Corso di laurea in Ingegneria Informatica - Appello di Fondamenti di Controlli Automatici del 16/7/2019

Cognome e nome: Matr.:Scrivere in modo chiaro e ordinato, motivare ogni risposta e fornire traccia dei calcoli.

Esercizio 1. Si consideri il sistema meccanico in figura. Si trattadi un pendolo sul quale agisce una coppia u, incernierato ad unperno sul quale ruota con costante di attrito viscoso rotazionale b.Sia y la posizione angolare, m la massa fissata all’estremita’ delpendolo e l la sua lunghezza. Sia g la accelerazione di gravita’.

1. Determinare le equazioni del moto del pendolo.

2. Supponiamo ora di voler tenere bloccato il pendolo su unaposizione angolare fissa y(t) = y. Quale coppia u(t) = udeve essere applicata?

3. Sia ora u(t) := u(t) � u e y(t) := y(t) � y e supponiamoche entrambi questi segnali siano piccoli. Determinare lafunzione di trasferimento tra u(t) e y(t).

4. Per quali valori di y questa funzione di trasferimento e’ BIBOstabile? Per quali valori di y la risposta al gradino ha sovrae-longazione non nulla?

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m

u

mg

Esercizio 2. Si consideri lo schema a blocchi mostrato nella figura seguente.

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r(t) e(t)d(t)

y(t)

�

Si supponga che

C(s) =K

sG(s) =

1

s+ a

1. Determinare a sapendo che a > 0 e che ponendo K = 0 e d(t) = 10sin(3t) si osserva l’uscita y(t)mostrata in figura

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-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Supponiamo ora che a sia dato dal valore calcolato al punto precedente (altrimenti porre a = 1).

2. Determinare i valori di K che rendono BIBO stabile il sistema in catena chiusa. Determinare lafunzione di trasferimento T (s) dall’ingresso r all’uscita y e la funzione sensibilita’ di T rispetto allevariazioni del parametro a.

3. Supponiamo che r(t) = sin(t) e d(t) = t (rampa). Determinare l’andamento a regime di y(t) in funzionedi K.

Esercizio 3. Supponiamo ora che

C(s) =K

sG(s) =

1

s2 + 4s+ a

1. Si determini a in modo che �1 sia punto doppio del luogo.

2. Si disegni il luogo dei poli in catena chiusa per K > 0 (si determinino asintoti, punti doppi, eventualiintersezioni dell’asse immaginario).

3. Determinare il valore di K in corrispondenza del quale il luogo ammette il modi puramente oscillatori(ne’ convergenti, ne’ divergenti). In corrispondenza a tale valore di K determinare i rimanenti modidel sistema.

4. Determinare i valori di K tali che il sistema in catena chiusa contiene il modo e�t. Determinare glieventuali altri modi del sistema.

Esercizio 4. Si consideri lo schema della figura precedente dove

G(s) =s2 + 1

(s+ 4)(s� 1).

1. Determinare il diagramma di Bode di G(s).

2. Determinare il diagramma di Nyquist di G(s) (calcolare eventuali asintoti e intersezioni con l’asse realee l’asse immaginario).

3. Supponendo che C(s) = K, tramite il criterio di Nyquist si determinino il numero di instabili poli incatena chiusa del sistema, al variare del parametro reale K (negativo e positivo);

Esercizio 5. Si consideri lo schema della figura precedente dove

G(s) =5

(s+ 1/2)2

Attraverso la sintesi di Bode si determini due compensatori C1(s) e C1(s) in grado di soddisfare alleseguenti specifiche:

1. errore a regime in risposta al gradino ' 0.01 per entrambi;

2. margine di fase circa uguale a 450 per C1(s) e circa uguale a 900 per C2(s);

3. pulsazione di attraversamento !A ' 5 per C1(s) e !A ' 0, 5 per C2(s)

Esercizio 6 (Teorico) Spiegare i principi su cui si basa la sintesi di Bode (o sintesi in frequenza). Spiegareil problema che tale metodo intende risolvere e su quali argomenti si basa.

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