:

Kt = 3

2. Quella di Kolosov (1909) ed Inglis (1913) del foro ellittico in piastra di larghezza infinita insforzo normale:

Kt = 1 + 2√

a

r= 1 + 2

a

b(1)

dove (fig 5.1) a e il semiasse perpendicolare al carico, b e il semiasse parallelo al carico (notarel’uso non standard di questi simboli) e r = b2/a e il raggio di gola dell’intaglio.

3. Quella di Neuber per due intagli iperbolici laterali ad una piastra infinita in trazione eflessione e ad un solido di rivoluzione in trazione, flessione e torsione.

5-1

Figura 5.1: Definizioni geometriche dell’intaglio ellittico

5.2 Analogia idrodinamica

Prima di riportare alcune soluzioni analitiche, numeriche o sperimentali del problema dell’effettodi intaglio presentero un metodo intuitivo che in molti casi puo aiutare a determinare i puntipiu soggetti ad intaglio o addirittura a ridurne l’incidenza tramite opportune modifiche dellaforma del pezzo (in altri casi, pochi per fortuna, questo metodo puo condurre anche a risultatigrossolanamente errati, per cui va usato sempre con cautela).

Il metodo e quello dell’analogia idrodinamica (figg. 5.2 e 5.3).

Figura 5.2: Analogia idrodinamica in un’asta con gola torica

Si supponga che il pezzo sia sostutuito da un tubo avente la sua stessa sezione trasversale, edin questo sia fatto scorrere un fluido pochissimo viscoso, tanto che la sua velocita sia sensibilmenteuniforme in tutti i punti della sezione purche lontani da singolarita.

Allora, le linee di flusso del fluido si addenseranno in corrispondenza di spigoli rientranti e sidiraderanno in corrispondenza di spigoli sporgenti, con rispettivo aumento o diminuzione dellavelocita del fluido; l’analogia fa corrispondere alla velocita del fluido punto per punto la tensioneelastica nel punto corrispondente; percio dove si hanno aumenti della velocita ci saranno aumentidi tensione.

L’analogia idrodinamica aiuta a discutere il caso degli intagli in serie e in parallelo: due intagli

5-2

Figura 5.3: Analogia idrodinamica in una lastra con raccordo tra due larghezze (o in un’asta conspallamento)

si dicono in serie se il flusso di tensione li investe l’uno dopo l’altro, sono in parallelo se li investecontemporaneamente.

Ovviamente nel caso degli intagli in parallelo si ha un ‘doppio’ restringimento della sezione contemuto aumento dell’effetto d’intaglio rispetto a quello dell’intaglio singolo. Invece nel caso degliintagli in serie uno dei due intagli funge da protezione per l’altro, per cui il coefficiente d’intagliocomplessivo puo essere minore di quello dei due singoli intagli se fossero isolati.

Tale fatto conduce all’introduzione degli intagli di scarico.

5.3 Soluzione del Neuber

(formule tratte dal Manna)1) Piastra infinita con due intagli iperbolici di profondita infinita; t e la semilarghezza della

piastra nel punto piu stretto, r e il raggio di curvatura in gola; δ = t/r (fig 5.4); caso della trazione.

Kt =2(1 + δ)

√δ

(1 + δ)arctg√

δ +√

δ

2) Piastra infinita come sopra, in flessione nel proprio piano.

Kt =4δ√

δ

3[√

δ − (1− δ)arctg√

δ]

3) Solido di rotazione infinito con scanalatura circonferenziale a sezione iperbolica (ottenibiledalla rotazione della piastra dei casi 1 e 2). re e il raggio della sezione di gola, r e il raggio delmeridiano nella sezione ristretta; δ = re/r; ν e il modulo di Poisson; σm e σt sono la tensionemeridiana e circonferenziale rispettivamente. Caso della trazione.

σm,max

σn=

1A

(1 + ν + B√

1 + δ)

σt,max

σn=

δ

A(12

+ ν√

1 + δ)

doveA = δ + 2(1 + ν

√1 + δ)

B =32

+ 2ν + δ

5-3

Figura 5.4: Geometria dell’intaglio iperbolico

4) Solido del caso precedente, in flessione.

σm,max

σn=

34A

(B + C√

1 + δ)

σt,max

σn=

3δ

4A(1 + ν + 3ν

√1 + δ)

dove

A =(1 + ν)(5 + 4δ) + [4(1 + ν) + 3δ]

√1 + δ

1 +√

1 + δ

B = (1 + ν)(3 + 2δ)

C = 3(1 + ν + δ)

5) solido dei casi precedenti, in torsione.

τmax

τn=

3(1 +√

1 + δ)2

4(1 + 2√

1 + δ)

5.4 Foro circolare in lastra di larghezza finita, in trazione

E’ stato studiato da Howland, i cui risultati sono riportati in fig. 5.5. Se il raggio del foro e moltominore della larghezza della piastra vale la soluzione per piastra di larghezza infinita (Kt = 3)purche come tensione nominale si scelga quella a grande distanza a monte o a valle del foro,ottenuta dividendo la forza agente per la sezione lorda; il relativo valore del fattore d’intaglio echiamato Ktg in figura. Se il coefficiente di intaglio e definito in base alla tensione nella sezioneristretta (Ktn in figura) si ha

Ktn = Ktgw − a

w

5-4

Figura 5.5: Coefficiente teorico di intaglio Kt per una lastra di larghezza 2w con foro di diametro2a, sottoposta a trazione: caso di a/w < 0.5

Per il caso limite a = w molti autori trovano Ktn = 2. La curva inferiore di fig. 5.5 e approssimatada Heywood con la formula

Ktn = 2 +(1− a

w

)3

che e in buon accordo coi risultati di Howland per a/w < 0, 3 ed e solo dell’ 1,5 per cento piubassa per a/w = 0, 5 (da Kt = 2.125 invece che Kt = 2.16).

Per valori di a/w > 0.4 vale la trattazione di Van Riesen e Spiering (fig. 5.6).

5.5 Piastra di larghezza finita con intagli laterali semicircolari, in tra-zione

Nel caso delle piastre con foro o con intaglio si usano due forme del fattore d’intaglio: 1) Ktn,che riferisce la tensione nominale all’area ristretta 2) Ktg, che riferisce la tensione nominale al-l’area lorda. La prima corrisponde alla definizione generale di effetto di integlio, ma la secondae piu usata nelle trattazioni teoriche, perche conduce a sviluppi piu semplici. Se si hanno intaglilaterali semicircolari (fig. 5.7) la cui profondita e trascurabile rispetto alla larghezza della sezioneristretta si puo usare, guidati dall’analogia idrodinamica, la formula del foro circolare prendendoKtg = 3. Questa comunque e un’approssimazione, visto che molti autori trovano Ktg = 3.065. Ladiscrepanza col caso del foro circolare si accentua al crescere di a/w; in particolare, per a/w = 1

5-5

Figura 5.6: Coefficiente teorico di intaglio Kt per una lastra di larghezza 2w con foro di diametro2a, sottoposta a trazione: caso di a/w > 0.4

si ha Ktn = 1, perche in questo caso mancano effetti di flessione. Per il resto si puo guardare alparagrafo seguente, particolarizzandone le formule al caso circolare.

Figura 5.7: Geometria degli intagli laterali semicircolari

5.6 Piastra di larghezza finita con intagli laterali generici, in trazione

Nel caso della piastra tesa con due intagli laterali simmetrici ad U o a V, si puo usare approssi-mativamente la soluzione per il foro ellittico avente lo stesso rapporto a/r, quindi

Ktn =(1− a

w

)(1 + 2

√a

r

)

5-6

Questa formula vale comunque solo per piccoli valori di a/w. Per alti valori di questo rapporto valela soluzione di Neuber con lo stesso valore di r/t, dove t e la semilarghezza nella sezione ristretta.

Per valori intermedi del rapporto a/w si calcolano il Kth relativo al caso iperbolico con lo stessovalore di r/d e il Kte relativo al caso ellittico con lo stesso valore di a/r e poi si ottiene un valoreapprossimato di Kt con la formula di interpolazione (anch’essa dovuta a Neuber)

Kt = 1 +

√(Kth − 1)2(Kte − 1)2

(Kth − 1)2 + (Kte − 1)2

I dati risultanti dalla formula sono alquanto minori del vero; sono riportati nella tabella allegatainsieme ai valori di altre formule di interpolazione.

Un’altra formula e quella di Heywood

Ktn = 1 +

[t/r

1.55(w/d)− 1.3

]n

dove

n =w/d− 1 + 0.5

√a/r

w/d− 1 +√

a/r

dove d = 2t e la larghezza della zona ristretta.Nella presentazione dei dati conviene riportare Kt in ordinate e

√a/r in ascisse. Questa rap-

presentazione ha il vantaggio che per valori grandi delle ascisse le linee del diagramma tendono arette la cui pendenza e

lim√a/r→∞

dKt

d√

a/r=

2KI

σn√

πa

in cui KI e il fattore di intensita delle tensioni e σn e la tensione sulla sezione netta.Questa preziosa formula consente di sfruttare per il calcolo della Kt le formule per il KI e

viceversa.Per esempio, nel caso della piastra con intagli laterali, se questi sono acuti in modo da dare

luogo a due cricche contrapposte, si ha

KI = F1σg

√πa = F1σn

d

w

√πa

essendo F1 un fattore di forma che tiene conto della larghezza finita della piastra. Per la determi-nazione di F1 vi sono varie espressioni tra cui quella di Nisitani (1975)

F1 = 1.122− 0.154(2a

w

)+ 0.807

(2a

w

)2

− 1.894(2a

w

)3

+ 2.494(2a

w

)4

valida per 2a/w ≤ 0.8 e quella di Benthem e Koiter (1972)

F1 =(1 + 0.122 cos2

(πα

2

))√√√√√

tan(πα/2

)(πα/2

)

in cui α = 2a/w. La formula di Nisitani fornisce valori sistematicamente piu bassi di quelli diBenthem e Koiter; una formula che da valori intermedi e quella di Tada, Paris e Irwin (1973);

F1 =1.122− 1.122

(a/w

)− 0.82

(a/w

)2

+ 3.768(a/w

)3

− 3.04(a/w

)4

√1− 2a/w

5-7

probabilmente la realta e intermedia tra questa formula e quella di Nisitani.A questi ragionamenti si riconduce la formula di interpolazione di Barrata e Neal

Ktn =

(0.780 + 2.243

√a

r

)[0.993 + 0.180

(2a

w

)− 1.060

(2a

w

)2

+ 1.710

(2a

w

)3](1− 2a

w

)

che si puo anche scrivere

Kt =(0.78 + 2.243

√a

r

) d

wF2

ossialim√

a/r→∞

dKt

d√

a/r= 2.243

d

wF2

essendoF2 = 0.993 + 0.180

(2a

w

)+ ...

A conti fatti risulta 2.243F2 = 2F1 (nel campo di validita della formula si puo adottare unaqualsiasi espressione di F1) e questo rafforza la validita della formula di Barrata e Neal, che vabene per valori intermedi di d/w (per i valori piu alti e preferibile la formula dell’ellisse).

Allo stessa linea di pensiero si riallaccia la formula di Shin

Kt = 1 + 2F1

√a

r

dove come al solito e abbastanza arbitraria la scelta dell’una o dell’altra espressione per F1.La formula di Barrata e Neal da, pero, dei valori di Kt anche inferiori ad 1 per bassi valori di

2a/W . Per evitare questo inconveniente si puo pensare ad una formula che abbia gli stessi pregi,ma che tenda ad 1 al tendere di 2a/W a zero.

Una tale formula puo essere la seguente (Giudice):

Kt =F1

1.122

(1 + 2.243

√a

r+ 0.17 log(0.05 + 10−1.429

√a/r)

)(1− 2a

w

)

in cui la parte logaritmica serve appunto ad assicurare il raccordo tra il comportamento di Kt

costante a basso√

a/r e quello proporzionale a√

a/r. Ad alti valori di 2a/w questa formula davalori troppo bassi di Kt, inferiori a quelli della formula di Neuber per intagli iperbolici, alla qualeconviene dunque passare.

5.7 Aste a sezione circolare

Nelle figure seguenti sono riportati i casi, importantissimi per le applicazioni, di aste a sezionecircolare con gola a sezione semicircolare o con spallamento, rispettivamente soggette a sforzonormale (figura 5.8), momento flettente (figura 5.9) e momento torcente (figura 5.10).

5-8

Figura 5.8: Coefficiente teorico di intaglio Kt per un’asta rettilinea a sezione circolare soggetta asforzo normale

Figura 5.9: Coefficiente teorico di intaglio Kt per un’asta rettilinea a sezione circolare soggetta amomento flettente

5-9

Figura 5.10: Coefficiente teorico di intaglio Kt per un’asta rettilinea a sezione circolare soggetta amomento torcente

5-10

6. Instabilita dell’equilibrio elastico

6.1 Introduzione

6.1.1 Definizione di instabilita

La Resistenza dei Materiali e la Teoria dell’Elasticita studiano l’equilibrio tra forze esterne e forzeinterne agenti su un corpo elastico. Tale equilibrio puo pero risultare instabile.

Esempi di possibili instabilita sono

• Pilastri soggetti a compressione (possibilita di inflessione laterale cioe sfiancamento, o diavvitamento o di instabilita flesso-torsionale);

• Travi inflesse a sezione molto alta e stretta (possibilita di svergolamento laterale);

• Recipienti premuti dall’esterno (possibilita di imbozzamento verso l’interno); o anche, rac-cordi torici dei fondi dei recipienti premuti dall’interno;

• Lastre soggette a compressione nel proprio piano (possibilita di imbozzamenti).

Si richiamano le definizioni fondamentali:

• una configurazione di equilibrio di un sistema e stabile se un piccolo allontanamento da essagenera delle forze tendenti a riportare il sistema verso l’equilibrio;

• una configurazione di equilibrio di un sistema e instabile se un piccolo allontanamento daessa genera delle forze tendenti ad allontanare ulteriormente il sistema dall’equilibrio;

• una configurazione di equilibrio di un sistema e indifferente se un piccolo allontanamento daessa non genera delle forze aggiuntive, per cui anche la nuova configurazione e di equilibrio.

Dal punto di vista energetico:

• una configurazione di equilibrio di un sistema e stabile se un piccolo allontanamento da essagenera un aumento dell’energia totale del sistema;

• una configurazione di equilibrio di un sistema e instabile se un piccolo allontanamento daessa genera una diminuzione dell’energia totale del sistema;

• una configurazione di equilibrio di un sistema e indifferente se un piccolo allontanamento daessa non varia l’energia rispetto a quella iniziale.

Si sottolinea che tutte le considerazioni precedenti valgono per piccoli scostamenti da unaconfigurazione iniziale di equlibrio. Si noti inoltre che le configurazioni “contigue” a quella diequilibrio indifferente risultano anch’esse di equilibrio, cosa che non avviene nel caso di equilibriostabile o instabile.

6.1.2 Un semplice esempio

Come esempio iniziale, si consideri il caso di una barretta rigida, di lunghezza l, incernierata alpiede e tenuta verticale dall’azione di una molla a spirale (fig. 6.1); in cima alla barretta, di massatrascurabile, vi sia una forza peso F . La retta di azione della forza peso passa per la cerniera, percui la posizione verticale e di equilibrio.

6-1

Figura 6.1: Sistema ad un solo grado di liberta soggetto a carico di punta.

Se per azione di una forza esterna transitoria, di direzione orizzontale, la barretta viene mossadalla posizione iniziale di equilibrio fino alla posizione 1, spostata da quella iniziale di un angolo θ,supposto piccolissimo, in direzione antioraria, nascono in generale dei nuovi momenti, per cui none assicurata la conservazione dell’equilibrio. I momenti agenti sono quello antiorario della molla,tendente a riportare la barretta nella posizione iniziale, e quello antiorario della forza peso. Ilmomento agente sara quindi

M = −kθ + Fl sin θ

per cui il segno del momento dipende dal valore di F ; se F e piccolissima, M e negativo per θpositivo, per cui la tendenza del sistema e quella di ritornare alla posizione iniziale e quindi ilsistema e stabile; se F e grandissima il comportamento e opposto, per cui il sistema e instabile; ilcaso limite tra i due e quello in cui

F =k

l≡ Fcrit.

La stessa cosa si puo vedere con considerazioni energetiche; l’energia immagazzinata nella mollae

U =12kθ2,

mentre l’energia potenziale del peso e

W = −Fl(1− cos θ),

nella quale e stata presa come quota di riferimento la quota del peso nella posizione di partenza.L’energia totale e quindi

E =12kθ2 − Fl(1− cos θ)

che per angoli piccoli (1− cos θ ≈ θ2/2) diventa

E =12θ2(k − Fl)

6-2

per cui se F e piccola si ha una E positiva per ogni valore di θ, per cui l’equilibrio e stabile, se Fe grande si ha una E negativa per ogni valore di θ, per cui l’equilibrio e instabile, mentre il casolimite (energia totale nulla) si ha per

F =k

l≡ Fcrit.

come nel caso precedente.

6.1.3 Postulato fondamentale

Lo studio del precedente esempio ci induce ad ammettere il seguente

PostulatoSe un sistema e soggetto a forze di compressione l’equilibrio risulta in-stabile per valori della forza di compressione al di sopra di quello a cuicorrisponde l’equilibrio indifferente.

6.2 Metodi per lo studio della stabilita

Sono a disposizione due metodi:

• metodo statico

• metodo energetico.

6.2.1 Metodo statico

1. Si sposta di pochissimo il corpo dalla condizione di equilibrio, purche la nuova configurazionesia compatibile con i vincoli.

2. Si impone che la nuova configurazione sia di equilibrio. Cio equivale a dire che la configu-razione di partenza era di equilibrio indifferente. L’equilibrio indifferente e il caso limite traequilibrio stabile e instabile, per cui la forza esterna che rende indifferente l’equilibrio e quel-la critica. Valori inferiori della forza conducono infatti all’equilibrio stabile, mentre valorisuperiori portano all’equilibrio instabile.

3. Si scrive il bilancio dei momenti e si introduce nell’equazione differenziale della linea elastica.

4. Si risolve l’equazione differenziale e ci si accorge che le condizioni al contorno sono soddisfatteper un ben determinato valore (autovalore) della forza esterna, per il quale il corpo risultain equilibrio indifferente; esso e il carico critico.

Primo esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incastrata al piede e libera alla sommita,dove e caricata con una forza di compressione F (fig. 6.3). Si dia alla trave una configurazionedeformata spostando lateralmente l’estremo libero.

Si supponga che la nuova configurazione sia di equilibrio. Cio equivale a postulare che laconfigurazione iniziale fosse di equilibrio indifferente e quindi che la forza F sia proprio quellacritica Fcr.

Si adotta il sistema di riferimento e la convenzione di positivita dei momenti schematizzata infigura 6.2; come si vede, la convenzione classica che siano positivi i momenti che tendono le fibreinferiori si traduce nel fatto che all’estremo sinistro del concio di trave (cioe dal lato dell’origine) sia

6-3

Figura 6.2: Sistema di riferimento adottato e convenzione positiva per i momenti.

positivo il momento orario. Inoltre, per il sistema di riferimento scelto, che vede l’asse y orientatonel verso opposto a quello usuale della Scienza delle Costruzioni, l’equazione della linea elastica e

y′′ =M

EI, (1)

in cui M e il momento flettente, e al secondo membro compare il segno + anziche l’usuale segno−.

Figura 6.3: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): caso dell’estremo superiore libero.

Dalla figura 6.3 si vede che M = Fcr(f − y(x)), quindi

y′′ =Fcr(f − y)

EI

ossiaE I y′′ + Fcry = Fcrf

che si scrivey′′ +

Fcr

E Iy =

Fcr

E If

e, ponendo

α2 =Fcr

E I, (2)

si hay′′ + α2y = α2f.

6-4

Tale equazione differenziale, essendo lineare, ha per soluzione la somma di un integrale parti-colare della completa, p.e. y = f , e dell’integrale generale dell’omogenea associata1 che e

y0 = C1 sin α x + C2 cosα x.

Percioy = C1 sin α x + C2 cosα x + f.

Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 e y′ = 0 per x = 0 e y = f e y′′ = 0 per x = l.Dalle prime due, relative all’estremo incastrato, si deduce che C1 = 0 e C2 = −f . Dall’altra siottiene

cos αl = 0

α =π

2lper cui

Fcr =π2EI

4l2.

Questa espressione e detta carico critico euleriano (per la trave considerata).Notare che in questo esempio e nei successivi l’equazione si scrive sempre

y′′ + α2y = g(x)

in cui g(x) e spesso costante (come in questo caso). Si nota che il segno del termine in y e semprepositivo, e questo vale come controllo.2

Secondo esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incernierata al piede e appoggiata adun carrello alla sommita, dove e caricata con una forza di compressione F (fig. 6.4). Si dia allatrave una configurazione deformata spostando lateralmente la parte centrale della trave (tanto perfissare le idee sia f la freccia massima al centro).

Si supponga che la nuova configurazione sia di equilibrio. Cio equivale a postulare che laconfigurazione iniziale fosse di equilibrio indifferente e quindi che la forza F sia proprio quellacritica Fcr.

Dalla figura 6.4 si vede che M = −Fcry(x), quindi

y′′ = −Fcry

EI

ossiay′′ +

Fcr

E Iy = 0

e, con la posizione (2) si hay′′ + α2y = 0.

Tale equazione differenziale ha per soluzione

y = C1 sin α x + C2 cos α x.

Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 per x = 0 e per x = l e y = f per x = l/2.Dalla prima si deduce che C1 = 0, dalla seconda che αl = π e dall’ultima, si ottiene

C2 cos αl

2= f,

1l’equazione y′′ + α2y = 0 si integra con la posizione y = ekαx che fornisce l’equazione caratteristica k2 + 1 = 0ossia k = ±i

2In altri termini, si puo far ricorso al principio fondamentale della matematica: If you get the wrong sign, changeit.

6-5

Figura 6.4: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): caso delle due estremitaappoggiate.

da cuiC2 = f.

Dalla seconda condizione al contorno si ricava il valore di α e, sostituendo nella (2),

Fcr =π2EI

l2,

che e il carico critico euleriano in questo caso.

Terzo esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incastrata al piede e appoggiata ad uncarrello alla sommita, dove e caricata con una forza di compressione F (fig. 6.5). Si dia alla traveuna configurazione deformata spostando lateralmente la parte centrale della trave.

Si supponga che la nuova configurazione sia di equilibrio. Cio equivale a postulare che laconfigurazione iniziale fosse di equilibrio indifferente e quindi che la forza F sia proprio quellacritica Fcr.

Dalla figura 6.5 a sinistra, anche se tracciata a sentimento, si vede che esiste un punto di flessoin B; ivi il momento delle forze interne e nullo, per cui deve essere nullo anche il momento delleforze esterne, per cui la retta AB e la retta d’azione delle forze esterne, date dalla Fcr e dallareazione Q del carrello A. Sostituendo il carrello con la sua reazione, si ottiene lo schema indicatonella figura 6.5 al centro.

Osservando la figura 6.5 a destra, in cui e indicato convenzionalmente il momento positivo, sivede che

−M − Fcry + Q(l − x) = 0

ossiaM = −Fcry + Q(l − x).

E chiaro che nel tratto AB prevele il primo addendo a secondo membro e nel tratto BC prevaleil secondo, ma l’equazione rimane la stessa.

6-6

Figura 6.5: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): una delle estremita incastrata el’altra appoggiata.

Quindi, introducendo nella (1) si ha

y′′ = −Fcr

EIy +

Q

EI(l − x)

ovveroy′′ +

Fcr

EIy =

Q

EI(l − x)

e, con la solita posizione (2),

y′′ + α2y = α2 Q

Fcr(l − x).

La soluzione e data dalla somma della soluzione generale dell’omogenea associata, ben nota, eda un integrale particolare della completa; come integrale particolare si puo scegliere y = k(l−x),con k costante da determinarsi, e non ci vuole molto per capire che e

y =Q

Fcr(l − x).

(Notare che questa e l’equazione della retta di azione del risultante tra Fcr e Q.)La soluzione generale e percio

y = C1 cos α x + C2 sin α x +Q

Fcr(l − x).

Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 per x = 0 e per x = l e y′ = 0 per x = 0. Dallaprima si deduce che

C1 = − Q

Fcrl,

dalla seconda cheC1 cos α l + C2 sin α l = 0 (3)

e dalla terza cheαC2 =

Q

Fcr.

6-7

Sostituendo i valori di C1 e C2 nella (3) si ha

− Q

Fcrl cosα l +

1α

Q

Fcrsin α l = 0

cioeαl cosα l − sin α l = 0

e infineαl = tan αl

che si risolve per via numerica o grafica e la cui soluzione piu piccola, a parte quella banale α = 0,e αl = 4.493.

Sostituendo nell’espressione di α2 si ha:

Fcr =4.4932EI

l2

e, volendo, per uniformita con i casi precedenti, far comparire al numeratore il π2, si ottiene

Fcr =4.4932π2EI

π2l2=

π2EI

l2π2/4.4932

per cui il coefficiente di l che compare al denominatore e π/4.493 = 0.699Questo esempio e stato introdotto al solo scopo di evidenziare che nel caso della trave appoggiata-

appoggiata (secondo esempio) i carrelli non reagiscono, e cio si vede per il fatto che la retta checongiunge i due punti di flesso e verticale (passa per i due appoggi) anziche inclinata.

Si noti tuttavia che questa trattazione non permette di trovare il valore della reazione delcarrello nel caso qui esposto.

Quarto esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incastrata al piede e appoggiata ad undoppio pendolo alla sommita, dove e caricata con una forza di compressione F (fig. 6.6). Si diaalla trave una configurazione deformata spostando lateralmente la parte centrale della trave.

Il doppio pendolo reagisce in generale con un momento M0, qui raffigurato positivo, ma nonc’e una forza vincolare in quanto la congiungente dei due punti di flesso e verticale.

Il momento M all’ascissa x (vedi la figura 6.6, a destra) si ricava dall’equilibrio

−M − Fcry + M0 = 0

e quindi valeM = −Fcry + M0

e, sostituendo nella (1)

y′′ = −Fcr

EIy +

M0

EI

cioey′′ +

Fcr

EIy =

M0

EI

e ancora, con la solita posizione (2),

y′′ + α2y = α2 M0

Fcr

La soluzione e data dalla somma della soluzione generale dell’omogenea associata, ben nota, e daun integrale particolare della completa; come integrale particolare si puo scegliere

y =M0

Fcr.

6-8

Figura 6.6: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): una delle estremita incastrata el’altra vincolata con doppio pendolo.

(Notare che questa e l’equazione della congiungente i due punti di flesso della deformata.)La soluzione generale e percio

y = C1 cos α x + C2 sin α x +M0

Fcr.

Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 per x = 0 e per x = l e y′ = 0 per x = 0. Dallaprima si deduce che

C1 = −M0

Fcr,

dalla terza cheC2 = 0,

e dalla seconda cheC1 cos α l +

M0

Fcr= 0. (3′)

Sostituendo i valori di C1 e C2 nella (3’) si ha

−M0

Fcrcosα l +

M0

Fcr= 0

cioecos α l = 1

e ancoraαl = 2π

e infine

α2l =4π2

l2

Sostituendo nell’espressione di α2 si ha:

Fcr =4π2EI

l2.

6-9

6.2.2 Metodo energetico

Quando il corpo si sposta dalla condizione di equilibrio si verifica una variazione, che di solito e unaumento, dell’energia di deformazione elastica e una variazione, che di solito e una diminuzione,dell’energia potenziale di posizione delle forze esterne.

L’equilibrio risulta stabile, instabile o indifferente secondo che l’energia totale e aumentata,diminuita o invariata.

Infatti se il sistema corpo deformato + forze esterne viene spostato di poco dalla configurazionedi equilibrio (per esempio per l’urto accidentale di un corpo esterno) e nella nuova configurazionepossiede un’energia maggiore, tende a liberarsi di questa energia tornando alla posizione iniziale,per cui in essa l’equilibrio e stabile; se invece possiede nella nuova configurazione un’energia minoretende ad allontanarsi ancora di piu dalla configurazione di equilibrio per cui questa risulta instabile.

Per bassi valori delle forze esterne, la diminuzione della loro energia di posizione non basta acompensare l’aumento di energia interna, dovuta alla deformazione imposta, per cui l’equilibriorisulta stabile; Per alti valori delle forze esterne la diminuzione della loro energia potenziale epiu che sufficiente a compensare l’aumento dell’energia di deformazione, per cui l’energia totaledel sistema diminuisce e quindi vi e un “surplus” di energia liberata che puo servire a deformareulteriormente il corpo, allontanandolo cosı dall’equilibrio, che percio risulta instabile.

Il caso dell’equilibrio indifferente e quello che costituisce il confine tra i due casi, per cui laforza esterna corrispondente e proprio quella critica.

Riprendendo l’esempio della trave a mensola soggetta a carico di punta, si ha che l’energiaelastica dU immagazzinata in un concio di lunghezza dx, uguale al lavoro delle forze interne, vale

dU =12M

M

E Idx,

quindi, per l’intera trave,

U =12

∫ l

0

M2

E Idx.

Questo integrale puo essere riscritto in due modi. Ricordando che

M

EI= y′′

esso vale

U =12EI

∫ l

0

(y′′)2dx (1)

mentre, scrivendoM = F (f − y)

vale

U =12

F 2

EI

∫ l

0

(f − y)2dx. (2)

Il lavoro della forza esterna F e dato dal prodotto della forza per dallo spostamento del suopunto di applicazione nella direzione della forza. Lo spostamento detto e dovuto alla rotazione delconcio, che rimane non piu verticale pur rimanendo della stessa lunghezza (essa e minore dellalunghezza a riposo dell’aliquota dovuta alla compressione, che e identica sia che la trave rimangaverticale sia che si deformi). Per un concio dx (fig. 6.7), inclinato di θ rispetto alla condizioneindeformata (verticale), la variazione di altezza vale

dδ = (1− cos θ)dx =θ2

2dx =

(y′)2

2dx

6-10

e, per tutta la trave

δ =∫ l

0

(y′)2

2dx.

Figura 6.7: Rotazione di un concio nel pilastro soggetto a carico di punta

Il lavoro della forza esterna e percio

W = F

∫ l

0

(y′)2

2dx.

Se i due lavori sono uguali significa che siamo in condizioni di equilibrio indifferente e quindila forza esterna e quella critica.

Percio, se l’energia interna e scritta nella forma (1) si ha

Fcr =EI

∫ l

0(y′′)2dx

∫ l

0(y′)2dx

(3)

ovvero, se l’energia interna e scritta nella forma (2)

Fcr = EI

∫ l

0(y′)2dx

∫ l

0(f − y)2dx

(4)

Queste formule sono esatte solo se la y(x) e la deformata effettiva. Tuttavia si dimostra che ilfunzionale Fcr e minimo quando la y(x) e quella effettiva; per cui se si da ad y(x) una forma similea quella effettiva si ottiene una Fcr senz’altro maggiore di quella vera ma non molto discosta daessa.

L’esperienza dimostra che in questo caso la (4) e piu accurata della (3).Per esempio, la trave-colonna incastrata alla base e libera in sommita, gia vista nell’applicazione

del metodo statico, ha una deformata sinusoidale ossia

y = f(1− cosπx

2l)

Sostituendo questa espressione nelle (3) e (4) si ottiene in entrambi i casi

Fcr =π2EI

4l2

che e ovviamente lo stesso risultato ottenuto col metodo statico. Se invece si ipotizza una deformataparabolica y = cx2, che all’estremo libero diventa f = cl2 da cui si ricava c, per cui in definitiva

6-11

y =f

l2x2

si ottiene, sostituendo nella (3)

Fcr = 3EI

l2

con un errore del 21.6 per cento e, sostituendo nella (4)

Fcr = 2.5EI

l2

con un errore di 1.32 per cento.Se si ipotizza una deformata di terzo grado

y =f

2l3(3lx2 − x3)

e si sostituisce nella (3) si ha

Fcr = 2.5EI

l2

con un errore di 1.32 per cento. Per i tre casi precedenti si veda Belluzzi, vol 4 pag 36-37, mentreil caso della deformata cubica sostituita nella (4) viene lasciata allo studioso lettore3.

3la soluzione e

Fcr = 2.470588EI

l2

con un errore di 0.129 per cento

6-12

6.3 Applicazioni

6.3.1 Travi snelle caricate di punta

Se la trave e sufficientemente lunga e sottile (questa nozione sara chiarita nel paragrafo seguente)il carico critico e

Fcr = Cπ2E I

l2

dove I e il momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse lungo il quale si prevede avvengal’inflessione (tranne casi particolari di vincolo si prende il valore minimo di I).

con

C =

1/4 per trave incastrata a un estremo e libera all’altro1 per trave incernierata - incernierata4 per trave incastrata - incastrata≈ 2 per trave incernierata - incastrata

In caso di incertezza e bene prendere C il piu piccolo possibile, e comunque di non salire aldisopra di C = 1.

In alternativa all’approccio precedente si puo definire una lunghezza libera di inflessione l0,cioe la distanza tra due punti di flesso della deformata, la quale, nella notazione precedente e

l0 = l/√

C

e riscrivere la tabella precedente in questo modo:

Fcr =π2E I

l20

l0 =

2l per trave incastrata a un estremo e libera all’altrol per trave incernierata - incernieratal/2 per trave incastrata da un lato e con doppio pendolo dall’altrol/2 per trave incastrata - incastrata≈ 0.7l per trave incernierata - incastrata.

Inoltre, se la trave e incernierata ad entrambe le estremita ed ha n appoggi intermedi equidistanti,la lunghezza libera e l0 = l/n.

Secondo L. F. Donato, Lezioni di Scienza delle Costruzioni, Cursi, Pisa, quinta edizione, 1968,nei casi di trave incastrata - incernierata e incastrata - incastrata e opportuno non fidarsi troppodella saldezza dei vincoli e prendere rispettivamente l0 = 0.8l (invece di l0 = 0.7l) e l0 = 0.75l(invece di l0 = 0.5l).

6-13

6.3.2 Travi tozze caricate di punta

Per travi tozze, ossia travi che hanno bassa snellezza, il carico critico euleriano tende all’infinito;tuttavia e evidente che in questo caso il collasso avviene per un meccanismo diverso, ossia perschiacciamento, ossia per il raggiungimento del carico di rottura a compressione. Per travi tozze dideve quindi porre un diverso valore della forza massima che provoca il collasso, ossia il prodottodell’area per la tensione di rottura a compressione σ−R.

Il valore della snellezza per i quali le due forze limite si eguagliano puo essere presa comeconfine fra travi tozze e snelle. Tale snellezza limite λlim si ottiene dall’equazione

π2E A

λ2lim

= σ−RA

e quindi vale

λlim = π

√E

σ−R

In realta la schematizzazione adottata e troppo rozza, per cui nella zona di transizione fratravi tozze e snelle il carico assiale limite e definito da formule empiriche, come la seguente di J.B.Johnson:4

Fcr = σyA

(1− σy

4· (l/ρ)2

Cπ2E

)

con ρ raggio d’inerzia minimo della sezione. Questa formula e valida per valori di l/ρ minori di

(l/ρ)lim =

√2π2CE

σy(5)

Al di sopra si deve usare la formula di Eulero.La parabola di Johnson puo essere vista come un puro trucco matematico per interpolare tra l’iperbole

di Eulero e la tensione di snervamento. Si ponga:

l2

Cπ2Eρ2=

l20π2Eρ2

≡ Λ

in modo da poter scrivere

σcr =Fcr

A=

1

Λ,

che, nel piano σ-Λ rappresenta una iperbole, e si trovi una retta tangente a tale iperbole e che passi peril punto (0, σy). Chiamando, per semplificare, x e y le coordinate, la retta e della forma

y = σy − ax

con a da determinare, e la richiesta e che l’intersezione tra retta e iperbole sia un punto doppio, cioe chesia nullo il discriminante dell’equazione

σy − ax =1

x,

che si riscriveax2 − σyx + 1 = 0

e il suo discriminante eσ2

y − 4a = 0,

da cui

a =σ2

y

4,

4risalente all’inizio del XX secolo.

6-14

σcr = σy − σ2y

4Λ,

e, tornando alle unita fisiche, si ritrova l’equazione della parabola di Johnson.La stessa parabola si ritrova, in base a considerazioni piu fisiche, considerando che, a valori vicini

allo snervamento, la sezione, compressa e inflessa, comincia a snervarsi in corrispondenza delle fibre piucompresse, in modo che l’ulteriore deformazione avviene, nel piano σ-ε secondo una direzione piu vicinaall’orizzontale (il cosiddetto modulo tangente), per cui il punto rappresentativo sul piano σ-λ risulta piubasso di quanto previsto dalla iperbole di Eulero. Rendendo quantitative queste considerazioni si arrivaalla parabola di Johnson o anche, in base alle ipotesi concretamente fatte, ad altre curve che hanno tuttelo stesso andamento qualitativo.5

Tanto per fissare le idee, vecchie norme (DIN 1050, edizione 1943) consideravano la tensionelimite pari a 235 MPa per acciaio ordinario (Fe 360) se la snellezza era minore di 60, e ugualea quella di Eulero (σcr/MPa = (2.03 × 106/λ2)) per λ ≥ 100, mentre interpolavano linearmentetra i due casi, con la formula σcr/MPa = 284 − 0.802λ per i casi intermedi. Cio viene citato peraffermare che per snellezze minore di 50 conviene non tener conto in prima approssimazione dellainstabilita.

6.3.3 Metodo omega

Per spiegare il metodo omega si puo, con l’aiuto della fig. 6.8, definire il grado di sicurezza pertravi tozze e per travi snelle.

Per travi tozze sara

s =O1B1

O1P1

che corrisponde alla ben notas =

σ−R

N/A

in cui N e lo sforzo normale e A l’area della sezione resistente; per travi snelle, invece

s =O2B2

O2P2

5Un approccio diverso, desunto dagli appunti di Strutture Off-Shore, dalle lezioni di Antonio Campanile, prevedeche nell’asta vi siano delle tensioni residue di compressione, tali da provocare l’inizio dello snervamento ben primache la tensione nominale raggiunga la σy. Se infatti e presente una tensione di compressione residua pari a σr, laplasicizzazione inizia quando la tensione nominale raggiunge quella che e chiamata la tensione di proporzionalitastrutturale

σps = σy − σr.

Da questo punto in poi la derivata della curva σ-ε e minore di E ed e data dal cosiddetto modulo tangente Ets,dato sperimentalmente dalla formula di Oostenfeld-Bleich:

Ets

E=

σs(σy − σs)

σps(σy − σps),

in cui σs = P/A. Corrispondentemente, nella formula del carico critico, occorre sostituire la E con la Ets, e laformula diventa, scritta in termini di tensione

σcr

σy=

1

Λ

σs(σy − σs)

σps(σy − σps).

Ponendo in essa σs = σcr si ottiene un’equazione di primo grado in σcr che, risolta, porge

σcr

σy= 1− σps

σy

(1− σps

σy

)Λ,

che, per σps/σy = 1/2 restituisce la formula di Johnson (che, nel piano σcr-Λ e rappresentata da una retta) e, perσps/σy = 1 restituisce la retta orizzontale passante per σy . Che poi 1/2 e 1 siano effettivamente i valori estremi perσps/σy e chiaro dal fatto che σps non puo superare σy , valore limite per tutte le tensioni, e che al di sotto del valore1/2 la retta che rappresenta la σcr/σy non interseca piu l’iperbole di Eulero, ma ne rimane sempre al di sotto.

6-15

Figura 6.8: Definizione del grado di sicurezza per travi tozze e travi snelle.

ossia

s =Fcr

N=

π2EAρ2/l20N

=π2E

λ2(N/A)Si adottano ora due artifici semplicissimi, ma di non evidente utilita, e percio difficili da

memorizzare, ossia si moltiplica numeratore e denominatore per σ−R, ottenendosi

s =σ−R

N/A· π2E

λ2σ−R

e poi si indica la seconda delle due frazioni a secondo membro con la notazione 1/ω, per cui si ha

s =σ−R

ωN/A.

Il significato di questa espressione e che, nel caso piu generale di carico di punta si scrive lastessa espressione adottata nel caso di travi tozze, ma moltiplicando lo sforzo normale per uncoefficiente maggiorativo ω, che e funzione della snellezza e che viene posto uguale ad 1 per travitozze.

Naturalmente conviene riordinare la precedente espressione scrivendo

ωN

A=

σ−R

s= σamm

in cui si ritrova la classica formula di verifica per lo sforzo normale, in cui pero lo sforzo effettivoagente N deve essere moltiplicato per il coefficiente maggiorativo ω.

Poiche l’andamento della curva limite e piu complesso di quanto mostrato in fig. 6.8, i valoridi ω si prendono da tabelle della normativa.

Ribadendo sempre che l’unica normativa giuridicamente valida e data dalla sua ultima edizione,riporto un estratto da due tabelle, uno dal Santarella, Manuale del Cemento Armato (gli stessi datistanno sul Colombo. Manuale dell’Ingegnere, 80.a edizione), e l’altro dal Manuale dell’IngegnereMeccanico, solo per dare un’idea degli ordini di grandezza. La prima, per pilastri in C.A., fornisce:

λ ω λ ω≤ 50 1.00 90 1.4260 1.04 100 1.6270 1.08 110 1.9180 1.24 120 2.28

6-16

La seconda e relative ad aste di grosso spessore (t ≥ 40 mm), per acciaio Fe 510:

λ ω λ ω λ ω λ ω10 1.00 70 1.86 130 3.78 190 6.9520 1.04 80 2.11 140 4.22 200 7.5930 1.16 90 2.38 150 4.70 210 8.2740 1.29 100 2.68 160 5.21 220 8.9750 1.45 110 3.01 170 5.76 230 9.7460 1.64 120 3.38 180 6.34 240 10.56

Riporto qui di seguito in nota il testo di questo paragrafo nella precedente versione, sperandoche possa essere di qualche utilita.6

6Nella formula di Eulero si puo mettere l’area A in evidenza scrivendo

Fcr = Cπ2EAρ2

l2

dove ρ e il raggio giratore ed l/ρ si chiama snellezza e si indica con λ. Dividendo per A si ottiene

σcr =Cπ2E

λ2.

Per la stabilita dell’equilibrio deve essere, tenuto conto di un coefficiente di sicurezza s,

σ =N

A≤ σcr

s

Moltiplicando per

ω =σy

σcr

risulta

ωσ = ωN

A≤ σy

sessendo σy/s = σamm, si puo scrivere

ωN

A≤ σamm

il che significa che, quando si teme l’instabilita il carico assiale di compressione N deve essere moltiplicato per uncoefficiente ω maggiore di 1. La verifica di sytabilita e identica a quella classica a sforzo normale, purche si tengaconto di un carico assiale ‘maggiorato’.

Il valore di ω puo essere ottenuto rielaborando le formule precedenti; per esempio la formula di Eulero fornisce

ω =λ2σy

Cπ2E(6)

e la formula di Johnson

ω =1

1− λ2σy

4Cπ2E

(6′)

Il valore di λ per cui si passa dalla (6) alla (6’) e dato dalla (5). Pero di solito il valore di ω in funzione di λ e datoda tabelle della normativa.

6-17

6.3.4 Altre applicazioni

Cilindri compressi uniformemente dall’esterno

Si usa la seguente formula dovuta a Von Mises, 1914:

pcr(n) = E

[1

12(1− ν2)

( t

r

)3 (n2 − 1 +

2n2 − 1− ν

( n lπ r )2 + 1

)+

t/r

(n2 − 1)[(

n lπ r

)2

+ 1]2

]

in cui n e il numero di lobi della deformata t e lo spessore r e il raggio ed l la lunghezza.Se l e notevolmente maggiore di r si pone (formula di Southwell):

pcr(n) = E

[1

12(1− ν2)

( t

r

)3

(n2 − 1) +t/r

(n2 − 1)(

n lπ r

)4

]

Per entrambe queste formule occorre trovare per tentativi il valore di n che rende minimo pcr. Seil tubo e di lunghezza molto grande si puo usare l’approssimazione per L = ∞, cioe

pcr =Et3

4(1− ν2)r3.

In questo caso e n = 2.

Cilindri compressi in senso assiale

Deformata a soffiettoσcr =

1√3(1− ν2)

× Et

r= 0.605

Et

r

Lastre rettangolari appoggiate lungo il bordo

Se a e l’altezza della lastra (dimensione parallela alla forza instabilizzante) e b e la larghezza(dimensione perpendicolare alla forza instabilizzante), la tensione critica e

σcr =(nb

a+

a

nb

)2 π2

12E

1− ν2

( t3

b3

)

I bordi della piastra instabilizzata rimangono fermi, mentre la parte centrale presenta n imboz-zamenti, alternativamente verso l’interno e verso l’esterno. Il numero n deve essere determinatoper tentativi con la condizione di prendere il valore di n che rende minimo σcr. Come valore diorientamento si prende n circa uguale alla parte intera di a/b.

Tubi cilindrici di raggio r e spessore t soggetti a torsione

(Mt)cr = Eπ√

23(1− ν2)3/4

t2√

rt = 1.481Et5/2r1/2

(1− ν2)3/4

Sfera di raggio r e spessore t premuta dall’esterno

pcr =2Et2

r2√

3(1− ν2)

6-18

7. Plasticita

Deformazioni plastiche sono quelle che permangono anche dopo che e stata rimossa la forza che leha generate.

Il comportamento plastico e evidente e.g. nella prova di trazione di molti materiali metallici;se la tensione supera un certo valore di soglia (snervamento) allo scarico rimane un allungamentoresiduo.

I materiali che presentano un comportamento plastico piu o meno accentuato sono detti ma-teriali duttili; quelli che si rompono prima di subire apprezzabili deformazioni plastiche sono dettimateriali fragili.

7.1 Fenomenologia della plasticita

Nella prova di trazione di materiali duttili appare chiara la zona delle forte deformazioni (camminoOAR della fig. 7.1)

Figura 7.1: Fenomenologia della plasticita

Se il provino viene scaricato si ha un parziale recupero, ma la maggior parte della deformazionee permanente (o irreversibile che dir si voglia).

La fase di scarico (AB) e sostanzialmente rettilinea e la sua pendenza e praticamente ugualea quella del tratto elastico iniziale (e alquanto minore solo per altissime deformazioni, quando sie gia avuto un sostanziale danneggiamento del materiale).

Se si ricarica il provino deformato plasticamente e scaricato esso ripercorre il cammino elasticodello scarico e poi riprende la curva plastica, quasi come se la prova non fosse stata interrotta(BA’R’).

Se invece dopo lo scarico il provino viene assoggettato ad un carico di verso opposto (cioe dicompressione, se la prima sollecitazione era di trazione), esso segue ancora un cammino elastico(BC’) sul prolungamento della retta di scarico, e poi devia (C’D’) plasticizzandosi in senso opposto

7-1

ma ad un valore della tensione minore di quello di snervamento in compressione del materialevergine (C’ invece di C). Questa ‘anticipazione’ dello snervamento va sotto il nome di effettoBauschinger.1

Lo stesso fenomeno di riscontra in senso opposto, se si inverte ancora il carico (D’E’). Al limite,il materiale puo percorrere il ciclo plastico ABD’E’A). Disgraziatamente esso, se percorso piu epi‘volte, non rimane stazionario, ma si deforma d iventando piu “verticale” (incrudimento ciclico) opiu “orizzontale” (addolcimento ciclico). Questa fenomenologia si incontra nella fatica oligociclica.

7.2 Cause della plasticita

La plasticita e dovuta alla deformazione permanente del reticolo cristallino; per spiegarla si devepercio abbandonare la descrizione continua del materiale.

I metalli sono formati da un reticolo di ioni circondati da un gas di elettroni di conduzione. Gliioni sono di solito sistemati in un reticolo a massimo impaccamento, ossia cubico a facce centrateo esagonale compatto; talvolta e presente il reticolo cubico a corpo centrato.

Nella deformazione permanente si puo supporre che i piani atomici slittino l’uno rispettoall’altro. Questo comunque e possibile solo per i piani a massima densita di atomi.

Una deformazione permanente e anche irreversibile, quindi si ha aumento dell’entropia delmetallo o dell’ambiente o di entrambi.

La forza necessaria per spostare un piano di atomi rispetto a quello adiacente e notevole.E’ chiaro infatti che si ha bisogno di deformazioni tangenziali dell’ordine di 1, per cui la forzatangenziale deve essere dell’ordine di G.

Figura 7.2: Determinazione teorica della tensione di plasticizzazione in un cristallo perfetto.

Piu precisamente si consideri la situazione di fig. 7.2, nella quale vi sono due file di atomicontrapposti. Se la fila superiore viene spostata verso destra di una quantita x, nasce una tensionetangenziale τ esprimibile secondo una legge periodica di periodo b, che in prima approssimazionesi puo considerare sinusoidale

τ = τm sin(2πx/b).

Questa, per piccoli valori di x diventa

τ = τm(2πx/b).

Poiche vale anche la legge di Hookeτ = Gγ = Gx/a

1Johann Bauschinger, ingegnere (Norimberga, 1834 - Monaco di Baviera 1893), ricordato per un monumentaleTrattato di statica grafica (trad. it. 1871).

7-2

risultaτm =

G

2π

b

a,

che, per a = b diventa

τm =G

2π

Il valore cosı ottenuto e circa cento volte maggiore di quello effettivo, per cui occorre trovare unadiversa spiegazione, che e data dalla presenza di difetti nel reticolo cristallino.

I difetti reticolari possono essere puntiformi (vacanze, atomi interstiziali e atomi sostituzionali),lineari (dislocazioni), superficiali (bordi dei grani) o tridimensionali (inclusioni).

Le vacanze sono siti del reticolo non occupati da un atomo; gli atomi interstiziali sono atomipresenti in posizioni che dovrebbero essere vuote, mentre gli atomi sostituzionali sono atomi dispecie estranea che prendono il posto di quelli che costituiscono il reticolo.

Nei metalli vi e sempre un certo numero di vacanze, in equilibrio termodinamico; gli interstizialisono senz’altro meno numerosi e gli atomi sostituzionali sono importanti soprattutto nelle leghe.

Le dislocazioni sono date da una distorsione del reticolo che si puo caratterizzare nel seguentemodo: si descriva un cammino su un piano cristallino in modo da avanzare in una direzione di uncerto numero di passi, poi si gira a destra ad angolo retto e si avanza di altrettanti passi, poi ancoraa destra eccetera, per quattro volte; se il cammino e molto piccolo (pochi passi reticolari per lato)e si chiude su se stesso, vuol dire che nell’areola percorsa non vi sono dislocazioni; altrimenti laquantita necessaria a chiudere il circuito da il vettore di Burgers2 della dislocazione concatenatacol circuito.

La dislocazione all’interno del cristallo e sempre una linea chiusa e il vettore di Burgers e co-stante su di essa; essa puo terminare solo sulla faccia del cristallo o su una superficie di separazionetra cristalli contigui.

Se il vettore di Burgers e parallelo alla dislocazione si ha la dislocazione a vite; se e perpendi-colare si ha la dislocazione a spigolo; in quest’ultimo caso il piano formato dalla dislocazione e dalvettore di Burgers e detto piano di scorrimento in quanto su di esso il moto della dislocazione efavorito.

La plasticita e in gran parte causata dal moto delle dislocazioni a spigolo sul proprio piano discorrimento.

In un cristallo le dislocazioni provocano una tensione perche i legami cristallini sono distorti;lo stato tensionale attorno ad una dislocazione e identico a quello intorno ad una distorsione diVolterra.

In particolare, attorno alle dislocazioni a spigolo, vi e un semispazio teso e un semispazio com-presso; in quest’ultimo tendono ad addensarsi le vacanze, mentre nel primo tendono ad addensarsigli eventuali interstiziali; gli atomi sostituzionali possono andare in questo o quel semispazio aseconda che il loro diametro sia maggiore o minore di quello degli atomi costituenti il reticolo;in questo modo le dislocazioni a spigolo sono circondate da una nube di difetti puntuali che nonpossono abbandonare a meno che non venga fornita energia dall’esterno.

Se le forze esterne sono inferiori ad un certo valore le dislocazioni non si muovono e quindi si hacomportamento elastico, al di sopra di un certo valore le dislocazioni diventano libere di muoversi,e cio spiega il fenomeno dello snervamento.

Al crescere della deformazione il numero di dislocazioni aumenta per l’azione delle sorgenti didislocazioni, la piu celebre delle quali e quella di Frank-Read (fig. 7.3).

Le dislocazioni generate da una sorgente di Frank-Read si muovono lungo lo stesso piano discorrimento e terminano la loro corsa lungo un ostacolo che tipicamente e il bordo del grano,L’affollarsi delle dislocazioni molto vicine tra loro genera una forza di repulsione che ostacolal’ulteriore moto (fenomeno dell’incrudimento).

2Johannes Martinus Burgers fisico olandese poi trasferitosi negli USA (n. Arnhem 1895, m. 1981). Ha svoltoricerche di aerodinamica, di reologia e di fisica dei solidi.

7-3

Figura 7.3: Sorgente di Frank-Read

La stessa repulsione, in caso di cambiamento di segno dello sforzo, provoca un moto anticipatodelle dislocazioni e quindi uno snervamento ad una tensione piu bassa in valore assoluto (effettoBauschinger).

7.3 Teorie matematiche della plasticita

La deformazione plastica dipende non solo dal valore degli sforzi attuali, ma anche dal camminopercorso; cio rende formidabilmente difficile una teoria matematica della plasticita. Le trattazionipossono essere divise in due classi: Teorie di flusso che mettono in relazione lo sforzo con lavelocita di deformazione e teorie deformative che mettono in relazione la deformazione con latensione; queste ultime ovviamente possono funzionare solo se si ipotizza un particolare cammino,per esempio che tutte le componenti della tensione si incrementano proporzionalmente.

Tutte le teorie della plasticita si basano sui seguenti postulati:

1. la parte sferica della deformazione plastica e nulla, quindi la deformazione plastica avvienesenza variazione di volume;

2. la deformazione (o l’incremento della deformazione, a seconda della teoria usata) dipendesolo dalla parte deviatorica dello sforzo;

3. gli assi principali della tensione e della deformazione plastica sono coincidenti (questo fattofu scoperto da de Saint Venant);

4. la deformazione plastica e irreversibile;

5. lo scarico avviene elasticamente.

Teoria di Levy-von Mises

Si basa sul postulato che le deformazioni plastiche sono trascurabili e che il materiale nonsubisce incrudimento (materiale rigido-plastico).

Teoria di Prandtl-Reuss

Si basa sul postulato che il materiale e perfettamente elastico fino allo snervamento e nonsubisce incrudimento (materiale elastico-perfettamente plastico).

7-4

Teorie deformativeTra esse cito solo quella di Hencky, secondo la quale il deviatore degli sforzi e proporzionale al

deviatore delle deformazioni plastiche.

7.4 Tensioni residue

Trave rettangolare inflessa

Il classico esempio della trave rettangolare inflessa viene qui svolto con riferimento ad un materialecon comportamento simmetrico a trazione e a compressione. Per la trattazione piu generale si vedail Timoshenko.

Nella deformazione plastica delle travi si fanno alcune assunzioni semplificative, cioe che le se-zioni inizialmente piane rimangano piane e che non ci siano sforzi secondari dovuti alla congruenzatra parte plasticizzata e parte elastica della trave.

Nel caso qui studiato si suppone che la sollecitazione esterna sia di puro momento flettente,che corrisponde ad una deformazione dell’asse della trave ad arco di circonferenza.

Si suppone assegnata una relazione sforzo-deformazione σ = σ(ε), simmetrica come si e detto,e che il carico iniziale sia applicato in maniera monotona.

Si ragioni in termini di deformazione iniziale imposta, con una graduale crescita della curvaturadell’asse della trave. Se la trave, inizialmente rettilinea, e deformata con un raggio di curvaturaRi la deformazione e

ε =y

R.

Facendo intervenire la σ = σ(ε) si trova la relazione σ = σ(ε(y)) = σ(y) tra tensione e dimensionetrasversale della trave. Se la deformazione massima εmax = h/R > εis = σy/E, dove h e lasemialtezza della trave e εis e la deformazione che corrisponde all’inizio dello snervamento, unaparte della trave, cioe quella con |y| > hy, essendo hy la distanza dall’asse neutro della fibra insnervamento, e plasticizzata.

In ogni caso il momento flettente, se b e la larghezza, e

M =∫ h

−h

σbydy. (1)

Nel caso puramente elastico σ = Eε = Ey/Ri, per cui

M =∫ h

−h

Ey

Ribydy

cioeM =

EI

Ri. (2)

Nel caso plastico conviene elaborare la (1) sostituendo alla variabile muta y la ε. Si trova allora

M =∫ h/Ri

−h/Ri

σb · εRi ·Ridε = bR2i

∫ h/Ri

−h/Ri

σεdε

che formalmente puo essere posta in una forma identica alla (2), ossia

M =ERiI

Ri. (2′)

con la posizione

ERi =3R3

2h3

∫ h/Rpl

−h/Rpl

σεdε

7-5

Non e difficile vedere che vale ERi≤ E, valendo il segno di uguaglianza solo nel caso elastico.

Se si scarica la trave applicando un momento −M il comportamento allo scarico e elastico(a meno che il momento non sia molto alto, nel qual caso interviene l’effetto Bauschinger). Lacurvatura residua e data dalla somma di quella iniziale e quella della fase di scarico elastico

1Rf

=1Ri

− M

EI=

M

I

(1

ERi

− 1E

)

Per le tensioni conviene procedere per via grafica (fig. 7.4).

Figura 7.4: Determinazione grafica delle tensioni residue in una trave inflessa ad asse verticale

Lo studio della figura suggerisce la regola pratica che, nella fibra piu sollecitata la tensioneresidua e di segno opposto a quella della tensione iniziale che ne ha provocato lo snervamento.

Si noti che le tensioni residue non hanno in generale alcuna relazione con le deformazioniresidue, in quanto in generale le une e le altre dipendono dal percorso di carico e scarico.

7-6

8. Scorrimento viscoso

8.1 Definizioni

I materiali esposti ad alte temperature presentano deformazioni crescenti nel tempo anche se la ten-sione rimane costante. Questo fenomeno e detto scorrimento viscoso o creep. Per alta temperaturasi intende una temperatura

T >13Tf

dove Tf e la temperatura di fusione; queste temperature sono temperature assolute e vanno espressein gradi Kelvin.

Reciprocamente, alle stesse temperature, se un elemento di macchina e soggetto ad una defor-mazione costante (si pensi al gambo di un bullone) la sua tensione diminuisce col tempo. Que-sto fenomeno si chiama rilassamento; nel caso del bullone esso conduce dopo un certo tempoall’allentamento.

8.2 Prove di creep

Le prove di creep vengono fatte ponendo il provino, in una fornace a temperatura controllata e tira-to da un peso. L’allungamento viene misurato con un comparatore. Dalla forza e dall’allungamento,tenendo conto della sezione e dell’allungamento, si calcolano la tensione e la deformazione.

Le proporzioni del provino sono identiche a quelle delle prova di trazione, ma la sezione e piupiccola; e prescritto comunque dalla UNI 5111 che la sezione del provino circolare non sia minoredi 4 mm2 e che la sezione del provino rettangolare abbia rapporto tra i lati non piu di 4:1 e con illato minore non piu piccolo di 2 mm.

La prova puo essere fatta a carico costante o a tensione (vera)1 costante; in quest’ultimo casoil carico deve diminuire man mano che la sezione del provino diminuisce (come al solito nel casodi grandi deformazioni si puo ammettere che il suo volume resti costante).

La prova viene riassunta in un grafico della deformazione in funzione del tempo (fig. 8.1).Nel grafico si distinguono tre fasi: inizialmente il creep primario (tratto AB), in cui la velocitadi deformazione diminuisce col tempo; poi il creep secondario (tratto BC), in cui la velocita dideformazione e costante; poi il creep terziario (tratto CD), in cui la velocita di deformazioneaumenta fino a rottura. Nelle prove a tensione costante non compare il creep terziario, che quindie un artefatto dovuto alla strizione del provino in fase di rottura. Di fatto, uno dei modi permisurare la strizione in fase di creep e quello di studiare la velocita di deformazione per creepterziario. Nel creep peraltro la strizione non sempre si verifica, ma spesso compaiono delle cavitainterne che comunque riducono la sezione resistente effettiva.

Per ovvie ragioni di spazio si riportano sullo stesso grafico piu curve relative alla stessa tempe-ratura e a carichi (o tensioni) diverse (fig. 8.2); modi ancora piu sintetici di riportare i dati sonoquelli delle figure 8.3 e 8.4.

La velocita di deformazione ε = dε/dt e minima nella fase del creep secondario ed e ivi correlatacon la tensione dalla legge di Bayley:

ε = Bσn

dove B ed n sono caratteristiche del materiale.1Si ricorda che la tensione vera si ottiene dividendo il carico per la sezione effettiva (nell’istante considerato)

mentre la tensione nominale, che di solito e la piu usata, si ottiene dividendo il carico per la sezione iniziale.

8-1

Figura 8.1: Tipica curva di creep

Figura 8.2: Curve sperimentali di creep alla stessa temperatura e per diverse tensioni. Il materialequi studiato e il piombo a 17 C. Da Andrade, E. M. da C., 1914, “The Flow in Metals underLarge Constant Stresses Proc. Royal Soc., Series A, 90, 329-342

8-2

Figura 8.3: Velocita di deformazione stazionaria (ossia in fase di creep secondario) in funzionedella σ vera per un acciaio al carbonio usato per recipienti in pressione. Da Randall, P.N., 1957,“Constant-Stress Creep Rupture Tests of a Killed Carbon Steel, Proc. of the Am. Soc. for Testingand Materials, 57, 854-876.

Figura 8.4: Tempo di rottura in funzione della σ nominale per la lega resistente ad alte temperatureS-590. Da Dowling, 1993. Dati da Goldhoff, R. M., 1959, “Which Method for Extrapolating Stress-Rupture Data?, Materials in Design Engineering, 49, 93-97.

8-3

Una caratteristica del fenomeno del creep e che esso in opera si produce in tempi lunghissimi(anni o anche decine di anni), per cui le prove vengono condotte in tempi brevi rispetto al fenomeno(settimane o mesi), ma pur sempre “lunghe dal punto di vista tecnico, e poi i risultati vengonoestrapolati.

Per questa ragione si hanno due tipi di prove: se si e interessati alla resistenza a rottura percreep si effettuano prove a tensione molto alta, vicina a quella di rottura, per poter rompere ilprovino in tempi ragionevoli; se invece si e interessati all’andamento delle deformazioni si effettuanoprove a tensione piu bassa in modo da avere uno sviluppo piu graduale del fenomeno.

Le prime sono dette prove di rottura a caldo, le seconde, prove di deformazione a caldo. Essepermettono la determinazione dei seguenti parametri caratteristici dei materiali:

• tensione di rottura per scorrimentoσR/h/T

in cui h e la durata in ore e T e la temperatura di prova. Esempio: la tensione di rottura a500 gradi centigradi dopo 100000 ore e indicata con σR/100000/500.

• tensione limite di scorrimentoσA/h/T

in cui A e l’allungamento percentuale che si raggiunge dopo h ore e T e la temperatura diprova. Esempio: la tensione che produce l’allungamento dello 0.2 per cento dopo 10000 oree indicata con σ0.2/10000/500.

Si tenga ben presente che i tempi indicati non corrispondono alla durata della prova (infatti10000 ore sono 14 mesi e 100000 ore sono 11 anni) ma ad una estrapolazione di risultati di provemolto piu brevi.

Per effettuare tali estrapolazioni, come anche nella pratica progettuale per ricavare i dati diresistenza e allungamento per temperature diverse da quelle tabellate, si effettuano correlazioni didati con parametri empirici tra cui quello di Larson-Miller.

8.3 Meccanismi del creep

I meccanismi del creep sono vari a seconda dei materiali e delle condizioni di tensione e di tempe-ratura. Grossolanamente si possono tutti considerare causati da moti di atomi, che provocano unriassestamento del reticolo cristallino. La dipendenza del fenomeno dalla temperatura e data dauna legge ’tipo Arrhenius’, cioe da

ε = A exp(− E

RT

)(1)

in cui A e un parametro la cui dipendenza funzionale varia a seconda del meccanismo, E e l’energiadi attivazione e R e la costante dei gas. Si interpreta questa dipendenza dicendo che gli atomi sitrovano in posizioni ben definite e che per far saltare un atomo da una posizione all’altra occorrefornirgli dell’energia, cioe appunto l’energia di attivazione.

Per un solido amorfo si ha il creep viscoso, analogo alla viscosita dei liquidi, e la velocita dideformazione e data da

ε = A1σ exp(− E

RT

)

Per i solidi cristallini si hanno due meccanismi diversi: il flusso diffusionale e il creep dadislocazioni. Il primo, che si presenta ad alte temperature e tensioni relativamente basse, e legatoal moto delle vacanze; il secondo, che si presenta a tensioni alte, e legato al moto delle dislocazioni.La prevalenza dell’uno o dell’altro meccanismo e illustrato in coordinate adimensionali in graficisimili a quello di fig. 8.5.

8-4

Figura 8.5: Mappa di deformazione per l’argento puro con dimensione del grano 32µm. Da Dowling,1993. Adattato da Ashby, M.F., 1972,“A First Report on Deformation Mechanism Maps”, ActaMetallurgica, 20, 887-897.

Nel flusso diffusionale, se le vacanze si muovono all’interno del reticolo si ha il creep di Nabarro-Herring

ε =A2σ

d2Texp

(− Ev

RT

)

se le vacanze si muovono lungo il bordo dei grani si ha il creep di Coble

ε =A′2σd3T

exp(− Eb

RT

).

In queste espressioni d e il diametro medio dei grani.Il moto delle dislocazioni puo avvenire in due modi: moto di scivolamento (glide), ossia spo-

stamento sul proprio piano di scorrimento, e moto di risalita (climb), ossia perdita o aggiunta diuna fila di atomi al semipiano soprannumerario.

Il moto di scivolamento presenta un’energia di attivazione assai bassa, per non dire nulla, edeterminato dalla sola tensione, purche sufficientemente alta, e conduce a deformazioni plastiche. Ilmoto di risalita da invece luogo al creep da dislocazioni, che si caratterizza per una forte dipendenzadalla tensione

ε =A′2σ

n

Texp

(− E

RT

).

in cui n e dell’ordine di 5. Questo e il modo tecnicamente piu importante e giustifica la legge diBayley, alla quale si riconduce per T costante.

8.4 Estrapolazione dei dati sperimentali

Vi sono due modi, in linea di principio, per estrapolare i dati sperimentali: o si estrapola a tem-peratura costante, prolungando le linee delle figg. 8.3 e 8.4 o si cerca una correlazione tra tempoe temperatura, ossia i due fattori che influenzano il fenomeno.

8-5

Il primo modo e considerato inaffidabile, in quanto le linee di figg. 8.3 e 8.4 presentano cambidi pendenza (ginocchi) se cambia il meccanismo di creep, quindi si procede sempre nel secondomodo, con l’introduzione di opportuni parametri.

8.5 Parametro di Larson-Miller

Prendendo il logaritmo decimale delle (1) si ha

log ε = log A− 0.43E

RT(2)

in cui 0.43 e il logaritmo decimale di e.Dalla (2), considerando A costante ed E funzione solo della tensione, moltiplicando per T e

riordinandoT (Cε − log ε) = 0.43

E

R

il primo membro e il parametro di Larson-Miller e il secondo e dipendente solo da σ e precisamentedecrescente con legge quasi lineare.

Un’altra relazione da tener presente e quella tra velocita media di deformazione (che tende aregime alla velocita del creep secondario) e tempo di rottura. Infatti

ε =εR

tR

PerciotRε = εR = K

in cui tR e il tempo a rottura e K e una costante. Passando ai logaritmi:

log tR = logεR − log ε ≈ − log ε (3)

in cui l’ultimo passaggio si giustifica per la trascurabilita del termine omesso rispetto all’altro. Ilparametro di Larson-Miller puo essere quindi definito in funzione del tempo di rottura facendouso della (3)

P ′LM = T (Ct + log tR).

I valori di Ct e di Cε sono dipendenti solo dal materiale; in particolare per materiali metalliciCt = 20 e per acciai Cε = 18.5

Valori del parametro di Larson-Miller in funzione della tensione sono dati in figg. 8.6 e 8.7.

8.6 Calcolo di strutture soggette a scorrimento viscoso

Si distiguono due casi: se la struttura e isostatica (per esempio una struttura reticolare) non vi sonodifferenze rispetto al calcolo statico, in quanto la distribuzione delle tensioni non e influenzata dalladeformazione; si calcolano quindi le tensioni punto per punto e poi le deformazioni, che risultanoovviamente variabili nel tempo. Una applicazione notevole si ha nel caso delle palette per turbine,che possono essere considerate mensole incastrate.

Se la struttura e iperstatica occorre calcolare la distribuzione delle tensioni tenendo contodella presenza del creep. Si applica in questo caso la legge di Bayley i cui coefficienti per fortunanon dipendono dal tempo. Calcolata quindi la tensione punto per punto si calcolano le relativedeformazioni che sono variabili nel tempo.

8-6

Figura 8.6: Parametro di Larson-Miller per diversi metalli. Da Dowling, 1993. Adattato da Larson,F.R. and Miller, J., 1952, “A Time-Temperature Relationship for Rupture and Creep Stresses,Trans. of the Am. Soc. of Mechanical Engineers, 74, 765-771

Esempio: sia data la semplice struttura della figura 8.8, a sinistra. Si fa l’ipotesi cruciale chela deformazione da scorrimento viscoso sia prevalente rispetto a quelle elastiche e plastiche, chequindi si trascurano. L’asta 1 e soggetta ad una tensione σ1, per la quale si allunga della quantita

ε1 =∫

εdt = Bσn1 t

Allo stesso modo le aste 2 si allungano di

ε2 = Bσn2 t.

Per la congruenza deve essere (vedi fig. 8.8, a destra)

∆l2 = ∆l1 cos θ (1)

inoltre (vedi la fig. 8.8, a destra)l2 = l1/ cos θ. (2)

Dividendo la (1) e la (2) (si suppone che le deformazioni rimangano comunque piccole) si ha

ε2 = ε1 cos2 θ. (3)

Applicando la (3) si haσn

2 = σn1 cos θ

σ2 = σ1(cos θ)2/n

facendo uso della relazione di equilibrio

8-7

Figura 8.7: Tensione di rottura per creep in funzione del parametro di Larson-Miller per diversimetalli

8-8

Figura 8.8: Esempio di struttura iperstatica soggetta a creep (a sinistra) e relazione di congruenzaper l’abbassamento della sua cerniera (a destra).

σ1A1 + σ2A2 cos θ = Q

in cui A2 indica la somma delle aree delle aste 2, si ha

σ1 =Q

A1

11 + A2

A1(cos θ)2/n

.

Per confronto si studiano i casi elastico e plastico. Nel caso elastico

σ1 = Eε1

σ2 = Eε2

da cui, facendo intervenire la relazione di congruenza (3)

σ2 = σ1 cos2 θ.

sostituendo nell’equazione di equilibrio

σ1 =Q

A1

11 + A2

A1(cos θ)3

.

In questo caso l’asta 1 e chiamata in causa piu fortemente che nel caso del creep. Osservando chenel caso elastico l’asta piu sollecitata e la 1, non e difficile capire che in essa si avra per primalo snervamento. Immaginando un comportamento idealmente plastico (σ = σs sempre, dopo losnervamneto) si ha

σ1 = σs

e, applicando la relazione di equilibrio

Q = σsA1 + σ2A2 cos θ

si haσ2 =

Q− σsA1

a2cosθ

purche risultiσ2 ≤ σs.

8-9

8.7 Altri parametri per l’estrapolazione dei dati sperimentali

Altri parametri per l’estrapolazione dei dati sperimentali sono i seguenti:

8.7.1 Tempo compensato

Il tempo compensato2 viene introdotto nel seguente modo: Integrando la (1) a temperatura costante etrascurando la costante di integrazione, cioe la deformazione dovuta alla fase primaria del creep, si ha

ε = At exp(− E

RT

)

Poiche E dipende solo debolmente, o addirittura niente affatto, da σ, si puo scrivere

ε = A(σ)θ

con

θ = t exp(− E

RT

)(4)

detta tempo compensato. Come si vede in fig. 8.9, esso permette di eliminare o quasi l’influenza della

temperatura, ma non della σ (infatti in fig. 8.9 le prove sono state fatte alla stessa tensione). Viceversa e

possibile sperimentare ad una temperatura elevata in tempi brevi estrapolando i risultati a temperature

molto piu basse.

Figura 8.9: Deformazione totale per creep in funzione del tempo compensato per varie leghe dialluminio provate a σ = 27.6 MPa a varie temperature. Da Orr, R. L., Sherby, O. D., and Dorn, J.E., 1954, “Correlations of Rupture Data for Metals at Elevated Temperature, Trans. of. the Am.Soc. for Metals, 46, 113-128.

8.7.2 Parametri di Dorn

Particolarizzando la (4) per t = tr si ha

θr = tr exp(− E

RT

)(5)

2Proposto da Zener e Holloman ma fatto proprio da Dorn

8-10

il cui secondo membro si chiama parametro di Dorn ed e funzione della tensione e del materiale. Prendendo il logaritmodecimale della (5) si ha

log θr = log tr − 0.43E

RT(6)

e il primo membro prende il nome di parametro di Sherby-Dorn. Una forma semplificata della (6) e la seguente:

log θr = log tr − C

T(6)

che prende il nome di formula di Fisher-Dorn. Le stesse formule possono essere espresse facendo comparire la ε invecedel tr . Per esempio, per il parametro di Sherby-Dorn, detto P ′SD quello relativo alla rottura e PSD quello relativo allavelocita di deformazione, si ha

PSD = − log ε− 0.43E

RT

P ′SD = log tR − 0.43E

RT.

La relazione tra i due eP ′SD = PSD + log εR.

εR vale in genere 0.2 ÷ 0.6, per cui log εR = −0.7÷−0.2 e quindi risulta abbastanza piccolo rispetto a PSD , che edell’ordine di −20÷−12, quindi in definitiva P ′SD ≈ PSD .

8.7.3 Parametro di Manson-Haferd

Viene definito, solo in funzione del tempo di rottura, con la posizione

P ′MH =T − Ta

log tR − log ta

dove Ta e log ta sono caratteristiche del materiale.

Per i tre parametri sopra definiti, relativi alla rottura, si trovano alcuni dati in tab. 8.1.

Tabella 8.1: Alcuni valori di parametri di correlazione del creep

8-11

Tabella 8.2: Valori di alcune caratteristiche meccaniche per diversi materiali metallici a varietemperature. Da dati di diversi autori, riportati in Odquist, Mathematical Theory of Creep andCreep Rupture, Oxford Univ. Press, 1966

8-12

Tabella 8.3: Tensioni (in ksi) che provocano un dato scorrimento (creep rate) ad una datatemperatura (in F. Da “Creep Data”, ASME e ASTM; basata su prove di 1000 ore.

8-13

9. Meccanica della frattura

Vi sono dei casi in cui strutture anche di grandi dimensioni cedono istantaneamente dividendosiin due parti per propagazione istantanea di una frattura preesistente.

Questo tipo di cedimento si evidenzio quando si diffusero le costruzioni saldate in campo navale(anni 20-30). vedi le figg. 9.1 e 9.2

Figura 9.1: Rottura di schianto della petroliera Schenechtady (ma secondo altri era una nave datrasporto), causata da una frattura innescatasi in corrispondenza della giunzione con il corso dicinta di una piastra irrigidente a dritta il ponte di coperta. Portland, Oregon, 16 gennaio 1942.Da F. Manna, Storia della saldatura.

Figura 9.2: Nave da carico spaccatasi in due appena rientrata in bacino. Da F. Manna, Storia dellasaldatura.

L’aspetto delle due superfici di frattura e netto, di tipo fragile, senza traccia di grandi defor-mazioni ne di strizione.

Il difetto da cui simili catastrofi traggono origine e un difetto di saldatura o anche causatodall’azione di un carico ripetuto (fatica) e si presenta come una lesione capillare, al cui apice ilraggio di curvatura e piccolissimo.

Tale difetto non si presta ad essere trattato con la teoria dell’elasticita; infatti questa prediceall’apice della cricca una tensione infinita, che quindi dovrebbe produrre la frattura in ogni caso;

9-1

invece si constata che una cricca puo rimanere dormiente anche sotto sollecitazioni non trascurabiliper poi attivarsi improvvisamente.

9.1 Trattazione energetica

La propagazione di una cricca richiede energia per la creazione delle nuove superfici di frattura;l’energia richiesta e proporzionale all’area delle nuove superfici e dipende dal materiale.

Durante la propagazione c’e pero una liberazione di energia dovuta al fatto che le zone imme-diatamente a monte e a valle della cricca sono scariche; nella propagazione man mano che la criccaavanza cresce la zona scarica per cui l’energia che in essa era immagazzinata si rende disponibile.

Figura 9.3: Geometria della propagazione di una cricca in una lastra infinita

Si guardi la fig. 9.3: nell’esempio di una fessura passante in una lastra di spessore t, sotto-posta ad una tensione σ, per effetto di un’allungamento da da ciascuna delle due parti si ha unassorbimento di energia

dU = 4Rtda,

in cui R e l’energia necessaria per creare una superficie di area unitaria, per effetto della creazionedi 4 nuove superfici, mentre si ha una liberazione di energia che si puo grossolanamente stimareipotizzando che la parte scaricata sia una corona circolare di raggio interno a e spessore da e chein essa ci fosse solo sforzo normale, quindi

dW =12σε2πtada =

12E

σ22πtada.

Se dW < dU un aumento istantaneo da della lunghezza della cricca, causato per esempio daun’azione esterna, sarebbe sfavorito energeticamente, per cui si richiuderebbe istantaneamente.

Se invece dW > dU la crescita della frattura sarebbe favorita, per cui proseguirebbe fino alladivisione del pezzo in due parti.

Quest’ultima condizione si scrive:σ2a > cost.

La costante che qui compare dipende solo dal materiale.

9-2

Per ragioni storiche questa espressione viene scritta prendendo la radice quadrata di entrambii membri e facendo comparire un fattore numerico

σ√

πa > KIc

La quantita a primo membro si chiama fattore di intensita degli sforzi KI relativa all’organoconsiderato; essa si presenta, a parte fattori numerici, come il prodotto di una tensione caratte-ristica della situazione considerata per la radice di un fattore geometrico che e una dimensionecaratteristica del pezzo.

Per il calcolo del fattore di intensita degli sforzi in vari casi si veda la figura 9.5.Il fattore KIc a secondo membro si chiama tenacita alla frattura ed e caratteristico del mate-

riale. Varie tenacita alla frattura sono riportate in tabella.Il pedice I che compare nel simbolo del fattore di intensita degli sforzi e nella tenacita alla

frattura si riferisce al primo modo di frattura. Si distinguono il modo primo (quello dell’esempio)in cui la forza agente sull’apice della frattura e normale sia al piano della frattura che all’apice, ilmodo secondo in cui la forza agente sull’apice della frattura e parallela al piano della frattura manormale all’apice e il modo terzo in cui la forza agente sull’apice della frattura e parallela all’apice.Vedasi la figura 9.4.

Figura 9.4: Modi di frattura

9-3

Figura 9.5: Formule di KI e KII in alcuni casi tipici

9-4

Tabella 9.1: Resistenza a frattura. Si ricorda che 1 ksi = 6.895 MPa e 1 ksi√

in = 1.099 MPa√

m.Materiale Tensione di rottura Tenacita alla frattura

σu/ksi KIc/ksi√

inA517 Steel (AM) 120 170AISI 4130 Steel (AM) 170 100AISI 4340 Steel (VAR) 300 40AISI 4340 Steel (VAR) 280 40AISI 4340 Steel (VAR) 260 45AISI 4340 Steel (VAR) 240 60AISI 4340 Steel (VAR) 220 75300 M Steel (VAR) 300 40300 M Steel (VAR) 280 40300 M Steel (VAR) 260 45300 M Steel (VAR) 240 60300 M Steel (VAR) 220 75B6AC Steel (VAR) 240 40-90N-11 Steel (VAR) 320 30N-11 Steel (VAR) 300 40N-11 Steel (VAR) 280 4512Ni - 5 Cr - 3M0 Steel (VAR) 190 22018Ni (300) Maraging Steel (VAR) 290 5018Ni (250) Maraging Steel (VAR) 260 8518Ni (200) Maraging Steel (VAR) 210 12018Ni (180) Maraging Steel (VAR) 195 1609 Ni - 4Co - 0.3C Steel (VAR) 260 60Al 2014 - T651 70 23Al 2024 - T851 65 23Al 2219 - T851 66 33Al 2618 - T651 64 32Al 7001 - T75 90 25Al 7075 - T651 83 26Al 2014 - T651 78 29Al 2014 - T651 83 24

9-5

Figura 9.6: Valori di KIc a temperatura ambiente per alcuni materiali strutturali. Da “RapidInexpensive Tests for Determining Fracture Toughness, National Academy of Sciences, WashingtonD.C., 1976.

9-6

Figura 9.7: Provino di flessione

9.2 Prove di tenacita alla frattura

9.2.1 Tipi e proporzioni dei provini

Visto che i risultati della prova sono poco influenzati dalla forma del provino, le norme raccoman-dano due tipi di provino, molto diversi tra loro:

1. provini a flessione (a tre e quattro punti)

2. provini C. T. (compact tension)

Entrambi i tipi sono caratterizzati da un intaglio molto acuto, che funge da innesco per unacricca di fatica, che viene fatta crescere in condizioni controllate di carico. Quando la lunghezzadella cricca e quella desiderata il provino puo essere sottoposto alla prova.

I provini a flessione (vedi figg. 9.7 e 9.9) sono grossolanamente simili ai provini per prova diresilienza; ma hanno due caratteristiche geometriche che li rendono inconfondibili: innanzituttola presenza dell’intaglio acuto (mentre nei provini di resilienza e arrotondato) e soprattutto lapresenza della cricca di fatica la cui profondita, rispetto alla faccia intagliata del provino, e indicatacon a.

I provini C. T. (vedi fig. 9.8 e 9.9) hanno forma di parallelepipedo. Richiede meno materialedel provino di flessione, ma e piu costoso per la necessita di lavorare i fori con precisione.

9.2.2 Appoggi e afferraggi

Per ridurre al minimo l’attrito, le prove di flessione sono eseguite usando come appoggi rulli cono senza assi fissi. I diametri dei rulli e del punzone centrale dovrebbero essere compresi tra W/2 eW .

Per le prove a trazione si usa un afferraggio a forcella chiudibile con un perno passante. Traperno e fori occorre accoppiamento libero preciso.

9.2.3 Dimensioni dei provini

Il risultato della prova di KIc e considerato valido solo se la zona plastica all’apice della criccasia molto piccola e se le condizioni sono prossime a quelle di deformazione piana. La mancanza di

9-7

tale condizione e denunciata dalla configurazione obliqua delle superfici di frattura; se pero questesi presentano ben piane eperpendicolari al carico, non e detto che la condizione di deformazionepiana sia soddisfatta.

Vari autori hanno cercato una condizione sufficiente per la validita della prova. I risultatidi queste ricerche sono stati condensati nelle prescrizioni delle norme ASTM E399 e BS 5447.Entrambe prescrivono che la lunghezza della cricca deve essere

a ≥ 2.5(

KIc

σs

)2

affinche vicino al vertice della cricca lo stato tensionale sia sufficientemente prossimo a quello chesi avrebbe in un materiale a comportamento lineare elestico. D’altronde sono sconsigliati valoridi a/W maggiori di 0.55, perche oltre questo valore piccoli errori nella misura di a si traduconoin forti errori di KIc. Il combinato disposto di queste due prescrizioni equivale a fissare un valoreminimo di W .

Anche lo spessore B del provino deve essere

B ≥ 2.5(

KIc

σs

)2

per assicurare che lo stato di deformazione all’apice della cricca sia piano.

9.2.4 Formazione a fatica della cricca

La formazione a fatica della cricca iniziale, fase essenziale nella preparazione del provino, deveseguire una ben precisa ricetta, per evitare che vi siano tensioni residue o plasticizzazioni all’apice

Figura 9.8: Provino C. T.

9-8

Figura 9.9: Particolari dell’intaglio nei provini di flessione e C.T.

della cricca.

1. la lunghezza della cricca per fatica non deve essere minore di 1.25 mm fermo restando ilvalore di a/W ;

2. la cricca deve essere piana, parallela al piano dell’intaglio e deve avere fronte rettilineo eparallelo al piano dell’intaglio (sono ammesse deviazioni non superiori a 5). Purtroppoquesta condizione puo essere accertata solo dopo la rottura del provino.

3. il valore di ∆K durante la propagazione non deve essere minore di 0.9 Kmax. Cio significa chela sollecitazione di fatica deve essere molto vicina alla condizione ‘dallo zero’ o addiritturaalternata.

4. Il valore di Kmax durante ilprimo stadio della propagazione della cricca puo porsi uguale a0.75 KIc. Durante lo stadio finale, intendendo per questo gli ultimi 1.25 mm di crescita dellacricca, deve essere

Kmax ≤ 0.6KIc

(secondo la norma ASTM)

9-9

Tipicamente la formazione della cricca richiede almeno 50000 cicli di carico.

9.2.5 Strumentazione

La prova di frattura fragile e condotta in maniera molto simile alla prova di trazione. Per la misuradegli spostamenti si usa un trasduttore, che concettualmente e un estensometro, posto a cavallodell’intaglio (fig. 9.10)

Il carico viene fatto aumentare gradualmente in modo che KI cresca di 30÷ 150 MN m−3/2 alminuto, che corrisponde ad una durata della prova tra 1 e 5 minuti.

Figura 9.10: Trasduttore di spostamento

9.2.6 Interpretazione della prova

Durante la conduzione della prova si registrano istante per istante i valori del carico Q e dellospostamento s, fino alla rottura del provino.

L’andamento del diagramma carico - spostamento puo presentare un punto di discontinuitapiu o meno accentuato al momento della propagazione instabile; il caso piu favorevole e quello delquarto diagramma della fig. 9.11, mentre il piu dubbio e quello del primo diagramma.

Per differenziare i vari casi si traccia una retta A sul prolungamento del primo tratto rettilineoe successivamente una seconda retta il cui coefficiente angolare sia il 95% del precedente. Comevalore Qq da usare nel calcolo di KIc si usa l’intercetta con la seconda retta o il massimo (se c’e)compreso tra le due rette.

La prova non e valida se lo scostamento del diagramma dalla prima retta e troppo ‘dolce’ comenel primo diagramma di fig. 9.11, in cui il segmento qi, in corrispondenza dell’ordinata 0.8Qq, emaggiore di 1/4 del segmento q, misurato in corrispondenza di Qq.

9.2.7 Calcolo di KIc

Per il calcolo di KIc, il valore di Qq si introduce nella formula

KIc =QY

B√

W

in cui il valore della cedevolezza Y e dato da uno sviluppo in serie di potenze di a/W , ma piucomodamente dalle tabelle 9.2 e 9.3, rispettivamente per i provini a flessione e C.T.

9-10

Figura 9.11: Principali tipi di diagrammi carico-spostamento per prove di KIc

Tabella 9.2: Valori di Y al variare di a/W per provini di flessione a tre punti

Tabella 9.3: Valori di Y al variare di a/W per provini C.T.

9-11

9.3 Materiali per basse temperature

Premetto che c’e una notevole correlazione tra il comportamento di un materiale alla prova diresilienza e alla prova di tenacita alla frattura.

Innanzitutto il tipo di frattura, duttile o fragile, dipende fortemente dallo spessore del provi-no; per conseguenza, se si usa un provino di sezione insufficiente, il risultato della prova risultaanormalmente alto per effetto della deformazione plastica.

In secondo luogo, la tenacita alla frattura e la resilienza mostrano un comportamento analogoal variare della temperatura, e in particolare, al decrescere della temperatura possono presentareuna marcata diminuzione.

In terzo luogo, i fattori che influenzano la resilienza influenzano allo stesso modo anche la tena-cita alla frattura; per esempio alti spessori, forti velocita di applicazione del carico, bombardamentoneutronico, vanno tutti nel verso di un ‘infragilimento’ del materiale.

Non meraviglia allora che vi siano delle correlazioni tra resilienza e tenacita alla frattura, espesso si possono usare le prime, piu comuni, per prevedere le altre, piu difficili a reperirsi inletteratura.

Riporto qui tre correlazioni, Reperibili in Sailor e Corten, 1972:

• Relazione di Rolfe e Novak (1970)(

KIc/(MPa√

m)σy/MPa

)2

= 0.646(

Cv/Jσy/MPa

− 0.0098)

• Relazione di Barson e Rolfe (1970)

(KIc/(MPa√

m))2

E/MPa= 2.218× 10−4 (Cv/J)3/2

• Relazione di Sailor e Corten (1972)

(KIc/(MPa√

m) = 14.63 (Cv/J)1/2

L’andamento delle proprieta meccaniche per i materiali strutturali, al diminuire della tempe-ratura, evidenzia generalmente un incremento del modulo di elasticita, del carico di rottura, dellimite di snervamento e del limite di fatica. La resilienza e la duttilita sono invece legate allastruttura cristallina. Per materiali caratterizzati da reticolo cubico a corpo centrato queste dueproprieta tendono ad abbassarsi, presentando talvolta variazioni brusche con la temperatura; permateriali con reticolo cubico a facce centrate o esagonale esse tendono invece a rimenere costanti,o addirittura ad aumentare leggermente. Si vedano le figg. 9.12 e 9.13.

La caratteristica piu limitante nell’impiego di materiali a bassa temperatura e la diminuzionedella resilienza, e la conseguente diminuzione della tenacita alla frattura. Una delle caratteristichealle quali occorre fare attenzione e la dimensione del grano cristallino, in quanto ad un ingrossa-mento del grano corrisponde un’andamento piu sfavorevole della resilienza. Comunque in generaletutti gli aspetti microstrutturali vanno presi in considerazione.

Tra i metalli utilizzati in applicazioni criogeniche rimangono il rame e alcune sue leghe, l’al-luminio e alcune sue leghe, gli acciai al nichel e inossidabili, la lega monel, il nichel, il titanio.I moderni metodi di saldatura in atmosfera inerte hanno molto favorito l’impiego delle leghe dialluminio e ddell’acciaio inox 18/8. Le prime, contenenti magnesio e piccole quantita di cromoe manganese, permettono una certa economia e una notevole leggerezza; esse percio hanno unadiscreta diffusione per apparecchiature a media e bassa pressione fino a -200. L’acciaio inox, perle sue caratteristiche meccaniche migliori, si impone invece per le condizioni di esercizio piu severe,ossia piu alte pressioni e piu basse temperature.

9-12

Figura 9.12: Andamento del carico di rottura di alcuni materiali alle basse temperature: a) allu-minio; b) rame legato; c) monel; d) titanio; e) acciaio inox; f) acciaio al carbonio; g) acciaio alnichel; h) teflon.

Figura 9.13: Andamento della resilienza di alcuni materiali alle basse temperature: a) alluminio;b) rame legato; c) monel; d) titanio; e) acciaio inox; f) acciaio al carbonio; g) acciaio al nichel.

9-13

10. La rilevazione delle cricche

Una frattura o una cricca di solito non e visibile ad occhio nudo, e nemmeno con una lente, siaperche puo non aprirsi alla superficie sia perche puo essere molto sottile, capillare, di spessoreanche inferiore ad un micrometro1. I metodi per la rilevazione delle cricche e di altri difetti, qualibolle o soffiature di fusione, difetti di saldatura, inclusioni di scaglie di ossido eccetera, vanno sottoil nome di controlli non distruttivi.

essi si distringuono in:

• liquidi penetranti

• raggi X e gamma

• ultrasuoni

• metodi elettromagnetici.

Il confronto tra metodi e illustrato in fig. 10.1

Figura 10.1: Confronto di sensibilita tra metodi non distruttivi

10.1 Liquidi penetranti

I liquidi penetranti sono dei liquidi a viscosita alquanto bassa nei quali e sciolta una sostanza colo-rante e fluorescente. Anticamente i liquidi penetranti fluorescenti richiedevano l’uso della lampadadi Wood (luce ultravioletta), ma oggi la fluorescenza puo essere benissimo eccitata anche dallaluce visibile.

1si ricorda che il micrometro e uno strumento per misurare piccole lunghezze, mentre la parola micron, sinonimadi micrometro, non va piu utilizzata.

10-1

L’applicazione dei liquidi penetranti avviene attraverso le seguenti fasi: 1) Pulizia e sgrassaggiodel pezzo 2) Immersione nel liquido o spruzzamento del medesimo 3) asportazione del liquido ineccesso 4) Immersione del pezzo in polvere assorbente, detta sviluppatore o mezzo di contrasto.

Durante l’immersione il liquido penetra nelle fessure aperte sulla superficie e per effetto del po-tere assorbente del mezzo di contrasto viene richiamato fuori dalle fessure formando delle macchieben visibili.

Questo metodo ha il vantaggio di essere economico, abbastanza ecologico, rapido e di fornireanche una valutazione quantitativa delle cricche, in quanto se ne puo misurare la lunghezza. Losvantaggio sta nel fatto che non puo rilevare cricche non aperte ne soffiature o cavita varie.

10.2 Raggi X e gamma

I raggi X e gamma sono radiazioni elettromagnetiche di ben definita lunghezza d’onda. Tecnica-mente i raggi X sono prodotti da apparecchi radiografici, affini a quelli usati in diagnostica medica,mentre i raggi gamma sono prodotti da isotopi radioattivi naturali.

Il controllo radiografico e gammagrafico viene effettuato ponendo il pezzo sotto l’azione deiraggi, i quali vanno ad annerire una lastra fotografica; l’annerimento e inversamente proporzionaleallo spessore attraversato, per cui si rendono visibili eventuali cavita chiuse, come ad esempioporosita o soffiature prodotte durante la fusione o la saldatura.

Questi metodi sono quasi indispensabili per rilevare cavita chiuse, ma hanno lo svantaggio diessere costosi e di richiedere tutta una serie di metodi di protezione per l’operatore.

10.3 Ultrasuoni

Gli ultrasuoni sono vibrazioni meccaniche di frequenza superiore a 20000 Hz e quindi non udibilidall’orecchio umano.

Essi vengono generati per azione di un trasduttore piezoelettrico, che puo fungere anche daricevitore.

La piezoelettricita e la proprieta di alcune sostanze, tra cui il quarzo, di deformarsi se vengonopolarizzate elettricamente, ossia se sono sottoposte ad un campo elettrico; viceversa, se questesostanze vengono deformate si polarizzano, ossia diventano sedi di cariche elettriche di segnoopposto su facce opposte.

Il trasduttore piezoelettrico e quindi un cristallo di quarzo posto tra le armature di un conden-satore; se le armature vengono caricate il cristallo si deforma; se nel condensatore vi e un campoelettrico oscillante il cristallo vibra; diviene cosı una sorgente di ultrasuoni.

Se viceversa il cristallo vibra diventa sede di un campo elettrico oscillante che puo essre rilevatodal condensatore e poi amplificato; cosı il cristallo funge da ricevitore.

Le onde ultrasonore si propagano nel solido da studiare e vengono riflesse dalla superficieopporta al ricevitore; il ritardo del’eco di ritorno misura la dimensione del pezzo; eventuali altrisegnali di eco segnalano la presenza di discontinuita o di cavita.

Questo metodo e adatto alla rilevazione di cavita sia chiuse che affioranti purche di dimensionisufficienti; non richiede protezione dell’operatore ed e abbastanza economico, anche se, al contrariodei liquidi penetranti richiede apparecchiature di costo non trascurabile.

10.4 Metodi elettromagnetici

Si da un cenno del solo metodo magnetico, trascurando quello delle correnti parassite. Se un pezzodi materiale ferromagnetico viene posto in un campo magnetico esso si magnetizza (ossia divienesede di un campo magnetico molto forte); le linee di flusso del campo sono parallele e regolarientrando nel pezzo in corrispondenza del polo nord e uscendone al polo sud. Se il pezzo possiededelle discontinuita superficiali perpendicolari al campo magnetico l’andamento delle linee di flusso

10-2

e perturbato e da’ luogo alla presenza di un’altra coppia di poli magnetici sulla superficie del pezzoin corrispondenza della discontinuita.

Questi poli magnetici spuri possono essere rilevati cospargendo il pezzo con limatura di ferro.Per evidenziare difetti comunque orientati l’esame va ripetuto almeno due volte a campi magneticiperpendicolari; alla fine di ogni esame occorre smagnetizzare il pezzo per privarlo dell’eventualemagnetismo residuo.

10-3

11. Fatica dei materiali

11.1 Generalita

Il fenomeno della fatica consiste nella rottura di pezzi sottoposti a sollecitazioni cicliche, anche sein nessun momento del ciclo si e raggiunta la tensione di rottura.

11.1.1 Prove di fatica

Definizioni:

• Prove statiche sono quelle in cui il carico aumenta gradualmente con bassa velocita (circa1 Mpa s−1) fino a rottura;

• Prove dinamiche sono quelle in cui l’aumento del carico e molto veloce (circa 105 Mpas−1), per esempio prove di resilienza;

• Prove di fatica sono quelle in cui il carico, variando con velocita medio-alta (circa 103 Mpas−1) ha un andamento oscillante tra un massimo e un minimo.

Per caratterizzare un carico di fatica importa indicare il carico massimo, quello minimo e ilnumero di alternanze. Ragionando in termini di tensione1, si possono assegnare due dei seguenticinque parametri:

1) e 2) σmax e σmin

3) e 4) Il valor medio σm e l’ampiezza σa2 dell’onda di tensione

σm =σmax + σmin

2

σa =σmax − σmin

25) Il rapporto di tensione R

R =σmin

σmax

In base ai valori dei precedenti parametri si distinguono prove:

• alterno simmetriche se σmin = −σmax e quindi σm = 0 ed R = −1;

• alterno asimmetriche se σmin 6= −σmax; in questo caso si ha −1 < R < 0 se il caricoprevalente e di trazione e R < −1 se il carico prevalente e di compressione (tali ultime provesono pero poco usate).

• dallo zero se σmin = 0 e quindi R = 0 (poco usato il caso a compressione σmax = 0,R = ∞),

• pulsanti se σmin e σmax hanno lo stesso segno (quasi sempre si effettuano prove in trazioneper cui essi sono positivi); si ha 0 < R < 1 se sono di trazione e r > 1 se sono di compressione.

1la tensione di cui qui si parla e quella nominale, ossia non si tiene conto dell’effetto di intaglio ne tanto menodella contrazione laterale.

2L’ampiezza viene indicata in alcuni testi italiani (tra cui il Manna) con ∆σ. Tale uso non e raccomandabilevisto che di solito l’operatore ∆ indica una differenza e non una semidifferenza: se ne veda l’uso corretto piu avantiin questo capitolo.

11-1

Lo stesso dicasi mutatis mutandis3 se la tensione variabile e una tensione tangenziale.La forma d’onda non ha importanza, per cui di solito essa viene scelta secondo l’opportunita

(sinusoidale o a onda trapezia o triangolare o altro); neppure la frequenza e importante per cui siutilizza la frequenza piu alta permessa dalla macchina.

In base al tipo di sollecitazione si distinguono prove a trazione-compressione, a flessione statica,a flessione rotante e a torsione alternata.

Le macchine utilizzate sono delle normali macchine di prova universali (in questo caso lafrequenza delle alternanze e al massimo sui 10 Hz) o macchine speciali dette vibrofori, fondate sullarisonanza di un sistema massa-molla (frequenza fino a 500 Hz). Per le prove di flessione rotantebasta un semplice asse in rotazione, mosso da un motore elettrico, facendo eventualmente uso diun moltiplicatore di giri (tanto, la potenza assorbita e trascurabile).

11.1.2 Aspetto della rottura per fatica

La rottura per fatica si presenta suddivisa in due parti, l’una liscia, di forma semicircolare, quasisempre dotata di striature concentriche e l’altra irregolare come una rottura fragile. La prima corri-sponde all’avanzamento stabile della cricca, la seconda alla rottura finale di schianto (avanzamentoinstabile). Non vi sono mai segni evidenti di strizione, nemmeno nei materiali piu duttili.

L’innesco e sempre sulla superficie libera; in genere quella esterna, ma anche sulla superficie diporosita o soffiature interne, mai vi e innesco da un punto interno non precedentemente lesionato.

11.1.3 Studio del comportamento a fatica

Si riassume nel diagramma del Wohler4 (fig. 11.1), che porta in ascisse il logaritmo del numerodei cicli a rottura e in ordinate il logaritmo della σa. Ogni diagramma e tracciato per un valoreparticolare di σm ma in pratica quello piu usato e quello con σm = 0.

Ogni punto del diagramma rappresenta un provino. I punti si trovano sparpagliati su due fasce,una decrescente e l’altra orizzontale posta sul proseguimento della prima per alti valori del numerodi cicli. La notevole dispersione e dovuta al fatto che la fase di nucleazione della cricca dipendeda molti fattori oltre che dal carico; la fase di propagazione e invece assai piu deterministica maincide poco sulla durata totale.

Con metodi statistici si tracciano sul diagramma due linee, una inclinata e l’altra orizzontale,corrispondenti alla mediana delle due fasce; la prima e relativa alla resistenza a fatica finita e laseconda alla resistenza a fatica infinita (limite di fatica). Talvolta si traccia anche una terza rettaper bassi valori del numero di cicli, corrispondente alla fatica oligociclica, che non tratteremo.

L’ordinata della retta orizzontale viene detto limite di fatica indicato con σL(σm). se σm = 0il limite si indica con σLa.

Per alcuni materiali, in particolare per le leghe leggere (leghe di alluminio) il limite di fatica emolto basso e viene raggiunto per valori altissimi di N , cioe di 108 − 109.

Il diagramma di σL in funzione di σm si chiama diagramma di Haigh-Soderberg. Esso si presentacon la concavita rivolta verso il basso. Nel primo quadrante si approssima con una retta passanteper i punti A(0, σLa) ed R(σR, 0).

La costruzione del diagramma di Haigh-Soderberg a partire da una serie di diagrammi diWohler, ottenuti a diversi valori del precarico, e mostrata in fig. 11.2. Nella succesiva fig 11.3si vede il passaggio dai punti sperimentali (ciascuno rappresentante il limite di fatica per undiagramma di Wohler) ad una serie di curve approssimanti. Quella da noi usata sara la retta diGoodman (linea 1 del diagramma)

3absit iniuria verbis4A. Wohler (Soltau 1819 - Hannover 1914), della provincia di Hannover, ingegnere ferroviario, pioniere degli

studi sulla fatica.

11-2

Figura 11.1: Diagramma del Wohler per leghe Fe-Ni. A - Strutture cubiche a corpo centrato. B -Strutture cubiche a facce centrate 1 - Fe-10% Ni, temprato 2 - Fe-3% Ni-0.5% Ti 3 - Ni 4 - Ni-15%Fe. Da Ferro e Montalenti, 1954.

Lo stesso contenuto di informazione e presente nel diagramma di Goodman-Smith (fig. 11.4),nel quale sono tracciate le linee di σmax limite = σm + σL(σm) e σmin limite = σm − σL(σm) infunzione di σm. Questo diagramma e pero piu complesso per cui non sara utilizzato in questocorso.

Nel diagramma di Haigh-Soderberg si rappresenta un carico di fatica mediante un punto; sequesto cade al disotto della linea di resistenza a fatica vuol dire che l’organo sottoposto a quelcarico non si rompe per fatica. Nel seguito, lo studio della fatica sara suddiviso in tre capitoliche seguono l’evoluzione storica dell’argomento: dapprima considereremo il caso della resistenza alimite di fatica, che ipotizza una durata infinita del pezzo; nel secondo il caso della resistenza afatica, che tollera una durata finita e se ne sforza di calcolare i parametri; nel terzo la propagazionedella cricca di fatica, che ammette che un pezzo possa essere originariamente difettato, ma che siaancora conservato in opera.

11-3

Figura 11.2: Costruzione del diagramma di Haigh-Soderberg. Qui e mostrata la costruzione dellalinea N = cost. = 105, ma ovviamente il procedimento e lo stesso anche per la curva limite difatica.

Figura 11.3: Diagramma di Haigh-Soderberg semplificato secondo varie procedure: 1 - retta diGoodman; 2 - retta di Soderberg; 3 - parabola di Gerber; 4 - curva di Smith, usata per materialifragili

11-4

Figura 11.4: Diagramma di Goodman-Smith

11-5

Figura 11.5: Esempio del metodo Staircase.

11.1.4 Metodo Staircase

Il metodo Staircase per la determinazione del limite di fatica prevede di avere a disposizioneun certo numero di provini (minimo 15), provenienti dallo stesso lotto (stesso materiale, stessalavorazione, eccetera), da provare uno dopo l’altro. Un provino si considera ‘sopravvissuto’ sesupera senza rompersi un certo numero di cicli previamente stabilito N∞, diciamo N∞ = 106.

L’intervallo di tensione5 in cui presumibilmente cade il limite di fatica viene suddiviso in uncerto numero di livelli; nella figura 11.5 il passo, o differenza tra i livelli ∆σ vale 23 MPa, percui i valori ai quali si effettuano le prove sono 617, 640, 663 e 686 MPa. Nella figura 11.5, che echiaramente un esempio, sono stati provati solo 10 provini. Il primo, provato a 286 MPa, si rompeprima di N∞, per cui la prova successiva scende di un passo; il secondo e il terzo pure si romponoprima di N∞, per cui sempre si scende di un passo; il quarto supera N∞, per cui il successivo (ilquinto) sara provato ad una tensione piu alta di un passo, e cosı via, con la regola generale:

Se il provino n-esimo, provato alla tensione σn sopravvive, il provino n + 1-esimo sara provatoad una tensione piu alta di un passo, ossia a σn + ∆σ; se il provino n-esimo si rompe, il provinon + 1-esimo sara provato ad una tensione piu bassa di un passo, ossia a σn −∆σ.

Terminate le prove inizia l’elaborazione statistica dei risultati, che seguiremo in riferimentoall’esempio visto.

Si costruisce innanzitutto la tabella dei valori di tensione e per ciascuno di essi il numero diprovini rotti e sopravvissuti, e se ne fa la somma

tensione rotti sopravvissuti686 2 0663 3 1640 1 2617 0 1

Totale 6 4

Siccome il gruppo in minoranza e quello dei sopravvissuti, l’analisi viene effettuata con riferi-mento ad essi. Il loro totale e indicato con N , quindi in questo caso N = 4.

Si numerano i passi in ordine crescente, tramite la variabile i, che e posta obbligatoriamenteuguale a zero per il passo piu basso, ad 1 per quello successivo, eccetera.

Si moltiplica il numero di provini per i (e, somamndo, si ottiene la variabile A) e per i2 (e,sommando, si ottiene la variabile B), per cui si ottiene la tabella seguente:

5trattandosi di prove di fatica, si intende qui per tensione la σa, mentre la σm rimane la stessa per tutti i provini.

11-6

tensione sopravvissuti i ni ni2

686 0 3 0 0663 1 2 2 4640 2 1 2 2617 1 0 0 0

Totale N = 4 A = 4 B = 6

Il valore del limite di fatica e:

σL = σ0 + ∆σ

(A

N± 0.5

)

in cui si sceglie il segno + se gli eventi meno frequenti sono le sopravvivenze, come in questoesempio, e il segno − se gli eventi meno frequente sono le rotture.

Il valore numerico per questo esempio e

σL = 617 + 23×(

44

+ 0.5)

= 651.5;

la stima della deviazione standard e

Dev Stand(σL) = 1.62∆σ

(NB −A2

N2+ 0.029

);

l’inusuale notazione Dev Stand per indicare la deviazione standard, invece della consueta σ, edovuta al fatto che la lettera σ in queste dispense indica la tensione.

Il suo valore numerico per questo esempio e

Dev Stand(σL) = 1.62× 23×(

4× 6− 42

42+ 0.029

)= 19.7.

L’incertezza media (deviazione standard della media) dovrebbe essere il valore precedente divisoper

√N , ma Dixon e Mood, autori del metodo, assegnano la formula

Err(σL) = GDev Stand(σL)√

N0

in cui N0 e il numero totale dei provini ed il fattore correttivo G va preso da una figura del lavorooriginale, che qui non viene riportata, in quanto ci si accontentera di porre G = 1.

Nel nostro esempio

Err(σL) =19.7√

10= 6.2

Il valore del limite di fatica sara quindi scritto:

σL = 652± 6

11-7

11.1.5 Fattori che influenzano la fatica

Sono l’effetto d’intaglio, l’effetto finitura superficiale e l’effetto grandezza.L’effetto d’intaglio si riassume nel fatto che il comportamento a fatica di provini intagliati e

peggiore di quello dei corrispondenti provini non intagliati, ovviamente a parita di forze applicatee di sezione minima. Si ha infatti un abbassamento del limite di fatica anche se il carico di rotturanon varia (per materiali duttili).

Il rapporto

Kf =σLa(non intagliato)

σLa(intagliato)prende il nome di fattore d’intaglio a fatica e si puo ovviamente ricavare sperimentalmente, anchese di solito si determina con la formula

(1−Kf ) = q(1−Kt)

in cui Kt e il fattore teorico d’intaglio, ed e un fattore solo geometrico, per il quale si veda l’appositocapitolo, e q e la sensibilita all’intaglio, che e una caratteristica del materiale.

La sensibilita all’intaglio si trova nell’apposito abaco (fig. 11.6) in funzione della σR, o megliodella durezza Brinell HB che ad essa e proporzionale, e del raggio ρ in gola all’intaglio.

Figura 11.6: Sensibilita all’intaglio q in funzione del raggio ρ di gola dell’intaglio per acciai convarie durezze Brinell (HB), secondo il metodo di Neuber-Kuhn.

Questo abaco, che essenzialmente deve essere ritenuto sperimentale, puo essere interpretato intermini della teoria di Neuber dell’intaglio limite, secondo la quale

q =1

1 +√

ρ′/ρ

essendo ρ′ una proprieta del materiale a sua volta funzione del carico di rottura (fig 11.7).Il significato fisico della teoria di Neuber e che un intaglio di raggio inferiore a ρ′ viene visto dal

materiale come uno spigolo ‘acuto’ (di raggio nullo), per cui per esso cade in difetto la consueta

11-8

Figura 11.7: Parametro di Neuber ρ′ in funzione della tensione di rottura di acciai.

trattazione della teoria elastica e occorre procedere a considerazioni energetiche, come si era fattoper la meccanica della frattura.

Gli altri due effetti che influenzano la fatica, effetto grandezza ed effetto finitura superficiale,sono espressi da appositi fattori, indicati rispettivamente con CD e CS , che si ricavano da appositiabachi (figg 11.8 e 11.9. Questi ultimi sono solo sperimentali e non se ne conoscono formuleinterpolanti.

L’effetto finitura superficiale e legato alla rugosita6 della superficie e si ritiene originato daimicrointagli che gli utensili lasciano alla superficie del pezzo.

L’effetto grandezza e invece probabilmente dovuto al fatto che ad un pezzo piu grande corri-sponde una maggiore superficie e questa ad una maggiore probabilita che vi sia gia presente unmicrointaglio o un difetto superficiale.

6Dicesi rugosita (qualche volta scabrosita) l’insieme degli scostamenti tra superficie reale di un pezzo e lasuperficie matematica definita dal suo disegno.

Dal punto di vista tecnico la rugosita si misura in base agli scostamenti tra superficie rilevata (ossia misuratacon un palpatore di raggio 0.025 mm) e superficie tecnica (misurata con un palpatore di raggio 25 mm).

I palpatori devono scorrere su una linea il piu posibile perpendicolare alla direzione prevalente dei solchi e dellecreste della superficie reale.

Si definisce linea media la linea di compenso tra sporgenze e rientranze della superficie rilevata (misurata pa-rallelamente alla superficie tecnica), mentre la rugosita e la media degli scostamenti in modulo rispetto alla lineamedia:

Ra =1

L

∫ L

0

|y|dx.

11-9

Figura 11.8: Coefficiente CS di finitura superficiale

11-10

Figura 11.9: Coefficiente CD di effetto grandezza

11.1.6 Trattamenti di rullatura e di pallinatura

Sono due trattamenti superficiali volti a innalzare il limite di fatica, ma usati anche nel campodella durata finita per migliorare la resistenza a fatica.

Il trattamento di rullatura consiste nel lisciare la superficie dei pezzi cilindrici tramite la fortepressione esercitata da tre rulli disposti simmetricamente. L’effetto benefico e dovuto soprattuttoal fatto che si generano in superficie delle tensioni residue di compressione che tendono a chiuderele eventuali cricche di fatica che si dovessero formare, o perlomeno ad ostacolarne la propagazione.

Il trattamento di pallinatura consiste nel colpire la superficie del pezzo, in questo caso di formaqualsiasi, con una pioggia di palline di acciaio indurito, in genere trascinate da un getto di ariacompressa. Anche in questo caso si fa affidamento sulle tensioni residue generate nei microcrateridi impatto; gli incrementi della resistenza a fatica possono essere anche del 100%, nel caso dellemolle. I pallini hanno diametro da 0.2 a 2 mm e sono di acciaio per i pezzi di acciaio e di ghisa perquelli di lega leggera. A differenza della rullatura non e limitata a pezzi di forma cilindrica, percui, oltre che per le molle e molto usata per i denti degli ingranaggi e per i cordoni di saldatura.

11.2 Resistenza a limite di fatica

11.2.1 Determinazione del coefficiente di sicurezza

Il progetto e la verifica per una durata infinita del pezzo riguardano solo i materiali per i qualiesiste un chiaro limite di fatica.

Lo scopo e verificare che sotto il dato carico il pezzo non si rompa, e determinare un coefficientedi sicurezza contro il raggiungimento del limite di fatica.

Tale determinazione si fa, per mezzo del diagramma di Haigh-Soderberg semplificato, in questomodo (fig. 11.10): detto P il punto rappresentativo del carico, O l’origine e B l’intersezione tra la

11-11

Figura 11.10: Determinazione del coefficiente di sicurezza in un diagramma di Haigh-Soderbergsemplificato

retta OB e la linea del limite di fatica il coefficiente di sicurezza s e dato da

s =OB

OP.

Se poi la linea del limite di fatica e la retta AR si puo scrivere la sua equazione segmentariaprendendo per punto generico proprio il punto B che per la definizione data di coefficiente disicurezza ha per coordinate (sσm, sσa), per cui

σm

σR+

σa

σLa=

1s

(1)

Questa espressione, in cui l’incognita e s ed e percio una formula di verifica, si scrive in forma piugenerale tenendo conto dei fattori che influenzano la fatica nel seguente modo:

Ksσm

σR+

Kfσa

CDCSσLa=

1s

(2)

In cui il coefficiente di intaglio a rottura statica Ks vale

• Ks = Kt per materiali fragili

• Ks = 1 per materiali duttili

Nel caso in cui a variare sia la tensione tangenziale τ invece della tensione normale σ vale l’analogadella (2) ossia

Ksτm

τR+

Kfτa

CDCSτLa=

1s

(3)

Per la determinazione di τR e τLa spesso non si procede con apposite prove, ma si tiene conto delfatto ampiamente sperimentato per cui

• per materiali fragiliτR =

σR

2; τLa =

σLa

2

11-12

• per materiali duttili

τR =1√3σR; τLa =

1√3σLa

Il valore di Kt nel caso in cui si adopera la (3) (sollecitazione a taglio o a torsione) e in genarediverso da quello che si adopera nella (2) (sollecitazione a sforzo normale o a flessione).

Nel caso vi siano variazioni sia di σ che di τ , ma senza precarico e senza effetti che influenzanola fatica vale la formula di Gough e Pollard

(σa

σLa

)2

+(

τa

τLa

)2

=(

1s

)2

Nel caso in cui vi siano precarichi ed effetti che influenzano la fatica si estrapola la formula diGough e Pollard calcolando due coefficienti di sicurezza, sσ e sτ rispettivamente relativi alle soletensioni normali e alle sole tensioni tangenziali usando le (2) e le (3), e poi si ottiene il coefficientedi sicurezza con la formula (

1sσ

)2

+(

1sτ

)2

=(

1s

)2

(4)

Quest’ultima espresione vale anche nel caso di sollecitazione statica con presenza di sfor-zi normali e tangenziali; se si trascura la presenza dell’intaglio si ha infatti nel caso statico(particolarizzando le (2) e (3) e scrivendo σm = σ e τm = τ)

(σ

σR

)2

+(

τ

τR

)2

=(

1s

)2

.

Considerando che, applicando il criterio di Huber-Hencky-Mises si ha τR = σR/√

3, mentre, appli-cando il criterio della massima tensione tangenziale si ha τR = σR/2, e ricordando che σc = σR/s,si riottengono le note espressioni

σc =√

σ2 + 3τ2

per il criterio di Huber-Hencky-Mises e

σc =√

σ2 + 4τ2

per il criterio della massima tensione tangenziale.All’autore di queste righe pare incredibile che nei manuali di uso piu corrente non venga

trattato in maniera esplicita uno dei casi piu fondamentali, forse il piu fondamentale in IngeneriaMeccanica, quello di un albero soggetto a flessione rotante e con torsione costante per lunghi trattima che ogni tanto si azzera; e il caso di un albero di riduttore, di una linea d’assi navale, di unatrasmissione con alberi lunghi, e insomma di tutti quei casi in cui la potenza trasmessa non edl tutto costante ma e soggetta a variazioni, per cui allo stesso modo si comporta il momentotorcente.

Il Peterson, comunque, nel suo Stress Concentration Factors (1973), riporta una formula (lasua [38], pag. 18), diversa nella forma, ma in realta sostanzialmente identica alla mia (4), con ilseguente commento, che traduco come mi riesce:

E necessario ulteriore lavoro sperimentale in questo campo delle combinazioni di carichiparticolari, specialmente nel caso in cui ci sia l’effetto aggiuntivo della concentrazionedi tensione. Nel frattempo, mentre appare che l’uso della [38] (che, ripeto, e la mia (4)),puo essere eccessivamente cautelativa in certi casi di flessione alternata piu torsionestatica, si ritiene (it is believed) che la [38] fornisca una ragionevole regola generale diprogettazione.

11-13

La formula citata e

1n

=1√

[(σ0d/σy) + (σ0b/Lbσy) + (Ktfσa/σf )]2 + 3[(τ0/Lsσy) + (Ktfτa/σf )]2

in cui

• σ0d e il precarico o tensione media in trazione,

• σ0b e il precarico o tensione media in flessione,

• σa e la tensione alternata in trazione o in flessione (o la somma delle due),

• σy e la tensione di snervamento,

• σf e il limite di fatica alterna simmetrica,

• Lb e il rapporto tra il carico flessionale necessario per produrre il completo snervamento dellasezione rispetto a quello necessario per produrre uno snervamento incipiente,

• Lt e il fattore analogo per il carico torsionale,

• τ0 e il precarico o tensione media in torsione,

• τa e la tensione alternata in torsione,

• Ktf e Ktsf sono i fattori teorici di intaglio rispettivamente in trazione o flessione e in torsione

Come si vede, con varianti che risultano numericamente piccole c’e una perfetta rispondenza con lanostra (4). In particolare, qui i rapporti Lb ed Lt non sono considerati, ma in compenso si assumecome limite la tensione di rottura invece che quella di snervamento.

11.2.2 Osservazioni critiche

La costruzione adottata nel paragrafo precedente (fig. 11.10) suppone che, dato un certo carico,si esca dal dominio di sicurezza relativo alla durata infinita del pezzo grazie ad una variazionedella sollecitazione che faccia aumentare il precarico proporzionalmente al carico alternato. Questaassunzione convenzionale e preferita da molti autori sia per la sua semplicita sia per il vasto numerodi possibili applicazioni. Il caso in cui questa assunzione e rigorosa e quello in cui sia la σm che laσa dipendono da un’unica forza e sono pertanto ad essa proporzionali.

Cio non toglie che sempre di una convenzione si tratta e che ogni volta che sia possibile indagarepiu esattamente sulle possibili cause di aumento del carico cio debba essere fatto. Ad esempio,se ci sono tensioni residue, come nel caso di un recipiente autocerchiato (vedi appresso) soloun’aliquota del carico medio risulta proporzionale alla forza esterna, nel nostro caso alla pressionenel recipiente, mentre la tensione alternata e senz’altro proporzionale ad essa. Un altro caso equello in cui il precarico sia costante e solo l’ampiezza sia proporzionale ad una forza esterna;questo caso e piuttosto comune nel caso di flessione rotante, in cui di solito il precarico e nullo.

E ovvio che il progettista deve considerare quale di questi casi effettivamente si verifica nell’or-gano che sta studiando, e modificare opportunamente il procedimento sopra esposto adattandoloal caso che piu da vicino rappresenta la realta. Non ci si deve meravigliare se in alcuni casi occorraadoperare concetti probabilistici.

Il grado di sicurezza calcolato con la (3) appare troppo pessimistico. Infatti, come affermatoda vari autori (il Manuale dell’Ingegnere, 80.a edizione, cita Smith, Univ. of Ill. Bull., 334,1942)il limite di resistenza a fatica a torsione, in funzione della torsione media (precarico) non cambiasensibilmente e risulta quindi sempre assai prossimo al limite di resistenza a fatica alternata a

11-14

torsione. Per questo motivo il grado di sicurezza si puo ricavare per via grafica da una curvabilatera, o. a vantaggio di sicurezza, dedurre per via analitica dalla parabola di Gerber.

In questo caso, la parabola di Gerber si scrive

τL = τLa

[1−

(τm

τR

)2]

le cui proprieta si studiano meglio scrivendola con lettere piu usuali

y = y0

[1−

(1− x

xR

)2]

;

si vede subito che e una parabola il cui asse e verticale e coincide con l’asse delle ordinate, e le cuiintersezioni con gli assi sono xR ed y0, mentre la sua derivata vale

y′ = −2y0

xR· x

xr,

per cui all’intersezione con l’asse x essa vale

y′ = −2y0

xR.

Siccome y0 ≈ xR/2, ivi la derivata vale circa −1. La lieve differenza puo essere trascurata, perchecade in una zona del diagramma non utilizzata per fini tecnici.

Il grado di sicurezza viene qui definito come

s =OB

OP,

pero adesso il punto B giace sulla parabola di Gerber. Se le coordinate di P sono (τm, τa), quelle diB sono (sτm, sτa); imponendo l’appartenenza di questo punto alla parabola si ottiene l’equazionein s

sτL = τLa

[1− s2

(τm

τR

)2]

che, riordinata da luogo ad un’equazione di secondo grado in s; risolvendola si ottiene

s =−τa +

√τ2a + 4τLaτ2

m/τ2R

2τLaτ2m/τ2

R

.

E da notare che τa e sempre positivo, per cui davanti alla radice si deve prendere solo il segnopositivo, perche il segno negativo darebbe luogo ad un grado di sicurezza negativo e quindi privodi significato.

Se si adotta come linea di sicurezza la retta di Goodmann, si ottiene

τm

τR+

τa

τLa=

1s

che fornisce un valore piu piccolo del grado di sicurezza. Si vedra cio con un esempio. Sia τR = 600MPa, τLa = 6300 MPa, τm = 100 MPa, τa = 150 MPa; se si adotta come linea di sicurella la rettadi Goodmann si ha

100600

+150300

=16

+12

=1

1.5;

11-15

se invece si adotta la parabola di Gerber si ha

s =−150 +

√1502 + 10000

2× 300× 1002/6002= 1.817.

Pure valendo la regola generale che il grado di sicurezza da scegliere deve essere il piu piccolo, parea chi scrive che l’adozione della retta di Goodmann sia troppo restrittiva, e che quindi la paraboladi Gerber, pur fornendo un valore piu grande del grado di sicurezza, sia piu vicina alla realta.

11.3 Resistenza a fatica (vita finita)

11.3.1 Determinazione dl numero di cicli a rottura

Riguarda i carichi per i quali si prevede una vita finita; si tratta in effetti di prevedere la durataattesa di un organo soggetto a carichi di fatica. Questa impostazione e obbligatoria per i materialiche non presentano un limite di fatica.

La chiave di questo procedimento e il calcolo del numero di cicli che portano a rottura il pezzosotto l’azione di un certo carico, qualora questo sia superiore a quello corrispondente al limite difatica.

Si consideri innanzitutto il caso di mancanza di precarico (ciclo alterno simmetrico) e siparta da un’approssimazione al diagramma di Wohler, che si ottiene ammettendo che la duratasia di 103 cicli per σa = 0.8σR e di 106 cicli per σa = σLa. Oltre i 106 cicli la curva del Wohlerdiventa una retta orizzontale. La prima parte di tale diagramma semplificato (N < 103) e quellorelativo alla fatica oligociclica che qui non sara trattata, la seconda (103 < N < 106) e quella dellaresistenza a durata e la terza (∆σ < ∆σa) e quella della resistenza a fatica infinita.

La curva del Wohler relativamente al tratto della resistenza a durata e espressa dalla formola

σ0 =(0.8σR)2

σLaN b

ovvero

N =

(σ0σLa

(0.8σR)2

)1/b

(6)

essendob = −1

3log

0.8σR

σLa.

Se il materiale non presenta limite di fatica si puo per esempio prendere le ampiezze di caricocorrispondenti a 103 e 106 cicli e scrivere

σ0 =σ2

103

σ106N b

ovvero

N =

(σ0σ106

σ2103

)1/b

(6′)

essendob = −1

3log

σ103

σ106.

Se il pezzo e sottoposto a precarico la σ0 si calcola in funzione del precarico e dell’ampiezzausando il diagramma di Haigh Soderberg. In esso (fig 11.10), nella zona superiore a quella della

11-16

Figura 11.11: Diagramma di Haigh Soderberg per acciai 2024-T3, 2024-T4 e 2014-T6, provini nonintagliati. σR = 75 ksi, σs = 52 ksi per il 2024 e 63 ksi per il 2014. Carico assiale.

retta relativa al limite di fatica si tracciano tante curve, che nella consueta approssimazione diven-tano rette, che passano per il punto R di coordinate (σR, 0) . Quindi per ogni condizione di caricoche e rappresentata dal punto Q di coordinate (σm, σa), si traccia la retta QR e si prolunga finoall’asse verticale nel punto N di ordinata σ0. Questa rappresenta il carico alterno simmetrico cheequivale al carico dato nel senso che da luogo alla medesima durata.

Scrivendo l’equazione segmentaria della retta RQN si ha

σm

σR+

σa

σ0= 1,

che, in presenza dei fattori che influenzano la fatica diventa

Ksσm

σR+

Kfσa

CDCSσ0= 1 (7)

Si ricorda che in tutte queste espressioni l’incognita e la σ0 che poi va introdotta nella (6) pertrovare N.

La procedura precedente risulta grandemente semplificata se si hanno diagrammi sperimentalidel tipo di quelli di figg. 11.11 e 11.12.

Esempio Sia dato un organo di macchine realizzato in materiale duttile con

σR = 600 MPa

σLa = 300 MPa

Kf = 1.8

CD = CS = 0.9

sottoposto a carico di fatica conσm = 200 MPa

11-17

Figura 11.12: Diagramma di Haigh Soderberg per acciaio 7075-T6, provini non intagliati. σR =82 ksi, σs = 70 ksi

σa = 100 MPa

Allora, dalla (7)

σ0 =Kfσa

CDCS

11− σm/σR

= 333MPa

ed, essendo, b = −0.068, si ha N = 217000.

11.3.2 Esercizio: albero in flessione rotante

Risulta :

D =

[32MfKfσLa

π(0.8σR)2N b

]1/3

Se la progettazione e fatta a limite di fatica basta porre N = 106.

11.3.3 Fatica cumulativa

Nello studio della resistenza a fatica finita si tiene spesso conto della presenza di cicli con carat-teristiche diverse, per esempio con diverso σa e σm. Se un pezzo e sottoposto a n1 cicli con σm1 eσa1 ai quali corrisponde una vita totale N1, poi a n2 cicli con σm2 e σa2 ai quali corrisponde unavita totale N2 eccetera, il pezzo si rompe o no a seconda che la somma

n1

N1+

n2

N2+ · · ·+ nm

Nm

sia maggiore o minore di 1. Questa regola e detta di Palmgren-Miner o dell’accumulo lineare deldanno di fatica.

La regola di Palmgren-Miner viene scritta anche in termini di carico equivalente; se la (6) siscrive facendo comparire l’ampiezza di carico si ha:

11-18

∑ ni

Ni∝

∑σ−1/b0i ni = σ−1/b

eq

∑ni

σeq e quell’ampiezza di tensione che procura lo stesso danno dei blocchi di carico effettivi. Sia hain definitiva

σeq = m

√∑σm

0i∑ni

con m = −1/b. Nel caso di precarico non nullo la σ0 si calcola con la (6) o la (7).

11.4 Propagazione delle cricche di fatica

La formazione delle cricche di fatica e ancora argomento non del tutto compreso; si ritiene chealcuni grani posti sulla superficie del pezzo possano essere in condizioni piu sfavorevoli di altri, acausa della particolare orientazione del loro reticolo cristallino, sicche diventano sede di numerosimovimenti di dislocazioni che portano allo slittamento di interi piani cristallini rispetto ai pianivicini.

Questi movimenti provocano delle irregolarita superficiali con formazione di sporgenze e rien-tranze, nelle quali ultime si origina la cricca per effetto d’intaglio.

Comunque, la durata della fase iniziale, detta di nucleazione non puo essere prevista e daquesto nasce la forte dispersione delle durate delle prove a fatica; invece la fase seguente, detta dipropagazione, e del tutto deterministica (fig 11.13).

Figura 11.13: Crescita della cricca di fatica per due provini di acciaio 18/8 austenitico in lastre,testati a 124 ± 62 MPa. Da Frost, 1959. La figura evidenzia il carattere deterministico della cresitadella cricca di fatica, a contrasto col carattere aleatorio della fase di nucleazione.

La propagazione della cricca di fatica e una propagazione stabile, detta cosı per differenziarladalla propagazione instabile studiata in meccanica della frattura. La crescita della cricca e ener-geticamente sfavorita e puo avvenire solo per la presenza delle forze esterne variabili, dal lavorodelle quali viene prelevata l’energia necessaria.

11-19

La cricca in assenza di forze e chiusa; quando le forze sono di trazione si allarga e si arrotondaall’apice senza allungarsi; quando la forza diventa di compressione si richiude allungandosi.

Tra le varie leggi proposte per prevedere la crescita della cricca di fatica, la piu semplice e lalegge di Paris

∆a

∆N= C∆Km

in cui∆a e la crescita della cricca dopo ∆N cicli∆K e la variazione del fattore di intensita degli sforzi a causa della sollecitazione di fatica,

∆K = Kmax −Kmin

C e m sono costanti che dipendono solo dal materiale.La crescita stabile della cricca prosegue fino al raggiungimento della condizione di instabilita

predetta dalla meccanica della frattura, dopo di che si ha la rottura di schianto.La forma piu comoda della legge di Paris e

∆a

∆N= A

(∆K

∆K0

)m

Dove ∆K0 e il valore di ∆K per cui si raggiunge la velocita di propagazione A. Nella tabella sonodati i valori di ∆K0 per A = 10−6 mm ciclo−1. Secondo Tanaka e Matsuoka (1977) per tutti imateriali ferrosi si possono utilizzare i valori A = 2.35× 10−4 mm ciclo−1 e ∆K0 = 36 MPa m1/2;resterebbe cosı da conoscere il solo valore di m. Si veda la tab. 11.1.

La legge di Paris puo essere trattata come una ordinaria equazione differenziale se si vuole lalegge di crescita della cricca col numero di cicli. Si ha

da

dN= A

∆Km

∆Km0

= A(σmax − σmin)m

∆Km0

fmam/2

dove f e un fattore numerico (vale ad esempio√

π per la lastra piana con fessura passante).Separando le variabili e integrando tra a0 e a, cui corrisponde N = 0 e N

N =a−

m2 +1 − a

−m2 +1

0(−m2 + 1

) ∆Km0

A(σmax − σmin)mfm

questa formula e valida per m 6= 2; nel caso fosse m = 2 non e difficile arrivare a

N =∆K2

0

A(σmax − σmin)2f2ln

a

a0

Se le curve di propagazione sono riportate in funzione di ∆K/E esse risultano molto vicine(fig 11.14; tale correlazione e importante per supplire alla cronica mancanza di dati sperimentali.

La legge di Paris non e rigorosamente valida. Infatti per valori di ∆K minori di un valore disoglia ∆Kth la propagazione non avviene. Valori di ∆Kth per vari materiali sono riportati in tab.11.2.

Invece, per valori molto grandi di ∆K puo accadere che il Kmax sia maggiore del KIc e in questocaso si ha ovviamente l’inizio della propagazione instabile con conseguente rottura istantanea delpezzo. La condizione di sicurezza

Kmax < KIc

implica naturalmente cheKmin < RKIc

11-20

Tabella 11.1: Coefficienti della legge di Paris. Da Pook, 1975.

Figura 11.14: Correlazione di curve di propagazione sulla base di ∆K/E. Da Frost, Pook andDenton, 1971.

11-21

Tabella 11.2: Valori di ∆Kth. Da Pook, 1975.

quindi∆K = Kmax −Kmin < (1−R)KIc

Il valore (1−R)KIc e percio un limite per ∆K.Per tenere conto dei due limiti, inferiore e superiore, della legge di Paris, sono state proposte leggi piu

complete, tra le quali sono utilizzate le seguenti:

• legge di Formanda

dN=

C∆Kn

(1−R)KIc −∆K

che tiene conto solo del limite superiore della propagazione,

• Legge di Collipriest-Walker

logda

dN= C1 + C2 arctan

(log(KIcKth/(Kmax(1−R)m)2)

log(KIc/Kth)

)

che tiene conto di entrambi i limiti ma che e, come si vede, piuttosto complessa.

Nelle leggi precedenti i parametri C, n, C1, C2 e m devono essere determinati sperimentalmente.

11-22

12. Recipienti a parete sottile

Studiando gli organi destinati a contenere fluidi (di solito pressurizzati), si parla di recipente seil diametro e grande rispetto alla lunghezza, di tubazione se la lunghezza e molto maggiore deldiametro; inoltre nelle tubazioni il diametro e ‘ragionevolmente’ piccolo. Tuttavia in questo corsonon si fara questa distinzione, visto che dal punto di vista della resistenza meccanica i due tipi diorgani sono retti dalle stesse leggi.

12.1 L’elemento di membrana

I recipienti a parete sottile sono quelli il cui spessore e ‘sufficientemente’ piu piccolo del diametro(per esempio un decimo o meno). Sono studiati nell’approssimazione membranale, che consiste neltrascurare la componente radiale della tensione (che nei recipienti a grosso spessore risulta sempredi compressione), nonche gli sforzi flessionali. La teoria delle membrane si fonda dunque su questidue postulati:

1. Non vi sono sforzi normali σ su elementini di superficie paralleli al piano medio dellamembrana. (Cio esclude la componente radiale della tensione);

2. Non vi sono sforzi tangenziali diretti normalmente alla superficie media, su elementini di su-perficie normali al piano medio della membrana, ovvero sulle sezioni radiali. Cio esclude il ta-glio e quindi anche la flessione. Sono consentiti invece sforzi tangenziali diretti parallelamenteal piano medio della membrana.

In questo modo una membrana diventa l’analogo bidimensionale di quello che in Fisica e il filoflessibile e inestensibile; la membrana puo essere considerata come un ‘tessuto’ di fili flessibili einestensibili posti perpendicolarmente gli uni agli altri (si pensi agli involucri delle mongolfiere,che un tempo erano proprio di stoffa, magari impermeabilizzata). Ovviamente la direzione delledue famiglie di fili, che per definizione non si scambiano sforzi tangenziali, risulta da determinare.

Per il postulato 1, una membrana non puo resistere a forze perpendicolari al proprio piano senon in virtu della sua forma; in altri termini una membrana piana non puo resistere a tali sforzi,ma puo farlo solo una membrana curva.

Una delle conseguenze di quanto detto e che lo stato di tensione in una membrana e bidimen-sionale e che uno degli assi principali e la normale alla superficie. Infatti un cubetto, tagliato nellospessore della membrana, tale che due sue facce siano parallele al piano medio della membrananon ha:

• Ne sforzo normale, perche tale componente sarebbe radiale, e quindi si trascura per ilpostulato 1,

• Ne sforzi tangenziali, perche questi si ritroverebbero, per la proprieta di simmetria delletensioni tangenzionali, sulle sezioni radiali della membrana in direzione radiale, dove non cipossono essere, per il postulato 2.

La stessa cosa puo essere vista direttamente dai due postulati: infatti questi escludono ogni com-ponente della tensione perpendicolare al piano medio, e quindi affermano che tutte le componentidelle tensioni devono giacere nel piano medio; questo diventa quindi il piano delle tensioni e quindi(per definizione) lo stato tensionale e piano.

Nel seguito ci si limitera alle sole membrane di rivoluzione, senza perdita di generalita, vistoche i recipienti usuali sono sempre riconducibili almeno a un insieme di membrane di rivoluzione;per esempio una tubatura con dei gomiti si puo ricondurre ad un insieme di tratti cilindrici e a uninsieme di tratti torici.

12-1

12.2 Geometria dei recipienti di rivoluzione

Una superficie di rivoluzione1 si ottiene facendo ruotare una curva qualsiasi, detta generatrice,intorno ad una retta detta asse. La sezione della superficie con un piano contenente l’asse e dettocurva meridiana o semplicemente meridiano. Ovviamente nella pratica il meridiano coincide conla generatrice, ma vi sono dei casi in cui cio non e vero, per esempio nel caso del’iperbolide aduna falda, in cui la generatrice e una retta sghemba rispetto all’asse e il meridiano e ovviamenteun’iperbole.

Poiche il meridiano puo fungere benissimo da generatrice, si intuisce che l’intera superficie edeterminata dalla forma del meridiano e che quindi dallo studio di questo si possono dedurre tuttele proprieta di quella. In particolare il meridiano e di solito una curva ben nota (una retta o unacirconferenza, o simile), e se cio non e, puo sempre essere dato in coordinate cartesiane, in basead un’ascissa lungo l’asse e un’ordinata perpendicolare all’asse.

Nei recipienti di rivoluzione, in quanto membranali, lo stato di tensione e piano e uno delledirezioni principali e la perpendicolare alla superficie. Un’altra direzione principale, in base aconsiderazioni di simmetria e quella meridiana, mentre la terza, perpendicolare ad entrambe, edetta direzione normale.

Di grande importanza sono i seguenti tre raggi di curvatura:

1. Raggio di curvatura del parallelo rp, che e appunto la distanza tra il punto considerato el’asse,

2. Raggio di curvatura del meridiano rm, che si ottiene al solito modo, come raggio del cerchioosculatore al meridiano in quel punto,

3. Raggio di curvatura della normale rn che si ottiene prolungando la normale alla superficiefino ad incontrare l’asse, e vale

rn =rp

sin θ

L’ultima relazione scritta va sotto il nome di teorema di Meusnier de La Place2

L’angolo θ, detto colatitudine, e quello tra la normale alla superficie e l’asse di simmetria.

12.3 Equazioni di equilibrio

12.3.1 Prima equazione di equilibrio (equilibrio locale)

Per scrivere l’equazione, costruiamo un opportuno elementino estratto dal mantello (parte metal-lica) del recipiente.

Poniamoci anzitutto sulla superficie media del recipiente, e stacchiamo su essa un trapezoidetagliandola con due semipiani meridiani assai vicini (distanti dλ) e due piani paralleli molto vicini.Si ottiene cosı l’elementino 1234 (fig. 12.1). Consideriamo anche un semipiano maridiano centrale(o di simmetria, o baricentrico), cioe che divide in due l’angolo dλ, e un piano parallelo equidistantedai due appena considerati. L’intersezione tra questi ultimi due definisce un punto P che fara dariferimento.

Per meglio definire la posizione dei due piani paralleli si potrebbe usare la loro distanza lungol’asse, ma invece si preferisce introdurre la colatitudine θ; si veda in proposito la fig. 12.2. Dalpunto P si consideri la perpendicolare alla superficie media, orientata verso l’esterno (asse z); essaovviamente giace sul piano meridiano, e quindi interseca l’asse di simmetria, formando con esso un

1o di rotazione, o semplicemente rotonda2Jean-Baptiste Meusnier de La Place, matematico, chimico e ingegnere (Tours, 1754 - Magonza, 1793). Fu allievo

di Monge, collaboro con Lavoisier nell’esperimento sulla decomposizione dell’acqua, progetto la macchina per lastampa degli assegnati e il primo dirigibile, fu generale dell’esercito rivoluzionario e morı all’assedio di Cassel.

12-2

Figura 12.1: Costruzione dell’elementino sulla superficie media del recipiente.

Figura 12.2: Costruzioni sul semipiano meridiano di simmetria dell’elementino.

12-3

angolo θ (si puo prendere l’uno o l’altro dei due angoli, perche di esso importa solo il seno), dettocolatitudine. Tirando le analoghe perpendicolari anche da A e B, possiamo senza errore ipotizzareche le tre perpendicolari si incontrino nel punto Cm, centro di cuvatura del meridiano, e che ledue estreme formino un angolo dθ.

Per definire l’elementino tenendo conto anche del suo spessore, consideriamo i due coni didirettrici Cn1A e Cn2B; essi taglieranno il mantello formando le due faccette superiore e inferiore.

L’altezza dell’elementino, data da uno qualsiasi dei tre archi AB, 14 o 23, e rmdθ, mentre comelarghezza sara considerata quella staccata sul parallelo medio, ossia l’arco CD, ossia rpdλ.

Le forze agenti sull’elementino sono:

1. forze di pressione;

2. sforzi normali nella direzione degli archi di meridiano;

3. sforzi normali nella direzione degli archi di parallelo;

tutte devono essere proiettate sull’asse z e la somma eguagliata a zero.

Esaminiamo ora in dettaglio il valore delle singole forze

1. forze di pressione

Sono dovute alla pi rivolta verso l’esterno (quindi positiva, perche concorde con l’orienta-mento scelto di z) e alla pe rivolta verso l’interno, entrambe moltiplicate per l’area dell’ele-mentino, quindi questo termine vale

(pi − pe)rmdφ · rpdλ.

2. sforzi normali nella direzione degli archi di meridiano

Sulle due faccette coniche ci sono le due tensioni σm, ciascuna delle quali forma con l’assez un angolo dθ/2, per cui il valore efficace delle due tensioni e −2σm(sin dθ/2) e il termine,ottenuto moltiplicando la precedente per l’area vale:

−2σm

(sin

dθ

2

)srpdλ

3. sforzi normali nella direzione degli archi di parallelo

Ciascuno vale σnsrmdθ (ossia tensione per spessore per lunghezza dell’archetto) e giace sulpiano CPD ivi formando col semipiano meridiano di simmetria un angolo dλ/2, per cui laloro risultante su di essa vale in modulo

2σn

(sin

dθ

2

)srmdθ,

ed e diretto sulla retta PCp, per cui deve essere ulteriormente proiettato sull’asse z molti-plicando (vedi fig. 12.2) per il fattore di proiezione − sin θ, in cui il segno meno indica che larisultante e diretta verso l’interno, per cui il terzo termine vale

−2σn

(sin

dθ

2

)sin θsrmdθ.

12-4

Sommando i tre contributi, sostituendo al seno degli angoli piccoli il valore dell’argomento, edividendo per i fattori comuni dλdθ si ha:

(pi − pe)rprm − σmrps− σnrms sin θ = 0

da cui, dividendo tutto per rprms e ricordando che, per il teorema di Meusnier sin θ/rp = 1/rn, siottiene:

σn

rn+

σm

rm=

(pi − pe),s

(1)

detta equazione di Laplace.

12.3.2 Seconda equazione di equilibrio (equilibrio globale)

Figura 12.3: Equilibrio globale in un caso particolare

La seconda equazione si ottiene come equilibrio di una porzione di superficie contenente unpolo, come in fig. 12.3, per cui

σm sin θ 2π rp s = Q + (pi − pe) π r2p

in cui Q e la forza peso del recipiente e del fluido contenuto nel volume di controllo. Di solitoperaltro il peso del recipiente si trascura e si considera solo quello del liquido. Semplificandoopportunamente e ricordando che rn = rp/ sin θ si ha:

σm =(pi − pe) rn

2 s+

Q

2π rps sin θ(2)

Se il fluido e un gas si puo trascurare il secondo addendo del secondo membro. Se la pressioneesterna e quella atmosferica si pone pe = 0 misurando la pi come pressione relativa.

Questa equazione ha validita limitata a elementi della stessa topologia di quello della fig. 12.3;per esempio non vale per un elemento torico, come si vedra a suo luogo.

12-5

12.4 Applicazioni

12.4.1 Recipienti per gas

Per essi si trascurano il peso del fluido e quello del recipiente, per cui

σm =(pi − pe) rn

2 s

12.4.2 Sfera di raggio R

In essa rn = rm = R per cui dalla (2)

σm =pR

2s

e, sostituendo nella (1)

σn =pR

2s

per cui σm = σn cosa che del resto si poteva prevedere anche per considerazioni di simmetria.

12.4.3 Cilindro di raggio R con fondi di pezzo

Ci si limita al solo studio della porzione cilindrica. Per essa rm = ∞, rn = R. In questo caso ledue equazioni (1) e(2) sono disaccoppiate e posono essere risolte separatamente.

dalla (1)

σn =pR

s(formula delle caldaie)

dalla (2)

σm =pR

2s=

σn

2.

Figura 12.4: Equilibrio del recipiente torico: a) notazioni geometriche; b - equilibrio di unelementino.

12-6

12.4.4 Recipente torico

Sia dato il recipiente di fig. 12.4a, e se ne prelevi un elemento di rotazione come in fig. 12.4b. Siimponga l’equilibrio alla traslazione verticale

pπ(r2p −R2) = σm sin θ 2πrps

da cui

σm =p

2r2p −R2

rps sin θ=

p

2r(rp + R)

rps.

Facendo intervenire la (1)

σn = rn

(p

s− σm

rm

)=

rp

sin θ

(p

s− p

2s

rp + R

rp

)=

rp

sin θ

p

s

(1− rp + R

2rp

)=

rp

sin θ

p

s

2rp − rp −R

2rp=

pr

2s

Siccome questa coincide con la tensione meridiana dei tubi cilindrici si puo adoperare questasoluzione per lo studio dei gomiti.

12.4.5 Serbatoio conico per liquidi

Definizioni figura 12.5:

• α e l’angolo di semiapertura del cono.

• la colatitudine e: θ = 90 − α

• H e l’altezza del liquido rispetto al vertice del cono.

• h e l’altezza della sezione studiata rispetto al vertice del cono.

• ρ e la densita del liquido.

• rm = ∞• rn = h tanα/ cos α

Essendo 1/rm = 0, le due equazioni, di equilibrio locale e di equilibrio globale, sono disaccop-piate.

La σm si calcola mediante l’equilibrio (globale) della parte di recipiente al di sotto dell’altezzah. La σn mediante l’equazione di equilibrio locale.

1) per punti posti al di sotto del pelo liberoNell’equazione di equilibrio globale, prendendo positive le forze verso l’alto si ha:

(−pi + pe)πr2p + σm · 2πrp · s · cos α−Q = 0

in cuipi − pe = ρg(H − h)

Q =13πr2

phρg

per cui

σm =ρgh(H − 2

3h) tanα

2s cosα

Per l’equilibrio locale:

σn =ρgh(H − h) tan α

s cos α

12-7

Figura 12.5: Recipiente conico per liquidi

2) per punti posti al di sopra del pelo libero L’equazione di equilibrio globale e:

σm · 2πrps cosα−Q = 0

in cuiQ =

13πr2

p,maxHρg

in cui rp,max e il raggio del parallelo corrispondente al livello del liquido. Il risultato e:

σm =ρg H3

3 tan α

2hs cosα

Dall’equazione di equilibrio locale:σn = 0

Uguagliando a zero le derivate rispetto ad h, si trova che σn e massimo per h = H/2 e vale ivi:

σn(H/2) =14ρgH2 tanα

s cosα

Invece σm e massimo per h = 3H/4 e vale ivi:

σm(3H/4) =316

ρgH2 tan α

s cosα

L’andamento di σm e σn con h e mostrato in fig. 12.6

12-8

Figura 12.6: Tensioni nel recipiente conico per liquidi

12-9

13. Recipienti a parete spessa

13.1 Equazioni di Lame

Si pone che lo stato tensionale sia funzione solo di r e inoltre che

• dσz/dr = 0

• dεz/dr = 0 (1)

Le equazioni che occorrono sono:

• Equazione di equilibrio

• Equazione di congruenza. Saranno richiamete in seguito, ma di esse non si fara uso in quantosaranno sostituite dalla (1) scritta sopra.

• Legame tensione-deformazione (legge di Hooke, tradotta formalmente dalle equazioni diNavier)

13.1.1 Equazione di equilibrio

Si consideri un elementino come in fig. 13.1 e di altezza unitaria lungo z. Si dimostra che ledirezioni r, θ e z sono direzioni principali, per cui sulle facce dell’elementino non vi sono tensionitangenziali. Se ne faccia l’equilibrio alla traslazione lungo r (tutte le altre equazioni di equilibriosi riducono ad identita). Tale equazione si scrive:

−σrrdθ +(

σr +dσr

drdr

)(r + dr) dθ − 2σtdr sin

dθ

2= 0

Innanzitutto si puo identificare il seno col suo argomento; cio comporta la comparsa di un dθ afattor comune, che quindi si semplifica. Sviluppando il prodotto delle due parentesi si ottiene untermine finito σrrche si semplifica col preesistente −σrr e un termine in dr2 che si trascura inquanto infinitesimo di ordine superiore. Raccogliendo i termini in dr, eliminando il fattor comunedr e raccogliendo si ha:1

dσr

dr=

σt − σr

r

13.1.2 Equazioni di congruenza

Vedi fig. 13.2Si considera diversa da zero una sola componente dello spostamento, ossia la u (le altre sono

nulle per ragioni di simmetria). Risulta:

εr =du

dr

εt =u

r

1Raccomando allo studioso lettore di fare effettivamente i passaggi e non accontentarsi di questa sinteticadescrizione

13-1

13.1.3 Equazioni di Navier (legame tensione-deformazione)

Si noti che rimangono formalmente identiche a quelle in coordinate cartesiane.

Eεt = σt − ν(σr + σz)

Eεr = σr − ν(σt + σz)

Eεz = σz − ν(σt + σr)

Queste relazioni, che esprimono in sostanza la legge di Hooke, sono, secondo Franciosi, dovuteal Navier (1821).

13.1.4 Equazione differenziale della tensione

Derivando rispetto ad r l’ultima equazione di Navier si ha

d

dr(σt + σr) = 0

da cuiσt + σr = 2C1 (1)

Dalla equazione dell’equilibrio si ricava subito

rdσr

dr= σt − σr. (2)

Eliminando σt dalle (1) e (2) si ha

rdσr

dr+ 2σr = 2C1.

Il primo membro di questa espressione e

1r

d(σrr2)

dr

cosicche separando le variabilid(σrr

2) = 2C1rdr

Figura 13.1: Costruzione per l’equazione di equilibrio.

13-2

Figura 13.2: Equazioni di congruenza per recipienti cilindrici di grosso spessore

e integrandoσrr

2 = C1r2 − C2,

e ancoraσr = C1 − C2

r2

σt = C1 +C2

r2

Le due costanti C1 e C2 si ottengono imponendo le condizioni al contorno

σr = −pi per r = ri

σr = −pe per r = re

In definitiva si ha

C1 =pir

2i − per

2e

r2e − r2

i

C2 = (pi − pe)r2i r2

e

r2e − r2

i

.

Le espressioni di σt e σr sono dette equazioni di Lame, che si scrivono per esteso:

σt =pir

2i − per

2e

r2e − r2

i

+ (pi − pe)r2i r2

e

r2e − r2

i

1r2

σr =pir

2i − per

2e

r2e − r2

i

− (pi − pe)r2i r2

e

r2e − r2

i

1r2

13-3

Per quanto riguarda σz la procedura precedente non ci illumina; ragionando in termini diequilibrio globale si ottengono i due valori

σz =pir

2i − per

2e

r2e − r2

i

valida per fondi di pezzo o flangiati sul mantello e

σz = 0

per fondi con tiranti. In quest’ultimo caso pero, poiche i tiranti sono pre-tesi mentre la spinta suifondi dipende dalla pressione, la tensione del mantello puo anche essere negativa. Anzi, un piccolovalore negativo della tensione e necessario per il corretto funzionamento delle guarnizioni.

Un esempio dell’andamento delle tensioni e dato nella fig. 13.3

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

costst(r)sr(r)

Figura 13.3: Diagramma delle tensioni in un recipiente di grosso spessore. In ascisse c’e r/re, inordinata σ/pi; la pressione esterna e nulla e ri/re = 0.5.

13.2 Formule di progetto e di verifica

Si studia il caso piu comune pe = 0; in questo caso la pressione interna pi sara indicata con p. Letensioni nel punto piu sollecitato, cioe a r = ri valgono

σt = pr2i + r2

e

r2e − r2

i

13-4

σr = −p

σz =

0 per fondi con tirantip

r2i

r2e−r2

i

per fondi di pezzo

La piu grande delle tensioni e quella tangenziale, seguita da quella assiale e la piu piccola equella radiale (l’unica negativa). Si ottengono varie formule di progetto e di verifica applicandovari criteri di resistenza. Nelle formule precedenti si porra k = re/ri.

1) Criterio della massima tensione

σt ≤ σamm

si scrive

p1 + k2

k2 − 1≤ σamm

che diventa(σamm − p)k2 − (σamm + p) ≥ 0.

Siccome k puo essere solo positivo la disequazione avra soluzione solo se

σamm − p > 0.

L’unico zero positivo del primo membro e la radice del rapporto cambiato di segno tra terzo eprimo coefficiente; poiche il primo coefficiente e positivo la disequazione e soddisfatta solo pervalori di k maggiori del suddetto zero. Per questo la soluzione e

k ≥√

σamm + p

σamm − p.

2) criterio della massima deformazione

σt − ν(σr + σa) ≤ σamm.

A vantaggio di sicurezza si sceglie σa nullo. Percio il criterio si scrive

p1 + k2

k2 − 1+ νp ≤ σamm

che diventap(1 + k2 − ν + νk2 ≤ σamm(k2 − 1)

k2(σamm − (1 + ν)p)− σamm − (1− ν)p ≥ 0.

Svolgendo considerazioni analoghe a quelle fatte sopra si trova che la soluzione esiste solo se

σamm > (1 + ν)p

e vale

k ≥√

σamm + (1− ν)pσamm − (1 + ν)p

.

3) criterio della massima tensione tangenziale2

σt − σr ≤ σamm.

2Questo criterio unisce la massima semplicita con un discreto accordo con i dati sperimentali.

13-5

diventak2(σamm − 2p)− σamm ≥ 0

Svolgendo considerazioni analoghe a quelle fatte sopra si trova che la soluzione esiste solo se

(σamm > 2p)

e vale

k ≥√

σamm

σamm − 2p.

4) criterio di Hencky-von Mises3

√σ2

t + σ2z + σ2

r − σtσz − σzσr − σtσr ≤ σamm

A vantaggio di sicurezza si tratta il caso dei fondi di pezzo (σz = p/(k2 − 1)). Dopo calcoli un po’noiosi4, si ha

p

√3k2

k2 − 1≤ σamm

k2(σamm −√

3p)− σamm ≥ 0

La soluzione esiste solo seσamm >

√3p

e valek ≥

√σamm

σamm −√3p.

3e il criterio in maggior accordo con l’esperimento, per materiali duttili.4svolti per voi dalla collega Paola Ammendola:Elevando al quadrato ambo i membri e sostituendo le espressioni delle tre tensioni la disequazione diventa:

p2 (k2 + 1)2

(k2 − 1)2+ p2 + p2 1

(k2 − 1)2+ p2 k2 + 1

k2 − 1− p2 k2 + 1

(k2 − 1)2+ p2 1

k2 − 1≤ σ2

amm

Mettendo in evidenza al primo membro p2/(k2 − 1)2:

p2

(k2 − 1)2

[(k2 + 1)2 + (k2 − 1)2 + 1 + (k2 + 1)(k2 − 1)− (k2 + 1) + (k2 − 1)

]≤ σ2

amm

13-6

13.3 Appendice al capitolo

Equazione differenziale dello spostamento e sua integrazione

Si ricorda che le equazioni inverse di Navier sono:

σt = 2G(εt +

ν

1− 2νe)

eccetera, essendo

G =E

2(1 + ν)

e = εt + εr + εz

Derivando la prima eq. inv. di Navier

dσr

dr= 2G

(dεr

dr+

ν

1− 2ν

de

dr

)

Sottraendo la prima eq. inv. di Navier dalla seconda e dividendo per r,

σt − σr

r= 2G

( εt − εr

r

)

Nelle due ultime espressioni i primi membri sono uguali per l’equazione di equilibrio; sono dunque ugualianche i secondi membri, cioe

dεr

dr+

ν

1− 2ν

de

dr=

εt − εr

r(1)

Derivando ora le espressioni di εt ed εr prese dalle eq. di congruenza e ricordando che εz e uniforme sututta la sezione ossia non varia con r, si ha:

de

dr=

dεr

dr+

dεt

dr+

dεz

dr=

dεr

dr− εt − εr

r+ 0

confrontando con la (1) si hade

dr= 0 (2)

che e l’espressione cercata. Sapendo chedεz

dr= 0

si ricava dalla (2)d(εt + εr)

dr= 0 (3)

che si trova piu spesso scritta in termini di spostamento

1

r

du

dr− u

r2+

d2u

dr2= 0

Per l’integrazione poniamou = rα

da cuidu

dr= αrα−1

d2u

dr2= α(α− 1)rα−2

quindi

α(α− 1)rα−2 +1

rαrα−1 − 1

r2rα = 0

che, dividendo per rα−2 da luogo ad un’equazione algebrica in α la cui soluzione e α = ±1.La soluzione generale e quindi

u = Ar − B

r.

13-7

Piu facilmente, tornando alla (3) si integri una prima volta

εt + εr = 2A

e si passi allo spostamentou

r+

du

dr= 2A

ossia1

r

d(ur)

dr= 2A

quindid(ur)

dr= 2Ar

e integrando ancoraur = Ar2 −B

ossia

u = Ar − B

r.

Sostituendo nelle eq. di congruenza si ha

εt = A +B

r2

εr = A− B

r2

e poi

σt = C1 +C2

r2

σr = C1 − C2

r2

e quindi le equazioni di Lame.

13-8

14. Recipienti per altissime pressioni

I risultati del capitolo precedente dicono che la massima pressione a cui i recipienti a parete spessapossono lavorare e una certa frazione della tensione ammissibile (il 100 per cento secondo il criteriodella massima tensione, il 50 per cento secondo il criterio della massima tensione tangenziale). Se enecessario superare queste pressioni occorre servirsi di recipenti di tipo particolare, cioe i recipienticerchiati, autocerchiati e nastrati.

14.1 Recipienti cerchiati

Sono costituiti da due cilindri forzati l’uno dentro l’altro. Il cilindro piu interno funge da contenitoredel fluido e quello piu esterno serve da rinforzo.1

Il calettamento deve essere tale da generare una pressione pc che agisce come pressione internasul cilindro esterno e come pressione esterna sul recipiente esterno. Per effetto di questa si hauna redistribuzione delle tensioni che porta in conclusione ad uno scarico della parte interna ead un sovraccarico del recipiente esterno. Il valore di pc deve essere determinato a priori in basealla pressione di esercizio e alla tensione ammissibile nel materiale, tenendo conto della dettaredistribuzione. Il calcolo e facilissimo in quanto non si esce dalla fase elastica e quindi sonopienamente valide le formule di Lame.

Sia ri il raggio interno del cilindro interno, re il raggio esterno del cilindro esterno e rc (raggiodi calettamento) il valore nominale del raggio esterno del recipiente interno e del raggio internodel recipiente esterno. In realta i due ultimi raggi sono diversi tra loro in quanto devono essere talida costituire un montaggio con interferenza, ma la loro differenza rispetto al valore nominale, chesara ora determinata, e percentualmente trascurabile (meno di un millesimo).

In fase di esercizio il cilindro interno e soggetto alla pressione interna di esercizio pi e allapressione esterna di calettamento pc; il recipiente esterno e invece soggetto alla pressione internadi calettamento pc.

Se si applica il criterio della massima tensione tangenziale occorre calcolare il valore σeq =σt − σr, che e massimo in corrispondenza dei due rispettivi raggi interni, ossia ri per il recipienteinterno e rc per quello esterno. Per il primo vale (applicando le formule di Lame)

σeq = 2(pi − pc)c2

c2 − r2i

e per il secondo

σeq = 2pcr2e

r2e − c2

Si deve verificare preliminarmente che nessuno di questi due valori ecceda quello ammissibile σamm.Volendo si puo ottenere un uguale grado di sicurezza per entrambi i cilindri eguagliando i due valorie cosı ottenendo

pc =pi

1 + r2e

c2c2−r2

i

r2e−c2

.

Una volta conosciuta la pressione di calettamento occorrente si determini il valore dell’interferenzanecessaria per generarla.

1Eventualmente il recipiente piu interno puo essere costituito da materiale diverso da quello esterno, per esempioda materiale resistente alla corrosione, se necessario.

14-1

Per effetto della pressione di calettamento pc si ha un restringimento del cilindro interno, incorrispondenza del raggio c, pari a

ui = εtc =c

E(σt − νσr)

Le due tensioni si calcolano con le formule di Lame con pi = 0 (perche siamo in fase di caletta-mento).

σt = −pcc2 + r2

i

c2 − r2i

σr = −pc

Quindi

ui =pcc

E

(−c2 + r2

i

c2 − r2i

+ ν

)

Ovviamente ui risulta negativo perche il cilindro interno si restringe. Per il cilindro esterno,ragionando analogamente

ue =pcc

E

(c2 + r2

e

r2e − c2

+ ν

)

Cio corrisponde ad una allargamento del diametro. Affinche si abbia il giusto calettamento l’in-terferenza deve percio essere

δ = |ui|+ ue =pcc

E

(c2 + r2

i

c2 − r2i

+c2 + r2

e

r2e − c2

)

Quando si ha la messa in esercizio del recipiente, il cilindro interno e sollecitato dalla pressioneinterna di esercizio pi e dalla pressione di calettamento pc.

14.2 Recipienti nastrati

Il recipiente nastrato funziona con lo stesso principio del recipiente cerchiato ma viene realizzatoin maniera diversa. La pressione esterna sul cilindro destinato a contenere il fluido viene data dallatensione di un nastro avvolto ad elica di piccolo passo.

I recipienti realizzati secondo questo metodo constano di un’anima cilindrica relativamentesottile sulla quale viene avvolto, con tensione prefissata, un nastro riscaldato. Quando esso siraffredda si contrae e sottopone a pressione esterna gli strati ad esso sottostanti ed in definitival’anima metallica. L’avvolgimento viene effettuato facendo ruotare l’anima nel modo illustrato dallafigura 14.1. La velocita di avvolgimento e di 4÷ 5 metri al minuto. La temperatura del nastro primadell’avvolgimento e di 500 ÷ 800 gradi centigradi e dopo cinque o sei giri di avvolgimento vienebruscamente raffreddato, dapprima con un getto d’aria e poi con un getto d’acqua, in modo daottenere la prescritta compressione sugli strati sottostanti. Prima del raffreddamento il mnastro emantenuto aderente alla superficie del recipiente mediante rulli di pressione. La tensione del nastroe di circa 50 MPa.

Non appena terminato l’avvolgimento di un intero strato si procede alla saldatura dell’estremitae si passa all’avvolgimento dello strato successivo. Il recipente finito, ma ancora senza fondi, sipresenta come in figura 14.2.

14-2

Figura 14.1: Costruzione di recipienti nastrati. 1 - Rulli di compressione; 2 - Rulli di rotolamento;3 - nastro di acciaio; 4 - Fornetto elettrico di riscaldo; 5 - Raffreddamento ad aria o ad acqua.

14.3 Recipienti autocerchiati

I recipienti autocerchiati vengono preparati sottoponendoli a plasticizzazione nella zona piu inter-na, poi scaricandoli in modo da creare in essi delle tensioni residue, e infine ponendoli in eserciziocon la pressione di lavoro. Questa puo giungere fino al valore della tensione di precarico senza chesi abbia ulteriore plasticizzazione.

Si supponga che si voglia plasticizzare la zona cilindrica compresa tra il raggio interno ri e unraggio c e che il materiale sia del tipo elastico - idealmente plastico (ossia che dopo lo snervamento siabbia sempre σ = σs) e che valga il criterio di plasticizzazione della massima tensione tangenziale,ossia che nella zona plastica si abbia σt − σr = σs.

La zona elastica e caratterizzata da un tensione radiale che al raggio c assume il valore −pc,essendo pc il valore della pressione esercitata dalla parte elastica sulla parte plasticizzata. Ivi deve

Figura 14.2: Recipiente nastrato

14-3

essere σt − σr = σs (condizione di incipiente plasticizzazione) e quindi

σt + pc = σs. (1)

Supponendo che la pressione esterna sia nulla, la tensione tangenziale si calcola con le equazionidi Lame

σt = pcc2 + r2

e

r2e − c2

dalla quale, sostituendo nella (1) si ricava pc,

pc = σcr2e − c2

2r2e

Il valore massimo di c e re e il corrispondente valore di pc e zero. Queste condizioni corrispondono,in caso di materiale non incrudente, allo scoppio del recipiente, e saranno sfruttate in seguito perottenere il valore minimo dello spessore.

Nella zona plastica vale l’equazione

σt − σr = σs

e quella di equilibriodσr

dr=

σt − σr

r=

σs

r

che, essendo a variabili separabili si integra immediatamente

σr

σs= ln

r

r0(2)

Particolarizzando per r = c, dove σr = −pc,

−pc

σs= ln

c

r0,

da cuir0 = cepc/σs , (3)

per cui, visto che epc/σs > 1, r0 risulta esterno a c.La pressione di plasticizzazione, ancora incognita, pp esercitata sulla parete interna del reci-

piente si ottiene dalla (2) per r = r1 ricordando che −pp = σr(r = ri):

−pp = σs lnri

r0. (4)

Allo scarico si producono delle tensioni uguali e opposte a quelle che si avrebbero se la pres-sione pp fosse applicata ad un recipiente con le stesse caratteristiche geometriche ma avente uncomportamento puramente elastico. Per conseguenza si hanno, in direzione tengenziale, tensioniresidue di compressione all’interno e di trazione all’esterno. Esse migliorano lo stato tensionale infase di esercizio.

Calcoliamo ora lo spessore minimo, ponendoci nelle condizioni limite: identifichiamo la pres-sione di esercizio pi con quella di plasticizzazione pp (mentre deve essere pi ≤ pp), e poniamoc ≈ re (la condizione c = re corrisponde allo scoppio). Ricordiamo inoltre che a c = re corrispondepc = 0. Sostituendo nella (3) si ottiene r0 = c = re e dalla (4)

−pp = σs lnri

re

14-4

e completando le sostituzioni e riordinando

re

ri= epp/σs

cioes

ri= −1 + epp/σs

Gli spessori minimi ottenuti con l’applicazione dei vari criteri di resistenza in fase elastica sonoriportati nella tabella 14.1, assieme con gli spessori minimi per recipienti autocerchiati.

Tabella 14.1: Spessori s minimi per vari criteri di resistenza e per recipienti autocerchiati

p/σamm s/ri

max tens. max deformazione max tau HHvM autocer.senza fondi con fondi (max tau)

0.05 0.051 0.052 0.044 0.054 0.046 0.0510.10 0.106 0.109 0.093 0.118 0.100 0.1050.15 0.163 0.172 0.148 0.195 0.162 0.1620.20 0.225 0.241 0.208 0.291 0.237 0.2210.25 0.291 0.319 0.277 0.414 0.328 0.2840.30 0.363 0.408 0.355 0.581 0.443 0.3500.35 0.441 0.511 0.446 0.826 0.594 0.4190.40 0.528 0.633 0.555 1.236 0.804 0.4920.45 0.624 0.780 0.686 2.162 1.129 0.5680.50 0.732 0.964 0.852 1.732 0.6490.55 0.856 1.204 1.069 3.595 0.7330.60 1.000 1.541 1.374 0.8220.65 1.171 2.064 1.851 0.9160.70 1.380 3.069 2.771 1.0140.75 1.646 6.810 6.211 1.1170.80 2.000 1.2260.85 2.512 1.3400.90 3.359 1.4600.95 5.245 1.5861.00 1.7181.05 1.8581.10 2.004

Si ripeta ora il ragionamento adottando il criterio di plasticizzazione della massima tensione normale:per essa, nella zona plastica si ha σt = σs. In quasto caso, al raggio interno c della zona che rimane elasticasi ha

σt = σs = −pcc2 + r2

e

r2e − c2

dalla quale si ricava subito pc che ovviamente, a parita di c, re e σs, risulta diversa da quella calcolata colcriterio della massima tensione tangenziale.

Nella zona plastica si ha σt = σs, quindi l’equazione di equilibrio si scrive

dσr

dr=

σs − σr

r

14-5

che si integra immediatamente cosı:

−d(σs − σr)

σs − σr=

dr

r

− lnσs − σr

(σs − σr)0=

r

r0

σs − σr

(σs − σr)0=

r0

r

σs − σr =k

r

σr = σs − k

r.

Il valore di k si trova particolarizzando l’equazione per r = c dove σr = −pc. Si trova

k = c(σs + pc).

Quindi

σr = σs − c

r(σs + pc).

e la pressione interna di plasticizzazione vale

pp = −σs +c

ri(σs + pc).

In questo caso la condizione di spessore minimo, che si ottiene ponendo c = re, pi = pp e pc = 0 si scrive:

pi = σs

(−1 +

re

ri

)

e quindi ovviamentes

ri=

pi

σs

ritrovando paradossalmente la formula delle caldaie.

14-6

15. La costruzione dei recipienti

In questo capitolo saranno presentate soluzioni costruttive per alcune classi di recipienti, e sarafatto cenno ad alcuni aspetti normativi.

15.1 Spessori minimi delle pareti

Salvo diverse disposizioni contenute in norme particolari, gli spessori minimi previsti dalla normavigente in Italia, VSR.1.C dell’ANCC, sono i seguenti:

• Per pareti ricavate da lamiera oppure da tubo per fasciami cilindrici:

Acciai al carbonio 3 mmAcciai debolmente legati e legati 2 mm

• Per pareti ricavate per fusione:

Acciai al carbonio 6 mmAcciai debolmente legati e legati 5 mm

Per i recipienti sferici lo spessore in millimetri non deve essere inferiore a quanto dato dalleformule:

• per lamiere di acciaio al carbonio:

2.5 +De

3000

• per lamiere di acciaio legato o debolmente legato:

1.5 +De

3000

In ogni caso lo spessore non deve essere inferiore ai 6 mm.Norme particolari valgono per i generatori di acetilene e per i vasi di espansione.

15.2 Recipienti sferici

La teoria membranale conduce alla formula

s

p=

Dm

4σamm.

Applicando la vecchia, cara regola dello scomporre si ha

s

p=

Dm − s

4σamm − p=

Di

4σamm − p(1)

La normativa ricava la σamm dividendo la tensione di snervamento (vera o convenzionale) per 1.5;si prende inoltre in considerazione un coefficiente z datto modulo di efficienza del giunto per tenereconto della presenza di chiodature, saldature, eccetera.

Per potere usare la (1) anche per recipienti a parete spessa, lo spessore viene alquanto mag-giorato scrivendo

s =pDi

4σammz − 1.2p

15-1

che vale comunque solo per p/(σammz) ≤ 0.59.Sfere di diametro limitato, fino a 1500 mm, possono essere costruite con soli due elementi,

saldando lungo la circonferenza massima due comuni fondi emisferici. Per diametri maggiori lasfera e ottenuta dall’unione saldata di piu elementi preventivamente formati secondo una doppiacurvatura e disposti come indicato in fig. 15.1.

I serbatoi sferici sono sostenuti da un certo numero di colonne cilindriche che vengono saldatetangenzialmente a partire dalla linea equatoriale direttamente sulla lamiera. Se l’attacco dellecolonne si estende per una sufficiente superficie non e necessario l’impiego di piastre di rinforzo.

Figura 15.1: Costruzione di un serbatoio sferico

15.3 Cilindri soggetti a pressione interna

La formula delle caldaie, scritta sotto forma di proporzione e

s

p=

Dm

2σamm.

Applicando ad essa la regola del comporre, facendo comparire il modulo di efficienza e riordinandosi ha

s =pDi

2σammz − p

s =pDe

2σammz + p.

Queste formule vanno applicate per recipienti a parete sottile; la norma stabilisce la pressionelimite di applicabilita (Vedi tab. 15.1).

Oltre questa vanno usate le formule per i recipienti a parete spessa, la cui espressione e:

s =Di

2

(−1 +

√σammz

σammz − 1.333p

)

Questa e in effetti una variante delle formule di progetto della massima tensione tangenziale (cheprevede al denominatore il coefficiente 2 per la p) e di Huber-Hencky-von Mises (che prevede il

15-2

Tabella 15.1: Pressione massima di validita della formula delle caldaie

coefficiente√

3 per la p). Tutavia la formula della normativa appare ottimistica, sia rispetto aqueste, sia rispetto alla formula del criterio della massima deformazione.

Nel caso in cui la pressione di esercizio sia parzialmente bilanciata da una contropressioneesterna inferiore, il dimensionamento dello spessore del mantello si esegue di solito assumendocautelativamente la seconda come nulla.

Se la pressione non si mantiene costante lungo l’asse del cilindro si puo pensare ad uno spessorevariabile. Pero per recipienti di piccola o media capacita motivi di praticita costruttiva consiglianogeneralmente l’adozione di uno spessore costante pari a quello calcolato per la pressione massima.Solo in casi particolari, come per esempio nei grandi serbatoi verticali per lo stoccaggio atmosfericodi prodotti liquidi o nelle colonne molto alte la notevole economia di materiale che si puo realiz-zare a causa dell’elevato sviluppo superficiale del mantello puo giustificare l’adozione di spessorigradualmente decrescenti verso l’alto.

Per diametri fino a 1000 mm i mantelli cilindrici posono essere costruiti a partire da tubisenza saldatura commerciali, che sono disponibili in una discreta varieta di spessori. Per diametrimaggiori i mantelli sono invece realizzati saldando diversi elementi di lamiera preventivamentesagomati per calandratura a caldo o a freddo, disposti in corsi orizzontali con giunzioni sfalsatecome indicato in figura.

Se il recipiente non e molto grande, e se il proporzionamento e imposto rigidamente da esigenzedi processo, occorre ben ottimizzare i tagli delle lamiere (disponibili ovviamente solo in formati

15-3

unificati) per minimizzare gli sfridi e la lunghezza delle saldature.Recipienti verticali di notevole altezza, come le colonne, possono talvolta essere realizzati per

convenienza di trasporto e di montaggio in piu tronconi da unire mediante flange.La presenza di aperture corrispondenti a bocchelli, passi d’uomo, attacchi per strumenti di

misura, finestre di ispezione, determina un indebolimento del mantello. Per forature di diametrosuperiore a 50 mm e spesso necessario irrigidire la parete circostante saldando su di essa, ester-namente, una piastra di rinforzo dei tipi indicati in figura. Il criterio di dimensionamento dellepiastre di rinforzo e quello di aggiungere una sezione resistente minima uguale a quella sottrattacon la foratura. Con le notazioni indicate in figura 15.2 si ha:

(A− db)s′ = dfs

Figura 15.2: Piastre di rinforzo di aperture

La costruzione dei recipienti per alta pressione e assai complessa e delicata. Oltre alla necessitadi avere pareti di grosso spessore occorre limitare le giunzioni e adottare particolari accorgimentiper l’attacco dei fondi e per la tenuta. Si ha pertanto a che fare con pezzi molto pesanti cherichiedono speciali tecniche di lavorazione e speciali attrezzature di manipolazione. La forma e quasisenza eccezioni cilindrica con rapporti lunghezza/diametro crescenti al crescere della pressione inmodo da contenere gli spessori.

Cilindri monoblocco vengono ottenuti per forgiatura e fucinatura a partire da billette piene.Nel caso di elevate lunghezze la costruzione puo essere realizzata in due pezzi identici, uniti perflangiatura. La figura 15.3 mostra lo schema di un reattore di sintesi ad alta pressione di costruzionemonoblocco.

15.4 Cilindri soggetti a pressione esterna

La formula di verifica adottata dalla normativa per i recipienti cilindrici sottoposti a pressioneesterna e quella di von Mises. La pressione ammissibile all’esterno del recipiente e 1/3 di quellacosı determinata. e chiaro che problemi di instabilita si possono avere solo con cilindri a paretesottile.

15-4

Figura 15.3: Recipiente per alte pressioni

Nel caso che questa pressione risulti troppo bassa si posono prevedere cerchiature da disporreall’esterno o all’interno del recipiente. Tali cerchiature sono ottenute da profilati commerciali,curvati a caldo. La disposizione e quella di figura 15.4, e l’unione avviene per saldatura. Inutiledire che le operazioni di saldatura, sia del profilato col recipiente che delle due estremita delprofilato, sono assai piu critiche per il rinforzo esterno; in compenso esse risultano ovviamente piuagevoli.

La formula per il momento d’inerzia Ix rispetto all’asse neutro parallelo all’asse del fasciame e

Ix ≥ 0.2pLD2aDe

ET

in cui Da e il diametro del rinforzo in corrispondenza dell’asse neutro e ET e il modulo di Youngin corrispondenza della temperatura di esercizio, dato dalla tabella 15.2.

15.5 Cilindri verticali snelli

La verifica dei recipienti sviluppati prevalentemente in verticale, quali per esempio le colonne didistillazione, non deve considerere la sola pressione, ma anche il peso proprio, il peso del fluido,le spinte orizzontali del vento e del sisma, combinando queste azioni nel modo piu sfavorevole, inmodo da ottenere la massima sicurezza.

15-5

Figura 15.4: Cerchiature interne (a) ed esterne (b) di un recipiente.

Tabella 15.2: Variazione del modulo elastico con la temperatura

15.5.1 Pressione

Le tensioni indotte dalla pressione si calcolano con la consueta teoria dei recipienti a parete sottile.

15.5.2 Carichi statici

I carichi da considerare sono:

• Peso proprio del mantello, compresi passi d’uomo, bocchelli e rinforzi

• Peso delle strutture interne, come piatti e strati di riempimento

• Peso delle strutture esterne, come scale, ballatoi, passerelle

• Peso dell’isolamento termico e delle tubazioni sopportate dal mantello

• Peso dei fluidi contenuti sui piatti.

15-6

• Sovraccarichi accidentali, soprattutto in caso di montaggio e di manutenzione.

Tutti questi carichi inducono nel mantello una tensione assiale di compressione variabile lungol’altezza, che nel caso di carichi centrati risulta uniforme e pari a

σaw = −w(L− x)πDs

in cui w e il peso delle strutture per unita di altezza, L l’altezza totale della colonna, x la quotada terra, D il diametro della colonna ed s lo spessore. Si faccia attenzione, come al solito, ad usareunita coerenti. Il massimo valore di questa tensione e alla base della colonna.

15.5.3 Spinta del vento

La spinta del vento sulle costruzioni si riconduce a una forza orizzontale distribuita sulla superficieesposta. Essa e dovuta sia alla pressione di ristagno sulla superficie sopravvento, sia al distacco divortici, sia ad una depressione sulla superficie sottovento.

L’attuale normativa consiste essenzialmente nel D.M. 16-1-1996 “Norme tecniche relative aicriteri generali per la verifica delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”, e nella relativa circolareesplicativa 4-7-1996 n.156/AA.GG. “Istruzioni per l’applicazione delle norme tecniche relativeai criteri generali per la verifica delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”1 Tale normativastabilisce una pressione cinetica qref dovuta al vento, variabile in funzione della posizione geograficae dell’altitudine, che viene poi maggiorata con opportuni coefficienti, per ottenere la pressione p.Uno dei coefficienti, quello di esposizione, varia anche con la quota fuori terra della costruzione, equindi la pressione agente e in generale crescente con la quota.

La formula e:p = qref × ce × cp × cd

in cui

• qref e la pressione cinetica di riferimento, calcolata in funzione della posizione geografica edell’altitudine dell’impianto;

• ce e il coefficiente di esposizione, variabile in funzione della posizione topografica (per esem-pio, impianto posto in una valle, o in cima ad una collina) e dell’altezza fuori terra dellacostruzione.

• cp e il coefficiente di forma, o aerodinamico, dipendente dalla tipologia della costruzione (p.e.edifici, coperture di vario tipo, travature reticolari, corpi cilindrici, sfere)

• cd e il coefficiente dinamico.

Per quanti riguarda i corpi cilindrici, il coefficiente aerodinamico cp e

cp =

1.2 per d√

q ≤ 2.21.783− 0.263d

√q per 2.2 < d

√q < 4.2

0.7 per d√

q ≥ 4.2

in cui d e espresso in metri e q = Qrefce e espresso in N m−2.

1Questi e altri riferimenti normativi sono reperibili al sito www.pittini.it/ferriere/leggidecreti.htm

15-7

15.5.4 Carico sismico

Il terremoto consiste in una vibrazione del terreno, che induce una sollecitazione nelle strutture. Talesollecitazione puo essere studiata sia con metodi dinamici, quindi essenzialmente con l’analisi modale, siacon metodi statici, applicando sulla struttura dei carichi statici che simulano l’azione dei carichi dinamici.Il metodo statico e adatta solo a quelle strutture di tipo a massa concentrata, quali gli edifici civili; persistemi a massa distribuita, come appunto un recipiente alto, e preferibile il metodo dinamico.

La normativa in vigore consiste nel D.M. 16-1-1996 “Norme tecniche per le costruzioni in zona sismi-ca” e nella circolare 10-4-1997 n. 65/AA.GG. “Istruzioni per l’applicazione delle norme tecniche per lecostruzioni in zona sismica”.2

Un recipiente alto e snallo puo essere schematizzato come una mensola incastrata alla base e liberaalla sommita. Un metodo di analisi modale puo essere quello di determinare le frequenze di vibrazione e lerelative deformate per i primi n modi di vibrare; dato il tipo di schema si considerano solo modi flessionali.

Sono ben note le espressioni che danno i modi di vibrare (autovettori) e i periodi (correlati con gliautovalori) di una trave a mensola; il periodo del modo piu basso e:

T1 =2π

3.5160

√ml4

EI

in cui m e la massa per unita di lunghezza, l la lunghezza, E il modulo di Young e I il momento d’inerziadella sezione trasversale, e due successivi sono:

T2 = T1/6.2669 T3 = T1/17.5475

Conoscendo la deformate normalizzate φi corrispondenti a ciascun modo di vibrare si determina la massamodale

Mi =

∫ l

0

φ2i (x)m(x)dx

Il fattore di normalizzazione per ogni modo si determina con l’espressione:

Yi =Qiai

Miω2i

In cui ai l’accelerazione in corrispondenza del periodo Ti, ωi = 2π/Ti e Qi e il carico modale,

Qi =

∫ l

0

φi(x)m(x)dx

Una volta trovato Yi la deformata effettiva per il modo i-esimo e:

fi(x) = Yiφi

dalla conoscenza della deformata tramite la teoria delle travi si giunge a trovare il diagramma del momento.Per il diagramma del momento complessivo la normativa prescrive:

M(x) =

√∑i

M2i .

15.6 Cilindri orizzontali snelli

Il caso dei cilindri orizontali snelli riguarda i serbatoi di stoccaggio e gli scambiatori di calore, peri quali si possono avere rapporti tra lunghezza e diametro fino a 10. Questi apparecchi sono ingenere sostenuti da due selle concave che abbracciano inferiormente il mantello per un angolo di120. In questo caso le sollecitazioni del vento e del sisma risultano trascurabili, mantre hannoimportanza la pressione interna, il peso proprio, quello delle strutture di servizio e delle tubazionisostenute dal recipiente, il peso dei fluidi contenuti, i sovraccarichi accidentali ed eventualmente

15-8

Figura 15.5: Serbatoio cilindrico ad asse orizzontale.

la neve. Non bisogna dimenticare, per gli scambiatori, il peso del fascio tubiero e delle relativepiastre.

Il serbatoio orizzontale puo essere schematizzato come una trave su due appoggi con estremitaaggettanti, sollecitata da un carico uniformemente distrubuito. I due fondi vengono approssimatida una lunghezza equivalente l di cilindro; con le notazioni di fig. 15.5, si pone l = 2h/3. Il caricounitario e quindi

q =g(Mc + Mf )

L + 2l

in cui Mc e la massa del recipiente e delle strutture e Mf la massa del fluido. Il diagramma delmomento e quello schematizzato in figura e si vede che le sezioni critiche sono quelle di appoggioe di mezzeria, dove i momenti sono rispettivamente

Ma = −qA2

2Mm =

qB2

8− qA2

2=

q

2

(B2

4−A2

)

Una progettazione ottimale prevede che i due momenti siano uguali in valore assoluto, per cuiA/B =

√2/4 = 0.354 e A/(2A + B) = 0.207; in questo caso

|Ma| = Mm =qB2

16

Questa sollecitazione produce una tensione assiale il cui valore massimo e

σa = ± qB2

4πD2s

che si somma a quella dovuta alla pressione interna.In pratica i carichi statici, e in particolare la distribuzione triangolare delle pressioni dovute al

battente liquido, tendono a deformare la sezione circolare, schiacciandola verticalmente; l’effetto2Anche queste norme sono reperibili al sito www.pittini.it/ferriere/leggidecreti.htm

15-9

e piu sentito nei mantelli piu sottili. Una prima conseguenza e la diminuzione del momento d’i-nerzia della sezione per cui le tensioni da momento flettente crescono; inoltre, in corrispondenzadelle selle di supporto, il cui profilo e rigorosamente circolare, lo schiacciamento della sezione elocalmente impedito e cio determina una concentrazione di tensione per ragioni di congruenza, inparticolare in corrispondenza dei vertici superiori di ciascuna sella, al di sopra dei quali il mantelloritorna bruscamente libero di deformarsi. Per queste ragioni e necessario rinforzare il mantello incorrispondenza dei supporti saldandovi esternamente delle piastre per un arco maggiore di quelloabbracciato dalle selle. E anche possibile introdurre delle cerchiature, o appoggiare il recipiente sutre selle anziche su due.

15-10

15.7 Fondi

Si parla ovviamente di fondi solo in recipienti cilindrici, visto che il cilindro e una figura geome-tricamente indefinita. Inoltre faremo riferimento solo a recipienti per gas (Q = 0).

Considerazioni generali

In un punto qualsiasi di un recipiente per gas vale la relazione

σm =prn

2s

in cui p = pi − pe o, se si preferisce si puo porre per semplicita pe = 0 quindi p = p)i.Dall’equazione di Laplace

σn

rn=

p

s− prn

2srm=

p

s(1− rn

2rm) (1)

Ora, nel cilindro rm = ∞ mentre nel fondo rm ha valore finito. Nascono percio due problemi:

1. All’attacco tra cilindro e fondo rn rimane pressocche costante, mentre rm per quanto dettovaria bruscamente, per cui la σn presenta certamente una discontinuita.

2. Il valore della σn al di la della discontinuita, cioe all’inizio del fondo, puo essere negativo,cosa che si verifica se nella (1) risulta rn/(2rm) > 1.

Poiche fisicamente non ci possono essere discontinuita nelle tensioni, il primo risultato qui illu-strato non e vero, ma indica solo che la soluzione membranale non vale, e a rigore occorre tenerconto degli sforzi di flessione. Tale trattazione piu approssimata non verra qui svolta; basti direche la trattazione membranale rimane qualitativamente valida, e anche quantitativamente moltoapprossimata.

Per quanto riguarda l’insorgere di sforzi di compressione, va detto che questi possono avere perconseguenza la presenza di instabilita.

Dal punto di vista costruttivo conviene che i fondi siano quanto piu appiattiti possibile, perragioni di ingombro. A tal proposito si definisce il rapporto H/R, con H altezza del fondo edR raggio del recipiente, come grado di appiattimento, mentre il suo reciproco e detto grado diprofondita.

15.7.1 Fondi sferici

Si calcolano come ordinari recipienti sferici. Per il caso di pressione interna le tensioni principalirisultano di trazione in ogni punto; esiste il problema della discontinuita di σn in corrispondenzadell’attacco al mantello cilindrico, e questo puo essere visto come caso particolare dello stessoproblema nel fondo ellittico, ma non esiste il problema dell’insorgere di sforzi di compressione.

Come facile esercizio lo studioso lettore puo tracciare l’andamento della σn in funzione dell’a-scissa curvilinea lungo il recipiente.

15.7.2 Fondi ellittici

Il fondo ellittico e sempre un semisferoide oblato, in quanto deve avere un ingombro minore delfondo sferico. I raggi di curvatura principali sono:

rm =a2b2

z3rn =

a2

z

15-11

conz =

√a2 sin2 θ + b2 cos2 θ

essendo θ la colatitudine. Quindi

σm =pa2

2sz

σn =pa2

2sb2· 2b2 − z2

z(2)

i cui andamenti sono riportati in fig 15.6.

Figura 15.6: Tensioni nel fondo ellittico (k = a/b)

Come si vede dalla (2), la σn diventa negativa quando z >√

2b. Siccome all’equatore dellosferoide, ossia all’attacco col mantello cilindrico si ha z = a, nell’intorno di tale zona σn saranegativa se a/b <

√2, caso quasi sempre verificato in pratica, sempre per ragioni di ingombro del

fondo. La presenza di tensioni negative (di compressione) puo portare all’instabilita.Un altro problema che si presenta in questi fondi, ma anche in quelli sferici, e la discontinuita

della σn nel passare dal fondo al mantello. Infatti, all’equatore dello sferoide

σn =pa

2s

(2− a2

b2

)

mentre nel cilindroσn =

pR

s

e nella maggior parte dei casi questi valori sono diversi e non riconciliabili (in particolare quandouno e positivo e l’altro negativo). Questa discontinuita degli sforzi di membrana viene superatadall’insorgere di sforzi di flessione. Un esempio e data dalla fig. 15.7

15-12

Figura 15.7: Tensioni nel fondo ellittico con a/b = 2 e nel mantello cilindrico, tenendo conto deglisforzi di flessione.

15.7.3 Fondi torosferici

Qualitativamente si comportano come i fondi ellittici. Si puo applicare la formula generale (1) pertrovare un limite al raggio r del raccordo torico. Infatti, imponendo che σn > 0, risulta rn > 2rm;questa condizione, scritta per il punto di raccordo tra toro e cilindro, nel quale rn ≈ R e rm = rrestituisce r > R/2, ma tale condizione darebbe luogo ad un fondo troppo ‘bombato’ per cui sitollera che r sia piu picvcolo, e quindi che σn diventi negativa, purche siano rispettate opportuneregole di proporzionamento, come spiegato in seguito.

15.7.4 Costruzioni grafiche per fondi torosferici

Detti: D il diametro del cilindro, r il raggio del raccordo torico, R il raggio della calotta sferica,H l’altezza del fondo, A il punto limite della parte rettilinea del meridiano, si propongono trecostruzioni:

1. Dati D, H, r.

Dal vertice A’ si stacca un segmento di lunghezza r fino ad arrivare al punro O’. Si congiungeO’ e O1, centro del raccordo torico. L’asse del segmento O’O1 interseca l’asse nel punto O,centro della calotta sferica. Vedi figura 15.8

2. Dati D, H, R.

15-13

Figura 15.8: Costruzione di un fondo torosferico dati D, H, r

Dal vertice A’ si stacca un segmento di lunghezza R fino ad arrivare al punro O. Si tracciaun arco di centro O e raggio R fino ad intersecare il piano parallelo per O nel punto B. Sicongiunge B con A e si prolunga fino a intersecare l’arco A’B nel punto O”. CongiungendoO” con O si trova O1, centro del raccordo torico. Infatti il triangolo O1AO” e isoscele sullabase AO” in quanto simile al triangolo OBO”. Vedi figura 15.9

Figura 15.9: Costruzione di un fondo torosferico dati D, H, R

3. Dati D e H, con l’ulteriore condizione che r/R sia massimizzato.

Si congiunge A e A’ e si tracciano le bisettrici dei due angoli A’AB e AA’B. Esse si incontranonel punto O”, che e il punto di raccordo tra toro e sfera. Da O” si traccia la normale ad AA’fino ad incontrare l’asse nel centro O della calotta sferica. La costruzione si basa sul fattoche i due triangoli AO1O” e OO”A’ sono isosceli, come si dimostra facilmente in base ai loroangoli. Vedi figura 15.10

15-14

Figura 15.10: Costruzione di un fondo torosferico dati D e H, con l’ulteriore condizione che r/Rsia massimizzato.

15.7.5 Aspetti normativi

A parte complicazioni dovuto all’uso di unita non coerenti, i fondi in un sol pezzo3, secondo lanormativa ANCC, vanno proporzionati con la formula

s = CpDe/2σamm

in cui il coefficiente C e dato dal diagramma di fig. 15.11, in funzione dal rapporto H/De

I fondi sferici devono avere s ≤ 0.16De; i fondi ellittici H ≤ 0.2De e i fondi torosferici: (vedifigura 15.12)

s ≤ 0.08De

r ≥ 0.1De

r ≥ 3s

R ≤ De

H ≥ 0.18De

Inoltre i fondi ellittici e torosferici devono avere un colletto cilindrico di pezzo, avente altezzaminima di 0.3

√Des.

3e con esclusione quindi dei fondi ottenuti per saldatura

15-15

Figura 15.11: Coefficiente C per il proporzionamento di fondi sferici, ellittici e torosferici, con osenza aperture; d e il diametro massimo dell’eventuale apertura ed s e lo spessore del fondo.

Figura 15.12: Fondo torosferico

15-16

15.8 Serbatoi di stoccaggio

Si premette che i serbatoi si dividono in serbatoi di processo e serbatoi di stoccaggio. I primi sononormalmente di dimensioni ridotte e si interpongono tra le apparecchiature di processo al fine direndere relativamente indipendenti parti diverse dell’impianto. Esempi sono i serbatoi di svincolotra sezioni funzionanti in modo discontinuo e in modo continuo, i serbatoi di mescolamento didiverse correnti e i polmoni per l’assorbimento di variazioni di composizione o di temperature. Iserbatoi di stoccaggio invece sono di dimensioni molto maggiori e si trovano di norma all’inizio ealla fine di ogni ciclo di lavorazione per far fronte all’esigenza di conservare le materie prime e iprodotti finiti nell’intervallo tra due rifornimenti o spedizioni. Essi vengono situati generalmentein un parco serbatoi esterno al recinto delle apparecchiature dell’impianto e cio in base a esigenzedi manutenzione, facilita di carico e scarico e sicurezza.

I serbatoi si distinguono in aperti e chiusi; questi ultimi possono essere a pressione atmosfericao a pressione maggiore; a seconda del fluido si distinguono inoltre serbatoi per liquidi e per gas.

15.8.1 Serbatoi per liquidi

Tra i serbatoi aperti vi sono le piscine, di calcestruzzo o di acciaio, in genere interrate; in questomodo si elimina il problema dell’ingombro e quello della resistenza delle pareti, sostenute dallaspinta del terreno, e in parte anche quello delle fondazioni, visto che scavando si raggiungonocomunque strati di terreno piu resistenti.

Per depositi a pressione atmosferica di grandi volumi la soluzione piu economica e quella deiserbatoi cilindrici ad asse verticale a fondo piano.

I fondi piani poggiano direttamente sulla fondazione e quindi sono soggetti alla sola compres-sione dovuta al carico idrostatico, che e sempre trascurabile, e alla flessione in corrispondenza dellasaldatura col mantello, anch’essa trascurabile. Per tale motivo non si effettuano calcoli e si ponelo spessore uguale a 5 – 10 mm.

I tetti possono essere fissi o galleggianti.I tetti fissi hanno generalmente forma conica molto svasata o raramente curvilinea e sono

in lamiera. Per piccoli diametri, fino a 10 m, sono sostenuti solo perimetralmente dal mantello.Il calcolo di stabilita si effettua tenendo conto del peso proprio, del sovraccarico accidentale edell’eventuale depressione ammessa dalla valvola di respirazione. Eventualmente sono da prevederenervature radiali irrigidenti, collegate da un nodo centrale. Le nervature si dimensionano a due adue considerandole come arco a tre cerniere soggetto ad un carico triangolare dovuto allo scaricodel tetto. Sono percio soggette a flessione e carico di punta. Il tetto autoportante produce ancheuna spinta radiale sul mantello, crescente al diminuire dell’inclinazione, per assorbire la qualeoccorre prevedere un anello di rinforzo sul bordo.

e chiaro che per diametri maggiori di 10 m il tetto deve essere sostenuto in maniera autonomatramite una serie di pilastri, che nei casi migliori si riducono ad uno solo centrale, e nei casipeggiori costituiscono una o piu corone circonferenziali. In questo caso le nervature si consideranopuramente appoggiate e quindi soggette a sola flessione e quindi scompare il carico di punta,al quale sono invece soggetti i pilastri. Alla base del pilastro si deve prevedere una piastra diripartizione di spessore 10 mm.

Sia i pilastri che le nervature sono costituiti da profilati saldati.I tetti galleggianti sono assai piu semplici perche sostenuti direttamente dal liquido. Sono

costituiti da una struttura cava in modo da assicurare il galleggiamento e irrigiditi internamenteda setti radiali e circonferenziali. La lamiera superiore e inferiore puo essere quindi suddivisa intrapezoidi, ciascuno dei quali si calcola come piastra appoggiata lungo il bordo. Alla periferia sideve prevedere un’apposita tenuta.

Per pressioni superiori a quella atmosferica e necessario ricorrere a serbatoi a fondi torosferici,ellittici o sferici. La bombatura del fondo aumenta con la pressione. L’asse puo essere orizzontale

15-17

o verticale; nel primo caso il diametro e raramente maggiore di 4 m e la lunghezza di 20 m. Pervolumi elevati e necessario usare piu serbatoi in batteria o ricorrere a serbatoi ellissoidali o sferici,questi ultimi, di norma, riservati ai gas.

Va detto infine che, per evitare pericolose sovratensioni dovute alla dilatazione termica, iserbatoi per liquidi non vengono mai riempiti interamente, ma fino ad un massimo del 90 %.

15.8.2 Serbatoi per gas

I serbatoi per gas possono essere a volume o a pressione costante. Nel primo caso le forme costrut-tive sono quelle gia note (cilindriche o sferiche) e il calcolo si effettua come per i recipienti perliquidi. Le pressioni sono superiori a quelle degli analoghi serbatoi per liquidi, onde immagazzinareuna maggiore massa per unita di volume. Inoltre, essendo trascurabile il carico idrostatico, spessosi ricorre a serbatoi cilidrici ad asse verticale, anche molto alti.

I serbatoi a pressione costante sono i gasometri, che ovviamente sono a volume variabile equindi dotati di sistemi telescopici.

Si noti che spesso i gas sono immagazzinati in condizione di liquefazione.

15.9 Strutture di sostegno

15.9.1 Fondazioni

Plinti

Il tipo di fondazione piu conveniente ed economico per strutture a sviluppo verticale di limitata se-zione e il plinto, costituito da un blocco di calcestruzzo armato prismatico o piramidale, appoggiatosul terreno con l’interposizione di uno strato di calcestruzzo magro.

La forma piu economica e la pianta quadrata, anche se la piu efficiente dal punto di vistadel contrasto dei momenti ribaltanti e quella circolare; spesso come soluzione di compromesso siadotta una pianta esagonale o ottagonale.

Dal punto di vista del dimensionamento, ci interessiamo qui solo del calcolo delle dimensionidella base di appoggio, notando comunque che il calcolo del cemento armato e in questo caso moltofacile.

I carichi gravanti sul plinto sono verticali o orizzontali. Quando vengono ricondotti al baricentrodella base di appoggio danno luogo ad una forza orizzontale, una verticale F e un momento M ,detto momento ribaltante. La componente orizzontale e assorbita senza difficolta dall’attrito sullabase e quindi non entra nei calcoli; la forza verticale da luogo ad una compressione uniforme

σP =F

A

e il momento ad una distribuzione di tensioni a farfalla di valore massimo

σF =M

Wf

In cui Wf e il modulo di resistenza a flessione della base.Noto il valore del carico ammissibile σT sul terreno, deve essere:

σF + σP ≤ σT ;

Inoltre, per assicurare che la tensione sia di compressione in ogni punto deve essere:

σF ≤ σP .

15-18

Platee

Vengono utilizzate in caso di bassa resistenza del terreno e di notevole vicinanza tra loro delleapparecchiature. Sono costituite da una soletta di cemento armato, talvolta irrigidita da travirovesce. Data la notevole rigidezza dell’insieme, perdono di importanza i momenti ribaltanti agentisulle varie strutture.

Pali

Vengono utilizzati in terreni a scarsa resistenza, per raggiungere strati piu profondi. Un palo agiscein due modi: da un lato viene sostenuto dall’attrito lungo la sua superficie laterale, dall’altro va ascaricare il carico su strati piu profondi e quindi piu resistenti. Alla testa dei pali viene fissata lafondazione ordinaria, in genere a plinto.

Basamenti

Si dicono basamenti quei blocchi di fondazione particolarmente pesanti e robusti destinati a suppor-tare aparecchiature che generano intensi carichi dinamici e vibrazioni, come vagli, mulini, pompe,compressori, turbine.

Superficialmente simile al plinto, il basamento richiede un dimensionamento del tutto diverso.Inannzitutto la pressione ammissibile sul terreno, in caso di carichi dinamici, deve essere limitataad 1/2 – 1/3 di quella statica; poi occorre che il basamento assorba il piu possibile le vibrazioni.A tale ultimo scopo esso deve avere una frequenza propria molto elevata, che si ottiene dandogliuna massa molto elevata rispetto a quella dell’apparecchiatura che supporta. Se il volume delbasamento diventa molto elevato, risulta opportuno abbassarne il piano di posa rispettoa quellodi altre fondazioni.

15.9.2 Sostegni

Generalita

Mentre i macchinari come pompe, compressori, turbine, sono normalmente collocati a livello delsuolo, le apparecchiature di processo per varie esigenze operative e di manutenzione devono essereassai spesso sistemate in posizione sopraelevata. Cio comporta la predisposizione di adeguatestrutture di sostegnno.

Colonne, grandi reattori, scambiatori di calore, serbatoi, dispongono di solito di sostegni indi-viduali. Condensatori, autoclavi, recipienti di accumulo e apparecchiature minori come vagli, filtri,separatori, vengono invece sistemate alle rispettive quote entro strutture reticolari comuni

Sostegni per apparecchiature singole

La gonna costituisce il sistema di sostegno piu diffuso per le colonne e in generale per le appa-recchiature cilindriche a sviluppo verticale. Come mostrato in fig. 15.13, si tratta di un troncocilindrico in lamiera che in pratica prosegue il mantello dell’apparecchiatura, fino alla fondazio-ne. Lateralmente e presente un’apertura per l’ispezione. L’ancoraggio alla fondazione avviene permezzo di apposite scatole saldate alla gonna, in cui vengono serrate le teste di tiranti filettatipreviamente annegati nel calcestruzzo, come mostrato in fig. 15.14.

Le sollecitazioni a cui la gonna e sottoposta sono le stesse che agiscono sul mantello dell’ap-parecchiatura che essa sostiene, ad eccezione, ovviamente, della pressione interna. Inoltre, se latemperatura di esercizio e diversa da quella ambiente, nella gonna si instaura un gradiente ditemperatura. La gonna e sempre realizzata in acciaio al carbonio. Il numero di tiranti alla basedipende dal diametro dell’apparecchiatura e dal momento flettente da contrastare.

15-19

Figura 15.13: Sostegno a gonna.

Figura 15.14: Forme costruttive di tiranti.

Apparecchiature verticali di piccola altezza come autoclavi, piccoli serbatoi, scambiatori dicalore, sono preferibilmente sostenute da zampe metalliche equidistanziate lungo la circonferenza erealizzate con profilati commerciali. Le zampe sono saldate all’apparecchiatura e alla base ciascunadi esse e saldata ad una piastra che realizza l’unione con la fondazione a mezzo dei soliti tirantifilettati. La sollecitazione agente sulle zampe e di sola compressione, e quindi di carico di punta,in quanto in ciascuna di esse il momento flettente agente sulla struttura si traduce in un’aliquotadi carico assiale di trazione o di compressione che si somma alla sollecitazione dovuta ai carichiverticali.

Analoga soluzione vale per i recipienti sferici.I recipienti cilindrici orizzontali sono, come si e visto, sostenute da selle in calcestruzzo o in

lamiera metallica.

15-20

Strutture reticolari

Quando occorre sistemare una singola apparecchiatura a quota elevata o piu aparecchiature dilimitate dimensione in elevazione, conviene ricorrere a strutture di sostegno comuni, che possonoessre aperte o chiuse. Le prime sono caratteristiche degli impianti che eseguono lavorazioni di basee sono piu economiche; le seconde, che sono richieste quando si voglia offrire alle apparecchiatureuna maggiore protezione, sono caratteristiche di impianti piu piccoli.

Nel primo caso si ricorre a strutture reticolari costruite con solai, travi e pilastri. Possono esserein cemento armato o in struttura metallica, quest’ultima molto piu diffusa in quanto, sia pure piucostosa, presenta il vantaggio di un rapido montaggio e di un valore residuo elevato in caso sidovesse rottamarla.

Le strutture chiuse sono invece i capannoni, o di un vero e proprio fabbricato, realizzato incemento armato o in acciaio o con struttura prefabbricata.

15.10 Tecnologie per la costruzione dei recipienti

L’elemento fondamentale di un impianto chimico si puo ricondurre alla tipologia del tubo, siadi piccolo che di grosso spessore, di piccola o grande lunghezza, in metallo ordinario o specialeeccetera.

Consideriamo innanzitutto i tubi di acciaio, che sono i piu comuni.Dal punto di vita tecnologico essi si distinguono tubi saldati e senza saldatura; questi ultimi

ulteriormente suddivisi in tubi laminati (Mannesmann) o estrusi.I tubi saldati si ottengono piegando un foglio di lamiera, fino a ridurlo ad un cilindro, e saldando

poi i due lembi accostati; poiche la saldatura potenzialmente e fonte di indebolimento, e richiedequindi sia un’accurata esecuzione sia controlli di integrita, anche questa lavorazione e riservataa ditte specializzate e a produzioni fortemente industrializzate, quindi ripetitive, con macchinededicate e con forti volumi di produzione.

Affini alla tipologia dei tubi saldati sono i recipienti conici (tramogge).I tubi senza saldatura Mannesmann sono fabbricati con un processo particolare che impiega in

successione due laminatoi, quello foratore (o Mannesmann) e quello finitore (a passo del pellegrino).Il lingotto, di diametro superiore a quello del tubo da ottenere, viene forato al centro nel

laminatoio Mannesmann; successivamente il diametro esterno viene ridotto (e con esso lo spessore)nel laminatoio a passo del pellegrino.

I tubi trafilati si ottengono facendo passare un tubo senza saldatura (semilavorato) attraversoun foro calibrato; se l’interno del tubo e libero (trafilatura senza mandrino) si ottiene una dimi-nuzione del diametro a spessore pressocche costante; se all’interno del tubo e posto un albero (chedefinisce il diametro interno del tubo) si ha la trafilatura con mandrino.

I tubi di grandissimo diametro possono essere anche forgiati; ossia si fora un lingotto piuttostocorto e poi se ne lavora l’interno tra due cilindri laminatori in modo da portarne diametro espessore alle dimensioni desiderate.

I tubi di ghisa sono ottenuti per fusione o per centrifugazione; nel primo caso si adottano formeverticali; nel secondo il metallo viene colato in una forma rotante ad asse orizzontale, in modo dauniformare lo spessore grazie alla forza centrifuga. I tubi di ghisa, per la loro elevata resistenzaalla corrosione, sono utilizzate per condotte interrate.

In alcuni casi (per esempio condotte forzate di impianti idroelettrici) i tubi devono essererinforzati tramite anelli disposti esternamente; questi sono sempre ottenuti per fucinatura al maglioo per laminazione a partire da dischi forati.

Tubi in cemento o in materie plastiche sono di uso limitato in un impianto chimico, per lo piuin impieghi di carattere civile: pluviali, fognature eccetera.

La raccorderia (gomiti, raccordi a T e a croce, adattatori di diametro) viene ottenuta perfusione, in forme metalliche (fusione in conchiglia) per garantire elevata ripetibilita dimensionale

15-21

e grande durata degli stampi. I raccordi possono essere piu semplicemente ottenuti per piegaturadi spezzoni corti di tubo.

Le valvole sono costituite di due parti, una fissa (corpo valvola) e una mobile (disco o sferadi chiusura e stelo di manovra). Il corpo valvola, che e di forma complessa, si ottiene per fusione;dischi e steli per stampaggio (alla pressa o al maglio).

I fondi dei recipienti a piccolo spessore sono ottenuti per imbutitura a freddo; si parte da unalamiera piana circolare e si pone tra due stampi, uno convesso e uno concavo, uno fisso e l’altroazionato da una pressa. I due stampi riproducono in negativo la superficie del fondo; man manoche si avvicinano deformano la lamiera che da piana diventa bombata e si adatta alla cavita trai due stampi. I fori necessari possono essere ottenuti in questa fase per punzonatura; i successiviparticolari costruttivi (rinforzi, attacchi) vengono collegati per saldatura. Ancora per saldaturaviene collegato il fondo al recipiente.

I fondi dei recipienti di grosso spessore vengono ottenuti per fucinatura o stampaggio, con suc-cessiva finitura alle macchine utensili, per creare le superficie di accoppiamento con la guarnizionee il mantello.

La bulloneria (viti e dadi di varie forme e dimensioni) e costruita in acciaio speciale da bulloneria(appunto. . . ) e viene ottenuta per lavorazione a macchine utensili speciali (derivazioni del classicotornio) oppure per rullatura (viti rullate), a partire da semilavorati speciali (p. e. barre esagoneper i dadi). La testa delle viti viene ricavata per ricalcatura.

Con i sostegni (per tubazioni e per ausiliari) si entra nel capitolo della carpenteria metallica. Glielementi che la caratterizzano sono lamiere, travi a L, a T e a doppio T, ancora tubi. Tutti questielementi sono ottenuti per laminazione. Profilati di piccola sezione, specie se di leghe leggere, sonoottenute anche per estrusione (trafilatura).

Con questi elementi si costruiscono sostegni piu o meno grandi, che talvolta prendono la formadi vere e proprie strutture a telaio, a uno o piu piani. Le giunzioni sono ottenute quasi sempreper bullonatura, che garantisce la possibilita di un eventuale smontaggio; qualche volta usata lasaldatura, specialmente per costruire pezzi complessi a partire da pezzi semplici, per esempio travia cassone a partire da lamiere piane. In disuso ormai e la chiodatura.

I grandissimi serbatoi, p.e. per derivati del petrolio, sono costituiti, come gia detto, di lamieresaldate; i tetti (sia fissi che flottanti) possono essere ricondotti alla classe delle carpenterie, perchecostituiti di travature di sostegno e di lamiere di copertura.

Le fondazioni, realizzate in cemento armato, sono state trattate sopra. Accenno al fatto chei tondini per cemento armato sia lisci (in acciaio dolce) sia ad aderenza migliorata (in acciaio alcarbonio) sono prodotti per laminazione.

I capannoni per deposito di materiali, mezzi di trasporto, bombole e quant’altro rispondonoalla tipologia degli analoghi edifici industriali: sono costituiti da struttura metallica o in cementoarmato e copertura in carpenteria metallica; in genere sono ad un solo piano. Piu vicini al generedelle costruzioni civili (anch’esse in struttura metallica o in cemento armato) sono le palazzine peruffici, portineria, e quant’altro. Queste sono in genere a piu piani.

15-22

16. Collegamenti filettati, flange eguarnizioni

16.1 Chiusura dei coperchi

Nel contesto dei recipienti in pressione i collegamenti filettati sono impiegati per collegare il co-perchio al corpo dei recipienti, o per collegare due tratti di tubazione ecc. Comunque il discorsofatto vale anche per altri casi.

Sulle due estremita del tubo da collegare sono saldate due flange tra le quali si interpone unaguarnizione di materiale piu cedevole che serve ad assicurare la tenuta (vedi fig. 16.1).

Figura 16.1: Collegamento con flangia tra mantello e coperchio

In un primo momento i bulloni1 vengono serrati per assicurare la tenuta; poi il recipiente vienepressurizzato. Per effetto della pressione le viti si tendono ulteriormente, mentre la guarnizione siscarica. Comunque un certo carico deve rimanere su di essa per evitare perdite.

Nella fase di pretensionamento i bulloni sono tesi da una forza complessiva W1 e corrisponden-temente la guarnizione e compressa da una forza −W1.

Nella fase di pressurizzazione la pressione interna p provoca l’insorgere della forza W2 = πG2p/4in cui G e il diametro medio della guarnizione2; questa provoca uno spostamento δ2 verso l’altodel coperchio rispetto al mantello. Corrispondentemente le viti si allungano di δ2 e la gurnizioneaumenta il suo spessore di δ2.

Siano Kb la forza che provoca un allungamento unitario delle viti (rigidezza delle viti) e

1dicesi bullone l’insieme di una vite e del relativo dado2G e il diametro medio della superficie di contatto della guarnizione, purche la larghezza di quest’ultima sia

minore o uguale a 6.25 mm.

16-1

−Kg la forza che provoca una diminuzione unitaria di spessore della guarnizione (rigidezza dellaguarnizione).

Allora l’allungamento δ2 corrisponde ad una forza aggiuntiva di Kbδ2 nelle viti e di Kgδ2 nellaguarnizione. Siccome la loro somma deve fare W2, risulta che alle viti va un’aliquota

W2b = W2Kb

Kg + Kb

mentre alla guarnizione va un’aliquota

W2g = W2Kg

Kg + Kb

Entrambe le aliquote sono positive per cui le viti si caricano ulteriormente mentre la guarnizionesi decomprime3.

Si deve quindi imporre la condizione che il carico totale sulla guarnizione sia negativo; la nor-mativa impone che esso sia proporzionale alla pressione del fluido e ad un coefficiente m dipendentedal tipo di guarnizione, ossia

−W1 + W2Kg

Kg + Kb= −2πbGmp, (1)

in cui e b la larghezza convenzionale della guarnizione; da dove venga il fattore 2, proprio non loso. In base a questa formula si puo determinare W1.

Nasce tuttavia una difficolta: il carico W1 non puo essere troppo maggiore di quello che provocalo snervamento della guarnizione, che in buona approssimazione si raggiunge con la pressione y ‘diassestamento’ data dalla normativa,4 ossia

W1 = πGby (2)

Il fatto di avere una stessa quantita (W1) determinata da due equazioni , la (1) e la (2), permettedi porre un vincolo sulla dimensione della guarnizione o sulla pressione raggiungibile nel recipiente.Poniamoci infatti nelle condizioni peggiori supponendo che sia W2g ≈ W2 (cosa che avviene se Kb

e trascurabile rispetto a Kg). Allora

W1 = W2 + 2πGbmp (3)

Facendo sistema tra (2) e (3) si trova

W2 =πG2p

4= πGby − 2πGbmp

da cuib =

Gp

4(y − 2mp

da cui risulta che b non puo essere troppo piccolo rispetto a G, a meno che non ci si limiti a bassivalori di p. Si trova innanzitutto 2mp < y, quindi, posto m ≈ 4,

p <y

2m≈ y

83abbiamo ottenuto un caso particolare della regola molto generale per cui la forza si ripartisce tra elementi in

parallelo in misura proporzionale alle rispettive rigidezze. ; una regola che l’ingegnere e chiamato ad applicare nonsolo in senso ‘passivo’, per prevedere la distribuzione delle forze, ma anche in senso ‘attivo’, modificando le rigidezzein modo da avere una predeterminata distribuzione di forze.

4La lettera y etimologicamente e l’iniziale di ‘yield’.

16-2

e che, se y/lly, b/G ≈ p/(4y), per cui se p ≈ y/25, ossia se la pressione e dell’ordine di grandezzadi 10 bar, si ha G/b ≈ 100.

Le costanti m e y per varie guarnizioni sono date in tab. 16.1. Questa tabella, contempla il casodi guarnizioni con amianto, oggi fuorilegge perche cancerogeno. Come succedaneo si usa la grafite,oppure fibre ceramiche; purtroppo anche queste sono sospette di cancerogenicita. La successivatabella 16.2 riguarda i particolari costruttivi delle sedi per guarnizioni.

16-3

Tabella 16.1: Guarnizioni: Materiali e tipi (tab. 1.U.3.2 della raccolta VSG dell’ANCC). Lacorrisponente tab. 1.U.3.3 e riportata in tab. 16.2.

16-4

Tabella 16.2: Guarnizioni: Larghezza di assetto (tab. 1.U.3.3 della raccolta VSG dell’ANCC).

16-5

16.2 Formule per le rigidezze

Rigidezza dei bulloni

Kb = NAnEb

L

doveN numero bulloniL lunghezza libera della vite uguale allo spessore delle due flange piu la parte libera della

guarnizione.Eb modulo elastico delle vitiAn area di nocciolo di una vite.

Rigidezza della guarnizione

Kg =AgEg

sg

doveEg modulo elastico della guarnizioneAg area della guarnizione,

Ag = 2πDgbg

sg spessore della guarnizione.Se la guarnizione e molto rigida conviene impiegare al posto della rigidezza della sola guarni-

zione Kg la rigidezza equivalente delle flange piu la guarnizione Kfg, calcolata con la formula dellerigidezze in serie

1Kfg

=1

Kf1+

1Kg

+1

Kf2

dove la rigidezza di una flangia e calcolata tenendo conto che la parte reagente e un tronco dicono avente per base minore la superficie di appoggio del dado o della testa della vite e angolodi semiapertura 45 gradi. Per semplicita si sostituisce ad esso un cilindro equivalente di area Af .Quindi

Kf = NAfEf

sf

doveN numero bullonisf spessore di una flangiaEf modulo elastico della flangiaAf area equivalente della parte reagente della flangia

Af =π

4

[(Dm + sf

)2

− d2

]

Dm diametro medio del dado (media tra larghezza in chiave e diametro nominale)d diametro del foro.

16-6

16.3 Collegamento a flangia per attrito

Sia da trasmettere un momento torcente Mt e il contatto tra le due flange sia limitato ad unacorona circolare compresa tra i reggi Ri ed Re; questa limitazione rende piu realistica l’ipotesi cheverra fatta cioe che la pressione p tra le due flange sia uniformemente distribuita.

Un’area elementare posta a distanza r dall’asse trasmette un momento elementare

dMt = fprdA

in cui f e il coefficiente di attrito tra le facce (per sicurezza conviene prendere il coefficiente diattrito dinamico che e piu piccolo di quello statico).

Per facilitare l’integrazione si puo supporre che l’elementino di area sia una corona circolare dilarghezza dr, la cui lunghezza e ovviamente 2πr. Quindi

dMt = fp2πr2dr

e

Mt = 2πfp

∫ Re

Ri

r2dr = 2πfpR3

e −R3i

3.

Da questa formula si ricava la pressione p, per cui la forza di chiusura totale, data dalla pressioneper l’area di contatto, e

W1 = πp(R2e −R2

i );

questa quantita e anche lo sforzo totale di trazione su tutte le viti. Si e usato il pedice 1, di fatto quiinutile, per analogia con quanto svolto nei paragrafi precedenti nel caso delle flange per coperchi.

16.4 Momento di serraggio

Per creare sulle viti il carico assiale W1 calcolato nelle sezioni precedenti (cioe un carico di W1/Nsu ciascuna vite) occorre stringere i dadi con il dovuto momento di serraggio (popolarmente dettocoppia di serraggio).

Per calcolarlo osserviamo che la coppia vite-madrevite e dinamicamente equivalente ad unpiano inclinato

Per camprendere questo fatto si faccia riferimento alla figura 16.2; qui si immagina che la vitesia costituita sostanzialmente di una molla (che schematizza l’elasticita del gambo) che tira versoil basso un elementino trapezoidale (che schematizza una porzione del filetto della vite), a suavolta appoggiato su un cuneo, che rappresenta una porzione del filetto del dado.

Lo scopo dell’avvitamento e insinuare il cuneo (filetto del dado) sotto l’elementino trapezoidale(filetto della vite) vincendo la forza della molla e quindi esercitando una forza T .

Evidentemente tra i due elementi a contatto c’e una forza di chiusura Q e una forza di attritoµQ in cui µ e il coefficiente di attrito tra i due filetti.

Si considerino ora le forze agenti sul filetto del dado (figura 16.3, in basso): sono la T (oriz-zontale), la Q (inclinata di α rispetto alla verticale verso il basso) e la µQ (inclinata di α rispettoall’orizzontale e diretta verso destra). Vi e anche un’altra forza verticale diretta dal basso ver-so l’alto, e che rappresenta la reazione della superficie su cui il dado e appoggiato, ma essa noninfluisce sul nostro ragionamento, che sara basato su un equilibrio alla traslazione orizzontale.

Eseguendo dunque tale equilibrio alla traslazione orizzontale si ha

T −Q sin α− µQ cos α

da cuiT = Q(sin α + µ cosα) (1)

16-7

Figura 16.2: Meccanismo ideale equivalente ad una coppia vite-dado.

Figura 16.3: Forze agenti sul filetto della vite (in altro) e su quello del dado (in basso); le forzeindicate come distribuite sono ininfluenti rispetto al ragionamento che qui interessa.

Le forze agenti sul filetto della vite (figura 16.3, in alto) sono: la W1/N , diretta dall’alto versoil basso, la Q, e la µQ, dirette nel verso opposto al caso precedente in quanto forze di reazione. Quinon prendiamo in considerazione le forze orizzontali, in quanto procederemo ad un equilibrio indirezione verticale; bastera accennare al fatto che l’equilibrio orizzontale e assicurato dalla rigidezzatorsionale del gambo.

16-8

Eseguendo dunque tale equilibrio alla traslazione verticale si ha

W1

N−Q cosα + µQ sin α

da cuiT =

W1

NQ(cosα− µ sin α) (2)

Ricavando Q dalla (1) e sostituendo nella (2) si ha

T =W1

N

sin α + µ cos α

cos α− µ sin α

e, introducendo l’angolo di attrito φ, definito in modo che sia µ = tan φ,

W1

N=

sin α + tan φ cos α

cos α− tanφ sin α

Ricordando la formula di addizione della tangente, si ha

T =W1

Ntan(α + φ)

in cui α angolo d’elica del filetto (α = arctan p/(πdm)) per una vite di passo p e φ angolo di attrito.Da essa

Mt =dm

2W1

Ntan(α + φ)

in cui dm e il diametro medio tra quello esterno D (nominale) della vite e quello interno D1 dellamadrevite (vedi figura nella tab. 16.4). Questo e il momento torcente indotto sulla vite e chepotrebbe chiamarsi momento di serraggio netto.

Occorre considerare anche l’attrito tra dado e superficie di appoggio, che da un momento

Md =Dm

2W1

Ntan φ′

in cui φ′ angolo di attrito tra dado e superficie di appoggio e Dm e il diametro medio del dado(media tra larghezza in chiave e diametro nominale)

Il momento di serraggio totale (o lordo, se si vuole) e dato dalla somma di questi due momentiparziali di cui il secondo e completamente perduto, mentre il primo rimane immagazzinato nellavite come momento torcente.

16.5 Verifica della vite

La vite e soggetta ad uno sforzo normale

Q =W1

N+

W2

N

Kb

Kg + Kb

e ad un momento torcenteMt =

dm

2W1

Ntan(α + φ).

Infatti il momento Md rimane confinato al dado e non interessa la vite. La verifica si fa come inun normale solido del de Saint Venant.

16-9

Lo sforzo di trazione da luogo, sulla sezione perpendicolare all’asse, ad una distribuzioneuniforme di tensioni normali

σ =4Q

πd2n

.

Il momento torcente da luogo, sulla sezione perpendicolare all’asse, ad una distribuzione di tensionitangenziali ‘a farfalla’

τ(r) =32Mt

πd4n

r

Per la verifica si osserva che i cubetti piu sollecitati sono sul contorno, per essi

τ = τmax =16Mt

πd3n

Per la determinazione delle tensioni principali, da introdurre in un criterio di resistenza, si sfrutterala costruzione di Mohr. Consideriamo il cubetto definito nella figura 16.4. Le facce 1 sono sezioninormali della vite, le facce 2 sono sezioni radiali, le facce 3 sono parallele alla superficie laterale.

Figura 16.4: Cubetto in stato piano di tensione estratto dal solido di de Saint Venant

Risultando scarica la superficie laterale (e una delle condizioni poste al problema di de SaintVenant), le facce 3 sono scariche; per conseguenza la normale n3 ad esse e una direzione principale(autovettore del tensore degli sforzi) e la relativa tensione principale (autovalore) e nulla.

Per la determinazione degli altri due autovalori, seguiamo il teorema di Mohr, che dice che alruotare del cubetto intorno alla normale n3 i punti le cui coordinate sono la σ e la τ percorronosul piano di Mohr una circonferenza, mantenendosi su di essa diametralmente opposti.

Disegnando la situazione sul piano di Mohr (fig. 16.5) si vede che il punto 1 ha coordinale(σ,−τ) e il punto 2 ha coordinate (0, τ) coerentemente con la regola dei segni di Mohr che prendepositive le rotazioni orarie. Siccome i due punti sono diametralmente opposti il cerchio ha centro

16-10

C di coordinate (σ/2, 0) e raggio

C2 = C1 =

√(σ

2

)2

+ τ2

quindi le tensioni principali sono:

σ1 =σ

2+

√(σ

2

)2

+ τ2

σ3 =σ

2−

√(σ

2

)2

+ τ2

mentre σ2 = 0 (come detto gli indici delle tensioni principali si scelgono in modo che sia σ1 >σ2 > σ3).

Figura 16.5: Verifica sul piano di Mohr

Una formula di progetto e

As

mm2=

152W

Nσs

MPa

2/3

in cui As e l’area resistente, W la forza assiale agente e σs la tensione di snervamento del materialedi cui la vite e fatta.

16.6 Distanze tra i bulloni

La pressione e uniformemente distribuita sulla guarnizione se i bulloni distano meno di 10 volte illoro diametro.

La distanza minima tra i bulloni e data dalla necessita di agire con la chiave.

16-11

16.7 Tabelle dell’unificazione

Tabella 16.3: Filettature metriche ISO a profilo triangolare: Coordinamento diametro-passo (UNI4535)

16-12

Tabella 16.4: Dimensioni delle filettature metriche ISO a profilo triangolare a passo grosso

16-13

Tabella 16.5: Dimensioni dei dadi esagonali con filettatura metrica ISO e delle rosette piane.

16-14

Tabella 16.6: Spazio necessario per la manovra con chiavi a forchetta (dimensioni in millimetri).

16-15

Tabella 16.7: Spazio necessario per la manovra con chiavi a tubo (dimensioni in millimetri).

16.8 Guarnizioni

Si distinguono in guarnizioni tra superfici fisse, come quelle usate per assicurare la tenuta tracoperchio e recipiente, e guarnizioni tra superfici mobili, per esempio i premistoppa, le tenute alabbro e le tenute meccaniche.

16.8.1 Guarnizioni tra superfici fisse

Sono costituite da rondelle di materiali deformabili, che vengono schiacciate tra le due flangedurante la fase di tensionamento dei bulloni e che quindi come spiegato sopra assicurano la tenuta.Caratteristiche delle piu comuni guarnizioni sono date in tab. 16.8.

16.8.2 Guarnizioni tra superfici mobili

Sono utilizzate quando le due superfici sono in moto relativo, esempio classico e il caso degli alberi.Per esigenze lievi di tenuta, per esempio se si tratta solo di impedire l’entrata di polvere o

la fuoriuscita di grasso da un cuscinetto a rotolamento, si usano le tenute a labbro (fig. 16.6)costituite da un dispositivoin gomma con o senza una molla interna per migliorare la tenuta. Bennota e anche la variante per alberi in cui la guarnizione presenta un’armatura metallica in mododa formare un pezzo unico per il montaggio.

Nel caso di alberi in moto alternativo, p. e. per steli di pistoni, la tenuta usata e l’O-ring,piccolo toro in gomma, originariamente a sezione circolare, la cui tenuta e assicurata da unaleggera deformazione.

16-16

Figura 16.6: Tenute a labbro

Nel caso di alberi in moto lento o saltuario la tenuta clasica e quella a baderna, costituita dauna serie di anelli di materiale molto deformabile, quali canapa impregnata o teflon, sistematein un alloggiamento e premute da un dispositivo detto pressatrecce. Il numero di anelli in generevaria da quattro a dieci. Per evitare che l’eccessivo schiacciamento degli anelli ostacoli il motodell’albero, e per assicurare una tenuta supplementare, talvolta si interpone un anello metallicoforato che alimenta dell’olio lubrificante a bassa pressione. (fig. 16.7). Questa soluzione e comune-mente adottata per gli alberidi pompe centrifughe, al fine di evitare ingressi d’aria nella zona diaspirazione, e per gli alberi degli agitatori di reattori e autoclavi per evitare fuoriuscite di vaporio di gas.

Nei casi piu gravosi si usano le tenute meccaniche, che realizzano la tenuta attraverso il contatostrisciante tra un anello fisso solidale con il mozzo e un anello rotante solidale con l’albero epremuto contro il primo dalla pressione di una molla elicoidale. Esse, sebbene piu costose delletenute a baderna, offrono prestazioni nettamente superiori.

Nel caso di alberi molto veloci, quali quelli dei turbocompressori, difficolta di lubrificazione eraffredamento sconsigliano l’uso della tenuta a contatto, come quelle dei tipi precedenti, e si realizzaquindi una tenuta senza contatto o tenuta a labirinto, costituita da una serie di allargamenti econtrazioni di sezione che impongono al gas che vuole sfuggire forti perdite di carico. Ovviamentela tenuta non e perfetta, nel senso che un’aliquota di gas comunque sfugge, per cui, se ci sonoesigenze di evitare perdite occorre iniettare nella sezione centrale del labirinto un gas inerte cheassicuri la tenuta.

Figura 16.7: Guarnizioni a baderna

16-17

Tabella 16.8: Caratteristiche delle guarnizioni

16-18

16.9 Flange

Costituiscono delle espansioni a corona circolare all’estremita di un recipiente o di un tratto ditubo, in modo ad assicurare la connessione con un elemento contiguo per mezzo di bulloni.

Si dividono in flange con superficie di contatto parziale, se la guarnizione non si estende oltr lacirconferenza dei bulloni, oppure con superficie di contatto integrale, se la guarnizione supera lacirconferenza dei bulloni. Le prime si dividono a loro volta in flange integrali, quelle che formanoun tutto unico col mantello, e quindi sono soggette alla pressione del fluido, e flange libere, chenon sono soggette alla pressione del fluido.

Un’ulteriore classificazione e quella della figura 16.8.per il dimensionamento delle flange si fa solo l’esempio delle flange integrali, rimandando per

le altre alla normativa. Esse vengono proporzionate con le formule seguenti:

σa = f ′MX

s22

σr =MX

t2

[1 + 1.33F

t/s1√2r1/s1

]

σt =MY

t2− Zσr

i cui parametri sono dati nella tab. 16.9 e nella figura 16.10.

Figura 16.8: Tipi di flange: a, saldata di testa; b, saldata a sovrapposizione; c, filettata; d, mandri-nata; e, libera; f, slip-on. Finiture della faccia: g, piana; h, con risalto; i, con risalto per guarnizionetipo “ring-joint”; l, a incameratura semplice; m, a incameratura doppia.

16-19

Figura 16.9: Formule per flange integrali

16-20

Figura 16.10: Figure per flange integrali

16-21

17. Trasmissioni

17.1 Generalita

Vediamo quale forma devono avere due corpi rotolanti l’uno sull’altro per trasmettere moto tra dueassi comunque disposti nelllo spazio e con legge qualsiasi. Naturalmente data l’enorme generalitadel problema ci limiteremo a dare qualche principio generale e a discutere alcuni casi particolariinteressanti.

Dati due assi a e b, ci proponiamo di determinare la forma che devono avere i due corpi Ca e Cb,rotanti rispettivamente intorno a tali assi, affinche il loro moto avvenga per continuo contatto disviluppo, cioe affinche due punti coincidenti delle loro superfici si spostino nella medesima direzionee con la stessa velocita assoluta.

Siano ωa e ωb le velocita angolari intorno ai due assi a e b e sia AB la minima distanza tra idetti assi (fig. 17.1)

Figura 17.1: Trasmissione del moto attorno ad assi comunque disposti nello spazio.

Ci proponiamo di dimostrare che: Il moto relativo dei due corpi Ca e Cb si puo in generaleridurre in ciascun istante ad una rotazione intorno ad un asse c e ad uno scorrimento paralleloallo stesso asse.

Premettiamo che le rotazioni si compongono tra loro come vettori, per cui se due assi sonoconcorrenti la rotazione somma delle due e diretta secondo un asse concorrente con gli altri due ela cui direzione e data dalla diagonale della regola del parallelogrammo.

Attribuiamo a tutto il sistema la velocita angolare−ωb intorno all’asse b: cio equivale a guardareil moto da un sistema di riferimento solidale al corpo Cb, che ora appare immobile.

17-1

Lo stesso risultato si ottiene dando al sistema una rotazione −ωb intorno all’asse x parallelo ab e passante per A ed una traslazione in direzione normale ad x di velocita

v = ωbAB

Componiamo le due rotazioni ωa e −ωb intorno agli assi concorrenti a e x nella rotazionerisultante di velocita angolare Ω intorno all’asse c′ la cui direzione e definita dalla relazione

ωa

ωb=

sinβ

sin α(1)

Decomponiamo la velocita v di traslazione in due componenti s e V secondo la direzione di c,ossia di Ω e la sua normale

s = v sin β

V = v cos β

Componiamola rotazione Ω e la traslazione V in un’unica rotazione di uguale velocia angolareintorno all’asse c parallelo a c′ e passante per un punto C di AB tale che sia

V = ΩAC

con cio avremo ridotto il movimento del sistema ad una rotazione Ω intorno a c a ad una traslaziones lungo c, ossia ad un movimento elicoidale relativo all’asse c con velocita Ω e con velocita discorrimento s.

La direzione e la posizione dell’asse c dipendono dalla posizione degli assi a e b e dalla grandezza,e soprattutto dal verso, delle due velocita angolari ωa e ωb. Possiamo infatti scrivere

AC =V

Ω=

v cosβ

Ω=

ωbABcos β

Ω

Con analogo procedimento si potrenne ottenere:

BC =V

Ω=

v cos β

Ω=

ωaABcos α

Ω

per cuiACBC

=ωb cosβ

ωa cos α(2)

Se i valori di ωa e ωb sono variabili col tempo, varia col tempo la posizione dell’asse elicoidalec e ciascuna delle sue posizioni rappresentera un asse elicoidale istantaneo. Considerando taleasse c solidale all’asse a (o all’asse b) avremo, per effetto della rotazione ωa (o ωb), che il luogodei successivi assi c verra a costituire due superficie rigate1 assoidi2 che possiamo assumere arappresentare la forma dei due corpi Ca e Cb rotanti attorno ad a e b.

In tal caso il moto relativo dei due corpi Ca e Cb si riduce ad una rotazione e contemporaneoscorrimento intorno all’asse elicoidale istantaneo lungo il quale si toccano le due superfici assoidi.

Se in particolare il rapporto tra le velocia angolari (rapporto di trasmissione) e costante, le duesuperfici assoidi diventano due iperboloidi di rivoluzione (fig. 17.2) generati dalla rotazione dellaretta c intorno all’asse a e intorno all’asse b.

Si possono distinguere due casi:1superficie formate da una semplice infinita di rette.2cioe luoghi di assi istantanei

17-2

Figura 17.2: Trasmissione del moto attorno ad assi comunque disposti nello spazio. Caso delrapporto di trasmissione costante.

1. Seα = β = 0

cioe se gli assi a e b sono paralleli l’asse c risulta parallelo agli altri due: cioe i due iperboloididi rivoluzione diventano due cilindri a sezione circolare.

In tal caso la (2) diventa:ACBC

=ωb

ωa(2′)

il che significa che i raggi dei cilindri stanno tra loro nel rapporto inverso delle velocitaangolari.

Dalle precedenti relazioni risulta anche

s = 0

cioe il moto relativo si riduce ad un semplice moto di rotazione.

2. SeAB = 0

cioe se gli assi a e b sono incidenti3, i due iperboloidi diventano due coni a sezione circolaredefiniti dalla condizione (1). Dalle precedenti relazioni, essendo v = 0, risulta anche

s = 0

cioe anche in questo caso il moto relativo si riduce ad un semplice moto di rotazione senzastrisciamento.

La presenza dello strisciamento comporta ovviamente una dissipazione di energia; per que-sta ragione la trasmissione tra assi sghembi non viene impiegata se non quando la potenza datrasmettere e piuttosto piccola e quindi si puo tollerare un piccolo valore del rendimento.

3o concorrenti, come si dice in gergo.

17-3

17.2 Ruote di frizione

Se ai corpi rotolanti si da la forma delle superfici assoidi sopra determinate si hanno le ruote difrizione cosiddette perche affinche si abbia effettiva trasmissione di potenza occorre l’interventodella forza di attrito.

Le due ruote vengono pressate fortemente l’una contro l’altra e se l’una e posta in moto riesce atrascinare anche l’altra. Il caso piu comune e quello ruota-rotaia (o ruota-strada) in cui ovviamenteuna delle due ruote ha in realta un raggio infinito. E chiaro che in questo caso il ‘trascinamentodella rotaia e presente nel sistema di riferimento in cui il veicolo e fermo.

L’inconveniente principale delle ruote di frizione e la necessita di avere una notevole forza dichiusura per generare una sufficiente forza di attrito. Cio causa ben presto un sovraccarico deglialberi e addirittura deformazione plastica o comunque usura dei corpi rotolanti; percio le ruote difrizione sono adatte solo per trasmissione di piccole potenze.

Per superare l’inconveniente si puo:

• aumentare il coefficiente di attrito (anticamente si interponeva il cuoio), come per esempionelle trasmissioni Stevans ed Evans,

• creare dispositivi particolari, per aumentare la forza di chiusura senza sovraccaricare gli assi(sistema Garrad (fig. 17.3))

• disporre sulla superficie delle ruote delle scanalature circonferenziali (soluzione possibile solocon le ruote cilindriche)

pero il sistema migliore e di disporre scanalature in senso assiale (piu precisamente nel sensodello scorrimento s ricavato nel paragrafo precedente) ottenendo cosı le ruote dentate.

Figura 17.3: Trasmissioni Garrad. La ruota A trasmette il moto a quella B; il rullo C, essendolibero di spostarsi nella direzione normale al piano contenete gli assi di Ae B, viene trascinatodall’anello D e si incunea tra B e D aumentando moltissimo la forza di chiusura, la quale vienecontrastata dall’anello D senza creare sovraccarichi sugli alberi.

Si noti che il passaggio ruote di frizione lisce → ruote di frizione scanalate → ruote dentate,corrisponde a quello che nelle trasmissioni flessibili e il passaggio cinghie lisce→ cinghie trapezoidali→ cinghie dentate (o catene).

17-4

18. Ruote dentate

18.1 Generalita

Per ovviare all’inconveniente caratteristico delle ruote di frizione di non poter trasmettere grandivalori della forza periferica (e quindi grandi potenze), basta munire la periferia delle ruote didenti che ingranino gli uni con gli altri. Si hanno cosı le ruote dentate. I profili dei denti di dueruote dentate accoppiate essendo necessariamente estesi nel senso radiale per una certa quantitaall’infuori e all’indentro delle due primitive, si trasmettono il moto per contatto di rotolamento e distrisciamento, anziche per semplice contatto di rotolamento, come le ruote di frizione. Durante talecontatto di rotolamento e di strisciamento i denti si spingono l’un l’altro con una forza normale N lacui componente nella direzione normale ad AB eguaglia (se si trascurano in prima approssimazionegli attriti) la forza periferica F da trasmettere (fig. 18.1).

Figura 18.1: Forze scambiate tra due ruote dentate

Premettiamo alcune definizioni e nozioni fondamentali.Superficie primitive sono le superficie assoidi cui corrisponde la legge di trasmissione che si vuol

realizzare tra i due assi e che costituirebbero le superficie di due ruote di frizione cinematicamenteequivalenti. Si potrebbero anche definire, in modo forse impreciso, ma efficace, come le superficiemedie di contatto; in quanto superficie assoidi sono superficie rigate, e quindi possono essetecilindri, o coni, o iperboloidi a una falda (questi ultimi ammettono il cilindro e il cono come casiparticolari).

Linee primitive o primitive sono le intersezioni delle superficie primitive con una superficiecontemporaneamente normale ad esse e agli assi di rotazione. Nel caso di assi paralleli le primitivesono le intersezioni dei cilindri assoidi con un piano normale ai due assi; nel caso di assi concorrentisono le intersezioni dei con assoidi con una sfera avente il centro nel loro vertice comune; nel casodi assi sghembi sono le intersezioni degli iperbolidi con due ellissoidi di rivoluzione generati da dueellissi omofocali con le iperboli che generano gli iperboloidi.

Testa e base del dente sono la parte del dente che sporge e rientra nella superficie primitiva,costa e fianco del dente le parti dei profili dei denti corrispondenti alla testa e alla base. General-

18-1

mente le altezze della testa e della base (misurate nella direzione del raggio) si fanno uguali a me 4/5m (essendo m il modulo, che verra definito tra breve).

Passo e la distanza tra due denti consecutivi, misurata lungo la primitiva. Il passo e uguale allospessore del dente piu il vano che e un poco maggiore dello spessore del dente (fig. 18.2) per darespazio ai denti della ruota compagna e permettergli di ingranare. Se indichiamo con z il numerodei denti di una ruota di cui sia r il raggio della primitiva sara

p =2πr

z

Essendo z ed r espressi in numeri interi, il passo risulta irrazionale. Si preferisce percio nella praticaconsiderare, al posto del passo, il modulo.

Figura 18.2: Alcune definizioni

Modulo (o passo diametrale) e il rapporto tra il diametro e il numero di denti

m =2r

z.

Il modulo dunque non e altro che il passo misurato, invece che in millimetri, in unita di π millimetrie tra il modulo e il passo sussiste la relazione

m = pπ.

Arco d’azione e la parte di primitiva che si svolge durante il tempo in cui un singolo denterimane impegnato col dente coniugato. Esso e composto dall’arco di accesso e dall’arco di recesso,che corrispondono rispettivamente al tempo per il quale il contatto avviene lungo il fianco o lungola costa del dente della ruota motrice. Per assicurare la continuita della trasmissione e necessarioche l’arco di azione sia maggiore del passo, il che equivale a dire che prima che due denti sianoabbandonati e necessario che altri due abbiano gia incominciato a ingranare.

Linea d’imbocco e il luogo dei punti dello spazio fisso in cui avviene successivamente il contattodei punti corrispondenti di due profili compagni. Evidentemente la linea d’imbocco MN (fig. 18.3)non puo prolungarsi oltre i due cerchi di testa delle due ruote.

La linea d’imbocco fornisce immediatamente la direzione della reazione mutua tra i denti.Infatti tale reazione (a pare l’effetto dell’atttrito) e diretta secondo la normale ai profili nel puntodi contatto e, per definizione di profilo coniugato, tale normale passa sempre per il centro diistantanea rotazione (punto di tangenza delle due primitive). Le varie rette che vanno dal centrodi istantanea rotazione ai punti della linea di imbocco rappresentano percio le successive direzionidella reazione tra i denti alla cui componente normale alla linea congiungente i centri e dovuta latrasmissione del moto. La linea d’imbocco MN permette di determinare l’arco d’azione proiettandogli estremi M ed N sulle due primitive dai centri delle due ruote; l’arco d’azione risulta cosı dallasomma dei due archi di accesso e di recesso QO e OR.

18-2

Figura 18.3: Linea d’imbocco

18.2 Classificazione

Le ruote dentate si classificano a seconda della diposizione degli assi e in seguito a seconda delladisposizione dei denti.

Si hanno percio

• ruote cilindriche per trasmissione tra assi paralleli, a loro volta divise in

– ruote cilindriche a denti diritti

– ruote cilindriche a denti elicoidali

• ruote coniche per trasmissione tra assi concorrenti

• ruote iperbolidiche per trasmissione tra assi sghembi, di cui i tipi piu usati sono:

– copiia vite senza fine - ruota elicoidale

– ruote ipoidi

(per maggiori dettagli vedi appresso).Nel seguito si trattera quasi esclusivamente delle ruote cilindriche a denti diritti, concettual-

mente le piu semplici, benche le piu usate siano quelle a denti elicoidali.

18.3 Profili dei denti

I profili dei denti sono coniugati, cioe:

• le tangenti ai profili nel punto di contatto devono coincidere; per conseguenza coincidonoanche le normali;

• la comune normale deve passare per il centro di istantanea rotazione.

18-3

In questo modo la velocita relativa dei profili risulta puramente tangenziale (strisciamento), e nonha componente normale (tendenza al distacco o all’urto). Lo strisciamento risulta proporzionalealla distanza tra punto di contatto e centro di istantanea rotazione; non puo essere del tuttoannullato, ma puo essere ridotto al minimo facendo in modo che il contatto avvenga sempre neipressi del centro di istantanea rotazione. In pratica cio si ottiene riducendo l’altezza dei denti, equindi aumentandone il numero, compatibilmente con la loro resistenza.

Le due forme usuali dei profili sono:

• profilo cicloidale

• profilo ad evolvente.

Una coppia di profili coniugati si ottiene geometricamente facendo rotolare senza strisciamentouna curva ausiliaria detta rulletta una volta su una superficie primitiva (all’esterno) e una voltasull’altra (all’interno). Si hanno cosı le sporgenze della prima ruota e le rientranze della seconda;lo stesso procedimento, con posizioni invertite della rulletta si usera per determinare le rientranzedella prima ruota e le sporgenze della seconda.

Nel profilo cicloidale la rulletta e una circonferenza; nel profilo ad evolvente la rulletta e unaretta; in quest’ultimo caso la rulletta rotola non sulla primitiva ma su una retta ausiliaria, internaalla primitiva, detta circonferenza di base.

18.3.1 Profilo cicloidale

Determinazione dei profili

Siano m1 ed m2 le due primitive: assumiamo una circonferenza e come curva rotolante, cioe comeipociclo (per la m1) e come epiciclo (per la m2) (fig. 18.4).

Figura 18.4: Profili cicloidali: determinazione dei profili

Per quanto e stato dimostrato le due rullette s e s (ipocicloide ed epicicloide ) di un suo punto(per es. Del punto O) quando questa circonferenza e rotola rispettivamente sulla m e sulla m

18-4

costituiscono due profili coniugati dei quali potremo utilizzare due archi per profilare due denti co-niugati. Ma cosı facendo non potremmo ottenere che denti tutti sporgenti dalla superficie primitivaper la ruota m2, e tutti incavati dentro la superficie primitiva per la ruota m1, mentre convieneche i denti siano in parte sporgenti ed in parte incavati perche si discostino il meno possibile dallasuperficie primitiva essendo lo strisciamento dei profili tanto minore quanto meno essi si allonta-nano dalla primitiva. Per completare i denti assumeremo percio un’altra circonferenza i (fig. 18.5)simmetrica della precedente rispetto ad O come epiciclo (per la m ) e come ipociclo (per la m):le traiettorie s ed s di un suo punto (per es. del punto O ) quando questa circonferenza i rotolarispettivamente sulla m1 e sulla m2 costituiscono due profili coniugati ed anche di essi potremoutilizzare due archi per completare i profili dei denti che quindi risultano completi di costa e difianco.

Figura 18.5: Profili cicloidali: determinazione dei profili

Gli archi di ipo- ed epicicloide che utilizzeremo per il profilo dei denti saranno per ciascunaruota limitati dal cerchio di base e dal cerchio di testa (fig. 18.6). I profili dei denti cosı ottenutipresentano in corrispondenza della primitiva un punto di flesso che costituisce una caratteristicadel profilo cicloidale dal quale generalmente esso si puo riconoscere sulle ruote gia costruite.

La linea d’imbocco

Nei denti a profilo cicloidale La linea d’imbocco e un arco dell’epiciclo. Infatti sia m1 la primitiva

ed e l’ epiciclo (fig. 18.7): consideriamo una posizione successiva e dell’epiciclo cui corrisponde l’arco

OM’ di epicicloide descritta dal punto O ed il punto O’ di tangenza con la primitiva. La normale in M’

all’epicicloide e (per la proprieta dell’epicicloide) la M’O’. Durante la rotazione della ruota m2 il punto M’

descrive la circonferenza punteggiata: esso verra a contatto col punto corrispondente del profilo coniugato

dell’altra ruota quando (per proprieta di profilo coniugato) la normale condotta per esso al profilo passera

per il centro O di istantanea rotazione. Ma la normale condotta per M al profilo epicicloidale e, come si e

detto, la M’O’ ed il punto O’ verra - durante la rotazione della ruota m - a coincidere con O quando M’

verra a coincidere col punto M dell’epiciclo tangente in O alla primitiva.

18-5

Figura 18.6: Profili cicloidali

Figura 18.7: Generazione dei profili cicloidali

18-6

18.3.2 Profilo ad evolvente

Figura 18.8: Generazione dei profili ad evolvente

Determinazione dei profili Siano (fig. 18.8) m1 ed m2 le due primitive: assumiamo una retta ttangente a due circonferenze ausiliarie interne alle primitive: tale retta t si chiama retta d’azione.Le traiettorie s1 ed s2 descritte da un punto (per es. O) della retta t quando essa si svolgerispettivamente sulle circonferenze ausiliarie a1 ed a2 costituiscono due profili coniugati. Cio risultaevidente se si considera il moto relativo delle primitive m1 ed m2 e se si suppone avvolto sulleausiliarie un filo inestensibile SR.

Si supponga che sia fissa la m2 e che la m1 rotoli su di essa: il punto O del filo mentre questosi svolge sulla a2 descrive l’evolvente s2. Considerando invece fissa la m1 e mobile la m2 il puntoO descrive l’evolvente s1. Ora, queste due evolventi hanno un punto in comune in tutte le loroposizioni perche sono descritte entrambe dallo stesso punto O ed hanno inoltre la normale comuneche e la retta t passante per il centro di istantanea rotazione O. In conseguenza le due evolventicostituiscono due curve coniugate il cui punto di contatto si sposta sulla retta t.

Possiamo quindi scegliere (figura 18.9) due archi di tali evolventi limitati dal cerchio di basee dal cerchio di testa per profilare i denti delle ruote compagne: tali profili avranno per linea diimbocco il segmento MN della retta d’azione limitato dai due cerchi di testa. Cio significa che ladirezione della spinta tra i denti (a parte gli attriti) e diretta per tutta la durata dell’ingranamentosecondo la direzione della retta d’azione.

Caratteristica dei profili ad evolvente Una proprieta dei profili ad evolvente che nella praticaha importanza notevole e costituita dal fatto che se la distanza fra gli assi di due ruote compagnee lievemente maggiore della somma dei raggi delle due primitive (per es. per una imperfezionedi montaggio o per usura dei cuscinetti), i due profili seguitano ad essere coniugati. Infatti lanormale ai profili nei punti di contatto rimarra sempre diretta secondo la tangente comune alledue circonferenze ausiliarie le quali non si modificano per il fatto che gli assi delle ruote cambianola loro posizione relativa , trattandosi di elementi geometrici direttamente coniugati alle sagomedei denti. Cio significa che i profili rimengono coniugati.

18-7

Oltre a cio la legge di trasmissione del moto non risulta per l’allontanamento degli assi mo-doficata, potendosi scrivere (figura 18.10), se r1 = AO, r2 = OB, ed essendo il nuovo centro diistantanea rotazione O, intersezione fra la congiungente i centri e la tangente comune alle ausiliarie:

ω1

ω2=

BO′

A′O′ =BM ′

A′N ′ =ρ2

ρ1=

r2 sin φ′

r1 sin φ′=

r2

r1

Tutto si riduce quindi soltanto ad una piccola variazione dell’angolo di spinta che viene ridotto daφ a φ′.

Per tale preziosa proprieta, oltre che per la maggiore facilita di lavorazione (essendo a semplicecurvatura) il profilo ad evolvente e certamente il piu usato.

18.4 La forma della dentatura

I denti delle ruote dentate, secondo uno dei profili indicati nel precedente paragrafo, possono esserea generatrice rettilinea o a generatrice elicoidale.

18.4.1 Ruote a denti diritti

I denti sono intagliati sulle superfici assoidi primitive e le loro generatrici sono rettilinee e paralleleall’asse di istantanea rotazione.

Le ruote a dentatura diritta si usano per la trasmissione del moto rotatorio tra assi paralleli(ruote cilindriche) e tra assi concorrenti (ruote coniche).

Assi paralleli Si usano le ruote cilindriche, che sono limitate da una superficie cilindrica aventeper generatrice una retta parallela all’asse di istantanea rotazione e per direttrice i profili dei dentitracciati con uno dei metodi indicati precedentemente (profili cicloidali o ad evolvente) su un pianonormale all’asse.

Figura 18.9: Denti a profilo elicoidale

18-8

Figura 18.10: Ruote ad evolvente nel caso di aumentato interasse

Assi concorrenti Si usano le ruote coniche (fig. 18.11) che sono limitate da una superficie conicaavente per generatrice una retta concorrente nel punto O e per direttrice il profilo dei denti tracciaticon uno dei due metodi precedentemente indicati. Poiche e poco comodo disegnare i profili deidenti sopra due calotte sferiche si usa sostituire ad esse i due coni tangenti DV1E e CV2E che sidicono coni complementari sviluppando tali coni su un piano (fig. 18.12), disegnando i profili deidenti con uno dei due metodi noti sui due settori circolari che se ne ottengono e riavvolgendo idue settori cosı profilati sui coni complementari. Ne risulta che i profili dei due denti sono costruiticome se appartenessero a ruote di raggio R1 ed R2.

18.4.2 Ruote a denti elicoidali

Tornando al caso piu generale, consideriamo la trasmissione tra due assi sghembi, in cui le ruotedi frizione che realizzano la trasmissione del moto sono costutuite da due tronchi di iperbolidi.Il moto relativo istantaneo si riduce, come abbiamo visto, ad un moto elicoidale attorno all’assed’istantanea rotazione lungo il quale i due iperboloidi si toccano, cioe ad un moto di rotazioneintorno a detto asse con velocita Ω e di strisciamento lungo lo stesso con velocita s.

Se pratichiamo su ciascuna delle due ruote dei denti (elicoidali) potremo ottenere la trsmissionedel moto. Poiche il moto relativo ha una componente di stisciamento s, l’asse dei denti dovra essereorientato secondo l’asse istantaneo del moto elicoidale. I denti delle due ruote si svolgeranno l’unosull’altro realizzando un contatto di rotolamento e di strisciamento dei due profili in direzionenormale all’asse dei denti, come ogni coppia di profili coniugati, mentre strisceranno con velocitas anche lungo il loro asse.

18-9

Figura 18.11: Ruote coniche

Figura 18.12: Coni complementari sviluppati

Dato il limitato spessore che ordinariamente viene assegnato alle ruote, potremo sostituire perragioni costruttive ai due tronchi di iperboloidi di rivoluzione due tronchi di cilindri (o di coni).In conseguenza di tale sostituzione i denti delle due ruote non si toccheranno piu per tutta la lorolunghezza ma soltanto in un punto.

Le due ruote considerate non potranno percio servire per trasmettere elevati valori della forzaperiferica (e quindi della potenza); e in ogni caso per effetto dello strisciamento lungo l’asse deldente con velocita s tale trasmissione non potra avvenire senza notevole dissipazione di energia.Ruote siffatte sono infatti impiegate soltanto in casi speciali per piccole potenze e quando noninteressi il rendimento della trasmissione.

Esse invece acquistano notevole importanza e sono correntemente usate in due casi particolari:quando gli assi sono paralleli o quando gli assi sono sghembi a 90 gradi ed il rapporto di trasmissionee molto piccolo (o molto grande).

Assi paralleli Si hanno le ruote Hooke, cosı dette perche proposte per la prima volta (nel 1647)da Hooke, ed oggi adoperate nei casi piu importanti di trasmissione di potenza tra assi paralleliper le particolari proprieta che verranno messe in evidenza.

18-10

Essendo gli assi a e b paralleli, gli iperboloidi si riducono a cilindri e percio le ruote cilindrichenon rappresentano, come nel caso generale della pagina precedente, una soluzione approssimata,ma sono cinematicamente corrette.

Si ha inoltre, per quanto gia visto

ωb

ωa=

ra

rbs = 0

Come per le ruote a denti diritti, il rapporto di trasmissione del moto rotatorio e uguale al rapportoinverso dei raggi ed e nullo lo scorrimento dei denti in direzione parallela al loro asse.

Possiamo infatti immaginare le ruote a denti elicoidali con assi paralleli derivate dalle ruotea denti diritti per successive rotazioni infinitesime di elementi di ruote, senza che tali successiverotazioni alterino la legge della trasmissione del moto o introducano alcuno scorrimento dei dentiin direzione parallela al loro asse.

Immaginiamo che una coppia di ruote cilindriche a denti diritti venga intersecata da una seriedi piani paralleli equidistanti e normali agli assi a e b, e cosı scomposta in tante coppie di ruoteelementari di spessore ∆x. Tenendo ferma la prima coppia di ruote elementari di cui siano s’1 ed s’2i profili coniugati combacianti nel punto 1, si faccia rotare ciascuna successiva coppia (fig. 18.13)di un angolo ∆θ rispetto alla precedente: il punto di contatto dei corrispondenti profili coniugati sitrovera nelle successive posizioni 1,2,3... della linea d’imbocco ed avremo cosı due ruote a gradini,e al limite, per ∆x infinitamente piccolo (fig. 18.14) due ruote a denti elicoidali.

Figura 18.13: Ruote a denti elicoidali

Durante il funzionamento quando due delle ruote elementari si abbandonano le due successiveseguitano ad ingranare per il tempo corrispondente alla rotazione dell’arco di cui ogni coppia diruote elementari e spostata rispetto alla precedente. Indichiamo con θ la somma di questi angoli∆θ, cioe l’angolo tra la prima e l’ultima coppia di elementi: l’arco di azione corrispondente ai profilidelle ruote a denti diritti da cui siamo partiti risulta cosı in queste ruote virtualmente aumentatodi θ, e tale proprieta e una delle caratteristiche delle ruote di Hooke.

18-11

Figura 18.14: Ruote a denti elicoidali

Le conseguenze piu interessanti di tale virtuale aumento dell’arco di azione sono:1) Non essendo piu necessario che l’arco d’azione α sia maggiore del passo, perche e sufficiente

che α + θ sia maggiore del passo, si possono fare i denti piu bassi e si hanno quindi minoristrisciamenti tra i profili e conseguentemente maggiore rendimento.

2) Essendo il numero dei denti contemporaneamente in presa maggiore che nel caso delle ruotea denti diritti, si ha una maggiore dolcezza di trasmissione ed anche per questa circostanza unmaggiore rendimento.

Adottando, come generalmente, il profilo ad evolvente, il contatto tra due denti coniugatiavviene secondo una linea che si proietta su un piano normale all’asse in una tangente tt allacirconferenza ausiliaria a2 (fig. 18.15); solo nell’istante in cui due denti cominciano ad ingranareil contatto si riduce ad un punto situato ad una estremita del dente in prossimita della base in So all’altra estremita sul vertice T.

Figura 18.15: Linee di contatto tra i denti nelle ruote a denti elicoidali

18-12

In generale, quindi, non e realizzata la condizione che si era proposto Hooke, di costruire delleruote cosı dette senza attrito, nelle quali cioe il contatto di due denti coniugati fosse limitato ad unpunto della primitiva e fosse percio eliminato lo strisciamento relativo dei due profili. Il contattotra i denti avviene invece lungo tratti di linee elicoidali la cui somma e piu lunga del segmento digeneratrice a cui si ridurrebbe il contatto se si trattasse di ruote a denti diritti, e su tale aumentatalunghezza si distribuisce la pressione tra i denti.

Nelle ruote a denti elicoidali la pressione tra i denti da origine ad una componente lungo l’assedella ruota che tenderebbe a spostare assialmente la ruota stessa. Per evitare tale inconveniente,che renderebbe necessaria la sistemazione di un cuscinetto di spinta sull’asse, si usano le ruote“a freccia” (a chevron) costituite (fig. 18.16) da due semi ruote eguali accoppiate aventi i dentiinclinati simmetricamente rispetto al piano mediano. Le due semi ruote possono essere sfasate l’unarispetto all’altra di mezzo passo periferico (fig. 18.17) in modo che ai denti dell’una corrispondanoi vani dell’altra: si hanno cosı le ruote Wust che realizzano una trasmissione piu dolce perche i duesemidenti non iniziano contemporaneamente l’imbocco.

Figura 18.16: Ruote a freccia

Figura 18.17: Ruote Wust

Le dentature elicoidali permettono di trasmettere grandi potenze e si usano nei riduttori per

18-13

motori marini che oggi si costruiscono correntemente fino a parecchie decine di migliaia di kW. Lapossibilita di trasmettere sı grandi potenze deriva dall’elevato rendimento che, per quanto detto,caratterizza le ruote a denti elicoidali. Con ruote a denti diritti cio non sarebbe infatti possibileper l’eccessivo aumento di temperatura dei denti (dovuto alla dissipazione per attrito) e quindi dellubrificante interposto, il quale diminuirebbe tanto la sua viscosita da perdere le sue caratteristichelubrificanti e non poter rimanere tra le superfici dei denti.

Per l’aumento virtuale dell’arco d’azioen si riduce l’altezza del dente in confronto ai denti dirittiassumendo l’altezza di costa pari a (5/6)m e l’altezza del fianco pari a m.

L’angolo di apertura della freccia 2γ (fig. 18.18) si assume pari a 110 ÷ 135 per modo chel’arco θ corrispondente all’aumento di arco d’azione

θ = AD =b

21

tan γ

(con la larghezza della ruota b = (4÷ 5)p) risulti uguale o maggiore del passo.

Figura 18.18: Ruote a freccia

18-14

18.5 Angolo di spinta

L’angolo di spinta e l’angolo tra la tangente alle due circonferenze primitive nel centro di istantanearotazione e la congiungente questo centro con il punto di contatto tra i denti.

In generale varia con la posizione del punto di contatto; nelle dentature ad evolvente risultainvece costante ed e quindi una caratteristica dell’ingranaggio; in particolare il suo valore nominalee una caratteristica costruttiva delle ruote ed e in genere di 20.

Condizione necessaria affinche due ruote ad evolvente ingranino tra loro e che abbiano lo stessoangolo di spinta nominale.

18.6 La costruzione delle ruote dentate ad evolvente

Si definisce dentiera una ruota dentata ad evolvente di raggio infinito; in essa la linea primitiva euna retta e i fianchi dei denti sono rettilinei e perpendicolari alla retta di spinta.

Tutte le ruote che ingranano con la dentiera ingranano anche tra loro; percio si usa la dentieracome utensile per la costruzione delle ruote.

Vi sono due tipi di dentatrici che sfruttano questo principio: la dentatrice Maag ad utensile-dentiera e la dentatrice a fresa-vite o a creatore.

La dentatrice Maag possiede una dentiera i cui denti sono affilati e resi quindi taglienti; il motodi taglio e perpendicolare all’asse della ruota da costruire, percio ha un andamento a va-e-vieni.

Inoltre la ruota e la dentiera hanno due moti relativi: uno corrispondente a quello che avrebberose ingranassero tra loro (cosa che sara realizzata solo al termine del processo costruttivo) (vedi lafig. 18.19) e uno di graduale avvicinamento, necessario in quanto l’utensile deve tagliare la ruotaa profondita via via crescenti (questo moto non e mostrato nella fig. 18.19).

Figura 18.19: Generazione dei denti con un utensile dentiera.

18-15

Nella dentatrice a creatore l’utensile e una fresa ottenuta facendo ruotare il profilo della dentieradi moto elicoidale attorno ad un asse.

Sia il moto di taglio che il moto di traslazione del profilo a dentiera sono ottenuti facendoruotare la fresa intorno al proprio asse.

Quando si costruisce una ruota con dentatrice Maag o a creatore, si deve evitare il fenomenodel sottotaglio, ovvero indebolimento della base resistente del dente; percio si e limitati da unnumero minino di denti pari a:

zmin =2

sin2α

essendo α l’angolo di spinta.

18.7 Verifica delle ruote dentate

La verifica di resistenza degli ingranaggi deve essere eseguita per le due condizioni:

• di usura del dente per lo strisciamento col dente compagno,

• di rottura del dente per carico di fatica.

Per quanto riguarda il calcolo l’usura, questa piu precisamente e riferito alla resistenza ad unparticolare tipo di usura per fatica, detta pitting, dovuta alla ripetizione della pressione di contatto.

Per il calcolo della resistenza al pitting si valuta la pressione massima sul fianco dei denti,applicando la legge di Hertz sul contatto di due superfici tenendo conto di tutte le cause disovraccarico. Questo risultato viene poi confrontato con la resistenza la pitting, opportunementecorretta per l’ingranaggio in esame.

Per il calcolo a fatica, si noti che il dente non e sempre in presa, per cui risulta soggetto acarichi ripetuti dallo zero. Il carico agente sul dente e essenzialmente flessionale e si deve tenerconto dell’effetto d’intaglio.

I metodi di calcolo degli ingranaggi sono pressocche infiniti.A parte i metodi piu primitivi e del tutto superati, tra gli autori che negli ultimi cinquant’anni si

sono occupati dell’argomento vanno citati Elley e Pedersen, Almen e Straub, Niemann ed Henriot.Il piu attivo tra gli italiani e stato il Castellani.

A seguito di questi e di innumerevoli altri studi sono state emanate la norme AGMA e ISO;queste ultime prospettano tre metodi di calcolo, di semplicita crescente e precisione decrescente,denominati A, B e C. La norma UNI 8862 ricalca essenzialmente la norma ISO C.

Qui nel seguito seguiro essenzialmente il percorso concettuale che sta dietro alla UNI 8862,quindi con grosse ulteriori semplificazioni, finalizzate comunque a rendere meno impervio l’arduoargomento.

18-16

18.7.1 Simboli

Simbolo Denominazione e formula unita di misura

a Interasse di riferimento mma′ Interasse di funzionamento mmb Larghezza di fascia mmd Diametro primitivo di riferimento mm

d = zmncosβ

d′ Diametro primitivo di funzionamento mm

d′1 = 2a′u± 1 ; d′2 = ud′1

mn Modulo normale di riferimento mmu Rapporto di ingranaggio

u = z2z2≥ 1

z Numero di dentiαn Angolo di pressione normale di riferimento

αt Angolo di pressione trasversale di riferimento

tanαt = tanαncos β

α′t Angolo di pressione trasversale di funzionamento

cosα′t = d cos αt

d′β Angolo d’elica di riferimento

βb Angolo d’elica di base

sin βb = sin β cosαn

18.7.2 Condizione di resistenza al pitting

Il dente e soggetto a strisciamento sotto l’azione di una forza concentrata, in quanto i due denti acontatto si premono fortemente l’uno con l’altro.

Si parte dalla teoria di Hertz sui contatti localizzati, che predice il valore della pressione mas-sima di contatto per caso di sfere ed i cilindri. In generale la distribuzione della pressione nellazona di contatto e un semiellissoide. Nel caso delle ruote dentate il contatto tra denti e schema-tizzabile come contatto tra due cilindri. In questo caso la zona di contatto diventa un rettangoloe la distribuzione delle pressioni un cilindro a sezione ellittica. Se P e la forza di chiusura e b lalunghezza del contatto tra i due cilindri, pari alla larghezza delle ruote, la pressione massima q0

valeq0 =

2π

P

ab

in cui a e la larghezza della zona di contatto, data da

a =√

4P

b(k1 + k2)

R1R2

R1 + R2

in cui

k1 =1− ν2

1

πE1k2 =

1− ν22

πE2

riferiti al materiale dei due cilindri, e quindi della ruota 1 e della ruota 2, R1 e R2 sono i raggi dicurvatura dei due cilindri, presi con il proprio segno (+ se cilindri convessi, - se cilindri concavi).

Nel caso delle ruote dentate il caso di denti a fianchi concavi si ha per le ruote a dentaturaesterna; inoltre del raggio si prende sempre il valore assoluto, facendo comparire un segno ±davanti al raggio di curvatura del dente della ruota piu grande (infatti, se una delle due ruote e adentatura interna, sara necessariamente la piu grande).

18-17

quindi, sostituendo nell’espressione della pressione massima, con queste avvertenze, si ha

σH =1π

√P

b

√1

k1 + k2

(1

R1± 1

R2

)

La forza di chiusura P si correla in modo ovvio con la forza tangenziale Ft

P =Ft

cos α

essendo α l’angolo di spinta.R1 e il raggio di curvatura del dente della ruota piu piccola e R2 e il raggio di curvatura del

dente della ruota piu grande (il segno + si riferisce a dentature esterne, il segno - a dentatureinterne)

Il raggio di curvatura dei denti e variabile lungo il suo contorno; il calcolo si fa in corrispondenzadelle primitive; tale procedura e stata raccomandata da Earle Buckingham visto che il massimopericolo di pitting si ha proprio in quella zona, nella quale lo strisciamento e nullo e quindi si harottura del velo di lubrificante.

Dalla figura 18.20 si vede che

Ri =di

2sin α

Figura 18.20: Curvatura del fianco del dente

Quindi

1R1

± 1R2

=2

sin α

(1d1± 1

d2

)=

2d1 sin α

(1± d1

d2

)=

=2

d1 sin α

(u± 1

u

)

in cui u e il rapporto di ingranaggio1

u =z2

z1=

z2

z1≥ 1

1da non confondere col rapporto di trasmissione, che dipende evidentemente da quale delle due ruote e motricee quale e mossa.

18-18

essendo i zi i numeri di denti.Sostituendo il tutto nell’espressione di σH e riordinando, in modo da far comparire i gruppi di

variabili contemplati dalla normativa, si ha

σH =√

Ft

d1b· u± 1

u

√1

π2(k1 + k2)

√2

sinα cos α(1)

La seconda radice e il fattore di elasticita ZE , che esplicitamente si scrive

ZE =1

π

(1− ν2

1

E1+

1− ν22

E1

)

La terza radice nella (1) e una forma semplificata del fattore di zona ZH , che in tutto il suosplendore e

ZH =

√2 cos βb cos α′tcos2 αt sin α′t

Per decifrare questa espressione, si vedano i simboli riportati sopra.Per dentature elicoidali il secondo membro della (1) deve essere moltiplicato per l’ulteriore

fattore dell’angolo d’elica Zβ

Zβ =√

cos β

Per tener conto della distribuzione del carico tra piu denti in presa il secondo membro della(1) si moltiplica ulteriormante per il fattore del rapporto di condotta Zε, per la cui espressione siveda la UNI 8862/2.

Nella (1) la Ft deve essere ulteriormente moltiplicata per tutta una serie di fattori correttiviche tengono conto dei sovraccarichi:

• KA, fattore di applicazione al carico, che tiene conto della presenza di eventuali sovraccarichi,

• Kv, fattore dinamico, che tiene conto di eventuali velocita critiche,

• KHβ , fattore di distribuzione longitudinale del carico

• KHα, fattore di distribuzione trasversale del carico

La determinazione di questi fattori e abbastanza laboriosa, non per la presenza di difficoltaconcettuali, ma per una certa lunghezza dei calcoli. Si rimanda alla citata norma UNI.

La (1) diventa finalmente

σH = ZHZEZεZβ

√Ft

d1b· u± 1

u

√KAKvKHβKHα (2)

La condizione di resistenza al pitting si scrive allora

σH ≤ σHP

in cui la pressione di contatto ammissibile σHP si ricava dalla pressione limite base di faticasuperficiale σHlim con l’impiego di tutta una serie di fattori correttivi:

σHP =σHlimZN

SHlimZLZRZvZW ZX

in cui

18-19

• ZN e il fattore di durata

• ZL e il fattore di lubrificazione

• ZR e il fattore di rugosita

• Zv e il fattore di velocita

• ZW e il fattore del rapporto tra le durezze

• ZX e il fattore di dimensione

Per i valori di questi fattori, rimando alla norma UNI; sottolineo solo che il fattore di durata tieneconto che per durate limitate e consentito uno sforzo superiore a quello del limite di fatica, mentreil fattore di dimensione, concettualmente analogo al fattore di effetto grandezza, viene dalla normaposto sempre uguale ad 1.

18.7.3 Condizione di resistenza alla fatica

Il dente della ruota si comporta essenzialmente come una mensola incastrata alla base e sollecitataall’estremita da una forza concentrata. Si destano quindi in esso sforzi di flessione e di compressione.

Nel calcolo a rottura si trascura innanzitutto l’aliquota compressiva, dovuta alla componenteassiale della forza, in quanto, come ogni compressione, essa tende a chiudere le eventuali cricchedi fatica che si destassero, per cui trascurarla va a vantaggio di sicurezza.

Nel calcolare gli sforzi da momento flettente si schematizza il dente come una mensola a sezionetriangolare con angolo al vertice di 60 e tangente internamente all’effettivo profilo, come in fig.18.21.

Figura 18.21: Calcolo del dente a flessione

Si considera inoltre, sempre a vantaggio di sicurezza, che vi sia una sola coppia di denti in presae che la forza agisca proprio all’estremita del dente. Tale forza vale ovviamente Ft/ cos α, ma la suainclinazione rispetto alla normale all’asse del dente vale αan in quanto il contatto critico avvienequando i denti si toccano lontano dalle primitive. Tale angolo αan risulta maggiore dell’angolodi spinta αa della quantita γ di fig, 18.22, che e lo spostamento angolare dell’asse del dente incondizione di incipiente ingranamento rispetto alla posizione del punto di contatto tra le primitive.

18-20

Figura 18.22: L’inclinazione tra forza trasmessa ed asse del dente risulta maggiore in condizionedi incipiente ingranamento che in condizione di contatto centrale, e precisamente maggiore di unangolo γ, che costrituisce anche la differenza αan − αn.

La forza viene trasportata lungo la sua retta d’azione fino a incidere sull’asse del dente; concio l’altezza della mensola vale hFa. Il momento agente sulla sezione d’incastro e dato da questaaltezza moltiplicata per la componente tangenziale della forza, e per ottenere il massimo valoredella tensione occorre ulteriormente dividere per il modulo di resistenza. Si ha allora:

σF = hFa × Ft

cosαncosαan × 6

bSFn

Adimensionalizzando rispetto al modulo normale mn si ha

σF =Ft

bmn× 6(hFa/mn) cos αan

(SFn/mn)2 cosαn(3)

La seconda frazione della (3) e il fattore di forma del dente YFa, che dipende dal tipo di dentatura(normale o corretta) e dal numero dei denti. Come al solito il calcolo e lungo ed e facilitato daappositi abachi.

Per il calcolo della σF occorre tenere conto di altri tre fattori moltiplicativi:

• YSa, fattore di correzione della tensione, che non e altro che il fattore teorico d’intaglio,

• Yε, fattore del rapporto di condotta, che tiene conto che possono esser in presa piu denticontemporaneamente,

• Yβ , fattore dell’angolo d’elica, usato per dentature elicoidali.

Nella (3) la Ft deve essere ulteriormente moltiplicata per tutta una serie di fattori correttiviche tengono conto dei sovraccarichi:

• KA, fattore di applicazione al carico, che tiene conto della presenza di eventuali sovraccarichi

18-21

• Kv, fattore dinamico, che tiene conto di eventuali velocita critiche, (questi primi due fattorisono identici a quelli gia definiti per la resistenza al pitting),

• KFβ , fattore di distribuzione longitudinale del carico per la tensione al piede,

• KFα, fattore di distribuzione trasversale del carico per la tensione al piede.

Anche per questi fattori si rimanda alla normativa.La (3) diventa finalmente

σF =Ft

bmnYFaYSaYεYβ(KAKvKFβKFα) (4)

La condizione di resistenza a rottura del dente per flessione si scrive allora

σF ≤ σFP (5)

in cui la resistenza a fatica ammissibile σFP si ricava dal limite base di fatica σFlim con l’impiegodi tutta una serie di fattori correttivi:

σFP =σFlimYST YNT

SFlimYδrelT YRrelT YX (4)

in cui

• YNT e il fattore di durata

• YST e il fattore assoluto di correzione della tensione riferito alle dentature di prova e postosempre uguale a 2,

• YδrelT e il fattore relativo di sensibilita all’intaglio

• YRrelT e il fattore relativo allo stato della superficie del raccordo al piede del dente relativoa quello delle dentature di prova,

• YX e il fattore di dimensione per la tensione al piede.

Per i valori di questi fattori, rimando alla norma UNI.

Materiali per ruote dentate

Mi limito a riportare la seguente tab. 18.1 tratta dalla UNI 8862.

18.7.4 Progetto a flessione del dente

Innanzitutto si riscrive la (5) usando la (4) e la (6),

σFlimYST YNT

SFlimYδrelT YRrelT YX ≥ Ft

bmnYFaYSaYεYβ(KAKvKFβKFα) (7)

In sede di progetto si iper-semplifica questa espressione dando ai vari termini dei valori ‘plausibilısenza scendere in dettaglio. Si ha allora:

• YST = 2;

• YNT = 1 per vita infinita, mentre sale fino a 2.5 per vita molto limitata;

18-22

Tabella 18.1: Materiali per ruote dentate

• SFlim = 1.5 perche non e necessario avere una sicurezza eccessiva;

• YδrelT ≈ 1 per geometrie usuali dell’intaglio;

• YRrelT ≈ 1 per rugosita usuali;

• YX = 1 per valori piccoli del modulo (m < 5);

• Yε al piu vale 1;

• Yβ al piu vale 1;

• KA = 1.5 per ingranaggi non troppo sovraccaricati;

•Kv =

1.2 per denti elicoidali1.4 per denti diritti

visto che non e il caso di far funzionare ad alte velocita ingranaggi poco precisi;

• KFβ ≈ 1.5 per non essere troppo pessimisti;

•KFα ≈

1.5 per denti elicoidali1.1 per denti diritti

almeno attenendosi ai valori dati dal Manuale dell’ingegnere meccanico.

18-23

Cosı la (7) diventa, per il caso di denti diritti (mn = m):

σFlim

2.6≥ Ft

bmYFaYSa

Si puo far comparire il momento torcente ponendo

Ft =2Mt

zm

in cui e chiaro che il rapporto Mt/z e uguale per le due ruote (z e il numero di denti); inoltre siadimensionalizza la larghezza b ponendo

b = λm

facendo in modo che λ assuma valori di 5 per dentature grossolane, 10 per dentature ordinarie, 20per dentature precise, fino a 80 per dentature pressocche perfette. Sostituendo ed evidenziando ilmodulo m si ha

m ≥ 3

√2Mt

λz(σFlim/2.6)3√

YFaYSa

Il termine sotto l’ultima radice, YFaYSa, prende il posto di alcuni ben noti fattori dei calcoli diprogetto del passato, cioe il fattore di Lewis 1/Y o quello che nell’ottantesima edizione del Colombo(risalente agli anni cinquanta) era chiamato q, ma con maggiore precisione, visto che si tiene contodell’intaglio (e infatti i valori sono piu alti). Piu precisamente, il q di Colombo va identificato conYFa

Da calcoli fatti tenendo presente le norme si vede che il detto fattore varia col numero di denti,col proporzionamento (normale o corretto), con l’angolo di spinta e col raggio di raccordo al piededel dente; i valori vanno da 5.05 a 4.21 e quindi, una volta estratta la radice, tutto il termine valeda 1.72 a 1.62, il che significa che un valore medio di 1.67 va bene sempre.

C’e da osservare che la radice cubica che compare nella formula di progetto potrebbe divenireuna radice quadrata se la larghezza della dentatura non varia col modulo, ma e fissa, in dipendenzaper esempio da necessita tecnologiche.

18-24

19. Cuscinetti a strisciamento

19.1 Generalita

Cuscinetti sono quelle parti di macchina che servono per sostenere i perni e gli alberi, permetten-done la rotazione col minimo attrito possibile.

Nei cuscinetti a rotolamento (a sfere o a rulli) cio viene ottenuto con l’interposizione tra pernoe supporto di una corona di corpi rotolanti;

Nei cuscinetti a strisciamento la riduzione dell’attrito viene affidata ad un velo di lubrificante,la cui pressione permette di sostenere il carico radiale. Questi ultimi si distinguono in due categorie:

• cuscinetti idrostatici, in cui la pressione dell’olio e fornita da un dispositivo esterno;

• cuscinetti idrodinamici, in cui l’olio e messo in pressione dallo stesso moto relativo traperno e cuscinetto.

In questo corso ci occuperemo solo dei cuscinetti idrodinamici.Dal punto di vista dinamico, il cuscinetto e proprio il velo d’olio che sostiene il perno; ma dal

punto di vista costruttivo si chiama cuscinetto quell’elemento cilindrico che e inserito nel foro delsupporto e sostiene il velo d’olio. Esso puo essere in un sol pezzo, e in tal caso si chiama boccola,o in due meta, che si chiamano bronzine, o gusci se relativamente sottili. Le boccole sono usateper movimenti di rotazione lenta o di oscillazione, per rotazione a piccola velocita e sotto carichileggeri; nei casi piu impegnativi si usano le bronzine. Pe esempio, in un motore alternativo lospinotto e collegato al piede di biella mediante una boccola, mentre i cuscinetti posti tra testa dibiella e albero a gomito sono bronzione; ugualmente bronzine sono usate nei cuscinetti di banco,tra albero a gomito e supporti fissi.

Il comportamento dei diversi tipi di cuscinetto e rilevabile qualitativamente dal diagrammadi fig. 19.1; da esso si nota che la capacita di carico nei cuscinetti a rotolamento decresce con lavelocita (curva A), che nei cuscinetti idrostatici essa riamane costante (curva D), e che nei cuscinettiidrodinamici aumenta con la velocita (curva C). La curva B si riferisce al caso di cuscinetti conlubrificazione imperfetta.

Figura 19.1: Capacita di carico dei cuscinetti

L’uso dei cuscinetti a strisciamento, rispetto a quelli a rotolamento, e consigliabile nei casi dielevate velocita o carichi molto forti e variabili.

19-1

Per quanto riguarda l’attrito, i cuscinetti a rotolamento presentano valori inferiori dell’attrito diprimo distacco rispetto ai cuscinetti idrodinamici, e presentano percio un vantaggio in caso di fre-quenti avviamenti sotto carico. Nei cuscinetti idrostatici l’attrito di primo distacco e praticamentenullo.

In condizione di regime i coefficienti di attrito sono paragonabili per tutti i cuscinetti.L’andamento qualitativo del coefficiente d’attrito per cuscinetti a strisciamento in funzione

della velocita e data dalla fig. 19.2.

Figura 19.2: Andamento qualitativo del coefficiente d’attrito in un cuscinetto a strisciamento infunzione della velocita.

Quando il perno e fermo (punto A) non c’e praticamente lubrificante fra esso e il cuscinetto,sicche il valore dell’attrito e molto elevato (p. e. f = 0.14 per perno in acciaio e cuscinetto dibronzo); tale valore prende il nome di attrito di primo distacco.

All’aumentare della velocita il perno diventa sempre piu in grado di trascinare del lubrificantesotto di se, per cui l’attrito diminuisce rapidamente (condizione di lubrificazione imperfetta).Quando si raggiungono le condizioni di progetto si ha il valore minimo del coefficiente d’attrito(punto B = lubrificazione perfetta).

Seguitando a crescere la velocita il coefficiente d’attrito aumenta in maniera quasi lineare conla velocita per effetto della legge di Newton (vedi sotto), ma oltre un certo punto (D in fig. 19.2)comincia a diminuire l’attrito per effetto dell’aumento di temperatura del lubrificante (qui suppostoliquido, come e di solito).

L’andamento del coefficiente d’attrito con la velocita e col carico per cuscinetti a rotolamentoe dato nella fig. 19.3. Si noti che al crescere della velocita il coefficiente d’attrito cresce in manieramonotona.

Le dimensioni d’ingombro, a parita di capacita di carico, sono maggiori in senso assiale per icuscinetti radenti, e maggiori in senso radiale per quelli volventi.

I cuscinetti a rotolamento sono piu rumorosi, anche se il rumore puo rivestire carattere diagno-stico di eventuali rotture; pero le rotture dei cuscinetti a strisciamento sono di solito meno gravoseper gli alberi e i supporti.

Per quanto riguarda il costo, i cuscinetti radenti sono piu economici per produzione di grandeserie, mentre per piccolissime serie, o per pezzi singoli, il rapporto si inverte, in quanto il cuscinettoa rotolamento si trova in commercio a prezzo contenuto, mentre quello a strisciemento deve esserecostruito “in casa”.

Nella lavorazione delle sedi, risulta piu costoso il cuscinetto volvente, mentre minore ne e ilcosto operativo.

19-2

Figura 19.3: Andamento del coefficiente d’attrito in un cuscinetto a rotolamento in funzione delcarico (in ascissa) e della velocia (parametro delle curve).

19.2 Lubrificanti e viscosita

I lubrificanti possono essere solidi, liquidi, gassosi o semisolidi. I piu diffusi sono quelli liquidi,in particolare l’olio, ma si usano anche i siliconi, l’acqua (o emulsioni acqua-olio) e altre fluidi.Il principale lubrificante semisolido e il grasso. Tra i lubrificanti solidi si annoverano: la grafite,il bisolfuro di molibdeno, la steatite, l’ossido di piombo, il sapone, la mica, la polvere di vetro ealcune materie plastiche. Tra i gas sono usati l’aria, l’idrogeno e l’azoto.

Varie sono le caratteristiche che un buon lubrificante deve presentare, ma tra esse la piu impor-tante e la viscosita. La definizione di viscosita η risale alla legge di Newton relativa alla tensione ditaglio τ trasmessa tra due lastre piane e parallele a distanza y, per effetto della velocita v relativae della presenza di un fluido interposto.

η =τ

v/y

L’unita di misura della viscosita nel Sistema Internazionale disgraziatamente non ha nomeed e il Pa · s; universalmente usati sono invece il Poise (P), vecchia unita CGS, e soprattutto ilcentipoise (cP): 1 cP = 10−3 Pa · s.

Unita anglosassone e il reyn (in onore di Osborne Reynolds) pari a 1 lbf s /in2 e a 6894.757Pa·s.

Si definisce viscosita cinematica il rapporto tra la viscosita e la densita; nel SI si misura in m2

· s−1. Unita usuali sono lo Stokes (St) e piu ancora il centistokes (cSt): 1 cP = 10−6 m2 · s−1.Sono molto in uso delle scale pratiche di viscosita, derivate dalle misure effettuabili con i

viscosimetri, ossia i gradi Engler, usati in Europa, i secondi Saybolt, usati nei paesi anglosassoni ei secondi Redwood. Si tratta sempre di misure della viscosita cinematica e la conversione in unitaassolute (cSt) si effettua con abachi, tabelle (es. la tab. 19.1) e formule empiriche. Altri due abachidi conversione sono quelli delle figg. 19.4 e 19.5.

La variazione della viscosita con la temperatura e abbastanza ben conosciuta per i fluidi usuali,per esempio la viscosita dei gas aumenta con la temperatura e quella dei liquidi diminuisce con lalegge di de Guzman-Andrade

η = η∞ exp(

E

kT

)

Per gli oli lubrificanti, si usa la seguente legge, utilizzata dall’ASTM:

ln ln(η + γ) = k − c ln T. (1)

19-3

Tabella 19.1: Correlazione tra scale di viscosita cinematica

Figura 19.4: Correlazione tra scale di viscosita cinematica

19-4

Figura 19.5: Correlazione tra scale di viscosita cinematica

Tale legge non e estremamente diversa da quella di Andrade, visto che si scrive

η + γ = exp(

ek

T c

).

non troppo diversa da quella di Andrade. Sulla legge (1) e basata la celebre fig. 19.6 che si riferisceagli oli SAE; da un esame di questo diagramma ho trovato γ ≈ 0.74 cP.

L’influenza della pressione sulla viscosita puo essere invece quasi sempre trascurata.Informazioni sulle viscosita di alcuni fluidi sono contenute nelle figure 19.7 e 19.8.Anche se non c’entra troppo con l’argomento dei lubrificanti, non resisto alla tentazione di

inserire la figura 19.9, che riporta un’applicazione alla viscosita di vari fluidi della legge deglistati corrispondenti. Come al solito, questa legge non e rigorosa, ma da un’idea molto precisadell’andamento delle proprieta dei fluidi con la pressione e la temperatura. Per quanto riguarda laviscosita la citata figura 19.9 mostra molto bene la diminuzione della viscosita della temperaturaper i liquidi e l’aumento per gas e vapori. Inoltre, per questi ultimi, viene posta in evidenza la quasiindipendenza della viscosita dalla pressione, come affermato dalla legge di Maxwell, una delle piuconosciute conseguenze della teoria cinetica dei gas.

19.3 Teoria della lubrificazione perfetta

Facciamo le seguenti ipotesi:

• che le due superfici, l’una mobile e l’altra fissa costituenti il cuscinetto, siano separate dauno spessore di lubrificante,

• che sia trascurabile l’effetto della perdita di lubrificante lungo i bordi del cuscinetto;

19-5

Figura 19.6: Variazione della viscosita dinamica con la temperatura per oli SAE

• che la velocita della superficie mobile sia tale da realizzare il moto laminare del lubrificante,che cioe sia sufficientemente basso il numero di Reynolds e che quindi valga la legge diNewton.

Consideriamo il lubrificante compreso tra due superfici piane delle quali la superiore sia fissa el’inferiore sia mobile von velocita costante V .

Siano fissati due assi ortogonali, Ox orizzontale coincidente con la traccia della superficie fissae Oy verticale, positivo verso il basso, ossia in direzione della superficie mobile.

Ciascuno degli strati elementari di altezza dy in cui potremo immaginare diviso il lubrificantesi muove con velocita u funzione di y.

Consideriamo un elementino di liquido contiguo al punto M (fig. 19.10) e di volume dxdy (lalunghezza secondo z si intende uguale ad 1).

A regime esso si muove di moto uniforme con velocita u.Le forze che agiscono sull’elemento considerato sono dovute alla pressione del fluido e all’attrito

interno che, per quanto gia detto, e espresso dalla legge di Newton. Si ha percio, indicando comeal solito con i e j i versori degli assi x e y:

• sulla faccia 1+pdy i

• sulla faccia 2

−(

p +∂p

∂xdx

)dy i

• sulla faccia 3+pdx j− µ

dv

dydx i

19-6

Figura 19.7: Viscosita dinamica in funzione della temperatura per vari fluidi. Per la conversione:TC = 5

9

(TF − 32

); 1lb s

ft2= 47.88 Pa s

19-7

Figura 19.8: Viscosita cinematica in funzione della temperatura per vari fluidi

19-8

Figura 19.9: Viscosita dinamica in coordinate adimensionali. Da Codegone, C., Atti Acc. Scienze,Torino, 86, 1951–52, citato in Enciclopedia dell’Ingegneria, vol I, p. 2-260.

• sulla faccia 4

−(

p +∂p

∂ydy

)dx j + µ

(dv

dy+

d2v

dy2dy

)dx i

Le condizioni di equilibrio si scrivono imponendo che siano uguali a zero le somme dellecomponenti delle forze lungo i due assi, ossia:

µd2v

dy2− ∂p

∂x= 0

∂p

∂y= 0

dalla quale ultima si ricava che p non e funzione di y, per cui nella prima si scrive il segno diderivata totale al posto di quello di derivata parziale, ottenendo:

d2u

dy2=

1µ

dp

dx(1)

19-9

Figura 19.10: Elemento di fluido per la deduzione dell’equazione di Reynolds

che, secondo il Ferretti (1966), rappresenta l’equazione fondamentale della lubrificazione.Integrando la (1), e tenendo presente che dp/dx e indipendente da y, si ha successivamente

du

dy=

1µ

dp

dxy + C1

u =12µ

dp

dxy2 + C1y + C2

Imponendo le condizioni al contorno (u = 0 per y = 0 e u = V per y = h) si ha

C2 = 0 C1 = − 12µ

dp

dxh +

V

h

e quindi

u =12µ

dp

dx(y2 − hy) +

V

hy (2)

La velocita ha dunque andamento quadratico e consta di due termini: uno lineare, l’altro para-bolico. Questo puo essere sia positivo che negativo, quindi si puo aggiugere o sottrarre al terminelineare e cio in dipendenza da dp/dx. In tulle le sezioni esso si annulla a y = 0 e a y = h; e siannulla identicamente nella sezione dove p e massima.

Consideriamo ora la portata volumetrica di fluido Q lungo il meato. Tenendo conto della (2)sara:

Q =∫ h

0

udy = − 112µ

dp

dxh3 + V

h

2Per continuita, avendo supposte nulle le fughe laterali, Q dovra essere costante lungo x, quindi

dQ

dx= − d

dx

(h3

12µ

dp

dx

)+

V

2dh

dx= 0

ovveroddx

(h3

µ

dp

dx

)= 6V

dh

dx

che e la classica equazione di Reynolds1 per il flusso unidimensionale. Quando si consideri anche ilflusso in direzione z, ossia le perdite laterali, uno sviluppo simile porta all’equazione di Reynolds

1Osborne Reynolds (Belfast 1842-Watchett, Somersetshire, 1912) Ingegnere, studioso di idrodinamica e dimacchine a fluido rotative. Introdusse il numero adimensionale che da lui prende nome.

19-10

per il flusso bidimensionale:

∂

∂x

(h3

µ

∂p

∂x

)+

∂

∂z

(h3

µ

∂p

∂z

)= 6V

∂h

∂x

Per i cuscinetti molto corti, entrati da poco nell’uso comune, Ocvirk ha proposto di trascurarenell’equazione precedente il termine x, per cui si ha:

∂

∂z

(h3

µ

∂p

∂z

)= 6V

∂h

∂x

Questa equazione, a quanto pare, si integra molto facilmente. Tale metodo e chiamato approssi-mazione del cuscinetto corto di Ocvirk.

19.4 Progettazione speditiva dei cuscinetti a strisciamento

Nella comune pratica costruttiva si verifica solamente che la pressione specifica media (per areaproiettata) sia minore di valori pratici (dipendenti dalle applicazioni e dai materiali accoppiati),in corrispondenza dei quali e assicurata l’azione portante del lubrificante. La pressione media pm

pm =Q

bd

essendo Q il carico radiale, d il diametro e b la lunghezza del cuscinetto, deve essere minore diquella di tabella 19.2.

Per quanto riguarda la verifica termica si verifica che sia il prodotto pmv, essendo v la velocitalineare del perno, minore o uguale al valore ottimale dato dalla tab 19.2. Superamenti del valoresuggerito significano solo che occorre una verifica accurata delle condizioni termiche.

Per quanto riguarda il rapporto L/D, si usano oggi rapporti di 0.25÷ 0.75, mentre nel passatoerano piu vicini all’unita. Cuscinetti piu lunghi hanno meno perdite di estremita, quindi richiedonoun flusso d’olio minore, ma si riscaldano di piu.

Gioco relativo. Per cuscinetti di diametro 25-150 mm, il rapporto c/R, essendo c il gioco radialee R il raggio, assume valori tra 0.001, per costruzioni molto precise, di 0.002 per costruzioniordinarie e di 0.004 per macchine grossolane. Si ricorda che il gioco dato dalle tabelle di tolleranzee il gioco diametrale, pari a 2c; ovviamente pero nulla cambia, passando a considerare il rapporto2c/D = c/R.

19.5 Verifica e progettazione dei cuscinetti a strisciamento

Per la verifica e la progettazione accurata dei cuscinetti a strisciamento occorre partire dallesoluzioni dell’equazione di Reynolds.

Esse sono date in un celebre lavoro di Raimondi e Boyd (1958). La geometria del perno e delcuscinetto e data in fig 19.11.

I valori delle variabili di progetto sono date, in funzione del numero di Sommerfeld, nelle figg.19.12, 19.13, 19.14, 19.15, 19.16. In esse vi sono solo quattro curve per L/D, per cui sara necessariala seguente formula di interpolazione:

y =1

(L/D)3

[− 1

8

(1− L

D

) (1− 2L

D

)(1− 4L

D

)y∞ +

+13

(1− 2L

D

)(1− 4L

D

)y1 − 1

4

(1− L

D

)(1− 4L

D

)y1/2 +

+124

(1− L

D

)(1− 2L

D

)y1/4

]

19-11

Tabella 19.2: Valori di carico per cuscinetti a strisciamento

dove y e il parametro desiderato per qualsiasi valore di L/D maggiore di 1/4 e y∞, y1, y1/2, y1/4

sono i valori di quello stesso parametro per L/D = ∞, 1, 1/2 e 1/4 rispettivamente.I grafici sono stati pensati soprattutto per la verifica; per entrare in essi occorrono le seguenti

grandezze:

• viscosita η

• Carico radiale sul cuscinetto W ,

• velocita di rotazione n in giri al secondo

• diametro del cuscinetto (usare il diametro del perno o del foro e assolutamente indifferente),

• il gioco radiale ψ = c/R.

In fase di progetto alcune di queste grandezze devono essere date a priori tramite la proget-tazione speditiva del paragrafo precedente. Essa deve fornire diametro, lunghezza e gioco radialec.

19-12

Figura 19.11: Complessivo perno-cuscinetto: notazioni usate e diagramma polare dell’andamentodella pressione

Di poi si assegna una temperatura di esercizio (primo tentativo (60 ÷ 80) C), e si calcola laviscosita dell’olio, determinando cosı finalmente il numero di Sommerfeld

S =(

R

c

)2ηn

p

Dall’apposito abaco si ricava l’altezza del meato e in base ad essa si assegni la rugosita dellesuperfici. Si fa uso in questo caso del criterio di Kreisle che stabilisce che la condizione di lubrifi-cazione perfetta cessa, e inizia quella in velo sottile, quando le creste delle asperita superficiali sitoccano. Deve percio essere, se le due superfici hanno la stessa rugosita Ra,

Ra ≤ hm

2

Si trova la portata dell’olio in uscita Qs e la potenza dissipata per attrito, da cui si ricava latemperatura dell’olio in uscita.

19-13

Figura 19.12: Altezza minima del meato

19-14

Figura 19.13: Parametro d’attrito

Figura 19.14: Pressione massima nel meato

19-15

Figura 19.15: Parametro di portata

Figura 19.16: Rapporto di portata

19-16

19.6 Un esempio

Un cuscinetto a strisciamento, su un rotore di turbina a vapore da 1500 giri al minuto sopportaun acrico costante di 17 kN. Il diametro del perno e di 150 mm. Il cuscinetto e alimentato tramitelubrificazione forzata con un olio SAE 10, con temperatura di ingresso di 50C. Determinare unacombinazione idonea di lunghezza e gioco radiale del cuscinetto. Come conclusione determinare ivalori di Coefficiente d’attrito, potenza dissipata, portata d’olio entrante (e uscente) nel cuscinettoe incremento della temperatura dell’olio.

Soluzione La lunghezza viene trovata in modo speditivo in base alla pressione specifica adattaper l’applicazione. Assunta una pressione specifica di 1.6 MPa, risulta una lunghezza di 70.83 mm,che si puo arrotondare a 75 per avere un rapporto L/D = 1/2, piu facile da trovare nei diagrammidi Raimondi-Boyd. Ovviamente in tal caso p = 1.511 MPa.

Dalla figura 19.12 si vede che l’intervallo ottimale e compreso tra S = 0.032 e S = 0.35, mentrela viscosita dinamica si ricava dalla fig. 19.7, con le formule di conversione riportate in didascalia.Ovviamente per l’uso di questo abaco occorre conoscere la temperatura media, che qui non e data;se ne ipotizza percio un valore ‘ragionevole’, salvo correggere i risultati in una ulteriore iterazione.Nel caso in studio e opportuno prendere una temperatura media di 90 C pari a 194 F, cuicorrisponde, per un olio SAE 10, una viscosita di 5.3× 10−3 Pa s.

Dalla definizione del numero di Sommerfeld, si trova l’ampiezza c del meato:

c = R

õn

PS

che, nel caso del piu piccolo dei due valori di S, da:

c = 75 mm×√

5.3× 10−3 Pa s× 25 s−1

1.511× 106 Pa× 0.032= 0.1242 mm

e per il valore piu grandec = 0.0375 mm

A questo punto, per vari valori del gioco radiale si calcolano vari gruppi adimensionali e le relativevariabili. Tutto cio e riportato nella tabella 19.3, con l’avvertenza che non e assolutamente neces-saria una tale massa di calcoli, che qui sono stati fatti solo per scopo didattico. Dall’andamentodelle variabili di progetto in funzione di c si vede che basta fare i calcoli al massimo per quattro ocinque valori di c.

Comunque, dall’innalzamento della temperatura calcolato si vede che la temperatura mediaipotizzata di 90C e esagerata, quindi i calcoli vanno ripetuti per una temperatura media piubassa e forse differenziata per i singoli valori di c.

Come conclusione appare chiaro che, dovendo scegliere i valori di S nell’intervallo ottimale,conviene mantenersi piu vicino al valore che da il minimo valore di f , per avere temperature piubasse senza che la capacita di carico venga penalizzata troppo.

Tolleranze Una volta trovato l’intervallo ottimale per il gioco radiale — e in linea di massimaconviene rinunciare un poco alla capacita di carico per ottenere un minore attrito — si devonodeterminare le tolleranze costruttive sul cuscinetto.

Nel nostro esempio il gioco radiale deve essere tra 0.05 e 0.13 mm, mentre ricordiamo che letabelle delle tolleranze permettono di ricavare il gioco diametrale, cioe il doppio del gioco radiale.

Innanzitutto scegliamo il metodo ‘albero base’, per cui la posizione di tolleranza sul foro e H,mentre quella sull’albero varia; per quanto riguarda la qualita di tolleranza si sceglie la IT8 sul foroe la IT7 sull’albero, oppure, volendo una maggiore precisione, la IT7 sul foro e la IT6 sull’albero.

19-17

Tabella 19.3: Calcoli di verifica di un cuscinetto

c/mm S h0/c h0/mm fR/c fQ

RcnLQ/mm3s−1 Qs/Q Qs/mm3s−1 4π[f ]

[Q][Qs]∆T/K

0.01 4.93 0.92 0.0092 100 0.019 3.4 9.6× 103 0.15 1.44× 103 2.46× 103 2.8× 103

0.02 1.23 0.70 0.014 25 0.0067 4.0 2.3× 104 0.44 1.0× 104 1.8× 102 2.1× 103

0.03 0.55 0.52 0.016 13 0.0052 4.5 3.8× 104 0.64 2.4× 104 57 650.0375 0.35 0.42 0.016 8.7 0.0044 4.8 4.7× 104 0.71 3.3× 104 32 360.04 0.31 0.40 0.016 8.0 0.0043 4.85 5.5× 104 0.74 4.1× 104 28 320.05 0.20 0.32 0.016 5.7 0.0038 5.1 7.2× 104 0.80 5.8× 104 17.6 200.06 0.137 0.25 0.015 4.5 0.0036 5.3 8.9× 104 0.84 7.5× 104 12.7 140.08 0.077 0.18 0.014 3.2 0.0034 5.45 1.2× 105 0.88 1.1× 105 8.4 9.50.10 0.049 0.14 0.014 2.1 0.0028 5.6 1.6× 105 0.92 1.5× 105 5.1 5.80.11 0.041 0.12 0.013 1.8 0.0026 5.6 1.7× 105 0.92 1.6× 105 4.4 5.00.12 0.034 0.11 0.013 1.7 0.0027 5.7 1.9× 105 0.94 1.8× 105 4.0 4.60.1242 0.032 0.10 0.012 1.6 0.0027 5.7 2.0× 105 0.94 1.9× 105 3.8 4.30.13 0.029 0.10 0.013 1.6 0.0028 5.7 2.1× 105 0.94 2.0× 105 3.8 4.30.14 0.025 0.09 0.013 1.4 0.0026 5.7 2.2× 105 0.95 2.1× 105 3.2 3.60.16 0.019 0.07 0.011 1.2 0.0026 5.75 2.6× 105 0.96 2.5× 105 2.7 3.00.18 0.015 0.06 0.011 1.0 0.0024 5.8 2.9× 105 0.96 2.8× 105 2.3 2.6

L’ampiezza del campo di tolleranza per un diametro nominale di 150 mm e di 63 µm per laIT7, 40 µm per la IT7 e 25 µm per la IT7 (notare il ricorrere di numeri di Renard della serie R10).Lo scostamento fondamentale per la posizione H e quello inferiore e vale zero, quindi per il foroH8 la tolleranza e H8

(0.063

0

). Per quanto riguarda l’albero, facciamo l’esempio della posizione c7.

Per essa lo scostamento fondamentale e quello superiore che vale -200 µm. Sottraendo l’ampiezzadel campo di tolleranza si determina lo scostamento inferiore; quindi la tolleranza e c7

(−0.200−0.240

).

Per questo accoppiamento il gioco diametrale minimo e 0.200 mm e il gioco massimo e 0.303mm, quindi il gioco medio e 0.1515 mm. Dividendo per due si ottengono i corrispondenti giochiradiali.

Altri casi sono contemplati nella tab. 19.4, dal cui esame appaiono consigliabili gli accoppia-menti H8/d7, H8/c7, H7/c6, H7/d6 e H7/e6. Forse lo studioso lettore potra trovare delle soluzioniancora migliori.

Tabella 19.4: Accoppiamenti possibili per il cuscinetto dell’esempio.

Foro Albero Gioco radialemax medio min

6 150 H8(+0.063

0

) 6 150 c7(−0.200−0.240

)0.152 0.127 0.100

6 150 d7(−0.145−0.185

)0.124 0.098 0.072

6 150 e7(−0.085−0.125

)0.094 0.068 0.042

6 150 f7(−0.043−0.083

)0.073 0.047 0.021

6 150 H7(+0.040

0

) 6 150 c6(−0.200−0.225

)0.133 0.117 0.100

6 150 d6(−0.145−0.170

)0.105 0.088 0.072

6 150 e6(−0.085−0.110

)0.075 0.058 0.042

6 150 f6(−0.043−0.068

)0.054 0.038 0.021

19-18

19.7 Materiali per cuscinetti a strisciamento

Nel caso di lubrificazione perfetta, qualsiasi materiale con sufficiente resistenza a compressionee una superficie liscia potrebbe fungere da materiale per cuscinetti, ma per superare le fasi diavviamento e di arresto (con lubrificazione imperfetta) si devono usare materiali particolari, dotatidelle seguenti proprieta:

• Alta deformabilita, il che significa basso modulo elastico e alta deformabilita plastica, perscaricare picchi di pressione dovuti a disassamento e inflessione dell’albero.

• penetrabilita, per incorporare particelle estranee seza danno, salvaguardando cosı l’albaero,

• bassa resistenza a taglio, per una facile levigatura delle asperita superficiali,

• resistenza a compressione e a fatica, per sopportare il carico e resistere alla flessione ripetuta.

• alta conducibilita termica per asportare calore dai punti di contatto tra metalli durantel’avviamento e dal meato di lubrificante durante le normali condizioni di lavoro

• coefficienti di dilatazione termica non troppo diverso da quello dei materiali del supporto edel perno

• compatibilita con il materiale del perno, per resistere a usura, saldatura e grippaggio,

• resistenza alla corrosione di acidi che possono formarsi per l’ossidazione del lubrificante e dicontaminanti esterni.

I materiali usati sono:

1. bronzo al solo stagno (B), UNI 1698-1701

2. bronzo allo stagno con zinco (BZN)

3. bronzo al piombo con piu o meno stagno (BPB, BSPB): (metallo rosa)

4. bronzo di alluminio (Cu Al): vedi UNI 2111S,

5. metalli bianchi: al piombo senza stagno (MB0), al piombo con stagno (MB10), e allo stagno(MB 80, MB 80 F): vedi UNI 2184. I metalli bianchi non hanno rivali per quanto riguardadeformabilita elastica e penetrabilita, ma hanno resistenza a compressione e a fatica piuttostobassa, specie sopra i 75 C.

6. metalli sinterizzati

7. resine sintetiche

19-19

A. Bibliografia

A.1 Manuali ed enciclopedie

AISC, Manual of steel construction - Allowable Stress Design, IX , AISC, Chicago, 1989.Baldassini L., Vademecum per disegnatori e tecnici, 14.a edizione, Hoepli,1993Crocker, S., Piping Handbook, McGraw Hill, 1945Dubbel, Manuale di Ingegneria Meccanica, 15.a edizione , EST/Springer, 1984.Enciclopedia dell’ingegneria (8 voll.), 1.a ed., ISEDI, Milano, 1972Manuale dell’ingegnere “Nuovo Colombo, 83.a edizione, Hoepli, Milano, 1997.Manuale dell’ingegnere meccanico, Hoepli, Milano, 1994.Manuale degli organi di comando (a cura della SEW Eurodrive), Tecniche nuove, 1985.

A.2 Opere generali

Atzori B., Moderni metodi e procedimenti di calcolo nella progettazione meccanica, Laterza, 1979.Belingardi G., Calderale P.M., Genta G., Garro A. et al., Principi e metodologie della progettazione

meccanica (4 voll.), Levrotto a Bella, 1987-1989.Belluzzi, O., Scienza delle Costruzioni, Zanichelli, Bologna, 1956.Bernasconi G. (coord.), Lezioni di Costruzione di macchine, CLUP, 1984.Bertolini I., Bazzaro E., Lezioni di Costruzione di macchine - Resistenza dei materiali, Masson,

1979.Bongiovanni G., Roccati G., Giunti e innesti (3 voll.), Levrotto e Bella, 1986-1988.Buch, A., Fatigue Strenght Calculation, TransTech Publications, Aedermannsdorf, CH, 1988.Carmignani C., (coord.), La meccanica della frattura per la valutazione della affidabilita strutturale

degli elementi delle macchine, Pitagora, 1978.Carmignani C., Fondamenti di dinamica strutturale, ETS, 1992.Chirone, Vullo, V., Cuscinetti a strisciamentoDieter, G. E. jr., Mechanical Metallurgy, McGraw Hill, New York, 1961.Dornig A. (coord.), Lezioni di Costruzione di macchine 2, CLUP, 1981.Dornig A., Le molle, CLUP, 1973.Dowling, N. E., Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1993.Eschmann P. et al., I cuscinetti volventi, Tecniche nuove, 1983.Ferretti, P., Meccanica delle macchine, Liguori, Napoli, 1966.Giovannozzi R., Costruzione di macchine (2 voll.) Patron, 1965Giovannozzi R. (coord.), Affidabilita strutturale degli organi delle macchine, Pitagora, 1979Henriot G., Ingranaggi (2 voll.), Tecniche nuove, 1987Hall, A.S., Holowenko, A. R., and Laughlin, H.G., Costruzione di macchine, Schaum, Etas Libri,

Milano, 1978.Lazzarino L., Appunti di Costruzione di macchine, Accademia Navale Livorno, AN12-49, 1963.Massa E., Bonfigli L., Costruzione di macchine (2 voll.), Tamburini, 1975.Matek W. et al., Maschinenelemente, Vieweg, 1992.Johnson, W., Mellor, P. B., Plasticity for Mechanical Engineers, Van Nostrand, London, 1962.Juvinall, R.C., Stress, Strain and Strenght, McGraw Hill, New York, 1967.

A-1

Juvinall, R.C., Marshek, K.M., Fondamenti della progettazione dei componenti delle macchine,ETS, Pisa, 1993

Landau, L. D., Lifsits, E. M., Teoria dell’elasticita, Editori Riuniti, Roma, 1979.Machine Design Problem Solver, The, REA, Piscataway NJ, 1988.Manna, F., Costruzione di macchine, Liguori, Napoli, 1977.Nerli G. (coord.), Lezioni di Costruzione di macchine (2 voll.), Levrotto e Bella, 1990.Nicodemi, W., Zoia, R., Metallurgia applicata, Tamburini, Milano, 1975Niemann G., Winter H., Elementi di macchine (3 voll.) - EST/Springer, 1983.Orlov P., Fundamentals of Machine Design (5 voll.), MIR, 1976.Pahl G., Beitz W., Konstruktionslehre, 3.a edizione, Springer,1993 (traduzione della 1.a edizione:

Engineering Design, Design Council/Springer, 1984).Peterson, R.E., Stress Concentration Factors, Wiley-Interscience, 1973.Pighini U., Elementi costruttivi delle macchine (2 voll.), Edizioni Scientifiche Associate, 1978.Strozzi, A., Costruzione di Macchine, Pitagora, Bologna, 1997.Timoshenko, S., History of Strenght of Materials, Dover, New York, 1983.Timoshenko, S., Scienza delle costruzioni, Viglongo, Torino, 1989.Timoshenko, S., Gere, J. M. Theory of Elastic Stability, McGraw Hill, 1988.Timoshenko, S., Goodier, J. N. Theory of Elasticity, McGraw Hill, 1988.Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S. Theory of Plate and Shells, McGraw Hill, 1988.Ullman, D.G., La verifica della resistenza nella progettazione meccanica, Tecniche nuove, 1991.Zagatti E., Giunti, Criteri di scelta e di proporzionamento, Tecniche nuove, 1988.

A.3 Articoli

Codegone, C., Atti Acc. Scienze, Torino, 86, pp. 126-128; 288–290;324–333, 1951–52.Ferro, A., Montalenti, G. On the Effect of Crystalline Structure on the Form of Fatigue Curves -

The Case of Iron-Nickel Alloys, Philosophical Magazine, 10, 1964.Frost, N.E., DSIR,NEL Rep. n. PM287 (1959).Frost, N.E., Pook, L.P. and Denton, K., Eng. Fract. Mech, 3, 109, 1971.Kuhn, P., Hardraht, H.F., An Engineering Method for Estimating the Notch-size Effect in Fatigue

Tests on Steel, NACA TN2805, Washington, D.C., 1952.Peterson, R.E., Notch Sensitivity in Metal Fatigue, McGraw Hill, New York, 1959.Pook, L.P., “Analysis and Application of Fatigue Crack Growt Data, J. of Strain Analysis, 10, n.

4, 1975.Sailor, R.H., Corten, H.T., “ Relationships between Material Fracture Toughness using Fracture

Mechanics and Transition Temperature Tests” in Fracture Toughness, STP 514, ASTM, 1972.Villaggio, P., Elasticita, Teoria dell’ in Enciclopedia delle Scienze Fisiche, Treccani, Milano, 1996.

A.4 Opere su comportamento meccanico e scelta dei materiali

American Society for Metals (Boyer H.E., Gall T.L., coord.), Metals Handbook - Desk Edition,ASM, Metals Park, Ohio, 1985.

American Society for Metals (Unterweiser P.M., Penzenik M., coord.), Worlwide Guide to Equi-valent Irons and Steels, ASM, Metals Park, Ohio, 1979.

Centro di Informazione del Nichel, Assider, Manuale per 1’uso degli acciai legati da cementazionea da bonifica tipizzati - 31, edizione, Centro di Informazione del Nichel, 1969.

[M4] Cibaldi C., I criteri di scelta e di trattamento degli acciai da costruzione e da utensili, Analisidi Cibaldi C. & C. Snc. e Studio associato Biasi A. & C, Brescia, 1990.

A-2

Cigada A. (a cura di), Struttura e proprieta dei materiali metallici, Citta Studi, Milano, 1993.Conserva M., Donzelli G., Trippodo R., Alluminio - Manuale degli impieghi, Edimet, Brescia, 1990.Lazzarino L., Manfredi E. (coord.), Meccanica dei materiali, ETS, 1987American Society for Metals (Brinson T.H. et al. coord.), Engineered Materials Handbooks - Com-

posites, Engineering Plastics, Adhesives and Sealants, Ceramics and Glasses (4 voll), ASM,Metals Park, Ohio, 1987-91.

A.5 Periodici

ATA - Ingegneria automotoristicaEngineeringIl Progettista industrialeKonstruktionMachine DesignMeccanicaMechanical EngineeringOleodinamica e pneumaticaOrgani di trasmissioneProgettareRivista di Meccanica

A.6 Norme

Si premette the in Europa la normativa tecnica, emessa dai vari Enti nazionali, viene attualmentearmonizzata, con to scopo di promuovere l’uso delle norme ISO e creare un riferimento omoge-neo (norme CEN). Qui si riportano i riferimenti ad alcune norme dell’ente Nazionale Italiano diUnificazione (UNI) affini a quelle statunitensi citate nel testo ed altre informazioni essenziali.

A.6.1 Norme per progetto ed il calcolo di componenti a strutture

Le norme CNR UNI possono avere valore legale; le altre sono da ritenere come autorevoli consiglia meno che non abbiano valore contrattuale.CNR UNI 10011 - Costruzioni in acciaio. Istruzioni per il calcolo, l’esecuzione, il collaudo a la

manutenzione (1988)CNR UNI - Calcolo, costruzione e controllo degli alberi (in corso di emissione)UNI 2215 - Viti per flange di tubazioni. Metodi di calcolo. (1943)UNI 2231 - Flange comuni per tubazioni. Calcolo di verifica delle flange fisse. (1943)UNI 2232 - Flange comuni per tubazioni. Calcolo di verifica delle flange libere. (1943)UNI 7670 - Meccanismi per apparecchi di sollevamento. Istruzioni per il calcolo. (1988)UNI 7900/2 - Molle ad elica cilindrica di compressione a trazione - Calcolo delle molle a compres-

sione. (1978)UNI 7900/5 - Molle ad elica cilindrica di compressione a trazione - Calcolo delle molle a trazione.

(1980)UNI 8209 - Giunti saldati di alluminio a leghe di alluminio sollecitati staticamente. Istruzioni per

il calcolo. (1981)UNI 8350 (parti: 2 e 3) - Metropolitane. Calcolo di verifica del dimensionamento delle sale delle

carrozze. (1982)

A-3

UNI 8634 - Strutture in leghe di alluminio. Istruzioni per il calcolo a 1’esecuzione. (1985)UNI 8736 - Molle a tazza. Tipi, calcolo a collaudo. (1985)UNI 8862 (parti 1, 2 e 3, sperimentale) - Calcolo della capacita degli ingranaggi ad assi paralleli.

(Differisce dalla norma ISO 6336) (pp. l a 2: 1987; p.3: 1991)UNI 8980 - Trasmissioni industriali a cinghia trapezoidale. Calcolo della potenza trasmissibile.

(Coincide con la norma ISO 5292-80)(1987)UNI 8991 - Cinghie sincrone. Calcolo della potenza trasmissibile a dell’interasse. (Coincide con la

norma ISO 5295-80)(1987)UNI 9062 - Barre di torsione a sezione circolare Calcolo e progettazione. (1987)UNI 9309 - Apparecchi di sollevamento. Criteri di progetto per i carichi a le combinazioni di

carichi. (Coincide con la norma ISO/DIS 8686/1)(1988)UNI ISO 286 - Sistema ISO di tolleranze ed accoppiamenti. (1990)UNI EN 292 (parti I e 2) - Sicurezza del macchinario. Concetti fondamentali, principi generali

di progettazione (Conforme con la Direttiva Macchine n. 89/392 emessa dal Consiglio delleCommunita’ Europee) (1991)

A.6.2 Principali norme circa le prove sui materiali metallici

UNI 560 - Prove meccaniche sui materiali. Prova di durezza Brinell. (Coincide con la norma ISO6506-81)(1990)

UNI 762 - Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova di durezza Rockwell. (Coincide con lenorme ISO 80 ed ISO 1024)(1975)

UNI 3150 - Prova di temprabilita dell’acciaio su provetta raffreddata ad un’estremita (provaJominy). (Coincide con la norma ISO 642)(1974)

UNI 3964 - Prove meccaniche dei materiali metallici. Prova di fatica a temperatura ambiente.Principi generali. (1985)

UNI 4714 - Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova di resilienza per 1’acciaio a temperatureminori di quella ambiente. (1969)

UNI 5111 - Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova di scorrimento a temperature elevate perl’acciaio. (Coincide con le norme ISO 203, ISO 204 a ISO 205)(1969)

UNI 7227 - Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova d’urto per caduta per la determinazionedella temperatura di transizione a duttilita nulla su lamiere e profilati di acciaio. (1982)

UNI 7969 - Prove meccaniche dei materiali metallici. Determinazione della tenacita alla fratturain condizioni di deformazione piana. (1979)

UNI 9159 - Prove meccaniche dei materiali metallici. Determinazione dello spostamento all’apicedi una cricca (COD).(1987)

UNI EN 10002/1 - Materiali metallici. Prova di trazione. Metodo di prova (a temperatura am-biente). (1992)

UNI EN 10045 - Materiali metallici. Prova di resilienza su provetta Charpy. Metodo di prova, 1992(questa norma deriva dalle ISO 83 e ISO 148 e sostituisce le UNI 4431 e UNI 4713).

UNI ISO 7148 - Cuscinetti radenti. Prove di comportamento tribologico dei materiali antifrizione.La pane: Prova di comportamento all’attrito ed all’usura in condizioni di lubrificazione limite(1988)

A.6.3 Principali norme circa le prove sui materiali non metallici

UNI 4270 - Prove sulle materie plastiche termoindurenti. Determinazione della fattore di riduzionedi volume.(1959) (Corrisponde alla norma ASTM D955).

A-4

UNI 4278 - Materie plastiche. Determinazione della durezza Rockwell su materiali rigidi. (Coincidecon la norma ISO 2039/2-87)(1989)

UNI 4281 - Prove sulle materie plastiche termoindurenti. Determinazione della temperatura dideformazione sotto carico di plastici rigidi (grado Martens).(1959) (Corrisponde alla normaASTM D648).

UNI 5635 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione del modulo apparente di elasticitatangenziale in funzione della temperatura. (Coincide con la norma ISO 458)(1974)

UNI 5641 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione della temperatura di inflessione sottocarico. (Coincide con la norma ISO 75 - 1a ed.)(1965) (Corrisponde alla norma ASTM D648)

UNI 5642 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione della temperatura di rammollimentoVicat dei materiali termoplastici. (1965)

UNI 5812- Prove sulle materie plastiche. Determinazione della temperatura di fragility per urto.(1966)

UNI 6061 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione del coefficiente di dilatazione termicalineare. (1967) (Corrisponde alla norma ASTM D696)

UNI 6062 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione della resilienza Charpy di materialiplastici rigidi.(Coincide con la norma ISO 179)(1967)

UNI 6065 - Elastomeri. Prove su vulcanizzati. Prova di trazione su provini normali e ridotti.(Coincide con la norma ISO 37)(1981)

UNI 6323 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione della resilienza Izod dei materiali plasticirigidi.(Coincide con la norma ISO 180-1.a ed.) (1968) (Corrisponde alla norma ASTM D256)

UNI 7092 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione della massa volumica delle materieplastiche non alveolari. (Coincide con la norma ISO 1183-1.a ed.)(1972). (Corrisponde allanorma ASTM D792).

UNI 7219 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione delle caratteristiche a flessione dellematerie plastiche rigide.(Coincide con la norma ISO 178-72)(1973) (Corrisponde alla normaASTM D790).

UNI 7318 - Elastomeri. Prove su vulcanizzati. Determinazione della durezza in gradi internazionalicon durometro a microdurometro. (Coincide con le norme ISO 48, ISO 1818 e ISO 1400) (1974).

UNI 8653 - Materie plastiche. Determinazione della resistenza alla trazione per urto. (1984)UNI 8748 - Materie plastiche. Resine poliesteri ed epossidiche. Determinazione del ritiro volume-

trico globale. (Corrisponde ally norma ASTM D955).UNI EN 61- Materie plastiche rinforzate con fibre di vetro. Determinazione delle caratteristiche a

trazione. (1978). (Corrisponde alla norma ASTM D638).UNI EN 63- Materie plastiche rinforzate con fibre di vetro. Determinazione delle caratteristiche a

flessione. Metodo dei tre punti. (1978). (Corrisponde alla norma ASTM D638).UNI ISO 62- Materie plastiche. Determinazione dell’assorbimento d’acqua. (1986). (Corrisponde

alla norma ASTM D570).UNI NOM 20028 - Prodotti petroliferi a lubrificanti. Determinazione con viscosimetro Brookfield

della viscosity degli oli lubrificanti per autotrazione. (1992)

A.6.4 Raccolte di norme tecniche europee

Sebbene per un’informazione completa occorra riferirsi ai cataloghi dei vari corpi di normative,la consultazione delle norme tecniche, specie da parte degli studenti, a facilitata dai manuali theraccolgono organicamente le piu importanti tabelle. Questi sono pubblicati sia dall’UNI, sia dallyInternational Organization for Standardization (ISO) sia da vari Enti di unificazione europei, trycui si citano il Deutsches Institut fur Normung (DIN), la British Standards Institution (BSI) a laAssociation Francaise de Normalisation (AFNOR).

A-5

A.6.5 Manuali UNI

Manuale M 1 - Norme per il disegno tecnico- Volume I, Norme generali (1990)- Volume II, Meccanica a settori correlati (1990)

Manuale M5 Norme per i prodotti siderurgici (6 Voll.; 1988-1990)Manuale M6 - Norme per la bulloneria

- Volume I, Filettature. Tolleranze e prescrizioni, 1989- Volume II, Norme di prodotto, 1989

A.6.6 ISO Standards Handbooks

3 - Statistical Methods11 - Road Vehicles12 - Technical Drawings18 - Fasteners and Screw Threads19 - Welding20 - Metallic and Other Non-organic Coatings21 - Plastics (3 Voll.)24 - Paint and Varnishes27 - Bearings28 - Pipes and Fittings (2 Voll.)29 - Steel (3 Voll.)30 - Non-ferrous Metals31 - Mechanical Testing of Metallic Materials32 - Mechanical Trasmissions33 - Applied Metrology

A.6.7 Altre pubblicazioni

Si ricordano sia i DIN Handbooks, editi dalla Beuth Verlag, che raccolgono le traduzioni in in-glese di parte della normativa tedesca, sia gli analoghi BS Handbooks. Un corpo molto ampioed autorevole di linee guida, anche di progettazione, (VDI Richtlinien), e curato dal Verein Deu-tscher Ingenieure (VDI) ed e pubblicato dalla Beuth Verlag. Di queste linee guida solo alcune sonotradotte in inglese.

A-6

B. Alfabeto greco

minuscola maiuscola nome minuscola maiuscola nomeα A alfa ν N niβ B beta ξ Ξ xiγ Γ gamma o O omicronδ ∆ delta π, $ Π pi

ε, ε E epsilon ρ, % P roζ Z zeta σ, ς Σ sigmaη H eta τ T tauθ Θ theta, teta υ Υ, Y upsilonι I iota φ, ϕ Φ fiκ K kappa χ X chiλ Λ lambda ψ Ψ psiµ M mi ω Ω omega

Non confondere:

1. l’omega minuscola ω con la w corsiva

2. la epsilon ε col segno insiemistico di appartenenza ∈ (per quanto questo derivi da quella)

3. la upsilon minuscola υ con la ni minuscola ν e con la v minuscola corsiva. Bisogna pero direche per distinguere questi tre segni occorre una vista piuttosto buona.

4. la ρ con la p minuscola corsiva.

Notare che la iota ι si scrive senza puntino.Il segno $ si usa solo in astronomia per indicare l’argomento del perielio. Qualcuno, poco

familiare con questa scrittura, per la verita troppo arcaica, la prende per una omega sovrasegnata!Il segno ς non si usa mai nella letteratura tecnica, ma solo nella scrittura di parole greche, e

sostituisce obbligatoriamente la σ normale in finale di parola.

Nella tabella precedente con il segno u si e voluto rappresentare la u lombarda o francese. Lostesso suono andrebbe usato per la µ e la ν (da leggere quindi rispettivamente mu e nu), ma disolito in italiano si leggono mi e ni.

E invece assolutamente sbagliato pronunciare omega invece di omega.

B-1