Interazione Radiazione - Materia

2.1 Richiami sulla teoria del corpo nero [1]

Consideriamo una cavità riempita di un mezzo dielettrico omogeneo isotropo. Se le pareti di questa cavità sono mantenute ad una temperatura costante T, esse emetteranno energia sotto forma di radiazioni elettromagnetiche. Si stabi­lizzerà quindi nel mezzo dielettrico interno una certa distribuzione di energia. Si raggiunge una condizione di equilibrio quando le pareti interne delia cavità assorbono nel l 'uni tà di tempo una quant i tà di energia radiante pari a quella che esse emettono. È possibile caratterizzare questa situazione introducendo la fun­zione « d e n s i t à di energia » che rappresenta l'energia elettromagnetica contenuta nel l 'uni tà di volume della cavità. Poiché si tratta di radiazioni elettromagnetiche la densi tà di energia sarà esprimibile in funzione dell'ampiezza del campo elet­trico E e dell'ampiezza del campo magnetico lì secondo la ben nota formula:

Q = \eE* + \nW, (2.1)

dove e e u, sono rispettivamente la costante dielettrica e la pe imeabi l i tà magnetica all ' interno della cavità.

Rappresenteremo la distribuzione spettrale di energia di questa radiazione mediar..i la funzione QV funzione della frequenza v. Essa è definita nel seguente modo ' or • eh rappresenta la frazione di densità di energia elettromagnetica con

12 INTERAZIONE RADI AZIONE-MATERIA [CAP. 2

frequenza compresa fra v e v - f dv. I l legame fra (. e g, è evidentemente

o •-• i o*« (2.1a) J o

Si p u ò dimostrare che la distribuzione spettrale dell'energia gr è una funzione universale che dipende solo dalla frequenza v e temperatura T della cavi tà , mentre è del tut to indipendente dalla natura delle pareti e dalla forma della cavi tà stessa. La dimostrazione di questa p ropr ie tà della g, p u ò essere effettuata mediarne un semplice ragionamento termodinamico. Supponiamo di avere due cavi tà qualsiasi con pareti alla stessa temperatura T. Per essere sicuri che la temperatura rimanga costante possiamo immaginare le pareti delle due. cavi tà in collegamento con due termostati a temperatura T. Supponiamo che ad una certa frequenza v la dens i tà di energia g' nella prima cavi tà sia superiore a quella g'r della seconda cavità . Colleghiamo ora energeticamente ie due cavi tà praticando due aperture in esse e focalizzando, con un opportuno sistema ott ico, un'apertura sull 'altra. Nel sistema ottico inseriamo anche un filtro ideale che faccia passare una banda molto stretta di frequenze intorno alla frequenza v. Se g\. > o'r ci sarà un flusso d i energia e.m. da 1 a 2. Tale flusso è però in contrasto col secondo principio della termodinamica essendo le due cavità alla stessa temperatura. Perc iò d o v r à essere Q'V — a qualsiasi frequenza.

Il problema della determinazione di tale funzione universale g (v, T) ha assillato per lungo tempo i fisici dell'epoca. La sua soluzione completa è dovuta a Planck i l quale dovette introdurre per risolvere correttamente i l problema la così detta ipotesi dei quanti di luce. La teoria del corpo nero 6 pertanto una delle basi fondamentali della fisica moderna.

/ t

/ / A / / j

2 a

L •

— d z

Fig. 2.1 . -Cavi tà a forma di parailelepipc-'o con pareti perfettamente conduttrici e a temperatura T.

D a l momento che la fun i ; me g, non dipende dalla forma della cavi tà e dalla natura dei materiate dentro contenuto noi considereremo per sempl ic i tà

2.1] R I C H I A M I S U L L A TEORIA D E L CORPO N E R O 13

una cavi tà a forma di parallelepipedo (Fig. 2.1) con pareti perfettamente condut­t r i c i , e riempito uniformemente di un dielettrico.

Per risolvere i i nostro problema cominciamo col vedere quali distribuzioni di campo e.m. possano sussistere in tale cavità. In base alle equazioni di Max­well i l campo elettrico E (x. y, z, t) deve soddisfare alla equazione delie onde

] 5 2 E

7 « K — - r - T S i — o , (2-2)

dove y 2 — > V ' 2 è l'operatore di Laplace e c è la velocità di propagazione delle on­de elettromagnetiche nel mezzo considerato. Alla precedente equazione va as­sociata la condizione al contorno (per ciascuna parete)

E A n = 0, (2.3)

dove n è i l versore ortogonale alla parete in esame. Tale condizione esprime l 'an­nullarsi della componente tangenziale del campo elettrico sulle pareti della cavità .

Si p u ò facilmente verificare che il problema ammette una separazione di variabil i . Ponendo infatti

E = u (x, y, z) A (!) (2.4)

e sostituendo la (2.4; nella (2.2) si ha

/ v 2 u = - - A - 2 u (2.5o)

V. di* --(ck)'A. (2.5b)

dove k è una generica costante.

L'equazione (2.5,6) ammette l'integrale generale

A — Ào sin (ai! + (p) (2.6)

dove Ao e <p sono costanti arbitrarie e

co = kc. (2.7)

Occorrerà pertanto risolvere ora "equazione (2.Sa), detta equazione di Helmotz, con le condizioni al contorno date dalla (2.3). Si definisce come « modo » di una cavità una soluzione del tipo (2.4). Essa conrisponde ad. una configurazione spaziale stazionaria di campo e.m. nella cavità. Per una tale soluzione l'ampiezza massima di oscillazione di un dato punto della cavità è costante nel tempo.

1 4 INTERAZIONE RADIAZIONE-MATERIA [CAP. 2

Per q u a n t o r iguarda la pa r te spaziale u (x, y, z) è i m m e d i a t o verificare che la seguente espress ione

| ux — e% cos kxX sin À'y.v sin Ar̂ z < Wj,- = ev sin fcx.v cos A-.yysin À-tz (2.8) («2 — t?£ sin kxx sin fcyy cos ktz

soddisfa l ' e q u a z i o n e (2.5a) q u a l u n q u e s iano e * , e y , ez purché

kl + k\ k\ kì. (2.9) I n o l t r e la so luz ione (2.8) soddisfa già La condiz ione (2.3) sui t re p iani x — 0, V = 0, z — 0. I m p o n e n d o che ta le condiz ione sia a n c h e sodd i s fa t t a sulle altre t re pare t i del pa ra l l e lep ipedo si ha che

/ * , - - i f _ l 3 la } , m TI

! k _ (2.10) i 2 a

d o v e /, ni e « sono numeri interi positivi a rb i t rar i . Il lo ro significato fisico è im­m e d i a t o : essi r a p p r e s e n t a n o il n u m e r o di ventri che l ' o n d a s taz ionar ia in ques t ione p resen ta l ungo le direzioni x, y. z r i spe t t ivamente . F issa ta la t e rna /. m e n r iman­g o n o de te rmina t i kx , k„, e kz . e quindi , in base alle (2.7) e (2,9) a n c h e la fre­quenza (a del m o d o :

(2.11)

dove si è indica to espl ic i tamente che la frequenza d ipende dagli indici /, ni e n. Il m o d o non è tu t t av ia anco ra ind iv idua to , essendo arb i t ra r i ex , ey e ez. Tu t ­tavia , u n ' a l t r a cond iz ione cui deve soddisfare il c a m p o elet t r ico, conseguenza a n c h ' e s s a delle equaz ioni di Maxwel l , è div u — 0 da cui, con l 'ausi l io della (2.8), si o t t iene

c - k = 0 , (2.12)

dove sono stati definiti due vettori e e k tali che le loro c o m p o n e n t i s iano r ispet-t ' v a m e n t e (ex , ev , e:) e (kx . ky , k-). La (2.12) mos t ra che, dei tre vettori c% , • y , ez d u e soli s o n o ind ipendent i . Infat t i , fissata la terna /, in, n c ioè fissato k, .1 ve t tore e deve giacere in un p i a n o o r togona le a k. In ques to p i a n o r i m a n g o n o qu ind i due gradi di l ibertà nella scelta del vet tore e, cui c o r r i s p o n d o n o due modi

2.1] R I C H I A M I S U L L A TEORIA D E L CORPO N E R O 15

distinti della cavità. Qualsiasi altro vettore c che giaccia in quel piano p u ò essere infatti ottenuto come combinazione lineare dei due vettori precedenti.

Ci proponiamo ora di calcolare i l numero di modi Nv r isonanti nella cavi tà e di frequenza compresa fra 0 e v. Essi saranno pari al numero di modi il cui vet­tore d'onda k abbia modulo k compreso fra 0 e 2 n vie. Dalie (2.10) si deduce, che. in un sistema di assi cartesiani di coordinate ks., ky , kz, i valori possibili per k sono rappresentati dai vettori congiungenti l 'origine coi punt i nod.ali dei reticolo rappresentato in Fig. 2.2. C 'è quindi un'ovvia corrispondenza biunivoca fra tali punti e i valori possibili di k. Dato che, come si è già detto, ad ogni k corrispon­dono due modi .d is t in t i c risonanti nella cavità, i l numero d i modi A'"» con fre­quenza compresa fra 0 e v sarà pari al doppio del numero di punt i nodali compresi entro la sfera di centro nell 'origine e raggio 1n,vjc. Tale numero è poi espresso dal rapporto fra 1/8 de) volume della sfera (giacché kx , ky , kz sono quan t i t à essen­zialmente positive e dobbiamo limitare le nostre considerazioni ai punti del re­ticolo di figura che cadono nell'ottante positivo! e il volume della celletta ele­mentare di lati nlla, -illa. Tijd rispettivamente. Quindi :

Fio. 2.2 - Rappresentazione grafica dei modi di oscillazione della cavità di Fig. 2.!. Ogni nodo del reticolo, rappresenta due modi delia cavità.

16 INTERAZIONE RADIAZIONE-MATERIA [CAP. 2

1 4 il TI Ì 8 3 V e I 8TI»-3 Nv = 2 — - • - -« ' . (2.13)

71

la la d dove V è il volume totale della cavità parallelepipeda. Se si indica ora con p (v) il numero di modi per unità di volume e per unità di intervallo di frequenze, si ha

1 <W 8*v2 . . . . .

( ,.j = - - - - - = — . 2.14) Calcoliamo ora l'energia media associata a ciascuno dei modi risonanti nella

cavità. Per tale scopo ammettiamo che la temperatura delie pareti della cavità sia 7". Secondo la statistica di Boltzmann la probabilità dp che l'energia di un certo modo della cavità sia compresa fra E ed E + dE è data da dp — = c exp — (EjkT) dE. dove c. è una costante. L'energia media E del modo vale quindi

CE exp [— (EjkT)] dE -:

É = "-- - - = kT, (2.15) f^exp [— (EikT)] Ì.E Jo

La densità di energia ov si ottiene quindi moltiplicando il numero di modi per unità di volume e per unità di frequenza p(v) per l'energia media 7: di ciascun modo. Quindi

= (^p}kr. (2.16) Qv

È questa la formula classica di irraggiamento di Rayleigh-Jeans. Essa è però completamente in disaccordo con i risultati sperimentali. D 'a l t ra parte si vede subito che la (2.16) è ovviamente sbagliata: in base ad essa la densità di energia totale o [v, (2.la)] , sarebbe infinita. Tuttavia l 'eq. (2.16) è quanto si riesca ad ottenere mediante le precedenti considerazioni classiche.

11 problema rimase a lungo insoluto finche, agli inizi del secolo, .Planck non introdusse l'ipotesi dei quanti o fotoni di luce. L'ipotesi fondamentale di Planck fu che l'energia E di un determinato modo della cavità non potesse avere un qualsiasi valore, variando con continuità, da 0 a co [come implicitamente ammesso per 'o t tenere la (2,15)] ma che essa dovesse variare di multipli di una quanti tà fondamentale proporzionale alla frequenza v del modo. In parole più brevi Planck ammise che l'energia del modo potesse essere scritta come E — nhv, dove n è un intero positivo ed h una costante (detta poi costante di Planck). Senza entrare in troppi dettagli su questa ipotesi fondamentale, facciamo notare che essa implica essenzialmente uno scambio di energia fra l ' interno delia cavità

2.2] EMISSIONE ED ASSORBIMENTO STIMOLATI 17

e le pareti, p e r q u a n t i t à discrete h v. Ta le quan t i t à m i n i m a che in te rv iene nel lo s c a m b i o (cioè che- viene emessa o assorbi ta dalla cav i tà ) è c h i a m a t a fo tone o q u a n t o di luce. So t t o tale ipotesi l ' energia media del. m o d o vaie

T nhvexp [ -(nhvikT)] ~P __o^ _ = _ _ lìV n \i\

« , exp .(/ir/fcJ),- 1 ' ' > exp [— (nhvjkT)] y '

Tale, fo rmula differisce sos tanz ia lmente dal r i su l ta to classico (2.15). Ovvia­mente per hv—>Q la (2.17) si r iduce alla (2.15). Dal le (2.14) e (2.17) si o t t iene o ra la fo rmula di P l a n c k :

8 n vl hv »u = — o (2.18)

c3 txp(hvjkT)— 1 la qua l e r i su l ta in perfet to a cco rdo con i risultali sper imenta l i a pa t to di scegliere h = 6,62 • IO-3'* Jou le • sec.

N o t i a m o infine che il r a p p o r t o

(2.19) hv e x p ( / n # i " ) — 1

fornisce il va lore per il n u m e r o med io q di fotoni per m o d o . Se si cons idera u n a f requenza v nel c a m p o ot t ico ( ~ 4 • IO14 Hz) si ha hv ~ 1 eV. Per T n 300 °K si ha poi kT — (1/40) eV, per cui dal ia (2.19) q = exp (—40).-' Si vede d u n q u e che il n inne rò med io di fotoni per m o d o , per radiazione di co rpo nero a t e m p e r a t u r a ambien te , è e s t r emamen te piccolo r ispet to a l l 'un i tà . Ques to va lore a n d r e b b e p a r a g o n a t o col n u m e r o di fotoni g0 ottenibili in una cavi tà laser su un solo m o d o (v. ad es. Fig. 5.10).

La (2.18) p u ò essere anche scrit ta in termini della funzione ga definita in m a n i e r a tale che ga dea r appresen ta la densi tà di energ ia c o n f requenza c o m p r e s a fra co e « + do>... P o n e n d o Qm dia — gr dv, si o t t iene dalla (2.18)

o„ 4 i ' 2 hio , „ . 0 = _ i _ ^ _ - — _ (2 . i Sa)

In c- [ e x p ( h i a j k T )—1 ] dove si e pos io , seguendo una convenz ione mol to diffusa, fi = A/2jt.

In Fig. 2.3 sono r iportat i gli andamen t i della o.. in funzione della f requenza per due valori della t empera tu ra .

2.2 Emissione ed assorbimento stimolati

L o scopo di questo paragrafo è di calcolare le p robab i l i t à W\% e Wa rispet­tivamente di assorbimento e di emissione stimolata, essendo W\->_ e Wu definiti dalle Eq. (1.5) e (1.3). I l calcolo ve r rà effettuato utilizzando la così, detta tratta­zione semiclassica del problema interazione radiazione-materia. I n tale trattazione, i l sistema atomico è supposto quantizzato (e quindi lo si studia con l 'ausilio della meccàn ica quantistica) mentre i l campo e.m. dell 'onda incidente viene studiato classicamente (cioè utilizzando le equazioni di Maxwel l ) .

Studiamo dapprima il fenomeno dell 'assorbimento. A tale scopo conside­riamo i l solito sistema a due livelli e indichiamo con fi = ui e x p — (i Ex ifh) e fz = uz exp— ( i £ g tfK) rispettivamente le autofunzioni dei due stati (Fig. 2.4).

_ !Ì2 ' ; ' 2 = U 2 e fl

Fra. 2.4 - Sistema a due livelli i n esame.