Capitolo 1

Concetti fondamentali di

gasdinamica

La gasdinamica studia il moto dei fluidi compressibili, cioe di quei fluidi neiquali le variazioni di pressione, dovute al moto, generano variazioni di densitanon trascurabili rispetto al valore della densita stessa.

In generale tutti i fluidi sono piu o meno compressibili. Tuttavia a volte,le variazioni di densita sono cosı piccole da poter essere trascurate e renderequindi accettabile il modello di fluido incompressibile. E’ questo ad esempioil caso del moto dei liquidi, i quali per la loro struttura costitutiva hanno unacomprimibilita molto piccola, o il caso del moto di un gas a bassa velocita, nelquale, essendo piccole le variazioni di pressione, sono piccole anche le variazionidi densita.

E’ opportuno sottolineare come l’ipotesi di incomprimibilita non sia equi-valente a quella di densita costante; la densita, infatti, e in generale funzionedella temperatura oltre che della pressione. Si pensi ad esempio alle corren-ti marine: pur essendo l’acqua un fluido sostanzialmente incompressibile, ledifferenze di temperatura generano differenze di densita che, in presenza delcampo gravitazionale, danno luogo al moto delle masse d’acqua.

I flussi nei quali il moto e originato dalle differenze di densita conseguentia differenze di temperatura prendono il nome di flussi a convezione naturale.

Ad eccezione dei problemi di convezione naturale, nello studio del moto difluidi incompressibili si hanno in generale due sole incognite: la velocita V e lapressione p. Pertanto tali flussi possono essere studiati mediante la soluzionedelle due sole equazioni di conservazione della massa e della quantita di moto.

Nel caso di fluidi compressibili invece, l’aggiunta di un’ulteriore incognita,la densita ρ, richiede di introdurre anche un’altra equazione: l’equazione diconservazione dell’energia. Poiche in quest’ultima compare come nuova inco-gnita l’energia interna e (o l’entalpia h, o la temperatura T ), sara inoltre neces-

1

2 Capitolo 1

sario far ricorso ad una relazione che leghi fra loro le variabili termodinamichep, ρ, e (o p, ρ, h o p, ρ, T ), cioe ad una equazione di stato.

La differenza fra flussi incompressibili e compressibili non risiede solo nellamaggior complessita matematica di questi ultimi, ma anche nella presenza difenomeni fisici che non si verificano nel caso dei flussi incompressibili. Tali fe-nomeni sono in massima parte dovuti alle diverse modalita con cui un disturbopropaga in un fluido compressibile o incompressibile.

1.1 Velocita del suono

Da un punto di vista qualitativo ed estremamente semplificato, si puo ana-lizzare la propagazione di un disturbo, considerando un gas in quiete comecostituito da un insieme di molecole dotate di velocita di agitazione termica.Supponiamo che il gas sia a contatto con una parete solida e che ad un certoistante la parete venga messa in movimento con una velocita molto piccola(come verra meglio specificato nel seguito), ad esempio nel verso che va dallaparete al fluido. Per effetto della impermeabilita della parete, le molecole adiretto contatto con essa dovranno acquisire (in aggiunta alla loro velocita diagitazione) la stessa velocita della parete. Attraverso gli urti intermolecolariquesta velocita si trasmette anche alle molecole immediatamente adiacenti econtestualmente si riduce la distanza fra le molecole. Pertanto una particellafluida a contatto con la parete (costituita da un insieme di molecole suffi-cientemente grande da rendere significativa la definizione di valori medi) avrala stessa velocita della parete e la sua densita sara aumentata, cosı come lasua energia per unita di volume e quindi anche la sua temperatura e la suapressione. La condizione che la velocita della parete sia piccola e legata alfatto che vogliamo che le variazioni di densita, pressione e temperatura adessa associate siano piccole rispetto ai corrispondenti valori delle grandezzenel fluido indisturbato. Nel limite di variazioni infinitesime, il fenomeno puoessere considerato reversibile e quindi isentropico.

Il disturbo originato dalla parete si trasmette attraverso gli urti intermo-lecolari anche alle particelle fluide successive le quali risentiranno del disturbotanto prima quanto piu e grande la velocita media di agitazione molecolare,cioe, quanto piu e alta la temperatura del gas. La velocita con cui un disturbopropaga nel fluido ha pertanto un valore finito che non dipende dalla velocitadella parete ma solo dalla temperatura del fluido stesso.

Nel caso esaminato il disturbo comporta un aumento della pressione e verraquindi denominato un’onda di compressione, alla quale sono peraltro associatevariazioni anche delle altre grandezze termodinamiche oltre che della velocita.

Nel caso in cui la parete fosse stata messa in movimento nel verso oppo-sto a quello precedentemente definito (cioe nel verso dal fluido alla parete),la particella fluida acquistera ancora la stessa velocita della parete ma su-

Capitolo 1 3

bira una diminuzione di densita, pressione e temperatura. Pertanto nel fluidopropaghera in questo caso un’onda di espansione.

Il fenomeno precedentemente descritto di una parete solida in movimentotrova, ad esempio, una applicazione pratica quando si metta in vibrazione undiapason. La parete vibrante genera una successione di onde alternativamentedi espansione e di compressione che viene percepita dall’orecchio umano comeun suono, la cui tonalita dipende dalla frequenza con cui si alternano espansionie compressioni e la cui intensita dipende dall’entita della perturbazione dipressione. La velocita con cui una perturbazione infinitesima propaga in unmezzo fluido prende pertanto il nome velocita del suono.

E’ possibile ottenere molto semplicemente l’espressione della velocita delsuono in funzione delle variabili termodinamiche applicando i principi di con-servazione della massa e della quantita di moto.

Si consideri un’onda piana di intensita infinitesima che propaghi con velo-cita a in un gas in quiete (Fig. 1.1.a)

12

p + dpdρ + ρ

Vd

a

ρp

V =0

2

A

ρp + dpρ + dρ

B

1

a

p

Vda

a) b)

Fig. 1.1

Il fluido nella zona 1 (monte dell’onda) e in condizioni indisturbate, mentreil flusso nella zona 2 (valle dell’onda), che e stato attraversato dalla perturba-zione, avra subito una variazione di velocita dV , di pressione dp, di densita dρ edi temperatura dT . Queste variazioni sono positive se l’onda e di compressionee negative se e di espansione.

Il fenomeno e evidentemente non stazionario in quanto ad ogni istantel’onda occupera una diversa posizione nel riferimento solidale al fluido. Nel ri-ferimento solidale all’onda, invece, il fenomeno risulta stazionario. In questo ri-ferimento, ottenuto dal precedente aggiungendo una velocita −a, la situazioneappare come indicato in Fig. 1.1.b.

Imponendo che il flusso di massa m (cioe la massa per unita di area e ditempo) che entra attraverso la sezione A sia uguale a quella che esce attraversola sezione B si ha

4 Capitolo 1

m = ρa = (ρ+ dρ)(a− dV ) (1.1)

che, a meno di infinitesimi di ordine superiore, si riduce a

adρ = ρdV (1.2)

Imponendo poi che la variazione della quantita di moto nell’attraversamen-to dell’onda sia uguale alla risultante delle pressioni che agiscono sulle superficiA e B, si ha:

p− (p + dp) = m[(a− dV ) − a] (1.3)

che, mediante la (1.1), diventa

dp = ρadV (1.4)

Eliminando dV fra le (1.2) e (1.4), si ottiene

a2 =dp

dρ(1.5)

Come gia accennato, essendo il disturbo di intensita infinitesima, il proces-so e isentropico. E’ quindi opportuno menzionare esplicitamente il fatto chela trasformazione e isentropica, riscrivendo la (1.5) come

a2 =

(

dp

dρ

)

s=cost

(1.6)

Per poter dare una valutazione anche quantitativa della velocita del suono,definita dalla (1.6), e necessario specificare la natura del gas. Ci limitiamo quia considerare il caso di un gas ideale, cioe di un gas la cui energia interna efunzione unicamente della temperatura e per il quale vale l’equazione di stato

p = ρRT (1.7)

R e la costante del gas per unita di massa che e legata alla costante universaledei gas R dalla relazione

R =Rm

(1.8)

dove m e il peso molecolare del gas. Essendo R = 8314 Joule/Kmole◦K, perl’aria che ha m = 28.93 Kg/Kmole, si ha R = 287 Joule/Kg◦K.

Il calore specifico a volume costante e definito come

Capitolo 1 5

cv =

(

∂e

∂T

)

v=cost(1.9)

Poiche per un gas ideale e = e(T ), la (1.9) si puo scrivere

cv =de

dT(1.10)

Dalla definizione dell’entalpia

h = e+p

ρ(1.11)

e dalla (1.7) discende che per un gas ideale anche l’entalpia e funzione unica-mente della temperatura e quindi il calore specifico a pressione costante puoessere espresso come

cp =dh

dT= cv +R (1.12)

Introduciamo l’ulteriore ipotesi che il gas sia anche caloricamente perfettocioe che siano costanti cp e cve di conseguenza anche il loro rapporto

γ =cpcv

(1.13)

Per i gas biatomici, come l’aria cv =5

2R, cp =

7

2R e quindi γ = 1.4.

Mediante le (1.12) e (1.13) si possono esprimere cp e cv in funzione di γ edR:

cp =γ

γ − 1R (1.14)

cv =1

γ − 1R (1.15)

Per un gas ideale e caloricamente perfetto, il primo principio della termo-dinamica puo scriversi

Tds = cvdT + pd

(

1

ρ

)

(1.16)

che, assieme all’equazione di stato scritta nella forma

dT

T=dp

p− dρ

ρ(1.17)

fornisce

6 Capitolo 1

ds = cv

(

dp

p− γ

dρ

ρ

)

(1.18)

Per un processo isentropico si ha quindi:

dp

dρ= γ

p

ρ(1.19)

ovvero

p

ργ= cost (1.20)

Dal confronto delle (1.6) e (1.19)

a2 = γp

ρ= γRT (1.21)

Questa relazione conferma, come gia visto qualitativamente, che la velocitadel suono dipende essenzialmente dalla temperatura del gas, ma mette anchein evidenza la dipendenza della natura del gas attraverso le sue costanti γ eR.

Tornando ad esaminare le differenze fra fluidi compressibili ed incompres-

sibili, la (1.5) mostra che in un fluido incompressibile, essendodρ

dp= 0, la velo-

cita del suono e infinita. Un disturbo generato in un punto si risente pertantoistantaneamente in tutti gli altri punti del fluido, a differenza di quanto accadein un fluido compressibile, dove, essendo la velocita del suono finita, i disturbipossono essere risentiti solo in alcune regioni del campo fluidodinamico, comesara chiarito nei prossimi paragrafi.

1.2 Numero di Mach

Poiche nello studio dei flussi compressibili appaiono due velocita caratteri-stiche, la velocita del fluido e la velocita del suono, un parametro che hauna grande rilevanza nel caratterizzare tali flussi e dato dal loro rapporto cheprende il nome di numero di Mach

M =V

a(1.22)

Poiche sia V che a sono in genere variabili da punto a punto del campofluidodinamico, il numero di Mach ha valore locale anche se a volte, nellostudio del moto di un corpo in un fluido, viene indicato come numero di Mach

Capitolo 1 7

(piu propriamente numero di Mach di volo) il rapporto tra la velocita dellacorrente indisturbata relativa al fluido e la velocita del suono nella correnteindisturbata.

Sulla base dei valori del numero di Mach, i flussi dei fluidi compressibilipossono essere classificati nel modo seguente:

Flussi subsonici

Sono quei flussi in ogni punto dei quali il numero di Mach e minore di 1.Un caso particolare di tali flussi e quello per cui M = 0: cio non significache e nulla la velocita (caso banale), ma che e infinita la velocita del suono erappresenta quindi il flusso di un fluido incompressibile. Il modello di fluidoincompressibile e dunque idoneo a rappresentare i flussi a basso numero diMach e quindi anche i flussi di un fluido compressibile a bassa velocita, nei qualile variazioni di densita sono cosı piccole da poter essere trascurate. Al cresceredel numero di Mach, gli effetti della comprimibilita, pur non modificando daun punto di vista qualitativo la natura del flusso, acquistano un’importanzaquantitativa sempre maggiore. Indicativamente si puo dire che gli effetti dellacomprimibilita non possono piu essere trascurati per M > .3.

Flussi supersonici

Sono quei flussi nei quali il numero di Mach e in ogni punto maggiore di 1.In realta, come si vedra meglio nel seguito, per un corpo reale, che si muova avelocita supersonica, esiste sempre una piccola regione, nell’intorno del puntodi ristagno, nella quale il flusso e subsonico. In molti casi pratici tali regionisono pero cosı piccole da poter essere trascurate.

Flussi transonici

Sono quei flussi nei quali esistono sia zone subsoniche che supersoniche.Flussi di questo genere possono verificarsi nei condotti convergenti–divergenti(ugelli e prese d’aria supersoniche), lungo la superficie di corpi in moto adelevate velocita subsoniche o nella zona anteriore di corpi arrotondati in motocon velocita supersoniche. Mentre lo studio dei flussi transonici monodimen-sionali non presenta particolari difficolta, la soluzione dei flussi transonici bi–e tridimensionali e particolarmente complessa per la contemporanea presen-za di zone subsoniche e supersoniche, che in generale richiedono tecniche disoluzione tra foro completamente diverse.

Flussi ipersonici

Sono flussi supersonici a numero di Mach molto elevato, che richiedono unatrattazione diversa da quella dei flussi supersonici a basso numero di Mach. Percorpi che si muovano a velocita molto elevate (quali si verificano nel lancio dimissili o nel rientro di navette spaziali), in prossimita della parete si verificanotemperature cosı alte da dar luogo a fenomeni di dissociazione o anche diionizzazione dell’aria. In tali condizioni non e piu possibile considerare l’ariacome un gas ideale e in molti casi non e neppure piu accettabile l’ipotesi di

8 Capitolo 1

equilibrio termochimico. Inoltre i flussi ipersonici attorno a corpi arrotondatisono caratterizzati da forti gradienti di entropia, che rendono inapplicabilel’ipotesi di irrotazionalita, che puo essere invece utilmente adottata nello studiodei flussi supersonici.

Il valore del numero di Mach al di sopra del quale un flusso viene con-siderato ipersonico dipende dal tipo di fluido e dalla forma del corpo. In-dicativamente si puo dire che si entra in campo ipersonico al di sopra diM = 5.

1.3 Propagazione dei disturbi in flussi subsonici e

supersonici

Abbiamo esaminato in precedenza la propagazione di un disturbo in un fluidoin quiete, supponendo per semplicita che l’onda fosse piana. Se consideriamouna sorgente di disturbo puntiforme e se il fluido e omogeneo ed isotropo, lapropagazione del disturbo avverra con la stessa velocita in tutte le direzioni e sigenerera quindi un’onda sferica nel caso tridimensionale ed un’onda cilindricanel caso bidimensionale. In entrambi i casi la superficie dell’onda aumenta al-l’allontanarsi dell’onda stessa dalla sorgente. Poiche evidentemente, in assenzadi fenomeni dissipativi, l’energia associata all’onda rimane costante, l’energiaper unita di superficie, cioe l’intensita dell’onda, andra diminuendo man manoche l’onda propaga, a differenza di quanto avviene per un’onda piana la cuiintensita rimane costante. L’attenuazione dell’onda e una conferma dell’evi-denza sperimentale secondo cui l’intensita del suono diminuisce all’allontanarsidalla sorgente.

Si consideri ora il caso in cui il fluido sia in moto rispetto alla sorgente deldisturbo o, equivalentemente, il caso di una sorgente in moto in un fluido inquiete. Considerando dapprima il caso bidimensionale, si puo supporre chel’origine del disturbo sia costituita da un diedro semi–infinito avente angolo diapertura infinitesimo. Il cambio di direzione che le particelle fluide subisconoin corrispondenza del diedro costituisce un disturbo infinitesimo di velocita alquale sono associate variazioni, anch’esse infinitesime, delle proprieta termo-dinamiche. Pertanto il disturbo propaga nel fluido in quiete con la velocitadel suono.

Consideriamo dapprima il caso in cui il diedro venga messo in moto impul-sivamente con velocita costante V < a , cioe con velocita subsonica. All’iniziodel moto il diedro si trovi nella posizione 1 indicata in Fig. 1.2.a. Dopo uncerto intervallo di tempo ∆t, il diedro si sara spostato nella posizione 2 chedista ∆x = V∆t dal punto 1, e dopo un intervallo 3∆t (tempo al quale siriferisce la Fig. 1.2) si trovera nel punto 4.

Durante questo intervallo di tempo la perturbazione originata nel punto

Capitolo 1 9

V

1

32

4321

1

4 3 2 1

3

2 1

3α2

A

4 3 2 1

a) M < 1 b) M = 1 c) M > 1

Fig. 1.2

1 avra percorso una distanza 3a∆t > 3∆x e sara quindi rappresentata dauna circonferenza con centro nel punto 1 e raggio 3a∆t. Analogamente laperturbazione originata all’istante 2 avra centro nel punto 2 e raggio 2a∆t. Leonde non sono piu concentriche, come accade nel caso di sorgente in quiete,ma sono addensate nella direzione del moto.

Dopo un tempo infinito, la perturbazione avra interessato l’intero campofluidodinamico, anche se con intensita che all’infinito tende a zero. In altritermini, nel riferimento solidale al corpo, una corrente subsonica comincia arisentire la presenza del diedro molto prima di investire nel corpo stesso.

Nel caso in cui la velocita del diedro sia uguale alla velocita del suono(M = 1) la situazione sara quella rappresentata in Fig. 1.2.b. Le onde emessea differenti istanti saranno tutte tangenti fra loro e ad un piano normale alladirezione della corrente, che divide il campo in due regioni: quella dietro alcorpo, in cui propagano i disturbi, e quella davanti al corpo nella quale il fluidoe indisturbato. Una corrente sonica, pertanto, non risente della presenza delcorpo fino a quando non investe il corpo stesso.

Infine, nel caso in cui si muova con velocita supersonica, il diedro si tro-vera sempre davanti ai disturbi emessi negli istanti precedenti (Fig. 1.2.c). E’immediato verificare che le onde emesse ai diversi istanti sono tutte tangentia due piani passanti per il vertice del diedro (punto 4). Questi due piani,detti anche onde di Mach, individuano un diedro (diedro di Mach) all’internodel quale sono confinati i disturbi, mentre all’esterno il fluido e indisturbato.L’angolo di semi-apertura del diedro di Mach, che prende anch’esso il nome diangolo di Mach, e dato da

10 Capitolo 1

α

Fig. 1.3

sinα =a∆t

V∆t=

1

M(1.23)

come si rileva immediatamente dal triangolo 1A4 in Fig. 1.2.c. La zona difluido perturbata e quindi tanto piu piccola quanto piu grande e il numero diMach con cui si muove il diedro.

Nel riferimento solidale al corpo la situazione apparira come indicato inFig. 1.3. Le linee di corrente rimangono indisturbate fino a quando incontranoil diedro di Mach, attraverso il quale vengono deviate assumendo la direzioneparallela alla parete del diedro.

Nel caso tridimensionale, si puo pensare il disturbo come originato da uncono avente angolo di apertura infinitesimo. In questo caso i disturbi nonsaranno piu onde cilindriche, ma onde sferiche, il cui inviluppo e costituito daun cono, detto cono di Mach.

1.4 Onde d’urto

Si e fin ora considerato solamente il caso di disturbi di intensita infinitesima.Tuttavia nei problemi di interesse pratico, i corpi attorno ai quali si vuole stu-diare il flusso hanno dimensioni finite e generano quindi disturbi di intensitafinita. Al fine di esaminare qualitativamente la differenza fra disturbi di in-tensita finita e infinitesima, faremo ancora riferimento, per semplicita, al casodi onde piane.

Consideriamo un cilindro di lunghezza infinita delimitato da un pistone econtenente un gas inizialmente in quiete (Fig. 1.4)

Se il pistone viene messo in movimento verso destra con velocita infinite-sima, esso dara luogo ad un disturbo infinitesimo che propaga con la velocitadel suono a0.

Supponiamo invece di portare il pistone con una accelerazione costante dal-la velocita u = 0 ad una velocita finita up (Fig. 1.5). Possiamo anche pensare di

Capitolo 1 11

u=0a

T0

0

t

t

up

p

uFig. 1.4 Fig. 1.5

realizzare tale accelerazione attraverso una serie di successive piccole variazionidi velocita ∆ui, che potremo approssimare come variazioni infinitesime.

Il primo disturbo ∆u1 propaga con la velocita del suono nel fluido indi-sturbato a0. Il secondo disturbo propaga invece in un fluido che, per effettodella prima perturbazione, ha una temperatura T1 = T0 + ∆T1 e quindi unavelocita del suono a1 > a0. Inoltre il secondo disturbo propaga in un fluidoche ha velocita ∆u1 e quindi la velocita assoluta con cui propaga il secondodisturbo sara a1 + ∆u1 > a0. Ripetendo il ragionamento precedente per idisturbi successivi, al termine della fase di accelerazione tp, si sara generatoun andamento spaziale della velocita quale quello indicato in Fig. 1.6.a.

u

up

x

B

A

pu

u

x

B

Ax

pu

u

A

B

a) b) c)Fig. 1.6

Si e cioe generata una forma d’onda d’ampiezza finita che propaga nelfluido con una velocita media maggiore della velocita del suono nel fluidoindisturbato. Inoltre la forma dell’onda non si mantiene costante ma, poichela velocita del fronte posteriore (punto B) e maggiore di quella del fronteanteriore (punto A), l’onda diventa sempre piu ripida (Fig. 1.6.b.c).

In un fluido reale il fronte posteriore non puo mai raggiungere quello an-teriore poiche, tanto piu piccolo diviene lo spessore dell’onda (cioe la distanzafra A e B), tanto piu grandi diventano i gradienti di velocita e di temperatu-ra e quindi diventano importanti gli sforzi viscosi e lo scambio di calore per

12 Capitolo 1

conduzione, anche se i coefficienti di viscosita e di conducibilita termica sonomolto piccoli, come accade per i gas. Gli sforzi viscosi sono quindi in grado dicontrastare i termini convettivi, impedendo al fronte posteriore di raggiungerequello anteriore. L’osservazione sperimentale mostra che lo spessore dell’ondae dell’ordine di 10−6 cm.

L’onda di compressione generata dal pistone si e quindi trasformata inun onda di spessore molto piccolo, che propaga nel fluido con una velocitamaggiore di quella del suono nel fluido indisturbato, ed attraverso la quale lavelocita e le grandezze termodinamiche subiscono una brusca variazione. Talestruttura prende il nome di onda d’urto.

Nello studio di flussi di interesse aeronautico, si osserva la formazione di on-de d’urto in prossimita della parete di corpi affusolati a velocita transoniche,davanti a corpi arrotondati a velocita supersoniche o all’interno di condotti(ugelli o prese d’aria) nei quali si raggiungano velocita supersoniche. Tuttiquesti flussi sono caratterizzati da alte velocita e quindi da valori molto eleva-ti del numero di Reynolds. In queste condizioni appare quindi particolarmenteidonea l’adozione del modello semplificato di fluido non viscoso e non condu-cente (fluido perfetto). Nel modello di fluido perfetto gli sforzi viscosi sononulli e viene quindi a scomparire la forza che contrasta il raggiungimento delfronte anteriore dell’onda di compressione da parte del fronte posteriore. Per-tanto in un fluido perfetto un’onda d’urto ha spessore nullo ed attraverso diessa le grandezze cinematiche e termodinamiche sono discontinue.

Con l’adozione del modello di fluido perfetto, abbiamo quindi sostituitoad un andamento continuo con forti gradienti delle grandezze fisiche un anda-mento discontinuo con gradienti infiniti. Cio e del tutto analogo al caso delflusso in prossimita di una parete, per il quale, con un modello di fluido reale,la velocita attraverso uno strato molto sottile (strato limite) passa dal valoreesterno al valore nullo alla parete, mentre con il modello di fluido perfetto lavelocita e discontinua alla parete.

Tuttavia mentre in quest’ultimo caso le discontinuita sono localizzate sullafrontiera del dominio di soluzione e non causano quindi particolari problemi,nel caso delle onde d’urto, esse possono verificarsi all’interno del dominio inposizioni che, in generale, non sono note a priori.

Pertanto, quando si adotta il modello di fluido perfetto, e necessario con-siderare la possibilita che le variabili siano discontinue all’interno del dominiodi soluzione.

L’analisi della propagazione di un’onda di compressione di ampiezza finitaha mostrato che essa puo mantenersi continua solo per un intervallo di tempofinito, dopo di che degenera in un’onda d’urto. Non cosı accade per un’ondadi espansione.

Tornando ad esaminare il problema del pistone, supponiamo di metterloin movimento verso sinistra, accelerando della velocita iniziale nulla ad una

Capitolo 1 13

velocita finita up. Anche in questo caso, discretizzando la variazione di velocitain una sequenza di variazioni ∆ui, il primo disturbo, che pero in questo casoe un’espansione, propaga con la velocita del suono nel fluido indisturbato.Il secondo disturbo propaga in un fluido che e stato raffreddato dalla primaespansione ed ha quindi a < a0. La velocita assoluta con cui propaga il secondodisturbo a1−|∆ui| < a0. Pertanto in questo caso il fronte posteriore dell’ondae piu lento del fronte anteriore e l’onda, anziche divenire sempre piu ripidacome accade per le compressioni, diventa sempre piu appiattita (Fig. 1.7).

up

x

B

A

u u

up

x

B

A

Fig. 1.7

In conclusione, mentre i disturbi infinitesimi propagano allo stesso modosia nel caso dell’espansione che in quello della compressione, la propagazionedi compressioni ed espansioni di intensita finita puo dar luogo a onde d’urtosolo nel caso delle compressioni.

Capitolo 2 19

Infine, sottraendo dalla (2.25) la (2.22) moltiplicata per e, la (2.23) molti-plicata per u e la (2.24) moltiplicata per v, si ottiene:

ρ

(

∂e

∂t+ u

∂e

∂x+ v

∂e

∂y

)

+ p

(

∂u

∂x+∂v

∂y

)

= k

(

∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)

+ µφ (2.28)

dove la funzione di dissipazione φ e data da

φ = 2

(

∂u

∂x

)2

+ 2

(

∂v

∂y

)2

+

(

∂u

∂y+∂v

∂x

)2

+λ

µ

(

∂u

∂x+∂v

∂y

)2

(2.29)

Le (2.26–2.27–2.28) costituiscono la forma quasi-lineare delle equazioni diNavier–Stokes (detta anche forma non conservativa). Si ricorda che un’equa-zione e detta quasi-lineare quando i coefficienti delle derivate di ordine massimodipendono al piu dalle derivate di ordine inferiore.

Utilizzando la notazione vettoriale ed introducendo la derivata materiale:

Dφ

Dt=∂φ

∂t+ u

∂φ

∂x+ v

∂φ

∂y(2.30)

le equazioni quasi-lineari possono scriversi piu sinteticamente come

Dρ

Dt+ ρ∇ · V = 0 (2.31)

ρDV

Dt+ ∇p = µ∇2V + (λ+ µ)∇(∇ · V ) (2.32)

ρDe

Dt+ p∇ · V = k∇2T + µφ (2.33)

E’ talvolta conveniente esprimere l’equazione dell’energia in termini del-l’entalpia, anziche dell’energia interna. Eliminando ∇ ·V fra le (2.31) e (2.33)si ottiene

ρDh

Dt− Dp

Dt= k∇2T + µφ (2.34)

2.5 Equazioni di conservazione per un fluido perfet-

to

Per un fluido perfetto le diverse formulazioni dei principi di conservazionepossono essere ottenute molto semplicemente, ponendo a zero (in assenza diforze di massa) i secondi membri delle equazioni (2.14) o (2.17) o (2.21) o

20 Capitolo 2

infine (2.31)–(2.32)–(2.33). Le equazioni cosı ottenute prendono il nome diequazioni di Eulero.

Tuttavia, come si e visto nel capitolo precedente, mentre per un fluidoreale le variabili sono sempre continue, quando si adotta il modello di fluidoperfetto le variabili possono anche essere discontinue attraverso superfici (olinee) all’interno del dominio. Una soluzione discontinua evidentemente nonpuo soddisfare, almeno in senso classico, le equazioni differenziali (2.21) o(2.26)–(2.28), in quanto le derivate non sono definite in corrispondenza delladiscontinuita. Viceversa, i principi di conservazione e le loro formulazioniintegrali seguitano a valere anche per una soluzione discontinua. Infatti nelloscrivere le (2.11) abbiamo ipotizzato solo l’integrabilita delle variabili, mentrenel ricavare le (2.21) abbiamo utilizzato il teorema di Gauss, che presupponeanche la derivabilita.

Pertanto una soluzione ovunque continua delle equazioni integrali e anchesoluzione delle equazioni differenziali. Tali soluzioni sono dette soluzioni clas-siche. Invece una soluzione continua a tratti delle equazioni integrali non esoluzione delle equazioni differenziali, a meno di non estendere il concetto disoluzione, introducendo le soluzioni generalizzate o soluzioni deboli.

Poiche per una soluzione discontinua seguitano a valere le equazioni in-tegrali, da queste e possibile ottenere le relazioni che legano tra loro le va-riabili attraverso la discontinuita. Queste relazioni, che verranno ricavate nelprossimo paragrafo, sono dette relazioni di salto.

Una soluzione continua a tratti che soddisfi le relazioni di salto attraverso ladiscontinuita e una soluzione debole delle equazioni (2.21). L’introduzione delconcetto di soluzione debole, che non richiede la continuita e differenziabilitaovunque e che comprende sia le soluzioni classiche che quelle con discontinuita,consente di superare una limitazione connessa alle soluzioni classiche. Infattie possibile dimostrare che, per date condizioni iniziali, la soluzione classica eunica, ma esiste solo per un tempo finito. Basti pensare al caso di un’ondadi compressione continua che, evolvendo, dopo un certo tempo da luogo adun’onda d’urto e quindi non esiste piu come soluzione classica. Viceversa unasoluzione debole esiste per un tempo qualunque ma, per date condizioni ini-ziali, puo non essere unica: con gli stessi dati iniziali, si puo cioe avere piud’una soluzione debole. Naturalmente nella realta fisica la soluzione e inveceunica e pertanto una sola delle soluzioni deboli ha significato fisico, mentre lealtre sono soluzioni spurie. Cio dipende dal fatto che le equazioni di Eulerorappresentano solo un modello semplificato della realta, nel quale in particola-re si sono trascurati gli effetti della viscosita. Nel porre µ = 0 bisogna quindiassicurarsi che la soluzione debole delle equazioni di Eulero sia il limite perµ → 0 della soluzione delle equazioni di Navier–Stokes. Ma una soluzionedebole puo anche essere pensata come il limite cui tende un altro set di equa-zioni, analogo a quello di Navier–Stokes, ma aventi viscosita negativa e che

Capitolo 2 21

non hanno quindi corrispondenza con la realta fisica. Per escludere questesoluzioni (urti di espansione) bisogna quindi in qualche modo aver memoriadel fatto che gli effetti viscosi hanno carattere dissipativo. Cio puo essere rea-lizzato facendo ricorso al secondo principio della termodinamica, che affermache l’entropia di un sistema isolato e non decrescente. In particolare si dovraimporre che l’entropia delle particelle che attraversano una discontinuita nondiminuisca.

Pertanto al fine di escludere le soluzioni spurie ed individuare quindi l’unicasoluzione fisicamente corretta, si dovranno integrare le equazioni di Eulero conla condizione

d

dt

∫

V

ρsdV ≥ 0 (2.35)

essendo s l’entropia per unita di massa.La (2.35) prende il nome di condizione di entropia.

2.6 Relazioni di salto

Consideriamo nuovamente un volume materiale V all’interno del quale sia pre-sente una superficie di discontinuita S0 che si muova con velocita w relativa-mente al riferimento fisso (Fig. 2.1).

S

V

S Vw

S

UU- +

22

1

1 0

Fig. 2.1

In assenza di forze di massa e per un fluido perfetto, i principi di conser-vazione (2.14) risultano

d

dt

∫

V

UdV +

∮

SP jnjdS = 0 (2.36)

cui va aggiunta la (2.35).Gli integrali di volume che compaiono nelle (2.35)–(2.36) possono essere

decomposti nella somma degli integrali estesi ai volumi V1 e V2 separati fraloro dalla superficie S0:

∫

V

UdV =

∫

V1

UdV +

∫

V2

UdV (2.37)

22 Capitolo 2

Si osservi pero che il volume V1 (e cosı pure V2) non e un volume materialein quanto una parte della superficie che lo delimita, S1, si muove con la velocitadel fluido, mentre l’altra parte S0 ha velocita w. Pertanto, applicando ilteorema di trasporto al volume V1 si ha:

d

dt

∫

V1

UdV =d

dt

∫

V1

UdV +

∫

S1

UujnjdS +

∫

S0

UwjnjdS (2.38)

Procedendo analogamente per V2 e sostituendo nelle (2.37) e (2.36) si ha

d

dt

∫

V1∪V2

UdV +

∮

S1∪S2

(P j + Uuj)njdS +

∫

S0

(U− −U+)wjnjdS = 0 (2.39)

nella quale si e indicato con U− e U+ il valore assunto dalle variabili conservatea destra e a sinistra della discontinuita rispettivamente, e si e tenuto conto delfatto che (nj)S+

0= −(nj)S−

0. Invertendo le operazioni di derivazione e di

integrazione nel primo termine e ricordando la (2.18), la (2.39) si scrive

∫

V

dU

dtdV +

∮

S1∪S2

F jnjdS +

∫

S0

(U− − U+)wjnjdS = 0 (2.40)

Facendo ora il limite per S1 → S0 e S2 → S0, il volume V tende a zeroe quindi il primo termine si annulla, il valore di F j su S1 tende a F−

j e

(nj)S1 → −(nj)S−

0, mentre il valore di F j su S2 tende a F +

j e (nj)S2 → (nj)S+0.

La (2.40) si riduce a

∫

S0

[(

F +j − F−

j

)

nj − (U+ − U−)wjnj

]

dS = 0 (2.41)

Osservando che wjnj e la componente wn della velocita della discontinuita indirezione normale alla discontinuita stessa e introducendo la notazione

[ψ] = ψ+ − ψ− (2.42)

la (2.41) fornisce

[F j ]nj = wn[U ] (2.43)

che prendono il nome di relazioni di salto o relazioni di Rankine–Hugoniotgeneralizzate.

Capitolo 2 23

Procedendo in maniera del tutto identica, la (2.35) da luogo a

[ρsujnj] ≥ wn[ρs] (2.44)

Si osservi che nel caso particolare di una discontinuita stazionaria si haw = 0 e dalla (2.43) deriva

[F j ] = 0 (2.45)

cioe, pur essendo discontinue le variabili U , i loro flussi generalizzati sonocontinui attraverso la discontinuita.

Le relazioni di salto possono essere esplicitate introducendo in esse le (2.11)e (2.18) ed utilizzando, anziche una base generica le componenti della velocitaut, tangenziale, e un = ujnj normale alla discontinuita. Si ottiene

[ρun] = wn[ρ]

[p+ ρu2n] = wn[ρun]

[ρunut] = wn[ρut] (2.46)

[Eun + pun] = wn[E]

[ρsun] ≥ wn[ρs]

che, introducendo la velocita del fluido relativa alla discontinuita

vn = un − wn (2.47)

assumono le espressioni

[ρvn] = 0 (2.48)

[p+ ρvnun] = 0 (2.49)

[ρvnut] = 0 (2.50)

[Evn + pun] = 0 (2.51)

[ρsvn] ≥ 0 (2.52)

E’ conveniente esprimere le (2.49) e (2.51) in cui compare un in termini

24 Capitolo 2

della sola vn. Tenendo conto della (2.48), la (2.49) puo scriversi

[p+ ρvnun] − wn[ρvn] = 0

da cui

[p+ ρv2n] = 0 (2.53)

Analogamente per la (2.51) si ha

[Evn + pun] +w2

n + w2t

2[ρvn] − wn[p + ρunvn] − wt[ρvnut] = 0

che, ricordando la definizione (2.10), risulta:

[

ρvn

(

e+p

ρ+v2n + v2

t

2

)]

= 0 (2.54)

ovvero

[ρvnH] = 0 (2.55)

doveH e l’entalpia totale per unita di massa nel moto relativo alla discontinuita

H = h+v2n + v2

t

2(2.56)

La quantita ρvn che compare nella (2.48) e il flusso di massa che passaattraverso la discontinuita e la (2.48) esprime il fatto che nella discontinuitanon si ha accumulo (o perdita) di massa e pertanto il flusso di massa entrantee uguale a quello uscente.

2.7 Discontinuita di contatto

Un caso particolare di discontinuita si ha nel caso in cui il flusso di massaattraverso la discontinuita sia nullo. Tale discontinuita prende il nome didiscontinuita di contatto.

Poiche la densita non puo essere nulla, affinche sia nullo il flusso di massadovra essere

v+n = v−n = 0 (2.57)

ovvero

u+n = u−n = wn (2.58)

Capitolo 2 25

Nel caso in cui wn 6= 0 la discontinuita di contatto si muove con la velo-cita del fluido ed e quindi una superficie materiale. Nel caso in cui wn = 0(discontinuita stazionaria), la discontinuita e una linea di corrente, che vieneanche detta linea di scorrimento.

Dalla (2.53) discende immediatamente

[p] = 0 (2.59)

Pertanto attraverso una discontinuita di contatto si mantengono continuesia la velocita normale che la pressione. Viceversa dalle (2.45), (2.50), (2.52)e (2.55) si desume che la densita, la velocita tangenziale, l’entropia, l’entalpiae di conseguenza la temperatura possono essere discontinue con un salto dientita qualunque.

Una discontinuita di contatto e quindi una superficie che separa due fluidiaventi diverse caratteristiche termodinamiche o diversa velocita tangenzialealla discontinuita. Il primo caso corrisponde, ad esempio, all’interfaccia fradue zone di fluido aventi stessa pressione ma diversa temperatura, il secondoal confine di un getto che fuoriesca in un ambiente in cui il fluido e in quiete.Nella realta fisica i fenomeni diffusivi (viscosita e conducibilita termica) fannosı che una discontinuita di contatto, se pur esiste ad un istante iniziale, nonsi mantenga come tale ma divenga uno strato, il cui spessore va sempre piuaumentando, attraverso il quale si ha una variazione continua delle grandezzetermodinamiche o della velocita (strato di mescolamento).

2.8 Onda d’urto

Nel caso di un’onda d’urto per la quale vn 6= 0, le relazioni di salto possonoscriversi

[ρvn] = 0 (2.60)

[p+ ρv2n] = 0 (2.61)

[ut] = 0 (2.62)

[H] = 0 (2.63)

[s] ≥ 0 se vn > 0 (2.64)

Queste relazioni consentono, come si vedra in dettaglio nel prossimo capi-tolo, di ottenere i valori delle grandezze a valle dell’urto, una volta che sianonoti i valori a monte (o viceversa).

Capitolo 3 33

Eliminando il termine1

A

dA

dxfra la (3.12) e la (3.8), si ottiene infine

De

Dt+ p

D

Dt

(

1

ρ

)

= 0 (3.13)

che, in base al primo principio della termodinamica (1.16) equivale a

Ds

Dt= 0 (3.14)

La (3.14) esprime il fatto che l’entropia di una particella non varia, ovveroche il flusso e isentropico. Si osservi che cio non significa che l’entropia ecostante in tutto il campo in quanto essa puo essere diversa da particella a

particella e quindi∂s

∂xe∂s

∂tpossono essere diverse da zero.

Nel caso invece in cui l’entropia abbia lo stesso valore in tutto il campo ilflusso viene detto omentropico.

Nel derivare la (3.14) si e implicitamente assunta la derivabilita e continuitadelle variabili, con cio escludendo la possibilita che siano presenti onde d’urto.In assenza di fenomeni dissipativi e percio del tutto logico che si pervenga allaconclusione che il flusso e isentropico.

In altri termini, nel caso di variabili continue la (3.14) e perfettamenteequivalente alla (3.11) e, nel caso in cui si possa fare l’assunzione di flussoomentropico, non e piu necessario far ricorso alla equazione di conservazionedell’energia, che viene sostituita da s = cost.

Per semplicita di notazione, nel seguito della trattazione dei flussi quasi-unidimensionali si omettera la sovralineatura delle variabili, fermo restandoche esse rappresentano il valore medio su una sezione.

3.2 Grandezze di ristagno, critiche e limite

Nel caso stazionario le (3.7), (3.10) e (3.11) si riducono alle seguenti equazionidifferenziali ordinarie

d

dx(ρuA) = 0 (3.15)

udu

dx+

1

ρ

dp

dx= 0 (3.16)

dH

dx= 0 (3.17)

avendo utilizzato la definizione di entalpia totale (2.56). La (3.17) comporta

34 Capitolo 3

che

h+u2

2= H = cost (3.18)

ed esprime il fatto che in un flusso stazionario e adiabatico la somma del-l’entalpia e dell’energia cinetica si mantiene costante, ovvero che il flusso eomentalpico.

Nel caso in cui sia u = 0, come accade in un punto di ristagno, l’entalpia,che viene detta entalpia di ristagno, e uguale all’entalpia totale

h0 = H (3.19)

E’ opportuno rilevare che cio e vero sia nel caso in cui il fluido raggiungala condizione di ristagno attraverso un processo isentropico, sia quando loraggiunga mediante un processo non isentropico, come si puo rilevare dal fattoche l’entalpia totale si mantiene costante anche attraverso un fenomeno nonisentropico, quale l’onda d’urto (vedi 2.70). Esprimendo l’entalpia in funzionedella temperatura mediante la (1.12), la (3.18) puo anche scriversi

T +u2

2cp= T0 (3.20)

nella quale T0 e la temperatura di ristagno, che in un flusso stazionario eadiabatico coincide con la temperatura totale ed e costante.

Esprimendo cp mediante la (1.14), ricordando le (1.21–1.22), e posto

δ =γ − 1

2(3.21)

la (3.20) puo scriversi come

T0

T= 1 + δM2 (3.22)

o anche

a2 + δu2 = a20 (3.23)

che definisce implicitamente la velocita del suono di ristagno a0.Se il flusso e isentropico, valgono le relazioni

ρ

ρ0=

(

T

T0

)1

γ−1

= (1 + δM2)−1

γ−1 (3.24)

p

p0=

(

T

T0

)γ

γ−1

= (1 + δM2)−

γγ−1 (3.25)

Capitolo 3 35

Quest’ultima relazione definisce la pressione totale p0, cioe la pressione chesi verifica in un punto di ristagno quando la velocita del fluido viene portataa zero attraverso un processo isentropico.

Si noti che, se il processo non e isentropico, la relazione fra p e T definitadalla (3.25) non e piu valida e quindi, pur essendo T0 = cost, la pressionetotale non e costante.

Da un punto di vista fisico, la temperatura totale rappresenta una misu-ra dell’energia totale del fluido (somma dell’energia “termica” e dell’energia“meccanica”) e si mantiene quindi costante se il flusso e adiabatico e stazio-nario, indipendentemente dal tipo di processo termodinamico. La pressionetotale rappresenta, invece, una misura della sola energia meccanica e quindi,se si verificano fenomeni dissipativi (non isentropici), nei quali parte dell’ener-gia meccanica viene trasformata in energia termica, e logico attendersi che lapressione totale diminuisca.

Oltre alla condizione di ristagno, un’altra condizione, che presenta parti-colare interesse nello studio dei flussi stazionari, e quella per cui M = 1. Ivalori che le grandezze assumono in corrispondenza a M = 1, vengono dettivalori critici. Dalle (3.22–3.24) si ha

T ∗

T0=

2

γ + 1(3.26)

p∗

p0=

(

2

γ + 1

)γ

γ−1

(3.27)

ρ∗

ρ0=

(

2

γ + 1

) 1γ−1

(3.28)

a∗2

=2

γ + 1a2

0 (3.29)

Le grandezze critiche sono quindi direttamente proporzionali alle corri-spondenti grandezze di ristagno e per esse valgono quindi le stesse conside-razioni precedentemente fatte sulle grandezze di ristagno. In particolare lavelocita del suono critica a∗ e anch’essa una costante che caratterizza un flussostazionario e la (3.23) puo anche essere scritta

a2 + δu2 =γ + 1

2a∗2 (3.30)

Si noti che la definizione di a∗ (e delle altre grandezze critiche) e indi-pendente dal fatto che nel particolare flusso in esame si verifichi o meno la

36 Capitolo 3

condizione di M = 1, cosı come la definizione di a0 e indipendente dal fattoche si verifichi effettivamente la condizione di ristagno.

L’introduzione di a∗ consente di definire il numero di Mach critico

M∗ =u

a∗(3.31)

Poiche a∗ e costante, rispetto alla definizione (1.22), M∗ presenta il van-taggio di essere proporzionale unicamente alla velocita (e cioe una velocitaadimensionale) e di tendere ad un valore finito al tendere di M all’infinito.

Eliminando a2/a∗2 fra la (3.30) e la relazione

M∗2 =a2

a∗2M2

si ottengono le relazioni fra M ed M∗

M∗2 =

γ + 1

2M2

1 +γ − 1

2M2

(3.32)

M2 =

2

γ + 1M∗2

1 − γ − 1

γ + 1M∗2

(3.33)

Da queste si rileva che il comportamento di M∗ e analogo a quello di M .Infatti, se M = 0 anche M∗ = 0; se il flusso e subsonico, anche M∗ < 1; seM = 1, M∗ = 1; se il flusso e supersonico, anche M∗ > 1. Per M = ∞si ha invece

M∗max =

√

γ + 1

γ − 1(3.34)

e, nel caso di γ = 1.4, M∗ ha quindi un valore massimo pari a√

6.

Si noti che la condizione M = ∞ non corrisponde necessariamente adavere velocita infinita (in questo caso dovrebbe essere anche a0 = ∞), ma puoanche corrispondere ad avere velocita del suono nulla, il che comporta ancheT = p = ρ = 0.

In base alla (3.23), la velocita assume il valore

umax =

√

2

γ − 1a0 (3.35)

Capitolo 3 37

Questa condizione corrisponde ad aver trasformato tutta l’energia internadel gas in energia cinetica, facendo espandere il gas fino alla pressione nulla.La velocita umax rappresenta quindi il valore massimo teoricamente ottenibileper una corrente caratterizzata da a0. Tuttavia il valore realmente ottenibilesara minore di umax, in quanto prima di raggiungere la condizione p = T = 0,vengono meno le ipotesi di gas ideale e di mezzo continuo, che sono alla basedel nostro modello di fluido.

3.3 Flussi quasi-unidimensionali, stazionari, omen-

tropici

Passiamo ora ad esaminare come la soluzione delle equazioni (3.15–3.17) di-pende dalla geometria del condotto, ovvero da A(x).

Sviluppando la derivata nella (3.15) e dividendo per ρuA, la (3.15) puoessere scritta in termini differenziali come

dA

A+dρ

ρ+du

u= 0 (3.36)

mentre dalla (3.16) si ha

du = − 1

ρudp (3.37)

Eliminando du fra le (3.36) e (3.37) ed esprimendo dρ in funzione di dpmediante la (1.5), dato che il processo e isentropico, si ottiene

dA

A=

dp

ρu2(1 −M2) (3.38)

La relazione precedente mostra che in un condotto convergente (dA < 0)se il flusso e subsonico (M < 1), la pressione diminuisce (dp < 0), e, in virtudella (3.37), la velocita aumenta (du > 0). Viceversa, se il flusso e supersonico,la pressione aumenta e la velocita diminuisce. L’opposto accade in un condottodivergente, come e schematicamente indicato in Fig. 3.4. I condotti nei qualisi realizza un’espansione ed un’accelerazione del fluido vengono detti ugelli,mentre quelli in cui si ha una compressione e decelerazione vengono dettidiffusori.

La differenza tra subsonico e supersonico corrisponde al fatto che perM < 1 la variazione di velocita predomina sulla variazione di densita, men-tre l’opposto accade per M > 1. In una espansione, ad esempio, la velocitaaumenta e la densita diminuisce: come si vede dalla (3.36), se prevale l’au-mento di velocita (M < 1), la sezione dovra diminuire, mentre se prevale ladiminuzione di densita (M > 1), la sezione dovra aumentare.

Capitolo 4

Teoria delle caratteristiche

Lo studio dei flussi non stazionari di un fluido perfetto, cosı come quello deiflussi stazionari supersonici, porta a dover risolvere sistemi di equazioni dif-ferenziali per i quali e particolarmente utile il metodo delle caratteristiche.Il metodo verra presentato in questo capitolo con riferimento ad un genericosistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, del primo ordine, chesoddisfi le seguenti condizioni:

i) le variabili dipendenti siano continue;

ii) le equazioni siano quasi-lineari; cio significa che i coefficienti mol-tiplicativi delle derivate possono essere funzione delle variabili di-pendenti e indipendenti, ma non delle derivate stesse;

iii) il sistema sia di natura iperbolica. Verra chiarito nel seguito comesia possibile verificare che quest’ipotesi sia soddisfatta.

Un generico sistema di k equazioni nelle k variabili dipendenti vj ed in nvariabili indipendenti xi ha la forma

ai11∂v1∂x1

+ai12∂v1∂x2

+· · · ai1n∂v1∂xn

+ai21∂v2∂x1

+· · · aikn∂vk

∂xn+bi = 0 (i = 1, . . . , k)

(4.1)

Introducendo i vettori

dij = {aij1 aij2 . . . aijn} (4.2)

il sistema puo scriversi in forma compatta

dij · ∇vj + bi = 0 (i = 1, . . . k) (4.3)

62

Capitolo 4 63

avendo fatto uso della regola dell’indice ripetuto. La forma vettoriale (4.3) hail vantaggio di essere invariante rispetto alla scelta del sistema di coordinate, ilche consente in ogni particolare situazione di scegliere il sistema di coordinatenel modo geometricamente piu conveniente.

Al sistema di equazioni (4.3) e in generale associato un insieme di condizioniiniziali che specificano il valore delle variabili vj su una superficie dello spazioad n dimensioni. Nel caso di n = 3 questa e una superficie nel senso stretto,mentre nel caso n = 2 questa e una linea.

Si consideri un generico punto P di tale superficie ed il piano passante perP tangente alla superficie stessa. La conoscenza dei valori delle vj in tutti ipunti della superficie corrisponde a conoscere in ogni punto anche i valori dellederivate di vj “lungo” la superficie. Cio significa che in un riferimento localeavente uno degli assi normale al piano tangente, per ogni variabile vj sono notele derivate nelle (n − 1) direzioni che giacciono nel piano. Per i k gradienti,che hanno nk componenti, sono quindi note le (n− 1)k componenti nel piano.Nelle equazioni (4.3) rimangono incognite solo le k componenti dei gradienti indirezione normale al piano, che possono pertanto essere determinate risolvendole k equazioni (4.3). Conoscendo le derivate normali in ogni punto e allorapossibile determinare i valori delle variabili su una nuova superficie e, ripetendoil procedimento, determinare la soluzione in tutto lo spazio.

Tuttavia, cio e possibile solo se e diverso da zero il determinante dei coef-ficienti delle k componenti normali. Se questo determinante e nullo, ovverose esiste una combinazione lineare delle (4.3) che non contiene le k compo-nenti normali dei gradienti, il piano e detto piano eccezionale nel punto P .Una superficie che sia inviluppo di piani eccezionali e detta una superficiecaratteristica.

Ci proponiamo ora di verificare se per il sistema (4.3) esistono piani ecce-zionali e di determinare la direzione della normale n a questi piani.

Consideriamo una combinazione lineare con coefficienti αi delle k equazio-ni (4.3)

αidij · ∇vj + αibi = 0 (4.4)

che, introducendo i vettori

Dj = αidij (4.5)

e ponendo

C = αibi (4.6)

puo anche scriversi

Dj · ∇vj + C = 0 (4.7)

64 Capitolo 4

Affinche il piano sia eccezionale, i coefficienti αi devono essere tali chenella (4.7) non compaiano le componenti dei gradienti in direzione normale alpiano. Cio e evidentemente verificato se i vettori Dj sono paralleli al pianostesso. Pertanto condizione sufficiente affinche un piano sia eccezionale e che

n · Dj = 0 (j = 1, . . . , k) (4.8)

E’ possibile dimostrare che questa condizione e anche necessaria.

Le (4.8), ove si sostituiscano le espressioni (4.5), costituiscono un sistemadi k equazioni omogenee nelle k incognite αi

α1(d11 · n) + α2(d21 · n) + · · · + αk(dk1 · n) = 0

α1(d12 · n) + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0...α1(d1k · n) + . . . . . . . . . . . . . . . . . + αk(dkk · n) = 0

(4.9)

Affinche esista una soluzione non banale di questo sistema, deve esserenullo il determinante dei coefficienti:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

d11 · n d21 · n · · · dk1 · n

d12 · n d22 · n · · · dk2 · n...

......

...

d1k · n d2k · n · · · dkk · n

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 (4.10)

Sviluppando il calcolo del determinante ed esprimendo n in termini dellesue componenti, si ottiene una equazione algebrica di grado k in queste com-ponenti, i cui coefficienti dipendono dai coefficienti delle equazioni (4.3) nelpunto P .

Questa equazione avra k soluzioni, non necessariamente distinte. Se lesoluzioni sono reali, il sistema e iperbolico; se le soluzioni sono anche fra lorodistinte il sistema si dice strettamente iperbolico e per ogni punto esistono kpiani eccezionali, cioe tanti quanti sono le variabili dipendenti. Per ogni pianoeccezionale, cioe per ogni n che sia soluzione della (4.10), e ora possibile de-terminare, risolvendo il sistema (4.9), un set di coefficienti αi e di conseguenzai vettori Dj che compaiono nella (4.7). Questa relazione mostra che lungoun piano eccezionale le (n − 1)k componenti dei gradienti lungo il piano nonsono fra loro indipendenti e non possono quindi avere un valore arbitrario, madevono appunto soddisfare la (4.7). Questa relazione, valida lungo il pianoprende il nome di equazione di compatibilita.

Capitolo 4 65

4.1 Equazioni caratteristiche e di compatibilita per

flussi 1D, non stazionari, omentropici

Al fine di chiarire quanto detto in precedenza, consideriamo a titolo di esempiola determinazione delle superfici caratteristiche e delle corrispondenti equazio-ni di compatibilita per il sistema di equazioni che governa un flusso monodi-mensionale, non-stazionario ed omentropico.

Poiche l’equazione (3.14) e identicamente soddisfatta, il sistema e costituitodalle sole (3.8) e (3.10) nelle quali A = cost. In base all’ipotesi di omentro-pia e poi possibile mediante la (1.5) esprimere ∂p/∂x in funzione di ∂ρ/∂x eriscrivere le (3.8) e (3.10) nella forma

∂ρ

∂t+ u

∂ρ

∂x+ ρ

∂u

∂x= 0 (4.11)

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+a2

ρ

∂ρ

∂x= 0 (4.12)

Seguendo le notazioni del paragrafo precedente, si ha k = n = 2 e,assumendo x1 = t, x2 = x, v1 = ρ, v2 = u, i vettori (4.2) risultano

d11 = {1 u} d12 = {0 ρ} d21 =

{

0a2

ρ

}

d22 = {1 u}

(4.13)

Indicando con n1, n2 le componenti in direzione x1 e x2 del vettore n

normale alla superficie caratteristica, che in questo caso sara una linea carat-teristica, la condizione (4.10) risulta

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

n1 + un2a2

ρn2

ρn2 n1 + un2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 (4.14)

Poiche evidentemente la direzione della linea caratteristica dipende dalrapporto n1/n2, posto

λ = tgϑ = −n1

n2(4.15)

66 Capitolo 4

la (4.14) puo scriversi:

|A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

u− λa2

ρ

ρ u− λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 (4.16)

Sviluppando il calcolo del determinante, si ha

(u− λ)2 = a2

che ammette le due soluzioni

λ1,2 = u∓ a (4.17)

Per ogni punto P del piano x, t si hanno quindi due rette eccezionali diequazione

dx

dt= u− a (4.18)

dx

dt= u+ a (4.19)

Poiche in generale u ed a sono variabili da punto a punto del piano x, t, ledirezioni eccezionali sono anch’esse variabili e le (4.18) e (4.19) definiscono leequazioni di due famiglie di linee caratteristiche, che sono inviluppo di retteeccezionali (Fig. 4.1 e 4.2).

θ

n

t

θ

n

linea caratteristica

retta eccezionale

x

P

1

n2

t

u + a

u - a

P

x

=

=dt

dxdt

dx

Fig. 4.1 Fig. 4.2

Introducendo il vettore

l = {α1, α2} (4.20)

Capitolo 4 67

ed utilizzando la definizione della matrice A data nella (4.16), il sistema (4.9)puo scriversi

AlT = 0 (4.21)

Consideriamo ora una delle due soluzioni (4.17) ad esempio λ1 = u − a.Per questo valore si ha

A =

aa2

ρ

ρ a

e la (4.21) consente di determinare il corrispondente vettore l1. Poiche questoe evidentemente definito a meno di una costante, senza perdita di generalitasi puo porre α1 = 1 e ricavare dalla (4.21)

α2 = −ρa

I vettori Dj definiti dalla (4.5) risultano

D1 = {1 u− a} D2 =

{

−ρa

(a− u)ρ

a

}

(4.22)

e l’equazione di compatibilita (4.7) assume la forma

∂ρ

∂t+ (u− a)

∂ρ

∂x− ρ

a

[

∂u

∂t+ (u− a)

∂u

∂x

]

= 0 (4.23)

Poiche quest’equazione e valida lungo la corrispondente curva caratteri-stica (4.18), possiamo introdurre quest’ultima nella (4.23) che risulta quindiun’equazione alle derivate totali

dρ

dt− ρ

a

du

dt= 0

ovvero

dρ

ρ− du

a= 0 (4.24)

nella quale dρ e du rappresentano le variazioni lungo la linea caratteristi-ca (4.18).

Ripetendo il procedimento per l’altra soluzione λ2 = u + a si ottienel’equazione di compatibilita valida lungo la (4.19)

dρ

ρ+du

a= 0 (4.25)

68 Capitolo 4

L’utilita delle equazioni caratteristiche e di compatibilita nella soluzione deiflussi monodimensionali, non-stazionari verra chiarita nel prossimo capitolo.Per il momento si noti solamente che il problema della soluzione del sistema didue equazioni alle derivate parziali (4.11) e (4.12) e stato ridotto alla soluzionedi due sistemi alle derivate ordinarie (4.18–4.19) e (4.24–4.25).

4.2 Formulazione matriciale

Il metodo precedentemente esposto per la determinazione delle superfici carat-teristiche ha il pregio di metterne in evidenza il significato geometrico ma ri-sulta particolarmente laborioso. La determinazione delle caratteristiche e delleequazioni di compatibilita diviene piu semplice facendo uso di una notazionematriciale anziche vettoriale.

Consideriamo il caso di due sole variabili indipendenti (n = 2). Il siste-ma (4.1) puo anche scriversi

A1v,x1 +A2v,x2 + B = 0 (4.26)

in cui

A1 =

a111 a121 · · · a1k1

a211 · · · · · · · · ·...

......

...

ak11 · · · · · · akk1

A2 =

a112 a122 · · · a1k2

a212 · · · · · · · · ·...

......

...

ak12 · · · · · · akk2

v =

v1

v2

...

vk

B =

b1

b2

...

bk

e si e fatto uso della notazione

φ,x1 =∂φ

∂x1(4.27)

La condizione (4.10) che determina le direzioni caratteristiche puo scriversi

∣

∣

∣(A1n1 +A2n2)T∣

∣

∣ = 0

Capitolo 4 69

che, poiche il determinante di una matrice coincide con il determinante dellamatrice trasposta, utilizzando la (4.15), equivale a

| − λA1 +A2| = 0 (4.28)

Per i flussi non stazionari, cosı come per i flussi stazionari supersonici, esempre possibile scrivere le equazioni in modo che A1 ≡ I e la (4.28) risulta

|A2 − λI| = 0 (4.29)

che, nel caso particolare esaminato in precedenza, coincide ovviamente conla (4.16).

La (4.29) mostra che i valori λi che individuano le direzioni caratteristichesono gli autovalori della matrice A2.

Il sistema (4.9) per il calcolo dei coefficienti αi, utilizzando la notazio-ne (4.20), assume la forma

(A2 − λI)T lT = 0

che coincide con la (4.21) e che puo riscriversi

l(A2 − λI) = 0 (4.30)

Questa relazione mostra che i coefficienti αi altro non sono che le compo-nenti lij degli autovettori sinistri li, ottenute cioe moltiplicando la matrice Ada sinistra.

Introduciamo ora la matrice degli autovalori

Λ =

λ1 0 · · · 0

0 λ2

.... . .

0 λk

(4.31)

la matrice degli autovettori sinistri

L =

l1

l2

...

lk

=

l11 l12 · · · l1k

l21

...

lk1 · · · · · · lkk

(4.32)

70 Capitolo 4

e la matrice degli autovettori destri

R = [r1, r2, . . . , rk] =

r11 r21 · · · rk1

r12

...

r1k · · · · · · rkk

(4.33)

ottenuti moltiplicando la matrice A da destra e per la quale vale la relazione

RL = I (4.34)

La matrice A2 puo scriversi

A2 = R Λ L (4.35)

e la (4.26) risulta

v,x1 +R Λ L v,x2 + B = 0 (4.36)

Premoltiplicando per L e tenendo conto della (4.34) si ha

Lv,x1 + Λ Lv,x2 + LB = 0 (4.37)

E’ facile riconoscere che queste sono le equazioni di compatibilita.

Nel caso particolare in cui lij siano delle costanti e possibile introdurredelle nuove variabili

u = Lv (4.38)

che sono combinazioni lineari delle variabili originarie vj per le quali le (4.37)risultano

u,x1 + Λu,x2 + B′ = 0 (4.39)

Poiche la matrice Λ e diagonale, in ognuna delle equazioni (4.39) compareuna sola variabile uj e la (4.39) rappresenta la forma diagonale del sistemaoriginario (4.26).

Nel caso piu generale in cui lij sono variabili, la (4.37) viene detta formadiagonalizzata del sistema di equazioni.

Le (4.37) e (4.39) mostrano che assumendo un diverso set di variabili di-pendenti, gli autovalori non cambiano, ma cambiano gli autovettori (per levariabili u si ha L = I) e di conseguenza le equazioni di compatibilita.

Capitolo 4 71

Cio e vero per una qualunque trasformazione di variabili dipendenti. Se in-fatti introduciamo delle nuove variabili w legate alle v dalla matrice jacobianaT , cioe operiamo la trasformazione

∂w

∂v= T (4.40)

la (4.36) diviene

T−1w,x1 +R Λ LT−1w,x2 + B = 0

ovvero

w,x1 + TR Λ LT−1w,x2 + TB = 0 (4.41)

Ponendo

R′ = TR L′ = LT−1 B′ = TB

la (4.41) si scrive

w,x1 +R′ΛL′ w,x2 + B′ = 0

che e formalmente uguale alla (4.36) ma con diversi autovettori destri e sinistri,mentre ha la stessa matrice degli autovalori.

4.3 Equazioni caratteristiche e di compatibilita per

flussi quasi–unidimensionali, isentropici

Utilizziamo il metodo matriciale per ricavare le equazioni delle caratteristichee quelle di compatibilita per i flussi quasi–unidimensionali, non stazionari,isentropici.

Si osservi che nel caso non stazionario il fatto che il flusso sia isentropi-co non significa necessariamente che sia omentropico. Si pensi ad esempio altransitorio di un ugello nel quale sia presente un urto: a monte ed a valledell’urto le variabili sono continue e si puo quindi utilizzare il metodo dellecaratteristiche. Poiche nel transitorio l’urto cambia posizione e quindi inten-sita, le particelle che passano attraverso l’urto ad istanti differenti subisconoun diverso aumento di entropia. Pertanto a valle dell’urto si avra in generales,x 6= 0 e s,t 6= 0.

Le equazioni di conservazione che governano questa classe di flussi sonole (3.8), (3.10) e (3.14). Queste equazioni possono essere espresse in termini diuna qualunque coppia di variabili termodinamiche. Poiche pero la forma delle

72 Capitolo 4

equazioni di compatibilita dipende dalle variabili scelte, utilizzeremo nel segui-to come variabili termodinamiche la velocita del suono e l’entropia che dannoluogo ad una forma particolarmente semplice delle equazioni di compatibilita.

Al fine di esprimere ρ e p, che compaiono nelle (3.8) e (3.10), in funzionedi a ed s, differenziamo logaritmicamente la (1.21)

2da

a=dp

p− dρ

ρ(4.42)

Eliminando prima dp e poi dρ fra questa e la (1.18), si ottiene

dρ

ρ=

1

δ

da

a− ds

R(4.43)

dp

p=

γ

δ

da

a− ds

R(4.44)

Utilizzando la (4.43) per esprimere ρ,t e ρ,x nella (3.8), si ha

a,t + ua,x + δau,x + δauA,x

A− δa

R(s,t + us,x ) = 0 (4.45)

ove l’ultimo termine e nullo in base alla (3.14). Analogamente utilizzandola (4.44) per esprimere p,x nella (3.10), si ottiene

u,t + uu,x +a

δa,x − a2

γRs,x = 0 (4.46)

Le equazioni (3.14), (4.45) e (4.46) possono essere scritte in forma adimen-sionale assumendo come grandezze di riferimento; l per le lunghezze, a per levelocita, t = l/a per il tempo e γR/δ per l’entropia.

Seguitando ad indicare per comodita le grandezze adimensionali con glistessi simboli sinora usati per le grandezze dimensionali, le equazioni in formaadimensionale risultano

a,t + ua,x + δau,x +δau

AA,x = 0 (4.47)

u,t + uu,x +a

δa,x − a2

δs,x = 0 (4.48)

s,t + us,x = 0 (4.49)

Capitolo 4 73

Questo sistema puo essere scritto nella forma (4.26) con

v =

a

u

s

A1 = I A2 =

u δa 0

a

δu −a

2

δ

0 0 u

B =

δauA,x

A

0

0

L’equazione (4.29) risulta quindi

(u− λ)[

(u− λ)2 − a2]

= 0

che fornisce i tre autovalori

λ1 = u− a λ2 = u+ a λ3 = u (4.50)

i quali definiscono in ogni punto tre direzioni caratteristiche di equazioni

dx

dt= λi (i = 1, 2, 3) (4.51)

Si noti che i primi due autovalori sono quelli che si otterebbero nel casoomentropico e coincidono con i valori (4.17) ottenuti a partire dalla formula-zione nelle variabili ρ, u.

In corrispondenza ad ognuno degli autovalori λi si possono determinare lecomponenti lij del corrispondente autovettore sinistro li risolvendo il sistemaalgebrico ottenibile dalla (4.30), che per il caso in esame risulta

(u− λi)li1 +a

δli2 = 0

δali1 + (u− λi)li2 = 0

−a2

δli2 + (u− λi)li3 = 0

Poiche gli autovettori sono definiti a meno di una costante, possiamo as-sumere per comodita l11 = l21 = l33 = 1 ed ottenere quindi gli autovettorisinistri

l1 = {1,−δ,−a}

l2 = {1, δ,−a} (4.52)

l3 = {0, 0, 1}

74 Capitolo 4

Analogamente gli autovettori destri si ottengono risolvendo il sistema

(u− λi)ri1 + δari2 = 0

a

δri1 + (u− λi)ri2 −

a2

δri3 = 0

(u− λi)ri3 = 0

Assumendo, ai fini della normalizzazione, r11 = r21 =1

2e r33 = 1, gli

autovettori destri risultano

r1 =

1

2

− 1

2δ

0

r2 =

1

2

1

2δ

0

r3 =

a

0

1

(4.53)

L’equazione vettoriale (4.37) puo allora scriversi:

1 −δ −a

1 δ −a

0 0 1

a

u

s

t

+

u− a 0 0

0 u+ a 0

0 0 u

1 −δ −a

1 δ −a

0 0 1

a

u

s

x

+

1 −δ −a

1 δ −a

0 0 1

δauA,x

A

0

0

= 0

che equivale alle tre equazioni scalari

(a− δu),t − as,t + (u− a) [(a− δu),x − as,x] + δauA,x

A= 0 (4.54)

(a+ δu),t − as,t + (u+ a) [(a+ δu),x − as,x] + δauA,x

A= 0 (4.55)

s,t + us,x = 0 (4.56)

Capitolo 4 75

Come e evidente dalla definizione (4.4), la forma diagonalizzata non e altroche una opportuna combinazione lineare delle equazioni originarie. In parti-colare l’equazione dell’energia espressa in termini dell’entropia e gia in formadiagonale e rimane quindi inalterata. Pertanto, cosı come le equazioni ori-ginarie, la forma diagonalizzata (4.54–4.56) e valida in tutto il campo e nonsolo lungo le linee caratteristiche. Le equazioni (4.54–4.56) acquistano perouna forma particolarmente semplice quando vengano scritte lungo le corri-spondenti linee caratteristiche (4.51). Infatti, considerando ad esempio unacaratteristica di pendenza λ1, poiche lungo di essa u − a = dx/dt, la (4.54)puo scriversi:

[

∂

∂t(a− δu) +

∂

∂x(a− δu)

dx

dt

]

− a

[

∂s

∂t+∂s

∂x

dx

dt

]

+ δauA,x

A= 0

ovvero

d

dt(a− δu) − a

ds

dt+ δau

A,x

A= 0 lungo

dx

dt= λ1 (4.57)

e analogamente

d

dt(a+ δu) − a

ds

dt+ δau

A,x

A= 0 lungo

dx

dt= λ2 (4.58)

ds

dt= 0 lungo

dx

dt= λ3 (4.59)

E’ a queste equazioni che faremo riferimento con il termine di equazioni dicompatibilita.

Nel caso particolare di un flusso unidimensionale e omentropico, la (4.59) esoddisfatta non solo lungo la traiettoria di una particella ma in tutto il campoe le (4.57) e (4.58) possono essere integrate dando luogo a

R1 = a− δu = cost lungodx

dt= u− a (4.60)

R2 = a+ δu = cost lungodx

dt= u+ a (4.61)

Le grandezze R1 e R2, che sono combinazione lineare delle variabili origi-narie u ed a, prendono il nome di invarianti di Riemann.

Si noti che le variabili R1 e R2 possono essere introdotte nelle (4.57) e (4.58)anche nel caso piu generale dei flussi quasi–unidimensionali e isentropici, masia nel caso quasi–unidimensionale omentropico, sia nel caso unidimensionaleisentropico R1 ed R2 non sono piu costanti lungo le corrispondenti linee carat-teristiche. In questo caso R1 ed R2 vengono piu propriamente dette variabilidi Riemann.

76 Capitolo 4

4.4 Sistemi riducibili

La possibilita di ridurre le equazioni di compatibilita alla forma di invariantidi Riemann e una proprieta non solo dei flussi unidimensionali, omentropicima di tutti i cosidetti sistemi riducibili

Un sistema di equazioni del tipo (4.26) viene detto riducibile se soddisfale seguenti condizioni:

i) il sistema e omogeneo

ii) il numero delle variabili dipendenti e di quelle indipendenti e paria due.

iii) i coefficienti delle equazioni dipendono esplicitamente solo dallevariabili dipendenti.

In tali ipotesi il sistema (4.26) puo scriversi:

v,x1 +Av,x2 = 0 (4.62)

con

A =

a11 a12

a21 a22

(4.63)

Gli autovalori della matrice A risultano

λi =1

2

{

(a11 + a22) ∓[

(a11 − a22)2 + 4a12a21

]1/2}

(4.64)

e definiscono nel piano x1, x2, che viene detto piano fisico, due famiglie dicurve caratteristiche di equazione

dx2

dx1= λi (4.65)

La famiglia corrispondente a λ1, che convenzionalmente assumiamo esserequella con il segno meno, verra indicata con C1 e quella corrispondente a λ2

con C2.Gli autovettori sinistri sono dati da

li1(a11 − λi) + li2a21 = 0 (4.66)

e le equazioni diagonalizzate risultano

li · (v,x1+ λiv,x2

) = 0 (4.67)

Capitolo 4 77

In questa equazione (v,x1+λ1v,x2) rappresenta la derivata direzionale lungole curve caratteristiche della famiglia C1. Introducendo una coordinata cur-vilinea α lungo le curve C1 ed un’analoga coordinata β lungo le C2, le (4.67)possono scriversi

l1 ·dv

dα= 0 lungo C1 (4.68)

l2 ·dv

dβ= 0 lungo C2 (4.69)

ovvero

li1dv1 + li2dv2 = 0 lungo Ci (4.70)

Integrando queste equazioni si ottiene

∫

li1dv1 +

∫

li2dv2 = Ri = cost lungo Ci (4.71)

che definiscono gli invarianti di Riemann R1 ed R2. Si noti che il valore dellacostante e in generale diverso dall’una all’altra delle curve Ci.

Utilizzando la (4.66), la (4.70) puo anche scriversi

dv1dv2

=a11 − λi

a21lungo Ci (4.72)

In base all’ipotesi iii), il secondo membro e funzione unicamente di v1 ev2 e la (4.72) definisce quindi due famiglie di curve nel piano (v1, v2), cheverranno indicate con Γ1 e Γ2 rispettivamente. Poiche per i flussi omentropicisia unidimensionali non stazionari, sia bidimensionali stazionari, le variabili v1e v2 rappresentano delle velocita, il piano (v1, v2) viene detto piano odografo.

Si osservi che l’integrazione delle (4.72) e quindi la costruzione delle curveΓ1 e Γ2 non dipende dal particolare problema in esame e puo quindi essere fattauna volta per tutte. La specificita del problema si manifesta solo attraversola costruzione delle linee caratteristiche (4.65) che consente di stabilire unacorrispondenza fra i punti del piano fisico e quelli del piano odografo cioedi determinare in ogni punto (x1, x2) del piano fisico i valori delle variabilidipendenti v1 e v2.

78 Capitolo 4

Al fine di analizzare meglio la corrispondenza fra piano fisico e piano odo-grafo consideriamo una trasformazione di variabili nella quale le variabili di-pendenti e quelle indipendenti si scambiano di ruolo. Tale trasformazioneprende il nome di trasformazione odografa.

In base all’ipotesi di continuita delle variabili possiamo scrivere

dv1 =∂v1∂x1

dx1 +∂v1∂x2

dx2

dv2 =∂v2∂x1

dx1 +∂v2∂x2

dx2

Da queste, se lo jacobiano

J =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂v1∂x1

∂v1∂x2

∂v2∂x1

∂v2∂x2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(4.73)

e finito e non singolare (cioe 6= ∞ e 6= 0), si puo ricavare

dx1 =1

J

(

∂v2∂x2

dv1 −∂v1∂x2

dv2

)

dx2 =1

J

(

−∂v2∂x1

dv1 +∂v1∂x1

dv2

)

e quindi

∂v1∂x1

= J∂x2

∂v2

∂v1∂x2

= −J ∂x1

∂v2

∂v2∂x1

= −J ∂x2

∂v1

∂v2∂x2

= J∂x1

∂v1

Sostituendo queste espressioni nel sistema (4.62) si ottiene

∂x1

∂v2− a22

a21

∂x1

∂v1+

1

a21

∂x2

∂v1= 0

∂x2

∂v2+a12a21 − a11a22

a21

∂x1

∂v1+a11

a21

∂x2

∂v1= 0

(4.74)

Capitolo 4 79

Questo e un sistema di equazioni lineari nelle variabili dipendenti (x1, x2)e nelle variabili indipendenti (v1, v2). E’ proprio in virtu della possibilita diridurre il sistema quasi-lineare (4.62) alla forma lineare (4.74), che tali sistemivengono detti riducibili.

Le equazioni delle linee caratteristiche per il sistema (4.74) sono date da

dv1dv2

= λ∗i (4.75)

Calcolando gli autovalori λ∗i della matrice dei coefficienti del sistema (4.74),e facile verificare che le (4.75) coincidono con le (4.72) e rappresentano lecurve Γi, che vengono pertanto dette caratteristiche odografe. Ovviamentele equazioni di compatibilita lungo le caratteristiche (4.75) coincidono con lecaratteristiche nel piano fisico cioe con le curve Ci.

Le caratteristiche odografe Γi sono l’immagine nel piano odografo dellecaratteristiche fisiche Ci. Questa corrispondenza pero non sempre e biunivo-ca. Immaginando di utilizzare il sistema (4.74) per ricavare i valori (x1, x2)che corrispondono ad una coppia di valori (v1, v2), cio e possibile solo se lojacobiano (4.73) e diverso da zero.

4.5 Zone uniformi e onde semplici

Un primo caso in cui lo jacobiano e nullo si verifica quando in una regione Sdel piano fisico si ha v1 = v10 = cost e v2 = v20 = cost. In questa situazioneche corrisponde ad un flusso uniforme, l’intera regione S e rappresentata nelpiano odografo da un unico punto S′ (Fig. 4.3). Poiche la pendenza dellecaratteristiche λi dipende unicamente da v1 e v2, essa e costante e quindi inuna regione di flusso uniforme le caratteristiche fisiche sono rette e parallele.

In considerazione del fatto che le caratteristiche odografe Γi, corrispondentialle Ci, si riducono ad un punto, le zone di flusso uniforme vengono anche dettezone a zero famiglie.

S

C C2

x1

x2

1

2v

1

v S’20

v10 v

Fig. 4.3

Lo jacobiano J e nullo anche quando v1 e v2 non sono fra loro indipendenti,

80 Capitolo 4

cioe quando in una regione S del piano fisico esiste una relazione v1 = v1(v2).Utilizzando questa relazione per esprimere le derivate di v1 nel sistema (4.62),si ottiene facilmente

(

dv1dv2

)2

+a22 − a11

a21

dv1dv2

− a12

a21= 0

che coincide con la definizione delle caratteristiche odografe (4.72). Cio signi-fica che la relazione v1 = v1(v2) non puo essere arbitraria ma deve coinciderecon una delle due equazioni di compatibilita, ovvero la curva v1 = v1(v2) deveessere un arco di caratteristica Γ1 o Γ2. Poiche queste ultime possono ancheessere definite dalle Ri = cost, il fatto che nella regione S le variabili v1 ev2 non siano indipendenti implica che uno dei due invarianti di Riemann siacostante in tutta la regione S e non solo lungo la corrispondente caratteristicaCi. Le regioni nelle quali uno dei due invarianti di Riemann e costante sonodette regioni ad onda semplice.

Supponiamo, ad esempio, che in una regione S dello spazio fisico si abbiaR1 = cost. Poiche questa relazione e rappresentata nel piano odografo daun arco di curva Γ1, quest’arco di curva e l’immagine dell’intera regione S.Nei flussi ad onda semplice si ha cioe una corrispondenza degenere in cui asuperfici del piano fisico corrisponde una linea sul piano odografo, cosı comenei flussi uniformi si ha una corrispondenza doppiamente degenere in cui asuperfici del piano fisico corrisponde un punto del piano odografo.

xA S D

C’

C

C’’ba c d

2

x1

2

1

1

C2

2

Γ1

v

1

a’b’

c’

d’

v

a) b)

Fig. 4.4

In Fig. 4.4.a e rappresentata una regione ad onda semplice S, nella qualeR1 = cost, che confina lungo le caratteristiche a e d con due regioni uniformiA e D.

L’intero piano fisico e rappresentato nel piano odografo dal tratto a′d′ dellacurva Γ1: tutte le caratteristiche C1 hanno la stessa immagine Γ1, mentrel’immagine delle caratteristiche C2 si riduce ad un punto sulla curva Γ1 (ad

Capitolo 4 81

es. il punto b′ e l’immagine della caratteristica fisica b). Si noti che il puntoa′ e l’immagine non solo della caratteristica a, ma dell’intera regione uniformeA.

Poiche tutti i punti di una caratteristica C2 hanno la stessa immagine nelpiano odografo, lungo la C2 si ha v1 = cost e v2 = cost. Cio puo ancheessere dedotto considerando che lungo la C2 si ha R2 = cost e, poiche in tuttala regione vale R1 = cost, queste due relazioni sono soddisfatte solo se sonocostanti sia v1 che v2.

Pertanto le caratteristiche C2 sono rette ma, essendo i valori di v1 e v2diversi da una all’altra delle caratteristiche C2, esse non sono parallele.

Viceversa le caratteristiche C1, che sono rette nelle zone uniformi, sonocurve nella zona ad onda semplice e vengono dette caratteristiche trasversali.

Naturalmente il ruolo delle caratteristiche C1 e C2 si inverte quando siconsideri una regione ad onda semplice nella quale R2 = cost, la cui immaginenel piano odografo e costituita da un arco di curva Γ2.

Poiche le regioni ad onda semplice sono rappresentate da una sola carat-teristica Γi, esse vengono anche dette zone ad una famiglia.

Una regione ad onda semplice di dimensioni finite e delimitata nel pianofisico da due caratteristiche rettilinee e da due caratteristiche curve della fa-miglia opposta. Poiche zone a diverso numero di famiglie confinano fra lorolungo linee caratteristiche Ci, una zona ad una famiglia puo confinare lungole caratteristiche rettilinee solo con zone a zero famiglie e lungo le caratteri-stiche trasversali solo con zone a due famiglie. Una zona a zero famiglie puoconfinare con una zona a due famiglie al massimo in un punto.

Un esempio di un campo nel quale si hanno regimi a diverso numero difamiglie e mostrato in Fig. 4.5.

x

1

0

0

2

1

1

1

0

0

x

C

C

1

2

C

C

1

1

2

2

Fig. 4.5

82 Capitolo 4

Il fatto poi che in un particolare problema si abbiano zone a zero, una odue famiglie dipende in generale dalle condizioni al contorno, come sara megliochiarito nel prossimo capitolo.

4.6 Il metodo delle caratteristiche per sistemi ridu-

cibili

La teoria delle caratteristiche consente di risolvere in modo molto sempliceproblemi che siano governati da sistemi di equazioni riducibili. Un problemadi questo tipo dovra essere specificato attraverso l’assegnazione delle condizioniiniziali e di eventuali condizioni al contorno.

Consideriamo il caso in cui le condizioni iniziali siano assegnate specifican-do i valori di v1 e v2 lungo una linea del piano fisico (ad es. l’arco AE diFig. 4.6.a), che, in base a quanto detto all’inizio di questo capitolo, non deveessere una linea caratteristica.

M

CD

E

C

BA

LHGF

P

x1

2x

N

C1

2

2

h

pf

c

g

m

Γ

Γ1

v

v

a

b

de

l

2

1

a) b)

Fig. 4.6.

Ad ogni coppia di valori v1 e v2 corrisponde un punto nel piano odografoed in questo piano il luogo dei punti che rappresentano le condizioni iniziali equindi un arco di curva ae che e l’immagine di AE.

Poiche per ogni punto del piano odografo passa una curva Γ1 ed una curvaΓ2, considerando un punto come g e ricordando che le Γi hanno equazioneRi = cost, possiamo scrivere

R1g = R1c

(4.76)

R2g = R2b

Capitolo 4 83

e, dalla soluzione di questo sistema, possiamo ottenere i valori di v1 e v2 nelpunto g in funzione dei valori noti nei punti b e c.

Per determinare poi la posizione nel piano fisico del punto G che corrispon-de a g, utilizziamo le equazioni delle caratteristiche fisiche C1 e C2. Approssi-mando agli archi di curva BG e CG con dei segmenti rettilinei (ed utilizzandoquindi un’approssimazione del primo ordine), le (4.65) possono scriversi

x2G− x2C

= λ1c(x1G− x1C

)

(4.77)

x2G− x2B

= λ2b(x1G

− x1B)

che consentono di determinare le coordinate x1Ge x2G

.

Con lo stesso procedimento si puo ottenere la soluzione per gli altri puntidella linea FL. Il procedimento utilizzato a partire dalla linea AE puo quindiessere ripetuto partendo dalla linea FL e cosı via, fino ad ottenere la soluzionein tutta la regione AME delimitata dalla caratteristica C2 passante per A edalla caratteristica C1 passante per E.

L’accuratezza della soluzione puo essere aumentata a piacere riducendo laspaziatura del reticolo formato dalle linee caratteristiche, cioe aumentando ilnumero di punti assunti sulla linea iniziale AE.

In maniera del tutto identica si potrebbe determinare la soluzione ancheall’interno della regione ANE di Fig. 4.6.b. In generale questa soluzione hapero solo un valore matematico, ma non un significato fisico. I sistemi iperbo-lici infatti rappresentano dei fenomeni fisici evolutivi, nei quali cioe una dellevariabili indipendenti puo variare in un’unica direzione. Si pensi ad esempio alcaso dei flussi monodimensionali, non stazionari: la variabile tempo puo solocrescere. A partire da certe condizioni iniziali possiamo studiare come evolve ilsistema al crescere di t, ma non ha senso determinare come si modificherebbelo stato del sistema tornando indietro nel tempo. Evidentemente in Fig. 4.6.asi e assunto che la variabile evolutiva sia x2.

Dall’esame della Fig. 4.6 si osserva che la soluzione in un generico puntoP dipende dalle condizioni iniziali lungo l’arco BD, ma non da quelle in punticome A ed E. A prima vista potrebbe apparire che, poiche P dipende soloda b e d, la soluzione nel punto P dipenda solo dai valori nei punti B e De non dalle condizioni iniziali in punti come C. In realta, se si modificano ivalori di v1 e v2 nel punto C, si modificano anche i valori nei punti G e He di conseguenza varia la pendenza delle caratteristiche C2 nel punto G e C1

nel punto E, le quali quindi si intersecheranno in un punto P ′ diverso da P .Si e cioe modificata la corrispondenza fra piano fisico e piano odografo e lecondizioni rappresentate da p corrispondono al punto P ′ e non piu a P .

84 Capitolo 4

Poiche la soluzione nel punto P dipende dai valori di v1 e v2 in tutta laregione compresa all’interno delle caratteristiche C1 e C2 che escono dal puntoP nel verso di x2 decrescente, questa regione viene detta dominio di dipendenzadel punto P .

x2

x1

12C

Ccampo di influenza

P

dipendenzadominio di

Fig. 4.7

Analogamente, poiche il punto P influenza la soluzione solo nei punti al-l’interno della regione delimitata dalle caratteristiche C1 e C2 che escono dalpunto P nel verso di x2 crescente, questa regione viene detta campo di influenzadel punto P .

Se le condizioni iniziali sono assegnate lungo un’arco di lunghezza finita, ilmetodo delle caratteristiche consente di determinare la soluzione solo in unaregione limitata del piano fisico (regione AME di Fig. 4.6.a). Per determinarela soluzione per un qualsiasi valore della variabile evolutiva e necessario farricorso alle condizioni al contorno.

Per fissare le idee (ma la validita di quanto si dira nel seguito e del tut-to generale), consideriamo un flusso unidimensionale, non stazionario in uncondotto delimitato dalle sezioni xA e xE.

In base alle condizioni iniziali, che specificano i valori di v1 e v2 per t = 0e per xA ≤ x ≤ xE, e possibile, come si e visto, determinare la soluzione nellaregione AME. In mancanza di altre condizioni, la soluzione in un punto comeG di Fig. 4.8.a non puo essere ottenuta in quanto nella seconda delle (4.76)non si conosce il valore di R2b

. Per determinare la soluzione ad un qualsiasiistante t, e quindi necessario assegnare per ogni t una condizione sul contornoxA. La natura di questa condizione dipende dal particolare problema fisico,ma in generale consiste nell’assegnare una delle due variabili dipendenti v1 ov2. Si noti che e sufficiente assegnare una sola delle due variabili in quantol’altra puo essere determinata dalla relazione R1b

= R1d. Analogamente nel

caso di Fig. 4.8.a si deduce che un’altra condizione deve essere assegnata sulcontorno xE.

Una situazione leggermente diversa si verifica quando, come nel caso di

Capitolo 4 85

t

xD C

A x x

C21C

A E

B

G M

E x x

t

GM

L

EAx

A

B

H

CE

C C

C

C2

1

21

a) b)

Fig. 4.8

Fig. 4.8.b, le due famiglie di linee caratteristiche abbiano entrambe pendenzeλi positive (o entrambe negative). Anche in questo caso le condizioni inizialideterminano la soluzione nella regione AME e per calcolare il punto G enecessario far ricorso alla condizione al contorno nel punto B. Se pero siconsidera un punto come H, si nota che una sola condizione sul contorno xA

non e piu sufficiente a determinare la soluzione. Infatti nel punto B (cosı comenel punto F ) non si dispone piu della relazione utilizzata lungo la caratteristicaBD nel caso di Fig. 4.8.a, cioe non si dispone piu di una informazione chegiunge sul contorno dall’interno del dominio. Pertanto nel caso di Fig. 4.8.b.e necessario assegnare due condizioni sul contorno xA. Viceversa sul contornoxE non e necessario assegnare nessuna condizione, in quanto in un punto comeL si ha R1l

= R1c e R2l= R2b

cioe si dispone di due informazioni che giungonosul contorno dall’interno del dominio.

In conclusione vale la seguente regola generale: il numero delle condizionida assegnare su ogni contorno e pari al numero delle caratteristiche che entranodall’esterno all’interno del dominio attraverso il contorno stesso.

4.7 Relazioni di salto attraverso superfici caratteri-

stiche

All’inizio di questo capitolo abbiamo definito le superfici caratteristiche comesuperfici sulle quali non possono essere determinate le componenti normali deigradienti delle variabili, ovvero sulle quali le derivate delle variabili in direzionenormale alla superficie stessa sono indeterminate. Cio significa che le derivateattraverso una superficie caratteristica possono anche avere un valore diversoda un lato all’altro della superficie. Una superficie caratteristica puo quindianche essere definita come una superficie attraverso la quale le derivate delle

102 Capitolo 5

alla funzione G(x) della soluzione di D’Alambert. Infatti dalla (5.3) si ha

(u,t)t=0 = g(x) = −u0f′(x) − a2

0

ρ0h′(x)

che, sostituita nella (5.10), fornisce

G(x) = −a20

ρ0h(x)

5.3 Flussi ad onda semplice

Consideriamo nuovamente il problema rappresentato in Fig. 1.4, cioe quellodi un cilindro a sezione costante, contenente un gas inizialmente in quiete etermodinamicamente uniforme, delimitato a sinistra da un pistone ed illimitatoa destra. Supponiamo poi che all’istante t = 0 il pistone venga accelerato versosinistra, con legge del moto arbitraria vp(t), fino a raggiungere per t = t1una velocita v1 non trascurabile rispetto alla velocita del suono nel fluidoindisturbato a0. Per t ≥ t1 la velocita del pistone si mantenga costante, paria v1. La posizione del pistone al variare di t, cioe la traccia del pistone nelpiano (x, t), e rappresentata in Fig. 5.3 dalla curva OABC.

IIIII

A

C

P

F.P.

F.A.

t

t1

x

C

O

Pistone

C2

IB

1

DFig. 5.3

Poiche, come si e visto qualitativamente nel paragrafo 1.4, il pistone generaun’espansione isentropica ed essendo inizialmente l’entropia costante in tuttoil campo, il flusso e omentropico. Esso e quindi governato dalle equazioni(4.11) e (4.12) che costituiscono un sistema riducibile e che, a differenza diquanto visto nel paragrafo precedente, non possono essere linearizzate poicheil disturbo originato dal pistone non e trascurabile rispetto ad a0.

Utilizzando come variabili dipendenti la velocita del fluido e la velocita delsuono, le equazioni di compatibilita assumono la forma (4.60) e (4.61).

Capitolo 5 103

Per ogni punto P del piano x, t passa una caratteristica C1 che interse-ca il semiasse positivo delle x in un generico punto D. Poiche lungo que-sta caratteristica R1 e costante, si ha R1P

= R1Ded essendo, per t = 0,

R1 = a0 ∀ x, in tutti i punti del piano x, t si ha R1 = a0 = cost ed il flusso equindi ad onda semplice.

Per ogni punto lungo la traccia del pistone (ad es. il punto A) e pos-sibile tracciare una caratteristica C2 utilizzando la condizione al contorno el’invarianza di R1

uA = vp(t)

R1A = aA − δuA = a0

Da queste si ricava

aA = a0 + δvp(t) (5.20)

e di conseguenza l’equazione delle caratteristiche C2 risulta

dx

dt= u+ a = a0 + (1 + δ)vp(t)

Poiche, come si e visto al paragrafo 4.5, le caratteristiche sono rette e lungodi esse si mantengono costanti u ed a, la conoscenza delle caratteristiche C2

determina la soluzione in tutto il campo. Si osservi che, essendo vp negativa,lungo l’arco OAB la velocita del suono diminuisce (come deve accadere inun’espansione) ed il coefficiente angolare delle caratteristiche C2 diminuisce,cosicche esse sono fra loro divergenti.

La caratteristica C2 passante per l’origine ha equazione x = a0t e rap-presenta il fronte anteriore dell’onda di espansione: per t < a0x il disturbooriginato in O, che propaga con la velocita del suono a0, non ha ancora rag-giunto la sezione x e la zona I indicata in Fig. 5.3 e quindi una zona di flussoindisturbato, cioe una zona a zero famiglie, nella quale le C1 e C2 sono rettecon pendenza −a0 ed a0 rispettivamente.

La caratteristica C2 passante per il punto B ha equazione

x = x1 + [a0 + (1 + δ)v1](t− t1)

e rappresenta il fronte posteriore dell’espansione. Per t > t1, infatti, il pistonenon genera piu disturbi e la zona III e quindi una zona di flusso uniforme conu = v1 ed a = a0 + δv1.

La regione II, compresa fra il fronte anteriore e quello posteriore, rappre-senta l’espansione e attraverso di essa le variabili u, a, p variano con continuitadai valori della regione I a quelli della regione III.

104 Capitolo 5

v

uF.P. F.A.

1

x

F.P.

F.A.

C2

O x

t

Fig. 5.4 Fig. 5.5

In Fig. 5.4 e rappresentato qualitativamente l’andamento della velocitaad un certo istante temporale. Naturalmente la forma del profilo di velocitadipende dalla particolare legge assunta per il moto del pistone.

Si osservi che, al crescere di t, la distanza fra i fronti anteriore e posterioreaumenta ed il profilo di velocita diventa quindi sempre piu appiattito. Inoltrein corrispondenza dei due fronti la velocita e continua, ma la sua derivata ediscontinua: e questo un esempio di quanto si e visto nel paragrafo 4.7.

Un caso particolare di onda di espansione si ha quando il pistone vengaaccelerato istantaneamente alla velocita v1. In questo caso la traccia del pi-stone e una retta e la famiglia di caratteristiche C2 degenera in un fascio dirette uscenti dalla origine (Fig. 5.5).

In quest’onda semplice centrata le variabili u, ρ, p sono discontinue nell’o-rigine ma la discontinuita si tramuta immediatamente in un flusso continuo aldi fuori del punto 0.

Per questo stesso caso le figure 5.6.a-b, mostrano rispettivamente l’anda-mento delle caratteristiche trasversali C1 e le traiettorie di alcune particelle.

F.A.

x

tF.P.

C

C2

O

1

x

t

C2

Oa) b)

Fig. 5.6

Capitolo 5 105

All’aumentare del valore assoluto della velocita v1 del pistone, l’espansionediventa sempre piu intensa ed il fronte posteriore sempre piu ripido fino aquando, per

|v1| =a0

1 + δ(5.21)

il flusso a valle dell’espansione e sonico ed il fronte posteriore e verticale.Aumentando ulteriormente v1 il flusso diventa supersonico, la pendenza delfronte posteriore diviene negativa e l’espansione viene detta transonica.

Quando la velocita terminale del pistone v1 raggiunge il valore a0/δ, co-me si vede dalla (5.20), si ha a = 0 e di conseguenza si annullano anche latemperatura, la densita e la pressione. Il valore

uf =a0

δ(5.22)

rappresenta la massima velocita che il fluido puo raggiungere e prende il nomedi velocita di fuga. Si osservi che questo valore e maggiore di quello datodalla (3.35) per il caso di un flusso stazionario. Cio e dovuto al fatto che peril flusso non stazionario in esame la velocita del suono totale non e costante,ma aumenta a causa del lavoro esercitato dal pistone sul fluido.

Se la velocita del pistone e maggiore della velocita di fuga, il fluido none piu in grado di restare a contatto con il pistone e fra questo ed il fluidosi genera una zona di cavitazione (cioe di vuoto), rappresentata in Fig. 5.7dalla zona II nella quale non esistono linee caratteristiche. Il fronte posterioredell’espansione ha origine nel punto F in cui vp = uf : in questo punto lecaratteristiche C1 e C2 sono coincidenti e tangenti alla traiettoria del pistone.

F.A.

t

x

F.P.II

F

O

I

C2CC =2 1

Fig. 5.7

106 Capitolo 5

5.4 Interazione di onde di espansione

Consideriamo il caso in cui il cilindro, anziche essere infinitamente lungo, siadelimitato a destra da una parete solida posta all’ascissa x1. Per rispettare lacondizione di impermeabilita, in questa sezione si dovra imporre la condizioneal contorno u = 0,∀ t. Quando l’onda di espansione generata dal pistone arrivain x1, la condizione al contorno non sarebbe piu verificata, a meno che dallaparete non abbia origine una nuova onda (onda riflessa) tale da annullarela velocita generata dall’onda incidente. Poiche l’onda riflessa e di famigliaopposta all’onda incidente, ad una variazione di velocita uguale ed oppostacorrisponde una variazione di pressione uguale e dello stesso segno di quellache si ha attraverso l’onda incidente.

Con riferimento alla Fig. 5.8 si ha

uI = 0 aI = a0

uII = vp aII = a0 − δ|vp|

e dalla relazione R2II= R2III

con la condizione al contorno uIII = 0

uIII = 0 aIII = a0 − 2δ|vp|

Pertanto l’onda di espansione si riflette su una parete solida come un’ondadi espansione della stessa intensita dell’onda incidente.

Poiche il tempo di riflessione e finito, l’onda incidente e quella riflessa in-teragiscono e nel piano x, t si ha una regione (il triangolo curvilineo ABCdi Fig. 5.8) nella quale il flusso e a due famiglie e le caratteristiche sono quin-di curve. Nella zona di penetrazione dell’onda incidente in quella riflessa lavelocita di propagazione dell’onda aumenta. Si ha infatti

λ2B = uII + aII = a0 − (1 + δ)|vp|

λ2C = uIII + aIII = a0 − 2δ|vp|

II

F.A.

F.P.

C

AF.A.I

III

x

t

x1

B

C1

C2

O

F.P.

Fig.5.8

Capitolo 5 107

e quindi λ2C > λ2B .Analogamente e facile verificare che |λ1B | > |λ1C | > |λ1A| e quindi anche

l’onda riflessa accelera nella penetrazione dell’onda incidente. Inoltre il fron-te anteriore e quello posteriore dell’onda semplice, che emerge dalla zona dipenetrazione, sono divergenti come deve accadere in un’onda di espansione.

Consideriamo ora il caso in cui il cilindro sia delimitato a destra da unasuperficie sulla quale, al variare del tempo, la pressione sia costante e quindi,essendo il processo isentropico, siano costanti anche tutte le altre variabilitermodinamiche. Per annullare la diminuzione di pressione generata dall’ondaincidente, dalla superficie dovra aver origine un’onda di compressione. Dallarelazione R2III

= R2IIe dalla condizione al contorno aIII = a0 si ottiene

uIII =aII − a0

δ+ uII = 2vp

ed e facile verificare che |λ1C | > |λ1B |. Pertanto la caratteristiche C1 dell’ondariflessa sono convergenti e tendono a coalescere (Fig. 5.9).

t

III

II

C

A

x x

B

I

C1

2C

1

C

II

t

C1

C

III

IV

D

2

B

Traiettorie delleparticelle

xAI

Fig. 5.9 Fig. 5.10

Esaminiamo ora l’interazione di due onde di espansione di diversa famigliarappresentata in Fig. 5.10.

Dalla zona di penetrazione ABCD emergono due onde semplici, che pro-pagano piu velocemente delle onde incidenti, fra le quali si ha una regione diflusso uniforme (zona IV). Le condizioni del flusso in questa regione possonoessere determinate in base alle relazioni

R1IV= R1III

, R2IV= R2II

dalle quali si ottiene

uIV = vd − |vs| , aIV = a0 − δ[vd + |vs|]

essendo vd e vs le velocita imposte ai contorni di destra e di sinistra rispet-tivamente (ad esempio la velocita di due pistoni che si muovano in direzione

108 Capitolo 5

opposta). Nel caso in cui vd = |vs|, il problema e simmetrico, la velocita nellazona IV e nulla ed il problema coincide pertanto con quello della riflessione suparete solida esaminato in precedenza.

Si osservi infine che, se le due onde di espansione sono della stessa famiglia,non si puo avere interazione in quanto il fronte posteriore della prima ondaed il fronte anteriore della seconda hanno la stessa velocita, appartenendo allastessa regione II di flusso uniforme (Fig. 5.11).

III

II

I

F.A.

F.P.F.A.

x

tF.P. 2C

C2

Fig. 5.11

5.5 Formazione dell’urto

Se il pistone considerato nel paragrafo precedente viene gradualmente acce-lerato verso destra, anziche verso sinistra, oppure se il pistone che si muoveverso sinistra viene rallentato, dal pistone ha origine un’onda semplice di com-pressione. Le relazioni viste per le onde di espansione seguitano a valere mai valori delle grandezze termodinamiche in corrispondenza del pistone aumen-tano e le caratteristiche che hanno origine dal pistone sono convergenti inveceche divergenti. Pertanto, prima o poi, le caratteristiche si intersecano. Poichelungo ognuna della caratteristiche si mantiene costante il valore di u, nel puntoP (x, t) in cui per la prima volta si incontrano due caratteristiche si dovrebberoavere due valori distinti di u, il che e evidentemente impossibile. Cio significache per t > t la soluzione non esiste piu come soluzione classica, ovvero che siha la formazione di una discontinuita (urto) per la quale non e piu valida lateoria delle caratteristiche, basata sull’ipotesi di continuita delle variabili.

Le caratteristiche convergenti formano un inviluppo, che presenta una cu-spide nel punto P (Fig. 5.12). I due rami dell’inviluppo racchiudono unaregione angolare, per ogni punto della quale passano tre caratteristiche dellastessa famiglia.

Cio corrisponde al fatto che, proseguendo l’evoluzione dell’onda di com-pressione indicata in Fig. 1.6 oltre la formazione della discontinuita, si perver-

Capitolo 5 109

t

x

PistoneInviluppo

C2

2C

P

t

x

P

Fig. 5.12

x

u

Fig. 5.13

rebbe ad una situazione quale quella schematicamente indicata in Fig. 5.13,per la quale ad una stessa ascissa corrispondono tre diversi valori di velocita.

La posizione del punto P e la forma dell’inviluppo dipendono dalla parti-colare legge del moto del pistone. Nel caso in cui l’accelerazione del pistoneall’istante iniziale x(0) sia diversa da zero, e possibile dimostrare che il pun-to P si trova sulla caratteristica x = a0t passante per l’origine ed il valore di te dato da

t =a0

(1 + δ)x(0)(5.23)

Come si osserva in Fig. 5.14, in questo caso il ramo superiore dell’inviluppoe costituito dalla retta x = a0t.

Una particolare legge del moto del pistone e quella che da luogo ad unacompressione centrata nella quale tutte le caratteristiche si incontrano nelpunto P (x, t). Questa legge e data da

x(t) = x+a0

δ

{

(t− t) − (1 + δ)[

tδ(t− t)] 1

1+δ

}

e corrisponde alla formazione istantanea di un urto al tempo t.

110 Capitolo 5

t

x

Inviluppo

x = a t0

x = a t0

t

x

II

I

Traiettorie delle particellePistone

Wx = t

Fig. 5.14 Fig. 5.15

Una formazione istantanea si ha anche quando il pistone venga acceleratoimpulsivamente ad una velocita vp costante. Poiche l’accelerazione all’istanteiniziale e infinita, la (5.23) mostra che l’urto si forma all’istante t = 0 e,poiche la velocita del pistone rimane costante, anche l’intensita dell’urto ela sua velocita di propagazione rimangono costanti. Si ha cioe un urto chepropaga con velocita w nel fluido in quiete (zona I) e che separa quest’ultimodal fluido che e gia stato investito dall’urto e che si muove con la velocita delpistone (zona II) (Fig. 5.15).

La velocita dell’urto e le condizioni termodinamiche a valle dell’urto pos-sono essere determinate mediante le relazioni di salto per un urto non stazio-nario. Esprimendo le velocita relative in funzione delle velocita assolute, larelazione di Prandtl (3.49) e l’equazione di conservazione dell’energia nel motorelativo (3.48) risultano

(uI − w)(uII − w) = a∗2

(5.24)

a2I + δ(uI − w)2 =

γ + 1

2a∗

2(5.25)

Poiche nel caso in esame si ha uI = 0, aI = a0 e uII = vp, eliminando a∗2

fra le (5.24) e (5.25) si ottiene l’equazione

w2 − γ + 1

2vpw − a2

0 = 0

che ammette le due soluzioni

w =γ + 1

4vp ±

[

(

γ + 1

4vp

)2

+ a20

]1/2

(5.26)

delle quali si dovra scegliere quella col segno +, in quanto nel caso in esamew > 0. Una volta determinata w, che risulta evidentemente maggiore di vp,

Capitolo 5 111

si puo calcolare il numero di Mach relativo a monte dell’urto MI = − w

a0e,

tramite le relazioni (3.53-3.55), ottenere le grandezze termodinamiche a valledell’urto in funzione di quelle a monte.

Si osservi che nel moto assoluto il flusso a monte dell’urto e subsonicomentre quello a valle puo essere subsonico o supersonico a seconda del valoredi vp: infatti solo nel moto relativo devono essere verificate le condizioni cheil flusso a monte sia supersonico (w > a0) e quello a valle sia subsonico. Nelmoto assoluto inoltre la temperatura totale non si conserva, come e evidenteconsiderando che uII > uI e aII > aI : il contenuto energetico nella zona II emaggiore di quello nella zona I in quanto il pistone ha compiuto un lavoro sulfluido.

5.6 Riflessione di un urto

Consideriamo dapprima l’interazione di un urto con una parete solida. Nel-l’istante in cui l’urto incide sulla parete deve nascere un’altra onda tale daannullare la velocita vp che si ha dietro l’urto incidente. L’onda deve quindiessere di compressione e dar luogo ad una variazione di velocita finita in untempo nullo; essa e pertanto un urto che propaga in direzione opposta a quelladell’urto incidente (Fig. 5.16).

II

rIII

I

Pistone

i

t

x x1

Fig. 5.16

Si puo quindi formulare la seguente regola generale: quando un’onda incidesu una parete solida, essa si riflette restando della stessa natura dell’ondaincidente.

Parlando di urto riflesso si potrebbe pensare ad una riflessione speculare.In realta cosı non e in quanto, data la non linearita delle relazioni di salto,l’urto riflesso risulta meno intenso di quello incidente, come si puo verifica-re determinando la pressione a valle dell’urto riflesso (zona III). Per fare cioutilizziamo nuovamente la relazione di Prandtl e l’equazione di conservazionedell’energia rispetto allo stato II che e noto dalla soluzione dell’urto inciden-

112 Capitolo 5

te, e tenendo conto che uIII , e nota in base alla condizione al contorno (inparticolare e nulla)

(uIII − w)(uII − w) = a∗2

(5.27)

a2II + δ(uII − w)2 =

γ + 1

2a∗

2(5.28)

Il primo membro della (5.27) puo anche scriversi:

(uIII + uII − w − uII)(uII − w) = (uII −w)2 + (uIII − uII)(uII − w)

Eliminando a∗2

fra le (5.27) e (5.28), dividendo per a2II e ponendo

M =uII − w

aII, b =

γ + 1

4

uII − uIII

aII(5.29)

si ottiene l’equazione

M2 − 2bM − 1 = 0 (5.30)

cui corrispondono le soluzioni

M2i = b−√

b2 + 1 (5.31)

M1r = b+√

b2 + 1 (5.32)

Si osservi che le equazioni (5.27) e (5.28) valgono sia per l’urto riflesso cheper quello incidente, con la differenza che lo stato II rappresenta lo stato a valleper l’urto incidente e quello a monte per l’urto riflesso. La soluzione (5.31),−1 < M2i < 0, fornisce quindi il numero di Mach relativo a valle dell’urtoincidente, mentre la (5.32), M1r > 1, da il numero di Mach relativo a montedell’urto riflesso. Dalle (5.31) e (5.32) si possono ottenere le relazioni

M2iM1r = −1

(5.33)

M1r +M2i = 2b

La prima consente di ricavare molto semplicemente la velocita dell’urtoriflesso una volta risolto il problema dell’urto incidente. La seconda mostra

Capitolo 5 113

che, nel caso in cui uIII = 0,

|wi| − |wr| =3 − γ

2uII

ed indica quindi che la velocita dell’urto riflesso e minore di quella dell’urtoincidente. Utilizzando le (5.33) e (3.51), si ha

M21r =

1

M22i

=γM2

1i − δ

1 + δM21i

(5.34)

mentre i rapporti di pressione attraverso l’urto incidente e quello riflesso sonodati da

pI

pII= 1 +

2γ

γ + 1(M2

2i − 1) (5.35)

pIII

pII= 1 +

2γ

γ + 1(M2

1r − 1) (5.36)

Eliminando M1r ed M2i fra le (5.34), (5.35), e (5.36) si ottiene la relazione

pIII

pII=

(3γ − 1) − (γ − 1)pI

pII

(γ − 1) + (γ + 1)pI

pII

(5.37)

Le (5.34) e (5.37) mostrano che

per M1i → 1 ,pII

pI→ 1 , M1r → 1 ,

pIII

pII→ 1

per M1i → ∞ ,pII

pI→ ∞ , M2

1r → 2γ

γ − 1,

pIII

pII→ 3γ − 1

γ − 1

Pertanto si ha una riflessione speculare solo nel caso limite in cui l’urto in-cidente sia un’onda acustica o, in modo approssimato, quando l’urto incidentesia molto debole. Viceversa, se l’urto incidente e molto intenso, il numero diMach relativo a monte dell’urto riflesso tende al valore limite

√7 (per γ = 1.4)

ed il rapporto di pressione fra valle e monte dell’urto tende ad 8.

Se la superficie su cui incide l’urto anziche essere una parete solida e unasuperficie a temperatura costante (ovvero ad a = cost), dalla superficie dovraavere origine un’onda di espansione affinche il fluido riscaldato dall’urto tornialla temperatura iniziale (Fig. 5.17).

Si lascia al lettore la determinazione della velocita nella zona III in basealla condizione al contorno aIII = a0.

114 Capitolo 5

t

xI

II

Pistone

x

III

1

Fig. 5.17

Si osservi che, essendo il fenomeno non isentropico, la condizione al con-torno T = cost non coincide con la condizione p = cost. Mentre da un puntodi vista matematico si puo imporre una qualsiasi condizione al contorno, daun punto di vista fisico solo alcune condizioni rappresentano situazioni effet-tivamente realizzabili. In particolare una condizione T = cost non e pratica-mente realizzabile mentre, la condizione p = cost rappresenta con sufficienteapprossimazione cio che accade all’estremita del condotto quando esso sia incomunicazione con un ambiente di capacita molto grande, cosicche in esso lapressione non vari per effetto del flusso proveniente dal condotto.

Per esprimere la condizione al contorno pIII = p0 in termini della velocitadel suono, bisogna tener conto che l’entropia nella regione III e quella delleparticelle che sono state investite dall’urto ed e quindi maggiore dell’entropianella regione I. Il primo principio della termodinamica, adimensionalizzandol’entropia rispetto a γR/δ, puo essere scritto nella forma

ds =da

a− δ

γ

dp

p

Integrando questa relazione con la condizione dp = 0, si ottiene la condi-zione al contorno

aIII = a0 exp [sII − sI ] (5.38)

5.7 Interazione di urti

E’ opportuno specificare che, cosı come le onde di espansione, anche gli urtidevono essere distinti in due diverse famiglie. Assumeremo la convenzione dichiamare urti della prima famiglia quelli per i quali la zona di alta pressione sitrova a destra dell’urto stesso e urti della seconda famiglia quelli per i quali talezona si trova a sinistra. Cio in analogia a quanto fatto per le onde di espansione

Capitolo 5 115

per le quali le onde della prima famiglia sono quelle aventi la zona di bassapressione a destra dell’espansione. Si osservi che l’appartenenza di un urto odi un’espansione ad una famiglia non e legata alla direzione di propagazionedell’onda stessa, come e evidente se si pensa che la direzione di propagazionepuo essere invertita mediante una opportuna trasformazione galileiana.

Consideriamo l’interazione di due urti di famiglia opposta e di diversaintensita, quali quelli generati in un fluido inizialmente in quiete da due pi-stoni che vengano accelerati impulsivamente con velocita diverse ed in versoopposto (Fig. 5.18)

I

t

x

a b

IVv

x1

discontinuitàdi contatto

IIIIIcd

1

P1

Fig. 5.18

Seguendo la procedura vista in precedenza, si puo determinare lo stato delfluido nelle zone I e IV e la posizione del P1 nel quale i due urti si incontrano.Dal punto P1 hanno origine due nuovi urti c e d che hanno intensita e velocitadiversa da quella degli urti incidenti. L’urto c puo essere interpretato sia comeurto riflesso dell’urto a sia come una prosecuzione dell’urto b, la cui intensitasi e modificata (in particolare ridotta) nell’interazione con l’urto a.

Se esaminiamo la storia di una particella che si trovi inizialmente a sinistradel punto x1, essa verra investita prima dall’urto a e quindi dall’urto c, mentreuna particella che si trovi a destra di x1 sara investita dagli urti b e d. Ma ledue particelle contigue che si trovano immediatamente a destra e immediata-mente a sinistra di x1, dopo essere state investite dagli urti, devono avere lastessa pressione e la stessa velocita. Poiche pero le due particelle sono stateinvestite da urti di intensita diversa, avranno subito una variazione di entropiain generale diversa. Dal punto P1 quindi, oltre agli urti c e d, nasce anche unadiscontinuita di contatto che separa le particelle che sono state investite dagliurti a e c (zona II) da quelle investite dagli urti b e d (zona III). Queste duezone devono avere la stessa pressione e la stessa velocita

pII = pIII uII = uIII (5.39)

Poiche gli stati a monte dei due urti c e d sono noti, e sufficiente la co-

116 Capitolo 5

noscenza di un solo parametro per ognuno dei due urti (ad esempio la lorovelocita wc e wd) per definirli completamente. Il valore dei due parametriincogniti puo dunque essere ottenuto imponendo che siano soddisfatte le duecondizioni (5.39).

La non linearita delle relazioni di salto rende necessario l’uso di un pro-cedimento iterativo per la soluzione del problema. Si assuma ad esempio unvalore di primo tentativo pII = pIII = p′: noto il salto di pressione, per ognunodei due urti e possibile determinare il numero di Mach relativo a monte e daquesto ricavare la velocita dell’urto, il numero di Mach a valle e quindi i valoridi uII ed uIII , che in generale risulteranno fra loro diversi. Se uII > uIII sidovra assumere per il secondo tentativo un valore p′′ > p′ cosicche i due urtisiano piu intensi ed il valore di uII diminuisca, mentre quello di uIII aumen-ta. L’uso di un metodo di interpolazione consente poi di ottenere in pocheiterazioni la soluzione per la quale uII = uIII .

Per assumere un valore plausibile della pressione di primo tentativo si puoadottare il modello isentropico (nel quale gli urti sono sostituiti da compressio-ni isentropiche) che approssima la soluzione tanto meglio, quanto piu piccolae l’intensita degli urti. In questa approssimazione si ha

aII + δuII = R2I

(5.40)

aIII − δuIII = R1IV

da cui, tenendo conto della seconda delle (5.39),

aII

(

1 +aIII

aII

)

= R2I +R1IV (5.41)

ed essendo

aII = aI

(

pII

pI

)γ−12γ

aIII = aIV

(

pIII

pIV

)γ−12γ

(5.42)

in base alla prima delle (5.39) si ricava

z =aIII

aII=aIV

aI

(

pI

pIV

)γ−12γ

La velocita del suono aII puo quindi essere ottenuta, in funzione di gran-dezze note nelle regioni I e IV , come

aII =R2I +R1IV

1 + z(5.43)

Capitolo 5 117

ed il valore della pressione di primo tentativo e dato da

p′ = pI

(

aII

aI

)2γ

γ−1

Passiamo ora ad esaminare l’interazione di due urti della stessa famigliache, a differenza di quanto visto per le onde di espansione, si incontranosempre. Con riferimento alla Fig. 5.19 si ha infatti

|MI | =w − uI

aI> 1 da cui w > uI + aI

|MII | =w − uII

aII< 1 da cui w < uII + aII

x

II

I

tu + a II II

u + a I I

W Pistone IIIII

c1P

ab

V

I

IV

t

xFig. 5.19 Fig. 5.20

La velocita dell’urto e quindi maggiore di quella delle caratteristiche dellastessa famiglia che si trovano a monte e minore della velocita delle caratte-ristiche a valle. In altre parole un urto raggiunge le onde isentropiche che sitrovano davanti e viene raggiunto da quelle che propagano dietro l’urto stesso.A maggior ragione un urto viene raggiunto da un altro urto che propaghi nellastessa direzione.

Supponiamo che i due urti siano generati da un pistone che subisca duesuccessive variazioni impulsive di velocita (Fig. 5.20). La conoscenza delle con-dizioni iniziali (zona IV) e della condizione al contorno consente, attraversol’applicazione successiva del procedimento visto al paragrafo 5.4, di determi-nare il flusso nelle regioni V e I ed il punto P1 nel quale i due urti si incontrano.E’ intuitivo che i due urti diano luogo ad un nuovo urto c di intensita maggioresia di a che di b. Poiche la variazione di entropia attraverso l’urto c e diversa(maggiore) da quella attraverso gli urti a e b, dal punto P1 dovra avere origineanche una discontinuita di contatto.

Si potrebbe pensare di determinare la velocita dell’urto c imponendo lacondizione pIII = pI ; ma cosı facendo si otterra in generale uIII 6= uI . Per

118 Capitolo 5

soddisfare la continuita sia della velocita che della pressione a valle dell’urtoe quindi necessario disporre di un altro parametro arbitrario. Questo e datodalla intensita di una ulteriore onda che ha origine dal punto P1, che nel casoin esame risulta essere una espansione.

La determinazione dell’urto c e dell’espansione in modo da soddisfare lecondizioni (5.39) puo essere ottenuta con un procedimento iterativo del tuttoanalogo a quello visto in precedenza.

5.8 Problema di Riemann

Si consideri un condotto a sezione costante nel quale un setto rigido dividauna zona di sinistra (zona I), che contiene un fluido in quiete a pressionepI , da una zona di destra (zona IV) nella quale il fluido ha u = 0 ed unapressione pIV diversa da pI . Supponiamo pI < pIV ed esaminiamo cosa accadequando il setto venga rimosso. La discontinuita di pressione che si ha all’istanteiniziale non puo permanere ed al crescere di t “si apre” dando luogo ad unurto che propaga verso sinistra, ad un’onda di espansione centrata che propagaverso destra e ad una discontinuita di contatto che si muove verso sinistra conla velocita del fluido e che rappresenta il confine fra il fluido che si trovavainizialmente nella zona I (che e stato investito dall’urto) e quello nella zona IV(che e stato attraversato dall’espansione). Il problema descritto rappresenta loschema di un importante apparato sperimentale, detto tubo d’urto, che vieneutilizzato nei laboratori per generare onde d’urto.

Questo problema e un caso particolare del piu generale problema di Rie-mann, che consiste nello studio dell’evoluzione temporale di una discontinuitainiziale che separa due fluidi contigui, aventi in generale diversi valori diu, p, a, γ,R. Il problema del tubo d’urto constituisce il caso particolare incui uI = uIV = 0 ed e facile riconoscere che anche i problemi della interazionedi urti, esaminati nel paragrafo precedente, costituiscono casi particolari delproblema di Riemann nei quali la discontinuita dei dati e generata all’istantet1 dalla interazione di due onde. L’unica differenza e che, mentre nel caso piugenerale i due stati sono completamente indipendenti e si possono assegnarearbitrariamente 6 variabili (nel caso di un unico fluido), nella interazione didue urti i due stati sono fra loro collegati e solo 5 grandezze possono esserefissate indipendentemente.

La discontinuita nei dati iniziali genera due onde di famiglia opposta eduna discontinuita di contatto. Ciascuna delle due onde puo essere un urto oun’onda di espansione e, in dipendenza dei dati iniziali, si possono verificarele quattro situazioni schematicamente rappresentate in Fig. 5.21 dove con R eindicata l’onda di rarefazione, con S l’urto e con C la discontinuita di contatto.

Capitolo 7

Flussi bidimensionali

stazionari con piccole

perturbazioni

7.1 Equazione del potenziale

Nell’ipotesi di fluido perfetto ed in assenza di onde d’urto, le equazioni diconservazione (2.31), (2.32) e (2.34) per un flusso stazionario assumono laforma

V · ∇ρ+ ρ∇ · V = 0 (7.1)

∇V 2

2+ (∇ × V ) × V +

1

ρ∇p = 0 (7.2)

V · (∇h− 1

ρ∇p) = 0 (7.3)

dove si e fatto uso dell’espressione dell’accelerazione di Lagrange

DV

Dt=∂V

∂t+ ∇

V 2

2+ (∇ × V ) × V

Eliminando il termine1

ρ∇p tra le (7.2) e (7.3) e tenendo conto che

V · (∇ × V ) × V e identicamente nullo, si ha

V · ∇(

h+V 2

2

)

= 0 (7.4)

154

Capitolo 7 155

Quest’espressione mostra che l’entalpia totale si mantiene costante lungouna linea di corrente. Nella maggior parte dei casi di interesse pratico si hannoflussi che all’infinito a monte sono uniformi e che hanno quindi lo stesso valoredi entalpia totale sulle diverse linee di corrente. In questo caso il flusso eomentalpico e la (7.4) si riduce a

∇

(

h+V 2

2

)

= 0 (7.5)

ovvero

H = cost (7.6)

Eliminando il termine1

ρ∇p fra la (7.2) ed il primo principio della termo-

dinamica scritto nella forma

T∇s = ∇h− 1

ρ∇p (7.7)

si ottiene

T∇s− (∇ × V ) × V = ∇H (7.8)

Quest’ultima espressione e nota come il teorema di Crocco ed indica chein un flusso omentalpico si ha una vorticita diretta normalmente al vettorevelocita ed al gradiente dell’entropia. Se il flusso oltre ad essere omentalpico eanche omentropico (∇s = 0), la (7.8) mostra che la vorticita e nulla ed il flussoe irrotazionale. Si osservi che, utilizzando la (7.7), l’equazione di conservazionedell’energia (7.3) puo anche scriversi

V · ∇s = 0 (7.9)

ed esprime il fatto che il flusso e isentropico, ovvero che l’entropia si mantienecostante lungo una linea di corrente. Pero se l’entropia ha un diverso valoreda una linea di corrente all’altra, il flusso non e omentropico ed e quindirotazionale. Come si vedra nel Capitolo 9, e questa la situazione che si verificanei flussi a valle di urti curvi.

Con l’ipotesi di omentalpia e omentropia, ovvero di irrotazionalita, la (7.2)si riduce a

∇V 2

2+

1

ρ∇p = 0 (7.10)

nota anche come equazione di Bernoulli, e ∇p puo essere espresso in funzione

156 Capitolo 7

di ∇ρ come

∇p = a2∇ρ (7.11)

Combinando le (7.1), (7.10) e (7.11) si ottiene

V · ∇V 2

2− a2

∇ · V = 0 (7.12)

che, scritta nel caso bidimensionale in termini di coordinate cartesiane, risulta

(u2 − a2)u,x + uv(u,y + v,x) + (v2 − a2)v,y = 0 (7.13)

Quest’equazione assieme alla condizione di irrotazionalita

u,y − v,x = 0 (7.14)

ed alla (7.6), che puo essere scritta nella forma

a2 + δ(u2 + v2) = a20 (7.15)

costituisce un sistema di due equazioni quasi-lineari piu una relazione algebricanelle tre incognite u, v, a.

Poiche l’irrotazionalita consente di introdurre una funzione potenziale divelocita Φ tale che

V = ∇Φ (7.16)

le due equazioni (7.13) e (7.14) possono anche essere ridotte ad un’unicaequazione del secondo ordine nell’incognita Φ

(

Φ2,x − a2

)

Φ,xx + 2Φ,xΦ,yΦ,xy +(

Φ2,y − a2

)

Φ,yy = 0 (7.17)

Quest’equazione prende il nome di equazione completa del potenziale perdistinguerla da quella semplificata che verra introdotta nel prossimo paragrafo.

7.2 Metodo delle piccole perturbazioni

La soluzione del sistema di equazioni (7.17) e (7.15) presenta in genere notevolidifficolta dovute al fatto che le equazioni sono non lineari, Quando le condizionigeometriche del problema lo consentano, si puo allora cercare di semplificarela soluzione linearizzando le equazioni. Tale soluzione, anche se approssimata,fornisce spesso una descrizione sufficientemente valida dei fenomeni reali.

Analogamente a quanto visto nel paragrafo 5.1, l’idea e quella di assumereuno stato di riferimento noto e di considerare solo piccole variazioni rispetto a

Capitolo 7 157

questo stato. In questo modo e possibile trascurare le variazioni nei coefficientidell’equazione (7.17), i quali risultano quindi noti.

Si consideri ad esempio il problema di un profilo alare immerso in unacorrente uniforme diretta lungo l’asse x. Se il profilo e sottile, poco arcuatoe disposto con un piccolo angolo di incidenza, la perturbazione di velocitagenerata dalla presenza del profilo sara piccola: si puo cioe supporre che inogni punto del campo la velocita differisca di una quantita piccola dalla velocitaV∞ della corrente indisturbata.

Indicando con u e v le componenti della velocita di perturbazione adimen-sionalizzate rispetto a V∞ le componenti di velocita in un generico punto delcampo saranno

u = V∞(1 + u)

(7.18)

v = V∞v

con

u≪ 1 e v ≪ 1 (7.19)

Il potenziale totale e dato dalla somma del potenziale della corrente indi-sturbata e del potenziale di perturbazione

Φ = V∞ℓ(x′ + φ) (7.20)

In questa espressione φ e il potenziale di perturbazione adimensionalizzatorispetto a V∞ℓ e con l’apice vengono indicate le coordinate adimensionalizzaterispetto ad una lunghezza caratteristica ℓ. Le (7.18) possono anche scriversiin termini di derivate del potenziale.

Φ,x = V∞(1 + φ,x′ )

(7.21)

Φ,y = V∞φ,y′

e l’equazione (7.15) puo essere scritta nella forma

a2 = a2∞ + δV 2

∞ − δ(Φ2,x + Φ2

,y)

ovvero

a2 = V 2∞

[

1

M2∞

− δ(

φ2,x′

+ 2φ,x′ + φ2,y′

)

]

(7.22)

158 Capitolo 7

avendo definito

M∞ =V∞a∞

(7.23)

Sostituendo le (7.21) e (7.22) nella (7.17) ed omettendo per comodita gliapici che indicano le coordinate adimensionali, si ottiene

(1 −M2∞)φ,xx + φ,yy = M2

∞

[

2(1 + δ)φ,x + (1 + δ)φ2,x + δφ2

,y

]

φ,xx

+ M2∞

[

2δφ,x + δφ2,x + (1 + δ)φ2

,y

]

φ,yy (7.24)

+ M2∞φ,y2(1 + φ,x)φ,xy

In base all’ipotesi di piccole perturbazioni (7.19) tutti i termini non linearia secondo membro della (7.24) sono in generale trascurabili rispetto ai terminia primo membro e l’equazione del potenziale si riduce quindi all’equazionelinearizzata

(1 −M2∞)φ,xx + φ,yy = 0 (7.25)

Questa semplificazione non puo essere fatta nel caso in cui M∞ = 0(1)cioe nel caso di flusso transonico. Per M∞ → 1 infatti, il primo terminedella equazione (7.24) tende a zero e conseguentemente φyy diviene anch’essopiccolo e confrontabile con i termini dominanti a secondo membro della (7.24).In queste condizioni il coefficiente 2M2

∞(1 + δ)φ,x risulta essere dello stessoordine di grandezza del coefficiente 1−M2

∞ che moltiplica φ,xx a primo membrodella (7.24) e non puo quindi essere trascurato rispetto a quest’ultimo. Perquanto riguarda il termine 2M2

∞φ,yφ,xy non e possibile valutarne a priori larilevanza in quanto non si conosce l’ordine di grandezza di φ,xy . Esso verra perora mantenuto anche se, come si vedra nel prossimo paragrafo, risulta esseresempre trascurabile. Nel caso di flusso transonico l’equazione rimane pertantonon lineare ma assume la forma semplificata

(1 −M2∞)φ,xx + φ,yy = M2

∞(γ + 1)φ,xφ,xx + 2M2∞φ,yφ,xy (7.26)

Un altro caso nel quale l’equazione (7.24) non puo essere linearizzata equello di flusso ipersonico. Per valori di M2

∞ molto grandi infatti il coefficien-te 2δM2

∞φ,x che moltiplica φ,yy a secondo membro della (7.24) puo risultareanch’esso di 0(1) come quello che compare a primo membro. Questo caso epero di limitato interesse pratico in quanto nei flussi ipersonici attorno ad uncorpo si ha sempre la formazione di un urto curvo molto intenso davanti al

Capitolo 7 159

corpo e, come gia accennato, cio comporta la rotazionalita del flusso per ilquale non e quindi piu valida la (7.24).

In conclusione, nell’ipotesi di piccole perturbazioni si deve utilizzare la (7.26)nel caso di flussi transonici, mentre si puo utilizzare l’equazione lineare (7.25)nel caso di flussi subsonici o flussi supersonici.

Si osservi che per un flusso subsonico il coefficiente 1 −M2∞ e positivo e

l’equazione (7.25) e quindi un’equazione ellittica. In particolare nel caso diM∞ = 0, che corrisponde all’ipotesi di incomprimibilita (a∞ = ∞), essa siriduce all’equazione di Laplace.

Viceversa nel caso supersonico il coefficiente 1−M2∞ e negativo, l’equazione

e iperbolica e risulta essere l’equazione delle onde.

7.3 I criteri di similitudine per profili alari

Consideriamo un profilo alare avente piccolo spessore, piccola curvatura epiccolo angolo di incidenza, la cui geometria sia descritta dalla relazione

y = sf(x) (7.27)

dove y e x sono adimensionalizzate rispetto alla corda ℓ del profilo ed s e lospessore massimo relativo. Per una assegnata funzione f(x), al variare di s,la (7.27) rappresenta diversi profili che possono essere ottenuti uno dall’altroattraverso un cambio di scala in direzione y. Questi profili costituiscono unafamiglia di profili affini.

Senza specificare il valore di M∞, il flusso attorno al profilo e retto dall’e-quazione (7.26), la quale comprende come caso particolare la (7.25). A questaequazione devono essere associate le condizioni al contorno, le quali esprimonoil fatto che il flusso debba essere indisturbato all’infinito ed essere tangentealla superficie del corpo:

all’∞ φ,x = φ,y = 0 (7.28)

al corpov

u=dy

dx(7.29)

Quest’ultima condizione, utilizzando le (7.18) con la condizione (7.19) ed

esprimendody

dxmediante la (7.27), puo essere scritta

φ,y = sf,x (7.30)

La soluzione dell’equazione (7.26) con le condizioni (7.28) e (7.30) dipendedal valore dei parametri M∞, s, γ oltre che dalla funzione f(x).

160 Capitolo 7

L’obiettivo di un criterio di similitudine e quello di ridurre il numero diquesti parametri, cosicche diverse situazioni geometriche e di flusso siano rap-presentate dalla stessa equazione e dalle stesse condizioni al contorno. Lasoluzione e quindi valida non per una singola situazione ma per una fami-glia di diverse situazioni che vengono dette in similitudine. Cio consente diutilizzare i risultati ottenuti (sperimentalmente o numericamente) in una de-terminata situazione per determinare la soluzione in un’altra situazione chesia in similitudine con la prima.

Nel caso dei profili alari lo scopo dello studio e la determinazione dellecaratteristiche aerodinamiche, le quali possono essere calcolate ove sia noto inogni punto del profilo il coefficiente di pressione

Cp =p− p∞1

2ρ∞V

2∞

che, ricordando le (1.21) e (7.23), puo anche scriversi

Cp =

p

p∞− 1

1

2γM2

∞

(7.31)

Essendo il fenomeno isentropico il rapportop

p∞puo essere espresso me-

diante la (3.25) in funzione diT

T∞. Quest’ultimo puo a sua volta essere otte-

nuto dividendo per a2∞ la relazione (7.22) nella quale si trascurano i termini

quadratici nelle velocita di perturbazione

T

T∞= 1 − 2δM2

∞φ,x

Si ha quindi

p

p∞=[

1 − (γ − 1)M2∞φ,x

]γ

γ−1

Poiche il secondo termine in parentesi quadra e piccolo in base all’ipote-si (7.19), possiamo sviluppare in serie la potenza binomiale e, arrestandoci alprimo ordine, otteniamo

p

p∞= 1 − γM2

∞φ,x

che, sostituita nella (7.31), fornisce

Cp = −2φ,x (7.32)

Capitolo 7 161

Nell’ambito delle piccole perturbazioni il coefficiente di pressione e quindiproporzionale al disturbo di velocita in direzione x.

Introduciamo ora la seguente trasformazione di variabili

ξ = x η = λy φ∗ =φ

ǫ(7.33)

dove λ ed ǫ sono costanti arbitrarie da determinare in modo da ridurre il nu-mero dei parametri che intervengono nell’equazione (7.26) e relative condizionial contorno. La costante λ definisce la trasformazione di scala che riporta tut-ti i profili affini ad un unico profilo, mentre per la costante ǫ imponiamo lacondizione

ǫ≪ 1 (7.34)

cosicche φ∗ sia di ordine uno.Mediante la trasformazione (7.33), l’equazione (7.26) risulta

(1 −M2∞)φ∗,ξξ

+ λ2φ∗,ηη= ǫ(γ + 1)M2

∞φ∗,ξφ∗,ξξ

+ ǫλ22M2∞φ

∗,ηφ

∗,ηξ

(7.35)

Nel caso non transonico, il primo termine e di ordine 1 e di conseguenzadovra aversi λ = 0(1), mentre i termini a secondo membro sono trascurabiliessendo di ordine ǫ.

Nel caso transonico il primo e terzo termine sono di ordine ǫ ed affinche ilsecondo termine sia dello stesso ordine di grandezza dovra aversi λ = 0(ǫ1/2).Ne consegue che l’ultimo termine e di ordine ǫ2 ed e pertanto trascurabileanche nel caso transonico. Applicando la trasformazione di coordinate allacondizione al contorno (7.30) ed alla (7.32) si ha

λǫφ∗,η = sf,ξ (7.36)

Cp = −2ǫφ∗,ξ (7.37)

Assumiamo ora per la costante arbitraria λ il valore

λ =s

ǫ

in modo che la (7.36) risulti indipendente da s. Con questa posizione la (7.35)puo scriversi

φ∗,ηη=

[

ǫ2

s2(M2

∞ − 1) + (γ + 1)ǫ3

s2M2

∞φ∗,ξ

]

φ∗,ξξ(7.38)

Consideriamo ora separatamente i casi di flusso subsonico, supersonico etransonico.

162 Capitolo 7

Flusso subsonico

In questo caso il secondo termine in parentesi quadra della (7.38) puo esseretrascurato e per la costante arbitraria ǫ possiamo assumere il valore

ǫ =s

√

1 −M2∞

L’equazione e le condizioni al contorno che governano il problema risultano

φ∗,ξξ+ φ∗,ηη

= 0 (7.39)

φ∗,ξ = φ∗,η = 0 all’∞ (7.40)

φ∗,η = f,ξ al corpo (7.41)

mentre il coefficiente di pressione e dato da

Cp = − 2s√

1 −M2∞

φ∗,ξ (7.42)

La soluzione φ∗(ξ, η) dipende solo dalla funzione f(ξ) ed e pertanto lastessa per tutti i profili affini indipendentemente dal valore di s ed M∞.

La similitudine ottenuta attraverso una variazione della scala in direzioney proporzionale a

√

1 −M2∞, che prende il nome di similitudine di Prandtl–

Glauert, consente di determinare le caratteristiche aerodinamiche di un profiloin base a quelle di un altro profilo affine. Se ad esempio si conosce il valoreCp1, in corrispondenza a M∞1 di un profilo avente spessore s1, dalla (7.42) sipuo ricavare il valore Cp2 per un profilo affine di spessore s2 in corrispondenzaa M∞2

Cp2 = Cp1

s2s1

(

1 −M2∞1

1 −M2∞2

)1/2

(7.43)

In particolare si puo anche ottenere per uno stesso profilo come varia Cp

(e quindi anche CL e CD) al variare del numero di Mach

Cp = Cpinc

1√

1 −M2∞

(7.44)

dove Cpince il coefficiente di pressione per un fluido incompressibile, cioe in

corrispondenza a M∞ = 0.In campo subsonico il comportamento qualitativo di un profilo e quindi

uguale a quello che si ha nel caso incompressibile e l’effetto della comprimibi-lita e unicamente di aumentare i valori di Cp, CL, CD in misura inversamente

proporzionale a√

1 −M2∞ (Fig. 7.1).

Capitolo 7 163

flusso supersonicoflusso subsonico

αdd

M

Prandtl-Glauert AckeretCL

2πf. incompressibile

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 2.01.80.20.0

4

6

8

14

16

12

10

2

0

Fig. 7.1

Si osservi che per M∞ → 1 tutte le caratteristiche aerodinamiche tendonoall’infinito, il che e evidentemente assurdo e dipende dal fatto che in campotransonico non e piu valida l’equazione (7.39).

Flusso supersonico

Anche in questo caso si puo trascurare il termine non lineare nell’equazio-ne (7.38) ed assumere

ǫ =s

√

M2∞ − 1

Il problema e quindi governato dall’equazione

φ∗,ξξ− φ∗,ηη

= 0 (7.45)

mentre le condizioni al contorno sono ancora date dalle (7.40) e (7.41) ed ilcoefficiente di pressione ha l’espressione (7.42) nella quale si sostituisca M2

∞−1ad 1 −M2

∞.

La similitudine supersonica e quindi del tutto analoga a quella subsonica.Si osservi pero che al crescere di M∞ i valori dei coefficienti aerodinamicidiminuiscono come indicato anche in Fig. 7.1.

Flusso transonico

In questo caso i due termini in parentesi quadra della (7.38) sono dello stessoordine di grandezza e debbono quindi essere mantenuti entrambi.

164 Capitolo 7

Possiamo assumere per la costante arbitraria ǫ il valore

ǫ = s2/3(γ + 1)−1/3M−2/3∞

cosicche sia unitario il coefficiente che moltiplica φ∗,ξ . Con questa posizionel’equazione (7.38) risulta

φ∗,ηη+ (k − φ∗,ξ)φ

∗,ξξ

= 0 (7.46)

con

k = (1 −M2∞)M−4/3

∞ [(γ + 1)s]−2/3 (7.47)

che prende il nome di parametro di von Karmann. Le condizioni al contornosono ancora date dalle (7.40) e (7.41) mentre il coefficiente di pressione risulta

Cp = − 2(s)2/3

[(γ + 1)M2∞]1/3

φ∗,ξ (7.48)

La soluzione dell’equazione (7.46) e relative condizioni al contorno dipendenon solo dalla funzione f(ξ) ma anche dal valore del parametro di von Kar-mann. Pertanto nel caso transonico due profili sono in similitudine se oltre adessere affini hanno lo stesso valore di k.

7.4 Flussi supersonici con piccole perturbazioni

Nell’ipotesi di piccole perturbazioni i flussi supersonici sono governati dall’e-quazione (7.25) che puo anche scriversi

β2φ,xx − φ,yy = 0 (7.49)

con

β =√

M2∞ − 1 (7.50)

Come si e visto nel § 5.1, l’equazione delle onde (7.49) ha la soluzionegenerale

φ = f1(x+ βy) + f2(x− βy) (7.51)

essendo f1 ed f2 funzioni arbitrarie, determinate dalle condizioni iniziali edal contorno, il cui valore rimane costante rispettivamente lungo le rette di

Capitolo 7 165

equazione

x+ βy = cost

(7.52)

x− βy = cost

Queste, che sono evidentemente le equazioni delle linee caratteristiche del-la (7.49), costituiscono due famiglie di rette parallele inclinate sull’asse x diun angolo ±α∞ tale che

tgα∞ =1

β=

1√

M2∞ − 1

(7.53)

Ricordando la definizione (1.23), si desume che l’angolo α∞ e propriodell’angolo di Mach e che le linee caratteristiche coincidono con le onde (olinee) di Mach della prima (C1) e della seconda famiglia (C2).

Per fissare le idee, consideriamo il flusso supersonico lungo una parete chepresenti una piccola deformazione (Fig. 7.2)

2 21

M

C C

A DB

C

α α

Fig. 7.2

Le condizioni iniziali, cioe le condizioni all’infinito a monte, sono di flussoindisturbato ovvero

φ,x(−∞, y) = 0

φ,y(−∞, y) = 0

166 Capitolo 7

ed essendo il potenziale definito a meno di una costante, possiamo assumere

f1(−∞, y) = f2(−∞, y) = 0

Poiche il valore di f1 e costante lungo le caratteristiche C1 ed il valore dellacostante e lo stesso per tutte le C1, in tutti i punti del campo si ha

f1(x, y) = 0 (7.54)

Siamo quindi in presenza di un flusso ad una sola famiglia nel quale sononulle le perturbazioni provenienti dall’infinito a monte e le perturbazioni ge-nerate al contorno (nel tratto AB) propagano lungo le caratteristiche C2. Ciocorrisponde al fatto che in un flusso supersonico la variabile evolutiva e datadalla direzione del flusso ed i disturbi propagano solo verso valle.

Con la condizione (7.54) la soluzione del problema in esame e data da

φ = f2(x− βy) (7.55)

u = φ,x = f ′2(x− βy) (7.56)

v = φ,y = −βf ′2(x− βy) (7.57)

avendo indicato con l’apice la derivazione rispetto all’argomento.Per determinare il valore di f2 dobbiamo imporre la condizione al contorno,

cioe la condizione di tangenza alla parete

ϑ =dy

dx=

v

1 + u(7.58)

dove con ϑ(x) si e indicata la pendenza locale della parete assunta positiva inverso antiorario. Ricordando la (7.19) e sostituendo la (7.57) nella (7.58) si ha

f ′2 = −ϑβ

La soluzione del problema risulta quindi

u = −ϑtgα∞ v = ϑ (7.59)

e per il coefficiente di pressione (7.32) si ha

Cp =2ϑ

√

M2∞ − 1

(7.60)

I valori di u e v, essendo anch’essi funzione di x − βy, si mantengonocostanti lungo le caratteristiche C2 e quindi le linee di corrente hanno tutte lastessa conformazione della parete cosı come indicato in Fig. 7.2.

Capitolo 7 167

∆

C2

1 +∆Vα

V

~u

vθ 1

~

2

V∆1 +∆V

α u~

C

vθ

~1

a) b)Fig. 7.3

Nel passaggio attraverso una linea di Mach come quella che ha origine nelpunto A, si ha una variazione positiva di ϑ e quindi anche del coefficiente dipressione. Pertanto l’onda originata inA e un’onda di compressione. Viceversal’onda originata in D, attraverso la quale si ha una diminuzione di ϑ, e un’ondadi espansione. Le due situazioni sono rappresentate in Fig. 7.3.

Come si vede nel caso della compressione (Fig. 7.3.a) si ha una diminuzionedella velocita e nel caso dell’espansione un aumento. Si osservi che poicheil potenziale e costante lungo una linea di Mach, quest’ultima e una lineaequipotenziale. Pertanto la variazione di velocita ∆V , che e il gradiente delpotenziale di perturbazione, e diretta normalmente alla linea di Mach.

Considerazioni del tutto analoghe a quelle svolte in precedenza possonoessere fatte per il flusso rappresentato in Fig. 7.4.

C

A BD

C C112

αM

Fig. 7.4

In questo caso si ha un flusso ad onda semplice nel quale f2 = 0 in tuttoil campo ed i disturbi originati alla parete propagano lungo le caratteristicheC1. Si noti tuttavia che la (7.57) risulta in questo caso

v = βf ′1(x+ βy) (7.61)

e conseguentemente si ha un cambio di segno sia nella prima delle (7.59) che

168 Capitolo 7

nella (7.60). Pertanto nell’attraversamento di una linea di Mach C1 si haun’espansione se la variazione di ϑ e positiva ed una compressione se essa enegativa (Fig. 7.5).

1 +∆VV∆

u~v~

θ

1

C1

α

V∆

v~1 +∆V

θ1

C

~u

1

α

Fig. 7.5

7.5 Profili alari supersonici

Consideriamo un profilo, immerso in una corrente supersonica, che abbia spes-sore, curvatura e angolo di incidenza piccoli cosicche si possa utilizzare la teo-ria delle piccole perturbazioni. L’applicazione di questa teoria allo studio deiprofili alari prende il nome di teoria di Ackeret.

Analogamente a quanto visto nel paragrafo precedente, le perturbazionioriginate dalla parete del profilo propagano nella zona superiore lungo le ca-ratteristiche C2 ed in quella inferiore lungo le C1 (Fig. 7.6). Il campo vienecosı suddiviso in due zone fra loro indipendenti ognuna delle quali e una zonaad onda semplice.

αl

C2

C1C1

C2

Fig.7.6

Capitolo 7 169

In ogni punto del profilo il coefficiente di pressione dipende solo dalla in-clinazione locale ϑ(x) della parete ed e dato dalla (7.60) con il segno positivonella parte superiore e con il segno negativo in quella inferiore.

La pendenza locale della superficie puo essere espressa in funzione dellecaratteristiche geometriche del profilo. Con riferimento alla Fig. 7.7,

i

s

y

t

t y

h

l

y x

Fig. 7.7

la forma del dorso ys(x) e del ventre yi(x) possono essere espresse come

ys,i(x) = h(x) ± t(x) (7.62)

essendo h la freccia della linea media e t il semispessore del profilo, adimen-sionalizzati rispetto alla corda ℓ del profilo stesso.

La pendenza locale della superficie del profilo e data da

ϑ(x) =dy

dx− α (7.63)

essendo α l’angolo di incidenza del profilo . Utilizzando le (7.60), (7.62) e (7.63)il coefficiente di pressione sul dorso e sul ventre del profilo risulta

Cps =2

√

M2∞ − 1

(

dh

dx+dt

dx− α

)

(7.64)

Cpi = − 2√

M2∞ − 1

(

dh

dx− dt

dx− α

)

Il coefficiente di portanza del profilo puo allora essere espresso come

CL =

∫ 1

0(Cpi cos ϑi − Cps cos ϑs)dx

Poiche gli angoli ϑi e ϑs sono piccoli si puo assumere cos ϑi = cos ϑs = 1 emediante le (7.64) si ottiene

CL =4

√

M2∞ − 1

∫ 1

0

(

α− dh

dx

)

dx

170 Capitolo 7

Essendo poi

∫ 1

0

dh

dxdx = [h]10 = 0

si ha

CL =4α

√

M2∞ − 1

(7.65)

Il coefficiente di portanza di un profilo supersonico non dipende quindidalla forma del profilo ma solo dall’angolo di incidenza. La (7.65) mostraanche che CL diminuisce al crescere di M∞, in accordo con quanto previstodalla similitudine supersonica.

Per quanto riguarda il coefficiente di momento rispetto al bordo di attacco,che viene assunto positivo se picchiante, si ha

CM =

∫ 1

0(Cpi − Cps)xdx =

2√

M2∞ − 1

(

α− 2

∫ 1

0

dh

dxxdx

)

Svolgendo l’integrale per parti si ottiene

∫ 1

0

dh

dxxdx =

∫ h(1)

h(0)xdh = [xh]10 −

∫ 1

0hdx = −

∫ 1

0hdx

ed il coefficiente di momento risulta

CM =2

√

M2∞ − 1

[

α+ 2

∫ 1

0hdx

]

(7.66)

ovvero

CM =1

2CL + CM0 (7.67)

avendo posto

CM0 =4

√

M2∞ − 1

∫ 1

0hdx (7.68)

Il coefficiente di momento rispetto ad un generico punto di ascissa ξ e datoda

CMξ= CM − ξCL = CL

(

1

2− ξ

)

+ CM0

Ricordando che il fuoco di un profilo e il punto rispetto al quale CM nonvaria al variare di α (e quindi di CL), si puo determinare la posizione del fuoco

Capitolo 7 171

ξF imponendo la condizione

dCMξ

dCL= 0

dalla quale risulta

ξF =1

2(7.69)

CMF= CM0 (7.70)

Mentre in regime subsonico il fuoco di un profilo si trova ad un quarto dellacorda, nel caso supersonico esso si trova a meta della corda stessa come d’altraparte e evidente ove si consideri che nel caso di una lastra piana si ha unadistribuzione di pressione uniforme (Fig. 7.8.b).

Si osservi inoltre che nel caso di un profilo simmetrico il momento focale enullo.

Per quanto riguarda infine il coefficiente di resistenza, esso e dato da

CD =

∫ 1

0(Cps sinϑs − Cpi sinϑi)dx

U

∆p

S

α

L N

S

U

U

pL N

D

U

∆

α

a) b)Fig. 7.8

172 Capitolo 7

Con l’approssimazione sinϑ ∼= ϑ ed utilizzando la (7.63) si ha

CD =2

√

M2∞ − 1

∫ 1

0(ϑ2

s + ϑ2i )dx =

=2

√

M2∞ − 1

∫ 1

0

[

2α2 +

(

dyi

dx

)2

+

(

dys

dx

)2

− 2αd(yi + ys)

dx

]

dx

Tenendo conto che l’integrale dell’ultimo termine e nullo, mediante le (7.62)si ha infine

CD =4

√

M2∞ − 1

[

α2 +

∫ 1

0

(

dt

dx

)2

dx+

∫ 1

0

(

dh

dx

)2

dx

]

(7.71)

Come si vede la resistenza, che prende il nome di resistenza d’onda, e costi-tuita da tre termini. Di questi il primo e proporzionale a CL ed e indipendentedalla forma del profilo: in analogia al caso subsonico (nel quale pero la resi-stenza indotta esiste solo per un’ala di allungamento finito) prende il nomedi resistenza d’onda indotta. Gli altri due termini sono invece rispettivamen-te proporzionali al quadrato dello spessore relativo e della curvatura relativa.Ne deriva che il miglior profilo in regime supersonico, cioe quello che a paritadi portanza ha la minor resistenza, e costituito dalla lastra piana e che trai profili a spessore non nullo il profilo a doppio diedro con spessore massimoa meta della corda ha la minor resistenza a parita di spessore massimo. Siosservi che la resistenza data dalla (7.71) non dipende dal fatto che il fluidosia viscoso dato che nella trattazione svolta si e supposto il fluido perfetto.Pertanto mentre nel caso subsonico la resistenza in un fluido perfetto e nulla(paradosso di D’Alambert), nel caso supersonico oltre alla resistenza dovutaalla viscosita si ha la resistenza d’onda.

Da un punto di vista fisico cio puo essere spiegato considerando la lastrapiana in regime subsonico e supersonico.

Nel caso subsonico (Fig. 7.8.a) la differenza di pressione fra le superficiinferiore e superiore della lastra genera una risultante N normale alla lastrastessa. Poiche pero in questo caso si verifica l’aggiramento del bordo di attacco,in corrispondenza a questo si genera una forte depressione che da luogo ad unaforza di risucchio S parallela alla lastra. La risultante di N ed S e la portanzaL, normale a V∞.

Nel caso supersonico invece non si ha l’aggiramento del bordo di attaccoe non esiste quindi la forza S. La risultante delle pressioni e costituita dallasola N normale alla lastra, che da luogo alle due componenti di portanza L edi resistenza d’onda indotta D (Fig. 7.8.b).

Nella Fig. 7.9 sono riportate a titolo di esempio le distribuzione di pressionesul ventre (i) e sul dorso (s) per diverse forme di profilo.

Capitolo 7 173

+ + + +

+

p

p

p

linea dicompressione

α

s

i

Linea di espansione

U--++

+p

s

i

U + +

a) b)

++

+ +

+p

s i

U++

+p

s

i

U

c) d)

+ +

+p

U

+ +

s

i

+ +

+p i

+++

U

s

e) f)Fig. 7.9

Capitolo 8

Flussi piani supersonici

omentropici

8.1 Caratteristiche fisiche ed odografe

Come si e visto nel capitolo precedente, le equazioni che governano un flussostazionario, omentalpico ed omentropico sono date dalle (7.13) e (7.14) chequi si riscrivono nella forma

u,x +2uv

u2 − a2u,y +

v2 − a2

u2 − a2v,y = 0 (8.1)

v,x − u,y = 0 (8.2)

E’ immediato verificare che, se il flusso e supersonico, queste costituisconoun sistema riducibile, il quale puo quindi essere posto nella forma (4.62) con

a11 =2uv

u2 − a2a12 =

v2 − a2

u2 − a2a21 = −1 a22 = 0

Le equazioni delle linee caratteristiche (4.65) risultano pertanto

dy

dx= λ1,2 =

uv ∓ a2√

M2 − 1

u2 − a2(8.3)

ove si e introdotto il numero di Mach locale

M =(u2 + v2)1/2

a(8.4)

Si osservi che le caratteristiche sono reali solo se M > 1.

174

Capitolo 8 175

Analogamente le equazioni di compatibilita, ovvero le equazioni delle ca-ratteristiche odografe (4.72), risultano

du

dv= −uv ± a2

√

M2 − 1

u2 − a2= −λ2,1 (8.5)

Dal confronto delle (8.3) e (8.5) si rileva che

(

dy

dx

)

C1

(

dv

du

)

Γ2

= −1 ,

(

dy

dx

)

C2

(

dv

du

)

Γ1

= −1 (8.6)

Pertanto in punti corrispondenti del piano fisico (x, y) e del piano odo-grafo (u, v) la caratteristica fisica della famiglia C1 (o C2) e ortogonale allacaratteristica odografa della famiglia opposta Γ2 (o Γ1).

Le equazioni delle caratteristiche fisiche e odografe assumono espressionipiu semplici se il vettore velocita viene rappresentato tramite il modulo V ela direzione ϑ che esso forma con l’asse x, anziche in termini delle componenticartesiane u, v.

Utilizzando le relazioni

u = V cos ϑ v = V sinϑ M =1

sinαtanα =

1√

M2 − 1

le (8.3) risultano

dy

dx=

V 2 cos ϑ sinϑ∓ a2/ tanα

V 2 cos2 ϑ− a2=

cos ϑ sinϑ∓ 1

M2 tanα

cos2 ϑ− 1

M2

=

=cos ϑ sinϑ∓ sinα cosα

cos2 ϑ− sin2 α

ovvero

dy

dx= tan(ϑ∓ α) (8.7)

Le linee caratteristiche sono quindi inclinate dell’angolo α rispetto al vet-tore velocita ed in ogni punto la linea di corrente e bisettrice dell’angolo fra ledue caratteristiche passanti per quel punto (Fig. 8.1).

Analogamente le (8.5) assumono la forma

dV cos ϑ− V sinϑdϑ

dV sinϑ+ V cos ϑdϑ=

− cos ϑ sinϑ± sinα cosα

cos2 ϑ− sin2 α

176 Capitolo 8

C2

α

x

y

α

1C

θV

Fig. 8.1

dalla quale, sviluppando e semplificando, si ottiene

1

V

dV

dϑ= ∓ tanα = ∓ 1

√

M2 − 1(8.8)

Al fine di integrarle in forma chiusa, le (8.8) possono essere espresse uni-camente in termini di M e ϑ.

Per eliminare V utilizziamo l’equazione dell’energia (7.15) che in formadifferenziale si scrive

da2 + (γ − 1)V dV = 0

Introducendo in questa il numero di Mach, si ha

dV

V=

dM2

M2[2 + (γ − 1)M2]

che, sostituita nelle (8.8), fornisce l’equazione

dϑ = ∓√

M2 − 1dM2

M2[2 + (γ − 1)M2]

il cui integrale risulta essere

ϑ = ∓√

γ + 1

γ − 1tan−1

√

γ − 1

γ + 1(M2 − 1) ± tan−1

√

M2 − 1 + cost (8.9)

Introducendo la funzione

ω(M) =

√

γ + 1

γ − 1tan−1

√

γ − 1

γ + 1(M2 − 1) − tan−1

√

M2 − 1 (8.10)

Capitolo 8 177

5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

ω

M

Fig. 8.2

le equazioni delle caratteristiche odografe Γ1 e Γ2 risultano

ϑ+ ω = R1 = cost lungo C1

(8.11)

ϑ− ω = R2 = cost lungo C2

e, cosı come le (4.71), definiscono gli invarianti di Riemann R1 ed R2.

La funzione ω(M) e nulla per M = 1 e, nel caso di γ = 1.4, tende a130.45◦ per M → ∞ cosı come indicato in Fig. 8.2. I valori di ω sono tabulatiin funzione di M in Tabella A.3.

Come gia detto nel § 4.4, le caratteristiche odografe non dipendono dal par-ticolare problema (cioe dalle condizioni iniziali e al contorno) e possono quindiessere determinate una volta per tutte. In particolare ai fini di una rappresen-tazione grafica e opportuno adimensionalizzare le velocita rispetto alla velocitacritica del suono. In questo modo l’intero campo nel piano odografo risultaessere compreso fra la circonferenza sonica (M∗ = 1) e la circonferenza di

raggio

(

γ + 1

γ − 1

)1/2

che, in base alla (3.33), corrisponde a M = ∞.

Le equazioni (8.11) delle caratteristiche odografe rappresentano nel pianoodografo delle epicicloidi. Queste possono essere generate come la traiettoria di

un punto che si trovi sul cerchio di raggio r =

(

γ + 1

γ − 1

)1/2

−1 il quale rotoli sul

cerchio sonico. In particolare in Fig. 8.3 sono rappresentate le due epicicloidiΓ1 e Γ2 che corrispondono a R1 = 0 ed R2 = 0, le quali rappresentano latraiettoria del punto che si trovava inizialmente in P .

178 Capitolo 8

2C C1

ua*

γ − 1γ + 1

θO

B

A

C2 C1

α2C

M*

a*v

l

130.4°

Γ2

Γ1

P

P’

Fig. 8.3 Fig. 8.4

In un generico punto A dell’epicicloide il vettore ottenuto congiungendoA con l’origine rappresenta M∗ in direzione e modulo. La normale alla cur-va Γ1 nel punto A rappresenta la direzione della caratteristica fisica C2 incorrispondenza alle condizioni del punto A stesso.

Il punto P , nel quale si ha M∗ = 1 e ϑ = 0, rappresenta un flusso sonicocon direzione orizzontale: le caratteristiche fisiche C1 e C2 sono pertanto fraloro coincidenti e tangenti al cerchio sonico (α = 90◦). Ne consegue che incorrispondenza al punto P le caratteristiche odografe Γ1 e Γ2 hanno tangenteorizzontale.

Nel punto B, che e l’altro estremo della curva Γ1, si ha M = ∞ e α = 0:di conseguenza anche in questo caso le caratteristiche C1 e C2 sono fra lorocoincidenti ed hanno la stessa direzione OB della velocita, la quale forma unangolo ϑ = 130.4◦ con l’asse delle u.

Le curve Γ1 e Γ2 per valori diversi della costante che compare nelle (8.11)possono essere ottenute semplicemente ruotando attorno all’origine di un an-golo pari al valore della costante le curve di Fig. 8.3. Per ogni punto delpiano odografo passa quindi una e una sola caratteristica di ognuna delle duefamiglie Γ1 e Γ2, come indicato in Fig. 8.4.

8.2 Flussi di Prandtl-Meyer

Consideriamo un flusso supersonico lungo una parete che presenti delle va-riazioni di pendenza non piccole, cosicche non sia possibile fare l’ipotesi dipiccole perturbazioni. Come gia visto nel § 7.4, poiche all’infinito a monte il

Capitolo 8 179

flusso e uniforme, non vi sono segnali provenienti da monte; il flusso e ad unasola famiglia ed in tutto il campo si ha R1 = cost. L’intero flusso e pertan-to rappresentato nel piano odografo da un arco di curva Γ1 come indicato inFig. 8.5.b.

I C2

II

III

C2

1 2 34

56

2θua*

va*

123456=1M*

’

’’

’

’

’

C2

C2

O

a) b)

Fig. 8.5

La determinazione del flusso puo essere effettuata molto semplicementesia per via grafica che per via analitica. Le condizioni iniziali M1 e ϑ1 delflusso uniforme consentono di determinare nel piano odografo la posizione delpunto 1’ che rappresenta l’intera regione I; questa e separata dalla regione adonda semplice II da una caratteristica C2 la quale forma con la direzione dellacorrente indisturbata l’angolo di Mach α1 = sin−1(1/M1). La conoscenza delpunto 1’ consente di individuare nel piano odografo la particolare curva Γ1 cherappresenta il flusso e sulla quale dovranno quindi trovarsi tutti gli altri statirappresentativi del flusso.

Poiche in ogni punto della parete deve essere soddisfatta la condizione alcontorno di tangenza della velocita alla parete stessa, in un generico punto2 e noto l’angolo ϑ2 che il vettore velocita forma con l’asse x. Il punto 2’,rappresentativo dello stato nel punto 2, puo allora essere ottenuto nel pianoodografo dall’intersezione con la curva Γ1 della retta passante per l’origineche forma l’angolo ϑ2 con l’asse delle ascisse. La lunghezza del segmento O2′

determina il valore di M∗2 . Tracciando poi la normale alla curva Γ1 nel punto

2’ si determina la direzione della caratteristica fisica C2 lungo la quale sonocostanti i valori di ϑ e M . Il punto 2’ rappresenta quindi l’intera caratteristicaC2 passante per 2.

Conoscendo in ogni punto del campo la direzione della velocita e possibiletracciare le linee di corrente. Nell’esempio rappresentato in Fig. 8.5 la velocitaaumenta muovendosi lungo la parete e di conseguenza il fluido si espande. Lelinee di corrente sono pertanto tra loro divergenti cosicche la sezione del tubodi flusso aumenta, come deve accadere nell’espansione di un flusso supersonico.

Analiticamente, la conoscenza dei valori iniziali di ϑ e M consente di de-

180 Capitolo 8

terminare la costante R1 nella prima delle (8.11), dalla quale per ogni valoredi ϑ e immediato ricavare ω e quindi, mediante la Tabella A.3, il valore di M .

Si osservi che l’arco di curva Γ1 di Fig. 8.5.b non rappresenta solo il flussodi Fig. 8.5.a, ma puo rappresentarne infiniti. Ad esempio il flusso di Fig. 8.6,in cui un’espansione e seguita da una compressione isentropica, e anch’essorappresentato dalla curva Γ1 di Fig. 8.5.b.

C2

34

1 2

665

5

C2

4 3 2 1Fig. 8.6

Nella discussione precedente si e fatto riferimento ad una parete con unavariazione continua di pendenza. Tuttavia l’intera trattazione puo essere estesaidenticamente al caso in cui la variazione graduale sia sostituita da uno spigolocome indicato in Fig. 8.7. In questo caso si ha un’espansione centrata nellaquale tutte le caratteristiche C2 attraverso cui avviene l’espansione passanoper il punto P . In corrispondenza allo spigolo il flusso subisce una bruscavariazione di direzione e modulo della velocita, variazione che diviene perocontinua all’interno del flusso.

1C C C C

P

C

1 22

1

C2

C1

1CC2C2 C2C1

C2C2

1CC2

C1 C1

220.4°

Fig. 8.7 Fig. 8.8

In Fig. 8.8 e rappresentata un’espansione di Prandtl-Meyer centrata ecompleta, che e cioe rappresentata nel piano odografo dall’intera curva Γ1

di Fig. 8.3. Oltre alle rette C2 sono anche indicate in figura le caratteristichetrasversali C1 e le linee di corrente (tratteggiate). Lo stato iniziale del flussoe sonico mentre nello stato finale, che viene raggiunto dopo una rotazione di

Capitolo 8 181

130.4◦, si ha M = ∞. Cio corrisponde ad un valore nullo della velocita del suo-no, della temperatura e della pressione ovvero ad una condizione di cavitazione.Questa situazione e pero solo teorica in quanto nella realta prima di arrivarealle condizioni di vuoto vengono a cadere le ipotesi di gas ideale e di mezzocontinuo sulle quali e basato il nostro modello. In precedenza considerandoil flusso su una parete convessa abbiamo esaminato il caso di una espansio-ne attraverso linee caratteristiche della seconda famiglia. Tuttavia lungo lastessa parete e anche possibile avere un’onda semplice di compressione comee indicato in Fig. 8.9.a.

C1 C1

C1

1

B

Γ

Γ2

C

CA

P

C D

C

2

2

1

ua*

va*

a) b)

Fig. 8.9

CC2

2 CC

11

a) b)

Fig. 8.10

In questo caso la compressione avviene attraverso caratteristiche C1 e tuttigli stati rappresentativi del flusso si trovano su una caratteristica odografa Γ2

(tratto PB in Fig. 8.9.b) lungo la quale la velocita diminuisce. Il fatto chele caratteristiche siano rivolte verso monte, anziche verso valle, indica che inquesto caso la compressione non e originata dalla parete ma e stata generatain una zona a monte della regione in esame, come sara meglio specificato nelprossimo paragrafo.

182 Capitolo 8

Ovviamente anche nel caso di una parete concava si puo verificare sia unacompressione che una espansione. Il primo caso, che corrisponde all’arco PCdi Fig. 8.9.b, si verifica quando l’onda e originata dalla parete, mentre l’espan-sione rappresentata in Fig. 8.10.b, che corrisponde all’arco PD di Fig. 8.9.b,e generata altrove.

8.3 Riflessione di onde

Consideriamo il condotto di Fig. 8.11.a nel quale la parete inferiore subisceuna deviazione nel tratto 1-4, mentre quella superiore e parallela alla direzioneiniziale del flusso supersonico.

L’onda di espansione della seconda famiglia che ha origine nel tratto 1-4interagisce con la parete superiore. L’interazione inizia nel punto 1’ in cui ilfronte posteriore dell’espansione incontra la parete. A valle della caratteristica1-1’ la corrente e diretta parallelamente al tratto di parete 1-2 (ϑ = ϑII) e nonsoddisferebbe la condizione di tangenza alla parete superiore (ϑ = 0). Persoddisfare questa condizione e necessario che dal punto 1’ abbia origine unanuova onda che faccia deviare la corrente di un angolo uguale ed opposto aϑII .

Quest’onda, che viene detta onda riflessa, e di famiglia opposta a quelladell’onda incidente e, nel caso in esame di riflessione su parte piana, e facileverificare che e un’onda di espansione. Attraverso la caratteristica C1 si hainfatti

R2 = ϑII − ωII = ϑIII − ωIII = cost

ed, essendo ϑIII = 0 per la condizione al contorno,

ωIII = ωII − ϑII

Poiche ϑII e negativo, si ha MIII > MII e di conseguenza pIII < pII .

Pertanto, cosı come nel caso dei flussi monodimensionali non-stazionari,l’onda riflessa da una parete piana e della stessa natura dell’onda incidente.

La zona di interazione fra l’onda incidente e quella riflessa (zona 1’-4’-10 diFig. 8.11.a) costituisce una regione a due famiglie nella quale le caratteristichesono curve.

L’onda C1, riflessa dalla parete superiore, inizia a sua volta a rifletter-si sulla parete inferiore nel punto 4” ed il procedimento continua con unaserie di riflessioni alternativamente sulla parete superiore ed inferiore. Nelpassaggio attraverso queste onde di espansione il flusso subisce una continuadiminuzione di pressione, cosı come deve accadere per un flusso supersonico

Capitolo 8 183

Fig. 8.11 [da Owczarek]

Tabella 8.1

Stato R1 R2 ϑ ω M α ϑ+ α ϑ− α P/P0

1 6.17 - 6.17 0 6.17 1.300 50.3 50.3 -50.3 0.36102 6.17 - 16.17 -5 11.17 1.475 42.7 37.7 -47.7 0.28203 6.17 - 22.17 -8 14.17 1.580 39.2 31.2 -47.2 0.24204 6.17 - 30.17 -12 18.17 1.715 35.7 23.7 -47.7 0.19755 16.17 -16.17 0 16.17 1.645 37.4 37.4 -37.4 0.22006 16.17 -22.17 -3 19.17 1.745 35.0 32.0 -38.0 0.18907 16.17 -30.17 -7 23.17 1.885 32.0 25.0 -39.0 0.15308 22.17 -22.17 0 22.17 1.850 32.7 32.7 -32.7 0.16109 22.17 -30.17 -4 26.17 1.990 30.2 26.4 -34.2 0.1300

10 30.17 -30.17 0 30.17 2.140 27.9 27.9 -27.9 0.103011 16.17 - 40.17 -12 28.17 2.065 29.0 17.0 -41.0 0.1155

184 Capitolo 8

in un condotto divergente. Si osservi pero che, a differenza dell’approssima-zione quasi-unidimensionale, le condizioni del flusso non sono uniformi in ognisezione del condotto.

In particolare nel caso esaminato si ha la presenza di zone di flusso uniforme(zone 1, 4 e 10) di zone ad onda semplice (zone 1-1’-4’-4 e 4’-10-10’-4”) e dizone a due famiglie.

Il calcolo delle condizioni del flusso nei diversi punti del piano fisico puoagevolmente essere effettuato con il metodo delle caratteristiche. Per il flussodi Fig. 8.11 il calcolo e riportato in Tabella 8.1 nella quale in ogni riga sonosottolineate le due grandezze note all’inizio del calcolo ed in base alle qualivengono calcolate tutte le altre quantita.

In particolare le condizioni nei punti 1’,2’,3’,4’ (che coincidono con quelledei punti 1,2,3,4) vengono determinate conoscendo il valore di R1, che e co-stante attraverso l’onda semplice, ed il valore di ϑ in ogni punto della parete.Per i punti interni come 6, viene utilizzata la costanza dell’invariante R1 lun-go la caratteristica C1 (5’-6) e dell’invariante R2 lungo C2 (3’-6). Per i puntidi parete, nei quali viene a mancare uno dei due invarianti, la condizione alcontorno di tangenza alla parete fornisce il valore di ϑ.

Le equazioni delle caratteristiche fisiche (8.7), che sono note essendo notein ogni punto i valori di ϑ±α, consentono poi la localizzazione nel piano fisicodei diversi punti.

L’origine dell’onda riflessa, come si e visto, e dovuta alla necessita di sod-disfare la condizione di tangenza sulla parete superiore. Le caratteristiche ela natura dell’onda riflessa dipendono quindi dalla forma della parete. In par-ticolare, se in ogni punto P ′ della parete superiore la direzione della parete euguale a quella della parete inferiore nel punto P da cui ha origine la caratte-ristica dell’onda incidente (Fig. 8.12), la condizione al contorno e soddisfattae non nasce un’onda riflessa.

’

P

P

Fig. 8.12

In questo caso molto particolare, nel quale la parete superiore e costituitada una linea di corrente del flusso ad onda semplice, si ha la cancellazione

Capitolo 8 185

dell’onda incidente e la trasformazione di un flusso uniforme in un altro flussouniforme avente pressione piu bassa, velocita piu grande e diversa direzione.Si osservi che, visto dalla parete superiore, questo caso corrisponde a quellodi Fig. 8.10.b nel quale si ha un’espansione lungo una parete concava. Inaltri termini, nel caso di Fig. 8.12 la compressione che si originerebbe lungo laparete concava superiore in assenza dell’onda incidente compensa esattamentel’espansione che si avrebbe per la riflessione dell’onda incidente se la paretefosse piana e l’onda risultante ha intensita nulla.

Con questo ragionamento e facile intuire che se la parete superiore e con-vessa (Fig. 8.13.a), l’espansione dovuta alla parete superiore si somma a quelladovuta alla riflessione dell’onda incidente e l’onda riflessa sara quindi un’ondadi espansione di intensita maggiore dell’onda incidente.

a) b)

Fig. 8.13

Viceversa, nel caso in cui la parete superiore abbia una concavita maggioredella curvatura della parete inferiore (Fig. 8.13.b), l’onda riflessa e un’onda dicompressione.

8.4 Ugelli supersonici

La teoria quasi-unidimensionale vista nel Cap. 3 fornisce lo strumento per ladeterminazione del rapporto di area che si deve realizzare al fine di ottenereun determinato valore del numero di Mach di uscita. Tuttavia, al di la dellaapprossimazione insita nella teoria quasi-unidimensionale, quest’ultima nonda alcuna informazione su quale debba essere la forma delle pareti dell’ugello,cioe su quale debba essere la legge A = A(x).

Il metodo delle caratteristiche fornisce invece una tecnica per determinareil contorno del tratto divergente di un ugello supersonico in modo da ottenereun flusso isentropico senza la formazione di onde d’urto, quali potrebberoverificarsi in mancanza di un opportuno progetto della forma dell’ugello.

Le due principali applicazioni degli ugelli supersonici sono costituite dagliugelli per le gallerie supersoniche e dagli ugelli propulsivi. In entrambi i casi

Capitolo 9

Flussi piani supersonici con

onde d’urto

Nello studio dei flussi unidimensionali si e vista la possibilita che esistano onded’urto, le quali non possono che essere normali alla direzione della corrente.Viceversa nei flussi multidimensionali supersonici si possono verificare onded’urto la cui direzione non e normale a quella del flusso (urti obliqui) o chevaria da punto a punto (urti curvi).

L’esistenza di urti obliqui puo essere intuita se, con riferimento all’esempiodi Fig. 1.3, si pensa al caso in cui l’angolo del diedro non sia piccolo masia tale da generare dei disturbi di intensita finita. L’inviluppo dei disturbisara una superficie attraverso la quale le proprieta del flusso subiscono unavariazione non piu infinitesima ma finita e che costituisce quindi una superficiedi discontinuita obliqua rispetto alla direzione della corrente. Cosı pure nelcaso del flusso supersonico lungo una parete concava esaminata in Fig. 9.1, eintuitivo che le caratteristiche di compressione coalescano dando luogo ad unalinea di discontinuita non normale alla direzione della corrente.

Fig. 9.1 [da Van Dyke]

191

192 Capitolo 9

9.1 Urto obliquo

Consideriamo un urto obliquo stazionario che formi un angolo σ con la dire-zione iniziale della corrente ed indichiamo con il pedice 1 le grandezze a montedell’urto, che supponiamo note, e con il pedice 2 quelle a valle (Fig. 9.2).

Le relazioni di salto (2.60)-(2.64) scritte in termini delle componenti divelocita normali e tangenziali alla direzione dell’urto risultano

ρ1Vn1 = ρ2Vn2 (9.1)

p1 + ρ1V2n1

= p2 + ρ2V2n2

(9.2)

Vt1 = Vt2 (9.3)

h1 +V 2

n1

2= h2 +

V 2n2

2(9.4)

S2 ≥ S1 (9.5)

avendo tenuto conto della (9.3) nello scrivere la (9.4). Dal confronto con lerelazioni di salto (3.44)-(3.47) per un urto normale si rileva immediatamentel’identita dei due sistemi di equazioni ove alle velocita v si sostituiscano lecomponenti di velocita normale Vn. Con questa sostituzione si puo quindiripetere la trattazione svolta nel §3.5 per ottenere i rapporti delle diversegrandezze fra valle e monte dell’urto. Si osservi pero che nel caso dell’urtoobliquo la relazione (3.48) diviene

a21 +

γ − 1

2

(

V 2n1

+ V 2t

)

=γ + 1

2a∗

2

ovvero

a21 +

γ − 1

2V 2

n1=γ + 1

2a∗

2

(

1 − γ − 1

γ + 1

V 2t

a∗2

)

V

σV V

n2t2V

V

n1

1

t1

V2

δ

n1 n1

1t V

V

n2V V

V

VV 2

t

Vn2

Fig. 9.2 Fig. 9.3

Capitolo 9 193

e la relazione di Prandtl risulta

M∗n1M∗

n2= 1 − γ − 1

γ + 1

V 2t

a∗2 (9.6)

che coincide con la (3.50) nel caso di urto normale per il quale Vt = 0 eMn ≡M .

Tuttavia, poiche anche la relazione (3.32) risulta modificata nella

M∗2

n =

γ + 1

2M2

n

1 +γ − 1

2M2

n

(

1 − γ − 1

γ + 1

V 2t

a∗2

)

e facile verificare che le relazioni (3.51), (3.53), (3.54) e (3.55) rimangonoinalterate purche ad M1 ed M2 si sostituiscano Mn1 ed Mn2 rispettivamente.Le caratteristiche di un urto sono quindi, in ogni caso, determinate dal valoredi Mn1 , il quale deve essere maggiore di uno per rispettare la condizione dientropia (9.5).

In altri termini un urto obliquo puo essere visto come un urto normalecui sia stata aggiunta in tutto il campo una velocita Vt costante diretta pa-rallelamente all’urto stesso (Fig. 9.3). L’aggiunta di questa velocita evidente-mente non influisce sulla variazione delle proprieta termodinamiche (pressione,temperatura, densita, entropia) ma modifica la direzione ed il modulo dellavelocita nonche le grandezze di ristagno, sia a monte che a valle dell’urto.

Da cio derivano due importanti differenze rispetto al caso dell’urto nor-male. La prima e che, poiche Vn varia fra monte e valle dell’urto mentre Vt

rimane costante, il flusso nel passaggio attraverso l’urto subisce una deviazio-ne δ (Fig. 9.2). La seconda differenza e che, mentre la relazione di Prandtl(9.6) garantisce che essendo Mn1 > 1 si ha Mn2 < 1, l’aggiunta di una velo-cita Vt a valle dell’urto puo far sı che si abbia M2 > 1. Pertanto nel caso diun urto obliquo il flusso a valle dell’urto stesso puo essere sia subsonico chesupersonico.

Le relazioni fra i moduli delle velocita e le loro componenti normali, oequivalentemente fra i rispettivi numeri di Mach, possono essere ottenute consemplici considerazioni geometriche dalla Fig. 9.2.

Mn1 = M1 sinσ (9.7)

Mn2 = M2 sin(σ − δ) (9.8)

194 Capitolo 9

Con opportune manipolazioni algebriche e anche possibile esprimere l’an-golo di deviazione δ in funzione unicamente di M1 e σ

tan δ = 2cot σ

[

M21 sin2 σ − 1

M21 (γ + cos 2σ) + 2

]

(9.9)

Come detto in precedenza un urto e completamente definito quando siaassegnato Mn1 . Pertanto, mentre l’urto normale (che e un caso particolare diurto obliquo per il quale σ = π/2) e completamente definito dal solo valore diM1, per definire un urto obliquo e necessario assegnare oltre ad M1 anche lapendenza σ dell’urto. Con i valori di M1 e σ la (9.7) consente di determinare

Mn1 in corrispondenza al quale la Tabella A.2 fornisce i valori di Mn2,ρ2

ρ1,T2

T1,

p2

p1,po2

po1

ea2

a1.

Si osservi che anche il rapporto fra le pressioni totali, che come indicato dal-la (3.60) dipende dal salto di entropia attraverso l’urto, non e influenzato dallapresenza della componente di velocita tangenziale ed e quindi determinato dalvalore di Mn1.

Mediante la relazione (9.9) si puo calcolare l’angolo di deviazione δ che,introdotto nella (9.8), fornisce il valore di M2 determinando completamente lecondizioni a valle dell’urto. Tuttavia in molte applicazioni pratiche l’angolo σformato dall’urto non e noto a priori ma deve essere determinato in modo darealizzare un assegnato valore della pressione a valle dell’urto o un assegnatovalore della deviazione δ, che sono dettati dalle condizioni al contorno.

1.5

10

0

20

30

40

50

60

70

80

90

2.0 2.5 3.0 3.51.0M

A

B

δ=0°

δ=5° 10° 15°25°

20°30° 35°

35°

30°

25°20°

15°

δ=0°5°

10°b

a

σ

1

Fig. 9.4

Capitolo 9 195

Se consideriamo quest’ultimo caso in cui sono assegnati i due parametriM1 e δ, si puo pensare di ottenere il corrispondente valore di σ risolvendo la(9.9). Questa soluzione e rappresentata in Fig. 9.4 riportando σ in funzionedi M1 per diversi valori del parametro δ.

Si osserva che per ogni valore di δ esiste un valore minimoM1mindel numero

di Mach al di sotto del quale non si ha nessuna soluzione. Per M1 > M1minsi

hanno invece due soluzioni che diventano coincidenti per M1 = M1min.

Alternativamente si puo dire che per ogni valore di M1 esiste un valoremassimo δmax dell’angolo di deviazione al di sopra del quale non si ha nessunasoluzione. Il valore di δmax in funzione di M1 (o di M1min

in funzione di δ) erappresentato in Fig. 9.5 dalla quale si rileva che δmax tende al valore limitedi 45.6◦ per M1 → ∞.

Delle due soluzioni che si verificano per M1 > M1minquella che ha un

valore di σ maggiore (soluzione A di Fig. 9.4), avendo un piu alto valore diM1n , corrisponde ad un urto piu intenso e viene pertanto detta urto forte.Viceversa la soluzione B che ha un valore di σ piu piccolo viene detta urtodebole. Se si esamina il valore di M2 che corrisponde a ciascuna delle duesoluzioni (Fig. 9.6), si osserva che nel caso di urto forte il flusso a valle e sempresubsonico, mentre nel caso di urto debole esso e in generale supersonico, fattaeccezione per una piccola regione di M1 in prossimita di δmax.

Il fatto che si verifichi l’una o l’altra delle due soluzioni dipende in generaledalla pressione a valle dell’urto: nel caso in cui questa e alta si verifica lasoluzione di urto forte, mentre nel caso piu usuale nei problemi aeronautici in

M1

10°0° 20° 30° 40° 50°

3

4

5

6

7

2

1

45.6

°

δmax

2M

0.5

1.0

1.5

2.5

2.0

3.0

3.5

3.53.02.52.01.51.0M1

10°5°δ=0°

15°20°25°

30°

35°BA

b

a

Fig. 9.5 Fig. 9.6

196 Capitolo 9

cui la pressione a valle e poco differente da quella a monte si ha la soluzionedi urto debole.

Si osservi che nel caso particolare di δ = 0 la (9.9) fornisce due soluzioni

cot σ = 0 σ =π

2(9.10)

M21 sin2 σ − 1 = 0 sinσ =

1

M1(9.11)

La soluzione di urto forte corrisponde quindi all’urto normale attraverso ilquale non si ha deviazione della corrente ed e rappresentata dalle curve “a”nelle Fig. (9.4) e (9.6).

La soluzione di urto debole, per la quale σ = α, e invece rappresentatadalle curve “b” e corrisponde ad un’onda di Mach che puo quindi anche essereinterpretata come un urto obliquo di intensita nulla attraverso il quale δ = 0e M2 = M1.

Come si e detto in precedenza in molti casi pratici l’angolo σ deve esseredeterminato sulla base della conoscenza dell’angolo δ mediante la relazione(9.9), la quale deve essere risolta con un metodo iterativo. Per evitare ciola Tabella A.4 fornisce in funzione dei parametri M1 e δ il valore di σ corri-spondente alla soluzione di urto debole, mentre la Tabella A.5 fornisce quellocorrispondente alla soluzione di urto forte.

9.2 Polare dell’urto

Una rappresentazione molto conveniente di tutti gli urti che possono verificarsiper un dato valore di M1 puo essere ottenuta utilizzando un riferimento polarenel piano odografo.

Consideriamo il piano odografo, gia introdotto nel § 8.1, nel quale le ve-locita sono adimensionalizzate rispetto ad a∗. Consideriamo poi un flussodiretto secondo l’asse x e definito dal valore di M∗

1 che nel piano odografo erappresentato dal punto 1 di Fig. 9.7.a.

Per un assegnato valore di δ si puo calcolare lo stato a valle dell’urto comedescritto nel paragrafo precedente e, riportando sulla direzione che forma l’an-golo δ con l’asse delle ascisse un segmento di lunghezza pari a M∗

2 , si ottieneil punto 2 che rappresenta lo stato a valle dell’urto. La direzione dell’urtopuo essere ottenuta graficamente tracciando per l’origine la normale alla rettache congiunge i punti 1 e 2. E’ infatti facile verificare che il segmento OArappresenta la velocita tangenziale, che e la stessa per gli stati 1 e 2, mentre isegmenti A1 ed A2 rappresentano la velocita normale all’urto rispettivamen-te a monte ed a valle dell’urto stesso. Ripetendo per diversi valori di δ la

Capitolo 9 197

*u/a

σ2

1 AB C

v/a

u/a

1

*v/aA

1*M

M =1*

O O M =1*

*

*

M*2

δ δ

a) b)Fig. 9.7

costruzione descritta si ottiene una curva che rappresenta lo stato a valle ditutti i possibili urti in un flusso definito da M1 e che prende il nome di polaredell’urto.

L’equazione della polare puo essere ottenuta con opportune manipolazionidelle equazioni dell’urto obliquo e risulta

v2 =(M∗

1 − u)2(uM∗1 − 1)

2

γ + 1M∗2

1 − uM∗1 + 1

(9.12)

essendo u e v le componenti cartesiane della velocita adimensionalizzate ri-spetto ad a∗.

La (9.12) e l’equazione di una strofoide che e rappresentata in Fig. 9.7.b.Si osservi che per ogni valore di δ la (9.12) fornisce tre soluzioni rappre-

sentate in Fig. 9.7.b dai punti A, B, C. Il punto A, che si trova all’interno delcerchio sonico, rappresenta la soluzione di urto forte ed il punto B quella diurto debole. Il punto C, per il quale M∗

2 > M∗1 , rappresenta invece un urto

attraverso il quale si ha un aumento di velocita e quindi una soluzione condiminuzione di entropia che non e fisicamente significativa. Pertanto i ramidella strofoide a destra del punto 1 non vengono presi in considerazione e lapolare dell’urto e costituita dalla curva rappresentata in Fig. 9.7.a.

Dall’esame della polare (Fig. 9.8.a) si rileva:

1. Il punto C nel quale la retta per l’origine e tangente alla polare corri-sponde alla massima deviazione δmax.

2. Per ogni δ < δmax si hanno due intersezioni con la polare (punti B e D)che rappresentano rispettivamente l’urto debole e l’urto forte.

3. I punti E ed A per i quali non si ha deviazione rappresentano rispetti-vamente l’urto normale e l’onda di Mach.

198 Capitolo 9

σH

Bmax

1

C

*v/a

u/a*

C2Line

a di

Mac

h

O E Aα

Γ

*v/a

*u/aAEO

δ

δD

a) b)Fig. 9.8

Se per il punto A consideriamo la costruzione grafica per determinare ladirezione dell’urto facendo tendere ad A il generico punto B, la retta HA diFig. 9.8.a diviene la tangente in A, mentre l’urto, la cui intensita tende a zero,diviene una linea di Mach e forma quindi l’angolo α con l’asse x.

Pertanto la tangente alla polare nel punto A e normale alla linea di Mach(Fig. 9.8.b). Poiche anche la caratteristica odografa nel punto A e normalealla linea di Mach della famiglia opposta, le caratteristiche odografe nel pun-to A sono tangenti alla polare ed e possibile dimostrare che hanno anche lastessa curvatura della polare. Nell’intorno del punto A i punti della polarerappresentano lo stato a valle di urti molto deboli che possono con buona ap-prossimazione essere considerati isentropici, il che spiega il fatto che la polaresia praticamente coincidente con le caratteristiche odografe, le quali rappre-sentano appunto una compressione isentropica. Allontanandosi dal punto Aper una stessa deviazione δ il valore di M∗

2 a valle di un urto risulta minoredi quello che si ottiene attraverso una compressione isentropica e quindi lacaratteristica odografa e esterna alla polare (Fig. 9.8.b).

Naturalmente ad ogni valore diM∗1 corrisponde una diversa polare (Fig. 9.9).

A

2.450.41

M=4

M=2

v/a*

u/a*

M=

Fig. 9.9

Capitolo 9 199

Per M1 = 1 la polare si riduce ad un punto sul cerchio sonico (punto A diFig. 9.9) mentre per M1 = ∞ che corrisponde a M∗

1 =√

6 la polare divieneuna circonferenza.

Si osservi infine che i punti della polare aventi v positiva rappresentanourti che si trovano alla sinistra di un osservatore che si muova nel verso dellacorrente. Questi urti vengono pertanto detti urti sinistri ed in analogia allaconvenzione assunta per le linee caratteristiche verranno indicati come urtidella seconda famiglia. Viceversa gli urti che danno luogo ad una v negativasono detti urti destri e verranno indicati come urti della prima famiglia.

9.3 Riflessione di urti

Consideriamo il flusso supersonico in un condotto la cui parete inferiore pre-senti una brusca variazione di direzione (Fig. 9.10). Se l’angolo δ di deviazionedella parete e minore del valore δmax che corrisponde ad M∞, la condizionedi tangenza alla parete a valle del punto A puo essere soddisfatta se in A haorigine un urto obliquo.

II

M

σ

1

A

bIII

III

δ

v/a

u/aI

IIIδ

B

a

*

*

a) b)Fig. 9.10

Supponiamo inoltre che la pressione a valle del condotto sia sufficiente-mente bassa da far sı che l’urto originato in A sia un urto debole.

In base ai valori di MI e δ e possibile calcolare con la procedura descrittanel § 9.1 le condizioni a valle dell’urto (zona II) e, conoscendo σ, determinareil punto B nel quale l’urto incide sulla parete superiore. Per soddisfare lacondizione al contorno a valle di B e necessario che dal punto B abbia origineun altro urto (urto riflesso) di famiglia opposta a quella dell’urto incidente etale da far deviare la corrente di un angolo −δ, cosicche il flusso nella regioneIII abbia nuovamente la direzione della regione I. La determinazione del flussonella zona III puo nuovamente essere effettuata a partire dai valori di MII

e δ. Poiche MII < MI , l’intensita dell’urto riflesso e minore di quella dell’urtoincidente e la riflessione non e quindi speculare. Gli stati II e III possono anche

200 Capitolo 9

essere determinati per via grafica con l’ausilio delle polari relative all’urtoincidente ed a quello riflesso come indicato in Fig. 9.10.b.

I

δ

IIσ

A

a

B

Fig. 9.11

Si osservi che qualora nel punto B la parete superiore subisca la stessadeviazione che si ha nel punto A (Fig. 9.11), la condizione al contorno a valledi B e soddisfatta, non si genera quindi l’urto riflesso e si ha la cancellazio-ne dell’urto incidente. La riflessione precedentemente descritta, che prendeil nome di riflessione regolare, puo pero verificarsi solo se δ < δmax(MII).Infatti, poiche MII < MI , e possibile che si verifichi la situazione in cuiδmax(MII) < δ < δmax(MI) per la quale il raddrizzamento della correntenon puo avvenire attraverso un urto obliquo. Con riferimento alla Fig. 9.10.b,cio corrisponde al fatto che, aumentando δ, la polare dell’urto riflesso noninterseca piu l’asse delle ascisse.

Quando il valore di δ e cosı grande da rendere impossibile la riflessioneregolare, si verifica un particolare tipo di riflessione che prende il nome diriflessione di Mach e che e schematicamente indicato in Fig. 9.12.

Ia

σA

B

δ1

bII

δ

D c

a) b) [da Shapiro]

Fig. 9.12

Quando non e possibile avere un urto riflesso, la condizione di tangenza avalle di B puo essere soddisfatta solo se l’urto e un urto normale attraverso ilquale la deviazione e nulla. Allontanandosi dalla parete superiore, l’urto c siincurva e la corrente, che e subsonica a valle dell’urto, subisce una deviazioneverso l’alto via via crescente. Nel punto triplo D si incontrano l’urto incidente

Capitolo 9 201

a, l’urto forte c e l’urto riflesso b, il quale quindi ha origine non piu dalla paretema dall’interno del campo. L’esistenza dell’urto riflesso b e ora nuovamentepossibile in quanto esso deve deviare la corrente non piu dell’angolo δ, madell’angolo δ−δ1. Si osservi inoltre che la linea di corrente uscente dal punto Dcostituisce una discontinuita di contatto. Se infatti consideriamo due particelleche passino una immediatamente al di sopra e l’altra immediatamente al disotto del punto D, esse dovranno avere la stessa direzione della velocita e lastessa pressione ma, poiche la prima ha attraversato gli urti a e b, esse avrannosubito una diversa variazione di entropia. In particolare, poiche a parita disalto di pressione la dissipazione e maggiore nel passaggio attraverso un singolourto, al di sopra della linea di corrente uscente da D l’entropia e maggiore,la pressione totale e minore e di conseguenza la velocita e minore. Pertantolungo la linea di corrente passante per D si ha una vorticita concentrata diverso antiorario.

Nell’analisi del flusso di Fig. 9.10 si e ipotizzata la formazione di un urtodebole. Il fatto che la deviazione δ avvenga attraverso un urto debole o unurto forte dipende dal valore della pressione a valle del condotto. Se questa esufficientemente alta la deviazione della corrente viene realizzata mediante unurto forte (Fig. 9.13.a). Poiche a valle dell’urto il flusso e subsonico, non puoesistere un urto riflesso ed in corrispondenza alla parete superiore la condizio-ne di tangenza puo essere soddisfatta solo se δ = 0 ovvero l’urto e normalealla parete stessa. L’urto e pertanto un urto curvo la cui intensita aumentapassando da A a B. Nel piano odografo (Fig. 9.13.b) l’urto e rappresentatonon piu da un punto ma da un arco della polare.

C

δ

B

A δ*

v/a*

u/a

A

O BC

a) b)Fig. 9.13

Le particelle che si muovono lungo le diverse linee di corrente passanoattraverso un urto di diversa intensita e subiscono quindi un diverso aumentodi entropia. Pertanto il flusso a valle di un urto curvo non e piu omentropicoe si ha un gradiente di entropia diretto normalmente alle linee di corrente. Inbase al teorema di Crocco il flusso a valle dell’urto e rotazionale e nel caso diFig. 9.13 e facile verificare che la vorticita ha verso antiorario.

202 Capitolo 9

9.4 Interazione di urti

Un urto interagisce sempre con le onde di Mach della stessa famiglia generatesia a monte che a valle dell’urto stesso. Con riferimento alla Fig. 9.14 perl’onda di Mach generata in B si ha infatti

sinα1 =a1

V1(9.13)

mentre per l’urto la relazione (9.7) fornisce

sinσ =Vn1

V1(9.14)

2V

δαA

1B

1V

α2

C

σ

Fig. 9.14

Poiche, affinche esista l’urto, la velocita normale deve essere supersonica,si ha Vn1 > a1 e quindi σ > α1.

Analogamente per l’onda di Mach generata nel punto C si ha

sinα2 =a2

V2(9.15)

e dalla (9.8) si ottiene

sin(σ − δ) =Vn2

V2(9.16)

Poiche la velocita normale a valle di un urto e subsonica, dal confrontodelle (9.15) e (9.16) risulta

σ − δ < α2

Consideriamo ora due urti della stessa famiglia generati ad esempio da duesuccessive deviazioni della parete come indicato in Fig. 9.15. Poiche, in base

Capitolo 9 203

I

IIασ

δσb

D IV

V d.c.

III

A

22

1 B

a

c

δ1

2Γ

δV

O *u/a

θ = θIV V

1δ2

IΙΙ

ΙΙΙIV

*v/a

a) b)

c) [da Shapiro]

Fig. 9.15

alle considerazioni precedenti, si ha:

σ1 − δ1 < α e α < σ2

risulta

σ1 − δ1 < σ2

Pertanto due urti della stessa famiglia si incontrano sempre ed e intuitivoche essi diano luogo ad un urto piu intenso (urto c di Fig. 9.15.a).

Con un ragionamento del tutto identico a quello svolto alla fine del pre-cedente paragrafo si deduce che la linea di corrente uscente dal punto Dcostituisce una discontinuita di contatto.

Dal punto D deve inoltre aver origine un’altra onda che, a seconda dell’in-tensita’ degli urti a e b, puo’ essere un’urto o un’onda di espansione. Se infattiquest’onda non esistesse, le regioni III e V dovrebbero avere la stessa pressionee la stessa direzione della corrente. Ma la pressione e la direzione nella regio-ne III sono univocamente determinate dalle condizioni iniziali ed al contorno.

204 Capitolo 9

D’altra parte se a valle dell’urto c assumiamo che si abbia ϑV = ϑIII , l’urtoc e completamente determinato e risultera in genere pV 6= pIII . Se invece dalpunto D ha origine un’altra onda e possibile regolare l’intensita di quest’ultimae l’intensita dell’urto c in modo che siano verificate le condizioni

ϑIV = ϑV pIV = pV (9.17)

Il problema e del tutto analogo a quello visto nel caso dei flussi unidi-mensionali non stazionari e costituisce un caso particolare del problema diRiemann bidimensionale. Anche in questo caso la soluzione puo essere ottenu-ta con un metodo iterativo assumendo ad esempio un valore di primo tentativop′IV = p′V . Dal rapporto p′V /pI e possibile ottenere M1n e mediante la (9.7)determinare l’angolo σ che, introdotto nella (9.9) (o mediante la Tabella A.4),fornisce il valore di δ = ϑV . Nell’ipotesi che l’onda riflessa sia un’onda diespansione come indicato in Fig 9.15, la relazione isentropica (3.25) (o la cor-rispondente Tabella A.1) consente di determinare p0 in base ai valori di pIII

ed MIII e quindi di ottenere MIV con i valori di p′IV e p0, che e costante attra-verso l’espansione. La seconda delle (8.11) scritta fra gli stati III e IV consentepoi, con l’ausilio della Tabella A.3, di ottenere il valore di ϑIV che risulterain genere diverso dal valore ϑV precedentemente calcolato. Se ϑIV < ϑV sidovra ripetere il procedimento con un valore di secondo tentativo p′′IV < p′IV

cosicche diminuisca l’intensita dell’urto ed aumenti quella dell’espansione. Ilprocedimento dovra quindi essere iterato fino ad ottenere che sia soddisfattala condizione ϑIV = ϑV .

*u/a

��

����

����

M>1I II

IIIVIV

δ

δ

d.c.2

1

II

IV

Oθ = θ

IIII

V

2δ

δ1IV V

v/a*

a) b)Fig. 9.16

Un problema di Riemann si presenta anche nella interazione fra due urtidi famiglia opposta che e rappresentata in Fig. 9.16 dove due urti di diver-sa intensita sono generati da due diverse deviazioni delle pareti superiore edinferiore del condotto.

Capitolo 9 205

d

II

1p

pE

b

a c c

b d

e

a

a) b)

c) [da Owczarek] d) [da Ferri]

Fig. 9.17

Due urti di famiglia opposta hanno origine anche all’uscita di un ugellosovraespanso (Fig. 9.17.a). In questo caso gli urti nascono non per soddisfareuna condizione sulla direzione della velocita ma per soddisfare la condizione alcontorno che la pressione al confine del getto debba essere uguale alla pressioneesterna pE > p1. In base al rapporto pE/p1 e possibile determinare M1n e,mediante le (9.7) e (9.9), i valori di σ e δ.

Come indicato in Fig. 9.17.a i due urti, che in questo caso hanno ugualeintensita e non danno quindi luogo ad una discontinuita di contatto, dopoaver interagito si riflettono sul confine del getto. Poiche lungo quest’ultimo lapressione deve essere costante e pari a pE , gli urti si riflettono come onde diespansione le quali a loro volta, dopo aver interagito, si riflettono come ondedi compressione. Analogamente a quanto visto per gli ugelli sottoespansi, ilgetto subisce una serie di allargamenti e restrizioni ed all’interno del getto sihanno zone di flusso uniforme alternativamente con pressione piu alta e piubassa di pE .

206 Capitolo 9

All’aumentare di pE i due urti a e b divengono piu intensi ed il numerodi Mach MII diminuisce fino a quando accade che δmax(MII) < δ. In questecondizioni non e piu possibile il raddrizzamento della corrente attraverso gliurti c e d. Analogamente al caso della riflessione su di una parete non si hapiu una interazione regolare ma si verifica una interazione di Mach come eschematicamente indicato in Fig. 9.17.b. In corrispondenza all’asse del gettoil flusso a valle dell’urto e e subsonico mentre alla periferia del getto il flussoresta supersonico.

Aumentando ulteriormente il valore di pE gli urti a e b diventano urtiforti ed il flusso nel getto diviene interamente subsonico con la conseguentescomparsa degli urti c e d. Infine, quando il valore di pE tende al valore pd

indicato in Fig. 3.10, l’urto curvo aeb tende a diventare un urto normale nellasezione di uscita dell’ugello.

9.5 Profili alari

Consideriamo un profilo alare di forma particolarmente semplice quale il profilotriangolare di Fig. 9.18, supponendo ancora che δ < δmax(M1).

D

I

c

A C

II

IIIV

βIV

B

M>1a b

δ

D

Eg

VIV

a

e f ha) b)

Fig. 9.18

Il problema e del tutto analogo a quello di Fig. 9.10 e dal bordo di attaccodel profilo avra quindi origine un urto obliquo. A differenza del flusso all’in-terno di condotti, nel caso di flussi esterni la pressione a valle e sempre pocodifferente da quella a monte e pertanto si ha sempre la formazione di un urtodebole.

Le condizioni del flusso nella regione II possono essere determinate me-diante le relazioni per un urto obliquo. Dal punto B ha origine un’espansionecentrata e le condizioni nella zona III possono quindi essere determinate sfrut-tando l’invarianza di R1 attraverso l’espansione e la conoscenza della direzionedella corrente ϑIII . A valle del bordo di uscita la corrente proveniente dal dor-so e quella proveniente dal ventre del profilo devono avere lo stesso valore di

Capitolo 9 207

pressione e la stessa direzione (pIV = pV , ϑIV = ϑV ). Pertanto al bordo diuscita si ha un problema di Riemann che, nel caso in esame, da luogo supe-riormente ad un urto ed inferiormente ad una debole onda di espansione. Ladirezione della corrente al bordo di uscita non coincide quindi con la direzionedel flusso indisturbato ma forma un piccolo angolo β, che in questo caso epositivo e che viene detto angolo di upwash. L’onda di espansione generatanel punto B interagisce in parte con l’urto anteriore ed in parte con quelloposteriore.

Cominciamo ad esaminare l’interazione con l’urto anteriore che ha inizio nelpunto D in cui l’urto interseca il fronte posteriore dell’espansione. Possiamoapprossimare l’onda di espansione con un numero discreto di espansioni diintensita finita quali le onde e ed f di Fig. 9.18.b. L’interazione dell’onda econ l’urto a e del tutto analoga all’interazione di due urti della stessa famiglia.Nel punto D si ha pertanto un problema di Riemann che da origine ad unnuovo urto g, di intensita minore dell’urto a, ad un’onda di espansione h e aduna discontinuita di contatto che separa le zone IV e V ove si deve avere lastessa pressione e la stessa direzione della corrente. Come e schematicamenteindicato in Fig. 17.b, un problema di Riemann si genera anche nell’interazionefra l’onda incidente f e l’onda riflessa h, come pure ogni qualvolta un’ondaincidente o riflessa interseca una discontinuita di contatto. La soluzione delcampo con il metodo delle caratteristiche diviene pertanto proibitiva anchequando si discretizzi l’onda di espansione in un numero molto piccolo di ondedi intensita finita.

In realta l’onda di espansione generata in B e continua e la sua interazionecon l’urto a puo essere immaginata come una successione infinita di atti diinterazione elementare quale quello sopra descritto. A partire dal punto Dpertanto la direzione dell’urto non varia bruscamente ma varia con continuitadando luogo ad un urto curvo di intensita decrescente. Cosı pure a valledell’urto non si ha una serie di discontinuita di contatto ma si ha una variazionecontinua dell’entropia ed il flusso e quindi rotazionale. Allontanandosi dalprofilo l’urto tende asintoticamente ad assumere la direzione delle linee diMach della corrente indisturbata e la sua intensita tende quindi a zero.

All’interno dell’onda di espansione originata in B esistera una caratteri-stica (indicata con c in Fig. 9.18.a) che e parallela alle linee di Mach dellacorrente indisturbata. La parte dell’onda di espansione che si trova a destradella caratteristica c interagisce con l’urto b che si genera al bordo di uscita,riducendone l’intensita e modificandone la direzione, che, a grande distanzadal profilo, tende anch’essa a divenire parallela alle linee di Mach del flussoindisturbato.

Allontanandosi dal profilo l’urto b diventa piu ripido e cio potrebbe a primavista far pensare che la sua intensita aumenti. In realta cosı non e in quanto il

208 Capitolo 9

E

C

D

II

I σ1

σ2B

Fig. 9.19

flusso a monte dell’urto b non e uniforme. Come e rappresentato in Fig. 9.19,l’urto nel tratto DE, pur essendo piu ripido di quello nel tratto CD, forma conla direzione della corrente a monte un angolo σ2 < σ1 ed essendo MII < MI equindi meno intenso dell’urto CD.

Il fatto che a grande distanza dal profilo l’intensita sia dell’urto anterioreche di quello posteriore debba tendere a zero puo essere dedotto in base aconsiderazioni energetiche. Consideriamo attorno al profilo un volume di con-trollo (Fig. 9.20) il cui confine sia sufficientemente lontano dal profilo cosı dapoter assumere che lungo il confine la pressione sia uguale a quella del flussoindisturbato.

h

0

y

21x

Fig. 9.20

Applicando a questo volume il principio della conservazione della quantitadi moto, la resistenza del profilo risulta

D =

∫ h

0ρ1V

21 dy −

∫ h

0ρ2V

22 dy (9.18)

Capitolo 9 209

Ricordando la (3.25)

p0

p=

(

1 + δρ

γpV 2)

γγ−1

si ha

ρV 2 =γ

δp

[

(

p0

p

)γ−1

γ

− 1

]

che sostituita nella (9.18) da

D =γ

δp∞

∫ h

0

{

(

p01

p∞

)γ−1

γ

−(

p02

p∞

)γ−1

γ

}

dy (9.19)

La resistenza dipende quindi dall’integrale della variazione di pressionetotale che si verifica per effetto degli urti al bordo di attacco ed al bordo diuscita del profilo. Affinche la resistenza sia finita e necessario che l’integrando,e quindi l’intensita degli urti, tenda a zero allontanandosi dal profilo. L’espres-sione (9.19) mostra come la resistenza di un profilo supersonico sia dovuta allanon isentropicita e quindi alla dissipazione che si ha attraverso le onde d’urtoe giustifica il nome di resistenza d’onda.

Puo a questo punto apparire sorprendente che si sia ottenuto un valorefinito della resistenza d’onda nell’ambito della teoria di Ackeret, la quale pre-scinde dall’esistenza di onde d’urto. La spiegazione sta nel fatto che un profilodi spessore infinitesimo genera disturbi infinitesimi ma non nulli e ad un’ondadi Mach e quindi associata una variazione infinitesima di entropia. Poichepero le onde di Mach, non interagendo tra loro, si estendono fino all’infinito,si ha una variazione di entropia infinitesima per una lunghezza infinita che daluogo ad un valore finito della resistenza.

Fig. 9.21

210 Capitolo 9

Completiamo infine la descrizione del flusso attorno al profilo di Fig. 9.18osservando che anche dall’interazione fra l’onda di espansione e l’urto posterio-re ha origine un sistema di onde rifratte che si estende a valle dell’urto. Utiliz-zando una rappresentazione discreta dell’onda di espansione, a valle dell’urtoposteriore si genera un complesso sistema d’onde e discontinuita di contattoche interagiscono fra loro, come e schematicamente indicato in Fig. 9.21 per ilcaso di una lastra piana con incidenza.

Attraverso questo sistema di onde le condizioni del flusso a valle vengonomodificate fino a che a distanza infinita il flusso assume una piccola compo-nente di velocita diretta verso il basso, come deve accadere dal momento chesul profilo si esercita una forza diretta verso l’alto.

9.6 Calcolo dei coefficienti aerodinamici per profili

supersonici

Come si e visto all’inizio del paragrafo precedente, per un profilo di formasemplice, quale quello di Fig. 9.18, e possibile calcolare la pressione nelle re-gioni II e III nonche sul ventre del profilo (in questo caso si ha p = p∞) equindi determinare i valori esatti dei coefficienti di portanza, di resistenza e dimomento. I valori esatti sono tanto piu prossimi a quelli forniti dalla teoria diAckeret quanto piu piccolo e l’angolo δ e quanto piu prossimo ad 1 e il valore diM∞ (cosicche gli urti possano essere approssimati come fenomeni isentropici).Naturalmente la determinazione esatta dei coefficienti aerodinamici puo essereeffettuata, in modo del tutto analogo, anche quando l’angolo di incidenza nonsia nullo o nel caso di un profilo a doppio diedro.

Meno semplice e il calcolo di profili con parete curva come quello rappre-sentato in Fig. 9.22. Anche in questo caso al bordo di attacco si forma un urtotale da deviare la corrente dell’angolo che la tangente al profilo forma con ladirezione della corrente all’infinito.

A valle dell’urto, tuttavia, lungo la parete curva si genera un’espansionecontinua la quale inizia immediatamente ad interagire con l’urto. Le onderiflesse pertanto incidono sul profilo e modificano la distribuzione di pressionesulla superficie. Come si e gia detto, un calcolo che tenga conto di tutte leriflessioni ed interazioni fra onde discrete e discontinuita di contatto e cosıcomplicato da risultare impraticabile. Tuttavia, poiche l’intensita delle onderiflesse e molto piccola, non si commette un errore significativo trascurandonel’esistenza. In questo modo sulla superficie inferiore e superiore del profilo ilflusso e ad onda semplice, come indicato in Fig. 9.22.b, e la curvatura degliurti non interviene nel calcolo dei coefficienti aerodinamici del profilo. In altritermini, con questa approssimazione si trascurano le variazioni di entropia equindi la rotazionalita a valle degli urti.

292 Capitolo 13

Talvolta risulta piu conveniente definire il flusso di calore, anziche medianteil numero di Nusselt, utilizzando il numero di Stanton

St =h

ρ∞CpV∞=

Nu

RePr(13.38)

Essendo Pr = 1, l’analogia di Reynolds puo allora scriversi

St =1

2cf (13.39)

13.4 Scambio termico su lastra piana

Consideriamo nuovamente lo strato limite lungo una lastra piana gia esaminatonel paragrafo precedente, nel caso in cui la velocita del flusso sia cosı altada non poter trascurare il termine dissipativo nell’equazione di conservazionedell’energia.

Il problema e quindi retto dalle equazioni (13.26, 27, 28) nelle qualidp/dx = 0.

L’equazione (13.28) puo essere riscritta utilizzando come variabile dipen-dente, al posto della temperatura, la temperatura totale

T0 = T +u2

2Cp(13.40)

Moltiplicando la (13.27) per u e sommandola membro a membro alla(13.28) si ha

ρCp

[

u∂

∂x

(

T +u2

2Cp

)

+ v∂

∂y

(

T +u2

2Cp

)]

= k∂2T

∂y2+ µ

[

(

∂u

∂y

)2

+ u∂2u

∂y2

]

che, con semplici passaggi analitici, si riduce a

ρ

(

u∂T0

∂x+ v

∂T0

∂y

)

=µ

Pr

[

∂2T0

∂y2+ (Pr − 1)

∂2(u2/2Cp)

∂y2

]

(13.41)

Nel caso in cui Pr = 1, quest’equazione risulta identica alla (13.27) inassenza di gradiente di pressione e pertanto se u e soluzione della (13.27), la(13.28) sara soddisfatta dalla soluzione

T0 = au+ b

nella quale le costanti a, b devono essere determinate in modo da soddisfare le

Capitolo 13 293

condizioni al contorno

y = 0 T0 = T = Tw, u = 0

y = ∞ T0 = T0∞ = T∞ +V 2∞

2Cp, u = V∞

Si ottiene

a =T0∞ − Tw

V∞b = Tw

e la temperatura e quindi data da

T = Tw + (T0∞ − Tw)u

V∞− u2

2Cp

Mediante la (13.32) si puo poi calcolare il flusso di calore alla parete

q|y=0 =k

V∞(Tw − T0∞)

(

∂u

∂y

)

y=0

(13.42)

Poiche ∂u/∂y alla parete e positiva, il flusso di calore e diretto dalla pareteverso il fluido o viceversa a seconda che Tw sia maggiore o minore di T0∞. Siosservi che, mentre nel caso di bassa velocita lo scambio di calore e determinatodalla differenza di temperatura fra il fluido e la parete, nel caso di flusso adalta velocita cio che conta e la differenza fra la temperatura del corpo e latemperatura totale del flusso. Infatti all’interno dello strato limite si ha latrasformazione dell’energia cinetica in energia interna per effetto delle forzeviscose e pertanto nel caso stazionario (q = 0, parete adiabatica) il corpoassume una temperatura maggiore della temperatura del fluido indisturbato epari proprio alla temperatura totale. E’ questo il fenomeno del riscaldamentoaerodinamico, che riveste grande importanza nei flussi ipersonici (si pensi cheper M∞ = 6 e T∞ = 273◦k si ha ∆Ta ≃ 2000◦k). In Fig. 13.2 sono riportati gli

T T

T

y

Tw

0

T

( d yd T > 0

y=0)

0T

δT

2V /2Cp V /2Cp2

T

y

Tw

T T0

T0

T

= 0)d y(d T

y=0

V /2Cp2

T

y

T T0

T0T

y=0)( d T

d y

wT

< 0

Fig. 13.2

294 Capitolo 13

andamenti qualitativi della temperatura e della temperatura totale all’internodello strato limite nei tre casi di Tw

<>T0∞. Come si vede, solo nel caso di

parete adiabatica la temperatura totale si mantiene costante all’interno dellostrato limite, mentre nel caso di Tw < T0∞ l’energia all’interno dello stratolimite termico e minore di quella della corrente indisturbata, in quanto si hacessione di calore dal fluido alla parete.

13.5 Fattore di recupero

La soluzione per la lastra piana adiabatica, vista nel paragrafo precedente, evalida sotto l’ipotesi Pr = 1. Poiche in realta l’aria ha un numero di Prandtlleggermente inferiore ad uno, la soluzione vista e solo un’approssimazione dellarealta. Se Pr < 1, la soluzione T0 = cost. non soddisfa piu l’equazione (13.41).In corrispondenza alla parete il primo membro della (13.41) si annulla (u =v = 0) e l’ultimo termine e negativo, cosicche ∂2T0/∂y

2 > 0.

Inoltre, essendo la parete adiabatica, (∂T0/∂y)y=0 = 0 ed il valore mediodi T0 all’interno dello strato limite deve essere uguale a T0∞, in quanto il fluidonon cede ne riceve calore dalla parete. Pertanto l’andamento di T0 all’internodello strato limite dovra essere del tipo indicato il Fig. 13.3, tale che le duearee tratteggiate siano fra loro equivalenti.

T

T

y

T0

TT 0

Taw

Fig. 13.3

Di conseguenza la temperatura adiabatica di parete Taw risulta minore diT0∞.

Tale differenza puo essere quantificata introducendo il fattore di recupero

r =Taw − T∞T0∞ − T∞

(13.43)

che rappresenta il rapporto fra l’aumento di temperatura dovuto all’attrito e

Capitolo 13 295

quello dovuto ad una compressione adiabatica. Per Pr = 1 si ha evidentementer = 1, mentre nel caso piu generale di Pr 6= 1 e stato mostrato che si ha

r =√Pr (13.44)

Esprimendo la temperatura totale mediante la (13.22) ed utilizzando le(13.43) e (13.44), la temperatura adiabatica di parete risulta

Taw = T∞(

1 + δ√PrM2

∞

)

(13.45)

13.6 Strato limite cinematico compressibile

Come gia detto, nel caso di flussi ad alta velocita la soluzione dello strato limitecinematico richiede la contemporanea soluzione di quello termico. Il problemapuo pero essere notevolmente semplificato nel caso di lastra piana adiabaticacon Pr = 1. In questo caso infatti la pressione e costante e l’equazione diconservazione dell’energia si riduce alla condizione che la temperatura totalesia costante, ovvero

T +u2

2Cp= T∞ +

V 2∞

2Cp

che puo anche scriversi

T

T∞= 1 + δM2

∞(1 − u2) (13.46)

Poiche la pressione e costante si ha

ρ

ρ∞=

(

T

T∞

)−1

(13.47)

mentre la variabilita della viscosita con la temperatura puo essere espressanella forma

µ

µ∞=

(

T

T∞

)α

(13.48)

ove α e un coefficiente variabile fra .5 e 1 a seconda del campo di temperatura.Alle basse temperature si ha circa α = 1.

Appendice A

Tabelle dei flussi comprimibili

297

298 Appendice A

Tabella A.1 - Flussi Isentropici, γ = 1.4

M M∗ TT0

pp0

ρρ0

AA∗

aa0

.00 .00000 .10000E+01 .10000E+01 .10000E+01 ∞ .10000E+01

.01 .01095 .99998E+00 .99993E+00 .99995E+00 .57874E+02 .99999E+00

.02 .02191 .99992E+00 .99972E+00 .99980E+00 .28942E+02 .99996E+00

.03 .03286 .99982E+00 .99937E+00 .99955E+00 .19301E+02 .99991E+00

.04 .04381 .99968E+00 .99888E+00 .99920E+00 .14481E+02 .99984E+00

.05 .05476 .99950E+00 .99825E+00 .99875E+00 .11591E+02 .99975E+00

.06 .06570 .99928E+00 .99748E+00 .99820E+00 .96659E+01 .99964E+00

.07 .07664 .99902E+00 .99658E+00 .99755E+00 .82915E+01 .99951E+00

.08 .08758 .99872E+00 .99553E+00 .99681E+00 .72616E+01 .99936E+00

.09 .09851 .99838E+00 .99435E+00 .99596E+00 .64613E+01 .99919E+00

.10 .10944 .99800E+00 .99303E+00 .99502E+00 .58218E+01 .99900E+00

.11 .12035 .99759E+00 .99158E+00 .99398E+00 .52992E+01 .99879E+00

.12 .13126 .99713E+00 .98998E+00 .99284E+00 .48643E+01 .99856E+00

.13 .14217 .99663E+00 .98826E+00 .99160E+00 .44969E+01 .99831E+00

.14 .15306 .99610E+00 .98640E+00 .99027E+00 .41824E+01 .99805E+00

.15 .16395 .99552E+00 .98441E+00 .98884E+00 .39103E+01 .99776E+00

.16 .17482 .99491E+00 .98228E+00 .98731E+00 .36727E+01 .99745E+00

.17 .18569 .99425E+00 .98003E+00 .98569E+00 .34635E+01 .99712E+00

.18 .19654 .99356E+00 .97765E+00 .98398E+00 .32779E+01 .99678E+00

.19 .20739 .99283E+00 .97514E+00 .98218E+00 .31123E+01 .99641E+00

.20 .21822 .99206E+00 .97250E+00 .98028E+00 .29635E+01 .99602E+00

.21 .22904 .99126E+00 .96973E+00 .97829E+00 .28293E+01 .99562E+00

.22 .23984 .99041E+00 .96685E+00 .97620E+00 .27076E+01 .99519E+00

.23 .25063 .98953E+00 .96383E+00 .97403E+00 .25968E+01 .99475E+00

.24 .26141 .98861E+00 .96070E+00 .97177E+00 .24956E+01 .99429E+00

.25 .27217 .98765E+00 .95745E+00 .96942E+00 .24027E+01 .99381E+00

.26 .28291 .98666E+00 .95408E+00 .96698E+00 .23173E+01 .99331E+00

.27 .29364 .98563E+00 .95060E+00 .96446E+00 .22385E+01 .99279E+00

.28 .30435 .98456E+00 .94700E+00 .96185E+00 .21656E+01 .99225E+00

.29 .31504 .98346E+00 .94329E+00 .95916E+00 .20979E+01 .99169E+00

.30 .32572 .98232E+00 .93947E+00 .95638E+00 .20351E+01 .99112E+00

.31 .33637 .98114E+00 .93554E+00 .95352E+00 .19765E+01 .99053E+00

.32 .34701 .97993E+00 .93150E+00 .95058E+00 .19219E+01 .98991E+00

.33 .35762 .97868E+00 .92736E+00 .94756E+00 .18707E+01 .98928E+00

.34 .36822 .97740E+00 .92312E+00 .94446E+00 .18229E+01 .98864E+00

.35 .37879 .97609E+00 .91877E+00 .94128E+00 .17780E+01 .98797E+00

.36 .38935 .97473E+00 .91433E+00 .93803E+00 .17358E+01 .98729E+00

.37 .39988 .97335E+00 .90979E+00 .93470E+00 .16961E+01 .98658E+00

.38 .41039 .97193E+00 .90516E+00 .93130E+00 .16587E+01 .98587E+00

.39 .42087 .97048E+00 .90043E+00 .92782E+00 .16234E+01 .98513E+00

.40 .43133 .96899E+00 .89561E+00 .92427E+00 .15901E+01 .98437E+00

.41 .44177 .96747E+00 .89071E+00 .92066E+00 .15587E+01 .98360E+00

.42 .45218 .96592E+00 .88572E+00 .91697E+00 .15289E+01 .98281E+00

.43 .46257 .96434E+00 .88065E+00 .91322E+00 .15007E+01 .98201E+00

.44 .47293 .96272E+00 .87550E+00 .90940E+00 .14740E+01 .98118E+00

.45 .48326 .96108E+00 .87027E+00 .90551E+00 .14487E+01 .98035E+00

.46 .49357 .95940E+00 .86496E+00 .90157E+00 .14246E+01 .97949E+00

.47 .50385 .95769E+00 .85958E+00 .89756E+00 .14018E+01 .97862E+00

.48 .51410 .95595E+00 .85413E+00 .89349E+00 .13801E+01 .97773E+00

.49 .52433 .95418E+00 .84861E+00 .88936E+00 .13595E+01 .97682E+00

Appendice A 299

Tabella A.1 - Flussi Isentropici, γ = 1.4

M M∗ TT0

pp0

ρρ0

AA∗

aa0

.50 .53452 .95238E+00 .84302E+00 .88517E+00 .13398E+01 .97590E+00

.51 .54469 .95055E+00 .83737E+00 .88093E+00 .13212E+01 .97496E+00

.52 .55483 .94869E+00 .83165E+00 .87663E+00 .13034E+01 .97401E+00

.53 .56493 .94681E+00 .82588E+00 .87228E+00 .12865E+01 .97304E+00

.54 .57501 .94489E+00 .82005E+00 .86788E+00 .12703E+01 .97206E+00

.55 .58506 .94295E+00 .81417E+00 .86342E+00 .12549E+01 .97106E+00

.56 .59507 .94098E+00 .80823E+00 .85892E+00 .12403E+01 .97004E+00

.57 .60505 .93898E+00 .80224E+00 .85437E+00 .12263E+01 .96901E+00

.58 .61501 .93696E+00 .79621E+00 .84978E+00 .12130E+01 .96797E+00

.59 .62492 .93491E+00 .79013E+00 .84514E+00 .12003E+01 .96691E+00

.60 .63481 .93284E+00 .78400E+00 .84045E+00 .11882E+01 .96583E+00

.61 .64466 .93073E+00 .77784E+00 .83573E+00 .11767E+01 .96475E+00

.62 .65448 .92861E+00 .77164E+00 .83096E+00 .11656E+01 .96364E+00

.63 .66427 .92646E+00 .76540E+00 .82616E+00 .11552E+01 .96253E+00

.64 .67402 .92428E+00 .75913E+00 .82132E+00 .11451E+01 .96140E+00

.65 .68374 .92208E+00 .75283E+00 .81644E+00 .11356E+01 .96025E+00

.66 .69342 .91986E+00 .74650E+00 .81153E+00 .11265E+01 .95909E+00

.67 .70307 .91762E+00 .74014E+00 .80659E+00 .11179E+01 .95792E+00

.68 .71268 .91535E+00 .73376E+00 .80162E+00 .11097E+01 .95674E+00

.69 .72225 .91306E+00 .72735E+00 .79661E+00 .11018E+01 .95554E+00

.70 .73179 .91075E+00 .72093E+00 .79158E+00 .10944E+01 .95433E+00

.71 .74129 .90841E+00 .71448E+00 .78652E+00 .10873E+01 .95311E+00

.72 .75076 .90606E+00 .70803E+00 .78143E+00 .10806E+01 .95187E+00

.73 .76019 .90369E+00 .70155E+00 .77632E+00 .10742E+01 .95062E+00

.74 .76958 .90129E+00 .69507E+00 .77119E+00 .10681E+01 .94936E+00

.75 .77894 .89888E+00 .68857E+00 .76604E+00 .10624E+01 .94809E+00

.76 .78825 .89644E+00 .68207E+00 .76086E+00 .10570E+01 .94681E+00

.77 .79753 .89399E+00 .67556E+00 .75567E+00 .10519E+01 .94551E+00

.78 .80677 .89152E+00 .66905E+00 .75046E+00 .10471E+01 .94420E+00

.79 .81597 .88903E+00 .66254E+00 .74523E+00 .10425E+01 .94288E+00

.80 .82514 .88652E+00 .65602E+00 .73999E+00 .10382E+01 .94155E+00

.81 .83426 .88400E+00 .64951E+00 .73474E+00 .10342E+01 .94021E+00

.82 .84335 .88146E+00 .64300E+00 .72947E+00 .10305E+01 .93886E+00

.83 .85239 .87890E+00 .63650E+00 .72419E+00 .10270E+01 .93750E+00

.84 .86140 .87633E+00 .63000E+00 .71891E+00 .10237E+01 .93613E+00

.85 .87037 .87374E+00 .62351E+00 .71361E+00 .10207E+01 .93474E+00

.86 .87929 .87114E+00 .61703E+00 .70831E+00 .10179E+01 .93335E+00

.87 .88818 .86852E+00 .61057E+00 .70300E+00 .10153E+01 .93195E+00

.88 .89703 .86589E+00 .60412E+00 .69768E+00 .10129E+01 .93053E+00

.89 .90583 .86324E+00 .59768E+00 .69236E+00 .10108E+01 .92911E+00

.90 .91460 .86059E+00 .59126E+00 .68704E+00 .10089E+01 .92768E+00

.91 .92332 .85791E+00 .58486E+00 .68172E+00 .10071E+01 .92624E+00

.92 .93201 .85523E+00 .57848E+00 .67640E+00 .10056E+01 .92479E+00

.93 .94065 .85253E+00 .57211E+00 .67108E+00 .10043E+01 .92333E+00

.94 .94925 .84982E+00 .56578E+00 .66576E+00 .10031E+01 .92186E+00

.95 .95781 .84710E+00 .55946E+00 .66044E+00 .10021E+01 .92038E+00

.96 .96633 .84437E+00 .55317E+00 .65513E+00 .10014E+01 .91889E+00

.97 .97481 .84162E+00 .54691E+00 .64982E+00 .10008E+01 .91740E+00

.98 .98325 .83887E+00 .54067E+00 .64452E+00 .10003E+01 .91590E+00

.99 .99165 .83611E+00 .53446E+00 .63923E+00 .10001E+01 .91439E+00

300 Appendice A

Tabella A.1 - Flussi Isentropici, γ = 1.4

M M∗ TT0

pp0

ρρ0

AA∗

aa0

1.00 1.00000 .83333E+00 .52828E+00 .63394E+00 .10000E+01 .91287E+001.01 1.00831 .83055E+00 .52213E+00 .62866E+00 .10001E+01 .91135E+001.02 1.01658 .82776E+00 .51602E+00 .62339E+00 .10003E+01 .90981E+001.03 1.02481 .82496E+00 .50994E+00 .61813E+00 .10007E+01 .90827E+001.04 1.03300 .82215E+00 .50389E+00 .61289E+00 .10013E+01 .90673E+00

1.05 1.04114 .81934E+00 .49787E+00 .60765E+00 .10020E+01 .90517E+001.06 1.04925 .81651E+00 .49189E+00 .60243E+00 .10029E+01 .90361E+001.07 1.05731 .81368E+00 .48595E+00 .59723E+00 .10039E+01 .90204E+001.08 1.06533 .81085E+00 .48005E+00 .59203E+00 .10051E+01 .90047E+001.09 1.07331 .80800E+00 .47418E+00 .58686E+00 .10064E+01 .89889E+00

1.10 1.08124 .80515E+00 .46835E+00 .58170E+00 .10079E+01 .89730E+001.11 1.08913 .80230E+00 .46257E+00 .57655E+00 .10095E+01 .89571E+001.12 1.09698 .79944E+00 .45682E+00 .57143E+00 .10113E+01 .89411E+001.13 1.10479 .79657E+00 .45111E+00 .56632E+00 .10132E+01 .89251E+001.14 1.11256 .79370E+00 .44545E+00 .56123E+00 .10153E+01 .89090E+00

1.15 1.12029 .79083E+00 .43983E+00 .55616E+00 .10175E+01 .88928E+001.16 1.12797 .78795E+00 .43425E+00 .55112E+00 .10198E+01 .88766E+001.17 1.13561 .78507E+00 .42872E+00 .54609E+00 .10222E+01 .88604E+001.18 1.14321 .78218E+00 .42323E+00 .54108E+00 .10248E+01 .88441E+001.19 1.15077 .77929E+00 .41778E+00 .53610E+00 .10276E+01 .88277E+00

1.20 1.15828 .77640E+00 .41238E+00 .53114E+00 .10304E+01 .88113E+001.21 1.16575 .77350E+00 .40702E+00 .52621E+00 .10334E+01 .87949E+001.22 1.17318 .77061E+00 .40171E+00 .52129E+00 .10366E+01 .87784E+001.23 1.18057 .76771E+00 .39645E+00 .51640E+00 .10398E+01 .87619E+001.24 1.18792 .76481E+00 .39123E+00 .51154E+00 .10432E+01 .87453E+00

1.25 1.19523 .76191E+00 .38606E+00 .50670E+00 .10468E+01 .87287E+001.26 1.20249 .75900E+00 .38093E+00 .50189E+00 .10504E+01 .87121E+001.27 1.20972 .75610E+00 .37586E+00 .49710E+00 .10542E+01 .86954E+001.28 1.21690 .75319E+00 .37083E+00 .49234E+00 .10581E+01 .86787E+001.29 1.22404 .75029E+00 .36585E+00 .48761E+00 .10621E+01 .86619E+00

1.30 1.23114 .74738E+00 .36091E+00 .48290E+00 .10663E+01 .86451E+001.31 1.23819 .74448E+00 .35603E+00 .47823E+00 .10706E+01 .86283E+001.32 1.24521 .74158E+00 .35119E+00 .47358E+00 .10750E+01 .86115E+001.33 1.25218 .73867E+00 .34640E+00 .46895E+00 .10796E+01 .85946E+001.34 1.25912 .73577E+00 .34166E+00 .46436E+00 .10842E+01 .85777E+00

1.35 1.26601 .73287E+00 .33697E+00 .45980E+00 .10890E+01 .85608E+001.36 1.27286 .72997E+00 .33233E+00 .45526E+00 .10940E+01 .85438E+001.37 1.27967 .72707E+00 .32773E+00 .45076E+00 .10990E+01 .85269E+001.38 1.28645 .72418E+00 .32319E+00 .44628E+00 .11042E+01 .85099E+001.39 1.29318 .72128E+00 .31869E+00 .44184E+00 .11095E+01 .84928E+00

1.40 1.29987 .71839E+00 .31424E+00 .43742E+00 .11149E+01 .84758E+001.41 1.30652 .71550E+00 .30984E+00 .43304E+00 .11205E+01 .84587E+001.42 1.31313 .71262E+00 .30549E+00 .42869E+00 .11262E+01 .84417E+001.43 1.31970 .70973E+00 .30119E+00 .42436E+00 .11320E+01 .84246E+001.44 1.32623 .70685E+00 .29693E+00 .42007E+00 .11379E+01 .84075E+00

1.45 1.33272 .70398E+00 .29272E+00 .41581E+00 .11440E+01 .83903E+001.46 1.33917 .70111E+00 .28856E+00 .41158E+00 .11501E+01 .83732E+001.47 1.34558 .69824E+00 .28445E+00 .40739E+00 .11565E+01 .83561E+001.48 1.35195 .69537E+00 .28039E+00 .40322E+00 .11629E+01 .83389E+001.49 1.35828 .69251E+00 .27637E+00 .39909E+00 .11695E+01 .83217E+00

Appendice A 301

Tabella A.1 - Flussi Isentropici, γ = 1.4

M M∗ TT0

pp0

ρρ0

AA∗

aa0

1.50 1.36458 .68966E+00 .27240E+00 .39498E+00 .11762E+01 .83046E+001.51 1.37083 .68680E+00 .26848E+00 .39091E+00 .11830E+01 .82874E+001.52 1.37705 .68396E+00 .26461E+00 .38688E+00 .11899E+01 .82702E+001.53 1.38322 .68112E+00 .26078E+00 .38287E+00 .11970E+01 .82530E+001.54 1.38936 .67828E+00 .25700E+00 .37890E+00 .12042E+01 .82358E+00

1.55 1.39546 .67545E+00 .25326E+00 .37496E+00 .12116E+01 .82186E+001.56 1.40152 .67262E+00 .24957E+00 .37105E+00 .12190E+01 .82014E+001.57 1.40755 .66980E+00 .24593E+00 .36717E+00 .12266E+01 .81841E+001.58 1.41353 .66699E+00 .24233E+00 .36332E+00 .12344E+01 .81669E+001.59 1.41948 .66418E+00 .23878E+00 .35951E+00 .12422E+01 .81497E+00

1.60 1.42539 .66138E+00 .23527E+00 .35573E+00 .12502E+01 .81325E+001.61 1.43127 .65858E+00 .23181E+00 .35198E+00 .12584E+01 .81153E+001.62 1.43710 .65579E+00 .22839E+00 .34827E+00 .12666E+01 .80981E+001.63 1.44290 .65301E+00 .22501E+00 .34458E+00 .12750E+01 .80809E+001.64 1.44866 .65023E+00 .22168E+00 .34093E+00 .12836E+01 .80637E+00

1.65 1.45439 .64746E+00 .21840E+00 .33731E+00 .12922E+01 .80465E+001.66 1.46008 .64470E+00 .21515E+00 .33372E+00 .13010E+01 .80293E+001.67 1.46573 .64194E+00 .21195E+00 .33017E+00 .13100E+01 .80121E+001.68 1.47135 .63919E+00 .20879E+00 .32664E+00 .13190E+01 .79949E+001.69 1.47693 .63645E+00 .20567E+00 .32315E+00 .13283E+01 .79778E+00

1.70 1.48247 .63371E+00 .20259E+00 .31969E+00 .13376E+01 .79606E+001.71 1.48798 .63099E+00 .19956E+00 .31626E+00 .13471E+01 .79435E+001.72 1.49345 .62827E+00 .19656E+00 .31287E+00 .13567E+01 .79263E+001.73 1.49889 .62556E+00 .19361E+00 .30950E+00 .13665E+01 .79092E+001.74 1.50429 .62285E+00 .19070E+00 .30617E+00 .13764E+01 .78921E+00

1.75 1.50966 .62016E+00 .18782E+00 .30287E+00 .13865E+01 .78750E+001.76 1.51499 .61747E+00 .18499E+00 .29960E+00 .13967E+01 .78579E+001.77 1.52029 .61479E+00 .18220E+00 .29635E+00 .14070E+01 .78408E+001.78 1.52555 .61212E+00 .17944E+00 .29315E+00 .14175E+01 .78238E+001.79 1.53078 .60945E+00 .17672E+00 .28997E+00 .14282E+01 .78067E+00

1.80 1.53598 .60680E+00 .17404E+00 .28682E+00 .14390E+01 .77897E+001.81 1.54114 .60415E+00 .17140E+00 .28370E+00 .14499E+01 .77727E+001.82 1.54626 .60151E+00 .16879E+00 .28061E+00 .14610E+01 .77557E+001.83 1.55136 .59888E+00 .16622E+00 .27756E+00 .14723E+01 .77387E+001.84 1.55642 .59626E+00 .16369E+00 .27453E+00 .14836E+01 .77218E+00

1.85 1.56144 .59365E+00 .16120E+00 .27153E+00 .14952E+01 .77049E+001.86 1.56644 .59104E+00 .15873E+00 .26857E+00 .15069E+01 .76879E+001.87 1.57140 .58845E+00 .15631E+00 .26563E+00 .15187E+01 .76711E+001.88 1.57633 .58586E+00 .15392E+00 .26272E+00 .15308E+01 .76542E+001.89 1.58122 .58329E+00 .15156E+00 .25984E+00 .15429E+01 .76373E+00

1.90 1.58609 .58072E+00 .14924E+00 .25699E+00 .15553E+01 .76205E+001.91 1.59092 .57816E+00 .14695E+00 .25417E+00 .15677E+01 .76037E+001.92 1.59572 .57561E+00 .14470E+00 .25138E+00 .15804E+01 .75869E+001.93 1.60049 .57307E+00 .14247E+00 .24861E+00 .15932E+01 .75702E+001.94 1.60522 .57054E+00 .14028E+00 .24588E+00 .16062E+01 .75534E+00

1.95 1.60993 .56802E+00 .13813E+00 .24317E+00 .16193E+01 .75367E+001.96 1.61460 .56551E+00 .13600E+00 .24049E+00 .16326E+01 .75200E+001.97 1.61925 .56301E+00 .13390E+00 .23784E+00 .16461E+01 .75034E+001.98 1.62386 .56051E+00 .13184E+00 .23521E+00 .16597E+01 .74867E+001.99 1.62844 .55803E+00 .12981E+00 .23262E+00 .16735E+01 .74701E+00

302 Appendice A

Tabella A.1 - Flussi Isentropici, γ = 1.4

M M∗ TT0

pp0

ρρ0

AA∗

aa0

2.00 1.63299 .55556E+00 .12780E+00 .23005E+00 .16875E+01 .74536E+002.01 1.63751 .55309E+00 .12583E+00 .22751E+00 .17016E+01 .74370E+002.02 1.64200 .55064E+00 .12389E+00 .22499E+00 .17160E+01 .74205E+002.03 1.64647 .54819E+00 .12197E+00 .22250E+00 .17305E+01 .74040E+002.04 1.65090 .54576E+00 .12009E+00 .22004E+00 .17451E+01 .73875E+00

2.05 1.65530 .54333E+00 .11823E+00 .21760E+00 .17600E+01 .73711E+002.06 1.65967 .54092E+00 .11640E+00 .21519E+00 .17750E+01 .73547E+002.07 1.66401 .53851E+00 .11460E+00 .21281E+00 .17902E+01 .73383E+002.08 1.66833 .53611E+00 .11282E+00 .21045E+00 .18056E+01 .73220E+002.09 1.67262 .53373E+00 .11107E+00 .20811E+00 .18212E+01 .73057E+00

2.10 1.67687 .53135E+00 .10935E+00 .20580E+00 .18369E+01 .72894E+002.11 1.68110 .52898E+00 .10766E+00 .20352E+00 .18529E+01 .72731E+002.12 1.68530 .52663E+00 .10599E+00 .20126E+00 .18690E+01 .72569E+002.13 1.68947 .52428E+00 .10434E+00 .19903E+00 .18853E+01 .72407E+002.14 1.69362 .52194E+00 .10273E+00 .19681E+00 .19018E+01 .72246E+00

2.15 1.69774 .51962E+00 .10113E+00 .19463E+00 .19185E+01 .72084E+002.16 1.70182 .51730E+00 .99562E-01 .19247E+00 .19354E+01 .71923E+002.17 1.70589 .51499E+00 .98017E-01 .19033E+00 .19525E+01 .71763E+002.18 1.70992 .51269E+00 .96495E-01 .18821E+00 .19698E+01 .71603E+002.19 1.71393 .51041E+00 .94997E-01 .18612E+00 .19873E+01 .71443E+00

2.20 1.71791 .50813E+00 .93522E-01 .18405E+00 .20050E+01 .71283E+002.21 1.72187 .50586E+00 .92070E-01 .18200E+00 .20229E+01 .71124E+002.22 1.72579 .50361E+00 .90640E-01 .17998E+00 .20409E+01 .70965E+002.23 1.72970 .50136E+00 .89232E-01 .17798E+00 .20592E+01 .70807E+002.24 1.73357 .49912E+00 .87846E-01 .17600E+00 .20777E+01 .70649E+00

2.25 1.73742 .49689E+00 .86482E-01 .17404E+00 .20964E+01 .70491E+002.26 1.74125 .49468E+00 .85139E-01 .17211E+00 .21153E+01 .70333E+002.27 1.74504 .49247E+00 .83817E-01 .17020E+00 .21345E+01 .70176E+002.28 1.74882 .49027E+00 .82515E-01 .16830E+00 .21538E+01 .70020E+002.29 1.75256 .48809E+00 .81234E-01 .16643E+00 .21734E+01 .69863E+00

2.30 1.75629 .48591E+00 .79973E-01 .16458E+00 .21931E+01 .69707E+002.31 1.75999 .48374E+00 .78731E-01 .16275E+00 .22131E+01 .69552E+002.32 1.76366 .48158E+00 .77509E-01 .16095E+00 .22333E+01 .69396E+002.33 1.76731 .47944E+00 .76306E-01 .15916E+00 .22537E+01 .69241E+002.34 1.77093 .47730E+00 .75122E-01 .15739E+00 .22744E+01 .69087E+00

2.35 1.77453 .47517E+00 .73957E-01 .15564E+00 .22953E+01 .68933E+002.36 1.77811 .47306E+00 .72810E-01 .15391E+00 .23164E+01 .68779E+002.37 1.78166 .47095E+00 .71681E-01 .15221E+00 .23377E+01 .68626E+002.38 1.78519 .46885E+00 .70570E-01 .15052E+00 .23593E+01 .68473E+002.39 1.78869 .46676E+00 .69476E-01 .14885E+00 .23811E+01 .68320E+00

2.40 1.79218 .46468E+00 .68400E-01 .14720E+00 .24031E+01 .68168E+002.41 1.79563 .46262E+00 .67340E-01 .14556E+00 .24254E+01 .68016E+002.42 1.79907 .46056E+00 .66297E-01 .14395E+00 .24479E+01 .67864E+002.43 1.80248 .45851E+00 .65271E-01 .14235E+00 .24706E+01 .67713E+002.44 1.80587 .45647E+00 .64261E-01 .14078E+00 .24936E+01 .67563E+00

2.45 1.80924 .45444E+00 .63267E-01 .13922E+00 .25168E+01 .67412E+002.46 1.81258 .45242E+00 .62289E-01 .13768E+00 .25403E+01 .67262E+002.47 1.81591 .45041E+00 .61326E-01 .13615E+00 .25640E+01 .67113E+002.48 1.81921 .44841E+00 .60378E-01 .13465E+00 .25880E+01 .66964E+002.49 1.82248 .44642E+00 .59446E-01 .13316E+00 .26122E+01 .66815E+00

Appendice A 303

Tabella A.1 - Flussi Isentropici, γ = 1.4

M M∗ TT0

pp0

ρρ0

AA∗

aa0

2.50 1.82574 .44444E+00 .58528E-01 .13169E+00 .26367E+01 .66667E+002.51 1.82898 .44247E+00 .57625E-01 .13023E+00 .26615E+01 .66519E+002.52 1.83219 .44051E+00 .56736E-01 .12879E+00 .26864E+01 .66371E+002.53 1.83538 .43856E+00 .55861E-01 .12737E+00 .27117E+01 .66224E+002.54 1.83855 .43662E+00 .55000E-01 .12597E+00 .27372E+01 .66077E+00

2.55 1.84170 .43469E+00 .54153E-01 .12458E+00 .27630E+01 .65931E+002.56 1.84483 .43277E+00 .53319E-01 .12321E+00 .27891E+01 .65785E+002.57 1.84794 .43085E+00 .52499E-01 .12185E+00 .28154E+01 .65639E+002.58 1.85103 .42895E+00 .51692E-01 .12051E+00 .28420E+01 .65494E+002.59 1.85410 .42706E+00 .50897E-01 .11918E+00 .28688E+01 .65349E+00

2.60 1.85714 .42517E+00 .50115E-01 .11787E+00 .28960E+01 .65205E+002.61 1.86017 .42330E+00 .49346E-01 .11658E+00 .29234E+01 .65061E+002.62 1.86318 .42143E+00 .48589E-01 .11530E+00 .29511E+01 .64918E+002.63 1.86616 .41957E+00 .47844E-01 .11403E+00 .29791E+01 .64774E+002.64 1.86913 .41773E+00 .47110E-01 .11278E+00 .30073E+01 .64632E+00

2.65 1.87208 .41589E+00 .46389E-01 .11154E+00 .30359E+01 .64489E+002.66 1.87501 .41406E+00 .45679E-01 .11032E+00 .30647E+01 .64347E+002.67 1.87792 .41224E+00 .44980E-01 .10911E+00 .30938E+01 .64206E+002.68 1.88081 .41043E+00 .44293E-01 .10792E+00 .31233E+01 .64065E+002.69 1.88368 .40863E+00 .43616E-01 .10674E+00 .31530E+01 .63924E+00

2.70 1.88653 .40684E+00 .42950E-01 .10557E+00 .31830E+01 .63784E+002.71 1.88936 .40505E+00 .42295E-01 .10442E+00 .32133E+01 .63644E+002.72 1.89218 .40328E+00 .41650E-01 .10328E+00 .32439E+01 .63504E+002.73 1.89497 .40151E+00 .41016E-01 .10215E+00 .32749E+01 .63365E+002.74 1.89775 .39976E+00 .40391E-01 .10104E+00 .33061E+01 .63226E+00

2.75 1.90051 .39801E+00 .39777E-01 .99939E-01 .33377E+01 .63088E+002.76 1.90325 .39627E+00 .39172E-01 .98852E-01 .33695E+01 .62950E+002.77 1.90598 .39454E+00 .38577E-01 .97777E-01 .34017E+01 .62813E+002.78 1.90868 .39282E+00 .37992E-01 .96714E-01 .34342E+01 .62676E+002.79 1.91137 .39111E+00 .37415E-01 .95664E-01 .34670E+01 .62539E+00

2.80 1.91404 .38941E+00 .36848E-01 .94627E-01 .35001E+01 .62403E+002.81 1.91669 .38771E+00 .36290E-01 .93601E-01 .35336E+01 .62267E+002.82 1.91933 .38603E+00 .35741E-01 .92587E-01 .35674E+01 .62131E+002.83 1.92195 .38435E+00 .35201E-01 .91585E-01 .36015E+01 .61996E+002.84 1.92455 .38268E+00 .34669E-01 .90595E-01 .36359E+01 .61862E+00

2.85 1.92713 .38103E+00 .34146E-01 .89616E-01 .36707E+01 .61727E+002.86 1.92970 .37937E+00 .33631E-01 .88648E-01 .37058E+01 .61593E+002.87 1.93225 .37773E+00 .33124E-01 .87692E-01 .37413E+01 .61460E+002.88 1.93479 .37610E+00 .32625E-01 .86747E-01 .37771E+01 .61327E+002.89 1.93731 .37447E+00 .32135E-01 .85813E-01 .38133E+01 .61194E+00

2.90 1.93981 .37286E+00 .31652E-01 .84890E-01 .38498E+01 .61062E+002.91 1.94230 .37125E+00 .31176E-01 .83977E-01 .38866E+01 .60930E+002.92 1.94477 .36965E+00 .30709E-01 .83075E-01 .39238E+01 .60799E+002.93 1.94722 .36806E+00 .30248E-01 .82184E-01 .39614E+01 .60668E+002.94 1.94966 .36647E+00 .29795E-01 .81302E-01 .39993E+01 .60537E+00

2.95 1.95208 .36490E+00 .29349E-01 .80432E-01 .40376E+01 .60407E+002.96 1.95449 .36333E+00 .28910E-01 .79571E-01 .40762E+01 .60277E+002.97 1.95688 .36177E+00 .28479E-01 .78720E-01 .41153E+01 .60147E+002.98 1.95925 .36022E+00 .28054E-01 .77879E-01 .41547E+01 .60018E+002.99 1.96161 .35868E+00 .27635E-01 .77048E-01 .41944E+01 .59890E+00

304 Appendice A

Tabella A.1 - Flussi Isentropici, γ = 1.4

M M∗ TT0

pp0

ρρ0

AA∗

aa0

3.00 1.96396 .35714E+00 .27224E-01 .76227E-01 .42346E+01 .59761E+003.05 1.97547 .34959E+00 .25261E-01 .72260E-01 .44410E+01 .59126E+003.10 1.98661 .34223E+00 .23449E-01 .68517E-01 .46573E+01 .58501E+003.15 1.99740 .33506E+00 .21775E-01 .64986E-01 .48838E+01 .57885E+003.20 2.00786 .32808E+00 .20228E-01 .61654E-01 .51209E+01 .57279E+00

3.25 2.01799 .32129E+00 .18798E-01 .58510E-01 .53691E+01 .56682E+003.30 2.02781 .31466E+00 .17477E-01 .55541E-01 .56286E+01 .56095E+003.35 2.03733 .30821E+00 .16255E-01 .52739E-01 .59000E+01 .55517E+003.40 2.04656 .30193E+00 .15125E-01 .50093E-01 .61837E+01 .54948E+003.45 2.05551 .29581E+00 .14079E-01 .47594E-01 .64801E+01 .54389E+00

3.50 2.06419 .28986E+00 .13111E-01 .45233E-01 .67896E+01 .53838E+003.55 2.07261 .28405E+00 .12215E-01 .43002E-01 .71128E+01 .53296E+003.60 2.08077 .27840E+00 .11385E-01 .40894E-01 .74501E+01 .52763E+003.65 2.08870 .27289E+00 .10616E-01 .38901E-01 .78020E+01 .52239E+003.70 2.09639 .26752E+00 .99029E-02 .37017E-01 .81690E+01 .51723E+00

3.75 2.10386 .26230E+00 .92420E-02 .35235E-01 .85517E+01 .51215E+003.80 2.11111 .25720E+00 .86290E-02 .33549E-01 .89506E+01 .50715E+003.85 2.11815 .25224E+00 .80601E-02 .31954E-01 .93661E+01 .50223E+003.90 2.12499 .24740E+00 .75321E-02 .30445E-01 .97989E+01 .49740E+003.95 2.13163 .24269E+00 .70417E-02 .29015E-01 .10250E+02 .49264E+00

4.00 2.13809 .23810E+00 .65861E-02 .27662E-01 .10719E+02 .48795E+004.05 2.14436 .23362E+00 .61627E-02 .26379E-01 .11207E+02 .48334E+004.10 2.15046 .22925E+00 .57690E-02 .25164E-01 .11715E+02 .47880E+004.15 2.15639 .22500E+00 .54028E-02 .24013E-01 .12243E+02 .47434E+004.20 2.16215 .22085E+00 .50621E-02 .22921E-01 .12792E+02 .46994E+00

4.25 2.16776 .21680E+00 .47449E-02 .21886E-01 .13362E+02 .46562E+004.30 2.17321 .21286E+00 .44494E-02 .20903E-01 .13955E+02 .46136E+004.35 2.17852 .20901E+00 .41742E-02 .19971E-01 .14571E+02 .45717E+004.40 2.18368 .20525E+00 .39176E-02 .19087E-01 .15210E+02 .45305E+004.45 2.18871 .20159E+00 .36784E-02 .18247E-01 .15873E+02 .44899E+00

4.50 2.19360 .19802E+00 .34553E-02 .17449E-01 .16562E+02 .44499E+004.55 2.19836 .19453E+00 .32470E-02 .16691E-01 .17277E+02 .44106E+004.60 2.20300 .19113E+00 .30526E-02 .15971E-01 .18018E+02 .43719E+004.65 2.20752 .18781E+00 .28709E-02 .15286E-01 .18786E+02 .43337E+004.70 2.21192 .18457E+00 .27012E-02 .14635E-01 .19583E+02 .42962E+00

4.75 2.21621 .18141E+00 .25426E-02 .14016E-01 .20408E+02 .42592E+004.80 2.22038 .17832E+00 .23943E-02 .13427E-01 .21264E+02 .42228E+004.85 2.22445 .17530E+00 .22555E-02 .12866E-01 .22150E+02 .41869E+004.90 2.22842 .17235E+00 .21256E-02 .12333E-01 .23067E+02 .41516E+004.95 2.23229 .16948E+00 .20040E-02 .11824E-01 .24017E+02 .41168E+00

5.00 2.23607 .16667E+00 .18900E-02 .11340E-01 .25000E+02 .40825E+005.10 2.24334 .16124E+00 .16832E-02 .10439E-01 .27070E+02 .40154E+005.20 2.25026 .15605E+00 .15013E-02 .96204E-02 .29283E+02 .39504E+005.30 2.25685 .15110E+00 .13411E-02 .88753E-02 .31649E+02 .38872E+005.40 2.26314 .14637E+00 .11997E-02 .81965E-02 .34175E+02 .38258E+00

5.50 2.26913 .14184E+00 .10748E-02 .75775E-02 .36869E+02 .37662E+005.60 2.27484 .13751E+00 .96430E-03 .70124E-02 .39740E+02 .37083E+005.70 2.28030 .13337E+00 .86635E-03 .64959E-02 .42797E+02 .36520E+005.80 2.28552 .12940E+00 .77941E-03 .60233E-02 .46050E+02 .35972E+005.90 2.29051 .12560E+00 .70214E-03 .55904E-02 .49507E+02 .35440E+00

Appendice A 305

Tabella A.1 - Flussi Isentropici, γ = 1.4

M M∗ TT0

pp0

ρρ0

AA∗

aa0

6.00 2.29528 .12195E+00 .63336E-03 .51936E-02 .53180E+02 .34922E+006.10 2.29984 .11846E+00 .57206E-03 .48293E-02 .57077E+02 .34417E+006.20 2.30421 .11510E+00 .51735E-03 .44947E-02 .61210E+02 .33927E+006.30 2.30840 .11188E+00 .46845E-03 .41870E-02 .65590E+02 .33449E+006.40 2.31241 .10879E+00 .42468E-03 .39037E-02 .70227E+02 .32983E+00

6.50 2.31626 .10582E+00 .38547E-03 .36427E-02 .75134E+02 .32530E+006.60 2.31996 .10297E+00 .35028E-03 .34020E-02 .80323E+02 .32088E+006.70 2.32351 .10022E+00 .31868E-03 .31797E-02 .85805E+02 .31658E+006.80 2.32691 .97580E-01 .29024E-03 .29744E-02 .91593E+02 .31238E+006.90 2.33019 .95039E-01 .26464E-03 .27845E-02 .97702E+02 .30828E+00

7.00 2.33333 .92593E-01 .24156E-03 .26088E-02 .10414E+03 .30429E+007.10 2.33636 .90236E-01 .22072E-03 .24460E-02 .11093E+03 .30039E+007.20 2.33927 .87966E-01 .20189E-03 .22950E-02 .11808E+03 .29659E+007.30 2.34208 .85778E-01 .18485E-03 .21550E-02 .12560E+03 .29288E+007.40 2.34478 .83668E-01 .16942E-03 .20249E-02 .13352E+03 .28925E+00

7.50 2.34738 .81633E-01 .15543E-03 .19040E-02 .14184E+03 .28571E+007.60 2.34989 .79669E-01 .14273E-03 .17915E-02 .15058E+03 .28226E+007.70 2.35231 .77773E-01 .13119E-03 .16868E-02 .15977E+03 .27888E+007.80 2.35464 .75942E-01 .12069E-03 .15893E-02 .16940E+03 .27558E+007.90 2.35690 .74173E-01 .11114E-03 .14984E-02 .17951E+03 .27235E+00

8.00 2.35907 .72464E-01 .10243E-03 .14135E-02 .19011E+03 .26919E+008.10 2.36117 .70812E-01 .94485E-04 .13343E-02 .20121E+03 .26610E+008.20 2.36320 .69214E-01 .87232E-04 .12603E-02 .21285E+03 .26309E+008.30 2.36516 .67668E-01 .80602E-04 .11911E-02 .22502E+03 .26013E+008.40 2.36706 .66173E-01 .74537E-04 .11264E-02 .23776E+03 .25724E+00

8.50 2.36889 .64725E-01 .68984E-04 .10658E-02 .25109E+03 .25441E+008.60 2.37067 .63323E-01 .63895E-04 .10090E-02 .26501E+03 .25164E+008.70 2.37238 .61966E-01 .59228E-04 .95582E-03 .27957E+03 .24893E+008.80 2.37405 .60650E-01 .54943E-04 .90590E-03 .29477E+03 .24627E+008.90 2.37566 .59375E-01 .51006E-04 .85904E-03 .31063E+03 .24367E+00

9.00 2.37722 .58140E-01 .47386E-04 .81504E-03 .32719E+03 .24112E+009.10 2.37873 .56941E-01 .44055E-04 .77369E-03 .34446E+03 .23862E+009.20 2.38020 .55779E-01 .40986E-04 .73480E-03 .36246E+03 .23618E+009.30 2.38162 .54651E-01 .38158E-04 .69822E-03 .38123E+03 .23378E+009.40 2.38299 .53556E-01 .35549E-04 .66378E-03 .40078E+03 .23142E+00

9.50 2.38433 .52493E-01 .33141E-04 .63134E-03 .42113E+03 .22911E+009.60 2.38563 .51461E-01 .30916E-04 .60077E-03 .44232E+03 .22685E+009.70 2.38689 .50459E-01 .28860E-04 .57194E-03 .46437E+03 .22463E+009.80 2.38811 .49485E-01 .26957E-04 .54474E-03 .48731E+03 .22245E+009.90 2.38930 .48539E-01 .25195E-04 .51907E-03 .51115E+03 .22032E+00

10.00 2.39046 .47619E-01 .23563E-04 .49482E-03 .53594E+03 .21822E+0011.00 2.40040 .39683E-01 .12448E-04 .31369E-03 .84191E+03 .19920E+0012.00 2.40804 .33557E-01 .69222E-05 .20628E-03 .12762E+04 .18319E+0013.00 2.41404 .28736E-01 .40223E-05 .13998E-03 .18761E+04 .16952E+0014.00 2.41883 .24876E-01 .24278E-05 .97596E-04 .26854E+04 .15772E+00

15.00 2.42272 .21739E-01 .15148E-05 .69679E-04 .37553E+04 .14744E+0016.00 2.42591 .19157E-01 .97309E-06 .50795E-04 .51446E+04 .13841E+0017.00 2.42857 .17007E-01 .64147E-06 .37719E-04 .69205E+04 .13041E+0018.00 2.43081 .15198E-01 .43272E-06 .28473E-04 .91593E+04 .12328E+0019.00 2.43270 .13661E-01 .29800E-06 .21813E-04 .11946E+05 .11688E+00

20.00 2.43432 .12346E-01 .20907E-06 .16935E-04 .15377E+05 .11111E+00∞ 2.44950 .00000E+00 .00000E+00 .00000E+00 ∞ .00000E+00

306 Appendice A

Tabella A.2 - Urto Normale, γ = 1.4

M1 M2ρ2ρ1

= V1V2

T2T1

p2p1

p02p01

=A∗

1

A∗

2

a2a1

1.00 1.00000 .10000E+01 .10000E+01 .10000E+01 .10000E+01 .10000E+011.01 .99013 .10167E+01 .10066E+01 .10234E+01 .10000E+01 .10033E+011.02 .98052 .10334E+01 .10132E+01 .10471E+01 .99999E+00 .10066E+011.03 .97115 .10502E+01 .10198E+01 .10710E+01 .99997E+00 .10099E+011.04 .96203 .10671E+01 .10263E+01 .10952E+01 .99992E+00 .10131E+01

1.05 .95313 .10840E+01 .10328E+01 .11196E+01 .99985E+00 .10163E+011.06 .94445 .11009E+01 .10393E+01 .11442E+01 .99975E+00 .10195E+011.07 .93598 .11179E+01 .10458E+01 .11690E+01 .99961E+00 .10226E+011.08 .92771 .11349E+01 .10522E+01 .11941E+01 .99943E+00 .10258E+011.09 .91965 .11520E+01 .10586E+01 .12194E+01 .99920E+00 .10289E+01

1.10 .91177 .11691E+01 .10649E+01 .12450E+01 .99893E+00 .10320E+011.11 .90408 .11862E+01 .10713E+01 .12708E+01 .99860E+00 .10350E+011.12 .89656 .12034E+01 .10776E+01 .12968E+01 .99821E+00 .10381E+011.13 .88922 .12206E+01 .10840E+01 .13230E+01 .99777E+00 .10411E+011.14 .88204 .12378E+01 .10903E+01 .13495E+01 .99726E+00 .10442E+01

1.15 .87502 .12550E+01 .10966E+01 .13762E+01 .99669E+00 .10472E+011.16 .86816 .12723E+01 .11029E+01 .14032E+01 .99605E+00 .10502E+011.17 .86145 .12896E+01 .11092E+01 .14304E+01 .99535E+00 .10532E+011.18 .85488 .13069E+01 .11154E+01 .14578E+01 .99457E+00 .10561E+011.19 .84846 .13243E+01 .11217E+01 .14854E+01 .99372E+00 .10591E+01

1.20 .84217 .13416E+01 .11280E+01 .15133E+01 .99280E+00 .10621E+011.21 .83601 .13590E+01 .11343E+01 .15414E+01 .99180E+00 .10650E+011.22 .82999 .13764E+01 .11405E+01 .15698E+01 .99073E+00 .10680E+011.23 .82408 .13938E+01 .11468E+01 .15984E+01 .98958E+00 .10709E+011.24 .81830 .14112E+01 .11531E+01 .16272E+01 .98836E+00 .10738E+01

1.25 .81264 .14286E+01 .11594E+01 .16562E+01 .98706E+00 .10767E+011.26 .80709 .14460E+01 .11657E+01 .16855E+01 .98568E+00 .10797E+011.27 .80165 .14634E+01 .11720E+01 .17150E+01 .98422E+00 .10826E+011.28 .79631 .14808E+01 .11783E+01 .17448E+01 .98268E+00 .10855E+011.29 .79108 .14983E+01 .11846E+01 .17748E+01 .98107E+00 .10884E+01

1.30 .78596 .15157E+01 .11909E+01 .18050E+01 .97937E+00 .10913E+011.31 .78093 .15331E+01 .11972E+01 .18354E+01 .97760E+00 .10942E+011.32 .77600 .15505E+01 .12035E+01 .18661E+01 .97575E+00 .10971E+011.33 .77116 .15680E+01 .12099E+01 .18970E+01 .97382E+00 .10999E+011.34 .76641 .15854E+01 .12162E+01 .19282E+01 .97182E+00 .11028E+01

1.35 .76175 .16028E+01 .12226E+01 .19596E+01 .96974E+00 .11057E+011.36 .75718 .16202E+01 .12290E+01 .19912E+01 .96758E+00 .11086E+011.37 .75269 .16376E+01 .12354E+01 .20230E+01 .96534E+00 .11115E+011.38 .74829 .16549E+01 .12418E+01 .20551E+01 .96304E+00 .11144E+011.39 .74396 .16723E+01 .12482E+01 .20874E+01 .96065E+00 .11172E+01

1.40 .73971 .16897E+01 .12547E+01 .21200E+01 .95819E+00 .11201E+011.41 .73554 .17070E+01 .12612E+01 .21528E+01 .95566E+00 .11230E+011.42 .73144 .17243E+01 .12676E+01 .21858E+01 .95306E+00 .11259E+011.43 .72741 .17416E+01 .12741E+01 .22190E+01 .95039E+00 .11288E+011.44 .72345 .17589E+01 .12807E+01 .22525E+01 .94765E+00 .11317E+01

1.45 .71956 .17761E+01 .12872E+01 .22862E+01 .94484E+00 .11346E+011.46 .71574 .17934E+01 .12938E+01 .23202E+01 .94196E+00 .11374E+011.47 .71198 .18106E+01 .13003E+01 .23544E+01 .93901E+00 .11403E+011.48 .70829 .18278E+01 .13069E+01 .23888E+01 .93600E+00 .11432E+011.49 .70466 .18449E+01 .13136E+01 .24234E+01 .93293E+00 .11461E+01

Appendice A 307

Tabella A.2 - Urto Normale, γ = 1.4

M1 M2ρ2ρ1

= V1V2

T2T1

p2p1

p02p01

=A∗

1

A∗

2

a2a1

1.50 .70109 .18621E+01 .13202E+01 .24583E+01 .92979E+00 .11490E+011.51 .69758 .18792E+01 .13269E+01 .24934E+01 .92659E+00 .11519E+011.52 .69413 .18963E+01 .13336E+01 .25288E+01 .92332E+00 .11548E+011.53 .69073 .19133E+01 .13403E+01 .25644E+01 .92000E+00 .11577E+011.54 .68739 .19303E+01 .13470E+01 .26002E+01 .91662E+00 .11606E+01

1.55 .68410 .19473E+01 .13538E+01 .26362E+01 .91319E+00 .11635E+011.56 .68087 .19643E+01 .13606E+01 .26725E+01 .90970E+00 .11664E+011.57 .67769 .19812E+01 .13674E+01 .27090E+01 .90615E+00 .11694E+011.58 .67455 .19981E+01 .13742E+01 .27458E+01 .90255E+00 .11723E+011.59 .67147 .20149E+01 .13811E+01 .27828E+01 .89890E+00 .11752E+01

1.60 .66844 .20317E+01 .13880E+01 .28200E+01 .89520E+00 .11781E+011.61 .66545 .20485E+01 .13949E+01 .28574E+01 .89145E+00 .11811E+011.62 .66251 .20653E+01 .14018E+01 .28951E+01 .88765E+00 .11840E+011.63 .65962 .20820E+01 .14088E+01 .29330E+01 .88381E+00 .11869E+011.64 .65677 .20986E+01 .14158E+01 .29712E+01 .87992E+00 .11899E+01

1.65 .65396 .21152E+01 .14228E+01 .30096E+01 .87599E+00 .11928E+011.66 .65119 .21318E+01 .14299E+01 .30482E+01 .87201E+00 .11958E+011.67 .64847 .21484E+01 .14369E+01 .30870E+01 .86800E+00 .11987E+011.68 .64579 .21649E+01 .14440E+01 .31261E+01 .86394E+00 .12017E+011.69 .64315 .21813E+01 .14512E+01 .31654E+01 .85985E+00 .12046E+01

1.70 .64054 .21977E+01 .14583E+01 .32050E+01 .85572E+00 .12076E+011.71 .63798 .22141E+01 .14655E+01 .32448E+01 .85156E+00 .12106E+011.72 .63545 .22304E+01 .14727E+01 .32848E+01 .84736E+00 .12136E+011.73 .63296 .22467E+01 .14800E+01 .33250E+01 .84312E+00 .12165E+011.74 .63051 .22629E+01 .14873E+01 .33655E+01 .83886E+00 .12195E+01

1.75 .62809 .22791E+01 .14946E+01 .34062E+01 .83457E+00 .12225E+011.76 .62570 .22952E+01 .15019E+01 .34472E+01 .83024E+00 .12255E+011.77 .62335 .23113E+01 .15093E+01 .34884E+01 .82589E+00 .12285E+011.78 .62104 .23273E+01 .15167E+01 .35298E+01 .82151E+00 .12315E+011.79 .61875 .23433E+01 .15241E+01 .35714E+01 .81711E+00 .12346E+01

1.80 .61650 .23592E+01 .15316E+01 .36133E+01 .81268E+00 .12376E+011.81 .61428 .23751E+01 .15391E+01 .36554E+01 .80824E+00 .12406E+011.82 .61209 .23909E+01 .15466E+01 .36978E+01 .80376E+00 .12436E+011.83 .60993 .24067E+01 .15541E+01 .37404E+01 .79927E+00 .12467E+011.84 .60780 .24224E+01 .15617E+01 .37832E+01 .79476E+00 .12497E+01

1.85 .60570 .24381E+01 .15693E+01 .38262E+01 .79023E+00 .12527E+011.86 .60363 .24537E+01 .15770E+01 .38695E+01 .78569E+00 .12558E+011.87 .60159 .24693E+01 .15847E+01 .39130E+01 .78113E+00 .12588E+011.88 .59957 .24848E+01 .15924E+01 .39568E+01 .77655E+00 .12619E+011.89 .59758 .25003E+01 .16001E+01 .40008E+01 .77196E+00 .12650E+01

1.90 .59562 .25157E+01 .16079E+01 .40450E+01 .76736E+00 .12680E+011.91 .59368 .25310E+01 .16157E+01 .40894E+01 .76274E+00 .12711E+011.92 .59177 .25463E+01 .16236E+01 .41341E+01 .75812E+00 .12742E+011.93 .58988 .25616E+01 .16314E+01 .41790E+01 .75349E+00 .12773E+011.94 .58802 .25767E+01 .16394E+01 .42242E+01 .74884E+00 .12804E+01

1.95 .58619 .25919E+01 .16473E+01 .42696E+01 .74420E+00 .12835E+011.96 .58437 .26069E+01 .16553E+01 .43152E+01 .73954E+00 .12866E+011.97 .58258 .26220E+01 .16633E+01 .43610E+01 .73488E+00 .12897E+011.98 .58082 .26369E+01 .16713E+01 .44071E+01 .73021E+00 .12928E+011.99 .57907 .26518E+01 .16794E+01 .44534E+01 .72555E+00 .12959E+01

308 Appendice A

Tabella A.2 - Urto Normale, γ = 1.4

M1 M2ρ2ρ1

= V1V2

T2T1

p2p1

p02p01

=A∗

1

A∗

2

a2a1

2.00 .57735 .26667E+01 .16875E+01 .45000E+01 .72087E+00 .12990E+012.01 .57565 .26815E+01 .16956E+01 .45468E+01 .71620E+00 .13022E+012.02 .57397 .26962E+01 .17038E+01 .45938E+01 .71153E+00 .13053E+012.03 .57232 .27108E+01 .17120E+01 .46410E+01 .70685E+00 .13084E+012.04 .57068 .27255E+01 .17203E+01 .46885E+01 .70218E+00 .13116E+01

2.05 .56906 .27400E+01 .17285E+01 .47362E+01 .69751E+00 .13147E+012.06 .56747 .27545E+01 .17369E+01 .47842E+01 .69284E+00 .13179E+012.07 .56589 .27689E+01 .17452E+01 .48324E+01 .68817E+00 .13211E+012.08 .56433 .27833E+01 .17536E+01 .48808E+01 .68351E+00 .13242E+012.09 .56280 .27976E+01 .17620E+01 .49294E+01 .67886E+00 .13274E+01

2.10 .56128 .28119E+01 .17704E+01 .49783E+01 .67420E+00 .13306E+012.11 .55978 .28261E+01 .17789E+01 .50274E+01 .66956E+00 .13338E+012.12 .55829 .28402E+01 .17875E+01 .50768E+01 .66492E+00 .13370E+012.13 .55683 .28543E+01 .17960E+01 .51264E+01 .66029E+00 .13402E+012.14 .55538 .28683E+01 .18046E+01 .51762E+01 .65567E+00 .13434E+01

2.15 .55395 .28823E+01 .18132E+01 .52262E+01 .65105E+00 .13466E+012.16 .55254 .28962E+01 .18219E+01 .52765E+01 .64645E+00 .13498E+012.17 .55115 .29100E+01 .18306E+01 .53270E+01 .64185E+00 .13530E+012.18 .54977 .29238E+01 .18393E+01 .53778E+01 .63727E+00 .13562E+012.19 .54840 .29376E+01 .18481E+01 .54288E+01 .63270E+00 .13594E+01

2.20 .54706 .29512E+01 .18569E+01 .54800E+01 .62814E+00 .13627E+012.21 .54572 .29648E+01 .18657E+01 .55314E+01 .62359E+00 .13659E+012.22 .54441 .29784E+01 .18746E+01 .55831E+01 .61905E+00 .13691E+012.23 .54311 .29918E+01 .18835E+01 .56350E+01 .61453E+00 .13724E+012.24 .54182 .30053E+01 .18924E+01 .56872E+01 .61002E+00 .13756E+01

2.25 .54055 .30186E+01 .19014E+01 .57396E+01 .60553E+00 .13789E+012.26 .53930 .30319E+01 .19104E+01 .57922E+01 .60105E+00 .13822E+012.27 .53805 .30452E+01 .19194E+01 .58450E+01 .59659E+00 .13854E+012.28 .53683 .30584E+01 .19285E+01 .58981E+01 .59214E+00 .13887E+012.29 .53561 .30715E+01 .19376E+01 .59514E+01 .58771E+00 .13920E+01

2.30 .53441 .30845E+01 .19468E+01 .60050E+01 .58330E+00 .13953E+012.31 .53322 .30975E+01 .19560E+01 .60588E+01 .57890E+00 .13986E+012.32 .53205 .31105E+01 .19652E+01 .61128E+01 .57452E+00 .14019E+012.33 .53089 .31234E+01 .19745E+01 .61670E+01 .57016E+00 .14052E+012.34 .52974 .31362E+01 .19838E+01 .62215E+01 .56581E+00 .14085E+01

2.35 .52861 .31490E+01 .19931E+01 .62762E+01 .56149E+00 .14118E+012.36 .52749 .31617E+01 .20025E+01 .63312E+01 .55718E+00 .14151E+012.37 .52638 .31743E+01 .20119E+01 .63864E+01 .55289E+00 .14184E+012.38 .52528 .31869E+01 .20213E+01 .64418E+01 .54862E+00 .14217E+012.39 .52419 .31994E+01 .20308E+01 .64974E+01 .54437E+00 .14251E+01

2.40 .52312 .32119E+01 .20403E+01 .65533E+01 .54014E+00 .14284E+012.41 .52206 .32243E+01 .20499E+01 .66094E+01 .53594E+00 .14317E+012.42 .52100 .32367E+01 .20595E+01 .66658E+01 .53175E+00 .14351E+012.43 .51996 .32489E+01 .20691E+01 .67224E+01 .52758E+00 .14384E+012.44 .51894 .32612E+01 .20788E+01 .67792E+01 .52344E+00 .14418E+01

2.45 .51792 .32733E+01 .20885E+01 .68362E+01 .51931E+00 .14451E+012.46 .51691 .32855E+01 .20982E+01 .68935E+01 .51521E+00 .14485E+012.47 .51592 .32975E+01 .21080E+01 .69510E+01 .51113E+00 .14519E+012.48 .51493 .33095E+01 .21178E+01 .70088E+01 .50707E+00 .14553E+012.49 .51395 .33215E+01 .21276E+01 .70668E+01 .50303E+00 .14586E+01

Appendice A 309

Tabella A.2 - Urto Normale, γ = 1.4

M1 M2ρ2ρ1

= V1V2

T2T1

p2p1

p02p01

=A∗

1

A∗

2

a2a1

2.50 .51299 .33333E+01 .21375E+01 .71250E+01 .49902E+00 .14620E+012.51 .51203 .33452E+01 .21474E+01 .71834E+01 .49502E+00 .14654E+012.52 .51109 .33569E+01 .21574E+01 .72421E+01 .49105E+00 .14688E+012.53 .51015 .33686E+01 .21674E+01 .73010E+01 .48711E+00 .14722E+012.54 .50923 .33803E+01 .21774E+01 .73602E+01 .48318E+00 .14756E+01

2.55 .50831 .33919E+01 .21875E+01 .74196E+01 .47928E+00 .14790E+012.56 .50741 .34034E+01 .21976E+01 .74792E+01 .47540E+00 .14824E+012.57 .50651 .34149E+01 .22077E+01 .75390E+01 .47155E+00 .14858E+012.58 .50562 .34263E+01 .22179E+01 .75991E+01 .46772E+00 .14893E+012.59 .50474 .34377E+01 .22281E+01 .76594E+01 .46391E+00 .14927E+01

2.60 .50387 .34490E+01 .22383E+01 .77200E+01 .46012E+00 .14961E+012.61 .50301 .34602E+01 .22486E+01 .77808E+01 .45636E+00 .14995E+012.62 .50216 .34714E+01 .22590E+01 .78418E+01 .45263E+00 .15030E+012.63 .50131 .34826E+01 .22693E+01 .79030E+01 .44891E+00 .15064E+012.64 .50048 .34936E+01 .22797E+01 .79645E+01 .44522E+00 .15099E+01

2.65 .49965 .35047E+01 .22902E+01 .80262E+01 .44156E+00 .15133E+012.66 .49883 .35156E+01 .23006E+01 .80882E+01 .43792E+00 .15168E+012.67 .49802 .35266E+01 .23111E+01 .81504E+01 .43430E+00 .15202E+012.68 .49722 .35374E+01 .23217E+01 .82128E+01 .43071E+00 .15237E+012.69 .49642 .35482E+01 .23323E+01 .82754E+01 .42714E+00 .15272E+01

2.70 .49563 .35590E+01 .23429E+01 .83383E+01 .42359E+00 .15307E+012.71 .49485 .35697E+01 .23535E+01 .84014E+01 .42007E+00 .15341E+012.72 .49408 .35803E+01 .23642E+01 .84648E+01 .41657E+00 .15376E+012.73 .49332 .35909E+01 .23750E+01 .85284E+01 .41310E+00 .15411E+012.74 .49256 .36015E+01 .23858E+01 .85922E+01 .40965E+00 .15446E+01

2.75 .49181 .36119E+01 .23966E+01 .86562E+01 .40623E+00 .15481E+012.76 .49107 .36224E+01 .24074E+01 .87205E+01 .40283E+00 .15516E+012.77 .49033 .36327E+01 .24183E+01 .87850E+01 .39945E+00 .15551E+012.78 .48960 .36431E+01 .24292E+01 .88498E+01 .39610E+00 .15586E+012.79 .48888 .36533E+01 .24402E+01 .89148E+01 .39277E+00 .15621E+01

2.80 .48817 .36635E+01 .24512E+01 .89800E+01 .38946E+00 .15656E+012.81 .48746 .36737E+01 .24622E+01 .90454E+01 .38618E+00 .15691E+012.82 .48676 .36838E+01 .24733E+01 .91111E+01 .38293E+00 .15727E+012.83 .48606 .36939E+01 .24844E+01 .91770E+01 .37970E+00 .15762E+012.84 .48538 .37039E+01 .24955E+01 .92432E+01 .37649E+00 .15797E+01

2.85 .48469 .37138E+01 .25067E+01 .93096E+01 .37330E+00 .15833E+012.86 .48402 .37238E+01 .25179E+01 .93762E+01 .37014E+00 .15868E+012.87 .48335 .37336E+01 .25292E+01 .94430E+01 .36700E+00 .15903E+012.88 .48269 .37434E+01 .25405E+01 .95101E+01 .36389E+00 .15939E+012.89 .48203 .37532E+01 .25518E+01 .95774E+01 .36080E+00 .15974E+01

2.90 .48138 .37629E+01 .25632E+01 .96450E+01 .35773E+00 .16010E+012.91 .48074 .37725E+01 .25746E+01 .97128E+01 .35469E+00 .16046E+012.92 .48010 .37821E+01 .25861E+01 .97808E+01 .35167E+00 .16081E+012.93 .47946 .37917E+01 .25975E+01 .98490E+01 .34867E+00 .16117E+012.94 .47884 .38012E+01 .26091E+01 .99175E+01 .34570E+00 .16153E+01

2.95 .47822 .38106E+01 .26206E+01 .99862E+01 .34275E+00 .16188E+012.96 .47760 .38200E+01 .26322E+01 .10055E+02 .33982E+00 .16224E+012.97 .47699 .38294E+01 .26439E+01 .10124E+02 .33692E+00 .16260E+012.98 .47638 .38387E+01 .26555E+01 .10194E+02 .33404E+00 .16296E+012.99 .47579 .38479E+01 .26673E+01 .10263E+02 .33118E+00 .16332E+01

310 Appendice A

Tabella A.2 - Urto Normale, γ = 1.4

M1 M2ρ2ρ1

= V1V2

T2T1

p2p1

p02p01

=A∗

1

A∗

2

a2a1

3.00 .47519 .38571E+01 .26790E+01 .10333E+02 .32834E+00 .16368E+013.05 .47230 .39025E+01 .27383E+01 .10686E+02 .31450E+00 .16548E+013.10 .46953 .39466E+01 .27986E+01 .11045E+02 .30121E+00 .16729E+013.15 .46689 .39896E+01 .28598E+01 .11410E+02 .28846E+00 .16911E+013.20 .46435 .40315E+01 .29220E+01 .11780E+02 .27623E+00 .17094E+01

3.25 .46192 .40723E+01 .29851E+01 .12156E+02 .26451E+00 .17277E+013.30 .45959 .41120E+01 .30492E+01 .12538E+02 .25328E+00 .17462E+013.35 .45735 .41507E+01 .31142E+01 .12926E+02 .24252E+00 .17647E+013.40 .45520 .41884E+01 .31802E+01 .13320E+02 .23223E+00 .17833E+013.45 .45314 .42251E+01 .32471E+01 .13720E+02 .22237E+00 .18020E+01

3.50 .45115 .42609E+01 .33150E+01 .14125E+02 .21295E+00 .18207E+013.55 .44925 .42957E+01 .33839E+01 .14536E+02 .20393E+00 .18395E+013.60 .44741 .43296E+01 .34537E+01 .14953E+02 .19531E+00 .18584E+013.65 .44565 .43627E+01 .35245E+01 .15376E+02 .18707E+00 .18774E+013.70 .44395 .43949E+01 .35962E+01 .15805E+02 .17919E+00 .18964E+01

3.75 .44231 .44262E+01 .36689E+01 .16240E+02 .17167E+00 .19154E+013.80 .44073 .44568E+01 .37426E+01 .16680E+02 .16447E+00 .19346E+013.85 .43921 .44866E+01 .38172E+01 .17126E+02 .15760E+00 .19538E+013.90 .43774 .45156E+01 .38928E+01 .17578E+02 .15103E+00 .19730E+013.95 .43633 .45439E+01 .39694E+01 .18036E+02 .14475E+00 .19923E+01

4.00 .43496 .45714E+01 .40469E+01 .18500E+02 .13876E+00 .20117E+014.05 .43364 .45983E+01 .41253E+01 .18970E+02 .13303E+00 .20311E+014.10 .43236 .46245E+01 .42048E+01 .19445E+02 .12756E+00 .20506E+014.15 .43113 .46500E+01 .42852E+01 .19926E+02 .12233E+00 .20701E+014.20 .42994 .46749E+01 .43666E+01 .20413E+02 .11733E+00 .20896E+01

4.25 .42878 .46992E+01 .44489E+01 .20906E+02 .11256E+00 .21092E+014.30 .42767 .47229E+01 .45322E+01 .21405E+02 .10800E+00 .21289E+014.35 .42659 .47459E+01 .46165E+01 .21910E+02 .10364E+00 .21486E+014.40 .42554 .47685E+01 .47017E+01 .22420E+02 .99481E-01 .21683E+014.45 .42453 .47904E+01 .47879E+01 .22936E+02 .95501E-01 .21881E+01

4.50 .42355 .48119E+01 .48751E+01 .23458E+02 .91698E-01 .22080E+014.55 .42260 .48328E+01 .49632E+01 .23986E+02 .88062E-01 .22278E+014.60 .42168 .48532E+01 .50523E+01 .24520E+02 .84587E-01 .22477E+014.65 .42079 .48731E+01 .51424E+01 .25060E+02 .81263E-01 .22677E+014.70 .41992 .48926E+01 .52334E+01 .25605E+02 .78086E-01 .22877E+01

4.75 .41908 .49116E+01 .53254E+01 .26156E+02 .75047E-01 .23077E+014.80 .41826 .49301E+01 .54184E+01 .26713E+02 .72140E-01 .23277E+014.85 .41747 .49482E+01 .55124E+01 .27276E+02 .69359E-01 .23478E+014.90 .41670 .49659E+01 .56073E+01 .27845E+02 .66699E-01 .23680E+014.95 .41595 .49831E+01 .57032E+01 .28420E+02 .64153E-01 .23881E+01

5.00 .41523 .50000E+01 .58000E+01 .29000E+02 .61716E-01 .24083E+015.10 .41384 .50326E+01 .59966E+01 .30178E+02 .57151E-01 .24488E+015.20 .41252 .50637E+01 .61971E+01 .31380E+02 .52966E-01 .24894E+015.30 .41127 .50934E+01 .64014E+01 .32605E+02 .49126E-01 .25301E+015.40 .41009 .51218E+01 .66097E+01 .33853E+02 .45601E-01 .25709E+01

5.50 .40897 .51489E+01 .68218E+01 .35125E+02 .42361E-01 .26119E+015.60 .40791 .51749E+01 .70378E+01 .36420E+02 .39383E-01 .26529E+015.70 .40690 .51998E+01 .72577E+01 .37738E+02 .36643E-01 .26940E+015.80 .40594 .52236E+01 .74814E+01 .39080E+02 .34120E-01 .27352E+015.90 .40503 .52464E+01 .77091E+01 .40445E+02 .31795E-01 .27765E+01

Appendice A 311

Tabella A.2 - Urto Normale, γ = 1.4

M1 M2ρ2ρ1

= V1V2

T2T1

p2p1

p02p01

= A∗

1

A∗

2

a2a1

6.00 .40416 .52683E+01 .79406E+01 .41833E+02 .29651E-01 .28179E+016.10 .40333 .52893E+01 .81760E+01 .43245E+02 .27672E-01 .28594E+016.20 .40254 .53094E+01 .84153E+01 .44680E+02 .25845E-01 .29009E+016.30 .40179 .53287E+01 .86584E+01 .46138E+02 .24156E-01 .29425E+016.40 .40107 .53473E+01 .89055E+01 .47620E+02 .22594E-01 .29842E+01

6.50 .40038 .53651E+01 .91564E+01 .49125E+02 .21148E-01 .30260E+016.60 .39972 .53822E+01 .94113E+01 .50653E+02 .19808E-01 .30678E+016.70 .39909 .53987E+01 .96700E+01 .52205E+02 .18566E-01 .31097E+016.80 .39849 .54145E+01 .99325E+01 .53780E+02 .17414E-01 .31516E+016.90 .39791 .54298E+01 .10199E+02 .55378E+02 .16345E-01 .31936E+01

7.00 .39736 .54444E+01 .10469E+02 .57000E+02 .15351E-01 .32356E+017.10 .39683 .54586E+01 .10744E+02 .58645E+02 .14428E-01 .32777E+017.20 .39632 .54722E+01 .11022E+02 .60313E+02 .13569E-01 .33199E+017.30 .39583 .54853E+01 .11304E+02 .62005E+02 .12769E-01 .33621E+017.40 .39536 .54980E+01 .11590E+02 .63720E+02 .12023E-01 .34044E+01

7.50 .39491 .55102E+01 .11879E+02 .65458E+02 .11329E-01 .34467E+017.60 .39447 .55220E+01 .12173E+02 .67220E+02 .10680E-01 .34890E+017.70 .39405 .55334E+01 .12471E+02 .69005E+02 .10075E-01 .35314E+017.80 .39365 .55444E+01 .12772E+02 .70813E+02 .95102E-02 .35738E+017.90 .39326 .55550E+01 .13077E+02 .72645E+02 .89819E-02 .36163E+01

8.00 .39289 .55652E+01 .13387E+02 .74500E+02 .84878E-02 .36588E+018.10 .39253 .55751E+01 .13700E+02 .76378E+02 .80254E-02 .37013E+018.20 .39218 .55847E+01 .14017E+02 .78280E+02 .75924E-02 .37439E+018.30 .39185 .55940E+01 .14338E+02 .80205E+02 .71866E-02 .37865E+018.40 .39152 .56030E+01 .14662E+02 .82153E+02 .68061E-02 .38292E+01

8.50 .39121 .56117E+01 .14991E+02 .84125E+02 .64492E-02 .38718E+018.60 .39091 .56201E+01 .15324E+02 .86120E+02 .61141E-02 .39145E+018.70 .39062 .56282E+01 .15660E+02 .88138E+02 .57994E-02 .39573E+018.80 .39034 .56361E+01 .16000E+02 .90180E+02 .55036E-02 .40001E+018.90 .39006 .56437E+01 .16345E+02 .92245E+02 .52255E-02 .40429E+01

9.00 .38980 .56512E+01 .16693E+02 .94333E+02 .49639E-02 .40857E+019.10 .38954 .56584E+01 .17045E+02 .96445E+02 .47175E-02 .41285E+019.20 .38930 .56653E+01 .17401E+02 .98580E+02 .44855E-02 .41714E+019.30 .38906 .56721E+01 .17760E+02 .10074E+03 .42669E-02 .42143E+019.40 .38883 .56787E+01 .18124E+02 .10292E+03 .40608E-02 .42572E+01

9.50 .38860 .56850E+01 .18492E+02 .10513E+03 .38664E-02 .43002E+019.60 .38838 .56912E+01 .18863E+02 .10735E+03 .36828E-02 .43431E+019.70 .38817 .56972E+01 .19238E+02 .10961E+03 .35095E-02 .43861E+019.80 .38797 .57031E+01 .19617E+02 .11188E+03 .33458E-02 .44292E+019.90 .38777 .57088E+01 .20001E+02 .11418E+03 .31911E-02 .44722E+01

10.00 .38758 .57143E+01 .20388E+02 .11650E+03 .30447E-02 .45153E+0111.00 .38592 .57619E+01 .24471E+02 .14100E+03 .19451E-02 .49468E+0112.00 .38466 .57987E+01 .28943E+02 .16783E+03 .12866E-02 .53799E+0113.00 .38368 .58276E+01 .33805E+02 .19700E+03 .87709E-03 .58142E+0114.00 .38289 .58507E+01 .39055E+02 .22850E+03 .61379E-03 .62494E+01

15.00 .38226 .58696E+01 .44694E+02 .26233E+03 .43953E-03 .66853E+0116.00 .38174 .58851E+01 .50722E+02 .29850E+03 .32119E-03 .71219E+0117.00 .38131 .58980E+01 .57138E+02 .33700E+03 .23899E-03 .75590E+0118.00 .38095 .59088E+01 .63944E+02 .37783E+03 .18072E-03 .79965E+0119.00 .38065 .59180E+01 .71139E+02 .42100E+03 .13865E-03 .84344E+01

20.00 .38039 .59259E+01 .78722E+02 .46650E+03 .10777E-03 .88725E+01∞ .37796 .60000E+01 ∞ ∞ .00000E-00 ∞

312 Appendice A

Tabella A.3 - Caratteristiche odografe, γ = 1.4

M ω(gradi) M ω(gradi) M ω(gradi) M ω(gradi) M ω(gradi)

1.00 .00 1.50 11.91 2.00 26.38 2.50 39.12 3.00 49.761.01 .04 1.51 12.20 2.01 26.66 2.51 39.36 3.02 50.141.02 .13 1.52 12.49 2.02 26.93 2.52 39.59 3.04 50.521.03 .23 1.53 12.79 2.03 27.20 2.53 39.82 3.06 50.901.04 .35 1.54 13.09 2.04 27.48 2.54 40.05 3.08 51.281.05 .49 1.55 13.38 2.05 27.75 2.55 40.28 3.10 51.651.06 .64 1.56 13.68 2.06 28.02 2.56 40.51 3.12 52.021.07 .80 1.57 13.97 2.07 28.29 2.57 40.74 3.14 52.391.08 .97 1.58 14.27 2.08 28.56 2.58 40.96 3.16 52.751.09 1.15 1.59 14.56 2.09 28.83 2.59 41.19 3.18 53.111.10 1.34 1.60 14.86 2.10 29.10 2.60 41.41 3.20 53.471.11 1.53 1.61 15.16 2.11 29.36 2.61 41.64 3.22 53.831.12 1.74 1.62 15.45 2.12 29.63 2.62 41.86 3.24 54.181.13 1.94 1.63 15.75 2.13 29.90 2.63 42.09 3.26 54.531.14 2.16 1.64 16.04 2.14 30.16 2.64 42.31 3.28 54.881.15 2.38 1.65 16.34 2.15 30.43 2.65 42.53 3.30 55.221.16 2.61 1.66 16.63 2.16 30.69 2.66 42.75 3.32 55.561.17 2.84 1.67 16.93 2.17 30.95 2.67 42.97 3.34 55.901.18 3.07 1.68 17.22 2.18 31.21 2.68 43.19 3.36 56.241.19 3.31 1.69 17.52 2.19 31.47 2.69 43.40 3.38 56.581.20 3.56 1.70 17.81 2.20 31.73 2.70 43.62 3.40 56.911.21 3.81 1.71 18.10 2.21 31.99 2.71 43.84 3.42 57.241.22 4.06 1.72 18.40 2.22 32.25 2.72 44.05 3.44 57.561.23 4.31 1.73 18.69 2.23 32.51 2.73 44.27 3.46 57.891.24 4.57 1.74 18.98 2.24 32.76 2.74 44.48 3.48 58.211.25 4.83 1.75 19.27 2.25 33.02 2.75 44.69 3.50 58.531.26 5.09 1.76 19.56 2.26 33.27 2.76 44.91 3.52 58.851.27 5.36 1.77 19.86 2.27 33.53 2.77 45.12 3.54 59.161.28 5.63 1.78 20.15 2.28 33.78 2.78 45.33 3.56 59.471.29 5.90 1.79 20.44 2.29 34.03 2.79 45.54 3.58 59.781.30 6.17 1.80 20.73 2.30 34.28 2.80 45.75 3.60 60.091.31 6.44 1.81 21.01 2.31 34.53 2.81 45.95 3.62 60.401.32 6.72 1.82 21.30 2.32 34.78 2.82 46.16 3.64 60.701.33 7.00 1.83 21.59 2.33 35.03 2.83 46.37 3.66 61.001.34 7.28 1.84 21.88 2.34 35.28 2.84 46.57 3.68 61.301.35 7.56 1.85 22.16 2.35 35.53 2.85 46.78 3.70 61.601.36 7.84 1.86 22.45 2.36 35.77 2.86 46.98 3.72 61.891.37 8.13 1.87 22.73 2.37 36.02 2.87 47.19 3.74 62.181.38 8.41 1.88 23.02 2.38 36.26 2.88 47.39 3.76 62.471.39 8.70 1.89 23.30 2.39 36.50 2.89 47.59 3.78 62.761.40 8.99 1.90 23.59 2.40 36.75 2.90 47.79 3.80 63.041.41 9.28 1.91 23.87 2.41 36.99 2.91 47.99 3.82 63.331.42 9.56 1.92 24.15 2.42 37.23 2.92 48.19 3.84 63.611.43 9.86 1.93 24.43 2.43 37.47 2.93 48.39 3.86 63.891.44 10.15 1.94 24.71 2.44 37.71 2.94 48.59 3.88 64.161.45 10.44 1.95 24.99 2.45 37.95 2.95 48.78 3.90 64.441.46 10.73 1.96 25.27 2.46 38.18 2.96 48.98 3.92 64.711.47 11.02 1.97 25.55 2.47 38.42 2.97 49.18 3.94 64.981.48 11.32 1.98 25.83 2.48 38.66 2.98 49.37 3.96 65.251.49 11.61 1.99 26.10 2.49 38.89 2.99 49.56 3.98 65.52

Appendice A 313

Tabella A.3 - Caratteristiche odografe, γ = 1.4

M ω(gradi) M ω(gradi) M ω(gradi) M ω(gradi)

4.00 65.78 5.00 76.92 7.50 93.44 10.00 102.324.02 66.05 5.05 77.38 7.55 93.67 10.50 103.614.04 66.31 5.10 77.84 7.60 93.90 11.00 104.804.06 66.57 5.15 78.29 7.65 94.12 11.50 105.884.08 66.83 5.20 78.73 7.70 94.34 12.00 106.884.10 67.08 5.25 79.17 7.75 94.56 12.50 107.804.12 67.34 5.30 79.60 7.80 94.78 13.00 108.654.14 67.59 5.35 80.02 7.85 95.00 13.50 109.444.16 67.84 5.40 80.43 7.90 95.21 14.00 110.184.18 68.09 5.45 80.84 7.95 95.42 14.50 110.874.20 68.33 5.50 81.24 8.00 95.62 15.00 111.514.22 68.58 5.55 81.64 8.05 95.83 15.50 112.114.24 68.82 5.60 82.03 8.10 96.03 16.00 112.684.26 69.06 5.65 82.42 8.15 96.23 16.50 113.214.28 69.30 5.70 82.80 8.20 96.43 17.00 113.714.30 69.54 5.75 83.17 8.25 96.63 17.50 114.184.32 69.78 5.80 83.54 8.30 96.82 18.00 114.634.34 70.01 5.85 83.90 8.35 97.01 18.50 115.054.36 70.24 5.90 84.26 8.40 97.20 19.00 115.454.38 70.48 5.95 84.61 8.45 97.39 19.50 115.834.40 70.71 6.00 84.96 8.50 97.57 20.00 116.204.42 70.93 6.05 85.30 8.55 97.76 20.50 116.544.44 71.16 6.10 85.63 8.60 97.94 21.00 116.874.46 71.39 6.15 85.97 8.65 98.12 21.50 117.184.48 71.61 6.20 86.29 8.70 98.29 22.00 117.484.50 71.83 6.25 86.62 8.75 98.47 22.50 117.774.52 72.05 6.30 86.94 8.80 98.64 23.00 118.044.54 72.27 6.35 87.25 8.85 98.81 23.50 118.304.56 72.49 6.40 87.56 8.90 98.98 24.00 118.564.58 72.70 6.45 87.87 8.95 99.15 24.50 118.804.60 72.92 6.50 88.17 9.00 99.32 25.00 119.034.62 73.13 6.55 88.47 9.05 99.48 25.50 119.254.64 73.34 6.60 88.76 9.10 99.65 26.00 119.474.66 73.55 6.65 89.05 9.15 99.81 26.50 119.674.68 73.76 6.70 89.33 9.20 99.97 27.00 119.874.70 73.97 6.75 89.62 9.25 100.12 27.50 120.064.72 74.18 6.80 89.90 9.30 100.28 28.00 120.254.74 74.38 6.85 90.17 9.35 100.44 28.50 120.424.76 74.58 6.90 90.44 9.40 100.59 29.00 120.604.78 74.79 6.95 90.71 9.45 100.74 29.50 120.764.80 74.99 7.00 90.97 9.50 100.89 30.00 120.924.82 75.19 7.05 91.23 9.55 101.04 30.50 121.084.84 75.38 7.10 91.49 9.60 101.19 31.00 121.234.86 75.58 7.15 91.75 9.65 101.33 31.50 121.384.88 75.78 7.20 92.00 9.70 101.48 32.00 121.524.90 75.97 7.25 92.24 9.75 101.62 32.50 121.654.92 76.16 7.30 92.49 9.80 101.76 33.00 121.794.94 76.35 7.35 92.73 9.85 101.90 33.50 121.924.96 76.54 7.40 92.97 9.90 102.04 34.00 122.044.98 76.73 7.45 93.21 9.95 102.18 ∞ 130.45

314 Appendice A

Tabella A.4 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione debole (γ = 1.4)M1 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 M1

σmax 85.36 83.49 82.08 80.93 79.94 79.06 78.27 77.56 76.90 σmax

δmax .05 .14 .26 .40 .56 .73 .91 1.10 1.30 δmax

δ δ.5 77.32 74.20 72.04 70.25 68.69 .5

1.0 74.46 71.76 1.0

M1 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 M1

σmax 76.30 75.73 75.21 74.72 74.26 73.82 73.41 73.02 72.66 72.31 σmax

δmax 1.52 1.73 1.96 2.19 2.43 2.67 2.92 3.17 3.42 3.68 δmax

δ δ.5 67.29 66.01 64.83 63.72 62.68 61.70 60.77 59.89 59.04 58.23 .5

1.0 69.80 68.17 66.74 65.45 64.26 63.16 62.13 61.16 60.25 59.38 1.01.5 75.14 71.40 69.29 67.61 66.15 64.86 63.69 62.60 61.59 60.63 1.52.0 70.93 68.71 67.00 65.56 64.28 63.11 62.04 2.02.5 70.34 68.08 66.38 64.95 63.69 2.53.0 69.65 67.41 65.74 3.0

68.89 3.5

M1 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 M1

σmax 71.98 71.66 71.36 71.07 70.80 70.54 70.29 70.05 69.82 69.60 σmax

δmax 3.94 4.21 4.47 4.74 5.01 5.29 5.56 5.83 6.11 6.39 δmax

δ δ.5 57.46 56.71 55.99 55.30 54.63 53.98 53.36 52.75 52.16 51.59 .5

1.0 58.55 57.75 56.99 56.26 55.56 54.88 54.22 53.59 52.98 52.39 1.01.5 59.73 58.88 58.07 57.29 56.54 55.83 55.14 54.48 53.84 53.22 1.52.0 61.05 60.12 59.24 58.40 57.60 56.84 56.12 55.42 54.75 54.10 2.02.5 62.55 61.50 60.53 59.61 58.75 57.93 57.16 56.42 55.71 55.02 2.53.0 64.34 63.11 61.99 60.97 60.02 59.13 58.29 57.49 56.73 56.01 3.03.5 66.72 65.10 63.74 62.54 61.45 60.46 59.53 58.66 57.85 57.07 3.54.0 68.09 66.03 64.47 63.15 61.99 60.93 59.96 59.06 58.22 4.04.5 67.28 65.35 63.85 62.58 61.46 60.44 59.49 4.55.0 69.90 66.50 64.69 63.26 62.04 60.95 5.05.5 68.46 65.75 64.06 62.69 5.56.0 67.38 65.05 6.0

M1 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 M1

σmax 69.40 69.19 69.00 68.82 68.64 68.47 68.31 68.15 68.00 67.85 σmax

δmax 6.66 6.94 7.22 7.49 7.77 8.05 8.33 8.60 8.88 9.15 δmax

δ δ.5 51.03 50.49 49.97 49.45 48.96 48.47 47.99 47.53 47.08 46.64 .5

1.0 51.81 51.25 50.71 50.18 49.67 49.17 48.68 48.20 47.74 47.28 1.01.5 52.62 52.04 51.48 50.93 50.40 49.89 49.38 48.89 48.42 47.95 1.52.0 53.47 52.87 52.28 51.72 51.16 50.63 50.11 49.61 49.12 48.64 2.02.5 54.37 53.74 53.13 52.54 51.96 51.41 50.87 50.35 49.84 49.35 2.53.0 55.31 54.65 54.01 53.39 52.80 52.22 51.66 51.12 50.60 50.09 3.03.5 56.33 55.62 54.95 54.30 53.67 53.07 52.49 51.92 51.38 50.85 3.54.0 57.42 56.67 55.95 55.26 54.60 53.97 53.36 52.77 52.20 51.65 4.04.5 58.62 57.80 57.02 56.29 55.58 54.91 54.27 53.65 53.06 52.48 4.55.0 59.96 59.05 58.20 57.40 56.64 55.93 55.24 54.59 53.96 53.36 5.05.5 61.52 60.47 59.51 58.63 57.80 57.03 56.29 55.59 54.93 54.29 5.56.0 63.46 62.16 61.03 60.02 59.09 58.23 57.43 56.68 55.96 55.28 6.06.5 66.46 64.39 62.89 61.65 60.57 59.59 58.69 57.86 57.08 56.35 6.57.0 65.65 63.78 62.37 61.18 60.14 59.19 58.32 57.52 7.07.5 64.93 63.21 61.88 60.74 59.74 58.82 7.58.0 66.91 64.29 62.70 61.43 60.34 8.08.5 65.92 63.71 62.22 8.59.0 65.14 9.0

Appendice A 315

Tabella A.4 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione debole (γ = 1.4)M1 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 M1

σmax 67.72 67.58 67.45 67.33 67.21 67.10 66.99 66.88 66.78 66.68 σmax

δmax 9.43 9.70 9.97 10.25 10.52 10.79 11.05 11.32 11.59 11.85 δmax

δ δ.5 46.21 45.78 45.37 44.96 44.57 44.18 36.85 43.43 43.06 42.71 .5

1.0 46.84 46.41 45.99 45.57 45.17 44.77 44.39 44.01 43.63 43.27 1.01.5 47.50 47.05 46.62 46.20 45.79 45.38 44.98 44.59 44.22 43.84 1.52.0 48.17 47.72 47.27 46.84 46.42 46.00 45.60 45.20 44.82 44.44 2.02.5 48.87 48.40 47.95 47.50 47.07 46.64 46.23 45.82 45.42 45.04 2.53.0 49.59 49.11 48.64 48.18 47.74 47.30 46.88 46.46 46.06 45.66 3.03.5 50.34 49.84 49.36 48.88 48.43 47.98 47.54 47.12 46.70 46.30 3.54.0 51.12 50.60 50.10 49.61 49.14 48.68 48.23 47.79 47.36 46.95 4.04.5 51.93 51.39 50.87 50.37 49.88 49.40 48.94 48.49 48.05 47.62 4.55.0 52.78 52.22 51.68 51.16 50.65 50.16 49.68 49.21 48.76 48.32 5.05.5 53.68 53.09 52.52 51.98 51.45 50.94 50.44 49.96 49.49 49.04 5.56.0 54.63 54.01 53.41 52.84 52.29 51.75 51.24 50.74 50.25 49.78 6.06.5 55.65 54.99 54.36 53.75 53.17 52.61 52.07 51.55 51.05 50.56 6.57.0 56.76 56.05 55.37 54.73 54.11 53.52 52.95 52.41 51.88 51.37 7.07.5 57.98 57.20 56.46 55.77 55.11 54.48 53.88 53.31 52.75 52.22 7.58.0 59.37 58.48 57.67 56.91 56.19 55.52 54.87 54.26 53.68 53.11 8.08.5 61.01 59.96 59.03 58.17 57.38 56.64 55.95 55.29 54.66 54.06 8.59.0 63.19 61.79 60.63 59.62 58.72 57.89 57.12 56.40 55.72 55.08 9.09.5 64.50 62.72 61.40 60.29 59.32 58.44 57.63 56.88 56.18 9.5

10.0 63.95 62.31 61.05 59.98 59.04 58.19 57.41 10.010.5 66.36 63.48 61.94 60.73 59.71 58.80 10.511.0 65.44 63.07 61.61 60.46 11.011.5 64.82 62.72 11.5

M1 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 M1

σmax 66.59 66.50 66.41 66.33 66.25 66.17 66.10 66.03 65.96 65.89 σmax

δmax 12.11 12.37 12.63 12.89 13.15 13.40 13.66 13.91 14.16 14.41 δmax

δ δ.5 42.35 42.01 41.67 41.34 41.02 40.70 40.38 40.07 39.77 39.47 .5

1.0 42.91 42.56 42.22 41.88 41.55 41.22 40.90 40.59 40.28 39.98 1.01.5 43.48 43.12 42.77 42.43 42.09 41.76 41.44 41.12 40.81 40.50 1.52.0 44.06 43.70 43.34 42.99 42.65 42.32 41.98 41.66 41.34 41.03 2.02.5 44.66 44.29 43.92 43.57 43.22 42.88 42.54 42.21 41.89 41.57 2.53.0 45.27 44.89 44.52 44.16 43.80 43.45 43.11 42.77 42.44 42.12 3.03.5 45.90 45.51 45.13 44.76 44.40 44.04 43.69 43.35 43.01 42.68 3.54.0 46.54 46.14 45.76 45.38 45.00 44.64 44.29 43.94 43.59 43.26 4.04.5 47.21 46.80 46.40 46.01 45.63 45.26 44.89 44.54 44.19 43.85 4.55.0 47.89 47.47 47.06 46.66 46.27 45.89 45.52 45.16 44.80 44.45 5.05.5 48.60 48.16 47.74 47.33 46.93 46.54 46.16 45.79 45.42 45.07 5.56.0 49.33 48.88 48.45 48.03 47.62 47.21 46.82 46.44 46.07 45.70 6.06.5 50.08 49.62 49.18 48.74 48.32 47.91 47.50 47.11 46.73 46.35 6.57.0 50.87 50.40 49.93 49.48 49.04 48.62 48.20 47.80 47.41 47.02 7.07.5 51.70 51.20 50.72 50.26 49.80 49.36 48.93 48.51 48.11 47.71 7.58.0 52.57 52.05 51.55 51.06 50.59 50.13 49.69 49.26 48.84 48.43 8.08.5 53.49 52.94 52.41 51.90 51.41 50.93 50.47 50.02 49.59 49.17 8.59.0 54.47 53.89 53.33 52.79 52.27 51.77 51.29 50.83 50.37 49.94 9.09.5 55.52 54.90 54.30 53.73 53.18 52.66 52.15 51.67 51.19 50.74 9.5

10.0 56.68 55.99 55.35 54.74 54.16 53.60 53.06 52.55 52.05 51.58 10.010.5 57.97 57.21 56.50 55.83 55.20 54.60 54.03 53.49 52.96 52.46 10.511.0 59.47 58.58 57.78 57.03 56.34 55.69 55.07 54.49 53.93 53.40 11.011.5 61.33 60.22 59.26 58.40 57.61 56.89 56.21 55.57 54.97 54.39 11.512.0 64.36 62.42 61.10 60.02 59.08 58.24 57.47 56.77 56.10 55.48 12.012.5 64.00 62.18 60.90 59.85 58.93 58.11 57.36 56.67 12.513.0 63.72 61.98 60.74 59.71 58.82 58.02 13.013.5 63.51 61.83 60.62 59.61 13.514.0 63.37 61.73 14.0

316 Appendice A

Tabella A.4 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione debole (γ = 1.4)M1 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 M1

σmax 65.83 65.77 65.71 65.65 65.60 65.55 65.50 65.45 65.40 65.36 σmax

δmax 14.65 14.90 15.14 15.38 15.62 15.86 16.09 16.32 16.55 16.78 δmax

δ δ1.0 39.68 39.39 39.10 38.82 38.54 38.27 38.00 37.73 37.47 37.22 1.02.0 40.72 40.42 40.13 39.84 39.55 39.27 38.99 38.72 38.45 38.19 2.03.0 41.80 41.49 41.19 40.89 40.59 40.30 40.02 39.74 39.46 39.19 3.04.0 42.93 42.61 42.29 41.98 41.68 41.38 41.08 40.79 40.51 40.23 4.05.0 44.11 43.77 43.44 43.12 42.81 42.50 42.19 41.89 41.60 41.31 5.06.0 45.34 44.99 44.65 44.32 43.99 43.67 43.35 43.04 42.74 42.44 6.07.0 46.65 46.28 45.92 45.57 45.23 44.89 44.56 44.24 43.92 43.61 7.08.0 48.03 47.64 47.26 46.89 46.53 46.18 45.83 45.50 45.17 44.84 8.09.0 49.51 49.10 48.69 48.30 47.92 47.55 47.18 46.83 46.48 46.14 9.0

10.0 51.12 50.67 50.23 49.81 49.41 49.01 48.62 48.24 47.88 47.52 10.011.0 52.88 52.39 51.92 51.46 51.01 50.58 50.17 49.76 49.37 48.98 11.012.0 54.89 54.33 53.79 53.28 52.78 52.31 51.85 51.41 50.98 50.57 12.013.0 57.28 56.60 55.96 55.36 54.80 54.26 53.74 53.24 52.77 52.31 13.014.0 60.54 59.55 58.69 57.91 57.20 56.54 55.93 55.34 54.79 54.27 14.015.0 63.31 61.66 60.49 59.52 58.67 57.92 57.23 56.58 15.016.0 63.58 61.80 60.60 59.63 16.0

M1 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 M1

σmax 65.32 65.28 65.24 65.20 65.17 65.13 65.10 65.07 65.04 65.01 σmax

δmax 17.01 17.24 17.46 17.68 17.90 18.12 18.34 18.55 18.76 18.97 δmax

δ δ1.0 36.96 36.71 36.47 36.23 35.99 35.75 35.52 35.29 35.07 34.85 1.02.0 37.93 37.67 37.42 37.17 36.93 36.69 36.45 36.22 35.99 35.76 2.03.0 38.92 38.66 38.40 38.15 37.90 37.65 37.41 37.17 36.93 36.70 3.04.0 39.96 39.69 39.42 39.16 38.90 38.65 38.40 38.16 37.91 37.68 4.05.0 41.03 40.75 40.48 40.21 39.94 39.68 39.43 39.17 38.93 38.68 5.06.0 42.14 41.86 41.57 41.30 41.02 40.76 40.49 40.23 39.98 39.73 6.07.0 43.31 43.01 42.72 42.43 42.15 41.87 41.60 41.33 41.07 40.81 7.08.0 44.53 44.22 43.91 43.61 43.32 43.03 42.75 42.47 42.20 41.94 8.09.0 45.81 45.49 45.17 44.86 44.55 44.25 43.96 43.67 43.39 43.11 9.0

10.0 47.17 46.82 46.49 46.16 45.84 45.53 45.22 44.92 44.63 44.34 10.011.0 48.61 48.25 47.89 47.55 47.21 46.88 46.56 46.24 45.93 45.63 11.012.0 50.17 49.78 49.40 49.03 48.67 48.32 47.98 47.64 47.32 47.00 12.013.0 51.87 51.44 51.03 50.63 50.24 49.86 49.50 49.14 48.79 48.45 13.014.0 53.77 53.29 52.83 52.39 51.96 51.55 51.15 50.76 50.38 50.01 14.015.0 55.98 55.42 54.88 54.37 53.89 53.42 52.97 52.54 52.13 51.73 15.016.0 58.79 58.04 57.36 56.73 56.14 55.59 55.06 54.57 54.09 53.63 16.017.0 64.63 62.18 60.90 59.90 59.05 58.30 57.61 56.99 56.40 55.86 17.018.0 62.94 61.42 60.34 59.46 58.69 18.0

M1 1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 M1

σmax 64.99 64.96 64.94 64.91 64.89 64.87 64.85 64.83 64.82 64.80 σmax

δmax 19.18 19.39 19.59 19.80 20.00 20.20 20.40 20.59 20.79 20.98 δmax

δ δ1.0 34.63 34.41 34.20 33.99 33.78 33.58 33.38 33.18 32.98 32.79 1.02.0 35.54 35.32 35.10 34.89 34.68 34.47 34.26 34.06 33.86 33.66 2.03.0 36.47 36.25 36.03 35.81 35.59 35.38 35.17 34.96 34.76 34.56 3.04.0 37.44 37.21 36.99 36.76 36.54 36.32 36.11 35.90 35.69 35.48 4.05.0 38.44 38.21 37.97 37.74 37.52 37.30 37.08 36.86 36.65 36.44 5.06.0 39.48 39.24 39.00 38.76 38.53 38.30 38.08 37.86 37.64 37.42 6.07.0 40.56 40.31 40.06 39.82 39.58 39.34 39.11 38.89 38.66 38.44 7.08.0 41.67 41.41 41.16 40.91 40.67 40.42 40.19 39.95 39.72 39.50 8.09.0 42.84 42.57 42.31 42.05 41.79 41.55 41.30 41.06 40.82 40.59 9.0

10.0 44.06 43.78 43.51 43.24 42.98 42.72 42.46 42.21 41.97 41.73 10.011.0 45.34 45.05 44.76 44.48 44.21 43.94 43.68 43.42 43.16 42.91 11.012.0 46.69 46.38 46.08 45.79 45.50 45.22 44.95 44.68 44.41 44.15 12.013.0 48.12 47.80 47.48 47.17 46.87 46.58 46.29 46.00 45.73 45.46 13.014.0 49.66 49.31 48.98 48.65 48.33 48.01 47.71 47.41 47.12 46.83 14.015.0 51.34 50.96 50.59 50.24 49.89 49.56 49.23 48.91 48.59 48.29 15.016.0 53.20 52.78 52.37 51.98 51.60 51.23 50.88 50.53 50.19 49.86 16.017.0 55.34 54.85 54.38 53.93 53.50 53.09 52.69 52.31 51.94 51.58 17.018.0 57.99 57.36 56.78 56.23 55.71 55.23 54.76 54.32 53.90 53.49 18.019.0 62.31 61.03 60.05 59.24 58.52 57.87 57.27 56.71 56.19 55.71 19.020.0 62.10 60.91 59.99 59.21 58.52 20.0

Appendice A 317

Tabella A.4 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione debole (γ = 1.4)M1 1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 M1

σmax 64.78 64.77 64.75 64.74 64.73 64.72 64.71 64.70 64.69 64.68 σmax

δmax 21.17 21.36 21.54 21.73 21.91 22.09 22.27 22.45 22.63 22.80 δmax

δ δ1.0 32.60 32.41 32.22 32.04 31.86 31.68 31.50 31.32 31.15 30.98 1.02.0 33.46 33.27 33.08 32.89 32.71 32.53 32.34 32.17 31.99 31.82 2.03.0 34.36 34.16 33.97 33.78 33.59 33.40 33.22 33.04 32.86 32.68 3.04.0 35.28 35.08 34.88 34.69 34.49 34.30 34.12 33.93 33.75 33.57 4.05.0 36.23 36.02 35.82 35.62 35.43 35.23 35.04 34.85 34.67 34.48 5.06.0 37.21 37.00 36.79 36.59 36.39 36.19 36.00 35.80 35.61 35.43 6.07.0 38.22 38.01 37.80 37.59 37.38 37.18 36.98 36.78 36.59 36.40 7.08.0 39.27 39.05 38.84 38.62 38.41 38.20 38.00 37.80 37.60 37.40 8.09.0 40.36 40.13 39.91 39.69 39.47 39.26 39.05 38.85 38.64 38.44 9.0

10.0 41.49 41.26 41.03 40.80 40.58 40.36 40.14 39.93 39.72 39.51 10.011.0 42.67 42.43 42.19 41.96 41.73 41.50 41.28 41.06 40.84 40.63 11.012.0 43.90 43.65 43.40 43.16 42.92 42.69 42.46 42.23 42.01 41.79 12.013.0 45.19 44.93 44.67 44.42 44.17 43.93 43.69 43.46 43.22 43.00 13.014.0 46.55 46.27 46.01 45.74 45.48 45.23 44.98 44.74 44.50 44.26 14.015.0 47.99 47.70 47.42 47.14 46.87 46.60 46.34 46.08 45.83 45.58 15.016.0 49.54 49.23 48.93 48.63 48.34 48.06 47.78 47.51 47.25 46.99 16.017.0 51.23 50.89 50.56 50.24 49.93 49.62 49.32 49.03 48.75 48.47 17.018.0 53.10 52.72 52.35 52.00 51.65 51.32 51.00 50.68 50.37 50.08 18.019.0 55.24 54.80 54.38 53.97 53.58 53.21 52.84 52.49 52.15 51.83 19.020.0 57.90 57.33 56.80 56.30 55.83 55.38 54.96 54.55 54.16 53.78 20.021.0 62.25 61.05 60.14 59.38 58.70 58.10 57.54 57.02 56.54 56.08 21.022.0 62.86 61.49 60.53 59.74 59.06 22.0

M1 2.00 2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 M1

σmax 64.67 64.65 64.64 64.63 64.63 64.62 64.62 64.62 64.63 64.65 σmax

δmax 22.97 23.31 23.65 23.98 24.30 24.61 25.38 26.10 26.79 27.45 δmax

δ δ1.0 30.81 30.48 30.15 29.84 29.53 29.22 28.49 27.80 27.14 26.52 1.02.0 31.64 31.31 30.98 30.65 30.34 30.03 29.29 28.59 27.93 27.29 2.03.0 32.50 32.16 31.83 31.50 31.18 30.87 30.11 29.40 28.73 28.09 3.04.0 33.39 33.04 32.70 32.37 32.04 31.72 30.96 30.24 29.55 28.91 4.05.0 34.30 33.94 33.60 33.26 32.93 32.60 31.83 31.10 30.40 29.75 5.06.0 35.24 34.88 34.52 34.18 33.84 33.51 32.72 31.98 31.28 30.61 6.07.0 36.21 35.84 35.48 35.13 34.78 34.45 33.65 32.89 32.18 31.50 7.08.0 37.21 36.83 36.46 36.10 35.75 35.41 34.60 33.83 33.10 32.42 8.09.0 38.24 37.86 37.48 37.11 36.75 36.41 35.57 34.79 34.05 33.36 9.0

10.0 39.31 38.91 38.53 38.15 37.79 37.43 36.58 35.78 35.03 34.33 10.011.0 40.42 40.01 39.62 39.23 38.86 38.49 37.62 36.81 36.05 35.32 11.012.0 41.58 41.15 40.75 40.35 39.97 39.59 38.70 37.87 37.09 36.35 12.013.0 42.77 42.34 41.92 41.51 41.11 40.73 39.82 38.96 38.16 37.41 13.014.0 44.03 43.58 43.14 42.72 42.31 41.91 40.97 40.09 39.28 38.51 14.015.0 45.34 44.87 44.42 43.98 43.55 43.14 42.17 41.27 40.43 39.64 15.016.0 46.73 46.23 45.76 45.30 44.86 44.43 43.42 42.49 41.62 40.81 16.017.0 48.20 47.68 47.18 46.69 46.23 45.78 44.73 43.76 42.86 42.03 17.018.0 49.79 49.22 48.69 48.17 47.68 47.21 46.10 45.09 44.16 43.30 18.019.0 51.51 50.89 50.31 49.76 49.23 48.73 47.56 46.49 45.52 44.62 19.020.0 53.42 52.74 52.09 51.49 50.91 50.36 49.11 47.98 46.95 46.01 20.021.0 55.64 54.83 54.09 53.40 52.76 52.15 50.78 49.56 48.47 47.47 21.022.0 58.46 57.39 56.46 55.63 54.87 54.17 52.62 51.28 50.09 49.03 22.023.0 61.20 59.63 58.43 57.43 56.55 54.70 53.18 51.86 50.70 23.024.0 61.28 59.77 57.22 55.36 53.83 52.53 24.025.0 60.86 58.06 56.14 54.61 25.026.0 62.69 59.12 57.08 26.027.0 60.55 27.0

318 Appendice A

Tabella A.4 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione debole (γ = 1.4)M1 2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 M1

σmax 64.68 64.71 64.74 64.78 64.82 64.87 64.91 64.96 65.00 65.05 σmax

δmax 28.08 28.68 29.25 29.80 30.32 30.81 31.29 31.74 32.17 32.59 δmax

δ δ1.0 25.93 25.36 24.82 24.30 23.81 23.33 22.88 22.44 22.03 21.62 1.02.0 26.69 26.12 25.57 25.05 24.55 24.07 23.61 23.17 22.75 22.34 2.03.0 27.48 26.90 26.35 25.82 25.31 24.83 24.37 23.92 23.50 23.09 3.04.0 28.29 27.70 27.14 26.61 26.10 25.61 25.14 24.70 24.26 23.85 4.05.0 29.12 28.53 27.96 27.42 26.91 26.41 25.94 25.49 25.06 24.64 5.06.0 29.98 29.38 28.80 28.26 27.74 27.24 26.77 26.31 25.87 25.45 6.07.0 30.86 30.25 29.67 29.12 28.59 28.09 27.61 27.15 26.71 26.29 7.08.0 31.77 31.15 30.56 30.01 29.47 28.97 28.48 28.02 27.57 27.15 8.09.0 32.70 32.07 31.48 30.91 30.38 29.87 29.38 28.91 28.46 28.03 9.0

10.0 33.66 33.02 32.42 31.85 31.31 30.79 30.29 29.82 29.37 28.94 10.011.0 34.64 34.00 33.39 32.81 32.26 31.74 31.24 30.76 30.31 29.87 11.012.0 35.66 35.01 34.39 33.80 33.24 32.71 32.21 31.73 31.27 30.83 12.013.0 36.71 36.04 35.41 34.82 34.25 33.72 33.21 32.72 32.26 31.81 13.014.0 37.79 37.11 36.47 35.87 35.29 34.75 34.23 33.74 33.27 32.82 14.015.0 38.91 38.21 37.56 36.94 36.36 35.81 35.28 34.79 34.31 33.86 15.016.0 40.06 39.35 38.68 38.06 37.46 36.90 36.37 35.86 35.38 34.92 16.017.0 41.25 40.53 39.85 39.20 38.60 38.02 37.48 36.97 36.48 36.02 17.018.0 42.49 41.75 41.05 40.39 39.77 39.18 38.63 38.11 37.61 37.14 18.019.0 43.79 43.02 42.29 41.62 40.98 40.38 39.82 39.28 38.78 38.30 19.020.0 45.14 44.34 43.59 42.89 42.24 41.62 41.04 40.50 39.98 39.49 20.021.0 46.56 45.72 44.94 44.22 43.54 42.91 42.31 41.75 41.22 40.72 21.022.0 48.06 47.17 46.36 45.60 44.90 44.24 43.63 43.05 42.50 41.99 22.023.0 49.66 48.72 47.85 47.06 46.32 45.64 45.00 44.40 43.84 43.31 23.024.0 51.39 50.37 49.44 48.60 47.82 47.10 46.43 45.81 45.22 44.68 24.025.0 53.30 52.17 51.16 50.25 49.42 48.65 47.94 47.29 46.68 46.10 25.026.0 55.50 54.18 53.05 52.03 51.13 50.30 49.55 48.85 48.21 47.60 26.027.0 58.22 56.54 55.18 54.03 53.01 52.10 51.27 50.52 49.83 49.19 27.028.0 62.97 59.65 57.78 56.33 55.13 54.09 53.16 52.33 51.58 50.88 28.029.0 61.73 59.31 57.69 56.39 55.30 54.35 53.50 52.73 29.030.0 61.45 59.35 57.88 56.69 55.67 54.79 30.031.0 61.71 59.72 58.33 57.20 31.032.0 62.55 60.43 32.0

Appendice A 319

Tabella A.4 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione debole (γ = 1.4)M1 2.85 2.90 2.95 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 M1

σmax 65.10 65.15 65.19 65.24 65.47 65.69 65.88 66.06 66.21 66.35 σmax

δmax 32.98 33.36 33.73 34.07 35.61 36.87 37.91 38.77 39.51 40.13 δmax

δ δ1.0 21.24 20.86 20.50 20.16 18.59 17.27 16.12 15.13 14.26 13.49 1.02.0 21.95 21.58 21.22 20.87 19.29 17.96 16.81 15.81 14.94 14.16 2.03.0 22.69 22.32 21.95 21.60 20.02 18.67 17.52 16.52 15.64 14.87 3.04.0 23.45 23.07 22.71 22.35 20.76 19.41 18.26 17.26 16.38 15.60 4.05.0 24.24 23.86 23.49 23.13 21.53 20.18 19.02 18.02 17.14 16.37 5.06.0 25.05 24.67 24.29 23.93 22.33 20.97 19.81 18.81 17.94 17.17 6.07.0 25.89 25.50 25.12 24.76 23.14 21.79 20.63 19.63 18.75 17.99 7.08.0 26.74 26.35 25.97 25.61 23.99 22.63 21.47 20.47 19.60 18.84 8.09.0 27.62 27.23 26.85 26.48 24.86 23.49 22.34 21.34 20.48 19.72 9.0

10.0 28.53 28.13 27.75 27.38 25.75 24.38 23.23 22.23 21.37 20.62 10.011.0 29.45 29.05 28.67 28.30 26.66 25.30 24.14 23.15 22.30 21.55 11.012.0 30.41 30.01 29.62 29.25 27.60 26.23 25.08 24.09 23.24 22.50 12.013.0 31.39 30.98 30.59 30.22 28.57 27.20 26.04 25.06 24.22 23.48 13.014.0 32.39 31.99 31.59 31.22 29.56 28.18 27.03 26.05 25.21 24.48 14.015.0 33.43 33.01 32.62 32.24 30.57 29.19 28.04 27.06 26.23 25.50 15.016.0 34.49 34.07 33.67 33.29 31.61 30.22 29.07 28.10 27.27 26.55 16.017.0 35.57 35.15 34.75 34.36 32.67 31.28 30.13 29.16 28.33 27.61 17.018.0 36.69 36.26 35.86 35.47 33.76 32.36 31.21 30.24 29.41 28.70 18.019.0 37.84 37.41 36.99 36.60 34.87 33.47 32.31 31.34 30.51 29.81 19.020.0 39.03 38.58 38.16 37.76 36.01 34.60 33.44 32.46 31.64 30.93 20.021.0 40.25 39.79 39.37 38.96 37.19 35.76 34.59 33.61 32.79 32.08 21.022.0 41.50 41.04 40.61 40.19 38.39 36.95 35.77 34.79 33.96 33.26 22.023.0 42.81 42.33 41.89 41.46 39.63 38.16 36.97 35.98 35.15 34.45 23.024.0 44.16 43.67 43.21 42.78 40.90 39.41 38.20 37.21 36.37 35.67 24.025.0 45.57 45.06 44.59 44.14 42.21 40.69 39.47 38.46 37.62 36.91 25.026.0 47.04 46.51 46.02 45.55 43.56 42.01 40.76 39.74 38.89 38.17 26.027.0 48.59 48.04 47.52 47.03 44.97 43.37 42.09 41.05 40.19 39.47 27.028.0 50.25 49.65 49.10 48.59 46.43 44.77 43.46 42.40 41.52 40.79 28.029.0 52.03 51.38 50.79 50.24 47.95 46.23 44.88 43.79 42.89 42.15 29.030.0 53.99 53.27 52.62 52.01 49.56 47.75 46.35 45.22 44.30 43.54 30.031.0 56.24 55.40 54.64 53.96 51.28 49.35 47.88 46.71 45.76 44.97 31.032.0 59.04 57.93 57.00 56.18 53.14 51.05 49.48 48.26 47.27 46.45 32.033.0 61.57 60.05 58.91 55.21 52.88 51.19 49.88 48.84 47.99 33.034.0 63.67 57.62 54.89 53.01 51.61 50.50 49.60 34.035.0 60.81 57.19 55.02 53.46 52.26 51.30 35.036.0 60.09 57.31 55.50 54.15 53.10 36.037.0 60.17 57.84 56.26 55.07 37.038.0 60.83 58.72 57.29 38.039.0 62.06 59.98 39.040.0 64.34 40.0

320 Appendice A

Tabella A.4 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione debole (γ = 1.4)M1 4.75 5.00 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50 8.00 8.50 9.00 M1

σmax 66.48 66.58 66.77 66.91 67.03 67.13 67.21 67.28 67.33 67.38 σmax

δmax 40.66 41.12 41.86 42.44 42.89 43.25 43.55 43.79 43.99 44.16 δmax

δ δ1.0 12.80 12.18 11.11 10.23 9.49 8.85 8.30 7.82 7.39 7.02 1.02.0 13.47 12.85 11.79 10.91 10.16 9.53 8.98 8.50 8.08 7.71 2.03.0 14.18 13.56 12.50 11.62 10.88 10.25 9.71 9.24 8.82 8.46 3.04.0 14.92 14.30 13.24 12.37 11.64 11.02 10.48 10.02 9.61 9.25 4.05.0 15.69 15.07 14.02 13.16 12.44 11.82 11.30 10.85 10.45 10.10 5.06.0 16.48 15.88 14.84 13.98 13.27 12.67 12.16 11.71 11.33 10.99 6.07.0 17.31 16.71 15.68 14.84 14.14 13.55 13.05 12.62 12.25 11.92 7.08.0 18.17 17.57 16.55 15.73 15.04 14.46 13.98 13.56 13.20 12.88 8.09.0 19.05 18.46 17.46 16.64 15.97 15.41 14.93 14.53 14.18 13.88 9.0

10.0 19.96 19.38 18.39 17.59 16.93 16.38 15.92 15.53 15.19 14.90 10.011.0 20.90 20.32 19.34 18.56 17.91 17.38 16.93 16.55 16.23 15.95 11.012.0 21.85 21.28 20.32 19.55 18.92 18.40 17.97 17.60 17.28 17.01 12.013.0 22.84 22.27 21.33 20.57 19.96 19.45 19.02 18.67 18.36 18.10 13.014.0 23.85 23.29 22.35 21.61 21.01 20.51 20.10 19.76 19.46 19.21 14.015.0 24.87 24.32 23.40 22.67 22.08 21.60 21.20 20.86 20.58 20.33 15.016.0 25.92 25.38 24.47 23.75 23.17 22.70 22.31 21.98 21.71 21.47 16.017.0 26.99 26.45 25.56 24.85 24.28 23.82 23.44 23.12 22.85 22.62 17.018.0 28.08 27.55 26.66 25.97 25.41 24.96 24.58 24.27 24.01 23.79 18.019.0 29.20 28.66 27.79 27.10 26.55 26.11 25.74 25.44 25.18 24.96 19.020.0 30.33 29.80 28.93 28.25 27.71 27.28 26.92 26.62 26.37 26.15 20.021.0 31.48 30.95 30.09 29.42 28.89 28.46 28.10 27.81 27.57 27.36 21.022.0 32.65 32.13 31.28 30.61 30.08 29.66 29.31 29.02 28.78 28.58 22.023.0 33.85 33.33 32.47 31.81 31.29 30.87 30.53 30.24 30.01 29.80 23.024.0 35.06 34.54 33.69 33.04 32.52 32.10 31.76 31.48 31.24 31.05 24.025.0 36.30 35.78 34.93 34.28 33.76 33.35 33.01 32.73 32.50 32.30 25.026.0 37.56 37.04 36.19 35.54 35.02 34.61 34.27 34.00 33.77 33.57 26.027.0 38.85 38.32 37.47 36.82 36.30 35.89 35.56 35.28 35.05 34.86 27.028.0 40.17 39.63 38.77 38.12 37.60 37.19 36.86 36.58 36.35 36.16 28.029.0 41.51 40.97 40.10 39.44 38.92 38.51 38.18 37.90 37.67 37.48 29.030.0 42.89 42.34 41.46 40.79 40.27 39.85 39.52 39.24 39.01 38.82 30.031.0 44.31 43.75 42.85 42.17 41.64 41.22 40.88 40.60 40.37 40.18 31.032.0 45.77 45.20 44.28 43.58 43.05 42.62 42.28 41.99 41.76 41.57 32.033.0 47.28 46.69 45.74 45.03 44.48 44.05 43.70 43.41 43.18 42.98 33.034.0 48.86 48.24 47.26 46.52 45.96 45.51 45.16 44.86 44.62 44.42 34.035.0 50.51 49.86 48.83 48.06 47.48 47.02 46.65 46.35 46.11 45.90 35.036.0 52.26 51.56 50.47 49.67 49.06 48.58 48.20 47.89 47.63 47.42 36.037.0 54.14 53.37 52.21 51.35 50.71 50.21 49.81 49.48 49.22 49.00 37.038.0 56.21 55.35 54.06 53.14 52.44 51.91 51.49 51.15 50.86 50.63 38.039.0 58.60 57.57 56.09 55.06 54.30 53.72 53.26 52.90 52.60 52.35 39.040.0 61.71 60.26 58.40 57.19 56.32 55.67 55.17 54.77 54.44 54.17 40.041.0 64.66 61.28 59.68 58.62 57.86 57.27 56.82 56.45 56.15 41.042.0 63.10 61.48 60.45 59.71 59.15 58.71 58.36 42.043.0 64.28 62.95 62.10 61.48 61.00 43.044.0 65.14 44.0

Appendice A 321

Tabella A.4 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione debole (γ = 1.4)M1 9.50 10.00 10.50 11.00 11.50 12.00 12.50 13.00 13.50 14.00 M1

σmax 67.42 67.45 67.48 67.51 67.53 67.55 67.57 67.59 67.60 67.62 σmax

δmax 44.31 44.43 44.54 44.63 44.71 44.78 44.84 44.90 44.95 44.99 δmax

δ δ1.0 6.68 6.38 6.10 5.86 5.63 5.42 5.23 5.06 4.89 4.74 1.02.0 7.38 7.08 6.81 6.56 6.34 6.14 5.95 5.78 5.62 5.48 2.03.0 8.13 7.84 7.57 7.34 7.12 6.92 6.74 6.58 6.43 6.29 3.04.0 8.93 8.65 8.40 8.17 7.96 7.77 7.60 7.44 7.30 7.17 4.05.0 9.79 9.52 9.27 9.05 8.86 8.68 8.51 8.36 8.23 8.10 5.06.0 10.69 10.43 10.20 9.98 9.80 9.63 9.47 9.33 9.20 9.09 6.07.0 11.63 11.38 11.16 10.96 10.78 10.62 10.47 10.34 10.22 10.11 7.08.0 12.61 12.37 12.15 11.96 11.79 11.64 11.50 11.38 11.27 11.16 8.09.0 13.62 13.38 13.18 13.00 12.84 12.69 12.56 12.45 12.34 12.24 9.0

10.0 14.65 14.43 14.23 14.06 13.91 13.77 13.65 13.54 13.44 13.35 10.011.0 15.70 15.49 15.31 15.14 14.99 14.86 14.75 14.64 14.55 14.47 11.012.0 16.78 16.58 16.40 16.24 16.10 15.98 15.87 15.77 15.68 15.60 12.013.0 17.88 17.68 17.51 17.36 17.23 17.11 17.01 16.91 16.83 16.75 13.014.0 18.99 18.81 18.64 18.50 18.37 18.26 18.16 18.07 17.99 17.91 14.015.0 20.12 19.94 19.78 19.64 19.52 19.41 19.32 19.23 19.15 19.09 15.016.0 21.27 21.09 20.94 20.81 20.69 20.58 20.49 20.41 20.33 20.27 16.017.0 22.42 22.25 22.11 21.98 21.86 21.76 21.68 21.60 21.52 21.46 17.018.0 23.60 23.43 23.29 23.16 23.05 22.96 22.87 22.79 22.72 22.66 18.019.0 24.78 24.62 24.48 24.36 24.25 24.16 24.07 24.00 23.93 23.87 19.020.0 25.97 25.82 25.68 25.56 25.46 25.37 25.29 25.21 25.15 25.09 20.021.0 27.18 27.03 26.89 26.78 26.68 26.59 26.51 26.44 26.38 26.32 21.022.0 28.40 28.25 28.12 28.01 27.91 27.82 27.75 27.68 27.62 27.56 22.023.0 29.63 29.49 29.36 29.25 29.15 29.07 28.99 28.92 28.86 28.81 23.024.0 30.88 30.73 30.61 30.50 30.40 30.32 30.25 30.18 30.12 30.07 24.025.0 32.14 31.99 31.87 31.76 31.67 31.59 31.51 31.45 31.39 31.34 25.026.0 33.41 33.27 33.14 33.04 32.95 32.86 32.79 32.73 32.67 32.62 26.027.0 34.69 34.55 34.43 34.33 34.24 34.15 34.08 34.02 33.96 33.91 27.028.0 36.00 35.86 35.74 35.63 35.54 35.46 35.39 35.33 35.27 35.22 28.029.0 37.32 37.18 37.06 36.95 36.86 36.78 36.71 36.65 36.59 36.54 29.030.0 38.66 38.52 38.40 38.29 38.20 38.12 38.05 37.99 37.93 37.88 30.031.0 40.02 39.88 39.76 39.65 39.56 39.48 39.41 39.35 39.29 39.24 31.032.0 41.40 41.26 41.14 41.03 40.94 40.86 40.79 40.72 40.67 40.62 32.033.0 42.81 42.67 42.54 42.44 42.34 42.26 42.19 42.13 42.07 42.02 33.034.0 44.25 44.10 43.98 43.87 43.78 43.69 43.62 43.56 43.50 43.45 34.035.0 45.72 45.58 45.45 45.34 45.24 45.16 45.08 45.02 44.96 44.90 35.036.0 47.24 47.09 46.96 46.84 46.74 46.66 46.58 46.51 46.45 46.40 36.037.0 48.81 48.65 48.51 48.40 48.29 48.20 48.13 48.06 47.99 47.94 37.038.0 50.44 50.27 50.13 50.00 49.90 49.80 49.72 49.65 49.58 49.53 38.039.0 52.14 51.97 51.81 51.68 51.57 51.47 51.39 51.31 51.24 51.18 39.040.0 53.95 53.76 53.60 53.46 53.34 53.23 53.14 53.06 52.98 52.92 40.041.0 55.90 55.69 55.51 55.35 55.22 55.11 55.00 54.92 54.84 54.77 41.042.0 58.06 57.82 57.61 57.44 57.29 57.16 57.04 56.94 56.85 56.77 42.043.0 60.62 60.31 60.05 59.84 59.65 59.49 59.36 59.23 59.13 59.03 43.044.0 64.31 63.74 63.30 62.96 62.68 62.44 62.25 62.07 61.93 61.80 44.0

322 Appendice A

Tabella A.5 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione forte (γ = 1.4)M1 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 M1

σmax 85.36 83.49 82.08 80.93 79.94 79.06 78.27 77.56 76.90 σmax

δmax .05 .14 .26 .40 .56 .73 .91 1.10 1.30 δmax

δ δ.5 82.75 84.58 85.53 86.17 86.63 .5

1.0 80.86 82.57 1.0

M1 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 M1

σmax 76.30 75.73 75.21 74.72 74.26 73.82 73.41 73.02 72.66 72.31 σmax

δmax 1.52 1.73 1.96 2.19 2.43 2.67 2.92 3.17 3.42 3.68 δmax

δ δ.5 86.99 87.28 87.52 87.71 87.88 88.03 88.16 88.27 88.37 88.45 .5

1.0 83.58 84.30 84.85 85.30 85.67 85.98 86.26 86.49 86.69 86.88 1.01.5 77.47 80.37 81.65 82.54 83.22 83.77 84.22 84.61 84.94 85.24 1.52.0 78.69 80.18 81.17 81.93 82.54 83.05 83.48 2.02.5 77.43 79.03 80.09 80.89 81.54 2.53.0 76.50 78.13 79.21 3.0

75.81 3.5

M1 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 M1

σmax 71.98 71.66 71.36 71.07 70.80 70.54 70.29 70.05 69.82 69.60 σmax

δmax 3.94 4.21 4.47 4.74 5.01 5.29 5.56 5.83 6.11 6.39 δmax

δ δ.5 88.53 88.60 88.67 88.73 88.78 88.83 88.88 88.92 88.96 89.00 .5

1.0 87.04 87.19 87.32 87.44 87.55 87.65 87.75 87.83 87.91 87.99 1.01.5 85.50 85.73 85.94 86.13 86.30 86.45 86.59 86.73 86.85 86.96 1.52.0 83.86 84.19 84.49 84.75 84.99 85.21 85.41 85.59 85.76 85.91 2.02.5 82.08 82.54 82.95 83.31 83.63 83.92 84.18 84.42 84.64 84.84 2.53.0 80.03 80.70 81.26 81.74 82.17 82.54 82.89 83.19 83.47 83.72 3.03.5 77.42 78.49 79.32 79.99 80.56 81.06 81.49 81.88 82.23 82.55 3.54.0 75.31 76.84 77.89 78.71 79.39 79.96 80.46 80.90 81.29 4.04.5 74.93 76.38 77.39 78.20 78.86 79.43 79.93 4.55.0 71.71 74.64 75.99 76.97 77.75 78.40 5.05.5 72.13 74.40 75.66 76.60 5.56.0 72.28 74.19 6.0

M1 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 M1

σmax 69.40 69.19 69.00 68.82 68.64 68.47 68.31 68.15 68.00 67.85 σmax

δmax 6.66 6.94 7.22 7.49 7.77 8.05 8.33 8.60 8.88 9.15 δmax

δ δ.5 89.03 89.06 89.09 89.12 89.15 89.17 89.19 89.22 89.24 89.26 .5

1.0 88.05 88.12 88.18 88.23 88.29 88.34 88.38 88.43 88.47 88.51 1.01.5 87.06 87.16 87.25 87.34 87.42 87.50 87.57 87.63 87.70 87.76 1.52.0 86.06 86.19 86.32 86.43 86.54 86.64 86.74 86.83 86.92 87.00 2.02.5 85.02 85.20 85.36 85.51 85.65 85.78 85.90 86.02 86.13 86.23 2.53.0 83.95 84.17 84.37 84.55 84.73 84.89 85.04 85.18 85.32 85.44 3.03.5 82.83 83.10 83.34 83.57 83.78 83.98 84.16 84.33 84.49 84.64 3.54.0 81.65 81.97 82.27 82.54 82.79 83.03 83.25 83.45 83.64 83.82 4.04.5 80.37 80.77 81.13 81.46 81.76 82.04 82.30 82.54 82.76 82.97 4.55.0 78.97 79.46 79.90 80.30 80.66 80.99 81.30 81.58 81.84 82.08 5.05.5 77.35 78.00 78.55 79.04 79.48 79.88 80.24 80.57 80.87 81.16 5.56.0 75.37 76.27 77.01 77.63 78.18 78.66 79.09 79.49 79.85 80.18 6.06.5 72.34 74.01 75.12 75.98 76.69 77.30 77.84 78.31 78.74 79.13 6.57.0 72.35 73.85 74.89 75.72 76.40 77.00 77.52 77.99 7.07.5 72.34 73.70 74.68 75.47 76.14 76.72 7.58.0 70.02 72.30 73.56 74.49 75.25 8.08.5 70.37 72.25 73.42 8.59.0 70.55 9.0

Appendice A 323

Tabella A.5 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione forte (γ = 1.4)M1 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 M1

σmax 67.72 67.58 67.45 67.33 67.21 67.10 66.99 66.88 66.78 66.68 σmax

δmax 9.43 9.70 9.97 10.25 10.52 10.79 11.05 11.32 11.59 11.85 δmax

δ δ.5 89.27 89.29 89.31 89.33 89.34 89.36 89.37 89.38 89.40 89.41 .5

1.0 88.55 88.58 88.62 88.65 88.68 88.71 88.74 88.77 88.79 88.82 1.01.5 87.82 87.87 87.92 87.97 88.02 88.06 88.10 88.14 88.18 88.22 1.52.0 87.08 87.15 87.22 87.28 87.35 87.41 87.46 87.52 87.57 87.62 2.02.5 86.33 86.42 86.51 86.59 86.67 86.75 86.82 86.89 86.95 87.02 2.53.0 85.56 85.68 85.78 85.89 85.99 86.08 86.17 86.25 86.33 86.40 3.03.5 84.79 84.92 85.05 85.17 85.29 85.40 85.50 85.60 85.69 85.78 3.54.0 83.99 84.15 84.30 84.44 84.57 84.70 84.82 84.94 85.05 85.15 4.04.5 83.17 83.35 83.53 83.69 83.84 83.99 84.13 84.27 84.39 84.51 4.55.0 82.31 82.53 82.73 82.92 83.10 83.27 83.42 83.58 83.72 83.86 5.05.5 81.42 81.67 81.90 82.12 82.32 82.51 82.69 82.87 83.03 83.19 5.56.0 80.48 80.77 81.03 81.28 81.51 81.73 81.94 82.13 82.32 82.49 6.06.5 79.49 79.82 80.12 80.41 80.67 80.92 81.15 81.38 81.58 81.78 6.57.0 78.41 78.80 79.15 79.48 79.79 80.07 80.33 80.58 80.82 81.04 7.07.5 77.23 77.69 78.11 78.49 78.84 79.17 79.47 79.75 80.01 80.26 7.58.0 75.89 76.46 76.96 77.41 77.82 78.20 78.55 78.87 79.17 79.45 8.08.5 74.30 75.03 75.66 76.21 76.70 77.14 77.55 77.92 78.27 78.59 8.59.0 72.19 73.28 74.12 74.83 75.44 75.98 76.46 76.89 77.29 77.66 9.09.5 70.64 72.11 73.14 73.95 74.63 75.23 75.75 76.22 76.65 9.5

10.0 70.67 72.02 73.00 73.78 74.44 75.02 75.53 10.010.5 68.06 70.66 71.92 72.85 73.61 74.25 10.511.0 68.53 70.62 71.81 72.70 11.011.5 68.72 70.56 11.5

M1 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 M1

σmax 66.59 66.50 66.41 66.33 66.25 66.17 66.10 66.03 65.96 65.89 σmax

δmax 12.11 12.37 12.63 12.89 13.15 13.40 13.66 13.91 14.16 14.41 δmax

δ δ.5 89.42 89.43 89.44 89.45 89.46 89.47 89.48 89.49 89.50 89.51 .5

1.0 88.84 88.86 88.88 88.90 88.92 88.94 88.96 88.98 89.00 89.01 1.01.5 88.26 88.29 88.32 88.35 88.38 88.41 88.44 88.47 88.49 88.52 1.52.0 87.67 87.71 87.76 87.80 87.84 87.88 87.92 87.95 87.99 88.02 2.02.5 87.08 87.13 87.19 87.24 87.29 87.34 87.39 87.44 87.48 87.52 2.53.0 86.48 86.55 86.61 86.68 86.74 86.80 86.86 86.91 86.97 87.02 3.03.5 85.87 85.95 86.04 86.11 86.18 86.25 86.32 86.39 86.45 86.51 3.54.0 85.26 85.35 85.44 85.53 85.62 85.70 85.78 85.85 85.92 86.00 4.04.5 84.63 84.74 84.85 84.95 85.04 85.14 85.23 85.31 85.39 85.47 4.55.0 83.99 84.12 84.23 84.35 84.46 84.56 84.67 84.76 84.86 84.94 5.05.5 83.34 83.48 83.61 83.74 83.86 83.98 84.09 84.20 84.31 84.41 5.56.0 82.66 82.82 82.97 83.12 83.25 83.39 83.51 83.63 83.75 83.86 6.06.5 81.97 82.14 82.31 82.47 82.63 82.77 82.92 83.05 83.18 83.30 6.57.0 81.25 81.45 81.63 81.81 81.98 82.15 82.30 82.45 82.59 82.73 7.07.5 80.50 80.72 80.93 81.13 81.32 81.50 81.67 81.83 81.99 82.14 7.58.0 79.71 79.96 80.19 80.42 80.63 80.83 81.02 81.20 81.37 81.53 8.08.5 78.88 79.16 79.42 79.67 79.91 80.13 80.34 80.54 80.73 80.91 8.59.0 78.00 78.32 78.61 78.89 79.15 79.39 79.63 79.85 80.06 80.26 9.09.5 77.04 77.40 77.74 78.06 78.35 78.62 78.88 79.13 79.36 79.58 9.5

10.0 75.99 76.42 76.80 77.16 77.49 77.80 78.10 78.37 78.63 78.87 10.010.5 74.82 75.32 75.77 76.19 76.57 76.92 77.25 77.56 77.85 78.12 10.511.0 73.44 74.06 74.62 75.11 75.56 75.97 76.34 76.69 77.02 77.32 11.011.5 71.69 72.55 73.26 73.88 74.42 74.90 75.34 75.75 76.12 76.47 11.512.0 68.79 70.47 71.55 72.39 73.09 73.69 74.22 74.70 75.13 75.53 12.012.5 68.79 70.37 71.41 72.22 72.91 73.50 74.02 74.49 12.513.0 68.73 70.24 71.25 72.05 72.72 73.30 13.013.5 68.63 70.09 71.08 71.87 13.514.0 68.49 69.92 14.0

324 Appendice A

Tabella A.5 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione forte (γ = 1.4)M1 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 M1

σmax 65.83 65.77 65.71 65.65 65.60 65.55 65.50 65.45 65.40 65.36 σmax

δmax 14.65 14.90 15.14 15.38 15.62 15.86 16.09 16.32 16.55 16.78 δmax

δ δ1.0 89.03 89.05 89.06 89.08 89.09 89.10 89.12 89.13 89.14 89.15 1.02.0 88.05 88.09 88.12 88.15 88.17 88.20 88.23 88.25 88.28 88.30 2.03.0 87.07 87.11 87.16 87.20 87.25 87.29 87.33 87.37 87.41 87.44 3.04.0 86.06 86.13 86.19 86.25 86.31 86.36 86.42 86.47 86.52 86.57 4.05.0 85.03 85.11 85.19 85.27 85.35 85.42 85.49 85.56 85.62 85.68 5.06.0 83.97 84.07 84.17 84.27 84.36 84.45 84.53 84.62 84.70 84.77 6.07.0 82.86 82.99 83.11 83.22 83.33 83.44 83.54 83.64 83.74 83.83 7.08.0 81.69 81.84 81.99 82.13 82.26 82.39 82.51 82.63 82.75 82.86 8.09.0 80.45 80.63 80.80 80.97 81.13 81.28 81.43 81.57 81.71 81.84 9.0

10.0 79.10 79.32 79.53 79.73 79.92 80.10 80.28 80.44 80.60 80.76 10.011.0 77.61 77.88 78.14 78.38 78.61 78.83 79.03 79.23 79.42 79.60 11.012.0 75.90 76.24 76.56 76.86 77.14 77.41 77.66 77.91 78.13 78.35 12.013.0 73.82 74.29 74.71 75.10 75.46 75.80 76.12 76.41 76.69 76.95 13.014.0 70.89 71.67 72.33 72.90 73.41 73.86 74.28 74.67 75.02 75.36 14.015.0 68.06 69.50 70.48 71.25 71.90 72.47 72.97 73.42 15.016.0 67.38 68.97 69.98 70.77 16.0

M1 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 M1

σmax 65.32 65.28 65.24 65.20 65.17 65.13 65.10 65.07 65.04 65.01 σmax

δmax 17.01 17.24 17.46 17.68 17.90 18.12 18.34 18.55 18.76 18.97 δmax

δ δ1.0 89.16 89.18 89.19 89.20 89.21 89.22 89.23 89.24 89.25 89.26 1.02.0 88.33 88.35 88.37 88.39 88.41 88.43 88.45 88.47 88.49 88.51 2.03.0 87.48 87.51 87.55 87.58 87.61 87.64 87.67 87.70 87.73 87.75 3.04.0 86.62 86.67 86.71 86.76 86.80 86.84 86.88 86.92 86.96 86.99 4.05.0 85.74 85.80 85.86 85.92 85.97 86.03 86.08 86.13 86.17 86.22 5.06.0 84.85 84.92 84.99 85.06 85.13 85.19 85.25 85.31 85.37 85.43 6.07.0 83.92 84.01 84.10 84.18 84.26 84.33 84.41 84.48 84.55 84.62 7.08.0 82.97 83.07 83.17 83.27 83.36 83.45 83.54 83.62 83.71 83.79 8.09.0 81.96 82.09 82.20 82.32 82.43 82.53 82.63 82.73 82.83 82.93 9.0

10.0 80.91 81.05 81.19 81.32 81.45 81.57 81.69 81.80 81.92 82.02 10.011.0 79.78 79.94 80.11 80.26 80.41 80.55 80.69 80.82 80.95 81.08 11.012.0 78.56 78.75 78.94 79.12 79.30 79.47 79.63 79.78 79.93 80.08 12.013.0 77.20 77.44 77.67 77.89 78.09 78.29 78.48 78.66 78.83 79.00 13.014.0 75.67 75.96 76.24 76.50 76.75 76.99 77.21 77.43 77.63 77.83 14.015.0 73.84 74.22 74.58 74.91 75.22 75.51 75.79 76.05 76.30 76.53 15.016.0 71.43 72.00 72.50 72.96 73.37 73.76 74.11 74.44 74.76 75.05 16.017.0 66.00 68.28 69.38 70.21 70.89 71.48 71.99 72.46 72.88 73.26 17.018.0 67.27 68.63 69.55 70.27 70.89 18.0

M1 1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 M1

σmax 64.99 64.96 64.94 64.91 64.89 64.87 64.85 64.83 64.82 64.80 σmax

δmax 19.18 19.39 19.59 19.80 20.00 20.20 20.40 20.59 20.79 20.98 δmax

δ δ1.0 89.26 89.27 89.28 89.29 89.30 89.31 89.31 89.32 89.33 89.34 1.02.0 88.53 88.54 88.56 88.57 88.59 88.61 88.62 88.64 88.65 88.66 2.03.0 87.78 87.81 87.83 87.86 87.88 87.91 87.93 87.95 87.97 87.99 3.04.0 87.03 87.06 87.10 87.13 87.16 87.19 87.22 87.25 87.28 87.31 4.05.0 86.27 86.31 86.35 86.39 86.43 86.47 86.51 86.55 86.59 86.62 5.06.0 85.48 85.54 85.59 85.64 85.69 85.74 85.79 85.83 85.88 85.92 6.07.0 84.69 84.75 84.81 84.87 84.93 84.99 85.05 85.10 85.16 85.21 7.08.0 83.87 83.94 84.01 84.09 84.15 84.22 84.29 84.35 84.41 84.48 8.09.0 83.02 83.10 83.19 83.27 83.35 83.43 83.51 83.58 83.65 83.72 9.0

10.0 82.13 82.23 82.33 82.42 82.52 82.61 82.69 82.78 82.86 82.94 10.011.0 81.20 81.32 81.43 81.54 81.64 81.75 81.85 81.94 82.04 82.13 11.012.0 80.21 80.35 80.48 80.60 80.73 80.84 80.96 81.07 81.18 81.28 12.013.0 79.16 79.32 79.47 79.61 79.75 79.89 80.02 80.14 80.27 80.39 13.014.0 78.02 78.20 78.38 78.54 78.71 78.86 79.01 79.16 79.30 79.43 14.015.0 76.76 76.97 77.18 77.37 77.56 77.75 77.92 78.09 78.25 78.41 15.016.0 75.32 75.59 75.83 76.07 76.30 76.51 76.72 76.92 77.11 77.29 16.017.0 73.62 73.96 74.27 74.57 74.84 75.11 75.36 75.60 75.82 76.04 17.018.0 71.42 71.90 72.34 72.73 73.10 73.44 73.76 74.06 74.34 74.61 18.019.0 67.58 68.71 69.53 70.20 70.78 71.28 71.74 72.15 72.53 72.88 19.020.0 67.54 68.60 69.38 70.02 70.57 20.0

Appendice A 325

Tabella A.5 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione forte (γ = 1.4)M1 1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 M1

σmax 64.78 64.77 64.75 64.74 64.73 64.72 64.71 64.70 64.69 64.68 σmax

δmax 21.17 21.36 21.54 21.73 21.91 22.09 22.27 22.45 22.63 22.80 δmax

δ δ1.0 89.34 89.35 89.35 89.36 89.37 89.37 89.38 89.38 89.39 89.40 1.02.0 88.68 88.69 88.70 88.72 88.73 88.74 88.75 88.77 88.78 88.79 2.03.0 88.01 88.03 88.05 88.07 88.09 88.11 88.13 88.14 88.16 88.18 3.04.0 87.34 87.37 87.39 87.42 87.44 87.47 87.49 87.51 87.54 87.56 4.05.0 86.66 86.69 86.73 86.76 86.79 86.82 86.85 86.88 86.91 86.94 5.06.0 85.96 86.01 86.05 86.09 86.13 86.16 86.20 86.24 86.27 86.31 6.07.0 85.26 85.31 85.36 85.40 85.45 85.49 85.54 85.58 85.62 85.66 7.08.0 84.53 84.59 84.65 84.70 84.76 84.81 84.86 84.91 84.96 85.01 8.09.0 83.79 83.86 83.92 83.98 84.05 84.11 84.16 84.22 84.28 84.33 9.0

10.0 83.02 83.10 83.17 83.24 83.31 83.38 83.45 83.51 83.58 83.64 10.011.0 82.22 82.31 82.39 82.47 82.55 82.63 82.71 82.78 82.86 82.93 11.012.0 81.38 81.48 81.58 81.67 81.76 81.85 81.93 82.02 82.10 82.18 12.013.0 80.50 80.61 80.72 80.83 80.93 81.03 81.13 81.22 81.31 81.40 13.014.0 79.57 79.69 79.82 79.94 80.05 80.17 80.27 80.38 80.49 80.59 14.015.0 78.56 78.71 78.85 78.98 79.12 79.24 79.37 79.49 79.61 79.72 15.016.0 77.46 77.63 77.80 77.96 78.11 78.25 78.40 78.53 78.67 78.80 16.017.0 76.25 76.45 76.64 76.82 77.00 77.17 77.33 77.49 77.65 77.79 17.018.0 74.86 75.10 75.33 75.55 75.76 75.96 76.16 76.34 76.52 76.70 18.019.0 73.21 73.52 73.81 74.08 74.34 74.58 74.82 75.04 75.26 75.46 19.020.0 71.06 71.50 71.90 72.27 72.61 72.93 73.23 73.51 73.78 74.03 20.021.0 67.22 68.29 69.08 69.71 70.26 70.74 71.18 71.57 71.94 72.27 21.022.0 66.52 67.78 68.62 69.28 69.84 22.0

M1 2.00 2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 M1

σmax 64.67 64.65 64.64 64.63 64.63 64.62 64.62 64.62 64.63 64.65 σmax

δmax 22.97 23.31 23.65 23.98 24.30 24.61 25.38 26.10 26.79 27.45 δmax

δ δ1.0 89.40 89.41 89.42 89.43 89.44 89.45 89.47 89.49 89.50 89.52 1.02.0 88.80 88.82 88.84 88.86 88.88 88.90 88.94 88.97 89.01 89.04 2.03.0 88.19 88.22 88.25 88.28 88.31 88.34 88.40 88.46 88.51 88.56 3.04.0 87.58 87.62 87.67 87.70 87.74 87.78 87.86 87.94 88.01 88.07 4.05.0 86.97 87.02 87.07 87.12 87.17 87.21 87.32 87.41 87.50 87.58 5.06.0 86.34 86.41 86.47 86.53 86.58 86.64 86.77 86.88 86.99 87.09 6.07.0 85.70 85.78 85.85 85.92 85.99 86.06 86.21 86.35 86.47 86.58 7.08.0 85.05 85.14 85.23 85.31 85.39 85.46 85.64 85.80 85.94 86.08 8.09.0 84.39 84.49 84.59 84.68 84.77 84.86 85.06 85.24 85.40 85.56 9.0

10.0 83.70 83.82 83.93 84.04 84.14 84.24 84.46 84.67 84.86 85.03 10.011.0 82.99 83.13 83.25 83.37 83.49 83.60 83.85 84.09 84.29 84.48 11.012.0 82.26 82.41 82.55 82.68 82.81 82.94 83.23 83.48 83.72 83.93 12.013.0 81.49 81.66 81.82 81.97 82.11 82.25 82.57 82.86 83.12 83.36 13.014.0 80.68 80.87 81.05 81.22 81.38 81.54 81.90 82.22 82.50 82.76 14.015.0 79.83 80.04 80.25 80.44 80.62 80.79 81.19 81.54 81.86 82.15 15.016.0 78.92 79.16 79.39 79.60 79.81 80.00 80.44 80.84 81.19 81.51 16.017.0 77.94 78.21 78.47 78.71 78.94 79.16 79.66 80.10 80.49 80.84 17.018.0 76.86 77.18 77.47 77.75 78.01 78.26 78.82 79.31 79.74 80.13 18.019.0 75.66 76.03 76.37 76.69 76.99 77.28 77.91 78.47 78.95 79.38 19.020.0 74.27 74.72 75.13 75.51 75.86 76.19 76.92 77.55 78.10 78.58 20.021.0 72.59 73.17 73.68 74.15 74.57 74.96 75.82 76.54 77.17 77.72 21.022.0 70.33 71.17 71.88 72.49 73.03 73.52 74.56 75.42 76.14 76.77 22.023.0 67.93 69.28 70.26 71.05 71.72 73.07 74.12 74.99 75.72 23.024.0 67.79 69.10 71.16 72.56 73.64 74.51 24.025.0 68.14 70.48 71.97 73.09 25.026.0 66.48 69.63 71.26 26.027.0 68.46 27.0

326 Appendice A

Tabella A.5 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione forte (γ = 1.4)M1 2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 M1

σmax 64.68 64.71 64.74 64.78 64.82 64.87 64.91 64.96 65.00 65.05 σmax

δmax 28.08 28.68 29.25 29.80 30.32 30.81 31.29 31.74 32.17 32.59 δmax

δ δ1.0 89.53 89.55 89.56 89.57 89.58 89.59 89.60 89.61 89.62 89.63 1.02.0 89.07 89.09 89.12 89.14 89.16 89.18 89.20 89.22 89.23 89.25 2.03.0 88.60 88.64 88.68 88.71 88.74 88.77 88.80 88.83 88.85 88.87 3.04.0 88.13 88.18 88.23 88.28 88.32 88.36 88.40 88.43 88.46 88.49 4.05.0 87.65 87.72 87.79 87.84 87.90 87.94 87.99 88.03 88.07 88.11 5.06.0 87.17 87.26 87.33 87.40 87.46 87.52 87.58 87.63 87.68 87.73 6.07.0 86.69 86.78 86.87 86.95 87.03 87.10 87.17 87.23 87.28 87.34 7.08.0 86.20 86.31 86.41 86.50 86.59 86.67 86.75 86.82 86.88 86.94 8.09.0 85.69 85.82 85.94 86.05 86.14 86.24 86.32 86.40 86.48 86.55 9.0

10.0 85.18 85.32 85.46 85.58 85.69 85.79 85.89 85.98 86.06 86.14 10.011.0 84.66 84.82 84.96 85.10 85.22 85.34 85.45 85.55 85.64 85.73 11.012.0 84.12 84.30 84.46 84.61 84.75 84.88 85.00 85.11 85.21 85.31 12.013.0 83.57 83.77 83.95 84.11 84.27 84.41 84.54 84.66 84.77 84.88 13.014.0 83.00 83.22 83.42 83.60 83.77 83.92 84.07 84.20 84.32 84.44 14.015.0 82.41 82.65 82.87 83.07 83.25 83.42 83.58 83.73 83.86 83.99 15.016.0 81.80 82.06 82.30 82.52 82.72 82.91 83.08 83.24 83.39 83.53 16.017.0 81.16 81.44 81.71 81.95 82.17 82.37 82.56 82.73 82.90 83.05 17.018.0 80.48 80.80 81.09 81.35 81.59 81.82 82.02 82.21 82.39 82.55 18.019.0 79.77 80.12 80.44 80.73 80.99 81.23 81.46 81.66 81.86 82.03 19.020.0 79.02 79.40 79.75 80.07 80.36 80.63 80.87 81.09 81.30 81.50 20.021.0 78.20 78.63 79.02 79.37 79.69 79.98 80.25 80.50 80.72 80.93 21.022.0 77.32 77.80 78.24 78.63 78.98 79.30 79.59 79.86 80.11 80.34 22.023.0 76.34 76.90 77.38 77.82 78.21 78.57 78.89 79.19 79.46 79.71 23.024.0 75.25 75.89 76.45 76.94 77.38 77.78 78.14 78.47 78.77 79.04 24.025.0 73.99 74.74 75.40 75.96 76.47 76.91 77.32 77.68 78.02 78.33 25.026.0 72.45 73.40 74.19 74.86 75.44 75.96 76.41 76.83 77.20 77.54 26.027.0 70.41 71.72 72.73 73.56 74.26 74.87 75.40 75.87 76.30 76.69 27.028.0 66.33 69.29 70.83 71.95 72.85 73.59 74.23 74.79 75.28 75.73 28.029.0 67.58 69.68 71.00 72.01 72.82 73.51 74.11 74.63 29.030.0 67.97 69.78 70.98 71.91 72.68 73.33 30.031.0 67.89 69.63 70.78 71.68 31.032.0 67.32 69.21 32.0

Appendice A 327

Tabella A.5 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione forte (γ = 1.4)M1 2.85 2.90 2.95 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 M1

σmax 65.10 65.15 65.19 65.24 65.47 65.69 65.88 66.06 66.21 66.35 σmax

δmax 32.98 33.36 33.73 34.07 35.61 36.87 37.91 38.77 39.51 40.13 δmax

δ δ1.0 89.63 89.64 89.65 89.65 89.68 89.69 89.71 89.72 89.73 89.74 1.02.0 89.26 89.28 89.29 89.30 89.35 89.39 89.42 89.44 89.46 89.48 2.03.0 88.89 88.91 88.93 88.95 89.02 89.08 89.12 89.16 89.19 89.21 3.04.0 88.52 88.55 88.57 88.59 88.69 88.77 88.83 88.88 88.92 88.95 4.05.0 88.15 88.18 88.21 88.24 88.36 88.46 88.53 88.59 88.64 88.68 5.06.0 87.77 87.81 87.85 87.88 88.03 88.15 88.24 88.31 88.37 88.41 6.07.0 87.39 87.43 87.48 87.52 87.69 87.83 87.94 88.02 88.09 88.15 7.08.0 87.00 87.06 87.11 87.15 87.36 87.51 87.63 87.73 87.81 87.88 8.09.0 86.61 86.67 86.73 86.78 87.01 87.19 87.33 87.44 87.53 87.60 9.0

10.0 86.22 86.28 86.35 86.41 86.67 86.86 87.02 87.14 87.24 87.32 10.011.0 85.81 85.89 85.96 86.03 86.31 86.53 86.70 86.84 86.95 87.04 11.012.0 85.40 85.48 85.56 85.64 85.95 86.20 86.38 86.53 86.66 86.76 12.013.0 84.98 85.07 85.16 85.24 85.59 85.85 86.06 86.22 86.36 86.47 13.014.0 84.55 84.65 84.75 84.84 85.21 85.50 85.73 85.91 86.06 86.18 14.015.0 84.11 84.22 84.32 84.42 84.83 85.15 85.39 85.59 85.74 85.87 15.016.0 83.66 83.78 83.89 84.00 84.44 84.78 85.05 85.26 85.43 85.57 16.017.0 83.19 83.32 83.44 83.56 84.04 84.41 84.69 84.92 85.10 85.26 17.018.0 82.70 82.84 82.98 83.11 83.63 84.02 84.33 84.57 84.77 84.94 18.019.0 82.20 82.35 82.50 82.63 83.20 83.63 83.96 84.22 84.43 84.61 19.020.0 81.68 81.84 82.00 82.15 82.76 83.22 83.57 83.85 84.08 84.27 20.021.0 81.13 81.31 81.48 81.64 82.30 82.79 83.18 83.48 83.72 83.92 21.022.0 80.55 80.75 80.93 81.11 81.82 82.35 82.76 83.09 83.35 83.56 22.023.0 79.94 80.16 80.36 80.55 81.32 81.89 82.33 82.68 82.96 83.19 23.024.0 79.30 79.53 79.75 79.96 80.79 81.41 81.89 82.26 82.56 82.81 24.025.0 78.61 78.86 79.10 79.33 80.24 80.91 81.42 81.82 82.14 82.40 25.026.0 77.86 78.14 78.41 78.65 79.65 80.38 80.93 81.36 81.70 81.99 26.027.0 77.04 77.36 77.65 77.92 79.02 79.81 80.41 80.87 81.24 81.55 27.028.0 76.13 76.49 76.82 77.13 78.34 79.21 79.86 80.36 80.76 81.08 28.029.0 75.10 75.52 75.90 76.24 77.60 78.56 79.27 79.81 80.25 80.60 29.030.0 73.89 74.39 74.84 75.24 76.79 77.85 78.63 79.23 79.70 80.08 30.031.0 72.41 73.04 73.59 74.07 75.87 77.07 77.94 78.60 79.11 79.52 31.032.0 70.39 71.29 72.02 72.64 74.83 76.21 77.18 77.91 78.47 78.92 32.033.0 68.44 69.76 70.71 73.58 75.22 76.33 77.15 77.78 78.27 33.034.0 66.75 71.99 74.05 75.36 76.30 77.00 77.56 34.035.0 69.63 72.59 74.22 75.32 76.13 76.76 35.036.0 70.54 72.79 74.16 75.12 75.85 36.037.0 70.80 72.70 73.91 74.78 37.038.0 70.60 72.35 73.47 38.039.0 69.91 71.70 39.040.0 68.25 40.0

328 Appendice A

Tabella A.5 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione forte (γ = 1.4)M1 4.75 5.00 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50 8.00 8.50 9.00 M1

σmax 66.48 66.58 66.77 66.91 67.03 67.13 67.21 67.28 67.33 67.38 σmax

δmax 40.66 41.12 41.86 42.44 42.89 43.25 43.55 43.79 43.99 44.16 δmax

δ δ1.0 89.74 89.75 89.76 89.77 89.77 89.78 89.78 89.78 89.78 89.79 1.02.0 89.49 89.50 89.52 89.53 89.54 89.55 89.56 89.56 89.57 89.57 2.03.0 89.23 89.25 89.28 89.30 89.31 89.33 89.34 89.34 89.35 89.36 3.04.0 88.97 89.00 89.03 89.06 89.08 89.10 89.11 89.12 89.13 89.14 4.05.0 88.72 88.74 88.79 88.83 88.85 88.87 88.89 88.90 88.91 88.92 5.06.0 88.46 88.49 88.54 88.58 88.62 88.64 88.66 88.68 88.69 88.70 6.07.0 88.19 88.23 88.30 88.34 88.38 88.41 88.43 88.45 88.47 88.48 7.08.0 87.93 87.98 88.05 88.10 88.15 88.18 88.21 88.23 88.25 88.26 8.09.0 87.66 87.71 87.80 87.86 87.91 87.95 87.98 88.00 88.02 88.04 9.0

10.0 87.39 87.45 87.54 87.61 87.67 87.71 87.74 87.77 87.79 87.81 10.011.0 87.12 87.18 87.29 87.36 87.42 87.47 87.51 87.54 87.56 87.58 11.012.0 86.84 86.91 87.03 87.11 87.18 87.23 87.27 87.30 87.33 87.35 12.013.0 86.56 86.64 86.76 86.85 86.92 86.98 87.03 87.06 87.09 87.12 13.014.0 86.28 86.36 86.49 86.59 86.67 86.73 86.78 86.82 86.85 86.88 14.015.0 85.98 86.08 86.22 86.33 86.41 86.48 86.53 86.57 86.61 86.64 15.016.0 85.69 85.78 85.94 86.06 86.15 86.22 86.28 86.32 86.36 86.39 16.017.0 85.38 85.49 85.66 85.78 85.88 85.96 86.02 86.07 86.11 86.14 17.018.0 85.07 85.19 85.37 85.50 85.61 85.69 85.75 85.81 85.85 85.89 18.019.0 84.75 84.87 85.07 85.21 85.32 85.41 85.48 85.54 85.59 85.62 19.020.0 84.43 84.56 84.76 84.92 85.04 85.13 85.20 85.27 85.32 85.36 20.021.0 84.09 84.23 84.45 84.62 84.74 84.84 84.92 84.99 85.04 85.08 21.022.0 83.74 83.89 84.13 84.30 84.44 84.54 84.63 84.70 84.75 84.80 22.023.0 83.38 83.54 83.79 83.98 84.13 84.24 84.33 84.40 84.46 84.51 23.024.0 83.01 83.18 83.45 83.65 83.80 83.92 84.02 84.10 84.16 84.21 24.025.0 82.62 82.80 83.09 83.31 83.47 83.60 83.70 83.78 83.85 83.90 25.026.0 82.22 82.41 82.72 82.95 83.12 83.26 83.36 83.45 83.52 83.59 26.027.0 81.79 82.00 82.33 82.57 82.76 82.90 83.02 83.11 83.19 83.25 27.028.0 81.35 81.57 81.92 82.18 82.38 82.53 82.66 82.76 82.84 82.91 28.029.0 80.88 81.12 81.50 81.77 81.98 82.15 82.28 82.39 82.47 82.54 29.030.0 80.39 80.64 81.05 81.34 81.57 81.74 81.88 82.00 82.09 82.17 30.031.0 79.86 80.13 80.57 80.89 81.13 81.32 81.47 81.59 81.69 81.77 31.032.0 79.29 79.59 80.06 80.40 80.66 80.86 81.02 81.15 81.26 81.35 32.033.0 78.67 79.00 79.51 79.88 80.17 80.38 80.56 80.69 80.81 80.90 33.034.0 78.00 78.36 78.92 79.33 79.63 79.87 80.05 80.20 80.33 80.43 34.035.0 77.25 77.66 78.28 78.72 79.05 79.31 79.51 79.68 79.81 79.92 35.036.0 76.42 76.87 77.56 78.06 78.42 78.71 78.93 79.10 79.25 79.37 36.037.0 75.45 75.98 76.76 77.31 77.72 78.04 78.28 78.48 78.64 78.77 37.038.0 74.29 74.93 75.84 76.48 76.94 77.29 77.56 77.78 77.96 78.10 38.039.0 72.82 73.63 74.75 75.50 76.04 76.44 76.75 77.00 77.20 77.36 39.040.0 70.63 71.87 73.38 74.32 74.97 75.45 75.81 76.10 76.33 76.51 40.041.0 68.41 71.44 72.77 73.63 74.23 74.67 75.02 75.29 75.52 41.042.0 70.30 71.73 72.60 73.20 73.66 74.01 74.29 42.043.0 69.73 70.94 71.68 72.21 72.62 43.044.0 69.46 44.0

Appendice A 329

Tabella A.5 - Angolo σ dell’urto obliquo - Soluzione forte (γ = 1.4)M1 9.50 10.00 10.50 11.00 11.50 12.00 12.50 13.00 13.50 14.00 M1

σmax 67.42 67.45 67.48 67.51 67.53 67.55 67.57 67.59 67.60 67.62 σmax

δmax 44.31 44.43 44.54 44.63 44.71 44.78 44.84 44.90 44.95 44.99 δmax

δ δ1.0 89.79 89.79 89.79 89.79 89.79 89.79 89.79 89.79 89.79 89.79 1.02.0 89.57 89.58 89.58 89.58 89.58 89.58 89.58 89.59 89.59 89.59 2.03.0 89.36 89.36 89.37 89.37 89.37 89.38 89.38 89.38 89.38 89.38 3.04.0 89.14 89.15 89.15 89.16 89.16 89.16 89.17 89.17 89.17 89.17 4.05.0 88.93 88.94 88.94 88.95 88.95 88.95 88.96 88.96 88.96 88.97 5.06.0 88.71 88.72 88.73 88.73 88.74 88.74 88.75 88.75 88.75 88.76 6.07.0 88.49 88.50 88.51 88.52 88.52 88.53 88.53 88.54 88.54 88.54 7.08.0 88.27 88.28 88.29 88.30 88.31 88.31 88.32 88.32 88.33 88.33 8.09.0 88.05 88.06 88.07 88.08 88.09 88.10 88.10 88.11 88.11 88.12 9.0

10.0 87.83 87.84 87.85 87.86 87.87 87.88 87.89 87.89 87.90 87.90 10.011.0 87.60 87.62 87.63 87.64 87.65 87.66 87.67 87.67 87.68 87.68 11.012.0 87.37 87.39 87.40 87.41 87.42 87.43 87.44 87.45 87.46 87.46 12.013.0 87.14 87.16 87.17 87.19 87.20 87.21 87.22 87.22 87.23 87.24 13.014.0 86.90 86.92 86.94 86.95 86.97 86.98 86.99 87.00 87.00 87.01 14.015.0 86.66 86.68 86.70 86.72 86.73 86.74 86.75 86.76 86.77 86.78 15.016.0 86.42 86.44 86.46 86.48 86.49 86.51 86.52 86.53 86.54 86.55 16.017.0 86.17 86.20 86.22 86.24 86.25 86.27 86.28 86.29 86.30 86.31 17.018.0 85.92 85.94 85.97 85.99 86.00 86.02 86.03 86.04 86.05 86.06 18.019.0 85.66 85.69 85.71 85.73 85.75 85.76 85.78 85.79 85.80 85.81 19.020.0 85.39 85.42 85.45 85.47 85.49 85.51 85.52 85.53 85.55 85.56 20.021.0 85.12 85.15 85.18 85.20 85.22 85.24 85.26 85.27 85.28 85.30 21.022.0 84.84 84.88 84.90 84.93 84.95 84.97 84.99 85.00 85.02 85.03 22.023.0 84.55 84.59 84.62 84.65 84.67 84.69 84.71 84.73 84.74 84.75 23.024.0 84.26 84.30 84.33 84.36 84.38 84.40 84.42 84.44 84.46 84.47 24.025.0 83.95 83.99 84.03 84.06 84.08 84.11 84.13 84.15 84.16 84.18 25.026.0 83.64 83.68 83.72 83.75 83.78 83.80 83.82 83.84 83.86 83.87 26.027.0 83.31 83.35 83.39 83.43 83.46 83.48 83.50 83.52 83.54 83.56 27.028.0 82.96 83.01 83.06 83.09 83.12 83.15 83.18 83.20 83.22 83.23 28.029.0 82.61 82.66 82.70 82.74 82.77 82.80 82.83 82.85 82.87 82.89 29.030.0 82.23 82.29 82.33 82.38 82.41 82.44 82.47 82.49 82.52 82.53 30.031.0 81.84 81.90 81.95 81.99 82.03 82.06 82.09 82.12 82.14 82.16 31.032.0 81.42 81.49 81.54 81.59 81.63 81.66 81.69 81.72 81.75 81.77 32.033.0 80.98 81.05 81.11 81.16 81.20 81.24 81.27 81.30 81.33 81.35 33.034.0 80.51 80.59 80.65 80.70 80.75 80.79 80.83 80.86 80.89 80.91 34.035.0 80.01 80.09 80.16 80.22 80.27 80.31 80.35 80.38 80.41 80.44 35.036.0 79.47 79.56 79.63 79.69 79.74 79.79 79.83 79.87 79.90 79.93 36.037.0 78.88 78.97 79.05 79.12 79.18 79.23 79.28 79.32 79.35 79.38 37.038.0 78.23 78.33 78.42 78.49 78.56 78.61 78.67 78.71 78.75 78.78 38.039.0 77.50 77.61 77.71 77.80 77.87 77.93 77.99 78.04 78.08 78.12 39.040.0 76.67 76.80 76.91 77.01 77.09 77.16 77.22 77.28 77.33 77.37 40.041.0 75.70 75.85 75.98 76.09 76.19 76.27 76.34 76.41 76.46 76.51 41.042.0 74.51 74.70 74.86 74.99 75.11 75.21 75.29 75.37 75.44 75.50 42.043.0 72.93 73.19 73.40 73.58 73.73 73.86 73.97 74.06 74.15 74.23 43.044.0 70.23 70.75 71.14 71.44 71.69 71.90 72.07 72.22 72.34 72.45 44.0