Caso di studio: l’applicazione della geostatistica nell ...
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Corso di formazione ambientale, giugno 2004 - APAT Roma
Caso di studio: l’applicazione della Caso di studio: l’applicazione della geostatistica nell’ambito del progetto geostatistica nell’ambito del progetto
SOILSAMPSOILSAMP
Paolo de Zorzi Paolo de Zorzi Sabrina BarbizziSabrina Barbizzi
Servizio di Metrologia AmbientaleServizio di Metrologia Ambientale
APAT- Agenzia per la Protezione dell’Ambiente e per i Servizi Tecnici
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Elaborazioni statistiche e geostatistiche
• Parametri esaminati: Arsenico, Cromo, Cesio, Ferro, Scandio
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Geostatistica
• E’ una branca della statistica finalizzata allo studio dei fenomeni naturali che si sviluppano su base spaziale e/o temporale
• Include• Analisi strutturale (variografia)• Interpolazione (Kriging)
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La semivarianza
Dati z(x) e z(x+h)
semivarianza
h è il vettore (lag) che definisce distanza e direzione di separazione fra due punti di campionamento
2ii ))hx(z)x(z(
21)h(ˆ
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Il semivariogramma o variogramma
Se nella regione o area indagata le coppie di osservazione separate da h sono N
Il variogramma è la funzione alla base dell’analisistrutturale di una variabile spaziale e/o temporale
N
1i
2ii )}hx(z)x(z{
N21)h(̂
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Fattori che influiscono il variogramma
• Numero di osservazioni• Qualità dei dati• Livello di dispersione presentato dalla variabile
spaziale• Distanza tra i punti di campionati all’interno del
dominio
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Il variogramma
• Range = distanza massima entro la quale si manifesta la correlazione spaziale
• Sill = valore massimo della semivarianza: quando si ha stazionarietà, esso approssima per eccesso la varianza campionaria
• Nugget = parte non spiegata della semivarianza, imputabile alla variabilità casuale (incertezza di misura e/o strumentale ecc.) e alla variabilità spaziale presente a distanze inferiori a quella di campionamento
N
1i
2ii )}hx(z)x(z{
N21)h(̂
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Anisotropia
• La variabile si comporta in maniera differente in funzione della direzione– Anisotropia geometrica– Anisotropia zonale
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Trend: fenomeno non stazionario
Se la variabile manifesta con evidenza un trend di variabilità, ciò significa che il valore medio della variabile dipende dalla posizione x dell’area in esame. L’analisi strutturale può essere fatta solo se si rimuove il trend
distance
gamm
a
0 20 40 60 80
05
1015
20
Omnidirectional Variogram - Sand (%)
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L’analisi geostatistica si articola attraverso le fasi:
• Analisi esplorativa preliminare consistente nell’elaborazione delle statistiche elementari finalizzata a prendere conoscenza dei dati
• Stima del variogramma sperimentale per identificare la correlazione spaziale
• Ricerca di un modello teorico per descrivere la correlazione spaziale• Stima della variabile nelle localizzazioni non campionate con il kriging• Costruzione delle mappe di isovalore
Ma vediamo nel dettaglio……
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Mappa delle concentrazioni di Cromo (mg/kg)
0 20 40 60 80x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
198.4
198.4
204.7
204.7
211.0
217.3
217.3
217.3
223.6
223.6
229.8
229.8
229.8
236
.1
236
.1
236.1
242.4
242
.4
242.4
SOILSAMP - Comparative Exercise - Auger
Chromium (mg/kg)
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Elaborazioni statistiche
Summary statistics for Chromium (mg/kg)
Sample Size: 105 Mean: 228.4 Median: 226.1 Skew: 0.4 Kurtosis: -0.3 Min: 195.2 Max: 272.4 Range: 77.2 Standard Deviation: 15.8 Coefficient of Variation: 0.07
200 220 240 260 280
0.00.0
100.0
200.0
30
Cr
Rela
tive F
requ
ency
Histogram of Observed Datawith Fitted Normal Distribution
Order Statistics for Cr andNormal(mean=228.4463, sd=15.82625) Distribution
Cum
ulativ
e Pro
babil
ity
200 220 240 260
0.00.2
0.40.6
0.81.0
Empirical CDF for Cr (solid line)with Fitted Normal CDF (dashed line)
Quantiles of Normal(mean = 228.4463, sd = 15.82625)
Qua
ntile
s of C
r
200 220 240 260
200
220
240
260
Quantile-Quantile Plotwith 0-1 Line
Results of Kolmogorov-Smirnov GOF
HypothesizedDistribution: NormalEstimated Parameters: mean = 228.4463
sd = 15.82625Data: Cr in cromo.shovelSample Size: 105Test Statistic: ks = 0.08239687Test Statistic Parmeter: n = 105P-value: 0.4739941
Results of Kolmogorov-Smirnov GOF Test for Cr in cromo.shovel
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Variogramma omnidirezionale sperimentale
distance
gam
ma
0 20 40 60
050
100
150
200
250
300
Omnidirectional Variogram - Chromium (mg/kg) - Shovel
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Variogrammi direzionali
0
100
200
300
400
0 20 40 60 80
0 45
90
0
100
200
300
400
0 20 40 60 80
135
distance
gam
ma
Directional Variograms - Chromium (mg/kg) - Shovel
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Variogramma teorico
Spherical modelrange: 60sill: 266nugget: 122
distance
gam
ma
0 20 40 60
050
100
150
200
250
300
objective = 9579.266
Omnidirectional Variogram - Chromium (mg/kg) - Shovel
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Kriging (1/2)
• Il kriging costituisce la fase più propriamente predittiva dell’analisi geostatistica
• È un interpolatore esatto molto flessibile: consente di effettuare stime non distorte mediante un predittore lineare ricavato per interpolazione da un numero prestabilito di osservazioni localizzate nei dintorni del punto non campionato e sulla base di modelli statistici che includono la correlazione spaziale
• È in grado di fornire la stima dell’incertezza associata ai valori predetti
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Kriging (2/2)
• Esistono diverse procedure di Kriging, ognuna delle quali è stata definita per tener conto di differenti condizioni di stazionarietà e di distribuzione di probabilità dei dati
• Permette di valutare quale sia la migliore disposizione di una eventuale nuova serie di punti di campionamento
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Il Kriging ……
0 20 40 60 80x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
216.1
216.1
220.6
220.6
220.6
225.0
225.0
229.5
229.5
234.0
234.0
238.4 242.9
242.9 247.4
207
212
216
221
225
230
234
238
243
247
252
256
Kriging Prediction - Chromium (mg/kg) - Shovel
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…… e l’incertezza della stima
0 20 40 60 80x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
12.6
12.6
12.6
12.6
12.6
12.6 12.6
12.6
12.6
12.6
12.6
12.6
13.1
13.
1
13.1
13.1
13.1
7.9
8.4
8.9
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.6
13.1
13.6
Kriging Prediction - Standard Error - Chromium (mg/kg) - Shovel
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Mappa delle concentrazioni di Scandio (mg/kg)
0 20 40 60 80x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
SOILSAMP - Comparative Exercise - Mechanical Auger
Scandium (mg/kg)
7.2
7.7
8.1
8.1
8.1
8.1
8.5
8.5
8.5
9.0
9.0
9.0
9.4
9.4
9.4
9.9
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Elaborazioni statistiche
Summary statistics for Scandium (mg/kg)
Sample Size: 105 Mean: 8.6 Median: 8.6 Skew: -0.5 Kurtosis: -0.4 Min: 5.9 Max: 10.3 Range: 4.4 Standard Deviation: 0.96 Coefficient of Variation: 0.11
6 7 8 9 10
0.00.1
0.20.3
0.4Sc
Rela
tive F
requ
ency
Histogram of Observed Datawith Fitted Normal Distribution
Order Statistics for Sc andNormal(mean=8.604999, sd=0.9671799) Distribution
Cum
ulativ
e Pro
babil
ity
6 7 8 9 10
0.00.2
0.40.6
0.81.0
Empirical CDF for Sc (solid line)with Fitted Normal CDF (dashed line)
Quantiles of Normal(mean = 8.604999, sd = 0.9671799)
Qua
ntile
s of S
c
6 7 8 9 10 11
67
89
1011
Quantile-Quantile Plotwith 0-1 Line
Results of Kolmogorov-Smirnov GOF
HypothesizedDistribution: NormalEstimated Parameters: mean = 8.604999
sd = 0.9671799Data: Sc in scandio.mecaugerSample Size: 105Test Statistic: ks = 0.09772459Test Statistic Parmeter: n = 105P-value: 0.2685247
Results of Kolmogorov-Smirnov GOF Test for Sc in scandio.mecauger
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Variogramma omnidirezionale sperimentale
distance
gam
ma
0 20 40 60
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Omnidirectional Variogram - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger
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Variogrammi direzionali
0.0
0.5
1.0
1.5
0 20 40 60 80
0 45
90
0.0
0.5
1.0
1.5
0 20 40 60 80
135
distance
gam
ma
Directional Variograms - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger
Corso di formazione ambientale, giugno 2004 - APAT Roma
Variogramma teorico
Spherical modelrange: 76sill: 0.67nugget: 0.14
distance
gam
ma
0 20 40 60 80
0.0
0.2
0.4
0.6
objective = 0.0386
Directional Variogram (45°) - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger
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Il Kriging ……
0 20 40 60 80x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
6.7
7.1
7.5
7.8
8.2
8.5
8.9
8.9
9.3
9.3
9.6
9.6
6.0
6.4
6.7
7.1
7.5
7.8
8.2
8.5
8.9
9.3
9.6
10.0
Kriging Prediction - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger
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…… e l’incertezza della stima
0 20 40 60 80x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
0.5
0.5 0.5
0.5
0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5 0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5 0.5
0.5
0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.30
0.33
0.35
0.38
0.41
0.44
0.46
0.49
0.52
0.55
0.57
0.60
Kriging Prediction - Standard Error - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger
Corso di formazione ambientale, giugno 2004 - APAT Roma
0 20 40 60 80x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
6.7
7.1
7.5
7.8
8.2
8.5 8.9
8.9
9.3
9.6
9.6
6.0
6.4
6.7
7.1
7.5
7.8
8.2
8.5
8.9
9.3
9.6
10.0
Kriging Prediction - Scandium (mg/kg) - Auger
0 20 40 60 80x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
6.7
7.1
7.5
7.8
8.2
8.5
8.9
8.9
9.3
9.3
9.6
9.6
6.0
6.4
6.7
7.1
7.5
7.8
8.2
8.5
8.9
9.3
9.6
10.0
Kriging Prediction - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger
0 20 40 60 80x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
6.7
7.1
7.5
7.8
8.2
8.5
8.9
8.9 9.3
9.3
9.3
9.6
9.6
6.0
6.4
6.7
7.1
7.5
7.8
8.2
8.5
8.9
9.3
9.6
10.0
Kriging Prediction - Scandium (mg/kg) - Shovel
Corso di formazione ambientale, giugno 2004 - APAT Roma
0 20 40 60 80x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
76.4
81.8
81.8
87.3
92.7
92.7
98.2
103.6
60.0
65.5
70.9
76.4
81.8
87.3
92.7
98.2
103.6
109.1
114.5
120.0
Kriging Prediction - Zinc (mg/kg) - Mechanical Auger
0 20 40 60 80
x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
70.9
76.4
81.8
87.3
92.7
92.7 98.2
98.2
60.0
65.5
70.9
76.4
81.8
87.3
92.7
98.2
103.6
109.1
114.5
120.0
Kriging Prediction - Zinc (mg/kg) - Auger
0 20 40 60 80x (m)
0
30
60
90
120
150
y (m
)
76.4
87.
3
92.7 92.7
98.2
98.2
60.0
65.5
70.9
76.4
81.8
87.3
92.7
98.2
103.6
109.1
114.5
120.0
Kriging Prediction - Zinc (mg/kg) - Shovel
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S nugget = S campionamento + S analisi+ S riduzione + S spaziale
Incertezza del campionamento
S campionamento = S nugget – (S analisi + S riduzione )
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Valutazioni preliminari dell’incertezza di campionamento (valori %)
66n.d.2433n.d.Auger
CrCsScFeAs
6427271637Auger Mech.
399261811Shovel
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Vantaggi della Geostatistica (1/2)
• Consente di giungere alla definizione di un modello che descriva la variabilità spaziale di un dato parametro
• A parità di errore, richiede un numero di misurazioni minore rispetto ai metodi classici fondati sull’indipendenza delle variabili
• Permette di compiere operazioni di inferenza in localizzazioni non campionate, stimando anche l’incertezza associata
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Vantaggi della Geostatistica (2/2)
• La conoscenza della struttura della variabilità e della varianza di stima, inoltre, permette di ottimizzare, in termini di costi sia di prelievo sia di analisi in laboratorio, le campagne di campionamento dei suoli