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CORSO DI

FISICA DELLA MATERIA CONDENSATA

2 - I SEMICONDUTTORI

Appunti dalle lezioni del Prof. P. Calvani

A. A. 2014-15 Tratte dai testi: C. Kittel - Introduzione alla fisica dello stato solido G. Burns- Solid State Physics

Questi appunti sono per solo uso interno e

riservati agli studenti che frequentano il corso.

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I SEMICONDUTTORI

A 300 K hanno resistività ρ intermedie fra i metalli e gli isolanti. Inoltre ρ(T) è fortemente decrescente all'aumentare di T, mentre nei metalli è crescente.

Nascita della gap tra BV e BC nel Silicio

Il Si ha la stessa configurazione elettronica del C, spostata in alto di un ottetto:

[Ne] 3s2 3p2 che dà luogo a 3P0 Cristallizza nella struttura del diamante, che si ottiene intersecando 2 reticoli fcc spostati l’uno rispetto all’altro di (1/4)a (a = lato del cubo ) lungo la diagonale principale del cubo. Nella Fig. a sinistra si vede la loro proiezione su una faccia del cubo, con indicate le altezze rispetto alla faccia medesima in unità a. L’atomo rosso mostra la coordinazione tetraedrica con i primi vicini.

Nel solido, la funzione di Bloch degli elettroni del Si

€

ψk ( r ) = ei

k ⋅ R bn

n∑

R

∑ φn ( r − R )

•

3

si ottiene combinando insieme i 4 orbitali atomici esterni 3s23p2. Infatti al diminuire della costante reticolare gli orbitali atomici si mescolano come mostrato nella Figura sotto, formando 4 legami ibridizzati disposti in simmetria tetraedrica come nella molecola CH4. Atomi isolati

N. B. Si ricorda che

€

α = −1dln II0

dove

€

I0 è l’intensità della radiazione che è entrata nel campione,

e

€

I quella trasmessa dopo aver attraversato un suo spessore d .

Misura della gap dal coefficiente di assorbimento α

Gap

Distanza interatomica →

4

LE LACUNE NEI SEMICONDUTTORI

Nella fig. 1 si vede un banda di valenza BV inizialmente piena: per ogni elettrone con vettore d’onda

€

k e ce ne è un altro con -

€

k e e quindi

€

k

BV∑ = 0.

Un fotone assorbito, o una fluttuazione termica, promuove un elettrone con vettore d’onda

€

k e alla banda di conduzione BC creando

uno stato vuoto all’energia

€

εe. Perciò ora

€

k

BV∑ = −

k e = k b

dove

€

k b è il vettore d’onda di una nuova particella che

chiamiamo buca o lacuna e che assume su di sé il vettore d’onda totale della banda cambiato di segno. Esso si trova nello spazio k dalla parte opposta di quello fig. 1 dell’elettrone mancante (v. figura). Poiché lo zero dell’energia è in cima a BV, la rimozione dell’elettrone aumenta l’energia di BV. Perciò la buca ha un’energia positiva

€

εb = −εe . Si può quindi costruire una banda delle buche ribaltando BV rispetto allo zero. L’effetto sullo stato elettrone-lacuna è mostrato in fig. 2. Dalle pendenze si vede che, poiché

€

∇εb ( k b ) =∇εe (

k e ) ,

per la velocità di gruppo della buca si ha

€

v b = v e Banda delle buche

mentre la sua massa efficace è (opposta a quella dell’elettrone mancante e) positiva.

€

k b ,εb

Infatti, supponendola isotropa per semplicità,

€

k e,εe

Banda degli elettroni

€

∂ 2ε b (k)∂k 2 = -∂

2ε e (k)∂k 2 .

fig. 2 L' equazione del moto in un campo e. m. per l’elettrone è

€

d k edt

= −e E + 1

c v e × B

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Poiché

€

d k bdt

= −d k edt

e

€

v b = v e ,

€

d k bdt

= e E + 1

c v b × B

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

e quindi la buca si comporta come una particella di carica +e.

5

LA DENSITA’ DEI PORTATORI IN UN SEMICONDUTTORE INTRINSECO

In un semiconduttore intrinseco, cioè privo di impurezze, il numero p di lacune/cm3 in BV è evidentemente uguale a quello n di elettroni in BC:

€

p = n Per calcolare n si può integrare dal fondo di BC - che si trova all’energia della gap

€

εg - a

€

∞ il prodotto della probabilità di occupazione di Fermi-Dirac

€

f (ε) =1

1+ exp[(ε − µ) /kBT]

per la densità degli stati (per unità di volume del campione)

€

g(ε) =dNdε

=12π 2

2me*

2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

32(ε −εg )

12 Si ottiene, per

€

(ε − µ) /kBT >>1

€

n(T) = f (ε)g(ε)dε =ε g

∞

∫ 12π 2

2me*

2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

32 (ε −εg )

12 dε

exp[(ε − µ) /kBT]=

ε g

∞

∫

=12π 2

2me*

2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

32exp(µ /kBT)⋅ (kBT)

32 exp(−εg /kBT)

ε −εgkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

12

exp{−[(ε −εg ) /kBT]}d[(ε −εg ) /kBT] =ε g

∞

∫

=12π 2

2me*

2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

32exp[(µ −εg ) /kBT]⋅ (kBT)

32 x

12

0

∞

∫ exp(−x)dx =

=12π 2

2me*kBT2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

32exp[(µ −εg ) /kBT]

π2

= 2 me*kBT2π2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

32exp[(µ −εg ) /kBT] = NC exp[(µ −εg ) /kBT]

Qui, perciò,

€

NC ha il significato di una densità degli stati in banda di conduzione. La concentrazione di buche p si ricava analogamente, considerando che però il fondo della banda si trova a

€

ε = 0 e la probabilità di trovarvi uno stato vuoto, cioè una lacuna, è

€

ʹ′ f (ε) =1− 11+ exp(ε − µ) /kBT

=1

1+ exp(µ −ε) /kBT≅ exp(ε − µ) /kBT

poiché e

€

ε < 0 e

€

µ −ε >> kBT Si ottiene quindi, passando alla banda delle buche (

€

ε'= −ε ) ,

€

p(T) =12π 2

2mb*

2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

32exp(−µ /kBT) (ε ')

12 exp[−ε ' /kBT]dε '=

0

∞

∫

€

= 2 mb*kBT2π2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

32exp[−µ /kBT] = NV exp[−µ /kBT]

dove

€

NV ha il significato di una densità degli stati in banda di valenza. Poiché, a ogni T,

€

p(T) = n(T) , uguagliando le due formule si ottiene la dipendenza dalla temperatura del potenziale chimico: fig. 3

6

€

µ =ε g2

+34kBT ln

mb*

me*

Esso quindi si trova all’interno della gap (fig. 3) , ed esattamente a metà: a) se T = 0; b) a ogni T, se le masse efficaci di elettroni e lacune sono uguali. In questi casi dunque, nelle formule per n(T) e p(T) si può sostituire

€

µ con

€

εg /2. Dalle stesse equazioni si ricava anche la legge di azione di massa per un semiconduttore qualunque, intrinseco o drogato con impurezze (v. oltre):

€

np = ni2 = 4(me

*mb* )32 kBT2π2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 3

exp[−ε g /kBT] dove ni è la concentrazione dei portatori intrinseci (nel Si a 300 K,

€

np = 2,1×1019 /cm3). Il prodotto np dunque dipende soltanto dalla temperatura.

LA CONDUCIBILITA’ ELETTRICA DEI SEMICONDUTTORI

Siano

€

µe =eτ eme* e

€

µb =eτ bme* rispettivamente la mobilità degli elettroni e quella delle buche.

Applicando al semiconduttore un campo elettrico

€

E , vengono messi in moto gli elettroni della

banda di conduzione con velocità di drift

€

< v e >= −µe

E (da non confondere con la velocità di

gruppo) opposta a

€

E e le lacune della banda di valenza con velocità

€

< v b >= µb

E concorde con

€

E .

Tuttavia, poiché i portatori hanno cariche rispettive -e e +e, i loro contributi alla densità di corrente si sommano:

€

j tot =

j e + j b = −ne <

v e > +pe < v b >= (neµe + peµb )

E

e la conducibilità elettrica totale è

€

σ = neµe + peµb

L’EFFETTO HALL NEI SEMICONDUTTORI La geometria dell’esperimento è la stessa del caso metallico. Il campo applicato lungo x però produce una corrente, in base alla formula precedente,

€

jx = je + jb = (neµe + peµb )Ex Prima di raggiungere l’equilibrio, l’azione simultanea del campo B genera una corrente lungo y data da

€

jy = (neµe + peµb )Ey dove Ey è il campo prodotto dall’accumulo di cariche di segno opposto su superfici opposte del campione. All’equilibrio, tra i due campi si stabiliscono gli angoli di Hall

7

€

ϑe = −Bµe

c;

€

ϑb =Bµb

c

Sostituendo,

€

jy = (neµeϑe + peµbϑb )Ex Uguagliando questa equazione con la penultima,

€

Ey =Bcpµ

b

2 − nµe

2

pµb + nµe

Ex La costante di Hall del semiconduttore è quindi

€

RH =Ey

jxB=1ec

pµb

2 − nµe

2

(pµb + nµe )2

Essa non fornisce quindi più direttamente, come nel metallo, la densità dei portatori. Se è misurata nel SI, non vi compare c.

I SEMICONDUTTORI DROGATI Si e Ge sono atomi tetravalenti. Nei loro reticoli si possono inserire per sostituzione atomi donori di valenza 5 (As, P) oppure atomi accettori (B, Al) di valenza 3. Si ottengono così semiconduttori drogati, che hanno rispettivamente elettroni e lacune in eccesso. Infatti il cristallo deve rimanere neutro. Perciò, prendendo ad esempio, un donore As in Si, 4 dei suoi elettroni saturano i legami con altrettanti atomi di Si (v. fig. 4) mentre il quinto rimane legato allo ione As+ su un’ampia orbita idrogenoide. Raggio rd ed energia dello stato fondamentale

€

εd si ricavano da quelli dell’atomo di idrogeno sostituendo alla massa m dell’elettrone la sua massa efficace

€

me* e alla costante dielettrica del vuoto

€

ε0 quella del Si,

€

ε = εrε0. Quest’ultima ipotesi è giustificata dall’ampiezza dell’orbita, che consente di rappresentare il reticolo come un continuo. Si ottiene

€

εd = −e4me

*

2⋅ (4πε)2 J = −13.6εr

2me

*

m eV fig. 4

dove lo zero dell’energia è sul fondo della banda di conduzione del Si (v. fig. 5). Inoltre BC 0

€

rd =4πε2

me*e2 m = 0.53ε r

me* /m

Å

€

εd

fig. 5 Lo stato fondamentale dell’impurezza è quindi di tipo s: gli stati eccitati seguono la classificazione di quelli dell’idrogeno. Per il Si, con

€

εr =11,7 e

€

(me* /m) ≅ 0,2, si ottiene

€

rd ≅ 30 Å e

€

εd ≅ 0,02 eV ≅ 200 K (in unità kB). Quindi l'energia di legame è inferiore all’energia termica a T ambiente (25 meV) e la grande maggioranza dei donori è ionizzata. Siccome la loro concentrazione Nd si può fissare a piacere (entro certi limiti) durante la crescita del cristallo di Si, con il drogaggio si può ottenere la concentrazione di portatori ottimale – di entrambi i segni - per i diversi dispositivi elettronici, cosa impossibile con un semiconduttore intrinseco.

8

Le equazioni che regolano l’equilibrio tra elettroni e lacune nel semiconduttore drogato sono due: la legge di azione di massa

€

np = ni2

e la condizione di neutralità del semiconduttore:

€

p − n + Nd+ = 0⇒ n − ni

2

n− Nd

+ = 0⇒ n2 − Nd+n − ni

2 = 0

che dà come unica soluzione fisicamente accettabile

€

n =Nd

+

2+

Nd+

2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

+ ni2

Perciò con drogaggio per donori si ha sempre

€

n > ni e, per drogaggio forte (

€

Nd >> ni ),

€

n ≅ Nd+.

In questo caso le lacune invece saranno

€

p =ni2

n≅ni2

Nd+ << ni

cioè praticamente assenti.

TRANSIZIONE DI MOTT E SEMICONDUTTORI DEGENERI Aumentando ancora la concentrazione di donori si può raggiungere una situazione in cui le orbite idrogenoidi di impurezze vicine tendano a sovrapporsi, consentendo uno scambio (e quindi una delocalizzazione) degli elettroni. Nello spazio, come abbiamo visto, queste sono stati sferici s di

raggio

€

rd =0.53ε rme* /m

. Usando un modello classico, le sfere in media possono toccarsi fra loro quando

la densità di donori diventa

€

Nd ≅43πrd

3⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

Gli elettroni allora, non più legati alla loro impurezza, possono effettuare hopping creando una banda di impurezze: il sistema perde le sue proprietà semiconduttive, il potenziale chimico entra in banda e si ottiene un semiconduttore degenere che si comporta come un metallo, anche se con un minor numero di portatori. Poiché questo fenomeno può avvenire anche allo zero assoluto, dove il semiconduttore è un perfetto isolante, viene chiamato transizione isolante-metallo di Mott (dal nome del premio Nobel sir Neville Mott che l’ha prevista).

SEMICONDUTTORI DI TIPO p: STATI ACCETTORI Un atomo trivalente come B, Al o Ga, se viene inserito nel reticolo del Si, per saturare tutti e 4 i legami coi primi vicini deve “prendere in prestito” un elettrone dalla banda di valenza del Si, creandovi una lacuna. fig. 6 Si dice che l’impurezza trivalente è un accettore. La lacuna può essere trattata come una carica positiva legata all’accettore (fig. 6), che è carico negativamente. L’energia di ionizzazione

€

εa del boro in Si è pari a circa 45 meV (quindi maggiore dell’energia termica a 300 K, 25 meV). Il comportamento delle buche introdotte per drogaggio è

9

speculare a quello degli elettroni. Lo stato fonda-

€

εa mentale si trova poco al di sopra di BV, come mostra la fig. 7 (ovvero subito sotto la banda delle buche). BV A drogaggio forte,

€

p ≅ Na− ; le buche sono dominanti e il

semiconduttore si dice drogato di tipo p. fig. 7

LA CONCENTRAZIONE DEI PORTATORI NEL SEMICONDUTTORE DROGATO

In un semiconduttore drogato per donori, a T

€

≅ 0 il potenziale chimico

€

µ si trova tra

€

εd e BC, in uno drogato per buche tra

€

εa e BV. Nel primo caso, assumendo per un momento che lo zero dell’energia si trovi sul fondo di BC, la densità di donori ionizzati è pari a quella totale per la probabilità che uno stato legato non sia occupato da un elettrone, cioè

€

Nd+ = Nd 1−

1

1+ exp εd − µkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=Nd

exp µ −εdkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +1

Se invece lo zero dell’energia è fissato come negli intrinseci in cima a BV, e si considera che a T ambiente e per drogaggio forte

€

n ≅ Nd+, ricordando l’espressione di n(T) si ottiene

€

n = NC expµ −ε gkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

Nd

expµ − (ε g −ε d )

kBT⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ +1

Qui l’unica incognita è

€

µ , che si può ricavare risolvendo con metodi numerici. Come detto, a basse T

€

µ si trova tra

€

εd e BC e vale l’approssimazione

€

n = NC expµ −ε gkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ≅ Nd exp

−(µ −ε g )kBT

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ exp

−ε dkBT⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

⇒ exp2(µ −ε g )kBT

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ≅

Nd

NC

exp −ε dkBT⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⇒ n ≅ (NCNd )

12 exp −ε d

2kBT⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Invece per

€

T >> εd /kB , a mano a mano che gli elettroni intrinseci aumentano,

€

µ scende verso la metà della gap e si dice che il semiconduttore drogato si trova in regime intrinseco. Un calcolo analogo per i drogati di tipo p fornisce, a bassa T,

€

p ≅ (NVNa )12 exp −εa

2kBT⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

LA GIUNZIONE p-n

La giunzione tra due semiconduttori con drogaggio opposto è alla base della maggior parte dei dispositivi elettronici a stato solido. Si può realizzare con diversi metodi di preparazione:

10

1. Crescita dal fuso. Il semiconduttore allo stato fuso nel crogiolo contiene Si e, ad es., 1014/cm3 donori di P. Il cristallo cresciuto intorno al seme, ed estratto dal crogiolo raffreddandolo gradualmente, cresce con tale concentrazione ed è drogato n. Poi la crescita viene arrestata e si aggiungono al fuso, ad es., 3x1014/cm3 accettori. Quindi si riprende la crescita e l’estrazione dal fuso. Perciò la metà inferiore del cristallo contiene 2x1014/cm3 accettori in eccesso, sufficienti a drogarla p.

2. Crescita epitassiale. Dalla fase liquida o di vapore si depositano su un substrato di Si prima Si+P, poi Si+Al. Poiché le costanti reticolari dei tre sistemi sono circa uguali, si forma un unico cristallo che contiene la giunzione p-n.

3. Diffusione. Un substrato di Si drogato n viene scaldato a 1000 °C in un forno contenente vapori di B. Il B penetra nella superficie esposta compensando i donori e creando un eccesso di accettori, per una profondità d che cresce nel tempo. A distanza d dalla superficie si crea la giunzione.

4. Impiantazione ionica. Un substrato di Si drogato p (o n) viene esposto a un flusso di ioni di drogante opposto, accelerati a una energia E che varia fra il keV e il MeV. La loro profondità di penetrazione, e quindi quella a cui si forma la giunzione, è regolata da E e dalla massa degli ioni.

LA GIUNZIONE p-n ALL’EQUILIBRIO

Per capire come funziona una giunzione, supponiamo di avere due semiconduttori drogati p e n, inizialmente separati, e di unirli idealmente in un secondo momento.

Lo schizzo in fig. 8 mostra come, mettendo a contatto i due semiconduttori, i portatori di maggioranza di una zona (ad es. le lacune del semic. p, aventi densità pp) migrino nell’altro, dove diventano portatori di minoranza (di densità pn). Qui in parte si ricombinano con i portatori di segno opposto, lasciando donori nudi nella zona n e accettori nudi nella zona p. Questo doppio strato crea alla giunzione una barriera di potenziale che cresce finché non è abbastanza alta da impedire la migrazione di altri portatori in entrambi i sensi. All’equilibrio, la sua altezza in energia è

€

eVc , dove

€

Vc si chiama potenziale di contatto. L’evoluzione del diagramma dell’energia è mostrato nella stessa fig. 8. In basso a sinistra c’è la situazione prima del contatto: il potenziale chimico

€

µ si trova presso BV dalla parte p e presso BC dalla parte n. All’equilibrio

€

µ deve essere uguale dalle due parti, come in tutti i sistemi termodinamici che permettono lo scambio di particelle; quindi si spostano “trascinando con sé” le bande, e creando tra le due BC e tra le due BV dei semiconduttori la barriera di altezza

€

eVc . Quella mostrata in fig. 8 è la situazione vista dagli elettroni; per ottenere quella vista dalle lacune è sufficiente effettuare una riflessione rispetto alla linea orizzontale di

€

µ .

fig. 8 zona di svuotamento

PRIMA DOPO

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La zona occupata dalla barriera, cioè dalle impurezze nude, si chiama zona di svuotamento perché all’equilibrio è priva di portatori. Le sue larghezze, dalla parte p e dalla parte n, sono rispettivamente dp e dn.

IL CALCOLO DI VC

Prima di arrivare all’equilibrio, la corrente che attraversa la barriera è la somma di due correnti. Prendendo ad es. gli elettroni, quella dovuta alla diffusione spontanea delle cariche è

€

jdiff = eD dndx

dove

€

D = µekBT /e (legge di Nernst-Einstein) è la costante di diffusione, x la direzione in cui

avviene la migrazione e

€

dndx

il gradiente di concentrazione. Quella dovuta al campo elettrico che si

va creando alla barriera è

€

jderiva = neµeE All’equilibrio la corrente totale è nulla. Dunque

€

jdiff + jderiva = µe neE + kBTdndx

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0⇒ E = −

kBTe1ndndx

€

Vc è il lavoro – cambiato di segno - fatto da E per portare una carica unitaria che si trovava a distanza infinita dalla barriera a distanza infinita dalla parte opposta, quindi

€

Vc = − Edx =kBTe−∞

+∞

∫ dnnn(−∞)

n(+∞)

∫ =kBTeln n(+∞)n(−∞)

Poiché

€

n(+∞) = nn ≅ Nd ; n(−∞) = np ≅ni

2

Na

€

Vc ≅kBTeln NaNd

ni2

Per il Si a 300 K, con drogaggi standard,

€

Vc ≅ 0,72 V . Altri parametri importanti sono: la vita media

€

τ delle cariche prima di ricombinarsi e la distanza media L che riescono a percorrere, chiamata lunghezza di diffusione. Esse sono legate dalla relazione

€

L ≈ 4Dτ .

LA ZONA DI SVUOTAMENTO

Calcoliamo lo spessore delle due zone di svuotamento dai lati n e p (ma spesso si considera un’unica zona di svuotamento formata dalla somma delle due parti) fissando a x = 0 l’interfaccia fisica tra i due semiconduttori e assumendo una densità di impurezze indipendente da x con

€

Na > Nd . La densità di carica è perciò (v. fig. 9)

€

ρ(x) = −eNa per - dp ≤ x ≤ 0ρ(x) = +eNd per 0 ≤ x ≤ dn

12

Per il teorema di Gauss

€

div E = − 4πρ(x)

ε. Integrando,

€

E(x) = −4πε

ρ(x)x

−d p

∫ dx = −4πeNa

ε(dp + x) (x ≤ 0)

E(x) = −4πε

ρ(x)x

dn

∫ dx = −4πeNd

ε(dn − x) (x ≥ 0)

fig. 9

Integrando di nuovo e prendendo lo zero del potenziale a sinistra, oltre

€

- dp , si ottiene

€

V (x) =V (−dp ) + E(x)dx = 0 − 4πeNa

ε(dp + x)dx

x

−d p

∫ = x

−d p

∫

€

= −4πeNa

εydy

d p +x

0

∫ =2πeNa

εdp + x( )

2 (x ≤ 0); e

€

V (x) =V (dn ) + E(x)dx =Vc −4πeNd

ε(dn − x)dx

x

dn

∫ = x

dn

∫

€

=Vc +4πeNd

εydy

dn −x

0

∫ =Vc −2πeNd

εdn − x( )2

(x > 0);

Per la continuità del campo elettrico all’interfaccia:

€

x→ 0+lim E(x) =

x→ 0−lim E(x),

si ricava

€

Nadp = Nddn ⇒dpdn

=Nd

Na

Le larghezze delle zone di svuotamento sono inversamente proporzionali ai drogaggi dei rispettivi semiconduttori. I loro valori si ottengono dalla continuità del potenziale

€

x→ 0+lim V (x) =

x→ 0−lim V (x) .

Di qui,

€

Vc =2πeNa

εdp( )

2+

2πeNd

εdn( )2

=2πeNa

εdnNd

Na

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

+2πeNd

εdn( )2

⇒

dn =εVc

2πeNd

Na

Na + Nd

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

12; dp =

εVc

2πeNa

Nd

Na + Nd

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

12

LA GIUNZIONE POLARIZZATA Va notato che la zona di svuotamento, essendo priva di cariche libere, è una regione di resistenza elettrica molto maggiore del resto del semiconduttore, da entrambe le

13

parti. Quindi la caduta di potenziale

€

Vc è quasi interamente al suo interno: la barriera è “ripida”. Ora, essa può venire abbassata applicandole (fig. 10) una d. d. p. V con il polo positivo sulla zona p (polarizzazione diretta della giunzione) o alzata applicandole una d. d. p. con il polo positivo sulla zona n (polarizzazione inversa). Il sistema non è più in equilibrio e

€

µ non è più lo stesso dalle due parti. All’equilibrio (V=0), la corrente che attraversa la giunzione è

€

I ≅ 0 perché solo i portatori di minoranza dalle due parti possono superare la barriera (che li accelera come fig. 10 su un piano inclinato). In polarizzazione diretta la probabilità di superare la barriera, e quindi la corrente, è data da una legge alla Boltzmann:

€

I ∝ exp[−e(Vc −V ) /kBT]∝ exp(eV /kBT) dove il secondo passaggio vale non appena V supera un paio di volt. In polarizzazione inversa, analogamente,

€

I ∝ exp(eV /kBT) dove però V<0 e quindi I è molto piccola. Queste tre situazioni si possono riassumere nella legge di Shockley (uno degli inventori del transistor), che vale per qualunque valore di V:

€

I = I0[exp(eV /kBT) −1] dove

€

I0 è la piccola corrente dei portatori di minoranza in polarizzazione inversa. La legge è graficata nella fig. 11. I

€

I0 V fig. 11