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Introduzione Metodi esplicativi Metodi estrapolativi

Metodi di previsione

Giovanni RighiniUniversità degli Studi di Milano

Corso di Logistica


I metodi di previsione

I metodi di previsione sono usati per ricavare informazioni a sostegnodei processi decisionali a partire dai dati.

Le previsioni possono avere diversi orizzonti temporali:breve termine (es.: numero di chiamate ad un call center nelleprossime settimane)medio termine (es.: previsioni di vendita per il piano finanziarioannuale di un’azienda)lungo termine (es.: domanda di automobili a idrogeno nei prossimidecenni)


Testi di riferimento

C. Vercellis, Modelli e decisioni : strumenti e metodi per ledecisioni aziendali, Pitagora Editrice, Bologna 1997G. Ghiani, R. Musmanno, Modelli e metodi per l’organizzazionedei sistemi logistici, Pitagora Editrice, Bologna 2000C. Vercellis, Business intelligence: modelli matematici e sistemiper le decisioni, McGraw-Hill, Milano 2006


Classificazione

Esistono metodi qualitativi e quantitativi.

Metodi qualitativi:Opinione di espertiSondaggio di mercatoMetodo Delphi

Metodi qualitativi:Metodi esplicativi: si suppone esista un legame causa-effetto e losi vuole rappresentare formalmente;Metodi estrapolativi: si vogliono desumere delle regolarità dalleosservazioni disponibili.


Metodi di regressione

Analisi di regressione

L’obiettivo è di identificare un legame funzionale tra un effetto e le suepresunte cause.

Si osserva una grandezza y (variabile dipendente) e si suppone siafunzione di altre grandezze x (variabili indipendenti).

y = f (x)

Se la variabile indipendente è una sola, si ha la regressione semplice.

Conoscendo (da osservazioni precedenti) alcune coppie di valori(xi , yi ), si vuole trovare la funzione f () che meglio le spiega.



Analisi di regressione

Invece di cercare una funzione, potenzialmente complicata, chespieghi esattamente le osservazioni, si preferisce cercare una funzionesemplice che spieghi le osservazioni con una certa approssimazione.

Si ammette quindi che i valori ottenuti dal calcolo di f (xi) possanodifferire dai valori osservati yi .

Se la funzione f () è una retta, si ha la regressione lineare.

y = A + Bx + ε

La differenza ε tra valori calcolati e valori osservati è il residuo ed èuna variabile casuale che deve soddisfare due requisiti:

distribuzione normale con media nullaindipendenza tra εi ed εj per ogni i 6= j .



Metodo dei minimi quadrati

Si assume come misura dell’approssimazione

Q =

N∑

i=1

(f (xi) − yi)2

che è la funzione obiettivo che si vuole minimizzare.

Le incognite, o variabili decisionali, sono i parametri della retta, cioè Ae B.

Per trovare i loro valori ottimi, basta calcolare le derivate parziali di Qrispetto ad A e B e porle uguali a zero.




-1

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2 3 4 5 6

time

data




Indicando i valori medi con

x =

∑Ni=1 xi

Ne y =

∑Ni=1 yi

N

si ha:B =

Sxy

Sxxe A = y − Bx

doveSxx =

∑Ni=1(xi − x)2

Sxy =∑N

i=1(xi − x)(yi − y)

Syy =∑N

i=1(yi − y)2



Passaggio per l’origine

Se si vuole imporre che la retta di predizione y = A + Bx passi perl’origine, si pone A = 0 e si stima solo

B =

∑Ni=1 xiyi∑Ni=1 x2

i

.



Valutazione del modello

A posteriori è importante valutare l’affidabilità del modello usato.Pendenza della retta: Il modello si ritiene non-significativo se undato intervallo di confidenza per B contiene il valore 0.Coefficiente di correlazione lineare (indice di Pearson):r =

Sxy√Sxx Syy

.

Si ha sempre −1 ≤ r ≤ 1. Se r > 0 la retta sale, se r < 0 la rettascende.Se |r | ≈ 1, la correlazione lineare è forte; se |r | ≈ 0, è debole.

Stimatore della varianza: s2 =� N

i=1(f (xi )−yi )2

N−2 = 1N−2(Syy − BSxy ).


Serie storiche

Una serie storica è una sequenza di valori yt assunti da unagrandezza di interesse in corrispondenza di istanti temporali t . Se essidefiniscono un insieme discreto la serie storica viene detta a tempo“discreto”.

Considereremo serie storiche a tempo discreto con istanti tuniformemente distanziati nel tempo (anni, settimane, giorni,...).


Classificazione

I metodi estrapolativi si possono applicare alla previsione di un soloperiodo o di più periodi in avanti.

Metodi di scomposizione delle serie storicheMetodi di smoothing esponenziale:

I Metodo di BrownI Metodo di HoltI Metodo di Winters

Modelli autoregressivi:I Modelli autoregressivi (AR)I Modelli a media mobile (MA)I Modelli autoregressivi a media mobile (ARMA)I Modelli autoregressivi a media mobile integrata (ARIMA)


Scomposizione di serie temporali

Modelli di serie temporali

Si fa l’ipotesi che i valori osservati yt nella serie temporale siano ilrisultato della combinazione di componenti di natura diversa.

Andamento tendenziale di lungo periodo mt

Andamento dovuto ai cicli economici vt

Andamento stagionale st (noto il periodo L)Residuo casuale, imprevedibile rt .

Relativamente al modo in cui le componenti si combinano sidistinguono modelli additivi e moltiplicativi.

Modelli additivi: yt = mt + vt + st + rt

Modelli moltiplicativi: yt = mt ∗ vt ∗ st ∗ rt

Nel seguito considereremo un modello moltiplicativo.



Media mobile

Conoscendo il periodo L della componente stagionale, la si puòrimuovere calcolando la media su tutti i periodi di lunghezza L.

L dispari: (mv)t =

� t+ L−12

i=t− L−12

yi

L

L pari: (mv)t =

12 y

t− L2+

� t+ L2−1

i=t− L2 +1

yi+12 y

t+ L2

L

Per separare la componente tendenziale m dalla componente v , siipotizza che la prima sia lineare e la si ricava con la regressionelineare semplice, dove il tempo è la variabile indipendente.



Indici di stagionalità

La componente stagionale e aleatoria si ricava da (sr)t = yt(mv)t

.

Gli indici di stagionalità s1, . . . , sL si ottengono come

st =

∑k (sr)t+kL

Nt

dove gli estremi della sommatoria sono tali da coprire tutti i (sr)calcolati in precedenza ed Nt indica il numero degli addendi.

Gli indici così ricavati vengono poi normalizzati:

st =Lst∑Lt=1 st

∀t = 1, . . . , L.

Si ha quindi st+kL = st per ogni t e per ogni k intero.



Esempio: componente tendenziale

Componente tendenziale

0,0

200,0

400,0

600,0

800,0

1000,0

1200,0

1 21 41 61 81 101 121 141

Periodi



Esempio: componente stagionale

Componente stagionale

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

7 27 47 67 87 107 127 147

Periodi



Previsione

La previsione è fatta combinando le componenti tendenziale m estagionale s.

Predizione

400,0

500,0

600,0

700,0

800,0

900,0

1000,0

1100,0

7 27 47 67 87 107 127 147 167

Periodi

Serie storica

Predizione


Metodi di smoothing esponenziale

Introduzione

Sono metodi per la predizione di serie storiche semplici, versatili eaccurati.

Ne esistono diversi, che tengono o meno conto dell’esistenza dicomponenti tendenziali e stagionali nella serie storica in esame.

L’idea di base è quella di “pesare” maggiormente le osservazioni piùrecenti rispetto a quelle più remote nel passato.

Questo rende i metodi di smoothing capaci di adeguarsi rapidamente avariazioni improvvise nel valore della serie storica a causa di eventiche modificano la regolarità del fenomeno osservato (guasti tecnici,offerte speciali, fallimento di aziende concorrenti, crisi finanziarie...).



Metodo di Brown

È il metodo di smoothing esponenziale semplice.

Media smorzata:st = αyt + (1 − α)st−1 ∀t ≥ 2s1 = y1

Predizione: ft+1 = st

con 0 ≤ α ≤ 1.

Per α prossimo a 0 il modello è più inerte;per α prossimo a 1 è più reattivo.

Il valore ottimo di α si ottiene minimizzando lo scarto quadratico medio.



Metodo di Holt

È il metodo di smoothing esponenziale con correzione di tendenza.

Media smorzata:st = αyt + (1 − α)(st−1 + mt−1) ∀t ≥ 2mt = β(st − st−1) + (1 − β)mt−1 ∀t ≥ 2s1 = y1

m1 = y2 − y1

Predizione: ft+1 = st + mt .con 0 ≤ β ≤ 1, ottimizzato minimizzando lo scarto quadratico medio.



Metodo di Winters

È il metodo di smoothing esponenziale con correzione di tendenza e distagionalità (di periodo L noto).

Media smorzata:st = α

ytqt−L

+ (1 − α)(st−1 + mt−1) ∀t ≥ 2

mt = β(st − st−1) + (1 − β)mt−1 ∀t ≥ 2qt = γ

ytst

+ (1 − γ)qt−L ∀t ≥ L + 1s1 = y1

m1 = y2 − y1

qt = yt� Lτ=1 yτ /L

∀t = 1, . . . , L

con 0 ≤ γ ≤ 1, ottimizzato minimizzando lo scarto quadratico medio.

La predizione è ft+1 = (st + mt)qt−L+1.



Eliminazione tendenza e stagionalità

Per rimuovere da una serie storica la componente di tendenza o distagionalità:

calcolare la media mobile per rimuovere la tendenzadifferenziazioni successive Bt(h) = yt − yt−h per rimuovere latendenzaidentificare la tendenza con l’analisi di regressioneidentificare la componente di stagionalità tramite scomposizionedella serie

Quindi è possibile:applicare il modello di Winters alla serie storica;applicare il modello di Holt alla serie storica destagionalizzata;applicare il modello di Brown alla serie storica dopo aver rimossotendenza e stagionalità.

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