corso tecniche di rappresentazione dello spazio

A.A. 2009/2010docente Arch. Emilio Di Gristina

02

appunti di geometria descrittiva - I

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l’oggetto fondamentale delle geometria proiettiva si riconosce nel concetto di corrispondenza in base è possibile passare senza eccezioni dalla figura reale alla sua proiezione e viceversa

Teorema di TaleteIn geometria, il teorema di Talete è un teorema riguardante i legami tra i segmenti omologhi creati sulle trasversali da un fascio di rette parallele.

EnunciatoUn fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali

Il teorema afferma in pratica che se prese tre parallele a b c taglianti due rette trasversali r e r’ 1 - rispettivamente nei punti A B C e A’B’C’ - allora il rapporto tra i segmenti omologhi dell’una e dell’altra è sempre costante.

nelle trasformazioni del piano il teorema di Talete è anche il grado di spiegare trasformazioni come l’omotetia sia in grado di mantenere invariate le proporzioni delle figure. BCD e B’C’D’ sono figure simili, tutti loro lati omologhi hanno lo stesso rapporto, se infatti prendiamo per esempio la coppia BC e B’C’ rispetto ad A li possiamo concepire come i terzi lati di due triangoli simili, dove A rappresenta il centro dell’omotetia e AB/AB’ come il rapporto della stessa.

postulati di Euclide

1. tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.2. si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente.3. dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.4. tutti gli angoli retti sono uguali.5. se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti

è soprattutto sulla violazione di quest'ultimo postulato che si fondano le geometrie non-euclidee come ad esempio la geometria iperbolica infatti la geometria euclidea è la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele

dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani:Per un punto passano infinite rettePer due punti distinti passa una ed una sola rettaPer una retta nello spazio passano infiniti pianiPer tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano

si definiscono quindi altre nozioni:due rette nello spazio si dicono complanari quando giacciono sullo stesso piano.se un punto divide la retta a metà, ciascuna delle due parti si dice semiretta questa sarà dotata di un'origine, ma non di una fine.la parte di retta delimitata da due punti è detta segmento.

gli enti geometrici fondamentali

in geometria proiettiva l’insieme di punti, rette e piani prende il nome di figura o forma geometrica

punti generalmente indicati con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino – A, B, C etc.

rette generalmente indicate con le lettere minuscole dell’alfabeto latino – a, b, c etc.

piani generalmente indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto greco – α , β, g etc.

gli enti impropri

due rette parallele hanno in comune una direzione e si incontrano all’infinito, tale punto è detto “punto improprio”tale direzione viene indicata generalmente con ∞

l’insieme delle infinite direzioni delle rette su un piano costituisce la “giacitura del piano” , all’infinito la retta costituita da una punteggiata di punti impropri è detta “retta impropria” del piano

l’insieme delle direzioni e giaciture dello spazio, ovvero l’insieme dei punti delle rette improprie definiscono il “piano improprio” dello spazio

gli enti geometrici

segmento è una parte di una retta compresa fra due punti consecutivi indicati con lettere maiuscole A B

due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune e nessun altro punto

due segmenti si dicono congruenti se con un movimento rigido si possono sovrapporre in modo che coincidano punto per punto

due segmenti consecutivi sono adiacenti se appartengono alla stessa retta.

due segmenti sono sovrapposti se hanno un estremo in comune e tutti i punti di uno (quello minore) sono in comune con i punti dell'altro segmento.

due segmenti si dicono incidenti quando hanno in comune un singolo punto, detto di intersezione.

punto

in geometria il punto è un concetto primitivointuitivamente equivale ad un'entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, come una coordinataalcuni lo considerano che possa rappresentare una figura geometrica; perché come è noto , una figura è un insieme di punti

Punti in geometria euclidea Un punto nella geometria euclidea non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in generale tranne la sua posizione

i postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di puntise due linee in un piano non sono parallele, c'è esattamente un punto che appartiene ad entrambetre o più punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una rettatre o più punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano

nella geometria euclidea il punto è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il pianoper ogni punto nel piano passano infinite retteper due punti passa una e una sola rettaper tre punti non allineati passa un solo pianoper tre punti non allineati passa una sola circonferenzauna linea o una retta sono una successione infinita di punti

retta

Una retta può giacere, e quindi essere contenuta, nel piano o nello spazio tridimensionale.

Due rette nel piano possono essere:incidenti se si intersecano in uno e un solo puntoparallele se non si intersecano

Due rette nello spazio possono essere:complanari se esiste un piano che le contiene entrambe, in questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele altrimentisghembe se non sono contenute in un piano comuneperpendicolari quando le due rette, incontrandosi in un unico punto, formano quattro angoli retti

la retta è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali il punto, il piano e gli angoli, nel modo seguente:per un punto si possono tracciare un infinito numero di retteper due punti passa una e una sola rettadue rette incidenti in un punto generano angoli opposti ugualinello spazio, per una retta passano infiniti piani

le prime tre proprietà sono valide sia nel piano che nello spazio

piano

Il piano è un concetto primitivo della geometria, ovvero un concetto che si suppone intuitivamente comprensibile, non necessitando quindi di una definizione in quanto universalmente acquisito

il piano è un ente geometrico che non ha spessore ma ha 2 dimensioni, la larghezza e la lunghezza è possibile descrivere un piano servendosi degli strumenti forniti dal calcolo vettoriale e dalla geometria differenziale

è inteso come luogo geometrico di punti, il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto P

dal punto di vista della geometria differenziale il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle.

nota:nella grafica digitale e nella modellazione tridimensionale si esaminino le mesh generate da patch poligonali o da N.U.R.B.S.

Jakob Steiner nei sui trattati individuò alcune forme geometriche che denominò fondamentali

in ogni forma geometrica si distinguono la forma propriamente detta ed il sostegno della forma, la forma è costituita da infiniti enti della stessa specie, il sostegno da un ente di specie diversa

si distinguono:forme fondamentali di prima specie o spazi lineari ad una dimensione

forme fondamentali di seconda specie o spazi lineari a due dimensioni

lo spazio a tre dimensioni dove “collochiamo” le figure geometriche e l’osservatore stesso è detto:forma fondamentale di terza specie o spazio lineare a tre dimensioni

forme geometriche fondamentali

forme geometriche fondamentali

forme di prima specie

retta punteggiata è l’insieme degli infiniti punti che la costituiscono e che ha come sostegno la retta stessa, si ottiene ad esempio sezionando un fascio di rette

fascio di rette è l’insieme delle infinite rette che appartengono ad un piano ed ad un punto, centro del fascio; sono sostegni della forma in questo caso il punto ed il piano

fascio di piani è l’insieme di tutti gli infiniti piani che appartengono alla stessa retta, asse del fascio, che rappresenta il sostegno della forma

forme di seconda specie

piano punteggiato è l’insieme di tutti i punti appartenenti ad esso, il piano è il sostegno della forma

piano rigato è l’insieme di tutte le rette appartenenti ad esso, il piano è il sostegno della forma

stella di rette è l’insieme di tutte le rette dello spazio appartenenti ad un punto, che è il sostegno della forma

stella di piani è l’insieme di tutti i piani dello spazio appartenenti ad un punto, che è il centro della stella e sostegno della forma

forme geometriche fondamentali

forme di terza specie

spazi punteggiato è l’insieme di tutti i punti dello spazio, lo spazio è il sostegno della forma

spazio di piani è l’insieme di tutti i piani dello spazio, lo spazio è il sostegno della forma

forme geometriche fondamentali

proposizioni fondamentali

due punti distinti individuano sempre una retta cui essi appartengono – se uno dei punti è improprio la retta è quella passante per il punto proprio e la direzione del punto improprio, se i punti sono entrambi impropri anche la retta sarà impropria

due piani, non coincidenti, individuano sempre una retta a cui appartengono, propria se i piani sono incidenti, impropria se i piani sono paralleli o uno di essi è improprio

tre punti, non allineati, individuano sempre un piano a cui essi appartengono

tre piani, non appartenenti alla medesima retta, individuano sempre un punto cui essi appartengono

un punto ed una retta, che non si appartengono, individuano sempre un piano a cui essi appartengono

una retta e un piano, che non si appartengono, individuano sempre un punto A cui essi appartengono

postulati di appartenenza, parallelismo e perpendicolarità

Nel disegno delle proiezioni ortogonali sovente, alcuni punti o rette sono apparentemente coincidenti, mentre visti nello spazio risultano separati e distanti tra di loro

Per comprendere l’esatta conformazione geometrica di un oggetto nello spazio è necessario imparare a leggere, attraverso le proiezioni ortogonali, gli elementi geometrici per determinare se in una figura vi siano delle condizioni che stabiliscono le relazioni particolari tra gli enti rappresentati

In generale un ente geometrico appartiene ad un altro o ad altri enti geometrici, quando li contiene o ne è contenuto, l’appartenenza è un rapporto biunivoco e privo di gerarchia

condizioni di appartenenza

appartenenza di un punto ad una rettaun punto ed una retta si appartengono se le immagini del punto appartengono alle immagini omonime della retta

appartenenza di una retta ad un pianouna retta appartiene ad un piano se e solo se le sue tracce appartengono rispettivamente alle tracce omonime del piano

appartenenza di un punto ad un pianoun punto appartiene ad un piano se le proiezioni del punto appartengono alle rispettive proiezioni di una retta qualsiasi del piano.

rette incidentidue rette sono incidenti se hanno un punto in comune e se le proiezioni di quel punto si trovano nel punto comune delle proiezioni delle due rette

problemi grafici di appartenenza

retta congiungente di puntidati due punti Q e P, una retta r passa per i rispettivi punti se le proiezioni della retta passano per le omonime proiezioni dei punti.

retta comune a due pianiuna retta è comune a due piani quando le tracce delle retta r sono nei punti di intersezione delle tracce dei piani α e β

piano determinato da due rette incidenti.una retta appartiene ad un piano α quando le tracce della retta si trovano sulle tracce del piano

condizioni di parallelismo ed ortogonalità

due rette sono parallele se sono parallele le rispettive proiezioni

due piani sono paralleli se sono parallele le rispettive tracce.

postulati di appartenenza, parallelismo e perpendicolarità

Nel disegno delle proiezioni ortogonali sovente, alcuni punti o rette sono apparentemente coincidenti, mentre visti nello spazio risultano separati e distanti tra di loro

Per comprendere l’esatta conformazione geometrica di un oggetto nello spazio è necessario imparare a leggere, attraverso le proiezioni ortogonali, gli elementi geometrici per determinare se in una figura vi siano delle condizioni che stabiliscono le relazioni particolari tra gli enti rappresentati

In generale un ente geometrico appartiene ad un altro o ad altri enti geometrici, quando li contiene o ne è contenuto, l’appartenenza è un rapporto biunivoco e privo di gerarchia

operazioni geometriche fondamentali

le operazioni di cui si avvale la geometria descrittiva e la scienza della rappresentazione sono la proiezione e la sezione

Proiettare un punto P da un punto S detto “centro di proiezione” significa costruire la retta r SP detta “retta proiettante”

analogamente per proiettare una retta r da un punto S, centro di proiezione, è necessario costruire un piano Sr detto “piano proiettante”

Invarianza – birapporto (cenno)

Il birapporto di quattro punti è invariante per ogni trasformazione proiettiva, da questo fatto generale seguono le invarianze in geometria euclidea possono infatti essere interpretate come trasformazioni proiettive le trasformazioni seguenti del piano euclideo:

tutte le trasformazioni affini, come traslazioni, rotazioni, omotetie, riflessioni nel piano euclideo

proiezione fra due rette centrata in un punto (una prospettività in geometria proiettiva)

inversione circolare

trasformazioni proiettive le trasformazioni seguenti del piano euclideo

traslazione è una trasformazione affine dello spazio euclideo, che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione

rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto (l'origine dello spazio) I punti che restano fissi nella trasformazione formano un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione

riflessione è una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione)

prospettività In geometria descrittiva una è una relazione simmetrica tra due piani distinti che ne mette in corrispondenza biunivoca i rispettivi punti; si ottiene come risultato di una proiezione rispetto a un centro e di una sezione con un piano: due piani legati da una prospettività vengono detti prospettivi

inversione circolare, nella geometria piana, è una particolare trasformazione che "specchia" i punti rispetto ad una data circonferenza; la trasformazione non è una trasformazione geometrica piana in senso stretto, perché sposta il centro della circonferenza "all'infinito": si tratta piuttosto di una trasformazione della sfera ottenuta aggiungendo il punto all'infinito al piano tramite proiezione stereografica

omotetia è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariati gli angoli ossia la forma (nel senso intuitivo del termine), venne utilizzato per la prima volta nel 1827 da Michel Chasles

Omotetia: il termine deriva dal greco come composto da omos che vuol dire “simile” e da tìthemi che significa “porre”.

costruzioni geometriche di base

costruzioni geometriche di base – uso delle squadrette

il disegno a mano libera, gli appunti e gli schizzi

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il disegno a mano libera

lo schizzo a mano libera sia di che sia di un’idea sia che riproduca la realtà è il primo approccio per l’esplorazione dello spazio e delle forme che ci circondano o immaginiamo

segni tracciati rapidamente consentono di fissare nero su bianco un’idea o l’immagine di una realtà percepita da uno sguardo veloce, per i pittori vedutisti e per i viaggiatori di un tempo era uno strumento per conservare nella memoria l’eco di immagini e luoghi

Il disegno a mano libera essendo scevro da costruzioni geometriche ha il pregio ed al contempo il limite di rappresentare una visione soggettiva del singolo

è una lettura personale dell’osservatore che indaga la realtà in modo critico ponendo l’accento su alcuni elementi della visione o degli oggetti

lo schizzo a mano libera

lo schizzo a mano libera deve essere sintetico , pochi segni devono garantire una lettura chiara della relatà e degli elementi essenziali di essa, nonché contenere tutte le informazioni in modo razionale e finalizzato, ad esempio: uno disegno prospettico potrebbe contenere ombreggiature, personaggi posta a misura degli oggetti, e scendere in dettaglio con finalità diverse da quelle di uno schizzo di campagna finalizzato ad un rilievo metrico.se possibile in questi ultimi è meglio evitare un graficismo fine a se stesso e piuttosto mirare ad un disegno estremamente comprensibile

l’economicità di segni ed il non finito nello schizzo non sono un limite alla rappresentazione del reale, lo sforzo deve essere quello di far corrispondere ad un ridotto numero di linee il maggior significato e informazioni.

il disegno dal vero

In genere si distingue il mero schizzo dal “disegno dal vero”

il primo è una rappresentazione immediata estemporanea e essenziale

il secondo ha un approccio mimetico e figurativo alla realtà, utilizzando eventualmente prospettive con un disegno ricco magari anche di dettagli e effetti chiaroscurali

lo schizzo

essenzialmente ritroviamo due modalità di rappresentazione nel disegno a schizzo:

schizzi prospettici, disegni a mano libera tesi a riprodurre la percezione dello spazio, riportandone i caratteri figurativi

schizzi di studio e/o proporzionamento a vista, disegni a mano libera, in proiezione ortogonale (generalmente pianta, fronti, sezioni o in assonometria cavaliera) che analizzano la realtà nella definizione anche dimensionale/metrica delle diverse parti

 nello schizzo di rilievo, è necessario preliminarmente osservare e valutare cioè la realtà da rappresentare con attenzione al fine di:

comprendere e selezionare le parti e gli elementi significativi che costituiscono la struttura e la geometria dell’oggetto o architettura da rappresentare

individuare i rapporti tra le parti e gli elementi osservati, definendo griglie ed eventualmente matrici geometriche di riferimento

definire un sistema di segni e notazioni utili a precisare tutte le informazioni

a supporto dello schizzo di rilievo lo schizzo prospettico potrà essere l’ausilio  grafico per le annotazioni relative agli elementi costitutivi dell’oggetto rappresentato

lo schizzo di studio

In generale è buona norma seguire le seguenti fasi per la stesura di una serie di elaborati/schizzo di studio:

osservare la realtà e valutare l’oggetto da rappresentare circoscrivendo l’attenzione su di esso

trascrivere sul foglio di carta il perimetro dell’oggetto da rappresentare

disegnare con tratto sottile le proporzioni generali attraverso e eventualmente rimarcare i contorni con segno più deciso

suddividere l’oggetto esaminato in parti (ad esempio nel caso di un manufatto: basamento, fronte, copertura) individuandone i diversi elementi/componenti

tracciare sul foglio la posizione e l’ingombro degli elementi principali facendo se possibile riferimento a schemi proporzionali e matrici geometriche – un foglio quadrettato può essere d’ausilio

disegnare nel dettaglio i singoli elementi e specificarne la posizione nell’insieme

procedere con il rilievo grafico dell’apparato decorativo o degli elementi minori

si può in questa fase anche tentare di ritrovare elementi modulari, griglie, rapporti proporzionali insiti nell’oggetto/manufatto da rappresentare che possono aiutare la redazione tgli schizzi

nel caso di manufatti architettonici potrà essere evidenziato l’impianto attraverso l’indicazione dei percorsi e della successione degli ambienti principali, per esempio: portale di accesso, il corte, elementi di risalita

l’eidotipo

uno schizzo a mano libera che riproduce la realtà in uno schema in proiezione ortogonale viene definito come eidotipo (dal greco: eidos vedere) esso rende visibili e conoscibili gli aspetti fondativi della realtà che verranno successivamente analizzati attraverso la misurazione ed il disegno geometrico.

L’eidotipo deve essere disegnato in proiezione ortogonale e in genere deve rappresentare:

•pianta di tutti i piani dell’edificio compresi i piani superiori, quelli interrati e le coperture

•i prospetti

•sezioni verticali ritenute significative

•dettagli architettonici e costruttivi

•deve mettere in evidenza gli elementi in vista e le parti sezionate,

•deve segnalare la posizione e il tipo di gradini e scale e/o rampe e cambi di quota

•deve fornire indicazioni sui materiali utilizzati

•deve consentire la comprensione anche degli oggetti posti al di sopra del piano di sezione come ad esempio

nel caso di architetture travature, lucernari, o sistemi di copertura: tetti, volte, cupole etc.

•deve contenere tutte le annotazioni metriche e testuali utili a descrivere la realtà rappresentata nonché

contenere la quota altimetrica di riferimento

•le misure potranno indicarsi come assolute o progressive

•nela caso di oggetti/strutture complesse una rappresentazione assonometrica potrà supportare la

comprensione di tutti gli elaborati.

cara Jenny, per disegnare bene, bisogna essere molto cattivi, ricordatelo bisogna smontare il mondo, per ricostruirlo poi pezzo a pezzo, con infinita

pazienza

Giorgio Bassani