Corso di misure meccaniche, e collaudi delle misure · Lo scopo della classificazione in categoria...

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Corso di misure meccaniche, termiche e collaudi Prof. Rodolfo Taccani Draft 16/17 Dipartimento di ingegneria ed architettura Espressione delle misure Incertezza 1

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Corso di misure meccaniche, termiche e collaudi

Prof. Rodolfo Taccani

Draft 16/17

Dipartimento di ingegneria ed architettura

Espressione delle misureIncertezza

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Misure 2016 ‐ Taccani

• Presentazione PP su Moodle «Incertezza di misura»• Testo di riferimento: Doebelin• Per approfondimenti «GUM 2008» su Moodle

Materiale di studio

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Misure 2016 ‐ Taccani

• VIM : International vocabulary of basic and general termsin metrology UNI‐CEI U37.00.001.0 (1990);

• UNI 4546, (1984) Misure e Misurazioni: termini edefinizioni fondamentali;

• UNI‐CEI‐ENV 13005 (2000) e successive «Guide to theexpression of uncertainty in measurement” (GUM);

• Supplement 1 to the GUM: Propagation of distributionsusing a Monte Carlo method;

• UNI‐ISO 9001‐2000 Sistemi di gestione per la qualità;• UNI‐ISO 10012 Assicurazione della qualità relativa agli

apparecchi per le misurazioni. Linee guida per il controllodei processi di misurazione.

Riferimento normativo

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Misure 2016 ‐ Taccani

Una MISURA è una informazione costituita da (UNI 4546):

• Numero

• Incertezza− (con il livello di confidenza secondo UNI‐CEI ENV 13005)

• Unità di misura

assegnati a rappresentare un parametro in un determinato statodel sistema.

Espressione della misura

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Misura: esempio

Parametro Numero Incertezza u.d.m.

Temperatura alsuolo 297 ± 1 K

Massa a vuoto 1244 ± 2 kg

Lunghezza corridoio 20,0 ± 0,1 m

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Misure 2016 ‐ Taccani

Una MISURA è una informazione costituita da (UNI 4546):

• Numero

• Incertezza− (con il livello di confidenza secondo UNI‐CEI ENV 13005)

• Unità di misura

assegnati a rappresentare un parametro in un determinato statodel sistema.

Espressione della misura

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Misure 2016 ‐ Taccani

Quante sono le cifre significative nei due casi????

Numero: cifre significative

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Misure 2016 ‐ Taccani

Cifre significative: concetto legato all’approssimazione con cui sisceglie di rappresentare una grandezza.Errore di arrotondamento ≤ ±5 x 10‐n

n = numero di cifre significative utilizzando la notazione scientifica

Esempi:u = 5.236 tutte cifre significative (4)u = 5.000 tutte cifre significative (4)u = 000.5 1 cifra significativau = 0.005 1 cifra significativau = 1.005 tutte cifre significative (4)u = 5000 tutte cifre significative È VERO ?

Numero: cifre significative

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Misure 2016 ‐ Taccani

U = 5000 quante cifre significative (c.s.) ha?Per definirlo devo ricorrere alla notazione scientifica:

• Se interessano solo le migliaia: 1 c.s.u = 5 x 103

• Se interessano anche le centinaia: 2 c.s.u = 5.0 x 103

• Se interessano anche le decine: 3 c.s.u = 5.00 x 103

• Se interessano anche le unità: 4 c.s.u = 5.000 x 103

Numero: cifre significative

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Misure 2016 ‐ Taccani

ARROTONDAMENTO:

Per semplificare, si segue la seguente regola per gliarrotondamenti:

• le cifre da 0 a 4 comportano un arrotondamento sulla cifraprecedente alla stessa unità;

• dal 5 al 9 la cifra precedente è arrotondata all’unità superiore.

Numero: cifre significative

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Misure 2016 ‐ Taccani

SOMMA

Per l’addizione, in presenza di cifre decimali, bisogna mantenereuna cifra decimale in più, nel numero più accurato, in rapporto aquella contenuta nel numero meno accurato. Il risultato vaarrotondato al numero di cifre decimali pari a quello del numeromeno accurato.

Esempio:

Numero: cifre significative

11

2.635 +

0.9 +

1.52 +

0.7345 =

5.79

2.64 +0.9 +1.52 +0.73 =

5.8

Misure 2016 ‐ Taccani

SOTTRAZIONE

Per la sottrazione, in presenza di cifre decimali, arrotondare ilnumero più accurato allo stesso numero di cifre decimali di quellomeno accurato. Dare il risultato allo stesso numero di cifredecimali del numero meno accurato.

Esempio:

Numero: cifre significative

12

7.6345 ‐

0.031 =

7.603

7.635 ‐0.031 =

7.603

Misure 2016 ‐ Taccani

PRODOTTO E DIVISIONE

Per la moltiplicazione e divisione arrotondare il numero piùaccurato ad una cifra significativa in più di quella del numeromeno accurato.Arrotondare il risultato allo stesso numero di cifre significative delnumero meno accurato.

Esempio:

Numero: cifre significative

13

1.2 6.335 0.00723.14159

1.2 6.34 0.00723.14

0.0174 0.017

Misure 2016 ‐ Taccani

È la minima incertezza che può essere assegnata nella misura diun parametro, fissato un modello descrittivo della grandezza.L'incertezza assegnabile nella misura non dipende soltanto dalmetodo di misura usato, ma contiene una parte legataintrinsecamente alla definizione stessa del parametro.

Esempio: tronco di cono modellato mediante un cilindro (a sinistra) e mediantedue cilindri sovrapposti (a destra)

Incertezza intrinseca

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Misure 2016 ‐ Taccani

L’incertezza intrinseca nel modello “cilindro” è legata ai valori (a,b), mentre l’incertezza intrinseca nel modello “doppio cilindro” èlegata ai valori (c, d) e (e, f).

È stato possibile ridurre l’incertezza intrinseca della misuraunicamente modificando e raffinando il modello matematico. Diconverso bisogna ora stimare due diversi parametri.

La scelta del modello è sempre un compromesso fra i costi dellecampagne sperimentali e l’incertezza che si è disposti a tollerare.

Incertezza intrinseca: limiti del modello matematico

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Definizioni statistiche

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Sull’universo Sul campione

Media1

1

Varianza1 1

1

Scarto tipo 1 11

Misure 2016 ‐ Taccani

Definizioni statistiche

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La deviazione standard, scarto tipo o scarto quadratico medio è unindice di dispersione statistico, vale a dire una stima dellavariabilità di una popolazione di dati o di una variabile casuale.

La deviazione standard è uno dei modi per esprimere ladispersione dei dati intorno ad un indice di posizione, quale puòessere, ad esempio, la media aritmetica o una sua stima. Ladeviazione standard ha pertanto la stessa unità di misura deivalori osservati (al contrario della varianza che ha come unità dimisura il quadrato dell'unità di misura dei valori di riferimento). Instatistica la precisione si può esprimere come deviazionestandard.

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Misura poco accurata e poco dispersa (incertezza ridotta) 

Incertezza: effetti sistematici e casuali

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Misura accurata e molto dispersa (incertezza elevata), ad esempio dopo correzione di effetto sistematico 

Incertezza: effetti sistematici e casuali

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Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza: effetti sistematici e casuali

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Misura accurata e poco dispersa

Misura poco accurata e 

molto dispersa

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Fonti di incertezza

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Le 4 principali fonti di incertezza in una misurazione sono:

• non costanza dello stato del sistema tra le misurazioni;

• l'incompleta definizione del sistema;

• la presenza di effetti strumentali;

• l'incertezza intrinseca del misurando.

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Da uguaglianza a compatibilità

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Passando dal concetto di errore a quello di stima accompagnatada un intervallo di incertezza viene a cadere il concetto diuguaglianza così come comunemente definito.

Il concetto di uguaglianza va sostituito con quello di compatibilità.

Poiché non è certo il valore numerico del misurando è impossibileparlare di uguaglianza nel senso definito dalla matematica.

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Compatibilità

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Condizione che si verifica quando le fasce di valore assegnate indiverse occasioni come misura dello stesso parametro nello stessostato hanno almeno un elemento in comune.

Perché diverse misure siano compatibili è necessario e sufficienteche esista un elemento comune a tutte le fasce di valore: uninsieme di misure che soddisfa a questa condizione si dicemutuamente compatibile.

Misure 2016 ‐ Taccani

Compatibilità: esempio

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Dalle tre misure eseguite su un certo parametro nello stesso stato,solo 1) – 3) e 2) – 3) sono mutuamente compatibili; uno e duenon sono compatibili perché non ci sono elementi comuni nei lorointervalli.Risulta evidente che la compatibilità non è una proprietà transitivacome l’uguaglianza.

1), 2) non compatibili

2), 3) compatibili

1), 3) compatibili

Misure 2016 ‐ Taccani

Facciamo il punto della situazione…

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Al di là dell’inquadramento teorico del problema, l’incertezza va definita numericamente: come????

RIASSUMIAMO LA SITUAZIONE:

• UNI 4546 : Misura = numero + incertezza +  unità di misura(+stato del sistema)

• Incertezza = fascia di valori che possono essere assegnati alparametro.

• Non definisce come determinare l’incertezza, quale criteriousare per definire l’ampiezza dell’intervallo.

UNI‐CEI‐13005 (Guida ISO)

• L’esito di una operazione di misura  è una variabile aleatoria,l’obiettivo è determinarne il valore medio.

Misure 2016 ‐ Taccani

Facciamo il punto della situazione…

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UNI‐CEI‐13005, assunzioni di base:

• si fa riferimento a distribuzione di probabilità di Gauss(distribuzione normale);

• parametri caratterizzanti la distribuzione (media) e(deviazione standard, radice quadrata della varianza);

• è l’elemento di base per il calcolo dell’incertezza e vienedefinito incertezza tipo (standard);

Due modalità di valutazione dell’incertezza:

• misura ripetuta, incertezza tipo “A”

• conoscenza a priori della distribuzione di probabilità, incertezza tipo “B”

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza tipo (UNI CEI ENV 13005)

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INCERTEZZA: parametro, associato al risultato di una misurazione,che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmenteattribuibili al misurando.

INCERTEZA TIPO: incertezza del risultato di una misurazioneespressa come scarto tipo.

VALUTAZIONE DELL’INCERTEZZA DI CATEGORIA A: metodo divalutazione dell’incertezza per mezzo dell’analisi statistica di seriedi osservazioni.

VALUTAZIONE DELL’INCERTEZZA DI CATEGORIA B: metodo divalutazione dell’incertezza con mezzi diversi dall’analisi statisticadi serie di osservazioni.

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Incertezza tipo

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Lo scopo della classificazione in categoria A e categoria B  è quello diindicare le due diverse modalità di valutazione delle componentidell’incertezza ed ha unicamente utilità di tipo: la differenza  èsostanzialmente legata a come si procede nell’analisi. La classificazionenon sottintende l’esistenza di differenze nella natura componentirisultanti dai due tipi di valutazione (presenti nella catalogazione tracomponenti sistematiche ed aleatorie).

Entrambi i tipi di valutazione sono basati su distribuzioni di probabilità ele componenti risultanti da ambedue i metodi sono quantificatemediante varianze o scarti tipo.

Mentre l’incertezza tipo di categoria A  è ottenuta da una densità diprobabilità derivata da una distribuzione di frequenza osservata,l’incertezza tipo di categoria B è ottenuta da una densità di probabilitàipotizzata sulla base del grado di credenza nel verificarsi di un evento(probabilità soggettiva).

Entrambe le categorie di incertezza possono essere indicate in terminidi percentuale sulla misura o come valore assoluto.

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza tipo A

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• Si dispone di ripetizioni delle misure;

• ci si appoggia alla statistica

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza tipo A

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Con distribuzione normale entro l’intervallo ± si trova il 66%degli elementi della distribuzione

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza tipo A

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Metodo di valutazione dell’incertezza per mezzo di analisistatistica di serie di osservazioni. Solitamente si fa riferimento aduna distribuzione gaussiana dei valori delle misure effettuate incorrispondenza di un determinato valore di riferimento o di una t‐student se il numero di campioni è inferiore a 30.

La miglior stima dei valori attesi di una grandezza che varia casualmente e della quale sono state ottenute osservazioniindipendenti nelle stesse condizioni sperimentali  è il valormedio delle osservazioni:

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Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza tipo A

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Le singole osservazioni differiscono a causa di variazioni casualidelle grandezze d’influenza, o effetti aleatori. La varianzasperimentale delle osservazioni, che stima la varianza delladistribuzione di probabilità di , cioè la varianza dellapopolazione, è data da:

11

Questa stima della varianza e la sua radice quadrata positiva, denominata scarto tipo sperimentale, caratterizzano la

variabilità dei valori osservati , cioè la loro dispersione intornoalla media.Si preferisce lo scarto tipo perché ha unità di misura omogeneacon la stima della grandezza (valor medio)

1

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza tipo A

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La miglior stima della varianza della media , è data da:

La varianza sperimentale della media e lo scarto tiposperimentale della media quantificano quanto bene stimi ilvalore atteso di tuttavia, ai fini della valutazione qualitativadell’incertezza di conta la varianza della media.

Generalmente si parla di varianza di categoria A ed incertezza tipodi categoria A.

Al crescere delle ripetizioni, l’incertezza diminuisce (crescedenominatore).

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza tipo A

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La misura è data dalla media e la sua incertezza è lo scarto tipodella media stessa:

Al crescere delle ripetizioni diminuisce l’incertezza.

N.B. Si assume che lo strumento sia esente da deviazionisistematiche che devono essere corrette in fase di taratura.

Una valutazione fatta con piccoli porta a una “cattiva stima”dello scarto tipo, per tenerne conto in elaborazioni successive siconserva traccia assieme all’incertezza tipo anche del numero digradi di  libertà del campione impiegato per la valutazione,

1, ossia del numero di misure ripetute.

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Misurex1, ..., xn = 54, 56, 55, 54, 55, 57, 54,Media:  =55Sp = 1, 15 (indicato anche con  x  )

Calcoliamo la SDOM: sm = sp / 7 = 1.15/ 7 = 1, 15/2, 65 =0, 4Grazie alle proprietà viste, possiamo stimare la misura come 55 ± 0, 4

Deviazione standard delle media( SDOM): esempio

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Incertezza tipo B

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Metodo di valutazione dell’incertezza con mezzi diversi dall’analisistatistica di serie di osservazioni.

Per una stima della grandezza d’ingresso che non  è stataottenuta da osservazioni ripetute, la varianza stimata ol’incertezza tipo sono valutate per mezzo di un “giudizioscientifico” basato su tutte le informazioni disponibili sullapossibile variabilità di .

Per comodità e , valutate in questo modo, sonochiamate varianza di categoria B e incertezza tipo di categoria B.

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza tipo B

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L’insieme di informazioni può comprendere:

• dati di misurazione precedenti;• esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle 

proprietà dei materiali e strumenti di interesse;• specifiche tecniche del costruttore;• dati forniti in certificati di taratura ed altri;• incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali.

L’uso dell’insieme di informazioni disponibili per una valutazione dicategoria B dell’incertezza tipo richiede  capacità di approfondimentobasata sull’esperienza e conoscenze generali.

Si osservi che una valutazione di categoria B dell’incertezza tipo  puòessere tanto attendibile quanto una di categoria A, soprattutto quandola valutazione di categoria A è basata su di un numero relativamenteridotto di osservazioni statisticamente indipendenti.

Tutte le valutazioni tipo B hanno per definizione numero di gradi di libertà infinito.

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza tipo B: esempio

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STRUMENTO A DISPLAY DIGITALE

Significato della lettura 11?

Il valore in ingresso è 10.5 < < 11.4.

Nell’intervallo 10.5, 11.4 tutti i valori sono equamente probabili, lafunzione distribuzione di probabilità è una costante nell’intervallo,nulla fuori.

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza tipo B: esempio

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STRUMENTO A DISPLAY DIGITALE

La distribuzione di probabilità è nota, rettangolare: nessun valoreha probabilità di uscita maggiore degli altri.

La densità di probabilità nell’intervallo, 0 fuorilo scarto tipo, se si accetta una distribuzione rettangolare, è

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Misure 2016 ‐ Taccani

Valutazione dell’incertezza tipo

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Nella maggioranza dei casi il misurando non viene misuratodirettamente, ma determinato mediante altre grandezze, , , … , attraverso una relazione funzionale :

Le grandezze , , , … , possono essere a loro volta deimisurandi o parametri dipendenti da altre grandezze. Ne vieneche può essere molto complessa e che l’unico modo perdeterminarla sia sperimentale.Per stimare la grandezza occorrerà quindi stimare prima legrandezze d’ingresso , , , … , .Ogni stima sarà accompagnata da una varianza tipo eda una incertezza tipo di categoria A o B a seconda delmetodo utilizzato.Posto che tali ingressi , , , … , siano una serie di valori dialtri misurandi e/o parametri, affetti ognuno da una incertezza ditipo A o di tipo B, come le singole incertezze determinanol’incertezza del misurando ?

, , , … ,

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Incertezza combinata

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AUTOVELOX:

, misura indiretta che passa attraverso la misura di unadistanza e di un tempo: come posso dichiarare l’incertezza dicombinando l’incertezza valutata singolarmente su e su ?

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza combinata

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INCERTEZZA TIPO COMBINATA

Come  è possibile combinare le incertezze di tipo A e B? Sidistinguono due casi:

Grandezze

non correlate

correlate

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Incertezza combinata: propagazione dell’incertezza

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A questo punto  è possibile applicare la legge di propagazionedell’incertezza:

Vale solo se posso fare l’ipotesi che NON ci sia correlazione tra levariabili che considero come ingressi.

Incertezze ingressi.

Pesi

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Propagazione dell’incertezza: esempio

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INCERTEZZA SULLA POTENZA DISSIPATA DA UN RESISTORE:

In entrambi i casi le incertezze sono date come scarti tipo.

In questo caso  è facile determinare le singole incertezze diingresso:

W conR 1250Ω 5%

V 55 2

2

1250 ∙ 0.05 62.5Ω

0. 001936

20. 088

Misure 2016 ‐ Taccani

Propagazione dell’incertezza: esempio

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È ora possibile sostituire i valori precedentemente ricavati eottenere la potenza dissipata nella resistenza:

N.B. È OBBLIGATORIO ESPRIMERE L’INCERTEZZA DI MISURA!

2.42 0.21

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza estesa

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DEFINIZIONE (UNI CEI 9):

È la grandezza che definisce, intorno al risultato di unamisurazione, un intervallo che ci si aspetta comprendere unafrazione rilevante della distribuzione di valori ragionevolmenteattribuibili al misurando.

L’incertezza estesa si ottiene moltiplicando l’incertezza tipo per unopportuno fattore di ricopertura.

Misure 2016 ‐ Taccani

Incertezza estesa

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L’incertezza tipo permette di definire un intervallo di valoricaratterizzato da un livello di confidenza qualsiasi (tipicamente68.3%, 95% e 99.7%), attraverso dei coefficienti moltiplicatividetti fattore di copertura. Tale incertezza viene definita incertezzaestesa e vale dunque:

. . ∙

I fattori di copertura per ottenere i livelli di confidenza 68.3%,95% e 99.7% valgono nel caso di distribuzione gaussiana 1, 2 e 3rispettivamente.

Misure 2016 ‐ Taccani

Percentili della gaussiana

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• il 68% delle letture cadenell’intevallo centrato sue di estremi 1 ∙

• il 95% delle letture cadenell’intervallo centrato sue di estremi 2 ∙

• il 99.7% delle letture cadenell’intervallo centrato sue di estremi 3 ∙

Misure 2016 ‐ Taccani

Fonti per le slide

• Prof. Alfredo Cigada – Politecnico di Milano

• Prof. Bortolino Saggin – Politecnico di Milano

• NIST (National Institute of Standards and Technology)

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