CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI

FUNZIONI CONTINUE

DEFINIZIONE: Una funzione di equazione y = f(x), definita in un intorno di x0, si dice continua nel punto x0 quando esiste il limite della funzione per x che tende ad x0 e questo limite è uguale al valore della funzione in quel punto, cioè quando:

lim f(x) = f(x0) x x0

Ricordando la definizione di limite possiamo dire che la funzione f(x) è continua nel punto x =x0 quando, considerato un numero positivo arbitrariamente piccolo, è possibile trovare un intorno di x0 per tutti i punti del quale, compreso x0, si abbia:

f(x) – f(x0) < ovvero f(x0) - < f(x) < f(x0) +

FUNZIONI CONTINUEPertanto dalla definizione si deduce che una funzione f(x) è continua

in un punto x0 quando sono verificate le seguenti condizioni:

esiste il valore della funzione nel punto x0;

esiste ed è finito il limite della unzione per x x0;

il limite della funzione per x x0 coincide con il valore della funzione nel punto x0.

NOTA

Una funzione si dice continua a sinistra in x0 se lim f(x) = f(x0)

x x0-

Una funzione si dice continua a destra in x0 se lim f(x) = f(x0)

x x0+

DEFINIZIONE: Una funzione f(x) è continua in un intervallo I se è continua in

tutti i punti dell’intervallo.

FUNZIONI CONTINUE X R

y = k y = x y = con n dispari y = ax (a > 0) y = senx y = cosx y = arctgx y = arcctgx

n x

FUNZIONI CONTINUELa funzione: y = con n pari è continua per x 0 y = logax (a > 0, a 1) è continua per x > 0 y = tgx è continua per x /2 + k y = cotgx è continua per x k

DEFINIZIONE: Abbiamo visto che una funzione y = f(x) è continua in

un punto x = x0 se sono verificate contemporaneamente tre condizioni.Quando anche solo una delle tre condizioni non è verificata, allora in

tale punto la funzione è discontinua e x = x0 viene detto punto di discontinuità per la funzione (o punto singolare).

n x

y = ax , a > 1

y = ax , 0 < a < 1

y = xy = k

k

n xy =

con n = 3

y = senxy = cosx

y = arctgx y = arccotgx

con n = 2 con a > 1

con 0 < a < 1

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO

DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE

Si dice che nel punto x = x0 la funzione y = f(x) presenta una discontinuità di prima specie quando esistono finiti i limiti dalla destra e dalla sinistra per x x0 della funzione, ma sono DIVERSI tra loro (a prescindere dall’eventuale valore della f(x) in x = x0) , cioè

lim f(x) lim f(x)

x x0- x x0

+

Si dice che nel punto x = x0 la funzione presenta un salto.

ESEMPIO 1

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO

DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE

Si dice che nel punto x = x0 la funzione y = f(x) presenta una discontinuità di seconda specie quando non esiste o non esiste finito , uno almeno dei due limiti dalla destra o dalla sinistra di x0.

ESEMPIO 2

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO

DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE Si dice che nel punto x = x0 la funzione y = f(x) presenta una

discontinuità di terza specie (o discontinuità eliminabile) quando esiste ed è finito il limite per x x0 di f(x), ma f(x0) non esiste o è diverso dal valore del limite.

ESEMPIO 3

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO

ESEMPIO 1

f(x) = x/x funzione definita per x 0.

f(0) non esiste, pertanto la funzione non è continua nel punto 0.

lim f(x) = lim x/(- x) = - 1

x 0- x 0-

lim f(x) = lim x/x = 1 x 0+ x 0+

I limiti sono diversi quindi si tratta di una discontinuità di prima specie.

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO

ESEMPIO 2 f(x) = sen(1/x) funzione definita per x 0.

lim sen(1/x) non esiste x 0-

lim sen(1/x) non esiste x 0+

I limiti non esistono quindi si tratta di una discontinuità di seconda specie.

OSSERVAZIONE: i limiti non esistono perché quando x tende a zero l’espressione 1/x tende all’infinito e il valore del seno continua ad oscillare fra – 1 e 1 senza ammettere limite.

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO

ESEMPIO 3 f(x) = senx/x Per x = 0 la funzione non esiste, ma

lim senx/x = lim senx/x = 1 x 0+ x 0-

pertanto è una discontinuità di terza specie. Si tratta quindi di una discontinuità eliminabile. Per eliminare tale discontinuità occorre definire la funzione in maniera diversa, ad esempio ponendo:

senx/x per x 0 f*(x) = 1 per x = 0

La funzione f*(x) è continua in R.

TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE

TEOREMA Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato a; b e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora

esiste almeno un punto x0 , interno ad a; b, in cui è f(x0) = 0.

TEOREMA Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato a; b, allora essa assume, in tale intervallo, un valore minimo e un valore

massimo.

TEOREMA Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato a; b, allora essa assume, in tale intervallo, tutti i valori compresi tra il

minimo e il massimo.