Corso di Fisica per Medicina - Lezione 27 - Fisica moderna ... · Esperimento di Rutherford II...

Corso di Fisica per MedicinaLezione 27 - Fisica moderna (cod. n1mo5d)

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

10 dicembre 2018

Indice

Fisica moderna 3Struttura atomica 3Struttura nucleare 10Decadimenti 17

2/34 CORSO DI FISICA PER MEDICINA Lezione 27 - Fisica moderna (cod. n1mo5d) – Dr. Cristiano Fontana – 10 dicembre 2018

La struttura dell’atomo

1 Å = 100,000 fm

1 fm

- -++

L’atomo è costituito da un nucleo di carica positiva ed un insieme di elettroni (caricanegativa). Rispetto alla dimensione complessiva dell’atomo (∼ 1 Å) il nucleo è molto piùpiccolo (∼ 1 fm). Gli elettroni si distribuiscono in una nube attorno al nucleo, in dellestrutture chiamati orbitali.


Esperimento di Rutherford ISchema dell’esperimento

Se Tex Willer volesse scoprire se in un sacco ci sono pepite d’oro o sabbia, cosa potrebbefare? Senza preoccuparsi di aprirlo, potrebbe sparargli!


Esperimento di Rutherford IIRisultato per il modello di Thomson

Modello di Thomson

Se nel sacco ci fosse sabbia le pallottole l’attraverserebbero senza grosse deviazioni.


Esperimento di Rutherford IIIRisultato per il modello di Rutherford

Modello di Rutherford

Se nel sacco ci fossero pepite d’oro le pallottole incontrerebbero degli oggetti duri che nedevierebbero il cammino sensibilmente.


Esperimento di Rutherford IVModelli a confronto

Modello di Thomson Modello di Rutherford

Nei primi anni del ’900 si pensava che l’atomo fosse costituito da una carica positivadistribuita in cui sono immersi gli elettroni. Con l’esperimento di Rutherford si scoprì che lacarica è tutta concentrata in un nucleo di dimensioni molto più piccole dell’atomo.


Livelli atomici

Sperimentalmente si vede che gli atomi (sistema di elettroni + nucleo) possono avere delleenergie di legame quantizzate. Ovvero il sistema dell’atomo può liberare o assorbire soloparticolari valori di energia. In prima approssimazione, i livelli energetici possibili sonodescritti da

En = −ERZ 2

n2 (1)

ove Z è la carica del nucleo, n è un numero naturale diverso da zero e ER è detta energiadi Rydberg ed è pari a

ER =e4me

8ε20h2= 13.6 eV. (2)


Emissione ed assorbimento

Essendo l’energia quantizzata le transizioni possibili hanno solo energie possibilidescrittedalla formula: In prima approssimazione, i livelli energetici possibili sono descritti da

∆E = E2 − E1 =

[−ERZ 2

n22

]−[−ERZ 2

n21

]= ERZ 2

[1n2

1− 1

n22

](3)

E.g. La serie di Lyman è la serie di transizioni possibili con n1 = 1, per l’idrogeno:

∆ELymann2=2 = ER

[1− 1

n22

]= 10.2 eV ⇒ λ =

hc

∆ELyman2

= 121 nm (4)

che è nell’ultravioletto. La serie di Balmer ha n1 = 2 ed ha quattro linee nel visibile, laserie di Paschen ha n1 = 3 e si trova nell’infrarosso.


La struttura del nucleo

Il nucleo è costituito da protoni e neutroni, che sono tenuti insieme dalla forza nucleareforte. I costituenti del nucleo sono complessivamente chiamati nucleoni. Dal punto di vistadelle interazioni nucleari i protoni e neutroni sono quasi indistinguibili.

Il numero di protoni è anche chiamato Z , il numero di neutroni N e la loro somma A è ilnumero di massa

Z + N = ANumero di Numero di Numero di

protoni neutroni massa


Massa dell’atomo I

Le masse dei nucleoni, e delle particelle in generale, sono tipicamente espresse con l’unitàelettronvolt, che in realtà è un’energia. Si sfrutta la famosa formula descritta da Einstein,della legge di equivalenza tra massa ed energia:

E = mc2 (5)

per calcolarci il fattore di conversione in eV dobbiamo ricordarci che il fattore di conversionedai J è la carica dell’elettrone

Min eV =mc2

1.602 · 10−19 J/eV=

1 kg ·(3 · 108 m/s

)2

1.602 · 10−19 J/eV= 5.62 · 1035 eV (6)

che è un numero scomodo da usare nella nostra quotidianità, ma è comodo per chi sioccupa di particelle.


Massa dell’atomo II

Protoni e neutroni hanno una massa circa uguale tra di loro

mp = 1.673 · 10−27 kg = 938 MeV/c2 (7)

mn = 1.675 · 10−27 kg = 940 MeV/c2 (8)

La massa degli elettroni è molto più piccola

me− = 9 · 10−31 kg = 0.511 MeV/c2 (9)

Essendo molto grande il rapporto tra massa dei protoni ed elettroni la massa dell’atomo ècirca uguale alla massa del nucleo

mp

me−=

938 MeV/c2

0.511 MeV/c2 ≈ 1800 (10)


Isotopi

Gli isotopi sono dei nuclei con lo stesso numero di protoni (e quindi stesso Z ) ma diversonumero di neutroni (e quindi diverso N).

1. Chimicamente si comportano tutti allo stesso modo (a parte rari casi).2. Dal punto di vista nucleare però sono molto diversi tra di loro.

E.g. gli isotopi del potassioI 39K: è stabile, ha un’abbondaza del 93%;I 40K: è una sorgente radioattiva (perché è instabile) naturale, ha un’abbondanza del

0.012% e vita media di 1.3 · 109 yr;I 41K: è stabile, ha un’abbondaza del 7%.


Tavola dei nuclei I

N=1 N=2 N=3 N=5N=4 ...

Z=0

Z=1

Z=2

Z=3

...

1H 2H 3H 4H 5H 6H

1n

3He 4He 5He 6He 7He 8He 9He

6Li 7Li4Li 5Li 8Li 9Li 10Li 11Li

9Be5Be 5Be 5Be5Be 10Be

10He

11Be12Be 14Be13Be

N=0

Figura: Ingrandimento della tavola dei nuclei [IAEA NDS]

In analogia alla tavola periodica degli elementi si definisce una tavola dei nuclei, che sonodisposti secondo i numeri Z ed N. In questa rappresentazione i nuclei stabili sono disegnatiin nero, gli altri colori rappresentano la vita media.


Tavola dei nuclei II

Vite medie

N

Z

N=Z

Figura: Tavola dei nuclei [IAEA NDS]

I nuclei stabili si raggruppano lungola cosiddetta valle di stabilità; piùci si allontana e minore diventa lavita media. I nuclei leggeri stabilihanno N ≈ Z , ovvero hanno ilnumero di neutroni, N, circa ugualeal numero di protoni, Z .

I nuclei stabili più pesanti, invece, sono al di sotto della retta N = Z , perché i neutronicompensano la forza repulsiva elettrostatica tra i protoni e ne servono di più.


Forza nucleare forte

I protoni sono carichi positivamente e quindi tendono a respingersi. Tenendo inconsiderazione la dimensione tipica del raggio di un nucleo

r0 ≈ 1.5 · 10−15 m (11)

le forze repulsive sono molto intense

FC =1

4πε0

e2

r20≈ 100 N. (12)

La repulsione è compensata da una forza attrattiva detta forza forte. Per stabilizzare unnucleo quindi si possono aggiungere neutroni che non sono carichi ma si attraggono per laforza forte.


Decadimenti I

Cosa vuol dire che un nucleo è instabile? Vuol dire che decade in un altro nucleo,tramutandosi nel nuovo materiale.

Il tecnezio usato in medicina nucleareIl 99Mo decade in 99mTc con una vita media τ = 66 h. A sua volta decade con una vitamedia τ = 6 h in 99gTc emettendo un raggio γ con energia E = 140 keV. Il gamma prodottoè utilizzato in diverse tecniche di medicina nucleare.

Radon-222L’uranio naturale 238U decade alpha con una vita media τ = 4 · 109 yr, dopo una serie didecadimenti raggiunge il 226Ra. Questo decade alpha con una vita media τ = 1600 yr in222Rn. Il radon è un gas nobile che decade alpha ed è quindi pericoloso se inalato.


Decadimenti IIPossibili decadimenti

1. Fissione: Il nucleo si spacca in molti altri nuclei più leggeri, tipico per i nuclei moltopesanti (e.g. Uranio).

2. Decadimento alpha: Il nucleo emette una particella alpha, che è un nucleo di 4He(N = 2,Z = 2):

Z 7→ Z − 2, N 7→ N − 2 & A 7→ A− 4 (13)

3. Decadimento beta-: Un neutrone si trasforma in un protone emettendo un elettrone(n→ p + e− + ν̄e):

Z 7→ Z + 1, N 7→ N − 1 & A′ = A (14)

4. Decadimento beta+: Un protone si trasforma in un neutrone emettendo un positrone(p → n + e+ + νe):

Z 7→ Z − 1, N 7→ N + 1 & A′ = A (15)

5. Decadimento gamma: Un nucleo eccitato (come può essere anche un atomoeccitato) torna allo stato fondamentale emettendo un fotone molto energetico chiamatoraggio gamma (raggio γ). I valori di N e Z non cambiano.


Decadimenti IIIDecadimenti e tabella dei nuclidi

N-1N-2 N+1N

Z-2

Z-1

Z

Z+1

α

β+

β-

I processi di decadimento possono esserevisualizzati sulla tavola dei nuclei, in funzionedella variazione dei numeri N e Z . E.g. Ildecadimento alpha cambia il valore di N e Zdi due e quindi ci si sposta in diagonale didue posizioni.


Decadimento alpha

Il decadimento alpha è tipico per gli elementi più pesanti. È dovuto all’interazione forte equindi ha tempi di vita medi tipicamente piccoli.E.g. Il gas nobile radon-222 decade alpha in polonio-218.

222Rn→218 Po + α (16)


Decadimenti beta

I due decadimenti beta sono dovuti all’interazione debole e quindi hanno tipicamente tempidi vita medi lunghi. Si osservi come non cambia il numero di massa degli elementi, perchési tratta di una trasmutazione di un protone in un neutrone o viceversa.E.g. Il carbonio-14 decade in azoto-14 per decadimento beta-

14C→14 N + e− + ν̄e (17)

E.g. Il fluoro-18 decade in ossigeno-18 per decadimento beta+

18F→18 O + e+ + νe (18)

Il positrone emesso dal 18F è usato in medicina nucleare per la Positron EmissionTomography (PET).


Decadimento gamma

Il decadimento gamma è un decadimento che si ha quando un nucleo eccitato si diseccitaemettendo un fotone molto energetico (chiamato anche raggio gamma).E.g. Il tecnezio-99m decade in tecnezio-99g emettendo un gamma da 140 keV. Il 99mTc èuno stato eccitato del tecnezio, mentre il 99gTc è lo stato fondamentale del nucleo.

99mTc→99g Tc + e− + ν̄e (19)

Il gamma emesso dal 99mTc è usato in medicina nucleare per le scintigrafie e la SinglePhoton Emission Tomography (SPET).


Energia di legame del nucleo

U235

U238

Fe56O16

C12

He4

Li6Li7

He3H3

H2

H1

Number of nucleons in nucleus

Avera

ge b

ind

ing

energ

y p

er

nucl

eon (

MeV

)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

00 30 60 90 120 150 180 210 240 270

L’energia di legame del nucleodipende dal numero di protoni eneutroni. Tipicamente si rappresentacome positiva, ma in realtà dovrebbeessere negativa perché i nuclei sonodegli stati legati. Più è alta l’energiadi legame e più è difficile spaccare ilnucleo nei singoli costituenti.


Fusione ed energia di legame

U235

U238

Fe56O16

C12

He4

Li6Li7

He3H3

H2

H1


Avera

ge b

ind

ing

energ

y p

er

nucl

eon (

MeV

)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

00 30 60 90 120 150 180 210 240 270

H3

+

ΔE>0

H3

+ΔE<0

Figura: Grafico dell’energia di legame per alcuni isotopicomuni [wiki].

Nella fusione si fondono nucleileggeri per avere nuclei più pesanti,ma non sempre il processo rilasciaenergia. Fondendo nuclei troppopesanti è necessario fornire energiaal sistema perché l’energia dilegame del nucleo somma diventapiù bassa di quella dei nuclei iniziali.


Fissione ed energia di legame

U235Fe56O16

C12

He4

Li6Li7

He3H3

H2

H1


Avera

ge b

ind

ing

energ

y p

er

nucl

eon (

MeV

)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

00 30 60 90 120 150 180 210 240 270

H3

ΔE>0

U238

H3

ΔE<0

Figura: Grafico dell’energia di legame per alcuni isotopicomuni [wiki].

Nella fissione un nucleo si spaccaper generare nuclei più leggeri.Quando i nuclei più pesanti siscindono possono liberare energia,mentre per i nuclei più leggeri ènecessario fornire energia.


Legge dei decadimenti I

Un nucleo instabile ha una probabilità costante nel tempo di decadere. Se la probabilità divedere un decadimento in un dato istante di tempo è λ, allora la probabilità di vederlo perun insieme di N nuclei è Nλ. Ma un decadimento comporta la variazione del numero dinuclei e quindi la variazione nell’istante di tempo è proporzionale al numero di nuclei:

dNdt

= −λN (20)

ove abbiamo messo un meno perché si tratta di una riduzione del numero di nuclei. Questaè un’equazione differenziale che ha come risultato

N(t) = N0e−λt (21)

che rappresenta il numero di nuclei sopravvissuti all’istante t .


Legge dei decadimenti II

In genere si definisce la vita media τ come

τ =1λ

(22)

e quindi la (21) diventa

N(t) = N0e−tτ (23)

La vita media rappresenta il tempo che impiega il campione di nuclei instabili a ridursi al37% del numero iniziale.


Numero di nuclei decaduti

Se il numero di nuclei che sopravvive in funzione del tempo è descritto dalla

N(t) = N0e−λt . (24)

Quale sarà il numero di nuclei decaduti in questo tempo?Il numero iniziale dei nuclei è N0 quindi il numero di nuclei decaduti è

Ndecaduti(t) = N0 − N(t) (25)

= N0 − N0e−tτ (26)

= N0

[1− e−

tτ

]. (27)


Tempo di decadimento ad una frazione I

Calcoliamo il tempo t 1n

che impiega il campione a ridursi di n volte rispetto al numero dinuclei iniziale

N0

n= N0e−

t 1nτ (28)

1n

= e−t 1nτ (29)

log[

1n

]= −

t 1n

τ(30)

− log n = −t 1

n

τ(31)

t 1n

= τ log n (32)


Tempo di decadimento ad una frazione II

Invertiamo la relazione

τ =t 1

n

log n(33)

e vediamo cosa succede se mettiamo nella legge dei decadimenti il tempo di dimezzamento

N(t) = N0e−tτ (34)

= N0e− log n t

t 1n (35)

= N0n− t

t 1n (36)

ove abbiamo applicato le proprietà dell’esponenziale. Questa è la legge dei decadimentiespressa in termini del tempo necessario a ridursi di n volte.


Tempo di dimezzamento

Calcoliamo il tempo t 12

che impiega il campione a dimezzarsi rispetto al numero di nucleiiniziale

t 12

= τ log 2 (37)

il tempo t 12

è comunemente chiamato tempo di dimezzamento ed è molto usato peresprimere il tempo di decadimento di una sorgente radioattiva.

N.B.Il tempo di vita medio non è il tempo di dimezzamento di una sorgente!

t 126= τ (38)


Attività di una sorgente

Si definisce attività di una sorgente il numero di decadimenti al secondo, ovvero

A(t) = λN(t) = −dNdt

(39)

L’attività si misura in Becquerel, che corrisponde ad un decadimento al secondo:

1 Bq = 1 · 1/s (40)

Comunemente si usano anche i Curie, che corrispondono all’attività di un grammo di radio:

1 Ci = 37 GBq. (41)


Numero di nuclei ed attività

Se l’attività di una sorgente è

A = λN =Nτ

(42)

Quale sarà il numero di nuclei presenti nella sorgente?È sufficiente invertire la formula:

N =Aλ

(43)

= τA (44)


Un ultimo suggerimento...

KEEPCALM

USEUNITS

AND

Le unità di misura possono essere comode per controllare lacorrettezza dei vostri calcoli; se rimangono coerenti allora ivostri calcoli potrebbero essere giusti.

State attenti alle unità di misura ed usatelenei calcoli!


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