Checklist di Fisica 3uz.sns.it/~BeppeBogna/checklist.pdf · 2018. 9. 26. · Checklist di Fisica 3...
Transcript of Checklist di Fisica 3uz.sns.it/~BeppeBogna/checklist.pdf · 2018. 9. 26. · Checklist di Fisica 3...
Checklist di Fisica 3
Giuseppe Bogna, Edoardo Centamori
Anno accademico 2017-2018
Sommario
Questo pdf contiene le domande e le risposte per l’esame di Fisica 3. I livelli di difficolta sono
• domande (a): richiedono una risposta pronta e sicura;
• domande (b): sono domande o esercizi la cui risposta puo non essere immediata;
• domande (c): sono argomenti facoltativi.
Per ovvi motivi, le domande a scelta non sono state tutte risolte. Inoltre, buona parte delle stime numeriche sonoassenti.f
Indice
1 Prerequisiti 1
2 Indagine della materia tramite collisioni e decadimenti di particelle 7
3 Elettromagnetismo classico e acceleratori di particelle 26
4 Interazione radiazione-materia 40
5 Domande a scelta 59
1 Prerequisiti
1. (a) Dare la definizione di 4-vettore covariante e controvariante. Un quadrivettore controvariante xµ e unaquaterna (x0, x1, x2, x3) che sotto trasformazioni di Lorentz trasforma nel seguente modo
x′µ = Λµνxν
dove Λµν e una qualche matrice del gruppo di Lorentz. La forma piu generale di tale matrice e
Λµν =
1 0 0 000 R0
γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
1 0 0 000 R′0
con R,R′ ∈ O3. Se consideriamo ancora la trasformazione data da Λµν , un quadrivettore covariante xµ e sempreuna quaterna (x0, x1, x2, x3), che trasforma invece come
x′µ = Λ νµ xν
dove Λ νµ e
Λ νµ = gµαΛαβg
βν
avendo posto gµν = gµν = diag(1,−1,−1,−1).
1
2. (a) Definire le quantita β e γ per le trasformazioni di Lorentz. Presi due sistemi di riferimento inerziali conorigini O e O′, β e la velocita (in unita c) di O′ rispetto ad O, mentre
γ =1√
1− β2
3. (a) Definire il prodotto scalare di due 4-vettori. Presi xµ = (x0,x) e yµ = (y0,y), si definisce il loro prodottoxµyν come
xµyµ = x0y0 − x · y
Dato che yµ = gµνyν , e dato che il tensore metrico e preservato dai boost lungo gli assi e dalle rotazioni, il
prodotto di due 4-vettori e un invariante di Lorentz.
4. (a) Definire il modulo di un 4-vettore. Se xµ e un quadrivettore, il suo modulo e dato da
|x|2 = xµxµ
Dato che il tensore metrico non e definito positivo, il modulo quadro di un quadrivettore puo essere positivo,negativo o nullo.
5. (a) Scrivere le trasformazioni di Lorentz per il boost lungo un asse (asse x). Per un boost lungo l’asse x si hact′ = γ(ct− βx)
x′ = γ(x− βct)y′ = y
z′ = z
o, in forma matriciale ct′
x′
y′
z′
=
γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
ctxyz
6. (a) Definire le derivate in 4-dimensioni, la quadridivergenza, il differenziale di uno scalare di Lorentz, l’operatore
di D’Alembert. Definiamo gli operatori ∂µ e ∂µ come
∂µ =
(1
c
∂
∂t,−∇
)∂µ =
(1
c
∂
∂t,∇)
Preso un generico campo tensoriale, la sua quadridivergenza (rispetto a un qualche indice) e la contrazione tral’operatore ∂µ e l’indice stesso (se quest’ultimo e covariante), tra l’operatore ∂µ e l’indice stesso (se quest’ultimoe controvariante). Ad esempio, se vµ = (v0,v) e un campo vettoriale la sua quadridivergenza e
∂µvµ =
1
c
∂v0
∂t+∇ · v
Se invece φ e un invariante di Lorentz, il suo differenziale e
dφ = dxµ∂µφ =∂φ
∂tdt+ (dx · ∇)φ
Infine, l’operatore di D’Alembert e
= ∂µ∂µ =
1
c2∂2
∂t2−∇2
2
7. (a) Definire il tempo proprio e dare la relazione (differenziale) fra tempo proprio e tempo nel sistema in cuisi osserva il moto. Si sa che l’intervallo ds2 = |dxµ|2 e uno scalare di Lorentz. Nel sistema tangente si hachiaramente dxµ = (cdτ, 0), dove dτ e il tempo proprio (infinitesimo). Di conseguenza, si ottiene
c2dτ2 = c2dt2 − |dx|2 = c2dt2 − |v|2dt2
e infinedτ = dt/γ
8. (a) Dare la definizione di invariante di Lorentz. Un invariante di Lorentz e una grandezza che viene lasciatainvariata dalle trasformazioni di Lorentz, ossia e uguale in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
9. (a) Definire la 4-velocita e il 4-impulso di un punto materiale di massa m, esprimere le loro unita di misuranei sistemi MKS e ~ = c = 1, dimostrare che il loro modulo e costante. La 4-velocita e il 4-impulso sonorispettivamente
uµ =dxµ
dτ= (γc, γv)
pµ = muµ
In MKS uµ si misura in m/s e pµ in kg· m/s, mentre in unita ~ = c = 1 uµ e adimensionale e pµ si misura in kg.I loro moduli sono rispettivamente
uµuµ = γ2c2 − γ2v2 = c2
pµpµ = m2uµuµ = m2c2
e dunque sono costanti.
10. (a) Enunciare la legge di conservazione del 4-impulso. Per un sistema isolato, cioe non sottoposto a forze esterne,il 4-impulso totale si conserva nel tempo.
11. (a) Definire un tensore covariante di rango 2 e la sua traccia. E il prodotto tensore di due quadrivettoricovarianti. Di conseguenza, un tensore covariante Fµν trasforma sotto trasformazioni di Lorentz come
F ′µν = Λ αµ Λ β
ν Fαβ
La traccia di F eFµµ = gµνFνµ
12. (a) Definire il tensore metrico gµν . gµν = diag(1,−1,−1,−1).
13. (a) Dare la definizione di tensore antisimmetrico di rango 2 ed indicare quali dei suoi elementi siano le componentidi un vettore polare e quali quelle di un vettore assiale. Un tensore Fµν di rango 2 e antisimmetrico se cambiasegno sotto scambio degli indici, ossia se
Fµν = −F νµ
Se le componenti di Fµν sono
Fµν =
0 vx vy vz−vx 0 −wz wy−vy wz 0 −wx−vz −wy wx 0
allora v = (vx, vy, vz) e un vettore polare e w = (wx, wy, wz) e un vettore assiale.
14. (a) Definire quando una certa legge fisica e scritta in forma ”relativisticamente covariante”. Una legge fisica escritta in forma covariante se e un’uguaglianza tra due oggetti che trasformano allo stesso modo sotto cambi disistema di riferimento, ossia se hanno gli stessi indici covarianti e controvarianti.
3
15. (a) Enunciare o ricavare la legge relativistica di composizione delle velocita. Supponiamo di avere un corpopuntiforme e siano v,v′ le sue velocita rispetto a due sistemi inerziali O,O′. Se w = wx e la velocita di O′
rispetto ad O. Allora si ha
v′x =vx − w
1− vxw/c2
v′y =vy
γ(1− vxw/c2)
v′z =vz
γ(1− vxw/c2)
dove γ = (1− w2/c2)−1/2.
16. (a) Dimostrare che il modulo di un 4-vettore ed il prodotto di due 4-vettori sono invarianti di Lorentz. E sufficientemostrare che il prodotto di due 4-vettori e invariante. Si ha semplicemente
x′µy′µ = ΛµαgµβΛβγxαyγ
Il gruppo di Lorentz puo essere definito in maniera equivalente a quanto fatto usualmente come il gruppo chelascia invariata la metrica di Minkowski. Ma allora
ΛµαgµβΛβγ = gαγ
x′µy′µ = xµyµ
17. (a) Spiegare qualitativamente il ”paradosso dei gemelli”. Consideriamo i due gemelli Alice e Bob. Supponiamoche la prima rimanga sulla Terra (assunta come sistema inerziale) e che il secondo compia un viaggio verso unastella lontana a velocita costante. Per Alice, l’orologio di Bob e sempre rallentato, dunque al suo ritorno ilgemello sara piu giovane della gemella. Bob vorrebbe dire lo stesso dell’orologio di Alice, ma il sistema su cui luisi trova non e inerziale, o quantomeno non lo e per tutta la durata del viaggio: per iniziare il viaggio di ritorno,deve sicuramente decelerare e poi tornare verso la Terra. Effettivamente, se si fa un diagramma di Minkowski siscopre che e proprio questa fase del viaggio che determina l’invecchiamento ”precoce” di Alice.
18. (a) Dimostrare che l’operatore di D’Alembert e un invariante di Lorentz. Analoga a 16.(a).
19. (a) Dimostrare che 4-accelerazione e 4-velocita sono perpendicolari. Si sa che uµuµ = c2, dunque derivandorispetto al tempo proprio
0 =duµuµ
dτ= uµaµ + uµa
µ = 2uµaµ
20. (a) Quanto valgono, in unita MKS o in altri sistemi di misura comunemente utilizzati, le costanti c, ε0, µ0, e2/4π, ~?
In MKS:
c = 3 · 108 m/s
ε0 = 8.854 · 10−12 F/m
µ0 = 4π · 10−7 H/m
e2
4π= 2.04 · 10−39 C2
~ = 1.05 · 10−34 J·s
In CGS:
c = 3 · 1010 cm/s
ε0 =1
4π
µ0 =4π
c2
e2
4π= 1.83 · 10−20 esu2
~ = 1.05 · 10−27 erg·s
4
21. (a) Quanto vale, entro il 5%, la costante ~c in eV/nm e in MeV/fm?
~c = 197 ev/nm = 197 MeV/fm
22. (a) Spiegare la differenza fra le seguenti categorie di fotoni: infrarossi, visibili, ultravioletti, raggi X, raggi γ. Ladifferenza e nella frequenza (o equivalentemente nell’energia):
Fotone Frequenza [Hz] Energia[eV]infrarosso 5 · 1011 − 4 · 1014 2 · 10−3 ∼ 1.5
visibile 4 · 1014 − 8 · 1014 1.5 ∼ 3ultravioletto 8 · 1014 − 3 · 1017 3 ∼ 103
raggi X 3 · 1017 − 5 · 1019 ·103 ∼ 2 · 105
raggi γ ≥ 5 · 1019 ≥ 2 · 105
23. (a) Quanto vale la massa del fotone? Il fotone ha massa nulla.
24. (a) Quanto valgono, entro il 5%, la carica elettrica dell’elettrone e del protone (in MKSA)?
e = 1.602 · 10−19C
25. (a) Quanto vale, entro il 5%, la costante di struttura fine α?
α =e2
4πε0~c= 7.29 · 10−3 ' 1
137
26. (a) Quanto valgono, entro il 10%, la massa dell’elettrone e del protone (in MKS e in Mev/c2)?
me = 0.511 Mev/c2 = 9.11 · 10−31 kg
mp = 938 Mev/c2 = 1.67 · 10−27 kg
27. (a) Dire se la differenza fra la massa del neutrone e la somma della massa del protone e dell’elettrone sia circa1,10,100 MeV o negativa.
mn − (mp +me) ' 1 Mev
28. (a) Qual e l’ordine di grandezza dell’energia media di legame di un elettrone all’interno di un atomo? Tra 1 e100 eV, ma tendenzialmente piu vicino a 1 eV.
29. (a) Spiegare la differenza tra ottica fisica e ottica geometrica. L’ottica fisica e quella parte dell’ottica che studiai fenomeni in cui emerge la natura ondulatoria della luce (ad esempio, interferenza e diffrazione). Nel limitein cui le dimensioni lineari degli oggetti studiati sono molto maggiori della lunghezza d’onda, l’ottica fisica eapprossimata sempre meglio dall’ottica geometrica.
30. (a) Esprimere tutte le relazioni fra campo elettrico, magnetico e direzione di propagazione di un’onda e.m. piana.I campi e il vettore d’onda formano una terna ortogonale. In particolare, in CGS si ha
B = k ∧E
E = B ∧ k
In particolare, i campi sono trasversali, ovvero
k ·E = 0
k ·B = 0
31. (a) Dare la definizione di onda piana e.m. monocromatica e delle seguenti quantita: ampiezza, frequenza ango-lare, vettore d’onda, frequenza, periodo, lunghezza d’onda. Scrivere le relazioni esistenti tra le grandezze sopradefinite. Un’onda piana monocromatica e un’onda in cui tutte le componenti dei campi sono della forma
f(r, t) = f0eik·r−iωt
L’ampiezza e il modulo dei campi, ω e la frequenza angolare, k e il vettore d’onda, f = ω/2π e la frequenza,T = 1/f e il periodo, λ = 2π/k e la lunghezza d’onda. Nel vuoto si ha ω = ck.
5
32. (a) Definire la relazione di dispersione, la velocita di fase e la velocita di gruppo per un’onda e.m. e spiegarne illoro significato fisico. Dalle equazioni di Maxwell per campi monocromatici si deduce che valgono
∇2E− ε(ω)µ(ω)ω2
c2E = 0
∇2B− ε(ω)µ(ω)ω2
c2B = 0
La relazione di dispersione la forma funzionale che lega ω e k, ossia
c2k2 = ε(ω)µ(ω)ω
La velocita di fase e la velocita di gruppo sono definite rispettivamente come
vf =ω
k
vg =∂ω
∂k
La prima rappresenta la velocita con cui si propaga la fase dell’onda, mentre la seconda la velocita con cui sipropaga un pacchetto, o meglio il suo inviluppo.
33. (a) Definire la polarizzazione di un’onda e.m. La polarizzazione di un’onda e la direzione lungo cui oscilla ilcampo elettrico. Puo essere lineare (se la direzione di oscillazione non varia nel tempo), circolare o ellittica (seil campo elettrico descrive rispettivamente una circonferenza o un’ellisse).
34. (a) In un sistema Oxyz scrivere l’espressione del campo elettrico e del campo magnetico di un’onda e.m. pianamonocromatica, polarizzata linearmente lungo y che si propaga lungo x, sia utilizzando il formalismo reale, siautilizzando il formalismo complesso.
E = E0yeikx−iωt = E0y cos(kx− ωt)
B = E0zeikx−iωt = E0z cos(kx− ωt)
35. (a) Enunciare e spiegare il principio di Huygens. Ogni elemento di un fronte d’onda si puo considerare comesorgente secondaria di onde sferiche in fase con la primaria e di ampiezza proporzionale all’ampiezza dellaprimaria e all’area dell’elemento stesso. La distribuzione angolare di ampiezza e data dal fattore di obliquita
f(θ) =1 + cos θ
2
36. (a) Definire e calcolare l’impedenza del vuoto, e chiarire il suo significato fisico. L’impedenza del vuoto e
Z0 =
õ0
ε0' 120π Ω
37. (a) Definire - in CGS e in MKSA - per un sistema di cariche e correnti elettriche il momento di dipolo elettrico,il momento di quadrupolo elettrico e il momento di dipolo magnetico.
p =
∫ρ(r)rd3r
Q =
∫ρ(r)(3r⊗ r− r2I)d3r
m =1
2[c]
∫r ∧ J(r)d3r
dove ρ e J sono le densita di carica e corrente della distribuzione. Il simbolo [c] indica che la costante va inseritasolo in CGS.
6
38. (a) Calcolare, a partire dalle EDM, la velocita delle onde elettromagnetiche in un mezzo omogeneo, lineare edisotropo. Si mostra banalmente che vale
∇2E− ε(ω)µ(ω)ω2
c2E = 0
dunque la velocita di fase e
vf =c√εµ
39. (a) Esprimere la densita di energia di un’onda e.m. piana in funzione dei campi elettrico e/o magnetico.
u =E ·D + H ·B
8π=
ε
4πE2
0
40. (a) Dare la definizione ed esprimere il vettore di Poynting di un’onda e.m. piana in funzione del campo elettricoe/o magnetico.
S =c
4πE ∧H =
c
4π
√ε
µE2
0 k
41. (a) Esprimere la pressione (di radiazione) che un campo e.m. esercita su una superficie piana.
p =2I
c
dove I = 〈S〉 e l’intensita dell’onda e dove si e supposto che la superficie sia perfettamente riflettente.
42. (a) Dare la definizione di interferenza e diffrazione; di interferenza costruttiva e distruttiva. L’interferenza e unfenomeno in cui le intensita di due onde coerenti non si sommano linearmente. La diffrazione e un fenomeno incui un fascio di radiazione si allarga dopo aver superato una fenditura o un ostacolo.
2 Indagine della materia tramite collisioni e decadimenti di particelle
1. (a) Descrivere qualitativamente il fenomeno dell’assorbimento ed il fenomeno della diffusione elastica di un’ondae.m. su un sistema. Un’onda che incide su un sistema mette in moto gli elettroni di quest’ultimo. In seguitoall’interazione con l’onda, il sistema puo irraggiare energia sotto forma di campi elettromagnetici alla stessafrequenza dell’onda incidente. La parte di energia che viene irraggiata a tale frequenza e quella diffusa elasti-camente. Puo anche succedere che il sistema assorba energia dall’onda incidente senza riemetterla: questo el’assorbimento. Infine, il sistema potrebbe anche irraggiare energia a frequenza diversa: questa diffusione e dettaanelista.
2. (a) Per un’onda e.m. monocromatica che incide su un bersaglio (per esempio un circuito o un atomo) definirele sezioni d’urto di assorbimento, elastica (anche differenziale), inelastica (anche differenziale) e totale.
• Sezione d’urto di assorbimento:
σass =Pass
|〈Sin〉|• Sezione d’urto elastica:
σel =Φ(〈Sout〉)|〈Sin〉|
dσel
dΩ=〈Sout〉 · nR2
|〈Sin〉|dove Sout e relativo alla stessa frequenza dell’onda incidente.
• Sezione d’urto anelastica:
σanel =Φ(〈Sout〉)|〈Sin〉|
dσanel
dΩ=〈Sout〉 · nR2
|〈Sin〉|dove Sout e relativo alle frequenze diverse da quella dell’onda incidente.
7
• Sezione d’urto totale:
σT =〈Pdiss〉|〈Sin〉|
= σass + σel + σanel
3. (a) Definire la ampiezza di scattering per un’onda e.m. monocromatica che incide su un bersaglio fisso (peresempio un circuito o un atomo). L’ampiezza di scattering f e l’ampiezza dell’onda sferica riemessa dal bersaglioquando interagisce con un’onda piana e monocromatica. La sezione d’urto differenziale e legata all’ampiezza discattering da
dσ
dΩ= |f(θ)|2
4. (a) Spiegare tutti i termini della seguente equazione
P =2
3c3p2el +
1
180c5‖...Q‖2 +
2
3c3p2m
espressa in CGS e trascriverla in MKSA. P e la potenza irraggiata da un sistema in cui sono presenti un dipoloelettrico (primo termine), un quadrupolo elettrico (secondo termine) e un dipolo magnetico (terzo termine). InMKSA si ha
P = k02
3c3p2
el + k01
180c5‖...Q‖2 + k0
2
3c5p2
m
avendo posto k0 = 1/(4πε0).
5. (a) Scrivere la distribuzione angolare della radiazione di dipolo elettrico e di dipolo magnetico nel caso nonrelativistico. Per un dipolo elettrico i campi di radiazione e la distribuzione angolare di potenza sono
E =(p(trit) ∧ r) ∧ r
c2r
B =p(trit) ∧ r
c2rdI
dΩ=|p(trit)|2
4πc3sin2 θ
dove θ e l’angolo tra p e r. Per un dipolo magnetico si ha invece
E = −m(trit) ∧ rc2r
B =(m(trit) ∧ r) ∧ r
c2rdI
dΩ=|m(trit)|2
4πc3sin2 θ
dove, come prima, θ e l’angolo tra m e r.
6. (a) Definire la ”resistenza di irraggiamento” di un circuito elettrico a una maglia e fornire un esempio. Nota lacorrente che scorre nel circuito, a resistenza di irraggiamento e la resistenza che avrebbe il circuito per dissiparela potenza irraggiata
Rirr =Pirr
I2
Ad esempio, per un circuito planare e m = ISn/c, dove S e l’area racchiusa dal circuito e n e la normale alcircuito. Si ottiene cosı
Rirr =2
3
S2ω4
c5
7. (a) Definire urto elastico ed urto inelastico fra due punti materiali (o particelle, atomi, nuclei, ...). Un urto eelastico se la natura dei vari oggetti che urtano non varia nell’urto stesso, ossia se per ogni costituente pµi pi,µ = m2
i
e costante nel tempo. In tutti gli altri casi l’urto e anelastico.
8
8. (a) Dire quali grandezze si conservano nei processi di urto tramite interazioni elettromagnetiche, forti e deboli. Sele interazioni sono elettromagnetiche o forti, si conservano energia, impulso, momento angolare, carica elettricae numero barionico. Inoltre i processi sono invarianti sotto parita (P), coniugazione di carica (C), inversionetemporale (T), CP e CPT. Se le interazioni sono deboli, non c’e invarianza sotto alcun tipo di parita (a parte,forse, CPT). Si dice che una certa simmetria e violata da un processo se il simmetrico di quest’ultimo non esistein natura.
9. (a) Definire i processi esclusivi e inclusivi, il Q-valore di un processo e i processi esotermici o endotermici. Unprocesso viene detto esclusivo se in esso viene misurato il 4-impulso di tutti i prodotti, inclusivo se viene misuratoil 4-impulso solamente di alcuni prodotti. Il Q-valore di un processo e
Q = (mi −mf )c2 = Tf − Ti
Un processo e esotermico se Q > 0, endotermico altrimenti.
10. (a) Definire la sezione d’urto nei seguenti casi, e dimostrare come da ognuno di essi si possano dedurre gli altri:
• particelle incidenti su un unico bersaglio [dati: densita di corrente di particelle incidenti; frequenza di eventiosservati]
• sottile fascio di particelle incidenti su una lastra contenente i bersagli [dati: flusso di particelle incidenti,densita superficiale dei bersagli, frequenza di eventi osservati]
• urti nel volume fra particelle di due specie diverse e differenti concentrazioni [dati: numero di eventi osservatiper unita di tempo e per unita di volume, concentrazione delle particellle interagenti, velocita relativa (siipotizza che la tutte le particelle di una specie abbiano la stessa velocita)].
Nel primo caso si ha
σ =1
|j|dN
(1)f
dt
Nel secondo
σ =1
nsΦ
dN(2)f
dt
Nel terzo
σ =1
n1n2vrel
dnfdt
in quest’ultimo caso la sezione d’urto dipende in generale dalla velocita relativa. Se si ha una certa funzione didistribuzione f per la velocita relativa si ha
dNfdt
= n1n2
∫ ∞0
σ(vrel)f(vrel)dvrel
Per passare dal primo al secondo caso, basta osservare che, detta S l’area del bersaglio, Φ = |j|S e che N(2)f =
nsSN(1)f . L’equivalenza tra il secondo e il terzo caso e immediata, una volta che ci si e messi in un sistema in
cui una delle due specie e ferma.
11. (a) Per gli urti fra due particelle definire le sezioni d’urto: elastica, inelastica, inclusiva, esclusiva, totale.Consideriamo la reazione
a+ b→ p1 + · · ·+ pn
e sia fi(Ei) la distribuzione di probabilita dell’energia del prodotto i-esimo. La sezione d’urto inclusiva di taleprodotto e
σi =
∫ Ei,max
Ei,min
f(Ei)dEi
Se invece f(P1, . . . , Pn) e la distribuzione dei 4-impulsi di tutte le particelle finali, la sezione d’urto esclusiva e
σe =
∫f(P1, . . . , Pn)
n∏i=1
d4Pi
La sezione d’urto elastica e la sezione d’urto relativa a un urto elastico, e analogamente la sezione d’urto inelasticae relativa a un urto inelastico. La sezione d’urto totale e la somma delle sezioni d’urto dei possibili stati finali.
9
12. (a) Calcolare la probabilita di interazione per una particella che incide su una lamina sottile [dati: sezione d’urtodel processo, numero di bersagli per unita superficie] Che significato avrebbe una probabilita maggiore di uno?Quest’ultima risposta dipende dalle tipologie degli urti?
P = nsσ
Tale probabilita non puo essere maggiore di 1, a meno non si conti piu volte se una particella interagisce piuvolte con la lastra.
13. (a) Indicare le condizioni per cui la forza di reazione radiativa per una particella (di massa m e carica unitaria)mτa e da considerarsi valida ed utilizzabile. Come noto, la forza di reazione radiativa ha dei problemi intrinseci(vedi ad esempio le soluzioni di fuga) dovuti al fatto che trasforma le equazioni del moto da equazioni del secondoordine a equazioni del terzo ordine. Si puo utilizzare un approccio perturbativo per limitare questi problemi:possiamo risolvere le equazioni del moto ponendo Frad = 0 e poi trovare dei termini correttivi dovuti alla forzadi reazione. Tutto cio ha senso pero se |Frad| |Fext|. Se supponiamo che le forze esterne siano di naturaelettromagnetica, si ha
mv ' qE + qv
c∧B
Supponiamo inoltre, per semplicita, che il moto sia non relativistico. Allora
Frad 'qτ(E +
v
c∧B +
v
c∧ B
)'
'qτE +q2τ
mcE ∧B
Si deve quindi richiedere
τ |E| |E|qτ
mc|E ∧B| |E|
Se supponiamo inoltre che i campi esterni siano monocromatici e con lunghezza d’onda λ, si ottiene infine
q2
mc2= re λ
B m2c4
q3
In realta, compaiono degli effetti quantistici rilevanti ben prima di raggiungere tali limiti (tipicamente, si deverichiedere λ 137re, e si ha una condizione analoga per B).
14. (a) Dimostrare che un elettrone (moto non relativistico) soggetto ad una forza elastica di richiamo, ad una forzadi attrito viscoso ed alla forza di reazione radiativa, nel campo di un’onda e.m. piana polarizzata linearmenteoscilla con la legge
x =eE0
me
1
ω20 − ω2 − iωΓtot
con
Γtot = Γ′ + Γω2
ω20
Dato che il moto e non relativistico, possiamo trascurare il contributo della forza magnetica. Inoltre, se a e lalunghezza tipica su cui oscilla l’elettrone, la condizione v c si puo scrivere anche come a λ, quindi possiamoanche trascurare la dipendenza spaziale dell’ampiezza dei campi. Di conseguenza l’equazione del moto e
me(x + γx− τ ...x + ω2
0x) = eE0e−iωt
Cercando soluzioni della forma x = x0e−iωt si ottiene
x0 =eE0
me
1
ω0 − ω2 − iγω − iτω3
che puo essere messa nella forma indicata nel testo, a patto di porre γ = Γ′ e Γ = ω20τ .
10
15. (a) Spiegare tutti i termini delle seguenti espressioni, inerenti l’interazione di un’onda e.m. piana e monocro-matica su un elettrone legato elasticamente:
dσel
dΩ= r2
e
ω4
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
sin2 α
dσel
dΩ= r2
e
ω4
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
1 + cos2 θ
2
σel = σThω4
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
σtot = 4πrecω2Γtot
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
con
σTh =8π
3r2e = 0.66 barn
La prima espressione e la sezione d’urto differenziale per l’interazione tra l’elettrone e un’onda polarizzatalinearmente. Si puo ottenere dal calcolo precedente ricordando che la distribuzione angolare di potenza irraggiatada un dipolo oscillante p = p0e
−iωt edP
dΩ=ω4|p0|2
4πc3sin2 α
Dunque la frazione e proporzionale a p, re e il raggio classico dell’elettrone e α e l’angolo tra la direzione diosservazione e la direzione della polarizzazione dell’onda incidente. La seconda espressione e la sezione d’urtodifferenziale, quando l’onda incidente non e polarizzata. In tal caso quindi si deve mediare sulle possibili pola-rizzazioni e si ottiene il fattore (1 + cos2 θ)/2, dove θ e l’angolo tra la direzione di osservazione e la direzione dipropagazione dell’onda incidente. σel si ottiene integrando le due espressioni precedenti (non importa quale, ilrisultato e lo stesso) sull’angolo solido. Infine, σtot e la sezione d’urto totale, definita da
σtot =e〈x ·E〉|〈Sin〉|
Si noti cheσel
σtot=
1
1 + Γ′/(ω2τ)
In particolare, le due sezioni d’urto coincidono se non c’e dissipazione.
16. (a) Discutere qualitativamente le osservazioni sperimentali dello scattering di Rutherford e spiegare la differenzafra questo e lo scattering Mott. Inviando un fascio di particelle α su una lamina d’oro, si osserva che circa 1particella su 8000 viene deviata a grandi angoli o rimbalza. Queste osservazioni non sono spiegabili se assumiamoche la struttura atomica sia quella a panettone predetta da Thomson, mentre si spiegano assumendo che l’atomoabbia un nucleo di piccole dimensioni e alta densita di carica (e, nel caso dell’oro, e anche molto piu massicciodelle particelle incidenti, quindi puo essere considerato fisso). Se consideriamo la sezione d’urto
dσ
dΩ
∣∣∣∣Ruth
=
(q1q2
2µv2∞
)21
sin4 θ2
si deduce facilmente che le particelle piu energetiche sono piu penetranti, mentre le particelle piu cariche vengonodeflesse di piu.
Nello scattering Mott, adatto per la descrizione dello scattering degli elettroni, la sezione d’urto e
dσ
dΩ
∣∣∣∣Mott
=dσ
dΩ
∣∣∣∣Ruth
(1− β2 sin2 θ
2
)Nel calcolo di questa sezione d’urto si tiene conto sia dello spin degli elettroni, sia di effetti relativistici nel loromoto.
11
17. (a) Spiegare il significato di tutti i termini delle seguenti espressioni delle sezioni d’urto differenziali Rutherforde Mott:
dσ
dΩ
∣∣∣∣Ruth
=
(zZe2
4πε0
)2(1
4T
)21
sin4 θ2
dσ
dΩ
∣∣∣∣Mott
=dσ
dΩ
∣∣∣∣Ruth
(1− β2 sin2 θ
2
)in cui T → pV/2. z e Z sono le cariche, in unita di e, della particella incidente e del centro diffusore. 4πε0 eun modo buffo per indicare la costante di Lagrange, p e V sono l’impulso e la velocita della particella incidente,mentre β = V/c. Infine, θ e l’angolo di scattering.
18. (a) Dare la definizione operativa di raggio nucleare mediante lo scattering di Rutherford. Si osserva che nelloscattering di particelle α c’e un buon accordo tra le previsioni teoriche per la sezione d’urto e i risultati speri-mentali per T . 30 MeV. Per energie piu alte diventa importante l’interazione con il nucleo, dunque una stimadelle dimensioni di quest’ultimo e
R ' zαzAue2
30 MeV
19. (a) Definire le quantita che in un nucleo usualmente si indicano con A, Z, N (simbologia XAZ N ). Dare ladefinizione di nuclei isotopi, isobari, isotoni, stabili, instabili. A e il numero di nucleoni, Z il numero di protoni,N il numero di neutroni. Due nuclei sono isotopi se hanno stesso Z, isobari se hanno stesso A, isotoni se hannostesso N . Un nucleo e instabile se ha una vita media finita, stabile altrimenti.
20. (a) Dopo avere definito l’unita di massa atomica e avere dato il suo valore in MeV/c2, definire l’energia di legame(B) di un atomo ed il “difetto di massa” (∆) di un atomo.
1 u.m.a. =1
12m( C12
6 6) = 931.5 MeV/c2
L’energia di legame B di un nucleo X con A nucleoni e Z protoni e
B(A,Z) = [Zmp + (A− Z)mn −mX ]c2
Infine, il difetto di massa e la differenza tra la massa del nucleo e A volte l’unita di massa atomica, ossia
∆ = mX −A
12m( C12
6 6)
21. (a) Enunciare la formula semiempirica B = B(A,Z) ed indicare i suoi termini che sono spiegati dal modelloa goccia. Spiegare le ipotesi su cui tale modello e basato e fornire l’ordine di grandezza dell’energia media dilegame di un nucleone all’interno di un nucleo.
B(A,Z) = aVA− aSA2/3 − aCZ(Z − 1)
A1/3− aA
(A− 2Z)2
A+ δ(A,Z)
con
δ(A,Z) =
δ0 se A e Z sono entrambi pari
0 se A e dispari
−δ0 se A e pari, Z e dispari
Il primo termine e detto termine di volume (infatti il volume del nucleo e proporzionale ad A) e tiene contodell’interazione a corto raggio tra i nucleoni. Il fatto che questa interazione sia a corto raggio e che non distinguatra protoni e neutroni da la corretta proporzionalita con A. Il secondo termine, detto termine di superficie,tiene conto che i nucleoni sulla superficie del nucleo interagiscono con meno nucleoni di quelli all’interno. Diconseguenza, bisogna sottrarre un termine proporzionale ad A2/3. Il terzo termine tiene conto della repulsione(da cui il segno negativo) tra i protoni, dunque e proporzionale all’energia elettrostatica di questi, proporzionalea Z(Z − 1)/A1/3. Il terzo termine, detto termine di asimmetria, rende piu stabili i nuclei con stesso numero dineutroni e protoni, dato che e proporzionale a (N −Z)2. L’ultimo termine, in cui δ0 = aPA
−3/4, e detto terminedi accoppiamento e non e spiegato dal modello a goccia (tiene conto dello spin dei nucleoni). Il modello a gocciamodellizza il nucleo come una goccia incomprimibile di fluido resa sferica dalla tensione superficiale, l’ordine digrandezza dell’energia media di legame di un nucleone e 1− 10 MeV.
12
22. (a) Definire i decadimenti α, β, γ e il decadimento tramite cattura elettronica in un nucleo. Calcolare il Q-valoreper il decadimento β+, β−, e per la cattura elettronica a partire dal difetto di massa delle specie coinvolte.
• Decadimento α:XAZ N → YA−4
Z−2 N−2 + He42 2
• Decadimento β+:XAZ N → YAZ−1 N+1 + e+ + νe
All’interno del nucleo di fatto si hap→ n+ e+ + νe
Il Q-valore eQ = (mp −mn −me −mν)c2 = −1.804 MeV
• Decadimento β−:XAZ N → YAZ+1 N−1 + e− + νe
All’interno del nucleo di fatto si han→ p+ e− + νe
Il Q-valore eQ = (mn −mp −me −mν)c2 = 0.782 MeV
• Decadimento γ:XA ∗
Z N → XAZ N + γ
• Cattura elettronica:XAZ N + e− → YAZ−1 N+1 + νe
All’interno del nucleo di fatto si hap+ e− → n+ νe
Il Q-valore eQ = (mp +me −mn −mν)c2 = −0.782 MeV
23. (a) Come si e’ arrivati alla conclusione che nel decadimento beta deve essere emessa una particella neutra nonrivelata? Il positrone ha uno spettro di energia che non puo essere spiegato da un decadimento a due corpi, incui tutto e fissato.
24. (a) Spiegare perche, sebbene il neutrone libero sia instabile, esso non possa decadere quando e all’interno di taluninuclei. Affinche il neutrone possa decadere si deve avere Q > 0, ossia
(m(X)−m(X ′))c2 > 0
In alcuni nuclei puo darsi che cio non accada.
25. (a) Dare le definizioni di: larghezza, vita media, emivita (o tempo di dimezzamento), rapporto di decadimento(“Branching fraction” o “Branching ratio”) per il decadimento di una particella. Se N e il numero di particellenon ancora decadute, la vita media τ e definita da
N = −Nτ
L’emivita e τ ln 2, la larghezza e Γ = ~/τ . Il rapporto di decadimento di un certo canale e il rapporto tra ilnumero di decadimenti che segue quel canale e il numero totale di decadimenti.
26. (a) Quali sono gli ordini di grandezza tipici delle sezioni d’urto delle interazioni forti e delle interazioni deboli?Per le interazioni forti e 10− 100 mb, per le interazioni deboli 1 fb.
27. (a) Quali sono, approssimativamente, gli ordini di grandezza delle vite medie dovute ad interazioni deboli, elettro-magnetiche, forti? Per le interazioni deboli e elettromagnetiche la vita media dipende marcatamente dall’energia(103 s per il decadimento α, 10−16 s per il decadimento β). Per le interazioni forti e dell’ordine di 1023 s.
13
28. (a) Dimostrare che in un decadimento β la somma delle energie dell’elettrone e dell’antineutrino emessi epraticamente uguale al Q-valore della reazione. Per definizione si ha
Q = TX + Te + Tν
dove TX , Te, Tν sono le energie cinetiche del nucleo dopo il decadimento, dell’elettrone e dell’antineutrino. Sesupponiamo che il nucleo sia pressoche fermo dopo l’urto si ha
TX 'p2X
2mX=|pe + pν |2
2mX≤ E2
e + E2ν + 2EeEν
2mX
Si ha quindi, posto E = Ee + Eν e ricordando che mν me
Q+me ≤E2
2mX+ E
ossia
E ≥ mX
(√1 + 2
Q+me
mX− 1
)' Q+me
29. (a) Spiegare la cinematica di un decadimento γ nucleare e spiegare qualitativamente l’effetto Mossbauer. Consi-deriamo un nucleo di massa m e sia ∆E l’energia dello stato eccitato. Imponendo la conservazione dell’energiae dell’impulso si ottiene, detta Eγ l’energia del fotone emesso,
mc2 + ∆E = Eγ +√m2c4 + E2
γ
e dunque
Eγ = ∆E∆E + 2mc2
2(∆E +mc2)
Detta M la massa dello stato eccitato, ossia M = m+ ∆E/c2, si ha anche
∆Eγ = ∆E
(1− ∆E
2Mc2
)Puo quindi accadere che fotoni sufficientemente energetici perdano una quantita significativa di energia a causadel rinculo del nucleo. Se pero il nucleo fa parte di un reticolo, di fatto la massa che assorbe l’impulso del fotonee ben maggiore di quella singolo atomo, cioe si deve considerare al posto di M una massa efficace M0 M(effetto Mossbauer). In tal caso il fotone emesso ha energia approssimativamente pari a ∆E, quindi interagendocon nuclei circostanti puo essere assorbito.
30. (a) Quante sono le variabili indipendenti nello stato finale di una reazione in cui due particelle collidono edN particelle sono prodotte? Sono 3N − 10. Infatti, ho 3 gradi di liberta per ogni prodotto (le 3 componentidell’impulso, che fissano anche l’energia del prodotto), a cui vanno sottratti 4 gradi di liberta per la conservazionedel 4-impulso e 6 gradi di liberta per i boost e le rotazioni, che non incidono significativamente sul processo.
31. (a) Quante sono le variabili indipendenti nello stato finale di una reazione in cui una particella decade in dueparticelle? Quali implicazioni avremmo se la particella che decade avesse un momento angolare non nullo? Nonci sono gradi di liberta, infatti se abbiamo la reazione 1 → 2 + 3, il 4-impulso P3 e fissato dalla conservazioneP1 = P2 + P3. Le relazioni massa-energia P 2
1 = m21 e P 2
2 = m22 tolgono altri due gradi di liberta. Rimangono
sei gradi di liberta, ossia le componenti di p1 e p2, ma possiamo ancora scegliere un sistema di riferimento, checorrisponde appunto a sei gradi di liberta (il gruppo di Lorentz ha sei dimensioni).
32. (a) Quante sono le variabili indipendenti nello stato finale di una reazione in cui una particella decade in treparticelle? Quali implicazioni avremmo se la particella che decade avesse un momento angolare non nullo?Abbiamo due gradi di liberta, il ragionamento e analogo a quanto fatto nella domanda precedente.
33. (a) Definire la funzione di distribuzione esclusiva dei 4-impulsi delle particelle emergenti dopo la collisione didue particelle (oppure dopo il decadimento di una particella). In un processo in cui il 4-impulso totale e P e
14
in cui nello stato finale sono presenti n particelle di 4-impulsi P1, . . . , Pn e masse m1, . . . ,mn, la funzione didistribuzione esclusiva dei 4-impulsi e
f(P1, . . . , Pn) = δ4
(P −
n∑i=1
Pi
)n∏i=1
θ(P 0i )δ(P 2
i −m2i )d
4Pi
34. (a) Spiegare il metodo della ‘massa invariante’ per identificare una particella instabile e misurarne la sua massaConsideriamo la reazione
a+ b→ p1 + · · ·+ pn + pX
e supponiamo di aver misurato i 4-impulsi di tutte le particelle, ad esclusione di pX . La conservazione del4-impulso da allora
m2X = P 2
X =
(Pa + Pb −
n∑i=1
Pi
)2
Se poi si trova mX = 0, l’energia della particella incognita puo essere trovata dalla conservazione dell’energia.
1. (b) Calcolare la ”resistenza di irraggiamento” di un circuito elettrico quadrato di lato L, piccolo rispetto allalunghezza d’onda λ della radiazione monocromatica incidente. Il circuito e puramente resistivo con resistenza R:calcolare la sezione d’urto di assorbimento e la sezione d’urto elastica se l’onda incidente ha campo magneticoperpendicolare al piano del circuito e di modulo massimo E0. La corrente indotta e
I =iωL2
RcE0e
−iωt = I0e−iωt
La potenza irraggiata e dovuta al dipolo magnetico del circuito, ossia
Pirr =2ω4I2L2
3c5
da cui la resistenza di irraggiamento
Rirr =2ω4L2
3c5
La sezione d’urto di assorbimento e invece
σass =RI2
c4πE
20
=4πω2L4
c3R
Infine, la sezione d’urto elastica e data da
σel =Pirrc
4πE20
=8πω6L6
3R2c8=
512π7
3c2R2
(L
λ
)6
2. (b) Utilizzando le apposite tabelle che forniscono le masse dei nuclei, determinare il Q-valore o l’energia di sogliadei seguenti processi, valutando l’eventuale ruolo della interazione coulombiana nello stato iniziale:
• p+ Ar40 → p+ Ar40 + n
• p+ N14 → X + n
• p+ O16 → X + n
• n+ N14 → C14 + p
• He4 + N14 → O17 + p
• H2 + H3 → He4 + n
• H2 + H2 → He4 + γ
• p+ Hg198 → Au197 + p+ p
15
Piu in generale, consideriamo la reazione
a+ b→ p1 + · · ·+ pn
Si mostra facilmente che l’energia di soglia di a nel sistema in cui b e ferma e
Ea,min =(∑ni=1mi)
2 −m2a −m2
b
2mb
Per stimare l’energia coulombiana nello stato iniziale, basta ricordare che il raggio nucleare e R ' R0A1/3, con
R0 ' 1 fm, pertanto
Ue 'q1q2
R' z1z2
A1/31 +A
1/32
· 1.4 MeV
3. (b) Dimostrare che la definizione della sezione d’urto nel caso di fotoni (visti col modello particellare) incidentisu un unico bersaglio e la stessa definizione data per la sezione d’urto elastica per un’onda e.m. monocromaticasu un unico bersaglio. Con il modello particellare si ha
σph =1
|j|dN
dt
Per un’onda elettromagnetica si ha invece
σe.m. =Φ(Sout)
|Sin|=
~ωN~ω|j|
= σph
4. (b) Quale calcolo si deve effettuare per determinare il numero di eventi per unita di tempo e di volume che siproducono negli urti fra particelle di due specie diverse e differenti concentrazioni le cui velocita relative sonodistribuite con un funzione f(Vrel), normalizzata all’unita, e la cui sezione d’urto e σ(Vrel)?
dn
dt= nanb
∫vrelσ(vrel)f(vrel)dvrel
5. (b) Calcolare l’attenuazione di un fascio di particelle incidenti su un materiale omogeneo e composto da atomidi una sola specie in funzione della profondita [dati: sezione d’urto del processo su ogni atomo del bersaglio,densita del mezzo, numero atomico del mezzo]. In un tempo dt, le particelle incidenti che hanno interagito sono
dN = N1jσdt
dove N1 e il numero di atomi del bersaglio nel volume in esame. Allora se n e la densita di particelle incidentisi ha
dn
dx= − ρ
AmHnσ
dove A e il numero di massa degli atomi del bersaglio. Si ottiene
n = n0e−x/l
con
l =AmH
ρσ
6. (b) Calcolare l’attenuazione di un fascio di particelle incidenti su un materiale omogeneo e composto da atomi didiverse specie in funzione della profondita [dati: sezione d’urto del processo su ogni atomo del bersaglio, densitadel mezzo, numeri atomici, composizione chimica del mezzo]. Le considerazioni sono analoghe a quelle delladomanda precedente, ma in questo caso si ottiene
dn
dx= −nρ
∑i
XiσiAimH
dove Xi e l’abbondanza relativa dell’i-esimo elemento.
16
7. (b) Effettuare una stima della sezione d’urto totale forte fra due nuclei di massa atomica A1 ed A2. Fornire lestime numeriche per i seguenti urti
• p+ Ar40
• n+ N14
• He4 + N14
• H2 + H3
I raggi dei due nuclei sono
R1,2 ' R0A1/31,2
con R0 ' 1.2 fm. Una stima e allora
σ ' πR20
(A
1/31 +A
1/32
)2
= 17.3(A
1/31 +A
1/32
)2
mb
8. (b) Calcolare l’energia che dovrebbe avere un protone che incide su un protone fermo per ottenere una energianel centro di massa pari a quella di LHC (14 TeV). Sia E l’energia del protone. L’energia nel centro di massa e
E2cdm = (E +mp)
2 − (E2 −m2p) = 2m2
p + 2mpE
Dunque E = 1.04 · 106 TeV.
9. (b) Calcolare l’energia degli elettroni/positroni per innescare la reazione
e+ + e− → p+ p
in cui i due leptoni collidono con 3-impulsi opposti, ma di modulo diverso. Se E1 e E2 sono le energie dei dueleptoni si ha
(E1 + E2)2 −(√
E21 −m2
e −√E2
2 −m2e
)2
≥ 4m2p
L’energia di soglia, checche ne dica il testo, si ha per E1 = E2 ed e
Emin = mp
10. (b) Calcolare l’energia di soglia nel laboratorio per le seguenti reazioni (la seconda particella e inizialmenteferma):
• γ + O16 → e+ + e− + O16
• γ + e− → e− + e+ + e−
• p+ p→ p+ p+ p+ p
• p+ O16 → p+ p+ p+ O16
• e+ + e− → p+ p
• e− + p→ n+ νe
• νe + p→ n+ e+
Si deve richiedere (∑i
Pi,in
)2
≥
(∑i
mi,fin
)2
dove la prima somma e estesa ai reagenti e la seconda ai prodotti. Dato che i reagenti sono sempre due e ilsecondo e a riposo, la condizione di soglia e
E1 ≥1
2m2
(∑i
mi,fin
)2
−(m2
1 +m22
)17
11. (b) Calcolare la probabilita’ che un neutrino interagisca nell’attraversare la Terra lungo un diametro. Nota:sia assuma che l’energia del neutrino sia tale che la sezione d’urto totale su un singolo nucleone sia 1 fb. Cisi aspetta che la probabilita che il neutrino interagisca sia bassa, quindi possiamo trattare la Terra come unalamina sottile. Allora la probabilita cercata e
P = nσd
con d ' 12760 km e n ' ρTNA/mSi.
12. (b) Dimostrare che la sezione d’urto differenziale elastica per un’onda e.m. piana e monocromatica su un elettronelegato elasticamente vale
dσel
dΩ= r2
e
ω4
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
sin2 α
con α angolo fra la direzione di osservazione e direzione di polarizzazione (lineare) dell’onda, e anche
dσel
dΩ= r2
e
ω4
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
1 + cos2 θ
2
con θ angolo (di scattering) fra la direzione di osservazione e direzione dell’onda incidente. L’equazione delmoto per l’elettrone e
m
(x + Γ′x + ω2
0x−Γ
ω20
...x
)= eE0e
−iωt
Posto Γtot = Γ′ + Γω2/ω20 , la soluzione a regime e
x =eE0
m
e−iωt
ω20 − ω2 − iωΓtot
Come noto, il vettore di Poynting (mediato sul tempo) associato alla potenza irraggiata dall’elettrone e
S =|ex|2
8πc3r2sin2 αr
dove α e l’angolo tra r e E0. La sezione d’urto differenziale elastica e allora
dσel
dΩ=
S · rr2
c8π |E0|2
=8π
c|E0|2e4|E0|2
8πm2c3ω4
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
sin2 α =
=r2e
ω4
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
sin2 α
Supponiamo ora che l’onda incidente si propaghi lungo z e che la polarizzazione sia (cosχ, sinχ, 0). In tal casosi ha, posto r = (sin θ cosϕ, sin θ sinϕ, cos θ),
cosα = r · (cosχ, sinχ, 0) = sin θ cos(χ− ϕ)
Mediando sulle possibili polarizzazioni si ottiene
〈sin2 α〉 = 1− 1
2sin2 θ =
1 + cos2 θ
2
13. (b) Dimostrare che la sezione d’urto Thomson vale
σTh =8
3πr2e = 0.66 barn
L’equazione del moto per una particella libera, trascurando la forza di reazione radiativa, e
mx = eE0e−iωt
La potenza irraggiata e allora
P =2e2|x|2
3c3
Da cui la sezione d’urto
σTh =8
3πr2e
18
14. (b) Dimostrare che la sezione d’urto elastica per un’onda e.m. piana e monocromatica su un elettrone legatoelasticamente vale
σel = σThω4
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
Basta utilizzare la sezione d’urto differenziale calcolata in precedenza e osservare che∫sin2 αdΩ =
∫1 + cos2 θ
2dΩ =
8π
3
15. (b) Dimostrare che la sezione d’urto totale per un’onda e.m. piana e monocromatica su un elettrone legatoelasticamente vale
σT = 4πrecω2Γtot
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
La soluzione dell’equazione del moto e, come visto
x =eE0
m
e−iωt
ω20 − ω2 − iωΓtot
La potenza totale dissipata e
P =〈 ˙ex ·E0〉 =e2|E0|2
2m<(
−iωω2
0 − ω2 − iωΓtot
)=
=e2|E0|2
2m
ω2Γtot
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
A questo punto la sezione d’urto e
σT = 8πP
c|E0|2= 4πrec
ω2Γtot
(ω20 − ω2)2 + ω2Γ2
tot
16. (b) Dimostrare che la sezione d’urto elastica per un’onda e.m. piana e monocromatica su un elettrone legatoelasticamente in prossimita’ di una risonanza stretta (specificare il criterio) si puo’ approssimare con una curvalorentziana
σel ' σThω2
0/4
(ω0 − ω)2 + (Γ + Γ′)2/4
Supponiamo che Γtot(ω0) ω0. Allora
σel 'σThω4
0
4ω20(ω0 − ω)2 + ω2
0 (Γ + Γ′)2 =
=σThω2
0/4
(ω0 − ω)2 + (Γ + Γ′)2/4
17. (b) Dimostrare che per un’onda e.m. piana e monocromatica su un elettrone legato elasticamente le sezionid’urto al picco valgono
σel =3λ2
0
2π
(Γ
Γ + Γ′
)2
σT =3λ2
0
2π
Γ
Γ + Γ′
σinel =3λ2
0
2π
ΓΓ′
(Γ + Γ′)2
19
dove λ0 = 2πc/ω0. Si ha
σel =σThω2
0
(Γ + Γ′)2=
=8π
3r2e
ω2
(Γ + Γ′)2=
=8π
3
(3cτ
2
)2ω2
0
(Γ + Γ′)2=
=6πc2
ω20
(Γ
Γ + Γ′
)2
=
=3λ2
0
2π
(Γ
Γ + Γ′
)2
σT =4πrec
Γ + Γ′=
=6πc2τ
Γ + Γ′=
=3λ2
0
2π
Γ
Γ + Γ′
σinel =σT − σel =
=3λ2
0
2π
ΓΓ′
(Γ + Γ′)2
18. (b) Dimostrare che un elettrone (moto non relativistico) soggetto ad una forza elastica di richiamo, ad una forzadi attrito viscoso ed alla forza di reazione radiativa, se viene lasciato libero di oscillare da una posizione inizialeperde energia con una legge esponenziale in cui la costante tempo vale 1/(Γ′+Γ). Come si chiama questa costantetempo? Quale sarebbe la costante tempo con cui, invece, si smorza l’ampiezza delle oscillazioni? L’equazionedel moto e
x + Γ′x− τ ...x + ω2
0x = 0
Procediamo perturbativamente, ignorando all’inizio Γ′ e la forza di reazione radiativa. Allora si ha semplicementex = x0e
−iω0t. La potenza dissipata media e
P = 〈mτ ...x · x +mΓ′x2〉 =
1
2m(Γ′ + Γ)|x|2
Dunque l’equazione di decadimento per l’energia e
E = −(Γ + Γ′)E
Dato che l’energia e quadratica nell’ampiezza delle oscillazioni, la costante di decadimento di quest’ultima e2/(Γ + Γ′).
In maniera equivalente, si puo cercare una soluzione dell’equazione del moto
−τ ...x + x + Γx + ω2
0x = 0
nella forma x = x0e−iωt e ponendo ω = ω0 + iΩ. Se si richiede Ω ω0 e si ricorda che τ e Γ sono piccoli,
espandendo al primo ordine in Ω si ottiene
i(3ω20τΩ + ΓΩ) + ω0(ω2
0τ + Γ + 2Ω) = 0
La parte immaginaria e del secondo ordine, quindi ponendo la parte reale uguale a zero si trova la costante ditempo con cui decade l’ampiezza delle oscillazioni.
19. (b) Fornire la relazione tra parametro d’impatto (b) e angolo di scattering (θ) nel caso di scattering di Rutherford(Coulombiano) e di scattering su sfera rigida. Partiamo dalla sfera rigida di raggio R. Semplici considerazionigeometriche danno
b = R cosθ
2
20
Nel caso coulombiano, se v∞ e la velocita asintotica della particella, la conservazione del momento angolare siscrive come
r2φ = bv∞
dove φ e l’angolo in figura
La variazione di impulso e∆p = mv∞[x(cos θ − 1) + y sin θ]
dove x e orizzontale da destra a sinistra e y verticale dal basso in alto. Tale variazione si puo anche scriverecome
∆p =
∫ +∞
−∞Fdt = −
∫ π−θ
0
∂V
∂rrr2
bv∞dφ
dove V e il potenziale di interazione (la formula precedente vale ovviamente in generale, non solo nel casocoulombiano). Usando V = (q1q2)/r e limitandosi alla componente lungo y si ottiene infine
mv∞ sin θ =q1q2
bv∞
∫ π−θ
0
sinφdφ =q1q2
bv∞(1 + cos θ)
Dunque il parametro di impatto e l’angolo di scattering sono legati da
b =q1q2
mv2∞
cotθ
2
20. (b) Calcolare la minima distanza fra le due particelle in uno scattering Rutherford. Scriviamo la conservazionedell’energia e del momento angolare
mv2∞ =m(r2 + r2φ2) + 2
q1q2
r
bv∞ =r2φ
Inserendo la seconda nella prima si ottiene
mv2∞ = mr2 +
mb2v2∞
r2+ 2
q1q2
r
Nel punto di minimo avvicinamento si deve avere r = 0, quindi posto ξ = rmin/b, α = q1q2/(mbv2∞) si ottiene
ξ2 − 2αξ − 1 = 0
Da cui facilmente
rmin = b(α+
√α2 + 1
)=
q1q2
mv2∞
1 +
√1 +
(mbv2
∞q1q2
)2
21
21. (b) Calcolare l’energia minima affinche un protone possa avere una interazione forte ”toccando” un nucleo diC12 o di Si28 . Il raggio nucleare e con buona approssimazione
R(A) = R0A1/3
con R0 ' 1 fm. Basta allora usare i calcoli precedenti e riscriverli in funzione dell’energia asintotica del protone(ovviamente scegliamo b = 0)
T =Ze2
R0A1/3
Da cui nei due casi richiesti si ottiene T = 9.5 MeV e T = 17 MeV. In entrambi i casi T mpc2, quindi i calcoli
fatti (che ignorano tutti gli effetti relativistici) sono ragionevoli.
22. (b) Ricavare la sezione d’urto differenziale dello scattering di Rutherford, sia in funzione dell’angolo θ sia infunzione del parametro di impatto b. Si ha
dΩ =2π sin θdθ
dσ =2πb|db|
Di conseguenza
dσ
dΩ=
b
sin θ
∣∣∣∣dbdθ
∣∣∣∣ =
=
(q1q2
2mv2∞
)21
sin4 θ2
=
=
(q1q2
2mv2∞
)2[
1 +
(mbv2
∞q1q2
)2]2
23. (b) Discutere le differenze tra lo scattering di Rutherford (particelle α) e lo scattering di elettroni su bersagliopuntiforme. La prima differenza consiste nel potenziale, repulsivo per una particella α e attrattivo per unelettrone. Inoltre, questi ultimi hanno spin non nullo e, in genere, si muovono a velocita relativistiche, dunquel’approccio seguito in precedenza non e valido per lo scattering degli elettroni.
24. (b) Cercando i dati nelle apposite tabelle (reperibili sul web ) si indichino gli stati finali e si calcoli il Q-valoreper i decadimenti delle seguenti specie instabili: B8 , Ar39 , Be7 , Cu64 , Ge76 . Indicando i soli nuclei rimanenti,si ha
B8 α→ He4 Q =938 MeV
Ar39 β−→ K39 Q =791 MeV
B7 ε→ Li7 Q =71 MeV
Cu64 ε→ Ni64 Q =0.65 MeV
Cu64 β−→ Zn64 Q =0.58 MeV
Ge76 β−β−→ Se64 Q =0.65 MeV
25. (b) Dimostrare ched3p
2E
e un invariante relativistico effettuando esplicitamente la trasformazione di Lorentz (si consideri il boost lungoun asse, p. es. l’asse x). Si ha
d3p′ =
∣∣∣∣det
(∂p′i∂pj
)∣∣∣∣d3p =
∣∣∣∣∂p′x∂px
∣∣∣∣d3p = γ
∣∣∣∣1− β ∂E∂px∣∣∣∣ d3p
22
Usando la relazione impulso-energia si ha∂E
∂px=pxE
e dunque
d3p′ =γ(E − βpx)
Ed3p =
E′
Ed3p
26. (b) Dimostrare che d4pδ(p2−m2)θ(p0) = d3p2E e sfruttare questo risultato per semplificare la scrittura dell’elemento
infinitesimo dello spazio dei 4-impulsi di N particelle emergenti dopo la collisione di due particelle [oppure dopoil decadimento di una particella]. Si sa che d4p = dp0d3p. Vogliamo integrare l’espressione data in p0, ossiacalcolare ∫
δ((p0)2 − |p|2 −m2
)θ(p0)d3pdp0
L’argomento della δ si annulla perp0 = ±
√|p|2 +m2 = ±E
ma la presenza di θ(p0) annulla il contributo della radice negativa. Ricordando che∫δ(f(x))dx =
∑i
f(xi)
|f ′(xi)|
dove la somma e estesa agli zeri di f , si ottiene infine∫δ((p0)2 − |p|2 −m2
)θ(p0)d3pdp0 =
d3p
2E
L’elemento infinitesimo dello spazio dei 4-impulsi di N particelle si scrive allora come
dΦN = δ4
(P −
N∑i=1
pi
)N∏i=1
δ((p0i )
2 − |pi|2 −m2i
)d4pi = δ4
(P −
N∑i=1
pi
)N∏i=1
d3pi2Ei
dove P e il 4-impulso totale del sistema.
27. (b) Dimostrare che nel centro di massa l’elemento infinitesimo dello spazio dei 4- impulsi, nel caso di 2 soleparticelle nello stato finale, si scrive come
pCM
4√s
dΩCM
Indichiamo con E1,p1 l’energia e l’impulso della prima particella e analogamente per E2,p2. Si ha
dΦ2 =δ(√s− E1 − E2
)δ3 (p1 + p2)
d3p1
2E1
d3p2
2E2=
=δ(√
s−√p2
1 +m21 −
√p2
1 +m22
)4√p2
1 +m21
√p2
1 +m22
p21dp1dΩ1
Il valore di p1 che annulla l’argomento della δ e il valore dell’impulso nel centro di massa. Indicandolo con p1,c
e indicando con E1,c e E2,c le energie delle due particelle nel centro di massa, si ottiene infine
dΦ2 =1
4E1,cE2,c
(p1,c
E1,c+p1,c
E2,c
)−1
p21,cdΩ1 =
=p1,c
4(E1,c + E2,c)dΩ1 =
=p1,c
4√s
dΩ1
23
28. (b) Nel caso di 3 particelle nello stato finale di una reazione, dimostrare che fra il quadrato della massa invariantedi due di esse e l’energia della terza (nel centro di massa) sussite una relazone lineare. Ricordando che nel sistemadel centro di massa l’energia totale e
√s e l’impulso totale e nullo, e indicando con P il 4-impulso totale e con
Pi il 4-impulso della particella i-esima, si ha
s12 =(P1 + P2)2 =
=(P − P3)2 =
= P 2 + P 23 − 2PP3 =
= s+m23 − 2E3
√s
dove E3 e l’energia della terza particella nel sistema del centro di massa.
29. (b) Come si trasforma una funzione di distribuzione del 3-impulso f(p)d3p di una particella per una trasforma-zione di Lorentz? Si deve imporre
f ′(p′)d3p′ = f(p)d3p
Inoltre si sa che d3p/E e un invariante di Lorentz, dunque si ha
f ′(p′) =E
E′f(p)
30. (b) Come si trasforma una funzione di distribuzione nello spazio delle fasi f(p, r)d3pd3r di una particella peruna trasformazione di Lorentz? Per un boost lungo l’asse x che ci porta nel sistema tangente si ha
d3r′ =d3r
γ=
d3r′
E′mc2
Dunque Ed3r e un invariante di Lorentz. Dato che lo e anche d3p/E, allora anche d3pd3r e un invariante, edunque anche f(p, r).
31. (b) Dimostrare che se la probabilita’ di decadimento di una particella non dipende dal tempo, la probabilita’ ditrovare la particella non decaduta al tempo t segue una legge esponenziale. Sia P (t) la probabilita di trovare laparticella non decaduta al tempo t e sia τ il tempo di vita medio che, per ipotesi, non dipende da t. Allora si ha
P (t+ dt) = P (t)
(1− dt
τ
)ovvero
P (t) = e−t/τ
32. (b) Dire quali fra le seguenti particelle sono soggette ad interazioni forti: p, p, π+, π−, µ+, µ−, e+, e−, nucleodi azoto, ν, ν. Tutte quelle fatte da quark e gluoni, ovvero p, p, π+, π− e il nucleo di azoto.
33. (b) Pioni neutri, di energia E nel sistema del laboratorio, decadono in due fotoni. La distribuzione e isotropane centro di massa. Si calcoli: i) la distribuzione dell’energia di uno dei due fotoni nel laboratorio; ii) gli angoli,rispetto alla direzione di volo del pione, dei due fotoni nel sistema del laboratorio in funzione dell’angolo nelsistema del centro di massa; iii) la distribuzione dell’angolo di uno dei due fotoni nel laboratorio; iv) il senodell’angolo fra i due fotoni nel laboratorio in funzione dell’angolo di uno dei due fotoni nel sistema del centro dimassa e si produca il relativo grafico per differenti valori dell’energia del pione. Si calcoli infine l’angolo minimofra i due fotoni nel laboratorio. Assumiamo che il pione si muova lungo l’asse x, rispetto a cui misuriamo tuttigli angoli. Nel sistema del centro di massa ogni fotone ha energia Ec = M/2, dove M e la massa del pione. Ladistribuzione angolare e, per isotropia
dN = NdΩc4π
=1
2Nd cos θc
Siano ora β = (1 − M2/E2)1/2 e γ = E/M la velocita e il fattore di Lorentz di un pione nel sistema dellaboratorio. Se EL e l’energia nel laboratorio di un fotone emesso ad un angolo θc nel sistema del centro dimassa, si ha
EL = γEc(1 + β cos θc)
24
Allora si ottiene
dN =N
2γβEcdEL =
N
pπdEL
ovvero una distribuzione uniforme. I 4-impulsi dei fotoni, se uno di essi viene emesso a un angolo θc nel sistemadel centro di massa, sono
p1,2,c =M
2(1,±x cos θc ± y sin θc)
Trasformando nel sistema di laboratorio si ottiene
p1,2,L =M
2(γ(1± β cos θc), xγ(± cos θc + β)± y sin θc)
che corrispondono ai due angoli con l’asse x
tan θ1,2,L =1
γ
± sin θcβ ± cos θc
Per trovare la distribuzione angolare, siano νL e νc le frequenze di un fotone nei due sistemi. Allora dalletrasformazioni di Lorentz si ha
νL =γνc(1 + β cos θc)
νc =γνL(1− β cos θL)
Moltiplicando membro a membro si ottiene
1 + β cos θc =1
γ2(1− β cos θL)
Da cui infine
dN =1
2Nd cos θc =
N
2γ2
d cos θL(1− β cos θL)2
Per l’angolo tra i due fotoni, si ha
sin(θ1 − θ2) = sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1 =
=2β sin θc
γ(1− β2 cos2 θc)
L’angolo minimo si ha per θc = π/2, ed e
sin ∆θmin =2β
γ
34. (b) Calcolare la funzione di distribuzione in energia ed in angolo nel sistema del laboratorio di un fascio dineutrini o di muoni prodotto nel decadimento di pioni carichi di energia 14 GeV. Sia E l’energia dei pioni nelsistema del laboratorio. I neutrini possono essere trattati tranquillamente come fotoni, quindi i calcoli sonoanaloghi a quelli della domanda precedente. Anche la distribuzione in energia dei muoni e analoga al casoprecedente. Per la distribuzione in angolo, notiamo che nel sistema in cui un pione e fermo l’energia del muone e
Eµ,c =m2π +m2
µ
2mπ
Di conseguenza la velocita del muone in questo sistema e
βµ,c =pµ,cEµ,c
=
√1−
(mµ
Eµ
)2
=
√1−
(2mπmµ
m2π +m2
µ
)2
' 0.246
Nel sistema del laboratorio si ha invece
βπ,L =pπ,LE
=
√1−
(mπ
E
)2
' 1− 4 · 10−5
25
Con un’opportuna trasformazione di Lorentz si deduce che nel sistema del laboratorio il muone e sempre ul-trarelativistico, indipendentemente dall’angolo di emissione nel sistema del centro di massa. Di conseguenzaEµ,L ' pµ,L, dunque dalle trasformazioni del 4-impulso del muone
Eµ,L = γπ (Eµ,c + βπpµ,c cos θc)
Eµ,c ' γπEµ,L(1− βπ cos θL)
Da cui infine
d cos θc =1
γ2πβµ,c
d cos θL(1− βπ cos θL)2
dN =N
2γ2πβµ,c
d cos θL(1− βπ cos θL)2
35. (b) Spiegare le variabili utilizzate nel ”Dalitz plot”. Si usano le masse invarianti s12 e s23, perche sono invariantirelativistici e perche l’elemento infinitesimo dello spazio delle fasi e uniforme in E2E3, e dunque in s12s23, datoche la massa invariante di una coppia di particelle e lineare nell’energia della terza particella.
36. (b) Qual e’ l’andamento delle masse nucleari a parita’ di A in funzione di Z? La massa nucleare per dati A e Ze
M(A,Z) =Zmp + (A− Z)mn −B(A,Z)
c2=
=Zmp + (A− Z)mn −aVc2A+
aSc2A2/3 +
aCc2A1/3
Z(Z − 1) +aAc2A
(A− 2Z)2 − δ(A,Z)
Dunque ad A fissato M(A,Z) e una parabola (due nel caso di A pari, a causa di δ(A,Z)). Il minimo della massasi trova per
Zmin =(mn −mp)c
2 + 4aA + aCA−1/3
2(aCA−1/3 + 4aAA−1
) ' A
2(
1 + 2aCaA
A2/3)
37. (b) Dimostrare che in un tipico decadimento α, la particella α emerge con circa il 98% dell’energia disponibile.Consideriamo il decadimento
XAZ N → YA−4Z−2 N−2 + α
Calcoliamo il Q-valore e ricordiamo che A 4, Z 2 e B(4, 2) = 28.3 MeV, di modo che
Q = B(A− 4, Z − 2)−B(A,Z) +B(4, 2) '
' −4∂B
∂A(A,Z)− 2
∂B
∂Z(A,Z) + 28.3 MeV '
' −4aV +8
3aSA
−1/3 + 4aCZ
A1/3
(1− Z
3A
)− 4aA
(A− 2Z)2
A2+
3aPA7/4
+ 28.3 MeV
I valori tipici di Q sono dell’ordine di 5 MeV, e dato che Q = Tα+TY , possiamo trascurare gli effetti relativisticinel moto dei due prodotti finali. Allora mY TY ' mαTα, da cui
Tα ' Q(
1− 4
A− 4
)' Q
(1− 4
A
)Se A ' 200, allora Tα ' 0.98Q.
3 Elettromagnetismo classico e acceleratori di particelle
1. (a) Dare la definizione di quadri-corrente e di quadri-potenziale del campo elettromagnetico. La quadricorrentee il quadripotenziale sono i quadrivettori
jµ = (cρ, j)
Aµ = (ϕ,A)
26
2. (a) Dare la definizione del tensore del campo elettromagnetico e saper scrivere le sue componenti. Il tensoreelettromagnetico e il tensore antisimmetrico di rango 2
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ
Le sue componenti sono
Fµν =
0 −Ex −Ey −EzEx 0 −Bz ByEy Bz 0 −BxEz −By Bx 0
3. (a) Scrivere le equazioni di Maxwell (sia quelle non omogenee che quelle omogenee) in forma covariante.
∂µFµν =
4π
cjν
∂µFµν = 0
dove Fµν = 12εµναβFαβ e il tensore duale del tensore elettromagnetico. Alternativamente, le equazioni omogenee
si scrivono come∂µFνσ + ∂νFσµ + ∂σFµν = 0
4. (a) Scrivere l’equazione di continuita per la quadri-corrente in forma covariante (e verificarne la consistenza conle equazioni di Maxwell). Dato che il tensore elettromagnetico e antisimmetrico, si ha
∂µ∂νFµν = 0
Usando le equazioni di Maxwell si ha allora
∂µjµ =
∂ρ
∂t+∇ · j = 0
5. (a) Scrivere una generica ”trasformazione di gauge” del quadri potenziale (e verificare la ”invarianza di gauge”dell’elettromagnetismo) in forma covariante. Una generica trasformazione di gauge e della forma
A′µ = Aµ + ∂µψ
Il tensore elettromagnetico rimane invariato:
F ′µν = ∂µAν + ∂µ∂νψ − ∂νAµ − ∂ν∂µψ = Fµν
6. (a) Dare la definizione di ”gauge di Lorenz” e di ”gauge di Coulomb”. Nella gauge di Lorenz si richiede
∂µAµ = 0
Nella gauge di Coulomb si richiede∇ ·A = 0
Nel caso statico, le due condizioni sono equivalenti.
7. (a) Scrivere la legge di trasformazione di Lorentz del campo elettrico e del campo magnetico (distinguendo fracomponenti parallele e componenti perpendicolari al ”boost”).
E′‖ = E‖
E′⊥ = γ(E⊥ + β ∧B)
B′‖ = B‖
B′⊥ = γ(B⊥ − β ∧E)
27
8. (a) Dare la definizione del quadri-vettore ”densita di forza di Lorentz”.
fµ =dpµ
dtd3r
fµ e un quadrivettore perche l’elemento di 4-volume dtd3r e un invariante di Lorentz. Si ha
fµ =1
cFµνjν =
(j ·Ec, ρE +
1
cj ∧B
)9. (a) Ricavare le espressioni dell’effetto Doppler relativistico (calcolo della frequenza e dell’angolo misurati dal
rivelatore nel caso di moto relativo fra sorgente e rivelatore stesso). Si sa che kµ = (ω/c,k) e un quadrivettore.Se nel sistema della sorgente (in moto a velocita v = cβx) si ha kµ = ω/c(1, cos θx + sin θy) e nel sistema delrivelatore kµR = ωR/c(1, cos θRx+ sin θRy), si ha
ωR = γω(1 + β cos θ)
tan θR =sin θ
γ(cos θ + β)
10. (a) Scrivere l’espressione per i potenziali ritardati (ϕ ed A) per una qualunque distribuzione di cariche (ρ ecorrenti (j).
ϕ(r, t) =
∫ρ(r′, t− |r− r′|/c)
|r− r′|d3r′
A(r, t) =1
c
∫j(r′, t− |r− r′|/c)
|r− r′|d3r′
11. (a) Dimostrare l’espressionedt
dt′= 1− n · β
dove t e t′ sono il tempo di osservazione ed il tempo ‘ritardato’, rispettivamente. Per definizione si ha
t′ = t− |r− r′|c
Dunquedt
dt′= 1− d
dt′|r− r′|c
= 1 + β · ∇′|r− r′| = 1− n · β
12. (a) Spiegare tutti i termini dell’espressione
E =
[q
R2
n− β
γ2(1− n · β)3+
q
Rc
n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)3
]t′=t−R/c
per il campo elettrico generato da una carica puntiforme in moto arbitrario. Se s(t) e la legge oraria della caricaq, allora si ha R = r − s(t′), n = R/R. Il primo termine e il campo generato da una carica che si muovedi moto rettilineo uniforme e non e radiativo (perche decresce come R−2). Il secondo termine, che dipendedall’accelerazione della carica, e radiativo.
13. (a) Quanto vale il campo magnetico generato da una carica puntiforme in moto arbitrario se e noto il campoelettrico?
B = n ∧E
14. (a) Calcolare la distribuzione in potenza in funzione dell’angolo di emissione per una carica accelerata in motonon relativistico. Per una carica che si muove di moto non relativistico, il campo in zona radiativa si puoapprossimare come
E =q
Rcn ∧ (n ∧ β)
B =q
Rcn ∧ β
28
Di conseguenza si ha
S =q2
4πcR2|n ∧ β|2n
e per la distribuzione angolare di potenza
dP
dΩ= R2S · n =
q2|β|2
4πcsin2 θ
Se si integra sull’angolo solido, si ottiene la potenza totale irraggiata
P =2q2|β|2
3c
15. (a) Enunciare il principio di Babinet. La figura di diffrazione generata da un corpo opaco e la stessa figura didiffrazione che si ottiene con lo schermo complementare, ottenuto cioe sostituendo il corpo con un’apertura.
16. (a) Definire il fattore di forma per un’onda che incide su su sistema. Il fattore di forma per un sistemacaratterizzato da una densita di carica ρ e
F (q) =
∫ρ(r)e−iq·rd3r∫ρ(r)d3r
Tale definizione e valida anche per sistemi discreti, a patto di utilizzare delle opportune δ.
17. (a) Spiegare qualitativamente il funzionamento di un acceleratore elettrostatico. In un acceleratore elettrostaticole particelle vengono accelerate, appunto, da campi statici. In particolare, la particella attraversa un tubo avuoto in cui e presente un campo elettrico costante. L’energia fornita alle particelle e modesta, al massimodell’ordine di 1-10 MeV. L’energia massima e limitata dalla differenza di potenziale tra gli elettrodi, dato che leparticelle attraversano il tubo una sola volta.
18. (a) Spiegare qualitativamente il funzionamento di un acceleratore lineare, indicando le differenze importantifra l’accelerazione di elettroni e di protoni. Un acceleratore lineare consiste in un tubo a vuoto in cui sonopresenti degli elettroni in cascata tra i quali viene stabilita una d.d.p. oscillante. A differenza di un acceleratoreelettrostatico, si puo sempre aggiungere un ulteriore stadio per accelerare le particelle, quindi in un acceleratorelineare si raggiungono energie piu elevate. Consideriamo ora l’accelerazione di una particella di carica q e massam. Dato che la traiettoria e rettilinea, la legge del moto e
qE = mγ3a
La potenza irraggiata e dunque
P =2q2
3c3γ6a2 =
2q4E2
3m2c3
In particolare, la potenza irraggiata da un elettrone e circa 3 · 106 volte quella irraggiata da un protone.
1. (b) Date le definizioni ‘standard’ delle variabili n, β, R, r, r′, t e t′, dimostrare le seguenti relazioni:
dR
dt′= −βc
dR
dt′= −n · βc
dR · βdt′
= −β2c+ R · β
∇R =n
1− n · β
∇t′ = − n/c
1− n · β
r e t sono il punto e l’istante in cui si osservano i campi, r′ la posizione delle sorgenti. t′ e il tempo ritardato,definito da
c(t− t′) = |r− r′(t′)|
29
Mentre R = r− r′(t′), n = R/R e infine β = r′/c. Ovviamente derivando R rispetto al tempo si ottiene
dR
dt′= −r′ = −βc
Inoltre si hadR
dt′=
d
dt′|r− r′| = R
R· dR
dt′= −n · βc
dR · βdt′
= β · dR
dt′+ R · dβ
dt′= −β2c+ R · β
Infine, dalla definizione di tempo ritardato si ha
−c∇t′ = ∇R
Quindi e sufficiente calcolare uno tra ∇t′ e ∇R per avere l’altro. Calcoliamo ∇t′:
−c∇t′ =∇|r− r′(t′)| = xi∂
∂xi
√√√√ 3∑j=1
(rj − r′j(t′))2 =
=xi2R
∂
∂xi
3∑j=1
(rj − r′j(t′))2 =xiR
3∑j=1
(rj − r′j(t′))(δij − cβj(t′)
∂t
∂xi
)=
=n− cn · β∇t′
Dunque
∇t′ = − n/c
1− n · β
2. (b) Ricavare esplicitamente le leggi di trasformazione di Lorentz del campo elettrico e del campo magnetico.Discutere, in particolare, il caso in cui, in un certo sistema di riferimento inerziale, il campo magnetico e nulloe il caso in cui il campo elettrico e nullo. Facciamo un boost lungo x e ricordiamo che
F ′µν = ΛµαΛνβFαβ
che puo essere riscritta comeF ′ = ΛFΛt
Svolgiamo tutti i calcoli
F ′ =
γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
0 −Ex −Ey −EzEx 0 −Bz ByEy Bz 0 −BxEz −By Bx 0
γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
=
=
γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
γβEx −γEx −Ey −EzγEx −γβEx −Bz By
γ(Ey − βBz) γ(Bz − βEy) 0 −Bxγ(Ez + βBy) −γ(By + βEz) Bx 0
=
=
0 −Ex −γ(Ey − βBz) −γ(Ez + βBy)Ex 0 −γ(Bz − βEy) γ(By + βEz)
γ(Ey − βBz) γ(Bz − βEy) 0 −Bxγ(Ez + βBy) −γ(By + βEz) Bx 0
In particolare, se B = 0 nel primo sistema si ottiene
F ′ =
0 −Ex −γEy −γEzEx 0 γβEy γβEzγEy −γβEy 0 0γEz −γβEz 0 0
30
cioe B′ = β ∧E′ in ogni altro sistema. Viceversa, se E = 0
F ′ =
0 0 γβBz −γβBy0 0 −γBz γBy
−γβBz γBz 0 −BxγβBy −γBy Bx 0
e quindi E′ = −β ∧B′.
3. (b) Dire quali sono gli ”invarianti di Lorentz” che si possono costruire con il tensore del campo elettromagneticoe ricavarne le espressioni esplicite in termini dei campi elettrico e magnetico. Ridiscutere, usando gli invarianti,il caso discusso nel punto precedente e discutere il caso in cui gli invarianti sono nulli. Siano in generaleAµν = (α,a) e Bµν = (β,b) due tensori antisimmetrici di rango 2, ossia A0i = αi, A
ij = −εijkak e analogo perB. Allora si ha
AµνBµν = A0iB0i +Ai0Bi0 +AijBij = −2αiβi + εijkεijlakbl = 2(a · b−α · β)
Usando Fµν = (−E,B) e Fµν = (−B,−E), si ottiene
FµνFµν = −FµνFµν = 2(B2 − E2)
FµνFµν = −4E ·B
Questi oggetti sono per costruzione degli invarianti di Lorentz. Nel caso precedente, se B = 0 si ottiene E′ ·B′ = 0e E′2−B′2 > 0 in ogni sistema inerziale, ossia il campo elettrico e il campo magnetico sono ortogonali e il primoha modulo maggiore del secondo. Se E = 0 si ha una discussione analoga.
4. (b) Ricavare il campo elettromagnetico creato da una carica in moto uniforme. Supponiamo che la velocita dellacarica sia v = cβx. Nel sistema tangente i campi sono
E =qr′
r′3
B = 0
Trasformando i campi nel sistema in cui la carica e in moto si ottiene
E =qx′x
r′3+γq(y′y + z′z)
r′3=
qγ[(x− βct)x+ yy + zz]
[γ2(x− βct)2 + y2 + z2]3/2
B = −γqβ(y′z − z′y)
r′3= − γqβ(yz − zy)
[γ2(x− βct)2 + y2 + z2]3/2
Volendo, posto Ri = (x− vt, y, z) e detto θ l’angolo tra x e Ri, si puo anche scrivere
E =qRi
γ2R3i (1− β2 sin2 θ)3/2
5. (b) Scrivere in forma covariante l’equazione del moto di una carica in un campo elettromagnetico esterno(”(quadri-)forza di Lorentz”).
mwµ =q
cFµνuν
6. (b) Dimostrare che
Frad =2
3
q2
c3a = z2meτea
con τe = 2re/3c = 6.2 · 10−24 s , e la forza di reazione radiativa ed indicare il campo di applicazione di questaformula. La potenza irraggiata da una carica in moto e
P =2q2|a|2
3c3
31
Si deve avere Frad · v = −P , dunque (Frad −
2
3
q2
c3a
)· v = −2q2
3c3dv · a
dt
Se supponiamo che il moto sia periodico di periodo T e integriamo sul tempo otteniamo∫ T
0
(Frad −
2
3
q2
c3a
)· vdt = 0
Dunque un buon guess per la forza di reazione e
Frad =2
3
q2
c3a
La forza di reazione si puo anche riscrivere come
Frad =2
3
z2me
c
e2
mec2a = z2meτea
Una generalizzazione relativistica Fµrad della forza di reazione si puo ottenere richiedendo che nel limite nonrelativistico si riconduca a quanto gia trovato e che sia trasversale alla quadrivelocita. Quest’ultima condizione eimplicata ovviamente dalla trasversalita della quadriaccelerazione. Una buona candidata per rispettare il limitenon relativistico e
Fµrad =2
3
q2
c3dwµ
dτ
Ma tale espressione non e trasversale a uµ. Possiamo aggiungere un termine Auµ, che mantiene il corretto limitenon relativistico, da cui imponendo la trasversalita si ottiene c2A = (2q2/3c3)wνwν , e infine
Fµrad =2
3
q2
c3
(dwµ
dτ+ uµ
wνwνc2
)7. (b) Dare la definizione del ”tensore energia-impulso” del campo elettromagnetico e scrivere la sua relazione con
la ”densita di forza di Lorentz”. Il tensore energia-impulso e
Tµν = − 1
4π
(FµαF να −
1
4gµνFαβFαβ
)ed e legato alla densita di forza di Lorentz da
∂µTµν + fν = 0
8. (b) Dare la definizione della ”densita di energia” del campo elettromagnetico, del ”vettore di Poynting” e del”tensore degli sforzi di Maxwell”. La densita di energia e la componente T 00, il vettore di Poynting e S =c(T 10, T 20, T 30), il tensore degli sforzi di Maxwell e σij = (T ij)i,j=1,2,3.
9. (b) Dire come si generalizzano i teoremi di conservazione dell’energia e dell’impulso a situazioni in cui siapresente un campo elettromagnetico. I due teoremi corrispondono alle equazioni
c∂µTµν + F νωjω = 0
10. (b) Scrivere il tensore degli sforzi per un’onda e.m. piana che si propaga in una direzione n. Dimostriamo che
σij = −ninjuem
Dato che l’uguaglianza e tra tensori, non e restrittivo supporre n = x e di conseguenza E = E0yeikx−iωt,
B = E0zeikx−iωt. In questo caso si ha
σij =1
4π(EiEj +BiBj)− δijuem = −uem
1 0 00 0 00 0 0
32
11. (b) Scrivere esplicitamente il 4-tensore impulso-energia per un’onda e.m. piana monocromatica che si propagalungo l’asse x con densita’ di energia uem.
Tµν =
uem uem 0 0uem uem 0 0
0 0 0 00 0 0 0
12. (b) Ricavare l’espressione per i potenziali di Lienard-Wiechert (ϕ ed A per una carica puntiforme in moto
arbitrario) a partire dai potenziali ritardati. I potenziali ritardati sono
ϕ(r, t) =
∫ρ(r′, t− |r′ − r|/c)
|r− r′|d3r′
A(r, t) =1
c
∫j(r′, t− |r− r′|/c)
|r− r′|d3r′
Prendiamo una carica q con legge oraria s(t). Le densita di carica e corrente associate sono
ρ(r, t) =qδ3(r− s(t))
j(r, t) =qs(t)δ3(r− s(t))
Definiamo il tempo ritardato t′ come al solito, ovvero
c(t− t′) = |r− s(t′)|
Calcoliamo ora il potenziale scalare, dato che il calcolo del potenziale vettore e del tutto analogo. Si ha
ϕ(r, t) =q
∫δ3(r′ − s(t− |r− r′|/c))
|r− r′|d3r′
Il valore di r′ che annulla l’argomento della δ e chiaramente s(t′). Se consideriamo inoltre la mappa ψ : R3 → R3
data daψ : r′ 7→ r = r′ − s(t− |r− r′|/c)
si ha∂ri∂rj
= δij −si(t− |r− r′|/c)
cwj(r, r
′)
dove
w(r, r′) =r− r′
|r− r′|Di conseguenza, posto β = s/c si ha
det
(∂ri∂rj
)= det
1− βxwx −βxwy −βxwz−βywx 1− βywy −βywz−βzwx −βzwy 1− βzwz
=
=(1− βxwx)(1− βywy)(1− βzwz)− 2βxβyβzwxwywz−− (1− βxwx)βyβzwywz − (1− βywy)βxβzwxwz − (1− βzwz)βxβywxwy =
=1− β · w
Posto n = w(r, s(t′)), si ottiene infine
ϕ(r, t) =q
|r− s(t′)|(1− β(t′) · n)
Analogamente, il potenziale vettore e
A(r, t) =qβ(t′)
|r− s(t′)|(1− β(t′) · n)
33
13. (b) Dare la definizione di “solido di radiazione” e di “diagramma di radiazione” per una carica accelerata.Il solido di radiazione di una carica accelerata e il solido che si ottiene partendo dall’origine e tracciando unsegmento in direzione n proporzionale alla potenza irraggiata in quella direzione. Il diagramma di radiazione eil grafico del solido di radiazione.
14. (b) Calcolare la potenza totale irraggiata da una carica accelerata in moto non relativistico. Esprimere i risultatiin MKSA e nelle unita’ “naturali”. Il campo elettrico radiativo nel limite non relativistico e
E =q
cr
n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− β · n)3' q
crn ∧ (n ∧ β)
Inoltre si ha B = n ∧E, dunque la distribuzione angolare di potenza irraggiata e
dP
dΩ=q2|n ∧ β|2
4πc
Integrando sull’angolo solido si ottiene infine
P =2q2|β|2
3c
In MKSA si ottiene invece
P =q2|β|2
6πε0c
15. (b) Ricavare la formula di Larmor relativistica
P =2
3
q2
c3γ6(|a|2 − |a ∧ β|2
)a partire dalla formula non relativistica ed utilizzando argomenti di invarianza relativistica. La potenza deveessere un invariante relativistico. Infatti, γ trasforma come un tempo (si pensi a uµ) e anche γP trasforma comeun tempo (si pensi a fµ). L’espressione
P = −2
3
q2
c3wµwµ
ha la proprieta richiesta. Inoltre coincide con il limite non relativistico, ossia coincide con la potenza irraggiatanel sistema tangente. Allora coincide sempre, dato che due quadrivettori che sono uguali in un sistema inerzialelo sono anche in tutti gli altri. Esplicitamente si ha
wµwµ = γ4(γ4(a · β)2 − |a + γ2β(a · β|2
)=
= γ4(−γ2(a · β)2 − |a|2) =
= γ6(|β|2|a|2 − (a · β)2 − |a|2) =
= γ6(|a ∧ β|2 − |a|2)
16. (b) Spiegare tutti i termi della espressione
dIωdΩ
=q2
4π2c
∣∣∣∣∣∫n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)2exp
[iω
(t′ − n · r′
c
)]dt′
∣∣∣∣∣2
Iω e l’energia irraggiata per unita di frequenza. L’espressione e la distribuzione angolare di Iω per una carica qin moto con velocita β. n e la direzione di osservazione. Infatti, si ha che il campo di radiazione e
E =q
cr
n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)3
con tutti i termini valutati al tempo ritardato t′. Tenuto conto che B = n ∧E, l’energia irraggiata per unita diangolo solido e
dEdΩ
=q2
4πc
∫ +∞
−∞
[n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)
∣∣∣∣∣t′
]2
dt
34
Usando il teorema di Parseval possiamo scrivere
dEdΩ
=q2
c
∫ +∞
0
|f(ω)|2dω
dove f e la trasformata di Fourier della funzione integranda precedente (l’integrale e esteso alle sole frequenze
positive perche la funzione che trasformiamo e reale, dunque f(−ω) = f∗(ω)). Allora possiamo interpretare
q2|f(ω)|2/c come l’energia irraggiata per unita di frequenza e di angolo solido. Nel calcolo esplicito di f ecomodo fare il cambiamento di variabili t→ t′ e ricordare che
dt
dt′= 1− n · β
Da cui infine
dIωdΩ
=q2
4π2c
∣∣∣∣∣∫ +∞
−∞
n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)2exp
[iω
(t′ − n · r′
c
)]dt′
∣∣∣∣∣2
17. (b) Dimostrare che la radiazione di sincrotrone ha uno spettro di emissione con una frequenza “critica” ωC 'ω0γ
3 Consideriamo un tratto ∆l = 2R/γ della traiettoria, e sia R il raggio di quest’ultima. Poniamo unrilevatore a distanza D dall’anello e consideriamo due impulsi generati prima e dopo aver percorso ∆l, di modoche il rilevatore possa ricevere la radiazione emessa da uno dei due lobi del solido di radiazione, come in figura
R
∆lD
L’intervallo di tempo tra il ricevimento dei due segnali e
∆t =∆l
v− ∆l
c=
2R
cγ
1− ββ
Tenuto conto che la frequenza angolare ω0 con cui viene percorsa l’orbita e ω0 = βc/R, e tenuto conto che β ∼ 1,si ottiene una larghezza in frequenza
∆ω =1
∆t=ω0γ
2
1
1− β=ω0γ
2
1 + β
1− β2' ω0γ
3
18. (b) Calcolare il pattern di interferenza per 2 sorgenti equispaziate. Se le due sorgenti sono poste in r1,2, hannofasi φ1,2 e emettono onde di ampiezza A1,2, per semplicita con la stessa polarizzazione, allora il pattern diinterferenza e dato da
I =∣∣∣A1e
ik·(r−r1)−iωt+iφ1 +A2eik·(r−r2)−iωt+iφ2
∣∣∣2 =
=A21 +A2
2 + 2A1A2 cos[k · (r1 − r2) + φ2 − φ1] =
=A21 +A2
2 + 2A1A2 cos[kd cos θ + φ2 − φ1]
dove d e la distanza tra le sorgenti e θ l’angolo tra la direzione di osservazione e d.
19. (b) Calcolare il fattore di forma elettromagnetico per una sfera uniformente carica di raggio a.
F =
∫dΩσa2e−iq·r∫
dΩσa2=
sin qa
qa
35
20. (b) Quali particelle incidenti e di quale energia si utilizzano per misurare i fattori di forma nucleari? Come sidefinisce il raggio nucleare? Per misurare i fattori di forma nucleari si utilizzano elettroni con energia di circa500 MeV. Il raggio nucleare quadratico medio e
〈R2〉 =
∫ρ(r)r4dr∫ρ(r)r2dr
21. (b) Calcolare il fattore di forma per una distribuzione radiale che sia piatta fino ad un certo raggio, e nulla oltre.
F =
∫dΩ∫
drρ2r2e−iq·r∫dΩ∫
drρr2=
3
q3a3(sin qa− qa cos qa)
22. (b) Quali sono, approssimativamente, le energie per unita di lunghezza che attualmente si ottengono nell’accele-razione di protoni con la tecnica delle cavita superconduttrici? Circa 50 MeV/m.
23. (b) Calcolare la velocita di un elettrone [e successivamente di un protone] posto in una struttura acceleratriceche abbia: i) campo elettrico longitudinale costante ii) campo elettrico longitudinale oscillante. Inserendo valorinumerici ragionevoli, calcolare il tempo affinche la particella, partendo da ferma, raggiunga una energia pari aldoppio della sua massa a riposo. Supponendo che l’acceleratore sia lineare, l’equazione del moto di una particelladi massa m e carica q e
d
dt(γβ) =
qE
mc
Nel caso di campo costante, si ottiene semplicemente
γβ =t
τ
con τ = mc/(qE). Si ottiene quindi per la velocita e l’energia
β =t√
t2 + τ2
E =mc2
√1 +
(t
τ
)2
In particolare, ∆t =√
3τ e il tempo necessario affinche l’energia sia il doppio di quella a riposo. TipicamenteqE ∼ 50 MeV/m, quindi ∆t ' 10−11 s per un elettrone e ∆t ' 10−7 s per un protone.
Se invece il campo elettrico e del tipo
E = E0 sinπt
τ
In un semiperiodo τ si ha
∆(βγ) =qE0
mc
∫ τ
0
sinπt
τdt =
2qE0τ
πmc
Che porta allo stesso risultato, a patto di sostituire l’ampiezza del campo elettrico con 2E0/π.
24. (b) Integrando l’espressionedP
dΩ=
q2|a|2
16π2ε0c3sin2 θ
(1− β cos θ)5
ricavare la potenza totale irraggiata da una carica accelerata in un acceleratore lineare. La potenza totaleirraggiata e
P =2π
∫ 1
−1
q|a|2
16π2ε0c31− x2
(1− βx)5dx
36
Calcoliamo l’integrale. Si ha∫ 1
−1
1− x2
(1− βx)5dx =
1
4β
1− x2
(1− βx)5
∣∣∣∣1−1
+1
2β
∫ 1
−1
x
(1− βx)4dx =
=1
2β
(1
3β
x
(1− βx)3
∣∣∣∣1−1
− 1
3β
∫ 1
−1
1
(1− β)3dx
)=
=1
6β2
(1
(1− β)3+
1
(1 + β)3− 1
2β
1
(1− β)2+
1
2β
1
(1 + β)2
)=
=4
3γ6
Dunque la potenza totale irraggiata e
P =q|a|2γ6
6πε0c3
25. (b) Calcolare, a partire dalla formula di Larmor, la potenza totale dissipata in un acceleratore circolare in funzionedi dp/dt. L’accelerazione a della carica (supponendo che si muova di moto circolare uniforme) e
a =1
γm
dp
dt
Usando la formula di Larmor relativistica si ottiene allora
P =2
3
q2
c3γ6(|a|2 − |a ∧ β|2
)=
=2
3
q2
c3γ4|a|2 =
=2
3
q2γ2
m2c3
(dp
dt
)2
26. (b) Calcolare l’energia persa in una rivoluzione per una carica in moto uniforme su una circonferenza (accelera-tore circolare). Calcolare la frazione di energia persa in un giro rispetto alla sua energia cinetica, effettuando unavalutazione numerica, nel caso di elettroni a LEP (energia 50 GeV, raggio ∼ 4 km) o protoni ad LHC (energia7 TeV, raggio ∼ 4 km). Se R e il raggio dell’orbita e E l’energia della particella, il periodo e
T = 2πRE
pc2=
2πR
c
√1−
(mc2
E
)2Di conseguenza, se l’energia ∆E persa in una rivoluzione e piccola rispetto a E si ottiene
∆E =2q2
3c3γ4|a|2T =
=2q2
3c3
(E
mc2
)4(2π
T
)4
R2T =
=4πq2
3R
E
mc2
[(E
mc2
)2
− 1
]3/2
Volendo, posto r = q2/(mc2) si ottiene
∆E
E=
4π
3
r
R
[(E
mc2
)2
− 1
]3/2
Per i calcoli, visto che in entrambi i casi l’energia totale e molto maggiore dell’energia a riposo possiamoapprossimare il rapporto cercato con ∆E/E, ottenendo(
∆E
E
)LEP
≈ 3 · 10−3(∆E
E
)LHC
≈ 7 · 10−10
37
27. (b) Calcolare il valore numerico della potenza totale che sarebbe irraggiata da un elettrone in moto classicocircolare uniforme in un atomo di idrogeno. Calcolare il rapporto fra il valore ottenuto e l’energia cineticadell’elettrone. Detti a0 il raggio di Bohr e rc il raggio classico dell’elettrone, l’accelerazione dell’elettrone e
a =e2
ma0
Da cui la potenza irraggiata e il suo rapporto con l’energia cinetica (classica)
Pc =2e2c
3
(rca2
0
)2
= 0.37 TeV/s
PcT
=4c
3
r2c
a30
= 2.5 · 1010 s−1
Se invece si vogliono trascurare solo gli effetti quantistici, ma non quelli relativistici, si ottiene
Pr = γ4Pc = (1 + 2.8 · 10−5)Pc
28. (b) Calcolare la potenza emessa in funzione dell’angolo per una carica oscillante armonicamente in linea retta(termine di dipolo elettrico). Come noto, il potenziale vettore dovuto al dipolo elettrico p e
A =p
cr
La distribuzione angolare di potenza e allora
dP
dΩ=cr2
4π|(∇∧A)rad|2
dove il pedice rad sta ad indicare che nel calcolo del rotore si devono tenere solamente i termini che decresconocome r−1. Nel nostro caso
(∇∧A)rad =p ∧ rc2r
Posto p = p0e−iωt e indicando con θ l’angolo tra r e p0 si ottiene infine
dP
dΩ=p2
0ω4
4πc3sin2 θ
29. (b) Calcolare la potenza emessa in funzione dell’angolo per una carica in moto circolare uniforme. Il campoelettrico radiativo e
E =q
Rc
n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)3
mentre il campo magnetico e semplicemente B = n ∧E. Allora, se β = βz e β = ay/c, si ha
dP
dΩ=
q2
4πcn ·
[n ∧
[(n− β) ∧ β
]]∧[n ∧
[n ∧
[(n− β) ∧ β
]]](1− n · β)6
dt
dt′=
=q2
4πc
∣∣∣n ∧ [(n− β) ∧ β]∣∣∣2
(1− n · β)5=
=q2
4πc
∣∣∣(n− β) ∧ β∣∣∣2 − [n · (β ∧ β)
]2(1− n · β)5
=
=q2a2
4πc3|n− β|2 − (n · y)2 − β2 [n · (z ∧ y)]
2
(1− β cos θ)5=
=q2a2
4πc31 + β2 − 2β cos θ − sin2 θ sin2 ϕ− sin2 θ cos2 ϕβ2
(1− β cos θ)5=
=q2a2
4πc3(1− β cos θ)3
[1− sin2 θ cos2 ϕ
γ2(1− β cos θ)2
]dove si e usato un pajo di volte la nota identita |a ∧ b|2 = |a|2|b|2 − (a · b)2.
38
30. (b) Calcolare, a partire dalla formula di Larmor, la potenza totale dissipata in un acceleratore lineare in funzionedi dp/dt oppure di dE/dx (energia fornita per unita’ di lunghezza). Dimostrare che la frazione di energiapersa nell’accelerazione e’ trascurabile, fornendo adeguati valori numerici nel caso di accelerazione di elettronio protoni. Al solito, per moti unidimensionali la potenza irraggiata e
P =2q2γ6|a|2
3c3
L’accelerazione e legata alla variazione di impulso da
dp
dt= mγ3β2a+mγa = mγ3a
e dunque
P =2q2
3m2c3
(dp
dt
)2
Notiamo infine chedp
dt=
1
c
d
dt
√E2 −m2c4 =
E
pc2dE
dt=
dE
dx
I valori tipici sono dE/dx ∼ 50 MeV/m, E ∼ 100 MeV, da cui per gli elettroni
P ∼ 2.7 keV/s
Per i protoni il rapporto e chiaramente ridotto di un fattore 1/18362.
31. (b) Calcolare la lunghezza d’onda critica della radiazione di sincrotrone (elettroni) nei casi seguenti: i) ener-gia=50 GeV, raggio=4 km; ii) energia=5 GeV, raggio=30 m. La lunghezza d’onda critica e
λc =2πc
ω0γ3
Posto ξ = E/mc2, si ottiene
λc =2πR
ξ2√ξ2 − 1
e dunque nei due casi proposti
λc,1 = 2.68 · 10−20 m
λc,2 = 2.01 · 10−19 m
32. (b) Effettuare un disegno, qualitativo, del solido di radiazione per una carica in un acceleratore lineare o circolare.Stimare l’angolo di massima emissione. La distribuzione angolare di potenza (integrata nella direzione banaleϕ) in un acceleratore lineare e
dP
dθ=q2|a|2
2c3sin2 θ
(1− β cos θ)5
Il solido di radiazione per β = 3/4 e
β
39
Per l’angolo di massima emissione si trova
cos θmax =−1±
√1 + 15β2
3β
Se il moto e ultrarelativistico e β = 1− δ, con δ 1, solo una delle due radici e accettabile e si ottiene
cos θ ' 1− 4δ
Di conseguenza θ ' 0, dunque espandendo il coseno si ottiene
θmax '√
2δ '√
1− (1− δ)2 =1
γ
Alternativamente, nel sistema tangente la direzione di massima emissione e chiaramente quella trasversa. Se laparticella si muove lungo x, la direzione di massima emissione corrisponde allora al 4-vettore d’onda
k′ =ω
c(1, y)
Trasformando nel sistema del moto si ottiene
k =ω
c(γ, γβx+ y)
E dunque
θmax ' tan θmax =1
γβ' 1
γ
4 Interazione radiazione-materia
1. (a) Quale e’ la relazione fra lo spessore di un materiale, espresso in cm, e lo spessore espresso in g/cm2? I due
spessori si ottengono l’uno dall’altro moltiplicando o dividendo per la densita del mezzo. Lo spessore in g/cm2
e comodo perche spesso si trovano espressioni in cui compare il termine (1/ρ)(dE/dx).
2. (a) Spiegare qualitativamente l’effetto fotoelettrico e lo scattering Compton, indicandone le differenti caratteri-stiche. L’effetto fotoelettrico consiste nella reazione γ + atomo → e− + atomo+ Questa reazione puo avveniresolo se il fotone ha un’energia sufficientemente elevata. Lo scattering Compton consiste invece nella reazioneγ+atomo→ γ+e−+atomo+, dunque nel primo processo il fotone cede tutta la sua energia all’elettrone, mentrenel secondo ne cede solo una parte. Inoltre, in questo caso l’energia del fotone e Eγ = 10− 105 keV, dunque lalunghezza d’onda del fotone e minore delle dimensioni atomiche e l’elettrone puo essere considerato libero. Larelazione tra la variazione di lunghezza d’onda del fotone e l’angolo di scattering e
∆λ = λc(1− cos θ)
dove λc = h/(mec).
3. (a) Spiegare qualitativamente lo scattering Rayleigh. Lo scattering Rayleigh e un urto elastico tra un fotone eun atomo. Gli elettroni dell’atomo cominciano ad oscillare e quindi irraggiano come dipoli. Se le dimensioniatomiche sono piccole rispetto alla lunghezza d’onda, ci aspettiamo che le oscillazioni siano coerenti, dunque inquesto limite si prevede σ ∝ Z2e2. Nel limite oppost, ciascun elettrone puo essere considerato indipendente daglialtri, quindi si prevede σ ∝ Ze2.
4. (a) Spiegare qualitativamente il fenomeno della creazione di coppie e+e− da parte di un raggio gamma che incidesu un atomo. La reazione γ → e+ + e− e cinematicamente proibita (prima della reazione non esiste il sistemadel centro di massa, dopo sı, ma la velocita di tale sistema non cambia nell’urto). Per produrre una coppiadobbiamo avere una particella spettatrice (carica, se vogliamo che interagisca con il fotone). Supponiamo chequesta sia un atomo, ossia supponiamo di avere γ + atomo→ e+ + e− + atomo. Se M e la massa dell’atomo, sitrova facilmente l’energia di soglia del fotone
Eγ ≥ 2me
(1 +
me
M
)In particolare Eγ ≥ 2me ∼ 1 MeV, quindi effettivamente serve un raggio γ.
40
5. (a) Descrivere qualitativamente l’effetto Cherenkov e dimostrare tramite il principio di Huygens che la radiazioneCherenkov e emessa ad un solo angolo. Consideriamo un mezzo con indice di rifrazione n > 1. Dato che la lucesi propaga nel mezzo a velocita c/n, puo ben capitare che una particella si muova piu veloce della luce nel mezzo.Se inoltre quest’ultima e carica, allora genera anche dei campi elettromagnetici, che tendono a formare un conod’urto centrato nella posizione della particella e di semiapertura angolare
sinα =1
nβ
Consideriamo adesso delle onde sferiche generate a istanti diversi dalla particella, e supponiamo che quest’ultimasi muova con velocita costante
β
All’interno del cono i fronti d’onda arrivano con fasi diverse, e mediamente non viene emessa radiazione. Sulcono invece i fronti d’onda sono tutti in fase e quindi c’e radiazione. A questo punto e immediato calcolare lasemiapertura del cono
βc∆t
c∆t/n
αθc
Alternativamente, e noto che
dIωdΩ∝∣∣∣∣∫ +∞
−∞exp
[iω
(t− nr · vt′
c
)]dt′∣∣∣∣2 ∝ δ(ω(1− nv cos θ
c
))Quindi l’emissione e presente solo sul cono.
6. (a) Spiegare il significato di ogni termine delle espressioni, valide per la radiazione Cherenkov:
d2NγdEγdx
= z2 α
~csin2 θc
Nγ = z2 α
~cL
∫ E2
E1
[1− 1
β2εr(E)
]Pdet(E)dE
Nella prima espressione, il termine a primo membro e il numero di fotoni emesso per unita di frequenza e unita dilunghezza percorsa dalla particella (a parte un fattore ~). A secondo membro invece z e la carica della particellain unita di e, α = e2/~c e la costante di struttura fine e θc e l’angolo mostrato nella figura precedente. Nellaseconda espressione, Nγ e il numero totale di fotoni rilevati da un detector di efficienza Pdet che puo rilevarefotoni con energia compresa tra E1 e E2. L e la lunghezza del dielettrico.
41
7. (a) Descrivere qualitativamente le cause e gli effetti del fenomeno della radiazione di frenamento da parte diuna particella carica nella materia. Una particella carica che attraversa la materia interagisce con gli atomidi quest’ultima. In particolare, viene accelerata (tipicamente decelerata e deflessa), quindi perde energia perirraggiamento ed emette fotoni. In genere, le perdite per irraggiamento sono trascurabili a meno che la particellanon sia un elettrone o un muone molto energetico.
8. (a) Definire e dare le unita di misura di tutte le grandezze fisiche nell’espressione
dIωdΩ
=q2
4π2c
∣∣∣∣∣∫n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)2exp
[iω
(t′ − n · r′
c
)]dt′
∣∣∣∣∣2
Vedi sezione 3, domanda 16 (b).
9. (a) Definire e dare le unita di misura di tutte le grandezze fisiche nell’espressione
Iω(b) =
8z4Z2α~c2
3π
(meM
)2 r2eV 2b2 se ω < V/b
0 se ω > V/b
Iω(b) e l’energia irradiata per unita di frequenza (erg·s) in un urto coulombiano tra una particella di carica ze(esu), massa M (g) e velocita V (cm/s) con un bersaglio fisso di carica Ze. b e il parametro di impatto (cm),α la costante di struttura fine (adimensionale), ~ la costante di Planck ridotta (erg·s), c la velocita della luce(cm/s), re e me sono il raggio classico (cm) e la massa (g) dell’elettrone.
10. (a) Definire e dare le unita di misura di tutte le grandezze fisiche nell’espressione
χω =16z4Z2α~c2
3
(me
M
)2 r2e
Vln
[MV 2
~ω
]χω e la sezione d’urto di radiazione, definita da
χω =
∫ bmax
bmin
Iω(b)2πbdb
bmin e bmax sono rispettivamente il valore massimo e minimo che puo assumere il parametro di impatto, edipendono dalla specifica emissione che si sta studiando. Per un urto coulombiano Iω e quella data nell’espres-sione precedente, bmax ' V/ω e bmin ' ~/(MV ) (quest’ultima stima e dovuta a considerazioni quantistiche).Integrando si trova l’espressione data.
11. (a) Definire e dare le unita di misura di tutte le grandezze fisiche nell’espressione
dEirr
dx= nnuclei
16
3z4Z2α
(me
M
)2 r2e
V 2ln
[192
Z1/3
M
me
]E
Il termine a primo membro e l’energia totale irraggiata per unita di lunghezza da una particella carica che simuove nella materia. L’espressione si ottiene integrando nnucleiχω su tutte le possibili frequenze:
dEirr
dx= nnuclei
∫ Ω
0
χωdω
nnuclei e la densita di nuclei nel materiale.
12. (a) Dare la definizione di lunghezza di radiazione. Spiegare le condizioni per cui, nel caso di perdita prevalente dienergia per radiazione, l’energia di una particella si attenua con una legge esponenziale in funzione del percorso.La lunghezza di radiazione l e definita da
dEirr
dx= −E
l
ossia
l−1 = nnuclei16
3z4Z2α
(me
M
)2 r2e
V 2ln
[192
Z1/3
M
me
]
42
Ovviamente, se la perdita radiativa e il canale principale per le perdite energetiche, E si attenua esponenzialmentenel mezzo. Cio accade per particelle sufficientemente energetiche, dato che
dEirr
dx' 4Zz2α
3π
me
M
ln(
192Z1/3
Mme
)lnBq
γdEcoll
dx
dove Bq ∝ γmv2.
13. (a) Spiegare tutti i termini dell’espressione
1
ρX0= 4αr2
e
Z2
A(g)NA
[ln
(184
Z1/3
)− f(Z) +
L′
Z
][formula di Tsai, non dimostrata a lezione] che fornisce la lunghezza di radiazione. ρ e la densita del materiale,α la costante di struttura fine, re il raggio classico dell’elettrone, Z il numero atomico, A(g) la massa atomicain g, NA il numero di Avogadro, f una funzione di Z nella forma di una serie. Posto a = αZ, i primi terminidella serie sono
f(Z) = a2[(1 + a2)−1 + 0.202066− 0.0369a2 + 0.0083a4 − 0.002a6 + . . . ]
Infine, L′ dipende dal materiale e per elementi con Z ≥ 5 e
L′ = ln194
Z2/3
14. (a) Descrivere qualitativamente il meccanismo della perdita di energia per collisioni da parte di una particellacarica nella materia, indicando a quali entita tale energia viene - alla fine - trasferita e come essa possa esseremisurata. Valutare l’energia minima e massima trasferibile in un singola collisione. Una particella caricainteragisce con gli elettroni del mezzo cedendo loro energia (si tratta di urti coulombiani). L’energia vieneinfine ceduta agli atomi (che si eccitano) del mezzo, e a seconda della natura di quest’ultimo si possono usarestrategie diverse nella misura: per un gas, ad esempio, potrebbero essere prodotti ioni, e quindi con un campoelettrico si puo registrare una corrente. In un solido, la diseccitazione puo essere accompagnata dall’emissionedi segnali ottici: questo fenomeno e alla base degli scintillatori (come ad esempio gli schermi fosforescenti).L’energia minima trasferibile e, per motivi quantistici, l’energia corrispondente alla minima separazione tra ilivelli energetici, dunque e il potenziale di prima ionizzazione I. Per valutare l’energia massima, consideriamol’urto tra un elettrone di massa me e una particella di massa m1 e energia E1. Sappiamo che nel centro di massal’energia dell’elettrone e
Ecme =
M2 +m2e −m2
1
2M
doveM2 = (me + E1)2 − (E2
1 −m21) = m2
1 +m2e + 2meE1
La velocita e il fattore di Lorentz del centro di massa sono
vcm =
√E2
1 −m21
me + E1
γcm =me + E1
M
Dunque facendo l’opportuna trasformazione di Lorentz si ottiene
Ee ≥ γcm
(Ecme + vcm
√(Ecm
e )2 −m2e
)= me
(1 + 2
E21 −m2
1
m21 +m2
e + 2meE1
)Se poi la particella incidente e tale che m2
1 E1me m2e, l’energia massima trasferita e
Tmax = 2meE2
1 −m21
m21 +m2
e + 2meE1' 2meγ
21v
21
43
15. (a) Spiegare il significato di ogni termine dell’espressione per la perdita di energia per collisioni (formula diBethe-Bloch, non dimostrata):
1
ρ
dEcoll
dx= z2 Z
A(g)4πmec
2
βNar
2e
(1
2ln
2mec2β2γ2
I2Tmax − β2 − δ2
2
)Le quantita sono le stesse della formula di Tsai, a parte il potenziale di ionizzazione I, l’energia massima
trasferibile Tmax e δ, che e un fattore correttivo che limita la divergenza logaritmica per grandi γ. δ e dettofattore di densita, perche tiene conto del fatto che il mezzo si polarizza. Il termine −β2 invece e una correzionerelativistica al calcolo classico.
16. (a) Disegnare qualitativamente la funzione di Bethe-Bloch indicando i valori dei punti significativi. L’andamento
e quello riportato nella prima figura. Per bassi valori di βγ, la funzione diverge come 1/β2. Il minimo si trovaper βγ ' 3.5 e vale approssimativamente 2 MeV/(g/cm2). Per alti valori di βγ, la correzione sulla densita limitala crescita della funzione. In realta, un grafico piu realistico per la perdita di energia non diverge quando β → 0,anzi in genere ha un massimo per βγ ∼ 0.01. Questo andamento e dovuto a interazioni con i nuclei. Viceversamper βγ molto elevato (tipicamente intorno a 1000) le perdite radiative diventano importanti e dominano sulleperdite collisionali, che per la correzione di densita hanno una sorta di plateau. Un grafico piu realistico e quindiil secondo.
17. (a) Definire il ”percorso residuo” (”range”) per una particella carica in un materiale. Il percorso residuo e lospazio percorso dalla particella prima di fermarsi. Se questa ha energia cinetica T , si ha semplicemente
R(T ) =
∫ T
0
∣∣∣∣dEdx∣∣∣∣−1
dE
18. (a) Dare la definizione di ”Energia critica”. L’energia critica Ec e il valore dell’energia per cui le perditecollisionali e radiative sono uguali, ovvero
dEcoll
dx(Ec) =
dEirr
dx(Ec)
44
19. (a) Descrivere qualitativamente il fenomeno dello scattering multiplo da parte di una particella carica in motoveloce nella materia. Valutare il rapporto fra angolo minimo e massimo in una singola collisione. Nell’urto diuna particella con un atomo bersaglio, e assai improbabile che l’angolo di deflessione sia molto grande. Se laparticella attraversa la materia, ci aspettiamo che faccia molti urti con gli atomi del mezzo, ciascuno con piccoledeflessioni. Il teorema del limite centrale ci assicura che nel limite di numerose interazioni l’angolo di deflessionee distribuito gaussianamente. Se l’angolo di scattering e piccolo, e noto che
θ ' 2ze2
pvb
Postoa = 1.4
a0
Z1/3
si ha
θmin '2ze2
pva
Se invece si vogliono fare considerazioni quantistiche, si ha
θqmin '~pa' Z1/2
192
mec
p
Per stimare l’angolo massimo, postoR = 1.4A1/3 fm
si puo stimare
θmax '~pR' 274
A1/2
mec
p
e dunqueθmin
θmax' 274Z1/2
192A1/2' 1
20. (a) Definire l’angolo di multiplo scattering (rispetto alla direzione iniziale della particella) e definire la suaproiezione su un piano (che contiene la direzione iniziale della particella). Indicare i limiti delle due variabilicosı definite. L’angolo di multiplo scattering rappresenta l’angolo compreso tra la direzione di moto iniziale efinale di una particella che attraversa uno strato di materia. Puo essere interessante proiettare questo angolo suun qualche piano particolare.
21. (a) Spiegare il significato di ogni termine dell’espressione per l’angolo quadratico medio di multiplo scattering(rispetto alla direzione iniziale della particella)√
〈θ2ms〉 = θ0
√2 = z
13.6MeV
Pβc
√L
X0
(1 + 0.0038 ln
L
X0
)√2
45
P e l’impulso iniziale della particella, βc la sua velocita, L lo spessore di materiale attraversato, X0 la lunghezzadi radiazione del materiale.
22. (a) Illustrare in modo qualitativo il metodo di produzione degli antiprotoni nell’esperimento di Segre et al. ed ilprincipio della loro rivelazione. L’apparato sperimentale e nella figura successiva
46
Un fascio di protoni del Bevatron colpisce un bersaglio di rame e genera particelle con carica negativa di impulsop = 1.19 MeV/c. Le particelle possono essere antiprotoni o pioni, con circa 1 antiprotone ogni 105 pioni. Inoltre,con quell’impulso si ha β = 0.99 per i pioni e β = 0.78 per gli antiprotoni. Le particelle sono deflesse di 21
dal campo magnetico del Bevatron e di 34 aggiuntivi dal magnete M1. Attraversano poi Q1, un magnetequadrupolare usato per focalizzare il fascio. Analogamente, Q2 e un altro magnete quadrupolare che focalizzail fascio e M2 un magnete che deflette le particelle di altri 34. S1, S2 e S3 sono scintillatori ordinari, C1 e uncontatore Cerenkov che rivela tutte le particelle cariche con β > 0.79. C2 e un contatore Cerenkov che rivelatutte le particelle cariche con 0.75 < β < 0.78. S3 e uno scintillatore usato per evitare che le particelle cheattraversano C2 non abbiano angoli di scattering troppo grossi. Inoltre, S1 e S2 distano 40 ft, dunque e possibilemisurare la velocita delle particelle anche in un secondo modo. In tal modo si riesce a distinguere tra antiprotonie pioni, e misurando la velocita e l’impulso degli antiprotoni si puo anche confrontare la massa di questi con lamassa del protone.
23. (a) Descrivere l’esperimento di Anderson sulla scoperta del positrone. Nell’esperimento venne usata una cameraa nebbia, ossia un dispositivo isolato contenente del vapore saturo. Una particella carica e sufficientementeenergetica che attraversa la camera ionizza il gas sulla sua traiettoria e gli atomi ionizzati formano dei nuclei dicondensazione su cui cominciano a formarsi delle goccioline. Fotografando la camera e possibile ricostruire latraiettoria della particella incidente. Se poi la camera e immersa in un campo magnetico, e possibile misurarel’impulso della particella a partire dal raggio di curvatura. Nell’esperimento di Anderson venne registrata latraccia di una particella che attraversa uno strato di piombo di 6 mm. Prima dello strato la particella avevapi = 63 MeV/c, dopo pf = 22.5 MeV/c. Dal verso della curvatura della traiettoria si deduce che la particella hacarica positiva. L’unica particella positiva nota al tempo era il protone, ma con quell’impulso il protone e nonrelativistico. La perdita di energia per ionizzazione e molto elevata e il range e di circa 5 mm, quindi un protonecon quell’impulso non puo attraversare uno strato di piombo di 6 mm. Se invece assumiamo che la particellasia un positrone, deve essere ultrarelativistico sia prima che dopo aver attraversato la lastra. Dato che questa espessa quanto una lunghezza di radiazione, l’energia del positrone emergente e
Ef =Eie
= 23 MeV
47
Quindi e compatibile con il valore misurato.
1. (b) Dimostrare che all’interno del cono della radiazione Cherenkov vi sono due soluzioni per t′ = t − nR/c,nessuna soluzione all’esterno, ed una sola sul fronte d’onda. Prendiamo una particella che si muove di motorettilineo uniforme con velocita v = vz. La definizione di tempo ritardato e
c(t− t′) = n|x− vt′|
Posto r2 = x2 + y2, si ottiene
t′2(
1− c2
n2v2
)− 2t′
(z
v− c2t
n2v2
)+r2 + z2
v2− c2t2
n2v2= 0
A meno di costanti moltiplicative positive, il discriminante e
∆ ∝ (z − vt)2 − r2
(n2v2
c2− 1
)In particolare, e positivo se
sin θ :=r√
r2 + (z − vt)2<
c
nv
In tal caso esistono due soluzioni distinte per il tempo ritardato. Se invece si impone l’uguaglianza (ossia sesiamo sul cono) esiste una sola soluzione, mentre se si impone l’altra disuguaglianza non esistono soluzioni. Sinoti che
t− t′ =t
1− c2
n2v2
− z
v
1
1− c2
n2v2
±cnv2
1− c2
n2v2
√(z − vt)2 −
(n2v2
c2− 1
)r2
Se v > c/n e z < vt entrambe le radici sono positive, mentre se z > vt entrambe le radici sono negative, quindieffettivamente si hanno due tempi ritardati all’interno del cono, nella falda ”dietro” la particella, un solo temporitardato sulla superficie del cono e nessuna soluzione all’esterno del cono e nella falda ”davanti” alla particella.
48
2. (b) A partire dalla espressioned2Nγ
dEγdx= z2 α
~csin2 θc
valida per la radiazione Cherenkov, dimostrare che
Nγ = z2 α
~cL
∫ E2
E1
[1− 1
β2εr(E)
]Pdet(E)dE
Basta ricordare che
sin2 θc = 1− c2
n2(E)v2= 1− 1
β2εr(E)
e fare una banale integrazione su Eγ e su x.
3. (b) Calcolare il numero di fotoni osservati da un fotorivelatore sensibile con efficienza del 30% a luce fra 300nm e 600 nm, al passaggio di un elettrone nei due casi seguenti: i) n=1.005 (gas), β=0.999, lunghezza=1 m; ii)n=1.5 (solido trasparente), β=0.99, lunghezza=1 cm. In generale, per un fotorivelatore con efficienza costantetra le frequenze ω1 e ω2 e per un mezzo non dispersivo in tale banda di frequenze, si ottiene
Nγ = z2α
cL(ω2 − ω1)
(1− 1
β2n2
)Pdet
Passando alle lunghezze d’onda
Nγ = 2πz2αL
(1
λ2− 1
λ1
)(1− 1
β2n2
)Pdet
Nei due casi proposti si ottiene Nγ = 91 e Nγ = 74.
4. (b) Calcolare l’angolo di emissione della radiazione Cherenkov in funzione dell’impulso (e della massa) dellaparticella e dell’indice di rifrazione.
sin θc =1
nβ=
1
n
√1 +
(mc
p
)2
5. (b) Descrivere qualitativamente il principio di funzionamento dei rivelatori Cherenkov: i) a soglia, ii) RICH, iii)DIRC. Un contatore a soglia e composto in genere da un radiatore, ossia da un mezzo trasparente (ad esempio,propano sotto pressione) in cui puo essere generata radiazione Cherenkov, uno specchio sferico o parabolico eun rivelatore di fotoni. Una particella veloce che attraversa il mezzo emette radiazione Cherenkov, che vienedeviata dallo specchio e raccolta dal rivelatore (o anche da un fotomoltiplicatore, visto che in genere il numero difotoni emessi non e molto elevato). Un contatore a soglia puo quindi discriminare le particelle che attraversanoil radiatore a seconda che β sia maggiore o minore di n−1, quindi e utile per separare, in un fascio con undato impulso, particelle di massa diversa. In un rivelatore RICH (Ring Imaging CHerenkov counter), si usa unradiatore piuttosto sottile, dietro al quale e posto un piano fotosensibile. In tal modo, e possibile ricostruireanche la posizione in cui vengono rivelati i singoli fotoni: la figura che si forma e un cerchio, e dalla misuradel suo raggio e dalla distanza dal radiatore e possibile ricostruire l’angolo del cono di radiazione. Infine, in unrivelatore DIRC (Detector for Internal Reflected Cherenkov light), il radiatore e composto da barre di quarzo,che fungono anche da guida d’onda. Infatti, quando una particella attraversa il quarzo ed emette radiazioneCherenkov e possibile che avvenga riflessione totale. In tal modo, l’angolo del cono Cherenkov e la polarizzazionesono conservati fino alle estremita della barra, dove opportuni rivelatori sono in grado di registrare il passaggiodella particella e misurare l’angolo di apertura del cono.
6. (b) Partendo dalla espressione
dIωdΩ
=q2
4π2c
∣∣∣∣∣∫n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)2exp
[iω
(t′ − n · r′
c
)]dt′
∣∣∣∣∣2
dimostrare che l’energia persa per unita’ di frequenza nel caso non relativistico e’ approssimabile con
Iω =
2q2
3πc |∆β| se ω < 1/τ
0 se ω > 1/τ
49
Nel caso non relativistico si puo approssimare
dIωdΩ' q2
4π2c
∣∣∣∣∫ n ∧ (n ∧ β)eiωt′dt′∣∣∣∣2
Detto τ il tempo tipico in cui la carica e accelerata, distinguiamo due regimi. Se ωτ 1 si ottiene, approssimandoulteriormente
dIωdΩ' q2
4π2c
∣∣∣∣∫ n ∧ (n ∧ β)dt
∣∣∣∣2 =q2
4π2c|∆β|2 sin2 θ
dove θ e l’angolo tra ∆β e n. Intengrando sull’angolo solido si ottiene
Iω =2q2
3πc|∆β|2
Nel limite opposto ωτ 1 l’energia irraggiata e trascurabile per il lemma di Riemann-Lebesgue.
7. (b) Partendo dalla espressione
dIωdΩ
=q2
4π2c
∣∣∣∣∣∫n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)2exp
[iω
(t′ − n · r′
c
)]dt′
∣∣∣∣∣2
dimostrare che l’energia persa per unita di frequenza nel caso non relativistico ad un dato parametro di impattob e’ approssimabile con
Iω(b) =
8z4Z2α~c2
3π
(meM
)2 r2eV 2b2 se ω < V/b
0 se ω > V/b
Facendo i calcoli precedenti si ottiene
Iω =
2q2
3πc |∆β| se ω < 1/τ
0 se ω > 1/τ
Nel caso di urto coulombiano, il tempo tipico di collisione e b/V . Calcoliamo adesso ∆β. Per piccoli angoli discattering e in approssimazione non relativistica si ha
Mc∆β = zZe2y
∫ +∞
−∞
b
(V 2t2 + b2)3/2dt =
2zZe2
bV
Da cui, per ω < V/b,
Iω =8z4Z2α~c2
3π
(me
M
)2 r2e
V 2b2
8. (b) Dimostrare, a partire dalla espressione precedente, che la sezione d’urto di irraggiamento non relativistica e’approssimabile con
χω =16z4Z2α~c2
3
(me
M
)2 r2e
V 2ln
[MV 2
~ω
]Per definizione si ha
χω = 2π
∫ bmax
bmin
Iωbdb =16z4Z2α~c2
3
(me
M
)2 r2e
V 2lnbmax
bmin
Dobbiamo solo esplicitare gli estremi di integrazione. Per l’estremo superiore, basta ricordare che deve essereω < V/b, quindi
bmax =V
ω
L’estremo inferiore si ottiene con considerazioni quantistiche (essenzialmente con il principio di indeterminazione,bmin viene scelto in modo che abbia senso parlare di traiettoria), e vale
bmin =~
MV
50
9. (b) Dimostrare che nel caso relativistico la sezione d’urto di irraggiamento e’ approssimabile, in un modello, con
χω =16
3z4Z2αr2
e
(me
M
)2
~ ln
(192
Z1/3
M
me
)per ω < (γ− 1)Mc2/~. Poniamo nel sistema inizialmente in quiete con la particella incidente. In questo sistemail suo moto rimane non relativistico, dunque
χ′ω′ =16z4Z2α~c2
3
(me
M
)2 r2e
V 2lnbmax
bmin
bmin rimane lo stesso (essenzialmente perche tutti i punti della particella incidente debbono muoversi con lastessa accelerazione), dunque
bmin =~
MVIn linea di principio, l’altro estremo e bmax = γV/ω′ a causa della dilatazione dei tempi. Tuttavia, si deve anchetener conto del fatto che le cariche elettroniche schermano la carica nucleare se ci troviamo a una distanza
bs = 1.4a0
Z1/3
Dunque poniamo
bmax = min
γV
ω, bs
e per particelle relativistiche ovviamente scegliamo bs. A questo punto si ricordi che
a0 =~
mecα' 137~
mec
da cui si ottiene infine
χ′ω′ =16z4Z2α~c2
3
(me
M
)2 r2e
V 2ln
192
Z1/3
MV
mec
χω e un’invariante di Lorentz, dato che e il prodotto (energia)·(area traversa)/(frequenza): energia e frequenzatrasformano allo stesso modo, un’area trasversa e invariante. Notando ulteriormente che V ' c, si ottiene
χω =16
3z4Z2αr2
e
(me
M
)2
~ ln
(192
Z1/3
M
me
)La conservazione dell’energia richiede poi ~ω < (γ − 1)Mc2.
10. (b) Dimostrare che nel caso relativistico la perdita di energia per irraggiamento e’ approssimabile con
dEirr
dx= nnuclei
16
3z4Z2α
(me
M
)2 r2e
V 2ln
[192
Z1/3
M
me
]E
Per attraversare un tratto dx, la particella perde un’energia alla frequenza ω pari a
dEirr = nnucleiχωdx
Si trova dunque
dEirr
dx= nnuclei
∫ (γ−1)Mc2~−1
0
χωdω = nnuclei16
3z4Z2α
(me
M
)2 r2e
V 2ln
[192
Z1/3
M
me
](γ − 1)Mc2
Basta ora notare che per particelle relativistiche (γ − 1)Mc2 ' E.
11. (b) Valutare la lunghezza di radiazione del Piombo e del Silicio utilizzando il modello utilizzato e confrontarlacon i valori sperimentali. Usando la formula di Tsai con f(Z) ' (αZ)2/(1 + a(αZ)2), si ottiene
X0,Pb ' 0.56 cm
X0,Si ' 9.85 cm
I valori sperimentali sono invece
X0,Pb ' 0.56 cm
X0,Si ' 9.4 cm
51
12. (b) Calcolare l’energia irraggiata da un elettrone di 60 MeV che attraversi 5.6 mm di Pb e calcolare il numeromedio di fotoni emessi di energia fra 1 eV e 1 MeV. Dato che lo spazio percorso e la lunghezza di radiazione,l’energia irraggiata e
Eirr = E(1− e−1) ' 38 MeV
Il numero di fotoni emessi per unita di lunghezza e di frequenza e χω/(~ω), dunque i fotoni emessi tra le energieE1 ed E2 sono
Nγ =16
3X0Z
2αr2e ln
192
Z1/3
M
melnE2
E1
13. (b) Calcolare il numero medio di fotoni emessi di energia fra 10 e 100 MeV per un elettrone di 1 GeV cheattraversi 300 µm di Silicio o 1 mm di Piombo. Calcolare poi la probabilita che uno di questi fotoni effettuiuna interazione prima di uscire dal materiale. Il calcolo e lo stesso, a patto di sostituire X0 con lo spessore ∆lattraversato. La probabilita di interazione e infine
P =ρNAA
σ∆l
2
Il fattore 2 e stato introdotto immaginando che i fotoni siano emessi a meta dello spessore.
14. (b) Utilizzando le tabelle che forniscono le sezioni d’urto di fotoni su atomi, calcolare la probabilita’ che un fotoneda 10 MeV produca una coppia e+e− in uno spessore di Piombo pari ad una lunghezza di radiazione. I calcolisono quelli precedenti, la sezione d’urto a quella energia per la produzione di coppie e
σ ' 0.1 b
da cuiP ' 1.8 · 10−3
15. (b) Indicare le ipotesi effettuate e dimostrare la seguente espressione, approssimata, per la perdita di energia percollisioni (formula di Bohr):
1
ρ
dEcoll
dx= z2 Z
A(g)4πmec
2
β2NAr
2e ln
cβ3γ2
zωere
Consideriamo un urto coulombiano tra una particella di massa m me, in moto non relativistico. Trascuriamolo schermaggio e l’interazione con il nucleo, di modo che La variazione di impulso in un singolo urto con unelettrone sia stimabile con
∆p =2ze2
vb=
2zremec2
vb
L’approssimazione e vera se l’angolo di scattering e piccolo, di modo da poter considerare la traiettoria dellaparticella pressoche rettilinea, e se la durata della collisione e piccola rispetto al periodo di rotazione dell’elettroneintorno al nucleo, di modo da considerare l’elettrone libero e inizialmente a riposo. L’energia persa dalla particellae allora
∆E =(∆p)2
2me=
2z2r2emec
2
β2b2
Detta ρ la densita del materiale, A(g) la massa di un atomo in g e Z il numero atomico, la densita di elettroni e
ne =ρZNAA(g)
Dunque si ottiene1
ρ
dEcoll
dx=ZNAA(g)
∫ bmax
bmin
2πEbdb = z2 Z
A(g)4πmec
2
β2NAr
2e ln
bmax
bmin
Dette Tmin e Tmax rispettivamente l’energia massima e minima trasferibili all’elettrone, si ha a meno di segni
lnbmax
bmin=
1
2lnTmax
Tmin
Valutiamo ora le due energie. Come noto, si ha
Tmax = 2meγ2v2
52
Per l’energia minima, ricordiamo che deve essere ωeτ 1, dove ωe e la frequenza tipica dell’elettrone intorno alnucleo e τ e il tempo tipico di collisione. Dato che τ = b/(γv), si ottiene
Tmin =2z2r2
emec2
M2β2b2max
=2z2r2
emeω2e
γ2β4
da cui infine1
ρ
dEcoll
dx= z2 Z
A(g)4πmec
2
β2NAr
2e ln
cβ3γ2
zωere
16. (b) Utilizzando la modellizzazione I = (16eV) · Z0.9, valutare il valore minimo dell’energia persa per collisioni,
in MeV/g/cm2, per i seguenti materiali: i) Piombo, ii) Silicio; iii) aria a TPN. Prendiamo la formula di
Bethe-Bloch, trascurando le correzioni e inserendo I = (16 eV) · Z0.9
1
ρ
dEcoll
dx= z2 Z
A(g)4πmec
2
β2Nar
2e ln
2mec2β2γ2
(16 eV) · Z0.9
Come noto il minimo si ha per γβ ' 3.5, da cui per gli elettroni
1
ρ
dEcoll
dx
∣∣∣∣min
= 0.303Z
A(g)ln
(7.8 · 105
Z0.9
)MeV/g/cm
2=
= (4.11− 0.27 lnZ)Z
A(g)MeV/g/cm
2
Volendo essere ancora piu brutali, A ' 2Z, dunque
1
ρ
dEcoll
dx
∣∣∣∣min
= (2.08− 0.135 lnZ) MeV/g/cm2
Nei casi richiesti si ottiene
1
ρ
dEcoll
dx
∣∣∣∣min, Pb
= 1.15 MeV/g/cm2
1
ρ
dEcoll
dx
∣∣∣∣min, Si
= 1.69 MeV/g/cm2
1
ρ
dEcoll
dx
∣∣∣∣min, aria
= 1.7 MeV/g/cm2
17. (b) Scrivere l’espressione per calcolare il ”percorso residuo” (”range”), nota la curva dEcoll/dx, in funzionedell’energia della particella. Vedi 4.17(a).
18. (b) Calcolare nel caso relativistico l’energia in cui la perdita di energia per irraggiamento e’ paragonabile a quellaper collisioni in funzione della massa della particella. Determinare il valore per elettroni e protoni nel Piomboo in aria. Per particelle relativistiche (β ' 1) con z = ±1, il valore critico del fattore di Lorentz e definitoimplicitamente da
γc =3π
4αZ
M
me
ln2mec
2γ2c
I
ln 192Z1/3
Mme
)
Usando la modellizzazione I = (16 eV) · Z0.9, si ottiene
γc '323
Z
M
me
2 ln γc + 11
ln Mme
+ 5.26
dove si e trascurata la dipendenza logaritmica da Z. Numericamente, per elettroni nel piombo si trova γc ' 11.9(sperimentalmente si misura γc = 15.6), mentre in aria γc ' 88. Per protoni nel piombo si trova γc ' 1.7 · 104,in aria γc ' 1.1 · 105.
53
19. (b) Nell’approssimazione di piccoli angoli e distribuzione gaussiana, calcolare il valor medio, il valore quadraticomedio e la sigma per: i) l’angolo di multiplo scattering rispetto alla direzione iniziale della particella, e ii) lasua proiezione su un piano che contenga la direzione iniziale della particella. Assumiamo che la particella simuova inizialmente lungo l’asse z. Sia θ l’angolo di multiplo scattering e θx, θy le sue proiezioni sui piani xz eyz. Se assumiamo che θx e θy siano distributi gaussianamente, per simmetria devono avere la stessa deviazionestandard e media nulla, ossia
P (θx) =1
θ0
√2πe− θ2x
2θ20
e analogo per P (θy). Ovviamente si ha
〈θx〉 = 〈θy〉 = 0
〈θ2x〉 = 〈θ2
y〉 = θ20
σθx = σθy = θ0
Passiamo alla distribuzione di θ. Si ha θ2 = θ2x + θ2
y, inoltre la condizione di normalizzazione su θx e θy implica
1 =
∫ +∞
−∞dθx
∫ +∞
−∞dθyP (θx)P (θy) =
=
∫ +∞
−∞dθx
∫ +∞
−∞dθy
1
2πθ20
exp
(−θ2x + θ2
y
2θ20
)=
=
∫ +∞
0
θ
θ20
e− θ2
2θ20 dθ
La funzione
P(θ) =θ
θ20
e− θ2
2θ20
e la funzione con cui e distribuito θ ed e nota come distribuzione di Moliere. A questo punto con semplici calcoli
〈θ〉 =
∫ +∞
0
θ2
θ20
e− θ2
2θ20 dθ = θ0
√π
2
〈θ2〉 =
∫ +∞
0
θ3
θ20
e− θ2
2θ20 dθ = 2θ20
σθ =√〈θ2〉 − 〈θ〉2 = θ0
√4− π
2
Si noti che θ0 e il massimo di P.
20. (b) Se non fosse sufficiente la approssimazione di piccoli angoli e distribuzione gaussiana, indicare quale frale seguenti funzioni descriverebbe la distribuzione che meglio descrive il fenomeno del multiplo scattering: i)Bethe-Bloch, ii) Moliere, iii) Breit-Wigner, iv) Bohr. Moliere.
21. (b) Dimostrare l’espressione approssimata per l’angolo quadratico medio di multiplo scattering (proiezione su unpiano):
θ0 = zcost.
Pβc
√L
X0
e confrontare il valore dela costante ottenuta con la formula contenuta nel PDG. Prendiamo la sezione d’urtoMott, trascurando il termine con β:
dσmdΩ
=
(zZremec
2
2Pv
)21
sin4 θ2
Dato che l’angolo di scattering θs nel singolo urto e molto piccolo, la sezione d’urto e
σm,s ' 2π
(2zZremec
2
Pv
)2 ∫ θmax
θmin
dθ
θ3
54
Dunque l’angolo quadratico medio di singolo scattering e
〈θ2s〉 =
2π
σm,s
∫ θmax
θmin
θ2θ2 dσm,sdΩ
d cos θ ' 2πl2
σm,slnθmax
θmin
dove e si posto
l =2zZremec
2
Pv
Il numero di urti fatti per attraversare un tratto L di materiale e N = nσm,sL, dove n e la densita di atomi,quindi
〈θ2〉 = nσm,sL〈θ2s〉 = 2πnl2L ln
θmax
θmin
Ricordiamo ora che la lunghezza di radiazione e
1
X0' 4nαr2
eZ2 ln
184
Z1/3
Inoltre, per un urto coulombiano si ha b ' l/θ, dunque
√〈θ2〉 =
2zmec2
Pv
√L
X0
2π
α
ln(bminb−1max)
ln(184Z−1/3)
Passiamo a uno dei logaritmi. Si ha
lnbmin
bmax= ln
1.4a0Z−1/3
R0A1/3' 2 ln
205
Z1/3
Dove si e usato A ' 2Z. In tal modo si ottiene
√〈θ2〉 ' zmec
2
Pv
√L
X0
2π
α
ln(205Z−1/3)
ln(184Z−1/3)' 14 MeV/c
Pβ
√2
√L
X0
Nel PDG si trova
θ0 =13.6 MeV/c
pβ
√L
X0
22. (b) Utilizzando le opportune tabelle, anche reperibili su web, per le seguenti particelle: i) elettrone 3.5 MeV, ii)elettrone 100 MeV, iii) pione di 1 GeV, iv) muone di 45 GeV, v) protone da 7 TeV, che attraversino: a) 2 mmPb, b) 2 mm scintillatore, iii) 0.3 mm Silicio, iv) 1 m Aria; indicare se siano rilevanti e, in caso affermativo,calcolare le seguenti quantita’: a) energia persa per irraggiamento, b) l’energia persa per collisioni, c) probabilita’di interazione forte con i nuclei, d) angolo quadratico medio di multiplo scattering. Prendiamo i dati utili dallatabella, indichiamo con - le quantita trascurabili e con ’no’ le particelle non soggette a interazioni forti. Si ottiene
55
Particella Materiale attraversato Eirr [TeV] Ecoll Prob. di interazione forte√〈θ2〉 [rad]
elettrone 3.5 MeV Pb - no 3.34scintillatore - no 0.38
Si - no 0.31aria - no 0.31
elettrone 100 MeV Pb - no 0.11scintillatore - no 0.013
Si - no 0.011aria - no 0.011
pione 1 GeV Pb - 0.012 0.012scintillatore - 0.003 0.001
Si - - 0.001aria - - -
muone 45 GeV Pb - no -scintillatore - no -
Si - no -aria - no -
protone 7 TeV Pb 2.1 0.012 -scintillatore 0.03 0.003 -
Si 0.02 - -aria 0.03 - -
In particolare, si e ritenuta trascurabile la perdita per irraggiamento quando γβ < 3 · 103, valore che corrispondegrossomodo all’energia critica.
23. (b) Per un muone che attraversi, incidendo perpendicolarmente, una lastra di Ferro di 5 cm di spessore in cuie’ presente un campo magnetico di intensita’ nota, calcolare il valore numerico del rapporto fra la deflessioneangolare dovuta al campo magnetico e la dispersione quadratica media dovuta al multiplo scattering. Come sara’la funzione di distribuzione dell’angolo in uscita? Quale e’ la dipendenza dall’energia del muone incidente?Detto ϑ l’angolo di deflessione, si ottiene facilmente
sinϑ =seB
pc
56
dove p e l’impulso del muone e s lo spessore della lastra. In prima approssimazione, l’angolo di uscita segue unadistribuzione di Moliere centrata in ϑ, ovvero
P(θ) =θ − ϑθ2
0
exp
(− (θ − ϑ)2
2θ20
)Supponiamo ora per semplicita ϑ 1, di modo che
ϑ ' seB
pc
In tal modo si ottiene
ϑ
θ0
√2' seBβ√
2c
1
13.6 MeV/c
√X0
L=seB√
2c
1
13.6 MeV/c
√X0
L
√1−
(mµc2
Eµ
)2
24. (b) Cercando i dati nelle apposite figure o tabelle (reperibili anche su web) si calcolino il valore (o i limiti)dell’energia degli elettroni emessi nello stato finale della reazione γ + C per energie del fotone incidente pari a:1 keV, 10 keV, 100 keV, 1 MeV, 10 MeV. La sezione d’urto di un fotone su un atomo di carbonio in funzionedell’energia e
57
Di conseguenza, a 1 keV il processo dominante e l’effetto fotoelettrico. Trascurando l’energia di legame (dell’or-dine di 1-10 eV), l’energia cinetica dell’elettrone e quella del fotone incidente, ossia 1 keV. A 10 keV il processoprincipale e ancora l’effetto fotoelettrico, ma sono importanti anche lo scattering Rayleigh e lo scattering Comp-ton. Il primo e uno scattering elastico, dunque l’elettrone non acquista energia. Nel secondo, l’energia cineticadell’elettrone e compresa tra 0 e 10 keV, a seconda dell’angolo di scattering. A 100 keV e a 1 MeV il processodominante e lo scattering Compton, con discussione analoga a 10 keV. Infine, a 10 MeV comincia ad essere im-portante anche la produzione di coppie sul nucleo. In questo caso, l’energia dell’elettrone nel sistema del centrodi massa (che si muove con β ' 10−3) e Ec = 5 MeV, dunque nel sistema di laboratorio l’energia e nell’intervallo
(5− 0.004) MeV ≤ E ≤ (5 + 0.004) MeV
25. (b) Ricavare la relazione tra angolo di scattering e cambio di frequenza nell’effetto Compton. Siano k, k′ i 4-vettori d’onda del fotone prima e dopo l’urto e p, p′ il 4-impulso dell’elettrone prima e dopo l’urto. Allora laconservazione del 4-impulso da
~(k − k′) = p′ − pQuadrando ambo i membri e ricordando che l’elettrone e inizialmente fermo si ottiene
2~2ωω′
c2(1− cos θ) = 2mec
2~(ω − ω′)
dove θ e l’angolo di scattering. Passando alle lunghezze d’onda si ottiene
∆λ = λc(1− cos θ)
dove λc = h/(mec).
26. (b) Cercando i dati delle sezioni d’urto totali nelle apposite figure o tabelle (reperibili anche nella compilazioneParticle Data Group http: // pdg. lbl. gov ) si calcoli la probabilita’ di interazione di:
• un fotone da 100 eV che incida su 1 µm di grafite
• un fotone da 1 MeV che incida su 1 mm di grafite
• un fotone da 10 MeV che incida su 1 mm di Piombo
• un fotone da 50 keV che incida su 1 µm di Piombo
• un neutrino da 100 GeV che incida su 1 km di grafite
• un protone da 100 GeV che incida su 1 cm di grafite
La probabilita cercata eP = nSσ
dove nS e la densita superficiale di bersagli. Di conseguenza, per un materiale di densita ρ, massa atomica A espessore L si ha
P =ρ
A(g)NALσ
27. (b) Esprimere la sezione d’urto Rayleigh in funzione della sezione d’urto differenziale Thomson e del fattore diforma atomico F (θ). La sezione d’urto differenziale e
dσ
dΩ=
dσel
dΩZ2|F (θ)|2
dunque integrando e ricordando l’espressione per la sezione d’urto Thomson
σ = Z2
∫dσel
dΩ|F (θ)|2dΩ =
= 2πZ2
∫ π
0
dσel
dΩ|F (θ)|2 sin θdθ =
= 2πZ2r2e
∫ π
0
〈sin2 α〉|F (θ)|2 sin θdθ =
= πZ2r2e
∫ π
0
sin θ(1 + cos2 θ)|F (θ)|2dθ
58
28. (b) Spiegare qualitativamente il metodo di separazione degli antiprotoni dal fondo di pioni nell’esperimento diSegre’ et al. Vedi 4.a.(22).
29. (b) Dimostrare, utilizzando i materiale distribuito, perche’ nell’esperimento di Anderson sulla scoperta del posi-trone alcune tracce positive osservate non possono essere nessuna delle particelle positive conosciute nel 1932.Vedi 4.a.(23).
5 Domande a scelta
1. (c) Dimostrare, a partire dai potenziali ritardati, l’espressione della potenza irraggiata da un sistema di carichee correnti non relativistico
P =2
3c3p2el +
1
180c5‖...Q‖2 +
2
3c3p2m
I potenziali ritardati sono, come noto
ϕ(r, t) =
∫ρ(r′, t− |r− r′|/c)
|r− r′|d3r′
A(r, t) =1
c
∫j(r′, t− |r− r′|/c)
|r− r′|d3r′
Supponiamo che, se L e la dimensione tipica della sorgente e λ e la lunghezza d’onda della radiazione emessa, diavere L λ r. Allora, posto t′ = t− r/c, si ha
|r− r′| ' r − r′ · rr
Dunque il potenziale vettore puo essere approssimato con
A(r, t) ' 1
cr
∫ [j(r′, t′) +
r · r′
cr
∂ j
∂t(r′, t′)
]d3r′
Si noti che e sufficiente calcolare il potenziale vettore per conoscere la potenza irraggiata. Infatti, in zona diradiazione i campi sono ben approssimabili con onde piane, dunque si avra
B = ∇∧A
E = B ∧ r
La distribuzione angolare di potenza e quindi
dP
dΩ=cr2
4π(E ∧B) · r =
cr2
4π|∇ ∧A|2
Calcoliamo ora il potenziale vettore. Per semplicita, separiamo i contributi dovuti rispettivamente al dipolo equadrupolo elettrico e al dipolo magnetico della distribuzione, ossia scriviamo il potenziale nella forma
A(r, t) = Ap,e(r, t) + Ap,m(r, t) + Aq,e(r, t)
avendo posto
Ap,e(r, t) =1
cr
∫j(r′, t′)d3r′
Ap,m(r, t) =xirk2c2r2
∫ [r′k∂ji∂t
(r′, t′)− r′i∂jk∂t
(r′, t′)
]d3r′
Aq,e(r, t) =xirk2c2r2
∫ [r′k∂ji∂t
(r′, t′) + r′i∂jk∂t
(r′, t′)
]d3r′
Trattiamo il primo termine: si ha
j(r′, t′) = ∇′ · (j(r′, t′)⊗ r′)− r′∇′ · j(r′, t′) = ∇′ · (j(r′, t′)⊗ r′) + r′∂ρ
∂t(r′, t′)
59
Svolgendo l’integrale, il primo termine non da contributo per la localizzazione delle sorgenti. Allora si ha
Ap,e(r, t) =1
cr
∫r′∂ρ
∂t(r′, t′)d3r′ =
pel(t′)
cr
Passiamo al secondo e notiamo che
r′kji(r′, t′)− r′ijk(r′, t′) = r′ljm(r′, t′)(δlkδmi − δliδmk) = εsikεsmlr
′ljm(r′, t′)
Dunque si ha
Ap,m(r, t) =xirkεsikεsml
2c2r2
d
dt
∫[r′kji(r
′, t′)− r′ijk(r′, t′)] d3r′ =pm(t′) ∧ r
cr
Infine, per il terzo termine si ha
∇′ · (r′ir′kj(r′, t′)) = r′ir′k∇′ · j(r′, t′) + r′ijk(r′, t′) + r′kji(r
′, t′) =
= −r′ir′k∂ρ
∂t(r′, t′) + r′ijk(r′, t′) + r′kji(r
′, t′) =
= −1
3
(3r′ir
′k − δikr′2
) ∂ρ∂t
(r′, t′)− 1
3δikr
′2 ∂ρ
∂t(r′, t′) + r′ijk(r′, t′) + r′kji(r
′, t′)
Al solito, la divergenza pura a primo membro non da contributi, dunque
Aq,e(r, t) =xirk6c2r2
∫[3r′ir
′k − δik]
∂2ρ
∂t2(r′, t′)d3r′ +
xirkδik6c2r2
∫r′2∂2ρ
∂t2(r′, t′)d3r′ =
=Q(t′)r
6c2r+
r
6c2r2
∫r′2∂2ρ
∂t2(r′, t′)d3r′
Notiamo ora che, vista la forma della distribuzione angolare di potenza, siamo interessati solo ai campi che decre-scono all’infinito come r−1. Questo permette di trascurare diversi termini nel calcolo dei rotori. Esplicitamente,i termini radiativi sono
∇∧Ap,e,rad =pel ∧ rc2r
∇∧Ap,m,rad =(pm ∧ r) ∧ r
c2r
∇∧Aq,e,rad =(...Qr) ∧ r6c3r
In particolare, il termine integrale nel potenziale di quadrupolo non irraggia perche della forma f(r)r, quindi eirrotazionale. Per il dipolo elettrico si ha allora
Pp,e =
∫dPp,edΩ
dΩ =|pel|2
2c3
∫ π
0
sin3 θdθ =2
3c3|pel|2
avendo assunto senza perdita di generalita che pel sia lungo z. I calcoli per il dipolo magnetico sono del tuttoanaloghi
Pp,m =
∫dPp,m
dΩdΩ =
|pm|2
2c3
∫ π
0
sin3 θdθ =2
3c3|pm|2
Per calcolare il contributo del quadrupolo elettrico, ricordiamo che quest’ultimo e un tensore simmetrico, dunqueesiste una base ortogonale rispetto a cui e diagonale. Mettiamoci in tale base e sia
Q =
a1 0 00 a2 00 0 a3
con la condizione a1 + a2 + a3 = 0, verificabile direttamente dalla definizione del tensore. Allora si ha
|(...Qr) ∧ r|2 = [(
...Qr) ∧ r] ∧ [(
...Qr) ∧ r]
= |...Qr|2 − |(
...Qr) · r|2 =
= a21 sin2 θ cos2 ϕ+ a2
2 sin2 θ sin2 ϕ+ a23 cos2 θ−
− (a1 sin2 cos2 ϕ+ a2 sin2 sin2 ϕ+ a3 cos2 θ)2
60
Integrando sull’angolo solido e ricordando che il tensore ha traccia nulla si ottiene infine
Pq,e =1
144πc5
∫|(
...Qr) ∧ r|2dΩ =
a21 + a2
2 + a23
180c5=‖...Q‖2
180c5
2. (c) Calcolare la ”resistenza di irraggiamento” di un circuito quadrato di lato L, piccolo rispetto alla lunghezzad’onda λ della radiazione monocromatica incidente. Il circuito e di tipo RC, ed il condensatore e piano con areaA e distanza d fra le piastre. Calcolare la sezione d’urto di assorbimento e la sezione d’urto elastica se l’ondaincidente ha campo magnetico perpendicolare al piano del circuito e modulo massimo E0.
3. (c) Descrivere il funzionamento di una antenna lineare ricevente, con particolare riferimento a: i) distribu-zione della corrente nell’antenna; ii) metodo di prelievo del segnale; iii) proprieta’ della radiazione diffusaelasticamente; iv) resistenza di irraggiamento.
4. (c) Descrivere il funzionamento di una antenna ricevente del tipo Yagi-Uda.
5. (c) Spiegare l’utilizzo dell’effetto Mossbauer nell’esperimento di Pound e Rebka.
6. (c) Ricavare l’espressione
E =
[q
R2
n− β
γ2(1− n · β)3+
q
Rc
n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)3
]t′=t−R/c
per il campo elettrico generato da una carica puntiforme in moto arbitrario a partire dai potenziali ritardati.Prendiamo una carica q con linea di universo sµ(τ) = (τ, s(τ)). Dimostriamo che la quadricorrente e
jµ(x) = qc
∫uµ(τ)δ4(x− s(τ))dτ
Si ha infatti
j0(x) = qc
∫ds0
dx0(τ)δ3(x− s(τ))δ(x0 − τ)dτ = qcδ3(x− s(x0)) = cρ
ji(x) = qc
∫dsi
dx0δ3(x− s(τ))δ(x0 − τ)dτ = qsi(x0)δ3(x− s(x0))
Usando ora i risultati di 18. (c) si ottiene
Aµ(x) = 2q
∫d4y
∫dτ θ(x0 − y0)δ((x− y)2)uµ(τ)δ4(y − s(τ)) =
= 2q
∫dτ θ(x0 − τ)δ((x− s(τ))2)uµ(τ)
Si puo mostrare che la funzione f(s) := (x−s(τ))2 si annulla per due soli valori τ± e che τ+ < x0 < τ−,1 dunque
Aµ(x) =2quµ(τ+)∣∣ d
dτ (x− s(τ))2∣∣τ=τ+
Svolgendo la derivata si ottiene
Aµ(x) =quµ(τ+)
(xν − sν(τ+))uν(τ+)
Si noti che e stato tolto il modulo a denominatore. Infatti se si passa nel sistema tangente si ha
(xν − sν(τ+))uν(τ+) = c(x0 − τ+) > 0
1Si ha limτ→±∞ f(τ) = +∞, ammettendo che la particella non possa contemporaneamente essere accelerata ad libitum e avere unatraiettoria illimitata. Questo assicura l’esistenza di almeno un tempo τ in cui f ha un massimo o un minimo. In tale punto si deve averef ′(τ) = −2uµ(τ)(xµ − sµ(τ)) = 0. Se t e il tempo proprio, valutando f ′ nel sistema tangente si ottiene x0 = ct(τ), e dunque f(τ) < 0.Questo significa che tutti i massimi e i minimi di f si trovano nel semipiano inferiore, e visti i limiti di f a ±∞ se ne deduce che f haesattamente due zeri. In uno di questi f passa da valori positivi a negativi, e in esso quindi f ′ e negativa, da cui la disuguaglianza passandonel sistema tangente. Per l’altro zero e analogo.
61
Ricordiamo ora che per definizione di τ+ si ha
ct− τ+ = |x− s(τ+)|
quindi poniamo per uniformita con il testo della domanda t′ = τ+/c, R = x− s(ct′), n = R/R, β = s/c. Usandola definizione di t′, si puo anche scrivere
Aµ(x) =q(1,β)
R(1− n · β)
∣∣∣∣t′
Calcoliamo ora il tensore elettromagnetico. Per prima cosa, ricordando (x− s(τ+))2 = 0 si ottiene
0 = ∂α(x− s(τ+))2 = 2(xβ − sβ(τ+))(δαβ − uβ(τ+)∂ατ+)
dunque
∂ατ+ =xα − sα(x− s)u
∣∣∣∣t′
Detta w la 4-accelerazione, si ha
∂µAν = q∂µuν
(x− s)u
∣∣∣∣t′
=
=qwν∂µt′
(x− s)u
∣∣∣∣t′− quν∂µ[(x− s)u]
[(x− s)u]2
∣∣∣∣t′
=
=qwν∂µt′
(x− s)u
∣∣∣∣t′− quνuµ − qc2uν∂µt′ + quν(x− s)w∂µt′
[(x− s)u]2
∣∣∣∣t′
=
=qwν(xµ − sµ)
[(x− s)u]2
∣∣∣∣t′− quνuµ
[(x− s)u]2
∣∣∣∣t′
+qc2uν(xµ − sµ)− quν(xµ − sµ)[(x− s)w]
[(x− s)u]3
∣∣∣∣t′
Di conseguenza
Fµν =q[wν(xµ − sµ)− wµ(xν − sν)]
[(x− s)u]2
∣∣∣∣t′
+q[c2 − (x− s)w][uν(xµ − sµ)− uµ(xν − sν)]
[(x− s)u]3
∣∣∣∣t′
A questo punto il campo elettrico e
E =xiFi0 = xi
q[w0(xi − si)− wi(x0 − s0)]
[(x− s)u]2
∣∣∣∣t′
+ xiq[c2 − (x− s)w][u0(xi − si)− ui(x0 − s0)]
[(x− s)u]3
∣∣∣∣t′
=
=q
[γ4cR(β · β)−Rγ2cβ −Rγ4cβ(β · β)
γ2c2R2(1− n · β)2+
(c2 − γ4Rcβ · β + γ4c(R · β)(β · β) + γ2cR · β)(γcR− γcRβ)
γ3c3R3(1− n · β)3
]t′
=
=
[q
γ2R2
n− β
(1− n · β)3+
q
cR
(1− n · β)[γ2(β · β)(n− β)− β] + γ2(n− β)(β · β)(1− n · β) + (n− β)(n · β)
(1− n · β)3
]t′
=
=
[q
γ2R2
n− β
(1− n · β)3+
q
cR
(n− β)(n · β)− β(1− n · β)
(1− n · β)3
]t′
=
=
[q
γ2R2
n− β
(1− n · β)3+
q
cR
n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)3
]t′
7. (c) A partire dall’espressione
dIωdΩ
=q2
4π2c
∣∣∣∣∣∫n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)2exp
[iω
(t′ − n · r′
c
)]dt′
∣∣∣∣∣2
dimostrare la formula della radiazione Cherenkov:
d2NγdEγdx
= z2 α
~csin2 θc
62
8. (c) Determinare le condizioni su velocita’ (β) ed indice di rifrazione (n) affinche’ la radiazione Cherenkov emessada una particella che incide perpendicolarmente su una lastra di materiale trasparente resti contenuta all’internodel mezzo o ne possa uscire. Indicare i risultati ottenuti nel piano n− β.
9. (c) Un muone incide perpendicolarmente su un materiale di spessore x. Alcuni rivelatori, posizionati subitoprima e subito dopo il materiale, misurano la variazione di direzione θmis (nello spazio) della traiettoria dellaparticella con una precisione ∆θmis. Ipotizzando che la deflessione angolare dovuta al multiplo scattering siapiccola, fornire la migliore stima dell’impulso della particella e determinare l’errore di misura.
10. (c) Calcolare la differenza di energia persa per collisioni da parte di particelle di massa diversa, ma di stessaenergia, ultrarelativistiche. Spiegare come questo possa essere utilizzato per individuare la massa di una particella.
11. (c) Definire operativamente le sezioni d’urto per onde elettromagnetico su un bersaglio se il campo elettricodell’onda incidente non fosse monocromatico, ma valesse:
E =
E0 cos(ωt− kz)x se 0 < t− z/c < Tc
0 se t− z/c < 0 o t− z/c > Tc
Discutere in particolare i casi limite: i) Tc τ (tempo tipico dei transienti del sistema) T ; ii) T Tc τ .
12. (c) Se si suppone che nel decadimento di una particella in tre particelle di massa trascurabile lo spazio delle fasisia piatto nelle variabili s12 ed s23, calcolare la distribuzione in energia (nel centro di massa) di una di esse.
13. (c) Esprimere la sezione d’urto per particelle puntiformi in funzione del numero di eventi osservati per unita’ ditempo e per unita’ di volume, della concentrazione delle particelle interagenti e delle loro velocita’ in un sistemadi riferimento arbitrario.
14. (c) Ricavare la relazione tra il Q-valore ed A per il decadimento α col modello a goccia del nucleo.
15. (c) Dimostrare con calcoli cinematici che nello scattering di Rutherford alcune particelle α urtano un bersagliocon massa molto maggiore di quella della particella α stessa.
16. (c) Ricavare le componenti del tensore energia impulso e la sua relazione con la densita’ di forza di Lorentz.Sappiamo che la densita di forza di Lorentz e
fµ =1
cFµνjν
Vogliamo vedere se si puo scrivere una legge di conservazione del tipo
∂µTµν + fν = 0
Usando l’identita di Bianchi si ha
Fµν∂αFαν = ∂αFµνFαν − Fαν∂αFµν =
= partialαFµνFαν −1
2Fαν∂
αFµν − 1
2Fνα∂
νFµα =
= ∂αFµνFαν +1
2Fαν∂
µF να =
= ∂αFµνFαν −1
4∂µF ναFνα =
= ∂α
(FµνFαν −
1
4gαµF νβFνβ
)Ma per le equazioni di Maxwell si ha anche
Fµν∂αFαν = 4πfµ
dunque basta porre
Tµν := − 1
4π
(FµαF να −
1
4gµνFαβFαβ
)
63
17. (c) Dimostrare l’andamento 1/E2 per lo scattering Rayleigh ad alta energia.
18. (c) Ricavare l’espressione per i potenziali ritardati (ϕ ed A) per una qualunque distribuzione di cariche (ρ) ecorrenti (j). Sappiamo che nella gauge di Lorenz il quadripotenziale rispetta l’equazione
Aµ =4π
cjµ
Troviamo la soluzione perϕ = 4πρ
da cui seguira banalmente anche la soluzione per A, e dunque anche per Aµ. Introduciamo le trasformate diFourier rispetto al tempo, ossia scriviamo
ϕ(r, t) =1√2π
∫ +∞
−∞ϕ(r′, ω)e−iωtdω
e analogamente per ρ. In tal caso l’equazione d’onda assume la forma(∇2 +
ω2
c2
)ϕ(r, ω) = −4πρ(r, ω)
Cerchiamo ora un’opportuna funzione di Green, ossia cerchiamo una soluzione della forma
ϕ(r, ω) =
∫G(r, r′, ω)ρ(r′, ω)d3r′
L’equazione per G e ovviamente (∇2 +
ω2
c2
)G(r, r′, ω) = −4πδ3(r− r′) (1)
Dato che la sorgente e a simmetria sferica, cerchiamo G con tale simmetria. Posto x = |r− r′| e scrivendo
G(r, r′, ω) =fω(x)
x
per x 6= 0 si ottiened2fωdx2
(x) +ω2
c2fω(x) = 0
Di conseguenza, fω(x) = A exp(iωx/c) (la soluzione con esponente −iωx/c e stata scartata, poi vedremo perche).Per trovare la costante A, raccordiamo la soluzione trovata in x = 0. Integrando la 1 membro a membro su unapalla di raggio ε e usando il teorema della divergenza si ottiene∫
∂Bε
∂G
∂xdS +
∫Bε
Gd3x = −4π
Quando ε→ 0, il secondo integrale tende a 0 e il primo a −4πA, dunque A = 1. Infine si ottiene
ϕ(r, t) =1√2π
∫ +∞
−∞dωe−iωt
∫G(r, r′, ω)ρ(r′, ω)d3r′
=1√2π
∫ +∞
−∞dωe−iωt
∫eiω|r−r
′|/c
|r− r′|ρ(r′, ω)d3r′ =
=
∫ρ(r′, t− |r− r′|/c)
|r− r′|d3r′
Per A si ottiene un’espressione analoga, a patto di sostituire ρ con j/c. Verifichiamo come ultima cosa che ipotenziali trovati rispettino la condizione di gauge. Per verificarla, scriviamo
Aµ =1
c
∫jµ(r′, t′)G(|r− r′|, t− t′)d3r′dt′
64
Si ha allora, usando l’equazione di continuita,
∂µAµ =
1
c
∫jµ(r′, t′)∂µG(|r− r′|, t− t′)d3r′dt′ =
=− 1
c
∫jµ(r′, t′)∂′µG(|r− r′|, t− t′)d3r′dt′ =
=− 1
c
∫∂′µ
(jµ(r′, t′)G(|r− r′|, t− t′)
)d3r′dt′ =
=− 1
c
∫ [j0(r′, t′)G(|r− r′|, t− t′)
]t′=+∞
t′=−∞d3r′+
− 1
c
∫∂′i
(ji(r′, t′)G(|r− r′|, t− t′)
)d3r′dt′ = 0
Il secondo integrale e nullo per il teorema della divergenza e per la localizzazione delle sorgenti. Il secondo enullo perche per t′ → +∞ la funzione di Green si annulla (per la causalita), mentre per t′ → −∞ non esistono,a r e t fissati, soluzioni di c(t− t′) = |r− r′| con j0(r′, t′) non nulla (posto che le cariche si muovano a velocitastrettamente minori di c). Se avessimo scelto fω(|r− r′|) ∝ exp(−iω|r− r′|/c), avremmo ottenuto
ϕ(r, t) =
∫ρ(r′, t+ |r− r′|/c)
|r− r′|d3r′
ossia i potenziali avanzati, che non hanno significato fisico perche in contrasto con il principio di causalita.
Vediamo anche una derivazione 4-dimensionale dei potenziali ritardati. Sotto gauge di Lorenz, il quadripotenzialesoddisfa
Aµ = 4πc j
µ
∂µAµ = 0
Cerchiamo soluzioni della forma
Aµ(x) =
∫H(x, y)jµ(y)d4y
dove H e un’opportuna funzione di Green. Prima di procedere con i calcoli, vediamo qualche proprieta di H.Se cambiamo sistema di riferimento, ossia se poniamo y′ = Λy+ a, con Λ ∈ SO(1, 3) e a ∈ R4, si ha chiaramente
A′µ(x′) =
∫H(x′, y′)j′µ(y′)d4y′
Si ha inoltre
A′µ(x′) = ΛµνAν(x)
j′µ(y′) = Λµνjν(x)
d4y′ = d4y
Dunque deve essereH(Λx+ a,Λy + a) = H(x, y)
Se scegliamo Λ = 1, a = −y, si ottieneH(x, y) = H(x− y)
Inoltre, se a = 0 si ottieneH(Λx) = H(x)
Sappiamo quindi che il quadripotenziale eAµ = H ∗ jµ
E dunque la funzione di Green deve essere soluzione di
H(x) =4π
cδ4(x)
65
Aggiungiamo inoltre che la funzione di Green sia causale, ossia H(x) = 0 se x0 < 0 (questo implica tra l’altroH(x) = 0 se x e di tipo spazio). L’invarianza di H sotto il gruppo di Lorentz implica ovviamente l’invarianza diH sotto SO(3), dunque H puo dipendere dalle coordinate spaziali solo tramite |x|. Per x 6= 0 ottieniamo l’usualeequazione d’onda in simmetria sferica, dunque avremo
H(x) =f(x0 − |x|) + g(x0 + |x|)
|x|
La causalita richiede g = 0 e f = 0 per x0 − |x| < 0. Raccordando la soluzione in x = 0 si ha
H(x) =f ′′(x0 − |x|)
|x|− ∇
2f(x0 − |x|)|x|
− f(x0 − |x|)∇2
(1
|x|
)− 2∇
(1
|x|
)· ∇f(x0 − |x|) =
= 4πδ3(x)f(x0 − |x|)
e dunque deve essere
f(x0) =1
cδ(x0)
da cui infine la funzione di Green
H(x) =δ(x0 − |x|)
c|x|Per metterla in una forma piu manifestamente causale e Lorentz-invariante, notiamo che
δ(x2) = δ((x0)2 − |x|2) =1
2|x|(δ(x0 + |x|) + δ(x0 − |x|)
)θ(x0)δ(x0 + |x|) = 0
Dunque si ha
H(x) =2
cθ(x0)δ(x2)
Il quadripotenziale e allora
Aµ(x) =2
c
∫θ(x0 − y0)δ((x− y)2)jµ(y)d4y
Si possono anche sviluppare i calcoli con la prima espressione, ottenendo
Aµ(x) =1
c
∫δ((x0 − y0)− |x− y|)
|x− y|jµ(y)dy0d3y =
=1
c
∫jµ(y, x0 − |x− y|)
|x− y|d3y
e questa e l’espressione usuale dei potenziali ritardati.
19. (c) A partire dai campi ritardati, dimostrare che
dP
dΩ=
q2|a|2
16π2ε0c3sin2 θ
(1− β cos θ)5
e’ la potenza (MKSA) irraggiata da una carica accelerata su una traiettoria rettilinea in funzione dell’angolo diemissione.
20. (c) Scrivere le equazioni di Maxwell per i quadri-potenziali in ”gauge di Lorentz” e in ”gauge di Coulomb”. Leequazioni generali per il quadripotenziale sono
∂µ∂µAν − ∂µ∂νAµ =
4π
cjν
Sotto gauge di Lorenz il quadripotenziale e indivergente, dunque si ha semplicemente
Aµ =4π
cjµ
Sotto gauge di Coulomb si ha invece
Aµ − ∂µ∂0A0 =4π
cjµ
66
21. (c) Dimostrare che
dIωdΩ
=q2
4π2c
∣∣∣∣∣∫n ∧ [(n− β) ∧ β]
(1− n · β)2exp
[iω
(t′ − n · r′
c
)]dt′
∣∣∣∣∣2
e’ l’energia per unita’ di frequenza irraggiata da una carica accelerata in funzione dell’angolo di emissione.
22. (c) Ricavare nel limite di Fraunhofer il campo elettrico diffratto.
23. (c) Spiegare in modo quantitativo, e nelle varie ipotesi citate nell’articolo, il valore dell’energia di soglia diproduzione degli antiprotoni osservata nell’esperimento di Segre’ et al.
24. (c) Spiegare, con le valutazioni numeriche opportune, il metodo di separazione degli antiprotoni dal fondo dipioni nell’esperimento di Segre’ et al.
25. (c) [Calcolo della risoluzione di uno spettrometro magnetico] Si consideri una particella che attraversa, incidendoperpendicolarmente, una regione di lunghezza x di materiale omogeneo, di cui sono note tutte le sue caratteristi-che ed in particolare la lunghezza di radiazione (X0). Nel materiale e’ presente un campo magnetico, di intensita’nota B, perpendicolare alla direzione della particella. Alcuni rivelatori, posizionati subito prima e subito dopo ilmateriale, misurano la direzione della traiettoria della particella con una precisine ∆θmis (nel piano perpendico-lare al campo magnetico). Ipotizzando che la deflessione angolare dovuta sia al campo magnetico che al multiploscattering sia piccola, calcolare l’errore sull’impulso (la sola componente perpendicolare al campo). Effettuare lavalutazione numerica nel caso particolare : materiale 1m di aria, B=1 T, ∆θmis = 1 mrad; per pioni di impusodi 1 GeV/c e 100 GeV/c.
26. (c) Spiegare il meccanismo della produzione di uno sciame elettromagnetico e valutare le differenze se esso einiziato da un elettrone o da un fotone.
27. (c) Discutere un semplice apparato, di vostra scelta, per distinguere il processo e+ +e− → µ+ +µ− da e+ +e− →π+ + π− quando gli impulsi del elettrone e del positrone sono uguali ed opposti e valgono 300 MeV/c ciascuno.
28. (c) Un qualunque esercizio a vostra scelta, purche abbia anche parzialmente una attinenza con gli argomenti delcorso. A titolo di esempio, puo essere una vostra rielaborazione di una delle domande contenute in questa lista;un aspetto trovato in articolo (su rivista) teorico o sperimentale di vostro interesse; una informazione trovatasul web che volete approfondire criticamente; etc...
67