Corso di preparazione Corso di preparazione all'Esame di Stato per all'Esame di Stato per l'abilitazione alla professionel'abilitazione alla professione

22-06-200922-06-2009

COLLEGIO GEOMETRI E GEOMETRI COLLEGIO GEOMETRI E GEOMETRI LAUREATI DELLA PROVINCIA DI MILANOLAUREATI DELLA PROVINCIA DI MILANO

Estimo – Relatore: Antonio Ivan Orsenigo

ProgrammaProgramma

1 - Richiami di matematica finanziaria2 - Estimo generale: teoria delle stime3 - Relazione di stima; stima dei fabbricati4 - Stima dei fabbricati (seguito)5 – Estimo legale

Richiami di Matematica FinanziariaRichiami di Matematica Finanziaria

• Il calcolo finanziario è utilizzato per rendere omogenei tra loro valori che si verificano in epoche diverse.

• L’interesse è il prezzo d’uso del capitale.

• Il tasso (o saggio) d’interesse rappresenta il rendimento dell’unità di moneta nell’unità di tempo, cioè quanto rende un euro in un anno.

Il tasso di interesse: caratteriIl tasso di interesse: caratteri

L’ammontare del tasso di interesse dipende:dal rischio dell’investimentodalla durata dell’investimentodal mercato dei capitalida scelte di natura politica e/o economica

Interesse sempliceInteresse semplice 

L'interesse viene detto semplice quando gli interessi che maturano su un dato capitale in un certo tempo non si trasformano essi stessi in capitale, quindi non generano a loro volta interessi. 

I = Co* r * t Si utilizza solitamente per investimenti che hanno durata

minore o uguale ad un anno.

Legenda:I  = ammontare dell’interesseCo = Valore del capitale iniziale r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso generalmente in termini % t = tempo d'impiego del capitale, può essere espresso in gg/360; gg/365, in

mm/12.

Montante ad Interesse sempliceMontante ad Interesse semplice  Rappresenta la somma tra il valore del capitale

iniziale e dei relativi interessi maturati in un certo periodo di tempo: 

M = Co + I M = Co + Co* r * t

M = Co * (1 + r * t) Legenda:M = montante di un capitale I  = ammontare dell’interesseCo = Valore del capitale iniziale r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso generalmente in termini % t = tempo d'impiego del capitale, può essere espresso in gg/360; gg/365, in

mm/12.

Accumulazione a fine anno di rate Accumulazione a fine anno di rate infrannuali (mensili, bimestrali, ecc.)infrannuali (mensili, bimestrali, ecc.)

Rappresenta la sommatoria riferita a fine anno dei montanti di rate che si manifestano con regolarità (ad esempio canoni di locazione) e che possono essere anticipate o posticipate rispetto al periodo di riferimento. Per tale operazione si utilizza la seguente formula:

n 1 M = R * (n + r ----------) 2 Legenda:

M = sommatoria a fine anno dei montanti di rate infrannuali R  = ammontare della singola rata n = numero delle rate r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso generalmente in termini % +1 = se la rata è anticipata -1 = se la rata è posticipata

Interesse composto: caratteriInteresse composto: caratteri

  L'interesse si dice composto quando gli interessi maturati su un capitale in un certo tempo si sommano al capitale che li ha prodotti, generando, a loro volta, degli interessi.

L'interesse composto si suddivide in:  1. interesse composto discontinuo annuo: gli interessi si

sommano al capitale che li ha prodotti alla fine di ogni anno; 

2. interesse composto convertibile: gli interessi si sommano al capitale che li ha prodotti più volte all'anno (semestralmente, trimestralmente, ecc. ecc.);

3. interesse composto continuo o matematico: ad ogni istante gli interessi si sommano al capitale che li ha prodotti, non ha utilità pratica.

Interesse compostoInteresse composto: : calcolocalcolo

Il valore di un capitale investito per un numero (n) di anni, si determina:

Cn = Co * qn

Legenda:Cn = montante di un capitale investito per (n) anni ad interesse compostoCo = Valore del corrispondente capitale inizialeq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = durata dell’investimento del capitale in anni

Interesse composto: valore attualeInteresse composto: valore attuale Il valore attuale di un capitale futuro disponibile tra

un certo numero (n) di anni, si determina:

Cn 1

Co = --------- = Cn * ----- qn

qn

Legenda:Cn = Montante di un capitale investito per (n) anni ad interesse compostoCo = Valore del corrispondente capitale inizialeq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = durata dell’investimento del capitale in anni

Le renditeLe rendite

Le rendite sono valori che si presentano con una certa regolarità, possono essere:

Annualità = si verificano ogni anno, ad esempio il pagamento di una borsa di studio

Poliannualità = si verificano ogni (n) anni, ad esempio il reddito ottenuto dal taglio di un bosco

Le annualità: classificazioneLe annualità: classificazione

Le annualità sono valori che si verificano ogni anno, possono essere:

Costanti = sono tutte uguali tra loro

Variabili = sono diverse di anno in anno

Limitate = si manifestano solo per un numero limitato di anni (n)

Illimitate = si manifestano per un numero illimitato di anni. Illimitato dal punto di vista economico (Infinito economico 80-100 anni)

Anticipate = si verificano all’inizio di ogni anno considerato

Posticipate = si verificano alla fine di ogni anno considerato

Le annualità: calcoli da svolgere

Dal punto di vista matematico, interessa determinare la loro:

An = Accumulazione finale = si tratta di portare il valore di

tutte le annualità alla fine del periodo considerato, non si può realizzare per le annualità illimitate

Ao = Accumulazione iniziale = si tratta di portare il valore di

tutte le annualità all’inizio del periodo considerato.

Am = Accumulazione intermedia = si tratta di portare il

valore di tutte le annualità ad un anno (m) intermedio nel periodo considerato.

Annualità costanti limitate posticipate - An

Accumulazione finale

Accumulazione finale di annualità (a) costanti limitate posticipate:

qn -1An = a * ----------- r

Legenda:An = Accumulazione finalea = Valore della singola annualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annuali

Annualità costanti limitate posticipate - AoAnnualità costanti limitate posticipate - Ao

Accumulazione iniziale

Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti limitate posticipate:

qn –1 1A0 = a * ----------- * ------ r qn

Legenda:A0 = Accumulazione inizialea = Valore della singola annualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annuali

Annualità costanti limitate posticipate - AmAnnualità costanti limitate posticipate - Am

Accumulazione intermedia

Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti limitate posticipate:

qn –1 1 qn –1 1Am = a * ----------- * ------ * qm = a * ----------- * ------ r qn r qn-m

Legenda:

Am = Accumulazione delle annualità riferite all’anno (m)a = Valore della singola annualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annualim = anno a cui si riferisce l’accumulazione

Annualità costanti limitate anticipate - AnAnnualità costanti limitate anticipate - An

Accumulazione finale

Accumulazione finale di annualità (a) costanti limitate anticipate:

qn -1An = a * q * ----------- r

Legenda:An = Accumulazione finalea = Valore della singola annualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annuali

Annualità costanti limitate anticipate - AoAnnualità costanti limitate anticipate - Ao

Accumulazione iniziale

Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti limitate anticipate:

qn –1 1An = a * q * ----------- * ------ r qn

Legenda:

A0 = Accumulazione inizialea = Valore della singola annualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annuali

Annualità costanti limitate anticipate - AmAnnualità costanti limitate anticipate - Am

Accumulazione intermedia

Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti limitate anticipate:

qn –1 1 qn –1 1Am = a * q * ----------- * ------ * qm = a * q * ----------- * ------ r qn r qn-m

Legenda:

Am = Accumulazione delle annualità riferito all’anno (m)a = Valore della singola annualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero delle rate annualim = anno a cui si riferisce l’accumulazione

Ammortamento dei capitali: generalitàAmmortamento dei capitali: generalità

Ammortamento dei capitali: calcolo della rata annualeSi tratta delle operazioni finanziarie legate ai mutui ipotecari. Solitamente interessa determinare l’ammontare della rata periodica di mutuo e/o il valore di un mutuo residuo. In questa sede possiamo solo riferirci al mutuo a tasso costante, ipotizzando il pagamento di rate posticipate (se esse avessero scadenza diversa ci si deve adeguare). Si ragiona come se si operasse con rate annue costanti posticipate limitate

qn –1 qn –1 r qn

Ao = a * --------- da cui M = R * -------- ---> R = M -------- r qn r qn qn –1

Legenda:Ao = Accumulazione iniziale delle annualità M = ammontare della somma mutuataa = Valore della singola annualità R = valore della rata annua q = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero dei pagamenti annuali

Ammortamento dei capitali: caso generaleAmmortamento dei capitali: caso generale

Ammortamento dei capitali: Se le rate fossero di tipo semestrale, quadrimestrale, trimestrale, bimestrale o mensile, si dovrebbe adattare la formula precedente

(1 + r/x)xn –1 (r/x) * (1 + r/x)xn

M = R * ---------------------- quindi R = M * --------------------- (r/x) * (1 + r/x)xn (1 + r/x)xn –1

Legenda:M = ammontare della somma mutuataR = valore della rata annua r = saggio o tasso d'interesse n = numero degli anni del mutuox = numero dei pagamenti infrannuali

AAnnualità costanti illimitate posticipate - Aonnualità costanti illimitate posticipate - Ao

Accumulazione inizialeAccumulazione iniziale di annualità (a) costanti illimitate posticipate:

a BfA0 = ------ attenzione V0 = ----- r rc

Legenda:

A0 = Accumulazione iniziale V0 = valore medio di mercato

a = Valore della singola annualità Bf = beneficio fondiario

q = (1 + r) rc = tasso di capitalizzazione

r = saggio o tasso d'interesse

Annualità costanti illimitate posticipate - AmAnnualità costanti illimitate posticipate - Am

Accumulazione intermedia

Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti illimitate posticipate:

aAm = ------ * qm

r

Legenda:Am = Accumulazione delle annualità riferite all’anno (m)a = Valore della singola annualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse m = anno a cui si riferisce l’accumulazione

Annualità costanti illimitate anticipate - AoAnnualità costanti illimitate anticipate - Ao

Accumulazione iniziale

Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti illimitate anticipate: a * qA0 = ------ r

Legenda:

A0 = Accumulazione inizialea = Valore della singola annualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse

Annualità costanti illimitate anticipate - AmAnnualità costanti illimitate anticipate - AmAccumulazione intermedia

Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti illimitate posticipate:

a * qAm = --------- * qm

r

Legenda:Am = Accumulazione delle annualità riferite all’anno (m)a = Valore della singola annualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse m = anno a cui si riferisce l’accumulazione

Le poliannualità: classificazioneLe poliannualità: classificazione

Le poliannualità sono valori che si verificano ogni (n) anni, possono essere:

Costanti = sono tutte uguali tra loro

Variabili = sono diverse tra loro

Limitate = si manifestano solo per un numero limitato di turni (t)

Illimitate = si manifestano per un numero illimitato di turni. Illimitato dal punto di vista economico (Infinito economico 80-100 anni)

Anticipate = si verificano all’inizio di ogni turno considerato

Posticipate = si verificano alla fine di ogni turno considerato

Le poliannualità: calcoli da svolgere Le poliannualità: calcoli da svolgere

Dal punto di vista matematico interessa determinare la loro:

Atn = Accumulazione finale = si tratta di portare il valore di

tutte le poliannualità alla fine del periodo considerato, non si può realizzare per le poliannualità illimitate

A0 = Accumulazione iniziale = si tratta di portare il valore

di tutte le poliannualità all’inizio del periodo considerato.

Am = Accumulazione intermedia = si tratta di portare il

valore di tutte le poliannualità ad un anno (m) intermedio nel periodo considerato.

Poliannualità costanti limitate posticipate - AtnPoliannualità costanti limitate posticipate - Atn

Accumulazione finale

Accumulazione finale di poliannualità (P) costanti limitate posticipate: qtn -1Atn = P * ----------- qn -1

Legenda:

Atn = Accumulazione finaleP = Valore della singola poliannualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successivat = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità

Poliannualità costanti limitate posticipate – AoPoliannualità costanti limitate posticipate – Ao

Accumulazione iniziale

Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti limitate posticipate:

qtn –1 1Ao = P * ----------- * ------ qn -1 qtn

Legenda:A0 = Accumulazione inizialeP = Valore della singola poliannualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successivat = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità

Poliannualità costanti limitate posticipate –AmPoliannualità costanti limitate posticipate –Am

Accumulazione intermedia

Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti limitate posticipate:

qtn - 1 1 qtn –1 1Am = P * ----------- * ------ * qm = P * ----------- * ------ qn - 1 qtn qn - 1 qn-m

Legenda:Am = Accumulazione delle poliannualità riferito all’anno (m)P = Valore della singola poliannualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successivat = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità

Poliannualità costanti limitate anticipate - AtnPoliannualità costanti limitate anticipate - Atn

Accumulazione finaleAccumulazione finale di poliannualità (P) costanti limitate anticipate:

qtn -1Atn = P * qn * ----------- qn -1

Legenda:Atn = Accumulazione finaleP = Valore della singola poliannualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successivat = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità

Poliannualità costanti limitate anticipate - AoPoliannualità costanti limitate anticipate - Ao

Accumulazione iniziale

Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti limitate anticipate : qtn –1 1An = P * qn * ----------- * ------ qn -1 qtn

Legenda:A0 = Accumulazione inizialeP = Valore della singola poliannualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successivat = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità

Poliannualità costanti limitate anticipate - AmPoliannualità costanti limitate anticipate - Am

Accumulazione intermedia

Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti limitate anticipate:

qtn –1 1 qtn –1 1Am = P * qn * ----------- * ------ * qm = P * qn * ---------- * ------ qn – 1 qtn qn – 1 qtn-m

Legenda:Am = Accumulazione delle poliannualità riferita all’anno (m)P = Valore della singola poliannualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successivat = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità m = anno a cui si riferisce l’accumulazione

Poliannualità costanti illimitate posticipate - AoPoliannualità costanti illimitate posticipate - Ao

Accumulazione iniziale

Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti illimitate posticipate:

PAn = ----------- qn -1

Legenda:

A0 = Accumulazione inizialeP = Valore della singola poliannualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva

Poliannualità costanti illimitate posticipate - AmPoliannualità costanti illimitate posticipate - Am

Accumulazione intermedia

Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti illimitate posticipate:

P Am = ----------- qm qn - 1

Legenda:Am = Accumulazione delle poliannualità riferito all’anno (m)P = Valore della singola poliannualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva

Poliannualità costanti illimitate anticipate - AoPoliannualità costanti illimitate anticipate - Ao

Accumulazione iniziale

Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti illimitate anticipate:

P * qn

An = ----------- qn -1

Legenda:A0 = Accumulazione inizialeP = Valore della singola poliannualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva

Poliannualità costanti illimitate anticipate - AmPoliannualità costanti illimitate anticipate - Am

Accumulazione intermedia

Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti illimitate anticipate:

P * qn Am = ---------- qm qn - 1

Legenda:Am = Accumulazione delle poliannualità riferito all’anno (m)P = Valore della singola poliannualitàq = (1 + r) r = saggio o tasso d'interesse n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva