Condizioni di ristagno allo scarico del rotore Lez. 20 ...

Analisi dello Stadio Singolo di Turbina Assiale a Reazione Analisi del condotto fisso (schiera statorica) Analisi del condotto

Condizioni di ristagno allo scarico del rotore

Lez. 20: Turbine ad azione

Sunday, July 12, 15


Lavoro di turbina ad impulso

Si consideri un triangolo delle velocita generico per una turbina ad impulso (grado direazione: Λ = 0):

W2 = KRW2s = KRW1

e definito un rapporto caratteristico

X := U/Cu1

si vuole determinare il valore X tale da massimizzare il lavoro fornito dallo stadio;

Cu2 = U − W2 cosβ′

2 = U − KRW1 cosβ′

2 = U − KR

(Cu1 − U

) cosβ′

2

cosβ1

e il lavoro si scrive come

L = −W = U(Cu1 − Cu2

)= U

(Cu1 − U

)

(

1 + KRcosβ

′

2

cosβ1

)

NB: β′

2 - β2 e la variazione di angolo necessaria a riportare la velocita allo scarico indirezione assiale tenendo in conto dell’effetto delle perdite

NB: la condizione W2 < W1 comporta una riduzione della velocita meridiana; per

contrastare questa riduzione, si puo assegnare un certo grado di divergenza (da b1 a b2)

al canale palare nel piano meridiano

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Definizione angoli palettaggi

Definizione angoli palettaggi

Lo studente dovra, nel corso dello studio di testi diversi e di diversa epoca,porre sempre attenzione a come sono definiti gli angoli dei triangoli di velocita

Consideriamo il triangolo rettangolo formato ad esempio dal vettore velocitaassoluta, C, dalla sua proiezione in direzione circonferenziale, Cu, e da quellain direzione assiale, Ca.

Per definire univocamente un triangolo rettangolo basta un solo angolo, datoche un angolo per definizione vale π/2, e l’altro e il complentare del primo.Percio come angolo di riferimento α si puo considerare indifferentemente:

αa: l’angolo compreso fra C e Ca

αu: l’angolo compreso fra C e Cu

Ovviamente,αa + αu = π/2

Similmente si procede per gli angoli di tipo β per le velocita relative

Finora nella trattazione della materia, si sono utilizati gli angoli di tipo αa,βa.

Nel seguito di questa lezione saranno impiegati gli angoli di tipo αu, βu.

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Velocita periferica ottimale


Il lavoro di stadio di turbina in termini adimensionali si puo scrivere come:

L

C2u1

= X (1−X)

(

1 +KRcos β

′

2

cos β1

)

Perdite costanti (KR = cost): illavoro adimensionale descrive unaparabola il cui massimo si registraper X = 1

2.

Perdite variabili: KR diminuisce conla deviazione ∆β = |β1 − β

′

2|, ovveroall’aumentare di X; ne consegue cheper una turbina monostadio adazione si preferisce un valore di Xleggermente superiore a 0.5, in mododa ridurre ∆β

Figure: Rendimento in funzione di X

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Lavoro adimensionale ottimo di turbina ad impulso

Lavoro adimensionale ottimo di turbina ad impulso

Dall’analisi condotta il valore ottimale di velocita U e pari alla meta della velocitain ingresso Cu1 ; per questa scelta, il valore massimo del lavoro e

Lmax ≃ U2 (1 +KR) ≤ 2U2

ossia in termini adimensionali ψ = L/U2 ≤ 2: se consideriamo la geometria deldistributore fissata (in termini di α1) allora

Uott =1

2C1 cosα1

con C1 funzione del salto entalpico disponibile e realizzato nel distributore, equindi:

Lmax ≤ 2U2 =C2

1

2cos2 α1

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Criteri per la massimizzazione del lavoro

Criteri per la massimizzazione del lavoro

La conservazione dell’entalpia totale attraverso lo statore consente di scrivere:

h00 = h1 +

C21

2= h1s +

C21,s

2

Qunidi l’energia cinetica in uscita dal distributore puo essere espressa come

C21

2= h0

0 − h1 = h00 −

(

h1s +C2

1s

2−

C21

2

)

=(

h00 − h1s

)

−C2

1s

2

(

1 − K2N

)

Il lavoro puo essere visto come somma del lavoro ideale al netto delle perdite neldistributore, nella girante, e allo scarico

L =C2

1

2−

C22

2+

W 22

2−

W 21

2=(

h00 − h1s

)

−C2

1s

2

(

1 − K2N

)

︸︷︷︸

RN

−W 2

1

2

(

1 − K2R

)

︸︷︷︸

RR

−C2

2

2︸︷︷︸

Rscar

per massimizzare il lavoro occorre: (i) minimizzare le perdite nei condotti fissi e mobili,

(ii) mantenere bassa la velocita nei condotti della girante (bassa W1 ovvero, a pari C1,

aumentare U), (iii) bassa velocita allo scarico (scarico assiale).

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Rendimento periferico

Rendimento periferico

Il rendimento periferico di una turbina ad impulso (di tipo ”total-to static”) siscrive come:

ηp :=L

h00 − h1s

= 1−RN + RR +Rscar

h00 − h1s

che sostituendo le relazioni viste in precedenza diviene:

ηp =L

C21s2

=

C2u1

X (1−X)

(

1 +KRcos β

′

2cos β1

)

C2u1

2K2N

cos2 α1

= X (1−X)

(

1 +KRcos β

′

2

cos β1

)

2K2N cos2 α1

che mostra, data la dipendenza di KN e KR da X, un massimo spostato perX > 1

2 e che diminuisce con α (visto che aumenta la deviazione della correntenella girante).

Figure: Rendimento periferico in funzione di X

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Rendimento turbina

Rendimento turbina

Il rendimento complessivo della turbina deve tenere conto anche delle perdite perattrito e ventilazione (quest’ultime proporzionali all’area del disco girante)

ηturb =L− (RN + RR +Rscar)− Rattr+Rvent

m

h00 − h1s

= ηp −∆η

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Compensazione perdite tramite aumento grado di reazione

Compensazione perdite tramite aumento grado di reazione

Ancora nel caso di macchine ad azione e possibile avere, con palettaggileggermente divergenti, un grado di reazione cinematico nullo ed uno scaricoassiale: aumentando pero la velocita W2s necessaria aumentano le perdite ma ilrendimento e complessivamente migliore. Visto che χ > 0 e quindi

p2 < p1,

vista la conservazione della portata tra l’ingresso e l’uscita

m = ρ1W1A1 = ρ2W2A2

si ricava che il rapporto tra le aree sara

A2

A1=ρ1ρ2

1

KR> 1

e supponendo che A = hb e h1 = h2 allora

b2 > b1

e la sezione longitudinale deve essere leggermente divergente.

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Limiti prestazionali del singolo stadio ad azione

Limiti prestazionali del singolo stadio ad azione

Il rotore della turbina e sottoposto a due diversi tipi di sollecitazioni meccaniche

forze aerodinamiche non costanti dovute al campo di pressioni del fluido;

forze di inerzia che in un regime di funzionamento costante sono costanti;

Lo sforzo di trazione σ ammissibile e determinato in base alla temperatura diesercizio una volta scelto il materiale con cui sono realizzate le paletteSi dimostra che la sollecitazione massima che viene esercitata per una certaconfigurazione e proporzionale alla velocita periferica della paletta

σmax ∝ U2

calcolata al diametro medio; esiste quindi un valore massimo di velocita perifericautilizzabile che dipende dal materiale e che e dell’ordine di 300÷ 350 [m/s].Il lavoro massimo ricavabile da una turbina ad azione a stadio singolo sara quindilimitato superiormente

Lmax ≤ 2U2max = 245.000 [m2/s2]

e quindi il massimo salto entalpico sfruttabile, con un rendimento tipico di 0.8 sara

∆hmax =Lmax

ηp≃ 306.000 [m2/s2]

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Tecniche per superare i limiti prestazionali del singolo stadio ad azione

Tecniche per superare i limiti prestazionali del singolo stadio ad azione

Il salto entalpico puo essere anche espresso come

h00 − h1s =

C21s

2=

C21

2K2N

=1

2K2N

U2

cos2 α1

1

X2

Allora per sfruttare l’intero salto entalpico disponibile si hanno due opzioni:

1 aumentare l’angolo α1 ma questo comporta aumento della velocita C1 equindi perdite nello statore e quindi minore rendimento, ecc. . . ;

2 diminuire X ma si lavora cosı in condizioni di basso rendimento, minor lavoroe U ma, a parita di potenza all’albero che deve essere fornita, maggiore deveessere la portata che evolve nella turbina e quindi minore e l’impulso specificodella stessa.

oppure si puo considerare una diversa architettura della turbina ad azione:

Turbina a salti di velocita (Curtiss)

Turbina a salti di pressione (Parsons): turbina pluri-stadio

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Turbina ad azione a salti di velocita (Curtiss)

Turbina ad azione a salti di velocita (Curtiss)

Per macchine a prestazioni piu elevate si possono utilizzare turbine a salti divelocita ove ad un primo stadio del tutto identico a quello della turbina a singolostadio, si fa seguire uno o piu stadi ove la pressione rimane costante e il flussoviene solamente deviato (almeno nel caso ideale) di stadio in stadio.Nel caso in figura e stato preso Cu1 = 4U : si vedra che questa e la soluzionemigliore per un sistema bistadio; il lavoro estratto sara

L = LI + LII = U (Cu1 − Cu2 ) + U (Cu3 − Cu4 ) = 8U2

che a parita di salto di pressione (legato al salto entalpico disponibile) e pari U(funzione del materiale) e di quattro volte superiore al lavoro ottenibile dal singolostadio.

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Perdite in Turbina ad azione a salti di velocita

Perdite in Turbina ad azione a salti di velocita

Considerando ora il caso reale con le perdite KR e KN dalle relazioni trovate perla macchina monostadio e adattate alla bistadio si ha:

C21

2=(h00 − h1s

)−(1−K2

dist

)(h0 − h1s)

e il lavoro sara possibile scriverlo come somma del salto entalpico ideale (per ilrapporto di espansione dato) e delle perdite

L = LI + LII =

[

C21−C2

22 − W2

12

(1−K2

I

)]

+

[

C23−C2

42 − w2

32

(1 +K2

II

)]

=

=(

h00 − h1s

)

︸︷︷︸

salto ideale

−(

1 +K2dist

) (

h00 − h1s

)

︸︷︷︸

Rdistr

−w2

1

2

(

1 +K2I

)

︸︷︷︸

RI

+C2

2

2

(

1−K2radd

)

︸︷︷︸

Rradd

−w2

3

2

(

1−K2II

︸︷︷

RII

mentre il rendimento

ηp = 1−∑

i Ri

h00 − h1s

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Valore ottimale di X per Turbina a Z salti di velocita

Valore ottimale di X per Turbina a Z salti di velocita

Si dimostra che per una macchina con Z stadi il valore ottimale di X e

Xott =U

Cu1

=1

2Z

e il lavoro massimoLmax = 2Z2U2

Ne segue che per una macchina a salti di velocita:

il lavoro specifico alla portata aumenta da 2U2 a 2Z2 U2;

il salto entalpico sfruttabile puo, a parita di velocita tangenziale aumentarenella stessa proporzione (Z2 volte);

la velocita periferica ottimale si riduce di un fattore Z

le perdite aumentano con conseguente diminuzione del rendimento perche:l’angolo di deviazione per la prima girante aumenta con aumento delle perditesi devono aggiungere le perdite della giranti successive alla prima

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Rendimento Turbina ad azione a salti di velocita

Rendimento Turbina ad azione a salti di velocita

Il rapporto dei rendimenti fra una macchina a Z stadi e quella a stadio singolosoddisfa la:

ηZpηp

< 1

aumento del modulo di W1 e quindi delle perdite per attrito nel rotore;

aumento della deviazione ∆β e quindi diminuzione di KR.

Ne segue dunque che il rendimento, all’aumentare del numero di stadi, diminuiscee diminuisce il valore di Xott: le caratteristiche del sistema nel suo complesso,l’accoppiamento con la pompa e le esigenze strutturali saranno quelle che,stabilendo il valore di X, porteranno alla scelta del numero di stadi.

Figure: Zott al variare di X

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Turbina ad azione a salti di pressione (Parsons)

Turbina ad azione a salti di pressione (Parsons)

La turbina a salti di pressione e ottenuta mediante la successione di piu stadisemplici con l’espansione totale ripartita tra piu statori; questa architettura hadiversi aspetti da analizzare:

visto che la velocita di uscita dal rotore C(i)2 dello stadio i-esimo che compone

la turbina viene utilizzata nello stadio i+ 1− esimo risulta corretto utilizzareil rendimento ”total-to-total”, ηtt, anziche ”total-to-static”, ηts, e le perditeallo scarico dell’ultimo stadio saranno accorpate alla perdite per ventilazione;

sempre per la ragione sopra vista il fattore di recupero e superiore allaturbina a salti di velocita;

nell’ipotesi che

1 vi sia un solo albero a velocita angolare ω dove sono calettati tutti i rotori;2 il diametro medio sia costante lungo la macchina;3 i triangoli di velocita siano gli stessi per tutti gli stadi

allora il salto entalpico del singolo stadio diviene una frazione del saltoentalpico totale

∆h0Z =

∆h0

Z

il che puo comportare un rapporto di espansione ridotto al di sotto del valorecritico, ovvero un flusso allo sacrico dello statore subsonico, ed inoltre ilrendimento di stadio ηZtt risulta identico per tutti gli stadi;

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Si puo dimostatre che, nelle ipotesi sopra fatte, il valore ottimo di X per ilsingolo stadio vale

XZott =

1

2

che implica una riduzione delle velocita periferiche, per un prefissato ∆h0

fissato, in proporzione della radice del numero di salti Z

UZott =

Cu1

2=

C1 cosα1

2= KN

C1s cosα1

2=

K1

2cosα1

√

2∆h0

Z=

UZ=1ott√Z

se invece fissiamo, per limiti strutturali ad esempio, UZmax, allora il salto

entalpico e funzione lineare di Z

la presenza di piu stadi statorici ove si realizza una espansione del gas portaalla necessita di tenute che evitino by-pass della schiera di palettaggi

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Aumento componente assiale

Aumento componente assiale

L’espansione distribuita nei vari stadi comporta ad una diminuzione delladensita del gas attraverso la macchina

la progettazione di una turbina a velocita assiale costante porterebbe quindiad un aumento dell’altezza delle palette troppo grande (di gran lungasuperiore all’aumento dovuto alle perdite per attrito per le turbine a salto divelocita) e quindi a pale svergolate con grado di reazione variabile con il raggio

Si considera allora, a∣∣∣C1

∣∣∣ costante, una diminuzione di α1 con conseguente

aumento della componente assiale; conseguenza marginale e la ripartizionenon piu uniforme del salto entalpico tra i diversi stadi.

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Rendimento Turbina ad azione a salti di pressione

Rendimento Turbina ad azione a salti di pressione

Si puo dimostrare che il rendimento di una turbina a salti di pressione si scrivecome:

ηtt =2K2

N cos2 α1X (1−X) (1 +KR)

1−K2N

{

K2R +X cos2 α1

[

(1 +KR)2 X − 2KR (1 +KR)]}

Rispetto alla turbina a salti di velocita, il rendimento si presenta maggiore e conun andamento piu piatto nell’intorno del massimo; ancora una volta, considerandoanche le perdite per ventilazione (proporzionali ad U) il massimo si sposta ad Xinferiori rispetto al Xott dell’analisi fluidodinamica ed inoltre la cifra di pressione(che e inversamente proporzionale a U2) risulta superiore a bassi X.

Figure: Confronto tra ηtt e ηts in funzione di X

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