LC.ENG.REL.18.00 Relazione di verifica aerodinamica della ...
Complementi di Aerodinamica Versione...
46
Complementi di Aerodinamica Versione Comprensibile
Transcript of Complementi di Aerodinamica Versione...
Complementi di AerodinamicaVersione Comprensibile
1
Indice
1 Discorsi introduttivi 41.1 Propagazione dei disturbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Fenomeni non stazionari 62.1 Avviamento impulsivo di un profilo 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Teorema di Bernoulli non stazionario per fluidi in regime comprimibile . 62.3 Equazione per il potenziale non stazionario comprimibile . . . . . . . . . 82.4 Teoria del potenziale per il caso comprimibile . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Profili sottili 123.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Teoria classica dei profili sottili (Belan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Soluzione usando variabili reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Caso non stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Profilo sottile in moto armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 L’equazione di Laplace in tre dimensioni 204.1 Considerazioni sul moto a potenziale in due e tre dimensioni . . . . . . . 204.2 Considerazioni sulla scia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Formule di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Distribuzioni superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Metodi di soluzione dell’equazione di Laplace 265.1 Metodo a pannelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Discretizzazione delle equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Filamenti vorticosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4 Ala portante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Aerodinamica delle alte incidenze 316.1 Ala a delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2 Separazione 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 Aerodinamica ambientale 337.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Il modello standard di atmosfera, ICAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.3 L’equilibrio aerostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.4 Excerpt by Landau, Fluid Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2
7.4.1 Idrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.4.2 La condizione di assenza di convezione . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.5 Fenomeni di instabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.6 Configurazioni orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.7 Modello di vento geostrofico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.8 Effetto suolo, instabilita baroclina e scontro dei fronti . . . . . . . . . . . 427.9 Il modello completo di atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.10 Teoria di similitudine dello strato limite atmosferico . . . . . . . . . . . . 45
3
Capitolo 1
Discorsi introduttivi
1.1 Propagazione dei disturbi
Consideriamo una lastra che e libera di muoversi in un modo qualsivoglia nel piano. Perprima cosa vediamo cosa succede se si varia la sua velocita verticale di δv. Ipotizziamoche lo stato iniziale sia: v = 0, p = p0, ρ = ρ0; mentre quello finale: v = δv, p = p0 + δp,ρ = ρ0 + δρ, con v = [u, v, w]T . Supponiamo inoltre trascurabili gli effetti di attrito,percio s = cost. Le equazioni del moto dei fluidi si scrivono come
∂ρ
∂t+
∂
∂y(ρv) = 0
∂v
∂t+ v
∂v
∂y= −1
ρ
dp
dy
che si possono particolarizzare al caso in esame
∂
∂t(δρ) + ρ0
∂
∂y(δv) = 0
∂
∂t(δv) +
1
ρ0
d
dy(δp) = 0
siccome il termine convettivo e trascurabile. Dal momento che s = cost, allora pρ−γ =cost, quindi si puo scrivere la velocita del suono c0 come
c20 =
(∂p
∂ρ
)
s=cost
pertanto linearizzandoδp = c2
0δρ
e sostituendo nelle equazioni
∂
∂t(δρ) + ρ0
∂
∂y(δv) = 0
∂
∂t(δv) +
c20
ρ0
d
dy(δρ) = 0
4
§1 Complementi 5
Si puo ora differenziare in modo incrociato le due equazioni,
∂2
∂t2(δρ) + ρ0
∂
∂y∂t(δv) = 0
∂
∂t∂y(δv) +
c20
ρ0
∂2
∂y2(δρ) = 0
sostituendo la prima nella seconda si ottiene
∂2
∂t2(δρ)− c2
0
∂2
∂y2(δρ) = 0
ovvero¤c0 δρ = 0 (1.1)
che e l’equazione delle onde. Le soluzioni di questa equazione sono del tipo
f(y − c0t) + g(y + c0t) = F
e rappresentano distribuzioni spaziali che si spostano nel fluido col passare del tempocon velocita c0.
Consideriamo ora una perturbazione alle condizioni iniziali della lamina in direzioneorizzontale. Questo e il primo problema di Stokes, ed e un problema di diffusione. Simostra che non esiste una velocita di propagazione, ma v →∞. Si introduce allora unospessore convenzionale δ che e la profondita di penetrazione, in questo modo riesco adefinire una velocita di diffusione pari a
vd ∝ dδ
dt∝
√ν
t=
√ν U∞
x
infine si definisce1
Rex =U∞vd
=
√U∞ x
ν
1δ =√
νt
Capitolo 2
Fenomeni non stazionari
2.1 Avviamento impulsivo di un profilo 2D
In un ambito a potenziale stazionario la resistenza e identicamente nulla. Questo cessadi essere vero se si considerano fenomeni non stazionari. Ad esempio si puo considerarel’avviamento impulsivo di un profilo 2D. Il vortice di avviamento che al tempo t dista rdal profilo, induce una velocita verso il basso pari a
w =Γ
2π r
che fa variare l’angolo di incidenza e quindi porta alla nascita di una componente dellaforza aerodinamica nella direzione del moto, cioe la resistenza. Possiamo dire che
D ∼ Lw
U∞=
ρU∞Γ
U∞
Γ
2π r=
ρΓ2
2π r
da cui risulta chiaro che se r → ∞, allora D → 0, visto che ci si riconduce al casostazionario. Il lavoro fatto dalla resistenza risulta
LD =
∫ r2
r1
Ddr =
∫ r2
r1
ρΓ2
2π rdr =
ρΓ2
2πln
r2
r1
mentre l’energia cinetica associata al vortice portante e
K =
∫ r2
r1
2π r1
2ρv2
t dr = πρ
∫ r2
r1
(ρΓ
2π r
)2
dr =ρΓ2
4πln
r2
r1
da cui si deduce che l’energia cinetica associata al vortice portante, che e uguale a quelladel vortice di avviamento, e meta del lavoro della resistenza. Questo e abbastanza ovvio,il profilo dovra compiere contro la resistenza un determinato lavoro, meta del qualecontribuira al vortice portante, l’altra parte sara invece lavoro perso.
2.2 Teorema di Bernoulli non stazionario per fluidi in regime comprimibile
Le equazioni del moto dei fluidi si possono scrivere come
Dρ
Dt= 0
Dv
Dt= −1
ρ∇p
6
§2 Complementi 7
facendo l’ipotesi di moto irrotazionale. Le equazioni sopra scritte devono essere affiancateda un’equazione di stato, che puo essere ρ = cost, oppure s = cost. Siccome inoltre∇× v = 0, allora v = ∇Φ. Utilizzando la nota relazione vettoriale
v · ∇v = ∇|v|2
2+ (∇× v)× v
si riesce a scrivere che∂v
∂t+∇|v|
2
2= −1
ρ∇p
ed essendo v = ∇Φ∂∇Φ
∂t+∇|∇Φ|2
2+
1
ρ∇p = 0
ma si puo porre1
1
ρ∇p = ∇
∫ p
pref
dp
ρ
pertanto
∇(
∂Φ
∂t+|v|22
+
∫ p
pref
dp
ρ
)= 0
cioe∂Φ
∂t+|v|22
+
∫ p
p∞
dp
ρ= E(t) (2.1)
dove E(t) e il livello energetico della corrente e p∞ e la pressione della corrente indistur-bata. Nella regione indisturbata inoltre
E∞ =U2∞2
che non cambia nel tempo se le condizioni a monte non variano.Nel caso in cui la densita e costante allora
∂Φ
∂t+|v|22
+p
ρ= cost = E∗(t) =
U2∞2
+p∞ρ
(2.2)
invece per entropia costante, siccome pρ−γ = cost si riesce facilmente a risolvere l’inte-grale ed arrivare all’equazione della pressione di Lord Kelvin
∂Φ
∂t+|v|2 − U2
∞2
+γ
γ − 1
p∞ρ∞
[(p
p∞
) γ−1γ
− 1
]= cost = 0 (2.3)
con questa si puo scrivere anche che
Cp =p− p∞12ρ∞ U2∞
=2
γ M2∞
(p
p∞
)=
2
γ M2∞
[1 +
γ − 1
2M2∞
(1− |v|2 + 2∂Φ
∂t
U2∞
)] γγ−1
− 1
(2.4)
1questo e vero o se la densita non varia o in forma piu generale se il fluido e barotropico, ovvero sel’entropia e costante.
§2 Complementi 8
2.3 Equazione per il potenziale non stazionario comprimibile
Per l’equazione di continuita
∇ · (ρv) = ρ∇ · v + v · ∇ρ =
= ρ4Φ + v · ∇ρ = −∂ρ
∂t
e dividendo per ρ
4Φ +v
ρ· ∇ρ = −1
ρ
∂ρ
∂t
possiamo riconoscere tre contributi distinti
4Φ︸︷︷︸1
+v
ρ· ∇ρ
︸ ︷︷ ︸2
+1
ρ
∂ρ
∂t︸︷︷︸3
= 0
in particolare il 2 e il 3 sono propri dei regimi non stazionari e comprimibili. Per ilsecondo termine so che2
∇(
∂Φ
∂t+|v|22
)= −∇p
ρ= −c2∇ρ
ρ
se ora moltiplico scalarmente per v
v · ∇(
∂Φ
∂t+|v|22
)= −c2v · ∇ρ
ρ
quindi
v · ∇ρ
ρ= − 1
c2v · ∇
(∂Φ
∂t+|v|22
)
= − 1
c2
(v · ∂∇Φ
∂t+ v · ∇|v|
2
2
)
= − 1
c2
(∂
∂t
( |v2|2
)+ v · ∇|v|
2
2
)
Per il terzo termine, derivando l’equazione di Bernoulli, supponendo E = cost
∂
∂t
(∂Φ
∂t+|v|22
)= − ∂
∂t
∫ p
p∞
dp
ρ
= −1
ρ
∂p
∂t
= −c2
ρ
∂ρ
∂t
pertanto si perviene alla
4Φ− 1
c2
[∂2Φ
∂t2+
∂|v|2∂t
+ v · ∇|v|2
2
]= 0 (2.5)
2si vedano i passaggi per il teorema di Bernoulli
§2 Complementi 9
che per c → ∞ e quindi, accessoriamente, densita costante porta alla nota 4Φ = 0.L’equazione scritta e non lineare, linearizziamola per piccole perturbazioni. Poniamoquindi che
v = v∞ +∇ϕ,∂ϕ
∂xi
¿ |v∞|, Φ = v∞ · x + ϕ = U∞ x + ϕ, c = c∞
da queste
4ϕ− 1
c2∞
[∂2ϕ
∂t2+ 2U∞
∂2ϕ
∂x∂t+ U2
∞∂2ϕ
∂x2
]= 0
e
Cp = − 2
U∞
∂ϕ
∂x− 2
U2∞
∂ϕ
∂t
Applichiamo ora all’equazione linearizzata la trasformazione di coordinate
X = x− U∞ t
Y = y
Z = z
T = t
che porta ϕ(x, y, z, t) → φ(X,Y, Z, T ). L’equazione per il potenziale diviene
4φ− 1
c2∞
∂2φ
∂T 2= 0
ovvero¤c∞ φ = 0 (2.6)
questa e l’equazione della propagazione dei disturbi acustici.
2.4 Teoria del potenziale per il caso comprimibile
Vediamo ora di derivare un equazione per il potenziale per un moto qualsiasi, stazionario.Le equazioni di Eulero si scrivono
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y+ w
∂u
∂z= −1
ρ
∂p
∂x= −c2
ρ
∂ρ
∂x
u∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ w
∂v
∂z= −c2
ρ
∂ρ
∂y
u∂w
∂x+ v
∂w
∂y+ w
∂w
∂z= −c2
ρ
∂ρ
∂z
§2 Complementi 10
moltiplico per u, v, w, entrambi i membri, mi ricordo che ∇×v = 0 e sommo le equazionirisultanti
−c2
ρ
(u
∂ρ
∂x+ v
∂ρ
∂y+ w
∂ρ
∂z
)=u2∂u
∂x+ 2uv
∂u
∂y+ 2uw
∂u
∂w+
v2 ∂v
∂y+ 2vw
∂v
∂z+ w2∂w
∂z
per l’equazione di continuita, essendo nulla la derivata in tempo,
ρ∇ · v + v · ∇ρ = 0
cosıc2
ρ(v · ∇ρ) = −c2∇ · v = c2
(∂u
∂x+
∂v
∂y+
∂w
∂z
)
che non e altro che il primo membro dell’equazione precedente. Sostituendo
(u2 − c2)∂u
∂x+ 2uv
∂u
∂y+ 2uw
∂u
∂w+ (v2 − c2)
∂v
∂y+ 2vw
∂v
∂z+ (w2 − c2)
∂w
∂z= 0
che per il caso bidimensionale si riduce a(
u2
c2− 1
)∂2Φ
∂x2+ 2
uv
c2
∂2Φ
∂y∂x+
(v2
c2− 1
)∂2Φ
∂y2= 0 (2.7)
che possiamo linearizzare considerando che solo le velocita orizzontali sono significative,
(M2∞ − 1
) ∂2ϕ
∂x2− ∂2ϕ
∂y2= 0
o nel caso tridimensionale,
(M2∞ − 1
) ∂2ϕ
∂x2− ∂2ϕ
∂y2− ∂2ϕ
∂z2= 0
Queste equazioni cambiano natura al passare di M∞ da minore di 1 a maggiore di uno,passando da ellittiche ad iperboliche. Per M∞ = 1 non e piu possibile trascurare lederivate di ordine superiore in x, visto che la derivata seconda diviene nulla. Si pervienea (
M2∞ − 1
) ∂2ϕ
∂x2− ∂2ϕ
∂y2− ∂2ϕ
∂z2+ 2
M2∞
U∞
∂ϕ
∂x
∂2ϕ
∂x2= 0
che non verra analizzata in questa sede. Se si opera ora un cambio di coordinate secondoPrandtl - Glauert per il caso subsonico
xM =x√
1−M2∞,
∂2
∂x2M
=1
1−M2∞
∂2
∂x2
yM = y
zM = z
§2 Complementi 11
si arriva a trovare da risolvere
−4φ(xM , yM , zM) = 0
Possiamo riguardare allora l’effetto della comprimibilita come una variazione della topolo-gia dello spazio. In particolare il corpo subisce uno stiramento nella direzione lungo laquale avviene il moto. Questo non e molto diverso da quello che avviene con la teoriadella relativita speciale. Per quanto riguarda il Cp per prima si ha che
Cp = − 2
U∞
∂φ
∂xM
− 2
U2∞
∂φ
∂t=
2
U∞
∂φ
∂xM
= − 2
U∞
1√1−M2∞
∂ϕ
∂x
che puo venir approssimato secondo Prandtl - Glauert come
CCp =
CIp√
1−M2∞
dove gli apici stanno per comprimibile o incomprimibile, oppure secondo Karman - Tsien
CCp =
CIp√
1−M2∞ +CI
p
2M2∞
1+√
1−M2∞
Queste relazioni valgono sino a che non si hanno onde d’urto e il termine che si eratrascurato con le derivate miste diviene importante.
Capitolo 3
Profili sottili
3.1 Introduzione
In un contesto di piccole perturbazioni riesco a scomporre il caso generale in
1. una distribuzione di spessore
2. una linea media curva
3. una lamina piana
4. un moto non stazionario
il tutto poi proiettato sulla corda. Questa scomposizione permette di linearizzare ilpotenziale
Φ = φ1︸︷︷︸sorgenti/doppiette
+ φ2 + φ3︸ ︷︷ ︸vortici
+ φ4(t)︸ ︷︷ ︸?
Facciamo un richiamo per il caso stazionario.
3.2 Teoria classica dei profili sottili (Belan)
Sia il profilo, immaginato come linea media, fisso nel piano con corda sull’intervallo[0, c]. Sia inoltre la corrente inclinata di un angolo α piccolo. La linea media puo venirrappresentata tramite la sua derivata
y′(x) = α +v
U∞pertanto
y′(x)− α =v
U∞= −=u+
U∞dove u+ e la velocita sul bordo superiore del profilo e u+ ≈ u− ≈ u. Pensando laperturbazione come una distribuzione di vortici β(s) sull’intervallo [0, c], allora
y′(x)− α = −=uU∞
= −=
i
2π
∫ c
0
β(s)
x− sds
U∞
= − 1
2π U∞
∫ c
0
β(s)
x− sds
12
§3 Complementi 13
che e reale perche i vortici non sono sulla linea media. Tra l’altro la condizione al contornodi vn = 0 la applichero alla corda. Quindi
y′(x)− α = − 1
2π U∞
∫ c
0
β(s)
x− sds (3.1)
Pretendiamo ora di risolvere il problema inverso, ovvero data la portanza quale deveessere la linea media? La portanza e la risultante di due distribuzioni di pressioni, p+(x)e p−(x) sul dorso e sul ventre. Queste portano a due distribuzioni di velocita u+(x) eu−(x) per le quali, essendo il profilo sottile,
u+(x) = u−(x)
quindiβ(x) = 2u+(x)
percio si puo scrivere che
y′(x)− α = − 1
2π U∞
∫ c
0
2u+(s)
x− sds
ma il secondo membro e noto, e lo chiameremo F (x). Pertanto integrando
∫ x
0
(y′(x)− α)ds =
∫ x
0
F (x)ds
y(x) = αx +
∫ x
0
F (x)ds
= αx + G(x)
ma per le condizioni al contorno y(0) = 0 e y(c) = 0,
0 = αc + G(c)
ovvero
α = −G(c)
c
e quindi, finalmente
y(x) = −G(c)
cx + G(x)
Veniamo ora al problema diretto, dove data la linea media si cerca di calcolare laportanza. Quello che cerco e in sostanza β(x), che e legata alla linea media dalla
y′(x)− α = − 1
2π U∞
∫ c
0
β(s)
x− sds
questa e un’equazione integrale singolare nota come equazione di Fredholm di primaspecie perche l’incognita e solamente sotto il segno di integrale. Si puo risolvere persviluppo in serie, ed e stata risolta da Prandtl e da Sobingen i cui risultati portano a
u± = ±g(ζ)
2π i
∫ c
0
β(s)
x− sds
§3 Complementi 14
con
g(ζ) = i
√c− ζ
ζ
e
β(x) = 2U∞
√x
c− x(y′(x)− α) (3.2)
quindi
u(ζ) = ±U∞π
√c− ζ
ζ
∫ c
0
(√s
c− s
y′(s)− α
ζ − s
)ds
Γ =
∫ c
0
β(s)ds = 2U∞
∫ c
0
(√s
c− s(y′(s)− α)
)ds
L = −ρU∞Γ
ora, per la condizione di Kutta, g(c) = 0, pero bisogna anche garantire che sia |u(0)| < ∞,questo deve essere fatto, siccome g(0) →∞, imponendo che
limζ→0
∫ c
0
(√s
c− s
y′(s)− α
ζ − s
)ds → 0
cioe ∫ c
0
(√s
c− s
α− y′(s)s
)ds = 0
sviluppando
α
∫ c
0
√s
c− s
ds
s︸ ︷︷ ︸π
−∫ c
0
√s
c− s
y′(s)s
ds = 0
ovvero
αi =1
π
∫ c
0
√s
c− s
y′(s)s
ds (3.3)
dove αi e l’angolo di incidenza ideale o angolo di Theodorsen.Per il cL si ha che
cL =L
12ρU2∞c
= −4
c
∫ c
0
(√s
c− s(y′(s)− α)
)ds =
=4α
c
∫ c
0
√s
c− sds
︸ ︷︷ ︸π2
c
−4
c
∫ c
0
√s
c− sy′(s) ds =
= 2π α− 2π
[2
π c
∫ c
0
√s
c− sy′(s) ds
]
︸ ︷︷ ︸α0
quindicL = 2π(α− α0)
§3 Complementi 15
con
α0 =2
π c
∫ c
0
√s
c− sy′(s) ds (3.4)
angolo di portanza nulla.Infine per il cm si puo partire dalla definizione di momento aerodinamico calcolato
nel polo c,dmc = b dfy
quindi
dmc = (c− s) (−2ρU2∞)
√s
c− s(y′(s)− α)ds =
= 2ρU2∞
√s(c− s) (y′(s)− α)ds
cioe
mc = 2ρU2∞
∫ c
0
√s(c− s) (y′(s)− α)ds
cosı in perfetta analogia con prima,
cm =mc
12ρU2∞c2
=4
c2
∫ c
0
√s(c− s) (y′(s)− α)ds =
= −4α
c2
∫ c
0
√s(c− s) ds
︸ ︷︷ ︸π8
c2
+4
c2
∫ c
0
√s(c− s) y′(s) ds =
= −π
2α +
π
2
[8
π c2
∫ c
0
√s(c− s) y′(s) ds
]
︸ ︷︷ ︸αm
quindi
cm = −π
2(α− αm)
con
αm =8
π c2
∫ c
0
√s(c− s) y′(s) ds (3.5)
angolo di momento nullo.Ora per la legge del trasporto
mx = m + fy x
quindi
cmx = −π
2(α− αm) + 2π(α− α0)
x
4=
= −π
2α +
π
2αm + 2πα
x
c− 2πα0
x
c=
= 2πα
(x
c− 1
c
)− π
2(4α
x
c− αm)
§3 Complementi 16
se x = c/4 ci si trova nel centro aerodinamico, rispetto al quale il coefficiente di momentonon dipende dal braccio, ma vale sempre
cmca = −π
2(α− αm)
Si puo dire ancora qualche cosa. Riportiamo i valori degli angoli caratteristici cheabbiamo trovato.
αi =1
π
∫ c
0
√s
c− s
y′(s)s
ds
α0 =2
π c
∫ c
0
√s
c− sy′(s) ds
αm =8
π c2
∫ c
0
√s(c− s) y′(s) ds
questi si possono riscrivere nella forma
αn = Cn
∫ c
0
fn(s) y′(s) ds (3.6)
con fn(s) funzioni di forma. Queste determinano l’importanza delle pendenze del nasoo della coda per il valore dei coefficienti aerodinamici.
3.3 Soluzione usando variabili reali
Una soluzione meno elegante puo venir trovata usando solo variabili reali e impostandoil problema come cercare un potenziale ϕ : R2 → R che soddisfi alle
−4ϕ = 0
vn = U∞ (y′(x)− α)
ϕ → 0, per r →∞La soluzione puo essere trovata discretizzando il campo di moto a mezzo di una dis-tribuzione di vortici γ(ξ)1
dΓ = γ(ξ)dξ
con ξ ∈ [0, c]. In questo contesto, per il potenziale di perturbazione vale che
ϕ(x, y) = − 1
2π
∫ c
0
γ(ξ) arctan
y
x− ξ
dξ
cosı per le velocita,
u(x, y) =∂ϕ
∂x=
1
2π
∫ c
0
γ(ξ)y
(x− ξ)2 + y2dξ
v(x, y) =∂ϕ
∂y= − 1
2π
∫ c
0
γ(ξ)x− ξ
(x− ξ)2 + y2dξ
1La nomenclatura cambia un poco, ma spero di non creare troppa confusione.
§3 Complementi 17
imponendo la condizione per y → 0 si ricava che
limy→0
∂ϕ
∂y= − 1
2π
∫ c
0
γ(ξ)dξ
(x− ξ)= U∞ (y′(x)− α)
e accessoriamente che
limy→0
∂ϕ
∂x= ±γ(x)
2, ovvero ∆u(x) = γ(x)
la soluzione della prima e data, ancora una volta dalla formula di Prandtl - Sobingen(1939)
γ(x) =2U∞π
√c− x
x
∫ c
0
√ξ
c− ξ
y′(x)− α
(x− ξ)dξ =
= 2U∞
√c− x
x(−y′(x) + α)
che e l’opposto, per come si sono definiti, di β(x).(? controllare).Per lamina piana
γ(x) = 2U∞ α
√c− x
x
quindi
CP = − 2
U∞
∂ϕ
∂x= − 2u
U∞= ∓γ(x)
2
cioe
∆CP (x) = 2γ(x)
U∞da cui discendono le seguenti,
∆p(x) =1
2ρU2
∞ ∆CP = ρU∞ γ(x) teorema di Kutta Joukosky
L =
∫ c
0
∆p(x) dx = ρU∞
∫ c
0
γ(x) dx = ρU∞ Γ portanza
v(x) = − 1
2π ρ U∞
∫ c
0
∆p(ξ)dξ
x− ξdownwash
3.4 Caso non stazionario
Addentriamoci ora nel caso non stazionario. Per esso non sara sufficiente considerareuna distribuzione di vorticita sul profilo ma si dovra considerare anche quella emessanella scia che si estende fino a c + U∞ t. Sia γ = γ(x, t) la distribuzione di vorticita sulprofilo, o meglio in corda, i.e. x ∈ [0, c], mentre ε = ε(x, t) quella in scia. La velocitaindotta sulla corda dalla somma delle sue distribuzioni sara
v(x, 0, t) = − 1
2π
∫ c
0
γ(ξ, t)
x− ξdξ − 1
2π
∫ c+U∞ t
c
ε(ξ, t)
x− ξdξ
§3 Complementi 18
dove anche U∞ = U∞(t).Dal momento che le incognite del problema sono diventate due, γ e ε, abbiamo bisogno
di due equazioni per determinare. Queste sono la condizione di non penetrazione dellavelocita e la conservazione della circolazione. Per il teorema di Kelvin si ha infatti che
ε(x, t) = − 1
U∞
(dΓ
dτ
)
τ=t−x−cU∞
in particolare per x = c si ha
ε(x = c, t) = − 1
U∞
(dΓ
dt
)
la scia quindi introduce una dipendenza dal tempo che l’equazione di Laplace non aveva,questo e un esempio di effetto memoria.
La risoluzione dell’equazione, che puo simpaticamente venir scritta come
v(x, 0, t) = U∞ (y′(x)− α(t))
con
v(x, 0, t) = − 1
2π
∫ c
0
γ(ξ, t)
x− ξdξ +
1
2π
∫ c+U∞ t
c
1
U∞
[d
dτ
(∫ c
0
γ(σ, τ)dσ
)]
τ=t− ξ−cU∞
1
x− ξdξ
conduce dopo qualche passaggio per il caso di partenza impulsiva all’introduzione dellafunzione di Wagner (1925)
w(τ) = 1−∫ +∞
0
exp(−2τσ)
[K0(σ)−K1(σ)]2 + π2[I0(σ) + I1(σ)]2dσ
σ2
con In e Kn le note funzioni di Bessel di prima e seconda specie. Si riesce a mostrare che
w(τ) =L(τ)
L(t →∞)=
L(τ)12ρU2∞ c 2π sin(α)
Utili in molti casi sono approssimazioni della funzione di Wagner, per esempio Garrickpone
w(τ) = 1− 1
2 + τ
oppure Jones :
w(τ) = 1− 0.165 exp(−0.091τ)− 0.335 exp(−0.6τ)
Applicazioni a queste funzioni sono i problemi che hanno a che fare con una vari-azione improvvisa del vettore velocita, come ad esempio raffiche verticali. In questospecifico caso, Kussner ha sviluppato una teoria e una sua funzione che tiene ancheconto dell’ingresso graduale in una generica raffica.
§3 Complementi 19
3.5 Profilo sottile in moto armonico
Questo tipo di problema e tipo dell’aeroelasticita; sia la pulsazione ω, si introduce ilnumero di Strouhal o pulsazione ridotta pari a
ω∗ =ωc
U∞
la frequenza ridotta e invece definita da
k =ωc
2U∞
in generale si dira che
y(x, t) = y(x) exp(iω t)
γ(x, t) = γ(x) exp(iω t)
ε(x, t) = ε(x) exp(iω t)
e che
v(x) = − 1
ρU∞
∫ c
0
∆p(ξ)K(x, ξ, ω)︸ ︷︷ ︸Kernel
dξ
La soluzione andra ricercate ponendo x = c(1 + cos θ)/2 e sviluppando in serie
v(θ) = U∞
(P0 + 2
∞∑n=1
Pn cos(nθ)
)
dove
Pn =1
π
∫ π
0
v(θ)
U∞dθ
allo stesso modo
γ(θ) = −U∞
(2A0 tan
θ
2+ 4
∞∑n=1
Ansin(nθ)
n
)
dove per Kussner
A0 =1 + T (ω∗)
2(P0 + P1)− P1, An =
iω∗
4Pn−1 + nPn − iω∗
4Pn+1
Theodorsen pone inoltre cheL = c(ω∗)Lstaz + Lnc
con
c(ω∗) =1 + T (ω∗)
2
e dove nc sta per la parte non circolatoria, cioe quella associata alle cosiddette massevirtuali.
Capitolo 4
L’equazione di Laplace in tredimensioni
4.1 Considerazioni sul moto a potenziale in due e tre dimensioni
In tre dimensioni il dominio all’esterno di un corpo e semplicemente connesso, la cir-colazione lungo un cammino chiuso essendo valido il teorema di Stokes e zero. Questosignifica che il potenziale Φ e funzione monodroma dello spazio.
In due dimensioni questo non vale piu, perche il dominio non e semplicemente con-nesso. Si puo comunque dire che le circolazione attorno ai cammini che non contengonoil corpo, cioe riducibili, e sempre zero. Lungo cammini non riducibili la circolazione ediversa da zero pur essendo sempre la stessa per ogni cammino di questo tipo. Φ e perciofunzione polidroma dello spazio.
Teorema di Kelvin: in una corrente ideale di fluido incomprimibile soggetto a forzedi massa conservative la variazione della circolazione associata ad un circuito chiuso chesi muove con il fluido e nulla. Ovvero:
DΓ
Dt= 0 (4.1)
Questo e vero anche se il fluido e comprimibile ma barotropico. In presenza di regionirotazionali in cui ω 6= 0 il teorema di Kelvin e ancora valido purche valgano le equazionidi Eulero nel cammino scelto. Cio permette di giustificare la nascita di circolazioneattorno ad un corpo bidimensionale.
Scia: luogo geometrico delle particelle fluide venute a contatto con la superficie delcorpo. La scia in generale comporta una discontinuita del potenziale, ∆Φ 6= 0 pari allacircolazione lungo un cammino che interseca la scia.
Percio per un moto 2D:
• Φ non e univocamente determinato, occorre trovare Γ attraverso la condizione diKutta.
• e possibile spiegare la nascita di un Γ 6= 0.
Per un moto 3D:
• Φ e univocamente determinato, Γ = 0 attraverso la condizione di Kutta.
• per rappresentare corpi portanti, con Γ 6= 0, bisogna introdurre vorticita nel campodi moto attraverso una scia. (Moto quasi-potenziale).
20
§4 Complementi 21
4.2 Considerazioni sulla scia
Scia: superficie di spessore infinitesimo che diviene parte del contorno del dominio.Le condizioni al contorno per la scia si determinano dai bilanci di massa e quantita
di moto. (∂Φ
∂n
)+
=
(∂Φ
∂n
)−(4.2)
cioe la componente normale della velocita e continua, ovvero
p+ = p− (4.3)
quindi la superficie della scia non e una superficie materiale, non e in grado di sopportaresforzi normali. Applicando inoltre Bernoulli sui due lati della scia
∂Φ+
∂t+∇Φ+ · ∇Φ+
2+
p+
ρ=
∂Φ−
∂t+∇Φ− · ∇Φ−
2+
p−
ρ
con le condizioni gia trovate e definendo
vM =∇Φ+ +∇Φ−
2, ∆Φ = Φ+ − Φ−
si ottiene∂∆Φ
∂t+ vM · ∇∆Φ = 0
ovveroD∆Φ
Dt= 0 (4.4)
resta costante il salto di potenziale associato ad una particella fluido che si muove convM .
Scia: superficie vorticosa costituita da una distribuzione continua di filamenti vorti-cosi inseriti in un campo irrotazionale.
Possiamo definire un’intensita superficiale di vorticita come
γ(ξ, η) = limε→0
∫ +ε/2
−ε/2
ω(ξ, η, ζ) dζ
in modo che il flusso di ω attraverso la sezione sia la circolazione Γ.Nel caso 2D γ = γ(ξ) rappresenta una vorticita per unita di lunghezza ed e legata
alla circolazione
Γ =
∫ c
0
γdξ
si puo porre
γ = v+t − v−t =
∂∆Φ
∂ξ
Nel caso 2D stazionario, la circolazione attorno a qualsiasi cammino chiuso che contieneil corpo e la stessa, Γ = ∆Φ. Cio significa che γ = 0 sulla scia e il campo di velocitae continuo. Inoltre la condizione di uguaglianza delle pressioni in questo caso e sem-pre verificata, cio comporta che la scia e una semplice barriera di geometria arbitraria,tracciata per rendere monodromo il potenziale.
§4 Complementi 22
Nel caso 3D la discontinuita della velocita potra avvenire sia lungo le direzionitangenti alla scia, x, y. Introdotto l’operatore
∇τ ≡ ı∂
∂x+
∂
∂y
si scrive∆v = ∇τ∆Φ
γ e perpendicolare a ∆v e tangente la scia, detto n il versore normale
γ = n×∆v
γ e diretto come la velocita tangenziale media.
4.3 Formule di Green
Sia G(r, r0) una generica funzione. Moltiplicando tale funzione per l’equazione di Laplacee integrando nel volume
−∫
VG 4Φ dV = 0
integrando per parti con il teorema della divergenza si arriva alla
−∫
V4G Φ dV +
∫
S(Φ∇G − G ∇Φ ) · n dS = 0
imponendo che4G = δ(r − r0)
si ha
Φ(r0) =
∫
S(Φ∇G − G ∇Φ ) · n dS (4.5)
Nel caso 3D,
G = − 1
4π
1
|r − r0|si ha
Φ(r0) =1
4π
∫
S
( ∇Φ
|r − r0| − Φ∇(
1
|r − r0|))
· n dS (4.6)
Inoltre, date due generiche funzioni scalari f1 e f2 posso sempre costruire il vettoref = f1∇f2 − f2∇f1 e applicare il teorema della divergenza a tale vettore
∫
S(f1∇f2 − f2∇f1) · n dS =
∫
V(f14f2 − f24f1) dV (4.7)
che si chiama seconda identita di Green. Poniamo ora f1 = 1/(|x − x0|) = 1/r ef2 = Φ. Volendo applicare l’identita di Green a queste funzioni devo stare attentoperche l’integrale diviene singolare, percio
∫
S∞+SB+SW
(1
r∇Φ− Φ∇1
r
)· n dS +
∫
SP
(1
r∇Φ− Φ∇1
r
)· n dS = 0
§4 Complementi 23
L’integrale singolare puo venir scritto considerando la superficie un intorno tridimension-ale del punto P, singolare, n e dunque il versore radiale, percio
∫
SP
(1
r∇Φ− Φ∇1
r
)· n dS = −
∫
SP
(1
r
∂
∂rΦ +
Φ
r2
)dS
integrando
∫
SP
(1
r
∂
∂rΦ +
Φ
r2
)dS = lim
r→0
(1
r
∂
∂rΦ +
Φ
r2
)4π r2 =
= 4πΦP
cosı
Φ(x0) =1
4π
∫
S
(1
r∇Φ− Φ∇1
r
)· n dS (4.8)
che e identica a quella prima trovata in altra via. Questo procedimento pero consente ditrovare anche il potenziale per un punto P che si trova sul corpo. Tenendo conto che lasfera che include il punto diviene una semisfera,
Φ(x0 ∈ SB) =1
2π
∫
S
(1
r∇Φ− Φ∇1
r
)· n dS (4.9)
Per dare continuita alla trattazione posso considerare come dominio di interesse quellointerno al corpo. In tale caso valutiamo l’identita di Green per il potenziale interno Φi
e per 1/r. Ogni punto P appartiene all’esterno del corpo per cui non ci sono contributisingolari ∫
SB
(1
r∇Φi − Φi∇1
r
)· n dS = 0
sottraendo tale contributo a quello del potenziale esterno si ottiene
Φ(x0) =1
4π
∫
SB
(1
r∇(Φ− Φi)− (Φ− Φi)∇1
r
)· n dS+
1
4π
∫
SW
(1
r∇Φ− Φ∇1
r
)· n dS + Φ∞(x0)
con
Φ∞(x0) =1
4π
∫
S∞
(1
r∇Φ− Φ∇1
r
)· n dS
che vale zero per fluido fermo e corpo in movimento o v∞ · x0 per corpo fermo e fluidoin movimento. Per le condizioni sulla scia si ha che
1
4π
∫
SW
(1
r∇Φ− Φ∇1
r
)· n dS = − 1
4π
∫
SW
(Φ∇1
r
)· n dS
Possiamo a questo punto definire
−µ ≡ Φ− Φi, −µW ≡ Φ+ − Φ−, −σ ≡ ∂Φ
∂n− ∂Φi
∂n
§4 Complementi 24
in cui µ e σ rappresentano distribuzioni superficiali di doppiette e sorgenti. Si riescequindi a scrivere
Φ(x0) =− 1
4π
∫
SB
(σ
1
r− µ∇1
r· n
)dS+
1
4π
∫
SW
(µW∇1
r· n
)dS + Φ∞(x0)
4.4 Distribuzioni superficiali
Sorgenti. Per esse vale che
Φ(x0) = − 1
4π
∫
S
(σ
1
r
)dS
con σ = σ(x, y) e r =√
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 + z20 . La componente della velocita in
direzione normale e
w =∂
∂z0
Φ(x0) = − 1
4π
∫
Sσ
∂
∂z0
(1√
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 + z20
)dS =
1
4π
∫
S
(σ
z
r3
)dS
il valore di w per z → 0± e
w(x, y, 0±) = ±σ(x, y)
2
da cui scende che ∆w = σ.
Doppiette.Per esse vale che
Φ(x0) = − 1
4π
∫
S
(µ
z
r3
)dS
Φ(x, y, 0±) = ∓µ(x, y)
2
ovvero ∆Φ = −µ. Pertanto
u(x, y, 0±) = ∓1
2
∂µ(x, y)
∂x
v(x, y, 0±) = ∓1
2
∂µ(x, y)
∂y
e sono in generale discontinue. Se indichiamo con vτ = uvT allora
∆vτ = −∇τ∆Φ
Equivalenza di doppiette e vortici. Ci si deve aspettare una stretta relazione tradoppiette e vortici perche producono linee di corrente simili. Sappiamo inoltre che
γ = n×∆v = n×∇τ∆Φ = −n×∇τµ
§4 Complementi 25
Una distribuzione superficiale uniforme di doppiette equivale ad un anello vorticoso, vor-tex ring, chiuso, definito dai lati del pannello, con circolazione Γ = µ.
Infatti si ha che se µ = costante,
Φ(x0) = − µ
4π
∫
S
( z
r3
)dS
la velocita corrispondente vale
∇0Φ = − µ
4π
∫
S∇0
( z
r3
)dS =
= − µ
4π
∫
S
[ı
∂
∂x0
(z0
r3
)+
∂
∂y0
(z0
r3
)+ κ
(1
r3− 3z2
0
r5
)]dS
osservando che le derivate parziali rispetto a x0 e y0 sono le opposte di quelle rispettoalle coordinate senza pedici,
v(x0) =µ
4π
∫
S
[ı
∂
∂x
(z0
r3
)+
∂
∂y
(z0
r3
)− κ
(1
r3− 3z2
0
r5
)]dS
Per l’anello vorticoso, di intensita Γ si ha per la legge di Biot-Savart,
v(x0) =Γ
4π
∮
`
d`× r
r3
sviluppando
v(x0) =Γ
4π
∮
`
[ız0
r3dy −
z0
r3dx + κ
(y0 − y
r3dx− x0 − x
r3dy
)]
dal teorema di Stokes che pone∮
`
Axdx + Aydy = −∫
S
(∂Ax
∂y− ∂Ay
∂x
)dS
si ottiene
v(x0) =Γ
4π
∫
S
[ı
∂
∂x
(z0
r3
)+
∂
∂y
(z0
r3
)− κ
(− ∂
∂y
y0 − y
r3− ∂
∂x
x0 − x
r3
)]dS
infine
v(x0) =Γ
4π
∫
S
[ı
∂
∂x
(z0
r3
)+
∂
∂y
(z0
r3
)− κ
(1
r3− 3z2
0
r5
)]dS
che e quello che si voleva mostrare.
Una distribuzione superficiale non uniforme di doppiette equivale ad un foglio vorticoso,vortex sheet, chiuso, definito dai lati del pannello
Questo caso non si dimostrera.
Capitolo 5
Metodi di soluzione dell’equazionedi Laplace
5.1 Metodo a pannelli
Ricordo che
Φ(x0) =− 1
4π
∫
SB
(σ
1
r− µ∇1
r· n
)dS+
1
4π
∫
SW
(µW∇1
r· n
)dS + Φ∞(x0)
per risolvere tale equazioni ci si affida ad un metodo di collocazione, imponendo inpunti stabiliti le condizioni al contorno. Ora la condizione all’infinito e automaticamentesoddisfatta per il comportamento di sorgenti e vortici. La condizione di velocita normalecontinua da una parte all’altra della scia e gia soddisfatta perche si usano solo doppiette.Bisogna pero soddisfare
∇Φ · n = 0, sul corpo
∆p = 0, sulla scia
tramite la scelta delle distribuzioni di singolarita superficiali e la determinazione dellageometria della scia.
L’applicazione della condizione al contorno sul corpo porta a scrivere che− 1
4π
∫
SB
(σ∇1
r− µ∇ ∂
∂n
1
r
)dS+
1
4π
∫
SW
(µW∇ ∂
∂n
1
r
)dS +∇Φ∞(x0)
· n = 0
Tale equazione e alla base dei metodi a pannelli. E’ possibile inoltre dire che
∂Φ
∂n= 0 equivale a Φi = costante
L’implementazione numerica e la solita, c’e qualche problematica geometrica per unacorretta rappresentazione del corpo.
26
§5 Complementi 27
Le sorgenti rappresentano lo spessore, le doppiette o i vortici permettono di modellarela portanza. Ho bisogno anche di soddisfare la condizione di Kutta, cioe devo mettere inrelazione le doppiette in scia da quelle incognite sul corpo. Infine per soddisfare il salto dipressione nullo la scia deve essere localmente tangente al vettore velocita medio, ovverodeve essere superficie di flusso. Dal teorema di Kutta - Joukowsky si ha che vM ×γ = 0.Se la geometria della scia e assegnata cercando in prima approssimazione di soddisfarela condizione di ∆p = 0, il problema e lineare, altrimenti e non lineare.
5.2 Discretizzazione delle equazioni
Considerando NB pannelli sul corpo e NW pannelli in scia l’equazione fondamentalediviene
NB∑
k=1
− 1
4π
∫
Sk
(σn · ∇1
r− µn · ∇ ∂
∂n
1
r
)dS+
NW∑j=1
1
4π
∫
Sj
(µW n · ∇ ∂
∂n
1
r
)dS + v∞ · n = 0
considerando per semplicita le intensita di sorgenti e doppiette costanti e ponendo
− 1
4π
∫
Sk
n · ∇1
rdS ≡ Bk,
1
4π
∫
Sk
n · ∇ ∂
∂n
1
rdS ≡ Ck
risultaNB∑
k=1
Bkσk +
NB∑
k=1
Ckµk +
NW∑j=1
Cjµj + v∞ · n = 0
i termini Bk e Ck sono puramente geometrici. Le µj sono funzioni delle µk attraverso lacondizione di Kutta, imporremo tale condizione meglio in seguito, per ora supponiamoche tale iterazione sia limitata al bordo di uscita dove µj = µk, cioe supponiamo che lascia abbia un’unica fila di pannelli. Ponendo che Ak ≡ Ck se il pannello non e al bordodi uscita e Ak ≡ Ck ± Cj quando lo e, e supposte note le σk si ottiene il sistema lineareseguente
NB∑
k=1
Akµk = −NB∑
k=1
Bkσk − v∞ · n
Nel caso in cui si scelga di passare attraverso il potenziale interno, ricordando che
∂Φ
∂n= 0 equivale a Φi = costante
ma dall’espressione generale applicata ad un punto interno,
Φi =− 1
4π
∫
SB
(σ
1
r− µ∇1
r· n
)dS+
1
4π
∫
SW
(µW∇1
r· n
)dS + Φ∞
§5 Complementi 28
e possibile applicare la condizione
Φi = costante = Φ∞
ovvero
− 1
4π
∫
SB
(σ
1
r− µ∇1
r· n
)dS +
1
4π
∫
SW
(µW∇1
r· n
)dS = 0
scegliendo per semplicita le intensita di sorgenti e doppiette costanti e ponendo
− 1
4π
∫
Sk
1
rdS ≡ Bk,
1
4π
∫
Sk
∂
∂n
1
rdS ≡ Ck
risultaNB∑
k=1
Bkσk +
NB∑
k=1
Ckµk +
NW∑j=1
Cjµj = 0
avendo N punti di collocazione, subito all’interno dei centroidi, posso fissare le σk
σk = −nk · v∞e risolvere per le µk. Il legame tra le doppiette di scia e quelle sul corpo e ancora unavolta dato dalla condizione di Kutta.
5.3 Filamenti vorticosi
Vediamo di applicare la legge di Biot-Savart al caso di filamento vorticoso di intensitacostante Γ e lunghezza l
v(x0) =Γ
4π
∫ l
0
d`× r
r3
che integrata da
v(x0) =Γ
4π h(cos θ1 − cos θ2)ev
con
h =|r1 × r2||r12| , h = cos θ1 =
r12 · r1
|r12||r1| , cos θ2 =r12 · r2
|r12||r2| , ev =r1 × r2
|r1 × r2|e quindi
v(x0) =Γ
4π
r1 × r2
|r1 × r2|2 r12 ·(
r1
|r1| −r2
|r2|)
tale espressione diviene singolare se la distanza del punto al filamento e nulla, cioe ilpunto e sul filamento. Per eliminare tale singolarita si puo assegnare una distanza, disolito 10−4 − 10−5 volte la lunghezza del filamento, al di sotto della quale si usa unmodello diverso, come il vortice di Rankine o velocita indotta nulla.
§5 Complementi 29
5.4 Ala portante
Si useranno i metodi seguenti:
1. Metodo della linea portante:
• vortici a ferro di cavallo
• distribuzione di portanza e resistenza indotta lungo l’apertura alare
2. Metodo della superficie portante:
• anelli vorticosi
• distribuzione di differenza di pressione sull’ala
3. Metodo dei pannelli:
• distribuzione di Φ e ∆Φ, oppure σ e µ
• distribuzione di pressione sull’ala
Metodi illustrati in ambito di flusso stazionario e scia rigida e assegnata.
Metodo della linea portante. Sfrutta l’idea di avere una serie di anelli vorticosilungo l’apertura dell’ala. Il primo lato dell’anello e posto a 1/4 di corda cosı la con-dizione di Kutta e automaticamente soddisfatta. Questo lato di chiama Bound Vortex.L’incidenza deve essere piccola per poter ritenere la scia allineata con gli assi corpo,mentre soddisfare la condizione vM × γ = 0 equivale ad allineare i Trailing Vortices conla direzione della velocita asintotica.
La discretizzazione passa per la divisione della pianta in N pannelli, e il punto dicollocazione e posto a 3/4 della corda con versore normale uscente. La condizione alcontorno sul corpo e
(vind + v∞) · n = 0
in cui vind = vb +vt cioe si separa in quella indotta dai bound vortices da quella indottadai trailing vortices.
Per il calcolo della velocita indotta un modo molto semplice e considerare l’anellovorticoso chiuso dopo circa 20 corde e l’ultimo lato non induce nessuna velocita. Si usaallora l’espressione di Biot-Savart per i tre lati dell’anello. E’ conveniente separare ilcontributo dei trailing vortices in quanto serve per il calcolo della resistenza indotta.
L’applicazione della condizione al contorno porta a scrivere
[AIC]Γ = −v∞ · n
Il calcolo dei carichi e effettuato tramite la legge di Kutta-Joukowsky in approssi-mazione di piccola incidenza,
∆Lj = ρ|v∞|Γj∆yj
con ∆yj lunghezza del filamento vorticoso proiettata lungo la normale al flusso. Laresistenza indotta richiede il calcolo della velocita indotta in corrispondenza dei boundvortices,
∆Dj = −ρwiΓj∆yj
§5 Complementi 30
Alternativamente si puo considerare la traccia della scia sul piano di Trefftz e calcolarela velocita indotta su ognuno dei vortici di scia da parte degli altri vortici, escludendol’autoinduzione. Ovvero
wj = − 1
2π
N∑
i=1,i6=j
Γj(yj − yi)
(zj − zi)2 + (yj − yi)2
e∆Dj = −ρwiΓj∆yj/2
Metodo della superficie portante (vortex lattice). Tale metodo e l’estensionenaturale del metodo della linea portante e permette di ottenere una distribuzione di caricolungo la corda e di apprezzare l’influenza della linea media. L’ala viene rappresentatasenza spessore come l’inviluppo dei singoli profili, cioe e rappresentata per mezzo diuna superficie discretizzata da pannelli con bordi rettilinei, ma non per forza piani. Levelocita indotte sono calcolate a partire dalla legge di Biot-Savart, utilizzando la formulaper la normale del pannello:
n =r13 × r42
|r13 × r42|Il calcolo dei carichi si ottiene applicando il teorema di Kutta-Joukowsky ai bound
vortices.∆Lj = ρ|v∞|Γj∆yj
∆Dj = −ρwiΓj∆yj
Occorre notare che, eccetto la prima riga, la circolazione effettiva e data dalla differenzadelle circolazioni di due anelli successivi. Inoltre se i segmenti laterali degli anelli sonoallineati con la velocita asintotica il loro contributo alla portanza e nullo, altrimenti sene deve tener conto.
Volendo ottenere una distribuzione della differenza di pressione tra ventre e dorsodell’ala, occorre associare una forza ad ogni pannello, ridistribuendo i carichi associati aibound vortices.
Capitolo 6
Aerodinamica delle alte incidenze
6.1 Ala a delta
In un’ala a delta e vero che
• la separazione e fissata al bordo di attacco (generalmente)
• la separazione genera una coppia di vortici che provoca una diminuzione locale dipressione
• possono esserci separazioni successive
• cL varia in modo non lineare con l’incidenza.
6.2 Separazione 3D
• in 3D il criterio τw = 0 e inadeguato
• il flusso si sviluppa anche trasversalmente e la linea che parte dalla separazione none in genere uguale a quella che arriva al riattacco
Bisogna chiarire alcuni concetti per la topologia della separazione. Il campo di moto edescritto dalle linee di corrente, queste linee tendono ad essere tangenti al corpo quandola distanza tra esse e il corpo si annulla. Le linee di corrente sul corpo si chiamano linee dicorrente limite, qui inoltre il vettore velocita e allineato con il vettore sforzo tangenziale.Percio le linee di corrente limite coincidono con le skin friction line, ovvero con le lineeintegrali del campo vettoriale 2D di τw. L’analisi della separazione allora passa per lostudio di tali linee. Queste sono definite dal sistema
dx
τx(x, y)=
dy
τy(x, y)
con τw = τx τyT , che definisce ∞2 soluzioni. In generale per un punto della superficiepassa una ed una sola linea. I punti che non soddisfano tale condizione sono detti puntisingolari, nei quali lo sforzo tangenziale si annulla. Siccome per tali punti il sistema nonavrebbe senso, si espande con Taylor ottenendo:
dx
∂τx
∂xx +
∂τx
∂yy
=dy
∂τy
∂xx +
∂τy
∂yy
=λdx + µdy
λ
(∂τx
∂xx +
∂τx
∂yy
)+ µ
(∂τy
∂xx +
∂τy
∂yy
)
31
§6 Complementi 32
dove λ e µ sono costanti e l’ultima uguaglianza vale se le derivate parziali non sonosimultaneamente uguali a zero.
...
Capitolo 7
Aerodinamica ambientale
7.1 Introduzione
L’aerodinamica ambientale studia l’atmosfera, in particolare la sua variabilita, in terminidi
• stato termodinamico, p, ρ, T ;
• stato cinematico, v;
• composizione chimica.
Tutte la variabili sono funzioni sia della posizione nello spazio espressa come terna (x, y, z)o meglio come latitudine longitudine e quota, sia del tempo. Per l’atmosfera le scalespaziali e temporali sono estremamente variabili, cioe possono essere qualche millimetrocon qualche secondo fino alla scala planetaria e anni.
Nell’atmosfera si riconosce sia una struttura verticale, sia una configurazione orizzon-tale determinata da effetti dinamici quali il vento.
Struttura verticale. Analizziamo la variabilita dei parametri specificati con laquota. Per cominciare si puo dire subito che supponendo l’atmosfera in equilibrio equindi mediamente in quiete, < vz >= 0, dove il crochet rappresenta l’operazione dimedia.
Per quanto riguarda pressione e densita l’andamento e esponenziale, e valgono le leggisemi-empiriche seguenti
po = 101325 Pa
p(z1)
p(z2)= 10 se z2 = z1 + 15 km
ρo = 1.225 kg/m3
ρ(z1)
ρ(z2)= 10 se z2 = z1 + 17 km
Il libero cammino medio aumenta con la quota.Riconosciamo varie zone dell’atmosfera, in base alla composizione chimica.
33
§7 Complementi 34
1. z < 100 km, omosfera : composizione praticamente costante con 78% di azoto,21% di ossigeno, 1% di argon e altri gas (quali l’anidride carbonica) in percentualiridotte;
2. z > 100 km, eterosfera : aumentano i gas piu leggeri.
L’omosfera si puo suddividere in
1. 20 < z < 60 km, ozonosfera : concentrazioni di ozono;
2. z > 80 km, ionosfera : i gas divengono ionizzati dalle radiazioni solari.
Ha senso parlare di atmosfera fino a 600 km, dopo c’e l’esosfera.Per la temperatura la legge per la quota e estremamente variabile visto che ci sono
fenomeni diversi che ne causano la variabilita quali l’ozono e le radiazioni solari. Vediamolo schema in figura sotto.
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
120
140
90 km
25 km
50 km
11 km
1000 °C
15 °C
Termosfera
Mesosfera
Mesopausa
Stratopausa
Stratosfera
Tropopausa
Troposfera
Figura 7.1: T = T (z)
Dove e riconoscibile il contributo dell’ozono al riscaldamento dai 25 km fino ai 50 km,e il contributo delle radiazioni solari nella ionosfera.
§7 Complementi 35
7.2 Il modello standard di atmosfera, ICAO
Il modello standard descrive l’atmosfera almeno fino alla stratopausa. Assume empiri-camente un primo tratto lineare per la temperatura
T (z) = T0 − λ z se z < 11 km
T (z) = T se 11 < z < 25 km
con λ = 0.0065 C/m, T0 = 15 C e T = −56.5 C.Dalla legge di Archimede, ovvero dal gradiente idrostatico si ottiene il legame per
densita e pressionedp = −ρ g dz
che viene legato alla temperatura dalla legge dei gas
p = ρR T
Cosı l’andamento di p e ρ in funzione della quota e facilmente calcolato. Si noti chenell’atmosfera standard g e assunto costante e uguale al suo valore a quota zero.
7.3 L’equilibrio aerostatico
Partiamo dall’intuizione che se due gas qualsiasi sono l’uno sopra l’altro e vale che quellosuperiore ha densita minore, allora l’equilibrio e stabile. Altrimenti, come e noto siavranno dei moti convettivi.
Ipotizziamo l’atmosfera stratificata termicamente. Essa sara in equilibrio stabile se
∂ρ
∂z< 0 ⇔ ∂T
∂z> 0
questo non e in generale vero nell’atmosfera standard. Quindi? In generale non interessaaffatto l’andamento della temperatura con la quota, ma importa di piu, al fine dellastabilita, come si comporta una particella che viene spostata dal suo punto di equilibrio.E’ la sua temperatura che determina se l’equilibrio e stabile o meno, o meglio la suaderivata in temperatura.
Quando una particella e trasportata ad una quota maggiore, si trova ad una pressioneminore e quindi si espande. Il cambiamento di temperatura si puo supporre senza prob-lema abbastanza lungo rispetto all’espansione da non avvenire affatto per la particella inesame. Cosı l’espansione e adiabatica ed isoentropica. In questo contesto la temperaturadella particella in esame non ha nulla a che fare con la temperatura media dell’atmosferache la circonda. Ma vale la relazione
T2 =
(p2
p1
)(γ−1)/γ
T1
Si introduce in meterologia una nuova variabile di stato, la temperatura potenziale, θ:
θ ≡(
pr
p
)(γ−1)/γ
T
con pr = 1000 hPa come pressione di riferimento. La Temperatura potenziale:
§7 Complementi 36
• non puo essere misurata direttamente
• rimane costante durante una trasformazione adiabatica-isoentropica
• e trasportata convettivamente come accade per l’entropia, mentre la temperaturavera dipende anche dalla pressione.
Con la temperatura potenziale l’analisi di stabilita e notevolmente semplificata, perchepuo essere ricondotta al caso di un liquido in cui pressione e temperatura sono indipen-denti tra loro. Allora
∂θ
∂z> 0 ⇒ Atmosfera stabile.
La spiegazione di questo fatto e banale. Quando la particella sale, mantenendo costantela propria temperatura potenziale, incontra un’atmosfera a θ piu elevata, cosı non puoche ritornare alla posizione di partenza. L’equilibrio e dunque stabile. Nel caso oppostol’equilibrio e instabile.
L’analisi di stabilita puo essere condotta anche con la temperatura classica, bastache al posto di una condizione su θ lungo le isoentropiche (θ = costante) si pone unacondizione del tipo (
dT
dz
)
s
= Γa
con Γa adiabatic lapse rate. Vediamo velocemente come determinare tale Γa. Dalla leggeadiabatica prendendone il differenziale logaritmico si ottiene
dT
T=
γ − 1
γ
dp
p
utilizzando l’equazione idrostatica e la legge per i gas perfetti,
dT
T= −γ − 1
γ
gdz
R T
dunque (dT
dz
)
s
= −γ − 1
γ
g
R= −9.8K/Km = −Γa
Il gradiente adiabatico di temperatura fornisce la variazione di temperatura subita da unaparticella che venga spostata di quota in condizioni isoentropiche.
Si puo anche pensare di trovare una relazione tra la temperatura potenziale e la tem-peratura ordinaria. Si procede allo stesso modo di sopra, ovvero si prende il differenzialelogaritmico della definizione di temperatura potenziale e si sostituisce usando l’equazioneidrostatica e la legge dei gas
dθ
θ− dT
T= −γ − 1
γ
gdz
R T=
(dT
dz
)
s
dz
T
vicino al suolo θ ∼ T visto che il rapporto delle pressioni nella definizione di θ e circaunitario, quindi
dθ
dz=
dT
dz−
(dT
dz
)
s
§7 Complementi 37
Facendo riferimento alle rette di pendenza −Γa che individuano il caso neutro e facilecondurre l’analisi anche per il caso della temperatura classica:
dT
dz>
(dT
dz
)
s
⇒ Atmosfera stabile.
Dal momento che il gradiente medio dell’atmosfera terrestre e −6.5 K/Km, l’atmosferae mediamente stabile. Il modello ISA prevede addirittura un gradiente termico medio di3.3 K/Km.
7.4 Excerpt by Landau, Fluid Mechanics
Lev Davidovich Landau e uno dei piu insigni fisici del ’900. Allievo di Dirac e Bohr, ha fondato la piuimportante scuola di fisica di tutta l’ex Unione Sovietica. La sua monumentale opera di insegnamento siarticola in piu di dieci libri che descrivono tutto lo scibile fisico in maniera eccezionalmente puntuale econcisa. E’ stato insignito del premio Nobel per la fisica per i suoi contributi allo studio della turbolenzadei fluidi.
7.4.1 Idrostatica
Per un fluido in quiete in un campo gravitazionale uniforme, l’equazione di Eulero prende la forma
gradp = ρg. (7.1)
Questa equazione descrive l’equilibrio meccanico del fluido. (se non ci sono forze esterne, l’equazionedi equilibrio e semplicemente gradp = 0, cioe p = costante; la pressione e la stessa in tutti i punti delfluido).
L’equazione (7.1) puo essere immediatamente integrata se la densita del fluido puo essere suppostacostante in tutto il suo volume, cioe non c’e una significativa compressione del fluido sotto l’azione dellaforza esterna. Prendendo l’asse z verso l’alto, si ha che
∂p/∂x = ∂p/∂y = 0, ∂p/∂z = −ρg.
Quindip = −ρgz + costante.
Se il fluido in quiete ha una superficie libera alla quota h, alla quale e applicata una pressione esternap0, la stessa in ogni punto, questa superficie deve essere il piano orizzontale z = h. Dalla condizionep = p0 per z = h, si trova che la costante e p0 + ρgh, pertanto
p = p0 + ρg(h− z). (7.2)
Per grandi masse di liquidi, e per un gas, la densita ρ non puo essere in genere supposta costante;questo si applica specialmente ai gas (per esempio l’atmosfera). Si supponga che il fluido non sia solo inequilibrio meccanico ma anche in equilibrio termico. Dunque la temperatura e la stessa in ogni punto,e l’equazione (7.1) puo essere integrata come segue. Si usa la familiare relazione termodinamica
dΦ = −s dT + V dp ,
dove Φ e il potenziale termodinamico per unita di massa. Φ si introduce per tener conto dell’interazionemeccanica tra un sistema termodinamico e l’ambiente esterno. In particolare si dimostra che nei casi incui rimangono costanti temperatura e pressione, il sistema evolve in modo da minimizzare il potenzialeΦ, che e chiaramente funzione di stato
Φ = u− T s + p V = w − T s,
ovverodΦ = dw − dT s− T ds = −s dT + V dp.
§7 Complementi 38
Φ si chiama anche energia libera di Gibbs 1. Per temperatura costante
dΦ = V dp = dp/ρ.
In questo modo si vede che l’espressione (gradp)/ρ puo essere scritta in questo caso come gradΦ, quindil’equazione di equilibrio (7.1) prende la forma
gradΦ = g.
Per un vettore costante g diretto lungo le z negative si ha
g ≡ −grad(gz).
Cosıgrad(Φ + gz) = 0,
ovvero si trova che in tutto il fluidoΦ + gz = costante; (7.3)
gz e l’energia potenziale dell’unita di massa del fluido nel campo gravitazionale. La condizione (7.3) enota dalla fisica statistica come la condizione per l’equilibrio termodinamico di un sistema in un campodi forze esterno.
Si puo menzionare qui un’ altra semplice conseguenza dell’equazione (7.1). Se un fluido (per esempiol’atmosfera) e in equilibrio meccanico in un campo gravitazionale, la pressione dello stesso puo esseresolo una funzione della quota z (dal momento che, se la pressione fosse diversa in punti diversi alla stessaquota, ci sarebbe moto). Segue quindi dalla (7.1) che la densita
ρ = −1g
dp
dz(7.4)
e pure una funzione della sola z. La pressione e la densita insieme determinano la temperatura, laquale e pertanto una funzione della sola z. Cosı, in condizioni di equilibrio meccanico in un campogravitazionale, le distribuzioni di pressione, densita e di temperatura dipendono solo dalla quota. Se,ad esempio, la temperatura e differente in punti distinti alla stessa quota, allora l’equilibrio meccanicoe impossibile.
Infine, si deriva l’equazione di equilibrio per una massa molto grande di fluido, le cui parti separatesono tenute insieme attraverso l’attrazione gravitazionale - una stella. Sia φ il potenziale gravitazionaleNewtoniano del campo dovuto al fluido. Questo soddisfa l’equazione differenziale
4φ = 4πGρ, (7.5)
dove G e la costante di gravitazione Newtoniana. L’accelerazione gravitazionale e −gradφ, e la forzasu una massa ρ e −ρgradφ. La condizione di equilibrio e dunque
gradp = −ρgradφ.
Dividendo entrambi i membri per ρ, prendendone la divergenza ed usando l’equazione (7.5), si ottiene
div(
1ρgradp
)= −4πGρ. (7.6)
Deve essere sottolineato che la presente discussione concerne solo l’equilibrio meccanico; l’equazione(7.6) non presuppone l’esistenza di un completo equilibrio termico.
Se il corpo non ruota, sara sferico una volta in equilibrio, e le distribuzioni di densita e di pressioneavranno simmetria sferica. L’equazione (7.6) in coordinate sferiche diviene
1r2
ddr
(r2
ρ
dp
dr
)= −4πGρ. (7.7)
1Focardi - Massa - Uguzzoni, Fisica Generale.
§7 Complementi 39
7.4.2 La condizione di assenza di convezione
Un fluido puo essere in equilibrio meccanico (cioe non essere soggetto ad un moto macroscopico) senzaessere per forza in equilibrio termico. L’equazione (7.1), la condizione di equilibrio meccanico, puoessere soddisfatta anche se la temperatura non e costante nel fluido. In ogni modo, sorge la questionedella stabilita di un equilibrio siffatto. Si trova che l’equilibrio e stabile solo quando e soddisfatta unacerta condizione. Altrimenti, l’equilibrio e instabile, e questo porta alla comparsa di correnti nel fluidoche tendono a mischiare il fluido in modo da rendere uguale la temperatura. Questo moto e chiamatoconvezione. Cosı la condizione di stabilita di un equilibrio meccanico e la condizione di assenza diconvezione. Questo puo essere derivato come segue.
Si consideri un elemento di fluido alla quota z, avente un volume specifico V (p, s), dove p e s sonola pressione e l’entropia di equilibrio alla quota z. Si supponga che questo elemento di fluido incorrain uno spostamento di un piccolo intervallo ξ verso l’alto e che tale spostamento sia adiabatico; il suovolume specifico diviene V (p′, s), dove p′ e la pressione alla quota z + ξ. Affinche l’equilibrio sia stabilee necessario (sebbene in genere non sufficiente) che la forza risultante sull’elemento tenda a riportarloalla sua posizione originale. Questo significa che l’elemento deve essere piu pesante del fluido che spostanella sua nuova posizione. Il volume specifico del secondo e V (p′, s′), dove s′ e l’entropia di equilibrioalla quota z + ξ. Cosı si ricava la condizione di stabilita
V (p′, s′)− V (p′, s) > 0.
Espandendo la differenza in potenze di s′ − s = ξdsdz, si ottiene:(
∂V
∂s
)
p
ds
dz> 0. (7.8)
Le formule della termodinamica pongono:(
∂V
∂s
)
p
=T
cp
(∂V
∂T
)
p
,
dove cp e il calore specifico a pressione costante. Sia cp che T sono positivi, cosı si puo scrivere la (7.8)come (
∂V
∂T
)
p
ds
dz> 0. (7.9)
La maggioranza delle sostanze espande scaldandosi, cioe (∂V/∂T )p > 0. La condizione che la convezionesia assente allora diviene
ds
dz> 0, (7.10)
cioe l’entropia deve aumentare con la quota.Da questo si trova facilmente la condizione che deve essere soddisfatta dal gradiente di temperatura
dT/dz. Espandendo la derivata ds/dz, si ha che
ds
dz=
(∂s
∂T
)
p
dT
dz+
(∂s
∂p
)
T
dp
dz=
cp
T
dT
dz−
(∂V
∂T
)
p
dp
dz> 0.
Infine, sostituendo dalla (7.4) dp/dz = −g/V , si ottiene
dT
dz> − g T
cp V
(∂V
∂T
)
p
. (7.11)
La convezione puo esserci se la temperatura decresce con l’aumentare della temperatura e il modulo delgradiente di temperatura e piu grande di (gT/cpV )(∂V/∂T )p.
Se si considera l’equilibrio di una colonna di gas perfetto, allora
(T/V )(∂V/∂T )p = 1
e la condizione di equilibrio stabile e semplicemente
dT/dz > −g/cp. (7.12)
§7 Complementi 40
7.5 Fenomeni di instabilita
Ci si chiede quali fenomeni possano influenzare la temperatura. A questo scopo ciponiamo in troposfera tenendo conto degli effetti di scambio di calore con la Terra eanalizziamo che cosa avviene nella fascia piu vicina al terreno, lo strato limite planetario:
• irraggiamento solare;
• assorbimento di O3;
• radiazione riflessa dalle nuvole (28%), a terra arriva il 22-25 %;
• di notte la Terra rilascia parte del calore assorbito
• gas serra, CO2.
In questo strato limite sono frequenti le instabilita che portano a fenomeni convettivi.Adesa al terreno e una zona tipicamente instabile dove la temperatura diminuisce conla quota prima di raccordarsi alla curva teorica media. Il gradiente di temperatura ecosı forte da causare un movimento di bolle di aria calda verso l’alto, si crea cioe unacorrente ascensionale termica. Anche in questo caso, potremmo ritenere che queste massedi aria che si spostano non varino in modo significativo la loro temperatura nella salita.Il loro posto e preso da masse di aria fredda; il fenomeno e la convezione. Quandol’aria calda arriva in una regione dell’atmosfera, tipicamente nella troposfera, dove c’estabilita si ferma. Si ha uno strato di inversione. Qui durante il giorno si formano lenubi. A seconda della temperatura di partenza la quota raggiunta dalle masse di ariacalda e differente. Avremo in ordine, cumuli, nuvole e cumuli nembo che danno luogoalle precipitazioni estive. Durante le ore notturne si genera uno strato limite stabile cheraggiunge la massima estensione nelle prime ore del mattino.
Le onde di gravita invece si formano solo in un atmosfera stabile.
7.6 Configurazioni orizzontali
Se per il momento ci siamo soffermati sulla configurazione verticale dell’atmosfera, ciproponiamo ora di studiare la sua configurazione orizzontale con particolare riguardo alcampo di vento.
La configurazione orizzontale, in termini di pressione, temperatura e velocita del ven-to, e determinabile per via sperimentale tramite sonde e viene rappresentata di solito conuna carta meteorologica. Tramite una serie di simboli standard sono indicate le isobaree la velocita del vento, nonche la temperatura e, piu banalmente, il tempo atmosferico.Quello che ci proponiamo ora e: data una certa configurazione di pressione e temper-atura, per iniziare solo di pressione, e possibile valutare la velocita del vento, o meglio ilcampo di vento? Definiamo v come velocita del vento medio
v = v(x, y, z, t)
per inciso tale velocita dipende molto da t per via della turbolenza atmosferica e dellecariche da raffica. Una variabile che va tenuta nella dovuta considerazione e l’acceler-azione di Coriolis, che definisce la direzione del vento2.
2Per la terra la velocita angolare e Ω = 7× 10−5 rad/s
§7 Complementi 41
7.7 Modello di vento geostrofico
Con un ragionamento un po spannometrico si potrebbe dire che il vento e sempre per-pendicolare alle isobare, diretto dalle zone di alta pressione a quelle di bassa pressione.Cosı indicata con F la forza che agisce su una singola particella si potrebbe dire che
|F | = 1
ρ∇p · n ∼ 1
ρ
∆p
∆n
con n versore diretto in modo perpendicolare alle isobare. Questo e sbagliato. Bisognatener conto anche della forza di Coriolis, come detto in precedenza. Questa si scrive
F c = −2Ω×U
o in moduloFc = −f U
con f , parametro di Coriolis, pari a 2Ω sin φ e φ latitudine. Per l’emisfero boreale, essae perpendicolare alla traiettoria e diretta verso destra. Adesso il modello e completo3.La condizione di equilibrio per una particella e, quindi che
Fc = F
ma questo significa che la direzione del vento deve essere oraria intorno alle zone di altapressione e antioraria intorno a quelle di bassa pressione. In particolare inoltre, il ventogeostrofico, o di gradiente, deve essere parallelo alle isobare. Dall’equilibrio discende che
f U =1
ρ
∆p
∆n
e quindi
U =1
f ρ
∆p
∆n
o in forma vettoriale
U =1
f ρκz × (nn · ∇p)
A conti fatti v < U a causa dello strato limite atmosferico. Attenzione che anche la Fc
si riduce, quindi c’e anche un cambiamento della direzione (Ekman).Possiamo ora fare qualche considerazione. Se splittiamo l’operatore di derivata come
segue
U =1
f ρ
dp
dn=
1
f ρ
dp
dz
dz
dn
e ci ricordiamo che dpdz
= −ρg e che ρ = ρ(p, T ) allora risulta chiaro che e importantee determina la direzione del vento anche la temperatura. In particolare questo significache le isobare non sono ad altezza costante, ma le isobare con temperature minori sonopiu vicine al suolo di quelle a temperatura maggiori.
3Gravita e forza centrifuga sono incluse usando un diverso valore per g.
§7 Complementi 42
7.8 Effetto suolo, instabilita baroclina e scontro dei fronti
Come si vede dalle figure ci sono effetti di divergenza e convergenza al suolo per effettodello strato limite atmosferico.
Per le zone ad alta pressione, si parla di configurazioni cicloniche, le quali permangonoa lungo. Come si nota in sezione ci sono effetti di subsidenza, per A, con velocitacaratteristiche dell’ordine di qualche centimetro al secondo. Questo fenomeno provocaalla scomparsa delle nuvole che si formano durante il giorno. Al contrario, in B c’e laformazione delle nuvole innescata da un fenomeno di instabilita baroclina. La qualebanalmente significa che l’aria calda sale e l’aria fredda scende. (?)
§7 Complementi 43
Nelle figure susseguenti si puo notare la formazione del fronte caldo - freddo. Ilfronte e una zona molto instabile che da luogo alla formazione delle nubi e che si puorompere facilmente formando un fronte rotto a λ, indicato in rosso. Il fronte freddo ea triangolini, quello caldo a circolini, come da convenzioni. Ora il fronte freddo viaggiapiu velocemente di quello caldo e si incunea sotto di esso dando luogo al fronte occluso(figura c) che non e altro se non un ciclone delle medie latitudini.
Nelle figure d ed e si mostra come sulla superficie della terra si possono avere piu zonead alta pressione e a bassa pressione. Inoltre nell’atmosfera si creano delle celle convet-tive, tre se si considera la rotazione terrestre, una sola se non si considera. Queste celle,polare, tropicale, equatoriale, contribuiscono al mescolamento dell’aria e alla creazione
§7 Complementi 44
delle instabilita atmosferiche. Tra le zone ad alta e a bassa pressione scorre normalmenteuna corrente molto forte, sui 100 m/s, che prende il nome di corrente a getto. La sezionedella quale e in figura e in rosso e a lato il profilo di velocita. Come si vede c’e tantaturbolenza e shear. T sta per tropopausa.
7.9 Il modello completo di atmosfera
Per descrivere in modo completo l’atmosfera serve
• equazione di continuita;
• equazione della quantita di moto:
DU
Dt= −1
ρ∇p− 2Ω×U + ν4U
con ν = ν + νT
• equazione di bilancio dell’energia;
• equazione di bilancio dell’umidita;
• parametrizzazioni varie.
Questo si rileva assai complesso. Anche perche ci sono molti fenomeni turbolenti emolto difficili da modellare come ad esempio il down burst. Questo e una corrente moltoveloce, dai 20 ai 50 m/s che vive in prossimita di conformazioni piovose e temporalesche.Questa corrente puo dare effetti indesiderati al volo aereo.
Pur nonostante queste difficolta, si cerca un modello abbastanza completo di atmos-fera. Si introduce allora un parametro adimensionale, il numero di Richardson (di flusso),
§7 Complementi 45
Ri.
Ri ≡ distruzione termica
produzione meccanica=
g
Θu′zθ′
u′x u′zdu
z︸ ︷︷ ︸<0
Allora se Ri < 0 l’atmosfera e instabile perche la distruzione termica e positiva, cioe portal’aria verso l’alto e agisce con la produzione meccanica che porta pure l’aria verso l’alto.Siamo percio di giorno. Durante la notte l’aria scende se Ri > 1 e quindi l’atmosfera estabile con questo valore di Ri.
7.10 Teoria di similitudine dello strato limite atmosferico
Introduciamo brevemente la teoria di Monin - Obukhov. Ricordiamo che lo strato lim-ite turbolento ha una legge di similitudine logaritmica, questa teoria e un tentativo diincludere anche gli effetti termici e sistemare la legge. La lunghezza caratteristica eparagonabile all’altezza dei fili d’erba, la velocita di attrito e invece pari a u2
∗ = −u′x u′z.Si puo dire ora che
U(z)
u∗=
1
klog
(z
z0
)
z0 indica l’origine virtuale del profilo ed e convenzionalmente presa uguale ad 1/10 dell’al-tezza media degli ostacoli, e.g. i fili d’erba. k e la costante di Von Karman. Introducendogli effetti termici
U(z)
u∗=
1
klog
(z
z0
)+ F
(z
LMO
)
con
LMO = − u3∗ Θ
g k u′zθ′
Questa quota e quella alla quale |Ri| = 1. F e una funzione. Fuori lo strato limite valeuna legge di potenza con riferimento la velocita del vento geostrofico, U∗
U(z)
U∗=
(z
zrif
)α
con α = α(z0, LMO). A queste equazioni va poi associato un corretto spettro di tur-bolenza nel contesto di un modello alla Smagorinsky per la LES.
