Chissa Chi Lo Sa

C h issà c h i lo sa

I Quiz dell'esame di Geometria

Jorge Raul Cordovez

CLVT

Indice

1 Scaldarsi le mani (simulazione) 5

2 Prova Scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 15

3 Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 25

4 Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 35

5 Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 45

6 Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 55

7 Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 65

8 Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 75

9 Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 85

10 Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore 95

11 Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore 99

12 Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore 107

3

1

Scaldarsi le mani (simulazione)

P r im a Pa r t e (Q u i z )

Q l. Nello spazio siano dati il piano a : x + y — z = l e la retta

( x = t r : < y = 2t

[ z = 3t.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) r C a.(b) Esiste un piano (3 contenente r e parallelo a a.(c) r interseca a.(d) r ed a sono perpendicolari.

Q 2 . Nello spazio sia data la quadrica «2 di equazione

x 2 + 2 y2 + 4z = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) cS è un cilindro.(b) J è u n cono.(c) £1 ha punti in comune con il piano di equazione z = 1.(d) «2 è un paraboloide.

Q 3 . Si consideri l'applicazione lineare / : R3 —> R3 definita da

f (x , y ,z) = ( y - z , z - x , x - y).

5

6 1 - Scaldarsi le mani (simulazione)

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) / è iniettiva.(b) L'immagine Im (/) ha dimensione 2 .(c) / è suriettiva.(d) Il nucleo ker(/) ha dimensione 2.

Q4. Nello spazio sia data la curva ^ di equazione

P(t ) = (e* + l,0,2f)

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) ^ non è regolare;(b) La retta tangente a fé7 nel punto (2 ,0,0) è parallela a T+ 2k.(c) ^ ha vettore tangente nullo in almeno un punto.(d) fé7 non è piana.

Q5. Siano dati i vettori applicati

u = i — j + 3/c, v = j — 2 fc, = 3?— 6J— 3/c.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) il, iT, w sono complanari.(b) w è parallelo a v.(c) u e w formano un angolo acuto.(d) w è parallelo ad u x v (x indica il prodotto vettoriale).

Q 6. Sia data la funzione di due variabili reali f (x ,y ) = x3 + y3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) V /( l , 1) = (3,3).(b) / non è derivabile nell'origine.

(d) Il punto (1,1,1) appartiene al grafico di / .

Q7. Nello spazio sia data la sfera S* di equazione

£ 2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 2z = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il centro di 5? è (2 , 1, 1).

1 - Scaldarsi le mani (simulazione) 7

(b) Il centro di 5? ha distanza 1 dal punto (0,0, —2).(C) S? è tangente al piano z — 0 .(d) (0 ,0 , - 2) <E SP.

Q 8. Siano date le matrici

¿ = ( 1 — 2 1 ), b = i yQuale delle seguenti affermazioni è vera?(a) rk(£A) = 2.(b) BA è invertibile.(c) rk(BA) = 1.(d) B A non ha autovalori in R.

Q9. In R4 si considerino i vettori a = (3, -1 ,2 ,0 ), b = (3,0,1, —1) e c = (0, - 2 ,2 ,2). Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) dim(«5f(a, ò, c)) = 3.Ob) dim(jS?(a,6,c)) = 2.(c) a — b + 5c 0 SS (a, b).(d) Esiste d e R4 tale che (a, 6, c, d) sia una base di R4.

Q 10 . Siano A e Rn n e B e Rn l . Supponiamo che il sistema A X = B sia non omogeneo e abbia almeno due soluzioni distinte X i,X 2 G Rn l .Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il sistema A X = B ha infinite soluzioni.(b) La matrice A è invertibile.(c) Il sistema A X = B non ha altre soluzioni.(d) X i — X 2 è soluzione del sistema A X = B.

Q ll . Sia V un sottospazio di R3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) Esiste un sottospazio W C R3 tale che dim (y + W) = dim(W).(b) Se dim(y) = 2, esiste un sottospazio W C R3 con dim(W) = 2 tale che V D W

contenga un solo vettore.(c) Esiste un sottospazio W C R3 tale che V fi W sia vuoto.(d) Per ogni sottospazio W C R3 l'insieme V fi W contiene infiniti vettori.


Q 12. Sia data una matrice simmetrica A e R3,3 avente - t ( t - 1 )(t - 2) come polinomio caratteristico.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) 3 è autovalore di A.(b) Esiste P e R3,3 tale che det(PA) = 1.(c) A è diagonalizzabile.(d) A è definita positiva.

Q l. (a) E' falsa perché t + 2t — 3t = 0 ^ 1.(b) E' corretta. Basta considerare il fascio di piani & : (-2À — 3 fi)x 4- Xy + \iz = 0 che

contiene la retta r con X = l e fi =(c) E' falsa. Infatti £ + 2£-3£ = l => 0 = l è assurdo.(d) E' falsa perché (1,2,3) non è proporzionale con (1, 1, —1)

Q2 . (a) E' falsa, in quanto l'equazione di £ non ha nessuna variabile libera.(b) E' falsa, in quanto l'equazione di «=2 non è omogenea.(c) E' falsa. L'intersezione di £ col piano z = 1 non ha punti reali.(d) E' corretta. Infatti tagliando =2 ad esempio con i piani x = k, si ottengono delle

parabole. (Più precisamente è un paraboloide ellittico.)Q3. La matrice associata all'applicazione lineare / è :

che ha rango 2. Per il teorema della dimensione si ha dimKer ( /) = dimR3 - rk(Mf).

(a) E' falsa, infatti dimKer (/) ^ 0.(b) E' corretta, infatti d im lm (/) = rk(M /) = 2.(c) E' falsa in quanto dim lm (/) ^ 3.(d) E' falsa, infatti dimKer ( /) = 1.

Soluzione dei QUIZ

Q4. Il punto (2,0,0) si ottiene con t = 0. Inoltre P'(t) =

(a) E' falsa. Chiaramente la curva fé7 è regolare, infatti non solo ^ è una funzione iniettiva, di classe C°° ma / 0, per ogni t.


(b) E' corretta, infatti P '(0) =

(c) E' falsa, infatti P'(t) non si annulla per nessun valore t.(d) E' falsa, infatti giace nel piano y = 0.

Q5. (a) E' falsa. Si ricordi che il prodotto misto fra tre vettori non è nullo se solo se essi non sono complanari. Si ha

(b) E' falsa perché i vettori (0,1, - 2) e (3, —6 , -3 ) non sono proporzionali.(c) E' falsa perché il prodotto scalare < (1, - 1,3), (3, - 6 , -3 ) > è zero e i vettori

sono perpendicolari.(d) E' corretta. Infatti

(b) E' falsa perché esistono tutte le derivate parziali di / in (0,0).(c) E' falsa in quanto

d2f d2f w = 6 y -

(d) E' falsa perché 1 + 1 ^ 1 .Q7. L'equazione della sfera 5? la possiamo rappresentare nella forma:

(x + 2)2 + (y + l )2 + (z + l )2 = 6

che risulta essere proporzionale a w. Q6. (a) E' corretta. Infatti,

(a) E' falsa. Infatti il centro è C (—2 , —1, - 1)(b) E' falsa perché d(C, (0,0, - 2)) = \ /4 + 1 + 1 = V6.(c) E' falsa perché d(C, w) = 1 ^ \/6, dove V6 è il raggio di y .


(d) E' corretta. Basta sostituire le coordinate nell'equazione di y .

Q8. Si ha

B A = 1 V (1 - 2

(a) E' falsa. Infatti rk(A) = 1.(b) E' falsa perché rk(^l) ^ 3.(c) E' corretta. Lo si vede direttamente del prodotto.(d) E' falsa. Siccome B A è singolare allora ammette lo zero come autovalore.

Q9. Si consideri la matrice A delle componenti dei vettori. Si fanno alcune trasformazioni elementari

/3 -1 2 0\ /3 -1 2 0\ /3 -1 2 0\A = 3 0 1 - 1 - 0 1 -1 -1 ~ 0 1 - 1 - 1

\ 0 - 2 2 2/ \ 0 - 2 2 2/ \ 0 0 0 0 /

(a) E' falsa. Infatti i vettori riga sono dipendenti.(b) E' corretta. Infatti rk(A) = 2.(c) E' falsa perché a - b + 5c = (0, —11,11,11) = —11(0,1, -1 , -1 ).(d) E' falsa perché (a, 6, c) sono dipendenti.

Q10. Si usa il teorema di Rouchè-Capelli.

(a) E' corretta. Il sistema se è compatibile ha soluzione unica, oppure ha infinite soluzioni.

(b) E' falsa. L'invertibilità di A implica soluzione unica per il sistema.(c) E' falsa. Se la soluzione non è unica, allora il sistema ha infinite soluzioni.(d) E' falsa perché il sistema non è omogeneo.

Q ll. Si ricorda la formula di Grassmann:

dim(V + W ) = dim(F) + dim(W^) - dim{V n W)

(a) E' corretta. Basta considerare W = V.(b) E' falsa. Si supponga dim W = 2 e si avrebbe che dim(Vr D W) > 1.(c) E' falsa perché V D W contiene almeno il vettore nullo.(d) E' falsa. Basta considerare W = {(0,0,0)}.

Q12 . (a) E' falsa in quanto 3 non è radice del polinomio caratteristico.


(b) E' falsa. Usando la Formula di Binet, si ha che det(PA) = det P • det A = 1. Ma siccome A è una matrice singolare, det A = 0 .

(c) E' corretta. Infatti il polinomio caratteristico di A ha tre radici reali distinte.(d) E' falsa perché ammette lo zero come autovalore.


S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia data l'applicazione lineare / : R3 -> R3 definita da

f (<2,ò, c) = (ci + ò, 26, — ci -4- b -f- 2c).

(i) Determinare la matrice A e R3,3 di / rispetto alla base canonica di R3.(ii) Verificare che A è invertibile.(iii) Determinare gli autovalori di A.(iv) Determinare gli autospazi di A.(v) Determinare D ,P e R3,3, con D diagonale e P invertibile, tali che P ~ XA P = D. Svolgimento dell'esercizio 1.

(i) La matrice associata all'applicazione lineare / rispetto alla base canonica è :

A = M j '^ = | 1 2 0

(ii) Siccome det A = 4 (^ 0), allora A è invertibile.(iii) Gli autovalori di A sono le radici del polinomio caratteristico:

Pa (ì ) = det (A — t i) =1 - t 1 0

0 2 - t 0 - 1 1 2 - t

Gli autovalori di A sono: Ài = 1 con moltiplicità 1 e À2 = 2 con moltiplicità 2.(iv) Gli autospazi di A sono Va ( 1) = J if(( l,0 ,1)) e Va(2) = -£?((1,1,0),(0 , 0 , 1)).(v) Le matrice Z>, P tale che P ~ lAP = D, sono:

(1 0 0\ / I l 0'D = 0 2 0 , P = 0 1 0

\ 0 0 2/ \ 1 0 1

Esercizio 2 . Sia data la funzione

f (x ,y ) = (x - l ) (x2 - y2).

(i) Calcolare / ( —1, 1).(ii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione di /•Nello spazio si consideri la superficie S di equazione z = (x - l ) (x2 — y2).(iii) Calcolare un versore normale fi a <S nel punto di coordinate (0 , - 1, 1).(iv) Scrivere le equazioni parametriche di una retta contenuta nel piano tangente a S nel punto di coordinate (0 , —1 , 1).


Svolgimento dell'esercizio 2 .

(i) / ( —1, 1) = o.(ii) Facendo il gradiente di / uguale a zero:

v/(x , y) = = (3z2 - y2 ~ 2x, -2 xy + 2y) = (0,0)

si ottengono i punti Po = (0 ,0 ),P i(l, 1), /^ ( l , —1), iM 2/3,0). Calcolando la matrice hessiana di / in ciascuno di questi punti

( d2f d2f \_ i&x — 2 — 2y \ ¿ — 0 1 2 3~ \ - 2 y -2x + 2J >

dx2 dxdy d2f d2f

cioè

\dxdy dy2 ) |F.

Hf(Po) = ( “o 2) ’ Hf ^ ) = ( —2 _o ) ’ Hf W = ( 2 4)- Hf ( P5) = (0 2/ 3) ;

si ottiene che

(a) det Hf(Po) = -4 , allora (0 , 0 ) è un punto di sella per / ;(b) det Hf(Pi) = —4, allora (1, 1) è un punto di sella per / ;

(c) det Ì2/(P 2) = 12 e ^ > 0, allora (1, — 1) è un punto di minimo relativo per / ;

(d) det Hf (P3) = 4/3 e 0 > 0, allora (2/3,0) è un punto di minimo relativo per /•

(iii) La superficie S è rappresentata dalla equazione F (x ìy,z) = x 3 - xy2 - x 2+ y2 - z =0. Il piano tangente alla superficie S nel punto P (0 , - 1, 1) è :

dF dF dFux |P óy |p òz |P

cioè x + 2y + z + l = 0. Il versore normale a S nel punto(iii)

( x = t r : < y = - 1 - t

[ z = 1 + 1

Esercizio 3. Nello spazio siano date le rette r e s rispettivamente di equazione

. I x + y - 2 z = l f\ 2 x + y + z = l, \

3x + y + 4z = 2 x + 3z = 1.


(i) Verificare che le rette r ed s non hanno punti in comune.(ii) Stabilire se le rette r ed s sono parallele o sghembe.(iii) Determinare l'equazione di uno stesso piano n contenente sia r che s.(iv) Discutere, al variare di h e R, la posizione relativa delle rette r e

j hx + y - 2 z = l t h ‘ \ x + 3z = 1.

Svolgimento dell'esercizio 3.

(i) La matrice che rappresenta il sistema è :

/ I 1 - 2 1 \2 1 1 13 1 4 2

\ 1 0 3 1 /

ed equivalente a

1 - 2 1 \ / I 1 - 2 1 \- 1 5 - 1 ( 0 - 1 5 - 1- 2 10 - 1 0 0 0 1- 1 5 \ 0 0 0 0 /

Si ha

(rk(A) = 2 , rk(yl|fe) = 3) => r fi s = 0.

(ii) Le rette r ed 5 risultano essere parallele (sono nella direzione del vettore (3, -5 , — 1).)(iii) Per determinare il piano n contenente entrambe le rette, basterebbe considerare il

fascio di piani T : \ {x + y — 2z — 1) + /¿(2x + y + z — 1) = 0, dove À, fi sono reali entrambi non nulli che contiene r e se impone il passaggio per un punto Q della retta 5, ad esempio, Q(l, -1 ,0 ). Si ottiene il piano 2x + y + z - l = 0.

(iv) Si ha

Se h = 1, rk(A) = 2 e rk(A\b) = 3, allora le rette r e ht sono parallele.Altrimenti quando h ± 1 rk(A) = 3 e Tk(A\b) = 4 allora le rette r e ht sono sghembe.

2

Prova Scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore


Q l. In un riferimento affine dello spazio £ 3 sia data la quadrica a : x 2 + y 2 — z 2 = 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) a è una sfera di raggio 1 e centro l'origine;(b) a è un cono quadrico;(c) L'intersezione di a con il piano coordinato yz è un'iperbole;(d) Il piano tangente ad a nel punto (1,0,0) è il piano coordinato xy.

Q 2 . Sia data la funzione di due variabili reali

f (x ,y) = x 2 - 3xy

Sia V(0,0) / il vettore gradiente di / calcolato in (0,0).La derivata direzionale di / in 0=(0,0) lungo la direzione del vettore v = ( \ /2/ 2 , \ /2/ 2) :

(a) coincide con V(0,0)/;(b) non esiste;

(c) coincide con il limite limt—>-0 t(d) coincide con il prodotto scalare tra il vettore v e il vettore V(0,o)/-

15

16 2 - Prova Scritta del27Giugno2011-2 ore

Q3. Siano V e W due sottospazi di R4, e sia V di dimensione 3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) Esiste un sottospazio W C R4 tale che dim (y + W) = 4;(b) Se dim(W0 = 3, allora dim(W n V). < 1;(c) Se dìm{W) = 1 allora dim(W n V) = 0;(d) Per ogni sottospazio W C R4 l'insieme V D W contiene infiniti vettori.

Q4. Nello spazio sia data la curva ^ di equazione

7 (t) = (t + 1,27r + t,t2 - 3).

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il punto (0 ,7r, —2) appartiene a fé7 ;(b) La retta tangente a ^ nel punto (2,27r + 1, - 2) è parallela a Ì+ 2k;(c) ^ non è regolare;(d) ^ è contenuta in un piano parallelo all'asse delle 2 .

Q5. Sia V lo spazio vettoriale dei vettori applicati in O; si considerino in V i vettori:

u = 3z + f —4k, v = 4i + 5k, w = z-\- 2 f —3k.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) u, v, w sono complanari;(b) u, v, w formano una base di V ;(c) u e w formano un angolo ottuso;(d) u è ortogonale a v + w.

Q 6. Sia data la funzione di due variabili reali f(x,y) = ^ — . Sia D il dominio diy/x2+y2- 1/ •Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) D è u n insieme aperto illimitato;(b) D è un insieme aperto limitato;(c) D è un insieme chiuso e limitato;(d) D è un insieme chiuso.

Q7. Nello spazio sia data la superficie sferica S? di equazione

£ 2 + y2 + z 2 + 4x + 2y + 2z = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

2 - Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore 17

(a) Il centro di S? è (2,1,1)(b) Il centro di 5? ha distanza 1 dal punto (0,0, — 2)(c) La distanza di 0 = (0,0,0) dal centro di S? è uguale al raggio di 5?(d) (-2 , — 1, — 1) G ^

Q 8 . Sia data la matrice

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il rango di A è 1;(b) Lo spazio delle righe di A ha dimensione 2 ;(c) La matrice A è invertibile;(d) det(A) =dei(A~1).

Q9. Si consideri la matrice:

(a) Il sistema lineare A X = 0 non ha soluzioni;(b) Esistono matrici B tali che il sistema lineare A X = B abbia una sola soluzione;

(c) La prima, la seconda e la terza riga sono linearmente indipendenti;(d) Due colonne distinte qualsiasi di A formano una base dello spazio delle colon

ne.

Q 10 . Sono date le matrici A e Rm n (dove m ^ n) e B e Rm l ; si supponga che il sistema A X = B abbia una soluzione unicaQuale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La matrice A è invertibile;(b) Il rango di A è m:(c) Deve essere m <n:(d) Il rango di A è n.

x + y + zQ ll . Sia / : R3 — R4 l'applicazione lineare definita da / ( y ] = | ^x ' - y '+ z

Quale delle seguenti affermazioni è vera?\4x — 2y + 2z)

18 2 - Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore

(a) /è in ie ttiv a ;(b) L'immagine Im (/) ha dimensione 2;(c) / è suriettiva;(d) Il nucleo ker(/) ha dimensione 2.

Q 12 . Sia data ima matrice simmetrica A e R4,4 avente (t — 2)2(t - 5)2 come polinomio caratteristico.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) A potrebbe non essere diagonalizzabile, perché possiede autovalori doppi e

non si conoscono le dimensioni dei relativi autospazi;(b) Non esiste nessuna matrice P € M4,4 tale che det(P^4) = 1;(c) La matrice A possiede due autospazi ciascuno di dimensione 2;(d) La matrice A non è invertibile.

Soluzione dei QUIZ

Q1 (a) E' falsa perché per essere una sfera dovrebbe essere somma di quadrati.(b) E' falsa perché è un polinomio di secondo grado ma non omogeneo.(c) E ' corretta poiché si ottiene, intersecando con x = 0 :

\ y 2 - z 2 = 1 \ X = 0

(d) E' falsa. Infatti il piano tangente ad a nel punto (1,0,0) è 2x - 2 = 0.

Q2 (a) E' falsa perché la derivata direzionale è uno scalare.(b) E' falsa, infatti vale la d).(c) Anche se la definizione di derivata direzionale sarebbe

t—>-0 ~t

l'alternativa è tuttavia corretta, perché il limite proposto è 0 in accordo con la risposta d).

(d) E' corretta. Infatti la derivata direzionale di f in O, lungo la direzione del vettore v è , per definizione, il prodotto scalare

K ( li(0,0) ’ i£(0,0)) ’ (v /2, /2) >

che in questo caso risulta essere zero.


Commento: questo quiz aveva due risposte esatte.Q3 Si applica la formula di Grassmann

dim(V + W) = dim V + dim W - dim(V fi W)

(a) E' corretta. Basta prendere W un sottospazio complementare a V.(b) E' falsa perchè dim W = 3 => dim (y fi W) > 1.(c) E' falsa. Basta considerare W sottospazio di V.(d) E' falsa perché ad esempio se W = {0^4} l'intersezione sarebbe soltanto il

vettore nullo.

Q4 (a) E' falsa, perché sostituendo il punto in 7 , delle due prime relazioni si otterrebbe t = — 1 = — 7r e questo è una contraddizione.

(c) E' falsa. Infatti La curva fé7 è regolare, infatti 7 non solo è una funzione iniettiva, di classe C°° ma 7 f(t) ^ 0, per ogni t.

(d) E' corretta poiché la curva & é contenuta nel piano x — y — l + 27r = 0 parallelo all'asse z.

Q5 Si osserva che

(a) E' falsa. Il prodotto misto dei vettori è diverso di zero.(b) E' corretta. Infatti l'insieme dei vettori {u, v,w} è linearmente indipendente.(c) E' falsa perché cos 0 > 0, dove cos 0 è l'angolo compresso fra u e w.(d) E' falsa perché il prodotto scalare < u, v + w > zero.

Q6 (a) E' corretta, perché l'insieme e' l'esterno della circonferenza, cioè x 2 + y 2 > 1.(b) E' falsa. L'insieme è illimitato.(c) E' falsa per quanto detto in (a).(d) E' falsa perché 1 l'esterno della circonferenza non è un insieme chiuso.


Q7 L'equazione della sfera y la possiamo rappresentare nella forma:

(a; + 2)2 + (y + l )2 + (z + l )2 = 6

dove il suo centro è C ( - 2, — 1, — 1) e il suo raggio è R = \ / 6 -

(a) E' falsa. Infatti il centro è C(-2 , - 1 , - 1 )(b) E' falsa perché d(C, (0,0, — 2)) = y/6.(c) E' corretta perché d(0, C) = V&.(d) E' falsa. Basta sostituire le coordinate del punto nell'equazione di y .

Q8 (a) E' corretta corretta. Infatti tutte le righe sono proporzionali alla riga (3,4,5).(b) E' falsa in quanto due righe sono sempre dipendenti.(c) E' falsa perché det(A) = 0.(d) E' falsa perché A non è invertibile.

Q9 (a) E' falsa perché tutti i sistemi omogenei hanno almeno la soluzione nulla.(b) E' falsa perché rk(A) = 2 . Per il teorema di Rouchè - Capelli, il sistema è

incompatibile oppure ha infinite soluzioni.(c) E' falsa. Basta osservare che (1,1,5) = (1,2 ,3) + (0, —1,2).(d) E' corretta. Infatti prendendo due colonne distinte qualsiasi sono linearmente indipen

denti, inoltre tutti e tre sono dipendenti.

Q10 Si usa i teorema di Rouchè - Capelli.

(a) E' falsa perchè m ^ n .(b) E' falsa perché rk(A) = m = n.(c) E' falsa perché m > n .(d) E' corretta. Infatti rk(A) = rk(A\B) = n - numero di incognite.

Q ll Si usa il teorema della dimensione,

dim Ker / = R3 — dim I m f .

(a) E' falsa in quanto dim Ker / ^ 0./ 1\ / 0 \

(b) E' corretta. Infatti Im(/) =

(c) E' falsa perché dim lm / = 2.(d) E' falsa perché dim Ker / = 1.

12

woì

V2/


Q12 (a) è falsa in quanto ogni matrice simmetrica reale è diagonalizzabile.(b) E' falsa. Siccome A è non singolare, allora P = A ~ x e tale che det(PA) = 1(c) E' corretta. Infatti perché A è diagonalizzabile, dal polinomio caratteristico si deduce

che ammette due autospazzi ciascuno di dimensione 2.(d) E' falsa perché A non ammette lo zero come un suo autovalore.

Se c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia dato l'endomorfismo / : K3 -> E 3 definita da

/ x \ ( x + y

(i) Determinare la matrice A e R3,3 di / rispetto alla base canonica di R3;(ii) Provare che / è semplice;(iii) Dire se esistono valori di k e R per cui (k,k,k) sia autovettore di / ;(iv) Determinare D,P e R3,3, con D diagonale e P. ortogonale, tali che

P ~ lA P = D

(v) (*) (facoltativo) Provare che A3 è diagonalizzabile e trovare ima matrice diagonale simile ad A 3.Svolgimento dell'esercizio 1.

(i) la matrice A richiesta è:

A =

(ii) La matrice associata ad / è simmetrica e quindi / è semplice;(iii) Si ha:

/ k \ (1 1 0\A [ k = 1 1 0

\ k j VO 0 1;

f k\Non esistono quindi k ^ 0 tali che 10 1 sia autovettore di / .

iv) Gli autovalori di A sono 0 , 2 , 1. Una base di R3 formata da autospazi di A è data dalle colonne della matrice


La matrice P ottenuta da Q normalizzando le colonne è la soluzione cercata:

A /2 /2 —v/2 /2 0 \P ■= s/2/2 V2/2 0

V 0 0 1 )

(v) Una potenza di una matrice simmetrica è simmetrica. Quindi A 3 è simmetrica e pertanto diagonalizzabile. Inoltre se v è autovettore di A relativo ad un autovalore A € 0,2,1 si ha

ì43v = A 2(Av ) = j42(Av) = Aì42(v) = A^4(Av) = A^4(Av) = A2j4v - A3v

Pertanto la matrice diagonale:/ 0 0 0\

0 1 0 \0 0 8/

è simile ad A 3.

Esercizio 2. Sia data la funzione

f (x ,y) = 4x 2 - x y -y

(i) Sia A=(2 ,l). Dire se l'applicazione cU(/) : M2 R (il differenziale di / in A) è suriettiva.(ii) Trovare i punti (x,y) e R2 che appartengono al nucleo di gU(/) e rappresentarli sul piano (0 ,x ,y ).(iii) Determinare gli eventuali punti di stazionarietà di / e precisarne la natura.(iv) (*) (facoltativo) Si consideri ora la funzione g{x,y) = log(/(x,y)).Senza eseguire ulteriori calcoli, ma sfruttando quanto fatto in precedenza, dire se g(x,y) ha punti di stazionarietà, e, in caso affermativo, precisarne la natura.Svolgimento deiresercizio 2 .

(i) Si ha

d t f = ( % • % ) A ~ ( 8* - ”• + = ( i 5 , - 11

Siccome la matrice (15, - 1) ha rango 1, cU / è suriettiva.(ii) I vettori del nucleo sono H i)


Si può rappresentare come una retta passante per l'origine parallela al vettore

(iii) I punti stazionari sono i punti (zo>2/o) soluzioni del sistema:

( 8x — y = 0

l - * V = 0

sostituendo y = 8x della prima equazione nella seconda, si ottiene:

64x3 - 1 = 0

sotto la condizione x ^ 0 . Si ottiene come unica soluzione reale x = 1/4, da cui y = 2. Allora (1/4,2) è l'unico punto stazionario. La matrice Hessiana nel punto

e pertanto il punto stazionario è di sella.(iv) L'immagine del punto stazionario è:

/( l/4 ,2 ) = 1/4 - 1/2 - 1/2 = -3 /4 .

Siccome il log è una funzione monotona crescente, i massimi e minimi di log (f(x,y)) coincidono coi massimi e minimi di f (x,y) purché questi stiano nel dominio. Siccome log(—3/4) = log(/(l/4,2)) non è definito, segue che la funzione proposta non ha neppure punti stazionari.

Esercizio 3. E' dato il sistema

r x + 3y = 0< 3x — Sy — 2z = 0[ 4 x + hz = 0

(i) Discutere le soluzioni del sistema al variare di h e R.(ii) Posto h = — 2, trovare una base dello spazio delle soluzioni.(iii) Si considerino i piani

a : x + 3y = 0fi : 3x — 3y — 2z = 07 : 4x + hz = 0

Senza fare ulteriori calcoli (ma sfruttando i risultati ottenuti in precedenza), discutere, al variare di h e R, le posizione relative dei tre piani e trovarne gli eventuali punti comuni.Svolgimento deiresercizio 3.

24 2 - Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore

(i) Il sistema proposto può scriversi nella forma

A hX = 0

dove( 1 3 0 \

A h := 3 - 3 - 2\4 0 h i

Il sistema omogeneo ha soluzione nulla unica se e solo se det(Ah) ^ 0, ossia se e solo se h ^ — 2. Per h = —2 il sistema ammette un sottospazio undimensionale di soluzioni.

(ii) Una base dello spazio di soluzioni si ottiene, per esempio, risolvendo il sistema

( x + Sy = 0 ì 4x — 2z = 0

da cui x = —3y e z = 2x = —6y. Allora:

ker(A_2) =' —3

, - 6

iii) Per h ^ — 2 i tre piani si intersecano in un solo punto (l'origine). Per h = — 2 i tre piani hanno in comune l'asse z, ossia appartengono al fascio di piani di asse l'asse

3

Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore


Q l. Nello spazio siano dati i punti A = (0 ,1,0), B = (1, 2 , 1), C = (0,2 , - 1). Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) I punti A, B, C sono allineati.

(b) L'area del triangolo di vertici A , B , C è >/6/ 2 .(c) Il piano di equazione x + y — 2z = 0 contiene A, B, C.(d) Non esistono piani contenenti A, B , C.

Q 2 . Nel piano sia data la conica fé7 di equazione

2x2 + xy + y2 = 1.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) ^ è degenere.(b) ^ è un'iperbole.(c) L'asse delle ascisse è tangente a(d) ^ è un'ellisse.

25

26 3 - Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore

Q3. Nello spazio si considerino la sfera y ed il piano n rispettivamente d'equazione

x 2 + y2 + z2 — 4a? = 0, 2x + 2y + z + 2 = 0.


(a) Il raggio di y è 3.(b) 7r è tangente a y.(c) La distanza di n dal punto (2 ,0,0) è 3.(d) y n 7r è una circonferenza di raggio 3.

Q4. Nello spazio siano dati i tre piani a, fi e 7, rispettivamente d'equazione

a : x + y — z = 1, fi : 2x — y + z = 2, j : x — 2y + 2z = l.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) a n fi fi 7 consiste in un unico punto.(b) Esiste una retta r perpendicolare sia a a che a 7.(c) 7 appartiene al fascio avente asse la retta a n fi.(d) La retta passante per i punto (0,0,0) e (1, —1,2) è contenuta in 7.

Q5. Sia A e R3,6 avente rango 3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) L'applicazione lineare \x : R6 -» R3 definita da ¡jl( X ) = A X è tale che dim(ker(/z)) dim(Im(/i)) (qui gli elementi di Rn sono pensati come colonne).

(b) Esiste B e R3,3 con det(£) ^ 0 tale che B A sia la matrice nulla.(c) Sia lA la trasposta di A. Allora la matrice prodotto lA • A è invertibile.(d) Esiste B E R3,1 tale che il sistema A X = B sia incompatibile.

Q 6. Sia data la funzione di due variabili reali /(x , y) = (2 - x 9)(2 - y9).Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) Esiste (a,b) e K2 tale che ¿ ^ ( o , b) £ ^ ¿ ( a , b).(b) Esistono a, b e R tali che Im (/) C [a, b\.

(d) Il punto (0,0) è stazionario per / .

3 - Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 27

Q7. Sia data la matrice simmetrica

-1 0 1 A = ( 0 - 1 0

1 0 0»3,3


(a) Il polinomio caratteristico di A è - 2 t3 + 7t2 — t + 2 .(b) A non è definita.(c) Esiste X e R3,1 non nullo tale che A X = X .(d) A è definita positiva.

Q 8. Sia data l'applicazione lineare / : R3 —» R3 definita da

f ( x , 2/, z) = (x - y + 2z, - x + y + 2z , 2x + 2y).

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) / è suriettiva.(b) (1 ,-8 ,64) g lm (/) .(c) (1,1, —1) G ker(/).(d) / non ha autovalori in R.

Q9. InR 4 si considerino i vettori a = (1, - 2 , - 1, 2), b = (2 , 1, —2 , —1) ec = (1, —3, -1 ,1 ). Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) c g JSf(a,6).(b) Esiste un'applicazione lineare suriettiva / : R4 —> R3 avente a,ò,c e ker(/).(c) dim(«i?(a, 6, c)) = 2 .(d) Esiste d e R4 tale che (a, 6, c, c?) sia una base di R4.

Q 10 . Si consideri la curva parametrizzata 7 (t) = (2t + 1, £3,3 t2 — 1) e sia r la sua retta tangente in 7 (0 ) = (1, 0 , —1).Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) r è perpendicolare al piano di equazione 2x — y = 0 .(b) r interseca il piano di equazione z — 3 nel punto (1,1,3).(c) r è parallela al piano di equazione x — 2y + Az = 0 .(d) r è contenuta nel piano coordinato xz.

28 3 - Prova scritta del27Giugno 2011-2 ore

Q U . Si consideri l'insieme A = { (x,y) e R2 | x 2 - 2y < 0 , x < 5 }.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) A è aperto.(b) A possiede punti isolati.(c) (2 , 2) è punto d'accumulazione per A.(d) A è compatto.

Q 12 . Si considerino le funzioni / : R2 -> R3 e g : R3 ->* R2 definite da

f(u,v) = (sin ti, cosSu + cost^sin ii), g{x,y,z) = (x2 — y,z3),

e sia J la matrice jacobiana di h = g o / nel punto (7r, 7t / 4).Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) J è la matrice unità 3 x 3 .(b) J è la matrice nulla 2 x 3 .(c) J è una matrice 2 x 2 .(d) J è una matrice diagonale 3 x 2 .

Soluzione dei QUIZ

/° 1 ° \Q l. (a) E' falsa. Infatti il determinante della matrice 1 2 1 è diverso di zero e

VO 2 -1 Jquindi i vettori sono indipendenti.

(b) E' corretta. I tre punti non sono allineati. Seu = B —A, v = C —A, usando il prodotto

vettoriale si può calcolare l'area del triangolo formato per i tre punti: ^ \ u x v \ = ì >/6 .

(c) E' falsa, ad esempio il punto A non appartiene al piano, infatti 0 + 1 - 0 ^ 0.(d) E' falsa perché per tre punti non allineati sempre esiste un piano che li contiene.

Q2 . Le matrici della curva ^ sono:

_ ( 2 1/2 \ - { l /2 1 )

(a) E' falsa in quanto det B = - 7 /4 ^ 0.(b) E' falsa in quanto det A = 7/4 > 0.(c) E' falsa perché ^ interseca y = 0 in due punti distinti.(d) E' corretta poiché det A è positivo.

3 - Prova scritta del27Giugno 2011-2 ore 29

Q3. L'equazione della sfera 5? si può scrivere

(x - 2)2 + y2 + z2 = 4.

dove il centro è C(2,0,0) e il raggio è R = 2 .

(a) E' falsa. Infatti il raggio della sfera è 2 .

(b) E' corretta in quanto d(C, ir) = I2 2 + 2 Q + 1 0 +_jj = 2 = R.* V22 + 22 + l 2

(c) E 'falsa per (a).(d) E' falsa, perché il raggio di S? D n non può essere maggiore di 2.

Q4. Si consideri la matrice A:

(a) E' falsa perché rk(A) ^ 3.(b) E' falsa perché a e j non sono paralleli.(c) E' corretta. Infatti rk(A) = 2 eia terza riga e combinazione lineare delle altre due.(d) E' falsa perché il punto (0,0,0) non appartiene a 7 .

Q5. (a) E' corretta. Siccome rk(;4) = 3 = dimlm(//)) = 3, allora per il teorema della dimensione si ha che:

dimR6 = 6 = dimKer ((//)) + dimlm((/x)) = dim Ker ((/x)) + 3,

di conseguenza dim Ker ((//)) = dimlm ((//)) = 3.(b) E' falsa perché entrambe le matrici A e B hanno rango 3.(c) E' falsa perché il prodotto risulta essere ima matrice 6 x 6 e nonn è detto che il

loro rango sia 6 .(d) E' falsa perché il rango di A è 3.

Q6 . (a) E' falsa per il teorema di Cauchy-Schwarz.(b) E' falsa perché / non è limitata.(c) E' falsa. Infatti si ha che

0 = - 8 • 18x7 + 9 • 8x 7y9, 0 = - 8 • 18y7 + 9 • 8x 9y8.

(d) E' corretta. Infatti f(x,y) = 4 — 2y9 — 2x9 + x 9y9 calcolando le derivate parziali di f si ha:

30 3 - Prova scritta del27Giugno2011-2 ore

? f = -1 8 xs + 9®8y9, IT = - 1 % 8 + 9x8y9 ox oy

ottenendo

f - 1 8 x 8 + 9x8y9 = 0 lSy8 4 - 9x8y9 = 0

pertanto il punto (0 ,0) è un punto di stazionario per f.

Q7. (a) E' falsa. Il polinomio caratteristico della matrice A è PA{t) = —t3 — 2t + 1.(b) E' corretta. Per la regola di Cartesio il polinomio caratteristico di A ha soltanto un

cambiamento di segno e A ammette un autovalore positivo (l'altro è negativo) allora A è non definita.

(c) E' falsa in quanto la matrice A non è la matrice identica.(d) E' falsa perché è non definita.

Q8 . La matrice associata all' endomorfismo / è :

(a) E' corretta per il teorema della dimensione in quanto rk(A) = 3.(b) E' falsa perché / è suriettiva.(c) E' falsa perché il nucleo di / contiene soltanto il vettore nullo.(d) E' falsa perché il polinomio caratteristico è di grado 3.

Q9. (a) E' falsa perché i vettori a, ò, c sono lineam enti indipendenti.(b) E' falsa in quanto il nucleo di / sarebbe di dimensione 1.(c) E' falsa perché dim«if ((a,6,c)) = 3.(d) E' corretta per il teorema di completamento ad una base.

Q10 . Si ha che

La retta r tangente nel punto 70 ha equazioni parametriche:

3 - Prova scritta del27Giugno2011-2 ore 31

(a) E' falsa perché r è nella direzione del vettore (1,0,0).(b) E' falsa perché l'intersezione di r col piano z = 3 è vuota.(c) E' falsa perché < (1,0,0), (1, - 2 ,4) 0.(d) E ' corretta perché il piano coordinato xz ha equazione y = 0 .

Q l l Osservare che A è costituito dai punti che stanno al di sopra della parabola y > x 2 e tali che x > 5.

(a) E' falsa. Infatti esistono dei punti in A per cui nessun intorno è contenuto in A.(b) E' falsa. Infatti per qualsiasi P punto di A, ogni intorno non vuoto di P

interseca A.(c) E' corretta. Infatti ogni disco aperto centrato in (2 ,2) possiede punti distinti da (2,2)

che appartengono ad A. Infatti, per ogni 5 > 0 il punto (2 , 2 + | ) e A (basta sostituire nella definizione di A).

(d) E' falsa perché l'insieme A non è limitato (e non è nemmeno chiuso).

Q12 La matrice jacobiana di h in un suo punto è uguale al prodotto delle jacobiane di g e h che hanno ordine rispettivamente 2 x 3 e 3 x 2, cioè 2 x 2 .

(a) E' falsa.(b) E' falsa.(c) E'corretta.(d) E' falsa.


S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia data la matrice

A =

(i) Verificare che è un autovettore di A e determinare il corrispondente autova

lore.(ii) Calcolare il polinomio caratteristico p(t) di A.(iii) Determinare tutti gli autovalori di A.(iv) Determinare una base per ogni autospazio di A.(v) Determinare una matrice invertibile P € R3,3 tale che P ~ lA P sia diagonale.(vi) Stabilire se esiste una matrice Q e R3,3 non nulla e tale che AQ = 5Q. Svolgimento deiresercizio 1.

(ii) Il polinomio caratteristicop a {ì ) si calcola facendo il determinante della matrice

ed è uguale a —t3 + 912 — 151 — 25 = (5 — t )2(—1 — t).(iii) Gli autovalori di A sono Ài = 5 con moltiplicità algebrica 2 e À2 = —1 con

moltiplicità algebrica 1.

(i) Il vettore è un autovettore della matrice A. Infatti:

- 1 - t 0 2 det(A — t • Jrs) = —6 5 — t 2

0 0 5 - t

1,2 . Più precisamente:

(v) Una matrice P invertibile tale che P lA P sia diagonale è :


(vi) La risposta è affermativa. Basta scegliere Q = (Ci(Q), C2(Q), Cs(Q)) dove ciascuna colonna Ci(Q) sia un autovettore di A relativo a 5, almeno uno non nullo. Per esempio

/ 0 0 0\Q = 1 1 1 .

\ 0 0 0/


f{x,y) = 2x3 + 2y3 - 3xy.

(i) Determinare i punti stazionari di / .(ii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo (relativi) o di sella della funzione / .Nello spazio si consideri la superficie S di equazione 2x3 + 2y3 - 3xy — z = 0 .

(iii) Verificare che il punto Po = (2 ,1 ,12) appartiene a S.(iv) Determinare l'equazione del piano 7r0 tangente a S nel punto Po-(v) Determinare l'equazione di una retta passante per l'origine O = (0 , 0 , 0 ) e perpendicolare al piano 7r0.

Svolgimento deH'esercizio 2 .

(i) Le derivate parziali di / sono:

g = 6x’ - 3 „ , ! = 6 „ * - 3 x.

Risolvendo il sistema di equazioni:

f 6x2 - 3y = 0 \6y2 - 3 x = 0

si ottengono i punti stazionari di / è sono P i(0,0) e P2( l /2 ,1/2).(ii) Calcolando il determinante la matrice hessiana di / nei punti 1,2

dei Hf (Pi) 0 - 3 - 3 0 = -9 .

Perciò il punto Pi è un punto di sella per / . Invece P2 è un punto di minimo per /

(d e tF / (P2) > 0 , 0 ( 1 / 2 ,1 / 2 ) >0. )

34 3 - Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore

(iii) Il punto Po = (2 ,1,12) G 5, basta sostituire le coordinate nell'equazione di 5, infatti 2 -8 + 2-1 + 3- 2-1 — 12 = 0.

(iv) La equazione del piano tangente no tangente a S nel punto Po è : 21x — z — 30 = 0.(v) Una retta passante per l'origine O = (0,0,0) e perpendicolare al piano 7r0 è :

( x = 2lt\ y = ol z = - t

Esercizio 3. Sia dato il sistema

{ x — 3y + z = 0 2x + y + 5z = b

—ay + 3z = -2 ,

al variare di a,b G M.(i) Determinare i valori di a e b per cui il sistema ha un'unica soluzione, infinite soluzioni oppure è incompatibile.(ii) Determinare le soluzioni del sistema quando a = — 7 eb = — 2.(iii) Determinare un valore di a ed uno di b per cui il sistema non sia risolubile, giustificando la scelta.Nello spazio si considerino i tre piani a, fi e 7, rispettivamente d'equazioni

a : x — 3y + z = 0, ¡3 : 2x + y + 5z = 0, 7 : 3z + 2 = 0.

(iv) Dire se è vero o falso che a fi f3 n 7 è una retta, giustificando la risposta. Svolgimento deiresercizio 3.

(i) La matrice che rappresenta il sistema è :

(ii)(iii)(iv)

3 1 ! f 1 - 3 1

1 5 b 1 ~ 07 3

a 3 — 2 ) ' l o —a 3A\B = 2

Usando il Teorema di Rouchè - Capelli, se a = - 7 e b = - 2 il sistema ha infinite soluzioni. Invece se a ^ 7 il sistema ha soluzione unica. Se a = —7 e b / - 2 allora il sistema è incompatibile.Quando a = — 7 e b = —2, le soluzioni sono : x = — | — ^ z , y = a = —7, b 7 —2 . Infatti rk(A) = 2 e vk(A\B) = 3.La affermazione è falsa, infatti la matrice

- 3 1 01 5 00 3 - 2

e tale che rk(A\B) = rk(A) = 3, allora a D fi n 7 si incontrano in un punto.

4

Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) r ed s hanno un punto in comune;(b) r ed s sono parallele;(c) r ed s sono parallele al piano n : x = 2;(d) r ed s sono contenute nel piano a: x + y = 0 .

Q 2 . Sono dati i vettori applicati

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) u, v, w sono complanari;(b ) u e v sono ortogonali;(c) dim(J£(u,v,w)) = 2;(d) w è parallelo a v.


Q l. Nello spazio sono date le rette

r :x = 0 V = t z = 2t

u = Ï — j, v = Ì + j — 6fc, w = j + 3k

35

36 4 - Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore

Q3. Sia M e M4,6 la matrice di un'applicazione lineare / . Si supponga M di rango 4. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) Il nucleo ker(/) ha dimensione 1;(b) / è suriettiva;(c) l'immagine Im (/) ha dimensione 2;(d) /è in ie ttiv a .

Q4. Nello spazio è data la curva ^ rappresentata parametricamente, al variare di t € IR, da

p(t) = (t2, ì , ^ - 1).

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) ^ è contenuta nel piano z = 1;(b) La retta tangente a ^ nel punto (0,1,0) è parallela all'asse delle z;(c) ^ passa per l'origine O;(d) fé7 non è piana.

Q5. Quale delle seguenti affermazioni è vera?Nello spazio l'equazione x 2 + y - 2z2 = 0 rappresenta

(a) una curva non piana;(b) un cono;(c) un iperboloide;(d) una superficie che ha in comune due rette con il piano y = 0 .

Q 6 . Sia data la funzione di due variabili reali f(x,y) = y 2 + Sx2 — x3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) VP/ ^ (0,0), per ogni punto P e E2;(b) (0 ,0 ) è un punto di massimo per / ;

o r(c) — si annulla in infiniti punti;(d) (2 ,1) è un punto stazionario per / .

4 - Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore 37

Q7. Nello spazio sia data la sfera y di equazione

x 2 + y2 + - 4z + 3 = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il centro di y appartiene al piano z = 0;(b) il piano ir : z — 1 = 0 taglia y secondo una circonferenza di raggio 1;(c) y è tangente al piano n : z = 0;(d) l'asse delle y non ha punti in comune con y .

Q 8. E' data l'applicazione lineare / : R3 ->* R3 definita da

f{x,y,z) = (x + 2y + z,y - 3z , - z)

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) 0 è autovalore per / ;(b) (1,0 ,0 ) è autovettore per / ;(c) (1,0 ,0 ) appartiene a ker(/);(d) (1,0 ,0 ) non appartiene a Im (/).

Q9. E' data la funzione / : R2 -» R2 definita da

f (x ,y) = (x2 + 2 y,x + ey)

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) la matrice jacobiana di / è invertibile in (1,0 );(b) / è una applicazione lineare;(c) / non è differenziabile in (1,0 );(d) la matrice jacobiana di / ha determinante nullo in (1,0 ) .

Q 10. Sia A e Rn,n la matrice dei coefficienti di un sistema lineare omogeneo avente soluzioni non nulle.Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) per qualche B e R71’1 il sistema lineare A X = B non è risolubile;(b) la matrice A è invertibile;(c) per ogni B € R71’1 il sistema lineare A X = B ha infinite soluzioni;(d) per qualche B £ Rn l sistema lineare A X = B ha ima sola soluzione .

38 4 - Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore

Q ll . Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4.Quale delle seguenti affermazioni è vera?Esistono due sottospazi U e W di V di dimensione 3 tali che:(a) d im o r i W) = 4;(b) dim(E/ n W) = 0;(c) dim({7 n W) = 1;(d) dim(i7 n W) = 2.

Q 12 . Una matrice M e M3,3 ha autovalori 0,1,2 .Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) M è invertibile;(b) M ha polinomio caratteristico p(T) = 1 - T3;(c) M è diagonalizzabile;(d) un autospazio di M ha dimensione 2.

Soluzione dei QUIZ

Q l. (a) E' falsa perché tutti i punti di r hanno la prima coordinata uguale a 0, invece quelli di s uguale a 1.

(b) E' falsa perché r è nella direzione del vettore (0 ,1,2), invece s è nella direzione del vettore (0 ,2 ,1) e questi vettori non sono proporzionali.

(c) E' corretta. Infatti

< (0 , 1, 2), (1, 0 , 0 ) > = 0 , < (0 , 2 , 1), (1, 0 , 0) > = 0 .

(d) E' falsa perché al sostituire le coordinate parametriche di r ed s nell'equazione del piano non si ottiene un'identità.

Q2 . (a) E' falsa perché

< u x v ,u > | =1 - 1 0 1 1 - 60 1 3

= 12(^ 0)-

e affinché tre vettori siano complanari il prodotto misto fra loro deve essere nullo.

(b) E' corretta in quanto il prodotto scalare < (1, - 1, 0 ),(1, - 1, 6) > = 0 .(c) E' falsa in quanto det A ^ 0.(d) E' falsa perché i vettori v e w non sono proporzionali.

4 - Prova scritta del27Giugno 2011-2 ore 39

Q3. Si tratta di una applicazione lineare / : R6 —» R4 con dim Im f = 4. Usando il teorema della dimensione si ha che

dim Ker / = dim R6 - dim Im f = 2.

(a) E' falsa perché dim Ker / = 2.(b) E' corretta perché dim Im/ = dim R4.(c) E' falsa in quanto dim Im / = 4.(d) E' falsa in quanto dim Ker / 0.

tQ4. (a) E' falsa perché — — t = 1 non è una identità.

ó(b) E' corretta. Infatti il punto P (0,1,0) si ottiene conto = 0. Siccome P'(t) = (2£,0 , ¿2-

1) e P '(0) = (0,0, - 1), allora la retta tangente a V nel punto P è parallela all'asse delle z.

(c) E' falsa perché la seconda coordinata di ^ è sempre 1.

(d) E' falsa perché le funzioni polinomiali ^£2, 1 , y — sono linearmente indi-

pendenti nello spazio vettoriale delle funzioni polinomiali.Q5. (a) E' falsa perché è l'equazione di una superficie quadrica.

(b) E' falsa perché non è un'equazione omogenea.(c) E' falsa perché il termine indipendente è zero.(d) E' corretta perché se y = 0 allora x 2 — 2z2 = 0 => (x — y/2z)(x + y/2z) = 0.

' d f d f \ Q oQ6 . (a) E' falsa. Infatti V/(ìc, y) = ^ j = (6x - 3x , 2y) e V /(0 ,0) = 0.

(b) E' falsa. Infatti calcolando il determinante della matrice hessiana nel punto(0,0)

3 « » f i -

a2/ d2f ,dXd y M ^ (° ’0)

6 0 0 2 = 12 > 0

e risulta che (0 , 0 )non può essere punto di minimo.o r

(c) E' corretta, infatti — = 6x — 3x2, e si annulla in tutti punti del tipo (0,y) e (2,y)ox

con y e R.(d) E' falsa in quanto V/ ( 2 , 1) ^ 0.

Q7. L'equazione della sfera 5? si può scrivere


x 2 + y 2 + ( z - 2)2 = 1 .

dove il centro di 5? è C(0,0, — 2) e il raggio R = 1. Si ha che:

(a) E' falsa perch'è la coordinata z di C è diversa da zero.(b) E' falsa perché il piano ir è esterno alla sferea 5?.(c) E' falsa in quanto la distanza di C al piano z = 0 è 2 .(d) E' corretta in quanto y2 + 3 = 0 non ha punti reali.

Q8. Si osserva che l'endomorfismo / è un isomorfismo. Infatti la matrice A associata a / rispetto alla base canonica è :

che chiaramente ha rango 3.

(a) E' falsa in quanto la matrice A è non singolare e perciò lo zero non è un suo autovalore.

(b) E' corretta in quanto / ( l , 0,0) = 1(1,0,0).(c) E' falsa in quanto Ker / = {(0,0,0)}.(d) E' falsa perché Im/ = R3.

Q9. La matrice jacobiana di / è :

che non è invertibile.(b) E' falsa in quanto / , ad esempio nella sua prima componente, contiene un

polinomio quadratico.(c) E' falsa in quanto le derivate parziali di / sono continue.

(a) E' falsa. Infatti la matrice

2 2(d) E' corretta perché = 0 .


Q10. Si usa il teorema di Rouché-CapelliE' corretta. Infatti siccome rk(A) < n, si consideri B in modo che Tk(A\B) = n.

(b) E' falsa perché se A è invertibile (cioè rk( A) = n), allora il sistema ha soluzione unica e questa sarebbe propria la soluzione nulla.

(c) E' falsa perché il sistema può essere incompatibile.(d) E' falsa perché rk( A) < n in quanto il suo sistema omogeneo associato ammette

infinite soluzioni.Q ll. Usando la formula di Grassmann si ha:

4 > dim(£7 + W) = dim U + dim W - dim{U DW) = 3 + 3 - dim([/ n W)

(a) E' falsa perché l'intersezione U n W è contenuta sia in U che in W.(b) E' falsa perché dim(17 fi W) > 2 .(c) E' falsa per la (b).(d) E' corretta. Infatti basterebbe considerare U, W tali che U + W = V.

Q12. (a) E' falsa in quanto 0 è un autovalore di M.(b) E' falsa in quanto il polinomio 1 - T 3 = (1 - T )(l + T + T2) ha come unica

soluzione T = 1.(c) E' corretta perché M ha tre autovalori reali distinti.(d) E' falsa perché ogni autovalore di M ha moltiplicità algebrica uguale a l e

la dimensione di un autospazio relativo a un autovalore è sempre minore o uguale alla sua moltiplicità algebrica.

42 4 - Prova scritta del 27 Giugno 2011-2 ore

S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia h un parametro reale. E' data l'applicazione lineare / : IR4 —» R3 associata, rispetto alle basi canoniche alla matrice

f i - 1 0 0 \A = 0 0 - 1 1

\ 2 h 0 0 /

(i) Posto h = - 2, determinare f{x,y,z,t).(ii) Posto h = - 2, verificare che i vettori (1,1,0,0) e (0,0,1,1) appartengono a ker(/) e ne formano una base.(iii) Verificare che non esistono valori di h tali che / sia iniettiva.(iv) Determinare gli eventuali valori di h tali che / è suriettiva.Svolgimento dell'esercizio 1.

(i) /(x , y , z, £) = (x - y , + i, 2a? - 2y)(ii) Seh = -2 , allora / ( l , 1,0,0) = / ( 0 ,0,1,1) = (0,0,0). Pertanto ((1,1,0,0), (0,0,1,1)) C

Ker / .Siccome i vettori (1,1,0,0), (0 ,0 ,1,1) sono linearmente indipendenti e rkA = 2 = dim Im/ , allora per il teorema della dimensione si ha che dim Ker f = 2 perciò, l'insieme ((1, 1, 0 , 0), (0 , 0 , 1, 1)) è una base del nucleo di / .

(iii) Si ha che rk(A) < 3. Per il teorema della dimensione dim Ker / > l e così / non è iniettiva.

(iv) S e h ^ -2 , allora rk (A) = 3, e così Im / = R3, cioè / è suriettiva.

Esercizio 2 . E' data la funzione

f(x,y) = x 2y - x y - 3 x + 2.

(i) Tra i punti stazionari di / determinare gli eventuali punti di sella.(ii) Dato il punto Po = (—1>0), calcolare il valore del differenziale dp0f applicato al vettore (/i,fc).(iii) Determinare il piano tangente al grafico di f *nel punto di coordinate (1, — 2 , — 1).(iv) Verificare che la retta r : x = 0,z = 2 è contenuta nel grafico di / .Svolgimento deiresercizio 2 .

(i) Per calcolare i punti stazionari di / , si deve calcolare il suo gradiente e uguagliarlo a zero.

= ( l i ’ %*) = 2xy - y - Z ’ x 2 - x ) = (°’°)-

4 - Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore 43

Risolvendo il sistema di equazioni

( 2 x y - y - S = 0 \ x2 - x = 0

si ottengono per / i punti stazionari P(0, -3 ) e Q( 1,3).Per studiare la natura di punti stazionari di / , si usa il metodo della matrice hessiana. infatti

H f ( 0,0) = S (o' - 3)N - 6 -1 - 1 0

Siccome det Hf(0, — 3) < 0, allora P (0 , — 3 ) è un ptmto di sella per / .

JT/(1,3) =— L ( l 3) d2f (1 3)^Qx 2 \L’à> dxdy\L’à) d2f d2 f

\m&*> ié ih3>6 1 1 0

Analogamente siccome det Hf( 1,3) < 0 , allora Q(l, 3) è im punto di sella per / .(ii) Il differenziale dp0f applicato al vettore (h,k) è per definizione.

dpof- (T ) = (3,o)- m = -3h.

(iii) Si ricorda che il grafico di / è : F(x,y,z) = z — f ( x , y) = 0. Allora il piano tangente del grafico di / nel punto di coordinate (1, —2 , —1) è

(2 x - y - 3) |{1 _2 _1} • (x - 1) + (x2 - *)|(lj_2j_1) • {y + 2) - • (2 + 1) = 0

cioè, x + z = 0 .(iv) La retta r ha equazioni parametriche:

( x = 0 r : < y = t

[ z = 2

sostituendo le coordinate di r nell'equazione x2y - xy - 3x + 2 - z = 0, si ottiene l'identità 0 = 0 e pertanto r è contenuta nel grafico di / .

Esercizio 3. Nello spazio è data la retta r : {x,y,z) = (-2,1,0) + ¿(-1, - 1,3).(i) Verificare che r è parallela alla retta s : 3y + z = l , x - y = - 2 .


(ii) Determinare il piano ni contenente sia r che s .(iii) Determinare il piano 7t2 contenente r e parallelo all'asse delle y.(iv) Verificare che r è parallela alla retta tangente alla curva ^ : P(t) = (2et ì2et , — 6t) nel punto P (0 ).

Svolgimento deiresercizio 3.

(i) La retta r è nella direzione del vettore ( - 1 , —1,3). D'altra parte, la direzione della retta s si può calcolare facendo il prodotto vettoriale (0,3,1) x (1,—1,0) = (1 , 1 , -3 ). Si ha che (—1, —1,3) = (—1)(1 , 1, -3 ) e dunque r ed s sono parallele.

(ii) Si determina il fascio di piani che contiene la retta s

& : À(3y + z - 1) + fi{x - y + 2) = 0; A,/ìGM,

À, fi non entrambi nulli.Imponendo il passaggio per un punto della retta r, ad esempio (—2 , 1, 0), si ha che

2À = fi.

Il piano 7ri che contiene le rette r ed s e

7Ti : 2x + y + z + 3 = 0.

(iii) Il fascio di piani che contiene la retta r

i À(x — y + 3) + fi(3x + z + 6) = 0; À,/i E M,

con À, fi G R non entrambi nulli.Imponendo l'annullamento del prodotto scalare ((À+3/z, —À, fi), (0,1,0)) = 0 (dove <,> indica il prodotto scalare), si ha che A = 0 . Si ottiene il piano n2 : 3x + z + 6 = 0 che contiene alla retta r ed è parallelo all'asse delle y.

(iv) Si osserva che P(0) = (2 , 2 , 0).Per calcolare la retta tangente alla curva ^ si calcola P f(t) = (2et , 2e£, - 6), allora P '( 0 ) = (2 , 2 , — 6) che chiaramente è nella direzione della retta r.

5

Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore


Q l. Nello spazio sia data la curva fé7 di equazioni parametriche

f(t) = (2 cosi,3 sin t. — t3).

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) fé7 è contenuta in un piano;(b) fé7 è una curva chiusa(c) La tangente a ^ nel punto (2,0,0) è parallela all'asse delle y(d) Esistono punti di fé7 in cui non si può trovare la tangente

Q2. Sia 7r il piano per 0(0,0,0) perpendicolare a Ì + j + k. Qual è vera?(a) Il punto 5(1,0,1) giace in ir(b) La retta r di equazioni (x,y,z) = (¿,1 , — t) è parallela a n(c) Ogni punto della retta r di equazioni {x,y,z) = (t,l, — t) ha distanza 1 da ir(d) La retta s di equazioni (a?,y,z) = (1 + £,1,2 — t) interseca ir

Q 3 . Nello spazio sia data la quadrica Q di equazione x 2 — y2 = 3. Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Le sezioni di Q con i piani z = k (dove k è una costante reale) sono insiemi non

vuoti(b) Q è una iperbole equilatera(c) Q è un cono(d) Q è un paraboloide a sella

45

46 5 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

Q4. Sia 4 G l 3x5 una matrice di rango 3, e si consideri la sua trasposta 54. Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La matrice A è invertibile(b) La matrice prodotto A 54 è invertibile(c) La matrice prodotto 54 A è invertibile(d) Il rango di 54 può essere maggiore di 3

Q5. L'equazione x 2 + 3xy + Sy2 — 4 = 0 rappresenta:(a) una conica riducibile(b) una coppia di rette(c) una iperbole(d) un'ellisse

Q 6 . Sia data la matrice

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) A è diagonalizzabile(b) La matrice A possiede solo autovalori nulli(c) A possiede l'autovalore nullo e la dimensione dell'autospazio ad esso associato

è uguale a 2(d) Il polinomio caratteristico possiede una radice semplice

Q7. Nello spazio sia data la superficie y di equazioni parametriche

f{u,v) = (v cosu,vsinu, — uv)

e si consideri il punto A=( 1,0,0) e y . Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La matrice Jacobiana di / in (0,1) ha rango 1(b) Il piano tangente a y nel punto A è ortogonale all'asse delle x(c) Le colonne della matrice Jacobiana di / in (0,1) sono linearmente indipendenti

(d) Non esistono curve piane contenute in y

Q 8. Nello spazio dei vettori ordinari applicati in O, sono dati i vettori

u = 3i, v = 7i + j, w = i + 2j — 3k


5 - Prova scritta del 15 Luglio2011-2 ore 47

(a) u, v, w non sono complanari(b) w è ortogonale al prodotto vettoriale di v con u(c) w è ortogonale a ù + v(d) Esistono valori di a ,b e R per cui w=av + bu

Q9. Un sistema lineare A X = B di 2 equazioni e 2 incognite con det(yl) ^ 0:(a) non è mai risolubile(b) se è risolubile ha una incognita libera(c) ha sempre due incognite libere(d) ha una sola soluzione

Q io. Siano date le rette r ed s rispettivamente di equazioni (x,y,z) = (t,t,t) e (x,y,z) = (t + l,t, — t). Dire quale delle seguenti affermazioni è vera.

(a) r ed s sono incidenti in un unico punto(b) r ed s sono incidenti in due punti(c) r ed 5 sono parallele(d) r ed s non si intersecano

Q ll . L'applicazione lineare / : M4 —>• R2 definita da f (x,y,z,t) = {x — y + x — y + 1) :(a) ha nucleo di dimensione 3(b) ha immagine di dimensione 3(c) è associata a una matrice con quattro righe e due colonne(d) è suriettiva

Q 12 . Si consideri la funzione / : R2 R definita da f (x ,y) = e*2+i/2-1. Lo sviluppo di Taylor al primo ordine di / in (0,0) è :

(a) e-1 + x + y(b) 2x + 2y.(c) e-1 , e quindi l'origine è un punto stazionario(d) ex2 + ey \


Soluzione dei QUIZ

Q l. (a) E' falsa perché l'insieme {2 cos t , 3 sin t , —3t3, 1} è linearmente indipendente,(b) E' falsa. Infatti non esistono t,tf e R, distinti tali che f (t ) = /(£')•

(c) E' corretta. Infatti II punto (2,0,0) si ottiene con t = 0 e f{t)\t_0 = che è nella

(d) E' falsa in quanto l + £ + l + 2 - £ = 0 è u n assurdo.

Q3. (a) E' corretta. Infatti le sezioni sono iperbole.(b) E' falsa perché z è libera.(c) E' falsa. Infatti l'equazione non è omogenea.(d) E' falsa per (b).

Q4. (a) E' falsa perché la matrice A non è quadrata.(b) E' corretta. Infatti il prodotto A tA G l 3x3 è di rango 3.(c) E' falsa perché il prodotto1A A e R5x5 non è detto che sia di rango 5.(d) E' falsa perché rk(.A) = rk(£A).

Q5. Le matrici della conica sono:

direzione dell'asse y.(d) E' falsa. Infatti per ogni t e R, esiste f ( t ) .

Q2 . Il piano ir passante per O e perpendicolare al vettore ì + J + k ha equazione

x + y + z = 0 .

(a) E' falsa perché 1 + 0 + 1 = 2.

(b) E' corretta. Infatti il prodotto scalare < > = 0.

(c) E' falsa perché d( , 7r) =

3/280

dove det B = -23 e det A = 23/4.

(a) E' falsa perché det B ^ 0.

5 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 49

(b) E' falsa per lo stesso motivo di (a).(c) E' falsa perché non accade che det A < 0.(d) E' corretta. Infatti det A > 0.

Q6. (a) E' falsa. Infatti il polinomio caratteristico di A e x 2 che possiede soltanto come radice lo zero con moltiplicità due, ma l'autospazio relativo è unidimensionale. Per questo motivo, A non è diagonalizzabile.

(b) E' corretta. Infatti lo zero è autovalore di A.(c) E' falsa. Infatti la dimesione dell'autospazio relativo al autovalore zero è 1.(d) E' falsa perché l'autovalore zero ha moltiplicità 2 .

Q7. La matrice jacobiana di / nel punto(0,l) è:

(a) E' falsa perché il rango della matrice jacobiana di / è 2.(b) E' falsa perché l'asse delle x è contenuto in y.(c) E' corretta. Infatti basta osservare J( f ) (o,i)-(d) E' falsa. Ad esempio, se u = 0, la retta (x,y,z) = (t , 0,0) è contenuta in y .

Q8. Il determinante della matrice

è diverso da zero. Cioè il prodotto misto dei vettori u, v, w non è nullo.

(a) E' corretta. Infatti Vannullarsi il determinante della matrice A è condizione necessaria e sufficiente affinché i vettori siano complanari.

(b) E' falsa. Infatti < w ,v x u >± 0.(c) E' falsa. Infatti < w , ù + v > ^ 0.(d) E' falsa. Infatti i tre vettori sono linearmente indipendenti.

A =3 0 07 1 01 2 - 3

Q9. (a) E' falsa perché A è invertibile.(b) E' falsa. Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema non ha incognite libere.(c) E' falsa per (b).


(d) E' corretta. Infatti X = A l B è l'unica soluzione.Q10 . Le rappresentazioni parametriche delle rette r ed s sono rispettivamente:

(x = t (x = tf + 1r : <y = t s : y = t'

( z = t Kz =

(a) E' falsa. Infatti

( t = t' + 1 < t = t' =» i i + 1 => l = 0

[ t = - t '

che è un assurdo.(b) E' falsa perché sono due rette distinte.(c) E' falsa perché r è nella direzione del vettore (1,1,1) invece s di (1,1, — 1) e non

sono proporzionali.(d) £ ' corretta per (a).

Q ll. La matrice associata ad / è

' 1 - 1 0 1A - 1 1 - 1 0 1

che ha rango 1 ed è uguale alla dimensione deirimmagine di / e per il teorema della dimensione,

dim R4 = dim Ker / + dim Im/

(a) E' corretta. Infatti dim Ker f = 3.(b) E' falsa. Infatti d im lm / = 1.(c) E' falsa. La matrice associata ha due righe e quattro colonne.(d) E' falsa. Infatti Im / ^ R2.

Q12 . Lo sviluppo di Taylor intorno all'origine è:

f (x,y) = / ( 0 ,0) + / ' (0 ,0)® + / ' ( 0 ,0 )2/ = e-1

(a) E' falsa.(b) E' falsa.(c) E'corretta.(d) E' falsa.


S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)

Esercizio 1 . Nello spazio sia dato il piano n e la sfera S rispettivamente di equazione

7r:x + y — z —1 = 0, S : x 2 + y2 + z2 - 4 r - 2y + = 0

(i) Determinare centro e raggio di S.(ii) Determinare raggio e centro della circonferenza S D n.(iii) Posto TTh : x -\-y — z + h = 0 trovare h tale che tth sia tangente ad S.Svolgimento dell'esercizio 1.

(i) La sfera S si può scrivere nella forma:

(x - 2)2 + (y - 1 f + {z + 2 f = 9.

Il centro di S è C(2 , 1, —2) e il suo raggio è 3.(ii) Si osserva che il centro di S appartiene al piano 7r, allora il centro della circonferen

za S D 7r in questo caso è sempre il punto C(2 , 1, - 2) e il raggio della circonferenza coincide con il raggio di S.

(iii) Per trovare h si calcola

Allora h = 3\/3 — 5 oppure h = -3 \/3 - 5.

Esercizio 2 . Si consideri l'applicazione lineare / : £4 definita dalle equazioni

/ 3 \ 3

- 1 V 0 /

/ i \01

V i/

/ 8\60

V2/

(i) Trovare la matrice di / rispetto alle basi canoniche di R3 e di R4.(ii) Trovare la dimensione e una base di Ker (/).(iii) Trovare la dimensione e una base di Im (/), e dire se f è suriettiva.(iv) Dire se il vettore

/12\92

\ 3 /

appartiene all'immagine di / .



(i) La matrice di / rispetto alle base canoniche di R3 e R4 è

M f =

(ii) Per calcolare il nucleo di /

Ker / = {( y ì € R3/M / ])>'si risolve il sistema omogeneo associato alla matrice M f. Siccome

3 1 8\ ( ° 1 2\3 0 6 1 0 2

-1 i o r 0 0 00 1 2) Vo 0 0 /

- y =■- - 2 z, cioè:

Ker / = { f - 2 z ) e R3/ z €

Si ha che dim Ker / = 1 e una sua base è { ^ - 2 J }.

(iii) Usando il teorema della dimensione, si ha che

dim lm / = dim E 3 — dim Ker / = 2,

allora / non è suriettiva perché I m f ^ R4.3 \ /1 \ / 8 \

Risulta che I m f = JZf( 3 - 1

0 /

01

W

60

V2/

) = # (

3 \ 3

- 1 0 /

e ima base per Im / è , ad esempio, è costituita dai vettori {

A \ o ì

W 3 \ / A3 0

- 1 > 1 0 / \ 1/

}•

(iv) Ilpxmto

/ 12\92

V 3 /non appartiene a Im /, inaftti non esistono a , /3 reali tali che

5 - Prova scritta del 15Luglio 2011-2 ore 53

/ 12\ ( 3 f 1'9 3

+ 130

2 = a - 1 1\ z ) o ) U

Infatti delle relazioni

' 3a + p = 12 3a = 9

< - a + 13 = 2 U = 3

si ottiene un assurdo.Esercizio 3. Sia data la funzione

f (x ,y) = xy2 - x - y2 + 1.

(i) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione di / .Nello spazio si considerino la superficie S di equazione z = xy2 — x — y2 + 1 e il punto Po = (1,0 ,0).(ii) Si verifichi che Po £ S e si determini il piano tangente r a S nel punto Po.(iii) Si determini in forma cartesiana la retta normale a r passante per Po. Svolgimento deiresercizio 3.

(i) Si determinano i punti stazionari di / :

v / ( * . » ) = ( 2^ : ^ ) = ( S ) -

Si ottengono i punti A ( l , l ) e B ( l , - l ) . Si determina la matrice hessiana di /

H U) = ( j y 2 X - 2) •

Si ha che det Ha {J) = 0 2 2 0

0 - 2 - 2 0 = - 4 < 0.

I punti A e B sono punti di sella per / .(ii) Il punto Po € S. Infatti 0 = 0 — 1 — 0 + 1.

II piano tangente a 5 in Po è :

( - 1)(® - 1) + 0 (y - 0) + ( - l ) ( z - 0) = 0 ,

cioè: t : x + z — 1 = 0 .


(iii) La retta normale a r passante per il punto Po è

f x = 1 - h t

< y = ol Z = t

6

Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore


Q l. In R2 si consideri l ' insieme

A = j(z.2/) | j z 2 + ì y 2 - 1 < 0, \y\ < 3 j .


(a) La frontiera di A contiene il punto (2 ,0).(b) La frontiera di A è vuota.(c) Il punto (2 ,3) appartiene alla frontiera di A.(d) Il punto (2 ,3) è esterno ad A.

Q 2 . Nel piano si considerino il punto P = (—1,1) e la circonferenza ^ di equazione

4 + 4x + x 2 — Ay + y2 = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Esiste un'unica retta passante per P e tangente a(b) Il raggio di ^ è 8 .(c) Non esistono rette passanti per P e tangenti a(d) Esistono infinite rette passanti per P e tangenti a fé7.

55

56 6 - Prova scritta del 15Luglio2011-2 ore

Q3. Nello spazio si consideri la superficie parametrizzata S? definita da

f (u , v) = (cos(u — v), u + v, u — v).

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il piano tangente a 5? in /(0 ,0) è perpendicolare al vettore i.(b) La retta normale a S? in / (0 ,0) è parallela al vettore —2ì+ j .(c) Il piano tangente a 5? in / (0 ,0 ) è parallelo al piano coordinato Oxz.(d) La retta normale a S? in / (0 ,0) ha equazioni parametriche (x,y,z) = (£,£,£).

Q4. Nello spazio si consideri la curva parametrizzata fé7 definita da

a(t) = (1 + sin i,\/5 cosi + sin i,4 + sini).

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La retta tangente a ^ in a(0) è parallela a —21 + j.(b) Il piano osculatore a ^ in a(0) è parallelo al piano coordinato Oxy.(c) 11 piano osculatore a ^ in a(0) è parallelo al piano coordinato Oxz.(d) ^ è contenuta in un piano.

Q5. Si consideri la funzione definta da

= 1 + (—1 + x )2 + (1 + y )2 '

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il punto (1, — 1) non appartiene al dominio di / .(b) / ha punti di sella e un minimo relativo.(c) / ha un massimo relativo e un minimo relativo.(d) / ha un solo punto stazionario.

Q 6. Nel piano si consideri la conica ^ di equazione

6x + x 2 + 4y + 2 xy + y2 = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) ^ è un'ellisse.(b) fé7 è un'iperbole.(c) fé7 è una parabola.(d) fé7 è degenere.


Q7. Sia data la matrice simmetrica

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) 2 è autovalore di A.(b) A è semidefinita.(c) 4(0,5,0) è autovettore di A.(d) A è definita negativa.

Q 8 . Sia data l'applicazione lineare / : R4 —»> R4 definita da

f ((2,ò,c,oi) = (cl + 6 + c + d, a + 26 -b 4c H- 8cZ, (2 — 6 c — d, 3<z -h 26 ~h 6c -|- 8c?).

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) / è iniettiva.(b) / è un isomorfismo.(c) dim(Im(/)) = 4.(d) / ha un autovalore in R.

Q9. Sia A G R4’4.Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) det(A tA) < 0.(b) Per ogni B e R4’4 si ha det(3i4 - 2 B ) = 3 det(A) - 2 det(B).(c) Per ogni À G R si ha det(À^4) = À det(^4).(d) det(-A) = det (A).

Q10. In R3 siano dati i sottospazi U = { (a,a + 6,6) | a ,6 G R } e V = { (c + d,d, — c — d) | c,d G R }.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) u n V = 0.(b) dim(i7 n F) = 1.(c) dim({7) + dim(F) = 3.(d) U U V = R3.

Q l l . Nello spazio sono dati i due vettori applicati u, v.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) S e u ,v sono versori, allora, per ogni vettore w, risulta \ (u x v,vj) \ = \w\.

58 6 - Prova scritta del 15 Luglio2011-2 ore

(b) Se i vettori u, v non sono paralleli, risulta (u x v,v) 0.(c) Per ogni vettore w risulta \ (u x v,w) \ < \w\ • \u\ • \v\.(d) Esiste un unico vettore w tale che (u x v,w) = 0.

Q12. InR 4 si considerino i vettori a = (1, - 1, —1,-1 ), b = ( 2 ,-3 ,-1 ,-2 ) , c = (1,-1,0,1), d = (0 , - 1,0 , — 2) e sia


(a) y (a ,b ,c4 ) = R4.(b) Il sistema A X = 04,1 ha oo2 soluzioni.(c) esiste e e R4 tale che «if(a,ò,c,d,e) = R4.(d) a, b, c, d sono linearmente indipendenti.

Soluzione dei QUIZ

Q l. L'insieme A è l'intersezione dell'intemo dell'ellisse compreso il suo bordo, con l'insieme dei punti (x,y ) e R2 tali che — 3 < y < 3.

(a) E' vera, per banale sostituzione;(b) E' falsa, per esempio per la (a);(c) No, infatti è esterno (in particolare non è punto di accumulazione);(d) E' corretta, per le stesse ragioni anticipate in (c).

Commento. Questo quiz aveva due risposte corrette.

Q2 . L'equazione di ^ si può esprimere (x + 2)2 + (y — 2)2 = 4.

(a) E' falsa perché il punto P non appartiene alla circonferenza.(b) E' falsa perché il raggio della circonferenza è 2 .(c) E' corretta. Infatti il punto P è interno alla circonferenza.(d) Per un pianto passano al massimo due tangenti ad una circonferenza.

Q3. Si ha che Po(0,0) = (1,0,0). Inoltre Pu = (0 ,1, 1), Pv = (0 , 1, - 1). Il piano tangente a y in / ( 0 , 0 ) è :

x — 1 y z 0 1 1 = 00 1 - 1


si ottiene x — 1 = 0 .

(a) E' corretta. Infatti il piano tangente a S? in /(0 ,0) è perpendicolare l vettore i.(b) E' falsa perché la retta normale è nella direzione del vettore (1,0,0).(c) E' falsa perché il piano tangente è perpendicolare al piano y = 0.(d) E' falsa per (b).

Q4. (a) E' falsa perché la retta tangente è nella direzione del vettore i 4- j + k .(b) E' falsa. Infatti il piano osculatore a fé7 in a (0) è £ — z + 3 = 0 .

(c) E' falsa per (b).(d) E' corretta. Infatti, la curva è contenuta nel piano f f è x — z + 3 = 0 (basta ricavare

il sin t dalla prima equazione e sostituire nella terza).Q5. Facendo il gradiente di / uguale a zero:

si ha che 2x - 2 = 0 e 2y + 2 = 0 .

(a) E' falsa perché / ( 1, - 1) = 1.(b) E' falsa perché la / è differenziabile ovunque nel dominio e possiede un solo

punto stazionario di / .(c) E' falsa per lo stesso motivo di (b)(d) E' corretta. Infatti l'unico punto stazionario di f è (1, — 1).

Q6 . Le matrici della conica sono:

(a) E' falsa perché il determinante di A non è positivo.(b) E' falsa perché il determinante di A non è negativo.(c) E' corretta. Infatti det B = - l e det A = 0.(d) E' falsa perché il determinante di B è diverso da zero.

Q7. (a) E' falsa perché 2 non è soluzione del polinomio caratteristico di A. Il polinomio caratteristico di A è : — t3 - 712 — 5¿4-10.

60 6 - Prova scritta del 15Luglio2011-2 ore

(b) E' falsa perché lo zero non è un autovalore di A.(c) E' corretta. Infatti

/ —4 0 — 3\ /0 \ /0 \0 - 2 0 1 [ 5 ) = —2 -15 ) .

\ —3 0 - 1/ \ 0/ W

(d) E' falsa perché il polinomio caratteristico di A ha un cambiamento di segno. Q8. La matrice associata ad / è :

f i 1 - 1 1 \

M ( f ) = ; _ ! ; _ i\0 -1 3 5

che ha rango 3. Per il teorema della dimensione dimKer (/) = 1.

(a) E' falsa in quanto li nucleo di / ha dimensione 1.(b) E' falsa in quanto / non è iniettiva.(c) E' falsa in quanto dim Im (/) = 3.(d) E' corretta. Infatti siccome M ( f ) è non singolare ammette lo zero come autovalore.

Q9 (a) E' falsa. Per esempio se A è la matrice nulla, il determinante è zero.(b) E' falsa. Infatti perché il determinante non è lineare.(c) E' falsa. Per esempio det(—I4) ^ — det(Ì4), dove I4 è la matrice identità di

ordine 4.(d) E' corretta. Infatti det(-A ) = ( - l ) n • det(^4) con n pari.

Q10 Si ha che U = Jgf(( 1 ,1 ,0),(0,1,1)) e V = Jf ( ( l , 0, -1 ) ,(1 ,1, -1 )).Usando la Formula di Grassmann

dim(C7 C\V) = dim U + dim V - dim(i7 + V) = 2 + 2 - 3 = 1.

(a) E' falsa perché l'intersezione fra due sottospazi vettoriali ha sempre il vettore nullo in comune.

(b) E'corretta perché dim(17 + V) = 3.(c) E' falsa perché dim U + dim V = 4.(d) E' falsa perché l'unione in questo caso non è un sottospazio.

Q l l (a) E' falsa. Per esempio si considerino i vettori u = (1,0,0),?; = (0,1,0), tt; = (2, 2, 2).

(b) E' falsa. Infatti se due righe di un determinante si ripetono vale zero.(c) E' corretta. Infatti

I(u X v,w)\ < \u x v\ • \vj\

6 - Prova scritta del 15 Luglio 2011-2 ore 61

per la disuguaglianza di Schwarz. Inoltre \uxv\ = \u\ • \v\• sin(u, v), da cui \uxv\ < \u\ • \v\. Mettendo insieme le due disuguagliane si prova la verità dell'enunciato.

(d) E' falsa perché esistono infiniti vettori che soddisfano la relazione, ad esempio tutti i multipli di w.

Q12 (a) E' falsa perché i 4 vettori sono linearmente dipendenti.(b) E' falso. Infatti rk(A) = 4 e per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ha

soluzione unica.(c) E' corretta per il teorema di completamento ad una base.(d) E 'falsa per (a).

62 6 - Prova scritta del 15Luglio 2011-2 ore

S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia dato l'endomorfismo di IR3 definito da

/(a , 6, c) = ( -2 a + b + c, b + c, 8ò - c).

(i) Determinare la matrice di / rispetto alla base canonica di R 3.(ii) Verificare che / R un isomorfismo.(iii) Determinare tutti gli autovalori di / .(iv) Determinare una base per ogni autospazio di / .(v) Determinare una matrice invertibile P € R3,3 tale che P ~ lAP sia diagonale.


(i) La matrice A d i f rispetto alle base canoniche è :

A =-200

1 1 ' 1 1 8 - 1

(ii) L'endomorfismo / è isomorfismo perché il determinante di A è diverso da zero.(iii) Gli autovalori di / sono le radici del polinomio caratteristico:

Pa (ì) = det(^4 — t i) =- 2 - t 1 1

0 1 - t 10 8 - 1 - t

= (—2 — t)(t2 — 9)

cioè gli autovalori di / sono: Ài = - 2 , À2 = 3 , À3 = - 3.(iv) Gli autospazi d i /s o n o tutti unidimensionali e sono V /( - 2) = Jif ((1,0,0)), V/(3) =

j£f((3,5,10)), Vf{—3) = Ji?((3,l, - 4)). Ciascun generatore è base del rispettivo autospazio.

(v) Le matrice P, D tale che P ~lA P = D, sono:

/I 3 3 \ ( - 2 0 0 \P = 0 5 1 , P = [ 0 3 0

\0 1 0 - 4 / \ 0 0 -3 /


f{x,y) = (y — 2 )(2x2 — y2).

(i) Calcolare / ( 0 ,1).(ii) Determinare i punti stazionari di / .(iii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo (relativi) o di sella della funzione / .Nello spazio si consideri la superficie S di equazione z = (y — 2)(2x2 — y2).

6 - Prova scritta del 15 Luglio 2011-2 ore 63

(iv) Determinare l'equazione cartesiana del piano tangente a S nel punto (0,1,1).(v) Determinare le equazioni parametriche di una retta contenuta nel piano tangente a S nel punto (0 ,1,1).

Svolgimento deiresercizio 2 .

(i) / ( 0 ,1) = 1-(ii) Gli eventuali punti stazionari di / si calcolano facendo il gradiente di / uguale a

zero:

V /(x ,2/) = J = (4xV - 8z, 2x 2 - 3y2 + 4y) = (0,0)

si ottengono i punti Pi(2,\Z2),P2(2, - v/2),P3(0,0),P4(0,4/3).(iii) Calcolando la matrice hessiana di / in ciascuno di questi punti

/ d2f d2f \

a \ > i — 1>2,3,4 / I Pi

dx2 dxdy d2f &j_

\dxdy dy2 ) )P.

_ ( 4y — 8 4x

Ax — 6y + 4 ì

cioè :

"/<*>= C i -8 -6 + 4). = 8

= ( o 8 2) . » / W = ( - 80/ 3 -°8)-Siccome det Hf(Pì) < 0, z = 1,2,3, allora P1 .P2.P2> sono punti di sella per / .Invece siccome det Hf(P4) > 0, f xx < 0, allora P4 è un massimo per / .

(iv) Il piano tangente alla superficie S di equazione F( x ìy ìz) = 2x 2y - y33 - Ax2 + 2y2 - z = 0 nel punto P (0 ,1,1) è dato da

£ ( * - o ) + f : (9 - D + f : (2 —1 ) = 0<9z|p d y , / dz\p

cioè y — z = 0 .(v) Due punti del piano y - z = 0 sono (0 ,1, 1), (1,0,0). Una retta contenuta nel piano

èZ = (i,l - i , l -£).


Esercizio 3. Sia date le rette r e s rispettivamente di equazioni

f x - y - z - 1 = 0 f x — 2y + 1 = 0[ 2 x — Sy — z — 2 = 0 , ' \ x — y — z + 1 = 0 .

(i) Verificare che le rette r e s non hanno punti in comune.

(ii) Stabilire se le rette r e s sono parallele o sghembe.(iii) Determinare 1' equazione di un piano contenente entrambe le rette.(iv) Al variare di h e R, determinare la posizione della retta r rispetto al piano tth di equazione

hx — y + hz + 1 = 0 .


(i) Si ha:

(A\b)1 - 1 - 1 1 \2 - 3 - 1 21 - 2 0 - 1

Vi - 1 - 1 - 1 /

che è equivalente alla matrice

/I -1 -1 1 \0 -1 1 00 0 0 -2

\o 0 0 -2 /

Il sistema è incompatibile e l'intersezione fra le due rette è vuota.(ii) Siccome rk(^4) = 2 , rk(A\b) = 3, allora le rette r, s sono parallele e distinte.

(iii) Si considera il fascio di piani che contiene la retta r, ossia À(x — y — z — 1) + fi(2x — 3y — z - 2) = 0, con A e /x non entrambi nulli. Poi se impone il passaggio per un punto della retta s . Si ottiene il piano y = z.

(iv) Usando il teorema di Rouché-Capelli , si ottiene che se h = 1/3, r fi nh = 0. Altrimenti si incontrano in un punto.

7

Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

Q 1. Nello spazio è data la curva fé7 rappresentata parametricamente, al variare di t e R,

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) fé7 è contenuta nel piano x — y + 2 = 0;(b) La retta tangente a fé7 nel punto (—1,1,0) è ortogonale al piano xy ;(c) fé7 passa per l'origine O;(d) fé7 non è regolare.

Q 2 . Quale delle seguenti affermazioni è vera?Nello spazio l'equazione x 2 + y2 - 2z2 = 0 rappresenta

(a) una conica;(b) una sfera;(c) una superficie che ha in comune una circonferenza con il piano x = 0;(d) un cono.


da

65

66 7 - Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

Q3. Nello spazio vettoriale R3 sono dati i sottospazi U = j£?((l,0,0),(2,3,4)) e V = if((2 ,0 ,0),(2 ,0 ,4)).Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) U C\V contiene il solo vettore nullo;(b) U + V ^ R3;(c) (3,0,0) eunv-,(d) U C V

Q4. Nello spazio è dato il piano tt : 2x — y — 5 = 0 Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) 7r è parallelo alla retta r : (x, y, z) = (£, 2 1 + 41) ;(b) 7r ha un punto in comune con la retta r : (x, y, z) = (t, 2t, 1 + 41);(c) 7r è parallelo alla retta 5 : (x, y, z) = (2£, - t , 1) ;(d) 7r è ortogonale alla retta r : (x, y, z) = (t , 2£, 1 + 4i) .

Q5. Sono dati i vettori applicati u = T+ 2j + Ah e v = 4i — 2k. Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) l'angolo tra u e v è acuto;(b) |u| < |u| ;(c) dim(jz? («,{;)) = 2;(d) il è ortogonale a il +

Q 6 . Sia data la funzione di due variabili reali f (x,y) = y /x 2 + y2 — 1.Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) g ( 2 , l > = -l;

(b) le linee di livello di / sono circonferenze ;(c) il grafico di / è un ellissoide;(d) il piano tangente al grafico di / in P(2,l,2) è parallelo al piano z = 0.

Q7. Sia f (x,y) una funzione di due variabili reali che ammette 0(0,0) come punto stazionario e sia 7r il piano tangente al grafico di / nel punto Q(0 ,0 , / ( 0 ,0)).Quale delle seguenti affermazioni è vera?(ai 7r è parallelo al piano xy ;(b) 7r è parallelo all asse z;(c) 7r e il grafico di / hanno solo il punto Q in comune;(d) 7r è ortogonale al vettore V/(0,Ò).

7 - Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 67

Q 8. E' data l'applicazione lineare / : R3 -» R4 definita da

f (x,y,z) = (x + 2y + z,x + 2y + z,y - 3z, - z)


(a) non esistono vettori di R3 che hanno per immagine (1,0,0,0);(b) (1,0 ,0) appartiene a ker(/);(c) / è suriettiva;(d) dim(lm(f)) = 2.

Q9. Nello spazio è data la circonferenza fé7 di equazioni


(a) Il centro di fé7 appartiene al piano z = 0;(b) fé7 passa per 0 (0 ,0 ,0 ) ;(c) fé7 ha raggio 2;(d) l'asse delle z non ha punti in comune con fé7.

Q 10 . Sia A e Rm,n la matrice dei coefficienti di un sistema lineare A X = B che non ha soluzioni.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) il rango di A è m;(b) il rango di A deve essere maggiore di m;(c) il sistema lineare A X = O non è risolubile;(d) il rango di A deve essere minore di m.

Q ll . Sia data la matrice

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) A ha tre autovalori distinti;(b) A è invertibile;(c) un autospazio di A ha dimensione 2;(d) i è autovalore di A.

x 2 + y2 + z2 - 4z = 0, z - 1 = 0

A =


Q12. È data in R2,2 la matrice M = ^

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) M rappresenta una rotazione nel piano di 27r/3 radianti ;(b) M ammette 0 come autovalore;(c) M è una matrice simmetrica;(d) M non è invertibile.

Soluzione dei QUIZ

Q l. (a) E' corretta Infatti sostituendo le coordinate parametriche della curva ^ nell'equazione del piano x — y + 2 = 0, si ottiene l'identità t — 1 — t — 1 + 2 = 0 .

(b) E' falsa. Siccome P'(t) = (1,1, t2 — 1), allora la retta tangente alla curva fé7 nel punto (—1, 1, 0 ) è nella direzione del vettore (1, 1, —1) invece il piano z = 0 è ortogonale al vettore (0 ,0 ,1).

(c) E' falsa. Se (0,0,0) €fé?/ £ - l = 0 = £ + l e d i conseguenza 1 = —1 che è un assurdo.

(d) E' falsa perché ^ è iniettiva, fé7 è C°°, e ^' {t ) ^ 0, per ogni t.Q2 . (a) E' falsa in quanto non è una curva piana.

(b) E' falsa in quanto i coefficienti dei termini al quadrato non sono uguali.(c) L'intersezione con il piano x = 0 è la curva y2 — 2z2 = 0 che non rappresenta

una circonferenza.(d) E' corretta in quanto è un'equazione informa canonica omogenea di grado 2.

Q3. Usando la formula di Grassmann si ottiene:

dim(U + V) = dim U + dim V - dim(C7 D V) = 3.

Notare che U D V = -S?((l, 0,0)), ma siccome U + V < R3 e dim(£/ + V) = 3, alloraU + V = R3.

(a) E' falsa. Per esempio (1,0,0) e U fi V.(b) E' falsa . Segue immediatamente della formula di Grassmann.(c) E' corretta in quanto U n V = Jf ( ( l , 0,0)) e (3,0,0) = 3 • (1,0,0).(d) E' falsa. Per esempio (2,3,4) e U, ma (2,3,4) non appartiene a V.

Q4. (a) E' corretta in quanto < (2 , —1, 0), (1, 2 ,4) > = 0 .(b) E' falsa. Infatti sostituendo le coordinate parametriche di r in n si ottiene 21 —

2 i - 5 = 0 = > - 5 = 0 assurdo.

7 - Prova Scritta del 15 Luglio 2011 -2 ore 69

(c) E 'falsa in quanto < (2 , —1,0), (2 , —1,0) 0 .(d) E' falsa in quanto i vettori (2 , - 1,0) e (1,2 ,4) non sono proporzionali.

Q5. (a) E' falsa perché il prodotto scalare è negativo. Infatti, < (1, 2 ,4), (4,0, - 2) > = -4 .

(b) E' falsa perché \ / l 2 + 22 + 42 < \/42 + 02 + 22.(c) E' corretta perché i due vettori sono linearmente indipendenti e generano un sottospa

zio vettoriale di dimensione 2.(d) E' falsa. Infatti il prodotto scalare < (1,2 ,4), (5,2 , 2) > = 17 ^ 0.

Q6 . (a) E 'falsa infatti

(b) E' corretta perché le linee di livello di f sono equazioni del tipo x 2+y2 = k2+ 1, k e R.(c) E' falsa perché x 2 + y2 — z2 — 1 = 0 è un ' iperboloide ad una falda.(d) E' falsa, infatti, il piano tangente al grafico di / nel punto (2 ,1,2) è :

g ) , , s _ 1 ) + ( | )" 7 1(2,1,2) X * 7 1(2,1,2) X 7 1(2,1,2)

cioè

2x + y — 2z — 1 = 0 .

Q7. (a) E' corretta perché se il punto (0,0) è un punto stazionario di / vuol dire che le sue derivate parziali rispetto a x e y si annullano nel punto (0 , 0 ), allora ilpiano tangente è della forma i §£ ] ■ z = 0.

' 7 l(0,0,/(0,0))(b) E' falsa perché il prodotto scalare (0,0,1) • (0,0, a) ^ 0 con a = f §£) ^

7 l(0,0,/(0,0))0 .

(c) E' falsa perché in generale una superficie e un piano si intersecano lungo una curva. La funzione / potrebbe per esempio avere nel punto P un punto di sella.

(d) E' falsa in quanto il punto (0,0) G n .Q8. (a) E' corretta. Per vedere che non esiste vettore in R3 che abbia come immagine (1,0,0,0)

si prova l'incompatibilità del sistema

f x + 2 y + z = 1 x + 2 y + z = 0

y — 3z = 0 - z = 0

70 7 - Prova Scritta del 15 Luglio2011-2 ore

Per il teorema di Rouché-Capelli il rango della matrice dei coefficienti è 3, mentre il rango della matrice completa è 4. Infatti

/ I 2 1 1\ n 2 1 1 \ n 2 1 1 \1 2 1 0 0 0 0 - 1 0 1 - 3 00 1 - 3 0 0 1 - 3 0 0 0 - 1 0

\ 0 0 - 1 o) Vo 0 - 1 0 1 Vo 0 0 - 1 /

(b) E' falsa in quanto / ( 1,0,0) ^ (0,0,0,0).(c) E' falsa in quanto dim Im (/) < 3 ^ 4 .(d) E' falsa perché dim lm (/) = 3.

Q9. Per calcolar il centro della la circonferenza fé7 si determina l'equazione della rettal passante per il centro della sfera x 2 + y2 + z2 — 4z = 0 e ortogonale al piano z — 1 = 0 . Si ottiene

Notate che il centro della sfera è il punto C (0,0 ,2) e il raggio è R = 2 . Sostituendo le coordinate di l nell'equazione del piano si ottiene che t = — 1, perciò il centro di ^ è il punto Cf(0 , 0 , 1). Invece il raggio della circonferenza è

(a) E' falsa, perché il centro ha terza coordinata z ^ 0.(b) E' falsa, perché la circonferenza giace nel piano z = 1.(c) E' falsa perché fé7 ha raggio \/3.(d) E' corretta perché il centro della circonferenza giace sull'asse z.

Q10 . (a) E' falsa perché se rk(A) = m, per il teorema di Rouché - Capelli il sistema sarebbe compatibile.

(b) E' falsa in quanto rk(A) < min{m,n}.(c) E' falsa in quanto un sistema omogeneo è sempre compatibile.(d) E' corretta. E' conseguenza diretta del teorema di Rouché-Capelli.

Q ll. Il polinomio caratteristico della matrice A è

r = y/R2 - d(C, C ' ) 2 = = Vd.

- t 1 0Pt(A) = det(A — t i) = 1 — t 0 = — t(t + l)(t — 1).

0 0 - t

(a) E' corretta in quanto pt{A) ha tre radici reali distinte.(b) E' falsa perché A ammette lo zero come autovalore.


(c) E' falsa in quanto ci sono esattamente tre autospazi e ognuno ha dimensione 1.(d) E' falsa perché l'unità immaginaria v ^ T non è tra le radici del polinomio

carateristico di A.

Q12. (a) E ' corretta. Si tratta di una matrice ortogonale speciale

(b) E' falsa in quanto M è non singolare perché det M = l e con ciò lo zero non è autovalore.

(c) E' falsa perché lM ^ M.(d) E' falsa in quanto det M ± 0.

Esercizio 1. Sia V = {(x,y ,z) e M3|x + y — z = 0, x — y + z = 0} e sia / : R3 —>* R3 l'applicazione lineare avente come nucleo il sottospazio V e tale che A = 2 è autovalore con autospazio generato dai vettori ( l , l , l ) e ( l , l , 2).(i) Determinare una base per V.(ii) Provare che / non è suriettiva.(iii) Scegliere una base 9& per R3 formata da autovettori di / e scrivere la matrice associata ad / rispetto alla base SS.Svolgimento deH'esercizio 1 .

(i) L'insieme V è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato alla

matrice j ^ . Riducendo questa matrice mediante operazioni elementa

ri di riga si ottiene:

V = {(x,y,z)\x = 0, y = z}. Una base di V è formata dell'insieme {(0,1,1)}. (ii) / non è suriettiva, infatti

M = cos(27r / 3) sin(27r / 3) — sin(27r/3) cos(27r/3)


i i - i i - i i

I m / = Jgf((0,0,0),(2,2>2),(2,2,4)) = JS?((2,2,2),(2,2,4)).

(ii) Una base B§ per M3 formata da autovettori di / è l'insieme ordinato

« = ((0 ,1,1), (1,U ) , (1,1,2 ))


La matrice associata a / rispetto alla base SS è :

0 0 0 0 2 0 0 0 2

Esercizio 2 . E' data la funzione / : R2 —>> R3 definita da:

f{u,v) = (ucosv, 2uv, usinv).

(i) Scrivere la matrice jacobiana della funzione / .

(ii) Trovare le curve coordinate della superficie S rappresentata parametricamente da (x, y,z) = (u cos v, 2uv, u sin v) passanti per il punto (1, 0 , 0 ) e dire di che curve si tratta.(iii) Determinare il piano tangente a S nel punto di coordinate (1,0,0) e un versore n ad esso ortogonale, (iv) Verificare che l'asse delle x è contenuto in S.

Svolgimento deiresercizio 2 .

(i) La matrice Jacobiana di / è :

(ii) Si ha che f (u,v) = (ucosv^uv ,us inv) , in particolare il punto (1, 0 , 0) si ottiene con u0 = 1, vq = 0 . Allora le curve coordinate di S che contengono il punto (1 , 0 , 0 ) sono la retta y = z = 0 e la curva (x, y, z) = (cos v, 2v, sin v).

(iii) Considerando che Pu( 1,0) = (1, 0 , 0), e Pv( 1,0) = (0 , 2 , 1). Il piano tangente a S nel punto di coordinate (1, 0 , 0) è :

x — 1 y z1 0 0 = 00 2 1

Esercizio 3.(i) Discutere al variare del parametro reale h il sistema

x + y + z = h, hx — y + z = 1, x + 3y — z = h.


(ii) Utilizzando i risultati precedenti, determinare, al variare del parametro reale h, in che posizione reciproca si trovano i tre piani ir± : x + y + z = '• hx - y + z =1, 7t3 : x + 3y - z = h. In particolare dire se ci sono dei valori di h per cui i tre piani appartengono a un fascio.


(i) Si usa il teorema di Rouchè - Capelli. Si ha:

(.A\b)1 1 h\ ( 1 ì 1 h \ ( 1 ì 1

- 1 1 1 ~ [ h + 1 0 2 h il ^ U + i 0 23 - 1 h ) V 0 2 - 2 0 / V o 1 - 1

/ i 0 2 h \[ h + 1 0 2 /i + lV 0 1 - 1 0 /

kO

0 2 h\ / I 0 2 h \ A 0 20 2 / h + l 1 ~ 0 0 2h/h "1" 1 1 - Ti ~ 0 0 11 - 1 0/ \ 0 1 - 1 0 / V o 1 - 1

h(1 - h ) ( h +

0

Se h ^ — 1 e ft ^ 0, allora il sistema è compatibile e ha soluzione unica perché rk^4 = rk(A\b) = 3. Se h = 0

In questo caso, il sistema è incompatibile, infanti rkASe h = - 1

/ 1 0 20 0 2

VO 1 -1

2 ^ ik{A\b) = 3.

Il sistema è compatibile con soluzione unica.(ii) Per nessun valore di h , rk A = 2 , rk(A\b) = 2. Non esiste fascio che contenga i piani

tti 5 tt2, tt3* Invece quando h = 0, il sistema è incompatibile. Altrimenti i tre piani si intersecano in un unico punto.

8

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

Q l. Un sistema lineare A X = B con A matrice quadrata non invertibile;(a) non è risolubile;(b) se è risolubile ha una incognita libera;(c) se è risolubile ha solo la soluzione nulla;(d) si può risolvere se ogni colonna della matrice B è combinazione lineare delle

colonne di A.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) u, v, w sono linearmente indipendenti;(b) Il prodotto misto dei tre vettori vale 1.(c) u, v, w non sono complanari.(d) Il volume del parallelepipedo generato dai tre vettori è nullo;

Q3. L'equazione x 2 - 3xy + 8y2 = 1 rappresenta(a) un'iperbole;(b) una coppia di rette distinte;(c) una parabola;(d) un'ellisse.


Q 2 . Siano dati i vettori di R3 u =

75

76 8 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

Q4. Siano dati la retta r e il piano n rispettivamente di equazioni {x,y,z) = (£,£,£) e 2x - y — z — 3 = 0. Dire quale delle seguenti affermazioni è vera.(a) r e 7r sono incidenti;(b) r e 7r sono ortogonali;(c) r fi 7r = 0;(d) Il fascio avente per asse r contiene il piano 7r.

(a) si annulla su almeno un vettore non nullo di R3.(b) èsuriettiva;(c) èiniettiva;(d) ha nucleo di dimensione 1;

Q 6 . La funzione/(x,y) = e ^ 2+2/2_1)(a) ha un punto di minimo neU'origine;(b) non possiede punti stazionari;(c) è tale che il piano tangente al grafico nel punto (0 ,0 , l/e ) èe -x+e-y-e-z + 1 = 0;

(d) non possiede minimi assoluti.

Q7. Nello spazio sia data la sfera y di equazione

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il centro di y è (2,1,1).(b) Il centro di y ha distanza 1 dal punto (0,0, - 2).(c) La distanza del piano 4x + 2y + 2z = 0 dal centro della sfera è uguale al raggio.(d) (0 ,0 , - 2) G y .

Q 8 . Sia data la funzione / : R2 —> R definita da

Q5. L'applicazione lineare / : R3 —> R2 definita da

4x2 + 4 y2 + 4 z2 + 4x + 2y + 2z = 0.

f (x,y) = 1 + \ / l 2 — 3x2 - 4 y2

(a) La funzione non possiede né massimi né minimi assoluti;(b) Il dominio della funzione è chiuso e limitato;

8 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 77

(c) la funzione non possiede punti stazionari;(d) Il piano tangente al grafico della / neH'origine coincide con il piano xy.

( 1 1 5 \I l o 3

Q9. Si consideri la matrice: B := q 2\2 2 10 )

(a) Il rango di B è 3;(b) L'immagine dell'applicazione lineare R3 ->> R4 associata a B ha dimensione 3;(c) Le prima, la seconda e la terza riga sono linearmente indipendenti;(d) Due colonne distinte qualsiasi di B formano una base dello spazio delle colon

ne.

Q 10 . Sia 7 (t) = (t3 - 2 + 41, 2t3 + 1 - 2i, t) una curva nello spazio.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La curva 7 non è differenziabile;(b) La retta tangente alla curva 7 in ogni suo punto è parallela a i + j.(c) La curva 7 è differenziabile ma non regolare;(d) La curva 7 è piana;

Q ll . Sia V il sottinsieme di R4 definito da V :=


(a) V non è il nucleo di un'applicazione lineare(b) V è immagine di un'applicazione lineare R4(c) F è u n sottospazio di R4 di dimensione 2;(d) V è un sottospazio di R3 di dimensione 1;

r (x\ 2x + 3z = 0y I e K 4 x — y -¡-2z — t = 0 >

x - h y + z + t = 0

r* -> j R3

Q 12 . Sia f (x,y,z) = z2 + z2y — x 3 - x — y - z e si consideri la superficie 5 / di equazione f (x,y,z) = 0 . Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) Sf è regolare nell'origine e ha ivi piano tangente uguale a x + y + z ^ O ;(b) Sf è una quadrica;(c) Sf possiede punti in cui non è regolare.(d) 5 / è un cono con vertice nell'origine;


Soluzione dei QUIZ

Q l. (a) E' falsa. Per esempio se B è la matrice nulla, il sistema è risolubile.(b) E' falsa. Per esempio si prenda A una matrice quadrata 3 x 3 con tutti gli

elementi uguale a 1 e B = 0, allora ci sono due incognite liberi.(c) E' falsa. L'esempio dato in (b) è risolubile e ammette infinite soluzioni.(d) E' corretta. E' conseguenza immediata del teorema di Rouché-Capelli.

Q2 . Si ha- 4

1-6

= 0 .

(a) E' falsa perché il determinante di A è nullo.(b) E' falsa perché il prodotto misto dei tre vettori è equivalente al valore del

determinate calcolato sopra.(c) E' falsa perché tre vettori non sono complanari se il prodotto misto è diverso

da zero.(d) E ' corretta. Il valor assoluto del prodotto misto di tre vettori equivale al volume del

parallelepido da loro generato.

Q3. Le matrici della conica sono:

e“( - f T i ) H ^ ~*3/2dove det B = -2 1 /4 ^ 0 e det A = 21/4 > 0

(a) E' falsa perché det A > 0.(b) E' falsa perché det B ^ 0.(c) E' falsa perché det A ± 0.(d) E' corretta perché det A > 0.

Q4. (a) E' falsa Infatti 2t — t — t — S = 0, cioè - 3 = 0 assurdo.(b) E' falsa perché il vettore (1,1,1) non è proporzionale al vettore (2 , — 1, — 1).(c) E' corretta per Vosservazione fatta in (a).(d) E' falsa perché ir non contiene r.

Q5. Per il teorema della dimensione si ha

dim Ker / = dimR3 — dim Im / = 2.

8 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 -2 ore 79

(a) E' corretta perché il nucleo di f è diverso del vettore nullo.(b) E' falsa perché d im lm / ^ 2 .(c) E' falsa perché dimKer f ^ 0.(d) E' falsa perché dim Ker / = 2.

Q6. Siccome la funzione esponenziale è strettamente crescente, basta porre 2x = 0, 2y = 0. L'unico punto stazionario di / è (0,0). La matrice Hessiana nel punto (0 , 0 ) è:

(a) E' corretta. Infatti f ammette un punto minimo nell'origine.(b) E' falsa perché (0,0) è un punto stazionario di / .(c) E' falsa. Il piano tangente al grafico di / nel punto (0,0,1 /e) ha i coefficienti di

X e di y nulli.(d) E' falsa, perché (0,0) < f (x,y) per ogni (x, y) G R2.

Q7. L'equazione della sfera 5? si pu ò scrivere nel modo seguente:

(* + 1/ 2)2 + (y + 1/4)2 + (z + 1/4)2 = 3/8

(a) E'falsa, infatti il centro è C (—1 /2 ,-1 /4 ,-1 /4 ) .(b) E' falsa. Infatti d(C, (0,0, -2 )) = V (( l/2 )2 + (1/4)2 + (7/4) 2 ± ^/3/8.(c) E' corretta. Infatti la distanza del piano 4x + 2y + 2z = 0 al centro della sfera è uguale

V m .(d) E' falsa perché al sostituire le coordinate del punto (0,0, - 2) nella equazione

di y si ottiene 12 = 0 .

Q8. (a) E' falsa, infatti per ogni (x,y) nel dominio si ha

1 < f{x,y) < 1 + Vl2.

Quindi ha un massimo assoluto nell'origine e una curva (un'ellisse) di minimi assoluti.

(b) E' corretta. Infatti il dominio è l'interno insieme al bordo dell'ellisse Sx2 + 4y2 < 12 che è un insieme chiuso è limitato.

(c) E' falsa perché l'origine è un punto stazionario per / .(d) E' falsa, infatti il piano tangente al grafico di / nell'origine è z — 1 — \/l2 = 0.

Q9. (a) E' falsa perché rkB = 2.


(b) E' falsa perché la dimensione deirimmagine dell'applicazione lineare associata a B coincide con rkB.

(c) E'falsa. Infatti ( 0 , - 1, 2) = (1,1,5) - (1,2,3).(d) E' corretta. Infatti due a due i vettori colonne di B sono indipendenti.

Q10. (a) E' falsa. Infatti le coordinate parametriche della curva sono polinomi.(b) E' falsa perché 7 è regolare.(c) E' falsa perché la retta tangente è nell direzione del vettore (312 + 4 ,6£2 - 2 , 1).(d) E' corretta. Infatti il piano che contiene la curva 7 è : n : 2x - y - lOz + 5 = 0. Una

forma per determinare si la curva è piana è quella di scegliere tre di suoi punti non allineati; ad esempio, A (—2 , 1 ,0), B (3 ,1 ,1), C(14,13,2). Si determina l'equazione del piano passante per tali punti:

Si sostituiscono le equazioni parametriche di 7 in quella di n e siccome si ottiene 0 = 0, si conclude che la curva è piana.

Q ll. (a) E' falsa perché il sistema è omogeneo.(b) E' falsa perché V è proprio il nucleo di un'applicazione lineare.(c) E' corretta, infatti la matrice dei coefficienti ha rango 2. Segue del teorema della

dimensione che V ha dimensione 2.(d) E' falsa perché è un sottospazio di R4 di dimensione 2 .

Q12. (a) E' corretta. Infatti si ha che

e il piano tangente in (0 , 0 , 0) è proprio x + y + z = 0 .(b) E' falsa in quanto il polinomio è cubico.(c) E' falsa in quanto è una funzione polinomiale.(d) E' falsa in quanto l'equazione non è omogenea di grado 2.

x + 2 y — 1 z 7r : 5 0 1 = 0 .

16 12 2


Esercizio 1. Sia dato l'endomorfismo di M2 definito, per ogni vettore G M2, da:

/( x \ (Sx + 4y\ \ y J + 9 y )

(i) Trovare la matrice M j ’s di / rispetto alla base canonica £ = (ei ,e2);


(ii) Determinare gli autovalori di / ;(iii) Determinare gli autospazi di / ;(iv) Stabilire se / è un endomorfismo semplice;(v) Trovare una base V di IR2 tale che la matrice associata M j ìV di / sia diagonale.


F F(i) La matrice di / rispetto alla base canonica è : Mj ’ =

(ii) Gli autovalori di / sono le radici del polinomio caratteristico della matrice M ^,£ che viene dato da:

det(3 4 X 9 l a. ) = * 2- 12»+11 = 0.

Le soluzioni della equazione ci danno gli autovalori: Ài = 1, À2 = 11.

(iii) Gli autospazi sono Va . = Ker ^ 4 ^ 9 ^ ^ i = 1,2 e otteniamo:

^1 = { a ( “ 2) | A e R } Vn = { A ( j ) | A € R }

(iv) / è semplice, infatti ci sono due autovalori distinti.(v) Una base V di M2 per cui la matrice associata di / sia diagonale si ottiene con gli

autovettori:


f (x,y) = x3 + y2 + xy

e sia Sf la superficie grafico di / , definita dall'equazione F(x, y, z) = 0 con F(x, y, z) := f {x, y) — z.

(i) Provare che (1, 1,3) e Sf .(ii) Trovare il piano tangente a Sf nel punto (1,1,3).(iii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione /•(iv) Calcolare un versore normale 1$ a Sf nel punto di coordinate (0 , —1, 1). Svolgimento ddl'esercizio 2 .

(i) Risulta: F( x ìy ìz) = f{x,y) - z = x 3 + y2 + xy - z = 0, allora (1, 1, 3) e Sf , infatti1 + 1 + 1 — 3 = 0.


dF dF dF(ii) Le derivate parziali di F sono: -7— = Sx2 + y, -7— = 2y + x, -7— = — 1 che valutate

ox oy oznel punto (1,1,3) diventano rispettivamente 4,3, — 1.Il piano tangente y r a F i n (1,1,3) è : 4(x - 1) + 3 (y — 1) — (z — 3) = 0 , cioè :4x + 3y — z — 4 = 0.

(iii) Facendo il gradiente di / uguale a zero:

v/(x,y) = ( ^ > § 0 = (3z2 + y , x + 2y) = (0,0)

si ottengono i punti P = (0 ,0),Q (l/6 , -1 /12).La matrice Hessiana di / è

/ a V d2f \tj _ I dx2 dxdy

\dxdy dy2 )

6x 1 1 2

Siccome d e tif /(P ) = — 1, allora il punto P è un punto di sella per / . Invece, il punto Q è un punto di minimo, infatti det Hf(Q) = 1 e f Xx{Q) = 1 > 0 .

(iv) Valutando le derivate parziali di F rispettivamente nel punto di coordinate (0, -1 ,1 )si ottiene il vettore (1, 2 , 1) che risulta essere un vettore normale 1$ a Sf . Per averlo

versore basta dividere per il modulo e otteniamo (-L , - 1 , -L ).

Esercizio 3. Nello spazio siano dati il piano n e la sfera S rispettivamente di equazione

ir : x + y — z — 1 = 0 , S : x 2 + y2 + z2 — 4x — 2y + 4z = 0

(i) Determinare centro e raggio di 5.(ii) Scrivere equazioni cartesiane per la circonferenza S D n.(iii) Determinare raggio e centro della circonferenza S n n.(iv) Posto nh '• x + y — z + h = 0, determinare per quale o quali valori di h il piano tth interseca la sfera S lungo un cerchio massimo.

Svolgimento deH'esercizio 3.

(i) L'equazione della sfera S si può scrivere : (x - 2)2 + (y — l )2 + (z + 2)2 = 9. Segue che il centro è C (2 ,1, - 2) e il raggio R è 3.

(ii) L'equazioni cartesiane della circonferenza S D 7r sono:


(iii) Si determina la retta l passante per il centro della sfera e perpendicolare al piano ir:l —\ (x = 2 + i, y = 1 + z = - 2 — t), t e R. Il centro della circonferenza si ottiene facendo Ir\n. Sostituendo le coordinate parametriche della retta nell'equazione del piano, si ha che t = —4/3. Il centro della circonferenza è : C' = (2/3, —1/3, —2/3). Per calcolare il raggio r della circonferenza, possiamo usar il teorema di Pitagora,infatti, r = y/ 9 — d(C,C')2 =

(iv) Basta imporre che d((2 , 1, - 2), n) = 0, cioè |5 + h\ = 0 e allora h = —5.

9

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore


Q l. In R2 si consideri l ' insieme

A = {(z,y) | 1 < x 2 + y2 < 4 } .

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) (0,0) è interno ad A.(b) A è compatto.(c) ( \ /2 , 0) è esterno ad A.(d) R2 \ A è chiuso.

Q 2 . Nello spazio sia data la sfera S di equazione

x 2 + y2 + z2 — 4x + 2z + 1 = 0 .

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il piano d'equazione x + y + z = 2 passa per il centro di S.(b) La retta di equazioni parametriche (x,y,z) = (t,t,t) interseca S in due punti

distinti.(c) Esiste un piano ir tale che ir D S sia una circonferenza di raggio 1.(d) Il raggio di S è 1.

Q3. Nello spazio sia data la curva C di equazioni parametriche

(x,y,z) = (3 cosi, 5 sin ¿,4 cosi), t e R.


85


(a) C è contenuta nella sfera di equazione x 2 + y2 + z2 = 25.(b) La curva C passa per il punto (4,2,2).(c) La retta di equazioni parametriche {x.y^z) = (5,5,5), s e R, è tangente a C.(d) C è contenuta nella sfera di equazione x 2 + y2 + z2 = 5.

Q4. Si consideri la funzione/(x ,y) = e4*2-*'a+2«'.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) / non è derivabile neU'origine.(b) / non ha punti stazionari.(c) Il punto (2 , — 3) è un massimo relativo per / .(d) Lo sviluppo di Maclaurin al primo ordine di / è 1 + 2y.

Q5. Per ogni h e R si consideri nel piano la conica Ch di equazione

x 2 + 2 xy + hy2 = 2x.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Per ogni h e R, Ch è non degenere.(b) Esistono infiniti h e R tali che Ch sia una parabola.(c) Per ogni h e R, Ch è un'ellisse.(d) Esistono infiniti h e R tali che Ch sia un'iperbole.

Q 6 . Nello spazio siano date la retta r ed il piano a rispettivamente d'equazioni

{ 2xX- z i - Zz - 2 = 0, a : x - 2 y + l = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) r e a si intersecano in un punto.(b) r C a.(c) r e a sono paralleli.(d) r è perpendicolare a a.

Q7. Sia / : R3 —> R4 l'applicazione lineare definita da

f{x,y,x) = {x + y + 2z,2x + 2y, - x - y - 2z, - 2x - 2y).

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) / è iniettiva.

9 - Prova Scrìtta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 87

(b) ( -2 ,-3 ,2 ,3 ) ¿ I n i (/).(c) La matrice di / rispetto alle basi canoniche ha rango 2.(d) dim(ker(/)) = 2 .

Q 8 . Nello spazio siano dati i punti A = (1, - 1, 1), B = ( - 2 , —1, -1 ), C = (1,1, - 3) eO = (0 ,0 ,0 ).Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) I punti A, B, C sono allineati.(b) \AB\ = 2\OC\.(c) I punti A, B ,C e O sono complanari.(d) I vettori O A, OB, OC sono linearmente indipendenti.

Q9. Sia data una matrice A e R3’4 di rango 3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) I sistemi A X = 03,i e *AX = 04,i sono equivalenti.(b) Per ogni B e R3,1 il sistema A X = B non ha un'unica soluzione.(c) Per ogni B e M4,1 il sistema lA X = B ha un'unica soluzione.(d) Il sistema lA X = 04,i è incompatibile.

Q10. In R3 si considerino i vettori a = (1, - 1, - 1), b = (2, - 3, - 1), c = (3, — 4,2) e sia A la matrice avente tali vettori come righe.Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) S f (a,6,c) = R3.(b) Il sistema A X = O34 ha infinite soluzioni.(c) y/3a + (1 - ^ 6)i> = 7r3c.(d) Esiste d e R3 tale che d g (a,6,c).

Q l l . Siano date le matrici


(a) det(A21B 17) = -1 .(b) 2 A - 3B non ha autovalori in R.(c) det(A21B 17) = 7r3.(d) A e B sono linearmente dipendenti in R3,3.

A = B =


Q 12 . Si consideri l'applicazionef(u,v) = (u2,uv,v2).

Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La matrice jacobiana di / in (0,0) non esiste.(b) (1,0,4) appartiene aH'immagine di / .(c) La matrice jacobiana di / in (0,0) è nulla.(d) / non è continua in (0 ,0).

Q l. (a) E' falsa. Infatti 1 < 0 < 4 è un'assurdo.(b) E' falsa perché l'insieme non è chiuso.(c) E' falsa perché 1 < 2 < 4.(d) E' corretta. Infatti l'insieme è aperto.

Q2 . (a) E' falsa. Infatti 2 + 0 - 1 ^ 2.(b) E' falsa perché St2 - 2t + 1 = 0 non ha soluzioni reali.(c) E' corretta. Infatti il raggio della sfera è 2 .(d) E' falsa per quanto detto in (c).

Q3. (a) E' corretta. Infatti 25(cos21 + sin2 1) = 25.(b) E' falsa perché 3 cos 4 + 5 sin 24 cos 2 ^ 0 .(c) E' falsa. Infatti il vettore tangente alla curva C non è nella direzione del vettore

(d) E' falsa per quanto detto nel punto (a).Q4. (a) E' falsa perché esistono tutte le derivate parziali di / nell'origine.

(b) E' falsa. Il punto (0, —1) è un punto stazionario per / .(c) E' falsa perché il punto P (2 , -3 ) non è un punto stazionario per / .(d) E' corretta. Infatti il polinomio di Mac-Laurin è :

Soluzione dei QUIZ

f (x,y) = / ( 0,0) + (— )|(0j0)* + ( ^ ) | ( 0,0)V = 1 + 2 y.

Q5. Le matrici della conica sono


(a) E' falsa perché se h = 0, allora det B = 0 e la conica sarebbe degenere.(b) E' falsa perché la conica è parabola quando det A = 0, cioè per h = 1.(c) E' falsa perché la conica è un'ellisse quando det A > 0, cioè soltanto per h > 1.(d) E' corretta. Infantti è iperbole quando det A < 0, cioè per h < 1.

Q6. Il sistema dato delle 3 equazioni è rappresentato dalla matrice:

/ I - 1 - 1 1 (A\b) = 2 - 3 - 1 2

\ 1 - 2 0 - 1

che è equivalente alla matrice

1 - 1 - 1 10 - 1 1 00 0 0 - 2

(a) E' falsa perché il sistema (^4|b) è incompatibile.(b) E' falsa per la stessa motivazione di (a).(c) E' corretta. Infatti ik(A\b) = 2 e rk(A) = 3.(d) E' falsa perché sono r e a sono paralleli.

Q7. La matrice A associata a / rispetto alle base canoniche è :

/ 1 1 2 \A o o n

1 12 2

- 1 - 1\ — 2 -2

20

-20

(a) E' falsa. Infatti per il teorema della dimensione dimKer / = 3 - rk(A) = 1.(b) E' falsa perché (-2 , - 3 , 2 , 3 ) = - | ( l , 2 , - l , - 2 ) - § (1 ,0 ,-1 ,0 ).(c) E'corretta. Infatti rk(^4) = 2.(d) E' falsa per la stessa motivazione di (a).

Q8 . (a) E' falsa perché l'insieme dei punti {(1, - 1, 1), ( - 2 , - 1, - 1), (1, 1, - 3)} è linearmente indipendente, infatti

1 - 1 1 -2 - 1 - 11 1 - 3


(b) E' falsa perché \/l3 ^ 2 • vTL(c) E' falsa perché il prodotto misto fra i vettori OA, OB, OC non è nullo.(d) E' corretta per la stessa motivazione di (a).

Q9. Si usa il teorema di Rouché-Capelli.

(a) E' falsa. Innanzitutto il numero di incognite dei due sistemi sono diversi.(b) E' corretta. Infatti il numero di incognite è 4 e rk(A) = 3.(c) E' falsa perché è rk(tA) = 3.(d) E' falsa perché i sistemi lineari omogenei sono compatibili.

Q10 . Si ha

n - i - i \ / i - i - i \ / i - ì - nA = 2 - 3 -1 ~ 0 -1 1 - 0 - 1 1 .

\ 3 - 4 2 / \ 0 - 1 5 / \0 0 1 /

(a) E’ correta. Infatti la matrice A ha rango 3.(b) E' falsa. Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ha soluzione unica.(c) E' falsa. Infatti \/3 + 2 - 2 v^6 ^ Zir3.(d) E' falsa perché l'insieme dei punti {a, b, c} è una base per IR3.

Q ll. Si usa il teorema di Binet. Infatti det(A • B) = det A • det i? = 1 • — 1 = — 1.

(a) E' corretta. Infatti det (A21 B 17) = -1 .(b) E' falsa perché il polinomio caratteristico ha grado 3 e allora ammette almeno

una radice reale.(c) E' falsa per quanto detto in (a).(d) E' falsa. Basta osservare l'elemento (1,2) di ciascuna delle matrice, infatti uno

è nullo invece l'altro no.

Q12 . La matrice jacobiana di / è

(2u 0 \J (f ) = [ V li .

\ 0 2v )

(a) E' falsa. Infatti la matrice jacobiana neU'origine è la matrice nulla di ordine 3 x 2 .

(b) E' falsa. Inffatti se u = 0, allora sostituendo nella prima coordinata si ottiene un'assurdo. Lo stesso accade se v = 0 .


(c) E' corretta per quanto osservato prima.(d) E' falsa. Infatti le coordinate parametriche di / sono polinomi e allora / è

continua.

S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia dato l'endomorfismo / : R3 -» R3 avente matrice

rispetto alla base canonica, (i) Determinare il nucleo di / : 0 è autovalore di /?(ii) Determinare una base dell'immagine di / .(iii) Determinare v e R3 non appartenente all'immagine di / .(iv) Determinare tutti gli autovalori di / .(v) Determinare una base di R3 formata da autovettori di / .Svolgimento deiresercizio 1 .

(i) Per calcolare il nucleo di / si risolve il sistema omogeneo associato alla matrice A. Infatti,

/ —3 4 — 2\ / I O 0 A = -3 4 - 2 ~ 0 1 - 1/2

V—2 2 - 1 / VO 0 0

e si ottiene x = 0, y = \z , cioè Ker / = ((0,1,2)).Lo zero è un autovalore di / in quanto la matrice A è singolare.

(ii) Si ha che Im / = Jgf((-3, -3 , - 2), (4 ,4 ,2), ( - 2 , - 2 , - 1)) = JSf((-3, -3 , - 2), (1, 1 , 1/ 2)). Una base per l'immagine di / è l'insieme {(-3 , -3 , -2 ), (1,1,1/2)}.

(iii) Il vettore (0,1,0) non appartiene all'immagine di / .(iv) Per calcolare gli autovalori di / se determinano le radici del polinomio caratteri

stico della matrice A

-3 - t 4 - 2 - 3 4 - t - 2 - 2 2 - 1 - t

Gli autovalori di / sono : Ài = 0, À2 = 1, À3 = —1.(iv) Un base di autovettori di / si calcola determinando delle base per ciascun auto

spazio.V>(0) = Ker (A) = JSf ((0 ,1 ,2».

92 9 - Prova Scrìtta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

yjf(l) = Ker (A — I) = 1,0)).V fW = Ker (A +1) — -£?((1, 1,1)).Una base di R3 costituita di autovettori di / è l'insieme {(0,1, 2), (1, 1,0), (1,1,1)}.


f (x,y) = x 3 - 3y3 - 2 7 x + y + 3.

(i) Determinare i punti stazionari di / .(ii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo (relativi) e di sella della funzione / .Nello spazio si consideri la superficie S di equazione z = f(x,y).(iii) Determinare l'equazione cartesiana del piano tangente alla superficie S nel punto(0,0,3).(iv) Determinare le equazioni parametriche della retta normale alla superficie S nel punto (0 , 1,1).


(i) Per calcolare i punti stazionari di / si pone il suo gradiente uguale a zero.

V/(*,Srt =

Si ottengono i punti >1(3,1/3), B(3, -1 /3 ), C ( - 3,1/3), £>(-3, -1 /3 ).(ii) Si determina la matrice hessiana di /

H{f ) (<òx 0 \ V 0 - 1 8y ) -

18 00 - 618 00 6

Si ha:*det HA(f) =

*det HB(f) =

relativo per / .

*det Hc (f) =

massimo relativo per / .

*det HD( f ) = _108 °6

= -108 < 0. Allora A è un punto di sella per / .

= 108 > 0. Allora siccome f xx > 0, B è un punto di minimo

-18 0 0 - 6 108 > 0 . Allora siccome f xx < 0, C è un punto di

= -108 < 0. Allora D è un punto di sella per / .

9 - Frova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 93

(iii) Il piano tangente alla superficie S nel punto P (0 , 0,3) dove S ha per equazione z = f (x,y) si calcola

e dunque

dF dF dF( x - 0 ) + ^ ~ ( y - 0 ) + ^ - ( z - 3 ) = 0

dx \ P dy |p v d z \ P

27 x — y + z — 3 = 0.

(iv) Le equazioni parametriche della retta normale alla superficie S nel punto (0 , 1 ,1) sono:

(x, y , z) = (-27£, 1 - 8i, 1 - i).

Esercizio 3. Sia data la matrice

Ak =« 1 1 1\0 1 k 1 1 2 1 2

^0 0 1 k)

al variare di k e R.(i) Determinare il rango di Ak al variare di k G R.(ii) Risolvere in R4 il sistema lineare omogeneo avente matrice A 0, determinandone esplicitamente una base dello spazio delle soluzioni.

Nello spazio siano dati i piani a, 7, Sk rispettivamente d'equazioni

a : 2x-+-y + z + l = 0 , f a : y + kz + 1 = 0 , 7 : x + 2y + 2: + 2 = 0 , Sk : z + k = 0.

(iii) Stabilire per quali valori di k e R l'intersezione a n fi 7 fi 4 è non vuota.


(i) Per calcolare il rango della matrice Ak, si fanno delle operazioni elementari opportune in modo di ottenere una matrice ridotta equivalente ad Ak. Infatti

Ak

(2 1 1 1\ 0 1 k 1 1 2 1 2

\ 0 0 1 k )

(0 - 30 11 2

\ 0 0

- 1k11

"3 \ 1 2

f i 2 1 2 \0 1 k 10 0 3k - 1 0

\ 0 0 1 k )

Se k = | oppure k = 0, allora rk(A^) = 3. Altrimenti rk(Afc) = 4.


(ii) Per risolvere il sistema omogeneo relativo ad A q, si osserva che

A q =( 1 2 1 2 \ 0 1 0 1 0 0 1 0

\ 0 0 0 0 /

/ I 0 0 0 \ 0 1 0 1 0 0 1 0

\ 0 0 0 0 /

cioè x = 0 , y + 1 = 0 , 2 = 0 .Lo spazio delle soluzioni è l'insieme {(0, y, 0, —y)/y €

(ii) Basta osservare che detta

( ¿ 1*) =

= Jgf((0 ,l,0 , - 1)).

(2 1 1 - i \ (0 - 3 -1 3 \ ( \ 2 1 ~ 2\0 1 k - 1 0 1 k - 1 0 0 3fc - 1 01 2 1 - 2

rj1 2 1 - 2 0 1 k - 1

\ 0 0 1 - k ) ^0 0 1 - k ) ^0 0 1 - k j

Sek = 1/3 oppure se k = 0 si ha che rk(A) = rk(A\b) = 3 e i tre piani a n ^ fi7 Pi Sh si incontrano in un punto. Altrimenti si ha rk(A) = 3 e rk(A\B) = 4 e le rette risultano essere sghembe.

Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore

10

Q l. Sia dato il seguente endomorfismo di R3 : /(a , b, c) = (0 , 0 , b).

(a) Se ne trovi il nucleo con una base.(b) Se ne trovino gli autovalori e gli autospazi.

Soluzione.

(a)Ker / = {(a,ì),c)GR3/ / ( a , M ) = (0,0,0)}

= { (aA c)G R 3/ ( 0 , 0 ,ò) = (0 , 0 , 0)}

JS?((1, 0 , 0), (0 , 0 , 1)).

Una base per il nucleo di / è l'insieme {(1,0,0), (0,0,1)}.(b) Lo zero è l'unico autovalore di / e il suo autospazio relativo V) (0) coincide con

Ker/ .

Q 2 . Siano dati il piano 7r : x + z = 0 e la retta r : x = t, y = 0, z = 2t.

(a) Si trovi la proiezione ortogonale di r su 7r.(b) Si trovi su 7r una retta sghemba con r.

Soluzione.

(a) Si determina il fascio & di piani contenente la retta r : & : X(2x — z) + fiy = 0, con À, fi non entrambi nulli.Si impone che il prodotto scalare < (2À, ¿¿, -À), (1 , 0 , 1) > = 0 . Si ottiene À = 0 . La proiezione ortogonale di r sul piano ir è la retta:

95

96 10 - Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore

y = 0 , x + z = 0 .

(b) Si considerino, per esempio i due punti P( 1,0, —1), Q (0,1,0) del piano n. Sia l la retta che li contiene. Le rette l ed r hanno intersezione vuota. Inoltre siccome le equazioni parametriche di l sono x = 1 + y = - t ' , z = — 1 - t ' , l non è parallela con r. Allora l ed r sono sghembe.

Q3. Si stabilisca per quali valori di m reale l'equazione x 2 + 4y2 + 4mxy = 2x rappresenta una parabola.

Soluzione.La matrice della conica è

/ 1 2 m - 1\B = [ 2m 4 0

V-l 0 0 JAffinché la conica sia effettivamente una parabola è necessario che 4 — 4m 2 = 0, cioè deve essere m — \ oppure m = —1.

Q4. Quale dei segueti è uno spazio vettoriale?

(a) L'insieme delle funzioni reali di una variabile reale che hanno derivata seconda doppia della derivata prima ovunque;

(b) L'insieme delle matrici quadrate di ordine 7 con determinante = 4;(c) L'insieme dei vettori dello spazio tridimensionale V3 che non sono paralleli al

vettore 2 i + k(d) L'insieme delle funzioni reali di una variabile reale continue ovunque tranne

che in x = —2 .

Soluzione.

(a) E' corretta. Infatti se / " = 2/ ' , e g" = 2g". Allora / " + g" = 2 ( / ' + g'). Inoltre A/" = 2(À/')•

(b) E' falsa. Infatti se A è una matrice di ordine 7 tale che det(A) = 4, alloradet(-A ) = —4. Invece det(A + (—A)) = 0.

(c) E' falsa. Per esempio i vettori i + j + k, ì — j non sono paralleli al vettore 2Ì + k, ma si la loro somma.

(d) E' falsa. Per esempio la funzione f (x) = Risulta che f (x) - f (x) = 0 e la funzione costante 0 è continua in tutto R.

10 - Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore 97

Q5. Si discuta la risolubilità del sistema linearemx + z + 1 = 0 x + y — mz — t = 0 x + y = 2 ,dove m e R, indicando, quando è risolubile, il numero di incognite libere. Posto m = 0, si risolva il sistema.Soluzione.La matrice (A\b) del sistema è :

e il sistema è sempre risolubile perché rk(A\B) = rk(A) = 3. Il numero di incognite liberi è 1.Se m = 0, allora v(A\b) è equivalente alla matrice

e in questo caso la soluzione del sistema è l'insieme {(#, 2 — x, —2 ,2)/x G R}. Q 6. Data la matrice

Se m ^ 0, allora v(A\b) è equivalente alla matrice

1 1 0 0 2 0 —m 1 1 —2 m0 O r n i 2

1 1 0 0 2 0 0 1 0 - 20 0 0 1 2

dove h e C, se ne determine il rango al variare di h . Soluzione.Nel caso che h = 0, si ha che

Nel caso che 0, si ha che

0 i 0 0' 0 0 2/h 0 0 0 0 0

In ogni modo, per qualunque h si ha che rk(Ah) = 2 .

11

Prova Scritta del 27 Febbraio 2012-2 ore

Q l. Sia A e R3,4 una matrice a 3 righe e 4 colonne avente rango 3 e sia X e R4,1 una matrice a 4 righe e una colonna. Allora

(a) Il sistema lineare A X = B ha una sola soluzione, qualunque sia B.(b) Esiste B tale che A X = B non ha soluzione.(c) Le soluzioni del sistema omogeneo A X = O dipendono sempre da due inco

gnite libere.(d) Il sistema A X = B ha infinite soluzioni, qualunque sia B.


Q 2 . Siano dati i vettori di R3

(a) dim £(u,v,w ) = 3 per ogni t e R.(b) Esiste t e R tale che w e £(u,v).(c) u, v, w sono linearmente dipendenti per ogni t e R.(d) Esiste t e R tale che u e £(v,w).

99

100 11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore

Q3. E' data la forma quadratica f (x,y) = —2x2 + 4xy + y2 .(a) La matrice associata a / ha un autovalore nullo.(b) La matrice associata ha polinomio caratteristico multiplo di T 2 + 1.(c) Esiste (£1,2/1) ^ (0,0) per cui si ha f (xi , yi ) = 0.(d) /(*,y) > 0 per ogni (x,y) € R2 non nullo.

Q4. Nello spazio sia r la retta passante per il punto (1,1,2) e parallela al vettore i—j+2k.

(a) r è ortogonale al piano 2x + y + z = 0 .(b) r appartiene al piano x — y + 2z = 0 .(c) r e il piano x — y + 2z = 0 sono incidenti.(d) r è parallela al piano x — y + 2z = 4.

Q5. E' data l'applicazione lineare / : R3 —> R2 associata alla matrice ^ — ^ 2 2 2 )

(a) (1,0 ,0) appartiene al nucleo di / .(b) / è iniettiva.(c) L'immagine di / ha dimensione 1.(d) Esistono vettori di R3 che hanno per immagine (1,1).

Q 6 . Data la funzione /(x,y) = cos(x2 + y2)

(a) / ha un punto di minimo in (0 ,0).(b) / non possiede punti stazionari.(c) Il piano tangente al grafico di / nel punto (0,0,1) è z — 1 = 0.(d) f xx(0 ,0) ^ 0 .

Q7. Nello spazio sia data la circonferenza fé7 di equazioni

4x2 + 4y2 + 4z2 — 4x = 0, 2x — 1 = 0

(a) Il centro di fé7 è (2 ,1,1).(b) fé7 ha raggio 4.(c) L'asse delle z non ha punti in comune con fé7.(d) (0,0, — 2) G fé7.

11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore 101

Q 8. Sia data la funzione / : R2 R definita da

f(x,y) = 1 + x + y

(a) L'insieme di livello —1 è vuoto.(b) Il punto (1,1,0) appartiene al grafico di / .(c) La funzione / non possiede punti stazionari.(d) La funzione / non è differenziabile nell'origine.

Q9. Si consideri la matrice:

B :=

(a) B è invertibile.(b) (2,0,0) è autovettore di B .(c) B ha un autovalore semplice e uno doppio.(d) B ha un autospazio di dimensione 2.

Q i o . Sia 7 la curva nello spazio rappresentata parametricamente da 7 (t) = (t2- 1 , sin t , cos

(a) La curva 7 passa per l'origine.(b) Esiste t e R tale che 7 f(t) = 0 .(c) La curva 7 è piana.(d) Il punto (—1,0,1) appartiene alla curva 7 .

Q ll . Sia V il sottinsieme di M3 definito da

V := x — y + 2z x + y + z -

(a) V contiene 3 vettori linearmente indipendenti.(b) V è un sottospazio di R3 di dimensione 2.(c) V è un sottospazio di R3 di dimensione 1.(d) V è immagine di un'applicazione lineare R3 —> R4.


Q 12. Si consideri nello spazio la superficie S di equazione x 2 + y2 = 1.

(a) S è una circonferenza di raggio 1.(b) S è un cono .(c) S ha nel punto (1,0 ,0) piano tangente di equazione x + y + z = 0;(d) S possiede punti in comune con il piano z = 1.

Soluzione dei QUIZ

Q l. Si usa il Teorema di Rouché-Capelli.

(a) E' falsa. Per esempio se B è la matrice nulla, il sistema ha infinite soluzioni.(b) E' falsa perché rk(A) = 3 = rk(A\B) e il sistema è compatibile.(c) E' falsa. Siccome rk(A) = 3, il numero di incognite libere è 1.(d) E' corretta. Infatti, il sistema avrà 4 — 3 = 1 incognite libere.

Q2 . (a) E' falsa. Se t = 0 i vettori u,v sono linearmente dipendenti.(b) E' falsa perché u e v hanno la terza coordinata uguale a zero(c) E' falsa perché se t = 1 i vettori risultano essere indipendenti.(d) E' corretta. Infatti (1,0,0) = 1/2(2,0,0) + 0(1,1,3).

Q3. (a) E' falsa perché la matrice A associata a / è non singolare.(b) E' falsa perché il polinomio caratteristico è T 2 + T — 6 .(c) E' corretta per il teorema degli zeri.(d) E' falsa perché / ammette autovalori di segni discordi.

Q4. La retta r ha equazioni parametriche: (x, y, z) = (1 + t, 1 — t, 2 + 21).

(a) E' falsa perché (1, —1,2) non è nella direzione di (2 , 1, 1).(b) E' falsa perché l + £ — l + i + 4 + 4£ non si annulla identicamente.(c) E' corretta. Infatti l'intersezione è il punto (1/3,5/3,2/3).(d) E' falsa perché la retta r è perpendicolare al piano x — y + 2z = 4.

Q5. (a) E 'falsa p e rc h é /( l, 0,0) = (1, 2).(b) E' falsa perché dimKer / = 2.(c) E' corretta. Infatti rk(A) = 1.(d) E' falsa perché Im f è generata dal vettore (1,2) e l'insieme {(1, 2), (1,1)} è

linearmente indipendente.


Q6 . Si osserva che

V/(a:,y) = = (-2 x s in (a ;2 + y2), -2a;sin(a;2 + y2))

(a) E' falsa perché /ex (0 ,0) = 0.(b) E' falsa perché (0,0) è un punto stazionario per / .(c) E' corretta. Infatti i coefficienti di x e y sono nulli. Il piano tangente al grafico di f nel

punto (0 , 0 , 1) è - 1 (z - 1) = 0 .(d) E' falsa per (a).

Q7. (a) E' falsa perché il centro di ^ è (1/ 2 ,0,0).(b) E' falsa perché il raggio di ^ è 1/ 2 .(c) E' corretta. Sebbene l'origine appartiene alla sfera, non appartiene al piano.(d) E' falsa. Infatti (0,0, -2 ) per esempio è un punto che non appartiene al piano,

(nemmeno alla sfera).Q8 . (a) E' falsa perché l'insieme di livello — 1 di / è una retta.

(b) E' falsa, infatti il grafico di / è F(x, y , z ) = f (x,y) — z = 0, cioè F(x, y , z ) =l + x + y - z = 0.

(c) E' corretta perché le derivate parziali di f sono costanti.(d) E' falsa. Infatti la funzione / è differenziabile nell'origine in quanto è un

polinomio.Q9. (a) E' falsa perché ha l'ultima riga nulla.

(c) E' falsa. Gli autovalori di B sono 1, —1,0.(d) E' falsa. Infatti la dimensione di ciascun autospazio di B è unidimensionale.

Q10. (a) E' falsa perché se t2 - 1 = 0, allora t = 1 oppure t = — 1 e sint ^ 0.(b) E' falsa. Infatti 7 f(t) = (2£, cosi, - sin t).(c) E' falsa. Infatti l'insieme {t2 — 1, sin t , cos 1} è indipendente.(d) E' corretta. Infatti 7 (0 ) = (-1 ,0 ,1 ).

Q ll. Si ha che V = {(3£, —t, —2t)/t e R}.

(a) E' falsa perché tutti i vettori di V sono combinazione lineare di (3, - 1, —2).(b) E' falsa perché V è unidimensionale.(c) E' corretta. Basterebbe osservare che sono tre gradi di libertà meno due vincoli indi-

pendenti.(d) E' falsa perché V è il nucleo di un'applicazione lineare R3 -» R4.


Q12 . (a) E' falsa perché è un cilindro.(b) E' falsa perché non è l'equazione di un polinomio omogeneo di secondo grado.(c) E' falsa perché II piano tangente nel punto (1,0,0) è 2x - z — 2 = 0.(d) E' corretta. Possiedono in comune una circonferenza.

Esercizio 1. E' data l'applicazione lineare / : R4 —> R3 definita, per ogni vettore(;x,y,z,t) G R4, da:

f(x,y,z, t) = (x - y - t , x - z - t , y - z)

(i) Trovare la matrice M e T di / , dove £ = (ei,e2, e3, e4) e 7 = (fi, f2 > Ì3) sono le basi canoniche rispettivamente di R4 e di R3.(ii) Determinare una base del nucleo di / .(iii) Provare che / non è suriettiva e determinare un vettore di R3 privo di controimmagini.(iv) Dato il vettore v = (0,1,1) G R3, determinare l'insieme f ~ l (0,1,1) delle sue controimmagini.Svolgimento ddl'esercizio 1.

(i) La matrice associata ad / rispetto alle base canoniche è :

(iii) Usando il teorema della dimensione, si ha che

dim Im/ = dim R4 - dim Ker / = 4 - 2 = 2.

e allora / non è suriettiva. Infatti Im / = ((1, 1,0), (0,1,1)). Ad esempio (0,0,1) è privo di controimmagini.

(iv)

/ - 1(0 , 1 , 0 ) = {(x,y , z , t ) € R4/ f ( x , y , z , t ) = (0 ,1, 0 )} = {(z+t , l+z, z , t ) / z , t € K}.


(ii)

Ker / = {(*, y, z, t) e R4/ f ( x , y , z, t) = (0,0,0)} = Jf(( 1,0,0,1), (1,1,1,0))


f ( x , y ) = 2y3 + ( y - x)2 - 6x


e sia Sf la superfìcie grafico di / , cioè la superficie di equazione F( x ìy ìz) = 0 dove F(x,y,z) := f {x, y) - z.

(i) Calcolare il gradiente di / e il gradiente di F.(ii) Trovare il piano tangente a Sf nel punto (1,1 , — 4).(iii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione / .(iv) Dare una rappresentazione parametrica della retta passante per il punto di coordinate (0 , - 1, - 1) ortogonale al piano tangente a Sf in quel punto.Svolgimento deiresercizio 2 .

(i) I gradienti di / e F sono rispettivamente

V / = (—2y + 2x - 6 , 6y2 + 2y - 2x) , V F = ( - 2y + 2x - 6 , 6y2 + 2y - 2x, - 1).

(ii) Il piano tangente a Sf nel punto (1,1, -4 ) è6x — 6y + z - 1-4 = 0.(iii) Imponiamo il gradiente di / = 0. Si ha

f - 2 y + 2x — 6 = 0 \ 6 y 2 + 2y - 2x = 0

I punti stazionari di / sono P{4 ,1); Q(2 , —1).Calcolando la matrice hessiana di / in ogni punto stazionario, si ottiene

" '< /> = ( - 2 u ) . « « ( / ) - ( _ ! w )

Siccome det H p ( f ) e det Hp( f ) sono entrambi positivi (inoltre f xx > 0), i punti P e Q sono punti di minimo per / .

(iv) La retta passante per il punto di coordinate (0,—1,—1 ) ortogonale al piano tangente a Sf in quel punto è

( x = At { y = - l - A t y z = - ì + 1

Esercizio 3. Nello spazio sono date le rette r i ed r 2 rappresentate parametricamente da:

ri : (x,y,z) = (31 + 1,3t,t)\ r2 : {x,y,z) = (u,2u, - u)

(i) Verificare che ri ed r 2 sono sghembe.(ii) Determinare due piani distinti che contengono la retta ri.(iii) Determinare il piano che contiene ri ed è parallelo a r 2.Svolgimento deiresercizio 3.


(i) Le rette n e r 2 non sono parallele. Infatti ri è nella direzione del vettore (3,3,1), invece r 2 è nella direzione del vettore (1, 2 , - 1) e questi vettori non sono proporzionali.Inoltre ri D r 2 = 0. Infatti se

( 3t + 1 = u < 3t = 2u [ t = —u.

Dalle ultime due equazioni del sistema si ricava facilmente t = u = 0. Sostituiti tali valori nella prima equazione si ottiene 1 = 0, l'assurdo che prova che le rette ri e r 2 sono sghembe.

(ii) La retta ri è l'intersezione dei piani x - 3z - 1 = 0, y - 3z = 0.

(iii) Si considera il fascio di piani che contiene r i, cioè:

À(x — 3z — 1) + ¡i(y — 3z = 0) = 0

con Xe fi non entrambi nulli. Se impone che il prodotto scalare

< (A, fi, -3À - 3fi), (1,2, -1 ) > = 0.

Si ottiene la relazione 4À = —5/x. Il piano richiesto è 5x — 4y — 3z - 5 = 0.

12

Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore

(Un esempio di esame vecchio formato)

Q l. Esercizio ( 6 punti) Dati i parametri reali 6 e c, considerare il sistema

(a) posto b = 0 ,c = 1 risolvere il sistema;(b) posto 6 = 1 trovare i valori di c per i quali il sistema ammette soluzioni

Q 2 . Esercizio (6 punti) Sia / : R 2 2 — > R 2,2 l'applicazione lineare cosi' definita:

x + t 0 0 x 4- 1

(a) determinare una base e la dimensione di Ker/ . La funzione / e' iniettiva?(b) determinare una base e la dimensione di Im/ . La funzione / e' suriettiva?

(a) posto 6 = 1 trovare gli autovalori ed una base per gli autospazi di A. La matrice A e' diagonalizzabile?

(b) trovare i valori di 6 per i quali il vettore (1,1) e' un autovettore della matrice A.

Q4. Esercizio(7 punti) Consideriamo i punti A (l,0,1),£(1,1,0) e C(0,1,1).

(a) Trovare l'area del triangolo di vertici A,B e C e stabilire se il triangolo e' rettangolo.

(b) Trovare delle equazioni per la circonferenza passante per A,B e C.

Q3. Esercizio (6 punti) Dato 6 e R consideriamo la matrice A =

107

108 12 - Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore

Q5. Esercizio(4 punti) Dato il numero reale a e R si consideri la funzione f(x,y) = (x - y )2 + a(y - a)2.

(a) Posto a = 1 si determinino gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione.

(b) determinare, se esistono, i valori di a per i quali il punto P ( —1, - 1) sia un punto di massimo per la funzione.

Q 6. Esercizio(3 punti) Si dimostri vera o falsa la seguente affermazione: per ogni funzione f (x) derivabile su R , f (x) e f ' (x) sono linearmente indipendenti.

12 - Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore 109

SOLUZIONI

Q l. (a) Posto b = 0 e c = 1, si osserva che la terza equazione è la somma delle prime due. Quindi solo le prime due equazioni sono indipendenti e si trova facilmente x = —z e y = 1. Dunque la soluzione generale del sistema è, posto

dove nell'ultima ugualianza si sono evidenziate una soluzione particolare e una base del nucleo della matrice dei coefficienti del sistema.

(b) Per b = 1, siccome la somma dei primi membri delle prime due equazioni uguaglia il primo membro della terza equazione, il sistema ha evidentemente soluzione se e solo se tale relazione è verificata anche dai secondi membri, cioè se e solo se c = 2 .

Q 2 . (a) Si ha che

cioè se e solo se x = — t . Ponendo t = u si ha che

Il nucleo di / ha dunque dimensione 3 e

è una sua base. La / non è iniettiva.(b) La / è sicuramente non suriettiva, poiché la dim I m( f ) = 1 (per il teorema di

dimensione nucleo e immagine). Ogni vettore deU'immagine si può scrivere in modo unico come:

(X + ‘ x + t) = (* + »>(o?)e, quindi,

è una base dell'immagine.

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Q3. (a) Se b = 1 la matrice A possiede l'autovalore doppio 1. Essa è ovviamente nondiagonalizzabile, poiché rk(A — 1 ) = 1. Una base dell'autospazio deirunico autovalore 1 è ei, il primo vettore della base canonica di M2.

(b) Si trova facilmente 6 = 3.Q4. (a) Siccome

e i prodotti scalari di ogni coppia di tali 3 vettori sono non nulli, il triangolo non è rettangolo. L'area si calcola per esempio come

(b) Basta mettere a sistema l'equazione di una qualsiasi sfera passante per A,B,C, per esempio x 2 + y2 + z2 — 2 = 0, coll'equazione del piano x + y z - 2 = 0, individuato da A,B,C.

Q5. (a) Se a = 1, la funzione f a assume solo valori positivi o nulli. La somma di due quadrati è nulla se e solo se entrambi gli addendi sono nulli, quindi se e solo se y = 1 e, quindi, x = 1. Il punto (1,1) è un punto di minimo assoluto, come si può facilmente verificare anche col criterio del determinante hessiano.

(b) Il punto (-1 , - 1) è stazionario per f a se e solo se a = - 1. In tal caso però si ha un punto di sella, e la questione non ha quindi soluzione.

Q 6 . L'affermazione è chiaramente falsa, poiché se f (x) = k è una funzione costante, f (x) e f ( x ) sono (k , 0 ), due funzioni linearmente dipendenti.

L'anno prossimo aggiungo gli altri. Ciao. Jorge

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